1
Malmö högskola
Lärarutbildningen
Natur, miljö, samhälle
Examensarbete
15 högskolepoäng, avancerad nivå
Att vara matematisk
Elevers och lärares språk och begreppsanvändning inom matematiken.
To be mathematical
Students and teachers use of language and concepts in mathematics.
Sandra Hermansson
Mikael Pettersson
Lärarexamen 210hp Matematik och lärande
Datum för slutseminarium 2011-11-07
Examinator: Per-Eskil Persson Handledare: Eva Riesbeck
3
Sammanfattning
Syftet med vår undersökning är att studera elever och lärares språkliga kommunikation i en matematiksituation i grundskolan, skolår fyra. Fokus är riktat mot användningen av de vardagliga och matematiska begreppen elever och lärare använder sig av.
Grunden i vår teori är det sociokulturella perspektivet som utgår från att utveckling sker genom social kommunikation med andra människor. Det är miljön, kommunikationen och sammanhanget som är i centrum.
Metoden är av kvalitativ struktur som består av observation och intervju. Observationerna, som utfördes av två observatörer, riktar sig mot lärare och elever och intervjuerna riktar sig enbart mot eleverna. Observationerna antecknades och intervjuerna spelades in med diktafon och transkriberades. Studien utfördes vid två matematik-situationer, på två skolor. Observationerna genomfördes i elevernas naturliga miljö, klassrummet, och intervjuerna parvis i avskilt rum. Totalt observerades 12 elever och intervjuer genomfördes med 3 par elever.
Resultatet bygger på gruppernas kommunikation och begreppsanvändning, deras sätt att kommunicerar med ett vardagligt eller matematiskt språk. Resultatet visar även hur läraren kommunicera med eleverna under lektionen, vilka begrepp som används. Utifrån resultatet kommer diskussionen att beröra hur läraren borde arbeta för att skapa en kommunikativ miljö som kan leda till en förstärkning av begreppsanvändning. Diskussionen berör även hur läraren ska gå tillväga för att gynna elevernas kunskapsutveckling samt begrepps-utveckling. Vilket vi anser kan ske genom att eleverna bl.a. använder sig utav en begreppsbok och får möjlighet att kommunicera med varandra.
Nyckelord: kommunikation, matematiska begrepp, matematiskt språk, vardagliga begrepp, vardagligt språk.
5
Förord
Vi har valt att samarbeta genom hela arbetet för att få så mycket utbyte som möjligt av det vi läser och skriver. Under arbetet har vi skiftats om att skriva och granska. Utformningen av våra texter har byggts upp i dialogiskt samspel utifrån läst litteratur och erfarenhet. Vi vill framföra ett tack till de skolor, lärare och elever som tog emot oss så att vi kunde genomföra intervjuer och observationer. Vi vill även rikta ett stort tack till vår handledare Eva Riesbeck för att hon gett oss god handledning.
7
Innehållsförteckning
1 Inledning ... 9 2 Syfte ... 10 2.1 Frågeställningar ... 10 3 Litteraturgenomgång ... 11 3.1 Sociokulturellt lärande ... 11 3.2 Språk och kommunikation ... 12 3.3 Begrepp ... 143.4 Att vara matematisk ... 16
3.5 Kursplanen i matematik ... 17
3.5.1 Syfte ... 17
3.5.2 Kunskapskrav i slutet av årskurs 3 ... 17
4 Metod ... 19 4.1 Metodval ... 19 4.2 Observation ... 19 4.2.1 Klassrumsobservation ... 20 4.2.2 Observationsschema ... 20 4.2.3 Observationsmanual ... 20 4.3 Intervjuer ... 21 4.3.1 Forskningsetik ... 21 4.3.2 Elevintervju ... 21 4.3.3 Intervjufrågor ... 22 4.4 Genomförande ... 23 4.4.1 Observationer ... 23 4.4.2 Observationstillfälle 1 ... 23 4.4.3 Intervjutillfälle 1 ... 24 4.4.4 Observationstillfälle 2 ... 24 4.4.5 Intervjutillfälle 2 ... 24 4.5 Tillförlitlighet ... 25
4.5.1 Reliabilitet och validitet... 25
8 4.5.3 Intervju ... 26 5 Resultat ... 27 5.1 Situation A ... 27 5.1.1 Inledning ... 27 5.1.2 Språk och begrepp... 28 5.2 Situation B ... 34 5.2.1 Inledning ... 34 5.2.2 Språk och begrepp... 35
5.3 Vardagliga och matematiska begrepp ... 39
5.4 Resultatanalys ... 40
6 Diskussion ... 42
6.1 Resultatdiskussion ... 42
6.1.1 På vilka sätt kommunicerar elever i matematiska situationer? ... 42
6.1.2 Vilka matematiska begrepp använder lärare och elever sig utav i matematiska situationer? ... 44
6.1.3 Vilka vardagliga begrepp använder lärare och elever sig utav i matematiska situationer? ... 45
6.2 Generaliseringsbarhet ... 45
6.3 Vår framtida yrkesroll ... 46
6.4 Förslag till vidare forskning ... 46
Referenser ... 47
Bilagor ... 50 Bilaga 1: Observationsschema – Klassrumsobservation ... Bilaga 2: Intervjufrågor ... Bilaga 3: Brev till målsman ...
9
1 Inledning
Många forskare menar att elever ska använda sig av ett språk som innefattar matematiska begrepp. Vi har genom erfarenhet från verksamhetsförlagd tid (VFT) och andra klassrumsbesök upplevt att elever använder få matematiska begrepp under matematik-lektioner. I de fall där eleverna har haft möjlighet att diskutera matematik har diskussionerna oftast blivit på ett vardagligt språk där det matematiska språket uteblivit. Vi har under vår utbildning fått insikt i hur viktigt det är att använda matematiska begrepp och ett matematiskt språk i undervisningen. Genom vår rapport vill vi undersöka vilket språk elever och lärare använder sig av, med fokus på begrepp.
Att elever ska lära sig begrepp framgår av läroplanen och kunskapskraven i matematik. Skolverket (2011) säger att läraren ska organisera och genomföra undervisningen så att eleven får stöd i sin språk- och kommunikationsutveckling. Vidare säger kunskapskraven att eleven i slutet av skolår 3 ska kunna beskriva och ha goda kunskaper om grundläggande matematiska begrepp. Eleven ska visa detta genom att använda dem i välkända och bekanta sammanhang.
Genom att observera vilka begrepp eleverna använder får man en diagnos på elevernas begreppsliga förmåga. Värdet av att gemensamt använda och förstå matematiska begrepp ger också möjlighet för eleverna att förstå instruktioner i läroböcker och andra, av läraren, givna instruktioner. Eleverna kan också via de matematiska begreppen uttrycka sig på ett klart och tydligt sätt när de talar och skriver matematik. Är man som lärare inte medveten om vilken forskning det finns kring det matematiska språket finns det heller inte något som stödjer lärarens beslut kring införandet, eller uteslutandet, av begrepp.
10
2 Syfte
Syftet med vårt arbete är att studera elever och lärares språkliga kommunikation i en matematiksituation i skolan. Fokus kommer att riktas mot användningen av de vardagliga och matematiska begrepp elever och lärare använder sig av.
2.1 Frågeställningar
• På vilka sätt kommunicerar elever i matematiska situationer?
• Vilka matematiska begrepp använder lärare och elever sig utav i matematiska situationer?
• Vilka vardagliga begrepp använder lärare och elever sig utav i matematiska situationer?
11
3 Litteraturgenomgång
3.1 Sociokulturellt lärande
Lev Vygotskij(1896-1934) förespråkar det sociokulturella lärandet, där lärandet äger rum genom att människan deltar i ett sammanhang. Det är miljön, kommunikationen och sammanhanget som är i centrum. Han framhåller att barns utveckling och lärande hänger samman med vilken miljö de växer upp i. Vygotskij skiljer inte barnets utveckling och lärande åt då de är beroende av varandra, utan utveckling sker enligt Vygotskij genom social kommunikation med andra människor (Claesson, 2002). Inom sociokulturella sammanhang talas det om en lärandecirkel, där eleven kan befinna sig i periferin eller i centrum. När eleven befinner sig i periferin är det mycket som är nytt för den som ska lära sig. Så småningom blir mer och mer bekant och den lärande rör sig in mot centrum. Detta sker som en kollektiv process tänkande, talande, handlande och andra processer bildar en helhet. (Claesson, 2002)
Säljö (2010) skriver om de möjligheter som människan har för att lära. Lärande sker i alla aktiviteter som människan kan befinna sig i och kunskaper är något som ständigt återskapas och förnyas. Människan har en unik fördel att genom språket kunna dela med sig av erfarenheter och även förmågan att översätta andras beskrivningar, termer och begrepp till handling. Människans sätt att bete sig, tänka, kommunicera och uppfatta verkligheten är formade av sociala och kulturella erfarenheter.
Människan definierar vad man skall göra utifrån vilken situation man befinner sig i. Tanke, handling och kommunikation är organiserade utifrån olika sammanhang med olika regler. Att förstå kopplingen mellan individuella handlingar och sammanhang är det centrala inom ett sociokulturellt perspektiv. Att socialiseras är alltså att individen skaffar sig en insikt i var och när olika regler är möjliga att tillämpa (Säljö, 2010).
12
3.2 Språk och kommunikation
Vygotskij (2001) talar om vad som krävs för att en kommunikation ska äga rum. För att en kommunikation ska ske krävs ett system av kommunikationsmedel. Det mänskliga språket är mallen för ett sådant system. När en kommunikation sker överför man tankar och upplevelser. En kommunikation kan endast ske om den som vill berätta något kan generalisera och beteckna det som denne vill berätta och att mottagaren har vetskap om vad det är sändaren upplevt. Om mottagaren inte har passande begrepp och generaliseringar så kommer de inte att förstå det som sändaren har för avsikt att berätta.
Att samtala är människans främsta resurs för att bevara, anpassa och utveckla kunskap. Vi kan inte läsa av människors reaktioner, begreppsbildning eller omvärldsuppfattning, men vi kan ta del av det de uttrycker i handling och ord (Säljö, Riesbeck & Wyhdhamn, 2001). Författarna menar även att språket är en mekanism för att kommunicera, men det är också en bro mellan observerbara kommunikativa aktiviteter och tänkandet. Språket är länken mellan social interaktion och individers tänkande. För att en individ ska kunna föra en typ av samtal i ett specifikt sammanhang måste den perspektivera händelsen på ett sätt så att de aspekter som ska lyftas fram hamnar i fokus. Perspektivering är inte enbart något som händer i stunden, utan det är en del av vår kunskapsbildning (Säljö, et al., 2001). Att lära sig matematik kan jämföras med att lära sig ett främmande språk (Pimm, 1987). Pimm menar även att matematik uppfattas som ett språk som är skriftligt, som inkluderar främmande symboler, snarare än ord och matematik är något som blir gjort på papper, snarare än ett medel för muntlig kommunikation. Pimm (1987) anser att om man ska se matematik som ett språk blir kommunikativ kompetens en viktig faktor. Det finns en tydlig relation mellan att prata och lära. Vi förstår ofta begrepp genom att prata om dem med egna ord och att lära sig matematik beror delvis på förståelsen av matematiska terminologiord (Pimm, 1987). Fåordiga konversationer mellan elever ställer krav på att läraren kan ge ett sammanhang åt termer och begrepp för att eleverna ska få tillgång till det matematiska språket (Gunnarsson, 2008).
Löwing (2004) menar att det vardagliga språket är viktigt för att eleverna själva ska kunna resonera sig fram till en slutsats och att det matematiska språket är viktigt för att de ska kunna dela med sig av erfarenheter och tillgodogöra sig andras. Vikten av att formulera
13
sig på sitt eget språk behandlas av bl.a. Tängdén och Walder (2003) som säger att användningen av ”den precisa meningen av ord” inom matematiken gör att eleverna låser sig då de själva ska skriva matematik, de förlorar sitt vardagliga språk. De behärskar inte det precisa språket och tror inte att de kan använda sig av sitt vardagliga språk då det skiljer sig så mycket från lärobokens. Man måste lära sig att först formulera sig på sitt eget språk innan man kan anamma ett annat.
Många anser att en utav lärarens viktigaste uppgifter är att ge eleverna ett korrekt och nyanserat språk (Høines, 2000). Det är lätt att man korrigerar, tillrättalägger och ställer krav på eleverna, vilket leder till att man hämmar dem och gör dem osäkra i användningen av sitt språk. Høines rekommenderar därför att eleverna i första hand får kommunicera med det språk de redan har. Om man knyter undervisningen till en begreppsvärld är det en fara för eleven då denne kan komma att bygga upp två begreppsvärldar, en för skolan och en för fritiden.
Riesbeck (2008) menar att språket som lärare och elever använder sig av är anpassat efter aktiviteten, om den är matematisk eller vardaglig. Hon anser även att man ”växer in i” ett vardagligt språk genom försök att tala, men att man måste ”skolas in i” det matematiska språket.
Det är läraren som formar den språkliga miljön i klassrummet (Löwing, 2004). Hon skriver även att det är viktigt att läraren hjälper eleverna att tillägna sig och hantera det matematiska språket, detta genom att de tillåts att använda språket vid olika typer av kommunikation i klassrummet.
Dysthe (1996) menar att om man ska uppnå ett didaktiskt syfte i ett klassrum måste läraren vara den som ser till att det finns en grundläggande dialog i klassrummet. Läraren ska ses som en stödgivare som ger eleverna den utmaning de behöver för att få insikt om begrepp eller vad som ligger till grund för dialogen.
Malmer (1990) anser att elever som arbetar med laborativa övningar får möjlighet att dra logiska slutsatser och finna lösningar på problem. Dock så har eleverna inte alltid förmågan att med ord motivera vad de gjort eller beskriva resultatet. Det är i dessa sammanhang det är viktigt att elever får tillfälle att utöka sitt ordförråd och därmed också möjligheten att både för sig själv och för andra bevisa vad de vet och kan.
14
För att nå en meningsfull kommunikation behövs ett gemensamt språk och att man är överens om innebörden i de matematiska termer och begrepp som används i undervisningen (Malmer, 1990). Eleverna behöver de korrekta begreppen för senare studier i matematik och de kan medföra problem om innebörden är oklar (Löwing, 2004).
Språket som används under en matematiklektion är mycket speciellt, med ord och uttryck som har en annan betydelse än liknande ord i vardagssammanhang (Löwing, 2004).
3.3 Begrepp
Malmer (1990) skriver om olika stadier i utvecklingen av barnets logiska tänkande. Mellan 7-8 år och upp till 11-12 år börjar barn bygga upp fungerande matematiska begrepp, dessa bör hela tiden vara knutna till handling och konkreta erfarenheter. Nödvändigt för att kunna bilda begrepp är att kunna benämna ting och företeelser i omvärlden och genom att samtala och skriva stödjer man språkutvecklingen. När eleverna får utrycka hur de gör och berätta om sina tankar blir tankarna synliga för eleven och läraren. (Ahlström, 1996).
Malmer (2002) benämner en del ord för ”matematikord”. Hon menar att de sällan förekommer i vardagliga sammanhang utan är knutna till matematiken. Ord som addition, addera, termer, summa är det hon kallar terminologiord. Det är viktigt att eleverna får höra dessa ofta för att de så småningom ska kunna införliva dem i sitt aktiva ordförråd. Läraren behöver inte ställa kravet att eleverna själva ska använda sig utav det direkt, men det är viktigt att de får höra dem så att de själva ska kunna tillämpa dem som en del av sitt aktiva ordförråd (Malmer, 2002). Hon betonar dock att läraren gärna får vara tvåspråkig, ex. ”nu ska vi addera termerna – lägga samman talen”. Det är av betydelse att läraren själv använder sig av ord som är viktiga för matematiken. Magne (1998) menar att läraren inte kan tolerera elevernas matematikslang en längre tid. För att gynna elevernas inlärning måste de komma längre än till socialt bestämda uttryck, termer måste efterhand få en bestämd mening.
För att få förståelse för abstrakta begrepp förespråkar Rystedt & Trygg (2010) arbete med laborativ matematik. Tidsaspekten spelar en större roll och arbetet bör få pågå under
15
en längre tidsperiod. Enligt Malmer (2002) måste undervisningen ha sin utgångspunkt i elevers verklighet och anpassas efter deras förutsättningar. Detta för att elevernas nyfikenhet och lust ska stimuleras. Eleverna måste öva upp sin förmåga att undersöka, upptäcka och uppleva och i många fall upptäcker eleverna mer än de verbalt har förmågan att formulera. Malmer menar att läraren medvetet måste arbeta för att utöka elevernas ordförråd. Det kan handla om att eleverna i sin vardag gör jämförelser, t.ex. antal, storlek, längd, pris, tid etc. För vart och ett av dessa områden krävs ett antal matematiska ord för att eleverna ska kunna berätta deras jämförelser.
Löwing & Kilborn (2002) skriver att skolans matematikundervisning syftar till att ge eleverna kunskaper och färdigheter i matematik för att kunna fatta välgrundade beslut i vardagslivet. De menar att detta kan man göra med ett vardagsspråk. När man väl har ett behov av speciella termer och symboler är det viktigt att man konkretiserar deras innebörd och att man för en diskussion för att eleverna ska förstå hur man använder de olika begreppen som ett komplement till vardagsspråket.
Att tillägna sig förståelse i matematik är en ständigt pågående process där man stegvis får tillgång till fler uttrycksformer (Emanuelsson, 1995). Att förstå att man arbetar med samma begrepp i olika representationsformer är inte alltid lätt, därför är det viktigt att man är tydlig med vilket begrepp man arbetar med och dess innebörd. Många lärare är ofta beroende av ett läromedel (boken) och är rädda för att inte hinna med hela kursen, men inser man språkets betydelse för elevernas möjligheter att utveckla tankeprocesser prioriterar man oftast ett arbetssätt som främjar detta (Malmer, 2002).
Säljö (2002) menar att när matematiska begrepp och uttryck är kopplade till omvärlden krävs en referens. Man måste då kunna behärska förmågan att översätta mellan uttrycken i matematiska eller logiska termer och uttryck som är gjorda i dagligt tal. Att lära sig denna översättning kräver en kraftfull socialisering av människors sinnen, d.v.s. att föra logiska resonemang. För att föra logiska resonemang måste man lära sig göra anspråk och argumentera systematiskt inom flera diskurser. Man måste alltså lära sig att behärska flera olika diskurser som intellektuella och praktiska verktyg och tillämpa dem på det man möter. Säljö talar också om ordproblem, att barn missuppfattar uppgifter på grund av att de inte kan föra realistiska överväganden. För att lära sig översätta mellan en textvärld och den verkliga världen måste man lära sig att interagera, argumentera och diskutera.
16
Vygotskij (2001) talar om vardagsbegrepp och vetenskapliga begrepp och har studerat utvecklingen hos dessa bland barn. Enligt Vygotskij är vardagsbegrepp kopplade till barnets erfarenhet, upplevda av individen. De vetenskapliga begreppen är teoretiska och utvecklas i en lärandeprocess. Vygotskij menar att de vetenskapliga begreppen ständigt utvecklas, eleverna kan inte tillägna sig dem i ett färdigt skick. Han skriver även att den lärare som försöker gå den vägen, direkt inlärning av färdigutvecklade begrepp, uppnår ingenting annat än ett tomt inlärande av ord. Barnet tillägnar sig i dessa fall endast tomma ord och inga begrepp. Ordet är till att börja med en grundlig generalisering och i takt med barnets utveckling övergår den grundliga generaliseringen till en högre grad av generalisering. Därmed fullbordas processen att bilda vetenskapliga begrepp. Då begreppen eller ordens betydelse utvecklas krävs också att andra funktioner utvecklas, t.ex. den medvetna uppmärksamheten, det logiska minnet, abstraktionen, jämförelsen och särskiljandet.
3.4 Att vara matematisk
Att vara matematisk är att kunna visa på olika representationsformer, att ha kunskap om tecken, symboler och uttryck och att ha kunskap om olika strategier, t.ex. huvudräknings-strategier. Men att vara matematisk handlar även om att kunna reflektera över sina matematiska kunskaper (Lerman, 2010).
För att elever ska bli matematiska och lyckas i klassrummet behöver lärare utveckla arbetssätt för att se vad som sker (Lerman, 2010). Vidare skriver Lerman att lärare behöver fundera på sin tydlighet mot eleverna för att eleverna ska veta vad som ska produceras i klassrummet, regler för hur man når fram till vad som ska produceras bör göras mer explicita. Elevernas deltagande i klassrummet finns i många olika former, som bland annat, motstånd och perifert deltagande, vilka påverkar utfallet i lärandet. Lerman menar att man ska omdefiniera ”att lära sig matematik” till att ”bli matematisk i klassrummet”. Eleverna ska gå från att göra matematik till att förstå matematik. Steinbring (2005) skriver även om att skapa matematiska referenser till begrepp och uttryck för att hålla sig inom
17
matematiken. Detta istället för att använda sig utav vardagliga referenser till de matematiska begreppen.
3.5 Kursplanen i matematik
Enligt Johansson & Wirth (2007) har resultatet inom matematiken sjunkit bland svenska elever. De menar att en av anledningarna till detta är att eleverna inte tillgodogör sig kunskap om de grundläggande matematiska begreppen i den omfattning de borde göra. Nedan har vi citerat Lgr 11 som visar syftet med matematikundervisningen i skolan och vad kunskapskraven för elever som avslutat skolår 3 berör språk och begrepp inom matematiken.
3.5.1 Syfte
Kursplanens syfte säger att undervisningen ska bidra till att eleverna utvecklar kunskaper för att kunna formulera och lösa problem samt reflektera över och värdera valda strategier, metoder, modeller och resultat. Eleverna ska ges förutsättningar att utveckla kunskaper för att kunna beskriva och formulera vardagliga och matematiska situationer med hjälp utav matematikens uttrycksformer. Eleverna ska ges förutsättningar att utveckla förtrogenhet med grundläggande matematiska begrepp. Undervisningen ska bidra till utveckling av förmågan att argumentera, föra matematiska resonemang och kunna kommunicera om matematik i vardagliga och matematiska sammanhang (Skolverket, 2011).
3.5.2 Kunskapskrav i slutet av årskurs 3
18
• Eleven har grundläggande kunskaper om matematiska begrepp och visar det genom att använda dem i vanligt förekommande sammanhang på ett i huvudsak fungerande sätt.
• Eleven kan beskriva begreppens egenskaper med hjälp av symboler och konkret material eller bilder. Eleven kan även ge exempel på hur några begrepp relaterar till varandra.
• Eleven kan beskriva och samtala om tillvägagångssätt på ett i huvudsak fungerande sätt och använder då konkret material, bilder, symboler och andra matematiska uttrycksformer med viss anpassning till sammanhanget.
• Eleven kan föra och följa matematiska resonemang om val av metoder och räknesätt samt om resultats rimlighet.
19
4 Metod
4.1 Metodval
Vår forskning är en kvalitativ forskning. Bryman (2011) menar att den mest uppenbara skillnaden mellan kvalitativ och kvantitativ forskning är just att den kvalitativa forskningen är mer inriktad på ord än siffror, forskaren använder sig av ord vid presentationen av data. Genom den kvalitativa forskningen skapar man sig en djupare förståelse genom insamling av olika typer av data.
Vi har valt att använda oss av två olika metoder, observation och intervju. Metoderna definieras av Bryman (2011) som teknik av insamling av data.
4.2 Observation
När vi utför vår observation väljer vi att följa Brymans (2011) exempel
observatör-som-deltagare. Observatörerna är kända för gruppen, men deltar inte aktivt. Med den här
metoden kommer man in i klassrummet och eleverna får agera i sin naturliga miljö. Det finns en risk att observatören som deltagare inte förstår individerna på ett tillräckligt bra sätt då man inte interagerar med dem och att forskaren då kan dra felaktiga slutsatser (Bryman, 2011).
Vid observationstillfället använder vi oss av en teknik som kallas strukturerad observation. Strukturerad observation innebär att forskaren använder sig av uttalade och fasta regler (Bryamn, 2011). För att observationerna ska bli meningsfulla och möjliga att analysera måste man ha gjort ett förhandsarbete som mynnat ut i frågeställningar som styr
20
vad som skall observeras (Johansson & Svedner, 2006). De fasta reglerna och frågeställningarna kommer ofta till uttryck i det som kallas ett observationsschema (Bryman, 2011). Våra frågeställningar behandlar vi under rubriken klassrumsobservation.
4.2.1 Klassrumsobservation
Vi har valt att sammanställa den information som krävs av ett observationsschema och en observationsmanual till ett dokument. Dokumentet, som vi kallar vi Observationsschema – Klassrumsobservation, se bilaga 1, innehåller information om observationen som t.ex. observatörernas namn, plats för observation, placering i klassrummet. Dokumentet innehåller även information om vad som ska observeras som t.ex. antal personer i klassrummet, elevernas placering, vilka begrepp elever använder under lektionen.
4.2.2 Observationsschema
Vad som var av vikt att observera och registrera bestämdes i förväg genom att konstruera ett observationsschema. Bryman (2011) skriver att ett observationsschema specificerar vad och vem det är som ska observeras. Problem som kan uppstå vid användning av observationsscheman är att observatören inte har konstruerat ett schema som är tydligt nog och därmed kräver tolkning.
4.2.3 Observationsmanual
Johansson och Svedner (2006) talar om observationsmanual. I en observationsmanual finns noggranna anvisningar om hur observationen ska gå till, exempelvis observatörens namn, placering i klassrummet etc.
21
4.3 Intervjuer
4.3.1 Forskningsetik
Om inte deltagarna är myndiga så skall målsman informeras (Johansson & Svedner, 2006). Innan vårt besök skickade vi ut ett dokument som berörda lärare vidarebefordra till målsmän, se bilaga 3, där vi kortfattat beskriver vårt syfte med observationen och intervjuerna. Föräldrarna kan då neka att deras barn deltar i undersökningen.
Innan intervjuerna, som spelades in med diktafon, informerade vi eleverna om deras anonymitet, d.v.s. elevernas namn nämndes inte under pågående intervju (Vetenskapsrådet, 2011). Eleverna informeras också om att de när som helst kan avbryta sin medverkan utan negativa följder (Johansson & Svedner, 2006).
4.3.2 Elevintervju
Vi har valt att använda oss av kvalitativ intervju i stället för kvantitativ intervju. Skillnaden mellan kvalitativ och kvantitativ intervju är att vid kvalitativ intervju är det önskvärt att intervjun rör sig i olika riktningar och forskaren får veta vad intervjupersonen anser är relevant, medan kvantitativ intervju ser detta som en störning (Bryman, 2011). Johansson och Svedner (2006) menar att man bör vara observant så att inte den kvalitativa intervjun glider över i en strukturerad intervju eller t.o.m. blir en muntligt genomförd enkät. Då vi vill undersöka elevernas förståelse för de matematiska begreppen väljer vi att använda oss av kvalitativ intervju eftersom endast frågeområdet är bestämt och frågorna kan variera från intervju till intervju (Johansson & Svedner, 2006). Detta till skillnad från strukturerad intervju som enligt Bryman (2011) medför att exakt samma frågor tilldelas samtliga respondenter.
22
4.3.3 Intervjufrågor
Bryman (2011) talar om två huvudsakliga typer av kvalitativa intervjuer vilka är semistrukturerad och ostrukturerad intervju. Eftersom vi ville uppnå en matematisk diskussion valde vi att anpassa intervjufrågorna efter eleverna och deras svar. Vår intervjuform blev därför en blandning mellan semistrukturerad och ostrukturerad intervju. De två intervjuformerna beskrivs enligt Bryman (2011) enligt följande. Semistrukturerad intervju följer en intervjuguide men intervjupersonen har stor frihet att utforma svar på sitt eget sätt. Ostrukturerad intervju kan innehålla endast en fråga där den intervjuade får svara fritt; intervjuaren reagerar bara på de punkter som verkar vara värda en uppföljningsfråga.
Som grund inför intervjutillfället utgår vi från en intervjuguide där vi valt ut några grundfrågor utifrån den observerade lektionen. I intervjuguiden finns frågor som exempel-vis att eleverna ska berätta vad lektionen handlade om, berätta hur de löste en av upp-gifterna de arbetade med, vad de tänker på när vi nämner några begrepp.
Vi vill uppnå att eleverna diskuterar det de tycker är relevant inom frågeställningen vilket kan leda till nya ingångar för frågor kring begrepp och förståelse. Frågor som inte ingår i intervjuguiden kan också ställas, om intervjuaren anknyter till något som intervjupersonen sagt (Bryman, 2011)
23
4.4 Genomförande
4.4.1 Observationer
Innan observationen kontaktade vi två lärare, på två olika skolor, för att ställa frågan om de ville ta emot två studenter för lektionsobservation och intervju med elever. Vårt önskemål var att närvara vid en matematiklektion med elever i skolår fyra. När vi fått klartecken bestämde vi tid för observation.
4.4.2 Observationstillfälle 1
Vi valde att göra vår undersökning i klassrums miljö, vilken var den miljö eleverna var mest förtrogna med. Vi inledde med en kort presentation av oss som lärarstudenter. Vi berättade för eleverna att vi var där för att se hur en matematiklektion kan gå till. Efter vår presentation tog läraren vid. För att undvika vidare fokus på oss som nya i klassrummet valde vi att placera oss längst ner i klassrummet.
Vid vårt första observationstillfälle var eleverna indelade i grupper. Eftersom genusperspektivet inte är relevant för vår forskningsfråga kunde vi välja slumpmässig placering för observation. Den observerade lektionen var i halvklass och det föll sig naturligt att sätta sig på en stol vid en skolbänk i närheten av de elever som ska observeras. Vi valde att observera två par gemensamt för att sedan kunna jämföra vad vi observerat. Vid lektionens slut avlägsnade vi oss från rummet och gick ut för att analysera lektionen. Observationerna registrerades med papper och penna.
24
4.4.3 Intervjutillfälle 1
Utifrån vår analys av den observerade lektionen byggde vi upp grunderna för intervjufrågor till de par som vi tidigare observerat. Vi intervjuade paren separat från varandra och intervjun spelades in på diktafon. Under intervjun utgick vi från intervjuguiden, bilaga 2. Vår parintervju inleddes med en presentation om varför vi intervjuade eleverna och att det, med deras godkännande, spelades in på en diktafon.
4.4.4 Observationstillfälle 2
Vårt andra observationstillfälle var i ett klassrum där eleverna skulle arbeta i grupper om tre. Vi valde att göra vår undersökning i klassrumsmiljö, vilken var den miljö eleverna var mest förtrogna med. Vi inledde med en kort presentation av oss som lärarstudenter. Vi berättade för eleverna att vi var där för att se hur en matematiklektion kan gå till. Efter vår presentation tog läraren vid. För att undvika vidare fokus på oss som nya i klassrummet valde vi att placera oss längst ner i klassrummet.
När elevgrupperna hämtat sina arbetsblad som delades ut av läraren påbörjade eleverna sitt arbete. På grund av den höga samtalsvolymen var vi tvungna att placera oss så nära eleverna som möjligt. För att detta skulle ske så naturligt som möjligt valde vi att observera en grupp var. När lektionen var slut avlägsnade vi oss från rummet och gick ut för att analysera lektionen. Observationen registrerades med papper och penna.
4.4.5 Intervjutillfälle 2
Utifrån vår analys av den observerade lektionen byggde vi upp grunderna för intervjufrågor till de grupper som vi tidigare observerat. Vi intervjuade två elever och intervjun spelades in på diktafon. Under intervjun utgick vi från intervjuguiden, bilaga 2. Vår parintervju inleddes med en presentation om varför vi intervjuade eleverna och att intervjun spelades
25
in, med elevernas godkännande, på en diktafon. Vid intervjutillfälle 2 fanns det enbart tid till att intervjua ett par elever då de andra eleverna inte kunde stå till vårt förfogande på grund av lektion.
4.5 Tillförlitlighet
4.5.1 Reliabilitet och validitet.
Validitet handlar om hur man observerar, identifierar eller mäter det man säger sig vilja mäta. Validitet gällande kvalitativ forskning kan vara ett problem gällande begränsande urval. Reliabilitet handlar om hur man kan återskapa en kvalitativ observation och dess sociala miljö. Inom kvalitativ forskning talar man om att återskapa en social miljö. Om undersökningen ska återupprepas bör forskaren gå in i en liknade roll som tidigare forskare för att kunna jämföra med den ursprungliga undersökningen (Bryman, 2011). Våra observationer är möjliga att återupprepa om materialet för lektionerna återanvänds.
4.5.2 Observationer
Vi valde att registrera observationerna genom att anteckna det vi såg och hörde. Vi beaktade även alternativet att utföra en ljudupptagning, vilket hade varit att föredra framför anteckningar, men alternativet uteslöts på grund av den belastning transkribering av materialet hade tagit. En stor påverkan till detta beslut är den korta tidsram examensarbetet har till förfogande. Vid ett av observationstillfällena var det många elever i klassrummet och ljudnivån var påtagligt hög vilket kan påverka både oss som observatörer och elevernas uppfattning om pågående dialog. Vid detta tillfälle valde vi att observera var sin grupp. Valet grundades på att den höga ljudnivån hade medfört att vi varit tvungna att sitta för nära eleverna vilket vi ansåg hade skapat en obekväm situation för eleverna. Nackdelen vid
26
denna observation är att vi som observatörer inte fick möjlighet att observera en och samma grupp, vilket skulle stärka trovärdigheten i vårt resultat.
4.5.3 Intervju
Intervjuerna utfördes i enskilt rum med elever i par. Intervjuerna spelades in via diktafon och transkriberades.
Vi valde att använda oss av så öppna frågor som möjligt, vilket ger elever möjlighet till att själva utveckla sina tankar, vilket kan leda oss till att eleven har möjlighet att utveckla sina svar. Dock bör beaktas att barn ofta försöker lista ut vad intervjuaren är ute efter (Doverborg & Samulesson, 2000) vilket vi anser kan hämma elevens egentliga potential till att utrycka sig. Elevernas svar kan också påverkas av att vi som intervjuare inte byggt upp förtrogenhetskapital med eleverna, vilket kan medföra att eleverna inte vågar utrycka sig fullt ut.
27
5 Resultat
Resultat redovisas i två delar, situation A samt situation B. Båda situationerna innehåller resultatet av våra observationer och intervjuer samt en beskrivning av lektionen och klassrumsmiljön. Vi avslutar resultatet med att redogöra för de observerade vardagliga och matematiska begreppen.
5.1 Situation A
5.1.1 Inledning
Klassen består utav 25 elever som vid observationstillfället är uppdelade i halvklass, varav vi observerade en grupp vid respektive lektionstillfälle. Vid lektionen närvarade eleverna, en lärare och vi två som observatörer. Vi placerade oss i bakre delen av klassrummet när lektionen startade. När eleverna påbörjade sitt arbete placerade vi oss i närheten av den slumpmässigt utvalda gruppen som skulle observeras. Grupp 1 och grupp 2 som observerades var två grupper med vardera tre elever, se gruppmedlemmarnas placering nedan. Eleverna hade under matematiklektionen tilldelats inplastade kort med matematiska uttryck, för övrigt fick de inte tilldelat sig några artefakter.
Grupp 2 - Placering B C A Bord Grupp 1 - Placering A B C Bord
28
Läraren inleder med att berätta för eleverna att de ska få ett antal kort med matematiska utryck. Elevernas uppgift är att räkna ut summan för de olika uttrycken. Vidare berättar läraren för eleverna att det är addition och subtraktion som finns som uttryck på korten. Läraren fortsätter sin instruktion med att säga till eleverna att lägga korten i rätt ordning, det lägsta talet först och det högsta talet sist. Vidare ska eleverna under arbetet fundera på vilka uttryck som är svåra och lätta att räkna ut. Läraren berättar sedan vilka elever som ska arbeta tillsammans, en del i grupper om tre, några i par och en del elever får arbeta ensamma. Efter gruppindelning av läraren sätter sig eleverna ner vid bänkarna på vald plats.
Läraren delar ut korten till eleverna. De studerar de inplastade korten som de blivit tilldelade av läraren. Eleverna får nu arbeta med uppgiften och läraren cirkulerar i klassrummet.
Efter ca 25 minuter är eleverna färdiga med aktiviteten och läraren väljer att samla gruppen för en gemensam genomgång. Läraren börjar med att fråga vilket kort som ska ligga först, vad det är för uttryck och vad svaret blir. Läraren skriver uttrycken på tavlan efterhand som eleverna räcker upp handen för att berätta i vilken ordningsföljd uttrycken kommer. När den gemensamma genomgången är färdig ger läraren några tips på hur man kan tänka vid huvudräkning. Vi kommer nu att visa vilket språk och vika begrepp lärare och elever använder sig av vid situation A.
5.1.2 Språk och begrepp
Det vi vill visa med kommunikationen i grupp 1 är elevernas språk och deras användning av begrepp.
Grupp 1
Gruppen har blivit tilldelade kort med matematiska uttryck och de diskuterar summan av talen. Det finns, bland annat, på bordet två uttryck som vardera har summan 100.
Elev A: båda är hundra. Elev C: Ja, lägg dem här.
29
Efter en stund börjar eleverna i grupp 1 forma sin ordningsföljd. Elev C: Detta talet blir minst,109 (kort 103-6).
Elev C: Sen kommer 111 (kort 103-8). Elev C: Sen kommer 127(kort 115-12).
Elev C: Och en till som blir lika mycket, 127 (kort 110-17).
Elev C går nu och hämtar ett papper, som finns i en låda till höger om elev B. Elev C lämnar pappret till elev A som börjar notera samtliga summor uppifrån och ner på sitt papper. Det sker sedan en ny genomgång av talens summor i stigande ordning. När de är färdiga kommer läraren och tittar på elevernas ordningsföljd. Läraren pekar på ett av uttrycken och eleverna upptäcker att de har använt sig av addition istället för subtraktion. De räknar sedan igenom uttryckskorten en gång till.
Läraren: Vad står det där? Elev B: Minus.
Läraren: Vad blir det?
Elev A och C: Oj, okej, det är fel.
Elev B som har uttrycken som ska ändras närmst sig tar korten och lämnar till elev C som placerar in dem på nya platser. Läraren lämnar sedan gruppen.
Eleverna i grupp 1 använder sig enbart av ett vardagligt språk. Det förekommer bland annat kommunikation som exempelvis ”detta talet blir minst” , ”en till som blir lika mycket” där eleverna syftar på differensen av kortens utryck. Begrepp som används ett flertal gånger är ”blir” i stället för ”är lika med”. Kommunikationen sker till största delen av två elever. Vidare visas ytterligare en grupp elever, grupp 2, och deras kommunikation.
Grupp 2
Det vi vill visa med nedanstående dialog är elevernas kommunikation av begrepp som förekommer då de diskuterar uppgiften som behandlar olika matematiska uttryck. Uttrycken har eleverna tilldelats av läraren.
Elev A: Du tar hälften, så tar jag andra hälften.
Elev A delar upp korten mellan sig själv och elev B. Grupp 2 delar upp korten mellan sig och eleverna räknar var för sig. Eleverna börjar nu under tystnad fundera på sina uttryck. Efter en stunds tystnad börjar eleverna diskuterar hur de ska placera sina kort.
30
Elev B: Ja, vi ska lägga dem minst till högre.
Eleverna säger sedan summan på sina kort och lägger dem i rätt ordningsföljd. Elev B håller ett kort i sin hand som i ordningsföljden är näst lägst.
Elev B: Den här är ganska lägst. Vi kan lägga den mellan de här korten.
Eleverna har nu upptäckt att det finns fler än ett kort med samma summa. Elev A har framför sig på bordet två av dessa kort.
Elev A: De här korten är samma sak.
Gruppen består utav tre elever varav endast två elever kommunicerar. Gruppen använder sig av vardagliga begrepp. De begrepp som eleverna använder är bland annat hälften, minst och lägst. I vissa fall förekommer det att eleverna sätter ord framför begreppen som exempelvis ganska lägst.
Läraren avbröt aktiviteten och samlade klassen för en gemensam genomgång. Eleverna fick räcka upp handen och läraren valde vilken elev som fick svara. Lärarens frågor handlade om uttryckens summa och dess placering i talföljden. Läraren skrev upp uttrycken i ordningsföljd.
Elev A: 110-17 kommer först.
Läraren: Vad fick du för svar på den? Elev A: 93.
Läraren: Vad kommer efter 110-17? Elev B: 89+11 och det blir 100.
När eleverna och läraren hade gått igenom alla uttrycken frågade läraren om det fanns något uttryck som var svårt respektive lätt att räkna ut.
Elev D: Jag tyckte att alla var lika lätta.
Övriga elever är nu tysta. Lärarens fråga om lätta respektive svåra uppgifter resulterade i att några elever räcker upp handen och berättar vilket uttrycket är som de upplevde som lätt respektive svårt. Diskussionen avtar efter några handuppräckningar.
Läraren fortsatte sedan med att tala om hur man kan tänka vid huvudräkning. Läraren pekar på några av uttrycken på tavlan och har en muntlig genomgång. Eleverna sitter tysta och lyssnar. Följande uttryck och repliker är lärarens genomgång av huvudräknings-strategier.
31
• 110-17
Läraren: Man plockar bort tio och då är vi nere på 100. Sedan plockar man bort sju och då
blir det 93.
• 87+13
Läraren: Man flyttar över tre så det blir 90, sen blir det 100.
• 115-12
Läraren: 15-12 är tre. Sedan har man 100 och det är 103.
• 99+9
Läraren: Det är ett upp till hundran. 9-1 är åtta, det blir 108.
Läraren fortsätter sedan att berätta för eleverna vad de ska tänka på vid huvudräkning och gör en muntlig lista för dem.
• Tänk på 10-kamrater • Räkna bara entalen • Räkna bara tiotalen
• Två femmor i slutet blir alltid noll.
Läraren talar större delen av tiden och använder sig av vardagliga begrepp som exempelvis hundran, plocka bort, flytta över. Det förekommer få matematiska begrepp, exempelvis tiotal och ental. Eleverna svarar på frågor, ställda av läraren, som behandlar uttryckens summa, differens och dess placering på tallinjen . Eleverna utrycker ett fåtal vardagliga begrepp som exempelvis ”blir”, där eleven syftar på summan.
För att ytterligare belysa elevernas språk valde vi att genomföra intervjuer i par. Vid intervjutillfälle A närvarade fyra elever. Det vi vill visa med intervjuerna är elevernas matematiska resonemang och användning av begrepp.
Vi valde att intervjua paren i ett enskilt rum utanför klassrummet där intervjuerna kunde genomföras utan påverkan av omgivningen.
32
Intervjupar 1
Vi hade som första uppgift ritat en tallinje, på en whiteboard, där vi började med talet 109 och avslutade med talet 115. Vi valde att utelämna talen 110, 112, 113 och 115. När eleverna såg informationen på tavlan kunde de snabbt se vilka tal som var utelämnade och berättade sedan om en tidigare uppgift de fått utav sin lärare.
Elev A: Vi gjorde detta i förra veckan, vi fick en tallinje med talen 1-10. Det saknades
några tal och vi skulle fylla i dem. Det som läraren hade fyllt i var 0, 5 och 10.
Observatör: Var hade läraren placerat femman?
Elev A: Den var i mitten. Det är ju hälften av tallinjen och hälften av 10 är 5.
Ytterligare en uppgift eleverna fick utav oss var att berätta vad siffran fem och siffran ett betyder i talet 15. Vi skrev upp talet på tavlan och ringade in respektive siffra efterhand som eleverna pratade om den.
Elev B: Siffran fem är fem och ett är ett. Elev A: Ja, det är ju en etta och en femma.
Observatör: Om ni tänker på hur mycket ettan är värd i talet. Är det fortfarande ett då? Elev A: Ja, det står ju en etta.
Då vi inte ville styra eleverna till att söka efter det ”rätta” svaret valde vi att lämna uppgiften. Vi gjorde detta utan att kommentera elevernas svar för att de inte skulle känna att deras resonemang var fel. Vi skrev till eleverna följande uppgift(…=110) och bad eleverna att berätta vad som kan stå framför likhetstecknet. Eleverna visade olika förslag. Elev A: Det kan vara 100+10.
Elev B: Det kan vara 90+20.
Elev A: Vi kan använda minus också, typ 120-10.
Eleverna använder sig mestadels av vardagliga begrepp så som minus och hälften, men även utav matematiska begrepp som t.ex. siffra och tallinje. Eleverna för ett matematiskt resonemang med användning av de vardagliga begreppen. Exempel på detta är när eleverna förklarar varför siffran fem är placerad i mitten av tallinjen 0-10, ” Det är ju hälften av
tallinjen och hälften av 10 är 5.”
Vid situation A intervjuade vi ytterligare ett par med liknande matematikuppgifter som vid intervju 1, även här för att belysa deras språk och matematiska resonemang.
33
Vi hade som första uppgift ritat en tallinje, på en whiteboard, där vi började med talet 109 och avslutade med talet 115. Vi valde att utelämna talen 110, 112, 113 och 115.
Observatör: Vad står det på tavlan?
Elev D: 109, streck, 111, streck, 114, streck, 116. Observatör: Varför har vi skrivit streck?
Elev C: Där ska man skriva till tal som fattas.
Observatör: Vad skulle man kunna skriva på strecken? Elev C: Mellan 111 och 109 ska där vara 110.
Elev D: Mellan 111 och 114 är där två streck, den som är närmst 111 är 112 och den som
är närmst 114 är 113.
Elev C: Den ska vara 115.
Observatör: Varför ska det vara 115?
Elev C: Den är mellan fyra och sex, det är fem emellan och sen lägger man till två ettor. Observatör: Vet ni vad man kalla detta?
Elev D: En tallinje.
Ytterligare en uppgift eleverna fick utav oss var att berätta vad siffran fem respektive vad siffran ett betyder i talet 15. Vi skrev upp talet på tavlan och ringade in respektive siffra efterhand som eleverna pratade om den.
Elev C: Femman är fem och ettan är tio, den står på tiotalsplatsen.
Efter elevernas svar på frågorna gick vi vidare till nästa uppgift. Vi skrev uttrycket 110-17 på tavlan och bad eleverna räkna ut differensen och berätta för oss hur de hade tänkt.
Eleverna fick även som uppgift att räkna ut talet 110-17. Elev C: 10-7. Nej, ta bort tiorna och sen 100-7 och det blir 93.
Elev D: Om man tar bort 100 och lägger till det sist, så tar man 10-7=3 och sen tar man
bort hundratalen så blir det 90. Så har man en trea kvar, så lägger man den bredvid nian så blir det 93.
Eleverna i intervju 2 använder sig av de matematiska begreppen tallinje och tiotal . De använde sig även utav vardagliga begrepp, ta bort och lägga till. Under intervjun påvisades svårigheter med att föra matematiska resonemang med vardagliga begrepp. Exempel på detta är beskrivningen kring placeringen av talet 115 på tallinjen ”den är mellan fyra och sex, det är fem emellan och sen lägger man till två ettor.” Vad eleverna även visar är att de
34
använder sig utav liknande vardagliga begrepp som läraren tidigare använt sig av. Eleverna använder vardagliga begreppet ”ta bort” då läraren under observationen använde sig av ”plocka bort” då de subtraherar.
5.2 Situation B
5.2.1 Inledning
Vid observationen närvarade 24 elever vid matematiklektionen. I klassrummet befann sig även en lärare och vi två som observatörer. Vi presenterade oss kort för eleverna och placerade oss sedan i bakre delen av klassrummet vid lektionens introduktion. Eleverna arbetade i grupper om tre och gruppens placering skedde vid valfri plats. Vi som observatörer valde att observera vars en grupp och placerade oss så nära gruppen som möjligt utan att det skulle kännas onaturligt för eleverna. Eleverna i grupperna kallas för elev A, elev B och elev C, se gruppmedlemmarnas placering nedan. Eleverna hade under matematiklektionen tilldelats papper, penna och matematikböcker.
Lektionen inleds med att läraren berättar att de ska fortsätta arbeta med familjen som reser till Kolmården. Familjen som reser till Kolmården är ett kapitel i matematikboken med textuppgifter. Lärarens syfte med lektionen var att eleverna skulle lära sig att samarbeta och
Grupp 1 - Placering C B A Bord Grupp 2 - Placering A B C Bord
35
kunna sätta ord på sina egna tankar. De skulle även lära sig att förstå andras förklaringar och kunna ta hjälp av sina klasskamrater. Eleverna ska arbeta i grupper om tre och de går igenom vad man ska tänka på när man gör grupparbete. Läraren betonar att det är viktigt att alla läser uppgifterna och att man förklarar och hjälper varandra om det är någon som inte förstår. Eleverna går sedan fram till läraren och hämtar de papper de använde vid föregående lektion. Varje elev har ett anteckningspapper som lämnas till läraren efter avslutad lektion. När papperna är utdelade sätter sig eleverna ner vid bänkar i sina redan bestämda grupper. Klassen har efter en kort introduktion 30 minuter till sitt grupparbete. Läraren cirkulerar i klassrummet och går till de elever som räcker upp handen. Det är hög ljudvolym i klassrummet då det är 24 elever som ska samtala om olika matematik uppgifter. Efter 30 minuters arbete är lektionen slut och den avslutas med att läraren samlar in elevernas arbetsblad igen. Vi kommer nu att visa vilket språk och vilka begrepp lärare och elever använder sig av vid situation B.
5.2.2 Språk och begrepp
Vi vill visa med kommunikationen i elevgrupp 1 och elevgrupp 2 på vilka sätt eleverna kommunicerar och med vilka vardagliga och matematiska begrepp eleverna använder sig utav.
Grupp 1
Eleverna har satt sig ner på vald plats, öppnat sina matematikböcker och gruppen har under tystnad läst den aktuella uppgiften. Eleverna börjar sedan diskutera uppgiften.
Elev A: Är det minus eller plus? Elev B: Plus så klart.
Elev C: Ja, minus. Elev A: Är det plus? Elev C: Minus.
Elev B: Jag är redan klar. Elev C: Hur blir det två? Elev A: Fyra minus två. Elev B: A, har du facebook?
36
Elev A: Ja, har inte du det?
Elev B är den som tar kommandot och räknar ut uppgiften. När elev B har räknat ut uppgiften påbörjar eleven en diskussion om facebook som avviker från den aktuella uppgiften.
Vidare visas nästa uppgift som samma elevgrupp gemensamt ska räkna ut. Elev A läser uppgiften högt.
Elev C repeterar uppgiften högt. Elev A: Vi tar plus nu.
Elev C tittar på uppgift 163 och säger där hade vi plus. Elev A: Ska vi göra så här eller?
Elev C skriver av elev B och börjar fäktas med linjalen. Elev B till elev C: Skriv nu svaret.
Elev A: Nu tar vi nästa tal.
Då en utav uppgifterna handlar om kilo och gram ställer en utav eleverna en fråga. Elev B: Vad betyder g?
Elev A: Gram, vet du inte vad det är? Det är sådana minisar. Du vet nog inte vad kilo och
sådant är än.
Det förekommer diskussioner kring uppgifterna om eleverna ska använda sig utav addition eller subtraktion, elevernas egna ord plus och minus. Detta är exempel på deras användning utav vardagliga begrepp som genomsyrar hela kommunikationen. Ytterligare vardagliga begrepp som förekommer är minisar. Eleverna använder sig även utav ett fåtal matematiska begrepp så som gram och kilo. Elevgrupp 1 räknar under tystnad tills de är färdiga med uppgiften. När de är färdiga med första uppgiften diskuterar de saker som ej har med matematik att göra. Vid ett tillfälle talar eleverna om facebook och vid ett annat tillfälle fäktas de med linjalerna.
Då vi vid situation B observerade en grupp vardera visas nedan elevgrupp 2. De arbetade med samma uppgifter som elevgrupp 1, alltså textuppgifter ur en matematikbok.
Även vid observationen av elevgrupp 2 vill vi visa på vilket sätt eleverna kommunicerar och vilka begrepp de använder sig av. Läraren är även en del av dialogen då eleverna räcker upp handen för att påkalla uppmärksamheten. Läraren kommer till gruppen och startar en konversation med en utav eleverna i gruppen.
37
Grupp 2
Elev C läser en uppgift ur boken. Elev B: Man räknar minus där.
Elev C: Jag kan. Kan man…nu förstår jag. Elev C: Ska vi ställa upp det?
Elev C skriver av elev A och B´s uträkningar. 2750+750. Elev C skriver: Jonas vägde 3450g när han föddes.
Elev B: Det är fel.
Elev A: Du kan ju inte bara säga att det är fel. Elev B: Jo.
Elev A: Sällan.
Elev A: Nu tar vi nästa tal.
En av eleverna i grupp 2 räcker upp handen vid nästa uppgift och påkallar lärarens uppmärksamhet.
Läraren: Vad ville du fråga? Elev A: Jag kan inte förklara. Läraren: Jag får se.
Elev A visar sin uträkning för Läraren. Läraren: Ja, du har gjort rätt.
Eleverna visar vid observationen att de har svårt att förklara för varandra vad de gjort och hur de tänker. Detta genom att en av eleverna får höra att denne har gjort fel på en uppgift och reagerar genom att säga ”Du kan ju inte bara säga att det är fel”. Eleven som sa att det var fel svarar då ”Jo”, och de väljer att gå vidare till nästa uppgift. Eleverna använder genomgående ett vardagligt språk med ett begrepp som är minus. Eleverna visar även att de har svårt att uttrycka sina tankar då läraren kommer till gruppen och undrar vad eleverna vill ha hjälp med. De kunde då inte uttrycka sig och svarar ”Jag kan inte förklara”.
Vi valde att även genomföra en intervju för att visa hur elever kommunicerar med varandra i ett matematikklassrum samt belysa deras användning av begrepp.
Vid intervjun på skola B närvarade två elever. De hade precis haft en lektion där de skulle arbeta i grupper.
38
Elev A: Vi skulle samarbeta och prata om talet vi jobbade med. Det är svårt att arbeta i
grupp när alla inte är med eller när de andra skriver av svaret.
Elev B: Ja, det är svårt när alla inte får samma svar, men det är lätt om alla får samma
svar.
Observatör: Kan man tala matematik? Elev B: Nej det kan man inte.
Elev A: Ja, t.ex. när man förklarar lite och kanske sätter upp…för att hjälpa. T.ex. turas
om att läsa och hjälpa varandra att förstå.
Eleverna hade tidigare under dagen varit oense om ett svar på en av uppgifterna vilket elev A tog upp då de svarade på frågan om hur man kan tala matematik.
Observatör: Hur gjorde du när du förklarade för din klasskamrat?
Elev A: Hon skrev fel svar. Så sa jag, det kan knappast bli det om man tänker efter. Sen
kallade vi på läraren för att det var svårt att förklara hur jag tänkte.
Elev B: Det är svårt att förklara hur man tänker, det är lättare att visa sina uträkningar. Eleverna skulle sedan räkna ut en uppgift som handlade om en elefant som var 38 år gammal. Om elefanten skulle leva i 27 år till skulle den bli lika gammal som elefanter brukar bli. Frågan var: Hur gamla brukar elefanter bli?
Observatör: Hur kan man räkna ut den här uppgiften? Elev A: Ställa upp.
Elev A: Ska det vara plus?
Observatör: Varför ska det vara plus där? Elev B: Annars kan man inte räkna ut det.
Elev A: Om det är minus kan man inte räkna ut det. Observatör: Varför skulle det vara plus?
Elev A: Annars blir det mindre och det ska han inte bli, han ska bli äldre.
Eleverna fick en ny uppgift som de skulle räkna ut där de sedan visade och berättade hur de hade tänkt. Den metod de använde var uppställning. Uppgiften var 28+47.
Elev B: Åtta plus sju blir femton och jag kan inte skriva femton där nere. Jag måste sätta
entalssiffran där(eleven pekar) och tiotalssiffran där uppe(eleven pekar).
Observatör: Vad betyder ettan du har placerat där ovanför tvåan? Elev B: Det är en minnessiffra, den betyder tio.
39
Eleverna fick sedan frågan om man kunde dela upp talet 38.
Elev A: Ja, man kan dela upp alla tal som slutar med en jämn siffra. Observatör: Kan man dela upp talet fem?
Elev A: Nej, det måste vara jämnt.
Eleverna fick uppgiften 3+…=5. De visste då att svaret skulle vara två. De hade även fem prickar på ett papper framför sig där de skulle ringa in prickar så att de bildade två grupper. Elev B: Det går fortfarande inte, tre och två är inte lika. I så fall måste man lägga till en
prick så att det bli sex, då kan man ha tre i varje ring.
Eleverna anser att tala matematik är att läsa uppgifter ur en matematikbok högt för sina klasskamrater eller hjälpa till då någon inte förstår uppgifterna. Eleverna visar att de har svårt för att förklara för klasskamrater hur de har tänkt vid uträkningar och att de då ber om lärarens hjälp. Eleverna säger att det är lättare att visa vad man har skrivit i sitt räknehäfte än att berätta vad man har gjort och hur man har tänkt. Eleverna använder sig både utav vardagliga begrepp och matematiska begrepp. Exempel på vardagliga begrepp är plus och minus medans de matematiska begreppen kunde vara tiotal, siffra eller tal.
5.3 Vardagliga och matematiska begrepp
Nedan, bild 1, visas vilka vardagliga begrepp och matematiska begrepp eleverna och lärarna använde sig utav vid våra observationer och intervjuer. Vi har valt att kategorisera utifrån vår tidigare definiering av vardagliga begrepp och matematiska begrepp. De matematiska begreppen är enligt Malmer (2002) begrepp som sällan förekommer i vardagliga sammanhang utan är knutna till matematiken. Exempel på dessa är addition, addera eller termer. De vardagliga begreppen är de som enligt Vygotskij (2001) är upplevda av barnen själva, tagna från deras erfarenheter. Begreppen med rubriken ”Oriktiga begrepp” är, enligt Vygotskij (2001), vardagliga begrepp som används på ett oriktigt sätt. Vi har valt att sammanställa lärarnas och elevernas begreppsanvändning, från de båda situationerna, i samma bild. Detta för att få en tydlig överblick över vilka begrepp som förekom i klassrummet.
40
5.4 Resultatanalys
Av bild 1 framgår att vardagliga begrepp är det som lärare och elever använder sig av i matematiska situationer. Det förekommer även matematiska begrepp, men inte i samma utsträckning som de vardagliga begreppen. Eleverna som deltar i undersökningen är 10 år gamla. Kunskapskraven i matematik (Skolverket, 2011) säger att elever ska ha grundläggande kunskaper om matematiska begrepp, och kunna använda dem i vanligt förekommande sammanhang. Enligt Malmer (1990) börjar barn bygga upp fungerande matematiska begrepp från 7 års ålder och upp till 12 år. Undersökningen visade att eleverna och läraren inte har utvecklat ett matematiskt språk med matematiska begrepp. Både elever och lärare i situation A och B använder sig av ett vardagligt språk i två vardagliga
41
situationer. Riesbeck (2008) menar att språket som lärare och elever använder sig av är anpassat efter aktiviteten, om den är matematisk eller vardaglig.
Löwing och Kilborn (2002) skriver att skolans matematikundervisning syftar till att ge eleverna kunskaper och färdigheter i matematik för att kunna fatta välgrundade beslut i vardagslivet. De menar att detta kan man göra med ett vardagsspråk. Eleverna kunde i vissa fall föra ett matematiskt resonemang med hjälp utav de vardagliga begreppen, i andra situationer förekom matematiska begrepp men utan ett matematiskt resonemang. Dialogerna var fåordiga och utan kommunikation synliggörs inte begreppen. För att nå en meningsfull kommunikation behövs ett gemensamt språk och att man är överens om innebörden i de matematiska termer och begrepp som används i undervisningen (Löwing, 2004). Enligt Vygotskij (2001) pågår det en ständig utveckling av de vetenskapliga begreppen. Han menar att de vetenskapliga begreppen inte går att tillägna sig i ett färdigt skick och om man som lärare väljer att gå direkt till färdiga begrepp leder det till ett tomt inlärande av ord. Ordet är till att börja med en grundlig generalisering och i takt med barnets utveckling övergår den grundliga generaliseringen till en högre grad av generalisering. Därmed fullbordas processen att bilda vetenskapliga begrepp.
42
6 Diskussion
6.1 Resultatdiskussion
6.1.1 På vilka sätt kommunicerar elever i matematiska situationer?
Elevernas sätt att kommunicera i matematiska situationer var mestadels ett vardagligt språk. Vygotskij (2001) talar om att när en kommunikation sker så överför man tankar och upplevelser. Förutsättningarna för att en kommunikation ska ske är att man måste kunna generalisera och beteckna det som sändaren vill berätta och att mottagaren har vetskap om vad det är sändaren upplevt. Det förekom inte mycket kommunikation i de grupper som arbetade med att lägga uttryckskort i talföljd. Läraren informerade om att eleverna ska lägga korten i rätt ordning och fundera på vilka uttryck som tycktes vara svåra. Upplägget på aktiviteten medförde att det blev väldigt lite kommunikation mellan eleverna i de olika grupperna. Riesbeck (2008) menar att språket som lärare och elever använder sig av är anpassat efter aktiviteten, om den är matematisk eller vardaglig. Aktiviteten som förekom gav inte eleverna den möjlighet till kommunikation som vi anser kunnat vara möjlig. Vi anser även att de situationer vi observerat endast var vardagliga och om skolan ska kunna utveckla elevernas matematiska språk måste man se till att lektionernas innehåll är matematiskt. Stor del av den forskning vi tagit upp tidigare i arbetet säger att eleverna måste få förståelse för matematiska begrepp genom att läraren refererar till omvärlden. Steinberg (2005) menar dock att för att eleverna ska kunna utveckla ett matematiskt språk måste läraren använda matematiska referenser till de matematiska begreppen. Det kanske är så att matematiken vi har idag inte är matematik? Kan det vara så att skolan fokuserar för mycket på att relatera till elevernas vardag att man glömmer bort att fördjupa och leda kommunikationen till en matematisk nivå? Vidare säger kunskapskraven att eleverna ska ha
43
grundläggande kunskaper om matematiska begrepp, de ska ge exempel på hur begreppen relaterar till varandra, beskriva, samtala och föra matematiska resonemang. Det här är kunskapskraven för skolår 3, vi kan inte se detta idag. För att eleverna i svensk skola ska lyckas med matematiken i framtiden måste vi låta matematik vara matematik. Utan en matematiklektion med ett matematiskt innehåll utvecklas inte ett matematiskt språk, eleverna kommer alltså inte att kunna beskriva, samtala och föra matematiska resonemang mer än på en begränsad nivå.
Dysthe (1996) menar att läraren är den som ska se till så att det finns en grundläggande dialog i klassrummet. Uppgiften eleverna fick var, enligt oss, i behov av tydligare regler. Säljö (2010) menar att Tanke, handling och kommunikation är organiserade utifrån olika sammanhang med olika regler. Vår uppfattning är att läraren borde komplettera instruktionen för lektionen med mer regler eller instruktioner. För att undvika att någon elev uteblir från kommunikationen kan läraren låta medlemmarna i respektive grupp få olika ansvarsområden. Ett förslag är att eleverna ges möjlighet att berätta för varandra hur de tänker när de räknar ut uttrycken, vilket kan resultera i en skriftlig redovisning på papper. Denna åtgärd kanske leder till att eleverna tvingas in en språklig interaktion. För att lyfta övningen ytterligare kan redovisning i tvärgrupper vara en lösning för att utveckla kommunikationen och låta eleverna arbeta med det matematiska språket. Lektioner ska, enligt kursplanen i matematik, organisera och genomföra undervisningen så att eleven får stöd in sin språk- och kommunikationsutveckling (Skolverket, 2011).
För att skolan ska skapa producerande elever, som är aktiva och kan kommunicera i matematiska situationer, anser vi att det krävs en förändring av skolans schemaläggning. Dagens, oftast förekommande, lektionspass på 40 minuter sätter käppar i hjulet för att skapa en produktiv och kommunikativ matematiksituation. En lärare måste finna tid till att introducera aktiviteter där tydliga regler finns och att en stor del i planeringen borde, enligt oss, bli att planera så att eleverna får möjlighet att reflektera. Vidare borde alla elever få möjlighet till god tid för att producera diskutera och reflektera.
Att alla elever inte tar för sig i kommunikationen kan också bero på att eleverna befinner sig i det som Claesson (2002) kallar periferin i en lärandecirkel, vilket innebär att eleverna inte tar plats i diskussioner eftersom de håller på att ta del av, och bearbeta, en kollektiv process som bildar en helhet med bland annat tänkande, talande och handlande.
