Föreläsning 1 i Inledande matematik för Z/TD.
Koordinater, vektorer, skalär produkt.
Kartesiska koordinater i 3-dimensionella rummet.
Kartesiska koordinatsystemet i rummet består av tre reella axlar x,y, och z - axlar som är vinkelräta mot varandra (utgör vinkeln =2mot varandra). Riktningen för z axeln är inte entydig och väljes enligt "skruvregeln" som är visualiserad på bilden.
Skruvregeln
Koordinater till en punkt P är en uppsättning av tre reella tal sådana att de är projektioner av punkten P på koordinataxlar. Koordinater till punkten skrives som en rad av reella tal i paranteser. Man även identi…erar ofta punkten och dess koordinater oc skriver
Rummet med tre kartesiska koordinater betecknas oftas med R3, som en
utvidgn-ing av betecknutvidgn-ingen R för reella axeln.
Avståndet r mellan punkten P = (x; y; z) och origo O = (0; 0; 0) ges av formeln r =px2+ y2+ z2
Avståndet r mellan två godtyckliga punkter P1 = (x1; y1; z1)och P2 = (x2; y2; z2)
beräknas enligt formeln r = q (x1 x2) 2 + (y1 y2) 2 + (z1 z2) 2
Vi kommer att bevisa detta. Avståndet mellam två godtyckliga punkter P1 =
(x1; y1; z1) och P2 = (x2; y2; z2) i 3-dimensionella rummet R3 beräknas med hjälp
av Pythagorsatsen, som tillämpas här två gånger för två olika trianglar (gula och turkos på bilden): r2 = l2+ (z2 z1)2 gula_triangel l2 = (x1 x2)2+ (y1 y2)2 turkos_triangel r2 = (x1 x2)2+ (y1 y2)2+ (z1 z2)2 r = q (x1 x2)2+ (y1 y2)2+ (z1 z2)2 Exempel.
Betrakta trianglen ABC med hörnpunkter A = (1; 1; 2), B = (3; 3; 8), C = (2; 0; 1). Visa att det är en rätvinklig triangel. Rätvinkllig triangel måste satis…era Pythagorsatsen. Vi skall beräkna längderna jABj, jBCj, och jACj och kolla om de satis…erar Pythagorsatsen.
B = (Bx; By; Bz); C = (Cx; Cy; Cz) a = jBCj = jCBj = q (Cx Bx) 2 + (Cy By) 2 + (Cz Bz) 2 q (2 3)2+ (0 3)2+ (1 8)2 = p( 1)2+ ( 3)2+ ( 7)2 = p1 + 9 + 49 =p59 Likadant_ber•aknas_f•oljande :
b = jACj = :::p3 c = jABj = :::p56
jACj2+jABj2 = 56 + 3 = 59 = jBCj2 - Pythagorsatsen!!! Triangeln måste vara rätvinklig.
Cosinussatsen säger att
jBCj2 =jACj2 +jABj2 2 cos( )jACj jABj
Om vi jämför den formeln med att jACj2+jABj2 =jBCj2 så ser vi att cos( ) = 0 och att = =2.
Tre plan som innehåller tre olika par koordinataxlar kallas för koordinatplanen: xy; yz och xz plan.
Koordinatplanen delar rummet i åtta oktanter. Oktanten där x 0, y 0 och z 0 kallas första oktanten.
Bild på oktanter!!!
1
Ytor som svarar mot enkla ekvationer.
En ekvation eller en olikhet som inkluderar tre variabler x; y; z de…nierar en delmängd av punkter i R3:
Exempel 2. a) z = 0
Lösningsmängden är xy - planet b) x = y
Lösningsmängden är ett (oändligt) plan genom linjen x = y i x y planet, som är parallelt med z-axeln
c) x + y + z = 1
Lösningsmängden är planet genom punkter (1; 0; 0), (0; 1; 0), (0; 0; 1):
Linjära ekvationer de…nierar alltid ett plan i rummet eller en rät linje i planet.
e) z = x2.
Om man har en yta i R3med ekvation f (x; z) = 0 som inkluderar bara två
variabler av tre, så är ytan en cylindrisk yta parallell med den axeln som saknas i ekvationen och med basen för cylindern som beskrivs som kurvan f (x; z) = 0 i planet som är med i den ekvationen (xz planet i det exemplet).
Exempel 3.
a) y2+ (z 1)2 = 4
En cylonder till. b) y2+ (z 1)2 = 0
En rät linje (en degenererad cylinder :)) c) en ekvation som har inga lösningar ... y2+ (z 1)2 = 1
Exempel 5 med några system ekvationer.
Om man söker lösningsmängden för ett system ekvationer, så sökes snittet av två separata lösningsmängder till dessa två ekvationer.
a) x + y + z = 1
y-2x = 0 Snittet av två plan är en rät linje om dessa plan inte är parallella.
b) x
2+ y2+ z2 = 1
Euclidiskt n-rum
Det behövs ofta att betrakta högredimensionella rum. De är svårt att rita. Man de…nierar rummet Rn för ett godtykligt naturligt tal n som mängden av
uppsättningar av n reella tal skrivna i paranteaser i en rad: (x1; x2; :::; xn)/och kallar
dem för punkter i rummet Rn.
Punkten O = (0; 0; :::; 0) kallas origo. Avståndet mellan två punkter X = (X1; X2; :::; Xn)och Y = (Y1; Y2; :::; Yn)i Rn beräknas enligt en liknande formel:
r = q
(X1 Y1)2+ (X2 Y2)2+ ::: + (Xn Yn)2
Ekvationer som innehåller n variabler (X1; X2; :::; Xn)de…nierar en yta i
högred-imensionellt rum Rn.
2
Vectorer i
R
3och
R
2:
För varje given punkt P i R3 (rummet) eller R2(planet) kommer att införas en pil som går från origo O till den punkten P . Den pilen kallas för ortsvektorn som svarar mot den punkten och betecknas med OP! där O och P markerar start och endpunkterna på vektorn. Foten av vektorn ligger i punkten O och spetsen ligger i punkten P .
Vi kommer först att betrakta fallet i planet R2:
Kartesiska koordinater av endpunkten på vektornOP!är samma som koordinater av punkten P: De kallas för komponenter av vektorn i R2: Om punkten P = (x; y), så har ortsvektorn OP! också komponenter x och y, men de är lämpligt att skriva inte som rad men som kolonn: OP =! x
y :
På samma sätt om P = (x; y; z) 2 R3, så kan vi skriva vektornOP =! 2 4 x y z 3 5 : De som studerar Matlab kommer ganska snart att känna igen den beteckning.
Vektorer är fria!!!
En fundamental skillnad mellan punkter och vektorer är att man får ‡ytta en vektor parallelt från origo O till någon annan punkt så att foten O av den givna vektorn
!
OX ‡yttas till punkten A så att riktningen bevaras. Foten av vektorn blir A och vi döper nya spetspunkten på vektorn för P . Man tolkar den nya vektorn AP! som samma vektor eftersom den bevarat sin längd och sin riktning.
Alla vektorer som har samma riktning och samma längd betraktas som samma vektor oavsett var deras fötter står på planet eller i rummet. Komponenter av vektorn AP! blir samma som tidigare. De beräknas med hjälp av liknande men lite mera komplicerad formel som vi visualiserar på följande bilder. Om endpunkten eller spetsen av en vektor AP! i R2 är P = (p; q), så beräknas komponenterna av vektorn som (p a) och (q b) och kan betecknas igen som
!
AP = p a
q b där första bokstaven A i beteckningen står för vektorns fot och andra bokstaven P står för vektorns spets.
Kolla följande bild där man gör tvärtom: ‡yttar vektorn AP! till origo och får vektorn OX!:
Längden av en vektor.
Längden av en vektor är avståndet mellan dess fotpunkt och dess spets. Den beräk-nas med hjälp av dess komponenter enligt Pythagorsatsen:
!
AP =p(p a)2+ (q b)2
Vektor addition.
Summan av två vektorer !u = a
b och !v = x
y är per de…nition en vektor som har komponenter lika med summan av komponenter av två givna vektorer.
De…nition. !u + !vdef = a b + x y = a + x b + y Den de…nitionen är oberoende av var vi ritar en vektor.
Om vi sätter vektorer i en kedje efter varandra som på bilden, så att fotpunkten av !v är spetspunkten för !u: Då blir !u + !v en vektor som har samma fotpunkt som !u och samma spets som !v i denna kedje.
Det kallas för triangelregeln.
Liknande de…nition och geometrisk bild för summan av två vektorer kan införas för vektorer i rummet R3.
De…nition.
För två vektorer!U och!V i R3 sådana att !U =
2 4 Ux Uy Uz 3 5, !V = 2 4 Vx Vy Vz 3 5, !U +!V def = 2 4 Ux Uy Uz 3 5 + 2 4 Vx Vy Vz 3 5 = 2 4 Ux+ Vx Uy+ Vy Uz+ Vz 3 5
Vi observerar även i R3 - fallet att !U +!V kan fås geometriskt om vi sätter
vektorer!U och!V i en kedje efter varandra så att fotpunkten av!V blir spetspunkten för !U ;då blir!U +!V en vektor som har samma fotpunkt som !U och samma spets som!V i denna kedje.
Om t är ett reelt tal och !v är en vektor in R2
eller R3, de…nierar vi produkten
av talet t och vektorn !v = x
y som en vektor t!v = tx
ty Det är lätt att se att
t!v = q
(tx)2 + (ty)2 =pt2(x2+ y2) = pt2p(x2+ y2) =jtjpx2+ y2 =jtj !v
Detta betyder att t!v har samma riktning som !v för positiva t och motsatta riktningen för negativa t. Längden av produkten t!v är skalade längden av !v där längden ändras jtj gånger.
3
Standarta basvektorer.
Vektorer med längden 1 parallella med koordinataxlarna x; y i R2 betecknas med!i och!j (även med vanliga bokstäver och utan pilar)
Observera att !i = 1 0 ,
!j = 0
1 :De kallas för standarta basvektorer i R2:
Vektorer med längden 1 parallella med koordinataxlarna x; y; z i R3 betecknas
med !i , !j ,!k (även med vanliga bokstäver och utan pilar). De kallas för standarta basvektorer i R3:
Observera att!i = 2 4 1 0 0 3 5 ; !j = 2 4 0 1 0 3 5 ; !k = 2 4 0 0 1 3 5 :
Vektor komposanter
Alla vektorer i R2och R3 kan representeras som linjär kombination av standarta
basvektorer !i ;!j , !k: !r = 2 4 x y z 3 5 = 2 4 x 0 0 3 5 + 2 4 0 y 0 3 5 + 2 4 0 0 z 3 5 = x!i + y!j + z!k
De…nition. En linjär kombination av en uppsättning vektorer är en summa av dessa vektorer med några skalära koe¢ cienter som är reella tal.
Man säger att vektorn !r är uppdelat i komposanter x!i , y!j , z!k: Det var slut på föreläsningen här.
Exempel 1.
Betrakta punkter A = (2; 1), B = ( 1; 3), C = (0; 1). Framställ följande vektorer som linjär kombination av standarta basen. AB, 2! AC! 3CB:!
! AB =!B !A = 1 3 2 1 = 3 2 = 3 !i + 2!j 2AC! 3CB = 2! !C !A 3 !B !C = = 2 0 1 2 1 3 1 3 0 1 = 4 4 + 3 6 = 1 2 = ! i 2!j
Fastsittande (som spikar) punkter och fria
vektorer som kan ‡yga.
! OP = 2 4 x y z 3 5 2 4 0 0 0 3 5 ! AX = OX + ( 1)! OA =! 2 4 Xx Xy Xz 3 5 2 4 Ax Ay Az 3 5 = 2 4 x y 3
4
Algebraiska regler för vektoraddition och
mul-tiplikation med reella tal.
u+ v = v + u (u + v) + w = u + (v + w)
t(u + v) = tu + tv
När vi skriver u v så menar vi att den beteckniung betyder följande: u vdef= u + ( 1)v
Dessa regler (kommutativa, associativa och distributiva) följer direkt från de…n-itioner av vektoraddition och multiplikation med en skalär (tal) för kolonnvektorer och från liknande egenskaper för reella tal.
Exempel 2, sid. 578 i A. Låt u = 2i + j 2k, och v = 3i 2j k: Beräkna u + v, u v, 3u 2v: u+ v = (2i + j 2k) + (3i 2j k) = 5i j 3k u v = (2i + j 2k) + ( 1) (3i 2j k) = (2i + j 2k) + ( 3i + 2j + k) = i+ 3j k 3u 2v = 3 (2i + j 2k) 2 (3i 2j k) = (6i + 3j 6k) + ( 6i + 4j + 2k) = 7j 4k
Exempel 3 sid. 578 Om ett ‡ygplan och vind (betrakta ett par liknande problem på övningar)
