• No results found

Ett nät vävs av många trådar i matematik, En didaktisk studie om division med tal större än noll men mindre än ett utifrån ett elevperspektiv

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Ett nät vävs av många trådar i matematik, En didaktisk studie om division med tal större än noll men mindre än ett utifrån ett elevperspektiv"

Copied!
59
0
0

Loading.... (view fulltext now)

Full text

(1)

Lärande och samhälle

Skolutveckling och ledarskap

Examensarbete

15 högskolepoäng, avancerad nivå

Ett nät vävs av många trådar i matematik

En didaktisk studie om division med tal större än noll men mindre

än ett utifrån ett elevperspektiv

A Web is spun with many Threads in Mathematics

A didactic study about division with numbers greater than zero but

less than one from a student perspective

Tobias Borg

Speciallärarexamen i matematikutveckling 90 hp Slutseminarium 2018-05-22

Examinator: Kristian Sjövik Handledare: Birgitta Lansheim

(2)

2

Förord

Under utbildningens inledning introducerades vi inför en uppgift vid namn pedagogiskt kapital. I författandets slutskede läste jag igenom de tanker som formulerades där, och tårarna vandrade längst erfarenheternas revor mot slutdestinationen. De smakade salt, men kändes beska. Förflutna, närvarande och saknade medresenärer har varit bärande pelare för den konstruktion som är jag idag. Sorg eller glädje, vad spelar det för roll? Slutligen kommer minnena att gå förlorade med tiden, likt tårar i regnet. Föregående mening är en fri översättning av Rutger Hauers improviserade monolog från filmen Blade Runner 1982. Då var jag tre år gammal, novemberbarn, jag minst inget från det årtalet. Minnen tycks flyta längst med tidens ocean, ibland följer de med strömmen och går förlorade. Emellertid är citatet och dess tvåeggade natur, sorg såsom tröst.

Som pojke gick jag till logoped, vid tio års ålder lärde jag mig läsa. Orden, förtyckta tecken, tycktes aldrig befästas i sinnets virvlande kaos. Motoriken var inte till belåtenhet och flertalet övningar där o:n och e:n skulle skrivas dagligen uppmuntrades. Det gjorde jag med glädje, det ingöt ro i sinnet, för en stund.

Farfar som var begåvad men aldrig fick möjligheten att studera, dagen då jag tog lärarexamen sken han mer än solen av stolthet. Farmor som alltid kärleksfullt visade att jag dög. Mormor som uppmärksammade mig att jag fanns och morfar som inbringade ro i själen trots att jag fuskade när vi spelade kort. Mamma utmanande mig alltid och diskutera kring diverse matematiska problem, och pappa. Han sa alltid, gör så gott du kan, det är gott nog. Det var det mest pedagogiska jag kunde höra som barn, för i min värld, är det aldrig gott nog. Det kan bli bättre, borde vara bättre, jag kan bättre. Ingen är större kritiker än jag själv, det är tillika drivkraften so förbannelsen. I retroperspektiv reflekterar jag kring den jag kunde vara och den jag är. Tankarna vandrar okronologiskt ur den bemärkelsen, seglandes mot det förflutnas fallna dominobricka. Vad gjorde mig till den jag är idag? Vad vore jag utan de i min omgivning? Med dessa ord vill jag uttrycka min tacksamhet till medmänniskorna som hjälpt mig växa under livets vandring, från snöstorm till smekande lena vårvindar. Jag vore blott en spillra utan er.

Under utbildningens treåriga tid har jag också växt, inte enbart professionellt utan även själsligt. Någonstans är människan det centrala, det är människor vi bemöter och bemöts av, unika individer med sorg, glädje och unika infallsvinklar samt erfarenheter! Det är ett axiom, men också en tyst och viktig utgångspunkt i alla sammanhang, att försöka se människan bakom masken. Ofta är det de små men träffsäkra orden och gesterna, från hjärtats djupaste rot som vi bär med oss i livet.

(3)

3

Sammanfattning/Abstract

Borg, Tobias (2018). Ett nät vävs av många trådar i matematik. Specialpedagogprogrammet, Institutionen för skolutveckling och ledarskap, Lärande och samhälle, Malmö universitet, 90 hp.

Förväntat kunskapsbidrag

Med studien önskar jag bidra med kunskap om elevernas perspektiv beträffande en specifik lektion som berör division med tal större än noll men mindre än ett. Mer specifikt vad de anser är fördelaktigt och vad som brister. Jag önskar också belysa att olika faktorer kan samspela och variera hos individer och mellan individer i gruppen för att på så sätt synliggöra undervisningens komplexitet.

Syfte och frågeställningar

Syftet med studien är att, utifrån elevernas uppfattningar, utvärdera styrkor och förbättringsområden beträffande en matematiklektion om division med tal större än noll men mindre än ett utifrån ett sociokulturellt perspektiv.

Frågeställningar:

 Vilka uppfattningar har eleverna beträffande lektionens styrkor?  Vilka förslag till förbättringar föreslår eleverna?

 Hur kan lektionens styrkor och förbättringsförslag tolkas utifrån ett sociokulturellt perspektiv?

Teori

Studien utgår från det sociokulturella perspektivet där lärandet sker utifrån elevens proximala utvecklingszon och samarbete. Tillsammans använder deltagarna olika uttrycksformer och kulturella artefakter för att kommunicera med varandra. Lärarens främsta roll, förutom att anpassa uppgifterna till den proximala utvecklingszonen, är att mediera mellan elevens nuvarande uppfattning och den ämnesspecifika kunskapen.

Metod

Datainsamlingen har genomförts med hjälp av en kvalitativ ansats i form av semistrukturerade intervjuer samt för- och eftertest.

(4)

4

Resultat

Informanterna var allmänhet, men inte unisont, positiva inställda till för- och eftertest, mönster och undersökande arbetssätt. Testerna ansågs påvisa progression, emellertid fanns det önskemål om mer repetition vilket kan kopplas till uttrycka förkunskapsskillnader. Gruppens proximala utvecklingszon var varierande och individuella svårigheter kunde i något fall definieras. Studien visade också på svårigheten att anpassa lektionen till alla elevers proximala utvecklingszon. Gemensamma diskussioner med hjälp av lärarens mediering framgick också som betydelsefullt eftersom olika elevperspektiv kom fram. Beträffande mediering påtalade några informanter att läraren även borde stödja parsamtalen i större utsträckning

Majoriteten ansåg att en lärarledd lektion var positivt. Det var också betydelsefullt att ta del av varandras förklaringar och lösningar, men det framgick också önskemål om en till en undervisning. Ingen benämnde konkret undervisningsmaterial, centikuber, som betydelsefullt eller besvärande. Däremot fanns det önskemål om att inleda lektionen med vardagsnära uppgifter som också hade en utmanande karaktär.

Informanterna belyste konkreta förbättringsförslag som överlag är direkt applicerbara med hjälp av mindre anpassningar på gruppnivå. Uppfattningen att variation är viktigt var näst intill unisont, men hur undervisningen skulle varieras delade emellertid gruppen.

Specialpedagogiska implikationer

Studiens resultat får mig att vilja arbeta tillsammans med matematiklärare och elever för att tillsammans utveckla matematikundervisningen. Eleverna kan belysa aspekter som går oreflekterade förbi av oss lärare på grund av hemmablindhet. Från de mer självklara till det oupptäckta.

Studien påminner också att anpassningar på gruppnivå kan stödja hela gruppen men utesluter det inte traditionell en till en undervisning. Det finns ingen helig undervisnings-graal, istället framkommer det att variation i undervisningen behövs för att möta fler individer. Den variationen kan i sin tur växla från individ till individ och från grupp till grupp.

Nyckelord

(5)

Innehållsförteckning

INLEDNING ... 7

SYFTE OCH FRÅGESTÄLLNINGAR ... 8

DEFINITION AV CENTRALA BEGREPP ... 9

STUDIENS AVGRÄNSNING ... 9

TIDIGARE FORSKNING OCH TEORETISKT PERSPEKTIV ... 10

SOCIOKULTURELLT PERSPEKTIV ... 10

KONKRETION OCH ABSTRAHERING ... 12

MATEMATIKUNDERVISNINGENS SPRÅKLIGA ASPEKTER ... 13

MATEMATIKUNDERVISNINGENS VARIATION ... 14 KÄNDA SVÅRIGHETER ... 14 FÖR- OCH EFTERTEST ... 15 SAMMANFATTNING ... 15 METOD ... 16 METODVAL ... 16 URVAL ... 17 GENOMFÖRANDE ... 18 LEKTIONENS GENOMFÖRANDE ... 18 SEMISTRUKTURERADE INTERVJUER ... 18

ANALYS OCH BEARBETNING AV DATA ... 19

TROVÄRDIGHET OCH TILLFÖRLITLIGHET ... 20

ETIK ... 21

RESULTAT OCH ANALYS ... 22

RESULTAT: LEKTIONENS ORGANISATION ... 23

STRUKTUR OCH VARIATION ... 23

DISKUSSIONER ... 23

FÖR- OCH EFTERTEST ... 24

DELANALYS: LEKTIONENS ORGANISATION ... 25

RESULTAT: LEKTIONENS UTIFRÅN DEN PROXIMALA UTVECKLINGSZONEN ... 26

DELANALYS: LEKTIONENS UTIFRÅN DEN PROXIMALA UTVECKLINGSZONEN ... 28

RESULTAT: INFORMANTERNAS LÄRANDE ... 29

RIMLIGHETSBEDÖMNING ... 30

BEGREPP ... 30

MATEMATISK PROCEDUR ... 31

(6)

6 SAMMANFATTANDE ANALYS ... 33 DISKUSSION ... 35 RESULTATDISKUSSION ... 35 SPECIALPEDAGOGISKA IMPLIKATIONER ... 40 METODDISKUSSION ... 41

FÖRSLAG PÅ FORTSATT FORSKNING. ... 42

REFERENSER ... 43

BILAGA 1 – MISSIVBREV ... 46

BILAGA 2 – LEKTIONSPLANERING ... 48

BILAGA 3 – FÖR OCH EFTERTEST ... 53

BILAGA 4 – INTERVJUGUIDE ... 55

BILAGA 5 – RESULTAT FÖR- OCH EFTERTEST ... 57

(7)

7

Inledning

Under snart tre år har reflektioner kring den framtida yrkesrollen som speciallärare i matematikutveckling florerat i mitt mentala rum. Utbildningen inkluderar flera olika kompetenser som vi har fått ta del av, bland annat hur utvecklingsarbete kan bedrivas. I SFS 2011:186 (s. 9) framgår det bland annat att specialläraren ska behärska förmågan att följa upp, utvärdera och utveckla pedagogiskt arbete som kan möta alla elevers behov.

I vilken utsträckning utvecklingskompetensen sedermera brukas i yrkespraktiken kan variera mellan arbetsplatser. Hargreaves (1998) beskriver hur speciallärarrollen förändrats över tid. Från arbete med individer i svårigheter på avskild plats till en stödjande roll för att utveckla och anpassa undervisningen i helklass. På ett liknande sätt beskriv Helldin och Sahlin (2010) att speciallärarutbildningen möjliggör att gå från arbete med särlösningar till vidareutveckling av den pedagogiska verksamheten i sin helhet. Enligt Göransson, Lindqvist, Klang, Magnusson och Nilholm (2015) upplever dock speciallärarna att arbetsuppgifterna till största del är specialundervisning i mindre elevgrupper, utredning och dokumentation. I skollagen (SFS 2010:800) benämns inte direkt vad yrkesrollen innebär utan enbart att den ska vara en del av skolans organisation. Däremot stipuleras det koncist att utbildningen ska vila på vetenskaplig grund och beprövad erfarenhet. Vad det konkret innebär, eller vem som ska göra det, benämns inte mer än att rektor har det övergripande ansvaret. Lgr11 (Skolverket, 2011) utvecklar skolväsendets uppdrag beträffande utveckling och lärande:

Detta kräver att verksamheten ständigt prövas, resultaten följs upp och utvärderas och att nya metoder prövas och utvecklas. Ett sådant arbete måste ske i ett aktivt samspel mellan skolans personal och elever och i nära kontakt med såväl hemmen som med det omgivande samhället. (s.10)

Som konklusion kan speciallärarens yrkesroll vara tillika mångfacetterad som komplex. Från undervisning i liten grupp till kartläggningar och samplanering kring undervisningen, men ska i första hand förebygga svårigheter och utveckla inkluderande lärmiljöer. Det finns uppfattningar som försatt stödjer tesen. Enligt Möllås, Gustafson, Klang, och Göransson (2017) beror skolsvårigheter bland annat på skolans förmåga att bemöta olikheter, att lärare kan ha brister i yrkesutövningen samt att elevgrupper fungerar dåligt. På ett delvis liknande sätt betonar

(8)

8

Bentley och Bentley (2011) att lärares undervisningssvårigheter påverkar elevernas prestationer.

Utifrån förordningstexter finns ett dekret att skolutveckling ska äga rum och stå på vetenskapliga grunder. Under 2000-talet har Sveriges skolprestationer dessutom sjunkit i internationella mätningar som PISA och TIMMS, inte minst inom ämnet matematik. Det kan således tolkas att det finns ett incitament för att specialläraren ska utveckla undervisningen i större uträckning än vad som sker ute på fältet idag. Om det ska vara framgångsrikt bör inriktningen rimligen utgå från lärarnas egna undervisningsdilemman. Förutsättningarna finns menar Helldin och Sahlin (2010) då lärare ofta är intresserade av att utveckla undervisningen och lärmiljö. Utifrån ett annat perspektiv påtalar Wennergren och Blossing (2017) betydelsen av att lärare och elever är delaktiga i varandras lärandeprocesser. För att det ska äga rum krävs en känsla av gemenskap i gruppen vilken bygger på fler faktorer som demokratiskt arbetssätt, delaktighet i undervisningen och gemensamt formulerade mål.

Med bakgrund av föregående resonemang och min blivande yrkesroll som speciallärare önskar jag bidra att utveckla hela verksamhetens matematikundervisning som inkluderar alla elever. Det första konkreta steget åt den riktningen är detta examensarbetet. En inspirationskälla är Nilholm (2016) som anser att en ökad frekvens av didaktiska frågeställningar i examensarbeten vore önskvärt. Dels för att studenten blir utrustad med erfarenheter som direkt kan användas i den framtida yrkesrollen, men också det att ett förändringsarbete kan bidra till ökad förståelse.

Syfte och frågeställningar

Syftet med studien är att, utifrån elevernas uppfattningar, utvärdera styrkor och förbättringsområden beträffande en matematiklektion om division med tal större än noll men mindre än ett utifrån ett sociokulturellt perspektiv.

Frågeställningar:

 Vilka uppfattningar har eleverna beträffande lektionens styrkor?  Vilka förslag till förbättringar föreslår eleverna?

 Hur kan lektionens styrkor och förbättringsförslag tolkas utifrån ett sociokulturellt perspektiv?

(9)

9

Definition av centrala begrepp

Abstrahering: Enligt Löwing (2010) är det en mental bild och ett effektivt språk som kan

användas snabbt i nya sammanhang. Rystedt och Trygg (2010) beskriver på ett liknande sätt att abstraktioner kan användas i olika sammanhang. Exempelvis är en addition av hela tal, som 2 + 3 = 5 en abstraktion med skriftliga tecken. Abstraktionen kan appliceras på liknande sätt i flera vardagliga sammanhang. Exempelvis kan uträkningen innebära en summering av frukter eller fordon.

Kognitiva redskap: Enligt Säljö (2000) innebär det fysiska redskap som hjälper människan att

förstå ett fenomen. Ett exempel är tekniska hjälpmedel som miniräknare och datorer. Ett annat är verktyg som synliggör fenomen i naturen. Ett exempel är ett spett som kan påvisa hävarmsprincipen.

Konkretion: Är enligt Löwing (2006) det omvärldsnära och vardagliga erfarenheter samt

fysiska uttrycksformer. Som exempel på vardagliga erfarenheter benämner Rystedt och Trygg (2010) att två äpplen och tre äpplen tillsammans är fem äpplen. Exempel på fysiska uttrycksformer kan vara vardagsmaterial som kapsyler eller undervisningsmaterial som centikuber.

Proximal utvecklingszonen: Vygotsky (2017) definition är distansen mellan individens faktiska

utvecklingsnivå och det som kan hanteras genom ledning av mer kompetenta kamrater eller vuxna.

Uttrycksform: Bergsten, Häggström och Lindberg, L (2001) delar in matematiska

representationer i fem kategorier: Fysisk- (verkliga ting från omgivningen), bildlig-, verbal, numerisk- och symbolisk representation (algebra). Matematisk uttrycksform innebär hur representationerna kombineras med medier och därmed kommuniceras.

Studiens avgränsning

Studiens omfattar fyra intervjuer samt för- och eftertest med sju informanter i en årskurs åtta. Jag vill ta reda på vilka styrkor och förbättringsområden eleverna upplevde, därför har jag valt att inte intervjua läraren eftersom studien fokuserar på elevernas perspektiv. Undersökningen är begränsad till en lektion om lärobjektet division med tal större än noll men mindre än ett.

(10)

10

Således är studien är knuten till sin kontext och dess magnitud kan väcka nya intressanta frågeställningar samt vara en reflexiv erfarenhet för alla inblandade aktörer.

Tidigare forskning och teoretiskt perspektiv

Det går att dra paralleller mellan specifik matematikdidaktisk forskning och det sociokulturella perspektivet. Några exempel är betydelsen av konkretion eller gemensamma diskussioner med lärarmediering. Smith och Stein (2014) refererar direkt till det sociokulturella perspektivet. De beskriver att sociala samspel och diskussioner är viktiga i matematikundervisningen. Genom kommunikation kan eleverna ta del av varandras samtidigt som läraren vägleder dem i arbetet. På et liknande sätt menar Boaler (2011) och Löwing (2006) att matematik behöver gemensamt diskuteras i undervisningen och vägledas av läraren. Utifrån ett annat perspektiv benämner Lunde (2011) att undervisningen bör utgå från ett sociokulturellt perspektiv för att på så sätt inkludera alla elever genom att på så sätt brygga de skillnader som kan finnas i mellan individers proximala utvecklingszon. Av den anledningen har jag valt att utgå från det sociokulturella perspektivet som teoretisk utgångspunkt.

Missuppfattningar om division med tal större än noll men mindre än ett är beforskat sedan tidigare. McIntosh (2008) beskriver att studier från bland annat USA påvisar att samma missuppfattningar råder internationellt som i Sverige beträffande tal större än noll men mindre än ett. Bland annat McIntosh (a.a) benämner vad som kan anses som lämpliga utgångspunkter i undervisningen om division med tal större än noll men mindre än ett. Emellertid det finns nyansskillnader och mer aktuell forskning som kommer behandlas i teoridelen. I kapitlet redogörs också konkretion och abstraktion, matematikundervisningens språkliga aspekter och variationens betydelse i matematikundervisning. Avslutningsvis sammanfogas samtliga delar i en sammanfattning för att knyta det sociokulturella perspektivet med tidigare forskning.

Sociokulturellt perspektiv

Enligt Vygotskij (1934/1999) påverkas språkets och tänkandets utveckling mer av socialhistoriska än biologiska faktorer eftersom sociala kontexter mellan barnet och omgivning aktiverar dess inre utvecklingsprocesser. Emellertid förkastas inte biologins ramar, men språket är tankeverksamhetens verktyg och formas av barnets sociokulturella erfarenheter. Utvecklingen går i stadier där progression inte är ålders- utan funktionellt relaterad. Enligt Hattie (2012) ansåg Piagets i motsats till Vygotskij att barnet snarare utvecklar sitt tänkande

(11)

11

utifrån åldersrelaterade stadier. Emellertid betonar Hattie (a.a) att Piaget menade på att det snarare var riktlinjer än regler. På ett delvis liknande sätt menar Säljö (2000) att social- och språklig utveckling påverkas av biologiska faktorer eftersom perceptionsförmåga och motorisk kontroll över kroppen utvecklas med tiden. Utifrån dem kan individen allt mer interagera med omgivningen och söker således utifrån sina förutsättningar kontakt och samspel. Havnesköld och Risholm Mothander (2009) att Vygotskij visserligen betonade de kulturella aspekterna mer än Piaget. Emellertid kan Vygotskijs arbete ses som löst sammansatta ansatser framför ett teoretiskt system.

Begreppsutvecklingen är enligt Vygotskij (1934/1999) en pågående process som utvecklas i förhållande till fysiska föremål och företeelser i omgivningen. Ett fysiskt objekt har en generell innebörd och med tiden skaffar sig individen allt fler erfarenheter om dess funktion, utseende och variation. Det kan det skapas en konflikt mellan ett ord och dess egenskaper eftersom de är fast sammanlänkande för barnet. Med andra ord är det inte nog att förstå ordet i sig, utan även tanken bakom det. På ett delvis liknande sätt menar Säljö (2000) att lärande sker tillsammans med andra individer. Sälja (a.a) poängterar dessutom betydelsen av kognitiva redskap som kan synliggöra dolda fenomen samt frigöra mentala resurser. På så sätt kan nya samband som annars överstiger människas biologiska begränsningar upptäckas.

En fysisk erfarenhet kan vara svår att transformera till ett abstrakt uttryck och kräver att ett kommunikativt sammanhang skapas. Vygotskij (1995) varnar för den paradoxala naturen av konkretion i undervisningen. Det är en nödvändighet och ett hinder för det abstrakt tänkandets utveckling. Enbart konkretion vänjer barnet vid uttrycksformen och hindrar utvecklingen av det abstrakta tänkandet. Istället ska konkretion ses som ett medel i undervisningen och abstrahering målet där lärarens uppgift är att visa samband mellan dem. Undervisning behöver inte med automatik innebära att elever utvecklas utan organiseras på ett lämpligt sätt för att intellektuell progressionen ska äga rum. Lärarens främsta uppgift blir således att agera som mediator genom att etablera samtal mellan undervisningens ämnesspecifika- och elevens mer vardagsnära språk. Vygotskij (1934/1999) skiljer på det inre- och yttre språket. Det inre, samtalet med sig själv, är en självständig och särpräglad funktion som sammanlänkar tanke med ord. Tanken eftersträvar att finna samband och förhållanden mellan fenomen där ordet är dess avslutande process. Följaktligen finns en nära relation mellan tanke och språk, men förhållandet är komplext. De är inte identiska eller parallella aktiviteter som verkar oberoende av varandra, tvärtom är det en process där ordets implikation har med tänkandets gestaltning att göra. En form av generalisering där innebörden över tid kan förändras och utvecklas. Det inre språket och tänkandet utvecklas genom interaktion med omgivningen, människor, hjälpmedel och

(12)

12

redskap i den kulturella miljön. Havnesköld och Risholm Mothander (2009) förklarar att Piaget, i motsatts till Vygotskij, ansåg att barnet går från individuellt till ett socialt språk. Emellertid reviderade Piaget sin teori när han tog del av Vygotskijs kritik.

Vygotsky (2017) menar också att undervisningen och lärande måste utgå från den proximala utvecklingszonen vilket kortfattat innebär det barnet kan åstadkomma med hjälp av vuxna. Inledningsvis härmar barnet för att allt mer gå över till att hantera uppgiften på egen hand. Med stöd av gruppen och handledning av vuxna kan hen ta sig an betydligt mer komplexa uppgifter. Vygotskij (1995) kopplar också ihop fantasi och verklighet till ett växelspelande samband Fantasin utgår från individens erfarenheter och möjliggör att mentalt upptäcka platser som annars skulle vara otillgängliga, även det omvända förhållandet gäller. Fantasin kan också kopplas till den proximala utvecklingszonen eftersom barn har en bättre förmåga att använda sin fantasi samtidigt som vuxna har en rikare perceptionsförmåga och kreativitet. På ett liknande sätt förklarar Hattie (2009) att Piaget att vuxna och barn tänker annorlunda.

Konkretion och abstrahering

Enligt Löwing (2006) är abstrahering alltid undervisningens mål och kan beskrivas som en mental bild och ett effektivt språk som kan appliceras effektivt i nya sammanhang. På ett liknande sätt förklarar Rystedt och Trygg (2010) att en abstraktion är en generalisering som kan använda si olika kontexter.

Emellertid kan konkretion kan uppfattas på olika sätt. Boaler (2011) definierar det som realistiska situationer kopplat till vardagen, yrket eller samhället. Av en annan uppfattning är Rystedt och Trygg (2010) som beskriver konkretion som manipulerbara fysiska ting. Exempel är vardagliga föremål som kapsyler, pedagogiskt material som centikuber eller tekniska hjälpmedel som miniräknare. Enligt Löwing (2006) förekommer både fysiska ting och metaforer som definition av konkretion, men uppfattningarna varierar beroende på vem som tillfrågas. Löwing (a.a.) påtalar också att båda utgångspunkterna kan ha bristande förklaringsvärde i undervisningen.

Fyfe, McNeil, Son och Goldstone (2014) rekommenderar att konkretion med stöd av fysiska uttrycksformer eftersom de erbjuder en verklighetsnära kontext som genom transfer kan erbjuda abstrakt förståelse. Av en delvis liknande uppfattning är Rystedt och Trygg (2010) som anser att sambanden mellan konkretionen och abstraktionen tydligt måste framgå. Läraren har en avgörande roll i arbetet om matematiska principer ska synliggöras, emellertid främjas förståelsen av olika uttrycksformer. Av en delvis annorlunda uppfattning har Löwing (2006)

(13)

13

som menar på att konkretionen och det formella arbetet bör vara så lika som möjligt för att transfer ska äga rum. Dessutom är inte alla matematiska begrepp och idéer konkretiserbara eller förklarar hur en matematisk procedur är beskaffad. Carbonneau, Marley och Selig (2012) tillägger att fysiska uttrycksformer kan påverkas av flera faktorer, exempelvis lärarens vägledning genom arbetsprocessen. Därför menar de att effekten av laborativ undervisning är liten eller medioker i jämförelse med enbart abstraktion med skriftliga tecken. Macknight (2011) instämmer delvis, men belyser att undervisning som utgår från ideala men verklighetsfrämmande matematiska konkretioner blir allt för abstrakt. Den negligerar inneboende egenskaper som finns i omgivningens ting och abstraktionen blir statisk och svårapplicerbar i nya situationer. Istället anser hen att läraren ska stödja eleverna att finna egenskaper och relationer mellan vardagliga ting utifrån ett matematiskt perspektiv. Det kan göra eleven bättre rustad att klara av nya sammanhang utifrån tidigare erfarenheter och möjliggör att abstraheringen istället blir hållbar och flexibel.

Matematikundervisningens språkliga aspekter

Boaler (2011) belyser behovet av organiserade matematiska diskussioner eftersom förståelsen successivt byggs upp genom att ta del av varandras förklaringar. I kommunikationsorienterad undervisning diskuteras begrepp och bidrar till en nyanserad och sammanhängande förståelse av matematik. Boaler (a.a) påpekar även att undervisningens måste tvinga elever att tänka självständigt. Även Bentley och Bentley (2011) anser att elever måste vägledas av läraren eftersom elevförklaringar inte alltid leder till förståelse. På ett delvis liknande sätt menar Löwing (2006) att läraren måste organisera samtalen för att synliggöra det matematiska språket och möjliggöra diskussioner för att senare kunna hantera mer formell matematik.

McIntosh (2008) och Bentley och Bentley (2011) menar också att elever utgår från tidigare erfarenheter och överför sin förståelse från dem i nya situationer. Utifrån föregående premiss anser Bentley och Bentley (2011) att gamla begrepp fungerar som en bas, för eleven kan nya ords innebörd transfereras från en situation till en annan. Enligt Löwing (2006) bör grunden för arbetet med decimaltal vara bråk eftersom decimaltalsberäkningar har sina ursprungliga rötter därifrån. Därför bör likheterna mellan dem lyftas fram för att eleverna ska få en helhetsbild. Av en annan uppfattning är Lortie-Forgues och Siegler (2017) som menar på att missförstånd kring multiplikation och division med tal större än noll men mindre än ett inte enbart beror på missuppfattningar kring bråk. Det kan också bero på bedömningen av rationella tal i allmänhet och dess direkta innebörd i situationerna. De argumenterar att elevernas tolkning inte enbart

(14)

14

beror på räkneoperationen utan även vilka tal som uttrycks i täljare och nämnare vilket kan vara heltal men även rationella tal i exempelvis decimal- eller bråkform.

Matematikundervisningens variation

Lunde (2011) förespråkar i allmänhet att matematikundervisningen bör utgå från ett sociokulturellt perspektiv för att förebygga svårigheter. Utifrån ett annat perspektiv belyser Boaler (2110) att variation är viktigt och inget arbetssätt bör uteslutas eller ensidigt användas. Även Rystedt och Trygg (2010) betonar variation eftersom eleverna behöver arbeta med olika kompetenser. Det inkluderar även arbete med läroboken. Emellertid varnar Löwing (2006) att lärobokens procedur kan komma i konflikt med undervisningens konkretioner och lärarens uppfattningar. Bentley och Bentley (2016) framhåller därför att decimalform bör introduceras som bråk. Med stöd av bråkform ges bättre möjligheter att förstå hur rationella tal i decimalform ska beräknas. Bråkräkning med tiondelar och hundradelar bör introduceras tidigt och behandlas frekvent i undervisningen. Emellertid behöver eleverna behärska innehållsdivision eller förlänga så att divisionen innehåller ett heltal i nämnaren. McIntosh (2008) instämmer angående undervisningens variation, eleverna är i behov av erfarenheter från olika kontexter, specifikt beträffande division med tal större än noll men mindre än ett. McIntosh (a.a.) föreslår systematiska undersökningar med miniräknare där uttryckens beskaffenhet undersöks. Ett annat förslag är att väga och beräkna kostnad utifrån kilopris eller eleverna formulerar egna problem utifrån vardagssituationer.

Kända svårigheter

Enligt Bentley och Bentley (2011) är läroböcker ofta tillrättalagda när tal i bråk- och decimalform presenteras. Av en liknande uppfattning är Löwing (2006) som beskriver att områdets kritiska aspekter inte behandlas och att bråkräkning allt mer tonats ned i grundskolans undervisning. Utifrån ett annat perspektiv menar Boaler (2011) att läromedel ofta presenterar verklighetsfrämmande situationer och fokuserar på procedurer framför sammanhang. Orealistiska uppgifter bidrar långsiktigt till svårigheter och lär eleverna att bortse från sammanhanget.

McIntosh (2008) belyser problematiken av tidiga generaliseringar som inte är allmängiltiga och som med tiden medför det att eleven måste revidera dem. Multiplikation och division introduceras ofta med hela tal vilket medföra tron om att multiplikation alltid genererar en ökning och division en minskning. Generaliseringen kan således orsaka svårigheter vid division

(15)

15

med tal större än noll men mindre än ett. På ett liknande sätt beskriver Bentley och Bentley (2016) att division med tal större än noll men mindre än ett sällan uppfattas generera en kvot som är större än täljaren. Ur ett annat perspektiv menar McIntosh (2008) att eleverna även blandar ihop rationella- och hela tal genom att ignorera decimalkommat. Lai och Murray (2014) är delvis av en annan uppfattning rörandes decimaltals grunder. De menar på att elevernas procedurer inte tycks vara godtyckliga utan verkar vara begreppsligt förankrade, särskilt beträffande talpositionernas värde och jämförelse av decimaler. Enligt Roche och Clarke (2012) är operationer med tal större än noll men mindre än ett är en utmaning för de flesta elever där orsaken kan härledas till lärarens missuppfattningar och undervisningsmetoder.

För- och eftertest

Löwing (2006) poängterar betydelsen av att ta reda på elevers förkunskaper genom fördiagnoser. Det kan synliggöra och komplettera kunskapsbrister så alla elever kan delta i den gemensamma undervisningen. Beträffande kunskaper menar Lunde (2011) att spridningen av elevers proximala utvecklingszon ökar ju högre upp i årskurserna de kommer. Ska tester i så fall användas ska de mäta kunskapernas kvalité framför kvantitet. Även Boaler (2011) varnar att frågor av låg kvalitet kan stigmatisera och demoralisera eleverna. Samtidigt menar Boaler (a.a) att eleverna bör ha en så fullständig bild som möjligt beträffande vad de kan och vad de ska lära sig.

Rystedt och Trygg (2010) föreslår att eleverna tecknar ner alla matematiska begrepp de förknippar med situationen innan lektionen genomförs för att läraren ska få en god uppfattning om förkunskaperna. Arbetet kan sedan följas upp under lektionen genom att begreppen diskuteras i par och sen sammanfattas gemensamt. Bentley och Bentley (2011) betonar att elever kan uppvisa skiftande uppfattningar kring ett specifikt begrepp i olika kontexter vilket med automatik inte innebär att eleven saknar förståelse. Emellertid kan test påvisa kollektiva brister vilket kan härledas till brist av eller bristfällig undervisning.

Sammanfattning

Både Vygotskij (1995) och Löwing (2006) påpekar att abstrahering alltid är undervisningens mål. En matematisk abstrahering är enligt Rystedt och Trygg (2010) en matematisk generell beräkning som kan härledas till bekanta som nya situationer och sammanhang. Rystedt och Trygg (2010) samt Löwing (2006) påtalar att konkretionen och abstraheringen bör vara så lika som möjligt. Emellertid varnar Löwing (2006) för att inte alla matematiska begrepp är

(16)

16

konkretiserbara. Utifrån ett annat perspektiv menar Vygotskij (1995) att enbart konkretion hindrar utvecklingen av det abstrakta tänkandet. McIntosh (2008) föreslår att undervisningen med tal större än noll men mindre än ett bör utgå ifrån vardagliga situationer eller systematiska undersökningar med miniräknare. Säljö (2000) instämmer att kognitiva och fysiska redskap frigör tankekraft. Utifrån ett annat perspektiv beskriver Boaler (2110) samt Rystedt och Trygg (2010) att variation är viktigt eftersom eleverna behöver arbeta med olika kompetenser.

Vygotskij (1995) påtalar också att läraren måste mediera mellan det ämnesspecifika- och vardagsnära språket. På ett liknande sätt poängterar Macknight (2011), Rystedt och Trygg (2010) samt Carbonneau, Marley och Selig (2012) att lärarens måste stödja eleverna för att matematiska principer ska synliggöras. Utifrån ett annat perspektiv belyser Boaler (2011) att elever tillika behöver tänka självständigt som ta del av varandras förklaringar, men de måste vägledas av läraren. Enligt Vygotskij (1934/1999) aktiverar sociala kontexter elevens inre utvecklingsprocesser. Utöver lärarens mediering anser Vygotsky (2017) att undervisningen ska utgå från den proximala utvecklingszonen, vilket kortfattat innebär det barnet kan åstadkomma med hjälp av vuxna. Emellertid påtalar Lunde (2011) att spridningen ökar mellan elevers proximala utvecklingszon högre upp i årskurserna. Med hjälp av tester kan undervisningen planeras. McIntosh (2008) och Bentley och Bentley (2011) betonar att elever utgår från sina erfarenheter och överför dem i nya situationer. Enligt Bentley och Bentley (2016) och Löwing (2006) bör arbetet med decimaltal utgå från bråk och påvisa sambanden mellan dem.

Metod

Vald datainsamlingsmetod är semistrukturerade intervjuer samt tester. I avsnittet beskrivs och motiveras datainsamlingsmetoderna, undersökningens urval, genomförande och hur datan analyserades. Avslutningsvis tar jag upp studiens etiska aspekter samt trovärdighet och tillförlitlighet.

Metodval

Eftersom studien syftar till att ta reda på elevernas uppfattningar om en lektions styrkor och förbättringsområden och hur dessa kan tolkas utifrån ett sociokulturellt perspektiv faller valet på kvalitativ forskningsintervju. Enligt Denscombe (2016) äger informanterna en unik inblick i sin egen praktik. För att ta del av uppfattningarna betonar Kvale och Brinkmann (2014) att beskrivningarna måste bli fria för att kvalitativ kunskap ska synliggöras. Av den orsaken föll

(17)

17

valet på semistrukturerade intervjuer. Kvale och Brinkmann (2014) beskriver det som ett vardagssamtal där informanternas upplevelser är centrala men baseras på en intervjuguide med slutna frågeställningar. Intervjuguiden ska innehålla korta frågor vars form och ordningsföljd kan ändras under intervjuns gång. Flexibiliteten och den mer vardagsnära utgångspunkten kan i större utsträckning tillgängliggöra intressanta upplevelser och nyansera dem. Det är inte självklart menar Denscombe (2016) eftersom personliga intervjuer kan begränsa antalet uppfattningar som åskådliggörs. Istället kan fler deltagare inkluderas i samtalet för ett mer omfångsrikt upplevelsespektrum. Av den anledningen, tillsammans med ett etiskt perspektiv, föll valet på parintervjuer. Intervjuns utgångspunkt var lektionens utförande där ett moment var ett för- och eftertest. Testerna syftar till att komplettera intervjun som referenspunkt om lärande. Kvale och Brinkmann (2014) menar metoder kan kombineras eftersom de kan komplettera varandra.

Urval

Utgångspunkten var att finna informanter som jag saknade personlig- och professionell anknytning till. Dels för att skydda informanternas identitet och dels att studiens resultat inte ska färgas av mina förutfattade meningar. Bekanta relationer kan enligt Nilholm (2016) ofta bekräfta den uppfattningen vi själva äger och kan därför påverkar studiens resultat. Utifrån ett annat perspektiv menar Fejes och Thornberg (2015) att forskarens egen bakgrund och förkunskaper kan påverka tolkningsprocessen och resultatet.

För att komma i kontakt med en informantgrupp publicerades förfrågan på Facebook. Genom ett allmänt tillgängligt och delbart inlägg en undervisande lärare i matematik på högstadiet som önskade delta i studien. Enligt Denscombe (2016) är Facebook ett snabbt och effektivt sätt att nå ut med en förfrågan. Bryman (2011) definierar metoden som snöbollsurval som är en underkategori av bekvämlighetsurval. Snöbollsurval möjliggör att förfrågan sprids och möjliggör kontakt med informanter utanför det personliga- och yrkesrelaterade kontaktnätet.

Jag kom i kontakt med en legitimerad lärare, emellertid obehörig i ämnet matematik, efter att jag blev rekommenderad av en före detta kollega. Läraren önskade att lektionsinnehållet skulle behandla division med tal större än noll men mindre än ett. Enligt Nilholm (2016) är examensarbetets tidsaspekt begränsad och kan således påverka urvalsmöjligheterna.

Eleverna informerades muntligt av läraren och vårdnadshavare via skolans digitala lärportal. Missivbrev och samtyckesblanketter (Se bilaga 1) skickades därefter ut till samtliga av klassens

(18)

18

vårdnadshavare. Av tjugoåtta elever erhölls tretton unika svar till samtycke. Av dem var returnerades åtta positiva och ett negativt svar från båda vårdnadshavarna, samt fyra positiva från en vårdnadshavare. Under intervjutillfällena begränsades informanterna till sju individer på grund av sjukdom. Av dem var två flickor och fem pojkar i en årskurs 8 på en F-9 skola i en sydsvensk stad.

Genomförande

Utifrån ett organisatoriskt perspektiv önskade ämnesläraren att använda halvklasstillfällen som inföll varannan vecka för respektive grupp. Varje lektion var 90 minuter lång och följde samma lektionsplanering med en veckas mellanrum. Lektionsplaneringens innehåll utgick från tidigare forskning beträffande missuppfattningar och förslag på undervisningen om tal större än noll men mindre än ett. Utgångspunkten för dess ramar var det sociokulturella perspektivet och tidigare forsknings utgångspunkter beträffande bland annat språkliga aspekter.

Lektionens genomförande

Under lektionerna var jag närvarande som deltagande observatör. Rollen var passiv och inga noteringar nedtecknades. När det fann sig naturligt samspelade jag emellertid med läraren och eleverna. Enligt Bryman (2011) kan det betraktas som deltagande observation när forskaren är tillsammans med informanternas i deras naturliga miljö.

Lektionerna genomfördes av läraren utifrån samma kronologi som planeringen föreskrev (se bilaga 2). Emellertid glömdes det bort att benämnda lektionens mål under genomförandet. Istället introducerades och definierades nyckelorden direkt. Dessutom var genomförandet inte helt identiska grupperna emellan. Under andra lektionen fick eleverna ut förtryckta tabeller till undersökningen med division. Dessutom krävde det gemensamma diskussionerna mer tid vilket medförde att samma grupp inte hann arbeta med de kontextuella uppgifterna. Emellertid reviderades inte andra lektionen utifrån data som framkom under från första tillfället.

Semistrukturerade intervjuer

Intervjuerna utgick från en förberedd intervjuguide (Se bilaga 4) med tre huvudteman. Enligt Kvale och Brinkmann (2014) är det lämpligt att inkludera tematiska och specifika frågor i intervjuguiden. De bör vara kortfattat formulerade och uppmuntra till spontana och fylliga svar. Intervjuguiden prövades i en pilotstudie med en ungdom i gymnasieåldern. En förkortad version

(19)

19

av lektionen genomfördes och avslutades med intervju, emellertid spelades inte intervjun in, istället dokumenterades minnesanteckningar under genomförandet.

Under studien genomfördes intervjuerna i ett avskilt anslutande rum till lektionssalen. Stukát (2011) menar på att uppsökande intervjuer är ett sätt att skapa förutsättningar för en trygg miljö. Tre informanter intervjuas efter första lektionen, första intervjun inkluderade två pojkar och den andre en pojke. Fyra informanter intervjuas efter andra lektionen, båda intervjugrupperna inkluderade en pojke och en flicka. Lokalen som användes var lugnt och inga fysiska eller audiella störningar förekom. Enligt Kvale och Brinkmann (2014) och Stukát (2011) är den fysiska miljön viktig under intervjun.

För att undvika tekniskt haveri medtogs och testades två diktafoner före intervjutillfället. Vid intervjun inledning bad jag eleverna sitta så nära diktafonenen som möjligt för bättre ljudupptagning. Intervjun inleddes med att återberätta syfte, etiska förhållningsregler, disposition och tidsaspekten på cirka 30 – 40 minuter. Innan diktafonen aktiverades ställdes frågan om någonting var oklart och behövde förtydligas. Intervjuns inledning är avgörande menar Kvale och Brinkmann (2014) eftersom informanterna behöver ha en uppfattning om intervjuaren och av intervjun innan de godkänner att tala öppet och fritt.

Intervjuerna följde guidens teman och frågor, emellertid varierade vilka spontana följdfrågor som ställdes. Spontanitet kan enligt Kvale och Brinkmann (2014) skapa livliga och spontana svar samtidigt som en allt för rigid struktur kan hämma öppenheten. Frågorna bör vara relativt öppna och vidareutvecklas med hjälp av följdfrågor, vilket är avgörande om undersökningens specifika frågor ska bli besvarade. För att återkoppla till tidigare utsagor och få min tolkning av informanternas berättelser konfirmerad sammanfattade jag deras svar kontinuerligt under intervjun. Som avslutning tackade jag för samtalet och berättade att diktafonen var avstängd. Efter det avrunda vi samtalet utifrån behov informanterna uttryckte. Några ville gå direkt, andra önskade småprata en stund, i ett fall hade jag en kompletterande en till en-lektion med en elev som uttryckt en önskan av det efter intervjun. Flera känslor kan uppenbara sig i slutet av en intervju menar Kvale och Brinkmann (2014), bland annat kan en viss oro eller spänning uppkomma.

Analys och bearbetning av data

Studien syftade på att ta reda på elevernas uppfattningar om en lektions styrkor och förbättringsområden och hur dessa kan tolkas utifrån ett sociokulturellt perspektiv. Primärkällan

(20)

20

För att analysera intervjudata valde jag tematisk analys. Enligt Bryman (2011) är tematisk analys en form av narrativ analys där fokus läggs på vad som sägs framför hur. Den kvalitativa analysen inleddes transkription av ljudfilerna, texterna lästes sedan igenom i sin helhet. Enligt Kvale och Brinkmanns (2014) kan det väcka en allmän känsla för vad som uttrycktes under intervjuerna. Därefter bearbetas sedan varje utskrift till en sammanfattande berättelse av respektive intervju, för att särskilja informanterna färgokodades texten. Kvale och Brinkmanns (2014) samt Bryman (2011) menar att kodningen är förenad med brister. Den kan lätt distansera forskaren från datan och kontexten. Genom att läsa berättelserna upprepade gånger noterade jag vanligt förekommande teman. Tematisk analys utgår enligt Bryman (2011) från en matris med teman och subteman som återkommer under intervjuerna. För att finna dem behöver texten läsas flera gånger. Teman fylldes i matrisen och sedermera även informanternas uttalanden som kunde kopplas till dem. Efter det lyftes varje tema ut till en enskild matris och delades upp i ytterligare subteman kopplat till informanternas uttalanden. Bland uttalanden sökte jag likheter och skillnader för att särskilja styrkor och förbättringsområden inom samma kategori. Jag sökte också efter repetitioner av liknande eller identiska påstående från respektive informant. från Enligt Bryman (2011) kan bland återkommande teman samt likheter och skillnader särskiljas i den tematiska analysen. Avslutningsvis jämförde jag lektionsplaneringens olika moment men vad som inte uttrycktes under intervjuerna.

För att spegla en del av det som uttrycktes under intervjuerna sammanfattades testresultaten (se bilaga 5, tabell 1) i en matris. Resultaten jämfördes först med intervjuernas tematisering och sen med respektive informants uttalanden och länkades. Enligt Bryman (2011) kan mer än en datakälla användas för att försäkra sig att det som sades under intervjun är trovärdigt eller att forskaren tolkning är korrekt.

Trovärdighet och tillförlitlighet

Enligt Kvale och Brinkmann (2014) innebär tillförlitlighet att studiens ska vara replikerbar och utmynna i samma resultat. Kvalitativa undersökningar är enligt Kvale och Brinkmann (2014) samt Fejes och Thornberg (2015) knutna till sitt sammanhang och förändras över tid. Därför kan de vara svårreplikerbara. För att inledningsvis öka studiens tillförlitlighet genomfördes en pilotstudie för att kontrollera intervjuguidens relevans och tydlighet. Pilotstudien är enligt Bryman (2011) och Denscombe (2016) en möjlighet att kontrollera hur intervjuguiden fungerar i praktiken och möjliggör revideringar.

(21)

21

Under intervjuerna följdes intervjuguidens struktur och informanternas svar sammanfattades kontinuerligt för att direkt konfirmera om jag hade uppfattat dem korrekt. Både Bryman (2011) samt Kvale och Brinkmann (2014) menar att tillförlitligheten ökar genom att direkt verifiera om tolkningen var korrekt. Denscombe (2016) påtalar även att utsagans trovärdighet måste verifieras genom att exempelvis kontrollera de verbala utsagorna med andra källor. Jag var på plats under lektionernas genomförande och hade en referensram kring det konkreta utförandet, styrkor och förbättringsområden som informanterna belyste. Delar av intervjudata kunde också delvis speglas med för- och eftertester. Framförallt förförståelse och upplevd progression.

Intervjuguidens andra tema (se bilaga 4) berörde lektionen utifrån en mer övergripande och neutral karaktär men öppnade upp för spontana synpunkter om lektionen. Tredje temats frågor var mer specifikt riktade. Samtliga syftade att på olika sätta fråga om lektionens styrkor och förbättringsområden. Enligt Kvale och Brinkmann (2014) kan trovärdigheten öka genom att upprepa samma fråga på olika sätt och samtidigt få samma svar.

Studiens generaliserbarhet kan ifrågasättas. För det första kan snöbollsurval enligt Bryman (2011) vara svårgeneraliserbart eftersom det inte går att säkerställa vilken del av befolkningen som representeras. Å andra sidan påtalar Bryman (a.a.) att informanterna istället kan bidra till nya frågeställningar. I urvalsprocessen blev jag emellertid rekommenderad vilket enligt Denscombe (2016) kan öka studiens trovärdighet. För det andra kunde studiens specifika sammanhang och tidpunkt vara en försvårande faktor beträffande dess generaliserbarhet. Enligt Stukat (2011) måste resultaten vara applicerbar i ett större sammanhang. Av en annan åsikt är Kvale och Brinkmann (2014) som menar att kvalitativa undersökningar är generaliserbara. De vilar på rika kontextuella beskrivningar som båda ska och kan resultera i siffror. Av samma uppfattning men ur ett annat perspektiv beskriver Fejes och Thornberg (2015) att kvalitativa undersökningar kan leda till pragmatisk validering om de bidrar till förståelse och tillämpningar i sammanhanget. På ett liknande sätt menar Kvale och Brinkmann (2014) att personliga erfarenhet kan omvandlas till påståenden och leda till förväntningar istället för förutsägelser. Resultaten var, utifrån studiens omfattning, kvantifierbara samtidigt som styrkor och konkreta förslag på förbättringar framkom och kunde kvantifieras.

Etik

För att uppfylla de etiska kraven utgick jag ifrån vetenskapsrådet (2002) fyra huvudsakliga kriterier för humanistisk-samhällsvetenskaplig forskning. Informations- och samtyckeskravet hanterades genom att skicka ut missivbrev med samtyckesblankett (Se bilaga 1) och verbalt upprepa informationen inför intervjutillfällena. Enligt Kvale och Brinkmann (2014) ska

(22)

22

transparens råda beträffande bland annat studiens syfte, upplägg, risker, frivillighet och konfidalitet. Missivbrevet skickades med post och var märkt med returadress för att säkerställa om kuvertet kom fram. Vetenskapsrådet (2017) poängterar att det ska intygas att informationen har kommit informanterna till hands. Ett dilemma var att inte alla samtyckesblanketter returnerades, trots det genomfördes studiens lektion. Det är fullt möjligt enligt Vetenskapsrådet (2002) om undersökning sker inom ramen för ordinarie verksamhet.

Inför studiens genomförande diskuterade jag med ämnesläraren om eventuella negativa konsekvenser för henne och gruppen. Emellertid bedömde läraren inte någon risk utan såg istället möjligheter för henne och gruppen att utvecklas. Enligt Kvale och Brinkmann (2014) ska en studiens syfte tillika bejaka det vetenskapliga värdet som att förbättra situationen för de som undersöks. Även Vetenskapsrådet (2011) belyser denna aspekt men påtalar samtidigt att det som gynnar en individ nödvändigtvis inte behöver gynna en annan. Därför menar Kvale och Brinkman (2014) att forskaren måste reflektera över och bedöma vilka konsekvenser studien kan ha för informanterna. Därför ansåg jag att maktförhållandet behövde balanseras, därför genomfördes intervjuerna parvis och på informanternas skola, emellertid gavs det inget större utrymme för motfrågor från informanterna. Enligt Kvale och Brinkmann (2014) kan intervjuernas maktförhållande vara obalanserat eftersom intervjuaren både styr ämnet och frågorna. Avslutningsvis diskuterade vi också studiens nyttjandekrav och ämnesläraren erbjöds tillgång till examensuppsatsen efter slutförande. Enligt vetenskapsrådet (2017) ska deltagarna få möjlighet att ta del av studiens resultat.

För att säkerställa konfidentialitetskravet fick informanterna en kod, dessutom behölls testoriginalen av ämnesläraren och jag fick avidentifierade kopior. Enligt Vetenskapsrådet (2017) bör information som kan röja informanternas identitet ersättas med kodnummer. Ljudfiler och transkriptioner förvarades på ett separat USB-minne. Kvale och Brinkmann (2014) förklarar att ljudfiler och transkriptioner kan innehålla känsliga ämnen och måste förvaras på en otillgänglig plats De kan de leda till stigmatisering och ska hanteras med försiktighet under processens gång, fysiskt som mentalt.

Resultat och analys

Totalt ingick sju elever i studien, varav två flickor och fem pojkar. Datainsamlingen bestod av semistrukturerade intervjuer samt för- och eftertest. Kodningen, som anonymiserar informanterna, består av en kombination av en siffra mellan 1 till 4 och bokstaven A eller B.

(23)

23

Siffran beskriver vilken intervju och bokstaven informanten i parintervjun. Fyra intervjuer genomfördes varav tre i parkonstellation (informant 1A, 1B, 3A, 3B, 4A och 3B) och en individuellt (informant 2). Informanterna gick i samma klass, en årskurs åtta. Kapitalet behandlar tre huvudsakliga teman som följs av en delanalys. Temana behandlar lektionens styrkor och förbättringsområden utifrån tre perspektiv, lektionens organisation och proximala utvecklingszon samt informanternas lärande. I den sista kategorin jämförs intervjusvar med resultat från för- och eftertest.

Resultat: Lektionens organisation

Struktur och variation

Lektionen upprepar generellt fyra moment, lärarinstruktioner och förtydligande, enskild reflektion, pardiskussion och gemensam sammanfattning. Samtliga informanterna belyser någon eller flera av föregående aspekter som positiva. Informant 4B berättar att:

Nu var det lite genomgång i början, först gjorde vi det här testet, sen var det genomgång, sen jobbade vi lite sen var det genomgång. Det var liksom flera olika genomgångar. Jag tyckte det var bra faktiskt. (4B)

Hen skildrar tillsammans med tre informanter (1B, 2 och 3A) att lektionen disponeras i mindre genomgångar vilket uppfattar som en av styrkorna. Informanten 3A motiverar att:

Sitter man och bara jobbar i matteboken tycker man det är skittråkigt. Eller om man sitter på en genomgång och gör samma saker och lyssnar, det tycker man är tråkigt. Men variation då blir det roligare de. Man får vara aktivt ändå och lyssna, och för att skriva måste man lyssna. (3A)

Hen beskriver att variation förebygger tristess och okoncentration. Generellt, med ett undantag (4A), föredras någon form av variation. Över hälften av gruppen (1A, 2, 3B och 4B) anser att matematikboken ska exkluderas och ersättas med andra undervisningsmoment. För dem är det viktigt med omväxlande arbetsmoment likt studiens lektion. De andra menar istället att en lektion borde vara stringent, exempelvis arbete med matematikboken, och lektionstyper borde istället variera.

Diskussioner

Över hälften av informanterna (1A, 1B, 2 och 3A) upplever pardiskussioner och gemensamma sammanfattningar som lektionens styrkor. Informant 1B menar på att:

(24)

24

Man gav olika svar på frågan och fick se variation på vad folk tänkte. (1B)

Diskussionerna erbjöd informanten olika lösningsmetoder och tankeresonemang. Att få dela med sig av och få ta del av klasskamraternas perspektiv uppfattar totalt sex informanter (1A, 1B, 2, 3A, 3B och 4B) som positivt. Å andra sidan menar informant 3A och 4A att:

Vi skulle ju diskutera. Inte för att det gick så bra för mig men vi skulle liksom diskutera med dom och se vad de tänkte. För hon jag jobbar med, är inte så öppen för att prata så mycket! (3A)

Jag brukar tycka att sådana uppgifter är ganska jobbiga när alla ska göra samma sak. Jag vill mest sitta själv och fokusera på mitt arbete. (4A)

Informant 4A föredrar att arbeta själv och beskriver situationen som jobbig. Den andre (3A) menar att samtalspartnern påverkar pardiskussionen negativt och att de oftast arbetar med samma person. Informanten fortsätter beskriva att:

Om någon såg lite osäker ut hade jag gått till den, oh ja förstår du liksom, för ibland kan det vara lite pinsamt. För vet man att alla andra förstår så vill man kanske inte riktigt räcka upp handen och säga. (3A)

Informanten berättar att rädsla för att blotta kunskapsbrister kan påverka diskussionsdeltagandet. Samtidigt menar hen, tillsammans med informant 2, att de ofta arbetar med samma personer. Informanten 2 föreslår följande:

Att man jobbar i olika grupper, så man lär sig av andra och förstår vad dom tänker och dom kan berätta. (2)

Förbättringsförslaget innebär att läraren kontinuerligt deltar i pardiskussionerna. På så sätt kan gruppens differentierade förkunskaper minska och förbättra möjligheterna att lära sig av varandra.

För- och eftertest

Testerna består av tre jämförbara frågeställningar där enbart talen skiljer sig åt, de genomfördes i början och i slutet av lektionen. Informanter 3B och 4B berättar att:

Jag gillade att vi hade miniprov före och efter, så att man såg skillnaden. Skillnaden på vad man har lärt sig! Då vet du kanske hur du ska räkna, du utvecklar det och du får lättare för det. (3B)

(25)

25

Jag gillar liksom att se min process, alltså från att inte kunna till kunna det, till att förstått det. (4B)

De beskriver att testerna synliggör lärandet och den personliga progressionen. På ett delvis liknande sätt beskriver informant 2 testerna:

Så att man vet hur mycket man lärt sig på den lektionen och vart man ligger så man kan förbättra sig. (2)

Hen menar på att konkreta individuella förbättringsområden kan påvisas. Gemensamt för perspektiven är att informanterna uppfattar att de var för dem själva. Ingen benämner direkt att läraren kan följa lärandet eller anpassa lektionen efter dess resultat. Informant 2 fortsätter att berätta:

Lite mer frågor kanske, för jag ville skriva lite mer om vissa saker. För dom som vill lära sig mer och så har chans att göra det. (2)

Informanten uttrycker en önskan av valbara utmanande uppgifter på testerna för dem god förförståelse. Förtestet erbjuder även en indikation av lektionens förväntningar och innehåll. Två informanter (1A och 4B) upplever målet som tydligt. Av en annan åsikt är informant 1B:

Jag tror att om man säger exakt vad man vill ha ut av lektionen så tror jag man centrerar sitt sätt att tänka och fokuserar på en sak istället för att tänka på olika möjligheter och på olika sätt. Därför tror jag det kan vara mer lärorikt. (1B)

Även om målet uppfattades under lektionen gång menar informanten att tydlighet snabbare hade riktat tanken mot det specifika lärobjektet. Att målet borde uttryckts tydligt fick hen medhåll av informant 2 och 3A.

Delanalys: Lektionens organisation

Lektionens varierande arbetssätt lyfts fram som positivt av informanterna. Emellertid delas uppfattningarna upp i två kategorier. Den första är att alla lektioner borde organiseras likt den i studien, det andra att lektionen kan vara en av flera lektionstyper som används. Boaler (2110) menar på att undervisningen bör vara varierad. Det anser även. Rystedt och Trygg (2010) och motiverar att eleverna behöver arbeta med olika kompetenser. En informant (3A) belyste att variationen bidrog till att förebygga tristess. Samtidigt kritiseras tidsdisponeringen av informant 4A som inte hann tänka igenom arbetsmomenten. Lunde (2011) påpekar att elever kan ha olika

(26)

26

inlärningstid, men det är snarare en anledning att undervisningen ska utgå från ett sociokulturellt perspektiv.

Majoriteten (1A, 1B, 2, 3A, 3B och 4B) anser att diskussionerna synliggör gruppens olika tankesätt. Vygotskij (1934/1999) menar att tänkandet utvecklas när individen interagerar med den omgivande miljön och dess sociala kontexter. På ett liknande sätt menar Boaler (2011) att matematisk förståelse utvecklas när eleverna tar del av varandras förklaringar. Informant 2 och 3A menar att kunskapsbrister kan påverka diskussionen. De påtalar också att de ofta arbetar med samma klasskamrater. Boaler (2011) anser att förståelsen successivt byggs upp genom att ta del av varandras förklaringar, men att diskussionerna måste organiseras. Utifrån den aspekten uttrycks två förbättringsförslag från informant 2. Det första är att samtalspartners bör skifta och det andra att läraren ska delta mer i pardiskussionerna för att kompensera individuella kunskapsbrister. Av liknande åsikt är Bentley och Bentley (2011) som menar att samtalen måste vägledas av läraren eftersom elevdiskussioner inte alltid leder till förståelse. Informanten 2 ansåg också att det kunde gynna hela gruppen då fler och djupare elevperspektiv berikar gruppen som helhet. Förslagen faller inom ramen för Vygotskij (1934/1999) sociokulturella perspektiv. Mer specifikt poängterar Vygotskij (1995) att mediering betydelse för att samtalet ska gå från ett vardags- till mer ämnesspecifikt språk.

I början och slutet av lektionen genomfördes ett för- och eftertest. Enligt Löwing (2006) kan då kunskapsbrister synliggöras så att alla elever kan delta i det gemensamma arbetet. Det problematiseras av Bentley och Bentley (2011) som betona att skiftande uppfattningar kan uppenbara sig i olika kontexter. Enligt informant 2 och 4B synliggörs lärandet, men de önskar fler valbara utmanande uppgifter. Ur ett annat perspektiv konkretiserade det lektionens förväntningar och innehåll, men några informanter uppfattar det som diffust och att målet borde uttalats i början av lektionen. Utifrån det perspektivet påtalar Boaler (2011) eleverna måste ha en fullständig bild vad de kan och vad de ska lära sig.

Resultat: Lektionens utifrån den proximala utvecklingszonen

Informanternas förkunskaper och tidigare erfarenheter av lärobjektet varierade, som exempel berättar informant 1A att:

Det kan vara bra att ha sådana här repetitioner ibland så man kan friska upp minnet, det jag lärde mig var ett nytt sätt att tänka på. (1A)

(27)

27

Division med decimaltal, jag har alltid tyckte det är svårt med division. Så, jag viste det skull vara en utmaning. (3B)

Fyra av informanter (1A, 1B, 2 och 3A) beskriver multiplikation med tal större än noll men mindre än ett var lätt. Tre av dem (1B, 2 och 3A) uppfattar att de behärskade division medan den fjärde informanten (1A) upplever att division med tal större än noll men mindre än ett är svårt. Informant 3B upplever att division i allmänhet är svårt och informant 4A matematik generellt som svårt. Samtliga informanter menar dock att lektionens var repetition. Även andra aspekter framkommer, informant 3A beskriver att:

Vi gick in mer på djupet, så man förstod. Så att man kunde se det och liksom hur man skulle tänka för att räkna det. Se det här för att komma fram till den slutsatsen så man kunde jämföra med det. Det fanns andra, så man kunde räkan ut det på andra olika sätt typ. (3A)

Trots att innehållet var repetition menar informanter (3A och 3B) att lektionen gick in på djupet och erbjöd omväxlande tänkesätt. De får medhåll av 1A, 1B och 2. Å andra sidan menar tre informanter (3A, 3B och 4A) att ytterligare repetition är nödvändigt för dem. Informant 3B berättar att:

Om det är någonting de inte fattar och typ förklara för dem enskilt, för att jag förstår bättre när jag har en enskild genomgång. Jag var nöjd med hur lektionen var upplagd, men jag är inte nöjd med att inte förstå vissa grejer. Alla skulle haft en enskild lärare. (3B)

Hen önskar en individuell genomgång med läraren för på så sätt lättare klara av lektionens innehåll. Ur ett delvis annorlunda perspektiv beskriver informant 1A att:

Det var bra att vi började så lätt, som trappade upp svårighetsgraden. Jag tyckte det var ett bra sätt att hålla i lektionen. Så att alla kan förstå och sen få alla andra förstå svaren. (1A)

Hen lyfter fram lektionens stegvisa upptrappning från matematiska axiom mot två mer generella procedurer, det vill säga multiplikationsprincipen och förlängning. Utgångspunkten gjorde undervisningsinnehållet, enligt informanter 1A och 4B, lättare att följa. Informant 1A beskriver att upptrappningen i viss grad minskar sannolikheten för missuppfattningar medan informant 2 och 4A uppmärksammar istället miniräknaren i kontexten. Informant 2 förklara att:

Det tyckte jag var bra, så även dom som inte kan, dom som inte är bra på att tänka så snabbt, vet hur man gör med miniräknaren och har en chans att göra det. (2)

(28)

28

Miniräknaren beskrivs som ett kompenserande hjälpmedel för svårigheter med huvudräkning. En annan stödjande aspekt berättas av informant 4B:

När man väl fattade det där mönstret var det liksom mycket enklare. Jag har inte tänkt på det här mönster på det sättet. Jag har bara tänkt på en uppgift för sig. (4B)

Enligt fem informanter (1A, 3A, 3B, 4A, 4B) var de matematiska mönstren behjälpliga för förståelsen. De bidrog också till reflektion och underlättade att upptäcka flera samband i samma kontext enligt två informanter (2 och 3A). Emellertid benämns inte arbetet med centikuber, däremot belyser en informant 2 avsaknaden av visuella uttrycksformer som han anser kritiska för sitt lärande.

Lektionen inkluderade avslutningsvis kontextuella uppgifter där proceduren skulle appliceras i ett sammanhang. 1B berättar att:

För att om man tänker ut en uppgift själv så är det som om man kan samma sak som exempelvis boken kan. Det är det man ska kunna, Därför kan jag göra egna så blir det ett annat sätt att ha kunskapen. (1B)

Tillsammans med 1A uppskattar hen momentet och menar att de var som en sammanfattning där kunskapen konfirmeras och verklighetsförankrades. Dock har de synpunkter, uppgifterna borde presenterats under lektionens inledning. Övriga informanter påpekar inte ordningsföljden av lektionens moment.

Delanalys: Lektionens utifrån den proximala utvecklingszonen

Samtliga informanterna uppfattar lektionsinnehållet som repetition, samtidigt varierade förkunskaperna. Mer än hälften anser att de behärskar multiplikation och mindre än hälften division med tal större än noll men mindre än ett. Båda räkneoperationerna kan förknippas med flera kritiska aspekter. Enligt McIntosh (2008) samt Bentley och Bentley (2016) antar elever ofta att multiplikation alltid innebär en ökning och division en minskning vilket kan vara en orsak till svårigheter. Missuppfattningen kan enligt McIntosh (2008) bero på tidigare generalisering av räkneoperationerna. Det kan härledas enligt Roche och Clarke (2012) till lärarens egna missuppfattningar eller tidigare undervisning.

Informant 3B och 4A upplever behov av ytterligare repetition. Å andra sidan anser informant 1A och 4B att den stegrande upptrappningen och diskussionerna av lärobjektet är en styrka: Informant 3A och 3B beskriver att lektionen gick in på djupet, tillsammans med 1A och 1B

(29)

29

menar de dessutom att olika tänkesätt åskådliggjordes Upptrappningen kan således associeras till Vygotskys (2017) proximala utvecklingszon vilket innebär att eleven an ta sig an mer komplexa uppgifter med stöd av klasskamrater och läraren.

Ingen informant benämner arbetet med centikuber över huvud taget under intervjun. Enligt Carbonneau m.fl.(2012) är en abstraktion med skriftliga tecken lämpligare eftersom laborativ undervisning har fler kritiska aspekter. Av en annan åsikt är Fyfe m.fl. (2014) som menar fysiska uttrycksformer erbjuder förståelse om den abstrakta. Av en delvis annorlunda uppfattning är Vygotskij (1995) som menar att konkretion kan vara ett hinder för det abstrakt tänkandets utveckling. Löwing (2006) nyanserar och förklarar att konkreta uttrycksformer kan vara svåröverförbara till matematiska. Fem informanter (1A, 3A, 3B, 4A och 4B) menar att det undersökande arbetet med mönster var behjälpligt. Enligt McIntosh (2008) är systematiska undersökningar med miniräknare lämpligt i sammanhanget. Informant 2 och 4A uppmärksammade miniräknaren och anser att den kompenserar för eventuella svårigheter med huvudräkning. Utifrån ett sociokulturellt perspektiv menar Säljö (2000) att tankekraft då frigörs med kognitiva redskap. Specifikt möjliggör miniräknare upptäckten av nya samband. Beträffande arbetet med tal större än noll men mindre än ett menar McIntosh (2008) systematisk prövning med hjälp av miniräknare bidrar till förståelse om uttryckets beskaffenhet. McIntosh (a.a.) betonar också att eleverna behöver erfarenhet från olika kontexter, matematiska undersökningar som vardagsnära situationer. I slutet av lektionen skulle eleverna träna med proceduren i mer vardagsnära sammanhang. Trots att uppgifterna fungerade som en sammanfattning anser informant 1A och 1B att de borde presenterats under lektionens inledning. Undervisningens mål är enligt Vygotskij (1995) och Löwing (2006) att gå från det konkreta till det abstrakta. Definition av konkretion kan variera enligt Löwing (2006) som beskriver att både fysiska uttrycksformer och metaforer kan anses som konkretion. Specifikt utifrån lärobjektet menar McIntosh (2008.) dessutom att undervisningen bör inledas utifrån elevernas egna vardagliga erfarenheter. Som kontrast uttrycker informant 3B behovet av en till en undervisning. Det kan delvis förklaras, enligt Lunde (2011) att skillnaden ökar mellan elevers proximala utvecklingszon högre upp i årskurserna. Enligt Vygotsky (2017) behöver elever inledningsvis mer stöd för att sedermera med tiden kunna arbeta allt mer på egen hand.

Resultat: Informanternas lärande

Resultaten bearbetas en fråga i sänder och speglas med några intervjusvar. För- och eftertesterna (se bilaga 3) består av tre frågor. Första frågan är en flervalsfråga om rimlighetsbedömning

Figure

Tabell 1. Sammanfattande resultat av för och eftertest
Diagram 2. Testresultat av proceduriella begrepp individ

References

Related documents

Innan jag börjar undersöka faktorer som har varit bidragande för respondenternas upphörandet av det kriminella livet så kommer jag därför att försöka ta reda på

Genom att ta stöd i de verksamheter som jag har urskilt i studien och de förutsättningar för lärande i matematik som finns där, finns möjlighet för lärare att på ett mer

7 Conclusion and Suggestions for Further Research The purpose of this report has been to investigate the impact of FDI, trade openness and their combined interaction on

Det innebär att personer ska kunna förflytta sig av sociala skäl, för att komma till och från jobb, för att nå viktiga kontakter med t ex sjukvård, för att få tillgång

Den här delen är av stor betydelse för att kunna arbeta undersökande och är grupperna för stora i förhållande till antal pedagoger är det inte säkert att

Vår studie fann även att ett upptäckande av ett kvalitetshotande beteende inom mindre revisionsbyråer kunde ha större konsekvenser för dem än hos the Big Four

På ett bord ligger det tjugo

När barnen plockat upp de olika sakerna får de i uppgift att sortera dem i storleksordning, den största saken först och den minsta sist..