Examensarbete
Grundlärarutbildning åk 4-6, 240 hp
Synliggörande av elevers förståelse i
matematikundervisningen
En kvalitativ studie om elevers olika sätt att visa
förståelse för bråktal i en undervisningskontext
Examensarbete II för grundlärare åk
4-6, 15 hp
Halmstad 2018-06-26
Titel Synliggörande av elevers förståelse i matematikundervisningen: En kvalitativ studie om elevers olika sätt att visa förståelse för bråktal i en undervisningskontext
Författare Hillevi Karlsson & Cajsa Nilsson
Akademi Akademin för lärande, humaniora och samhälle
Sammanfattning Bråktal är ett begrepp som är svårt att förstå för många elever eftersom det inte
undervisas tillräckligt om det och anses som sällsynt i vardagslivet. Bråk är dessutom det begrepp som är mest komplext för elever i skolan och det finns mycket forskning som undersökt elevers förståelse för begreppet i testsituationer. Syftet med denna studien är därför att undersöka hur elever i två klasser i årskurs 4–5 förstår bråktal där vi ställer oss frågan på vilka olika sätt elevernas förståelse för bråktal visar sig i en undervisningskontext. Vi har använt oss av en kvalitativ ansats där vi observerat två klasser på olika skolor där vårt resultat fokuserar på vilka olika sätt elevernas förståelse visas för täljare och nämnare, delar och helheter. Vi drar slutsatsen att elevernas förståelse visar sig genom att de använder egna och andras bilder, pekar och förklarar, associerar till tidigare erfarenheter, kopplar till den vardagliga kontexten samt att förståelsen visar sig genom att läraren stöttar. Då bråkbegreppet innehåller många undergrupper skulle vidare forskning kunna vara att undersöka hur dessa delar ska behandlas tillsammans i en undervisningskontext så att fler elever förvärvar kunskap om bråktal.
Nyckelord Bråktal, Förståelse, Undervisningskontext, Uppfattning
Innehållsförteckning
Förord 1
Inledning 2
Syfte och frågeställningar 3
Bakgrund 3
Förståelse och uppfattning 3
Innebörden av bråktal 3
Undervisning om bråktal 4
Tidigare forskning om elevers uppfattningar om bråktal 5
Täljare och nämnare 5
Delar 6
Helheter 7
Viktiga aspekter av förståelsen för bråktal 7
Metodavsnitt 8 Urval 8 Genomförande 8 Insamlingsmetod av empirin 9 Forskningsetiska överväganden 10 Bearbetning av empirin 10 Analystabell 11 Metoddiskussion 11 Resultat 13
Täljare och nämnare 13
Delar 15
Helheter 17
Slutsats och diskussion 19
Implikation 20 Referenslista 22 Källmaterial 22 Litteratur 22 Bilagor 24 A - Bröduppgiften 24 B - Cirkeluppgiften 24 C - Jämföra 24 D - Storleksordna 24 E - Pizzauppgiften 25 F - Informationsblankett 25 G - Excerpt 26
Förord
Under de första tre åren under vår lärarutbildning har vi fått utbilda oss i fyra olika ämnen vilket har givit oss en bred ämneskompetens. Nu under det sista året valde vi att fördjupa oss inom ämnet matematik eftersom vi båda finner ett stort intresse för just matematiken. Vi fann intresse för detta utifrån dels vår kunskapsöversikt (Karlsson & Nilsson, 2018) som handlade om elevers missuppfattningar om bråktal, dels från vårt utvecklingsarbete som handlade om vilka strategier elever använder när de tar sig an uppgifter som behandlar bråktal. Något vi inte visste när vi gav oss in i denna resan var hur givande och lärorikt detta året skulle bli eftersom vi fått en djupare ämneskunskap men framförallt en djupare didaktisk kunskap inom ämnet. Anledningen till att vi valde att skriva om bråktal grundar sig i att området många gånger upplevs som komplicerat och inte särskilt vardagsnära varken för barn och vuxna. Vår upplevelse är att bråkbegreppet inte är lika givet att behärska som andra områden inom matematiken. Exempelvis arbetar vi mer med de fyra räknesätten och stor vikt läggs ofta inte vid bråktal. Det finns mycket forskning gjord inom området och trots detta finns det inga givna svar på hur elever lär sig och hur undervisning ska bedrivas vilket gör det intressant.
Nu sitter vi här efter fyra års studier med vårt sista arbete och känner oss stolta över vad vi kunnat åstadkomma. Vi är övertygade om att vi kommer använda våra nyförvärvade kunskaper från detta arbete i vår framtida roll som lärare. Denna processen har varit både utmanande och rolig och vi värdesätter att vi fått möjligheten att utföra detta tillsammans. Trots brist på motivation under vissa stunder har vi varit duktiga på att stötta varandra och vi har funnit det roliga i det ibland jobbiga. Vårt samarbete har fungerat bra under hela perioden då vi dels kompletterar varandra eftersom vi är bra på olika saker, dels att vi båda har tagit lika stort ansvar för att arbetet ska bli så bra som möjligt. Framförallt skulle vi vilja tacka alla deltagande för tålamod och för deras vilja att hjälpa till. Utan dem hade det inte blivit någon studie. Vi skulle även vilja lägga ett stort tack till våra handledare. Tack Anna Ida Säfström för din explicita ämneskompetens inom matematik och din förmåga att se detaljer som har haft stor betydelse för vårt arbete. Tack Caroline Nagy för ditt fantastiska didaktiska bidrag och din otroliga hjälpsamhet. Ni båda har givit oss framåtsyftande kommentarer som faktiskt har fått oss att vilja arbeta vidare.
Vänligen,
Inledning
Denna studie kommer ha fokus på elevers förståelse för bråktal i en undervisningskontext. Löwing (2016) lyfter fram bråk som ett område som är svårt för en del elever. Bråktal är en viktig del av skolans matematikinnehåll eftersom det stödjer utvecklingen av proportionellt tänkande samt att det är av betydelse för kommande undervisning i matematik såsom algebra och sannolikhet (Clarke, Roche & Mitchell, 2010, s. 1).
Bråktal är dessutom det mest viktiga och komplexa matematiska begrepp som elever stöter på under sin skoltid (Behr, Lesh, Post & Silver, 1983, s. 91). Forskarna menar att bråktal är viktigt utifrån tre perspektiv: (a) ett praktiskt perspektiv, där eleverna lär sig att hantera problem och situationer i verkliga livet, (b) ett psykologiskt perspektiv, där eleverna utvecklar sitt mentala tänkande vilket är viktigt för deras intellektuella utveckling och (c) ett matematiskt perspektiv, där förståelse av bråktal är grunden för att förstå andra matematiska innehåll, exempelvis algebra. Fortsättningsvis menar Behr et al. att det är komplext då det finns många undergrupper i bråktal, exempelvis del-helhet-jämförelse, decimaltal, proportion, kvot och operator. Forskarna menar att elever inte ska ha förståelse för var och en av delarna utan elever behöver förståelse för dessa delarna tillsammans och deras förhållande vilket gör att det blir svårt för många elever att nå en fullständig förståelse för bråktal.
Undervisningen om bråktal är för det mesta förenklad och en av orsakerna grundar sig i att lärare tänker att bråkräkning, det vill säga olika operationer med bråktal, är sällsynt i vardagslivet och att det då skapar onödiga dilemman för eleverna (Löwing, 2006, s. 160). Löwing menar vidare att bråkundervisningen är förenklad på grund av att lärare undviker operationer som är svåra samt att de flesta beräkningar görs på miniräknare för att omvandla bråkformen till decimalform. Detta kan leda till att det inte undervisas tillräckligt om bråk. Enligt Karlsson och Nilsson (2018) uppfattar lärare många gånger bråkbegreppet som svårt vilket kan vara orsaken till att lärare också tycker att det är svårt att undervisa inom området.
Flera tidigare studier har undersökt elevers uppfattningar genom skriftliga tester vilket kan vara problematiskt. I testsituationer arbetar elever ofta enskilt och många gånger ska testet göras inom en viss tidsram vilket gör det svårt för läraren att se elevers uppfattningar. Denna studie kommer istället att undersöka elevers förståelse eller uppfattningar i en undervisningskontext. Därmed kommer denna studie att bidra med kunskap om hur elever uppfattar bråktal i undervisningen då det är där som lärande sker. När lärare får kunskap om vad elever uppfattar är det lättare att genomföra en undervisning som möter eleverna där de befinner sig kunskapsmässigt.
Syfte och frågeställningar
Syftet med studien är att undersöka hur elever i två klasser i årskurs 4–5 förstår tal i bråkform. Forskningsfrågan vi ställer oss är:
• På vilka olika sätt visar sig elevernas förståelse för bråktal i en undervisningskontext?
Bakgrund
I följande avsnitt beskriver vi begreppen förståelse och uppfattning eftersom vi kommer att använda oss av dem i studien. Vi beskriver vad begreppet bråktal innebär, vi presenterar anledningar till varför elever behöver förstå bråktal, hur undervisningen i området ser ut, hur elever förstår bråktal utifrån test och tar slutligen fram viktiga aspekter för förståelsen av bråktal. Till vår hjälp använder vi tidigare forskning och litteratur.
Förståelse och uppfattning
Vi har valt att använda oss av begreppen förståelse och uppfattning. Begreppet förståelse använder vi när eleverna visar en förståelse för något vilket Gärdenfors (2010, s. 135) menar är när elever kan använda sig av införskaffad kunskap och kan se mönster. Han menar även att när kunskapen kan sättas och tillämpas i olika sammanhang blir kunskapen produktiv där förståelse förvärvas (Gärdenfors, 2010, s. 36). Vi är medvetna om att vi aldrig kan veta om en elev förstår innehållet eller inte men som lärare handlar det om att tolka elevers kunskaper. Det är alltså upp till oss att tolka om eleverna förstår bråkbegreppet eller inte. Begreppet uppfattning använder vi istället när eleverna visar att de har en uppfattning om bråkbegreppet men ännu inte förståelse för begreppet. Ibland skriver vi även att eleverna ännu inte har förståelse.
Innebörden av bråktal
Ett bråktal används för att uttrycka andelar av en kvantitet eller mängd (McIntosh, 2010, s. 27– 28). McIntosh menar att termen nämnare används för att ge namn åt andelen, exempelvis sjundedel, !" , medan täljare talar om hur många andelarna ska vara, exempelvis tre, !#. Han skriver också att när man delar en samling föremål eller en helhet i lika stora delar kan varje del uttryckas som ett stambråk som till exempel $% , $# och $'. Detta är grunden för att förstå bråkformen.
Enligt Lindegren, Welin & Sönnerhed (2012, s. 36) som skrivit en artikel i Nämnaren kan tal i bråkform utifrån ett del-helhetsperspektiv illustreras antingen med hjälp av del av helhet eller med hjälp av del av antal. Del av helhet illustreras ofta med en pizza, kladdkaka eller liknande där man delar in helheten i lika stora delar. Här är det fokus på att alla delar ska vara lika stora. I del av antal anger helheten av en mängd olika objekt, exempelvis tolv godisbitar. Om dessa bitar ska delas in i fjärdedelar betyder det att det ska vara lika många bitar i varje del, i detta fall tre bitar. Här är det istället fokus på att antalet objekt är lika många i varje del och inte storlek på bitarna (Lindegren, Welin & Sönnerhed, 2012, s. 36).
Löwing och Kilborn (2002, s. 354) menar att både på elementär nivå och i vardagliga sammanhang har bråk många “ansikten”. Enligt författarna finns bråk som tal, där man kan se talet som en punkt på en tallinje där talet i de flesta fall kan representeras som ett decimaltal. I likhet med del av helhet och del av antal som Lindegren et al. (2012, s. 36) beskriver så lyfter Löwing och Kilborn även fram att bråk finns som del av en hel, exempelvis att man delar en chokladkaka i lika stora delar och äter en del. De skriver även att bråktal finns som del av ett
antal. Enligt Löwing och Kilborn finns bråktal också som proportion eller andel av något och
är då inte ett tal vilket exempelvis kan vara att %# i en klass är flickor. Till sist finns bråktal även som förhållande där exempelvis %' innebär två kilogram salt för fem kronor där siffrorna 2 och 5 i bråktalet har olika enheter.
En studie av Schoenfeld (2007, s. 269–270) visar att bråktal är komplext då det innehåller många delar och att dessa delar hör ihop med varandra. Dessa delarna är till exempel att kunna omvandla bråktal till decimaltal eller procent, att kunna multiplicera eller dividera bråk med varandra, bråk som en del av en hel och att alla delarna ska vara lika stora, ekvivalenta bråk, rollen av täljare och nämnare och bråk på en tallinje. Schoenfeld menar att en person som förstår matematiken djupgående även ser hur delarna är förenade. För en person som håller på att lära sig detta är det skillnad och ibland finns en viss koppling och ibland ingen alls, vilket kan leda till att vissa typer av fel uppstår i förståelsen.
För att elever ska få en djupare förståelse för bråktal behöver elever, enligt McIntosh (2010, s. 29), förstå fyra grundläggande aspekter av bråk: (a) alla delar måste vara lika stora för att de ska vara bråkdelar. (b) nämnaren visar i hur många delar som en hel har delats i. (c) ju större nämnaren är när täljaren är densamma, det vill säga ju fler delar helheten är delad i, desto mindre är bråket eftersom varje del blir mindre. (d) täljaren visar hur många delar av helheten som finns.
Undervisning om bråktal
Traditionellt sett har undervisningen i bråk inte givit eleverna tillräckligt med tid och möjligheter för att utveckla en förståelse för vad bråktal är för något (McIntosh, 2010, s. 29). McIntosh menar att mycket tid av undervisningen istället lagts på att lära ut regler för de fyra räknesätten. Kilborn (2014, s. 3) skriver att den traditionella undervisningen har varit formell och haft fokus på algebraiska uttryck och formler. Mycket av undervisningstiden har lagts på
(egenritad bild av del av antal efter Lindegren et al. (2012) definition)
(egenritad bild av del av helhet efter Lindegren et al. (2012) definition)
beräkning med de fyra räknesätten vilket McIntosh hävdar är svårt nog. När det gäller elevernas förståelse av bråktal menar McIntosh vidare att många elever uppfattar storleken av ett bråktal i förhållande till tre referensmärken: 0, $% och 1, där 1 motsvarar det hela talet som delats i lika delar. Övergången från hela tal till bråktal är en kritisk punkt för många elever (McIntosh, 2010, s. 28). Detta steg kan orsaka svårigheter för eleverna då det nya talet betecknas med två tal samt att det är uppdelat i delar och att det finns olika många delar. Dessutom ska eleven kunna hålla kvar relationen mellan dessa två tal (McIntosh, 2010, s. 28).
Lindegren et al. (2012, s. 40) menar att elever måste få undervisning i både del av helhet och del av antal för att upptäcka likheter och skillnader för att uppnå förståelse för begreppet bråktal. Författarna har i studien uppmärksammat att bråktal ofta introduceras och representeras med hjälp av del av helhet, exempelvis pizzor eller chokladkakor vilket gör att eleverna lär sig mer om hur man delar in dessa mängder.
Tidigare forskning om elevers uppfattningar om bråktal
I alla studier som presenteras har eleverna fått genomföra tester enskilt. Elevernas uppfattningar delas in i tre olika huvudgrupper vilka är att en del elever ser täljare och nämnare som heltal och har svårt att se relationen mellan täljare och nämnare, att en del elever inte tar hänsyn till att delarna i ett bråktal ska vara lika stora samt att en del elever saknar förståelse för helheter av bråktal. Nedan beskrivs också vilka förutsättningar eleverna haft inför och under testerna eftersom det kommer att ha betydelse för vår resultatdiskussion.
Täljare och nämnare
Det finns en del studier som visar att elevers förståelse för bråktal handlar om deras förståelse för täljare och nämnare. En uppfattning är att täljaren ses som ett heltal. I en studie genomförd av Purnomo, Kowiyah, Alyani och Assiti (2014, s. 74) deltog 80 stycken 12–13-åringar. En fråga som redovisas i testet handlar om hur många bråktal det finns mellan %
' och #
'. Vardera
uppgift i testet skulle besvaras på högst en minut och tio sekunder där eleverna arbetade enskilt. I denna uppgiften skulle eleverna ringa in rätt svar för att sedan skriva en motivering där eleverna inte hade tillgång till något material förutom penna. Resultatet visar att ungefär 95 procent av de elever som gjorde testet svarade att det inte finns något bråktal däremellan eftersom de menar att %' kommer innan #' på grund av att heltalet 2 kommer innan 3. Eleverna har ännu inte förståelse för att bråktalen kan omvandlas till andra bråktal där det går att se att det finns bråktal emellan, exempelvis $)( och $)*. Eleverna fokuserar endast på täljaren som ett heltal och tänker att det inte finns något heltal mellan 2 och 3.
I en annan studie gjord av Andersson-Pence, Moyer-Packenham, Westenskow, Shumway och Jordan (2014, s. 9) kan liknande uppfattning ses där elever använder sin förförståelse för heltal. I studien ges ett exempel på när en elev delar in en pizza i åttondelar där eleven slutligen menar att (+ är större än $% då 4 är större än 1. Ungefär 25 procent av eleverna som utförde uppgiften hade denna uppfattning. Eleverna fick rita egna modeller av pizzor för att lösa uppgiften i testet
där någon tidsbegränsning inte var utsatt. Dessutom hade eleverna innan testet utfördes fått undervisning i just bråktal. I studien deltog 371 elever i 8–9-årsåldern.
Elevers förståelse för täljare och nämnare kan också handla om att nämnaren uppfattas som ett heltal. I en studie som kan liknas vid föregående studier och de uppfattningar som där urskiljs är att eleverna använder sig av en strategi där de placerar tal på en tallinje utifrån ordningsföljden av heltal. Denna studie utfördes av Zhang, Stecker och Beqiri (2017, s. 227– 228) där ett testinstrument användes för att testa bråk på en tallinje på 51 elever i 11–13-årsåldern. Eleverna skulle placera ut de olika bråktalen på en tallinje för att sedan motivera deras svar. Resultatet visar att en av de mest förekommande uppfattningarna handlar om att eleverna delade in en tallinje som de är vana vid att se en linjal och delade först in tallinjen i jämna delar. Zhang et al. (2017, s. 230) identifierar att en del av dessa elever placerade ut det bråktal de var mest bekanta med, $% , som de visste är mitten på tallinjen. Därefter placerade de
$ # efter $ % , $ ( efter $
# och så vidare. Eleverna placerade bråktalen utefter den siffra som nämnaren
visar där eleverna sorterade efter heltal. Eleverna fick göra varje fråga på högst två minuter och om de inte blev färdiga blev de ombedda att gå vidare till nästa fråga.
Delar
Det finns studier som visar att en del elevers uppfattningar av bråktal grundar sig i att de ännu inte har förståelse för att delarna i ett bråktal ska vara lika stora. I Purnomo et al. (2014, s. 79) studie fick eleverna utifrån en figur svara på vilket bråktal den ifyllda delen av figuren representerar (se bild nedan). 78 av 80 av de medverkande eleverna svarade att figuren representerar $(. Purnomo et al. förklarar att de flesta av dessa elever först såg till helheten vilket är 1 och skrev upp detta som täljare. Sedan räknade de delarna vilket är 4 och angav denna siffra som nämnare och skrev då svaret $(. Forskarna menar att eleverna skriver svaret utan att överväga om alla delar är lika stora.
En elev som svarar att bilden motsvarar $( i studien gjord av Purnomo et al. (2014, s. 79)
Testet som gjordes i Andersson-Pence et al. (2014, s. 9) studie visar att en del elever tolkar att en pizza delad i $)( är större än en pizza som är delad i %' eftersom eleverna ansåg att delarna i
(
$) måste vara större eftersom de var fler. Vår tolkning är att detta även hör ihop med heltal då
eleverna troligen vet att 10 är fler än 5 och 4 är fler än 2. I deras studie visar resultatet även att en del av de elever som deltog har en tendens att se delarna i en helhet som antal och inte till
storlek. Purnomo et al. (2014, s. 79) har sett liknande resultat i sin studie där en del elever räknar hur många delarna är och inte ser till hur stora delarna är.
Som tidigare skrivits fram visar resultatet från Zhang et al. (2017, s. 230) studie att när eleverna skulle placera ut ett bråktal på en tallinje associerade en del av eleverna tallinjen till en linjal. Resultatet visar även att en del elever delade in tallinjen utifrån nämnaren i bråktalet. Om nämnaren var 3 använde eleverna linjalen och delade från vänster in tallinjen i tre centimetersintervaller och lämnade resten av tallinjen tom. Zhang et al. menar här att dessa elever inte har full förståelse för att helheten ska delas in i lika stora delar.
Helheter
En del studier visar att elever inte har full förståelse för helheter. Lindegren et al. (2012, s. 37– 38) diskuterar i sin artikel i Nämnaren huruvida elever i tidigare skolåren, i ett test utfört av lärarstudenter i Jönköping, förstår representationer av bråktal när helheten inte är given. I en av uppgifterna blev eleverna ombedda att fylla i #' av stjärnorna där helheten består av tio stycken stjärnor. I ett elevexempel har eleven först ringat in fem stjärnor med hänsyn till nämnarens storlek för att sedan fylla i tre av dessa. Här menar författarna att representationen, del av antal, ställer till det i förståelsen för eleven eftersom eleven inte ser helheten som en helhet och menar vidare att eleven tänker att om nämnaren har värdet 5 så bör också nämnaren vara fem delar.
(En elev som väljer att fylla i #' på detta sättet i Lindgren et al. (2012, s. 37–38) artikel)
Andersson-Pence et al. (2014, s. 9) menar att många elever i deras studie tänker att $% alltid är lika stort oavsett vad $% representerar oberoende av helheten. Forskarna kunde utläsa av elevernas resultat att de hade svårt för att visualisera modeller av pizzor av olika storlek då $% inte alltid blev lika stort. Forskarna menar att eleverna fokuserar mer på delarna än helheten vilket gör att de inte funderar på att pizzorna kan ha olika storlek. Även Zhang et al. (2017, s. 230) skriver i sin studie om problematiken med att förstå helheter där de medverkande eleverna skulle ange talet "' på en 0–5 tallinje. En av eleverna såg tallinjen som en helhet istället för fem helheter och satte därför "' utanför tallinjen istället för att dela in varje helhet i fem delar och sedan utgå från det. Zhang et al. menar att detta betyder att eleven i detta fall ännu inte har förståelse för helheter.
Viktiga aspekter av förståelsen för bråktal
Utifrån tidigare forskning lyfts det att (1) elever har svårt att förstå bråktal på grund av att de ibland ser täljare och nämnare som heltal och ännu inte har förståelse för relationen mellan
täljare och nämnare. (2) En del elever har svårt att förstå att delarna ska vara lika stora i ett bråktal och (3) en del elever har ännu inte förståelse för att helheter kan vara olika stora. Dessa svårigheter har vi valt att sammanställa och omvända till viktiga aspekter vid förståelsen av bråktal vilka är:
• (1) Förståelse för täljare och nämnare.
• (2) Förståelse för delar.
• (3) Förståelse för helheter.
Metodavsnitt
I detta avsnitt presenteras urval, genomförande, insamling av empiri, forskningsetiska överväganden, bearbetning av empirin samt metoddiskussion. Vi har valt att göra en kvalitativ studie. Ahrne och Svensson (2015, s. 10) menar att observationsanteckningar ofta är ett bra exempel på kvalitativa data eller empiri vilket vi har använt oss av. Inom en kvalitativ studie är det inget som mäts utan det handlar om att undersöka att något finns, hur det fungerar och i vilka situationer det förekommer. Denna typ av metod passar vår empiri då syftet med studien är att undersöka elevernas förståelse för bråktal där vi vill undersöka elevernas förståelse i en undervisningssituation.
Urval
Empirin samlades in under våren 2018 i samband med ett utvecklingsarbete där urvalet var detsamma som i denna studie och vi använde oss av det som Bryman (2018, s. 243) kallar för ett bekvämlighetsurval vilket betyder att deltagarna var de som var tillgängliga för oss vid tillfället. Två klasser från två olika skolor i två kommuner varav en årskurs 4 och en i årskurs 5 deltog. Klassen i årskurs 4 hade inte arbetat särskilt mycket med begreppet bråktal innan medan klassen i årskurs 5 hade gjort det. Studien tog sin grund i att lärarna på skolorna uttryckte att det fanns ett behov av elevers utveckling av bråktal samt att tidigare forskning visar att det finns många svårigheter gällande elevers förståelse av bråktal. Insamling och dokumentation genomfördes kontinuerligt under en femveckorsperiod där vi sedan valde ut den data som besvarade vårt syfte och frågeställning. Sammanlagt har vi cirka 70 minuters transkriberad data. Tillsammans med egna observationer var detta tillräckligt utifrån studiens omfattning.
Genomförande
Vi har låtit eleverna lösa olika uppgifter om bråk. Eleverna arbetade i mindre grupper om två till tre personer och fick använda olika material exempelvis penna, papper, färgpennor och ibland givna figurer för att lösa uppgifterna. Sammanlagt deltog nio grupper som delades in utefter sociala faktorer vilket betydde att vi försökte göra grupper med individer som skulle fungera socialt med varandra. I en del situationer har en av oss deltagit, vilket vi i resultatet benämner som lärare, när vi ansåg att det fanns ett behov av det eftersom några elever var i behov av extra stöd i sin kunskapsprocess. Eleverna fick ur ett kompendie välja uppgifter som de skulle ta sig an. Grupperna blev placerade i grupprum där de fick arbeta ostört.
Uppgifterna ur kompendiet hade tagits fram med särskild hänsyn till de uppfattningar som synliggörs i tidigare forskning. I kompendiet fanns tolv uppgifter varav vi i vårt resultat har
med excerpt från fem av dessa. De uppgifter som var med var de som eleverna valde att arbeta med och var de uppgifter som dokumenterades. Urvalet var inte ett medvetet val från vår sida. I bakgrunden presenteras bråk som del av antal och del av helhet, däremot har vi endast med uppgifter i resultatet som behandlar del av helhet eftersom det var dessa uppgifter som eleverna valde att göra. Uppgifterna ligger som bilagor (A-E) i slutet av arbetet. Syftet med uppgifterna var att få syn på om uppfattningarna från de tester som utförts i tidigare forskning även syns i en undervisningskontext.
Studien startade med att eleverna fick undervisning om bråk i tre veckor. I undervisningen arbetade vi med praktiska övningar och en del elevaktiva genomgångar. Eleverna arbetade även i par med uppgifter av liknande karaktär som i kompendiet. Därefter fick eleverna under en tvåveckorsperiod arbeta i sina grupper med kompendiet och uppgifterna som fanns i kompendiet hade eleverna inte arbetat med tidigare. Anledningen till att vi valde att undervisa eleverna först var för att vi ville skapa goda förutsättningar med avseende att eleverna i årskurs 4 inte hade särskilt mycket erfarenhet av undervisning av bråktal.
Insamlingsmetod av empirin
Empirin har samlats in i samband med ett utvecklingsarbete. Syftet med arbetet var att utveckla matematikundervisningen i årskurs 4-5 genom att låta eleverna ta sig an bråktal på, för dem, nya och kreativa sätt. Med nya och kreativa sätt menas arbete med material och arbete tillsammans i både större och mindre grupper. Den empiri vi samlade in, vilket var transkriberad data och observationer, var av relevans även för denna studie eftersom vi i utvecklingsarbetet bedrev undervisning för att få syn på vilka strategier eleverna använder sig av när de tar sig an bråktal. Den data vi samlade in kan även besvara detta arbetets frågeställning. Vid insamling av empirin placerades en kamera i rummet för att ta upp både ljud och bild för att sedan transkriberas och analyseras. En grupp i taget filmades i ett rum med en kamera. Anledningen till att vi valde videoinspelning var för att öka möjligheten att få syn på så mycket som möjligt. Bjørndal (2005, s. 72) menar att videoinspelning är fördelaktigt då man konserverar sina observationer samt att video fångar en rikedom av detaljer.
Vi ville att eleverna skulle vara oidentifierbara vilket möjliggjordes genom att rikta kameran ner i bordet istället för att låta deras ansikten synas och därmed endast dokumentera deras arbeten och det matematiska innehållet. Vinsten med detta, enligt vår upplevelse, var att eleverna hade vetskapen om att de inte syntes i någon film vilket gjorde att de flesta blev avslappnade och kunde fokusera. Efter varje videoinspelning förde vi loggbok där vi direkt skrev ner det som framkom i grupperna. Bjørndal (2005, s. 62) menar att loggboksskrivande bidrar med ett systematiskt sätt för reflektion eftersom den pedagogiska vardagen ofta är mättad med händelser som gör att det inte finns tid för reflektion. Loggboksskrivandet var en betydande del i forskningsprocessen då den möjliggjorde reflektion tillsammans i efterhand. Detta eftersom vi utförde undersökningen på olika skolor och att det fanns anledningar som gjorde att vi inte kunde reflektera tillsammans i direkt anslutning till lektionen.
Forskningsetiska överväganden
Inför studien blev rektorer, lärare, elever och vårdnadshavare informerade om studiens syfte då en informationsblankett (se bilaga F) delades ut. Därmed uppfylldes informationskravet som är ett av de forskningsetiska kraven från Vetenskapsrådet (2002, s. 7–14). Ytterligare krav är samtyckeskravet, konfidentialitetskravet och nyttjandekravet. Eleverna fick tillsammans med vårdnadshavare lämna sitt godkännande till att deltaga i studien vilket gjorde att samtyckeskravet uppfylldes. När samtyckeskravet var tillgodosett påbörjades dokumentationen. Dessförinnan hade undervisningen redan påbörjats men detta utan dokumentation. Vi var dock noga med att påpeka att elevernas deltagande var frivilligt även om deras vårdnadshavare givit godkännande.
Eidevald (2015, s. 117) menar att när man spelar in interaktioner mellan människor registreras en mängd saker, även sådant som inte är för avsikt att analysera kommer att registreras. Han menar vidare att det som de inspelade säger och gör kan komma att presenteras i sammanhang som de inspelade saknar kontroll över. Vid transkriberingen valde vi utifrån detta att beskriva elever vid siffror samt att vi endast transkriberade det som hade med vårt syfte och frågeställning att göra samt det som var matematiskt. Allt annat som eleverna pratade om som inte var kopplat till matematik och specifikt bråktal valdes att inte transkriberas. Dessa övervägandena gjordes för att i största mån hålla de medverkande oidentifierbara. Därmed uppfylldes konfidentialitetskravet. Dokumentationen användes endast till denna studie och kommer efter studiens slut att raderas vilket uppfyller det sista kravet, nyttjandekravet.
Bearbetning av empirin
Vi har gjort vår analys utifrån tidigare forskning och därmed skapat ett eget analysverktyg i vårt analysarbete. Vi utgick från uppfattningar som vi kunnat urskilja ur tidigare forskning och delade upp dessa i olika grupper. Utifrån dessa grupper kunde vi tolka att det fanns aspekter som är viktiga vid förståelsen som elever i dessa studier saknade. Vi omvände uppfattningarna och det som eleverna har svårt för till viktiga aspekter som behövs för förståelse för bråktal. Framtagningen av dessa aspekter presenterade vi under bakgrunden. Dessa aspekter är:
• (1) Förståelse för täljare och nämnare.
• (2) Förståelse för delarna.
• (3) Förståelse för helheterna.
Det är dessa aspekter som användes som analysverktyg av empirin. Med hjälp av vårt verktyg granskade vi vårt empiriska material, vilket var ett antal filmer som har transkriberats. De delar i transkriptionen där aspekterna framkom färgkodades och kallas nu för excerpt. Excerpten utgjorde olika teman som kunde kopplas till en av aspekterna. Ett tema kan ses som en undergrupp till aspekterna. Temana är mer specifika till skillnad från de mer övergripande aspekterna. Vissa teman var av liknande karaktär och kunde slås ihop. Slutligen framkom tre teman under varje aspekt. Varje aspekt utgjorde sedan varsin kategori i vårt resultat vilka blev
Täljare och nämnare, Delar och Helheter. Vidare i arbetet benämns aspekterna som kategorier.
För att tydliggöra hur temana kopplades ihop med kategorierna och hur excerpten kopplades ihop med temana placerades dessa i en analystabell (se nästa sida). Aspekter och kategorier är därmed samma sak och därför står de båda med i tabellen. De excerpt som togs fram ur
transkriptionen fick varsitt nummer (se bilaga G) och är de excerpt som i kronologisk ordning presenteras i resultatet. I excerpten kunde vi se på vilka olika sätt elevers förståelse för bråktal visar sig i en undervisningskontext. I analystabellen ingick även vilken uppgift som behandlats i varje excerpt och därmed även vilka elever det var som utförde uppgiften.
Analystabell
Kategorier/
Aspekter Teman Excerpt Uppgift Deltagare
Täljare och
nämnare Räknar delarna och ser antal delar som nämnaren 2 Bröduppgiften Lisa, Pelle, Olle, Lärare Ju större nämnaren är desto fler och större delar
är det 3 Storleksordna Ibrahim, Lärare Tänker delarna i heltal, att täljaren i exempelvis
¼, ses som heltalet 1 1 Bröduppgiften Alice, Adam, Lärare
Delar Försöker göra delarna i två olika bråktal lika
stora 6 Jämföra Melissa, Liam
Delarna måste vara lika stora
4 Bröduppgiften Per, Lärare
5 Cirkeluppgiften Märtha, Simon, Anders Ju färre gånger en helhet delas i desto större blir
delarna 7 Storleksordna Ali
Helheter Helheterna behöver inte vara lika stora vid
jämförelse 10 Jämföra Melissa, Liam Helheter kan vara olika stora 8 Pizzauppgiften Elton, Zeb, Lärare Kan jämföra två bråktal när helheten är samma 9 Storleksordna Kerstin
Metoddiskussion
De aspekter vi tog fram utifrån tidigare forskning kan jämföras med de aspekter som McIntosh (2010, s. 29) och Schoenfeld (2007, s. 269–270) menar är grundläggande för att elever ska få en djupare förståelse för bråktal. Dessa handlar framförallt om förståelsen för delar och helheter och förståelse för täljare och nämnare. Dessa aspekter har vi utifrån tidigare forskning också tagit fram som viktiga. McIntosh, Schoenfeld och vi har tagit fram liknande aspekter och argumenten för att använda dessa som analysverktyg blev starka. Dock är våra aspekter mer generella jämförelsevis med McIntosh och Schoenfeld. Om vi hade haft specifika aspekter som viktiga för att förstå bråktal hade det kanske varit svårare att hitta exakt dessa aspekter i vår
empiri. Anledningen till att vi valde de mer övergripande aspekterna, förståelse för täljare och nämnare, förståelse för delar och förståelse för helheter var för att vi skulle kunna se dessa aspekter i vårt material på olika sätt eftersom det fanns undergrupper till varje aspekt vilket vi i tabellen ovan skriver fram som teman.
Angående de uppgifter vi analyserat kan vi i efterhand å ena sidan se att det kanske hade varit av betydelse om vi hade valt vilka uppgifter eleverna skulle ta sig an istället för att eleverna skulle välja. Detta med avseende att vi hade låtit eleverna arbeta med andra delar inom bråktal vilket möjligtvis hade medfört att flera olika sätt att förstå bråktal hade blivit synliga vilket i sin tur hade kunnat påverka resultatet. Å andra sidan är det inte säkert att fler uppgifter skulle medfört något ytterligare till resultatet. Vi valde att ha undervisning inom området innan eleverna fick arbeta med uppgifterna vilket kan ha påverkat resultatet eftersom en av klasserna inte hade lika mycket erfarenhet av bråk. Om dessa elever inte alls hade fått någon undervisning kan vi föreställa oss att eleverna antingen inte hade kunnat svara på frågorna eller hade haft andra uppfattningar. Vi valde att genomföra undervisning före på grund av att vi inte ville utsätta dem för tester eller uppgifter utan att förbereda dem först.
Då vi valt att använda oss av videodokumentation har en kamera varit stående i rummet hos eleverna vilket kan ha hämmat dem med åtanke att eleverna kanske inte vågat uttala sig på samma sätt som utan kamera. En del elever vill inte visa vad de inte kan vilket kan ha gjort att en del elever satt tysta under observationerna. Eidevald (2015, s. 125) menar att barn som blir videoinspelade ofta spexar framför kameran, vilket vi även tänker kan bli tvärtom, att barn istället blir blyga. Eidevald menar även att personer som spelas in kan anstränga sig extra mycket och gör sig till och situationen blir inte lika verklig som i en vardaglig situation utan kamera. De deltagande eleverna kan ha sagt saker i kamerans närvaro som de i vanliga fall kanske inte gjort, vilket kan ha påverkat resultatet. Att komma in som utomstående forskare och dokumentera elever som inte känner oss är något som vi har ställt oss kritiska till. När vi som utomstående kommer in för att göra en undersökning med eleverna och dessutom filmar dem ställer vi oss frågan hur etiskt det är. Björkdahl Ordell (2007, s. 28) skriver att ett etiskt dilemma kan vara att eleverna upplever att de blir betraktade snarare än att själva få betrakta. Detta är något som vi kände igen oss i där vi ställer oss frågan om detta kan haft inverkan på eleverna. Samtidigt är vi medvetna om att det är på detta sätt som forskning ofta bedrivs.
Vid en kvalitativ studie finns det en risk för misstolkning av empirin. Då vi gjort en studie som innehåller observationer och videodokumentation är det upp till oss som forskare att tolka det vi ser eftersom Bjørndal (2005, s. 77) skriver att videoinspelning inte är en hel sanning av verkligheten. Vi har utifrån vårt analysverktyg försökt att tolka materialet så det passar till aspekterna och kan av olika skäl missat sådant som är av relevans för studien då vi varit inställda på just dessa delar. Eftersom empirin kan misstolkas kan det ses som en svaghet i studien. Trovärdigheten ökar dock eftersom vi sett liknande sätt att förstå bråktal genomgående i vår empiri. Videodokumentation är dock mer tillförlitligt eftersom det fångar en mängd av detaljer precis som Bjørndal (2005, s. 72) skriver. Trovärdigheten är även hög eftersom vi undersökt syftet och besvarat vår frågeställning. Att vi varit två observatörer ger också högre tillförlitlighet då vi varit två som kunnat tolka vår empiri och diskuterat vad vi sett.
Resultat
Nedan presenteras vårt resultat som besvarar vår frågeställning: På vilka olika sätt visar sig elevernas förståelse för bråktal i en undervisningskontext? Resultatet är indelat i kategorierna
täljare och nämnare, delar och helheter där det i de olika situationerna är olika elever som
deltar och ibland är även en lärare med som stöd. I de excerpt som presenteras kan det finnas flera av de viktiga aspekterna (analysverktyget) vi tagit fram men vi har valt att fokusera på en aspekt i varje excerpt. I de situationer som presenteras har eleverna antingen arbetat med
Bröduppgiften, Cirkeluppgiften, Jämföra, Storleksordna eller Pizzauppgiften. De fullständiga
uppgifterna finns i bilagor A-E. Under varje kategori framställs först resultatet som följs av en analys, sedan resultat och analys igen och varje kategori avslutas sedan med en sammanfattning.
Täljare och nämnare
En elevgrupp tar sig an Bröduppgiften som lyder: Johan delar sitt bröd i halvor sedan delar han ena halva brödet på mitten. Hur stor del är en av de minsta bitarna? I Bröduppgiften uttrycker några elever att den minsta delen är en. Elevernas förståelse och ännu inte förståelse för täljare och nämnare visar sig när läraren finns som stöttning och ställer frågor samt när läraren använder sig av en bild och pekar på den ifyllda delen. I en elevgrupp som utför uppgiften får eleverna en fråga från läraren: Hur stor del är den (pekar på den ifyllda delen)? Alice, Adam och läraren är här deltagande.
Alice: $% , äh nej äh en pytteliten smula, eller nej en eller nej fyra. Läraren: Ja, hur många bitar har vi nu?
Adam: Fyra
Läraren: Ja fyra va. Hur stor är denna biten (visar $(). Alice: En
Adam: En
Läraren: En…? (ställer sig frågande)
(Lärarens bild av $( ).
Eleverna säger en vilket kan tolkas som att de har förståelse för täljaren, att täljaren i detta fallet är 1 och de svarar på hur många antal delar som är ifylld och inte på hur stor denna delen är. En annan tolkning är också att eleverna ännu inte har förståelse för relationen mellan täljare och nämnare eftersom de enligt denna tolkningen väljer att se täljaren som ett heltal och inte tar hänsyn till nämnaren.
En annan elevgrupp tar sig också an Bröduppgiften där Lisa, Pelle, Olle och en lärare är delaktiga. Läraren frågar hur stor del av brödet en av de minsta bitarna är. En av eleverna i gruppen ritar en bild som representerar brödet med hjälp av en rektangel och delar först in den i halvor för att sedan dela in ena halvan på mitten så att dessa delarna blir fjärdedelar. Nedan är ett excerpt där Pelle räknar delarna istället för att se till delarnas storlek:
Lisa: Den är $#. Pelle: Ja $#. Olle: Ja $#. Läraren: Varför?
Lisa: Om man delar ett bröd på tre bitar så blir det ju $#, tror jag.
Pelle: Alltså jag tror fortfarande att det är $# , för titta här, en, två, tre (pekar och räknar delarna).
(En bild som representerar brödet som en elev ritat).
Vi tolkar det som att Pelle i excerptet ännu inte har förståelse för nämnarens betydelse eftersom han räknar och ser antal delar som nämnaren. Lisa och Olle uttrycker också att en av de minsta bitarna är $# vilket vi tolkar som att även dem räknar delarna och därmed ännu inte har förståelse för nämnaren.
I en annan situation är tre elever och en lärare delaktiga där det arbetas med uppgiften
Storleksordna där eleverna ska bestämma vilket tal som är störst av $( och $' . En av elevernas förståelse för bråktal visar sig när eleven tidigare i situationen förklarar att hon lärt sig hur man ska tänka angående vilket som är störst. Eleven hänvisar till ett program som hon sett där en vuxen person hävdar att den vill ha %)$ av en summa pengar då personen ansåg att det var mer än $( och + $ . I excerptet nedan är det en av eleverna, Ibrahim, som fortsätter diskussionen tillsammans med läraren enligt följande:
Ibrahim: Jo men $
%) är ju större än $ +. Läraren: Är det det?
Ibrahim: Nej alltså inte större men %)$ har ju fler bitar om man tänker så. Man får ju mera. Läraren: Får man mera?
Ibrahim: Ja om man äter mera alltså av själva bitarna.
I excerptet uttrycker Ibrahim att %)$ ger fler bitar än $+ vilket kan tolkas som att han tänker att ju fler bitar något är uppdelat i desto större blir också talet. Detta kan bero på att Ibrahim tänker att 20 är ett större tal än 8 vilket i sin tur betyder att han inte ännu har förståelse för nämnarens
betydelse. När Ibrahim säger att man får mer om man äter fler bitar kan det tolkas som att han tänker på täljaren och att ju större täljaren är desto större är talet.
Sammanfattningsvis i denna kategori visar det sig att eleverna ännu inte har förståelse för täljaren och nämnaren och speciellt dessa i relation till varandra. Detta visar sig då eleverna räknar delarna och anger antalet som nämnaren och kan göra detta när de har bilder framför sig. Det visar sig också när läraren finns med och ger stöttning i form av frågor och använder sig av egenritade bilder. En elevs förståelse för bråktal visar sig när eleven får använda sig av sin tidigare erfarenhet och när hon kopplar till vardagssituationer.
Delar
Här presenteras en situation där tre elever ska lösa Bröduppgiften med stöttning av läraren. Läraren frågar eleverna hur stor del den minsta biten av brödet är. De som är deltagande i excerptet nedan är en lärare och eleven Per. Läraren ritar en bild som representerar brödet där hon först delat brödet i halvor och sedan delat ena halvan på mitten (se bilden nedan till vänster). Denna bilden hjälper inte Per i hans förståelse vilket gör att läraren ritar till ett streck som representerar brödet uppdelat i fyra lika stora delar (se bilden nedan till höger). Först när läraren ritar bilden till höger kan Per svara på frågan och motivera sitt svar.
(Bilden visar lärarens representation av ett bröd som först är indelad i tre delar och sedan i fyra delar)
Per: Det är $( i så fall!
Läraren: Förklara hur du tänker.
Per: För delar man den andra halvan också så blir det fyra och då blir alla lika stora (pekar på den vänstra halvan på den vänstra bilden).
En tolkning kan vara att Per förstår att delarna ska vara lika stora i ett bråktal när läraren ritar den högra bilden. En annan tolkning kan vara att Per känner igen bilden och vet att en fjärdedel ofta representeras på detta sättet vilket kan betyda att eleven inte har förståelse för själva uppgiften utan snarare för själva bilden.
I en annan situation ska tre elever, Märta, Simon och Anders ta sig an Cirkeluppgiften där eleverna använder sig av den givna figuren för att resonera om bilden visar (' eller inte. Här visar eleverna sin förståelse genom att peka på och förklara med hjälp av den givna figuren.
(Bilden visar hur Cirkeluppgiften såg ut).
Märta: Nej för här på denna sidan är det ju sån (pekar nere till vänster på cirkeln) och på denna sidan är den ju sån (pekar nere till höger på cirkeln), och sen på sidan är bitarna mindre.
Simon: Jag tänker att den här är störst (pekar på raden i mitten). Märta: Okej, men vi kan skriva det.
Simon: Vi tycker nej för att vissa delar är mindre än andra.
Anders: Här ser vi på bilden att delen här till höger är mycket mindre än delen i mitten. Vi tycker alltså nej för att vissa delar är mindre än andra.
Simon och Anders uttrycker att vissa delar är mindre än andra och håller därför inte med om att den ifyllda delen av cirkeln är (' . Även Märta uttrycker att vissa bitar är mindre, speciellt de två på sidorna och därför stämmer inte påståendet. Detta kan tolkas som att eleverna förstår att alla delarna i ett bråktal måste vara lika stora.
I uppgiften Jämföra ska tre elever ta ställning till vilket bråktal som är störst av #( och %# . Gruppen väljer att rita två cirklar och delar in den ena i tredjedelar och den andra i fjärdedelar. Liam använder sig av bilderna och kan se vilket bråktal som är störst medan Melissa ännu inte kan det. Två elever, Liam och Melissa deltar i excerptet nedan.
Melissa: Då kan man ju bara tänka utifrån delarna. Ifall man lägger ihop en sån här (pekar på $() och en $% sån här (pekar på $( ). 1$% fjärdedel blir ju $#.
Liam: Men man kan ju bara titta vilken som är störst.
Melissa: Ja och sen en till ( $( ) och $% sån (pekar på en annan $( ), det blir ju %# det där också (pekar på #( ). De är lika stora.
Liam: #( är störst. Det ser du ju här på bilderna (pekar på de båda bilderna).
(Bilden visar elevernas bilder av de två bråktalen).
I excerptet tolkar vi det som att Melissa försöker dela upp tredjedelar i fjärdedelar för att sedan jämföra vilket som är störst där hon argumenterar för att de båda bråktalen är lika stora. Det kan uppfattas som att Melissa försöker använda sig av någon slags beräkning för att jämföra delarna istället för att jämföra bråktalen. En tolkning kan vara att Melissa vet att delarna i ett bråktal ska vara lika stora vilket kan tolkas som att hon har förståelse för bråktal men vill applicera denna regeln även vid jämförelse av två olika bråktal vilket istället kan tolkas som att hon ännu inte har full förståelse.
Nedan visas en annan situation där tre elever, Staffan, Anya, Ali och en lärare tar sig an
Storleksordna där eleverna ska storleksordna bråktalen $
( och $
'. Ali och läraren är i detta
excerptet delaktiga där läraren ställer frågan vilket bråktal som är störst av $( och $'. Ali väljer att rita en cirkel som ska representera en pizza och utifrån den förklarar han att $( är större än $'.
Ali: Nej för om man tänker så här att detta är en pizza (ritar en pizza) och så delar man den i fyra delar, då blir ju allt genast mycket större än om du skulle göra så här (delar in samma pizza så att det blir fem bitar).
Excerptet visar att Ali visar förståelse för delarnas storlek när två bråktal med samma täljare ska jämföras. Ali ger uttryck för att ju fler delar helheten är indelad i desto mindre är varje bit.
Sammanfattningsvis visar sig elevernas förståelse för delar genom att eleverna tar hjälp av lärarens bilder. Den visar sig också när eleverna använder sig av egna bilder för att jämföra bråktal samt när eleverna får en given figur och med hjälp av den kan peka och förklara hur de tänker. En elev har ännu inte förståelse för delarna då den tänker att delarna måste vara lika stora vid jämförelse av två bråktal där elevens egna bilder inte hjälper eleven.
Helheter
Här presenteras ett excerpt från en situation där tre elever och en lärare är delaktiga. Eleverna arbetar med Pizzauppgiften där frågan lyder enligt följande: Casper har ätit $% pizza och Amina har ätit en annan $% pizza. Casper säger att han ätit mer än Amina men Amina säger att de ätit lika mycket. Vem tycker du har rätt och varför tycker du så? I detta excerpt är Elton, Zeb och
läraren deltagande. Förståelse för helheter visas då Zeb ritar två olika cirklar för att representera två pizzor i olika storlek. Med hjälp av att han ritar kan eleverna visualisera att $% pizza inte alltid är lika stort och eleverna kan tillsammans resonera sig fram till svaret. Elton uttrycker sin förståelse för helheter genom att associera till tidigare erfarenheter där Elton vet att en pizza kan ha olika tjock fyllning och kan genom den vetskapen förstå att pizzor kan vara av olika storlek.
Elton: Aha en annan pizza typ med annan smak, fast det kan ju vara så att den varit mindre eller större. Jag tänkte att det kan vara olika fyllning. Så pizzorna kan vara olika tjocka. Det står ju en annan pizza, det kan ju vara vilken annan pizza som helst.
Elton: Ja men det här är hans pizza han där och den kanske ser ut så här och sedan kanske hennes är mycket mindre fast det fortfarande är $% pizza.
Zeb: Ahhhh (ritar) så hon kanske typ ätit så här (ritar en mindre pizza) och han kanske så här (ritar en större pizza).
Elton: Så $% kan vara vilken storlek som helst.
Excerptet ovan visar att eleverna har förståelse för att helheter måste vara lika stora när två bråktal ska jämföras. Detta uttrycks genom att eleverna visar att $% inte alltid behöver vara lika stor beroende på fyllning och storlek. Eltons förståelse visar sig genom hans tidigare erfarenheter där den vardagliga kontexten i detta fall är ett stöd för eleven när han resonerar om helheter, i detta fall pizzor.
I ett annan situation ska fyra elever med stöttning av läraren arbeta med uppgiften Storleksordna där eleverna ska bestämma vilket bråktal som är störst av $( och $' . Eleven Kerstin uttrycker sitt resonemang genom att associera till ett program som hon sett på tv. Utifrån detta program uttrycker hon att hon vet hur man ska tänka när det gäller storleksordning av bråktal. Hon säger att $( av en summa pengar är mer än $+ och %)$ av samma summa.
Kerstin: Jag kom på en sak. Jag vet inte varför jag kom på det men jag såg ett program typ förra året och då var det en familj som skulle dela på pengar och så skulle alla få $( men pappan ville ha $+ och sedan %)$. Ja det är därför jag typ lärt mig hur man ska tänka vilket som är störst. Han som sa att han ville ha $+ och %)$ han tänkte att han typ ville ha mer än $(. Jag vet att det är fel för att $+ och %)$ är mindre än $( .
Excerptet ovan visar att Kerstin förstår att en summa pengar är som en helhet och kan jämföra olika bråktal när helheten är lika stor och kan på det sättet förstå vilket bråktal som är störst. Förståelsen visar sig genom att Kerstin associerar till den vardagliga kontexten, i detta fall ett tv-program som hon sett.
Nedan ska tre elever lösa uppgiften Jämföra där eleverna ska jämföra %# och #( för att avgöra vilket bråktal som är störst och använder sig i sin jämförelse av två cirklar som eleverna själva ritar. I excerptet är Melissa och Liam delaktiga. Melissa uttrycker att helheterna inte behöver vara lika stora vid jämförelse och detta synliggörs när hon får uttrycka sig verbalt.
Melissa: Då gör vi en cirkel till som det är %# .
Liam: Vänta, jag måste bara göra så dem blir lika stora. Melissa: Amen, de behöver inte vara lika stora.
Utifrån aspekten förståelse för helheter tolkar vi det som att Melissa inte förstått värdet av lika stora helheter vid jämförelse av bråktal. När Melissa får sätta ord på hennes uppfattning synliggörs det hon ännu inte förstått.
Sammanfattningsvis visar sig elevernas förståelse för helheter genom att de associerar till den vardagliga kontexten. Den ännu inte förvärvade förståelsen visar sig när en elev får sätta ord på hennes uppfattning.
Slutsats och diskussion
Slutsatsen är att elevernas förståelse visar sig genom att de använder egna och andras bilder, pekar och förklarar, associerar till tidigare erfarenheter, kopplar till den vardagliga kontexten samt att förståelsen visar sig genom att läraren stöttar. Utifrån vår slutsats vill vi diskutera den förståelse som synliggörs i en undervisningskontext till skillnad från den förståelse som synliggörs i en testsituation. Då vi sett att en del elever associerar till tidigare erfarenheter och den vardagliga kontexten vill vi även diskutera det samt huruvida vi kan uttala oss om elever har förvärvat förståelse eller inte.
Tidigare forskning som presenteras i bakgrunden åskådliggör elevers förståelse utifrån olika test som gjorts. Eleverna i dessa studier har jämförelsevis med eleverna i vår studie haft andra förutsättningar där eleverna som genomfört tester inte haft lika stor utsträckning av stöttning i form av material, klasskamrater och lärare. I bakgrunden framkommer det att de flesta av eleverna som deltog i Purnomo et al. (2014, s. 78) studie hade uppfattningen att det inte finns något tal mellan %' och #' eftersom eleverna såg täljaren som heltal. Eleverna fick en minut och tio sekunder på sig att göra uppgiften. Då vi av erfarenhet vet att många elever blir stressade av en sådan situation frågar vi oss om detta är en sanning av vad eleverna ännu inte kan. Vi tänker att det kan handla om att eleverna känt sig stressade och att de därför inte fått chansen att visa vad de kan. Dessutom är uppgiften av en svårare karaktär vilket gör tidsramen ännu mer problematisk. Visserligen visar vår studie också att eleverna ser täljare och nämnare som heltal trots bättre förutsättningar. Skillnaden är att när eleverna i vår studie fått arbeta i en undervisningskontext har vi kunnat få syn på vad eleverna förstår eller inte förstår mer exakt, exempelvis att eleverna räknar delarna i bråktal istället för att se till storleken. Detta är något som inte uppmärksammats i den tidigare forskningen.
Även Andersson-Pence et al. (2014, s. 9) gjorde ett test på sina deltagare där en betydligt mindre procentandel hade svårigheter med uppgiften jämförelsevis med procentandelen i Purnomo et al. (2014) studie. I Andersson-Pence et al. studie fick eleverna rita egna bilder och arbetade inte under tidspress vilken kan vara anledningen till att en större procentandel klarade uppgiften. Dessutom fick eleverna i studien undervisning innan testet. Vi erbjöd också undervisning och material och således kan vi ana att när vi sätter eleverna i en undervisningskontext presterar de också bättre. Eleverna i vår studie fick även samarbeta vilket har möjliggjort att fler uppfattningar synliggjorts eftersom eleverna ifrågasätter och hjälper varandra genom att kommunicera. När eleverna får möjlighet att kommunicera har vi sett, i vårt resultat och framförallt i den sista kategorin Helheter, att en del elever associerar till en vardagskontext och tidigare erfarenheter vilket vi inte sett i tidigare forskning.
Något som tidigare forskning eller litteratur inte uppmärksammat är vikten av att ta till vara på elevers tidigare erfarenheter för att identifiera förståelse. I vår studie har vi kunnat identifiera elevernas förståelse och uppfattningar med hjälp av deras tidigare erfarenheter. För att diskutera detta tar vi hjälp av Öhman (2008, s. 26) som skriver att enligt ett konstruktivistiskt perspektiv samspelar ny information och tidigare erfarenheter enligt en schematisk struktur. Detta innebär att individen tar emot information, tolkar den, kopplar den till erfarenheter och om den nya informationen inte stämmer med de erfarenheter som finns sker en omorganisation där jämvikt skapas och ny kunskap förvärvas. I en av situationerna i vårt resultat relaterar Kerstin till ett tv-program som hon sett och visar hon att hon använder sig av sina tidigare erfarenheter för att förstå en av uppgifterna. Kerstin tar emot information då hon blir tilldelad uppgiften, hon tolkar den och relaterar den till tidigare erfarenheter vilket i detta fall hjälper henne. Hade Kerstin istället utfört samma uppgift i en testsituation hade risken funnits att hennes resonemang, tidigare erfarenheter och uppfattningar inte hade synliggjorts på samma sätt. Detta eftersom den tidigare erfarenheten och hennes resonemang synliggörs i hennes uttalande. Vår uppfattning är att elever vanligtvis inte skriver fram sådant i text på ett test. I Andersson-Pence et al. studie fick eleverna rita bilder av pizzor och ge en skriftlig förklaring till vilket bråktal som är störst av (+ och $% . Den vardagliga kontexten och tidigare erfarenheter hade kanske visat sig om eleverna istället för skriftliga förklaringar fick uttrycka sig verbalt och hade dessutom kunnat synliggöra andra uppfattningar och möjligtvis en förståelse.
Det går inte att undgå att det är svårt att identifiera om eleverna förstått eller inte eftersom förståelse precis som Gärdenfors (2010, s. 36) hävdar måste sättas i olika och nya sammanhang för att den ska ses som förståelse. Vi menar att detta är något som kan ta tid och därför måste vi följa eleverna under en längre period där eleverna måste få möjlighet att visa sina kunskaper i olika sammanhang och först då kan vi uttala oss om eleverna förstått eller inte. Det är viktigt att vi identifierar elevers uppfattningar och förståelser i en undervisningskontext eftersom vi i vårt resultat sett är det är då dessa träder fram. I en undervisningskontext när läraren kan sitta tillsammans med eleverna finns det större chanser att vi ser det som eleverna ännu inte förstått till skillnad från test. Som observatör är det av fördel att det ges möjlighet att tolka elevernas uppfattningar flera gånger eftersom resultatet blir mer tillförlitligt vilket möjliggörs i en undervisningskontext. Ett test är en engångsföreteelse vilket gör att den som tolkar elevens uppfattning endast kan göra det utifrån oftast en förklaring.
Implikation
Denna studie har haft betydelse för yrkesverksamheten eftersom studien kan få andra lärare att få insikt om vikten av identifiering av elevers förståelse och uppfattningar i en undervisningskontext. Studien har även varit av relevans då den bidragit med kunskap om hur elever förstår och uppfattar bråktal utifrån täljare och nämnare, delar och helheter. Denna studie visar att många elever faktiskt förstår bråkbegreppet men att vägen till identifiering av elevers förståelse är genom undervisning och inte genom tester.
I bakgrunden har vi lagt mycket fokus på att bråktal är ett komplext innehåll i matematiken där många undergrupper ska kunna sättas i förhållande till varandra för att en person ska få förståelse för hela begreppet. Frågan är hur alla delarna ska kunna behandlas tillsammans i en undervisningskontext så att fler elever införskaffar förståelse för bråktal. Hur ska lärare arbeta och vilka metoder ska användas? Trots att det finns ämnes- och didaktisk kunskap inom området är detta något som fortfarande är nytt och som behövs mer kunskap om. Detta skulle kunna vara vidare forskning för en god bråkundervisning som vi gärna hade tagit del av.
Resultatet av denna studie är inte generaliserbart eftersom vi endast undersökt två klasser. Däremot visar tidigare forskning att det finns en problematik med elevers förståelse av bråktal vilket gör att det kan tänkas att det finns många elever som har liknande svårigheter och att deras förståelse för bråktal visas på likartade sätt som vi kommit fram till. Därmed kan studiens resultat anses som överförbart till yrket och till den undervisning som utförs av de matematiklärare som läser denna studie.
Referenslista
Källmaterial
Observation 1, Alice, Lärare, Adam, 1 mars 2018 Observation 2, Lisa, Pelle, Olle, Lärare, 5 mars 2018 Observation 3, Ibrahim, Lärare, 27 februari 2018 Observation 4, Per, Lärare, 5 mars 2018
Observation 5, Märta, Simon, Anders, 6 mars 2018 Observation 6, Melissa, Liam, 28 februari 2018 Observation 7, Ali, 26 februari 2018
Observation 8, Elton, Lärare, Zeb, 2 mars 2018 Observation 9, Kerstin, 6 mars 2018
Observation 10, Melissa, Liam, 28 februari 2018
Litteratur
Ahrne, G. och Svensson, P. (2015). Kvalitativa metoder i samhällsvetenskapen. I G. Ahrne & P. Svensson (Red.), Handbok i kvalitativa metoder. (2:3 uppl. s. 8–31).
Stockholm: Liber.
Anderson- Pence, K.L., Moyer- Packenham, P.S., Westenskow, A., Shumway, J., & Jordan, K. (2014). Relationships between visual static models and students’ written solutions to fraction tasks. International Journal for Mathematics Teaching and
Learning, July 2014, 1-12. https://www.researchgate.net/profile/Katie_Anderson-Pence/publication/280733661_Relationships_between_visual_static_models_an d_students'_written_solutions_to_fraction_tasks/links/55cea46f08ae502646a912 1b/Relationships-between-visual-static-models-and-students-written-solutions-to-fraction-tasks.pdf
Behr, M., Lesh, R., Post, T., & Silver, E. (1983). Rational Number Concepts i Lesh, R. & Landau, M. (ed.), Acquisition of Mathematics Concepts and Processes. (s. 91- 125), New York: Academic Press.
Björkdahl Ordell, S. (2007). Etik. I J. Dimenäs (Red.), Lära till lärare (1. uppl.). Stockholm: Liber.
Bjørndal, C.R.P. (2005). Det värderande ögat: observation, utvärdering och utveckling i
undervisning och handledning. (1. uppl.) Stockholm: Liber. Bryman, A. (2018). Samhällsvetenskapliga metoder (3. uppl.). Malmö: Liber.
Clarke, D. M., Roche, A., & Mitchell, A. (2010). Tio sätt att göra bråk levande. Nämnaren, (2), 1–11. http://ncm.gu.se/media/namnaren/npn/2010_2/Natclarke.pdf
Eidevald, C. (2015). Videoobservationer. I G. Ahrne & P. Svensson (Red.), Handbok i
Gärdenfors, P. (2010). Lusten att förstå: om lärande på människans villkor. 1. utg. Stockholm: Natur och kultur.
Karlsson, H., & Nilsson, C. (2018). En djupare förståelse eliminerar missuppfattningar i
matematik: en kunskapsöversikt om elevers missuppfattningar av bråktal och decimaltal (Examensarbete, Högskolan i Halmstad, Halmstad). Hämtad från
http://www.diva-portal.org/smash/get/diva2:1183503/FULLTEXT02.pdf
Kilborn, W. (2014). Om tal i bråk-och decimalform–en röd tråd. Hämtad från Nationellt Centrum för Matematikutbildnings webbplats:
http://ncm.gu.se/media/ncm/dokument/brak_wiggo_kilborn.pdf
Lindgren, C., Welin, I., &., Sönnerhed. (2012). Förståelse för tal i bråkform. Nämnaren, (3), 37-38. http://ncm.gu.se/media/stravorna/3/a/3A_lindegren.pdf
Löwing, M. (2006). Matematikundervisningens dilemman: Hur lärare kan hantera lärandets
komplexitet. Lund: Studentlitteratur.
Löwing, M. (2016). Diamant - diagnoser i matematik: ett kartläggningsmaterial baserat på
didaktisk ämnesanalys. Göteborg: Acta universitatis Gothoburgensis.
Löwing, M., & Kilborn, W. (2002). Baskunskaper i matematik för skola, hem och samhälle. Lund: Studentlitteratur
McIntosh, A. (2010). Förstå och använda tal - en handbok. Göteborg: Nationellt centrum för matematikundervisning (NCM), Göteborgs universitet.
Purnomo, Y.W., Kowiyah, Alyani, F., & Assiti, S.S. (2014). Assessing number sense
performance of Indonesien elementary school students. International Education
Studies, 7(8), 74-82. doi: 10.5539/ies.v7n8p74
Schoenfeld, A.H. (2007). Reflections on an Assessment Interview: What a Close Look at Student Understanding Can Reveal. In A. H. Schoenfeld (Ed.), Assessing
mathematical proficiency. (s. 269-277). New York: Cambridge University.
Vetenskapsrådet. (2002). Forskningsetiska principer inom humanistisk-samhällsvetenskaplig
forskning. Stockholm: Vetenskapsrådet.
Zhang, D., Stecker, P., & Beqiri, K. (2017). Strategies students with and without mathematics disabilities use when estimating fractions on number lines. Learning Disability
Quarterly, 40(4), 227–234. doi: 10.1177/0731948717704966
Öhman, J. (2008). Erfarenhet och meningsskapande. Utbildning och demokrati, 17(3), 26. https://www.oru.se/globalassets/oru-
sv/forskning/forskningsmiljoer/hs/humus/utbildning-och-demokrati/2008/nr-3/johan-ohman---erfarenhet-och-meningsskapande.pdf
Bilagor
A - Bröduppgiften B - Cirkeluppgiften C - Jämföra D - StorleksordnaE - Pizzauppgiften
F - Informationsblankett
