ÖREBRO UNIVERSITET
Institutionen för humaniora, utbildning och samhällsvetenskap
Huvudområde: pedagogik
____________________________________________________________________________
Fristående eller inkluderad
En innehållslig textanalys av hur matematikens historia framställs i
gymnasiets läroböcker i matematik
Joakim Svensson
Pedagogik med didaktisk inriktning III
Uppsats, avancerad nivå, 15 högskolepoäng
Vårterminen 2014
Sammanfattning
Studien syftar till att undersöka hur matematikens historia används i tre av de läroböcker i matematik mot gymnasiet, som används idag och vad som därigenom blir möjligt att lära för eleverna. Tidigare forskning har visat att användning av matematikens historia i
matematikundervisningen kan ge många positiva effekter på elevers lärande (Fried 2001, Fauvel 1991, Jankvist 2009). För att uppfylla studiens syfte har en innehållslig textanalys med
hermeneutisk ansats använts. Detta innebär att de analyserade textavsnitten har analyserats i sitt sammanhang istället för att analysera enskilda ord eller meningar. Texterna har analyserats på ett djupare plan för att synliggöra både det som uttalas direkt i och det som inte sägs direkt i texten men som ändå är uttolkningsbart genom sättet det framställs. Materialet har bestått av tre av deläroböckerna som används i dagens gymnasieskolor: Matematik 5000, M-serien och Exponent. Resultatet visar två framställningsformer. Den ena innebär att framställa
matematikens historia helt fristående från den moderna matematiken medan den andra innebär att matematikhistorien integreras och blir en användbar del i den moderna matematiken. Då matematikens historia framställs som fristående finns en större risk den väljs bort eller endast används som extrauppgifter för de elever som redan räknat den planerade delen av kapitlet. Att göra dessa till fristående sänder ut signaler om att de inte är lika viktiga som det övriga
matematiska innehållet. Trots detta finns en potential i det historiska materialet som inte setts i tidigare läroböcker och många av de positiva effekter som en implementering av matematisk historia kan ge är möjliga om materialet utnyttjas till fullo.
Nyckelord: Matematik historia, textanalys, läroboksanalys, fristående framställning, integrerad
Innehållsförteckning
Inledning ... 1
Syfte ... 2
Disposition ... 2
Tidigare forskning om matematikens historias i matematikundervisningen ... 4
Argument om Varför historia kan användas i matematikundervisningen... 4
Hur matematikens historia kan integreras i matematikundervisningen ... 6
Problematisering av historia i matematikundervisningen ... 8
Metod ... 10
Textanalys med en hermeneutisk ansats ... 11
Urval ... 12
Analysprocessen ... 12
Användningen av matematikens historia i matematikläroböcker... 15
Kvantitativa skillnader mellan läroböckerna ... 16
Fristående historiska inslag i läroböckerna ... 17
Separering av historia och matematik ... 17
Uppgifter med historiska metoder utan historisk referens ... 19
Integrerade historiska inslag i läroböckerna ... 20
Resultatsammanfattning ... 23 Diskussion ... 24 Metoddiskussion ... 24 Resultatdiskussion ... 25 Slutsatser ... 29 Vidare forskning ... 29 Referenser ... 30 Bilaga 1: Tabell över historiskt innehåll i läroböckerna.
Inledning
Matematiken i skolan kan upplevas som svår för många elever. De har ofta svårt att känna motivation att lära sig de abstrakta tankesätt som krävs för att behärska den matematik vi möter i dagens läroböcker. En problematik uppstår då i hur lärare ska kunna hitta metoder för att nå ut till eleverna så att de blir mer engagerade och kanske till och med intresserade av matematik. I den senaste läroplanen (Lgy 11) inleds matematikavsnittet såhär:
Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att utforska matematiken som sådan. Kommunikation med hjälp av matematikens språk är likartad över hela världen (Lgy 11, s 90).
Det här säger mycket om hur matematikundervisning antagligen skulle kunna fungera, men egentligen inte så mycket om hur den fungerar i skolan. Alla som har deltagit i
matematikundervisning under sin uppväxt kan förmodligen skriva under på att den matematiken som används där inte alltid inbjuder till nyfiket utforskande. Knappast heller att man använder den för att man faktiskt har ett behov av den. Med det sagt så synliggörs ändå något väldigt viktigt i det inledande citatet och det kan vara viktigt att utforska hur vi kan uppnå just detta. Kan matematikundervisningen bedrivas på ett sådant sätt att den skapar ett utforskande förhållningssätt med grund i människans, eller i det här fallet elevernas, nyfikenhet och vidare, kan den flertusenåriga matematiska historien bidra till att uppfylla just de här kraven?
Som blivande matematiklärare frågar jag mig ofta hur jag kan göra matematiken intressant och rolig för alla, inte bara de som av någon anledning tycker om att lösa abstrakta problem i läroböcker helt utan anknytning i den praktiska verklighet vi lever i. De som tillhör den senare kategorin kan säkert ha svårt att se varför det skulle behövas något annat än traditionell ”räkna i boken-undervisning”. Men verkligheten är den att alla elever inte fångas på samma sätt av matematikens utmaningar och det finns många olika idéer för att komma åt dessa elever. Det här är en fråga matematiklärare i skolan ständigt möts av och också arbetar för att lösa, samtidigt är det lätt att fortsätta använda den traditionella bokundervisningen i den allt mer tidspressade lärarvardagen.
Matematikens historia ses ofta förbi i matematikundervisningen eller används möjligtvis som ett slags kuriosa med anekdoter om gamla matematiker. Men det finns de som har sett
matematikens historia som en väg till att engagera fler elever. Genom att införa historia på olika sätt i matematikundervisningen har forskare visat att det finns möjligheter att elever får mer variation, kan se matematik på ett nytt sätt och kan ta sig runt sina svårigheter med nya metoder (Fauvel 1991).
Problem uppstår när varken lärare eller läroböcker är anpassade för en sådan undervisning. Många lärarutbildningar erbjuder inte kurser i matematikens historia, utan de nyexaminerade lärarna måste själva söka den här informationen om de vill implementera det i undervisningen. I skolans läroböcker ges, enligt Jonas Hansson (2006), traditionellt inte heller något utrymme för matematisk historia utan det begränsas till faktarutor om kända matematiker i samband med deras formler.
Med ett annat användande av matematikhistorien i läroböckerna är det möjligt att fördelarna med sådan matematik skulle kunna utnyttjas utan att lärare behöver frångå läroböcker och skapa eget material, något som kan vara mycket tidskrävande. Istället skulle lärare och elever få något att utgå ifrån för att skapa en mer engagerande matematikundervisning. Därför kommer jag i den här uppsatsen intressera mig av hur dagens läroböcker mot gymnasiet ser ut. Hur framställer de matematikhistorien och vilka möjligheter ger det?
Syfte
Syftet med uppsatsen är att undersöka hur matematikens historia används i tre av de läroböcker i matematik mot gymnasiet, som används idag. Mitt fokus kommer ligga på framställningarna av matematikens historia och vad dessa ger för möjligheter till lärande för eleverna. Det har lett mig till följande frågor:
På vilka sätt framställs matematikens historia i läroböckerna i matematik?
Vilken betydelse ges framställningen av matematikens historia i relation till det övriga innehållet i läroböckerna?
Vad erbjuds eleverna för lärande genom de framställningar som görs?
Disposition
Uppsatsens kommer delas upp i tre tydliga delar. Först kommer en teoretisk del som tar upp tidigare forskning inom området och den metod som har använts i studien. I tidigare forskning behandlas vanliga teman inom ämnet, som varför, hur och problematisering av
matematikhistoria i matematikundervisningen. I metodkapitlet redogörs för vad hermeneutik och textanalys innebär och hur de använts i studien. Den andra delen är en resultatdel där det
redovisas vad som framkommit av läroboksanalysen och hur jag har valt att dela in det jag insamlade materialet. Slutligen följer en diskussionsdel där resultatet ställs i relation till den tidigare forskningen och övrig teori som använts i uppsatsen. Till diskussionen hör också möjliga slutsatser och vidare forskning.
Tidigare forskning om matematikens
historias i matematikundervisningen
Området matematikens historia i matematikundervisningen är fortfarande relativt outforskat. I min sökning började jag därför relativt brett då jag sökte efter ”history of mathematics” via den omfattande söktjänsten Summon på Örebro universitets hemsida. Den sökningen visade sig ge allt för många och oprecisa träffar då resultatet visade nästan 200 000 artiklar. Därefter gjorde jag allt mer specifika sökningar och även sökningar på svenska. De sökningar som slutligen gav de bästa träffarna var ”matematikens historia i skolan” som gav 197 träffar och ”history of mathematics pedagogy” med begränsningarna: endast fulltext, artiklar från vetenskapligt granskade publikationer och ”interdisciplinary studies” som gav 256 träffar. Jag hittade mestadels vetenskapliga artiklar men också någon avhandling bland det engelskspråkiga materialet. Det var också dominerande engelskspråkig litteratur jag fann, ur den svenskspråkiga sökningen fann jag ett fåtal användbara vetenskapliga artiklar. Jag använde mig också av DiVA i min sökning efter tidigare avhandlingar och uppsatser. Min sökning var ”matematikens historia” och den gav 17 sökresultat. Mycket av forskningen är nygjord eller relativt nygjord, majoriteten är publicerade på 2000-talet. Allt svenskt material är dock publicerat innan den senaste skolreformen som kom i och med Lgr 11.Utöver sökningarna på Summon och DiVA, hade jag tillgång till ett större material om matematikens historia genom en tidigare kurs i ämnet. Det materialet bestod bland annat av artiklar från den matematiska tidskriften nämnaren.
Jag har valt att strukturera litteraturgenomgången efter tre teman som jag har uppfattat som de huvudsakliga områdena i forskningen kring matematikens historia i skolan. Dessa tre teman rör frågorna: varför man ska använda historia i matematikundervisningen, hur man kan använda historia i matematikundervisningen och vilka problem det kan finnas med att implementera matematikens historia i undervisningen. I min redovisning ingår också exempel från didaktiska studier som gjorts med stöd av den tidigare forskning som redovisats.
Argument om Varför historia kan användas i
matematikundervisningen
Ett av de mest utforskade områdena inom den här forskningsgrenen är hur en grund kan skapas för historians plats i matematikundervisningen eller åtminstone att undersöka på vilket sätt det kan vara positivt att genomföra undervisning med någon slags historisk anknytning. Den här forskningen utgår till mångt och mycket från en artikel av John Fauvels (1991). Den refereras
sedan kraftigt, men blir också kritiserad för sin brist på analys och eventuella svårigheter som ett historiskt innehåll i matematiken kan innebära (Jankvist 2009, Fried 2001). Det här försöker Uffe Jankvist (2009) och Michael N. Fried (2001) åtgärda i sina egna artiklar, som därför erbjuder en mer djupgående analys av hur och varför den matematiska historien skulle kunna införas som en del i matematikundervisningen.
Ett av argumenten är att historien gör matematiken mänsklig. Genom att ge historiska förebilder och genom att knyta matematiken till personer, deras kultur och samhälle erbjuds eleverna en mer personlig upplevelse av matematiken (Fried 2001, Jankvist 2009). Jankvist (2009) menar också att om eleverna ges möjlighet att upptäcka att även professionella matematiker i alla tider har gjort misstag och att de har fastnat ibland, så kan det skapa motivation och visa på en mänskligare sida av matematiken.
I forskningen tas också upp att matematiken kan bli mer intressant och lättförståelig genom att historien inkluderas. Bland andra Fried (2001) och Mikael Holmquist (1993) tar upp att den extra variation det innebär att föra in historiska moment kan göra att ämnet blir mer intressant för eleverna. Fried (2001) påstår att matematiken blir mer lättförståelig genom att eleverna kan se dess utveckling och att matematiken därmed får en tydligare roll i samhället.
Ett annat sätt att öka elevers intresse och motivation är enligt Bengt Ulin (2002) att kombinera matematikens historia och problemlösningsdelen i matematikundervisningen. Därigenom kan läraren både spara tid och öka elevernas motivation genom att den historiska anknytningen ger problemen mer mening. Han ser också en fördel i att eleverna får en bättre idéhistorisk
uppfattning genom att exempel från olika kulturer används. Det här får också stöd från annat håll då både Jankvist (2009) och Fried (2001) nämner att inblicken i den historiska matematiken kan hjälpa elever med problemlösning genom att de får ett större förråd av räknemetoder som kan användas då de möter nya situationer.
Forskningen har också visat att matematiken har sedimenterats genom tiden. Det innebär att ursprungliga metoder har teoretiserats för att göra dem så korta och kraftfulla som möjligt (Fried 2001). Över tid slutar man sedan att referera till de ursprungliga modellerna och de senare, korta och mer abstrakta metoderna blir de som lärs ut. I samband med att eleverna studerar
matematikhistoria kan de därför få möjlighet att upptäcka ursprunget till dagens metoder och på så sätt lättare förstå dem (ibid.).
Ett annat argument som kan identifieras i forskningen säger att eleverna genom att lära sig om historien får syn på bakomliggande strukturer i sitt eget lärande. Både Fried (2001) och Fauvel (1991) diskuterar den genetiska metoden som går ut på att den historiskt matematiska
utvecklingen följer samma utveckling som den personliga utvecklingen då en människa lär sig matematik. Som exempel på det beskriver Elna Svege (2002) hur man vid algebrans uppkomst som ett första steg använde sig av retorisk algebra, där man använde meningar och ord för att räkna algebraiskt. En fråga kan då formuleras ”vad är sidan på en kvadrat med arean 4” (eget
exempel). Algebran genomgick sedan ett antal mellansteg för att slutligen landa i den abstrakta algebran vi använder idag (Svege 2002), där samma exempel kan skrivas ”𝑥2= 4”. Dessa steg sägs vara precis samma som ett barn går igenom då de lär sig att räkna algebraiskt (Svege 2002). Om undervisningen läggs upp enligt den genetiska metoden är därför tanken, enligt Fried (2001) och Fauvel (1991), att elever ska få en mer naturlig progression och kunna lära sig lättare, men även att de ska kunna se kopplingen mellan den historiska utvecklingen och sitt eget lärande och därigenom få insikter om sitt eget lärande då de möter matematikhistorien (Fried 2001).
Förutom forskning som visar på betydelsen av att använda matematikens historia i
undervisningen så finns det forskare som har visat betydelsen av att läraren själv är kunnig i matematikens historia. Reidar Mosvold, Arne Jakobsen och Uffe Jankvist (2013) har undersökt detta i sin artikel ”How Mathematical Knowledge for Teaching May Profit from the Study of History of Mathematics”. I artikeln argumenterar de för att en lärare genom att ha historisk kunskap i sin repertoar bland annat kan förstå elevers problem lättare, då de vet de problem som uppstått i uppkomsten av begreppen och kan använda nya verktyg för att förklara en matematisk idé på flera sätt (Mosvold, Jakobsen & Jankvist 2013). Albrecht Heeffer (2011) argumenterar för samma sak då han påstår att om en lärare känner till de problem som uppstod i samband med de negativa talens uppkomst så kan de lättare förstå elevers problem och hur undervisningen ska läggas upp för att komma runt problemen.
Hur matematikens historia kan integreras i
matematikundervisningen
Den mest omfattande mängden av den tidigare forskningen faller in under temat hur läraren ska implementera matematikundervisningen för att den ska få den önskade effekten. Även studier som undersöker hur det fungerar i praktiken med historia i matematikundervisningen hamnar under den här rubriken.
Fried (2001) identifierar två huvudsakliga metoder för att implementera historia i
matematikundervisningen. Den första kallas additionsmetoden och innebär att man adderar historiskt materiel till ordinarie undervisning. Det här kan till exempel innebära att läraren berättar om en historisk person eller en anekdot som anknyter till det ämnesområde som klassen arbetar med eller att man avsätter hela lektioner med endast historiskt innehåll. Den additiva undervisningsmodellen ses i forskningen enligt Fried (ibid.) främst som ett sätt att uppnå de läroplansmål som behandlar matematisk historia utan att behöva göra några större ändringar i sitt lektionsupplägg, en implementering som är sprungen ur ett slags tvång och inte en vilja att inkludera matematikhistorien i undervisningen.
Den andra metoden innebär att man anpassar den existerande undervisningen. Istället för de metoder som används för att lära ut ett ämne idag så används historiska metoder för att uppnå
samma lärande (Fried 2001). Där historien snarare är ett mål i sig med additionsmetoden blir historien här ett verktyg för att lära sig de redan givna matematiska målen. Just de två
implementeringsalternativen matematikens historia som verktyg eller som mål diskuterar Uffe Jankvist och Tinne Hoff Kjeldsen (2011) i en artikel där de också utforskar begreppen och konstaterar genom empiriska studier att historia som verktyg bäst används som ett
kompetensutvecklande redskap, inte som ett verktyg att skapa motivation eller öka den kognitiva förmågan.
Många studier har gjorts där anpassningsmetoden används, däribland Marie Kubínová och Naďa Stehlíková (2005) som lärde ut grunderna i egyptisk matematik för att sedan låta eleverna själva lösa ett problem. Genom de diskussioner som uppstod eleverna emellan utvecklade eleverna en förståelse för hur man förlänger och förkortar bråk bland mycket annat. Lärarna använde dessutom ett konstruktivistiskt arbetssätt som bygger på att det inte sätts ut några exakta mål i förväg, utan elevernas lärande är helt beroende på vad de gör för att lösa problemet (ibid.). Deras sätt att undervisa bygger på att ”[n]y kunskap byggs upp när eleven behöver den” (Kubínová & Stehlíková 2005, s 47), inte när någon säger åt dem att de behöver den.
Ett annat exempel på hur anpassningsmetoden används är vid användandet av Primära källor, det vill säga användandet av historiskt ursprungsmaterial i undervisningen. Jag har funnit två exempel på studier av ett sådant tillvägagångssätt. Janet Heine Barnett, Jerry Lodder och David Pengelley (2013) har 25 års erfarenhet av användandet av primära källor och de använder tillvägagångssättet för att presentera två fallstudier som demonstrerar både styrkorna och utmaningarna med den här metoden. Osama Taani (2013) utgår från ett verk av Jamshid al-Kashi som skrevs på 1400-talet och använder det för att lära ut matematik idag, bland annat genom att använda originaltexterna.
Även den tidigare nämnda genetiska metoden faller inom ramarna för anpassning och är möjligtvis den mest extrema anpassningen eftersom den kräver att hela kursen omstruktureras. Svege går i Algebraens historie (2002) igenom de olika stadier som algebran har genomgått, från retorisk algebra till dagens abstrakta algebra. Hon visar sedan på att samma mönster
förekommer hos barn vilket innebär att algebra skulle passa utmärkt för den här metoden (Svege 2002).
Den här metoden har även testats i praktiken av Torbjörn Jansson som i sin artikel ”En
matematisk resa genom historien” (2006) beskriver sitt arbete med att utföra en gymnasiekurs i matematik A och B i kronologisk ordning. Han använder grupparbeten, räkneuppgifter och diagnoser för varje avsnitt och tar sig steg för steg framåt mot nutiden (Jansson 2006). Det visade sig att resultaten i matematik blev något bättre, men det fanns även de elever som väldigt starkt längtade tillbaka till det mer klassiska upplägget, med genomgångar och räkning i boken (ibid.). Varför de längtade tillbaka redogörs ej för, men det finns en allmän uppfattning bland matematiklärare att eleverna är så vana vid räkning i boken att de känner sig osäkra något nytt introduceras.
Problematisering av historia i matematikundervisningen
Flera av artiklarna som jag har funnit i min litteraturgenomgång berör tidsaspekten iundervisningen. Bland andra Fried (2001) beskriver hur lärare ofta ifrågasätter inkluderingen av historia med argumentet att de inte har tid att lägga till ytterligare material i den redan pressade planen. Jag har tidigare nämnt Ulins artikel (2002) där han förklarar fördelen med att kombinera problemlösning och historiskt material genom att det tar mindre tid än att göra båda för sig eller åtminstone lika lite tid som endast problemlösning om läraren inte använt matematikhistoria alls tidigare. Fried (2001) konstaterar mer generellt att tid endast blir ett problem om
additionsmetoden används. Med anpassning så ersätter man alltid något annat och därför blir tidsåtgången inte markant större. Här handlar det istället om tiden som måste läggas i förväg för att göra en ny planering utifrån matematikhistorien. Fauvel (1991) medger att det kan bli mer arbete inledningsvis då en lärare ställer om från det ena till det andra men att när man har byggt upp en väl fungerade undervisning och ett material som kan återanvändas betalar det av sig. Fauvel (ibid.) tar också upp problemet med låga kunskaper om matematikens historia hos läraren. Enligt Fauvel (ibid.) bidrar lärarens bristande kunskaper till att hen inte vågar använda matematikhistorien eller avstår för att det innebär för mycket jobb att införskaffa kunskapen. Det här kan knytas till det tidigare avsnittet om betydelsen av att läraren har historiska kunskaper.
En annan problematik handlar om matematikhistorien i sig själv. Det är en kritik riktad mot huvudsakligen den genetiska metoden. Kritiken, som kommer från Jankvist (2009), består i att den historiska utvecklingen inte är så linjär som det skulle krävas för en sådan arbetsmetod. Vid olika tillfällen i historien har matematiken nått återvändsgränder, stiltje och till och med
tillbakagång och att då försöka göra en rak linje av det riskerar enligt Jankvist att förvirra eleverna.
Ytterligare en problematik med att implementera historia i matematikundervisningen är en rent materiell fråga. Enligt både Fauvel (1991) och Fried (2001) saknas helt enkelt material för djupgående undervisning i matematikens historia och därför blir tröskeln väldigt hög för lärare som vill undervisa på det här sättet.
Det har också visat sig att de studier som gjorts av klasser där matematikens historia
implementerats i undervisningen har haft svårt att finna tydlig utveckling resultatmässigt bland eleverna, även om många upplever en förbättring så är studierna oftast för små för att det ska vara statistiskt säkerställt (Jansson 2006).
Enligt Jankvist och Kjeldsen (2011) är forskningsområdet kring matematikens historia i skolan väldigt outforskat och de försöker därför skapa en grund för ytterligare forskning inom området genom att visa på vilka nya spår som kan utforskas. Utifrån min litteratursökning har jag funnit
att området kring matematikens historia i läroböcker, som är en liten underkategori till detta redan outforskade område, är så gott som icke existerande. Den forskning jag har funnit är en examensuppsats som undersöker hur matematikens historia har lyfts fram i olika läroböcker från 70-talet och framåt (Hansson 2006). Den koncentrerar sig endast på formaspekten av det
historiska innehållet och ger därför ingen inblick i vad den framställning som används innebär för mottagaren eller om relationen mellan det matematiska och det historiska har betydelse för vilken vikt det historiska innehållet får. Det är också värt att notera att studien visar på att det historiska innehållet har ökat över åren men att även de senare materialen i läroböckerna endast innehåller kortare texter och faktarutor (ibid.).
Metod
I analysen av läroböckerna kommer jag använda mig av en textanalys. Textanalyser omfattar en rad olika metoder där text analyseras på något sätt, men som Per-Gunnar Svensson och Bengt Starrin (1996) skriver så finns det två huvudsakliga kategorier av textanalys. Den ena är formell
textanalys som inriktar sig på textens struktur och inkluderar analys av grammatik och textens
semantiska natur. Den andra, som jag kommer att använda mig av, är den innehållsliga
textanalysen som handlar om att göra en mer överskådlig analys av en hel text, där man
undersöker vad författaren har velat lyfta fram (ibid.).
I en formell textanalys kan man visserligen gå på djupet och se hur de ordval som görs ger en viss mening till texten och därmed också analysera vad författarna kan ha velat lyfta fram men samtidigt kan det bli något lösryckt att se på ord eller delar av meningar för sig. I den
innehållsliga analysen studerar man istället texten mer övergripande på ett sätt som även inbegriper det sammanhang där texten presenteras.
Det här kommer innebära att jag gör en kvalitativ studie där jag försöker finna tankarna bakom texten genom mina egna tolkningar och den kontext texten kan ha skrivits i. Jag kommer också undersöka formen, det vill säga hur texten framställs rent formmässigt. Det kan bland annat handla om var i boken det skrivs om historia och hur stor textmassa varje historiskt inslag utgör. Att göra en kvantitativ studie av användningen av matematikens historia i läroböckerna hade givit en annan intressant insikt i hur det historiska innehållet representeras i rena siffror. Då jag framförallt intresserar mig för hur historian används så är en endast kvantitativ studie utesluten. Med det sagt kommer det kvantitativa ändå vara en del i analysarbetet då jag i min
genomsökning av litteraturen kommer markera alla tillfällen historia nämns, något jag kan använda för att göra jämförelse mellan olika förekomster av avsnitt som rör matematikens historia i olika böcker.
I alla texter som skrivs görs val av författaren. Författaren måste välja vad som ska vara med och vad som lämnas utanför. Det här menar Leif Östman (1995) gäller särskilt för de
styrdokument som styr vad det undervisas om i skolan. Vad som står i styrdokumenten blir indirekt styrande för utformningen av läroböcker. Genom vad som tas med och utelämnas ger författaren olika möjligheter till lärande och därigenom begränsas, medvetet eller omedvetet, vad eleverna kan lära sig i skolan. Östman (ibid.) har i sin avhandling utgått från
No-utbildningen på åttiotalet och har undersökt vad de då gällande läromedlen säger om människans förhållande till miljön och vad detta ger för implikationer.
På samma sätt visar Tomas Englund (2005) att läroplanen konstrueras i en ständig politisk kamp eftersom att vad som skrivs i läroplaner så kraftig begränsar vad som lärs ut i skolorna.
Textanalys med en hermeneutisk ansats
Som en del av den innehållsliga analysen kommer jag använda mig av en hermeneutisk ansats för att analysera innehållet. Enligt Ulf Brinkkjær och Marianne Højen (2013) betyder ordet hermeneutik att tolka, förklara, översätta. Det är också i stort vad den hermeneutiska forskningen går ut på. Istället för att som fenomenologin beskriva ett fenomen så används hermeneutiken till att tolka texter, händelser eller berättelser. För att göra dessa tolkningar är det viktigt att se till den omgivning där något händer eller skapas (Patton 2002). Forskaren måste se till den aktuella omgivningen både historiskt och kulturellt. En fördel med hermeneutiken är att den kan nå djupare än en beskrivning. Visserligen är risken att forskarens egen subjektivitet påverkar resultaten större än vid en ren beskrivning och därför måste också en forskare som använder tolkning ständigt vara medveten om sig själv och denna möjliga påverkan.
En innehållslig textanalys kan bland annat innebära att utföra något som kallas för funktionell idéanalys, en sådan innebär att man vill ha svar på frågor som: Vad står skrivet? och Vad är budskapet? (Svensson & Starrin 1996). Det här kommer jag använda mig av i analysen för att tolka vad författarna har försökt uppnå med inkluderandet av olika historiska inslag i
matematikläroböckerna. Den hermeneutiska ansatsen kommer användas i uppsatsen på samma sätt som den används i analys av intervjuer. Hermeneutik används i det här fallet för att tolka det som Svensson och Starrin (1996) kallar en texts extra-lingvistiska mening. Med det syftar de på en djupare mening som ligger utanför den konkreta meningen av texten. Genom att använda den här metoden är det möjligt att ge en tolkning av vad författaren vill framställa som viktigt genom hur det framställs och i vilket sammanhang texten skrivs i. I motsats till dessa
djupgående analyser så finns inom textanalysen också något som kallas deskriptiv metod, som används för att göra en beskrivande analys av texten, till exempel att beskriva den form av historisk text som förekommer i en lärobok (Ejvegård 2009). Den här metoden används vid mer allmänna frågeställningar och lämpar sig för översiktliga verk (ibid.). Eftersom att en lärobok är ett översiktligt verk över ett ämne, i det här fallet matematik, så kommer jag utnyttja den här sortens metod för att analysera formen.
Även om jag huvudsakligen kommer ägna min studie åt kvalitativ analys så kommer en kvantitativ del in då jag registrerar varje förekomst av historiskt innehåll, detta kan jag sedan använda för att visa på skillnader mellan de olika kurserna och läroböckerna.
Den stora fördelen med en textanalys är enligt Alan Bryman (2011) tillgängligheten. De
dokument forskaren har samlat in för analys finns alltid tillgängliga och hen kan alltid återgå till dem vid ett senare skede. Samtidigt är tillgängligheten av stora textmängder också en stor nackdel med metoden då det kan vara svårt att urskilja vad som är relevant för studien och vad som bara innebär extra arbete. Precis som vid användandet av andra kvalitativa metoder så krävs det också en avsevärt skicklig forskare för att göra ”rätt” tolkningar (Bryman 2011).
Urval
I min studie har jag valt att utgå från gymnasiets läroböcker i matematik. Det här valet har jag gjort utifrån att jag utbildar mig mot gymnasiet och den begränsade tid som funnits för arbetet. Vid en större studie hade en jämförelse mellan läroböcker för olika åldrar varit intressant, men i det här fallet har jag valt att begränsa omfattningen för att istället få en djupare analys av resultatet.
För att hitta förlag som ger ut läroböcker i matematik användes en lista från Nationellt centrum för matematikutbildning (NCM 2006/2014), där de listar svenska förlag som säljer
matematikläroböcker och kringmaterial. I listan fann jag fyra förlag som ger ut grundmaterial till alla kurser i gymnasiet. Dessa är Gleerups, Liber, Natur och Kultur och Sanoma utbildning. Jag valde ut tre av dessa på grund av den begränsade tid som fanns för analysarbetet. Jag hade ingen förkunskap om skillnaderna i böckerna och kunde därför inte göra ett informerat urval med mål att få ett så brett sådant som möjligt. Istället valdes Sanoma utbildnings läroböcker bort på grund av att deras läroböcker var mindre tillgängliga för mig än de övriga.
De tre läroboksserier jag har analyserat är därför Exponent (Gleerups), M-serien (Liber) och Matematik 5000 (Natur och Kultur). Från varje läroboksserie har jag valt ut motsvarande bok som inriktas mot kurs 1c, 3c och 5 i matematik. Matematikkurserna på gymnasiet är uppdelade i fem olika kurser, dessa fem kurser erbjuds sedan i olika versioner beroende på om eleven planerar läsa någon av de senare kurserna. I kurs 1 finns 1a som är obligatorisk inom
yrkesförberedande program, kurs 2a bygger sedan vidare på denna kurs. B-kurserna sträcker sig över kurs 1, 2 och 3 och riktar sig mot elever som går samhällsprogrammet,
ekonomiprogrammet, estetiska programmet och humanistiska programmet. C-kurserna riktar sig mot naturvetenskaps- och teknikprogrammet och sträcker sig över kurs 1, 2 och 3. Kurs 4 kan läsas som en fortsättning på kurs 3 b eller c och kurs 5 bygger på kurs 4 (Lgy 11). Utöver 1c, 3c och 5 så har jag också analyserat några övriga böcker ur Exponent och Matematik 5000 för att se om det skiljt sig på något utmärkande sätt mellan a, b och c kurser eller om kurs 2 eller 4 visar på något annorlunda än 1, 3 och 5. På så sätt har jag försökt minimera möjligheten att mitt urval blir missvisande genom att det historiska innehållet skulle vara annorlunda för de som läser yrkesförberedande kurser gentemot de som läser studieförberedande.
Analysprocessen
Mitt analysarbete har varit en relativt flytande process utan fullt definierade gränser mellan olika steg. Det här då en analys egentligen börjar så fort man öppnar första boken och utvecklas för varje steg i processen, så att när man når det moment som traditionellt kallas för analys är stora delar av analysen redan klar i huvudet. I analysprocessen inkluderas både en mer teoretisk utgångspunkt som används som en slags riktlinje i hela arbetet och det rent praktiska arbetet
med att teckna ner förekomster i läroböckerna. För att klargöra vad som krävs för en studie med hermeneutisk ansats så har jag lånat fyra principer George F. Kneller:
1. Understanding a human act or product, and hence all learning, is like interpreting a text. 2. All interpretation occurs within a tradition.
3. Interpretation involves opening myself to a text (or its analogue) and questioning it. 4. I must interpret a text in the light of my situation (Kneller 1984, s 68)
I varje tolkning har jag försökt utgå från dessa fyra principer. Den första, som är uppenbart riktad emot studier som inte undersöker text, visar ändå att ansatsen fungerar på text då tolkning av alla mänskliga handlingar kan liknas vid tolkning av text. Punkt två visar på att en tolkning sker inom en viss tradition eller ett visst samhälle. Detta innebär att jag måste se till det samhälle jag själv befinner mig i då jag tolkar och hur det påverkar de tolkningar jag gör. Den tredje punkten kan låta självklar, att man måste öppna sig för texten och ställa frågor till den för att kunna tolka. Men i det här tolkar jag det som att jag som forskare måste vara eftertänksam och inte bara välja de självklara tolkningarna utan ställa frågor och utforska alla möjligheter. Slutligen så innebär punkt fyra att jag måste se till mig själv och vem jag är, vilka erfarenheter jag har och hur det påverkar tolkningen. Allt sammantaget visar att det inte finns en sann tolkning av en text utan det här är min tolkning utifrån min situation och de frågor jag ställer till texten.
På en mer praktisk nivå gick analysen till så att jag i en första genomläsning av varje lärobok markerade varje sida där det fanns någon slags matematikhistorisk anknytning. Jag valde i det här stadiet även att markera sådant som hade rent historisk anknytning men inte direkt en anknytning till matematikhistorien.
Vid nästa steg läste jag igenom alla de sidor jag markerat och för varje ny användning av historiskt innehåll skapade jag en kategori. Av kategorierna skapade jag en tabell (se bilaga 1) i vilken jag kunde föra in alla förekomster i relation till de olika böckerna.
Efter att ha fört in alla historiska företeelser i tabellen kunde jag överblicka vilka kategorier som var vanliga och vilka som var helt överflödiga. Vissa kategorier sammanfogades medan andra uteslöts helt, tills det återstod ett antal kategorier som representerar de sätt som matematikens historia förekommer i dagens matematiska läroböcker. Jag använde sedan tabellen till att jämföra innehållet i de olika läroböckerna och kunde därigenom finna de två övergripande framställningskategorierna som redovisas i resultatet.
En av mina frågeställningar i studien har varit att försöka se vilken bild framställningarna av den matematiska historien skapar av matematikens historia i undervisningen och även vad elever erbjuds för lärande genom de framställningar som görs. I det här arbetet har jag, som jag visat ovan, varit medveten om att en sådan analys kan vara mycket subjektiv och snarare förklarar hur jag, genom den kunskap jag har och det samhälle jag är en del av, uppfattar materialet, än att visa obestridlig sanning om de framställningar som används. Därför måste
resultatet av min analys förstås utifrån att jag är lärarstudent med fleråriga studier i matematik och att jag har gått en kurs som handlat specifikt om matematikens historia och dess användning i skolan. Jag har också genomgått en pedagogisk utbildning som är mer inriktad på lärande genom kommunikation och bedömning för lärande än på traditionell katederundervisning. En bakgrund som förmodligen kommer spegla sig i min analys och möjligtvis göra den annorlunda mot vad den hade blivit om en person med annan bakgrund hade genomfört den. Att jag själv har varit uppmärksam på detta och därmed försökt undvika en subjektiv tolkning så gott det varit möjligt är en viktig del i det hermeneutiska tolkningsarbetet.
Ett etiskt godtagbart förhållningssätt är väldigt viktigt i all forskning även om det påverkar olika sorters forskning i olika hög grad. I en textanalys kan det vara svårt att se hur någon kan komma till skada genom forskningen, men det är en möjlighet, då alla texter är skrivna av en författare. Frågan uppkommer då om hur forskaren ska ställa sig till att söka upp författaren och be om tillstånd att använda deras material i forskningen. I mitt fall har jag inte sökt upp författarna. Detta då jag ansett att läroböcker är opersonliga texter som inte påverkar en enskild författare då de är skrivna av ett antal personer utan urskiljning av vilken del som skrivits av vem. De kan också ses som texter med viss makt och styrkraft, då de används i skolan och i barns utbildning och bör därför vara öppna för granskning.
Användningen av matematikens historia
i matematikläroböcker
I presentationen av resultatet av min analys kommer jag att använda mig av speciella
beteckningar för de olika böcker jag har analyserat. Nedan följer alla referenser till böckerna och de beteckningar som kommer användas under resultatredovisningen.
Beteckning – (Referens):
Exp 1a – (Johansson & Olsson 2011)
Exp 1b – (Gennow, Gustafsson & Silborn 2011a) Exp 1c – (Gennow, Gustafsson & Silborn 2011b) Exp 3b – (Gennow, Gustafsson & Silborn 2013a) Exp 3c – (Gennow, Gustafsson & Silborn 2012) Exp 5 – (Gennow, Gustafsson & Silborn 2013b)
Ma5000 1c – (Alfredsson, Bråting, Erixon & Heikne 2011a) Ma5000 2b – (Alfredsson, Bråting, Erixon & Heikne 2011b) Ma5000 2c – (Alfredsson, Bråting, Erixon & Heikne 2012a) Ma5000 3c – (Alfredsson, Bråting, Erixon & Heikne 2012b) Ma5000 4 – (Alfredsson, Bråting, Erixon & Heikne 2013a) Ma5000 5 – (Alfredsson, Bråting, Erixon & Heikne 2013b) M1c – (Sjunnesson, Holmström & Smedhamre 2012a) M3c – (Sjunnesson, Holmström & Smedhamre 2012b)
M5 – (Sjunnesson, Holmström, Smedhamre, Jakobsson & Nilson 2012)
I analysen har jag funnit att det går att se en tydlig skillnad på användandet av matematiken historia på ett fristående, lösryckt sätt och en framställning där historian utgör en väl integrerad del av matematiken. Skillnaden mellan dessa två kategorier påverkar vilken bild av
matematikens historia framställningen erbjuder läsaren och vilken vikt historian tillmäts i matematiken. Att använda matematikhistorien endast som extramaterial, utöver den vanliga matematiken ger oss en bild av att historien inte är en viktig del i dagens matematik utan något som har varit och som kan vara intressant men inte nödvändigt. På motsvarande sätt så kan en integrering av historia i den vanliga matematiken förmedla bilden av att matematikens historia är något användbart, något som kan användas även idag för att visa hur matematiska samband har utvecklats och därmed skapa sig en bättre förståelse för dem.
16
Utifrån mitt analysarbete har jag valt att redovisa resultatet under tre huvudrubriker som besvarar olika frågor om framställningen. Avsnitten behandlar kvantitativa skillnader mellan läroböckerna, fristående historiska inslag i läroböckerna och integrerade historiska inslag i läroböckerna.
Kvantitativa skillnader mellan läroböckerna
I min analys har jag uppmärksammat skillnader i mängden av historiskt innehåll i de olika läroböckerna och mängden av olika sorters historiskt innehåll. Rent kvantitativt har det visat sig att läroböcker för matematik 1(a, b och c) innehåller flest historiska referenser. Kurs 2, 3 och 4 innehåller alla betydligt mindre mängd historiskt innehåll. Som exempel har jag registrerat 28 historiska referenser i Exponent 1c (Exp1c) jämfört med 11 i Exponent 3c (Exp3c). I kurs 5 ökar antalet igen och är i stort sätt lika högt som i böckerna för kurs 1. I Exponent 5 (Exp5) förekommer matematikens historia 25 gånger. Det här kan bero på att de tidiga böckerna behandlar grundläggande matematiska metoder som funnits länge, medan de senare böckerna lär ut moderna metoder och att det är först i kurs 5 som en fördjupning i dessa är aktuell. Mängden historiska referenser skiljer sig också stort mellan de olika läroboksserierna och det är då främst M-serien som skiljer sig från de övriga två. M-serien (M1c, M3c, M5) har betydligt färre historiska referenser än de övriga två läroböckerna. I Matematik M1c (M1c) har jag funnit 13 förekomster i jämförelse med de 28 och 33 jag funnit i motsvarande böcker för Exponent- och Matematik 5000-serien (Exp1c, Ma5000 1c).
Det går också att se skillnader på längden på texterna i de olika kurserna. Detta då jag till en början delade in i kortare och längre historiska texter, där en längre text motsvaras av strax under en sida och uppåt (se tabell 1).
Tabell 1. Antal kortare och längre textavsnitt med historisk anknytning i böckerna
Kortare text Längre text
Exp 1c 12 5 Exp 3c 2 3 Exp 5 5 5 Ma5000 1c 10 7 Ma5000 3c 2 4 Ma5000 5 2 9 M1c 7 1 M3c 2 3 M5 4 2
Som framgår i tabell 1, visade det sig att läroböcker som används i kurs 1 innehöll övervägande korta texter och ett fåtal längre (Exp1c, Ma5000 1c, M1c) medan de för kurs 3 och 5 var mer jämnt fördelade över de båda (Exp3c, Exp5, Ma5000 3c, M3c, M5) eller övervägande mot de längre texterna (Ma5000 5).
Fristående historiska inslag i läroböckerna
Det textuella innehållet i en lärobok i matematikämnet kan vara fristående på olika sätt. Jag kommer här presentera de två kategorier som har framträtt i min analys: separering av historia och matematik samt uppgifter med historisk metod men utan historisk referens.
Separering av historia och matematik
I inledningen till alla de läroböcker jag har analyserat går det att läsa om hur boken kan användas, vad för olika framställningssätt det finns och vad de går att använda till. Här lyfter också Matematik 5000 1c fram att de ”inbjuder […] lärare och elever till en variation av arbetssätt och arbetsformer och erbjuder många olika möjligheter för eleverna att utveckla sina förmågor” (Ma5000 1c, s 3). En variation som det självklart är upp till varje lärare att utnyttja. Oavsett målet så är separationen från det övriga något som skapar ett gap till det övriga
innehållet, jag ska därför visa på vilka sätt de analyserade läroböckerna separerar det historiska innehållet i matematiken från den övriga matematiken.
Kapitelinledningar är en av de stora källorna till att få kunskap om hur det historiska innehållet behandlas i de böcker jag har analyserat. I Exponent-serien är det i inledningarna de allra flesta historiska referenserna finns (exp 1a, exp 1b, exp 1c, exp 3b, exp 3c, exp 5). Det kan antingen vara kortare texter som i den här inledningen till kapitlet om potenser med rationell exponent:
Den förste som använde tecknet för kvadratrot var Leonardo av Pisa, efter sin död kallad Fibonacci, som levde på 1200-talet. Han använde sig av bokstaven R från latinets Radix = rot. Vårt kvadratrotstecken √ härstammar från 1600-talet och kommer antagligen från bokstaven r (exp 1c, s 52)
I ett sådant fall existerar texten alltid i anslutning till en matematisk genomgång och uppgifter och det kan hävdas att det är texter som är ganska väl knutna till det matematiska innehållet. Däremot är själva innehållet i det här fallet betydligt mindre sammankopplat med det
matematiska materialet då genomgången handlar om potenser med rationell exponent och den historiska referensen endast behandlar rottecknet. Samma fenomen kan ses i de faktarutor som förekommer i M-serien. Nedanstående citat är hämtat från en faktaruta ur ett delkapitel om formler i M1c:
Heron var en grekisk fysiker och matematiker under första århundradet e.Kr. Heron
konstruerade vinpressar, kranar, pumpar, vattenorglar och krigsmaskiner. Han uppfann ”Herons ångkula” som förebådade ångmaskinen, men som aldrig användes för praktiska behov (M1c, s 98).
I det här fallet finns ingen egentlig koppling till matematiken i själva textrutan, däremot så förekommer en uppgift på samma sida som tar upp Herons formel, en formel som inte heller har något att göra med faktarutan förutom att Heron är mannen bakom formeln.
Kapitelinledningarna i Exponent kan också presenteras på helt egna uppslag. Det är så alla huvudkapitelinledningar ser ut och det är också i dessa fristående inledningar många av de längre och mer djupgående historiska texterna förekommer i exponentserien. Ett exempel ur Exponent 3c berättar historien bakom derivatans uppkomst:
Under 1600-talet studerade många fysiker och astronomer kroppars rörelser. Italienaren Galileo Galilei (1564-1642) var övertygad om att dessa rörelser kunde beskrivas
matematiskt […] Johannes Kepler (1571-1630) från Tyskland studerade också planeternas banor och fann att dessa var elliptiska. Han gav dessa rörelser matematiska beskrivningar. Detta arbete lade grunden för ett revolutionerande arbete inom matematiken av den engelske vetenskapsmannen Isaac Newton (1642-1727) […] Oberoende av Newton arbetade en tysk matematiker vid namn Gottfried Wilheim von Leibniz (1646-1716) med matematiska problem. Han fick 1676 ta del av Newtons metoder och kunde med hjälp av dessa vidareutveckla sina egna matematiska teorier. I och med detta var förändringens
matematik född och det är denna matematik som kapitel 2 handlar om. (exp 3c, s 67)
Det här utdraget visar på en mycket grundligare historiebeskrivning än de tidigare korta.
Utdraget visar hur ett begrepp har förändrats över tiden och därmed hur matematikens uppkomst alltid varit en lång process, inte bara något som kommer från ingenstans. Samma fenomen existerar i M-serien där alla större historiska inslag kommer från kapitelinledningar på egna uppslag (M1c, M3c, M5).
I Matematik 5000-serien förekommer speciella tema-sidor med ”teori och uppgifter anpassade till naturvetenskapsprogrammet och teknikprogrammet och i Historik, med tillhörande uppgifter, sätts matematiken in i ett historiskt sammanhang” (Ma5000 1c, s 3). Dessa sidor har oftast en tydlig innehållslig koppling med kapitlet men är helt fristående och framstår som frivilliga för lärare att implementera i undervisningen. Det framstår som att avsnittet kan användas som en möjlighet till variation. Det finns en sådan här tematisk historiegenomgång i så gott som alla huvudområden som ingår i Matematik 5000-böckerna (Ma5000 1c, Ma5000 2b, Ma5000 2c, Ma5000 3c, Ma5000 4, Ma5000 5). Temarutorna kan bland annat innehålla
personporträtt:
Tyckte du produktregeln verkade svår att komma på? Misströsta inte, till och med Leibniz, en av alla tiders största matematiker, hade stora svårigheter med den. Kanske vi oftare borde försöka följa den många gånger långa och krokiga väg som lett framtill en viktig sats och inte bara se till slutresultatet.
Gottfried Wilhelm Leibniz föddes i Lepizig 1646 […] På 1670-talet utvecklade han den allmänna metoden med derivator och införde de beteckningar som vi använder än idag (Ma 5000 4, s 107).
I det här fallet ges ett kombinerat personporträtt av Leibniz och tillsammans med en historisk genomgång av derivatans uppkomst. Allt knyts dessutom ihop med en anekdot om Leibniz problem med produktregeln. Det är också intressant att författarna nämner att det kan vara värdefullt att se vägen fram till en sats och inte bara slutresultatet. Något som också kunde ses i den grundliga inledningen om derivator.
Det finns också många liknande metod- eller begreppshistoriska genomgångar i temarutorna i Matematik 5000, exempelvis de komplexa talens historia (Ma5000 4, s 182). I anslutning till alla temarutor i Matematik 5000-serien finns dessutom speciella uppgifter, både sådana med stark historisk koppling i sig själva och vanliga nutidsmatematiska exempel på det den
historiska genomgången gäller (Ma 5000 1c, Ma 5000 2b, Ma 5000 2c, Ma 5000 3c, Ma 5000 4, Ma 5000 5).
Sammantaget visar analysen att de här tema-avsnitten är en av de starkaste kopplingarna mellan matematik och historia som finns i någon av de analyserade läroböckerna, men samtidigt är det också det mest lösryckta innehållet. Det här då de utgör helt egna avsnitt i böckerna som elever och lärare aktivt måste välja till för att det ens ska användas, detta innebär också att avsnittet är lätt att välja bort. Att det står i separata avsnitt framstår som att de ger bilden av att
matematikens historia inte är en viktig del av matematiken.
Uppgifter med historiska metoder utan historisk referens
Uppgifter med historisk anknytning kan se ut på många olika sätt och vara ”historiska” på olika sätt. Ett av dessa sätt har jag valt att kalla uppgifter med historiska metoder men utan historisk
referens. Med det här menas att uppgiften på något sätt använder en historisk metod, men den
framställs inte som historisk. Den enda ledtråden till att uppgiften har använts under en längre tid är ofta att namnet på metoden kommer från en stor historisk matematiker. Ett exempel på en sådan uppgift kommer ur Exponent 1c:
1077 Eratosthenes såll är en metod för att hitta primtal som går till så här: Börja med att
skriva ner alla tal i ett intervall t.ex. 1 till 100. Vi vet att det första primtalet är 2. Stryk nu alla tal som är delbara med 2, förutom talet 2. Stryk därefter de som är delbara med 3 förutom 3. Talet 4 är nu struket. Sedan stryker vi de som är delbara med 5 förutom 5. Fortsätt sedan med nästa tal som inte är struket. Vilka primtal hittar du mellan 1 och 100? (Exp1c, s 36)
Som hörs på namnet är Eratosthenes en metod uppfunnen av Eratosthenes, men i det här fallet berättas inget om metodens uppkomst utan metoden används bara, därför hamnar uppgiften under kategorin uppgifter med historiska metoder utan historisk referens.
I det föregående exemplet användes en metod som sällan används idag, men i den här kategorin tillhör också mer tveksamma fall där en metod fortfarande bär ett historiskt namn men
egentligen räknas som en modern metod då samma metod används än idag. Ett exempel på det är då Herons formel används:
2715 Herons formel är ett berömt samband för beräkning av triangelns area
Om sidorna i en triangel är a, b, c och triangelns halva omkrets är s, kan triangelns area A beräknas med formeln 𝐴 = √𝑠(𝑠 − 𝑎)(𝑠 − 𝑏)(𝑠 − 𝑐)
Lös ut b ur denna formel (M1c, s 98).
Formeln beskrivs som ett berömt samband men vi får ingen bakgrund till metoden och därför är det utan historisk referens. Båda dessa exempel har en anknytning till historien som hade varit möjlig att beskriva i samband med att uppgiften presenteras. De här exemplen är tagna ur räknedelarna i böckerna, de delar som alla elever möter. Att det historiska inte lyfts fram här kan ses som att det inte är relevant för uppgiften och i förlängningen att det inte är relevant för matematikundervisningen. Det separerar matematiken och historien bakom och ger återigen en bild av att historien inte är något nödvändigt och därmed inte så viktigt. Detta särskilt då den här typen av separering förekommer i de delar som ofta är obligatoriska för alla elever.
Integrerade historiska inslag i läroböckerna
Tidigare har jag visat exempel på väl integrerade historiska inslag som trots allt har visat sig vara lösryckta på något sätt. I den här delen kommer jag att presentera hur matematikhistorien är integrerad i matematiken.
Denna typ av matematikhistoria har jag kallat uppgifter med tydlig historisk anknytning. Med tydlig anknytning menar jag att uppgifterna i sig själva utgör ett matematikhistoriskt innehåll. Det kan innebära att räkna på ett sätt som man endast gjorde förr, att sätta sig in i hur gamla matematiker har löst svåra problem eller att lösa klassiska problem. Även uppgifter direkt tagna ur äldre skrifter passar in här, när det framgår tydligt att det är sådana. En av dessa variationer ser ut så här:
1138 Euklides bevisade att antalet primtal är oändligt med ett s k motsägelsebevis:
Vi antar t ex att bara primtalen 2, 3, 5 och 7 finns. Bilda talet n = 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 + 1.
Förklara varför n måste vara ytterligare ett primtal och varför vårt antagande är fel (Ma5000 1c, s 15).
Uppgiften får sin historiska anknytning genom att eleven måste tänka på samma sätt som Euklides för att lösa uppgiften. En uppgift tagen direkt ur en äldre skrift går att finna i samma bok:
3255 På Rhindpapyrusen, en nästan 4000 år gammal egyptisk skrift, kan vi hitta följande
problem:
”Ett tal adderat med sin fjärdedel blir 15. Vilket är talet?” (Ma5000 1c, s 116).
I anslutning till uppgiften finns också en bild på Rhindpapyrusen. Den här uppgiften har en klar historisk anknytning genom att det är en uppgift som är tagen direkt ur en skrift som är nästan 4000 år gammal. Den skiljer sig också mot hur vi i vanliga fall formulerar uppgifter idag, vilket gör att det inte bara blir en modern uppgift med historisk bakgrund. Båda dessa uppgifter finns också i den vanliga räknedelen i sina respektive kapitel. Den här typen av uppgifter är den tydligaste sammankopplingen mellan historien och matematiken då de både i uppgiften som sådan gör sammankopplingen men även dess placering, som gör dem tillgängliga för alla, skapar en bild av att matematikens historia är en viktig och integrerad och fortfarande aktuell del av matematiken.
Det tredje exemplet som jag funnit i analysen är en uppgift som tvingar eleverna att gå utanför läroboken och söka information för att finna svaret. Uppgiften går att finna i samband med den inledande historisk text om derivatans historia som har nämnts tidigare:
Det har tvistats länge om vem som var först med derivata, Newton eller Leibniz. Det ledde också till en konflikt mellan dessa två, där båda hävdade att de var först. Sök information om denna tvist, hur den hanterades och hur andra vetenskapsmän tog ställning i frågan. (Exp3c, s 67)
Den här uppgiften liknar något man skulle kunna tänka sig stöta på inom historieämnet då det handlar om ren informationssökning, något som jag sällan sett i min analys av läroböckerna. Historieanknytningen är dock väldigt tydlig då eleven får söka information om historien bakom derivata. En uppgift som går ut på faktasökning visar en helt ny sida av matematiken och att ha en uppgift som den här kan visa att matematikhistorien är så viktig inom matematiken att det går att göra en uppgift med endast historiskt innehåll, utan det som traditionellt ses som matematik, lösning av tal. Det här exemplet på en integrering kan dock problematiseras på två sätt. Det första har nämnts tidigare då jag gått igenom inledningar och temasidor. Uppgiften förekommer på just en inledningssida på ett separat uppslag och saknar därför kopplingen till de sidor som vanligen gås igenom. Det blir ett frivilligt material som läraren kan ta upp i undervisningen. Det som gör det än mer problematiskt är att det inte finns någon lösning till problemet i boken ”utan i lärarwebben” (exp 3c, s 4). Vilket gör problemet än mer otillgängligt för de elever som faktiskt stöter på uppgiften utan att läraren tar upp den. Här kan dock tilläggas att en sådan här uppgift inte har något enkelt svar som kan skrivas i ett facit och därför är det egentligen inte något större problem i det här fallet.
Det förekommer också ett antal ”klassiska problem”, där uppkomsten inte alltid är helt klar men där det framstår som att de har funnits mycket länge. Ett exempel på detta är det där uppfinnaren av schackspelet som ber om vetekorn för varje ruta på brädet. Ett för första två för andra, sedan fyra, åtta, sexton och så vidare (M1c, s 44). Ett annat exempel finns i Exponent 1b:
1. Det finns ett klassiskt ekvationsproblem om Diofantos. Han tillbringade en sjättedel av sitt liv som barn. Efter ännu en tolftedel lät han skägget växa. En sjundedel av sitt liv senare gifte han sig. Fem år därefter föddes hans son som blev hälften så gammal som fadern. Diofantos dog fyra år efter sin son. Hur gammal blev Diofantos? (Exp1b, s 63)
Sådana här problem visar hur uppgifter kunde se ut förr och visar på den utveckling som har skett. De ger också en koppling mellan historisk matematik och dagens matematik då eleven förväntas omvandla uppgiften och formulera den som en modern ekvation som den sedan kan lösa med de metoder den har lärt sig. Även denna uppgift finns på en inledningssida på ett eget uppslag och svar finns endast på lärarwebben (exp 1b). Här är det mer problematiskt då det är en uppgift med ett tydligt svar. Det visar sig också att det här är återkommande i all den litteratur jag har analyserat. Uppgifter med historisk
anknytning förekommer sällan i den vanliga räknedelen, som mest finns 4 förekomster i en och samma bok (Ma5000 1c) men i flera böcker förekommer det endast en uppgift av den här typen (exp 5, Ma 5000 2b, M1c, M3c). I M3c presenteras dessutom detta enda exempel som en ”tankenöt” (M3c, s 39) i inledningen beskrivs dessa som något som ”ger extra
stimulans” (M3c, s 3). Ordet extra och det faktum att de
separeras från det övriga innehållet genom att sättas i en röd bubbla ger en bild av att det är något separat från den vanliga matematiken.
I kapitelsammanfattningar och tester lyfts sådant som anses viktigt att komma ihåg ur det genomgångna kapitlet fram. Här är det också väldigt glest med historiskt innehåll i de
analyserade läroböckerna. De förekomster jag har hittat är historiska endast på det sättet att de bär namnet från en känd matematiker (Exp5, M5) alltså det som jag beskrivit som missade chanser att göra en historisk koppling. Det finns ett undantag med en diagnosuppgift som handlar om olika historiska kulturers närmevärden till pi i Matematik 5000 1c (Ma5000 1c). Den i stort sett fullkomliga frånvaron av historiskt innehåll i dessa delar ger en tydlig bild av att den matematikhistorik som förekommer i boken inte är viktig i den meningen att det är något eleverna behöver minnas då de sammanfattar kapitlet. Det blir tydligt att de historiska delarna endast är någon övrigt som läggs på den ”vanliga” matematiken.
Resultatsammanfattning
I min analys av lärobokstexterna har jag visat på vilket sätt som matematikens historia framställs. Jag har delat upp resultatredovisningen i två huvudsakliga framställningssätt. Matematikens historia som en fristående del i matematiken och matematikens historia som en
integrerad del i matematiken.
De fristående delarna visar att matematik och dess historia är två separata delar och att det inte är nödvändigt att inkludera historien i matematikundervisningen. Istället kan det historiska ses som något valbart som lärare kan välja att ta upp eller låta ”duktiga” elever göra då de ligger före i planeringen.
Exempel på en fristående framställning är då historia används på sidor som inte läses av majoriteten av eleverna. Sådana kan vara historiska inledningar på separata uppslag, speciella temasidor eller uppgifter som framställs som extramaterial.
Det finns också exempel på historia som integrerats väl i matematiken, bland annat uppgifter där historia tydligt kopplas samman med matematiken och där dess uppkomst görs viktig. Till och med rena informationssökningsuppgifter finns som visar att historian är en så stor del av matematikämnet att det kan stå på egna ben även utan tillhörande räkneuppgift. Dessa exempel visade på möjligheten för en tydlig koppling mellan matematikhistoria och matematik men genom att endast ett fåtal av dessa ingår i det material som ofta ses som det obligatoriska innehållet, medan övriga är i det valbara innehållet, så ges bilden av att historien är något extra och inte något integrerat.
Att historien dessutom är helt frånvarande i de sammanfattningar som används för att repetera allt det som varit viktigt i det gånga kapitlet skapar en samlad bild av att matematikenshistorien är något separat från matematiken och inte något som är användbart i läroprocessen.
Diskussion
I följande kapitel kommer jag att diskutera mitt resultat utifrån mina metodval och tidigare forskning. Detta för att problematisera mina val och att komma fram till vad som kan uttolkas ur det redovisade resultatet.
Metoddiskussion
Genom användandet av en innehållslig textanalys med hermeneutisk ansats har jag kunnat undersöka stora mängder text och skapa en övergriplig uppfattning kring hur matematikens historia framställts i denna textmängd. Den subjektivitet som en studie med hermeneutisk ansats för med sig är också viktigt att belysa. Jag har bland annat fört med mig de erfarenheter jag har sen tidigare av användandet av läroböcker i matematik i skolan. För någon med andra
upplevelser kan tolkningarna därför uppfattas som felaktiga. I min studie har jag övervägt detta och försökt att endast använda mig av de erfarenheter som jag ansett vara mest generella. Det är möjligt att en annan typ av textanalys hade givit annorlunda resultat. Med en formell textanalys, där jag sett mer till textens struktur och grammatik hade jag kunnat se på vilka ord som används i det matematikhistoriska innehållet och då bland annat se vilka värderingar som sätts in i den historiska matematiken i jämförelse med den moderna matematiken. Jag framhåller ändå att en innehållslig textanalys var rätt metod då det ger en tydligare bild av det samlade innehållet i en bok och hur det historiska innehållet förhåller sig till det övriga innehållet. I en studie där tolkning används som en stor del i analysen är det alltid svårt att tala om tillförlitlighet. Jag har försökt motverka det här genom att använda mig av Knellers (1984) principer om hermeneutisk forskning. Mitt material har också varit brett då jag har analyserat tre av de fyra stora läroboksserierna och på så sätt blir det också mer tillförlitligt. Samtidigt saknas den fjärde läroboken och given mer tid hade det kunnat öka tillförlitligheten att även analysera den.
När det gäller valet av material anser jag att det har givit en bra översikt över de läroböcker i matematik som används i dagens undervisning på gymnasiet. Det vore dock intressant att se om det finns andra läroböcker som framställer matematikens historia annorlunda eller om det finns något material som till och med specialiserar sig på matematikhistoria integrerat med den moderna matematiken. Jag ser det även som att mitt val av böcker ur kurs 1c, 3c och 5 har varit tillräckligt. De extra läroböcker i kurs 1a, 1b, 2b, 3b och 4 som jag analyserade visade sig inte skilja sig på något signifikant sätt och jag anser därför att urvalet var tillräckligt.
Även om jag kunde visa genom min kvantitativa del av analysen att de olika läroböckerna skiljer sig i mängd och vilken sorts historiskt innehåll som används så kan mina resultat ändå ses som generaliserbara för alla de tre läroböcker som analyserats. Detta då resultatet visar framställningar som förekommer i alla böcker, även om det görs på olika sätt eller i olika mängd. Det är svårt att säga om det är helt generaliserbart över svenska läroböcker i matematik då jag inte kunnat undersöka alla böcker, men då studien inkluderar tre av fyra läroboksserier så ger det ändå en viss överblick över de svenska läroböckerna i matematik.
Resultatdiskussion
Mitt syfte med den här studien har varit att undersöka hur matematikens historia används i tre av de läroböcker i matematik mot gymnasiet, som används idag. I resultatredovisningen kunde jag visa två olika sätt på vilka matematikens historia framställs som fristående i läroböckerna. Det ena fallet är då det historiska innehållet separeras från matematiken medan det andra fallet är uppgifter med historisk metod men utan historisk referens.
Läroböcker i matematik är ofta, och så också i de fall jag har undersökt, uppbyggda så att ett kapitel består av en inledning, en matematisk genomgång, räkneuppgifter baserade på denna genomgång, någon slags sida med specialuppgifter eller uppgifter baserade på ett tema och till slut en sammanfattning, repetitionsuppgifter och eventuellt ett test på området. Utifrån min erfarenhet både som elev och lärare så används huvudsakligen räkneuppgifterna i
undervisningen. Genomgångarna utgör ofta basen för lärarens genomgångar och används av vissa elever då de missat något eller inte kommer ihåg ifrån genomgången. Repetitionsuppgifter används ofta som förberedelse inför prov eller som extrauppgifter för de som behöver mer, antingen för att de räknar snabbare än läraren hinner lära ut eller för att de vanliga uppgifterna inte varit tillräckliga och de behöver mer övning. Rena inledningar med intresseväckande texter har jag aldrig upplevt att elever läser igenom, inte heller specialsidor används särskilt frekvent. Min uppfattning är att de används då läraren finner dem särskilt intressanta eller som
extrauppgifter för elever som blir snabbt klara med de planerade uppgifterna. Därför blir också den matematik som hamnar utanför de ”vanliga” uppgifterna på ett sätt fristående från den övriga matematiken. Det blir som att den inte är lika viktig som det övriga utan något som man kan läsa extra om man har tid och det framstår då som att den inte är en del av den ”riktiga” matematiken.
Som uppgifter med historisk metod men utan historisk referens räknar jag bland annat de uppgifter där det används en metod som är döpt efter en känd matematiker utan att detta används för skapa en koppling till dess utveckling. Det ser jag som ett sätt att visa att historian inte hör hemma i den vanliga matematiken då det historiska endast förvandlas till namn på en metod. Med det här menar jag inte att bakgrunden till vanliga metoder som Pythagoras sats ska beskrivas varje gång den används, utan att dessa metoder för tillfället ofta används helt
oreflekterat. Det kan ge en bild av att de är något naturligt som alltid hört till matematiken, istället för att visa på processen bakom och hur metoden uppkommit genom bidrag från olika matematiker. Som ett exempel på detta visade jag i resultatet en historisk genomgång av derivatans uppkomst. Där kunde eleven se hur derivatan uppkom med hjälp av en mängd idéer från olika matematiker och att den formel som används idag bara är slutprodukten av deras arbete. Allt detta undgår de flesta eleverna då detta inte refereras till i samband med uppgifter utan endast i separata genomgångar.
Den ovannämnda genomgången om derivatans uppkomst är också ett tydligt exempel på separering. Detta då den förekommer i en kapitelinledning på ett separat uppslag. Sådana uppslag blir osynliga för de elever som endast slår upp de uppgiftssidor som vanligen används i böckerna. På samma sätt blir de temasidor som förekommer i Matematik 5000 ett exempel på separationen mellan historien och matematiken, istället för en integrering. Även om de har en väldigt stark koppling mellan matematik och historia i sig själva så blir de verkningslösa på grund av placeringen. Detta då tidigare erfarenheter visar att sidor av den här typen inte används i någon stor utsträckning utan blir något som används som extramaterial om det hinns med. Av min analys framgår ändå att det finns ett innehåll i dessa som tydligt kopplar ihop
matematikens historia och matematiken. Det här skapar möjligheten att använda matematikens historia på många av de sätt som den tidigare forskningen visar är möjlig (Holmquist 1993, Jankvist 2009, Fried 2001, Mosvold, Jakobsen & Jankvist 2013). Det enda som krävs är att läraren anpassar undervisningen och lyfter fram de valfria delar som inkluderats i böckerna och därigenom överbryggar det som skapar separationen.
Om ett sådant tillvägagångssätt används kan många delar lyftas ur de aktuella läroböckerna som kan stärka matematikinlärningen. De korta historiska fakta och anekdoter som jag nämnt är ett tydligt exempel på vad Holmquist (1993) menar skapar extra variation och gör matematiken mer intressant, medan de porträtteringar av matematiker som finns och då speciellt de fall som belyser att gamla matematiker också gjort fel, som exemplet om Leibniz (Ma 5000 4, s 107), visar en mänskligare sida av matematiken (Jankvist 2009).
Samtidigt ger de längre historiska sammanfattningarna, som också läroboksförfattarna visar i den nyss nämnda Leibniz-texten att de har insett, eleverna en djupare förståelse för hur
matematiken vuxit fram, en tydligare bild av hur dagens metoder kommit till och de kan därför också förstå dem bättre (Fried 2001). Jag har också visat på exempel där gamla klassiska räkneuppgifter med annorlunda uppgiftsformuleringar och metoder används. När sådana löses får eleven möjlighet att se nya sätt att lösa problem och får därför ett större skafferi att pocka ur till framtida uppgifter (Fried 2001).
Förutom detta så kan det historiska innehållet väcka lärarens intresse som sedan läser vidare och skapar sig en bredare kunskap om matematikens historia. Det här kan ge läraren ytterligare verktyg för att hjälpa elever i de fall då de fastnar. Detta då läraren vet vad som varit
