matematikundervisningen
Författare:
Per Jönsson, Daniel Spikol, Gunilla Svingby, Anders Peterson Malmö högskola
Ann-Marie Pendrill
Nationellt resurscentrum för fysik Kontakt:
1 Introduktion
Detta är det första av tre inlägg för att ge perspektiv på IKT i matematik-undervisningen. Bakgrunden till inlägget är en nyligen släppt rapport från Skolverket, som visar att användningen av IKT är i stort sett lika låg i flera ämnen, som den var för tre år sedan. Det är, enligt rapporten, fortfarande ovanligt att eleverna använder datorer på lektioner i matematik. Det finns inte heller någon tydlig ökning av IKT-användningen i naturorienterande ämnen och teknik. (It-användning och it-kompetens i skolan, Skolverket 2013). Användning av matematik, datorer och programvaror i samhället ger dock ett förändringstryck på skolan. Detta tryck är positivt och kan bidra till ett sunt och användbart matematikkunnande genom mera inslag av kreativitet, nyfikenhet och lust i själva lärandesituationen.
2 Betydelsen av datorer inom ämnet matematik
Matematik är en abstrakt och generell vetenskap för problemlösning. Vär-det av matematik ligger i möjligheten att formulera stora klasser av pro-blem i matematiska termer och sedan utnyttja matematiska metoder för att få fram en lösning. Stora delar av befolkningen använder dagligen denna möjlighet, mer eller mindre medvetet, för att lösa allt från enklare uppgifter relaterade till vardagsekonomi till mera avancerade beräkningar. Matema-tikens användbarhet vid problemlösning har genomgått en revolution i och med datorernas utveckling. Situationen kan belysas med följande ord i The Daily Telegraph 1946 av Douglas Hartree, professor i tillämpad matematik vid universitet Cambridge, med anledning av den då nya beräkningsma-skinen ACE och dess kapacitet1
”The implications of the machine are so vast that we cannot conceive how they will affect our civilisation. Here you have something which is making one field of human activity 1 000 times faster. In the field of transportation, the equivalent to ACE would be the ability to travel from London to Cambridge ... in five seconds as a regular thing. It is almost unimaginable.”
1
För att ge ett perspektiv kan vi nämna att en smartphone idag har en beräkningskapacitet som är tusentals gånger större än ACE maskinens kapacitet.
Hartree var mycket framsynt. Matematik kombinerat med datorer och pro-gramvara används idag inom alla samhällssektorer för att göra beräkning-ar, analyser och simuleringberäkning-ar, för att förstå och bearbeta data och signaler, utforma konstruktioner med mera. Detta sker som oftast i det tysta, men betydelsen är enorm och har i grunden förändrat vår kultur och civilisa-tion. Ytterliggare perspektiv fås genom att ta del av Conrad Wolframs TED-föredrag på temat Teaching kids real math with computers
http://www.ted.com/talks/conrad_wolfram_teaching_kids_real_math_with_computers.html
3 Påverkan på undervisningen
Den ovan beskrivna utvecklingen av matematik, som ett ämne starkt kopp-lat till datorer och teknologi medför ett tryck på förändring på undervis-ningen i matematik, naturvetenskap och teknik inom alla delar av utbild-ningssystemet. För grund- och gymnasieskolan måste förändringarna ske inom ramen för de nya ämnesplaner som trädde i kraft den 1 juli 2011. I den övergripande beskrivningen av ämnet matematik på gymnasiet anges syftet vara att:
”Undervisningen ska innehålla varierande arbetsformer och arbetssätt, där undersö-kande aktiviteter utgör en del. När så är lämpligt ska undervisningen ske i relevant praxisnära miljö. Undervisningen ska ge eleverna möjlighet att kommunicera med olika uttrycksformer. / . . . / I undervisningen ska eleverna dessutom ges möjlighet att utveckla sin förmåga att använda digital teknik, digitala medier och även andra verktyg, som kan förekomma inom karaktärsämnena.” (Utbildningsdepartementet 2010).
Syftet vidareutvecklas med skrivningar om förmågor. Bland annat skall un-dervisningen i matematik ge eleverna förutsättning att utveckla förmågan att:
”formulera, analysera och lösa matematiska problem samt utvärdera valda strategi-er, metoder och resultat”
”tolka en realistisk situation och utforma en matematisk modell samt använda och utvärdera en modells egenskaper och begränsningar”
”relatera matematiken till dess betydelse och användning inom andra ämnen, i ett yrkesmässigt, samhälleligt och historiskt sammanhang”
Skrivningarna i ämnesplanerna harmonierar väl med en vidgad syn på ma-tematikämnet, där det blir allt viktigare att använda och ta vara på dato-rernas och teknologins möjligheter inom problemlösning och modellering.
4 Datorernas och övrig interaktiv teknologis möjligheter inom problemlösning och modellering
Kravet att relatera matematiken till dess betydelse och användning inom andra ämnen i ett yrkesmässigt och samhälleligt sammanhang utgör en speciell utmaning, då den förutsätter att skolan står i ett aktivt förhållande till en snabbt föränderlig omvärld. Den ändrade synen på matematik, med dess praktiska konsekvenser för undervisningen, står inte i konflikt med ämnets abstrakta karaktär, utan skall uppfattas på så sätt att det har tillkommit en dimension, som måste tolkas inom ramen för ämnesplanerna och hanteras tillsammans med övriga aspekter av matematikämnet. Lite tillspetsat kan man säga, att ett sunt och användbart matematikkunnande, som har bäring på framtiden och som förbereder för vidare studier på högskolan, måste reflektera det faktum att datorer är otroligt viktiga för problemlösning, modellering och praktiska tillämpningar. Undervisningen i grund- och gymnasieskolan måste därför förändras och behandla också dessa aspekter. Ämnesplanerna ger gott stöd för detta.
5 Program för att utforska matematik
Programvaror för matematisk problemlösning är idag allmänt tillgängli-ga och används i stor omfattning på universitet och högskolor både in-om grundutbildning och forskning. De används även inin-om industrin. Ge-mensamt för dessa programvaror är att de är professionella verktyg, som kombinerar ett programmeringsspråk, inbyggda kommandon för att utföra vanligt förekommande uppgifter, samt 2D- och 3D-grafik med vars hjälp man kan visualisera och presentera data. Programvarorna stödjer ett ut-forskande arbetssätt, som är grunden för all verklig problemlösning. Det är enkelt och snabbt att testa olika ideer, dra slutsatser och komma vidare. Tillgång till enklare programmeringsbegrepp gör att uppgifter kan lösas på en mängd olika sätt och kreativa och annorlunda lösningar är möjliga.
Den mest använda programvaran för matematisk problemlösning är Mat-lab, vilken kostar pengar. På gymnasiet eller i grundskolan kan gratis-programmen GNU Octave eller Scilab användas. Samtliga är på engelska. Tyvärr finns det i Sverige lite material och uppgifter, som är tillgängliga för gymnasiet eller grundskolan, vilket verkar hämmande på skolornas an-vändning i undervisningen. Vi ligger långt efter länder som Frankrike och Tyskland. Inom parentes bör nämnas att Sverige en gång var ett föregångs-land inom detta område, med ett omfattande utvecklingsarbete, vilket dock avstannade då provsystem och förordningar pekade ut miniräknaren som enda hjälpmedel.
För att undervisningen ska komma i kapp den övriga samhälleliga utveck-lingen är det nu helt nödvändigt att Skolverket, Nationellt Centrum för Matematikutbildning, lärarutbildningar och andra aktörer tar tag i detta och medverkar till att material utvecklas och görs tillgängligt.
6 Konkreta uppgifter med kommentarer
Vi ger två konkreta uppgifter för att illustrera möjligheterna med använd-ning av matematisk programvara. Uppgifterna kommenteras med avseende på utförande.
Uppgift 1. Du ska skjuta en boll som startar i (0,2) och fortsätter i en rät linje igenom hålet i mitten, för att sedan gå i en rät linje ner till punkten (10,1), se nedan. Gör en animering i Matlab som visar bollens position för varje helt värde på x.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 0
Uppgiften är inget annat än den räta linjens ekvation i omstöpt form. Lä-raren kan ha introducerat den räta linjen tidigare och uppgiften blir då en annorlunda tillämpning. Genom att bollens position animeras, får elever-na omedelbart en återkoppling på om de har gjort rätt eller inte och får möjlighet att iterativt komma fram till en lösning, som ger den korrekta banan för bollen. Ytterligare en möjlighet, och den är kanske den mest intressanta, är att läraren ber eleverna att med datorprogrammets hjälp själv undersöka hur grafen för y = kx + m ändrar sig med k och m. Efter detta får eleverna ge sig på att lösa uppgiften ovan. Det är möjligt att de bara klarar första delen, att få bollen från (0,2) till hålet, men inte från hålet till (10,1), som är betydligt svårare.
Programmet eleverna skriver för animeringen ger en representation av ett matematiskt begrepp. För att uppgiften skall vara meningsfull måste lä-raren tillsammans med eleverna tydligt knyta programmets representation till den abstrakta matematiska representationen av den räta linjen. Det är när eleverna kan se sambanden mellan olika representationer, som begrepp blir förståliga och användbara. Uppgiften kan varieras i det oändliga och eleverna kan enkelt skapa utmaningar till varandra.
Uppgift 2. Spela upp de fem första takterna i Beethovens femte symfoni (det går ju naturligtvis lika bra med en melodifestivallåt). Börja med att se om du kan få Matlab att spela tonen A (440 Hz) under 2 sekunder och därefter tonen E (329.6 Hz) under 4 sekunder. Använd internet för att ta reda på vilka frekvenser de olika tonerna i Beethovens partitur har innan
du sätter igång.
Uppgiften kan göras tillsammans med fysiken. Lämplig bakgrund kan vara att man tidigare beskrivit ljud som periodiska tryckvariationer och att ljud kan genereras genom att man skickar en periodisk funktion till högtalarna. Genom att skicka en sinusfunktion med frekvensen 440 Hz till högtalarna får vi tonen A. Ett annat viktigt begrepp som aktualiseras är samplings-hastighet, dvs. hur många gånger per sekund signalen till högtalaren känns av. Precis som den tidigare uppgiften medger denna att eleverna experi-menterar och testar sig fram. Eleverna hör omedelbart om ljudet blir som de förväntat sig. Uppgiften inbjuder även till lek då många elever kommer att försöka generera egna låtar. Genom att addera övertoner kan elever-na också utforska klanger. Musik är av central betydelse i vår kultur och på så sätt uppfyller uppgiften kravet att relatera matematiken till dess samhälleliga sammanhang. Återigen får uppgiften sitt fulla värde i en ef-terföljande diskussion om begreppen periodiska svängningar och frekvens. Genom att eleverna i uppgiften använder interaktiv, digital teknik konkre-tiseras ett begrepp och blir användbart i vidare bemärkelse än som en del av matematik- och fysikkursen i skolan.
7 Vilka steg behöver tas?
Vi har här argumenterat för vikten av att eleverna i skolan ges möjlig-het att arbeta med problemlösning och modellering inom matematikämnet med hjälp av de professionella programvaror som finns tillgängliga. Argu-menten gäller lika hög grad för fysikämnet. Dessa programvaror stödjer ett undersökande arbetssätt, där det är elevernas egen aktivitet och kreativitet som är i fokus. Användningen är inte begränsad till gymnasiet. Tvärtom visar Seymor Paperts banbrytande arbeten (1980), att yngre barn utan svårigheter kan hantera matematiska programvaror och att de ser det som både utvecklande och roligt, vilket på ett utmärkt sätt sammanfattas i uttrycket ”hard fun”. I en god undervisningssituation kopplas de problem-lösande aktiviteterna samman med matematikens abstrakta begrepp och
ger liv och mening åt dessa.
De nya ämnesplanerna ger utan tvekan stöd för problemlösande aktiviteter med matematisk programvara. Ämnesplanerna har dock inte följts upp med stöd och utbildning till lärarna. Ett problem i sammanhanget är att det, till skillnad mot situationen för högskolan, där det finns hur mycket material som helst, finns alldeles för lite material, som är utvecklat för grund-och gymnasieskolan. Bristen på material gör att den enskilde läraren ställs inför uppgiften att utveckla eget. Som ett viktigt steg i implementering av IKT i matematikundervisningen måste därför centrala aktörer som Skolverket, Nationellt Centrum för Matematikutbildning, Nationellt Resurscentrum för Fysik, regionala utvecklingscentra och lärarutbildningarna gå samman och på ett systematiskt sätt ta fram material som innehåller lektionsför-slag inklusive uppgifter, didaktisk teori och exempel på bedömningsformer, som kan användas av lärarna. Det är vidare nödvändigt att använda olika sätt att sprida och dela erfarenheter och forskningsresultat. Ett svar är in-satserna inom ramen för det pågående Matematiklyftet. Det är självklart att detta måste ta till vara erfarenheterna av IKT. Att utnyttja sociala, interaktiva medier för att sprida och dela erfarenheter mellan lärare är en annan självklar strategi. En stor del av de omfattande erfarenheterna av användningen av interaktiv, digital teknologi finns förstås utanför skolan. Frågan är hur dessa erfarenheter kan göras tillgängliga också i skolan? Ett aktivt utvecklingsarbete inom detta område pågår på Malmö högskola inom ramen för projektet Matematik för den digitala generationen. Pro-jekt pågår också vid Göteborgs universitet, Linnéuniversitetet, Stockholms universitet och Karlstads universitet och på andra ställen. Dessa insatser behöver lyftas fram och göras mera synliga. De behöver också följas av fler. Det största arbetet ligger dock i att bryta ner föråldrade strukturer
”the limitations of computer use in education in the coming decades are likely to be less a result of technological limitations than a result of limited human imagination and the constraints of old habits and social structures” (Kaput 1992).
För detta krävs ett mera aktivt och medvetet pedagogiskt ledarskap från skolans huvudmän än vad har varit fallet hittills.
Referenser
Skolverket (2013). It-användning och it-kompetens i skolan http://www.skolverket.se/publikationer?id=3005
Papert, S. (1980). Mindstorms: Children, computers, and powerful ideas. Books, Inc. New York, NY, USA.
http://dl.acm.org/citation.cfm?id=1095592
Kaput, J. (1992). Technology and mathematics education. In D. Grouws, Handbook of research on mathematics teaching and learning (sid. 515-556). New York, New York, USA: MacMillan Publishing.
8 Kommentar till typsättning av artikeln i DIU
Det hade varit kul om man hade kunnat göra en liten ruta med lösning, i Matlab, Scilab eller GNU OCtave, till de givna uppgifterna samt en länk till hur animationen av bollen resp det genererade ljudet låter. Nedan finns lösningen till animationen med bollen. Givet vissa enkla grundbegrepp som loop, plotkommando kan man göra hur många uppgifter som helst. Skulle kunna användas i fysiken för att illustrera st-grafter och annat.
figure(1)
xlim([0 10]), ylim([0 5]) grid on, hold on
% Linje fram till cirkeln for x = 0:6
y = (1/3)*x+2
plot(x,y,’o’), pause(1) end
% Linje från cirkeln och ner for x = 6:10
y = -(3/4)*(x-6) + 4 plot(x,y,’o’), pause(1) end
