Platsvärde i det
decimala talsystemet
En litteraturstudie om hur platsvärde förhåller sig till addition
och hur undervisning kan genomföras kring det decimala
talsystemet
KURS: Självständigt arbete, 15 hp
PROGRAM:Grundlärarprogrammet med inriktning mot arbete i grundskolans årskurs 4–6
FÖRFATTARE: Jesper Larsson & Ronak Parmar
EXAMINATOR:Robert Gunnarsson
JÖNKÖPING UNIVERSITY Självständigt arbete för 4-6 15 hp School of Education and Communication Grundlärarprogrammet 4-6 VT20
SAMMANFATTNING
Jesper Larsson & Ronak Parmar
Platsvärde i det decimala talsystemet – en litteraturstudie om hur platsvärde förhåller sig till
addition och hur undervisning kan genomföras kring det decimala talsystemet
Place-value in the positional system– a literature study about how place value relates to addition and how teaching can be conducted in the place value area
Antal sidor: 25
Vid beräkning i addition krävs kunskap att tolka siffrors positioner och värden i tal. Kunskaper om det decimala talsystemets struktur och platsvärde är grundläggande för att kunna göra beräkningar i addition. Syftet med denna litteraturstudie var att genomföra en litteraturöversikt om hur platsvärdet förhåller sig till addition och hur undervisning kan bedrivas om det decimala talsystemet. Litteratursökningen som gjordes genererade i artiklar som mestadels undersökte elever i de lägre åldrarna. Resultatet i litteraturöversikten baserades på tio artiklar som har analyserats av skribenterna. Resultatet visade att det fanns ett förhållande mellan platsvärde och förmågan att beräkna addition. Elever i denna litteraturstudie har visat svårigheter med att förstå platsvärde i det decimala talsystemet. Svårigheterna gick att förebygga genom varierade undervisningssekvenser som belyste olika aspekter av det decimala talsystemet. Undervisningsformer med tavla och konkret material visade sig vara de mest förekommande metoderna. Slutsatsen från skribenterna blev att undervisningsformen i sig inte är avgörande för att förstå det decimala talsystemet. Det matematiska innehållet och hur det förmedlas av läraren är betydande för hur eleverna lär sig platsvärde i det decimala talsystemet.
Nyckelord: Addition, det decimala talsystemet, konkret material, matematikundervisning,
Innehåll
1 Inledning ... 1
2 Syfte och frågeställningar ... 2
3 Bakgrund ... 3
3.1 Det decimala talsystemet och positionssystem ... 3
3.1.1 Vad är ett talsystem? ... 3
3.1.2 Det decimala talsystemet ... 3
3.1.3 Vad är platsvärde? ... 4 3.1.4 Tidigare forskning ... 5 3.2 Styrdokument ... 6 4 Metod ... 7 4.1 Litteratursökning ... 7 4.2 Materialanalys ... 9 5 Resultat ... 11
5.1 Hur synliggörs elevers uppfattning av platsvärde och hur påverkar platsvärde elevers förmåga att beräkna addition? ... 11
5.1.1 Hur synliggörs elevers kunskaper av platsvärde? ... 11
5.1.2 Förhållandet mellan platsvärde och elevers förmåga att beräkna addition ... 12
5.2 Hur kan matematikundervisning genomföras för ökade kunskaper om platsvärde i det decimala talsystemet? ... 15
5.2.1 Undervisning med hjälp av tavla ... 15
5.2.2 Undervisning med hjälp av konkret material ... 18
5.2.3 Undervisning med hjälp av andra talsystem ... 19
6 Diskussion ... 20
6.1 Metoddiskussion ... 20
6.2 Resultatdiskussion ... 20
6.2.1 Hur synliggörs elevers uppfattning av platsvärde och hur påverkar platsvärde deras förmåga att beräkna addition? ... 20
6.2.2 Hur kan matematikundervisning genomföras för ökade kunskaper om platsvärde? .... 23
6.3 Fortsatt forskning ... 25
Källförteckning ... 26
1
1 Inledning
För att kunna vara delaktig i dagens moderna samhälle behövs förmågor som att kunna läsa, skriva och räkna. För vuxna brukar kunskaper om platsvärdet vara självklart och kan även beskrivas som någon form av utantillkunskap. Personer som besitter matematisk kunskap vet hur det decimala talsystemet är uppbyggt och hur siffrorna i ett flersiffrigt tal förhåller sig till varandra (Howe, 2019, s. 57).
I det decimala talsystemet har siffror ett bestämt värde beroende på var de placeras i ett tal. Om elever inte förstår siffrornas platsvärde i ett tal kan konsekvenserna bli att de inte utvecklar sina matematiska kunskaper (Howe, 2019, s. 58). Förmågan att kunna identifiera siffrornas platsvärden brukar vara avgörande för att kunna göra korrekta beräkningar i matematik (McIntosh, 2008, s. 23). Elever i årskurs 4–6 visar svårigheter med att förstå siffrors olika platsvärden i ett tal. Frågor som ”Johan föddes 2005. Vilket år fyller han hundra år?” kan innebära svårigheter för elever. Svårigheterna visar sig när elever inte vet vilken siffra som står i hundratalspositionen (McIntosh, 2008, s. 186).
I Sverige börjar undervisning om det decimala talsystemet i de lägre årskurserna (Skolverket, 2018, s. 55). Vi som skriver denna uppsats har själva sett elever ha sådana svårigheter som McIntosh (2008) beskriver. Därför vill vi med hjälp av en litteraturöversikt analysera vad forskning belyser om elevers uppfattning om platsvärde.
2
2 Syfte och frågeställningar
Syftet med litteraturstudien är att undersöka vad matematikdidaktisk forskning beskriver om elevers uppfattningar om platsvärde och hur undervisning kan genomföras om det decimala talsystemet. Syftet uppfylls genom att besvara följande frågor:
• Hur synliggörs elevers uppfattning av platsvärde och hur påverkar platsvärde elevers förmåga att beräkna addition?
3
3 Bakgrund
I denna del beskrivs begrepp som används i studien. Avsnittet behandlar även skolans styrdokument.
3.1 Det decimala talsystemet och
positionssystem
Det decimala talsystemet är ett positionssystem med tio siffor. (Vejde & Roth, u.å). Begreppet det decimala talsystemet ska inte förväxlas med begreppet platsvärde som har en annan betydelse. Med platsvärde syftas det värde som en siffra har i ett tal, exempelvis siffran 2 i talet 25 (Matteboken, u.å.). Det decimala talsystemet bygger på basen tio. Det latinska ordet deci betyder tiondel eller var tionde och av detta skäl namngavs nuvarande talsystem för det decimala talsystemet (Björklund & Grevholm, 2014, s. 101).
3.1.1 Vad är ett talsystem?
Ett talsystem är ett system för hur tal bildas med hjälp av siffror eller symboler. Dagens samhälle använder sig av olika positionsbaserade talsystem. Datorer utför beräkningar i det binära talsystemet som består av två symboler (ett och noll) och baseras på basen två. Positionssystemets bas är alltid lika med antal symboler som talsystemet innehåller. I det binära talsystemet som består av två symboler blir basen två. Det decimala talsystemet (nuvarande system) som innehåller tio symboler blir basen tio (Vejde & Roth, u.å.). Tidräkningen baseras på basen 60 och innehåller 60 symboler (0–59), vilket medför att minuträkningen återgår till noll efter 59 minuter. Det går 60 minuter på en timme och 60 sekunder på en minut. Det som det binära talsystemet och tideräkningen skiljer sig åt är att de har olika baser. Det medför i sin tur att det maximala platsvärdet i en position är olika beroende på vilken bas som används. I tidräkningen är det maximala värdet 59 medan i det binära talsystemet är det maximala värdet ett (Matteboken, u.å.; Löwing, 2017, s. 57).
3.1.2 Det decimala talsystemet
Det decimala talsystemet är ett talsystem som undervisas i svenska skolor (Skolverket, 2018, s. 56). Strukturen i det decimala talsystemet medför att varje siffras platsvärde definieras genom vilken position en siffra har i talet. Siffran till vänster har ett högre värde
4
gentemot siffran till höger (Matteboken, u.å). Det finns tio olika symboler för att kunna representera tal det decimala talsystemet. Symbolerna härstammar ifrån det hindu-arabiska skrivsättet (Löwing, 2017, s. 55). Symbolerna är 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 samt 9 och kallas för siffror (Löwing, 2017, s. 47). Siffrorna samt hur de placeras gentemot varandra är en av grundpelarna i det decimala talsystemet som baseras på tio bas. Med hjälp av siffrors placering går det att skriva stora eller små tal. Varje siffra representerar ett platsvärde som är unikt för just det talet. Mot denna bakgrund blir det möjligt att upprepa samma siffra flera gånger för att få ett unikt tal (Löwing, 2017, s. 40). Genom figur 1 visas exempel på hur siffrornas position avgör vilket platsvärde de har.
Figur 1. Beskriver hur siffrornas platsvärde förhåller sig i det decimala talsystemet
(Hämtad från https://www.matteboken.se/lektioner/matte-1/tal/talsystem den 27 mars 2020).
Figur 2 beskriver hur siffrors platsvärde ändras beroende på position. I figuren representerar talen till vänster om kommatecknet heltal och symbolerna till höger representerar decimaltal, vilket denna studie inte undersöker.
En tom position är nödvändig för att det decimala talsystemet ska kunna användas fullt ut. Symbolen noll (0) står för tom position och har bidragit till det decimala talsystemets utveckling. Utan symbolen för tom position går det inte att representera oändligt många tal (Löwing, 2017, s. 55; Björklund & Grevholm, 2014, s. 95–101).
3.1.3 Vad är platsvärde?
Platsvärdena i det decimala talsystemet förhåller sig proportionellt till varandra. Björklund och Grevholm (2014) förklarar förhållandet enligt följande:
Positionssystemet fungerar på så sätt att en viss siffra får sitt värde multiplicerat med 10 för varje steg den flyttas till vänster i talet,
5
och på samma sätt dividerat med 10 för varje steg åt höger. Man brukar tala om platsvärde, tiotalssiffra, hundratalssiffra etcetera för de olika positionerna.
(Björklund & Grevholm, 2014, s. 101).
Citatet förklarar att värdet på ursprungstalet ökar tio gånger mer för varje ny position till vänster och minskar tio gånger för varje ny position till höger (Howe, 2019, s. 58)
Talet 278 kan i utvecklad form skrivas som 200 + 70 + 8. Varje siffra i talet har en fast position med ett bestämt värde. Siffran två till vänster befinner sig på hundratalspositionen och representerar värdet tvåhundra eftersom det finns två hundratal. Matematiskt kan värdet omformuleras som uttrycket 2 ∙ 100 eller 2 ∙ 10!. Siffran sju befinner sig på
tiotalspositionen och representerar värdet 70 och uttrycks som 7 ∙ 10 eller 7 ∙ 10". Siffran
åtta befinner sig på entalspositionen och representerar värdet åtta. Matematiskt uttrycks det 8 ∙ 10# (Björklund & Grevholm, 2014, s. 101; Löwing, 2017, s. 55).
Om siffrorna byter position med varandra ändras värdet på respektive siffra. Talet 728 består av samma siffror som talet 278 men har ett annat värde. Tvåan i talet 728 representerar värdet 20 eftersom det befinner sig på tiotalspositionen. Mot denna bakgrund synliggörs det att varje siffra har ett specifikt värde i ett tal (Björklund & Grevholm, 2014, s. 87, 101).
3.1.4 Tidigare forskning
Vid matematiska beräkningar behöver elever kunskaper om platsvärde och strukturen i det decimala talsystemet. Vid beräkningar behövs det en taluppfattning som baseras på att elever har kunskaper om det decimala talsystemet och de enskilda siffrornas platsvärden (McIntosh, 2008, s. 62). Elever kan ha svårigheter med det decimala talsystemet. En svårighet kan vara att elever har ”svårt att tänka sig att en grupp föremål, till exempel tio objekt, kan behandlas som en enhet och uttryckas med symbolen 1” (McIntosh, 2008, s. 23f). Om elever inte förstår sig på hur de olika siffrorna i ett tal förhåller sig till varandra blir det därmed svårt för eleverna att fortsätta utveckla sitt räknande (Howe, 2019, s. 59).
Att utveckla kunskaper om det decimala talsystemet tar lång tid (Tempier, 2016, s. 262). ”Ingen enskild aktivitet, eller sekvens av aktiviteter ger eleven allt som behövs. Genom många och varierade erfarenheter, med olika representanter som betonar olika aspekter, växer förståelsen” (McIntosh, 2008, s. 24). Citatet synliggör att undervisningsformen i sig
6
inte utvecklar förståelsen för det decimala talsystemet. Förståelsen utvecklas med hjälp av många olika undervisningsaktiviteter med ett varierat innehåll (McIntosh, 2008, s. 24; Tempier, 2016, s. 262). Vid undervisning om det decimala talsystemet är det därför viktigt att läraren uppmärksammar elevernas förståelse och diskuterar kring strukturella aspekter i det decimala talsystemet (Howe, 2019, s. 59).
3.2 Styrdokument
I kursplanen för matematik står det skrivet att elever i slutet av årskurs 3 ska “ha förståelse för hur positionssystemet kan användas för att beskriva naturliga tal” och i slutet av årskurs 6 förstå “positionssystemet i tal i decimalform” (Skolverket 2018, s. 55f). I kommentarmaterial för matematik förtydligas kunskapskraven:
För att eleverna ska kunna utveckla förståelse för det positionssystemet krävs det att de förstår att en siffras värde är beroende av vilken plats den har i det skrivna talet. I förlängningen innebär detta en insikt om att man kan skriva hur stora och små tal som helst med siffersymboler. Kunskaper om tal och talsystems olika uppbyggnad innebär också kunskaper om talet 0 och nollans funktion.
(Skolverket, 2011, s. 12f)
Citatet förtydligar att kunskaper om det decimala talsystemets platsvärden är en förutsättning för att vidareutveckla kunskaper i matematik (Skolverket, 2018, s. 55–58). I kursplanen för matematik står det också att det för elever inte räcker att enbart ha kunskaper om det decimala talsystemet. Elever ska även kunna beräkna och känna till andra talsystem (Skolverket, 2018, s. 56). Detta förtydligas genom kommentarmaterialet som skriver att undervisningen ska behandla andra talbaser.
Det står också skrivet i kommentarmaterialet att läraren ska låta elever “själva arbeta med olika representationsformer så att de kan eleverna förstå hur positionssystemet har kommit till, hur det är uppbyggt och hur det används” (Skolverket, 2011, s. 13).
7
4 Metod
Detta avsnitt syftar till att tydliggöra hur sökningarna har gått tillväga.
4.1 Litteratursökning
Studien har använt sig av databaserna ERIC EBSCO (Education Resources Information Center) och Primo via Jönköpings högskolebibliotek. I databasen ERIC publiceras endast vetenskapliga artiklar med inriktning på pedagogik. De svenska sökord som använts var:
tallinje, platsvärde, positionssystem och talsystem, dock var sökresultaten mindre
relevanta till forskningsfrågorna. Framgångsrika sökningar i databasen ERIC EBSCO innehöll sökorden place notation, “place-value” AND “maths*”, “place value”* AND
under* AND edu*. Inkludering av fraserna “number system”, “symbol concept” och
“comprehension” bidrog till bredare sökresultat. I sökresultatet återkom forskare som Moeller och Thomas vilket medförde till ett ökat intresse för deras studier och att kedjesökningar gjordes. Ett exempel på hur en sökning gick till i databasen ERIC synliggörs i tabell 1.
När sökresultaten granskades har det gjorts exkluderingar för att sålla bort artiklar som inte stämde överens med studiens syfte. En exkludering var artiklar som publicerades före år 1995 då skribenterna ville begränsa sig till artiklar som var cirka 25 år gamla. En annan exkludering var artiklar som undersökte barn med speciella behov. Med speciella behov menas barn som hade någon form av funktionsvariation,vilket denna studie inte behandlar.
Inkluderingskriterierna i studien var att de vetenskapliga publikationerna skulle antingen vara kedjesökta på Moeller eller Thomas artiklar alternativt innehålla följande fraser i sammanfattningen: place value, place notation och understanding. Ytterligare en inkludering som gjordes i studien innefattade artiklar som undersökte elever med svårigheter i matematik. Inkluderingen gjordes eftersom författarna ansåg att liknande artiklar bidrog till att besvara studiens forskningsfrågor. En sammanställning av analyserade artiklar finns tillgänglig i tabell 2.
8
Tabell 1: Tabellen synliggör hur en sökning har gjorts i ERIC EBSCO
Sökord: place value
7 841 träffar
Sökningen började brett och sökordet “place value” användes.
Exkludering: Peer reviewed och årtal 1995–2020
4 224 träffar
En exkludering av artiklar äldre än 1995 gjordes.
AND math*
363 träffar
Inkludering av sökordet “math*”.
AND concep* AND edu* AND under*
76 träffar
Inkludering av nya sökbegrepp på befintlig sökning. Träffarnas titlar och sammanfattningar lästes igenom. Det bidrog till en exkludering av 73 artiklar som inte matchade litteraturöversiktens syfte och tre som användes i studien.
9
Tabell 2: Översikt över valda publikationer
Författare År Titel Publikationstyp
Björk, M., & Pettersson
Berggren 2014
“Det brukar vara så här långt!” - En jämförande studie om kritiska drag för elevers uppfattning av tallinjen Vetenskaplig artikel Chan, W.W.L., Au, T.K., Lau, N.T.T., & Tang, J. 2017 Counting errors as a window onto children’s
place-value concept Vetenskaplig artikel Dietrich, J.F., Huber,
S., Dackermann, T., Moeller, K., & Fischer, U.
2016
Place-value understanding in number line estimation predicts future arithmetic performance Vetenskaplig artikel Hansson, H. 2019 Betydelsen av att variera innehållsliga aspekter för yngre elevers lärande av platsvärde Vetenskaplig artikel
Ho, C. S. H., & Cheng,
F. S. F. 1997 Training in place-value concepts improves children's addition skills Vetenskaplig artikel Lambert, K., & Moeller, K. 2019 Place-value computation in children with mathematics difficulties Vetenskaplig artikel MacDonald, B.L., Westenskow, A., Moyer-Packenham, P.S., & Child, B. 2018 Components of Place Value Understanding: Targeting Mathematical Difficulties When Providing Interventions Vetenskaplig artikel Moeller, K., Pixner, S., Zuber, J., Kaufmann, L., & Nuerk, H. C. 2011 Early Place-Value Understanding as a Precursor for Later Arithmetic Performance--A Longitudinal Study on Numerical Development. Vetenskaplig artikel Nataraj, M.S., &
Thomas, M.O.J. 2007 Developing the concept of place value Konferensbidrag
Thomas, N. 2004
The Development of Structure in the Number
System Konferensbidrag
4.2 Materialanalys
Materialanalysen gjordes kvalitativt genom att skriva ut artiklarna och markera delar i artiklarna med färgpennor. Skribenterna har, i enlighet med Nilholm (2017, s. 60), gjort en systematisk analys med hjälp av kodning av artiklarna. Färgpennor användes för att koda
10
artiklarna, vilket innebar att markera viktiga delar i artiklarnas texter. På så vis underlättade det att hitta vilket stycke eller vilken skrivelse som tillhör vilken avsnittsdel. Det användes sammanlagt fem färger och dessa har använts enligt följande:
• Färg ett och två användes för ämnen som tillförde något till litteraturstudiens resultat. Färg ett användes till forskningsfråga ett medan färg 2 användes till forskningsfråga två.
• Färg tre användes i de respektive artiklarnas metodavsnitt för att på ett smidigare sätt hitta det som var av relevans för litteraturstudien.
• Färg fyra användes för att markera ut de enskilda artiklarnas syfte. Färgen användes också för att förtydliga skrivelser och andra intressanta aspekter som tillförde något i litteraturöversikten.
• Färg fem användes för att hitta likheter och skillnader i artiklarna.
En systematisk översikt har gjorts med hjälp av ett stödmaterial i form av en tabell (se bilaga 1). Färgkodningen och översikten synliggjorde olika teman som de enskilda studierna kom fram till. Teman som kategoriserades i analysen var;
• syfte, • land, • resultat,
• ålder på elever,
• hur synliggörs kunskaper om platsvärde,
• konsekvenser av att inte ha kunskaper om platsvärde och • hur kan lärare bedriva undervisning om platsvärde?
11
5 Resultat
I resultatavsnittet redogörs resultat utifrån de forskningsfrågor som har undersökts.
5.1 Hur synliggörs elevers uppfattning av
platsvärde och hur påverkar platsvärde elevers
förmåga att beräkna addition?
Resultatet delas upp i två olika underkategorier. Den första underkategorin behandlar hur elevers kunskaper för platsvärde synliggörs och i den andra underkategorin behandlas förhållandet mellan platsvärde och elevers förmåga att beräkna addition.
5.1.1 Hur synliggörs elevers kunskaper av platsvärde?
I en studie undersöktes elevers kunskaper om platsvärde i det decimala talsystemet. Med hjälp av ett frågeformulär skulle sammanlagt 125 13-åriga elever från Nya Zeeland svara på åtta frågor om platsvärde i det decimala talsystemet (Nataraj & Thomas, 2007). De fem första frågorna undersökte om dessa elever förstod sig på siffrors platsvärden i olika tal. Frågorna i formuläret var utformade så att eleverna skulle redogöra för värdet på respektive siffra med bokstäver i ett specifikt tal. En fråga var utformad så att de olika platsvärdena i talet 7905 skulle skrivas ut med bokstäver och i utvecklad form. Syftet med frågan var att undersöka om elever förstod att siffrorna i talet kunde skrivas i utvecklad form som 7000 (tusental) + 900 (hundratal) + 0 (tiotal) + 5 (ental). Därefter skulle eleverna omvänt skriva tal från bokstäver till siffror samt svara på vad siffran noll har för betydelse i det föreslagna talet 62 009 (Nataraj & Thomas 2007 s. 526). Resultatet av studien visade att elever som inte klarade av uppgifternahade svårighet att förstå platsvärde i talen. Ett sätt att synliggöra elevers kunskaper om platsvärdet i det decimala talsystemet skulle kunna vara att använda liknande uppgifter som exemplet ovan (Nataraj & Thomas, 2007, s. 531).
Liknande resultat framgick också i en annan studie från USA där 124 elever i åldrarna 9– 11 år deltog (MacDonald, Westenskow, Moyer‐Packenham, & Child, 2018). Syftet med studien var att undersöka om elever förstod olika siffrors platsvärden i tal. I studien svarade eleverna fel när de skulle definiera platsvärdet hos siffran 3 i talet 35 vilket även belystes i studien från Nya Zeeland (Nataraj & Thomas, 2007). De elever som svarade fel insåg inte att siffran 3 i talet har ett platsvärde på 30 (3 x 10). Anledningen enligt MacDonald et al., (2018) var att de eleverna inte förstod innebörden av platsvärdet i tiotals-positionen. Dessa
12
elever såg endast siffran 3 och kopplade det därför till tre ental till skillnad från det faktiska värdet 30 (MacDonald et al., 2018, s. 26). I resultatet framgick det även att elever i USA hade likartade svårigheter med det decimala talsystemet. Elever som inte hade kunskaper om platsvärdet i det decimala talsystemet skulle kunna få svårigheter med att skriva större tal och att beräkna addition (MacDonald et al., 2018, s. 27). Elever som svarade rätt på liknande frågor förstod sig på platsvärden eftersom de kunde identifiera värdet på respektive siffra (MacDonald et al., 2018, s. 27; Nataraj & Thomas, 2007, s. 531).
En tredje studie hade undersökt 54 tyska elever i sexårsåldern. Studien undersökte förhållandet mellan platsvärde i det decimala talsystemet och elevers förmåga att storleksordna tal med hjälp av en tallinje (Dietrich, Huber, Dackermann, Moeller, & Fischer, 2016). Eleverna i studien gick i årskurs 1 och skulle placera ut olika tal med ett varierat värde mellan 0 och 20 på en tallinje. Med denna metod gick det att synliggöra elevernas kunskaper om tals olika platsvärden (Dietrich et al., 2016, s. 507). I resultatet framgick det att eleverna i studien hade svårigheter med att tolka platsvärden i det decimala talsystemet. Vissa elever hade placerat ensiffriga tal med höga värden (7, 8 och 9) som värdemässigt större än de tvåsiffriga talen 11, 12 och 13. Elever som placerade dessa tal felaktigt hade placerat talen åtta eller nio till höger om talet 13. En förklaring till detta var att vissa elever inte förstod att ettan i talet tolv hade platsvärdet tio. Mot denna bakgrund blev konsekvensen att elever som inte begrep platsvärdet i det decimala talsystemet hade svårigheter med att storleksordna tal. Det framgick också att med hjälp av en tallinje går det synliggöra elevers kunskaper om platsvärde (Dietrich et al., 2016, s. 512).
Elevernas kunskaper av platsvärde synliggjordes i ovanstående studier. Tillvägagångssättet mellan McDonald et al. (2018) och Nataraj & Thomas (2007) var likartat, då eleverna i respektive studie svarade på liknande frågor. Eleverna i studierna från Nya Zeeland och USA hade båda fått uppgifter att förklara platsvärdet hos siffrorna i olika tal. Dietrich et al. (2016) använde sig istället av en tallinje för att synliggöra elevernas kunskaper om platsvärdet i det decimala talsystemet.
5.1.2 Förhållandet mellan platsvärde och elevers förmåga att
beräkna addition
I litteraturöversikten framgick det att flera studier fick likartade resultat. Slutsatsen i dessa studier tolkades av forskarna i respektive studie med att det finns ett förhållande mellan platsvärde och additionsberäkning (Chan, Au, Lau & Tang, 2017; Lambert & Moeller, 2017; Moeller, Pixner, Zuber Kaufmann & Nuerk, 2011).
13
Resultatet i en studie visade att svårigheter med addition blev en följd av att inte ha kunskaper om platsvärde (Chan et al., 2017, s. 128). I studien deltog 433 sexåriga elever från Kina. Studien baserades på tid (45 minuter) och eleverna skulle svara på diverse additionsoperationer på totalt 37 frågor. En av uppgifterna gick ut på att addera talet 50 med talet 4. Ett förekommande felaktigt svar från vissa elever var att svara med talet 504 istället för 54. Felsvaret berodde på att dessa elever hade svårigheter att tolka att nollan stod i entals-positionenvilket också siffran 4 gjorde. Denna form av kombinationsfel skulle kunna leda till problem med beräkning av addition. I studien framgick det att eleverna som svarade fel inte hade tillräckliga kunskaper om platsvärdet i det decimala talsystemet (Chan et al., 2017, s. 124f). Resultatet i studien visade också att det fanns ett förhållande mellan platsvärde och att kunna beräkna addition.
De elever som svarade felaktigt på operationen 50 + 4 svarade även fel på andra uppgifter. I en annan uppgift skulle platsvärdet hos siffran ett i talet 13 definieras. Eleverna förstod inte att platsvärdet för siffran ett var tio utan tolkade värdet som ett ental och inte som ett tiotal. Felaktigheten berodde på att dessa elever inte kunde se skillnaden på siffervärdet (ett) och det platsvärdet (tio) i det decimala talsystemet, vilket också påverkade deras förmåga att beräkna addition (Chan et al., 2017, s. 128).
Utöver ovanstående studie har dessutom Lambert och Moeller (2017) i deras studie från Tyskland dragit slutsatsen att det fanns en koppling mellan platsvärde och additionsräkning. Lambert och Moeller (2017) undersökte om nioåriga elever som hade svårigheter i addition i årskurs 3 också presterade sämre i jämförelse med en kontrollgrupp med elever utan svårigheter. De undersökte särskilt om elevernas additionsförmåga gick att koppla till deras kunskaper om platsvärde.
I studien deltog två grupper med elever där den ena gruppen bestod av 79 elever som hade svårigheter med addition. Kontrollgruppen bestod av 50 elever som inte hade svårigheter. Eleverna skulle beräkna trettio additionsoperationer och svara på dator där summan inte översteg värdet 99. För att det inte skulle bli för svårt för de elever som hade svårigheter i matematik ändrades femton av frågorna till enklare additionsoperationer. De enklare operationerna innehöll inte tiotalsövergångar (benämnd i studien som no-carry operations) exempelvis 7+2 och 34+5. Det framgick inte i studien om det fanns någon tidsbegränsning för eleverna att svara på frågorna. Däremot framgick det att eleverna som hade svårigheter
14
i matematik tog längre tid på sig att beräkna additionsoperationerna (Lambert & Moeller, 2017 s. 218).
Resultatet i studien visade att elever med matematiksvårigheter presterade generellt sämre i jämförelse med elever utan svårigheter. Elever med svårigheter benämndes i studien som MD (mathematical difficulties) och elever utan svårigheter som TA (typically achieving). Figuren nedan visade hur samtliga elever i studien besvarade frågorna.
Figur 2. Visar elevernas felaktiga svar i procent. ER in % står för error rates in percent. TA och MD står för typically achieving respektive mathematical difficulties grupperna. Carry och no-carry står för additionsoperationer med eller utan. Bokstaven B står för att det är bild 2 i studien (Lambert & Moeller, 2017, s. 219).
I figur 2 framgår det att i TA-gruppen som inte hade svårigheter med addition svarade i genomsnitt 4% fel i additionsoperationer utan övergångar. I gruppen elever med svårigheter (MD-gruppen) svarade 8 % fel på samma frågor. Vid enklare additionsoperationer utan tiotals-övergångar hade platsvärdet inte någon relevans. Dock visade resultatet att när uppgifter som innehöll additionsoperationer med tiotals-övergångar var skillnaden mellan grupperna procentuellt mer. 12% i TA-gruppen svarade fel i motsats till MD gruppen där 24,5% svarade fel (Lambert & Moeller, 2017 s. 219). Mot bakgrund i studiens resultat skrev Lambert och Moeller (2017) att svårigheterna i övergångar med additionsoperationer kunde vara kopplade till olika orsaker. Dessa orsaker kunde vara bristande strategianvändning eller att elever inte tolkade de olika siffrornas
15
platsvärden i talen. Lambert och Moeller (2017) argumenterade för att användandet av räknestrategier kräver kunskaper om platsvärdet i det decimala talsystemet.
Slutsatsen i studien var att additionsoperationer med tvåsiffriga tal med tiotals-övergångar krävde kunskaper om platsvärde (Lambert & Moeller, 2017 s. 222). Liknande slutsats gick att finna i en äldre studie som undersökte samma fenomen (Moeller, Pixner, Zuber Kaufmann & Nuerk, 2011, s. 1845).
Chan et al. (2017), Lambert och Moeller (2017) och Moeller et al. (2011) har alla i sina studier kommit fram till att addition med tvåsiffriga tal kräver en förståelse av platsvärdet i det decimala talsystemet. Det finns ett förhållande mellan platsvärde och elevers förmåga att beräkna addition. Det som skiljer artiklarna åt är hur undersökningarna var utformade. Chan et al. (2017) använde sig av tidsbegränsning medan de andra studierna (Lambert & Moeller, 2017; Moeller et al., 2011) inte gjorde det.
5.2 Hur kan matematikundervisning
genomföras för ökade kunskaper om
platsvärde i det decimala talsystemet?
Matematikundervisning om det decimala talsystemet kan genomföras på flera olika sätt där både innehåll och utformning kan varieras.
5.2.1 Undervisning med hjälp av tavla
Studier har använt sig av klassrumstavlan på olika sätt för att ge en bildlig representation av det decimala talsystemet (Björk & Pettersson Berggren, 2014; Hansson, 2019). Klassrumstavlan användes på olika sätt för att utveckla elevers förståelse av platsvärdet i det decimala talsystemet.
I en studie (Hansson, 2019) var en användbar metod att bryta ner och visualisera värdet i ett tal med hjälp av prickar. Ett tal som användes i denna studie var 202. Uppgiften gick ut på att de deltagande eleverna skulle resonera om vad den vänstra tvåan hade för värde gentemot den högra tvåan. Nedan visas en bild av hur denna form av resonemangsuppgift kan förberedas (Hansson, 2019, s 60).
16
Figur 3. Visar ett sätt läraren kan variera lektionsinnehållet för att synliggöra platsvärdet
i det decimala talsystemet (Hansson, 2019, s 60).
I figur 3 hade Läraren hade ritat upp två grupperingar med 100 prickar i varje grupp för att synliggöra värdet på den vänstra tvåan (hundratals-positionen). Läraren hade också ritat upp två prickar till höger för att visualisera värdet på den högra tvåan (entals-positionen). Läraren frågade därefter: “vad är skillnaden mellan siffrorna i talet 202?” (Hansson, 2019, s 60).
Visualisering av talet 202 illustrerade platsvärdet och nollans betydelse i talet. I denna studie användes prickar. Andra symboler fungerar lika bra för att bryta ned ett tal i beståndsdelar och visualisera positionernas platsvärde. I figur 4 fanns det 200 prickar i hundratalspositionen, noll prickar i tiotalspositionen och två prickar i entalspositionen. Med hjälp av resonemang kunde eleverna komma fram till att nollan representerade att det inte fanns något värde i tiotals-positionen. Med hjälp av undervisning med bildlig representation tydliggjordes det visuellt hur siffrornas positioner relaterade till varandra. Dessutom synliggjordes nollans betydelse ”att nollan är nödvändig för att kunna beskriva tal korrekt, dels att det är inkorrekt att tänka att nollan inte betyder någonting samt att siffran ’0’ beskriver antalet noll av en position” (Hansson, 2019 s, 62f).
Tavlan användes också för att illustrera strukturen i det decimala talsystemet där det maximala värdet i en position är siffran nio av någonting. Figur 5 behandlar hur detta undervisningsmoment kan förberedas.
17
Figur 4. Bilden synliggjorde de olika platsvärdena i talet 99. Figuren visade också att det
maximala värdet i de olika positionerna var nio (Hansson, 2019, s 65).
I figur 4 visualiserades nio stycken tiotal och nio stycken ental. Läraren ställde frågan “vad händer om vi lägger till en prick i entalspositionen?” Ifall en till prick hade lagts till hade entalspositionen växlats upp till ett tiotal eftersom det inte fanns någon plats för pricken. Tiotalet skulle därmed också växlats upp till ett hundratal. Eleverna i studien fick resonera sig fram till denna insikt om strukturen i det decimala talsystemet. Bildlig representation, resonemang och ett varierat lektionsinnehåll har visat sig vara framgångsrika metoder för att utveckla kunskaper om det decimala talsystemet (Hansson, 2019, s. 65f).
I studien hade olika uppgifter konstruerats för att analysera 20 elevers kunskaper om det decimala talsystemet (Hansson, 2019). Eleverna var åtta år gamla när studien genomfördes. Eleverna i studien genomförde två separata tester. Ett test genomfördes innan undervisningen och ett test efter den riktade undervisningen. Förtestet visade att få elever förstod innebörden av platsvärde och det decimala talsystemets struktur. Eftertestet visade att flertalet av eleverna fick utökade kunskaper om platsvärde i det decimala talsystemet. Följaktligen blev slutsatsen att riktad undervisning med ett varierat lektionsinnehåll och med hjälp av klassrumstavla visade sig vara en framgångsrik metod (Hansson, 2019, s. 59).
Med hjälp av en tallinje uppritad på klassrumstavlan kunde platsvärdet i det decimala talsystemet visualiseras. Björk och Pettersson Berggren (2014, s. 74) genomförde en riktad undervisningsstudie om tallinjen. I studien skulle talen åtta och tolv placeras på tallinjen. Förhållandet mellan dessa tal kunde visualiseras genom att skriva samtliga tal mellan åtta och tolv. På detta vis gick det att representera att talet åtta hade mindre värde än talet tolv.
18
Talet tolv bestod av siffrorna ett och två som var sammansatta intill varandra. Eleverna i studien fick resonera om vad ettan i talet tolv representerade, vilket bidrog till att eleverna i studien utvecklade kunskaper om platsvärde i det decimala talsystemet (Björk och Pettersson Berggren 2014, s. 79).
5.2.2 Undervisning med hjälp av konkret material
Med hjälp av konkret material kan elevers kunskaper om platsvärdet öka. Thomas (2004) har i en studie från Australien undersökt om 132 elever fick ökade kunskaper om strukturen i det decimala talsystemet med hjälp av konkret material. I studien användes konkret material i form av godisklubbor. Varje godisklubba representerade värdet ett (talet 1). När eleverna grupperade ihop tio klubbor knöt de fast dessa klubbor till en enhet om tio (talet 10). Grupperingen med tio högar synliggjorde att det gick tio stycken tio-högar i 100. Således behövde eleverna i studien inte räkna varje klubba var för sig utan använde sig av grupperingarna om tio (Thomas 2004, s. 309). I likhet med undervisningen genom klassrumstavlan där prickar ritades blev konkret material ett annat sätt att synliggöra hur platsvärde förhåller sig i det decimala talsystemet. Resultatet i studien visade att undervisning med konkret material ökade elevernas förståelse för platsvärdet (Thomas, 2004, s. 310).
Liknande resultat gick också att se i en annan studie från Hong Kong där konkret material användes. Istället för klubbor användes sugrör (Ho & Cheng, 1997). Studiens syfte var att undersöka om lågpresterande elevers kunskaper om additionsoperationer utvecklades efter fem riktade undervisningstillfällen om det decimala talsystemets platsvärde. Dessa fem undervisningstillfällen var uppdelade enligt följande:
• Tillfälle ett behandlade elevernas tidigare kunskaper om platsvärde.
• Tillfälle två fick eleverna gruppera sugrör i tiohögar. På detta sätt kunde eleverna se att varje enhet som de hade grupperat sparade tid åt beräknandet. När eleverna hade gjort tio tio-högarplacerades dessa enheter i en glasburk som representerade att det fanns hundra sugrör i glasburken.
• Tillfälle tre, fyra och fem fortsatte med liknande uppgifter fast med tresiffriga tal och repetition från tidigare undervisningstillfällen (Ho & Cheng, 1997, s. 498).
Efter fem undervisningstillfällen med riktad undervisning hade de lågpresterande eleverna utvecklats markant. I ett test efter de fem riktade undervisningstillfällena presterade de
19
lågpresterande eleverna som hade fått extra undervisning i likhet med övriga elever. Mot denna bakgrund drog forskarna slutsatsen att riktad undervisning med hjälp av konkret material bidrog till ökade kunskaper om platsvärde i det decimala talsystemet och i sin tur beräkning med addition (Ho & Cheng, 1997, s. 503).
Hansson förespråkade också användandet av konkret material i någon form. Det gick att synliggöra platsvärdet i talet 24 med hjälp av pärlor. Talet 24 kunde representeras av två tio-högar med pärlor som återfanns på tiotals-positionen och fyra pärlor på entals-positionen (Hansson, 2019, s. 62).
5.2.3 Undervisning med hjälp av andra talsystem
Flera studier förespråkade att ökade kunskaper om platsvärde kunde uppnås genom att studera och beräkna med andra talsystem (Hansson, 2019; Nataraj & Thomas, 2007; Thomas, 2004). Hansson förtydligade detta genom skrivelsen om att “lärare kan behandla andra talsystem i undervisningen för att elever ska förstå principer av decimalsystemet” (Hansson, 2019, s. 70).
Elevers kunskaper om platsvärde kunde ökas om de själva skapade ett eget talsystem med egna symboler. I en studie med 13-åriga elever gick en av uppgifterna ut på att använda sig av talet 39 och representera talet med andra symboler än siffror och med basen sex (Nataraj & Thomas, 2007). Användandet av andra talsystem och talbaser bidrog till att eleverna i studien resonerade kring det maximala värdet i basen sex och vilka symboler som skulle användas istället för de hindu-arabiska siffrorna. En annan fördel med undervisning med hjälp av andra talbaser var att synliggöra strukturen i det decimala talsystemet (Nataraj & Thomas, 2007, s. 531). Dock är det inte själva undervisningsformen som bidrar till ökade kunskaper utan på vilket sätt det matematiska innehållet behandlas i undervisningen (Hansson, 2019, s.70)
20
6 Diskussion
I detta avsnitt diskuteras vilka begränsningar metodvalet har medfört för resultatet i studien. Dessutom diskuteras vår studies resultat.
6.1 Metoddiskussion
Den här litteraturstudien utgick från vissa aspekter. Dessa aspekter innefattade vilka länder studierna var gjorda i, vilket år de analyserade artiklarna var publicerade och ålder på elever i artiklarna. Dessutom har vissa begränsningar i litteraturstudien bidragit till studiens slutsats. En begränsning var att resultatet i studien blev riktat. Resultaten i litteraturöversikten har blivit vinklat eftersom vi sökte med hjälp av kedjesökning och namnen på forskarna Moeller och Thomas som återkom i sökningarna.
En annan begränsning var antalet artiklar som analyserades, vilket har bidragit till studiens resultat. I synnerhet eftersom forskarna är inriktade inom sina respektive områden. Tre artiklar från Moeller och två artiklar från Thomas har använts i litteraturstudien. Konsekvensen blev därför att hälften av de analyserade artiklarna kom från två författare. Av detta skäl går det inte att generalisera litteraturstudiens resultat. Under uppbygganden av detta arbete upptäckte vi också att flera artiklar undersökte elever i lägre årskurser. Det var något vi inte var medvetna om när sökningarna genomfördes.
I arbetet har det varit två skribenter som har läst/analyserat och sammanställt samtliga delar i arbetet. Detta har bidragit till att vi båda valt ut viktiga delar i artiklarna, vilket bidrog till att olika infallsvinklar synliggjordes. Färgkodningen som användes i förarbetet till artikelanalysen (se bilaga 1) bidrog till att artiklarna inte behövde läsas om varje gång. Färgkodningen i sig bidrog till en ökad effektivitet då vi lättare hittade delar som skrevs med i litteraturstudiens resultat.
6.2 Resultatdiskussion
6.2.1 Hur synliggörs elevers uppfattning av platsvärde och hur
påverkar platsvärde deras förmåga att beräkna addition?
Resultatet från forskningsartiklarna visade att det fanns ett förhållande mellan platsvärde och att kunna beräkna addition (Chan et al., 2017; Dietrich et al., 2016; Lambert & Moeller, 2017 & MacDonald et al., 2018). Särskilt visade Lambert och Moeller (2017, s. 222) att
21
elever som presterar sämre i additionsoperationer med tiotals-övergångar även hade bristande kunskaper om platsvärde i det decimala talsystemet (se figur 2). Denna slutsats har bekräftats av flera forskare som skrev att kunskaper om platsvärdet i det decimala talsystemet är av betydelse för beräknandet av matematikoperationer (Björklund & Grevholm, 2014, s 101; Howe, 2019, s. 58; Tempier, 2016, s. 262).
Studierna från Lambert och Moeller (2017) och Chan et al. (2017) har i sina resultat visat att det fanns ett förhållande mellan platsvärdet och elevers förmåga att beräkna addition. Studien från Chan et al. (2017) undersökte på 433 sexåringar som fick svara på 37 operationer med addition under en begränsad tid medan Lambert och Moeller (2017) undersökte 79 elevers svar. Elever i den senare studien hade ingen tidspress att förhålla sig till. Validiteten i studien med de kinesiska eleverna går dock att ifrågasättas eftersom tidsaspekten kan ha varit en bidragande faktor till resultatet (Chan et al., 2017). I studien från Lambert och Moeller (2017) hade eleverna dock igen tidspress utan de fick ta den tiden de behövde för att beräkna operationerna, vilket medförde en högre validitet.
Kunskaper om platsvärde i det decimala talsystemet är avgörande för att utföra beräkningar med tiotalsövergångar i addition (Lambert & Moeller, 2017 s. 222). Resultatet från Lambert och Moeller (2017) stämmer överens med tidigare forskning (Howe, 2019, s. 59) som skrev att kunskaper om platsvärdet är nödvändiga för att beräkna addition med tiotalsövergångar.
Skribenterna instämmer med Lambert och Moeller (2017) och Chan et al. (2017) studier då deras resultat återspeglas av tidigare forskning (Howe, 2019). Trovärdigheten i resultatet från litteraturstudien går dock fortfarande att ifrågasätta, eftersom litteratursökningen som genomfördes kan ha påverkat valet av artiklar. Urvalet kan ha blivit vinklat eftersom sökorden var snarlika och medförde att resultatet från studierna var likartade.
I andra studier uppvisade resultatet att elever i olika åldrar och från olika länder hade likartade problem med kunskaper om platsvärdet i det decimala talsystemet (Dietrich et al., 2016; MacDonald et al., 2018; Nataraj & Thomas, 2007). Studien av Nataraj och Thomas (2007) visade att 13-åringar i Nya Zeeland hade svårigheter med platsvärde i det decimala talsystemet. 9–11 åringar från USA och sexåringar från Tyskland visade dessutom bristfälliga kunskaper om platsvärde i det decimala talsystemet (MacDonald et al., 2018; Dietrich et al., 2016).
22
Det som skiljer artiklarna åt var bland annat undersökningsmetoden och frågorna som eleverna fick. MacDonald et al. (2018) och Nataraj och Thomas (2007) använde sig av ett arbetsblad med uppgifter relaterade till platsvärdet medan Dietreich et al. (2016) använde en tallinje. Båda tillvägagångsätten var framgångsrika utifrån elevernas förutsättningar. Att sexåringar kan ha problem med att förstå platsvärde i det decimala talsystemet är kanske inte så svårt att förstå med tanke på att de ännu inte blivit undervisade om den grundläggande strukturen i det decimala talsystemet. Det intressanta är varför elever i 13-års åldern har likartade problem?
Studien från Nataraj och Thomas (2007) undersökte 125 elever och MacDonald et al. (2018) undersökte 124 elever. Resultaten från båda studierna har en högre validitet i förhållande till Dietreich et al. (2016) studie som endast undersökte 54 elever. I synnerhet har MacDonald et al. (2018) och Nataraj och Thomas (2007) visat att genom arbetsblad går det att synliggöra elevers kunskaper om platsvärde i det decimala talsystemet. Deras resultat stämmer överens med tidigare forskning från McIntosh (2008) som skrev att en elevsvårighet kan innebära att elever får ”svårt att tänka sig att en grupp föremål, t ex tio objekt, kan behandlas som en enhet och uttryckas med symbolen 1” (McIntosh, 2008, s. 23f). Mot bakgrund från MacDonald et al. (2018) och Nataraj och Thomas (2007) instämmer skribenterna att ett sätt att synliggöra elevers uppfattning om platsvärde i det decimala talsystemet är att använda sig av arbetsblad. Det finns säkerligen andra metoder för att synliggöra elevers uppfattning om platsvärde än vad Dietreich et al. (2016), MacDonald et al. (2018) och Nataraj och Thomas (2007) har påvisat, men i litteraturöversikten framgick bara tallinje och arbetsblad med ändamålsenliga uppgifter som metoder.
I den svenska läroplanen påbörjas undervisningen i matematik i de lägre åldrarna. Undervisningen ska behandla grunderna i det decimala talsystemet inklusive platsvärde (Skolverket 2018, s. 55). I de internationella artiklarna framgår det inte hur undervisningen ska utformas och i vilken ålder undervisningen om det decimala talsystemet ska påbörjas. Därför går det inte att utesluta ifall undervisningen i de olika länderna skiljde sig och därmed påverkade resultatet.
Om elever ska kunna beräkna addition behöver de tolka olika siffrors platsvärden i tal. Det har varit något som uppmärksammats i den verksamhetsförlagda utbildningen som skribenterna har haft under sin utbildning. Löwing (2017, s. 55), Björklund och Grevholm
23
(2014, s. 95–101) skrev bland annat om nollans betydelse för att kunna räkna med tal. Kunskaper om platsvärde har därför betydelse för vidare matematisk utveckling (Björklund & Grevholm, 2014; Howe, 2019; Löwing, 2017). För blivande matematiklärare är det viktigt att uppmärksamma elevers uppfattning av platsvärde i det decimala talsystemet, för att kunna individanpassa undervisningen.
6.2.2 Hur kan matematikundervisning genomföras för ökade
kunskaper om platsvärde?
Det fanns olika sätt att bedriva undervisning om platsvärde. Undervisning med konkret material och tavla kan synliggöra platsvärdet i olika tal. Klassrumstavlan användes för att dels rita ut en tallinje och för att tydliggöra platsvärdet i olika tal (Björk & Pettersson Berggren, 2014; Hansson, 2019; Ho & Cheng, 1997; Thomas, 2004).
Det gemensamma för studierna var att de använde sig av olika undervisningsformer. Hansson (2019) samt Björk och Pettersson Berggren (2014) använde sig av tavla och eleverna fick resonera sig fram till hur strukturen i decimala talsystemet är uppbyggd. Ho och Cheng (1997) och Thomas (2004) använde istället konkret material medan Nataraj och Thomas (2007) lät elever laborera med andra talbaser.
Enligt Skolverket ska undervisning anpassas för alla elever (Skolverket, 2018, s. 5). Som en följd av detta skulle både konkret material och klassrumstavla kunna användas för att undervisa om platsvärde i det decimala talsystemet. Nataraj och Thomas (2017) var den enda studien som undersökte 13-åriga elever. Hos eleverna i de lägre årkurserna var undervisning med klassrumstavla och med hjälp av konkret material återkommande undervisningsformer (Björk & Pettersson Berggren, 2014; Hansson, 2019; Ho & Cheng, 1997; Thomas, 2004). Även om undersökningarna genomfördes i olika länder (Australien, Hong Kong och Sverige) så visade resultaten att undervisning med hjälp av klassrumstavla och konkret material ökade elevers kunskaper om platsvärde i det decimala talsystemet. De olika artiklarna beskriver fyra olika sätt att arbeta med platsvärde i det decimala talsystemet. Hansson (2019), tillsammans med Björk och Pettersson Berggren (2014), använde tavla för att visualisera platsvärde med hjälp av prickar eller tallinje medan Nataraj och Thomas (2007) och Ho och Cheng (1997) använde sig av olika konkreta material. Dessa undervisningsformer visade sig vara framgångsrika i respektive studie. Mot denna bakgrund drar skribenterna slutsatsen att de olika undervisningsformerna
24
gemensamt lyckades med att utöka elevernas förståelse av platsvärde i decimala talsystemet.
Skribenterna uppmärksammade också att undervisning med hjälp av andra talsystem inte förekom i lägre åldrar. I resultatet framgick det att andra talsystem endast användes i en studie med 13-åringar (Nataraj & Thomas, 2007). Möjligtvis kunde det bli svårt för yngre elever om de skulle beräkna med andra talbaser. De flesta studier har undersökt elever i lägre åldrar vilket påvisade att undervisning om platsvärde riktade sig mot de lägre åldrarna (Björk & Pettersson Berggren, 2014; Hansson, 2019; Ho & Cheng, 1997). I den svenska läroplanen står det skrivet att elever ska få undervisning om “hur positionssystemet kan användas för att beskriva naturliga tal” i de lägre åldrarna (Skolverket, 2018, s. 55). Av detta skäl bekräftades teorin om att undervisning om platsvärde i det decimala talsystemet prioriteras i de lägre skolåren. Detta bekräftas av tidigare forskning om att det tar tid att utveckla kunskaper om det decimala talsystemet (Tempier, 2016, s. 262). Skribenterna instämmer med Tempier (2016) eftersom det visade sig att även 13-åringar hade svårigheter att förstå strukturen i det decimala talsystemet.
I studierna från Hansson (2019) samt Björk och Pettersson Berggren (2014) använde sig lärare av tavla för att synliggöra platsvärde i det decimala talsystemet. I studierna från Ho och Cheng (1997) och Nataraj & Thomas (2007) användes istället konkret material för att synliggöra platsvärdet. Genom användandet av tavla och konkret material kunde strukturen för det decimala talsystemet synliggöras. Vad som ritas eller används för att synliggöra platsvärde är upp till varje lärare eftersom tavla eller konkret material i sig inte bidrar till någon kunskap för elever. Mot denna bakgrund vill skribenterna förtydliga att det inte spelar någon roll om det till exempel ritas prickar eller kryss på en tavla för att synliggöra platsvärde i tal. Det konkreta materialet som har använts i studierna går även det att byta ut mot andra representationsformer, eftersom det inte är materialet i sig som bidrar till ökande kunskaper hos elever. Skribenterna menar istället att det är viktigt för lärare att veta på vilket sätt denne kan använda både tavla och konkret material så det blir begripligt för elever. Användandet av andra talbaser som användes i studien från Nataraj och Thomas (2007) bidrog till att eleverna själva fick laborera med olika talbaser. Detta instämmer med Björklund och Grevholm (2014, s. 101) skrivelse om att lärare behöver redogöra för strukturen i det decimala talsystemet.
25
Mot denna bakgrund instämmer skribenterna med Björk och Pettersson Berggren (2014), Hansson (2019), Nataraj och Thomas (2007) och Ho och Chen om att undervisningsformen inte är avgörande eller bidrar till ökande kunskaper. Det som bidrar till ökade kunskaper är de olika aspekterna kring det decimala talsystemet som synliggörs genom undervisningen. Tidigare forskning belyser också att ”Ingen enskild aktivitet, eller sekvens av aktiviteter ger eleven allt som behövs. Genom många och varierade erfarenheter, med olika representanter som betonar olika aspekter, växer förståelsen” (McIntosh, 2008, s. 24). Det är därför upp till varje lärare att planera hur tavlan eller de konkreta materialen ska användas för att synliggöra platsvärde och struktur i det decimala talsystemet.
6.3 Fortsatt forskning
Fortsatt forskning kan vara att genomföra en kvalitativ studie som fokuserar på hur lärarna undervisar om platsvärde. Det vore intressant att jämföra om lärare i de lägre åldrarna undervisar annorlunda i jämförelse med lärare i årskurs 4–6 (mellanstadiet). Hur sker undervisningen och varför denna metod? Hur motiverar lärarna valen?
Det går även att kartlägga svenska elevers uppfattning om platsvärde i det decimala talsystemet. Detta kan göras genom ett kvantitativt arbetsblad kombinerat med intervjuer av matematiklärare.
26
Källförteckning
Björk, M., & Pettersson Berggren, G. (2014). " Det brukar vara så här långt!": En jämförande studie om kritiska drag för elevers uppfattning av tallinjen. Forskning om
undervisning och lärande, (13), 67–85.
Björklund, C. & Grevholm, B. (2014). Lära och undervisa matematik: från förskoleklass
till åk 6. (2. uppl.) Lund: Studentlitteratur.
Chan, W. W. L., Au, T. K., Lau, N. T., & Tang, J. (2017). Counting errors as a window onto children's place-value concept. Contemporary Educational Psychology.
Dietrich, J. F., Huber, S., Dackermann, T., Moeller, K., & Fischer, U. (2016). Place‐value understanding in number line estimation predicts future arithmetic performance. British
Journal of Developmental Psychology, 34(4), 502–517.
Hansson, H. (2019). Betydelsen av att variera innehållsliga aspekter för yngre elevers lärande av platsvärde. Forskning om undervisning och lärande, 7(3), 48–74.
Ho, C.S.-H., & Cheng, F.S.-F. (1997). Training in place-value concepts improves children’s addition skills. Contemporary Educational Psychology, 22, 495–506.
Howe, R. (2019). Learning and using our base ten place value number system: theoretical perspectives and twenty-first century uses. ZDM, 51(1), 57–68.
Kognition. (u.å.). I Matteboken. Hämtad 2020-03-27 från
https://www.matteboken.se/lektioner/matte-1/tal/talsystem
Lambert, K., & Moeller, K. (2019). Place-value computation in children with mathematics difficulties. Journal of experimental child psychology, 178, 214–225.
Löwing, M. (2017). Grundläggande aritmetik: matematikdidaktik för lärare (Andra upplagan). Lund: Studentlitteratur.
27
MacDonald, B. L., Westenskow, A., Moyer‐Packenham, P. S., & Child, B. (2018). Components of Place Value Understanding: Targeting Mathematical Difficulties When Providing Interventions. School Science and Mathematics, 118(1–2), 17–29.
McIntosh, A. (2008). Förstå och använda tal: en handbok (1. uppl.). Göteborg: Nationellt centrum för matematikundervisning NMC, Göteborgs universitet.
Moeller K, Pixner S, Zuber J, Kaufmann L, & Nuerk HC. (2011). Early place-value understanding as a precursor for later arithmetic performance-A longitudinal study on numerical development. Research in Developmental Disabilities, 32(5), 1837–1851.
Nataraj, M. S., & Thomas, M. O. (2007). Developing the concept of place value.
Mathematics: Essential Research, Essential Practice, 2, 523–532.
Nilholm, Claes (2017). Smart: ett sätt att genomföra forskningsöversikter. Upplaga 1 Lund: Studentlitteratur
Roth, G, & Vejde O. (u.å). Liten ordbok i matematik.
http://www.ollevejde.se/matteord/index.htm. Hämtad 2020-05-13 från
http://www.ollevejde.se/matteord/talsystem.htm
Roth, G, & Vejde O. (u.å). Liten ordbok i matematik.
http://www.ollevejde.se/matteord/index.htm. Hämtad 2020-05-13 från
http://www.ollevejde.se/matteord/positionssystem.htm
Skolverket. (2011). Kommentarmaterial till kursplanen i matematik (reviderad 2017). Stockholm: Skolverket.
Skolverket (2018). Läroplan för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet 2011:
28
Thomas, N. (2004). The Development of structure in the number system. In M. J. Hoines & A. B. Fuglestad (Eds.), Proceedings of the 28th annual conference of the International
Group for the Psychology of Mathematics Education (Vol. 4, pp. 305–312). Bergen,
i
Bilaga: Översikt över analyserad litteratur
Författare Titel Tidskrift Publikationsår Syfte Design Urval Datainsamling Land Studiens teoretiska utgångspunkt/ra m Resultat 1 Viktiga aspekter för att utveckla förståelse för det decimala talsystemet. 2 Konsekvens 3
Hur kan lärare bedriva undervisning för att underlätta förståelsen för det decimala talsystemet? Roger Howe Learning and using our base ten value number system: theoretical perspectives and twenty-first century uses. ZDM (2018) Sammanfatta olika didaktiska implikationer för att elever ska få utökad förståelse. Att framhäva en alternativ och modern väg för lärande av det decimala talsystemet under 2000 talet. USA Generella förslag på alternativ undervisning. Förståelse för 10-bassystem genom multiplikation. Lärare brukar introducera ental först, sedan tiotal och därefter hundratal. Läraren informerar även om övergångarna. 0 som representativt för “ingenting”. Mönster om 10 ggr större/mindre (s. 58).
Kan inte beräkna med värdemässigt större tal (s. 58) Utveckla tal i skriven form, ex 12 är 10 + 2 (s. 59) Undervisning s 61. låta elever få egen förståelse. Lätta exempel med addition med 100 tal 62. Vid addition används först 200 tal, sedan 10-tal för att avsluta med ental (s.62).
ii Författare Titel Tidskrift Publikationsår Syfte Design Urval Datainsamling Land Studiens teoretiska utgångspunkt/ra m Resultat 1 Viktiga aspekter för att utveckla förståelse för det decimala talsystemet. 2 Konsekvens 3
Hur kan lärare bedriva undervisning för att underlätta förståelsen för det decimala talsystemet? Mala Saraswathy Nataraj & Michael O. J. Thomas Developing the concept of place value. Mathematics Education Research Group of Australasia Inc. (2007) Om konkreta material hjälper till med förståelsen för decimala systemet. 125 st 13-åriga elever från Nya Zeeland. 27 st 13-åringar eleverfördelade från Indonesien, Ryssland, Ungern, Nederländerna, USA, Malaysia, Zimbabwe, Kina, Korea, Japan, Cypern, Sverige, ursprungsbefolkni ng, Stillahavsöarna och europeiska elever bosatta i Nya Zeeland (global klass) (s. 525) Kvalitativ metod. Undervisning av tiobas är inte tillräcklig för att elever ska förstå decimala systemet. Eleverna måste själva komma till insikt om hur det decimala talsystemet är uppbyggt. Konstruera egna talsystem för att förstå positionssystemet Bygger vidare på Piagets teori om konkret Konkreta material hjälper till tänkandet (530f). Global klass lyckas bättre med att förstå det decimala talsystemet. Förvirrat att förstå maya-systemet, enklare med egyptiskt och romersk. Svårt att förstå de senare med större tal. Vid större tal kan samma siffra återkomma. Förstå att 10² är detsamma som 10 x 10, 10 stycken 10-grupper (totalt 100), på så vis utvecklas förståelse att 10^53 är större än 10^12, eller att 10^-23 är mindre än 10^-2 (s. 530). Elever kunde även med andra material (I detta fall pinnar) “generalisera”de multiplikativa förhållandet i 10bassystem (hitta på egna tecken för Undervisning: andra system (s. 530). Vissa elever (2 st) tycker att det blir svårare med konkret material (s. 531). Hitta på eget bassystem där summan blir 39 (s. 528). 1. Elever skulle fundera ut vad som behövs för att utforma ett talsystem (arbeta i grupper om 2,3 eller 4).
iii operationella tänkande. Undersöka om olika kulturer lär ut olika kring positionssystem. Misslyckande med att uppnå
förståelse leder till svårigheter i matematik. (s. 532). olika talvärden) (s. 528). 2. Undersöka om siffersystem från tidigare kulturer var användbara. Endast två system var ett positionssystem, maya och Babylonien. 3. Analysera 10-bassystem och dess fördelar (s. 525).
Elever kan med fördel läras ut andra baser för ökad förståelse för det decimala talsystemet, skriva ett tal, till exempel 3524 med basen 6 (s. 526). Författare Titel Tidskrift Publikationsår Syfte Design Urval Datainsamling Land Studiens teoretiska utgångspunkt/ra m Resultat 1 Viktiga aspekter för att utveckla förståelse för det decimala talsystemet. 2 Konsekvens 3
Hur kan lärare bedriva
undervisning för att underlätta förståelsen för det
iv
decimala talsystemet? Dietrich, Huber,
Dackermann, Moeller, & Fischer Place-value understanding in number line estimation predicts future arithmetic performance. British Journal of Developmental Psychology. (2016) Elevers förståelse av tvåsiffriga tal och att kunna placera dessa på tallinje. 54 elever, 6-åringar (32 flickor, 22 pojkar), varav 42 presenteras i resultat. Elever gick i åk 1. Tyska elever. Kvalitativ metod. Om svårigheter med aritmetik i lägre årskurser påverkar elevers förståelse för matematik senare i livet (s. 513). Om tvåsiffriga tal är svårt för elever i årskurs 1. Om elever placerar tal med hög entalssiffra högre på en tallinje, till exempel 19 placeras högre än talet 54.
Det är viktigt att undervisa om detta i åk 1. Med stigande ålder automatiserar barnet kunskaperna (s. 513). 1. Skilja tiotal från ental. 2. Förstå att värdet i tiotalspositionen är 10 ggr större än i entalspositionen (s. 513). Storleksordning på ental är inte kopplat till någon svårighet för decimala systemet Det blir det först vid tvåsiffriga tal eftersom uppfattningen av tiotalssiffran påverkar. (s. 512). Resultatet i studien är kopplad till elevers aritmetiska förmåga (s. 513). Ett stadie i utvecklingen är att utveckla förståelse för tals värden, ex hur talet 9 förhåller sig till 40. Elever som inte förstår har svårt att se det värdemässigt största talet (åk 1), i studien tal mellan 0–20 (s. 512). Lärarens feedback påverkar “these errors”---> identifiera elever med svårigheter och ge extra stöd (s. 514). Författare Titel Tidskrift Publikationsår Syfte Design Urval Datainsamling Land Studiens teoretiska utgångspunkt/ra m Resultat 1 Viktiga aspekter för att utveckla förståelse för det decimala talsystemet. 2 Konsekvens 3
Hur kan lärare bedriva undervisning för att underlätta förståelsen för det decimala talsystemet? Lambert &
v Place-value computation in children with mathematics difficulties. Journal of experimental child psychology. (2017) sämre i matematik de vanliga. (s. 217). Går resultaten att koppla till svårigheter med det decimala talsystemet? Grupp 1 79 elever (29 med svårighet med aritmetik) - många hade inte tyska som modersmål. Grupp 2 50 elever (25 flickor, 25 pojkar) utan svårigheter. 13 skolor, åk 3. Tyskland. Kvantitativ metod. presterar sämre än elever utan svårigheter (datorbaserat som mäter elevsvar mot tid). aritmetik för hindu-arabiskt system. Saknar strategier för att förstå övergångar. reaktionsförmåga (s. 218) - går ej att ha i vårt arbete. Elever med svårigheter tar längre tid på sig.
ofta och tar inte hänsyn till tiotalspositionen (s. 220). Räknar mekaniskt (procedurellt), (s. 220). Elever med svårigheter gör oftare fel i uppställningar och missar tiotalsövergångar (s. 221). Det decimala talsystemet är kopplat till strategin talsorter var för sig - strategin bygger på att kunna dekonstruera tvåsiffriga tal med varandra (s. 222) 219 + 222: Felsvar i procent beror på bristande kunskaper i positionssystemet 222, fast ev beror det på strategier kring räknande. Olika strategier förbättrar aritmetiken (s. 222). Beräkning - summan får ej vara mer än 99. Alla fick samma tal men
MD fick lättare tal.
vi Författare Titel Tidskrift Publikationsår Syfte Design Urval Datainsamling Land Studiens teoretiska utgångspunkt/ra m Resultat 1 Viktiga aspekter för att utveckla förståelse för det decimala talsystemet. 2 Konsekvens 3
Hur kan lärare bedriva undervisning för att underlätta förståelsen för det decimala talsystemet?
Chan, Au, Lau, Tang Counting errors as a window onto children's place-value concept. Contemporary Educational Psychology. (2017)
Visa och analysera om elevers felsvar med beräkning med konkret material har koppling till förståelse för decimala systemet. 1. Hur förändras elevers fel under åk 1.
2. Finns det några tidiga tecken på svårigheter kopplade till det decimala talsystemet, med elever som har MD? 433 elever i åk 1 (242 pojkar, 191 flickor). 87 Low achievers 102 average achievers 86 high achievers. 21 olika skolor. Hong Kong. Kvantitativ metod. Kan konkret material förbättra elevers förståelse? Relaterar till elevers förståelse för det decimala talsystemet (s. 127). 10-bassystem är grunden till positionssystem - utvecklar att nollan inte ändrar värde (s. 128, 4.2). Siffrorna i ett tal representerar ett “osynligt värde” - strukturell uppbyggnad (s.
128; 4.2).
Elever som har svårt för aritmetik har svårt för det decimala talsystemet; studien visar att strukturen är svår att förstå. De gör mer slumpvalda fel än vanliga elever (s. 128) (s. 128)-4.2. Kombinationsfel i additionsalgoritm där 50 + 4 resulterar i 504; elever inser inte att nollan fyller en tom position och ska adderas med 4
(s. 128).
1. Random sequence error.
Lärare kan analysera vilka fel elever gör för att sedan hjälpa dem.
(s. 129).
4.4 Feedback; mest
förekommande fel var random error och motverkas genom “ett-till-ett princip” (s. 129). 2.2.1 Stöd för konkret material (kopplas till Nataraj & Thomas) - eftersom elever i studien var unga
