MATEMATIK Datum: 2020-10-29. Tid: förmiddag (kl. 8:30-12:30)
Chalmers Alla hjälpmedel är tillåtna.
Tentamen Övervakning i Zoom
Examinator: Alexey Geynts, ankn. 031-7725329
Tenta i MVE585/MVE605 Inledande matematik
Tips: Börja lösa uppgifter från den som verkar vara lättats, ta sedan den som känns vara näst lättast o.s.v.
Till följande uppgifter skall kortfattade lösningar inlämnas. Endast svar ger inga poäng.
1. (a) Beräkna följande gränsvärden: (3p)
(i) lim
x!0
1 + sin(x) cos(x) 1 sin(x) cos(x);
(ii) limx!1 px2 2x 1 px2 7x + 3
(b) Bestäm samtliga lösningar till ekvationssystemet. (3p) 8 < : x1+ 3x2+ 2x3 = 1 5x1+ 7x2+ 6x3 = 5 3x1+ 5x2+ 4x3 = 2
(c) Bestäm för tre punkter A = (1; 2; 3), B = (2; 1; 1), C = (3; 1; 5) summan av vektorer AB+! BC+! CA:!
Är det möjligt att få svaret utan beräkningar med givna tal? (2p) (d) Bestäm om vektorer !u, !v ; !w ligger i samma plan i fall:
!u = 2!i + 3!j !k, !v = !i !j + 2!k, !w = !i + 6!j 7!k : (2p) (e) Bestäm tangentlijen till kurvan x2+ 2xy y2 = 4x i punkten ( 1;p6 1): (2p)
(f) Beräkna derivatan till funktionen f (x) = ln x + p
1 x2
x : (2p)
— — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — —
-Till följande uppgifter skall fullständiga lösningar inlämnas. Endast svar ger inga poäng.
2. Betrakta planet P med ekvation: 2x + 3y 2z = 6 och linjen L med ekvation på standard form: x 1 1 = y + 2 2 = z 1 3 .
(a) Bestäm ett plan Q genom linjen L som är ortogonalt mot planet P. (2p) (b) Bestäm avståndet mellan punkten (1; 1; 1)och planet P. (2p) (c) Bestäm avståndet mellan punkten (1; 1; 1)och linjen L: (2p)
3. Betrakta funktionen: g(x) = 12x 9x
2+ 2x3; för 0 x 3
x (x + 3) ; för 2 x < 0
de…nierad på intervallet [ 2; 3]. (6p)
(a) Bestäm alla singulära punkter, lokala extrempunkter, absolut maximum och absolut minimum på det intervallet (om de existerar).
(b) Bestäm böjningspunkter (in‡ection points), och de intervall där funktionen är konvex och konkav. Rita en skiss av grafen till funktionen.
4. Vi behöver hänga en lampa övanför mitten av en rund lekplats med radien a: Bestäm höjden för lampan som ger maximal belysning av kanten på lekplatsen. Belysningen I beräknas enligt formeln
I = k sin(') r2 ;
där r är avståndet mellan lampan och den belysade punkten på planet, och ' är vinkeln mellan planet och ljusstrålen från lampan till den punkten. (6p) 5. Funktionen f är de…nierad av ekvationen: (f )2 1 + ln(x 1) = 0: Bestäm med be-gränsningen att f 0 dess naturliga de…nitionsmängd och värdemängd. Bestäm dess
inversfunktion i fall den existerar. (6p)
6. (a) Låt en funktion f ha kontinuerlig derivata på intervallet (a; b). Är det sant att för varje punkt 2 (a; b) …nns två punkter x1 och x2 från (a; b) sådana att likheten
f (x1) f (x2)
x1 x2
= f 0( ); x1 < < x2;
gäller ? (4p)
(b) Visa att ekvationen x (2x) = 1 har en positiv lösning som är mindre än 1. (2p) 7. Ange om följande funktioner f och g är kontinuerliga. (6p)
f (x) = 1 1+e1=x; 2 < x < 2; x6= 0; 0; x = 0 g(x) = x sin 1 x ; =2 < x < =2; x6= 0: 0; x = 0 Maxpoäng på tentan är 50.
Betyggränser för poäng på tentamen, inklusive eventuella bonuspoäng är: 3: 20; 4: 30; 5: 40.
Lösningar läggs ut på tentamens sida och på kursens sida i Canvas. Resultat meddelas via Ladok.
