Matematisk förmåga

Malmö högskola

Lärarutbildningen

Natur, miljö, samhälle

Examensarbete

15 högskolepoäng på avancerad nivå

Matematisk förmåga

Mathematical ability

Ameli

Hjertman

Lärarexamen 210hp Matematik och lärande 2010-11-09

Examinator: Tine Wedege

3

Sammanfattning

Syftet med undersökningen är att ta reda på vilka matematiska förmågor enligt Krutetskiis teori som synliggörs hos elever i skolår 5 som arbetar gruppvis med problemlösning. Dessutom undersöktes vad läraren uppmärksammar som matematisk förmåga och hur läraren organiserar sin undervisning för att utveckla matematisk förmåga. Krutetskii (1976) har definierat de matematiska förmågorna genom en studie som gjordes 1955-1966. Dessa tolkades och analyserades från en översatt version av hans verk. Med inspelat material från två observationer synliggjordes flera matematiska förmågor hos eleverna. Det framkom av intervjun att läraren erbjuder berikning, flera gruppkonstellationer, olika undervisningsformer och metoder.

Utifrån forskning och resultatbild från undersökningen finns det viktiga aspekter att ta hänsyn till för att elever ska utveckla matematiska förmågor. Det gäller att arbeta med problemlösning tillsammans med andra i praxisgemenskap. Problemet måste innehålla flera olika abstraktionsnivåer för att eleverna ska kunna arbeta från den individuella utvecklingszonen till den närmaste utvecklingszonen. Läraren måste ha stor ämneskunskap och använda rätt terminologi. De affektiva föreställningarna spelar en stor roll där en positiv och aktiv inställning gynnar progression av matematiska förmågor. Även intresset för matematik samt elevens flit och koncentration påverkar rätt riktning.

Nyckelord: fallenhet, förmåga, grundskola, Krutetskii, matematik, matematisk förmåga

“Proper placement of personnel assumes a maximal realization of each person's potentialities, and to achieve this, we must know how to discover and develop these potentialities.”

4

Förord

För mig har matematik alltid varit ett älskat ämne, från tidiga barnsben och framåt. Min utbildning har gett mig många erfarenheter och jag har läst mycket litteratur som ska hjälpa mig att ge de elever jag möter en god och rolig start för deras livslånga lärande gällande matematik. Detta arbete har gett mig kännedom om de matematiska förmågor som vi alla innehar. Det har varit en intressant men krävande tidsperiod då detta arbete har pågått.

Jag vill tacka läraren och eleverna som deltagit i min undersökning. Dessutom vill jag tacka min handledare Ingrid Dash som stöttat mig och varit mitt bollplank. Till min examinator Tine Wedege vill jag även rikta ett tack för ett givande granskning seminarium där mitt arbete kunde knytas ihop.

Till sist vill jag tacka min man, Thomas, och mina älskade barn, Hannes och Caspar, som har stöttat och uppmuntrat mig dels under denna period samt under hela min utbildning.

5

INNEHÅLLSFÖRTECKNING

1. INLEDNING ... 7

2. SYFTE OCH FRÅGESTÄLLNINGAR ... 8

3. FORSKNINGSGENOMGÅNG ... 9

3.1 MATEMATIK OCH DESS UNDERVISNING ... 9

3.1.1 Differentiering eller individualisering ... 11

3.1.2 Problemlösning ... 12

3.2 MATEMATISKA FÖRMÅGOR GENERELLT ... 13

3.2.1 Matematiska förmågor enligt Krutetskii ... 15

3.2.2 Vygotskijs teori om matematisk förmåga ... 19

4. METOD OCH GENOMFÖRANDE ... 21

4.1 METOD ... 21

4.2 URVAL ... 22

4.3 GENOMFÖRANDE ... 22

4.4 VALIDITET OCH RELIABILITET ... 23

4.5 FORSKNINGSETISKT ÖVERVÄGANDE ... 24

5. RESULTAT ... 25

5.1 VILKA MATEMATISKA FÖRMÅGOR SYNLIGGJORDES HOS ELEVERNA I GLASSPROBLEMET ... 25

5.2 VILKA MATEMATISKA FÖRMÅGOR SYNLIGGJORDES HOS ELEVERNA I PROBLEMET MED TRÄDGÅRDSLANDET ... 27

5.3LÄRARENS SVAR ... 31

6. ANALYS OCH DISKUSSION ... 32

6.1 DISKUSSION OM METODEN ... 32

6.2 DISKUSSION OM MATEMATISKA FÖRMÅGOR I STUDIEN... 33

6.3DISKUSSION OM LÄRARENS UPPFATTNING OM MATEMATISK FÖRMÅGA ... 35

6.4SLUTSATS ... 36

7. REFERENSER ... 39 BILAGOR 1 - 6

7

1. Inledning

Matematik är ett känsloladdat ämne som många har åsikter om. Ofta, allt för ofta hör man att matematik är ” svårt, tråkigt, inget jag fattar osv”. Vuxna har dåliga erfarenheter från skolan och överför dessa negativa föreställningar på sina barn. Elever kan få bristande självförtroende när lärare ständigt påpekar att ”matematik måste du jobba lite till med” (Pehkonen, 2001). Varför ska skolan inte fokusera på det som är positivt i matematik och vända den negativa trend med dåligt resultat och dåliga erfarenheter som finns i Sverige? Att få elever intresserade av matematik både i skolan och i omvärlden.

Med denna undersökning hoppas jag att läsaren kan få insikt i hur matematiska förmågor skapas, synliggörs, tas om hand och utvecklas i ett klassrum. De matematiska förmågorna kan identifieras vid problemlösning när eleverna samlar information om problemet, bearbetar problemet och bevarar information från problemet.

Enligt kursplanen för matematik ska skolan sträva efter olika mål där flera förmågor i de matematiska områdena ska utvecklas med problemlösande aktiviteter för alla elever, såväl de som är i behov av särskilt stöd som elever i behov av särskilda utmaningar (Skolverket, 2008).

Undersökningens syfte är att ta reda på om matematiska förmågor synliggörs hos elever i skolår 5 genom problemlösning tillsammans med andra elever. Dessutom görs en intervju av deras lärare vad denne uppmärksammar som matematisk förmåga och hur undervisningen organiseras för att matematiska förmågor ska synliggöras och utvecklas.

8

2. Syfte och frågeställningar

Syftet med undersökningen är att ta reda på vilka matematiska förmågor definierade utifrån Krutetskiis (1976) studie som synliggörs under en problemlösningsaktivitet och hur lärare uppmärksammar och tar hand om de matematiska förmågorna. Resultatet problematiseras mot den forskning som finns upptagen i arbetet.

Undersökningens frågeställningar är:

 Vilka matematisk förmåga synliggörs hos elever vid problemlösning?

 Vad är det läraren uppmärksammar som matematisk förmåga?

 Hur organiserar undervisningen enligt läraren så att matematiska förmågor synliggörs och utvecklas?

9

3. Forskningsgenomgång

Här behandlas matematik, dess undervisning, matematiska förmågor samt Vygotskijs teori för att belysa viktiga aspekter för att definiera och utveckla matematisk förmåga i lärandet. Dessutom preciseras valet av teori om Krutetskiis (1976) matematiska förmågor som tolkas och definieras för undersökningen. Ur undersökningens material framträder kategorier som motsvarar Krutetskiis (1976) definierade matematiska förmågor där de kommunikativa aspekterna i praxisgemenskap uppträder som betydelsefulla för lärandet (Dysthe, 2003, Illeris, 2006, Strandberg, 2006, Säljö, 2002)

3.1 Matematik och dess undervisning

Läroplanen, Lpo94 (Utbildningsdepartementet, 2003) betonar att undervisningen ska anpassas efter varje elevs förutsättning, kunskap och erfarenhet för att främja lärandet och kunskapsutvecklingen. I sin undervisning ska skolan sträva efter olika mål där elevernas intresse, självförtroende och flera förmågor i de matematiska områdena ska utvecklas (Skolverket, 2008). Även Ernest (2007) diskuterar ”att kunna matematik” ska ses i ett vidare socialt sammanhang med utgångspunkt av den lärandes färdigheter, attityder, förutsättningar och förmågor gällande matematik och dess undervisning.

Matematik är en problemlösande vetenskap som vi behöver för att förstå vår omvärld och oss själva. Vad är det då som gör matematik konkret och hur kan undervisningens innehållet planeras utifrån ett socialt och brett sammanhang?

Matematikundervisningen ska utgå från explicita mål och resultat för eleverna där läraren ska planera och implementera arbetet så att elevens kunskapsutveckling sker efter dess förutsättningar och förmåga. Detta för att främja elevens metakognitiva lärande, att bli medveten av sitt lärande, dvs. ”att förstå vad man har lärt sig och varför”

10

(Skolverket, 2003). Men forskning i Sverige visar att matematikundervisningen fokuserar främst på färdighetsträning istället för kunskapsbildning (Skolverket, 2003). Dessutom ska den kontextbundna undervisningen i matematik innehålla många olika stimulerande och varierande inslag av arbetsformer och metoder såsom laborationer, undersökningar, spel, lekar, färdighetsträning samt genomgång av nya begrepp och moment (Löwing, 2006).

Eleverna ska utgå från konkreta och redan för dem kända situationer och problem för att komma till den generella tillämpningen. Det finns flera abstraktionsnivåer inom varje matematiskt område, taluppfattning, mönster, geometri och algebra för att nämna några. Att konkretisera dessa betyder att använda en artefakt (avsnitt 3.2.2), en metafor eller en erfarenhet för att åskådliggöra ett matematiskt begrepp, samband, representation, generalisering eller operation, där den kommunikativa kontexten är grundläggande (avsnitt 3.2.2). En artefakt kan vara Cuisenairs räknestavar, pengar och logiska block, en metafor kan vara en termometer (negativa tal) och en erfarenhet utgår från hem och samhälle. När eleven abstraherat, skapat sig en förståelse, ska lärandet utgå från den nya abstraktionsnivån för bredare progression (Löwing, 2006).

Matematik har funnits i flera tusen år och är ett laddat ord med olika betydelser samt känslor för oss alla. Undervisningen präglas av känslor vi har för matematik, det vill säga de affektiva föreställningar, uppfattningar, attityder och erfarenheter. Pehkonen (2001) menar att elevernas tidigare erfarenheter och uppfattningar sätts samman med nya erfarenheter till en större struktur med påverkan av lärare, läromedel, föräldrar, kamrater, samhället och myter. Elevernas uppfattningar präglar deras sätt att lära och använda matematik vilket kan bli till ett hinder. För att förändra negativa uppfattningar är en långsiktig process med alla inblandade parter där medvetenhet, engagemang, reflektion, störning och strävan är krav för en förändring (Pehkonen, 2001). Att se till elevernas starka sidor och poängtera dem resulterar i ett matematisk självförtroende som stärker både eleven, matematik som ämne och undervisningen. En positiv attityd till matematik kan få eleverna att lättare se användningsområden och nyttan med matematik i samhället (Ernest, 2007). Höga förväntningar kombinerat med stödjande undervisning ökar elevens möjligheter att lära matematik (Wallby, Carlsson & Nyström, 2001).

11

3.1.1 Differentiering eller individualisering

Som det tidigare har nämnts föreskriver Läroplanen, Lpo 94 (Utbildningsdepartementet, 2003) en undervisning som ska anpassas till varje elevs behov gällande innehåll, läromedel, uppgifter och arbetsformer. Detta benämns som en individualiserad undervisning. Nedan förklaras olika syn på vad individualiserad undervisning är och vilken betydelse den har för utvecklingen av matematisk förmåga.

Differentiering betyder att undervisningen utformas olika för olika elever. Detta kan ske genom att utbildningsmålen, bedömningskriterier och klassrumsaktiviteter skiljer sig åt (Wallby m.fl., 2001). Även val av arbetsform kan betyda differentiering där eleverna arbetar tillfälligt genom gruppering från någon egenskap. Individualisering innebär ett anpassat innehåll till varje elevs behov, förkunskaper och förmåga (Löwing, 2006). Forskning visar idag att lärarna individualiserar sin undervisning på ett felaktigt sätt. Antingen låter de eleverna arbeta vidare individuellt s.k. hastighetsindividualisering eller genom berikning (Wallby m.fl., 2001). Enligt forskning kan de allra duktigaste eleverna ha positiva fördelar med nivågruppering om de får möjligheten att lära om områden som de annars inte skulle kommit i kontakt med. Dessutom påpekas det att nivågruppering kan dela upp skolan socialt och utbildningsmässigt vilket kan leda till prestationsångest (ibid.).

Det finns två olika undervisningsinriktningar för elever med fallenhet och förmåga i matematik: acceleration och berikning (Löwing, 2006, Wallby m.fl., 2001, Winner, 1999). Vilken av de två inriktningar som ska väljas ska bero på elevens behov.

Acceleration betyder att eleven arbetar vidare med matematik i sin egen takt och

därmed kommer fortare fram än sina kamrater. Detta kan leda till att de förflyttas upp i en annan årskurs. Det kan även innebära att en elev kan börja skolan tidigare. Problem som kan uppkomma vid arbete inriktat på acceleration är en spridning bland eleverna. Spridningen kan bero på att de arbetar med olika områden och därmed lärarledda genomgångar i undervisningen inte är möjliga, lärarens egna kunskaper inte räcker till eller minimal kommunikation mellan elever och lärare. Dessutom kan det bli till en hastighetstävling där eleverna tävla om vem som hinner komma längst i boken då förståelsen för det matematiska området kan utebli.

Berikning betyder att eleven arbetar med fördjupningsmaterial i de områden som de

12

gemensam genomgång och därefter fördjupas sig i något speciellt. Dessa fördjupningar måste vara väl genomtänkta och ger stimulans för eleverna. Här kan problem uppstå att läraren varken har tid eller kunskap för att möta eleven och låter elever få arbeta med andra skolämnen istället.

3.1.2 Problemlösning

När Krutetskii (1976) gjorde sin studie använde han problem för att undersöka strukturen av matematiska förmågor hos elever. Problemen var inte bara riktade mot ett resultat utan framförallt att till att synliggöra kvalitativa egenskaper i processen av problemlösning. Problemlösning lyfts fram som aktivitet för att synliggöra matematiska förmågor hos eleverna i undersökningen.

Med problemlösning menas ”att kunna tolka och formulera en problemsituation i matematiska termer och välja metod för att lösa problemet. Det innebär att elever bör kunna strukturera sitt tänkande och argumentera för sina idéer och

lösningsförslag muntligt och skriftligt.” (Skolverket, 2003, s. 13).

Lester (2002) anser att aktiviteter med problemlösning ska utveckla speciellt tänkande och färdigheter hos eleverna. Han har identifierat en struktur för elevens tankeprocesser vid problemlösning. Denna innebär att eleven ska förstå innehållet i problemet, samla in data som behövs vid problemlösandet samt välja och använda lämpliga lösningsstrategier. Därefter ska hon/han kunna avge ett adekvat resultat, värdera dess rimlighet och finna lämplig generalisering.

Många betonar vikten med problemlösning för att eleverna ska utveckla sin förmåga att tänka logiskt, systematiskt, kreativt och strukturerat. Dessutom menar man att elevernas lust, motivation och självförtroende ökar vid utmaningen av att lösa problem samt att eleverna ska förbereda sig för framtida vardags- och yrkesliv (Hagland, Hedrén & Taflin, 2005, Lester & Lambdin, 2001 och Skolverket, 2003). Även kursplanen för matematik framhåller elevens upplevelser i att kunna förstå och lösa problem med lust och glädje (Skolverket, 2008).

Problemlösning skapar fängslande situationer för eleven att undersöka med sina kunskaper och tillämpa dem. Vidare anses det att vid problemlösning kan eleven utveckla fler strategier samt öka förståelsen för användningen av grundläggande

13

begrepp och metoder. Dessutom påverkas elevernas positiva attityd och självkänsla stärks (Lester m.fl., 2001). Det krävs diger ämneskunskap i matematik för att skapa problem som tillåter reflektion på olika abstraktionsnivåer samt som stimulerar och utmanar elever med varierande matematisk förmåga (Sollervall & Wistedt, 2004). I problemlösningsprocessen ges läraren möjlighet att observera matematiska förmågor hos elever (Krutetskii, 1976).

Den samtida diskussionen vid problemlösning genererar goda förutsättningar till att fördjupa och få ny kunskap. Det är viktigt att problemen är lämpade för elevernas kunskaps- och erfarenhetsnivå och att eleverna är aktiva och kreativa (Hagland m.fl., 2005). Kilpatrick och Swafford (2002) menar att ett av problemen med skolans problemlösning är att eleverna har svårt att se sambandet mellan att lösa problem de lärt och använt i skolan och utanför skolan. Detta kan begränsa elevens förmåga att tillämpa vad de lärt i skolan på problem i samhället.

3.2 Matematiska förmågor generellt

I detta avsnitt kommer olika teorier från forskare om matematiska förmåga tas upp. Det har bedrivits mycket forskning internationellt men nationellt är forskningen minimal om matematisk förmåga. Dessutom fokuseras det mer på elever med särskild fallenhet för matematik internationellt medan här i Sverige har det inte satsats på dessa elever nämnvärt. Här har både forskningen och politiken koncentrerat sig på elever med inlärningssvårigheter vilket naturligtvis är viktigt.

Wistedt (2005, 2006 & 2008) och Engström (2005) poängterar att detta forskningsperspektiv kan komma att färga skolans perspektiv på elevers lärande. De menar att det vore bättre att lärarna och skolan ser till elevernas kompetenser och förmågor för att utveckla deras matematiska förståelse. Det är viktigt att se den potential som finns hos elever då de matematiska förmågorna är utvecklingsbara. Även bilden av matematik som ämne präglas av rådande perspektiv och en ändring skulle höja matematikens status. Detta poängteras även i kursplanen för matematik att framgångsrik matematik tillämpas när det är balans mellan problemlösning och matematisk kunskap vilket ska gälla alla elever, både elever i behov av särskilt stöd som i behov av särskilda utmaningar (Skolverket, 2008).

14

1994 utfärdade Europarådet rekommendationer att även barn med särskild begåvning är i behov av särskilt stöd. Våren 2005 påbörjades ett forsknings- och utvecklingsprojekt ”Pedagogik för elever med förmåga och fallenhet för matematik i en skola för alla” på Växjö universitet. Projektet leds av Inger Wistedt, professor vid Linnéuniversitetet i Växjö och Franz Mönks, professor och erkänd forskare. Projektets syfte har varit att studera hur matematisk förmåga hos elever uttrycks, kommuniceras och värderas i skolans praktik på olika stadier inom skolan samt undersöka hur den pedagogiska praktiken kan utvecklas för att stödja elever med särskild fallenhet för ämnet. Svenska Vetenskapsrådet (www.vr.se) finansierar projektet som bygger på insamlad data från lärarstudenters examensarbete samt inom verksamma lärares arbeten (Wistedt, 2005, 2006, 2008).

Koshy, Ernest & Casey (2009) har skrivit en artikel där de diskuterar matematiska förmågor, hur de uttrycks och om vilken undervisning som gynnar elever med matematiska förmågor. De definierar matematisk förmåga som en kvalitet som är medfödd eller förvärvad vilken kan vara i ett utvalt område eller rent generellt. Den kan observeras i elevers prestationer vid aktivitet. Vidare menar de att matematisk förmåga kan både vara och inte vara förenade med förmågor i andra ämne.

Kilpatrick m.fl. (2002) har tillsammans med flertalet forskare tagit fram ett ramverk som kan ligga till grund för elevernas kunskaper, färdigheter, förmågor och uppfattningar i och om matematik, vad det innebär att vara framgångsrik i matematik. Deras resonemang innefattar bl.a. Krutetskiis (1976) teori om matematiska förmågor. Ramverket består av fem komponenter, beroende av varandra samt ska utvecklas tillsammans som en integrerad struktur.

 conceptual understanding – begreppsförståelse gällande matematiska begrepp, operationer och relationer.

 procedural fluency – förmågan att utföra räkneoperationer lämpligt, flexibelt, effektivt och korrekt.

 strategic competence – förmågan att lösa, formulera och tillämpa matematiska problem på lämpligt sätt

 adaptive competence – förmågan att kunna matematisk bevisföring, se och använda mönster, generalisera, använda deduktiva resonemang samt att kunna resonera logiskt kring ett problem.

15

 productive disposition – förmågan att se matematik som användbar, meningsfull och genomförbar både i skolan och utanför samt engagerad med positiv inställning till matematik.

Det råder olika föreställningar om elever med matematisk förmåga och det är många som ser elever med fallenhet för matematik ofta som en homogen grupp som klarar sig själv (Engström, 2005, Koshy m.fl., 2009, Winner, 1999, Wistedt, 2005 & 2006). När lärarna beskriver hur de uppfattar elever med fallenhet hänvisar de till elever som arbetar snabbt, tänker snabbt och hinner mer än andra. Men det finns en bred variation även av dessa elever. Vissa är understimulerade och finner skolan tråkig vilket kan resultera i håglöshet och undermåliga prestationer. Andra anser sig annorlunda och reagerar på detta. De finns elever som tänker långsamt, vrider och vänder på problem eller är kreativa och har okonventionella lösningar. Båda dessa egenskaper kan värderas som matematisk förmåga men dock ej i undervisningen. Inger Wistedt (2005) anser att ”det är bristen på kunskap av variationen i uttryck för matematisk förmåga som gör att vi lätt uppfattar dessa elever som en särskild grupp.” (ss. 53-54)

De affektiva föreställningarna (avsnitt 3.1) spelar en avgörande roll för motivation och kreativitet för elever med matematisk förmåga. Koshy m.fl. (2009) pekar på tre viktiga sammanbundna komponenter som spelar en betydande roll för dessa elever.

 Matematiskt självförtroende och positiva affektiva föreställningar till matematik.

 Ansträngning, uthållighet och engagemang med kognitivt utmanande uppgifter.

 Hög prestation och gott resultat på matematiska uppgifter.

3.2.1 Matematiska förmågor enligt Krutetskii

Resultatet har tolkats genom att använda de matematiska förmågorna som är definierade av V.A. Krutetskii (1976). Vederbörande gjorde en longitudinell studie mellan 1955-1966 där skolbarns matematiska förmågor undersöktes. Studien bygger på att analysera individuell problemlösning med barn med varierande förmåga för matematik. Det poängterades att alla normalt friska barn har inslag av matematisk förmåga (ibid.). Det

16

dynamiska perspektivet på matematisk förmåga stämmer överens med den sociokulturella teorin (avsnitt 3.2.2).

Studien baserades på följande teser om matematiska förmågor

 Matematisk förmåga finns endast i en matematisk aktivitet och uttrycks i denna.

 Matematiska förmågor existerar i ett dynamiskt tillstånd; de finns, skapas och utvecklas i en matematisk aktivitet.

 Matematiska förmågor utvecklas under vissa perioder i en människas utveckling.

 Matematiska förmågor är nära förbundna, påverkar och bildar ett enda system.

 Matematiska förmågor samverkar till framsteg och höga prestationer i en matematisk aktivitet.

 En matematisk förmåga kan kompensera en annan matematisk förmåga som inte är fullt utvecklad vilket leder till framgång i matematisk aktivitet.

Krutetskii (1976) ansåg att det finns en medfödd benägenhet med betydelse för barnets utveckling av matematiska förmågor. Där begreppet förmågor definieras som en persons individuella psykologiska egenskaper som är gynnsam för att snabbt och enkelt behärska en aktivitet. Det krävs fler karaktärsdrag för att kunna klara av en aktivitet. Här inkluderas attityd, uppfattningar, socialt liv samt kunskaper och färdigheter. För att framgångsrikt klara av en matematisk aktivitet krävs även en aktiv och positiv inställning samt ett intresse för matematik. Även flit, självdisciplin, stimulans, koncentration samt kunskaper och färdigheter inkluderas i de positiva egenskaperna vilka anses som viktiga i matematiska aktiviteters progression.

Som tidigare nämnts blir förmåga synlig i utveckling därför måste den matematiska aktiviteten innehåll flera nivåer av prestationer/abstraktion för att kunna urskilja matematisk förmåga. Bedömningen sker i elevernas arbete, hur snabbt och enkelt deras framsteg görs samt vilka lämpliga metoder och strategier de använder (ibid.).

Vid Krutetskiis (1976) studie användes problemlösning som matematisk aktivitet och det urskildes tre steg i elevens progression:

1. Samla information om problemet – skapa förståelse

2. Omvandla och använda den insamlade informationen för att lösa problemet – processen

17

Utifrån Krutetskiis (1976) definierade matematiska förmågor (se bilaga 1) har de tolkats till min studie enligt nedan:

1. Insamla matematisk information.

a. Förmåga att fånga den formella strukturen i ett matematiskt problem.

Elever kan tolka information i ett matematiskt problem på olika sätt. De eleverna med denna förmåga kan upptäcka samband i problemet då irrelevant information sorteras bort och problemets struktur blir synligt. Medan andra elever som inte kan finna problemets struktur testar och provar sig fram med lösryckta samband från problemet för att komma fram till en lösning.

2. Bearbeta matematisk information.

a. Förmåga för logiskt tänkande och förståelse för matematiska symboler.

Elever med denna förmåga har ett logiskt tänkande och kan förstå och arbeta med matematiska symboler.

b. Förmåga att generalisera matematiska objekt, relationer och operationer snabbt och brett.

Förmåga att generalisera matematiska problem kan, enligt Krutetskii (1976), ses i två nivåer:

1. Genom att tillämpa något redan för eleven känt och generellt samband på ett visst problem.

2. Genom att härleda något okänt med ett generellt samband.

När det gäller att generalisera snabbt åsyftas snabbt inte på elevens tempo utan på hur många fall eleven gör innan det generella sambandet upptäcks.

Följande ligger som grund för förmåga att generalisera enligt Krutetskii (1976):

1. Metoden för att successivt generalisera det matematiska problemet är inte det enda sättet att arbeta med generalisering. Elever kan utifrån en analys av bara ett fenomen arbeta fram en generell form att lösa liknande fenomen. Detta sker utan hjälp från lärare, jämförelser av liknande problem eller övningar.

2. Att generalisera både snabbt och brett utgör ett kriterium för dessa elever vilket menas att de hittar snabbt det väsentliga och även det dolda generella i vad som tycks vara olika matematiska problem och uttryck.

3. Elever generaliserar en metod för att finna lösningen på problemet vilket påverkar effektiviteten att lösa atypiska och icke standard problem.

18

c. Förmåga att förkorta och förenkla matematiska resonemang och operationer.

Elever med denna förmåga kan hoppa över resonemang och därmed förkorta sin mentala process när de löser problem.

Krutetskii (1976) grundar sig på följande för elever med förmåga att förenkla och förkorta:

1. Svaret ges snabbt och ofta omedelbart efter frågan.

2. Resonemanget förs sammanhängande, utan pauser och med flyt. 3. Svårigheter att ge ett detaljerat resonemang utifrån det snabba svaret.

d. Förmåga till ett flexibelt tankesätt i matematisk aktivitet.

Med flexibelt tankesätt menas att elever kan lätt och fritt växla från en lösningsstrategi till en annan, från en arbetsmetod till en annan och från en representation till en annan. Denna förmåga är viktig för att vara kreativ inom matematik.

e. Strävan efter enkla, ekonomiska och rationella lösningar.

Elever med denna förmåga strävar efter att lösa problem enkelt och rationellt, de söker den kortaste, klaraste och den mest eleganta väg de kan finna att lösa problemet.

f. Förmåga att känna till och arbeta med det omvända problemet.

Elever med denna förmåga kan snabbt och enkelt växla från ett direkt till en omvänt tankesätt. De kan utgå från resultatet till den ursprungliga uppgiften dvs. se sambandet mellan dem och även föra ett resonemang kring det omvända tankesättet.

3. Bevara matematisk information.

a. Förmåga att minnas matematiska relationer, egenskaper, argument, bevis, problemlösningsmetoder och strategier.

Elever med ett matematiskt minne, som det även kallas, kan bevara matematisk information för att arbeta med problem. I de yngre åren är det främst konkreta uppgifter och matematiska relationer som de minns. Ju äldre de blir memoreras grundläggande matematiska egenskaper, argument, bevis, generella lösningsmetoder och strategier för att användas till problemlösning. Konkreta uppgifter och annan överflödig information för vidare utveckling glöms bort.

4. Allmänna sammansatta komponenter a. Matematiskt sinne.

Denna förmåga innehåller många komponenter som påverkar varandra och bildar ett sammansatt och integrerat system. Dessa komponenter ingår inte i den struktur av

19

förmågor som tidigare har tagits upp men är väl användbar i den. Följande komponenter har Krutetskii (1976) tagit upp om det matematiska sinnet:

1. Att tillfälligt snabbt kunna lösa ett problem men en matematiker kan även reflektera långsamt då det oftast blir grundligt och djupt.

2. Eleven kan göra en komplex uträkning i huvudet men kan för den delen inte lösa alla komplexa problem.

3. Ett minne av siffror, tal, symboler och formler. 4. En förmåga för rumsliga begrepp.

5. En förmåga att visualisera abstrakta matematiska relationer och samband.

3.2.2 Vygotskijs teori om matematisk förmåga

Lev Vygotskij (1896-1934) är grundare till den sociokulturella teorin som inriktar sig på utvecklingen av lärandet hos barnet.

Olga Dysthe (2003) sammanfattar sociokulturella synens sex centrala aspekter på lärande:

1. Lärande är situerat – ”de fysiska och sociala kontexterna där kognition sker är en integrerad del av aktiviteten och aktiviteten är en integrerad del av det lärande som sker.” (s.42)

2. Lärande är huvudsakligen socialt – Här spelar både det historiska och kulturella sammanhanget samt relationer och interaktion med andra människor roll. Samhälle har byggt upp insikter och handlingsmönster sedan länge och dessa förs vidare via interaktion mellan människor. Det finns flera diskurssamhällen, ex. klassrummet, där människor finner kognitiva redskap, begrepp och teorier. Interaktionen med andra i läromiljön är väsentligt för vad som lärs och hur det lärs.

3. Lärande är distribuerat – Kunskap är fördelad (distribuerad) bland många människor och genom interaktion skapas en helhetsförståelse.

4. Lärande är medierat – Med hjälp av andra människor, redskap eller verktyg i läroprocessen skapas nya och utökade kognitiva och praktiska resurser genom kommunikation.

20

5. Språket är grundläggande i läroprocesserna – Språket är det fundamentala i den sociokulturella teorin. Genom kommunikation, att lyssna, tala, härma och samarbeta, med andra skapas tillfälle för barn att ta del av kunskap och färdigheter av andra. Språk och kommunikation är förutsättning för lärandet och tänkandet samt bildar en länk där emellan.

6. Lärande är deltagande i en praxisgemenskap – Att delta i en praxisgemenskap innebär att en individ har ringa kunskap i början men efterhand blir kunskapen mer komplex genom gruppens olika kunskapsnivåer.

Enligt detta perspektiv kan matematisk förmåga utvecklas i sammanhang där språket och situationen är viktiga delar i den zon som Vygotskij kallar ” zone of proximal development”, den närmaste utvecklingszonen. Denna anger avståndet mellan elevens utvecklingsnivå vid individuell problemlösning och dess utvecklingsnivå vid problemlösning i interaktion med andra (Illeris, 2006, Säljö, 2000). Eleven utvecklar matematisk diskurs genom kommunikation i praxisgemenskap där den lär sig behärska matematiska begrepp, färdigheter, representationer, metoder och strategier (Säljö, 2000). Koshy m.fl. (2009) tar fasta på sociokulturellt perspektiv och anser att elever med matematisk fallenhet behöver lämpliga kognitiva utmaningar, positiv inställning och motivation.

21

4. Metod och genomförande

I undersökningen utgick resultatet från de matematiska förmågorna som Krutetskii (1976) har definierat för sin studie. Vid fördjupningen av Krutetskiis teori låg fokus på alla åtta matematiska förmågor.

4.1 Metod

Den första metod som användes vid undersökningen var att observera. Först vid ett tillfälle i klassrummet för att observera alla eleverna. Efter att urvalet var klart observerades en grupp elever i en aktivitet. Aktiviteten bestod av problemlösning som var lämpad för relevant ålder. Det gjordes två observationer med samma elever och de dokumenterades med bandspelare och anteckningar. Den andra metoden omfattade att intervjua en lärare med kännedom om de undersökta elevernas kunskap och utveckling. Anteckningar fördes vid intervjun och sammanställdes efteråt. Frågorna bestod huvudsakligen av att belysa frågeställningarna, vad läraren uppmärksammar som matematisk förmåga och hur organiserar läraren undervisningen så att matematiska förmågor synliggörs och utvecklas (bilaga 2).

Valet av metoder föll på en kvalitativ undersökning då intresset var att ta reda på hur elever tänker och agerar vid matematisk aktivitet och problemlösning samt hur lärare resonerar om och kring elever med matematiska förmågor. Detta för att kunna uppmärksamma, dokumentera och analysera elevernas matematiska förmågor och hur de tas om hand av lärare (Bryman, 2004). Elevernas sociala interaktion studerades med öppna villkor utan förutsägbara aspekter vid observationerna. Vid diskussionen används en abduktiv ansats med tolkningar och jämförelser av undersökningens innehåll och teorier som upptas i forskningsgenomgången (Danermark, 2003). Analysen och

22

diskussionen innehåller Krutetskiis (1976) definitioner av matematiska förmågor och teori från forskningsgenomgången.

4.2 Urval

Undersökningen var förlagd till en klass, skolår 5, som jag har besökt många gånger och har goda relationer med alla elever och lärare. Detta val baserades på att både läraren och eleverna känner sig trygga med mig. Eleverna väljs ur ett generellt perspektiv för att undersöka matematisk förmåga (avsnitt 6.1). Fem elever utsågs som grundades på lärarens och min uppfattning vem som kunde på ett kommunikativt sätt tillföra undersökningen resultat. Vid observationen av det första problemet försvann en elev för att ha modersmålsundervisning. Läraren i undersökningen är elevernas klasslärare sedan två år och har stor kännedom om deras utveckling och kunskap.

4.3 Genomförande

Först gjordes en observation i klassen under en matematiklektion för att få en uppfattning om det fanns elever med matematisk förmåga. De första trettio minuterna satt observatören i bakre delen av klassrummet och förde anteckningar. Den sista tiden av observationen gick observatören runt i klassrummet och kommunicerade med eleverna för att identifiera betydelsefulla egenskaper för undersökningen. I samråd med läraren skapades en grupp på fem elever, två flickor och tre pojkar, som skulle passa bra för undersökningen. Innan undersökningen gjorde formulerades en förfrågan (se bilaga 3) som elevernas vårdnadshavare undertecknade. Vid två tillfällen fick dessa elever en problemlösningsaktivitet som de genomförde tillsammans. De arbetade vid ett kvadratiskt bord för att kunna resonera. Ett papper med problemet delades ut. Vid första problemet fick de fyra färgpennor i de färger som fanns representerade som smaker på glassen. Resultatet har åskådliggjorts på ett bifogat dokument (se bilaga 5). I samband med det andra problemet tillhandahölls rutigt papper och pennor till dem alla. Problemlösning ger elever tillfälle att diskutera där analys om matematiska förmågor

23

som de uttrycker kan göras (Wistedt, 2005, 2006 & 2008). Under tiden spelades deras konversation in på bandspelare samt deras agerande observerade och antecknades vid sidan om.

Det första problemet, ”Glassen”, har presenterats av Doug Williams från Australien i en av mina första kurser på lärarutbildningen. Problemet innehåller olika abstraktionsnivåer inom taluppfattning, generalisering, mönster och samband. Det andra problemet, ”Sunes trädgårdsland”, hämtades från Rika matematiska problem: inspiration till variation (Hagland m.fl., 2005). Här arbetar eleverna med taluppfattning, algebra, generalisering, mönster och samband. Efter varje tillfälle transkriberades materialet och en analys gjordes om vilka matematiska förmågor som kunde synliggöras. Denna analys delades upp genom att kategorisera varje förmåga för sig.

Intervjun med läraren utfördes i klassrummet efter skoltid för att inte bli störd av elever. Frågorna skickades i förväg till läraren för påsyn. Vid intervjun av läraren nedtecknades frågor och svar som därefter renskrevs och skickades till läraren för godkännande (avsnitt 4.5). Genom en intervju av en lärare skapades en bild på dennes syn på hur man uppfattar och bemöter elever med matematiska förmågor.

4.4 Validitet och reliabilitet

Undersökningens interna validitet anses hög då observationerna överensstämmer med den teorin som presenteras i forskningsgenomgången (Bryman, 2004). Krutetskiis (1976) definitioner på matematiska förmågor används som baseras på en långvarig studie på många barn. Dessa förmågor uttrycks i matematisk aktivitet vilket aktiviteten med problemlösning skapade.

En bandspelare användes vid observationerna vilket kan leda till att resultatet är svårtolkat då miner och tystnad inte kan åskådliggöras på korrekt sätt. Vid sidan om fördes vissa anteckningar av observatören men vid en videoinspelning skulle elevers tillvägagångsätt synliggöras bättre. Detta kan medföra att reliabiliteten i undersökningen kan minska. Även urvalet av elever kan påverka reliabiliteten gällande det låga antalet. Intervjun med läraren dokumenterades skriftligen och det skriftliga dokumentet har skickats till läraren för ett godkännande. För en högre reliabilitet och ett fullständigt

24

innehåll hade det med fördel använts en bandspelare. I övrigt finns inget som förringar reliabiliteten (Bryman, 2004).

4.5 Forskningsetiskt övervägande

I undersökningen har det tagits forskningsetiskt övervägande utifrån de fyra krav som Vetenskapsrådet (2010) har ställt. Utifrån informationskravet har läraren tagit del av frågorna innan de skulle besvaras av vederbörande. Eleverna har inte fått någon information om syftet då deras delaktighet i problemlösandet kunde blivit annorlunda. Enligt samtyckekravet ska medgivande erhållas från läraren och eleverna. Innan observationerna skickades en blankett hem för påskrift av elevernas vårdnadshavare (se bilaga 3). Vid observationerna har eleverna informerats att de medverkar på egna villkor och kan lämna aktiviteten när som önskas. Läraren har muntligt samtyckt till intervjun. Konfidentialitetskravet innebär att identifiering av undersökningens medverkande inte kan röjas. Vid medgivandet som elevernas vårdnadshavare undertecknade erhöll de information att elevernas identitet skulle fingeras samt att skola och ort skulle förbli anonyma. Lärarens intervju dokumenterades skriftligen utan några indikationer på att använda namn. Nyttjandekravet innebär att uppgifter som framkom under undersökningen inte får användas eller utlånas. Det råder ingen avsikt att lämna över identifierbara uppgifter i framtiden.

25

5. Resultat

Här redovisas resultatet genom att kategorisera de matematiska förmågorna som synliggjordes hos eleverna i arbetet med de två problemen ”Glass” (bilaga 4) och ”Sunes trädgårdsland” (bilaga 6) samt svaren från läraren. De matematiska förmågorna definieras kort vid varje analys.

 Vilka matematiska förmågor synliggjordes hos eleverna i glassproblemet.

 Vilka matematiska förmågor synliggjordes hos eleverna i problemet med trädgårdslandet.

 Lärarens svar.

5.1 Vilka matematiska förmågor synliggjordes hos

eleverna i glassproblemet

1a. Förmåga att fånga den formella strukturen i ett matematiskt problem.

När de arbetar med det matematiska problemet fångar alla den struktur som glassproblemet innehåller. De ser sambandet direkt hur de olika smakerna på glassen kan kombineras, d.v.s. problemets struktur. För att verifiera detta används deras resonemang om hur olika kombinationer kan se ut.

Först när det gäller kombinationer med tre av samma sort uttryckte eleverna sig på följande sätt.

Jöns: ”Man ska ta alla.”

Björn: ”Det kan ju vara samma tre gånger.” Stina: ”Det kan ju vara blåbär, blåbär, blåbär.”

26

Elevernas resonemang om kombinationer med två av en sort och en annan sort fördes så här.

Björn: ”Sen tar vi blåbär med två blåbär och en jordgubbe” (Björn ritar två blå och Jöns en röd)

Björn: ”Sen tar vi två sådana och en sån och sen två sådana och en sån” (pekar på två blåbär och en vanilj och därefter på två blåbär och en kola).

Melker: ”Sen är det kola, kola, vanilj.”

Vilka kombinationer med en av varje sort som fanns förekom i detta resonemang.

Christina: ”Kan man inte ta typ så här blåbär, kola och vanilj och jordgubbe, vanilj, kola?”

Björn: ”Man ska ju göra så här, man tar blåbär med dem två” (pekar på jordgubbe och vanilj). ”Blåbär med dem två” (pekar på jordgubbe och kola). ”Sen tar man blåbär med …”

Björn: ”Ja, en och en och en. En, en, en.”

2a. Förmåga för logiskt tänkande och förståelse för matematiska symboler.

Eleverna anordnar kombinationerna i en strukturerad ordning för att ha kontroll över dem.

Björn: ”Det kan ju vara samma tre gånger.”

Björn: ”Sen tar vi blåbär med två blåbär och en jordgubbe” (Björn ritar två blå och Jöns en röd)

Björn: ”Sen tar vi två sådana och en sån och sen två sådana och en sån” (pekar på två blåbär och en vanilj och därefter på två blåbär och en kola).

Jöns ifrågasätter kombinationerna i slutet. Jöns: ”Du är tre gånger” (pekar på Melker, vanilj). Björn: ”Vanilj är tre gånger.”

Jöns: ”Du är ju med hela tiden” (åsyftar på Melker, vanilj). Melker: ”Nä.”

Jöns: ”Melker, du är med hela tiden.”

Samtliga arbetar med färgprickar som symboliserar glassens smaker och använder ett matematiskt symbolspråk.

2b. Förmåga att generalisera matematiska objekt, relationer och operationer snabbt och brett.

Eleverna generaliserar snabbt en metod där de använder glassprickar för att skapa de olika kombinationerna för att komma vidare i deras tillvägagångssätt.

Björn: ”Sen tar vi blåbär med två blåbär och en jordgubbe” (Björn ritar två blå och Jöns en röd)

Björn: ”Sen tar vi två sådana och en sån och sen två sådana och en sån” (pekar på två blåbär och en vanilj och därefter på två blåbär och en kola).

27

2d. Förmåga till ett flexibelt tänkesätt i matematisk aktivitet.

Björn och Melker växlar mellan olika strategier då de fyller på med prickar under varandra för att som de säger ” Jag fyller bara i till nästa.”. Alla i gruppen kan lätt växla mellan de olika kulsorterna för att skapa kombinationer.

2e. Strävan efter enkla, ekonomiska och rationella lösningar.

Eleverna strävade efter den enklaste och mest effektiva vägen för dem för att lösa problemet. Detta genom att använda färgpennor och kombinerar de på ett rationellt sätt. Deras resonemang är enkelt och ekonomiskt att ordningen inte spelar någon roll i deras lösning.

Björn: ”Ordningen spelar ingen roll.” Stina: ”Det är ju ändå samma smaker.”

5.2 Vilka matematiska förmågor synliggjordes hos

eleverna i problemet med trädgårdslandet

1a. Förmåga att fånga den formella strukturen i ett matematiskt problem.

Jöns, Christina och Stina har inte uppfattat problemet och läser första delproblemets text flera gånger.

Stina: ”Jag fattar inte.” (börjar läsa)

Melker: ”Det är åtta, jag har redan räknat ut det.”

Björn och Melker ser sambandet mellan plattorna och blomlandet direkt. Detta åskådliggörs av deras resonemang genom hela problemlösandet. Exempelvis vid första delproblemet:

Melker: ”1,2,3,4,5,6,7..8.”

Björn: ”3,2,2,1.” (Pekar på tre översta plattorna därefter går han runt medurs tills han kommer tillbaka.)

Melker: ”3 där, 3 där, 1 där och 1 där.”(pekar på övre raden sen undre och sist på sidorna)

Senare vid samma delproblem:

Melker: ”Det är ju tio på varje rad sen tar man bara tio, tio tre, tre.”

Björn: ”Där är ju tio då blir där tio” (visar på teckningen). ”Sen så är det tre plus tre. 10+10+3+3.”

28

Jöns har en del problem med texten i början men slutligen efter diskussion kan även han vara delaktig i lösandet av problemet.

Jöns: ”Man kan ju dubbla det och ta en sexa.”

2a. Förmåga för logiskt tänkande och förståelse för matematiska symboler.

Melker, Björn och Jöns resonerar systematiskt och logisk vilket visas i följande konversation:

Melker: ”Ja men då är det ju bara plus 3, då är det bara 10 plus 6, tjugo…sex.” Melker: ”Det är ju tio på varje rad sen tar man bara tio, tio tre, tre.”

Björn: ”Nä det är ju elva på en rad…. Nä tio, tio, 3,3, det stämmer.”

Björn: ”Där är ju tio då blir där tio” (visar på teckningen). ”Sen så är det tre plus tre. 10+10+3+3.”

Eller när Jöns och Björn diskuterar om det finns någon formel:

Jöns: ”Man kan ju dubbla det och ta en sexa.” Björn: ”Det är ju bara 90+90+3+3.”

Jöns: ”Det beskriver ju inte direkt.”

Björn: ”Man tar så många rutor det är plus 3 plus 3.”

Christina och Stina har svårigheter att förstå de andras resonemang.

Melker: ”22+22+6 det blir ju 50.” Stina: ”Va.”

Björn och Jöns: ”Jag fattar.”

2b. Förmåga att generalisera matematiska objekt, relationer och operationer snabbt och brett.

Melker, Björn och Jöns generaliserar en metod för att komma vidare i problemlösandet. De börjar med ett konkret tänkesätt för att ta itu med problemet för att senare ha en generell formel för lösandet av problemet.

Björn: ”Där är ju tio då blir där tio” (visar på teckningen). ”Sen så är det tre plus tre. 10+10+3+3.”

Björn: ”Nä det är ju elva på en rad… Nä tio, tio, 3, 3, det stämmer.” Melker: ”Det är ju tio på varje rad sen tar man bara tio, tio, tre, tre.”

29

Jöns och Björn har härlett en generell formel för att räkna ut hur många plattor som behövs om man har ett visst antal blomland.

eller n är antal blomland

Jöns: ”Man kan ju dubbla det och ta en sexa.” Björn: ”Det är ju bara 90+90+3+3.”

Jöns: ”Det beskriver ju inte direkt.”

Björn: ”Man tar så många rutor det är plus 3 plus 3.”

Melker, Björn och Jöns härledde även en generell formel för att angripa det omvända problemet: att finna hur många blomsterland det får plats beroende på antal plattor, där n är antal plattor.

Melker: ”Nej, 4, vänta jag har en bra taktik. 22+… 22!”

Jöns: ”Det är ju bara att ta minus 6 och sen hälften av det. Vad är det? Först är 73 och hälften av det. Det går ju inte.”

Björn: ”Hälften av 73, vänta det blir en halv.”

Christina och Stina uppmanar Melker att rita vid flera av delproblemen. Björn läser uppgift 3a.

Christina: ”Rita.”

Senare tillfälle.

Melker: ”Det är ju tio på varje rad sen tar man bara tio, tio tre, tre.” Björn: ”Nä det är ju elva på en rad… Nä tio, tio, 3,3, det stämmer.” Stina: ”Rita då.”

2c. Förmåga att förkorta och förenkla matematiska resonemang och operationer.

I början ritade Björn, Jöns och Melker plattorna runt om för att lättare åskådliggöra resultatet. Därefter förkortar de sina resonemang och operationer genom att byta strategi och använda formler. Den nya strategin gick ut på att de använde sig av antal blomland och därefter addera de återstående sex plattorna på sidorna.

Björn: ”30, 60, 66.” Melker: ”90, 90, … 186.”

30

Även när villkoren blev annorlunda i problemet förkortades och förenklades deras resonemang.

Melker: ”Nej, 4, vänta jag har en bra taktik. 22+… 22.”

Christina och Stina svarar direkt men med felaktigt svar.

Christina: ”180 får jag det till.” (Christina läser uppgift 4) Stina: ”100…106, nä oj.”

Stina och Christina ville fortsätta att rita för att synliggöra resultatet och fann resonemanget med de andra svårt. Detta kan tolkas att problemet inte låg i deras närmsta utvecklingszon och skapade bekymmer att applicera dess samband till deras förmåga.

2d. Förmåga till ett flexibelt tänkesätt i matematisk aktivitet.

Melker visar upp ett snabbt och flexibelt tänkesätt och resonemang vilket åskådliggörs i växlingarna mellan operationer.

Melker: ”Nej, 4, vänta jag har en bra taktik. 22+… 22.” Melker: ”22+22+6 det blir ju 50.”

Observatören frågade hur han tänkte men fick inte ett tillfredställande svar. Antagligen går 4:an att härleda från och att häften av 44 är 22.

Dessutom kan även Christinas uttalande om att Sune får köpa till plattor ses som en förmåga till en flexibel tankegång.

2e. Strävan efter enkla, ekonomiska och rationella lösningar.

I detta problem finner Björn, Jöns och Melker en logisk och enkel metod för sambandet mellan blomland och plattor samt det omvända.

Jöns: ”Man kan ju dubbla det och ta en sexa.” Björn: ”Man tar så många rutor det är plus 3 plus 3.”

Eller.

31

2f. Förmåga att känna till och arbeta med det omvända problemet.

Melker drar snabbt och enkelt slutsatsen mellan omvänt samband plattor – blomland istället för det tidigare sambandet blomland – plattor i delproblem 4.

Melker: ”Nej, 4, vänta jag har en bra taktik. 22+… 22.” Observatör: ”Hur kom du fram till det?”

Melker: ”22+22+6 det blir ju 50.”

5.3 Lärarens svar

Här följer en sammanfattning av lärarens svar vid intervjun.

Läraren pratar mycket matematik med klassen. De har problemlösning tillsammans, grupparbete och genomgångar vid nya begrepp där fokusering, delaktighet och dialog är viktigt. Vid missuppfattningar resonerar läraren och eleverna för att missuppfattningarna inte ska gro. Det poängteras att individuell räkning på rätt nivå måste kopplas till feedback och dialog för kunskapsutveckling. Läroboken rättas frekvent för att eleverna inte ska förbise fel som då kan förstärkas. Repetition är viktigt. Det krävs motivation och stöttning av läraren. Läraren använder tester för att undersöka elevens förståelse, se vad eleven behöver arbeta vidare med. Vidare anser lärare att det finns elever med fallenhet för matematik i varje klass. Oftast har elever andra åsikter om vad förmåga i matematik är. De anser att de som räknar snabbast, de ser man upp till. ”Fönstret” (förmåga) kan vara stängt länge men öppnas vid senare tillfälle; ex vid ny utbildning eller lärare. Lärare anser att eleverna har olika förmågor inom matematik:

”Öppet sätt att angripa ett problem, ej låsta av ”räkneregler”, ser helheten i problemet. Varierande strategier. Svårt att förklara hur det tänker, de bara kan, de ser mönster. Generalisera.”

De duktiga eleverna stimuleras genom att de får ett annat läromedel ex. mattestegen, där de arbetar med det de inte kan då de först gör ett förtest. Läraren menar att dessa elever är klara med baskunskapen och arbetar in en förståelse. Vid grupparbete får de antingen agera ”draghundar” i en grupp eller så är de tillsammans i en grupp beroende på lärandesituationer. De arbetar tillsammans för att kunna resonera med likasinnad.

32

6. Analys och diskussion

I detta avsnitt kommer resultatet att summeras från undersökningen för att sedan kunna analysera och tolka det med de upptagna teorierna i forskningsgenomgången. Diskussionen handlar om undersökningens metod, resultatet från elevobservationerna och resultatet från intervjun av läraren. Till sist presenterar min slutsats.

6.1 Diskussion om metoden

Undersökningen genomfördes med två observationer med bandinspelning där fem elever i en grupp fick lösa två problem för att matematiska förmågor skulle synliggöras. Definitionerna av de matematiska förmågorna baseras på Krutetskii (1976) longitudinell studie där matematiska förmågor blev synliga vid matematisk aktivitet. Med hänsyn till dessa förutsättningar anses tillförlitligheten stor. Vid intervjun av läraren kunde inte bandspelare användas men efter renskrivning som läraren fick godkänna vilket styrker trovärdigheten. Frågorna var av relevans för aktuell frågeställning. Vid urvalet av läraren och eleverna beaktades inte aspekterna genus och etnicitet. Dessa två perspektiv är av stor betydelse men i den här undersökningen grundar sig frågeställningen på matematisk förmåga i ett generellt perspektiv. Från resultatbilden framkom det dock att flickorna var tystare än pojkarna. Enligt rapporten Lusten att lära – med fokus på matematik (2003) kan flickor ha prestationsångest beroende på höga krav och låg självkänsla men om så var fallet undersöktes inte. Vidare kan även den matematiska kontexten i problemen hämma synliggörandet av matematisk förmåga hos eleverna.

33

6.2 Diskussion om matematiska förmågor i studien

Syftet med undersökningen var att studera matematiska förmågor baserad på Krutetskiis (1976) teori hos en viss grupp elever. Med hjälp av två problem kartlades varje matematisk förmåga för sig. Följande matematiska förmågor visade en eller flera av eleverna när de löste problemen. Men detta bevisar inte att dessa elever uteslutande har de påträffade förmågor vilket kan påvisa svårigheter att observera dem.

 Förmåga att fånga den formella strukturen i ett matematiskt problem.

 Förmåga för logiskt tänkande och förståelse för matematiska symboler.

 Förmåga att generalisera matematiska objekt, relationer och operationer snabbt och brett.

 Förmåga till ett flexibelt tänkesätt i matematisk aktivitet.

 Strävan efter enkla, ekonomiska och rationella lösningar.

Utöver ovanstående matematiska förmågor förekom dessa i det andra problemet.

 Förmåga att förkorta och förenkla matematiska resonemang och operationer.

 Förmåga att känna till och arbeta med det omvända problemet.

Krutetskii (1976) definierar åtta matematiska förmågor som existerar i ett dynamiskt tillstånd där de finns, synliggörs, skapas, växer och utvecklas i en matematisk aktivitet (avsnitt 3.2.2). I undersökningen uppmärksammades sju av de åtta definierade matematiska förmågorna. Förmågan att minnas matematiska relationer, egenskaper, argument, bevis, problemlösningsmetoder och strategier omfattar det matematiska minnet när elever arbetar med ett och samma problem under en längre tid. Under undersökningens tidsperiod kunde denna matematiska förmåga inte observeras med hjälp av resultatet. Eleverna i undersökningen påvisar matematiskt minne som Kilpatrick m.fl. (2002) benämner begreppsförståelse där eleverna använder tidigare förankrade matematiska begrepp, operationer och relationer.

Vad är det som påverkade att fler matematiska förmågor synliggjordes i andra problemet? Innehållet i det matematiska problemet ska vara anpassat till elevens kunskaps- och utvecklingsnivå. Därför är det viktigt att välja rätt matematiska problem med de begrepp, metoder, representationer och operationer som ska finnas med. För att kunna urskilja de matematiska förmågorna måste problemen omfatta flera nivåer av

34

abstraktion vilket båda problemen innehåller. Krutetskii (1976) och Lester (2002) har redogjort för elevernas progression som används vid problemlösning. Först skapar eleverna en förståelse för problemet och därefter samlar de in och använder information för att lösa problemet. Dessutom framhävs den kommunikativa aktiviteten i praxisgemenskap (Dysthe, 2003).

Det första problemet, ”Glassen”, innehöll olika mönsterkombinationer i lösningsprocessen. Eleverna började med tre av samma färg och abstraherade genom att kombinera färgerna två med en och till sist en av varje färg för att upptäcka alla möjligheter. De strävade efter att lösa problemet enkelt och effektivt med olika lösningsstrategier och mönster samt härledde snabbt en generell formel för vidare progression.

Det andra problemets, ”Sunes trädgårdsland”, abstraktionsnivåer låg i de sju delproblemen. Det börjar med en enkel matematisk modell där eleverna uppfattade dess mönster och samband. Tre av eleverna kunde härleda en generell formel för den matematiska modellen. I detta problem var två av eleverna inte lika aktiva och delaktiga som de andra. Vad detta berodde på kan det bara spekuleras i då vetskapen om elevernas kunskapsnivå inte är känd. Kanske var problemets matematiska begrepp och operationer inte förankrade hos dem, problemets abstraktionsnivåer för höga eller de andra elevernas arbetstempo för högt. Om ett annat problem hade använts som ligger i deras närmaste utvecklingszon hade kanske dessa två elever förstått sammanhanget i detta problem. Det gäller att behärska den matematiska diskursen (avsnitt 3.2.2). Är problemet för svårt kan eleverna brista i uppmärksamhet, förlora tilltro till sig själv och ämnet samt svag eller ingen kunskapsutveckling. De affektiva föreställningarna påverkas negativt.

När en elevs samtliga matematiska förmågor synliggörs, har vederbörande då fallenhet för matematik. Där fallenhet betyder den medfödd potential att utveckla

matematiska förmågor. Tre av eleverna i undersökningen tillhör denna kategori där alla

matematiska förmågor synliggjordes i problemlösning. Det går inte avgöra i vilken omfattning det förekommer elever med matematisk fallenhet. Efter undersökningen kan det bara förmodas att dessa elever finns i varje klassrum och det finns många som inte blir synliga för lärare som saknar adekvat kunskap därom.

35

6.3 Diskussion om lärarens uppfattning om matematisk

förmåga

I undersökningen togs det reda på hur läraren uppfattar och arbetar med matematiska förmågor. Många av de matematiska förmågorna utifrån Krutetskiis (1976) teori ansåg läraren att eleverna med fallenhet för matematik hade. De som nämndes kan delvis härledas till:

 Förmåga att fånga den formella strukturen i ett matematiskt problem. – ”Öppet sätt att angripa ett problem, ej låsta av ”räkneregler”, ser helheten i problemet.”

 Förmåga att generalisera matematiska objekt, relationer och operationer snabbt och brett – ”Generalisera”

 Förmåga att förkorta och förenkla matematiska resonemang och operationer – ”Varierande strategier”

 Förmåga till ett flexibelt tankesätt i matematisk aktivitet – ”Svårt att förklara hur det tänker, de bara kan, de ser mönster.”

Kilpatrick m.fl. (2002) förespråkar ett ramverk för en fungerande matematik-undervisning indelat i fem komponenter: begreppsförståelse, räknefärdighet, problemlösningsförmåga, matematiskt-logiskt resonemang och engagerad med positiv inställning till matematiken. Dessa förmågor och egenskaper ska ligga till grund för elevens kunskaper, färdigheter, förmågor och uppfattningar i och om matematik (avsnitt 3.2.1). I undersökningen uppgav läraren att det förekom olika undervisningsformer och metoder där det framhölls kommunikation, problemlösning, gemensamma genomgångar, grupparbete, begreppsförståelse, delaktighet samt individuell räkning utifrån elevens kunskaps- och utvecklingsnivå. Dessutom påpekades att stöttning och motivation krävs. Ett fungerande klassrum ska innehålla olika arbetsformer och metoder som expliceras för eleverna utifrån deras erfarenheter och förutsättningar. Problem-lösning ger även möjlighet för matematisk förmåga att utvecklas, växa och att synliggöras för läraren (avsnitt 3.1 och 3.1.2).

Winner (1999) anser att elever med fallenhet för matematik ska identifieras och stimuleras. Denna stimulans kan ske genom differentiering och individualisering (avsnitt 3.1.1). I undersökningen främjas lärandet för elever med matematisk förmåga genom att arbeta med berikning inom olika matematiska områden. Ett annat sätt är att

36

klassen delas in i olika gruppkonstellationer, antingen där eleven var s.k. ”draghundar” för gruppen eller tillsammans med de eleverna med samma kunskaps- och utvecklingsnivå.

Läraren i klassen använde sig av förtester för att arbeta ”… med det de inte kan … De är klara med baskunskapen och arbetar in en förståelse.”. Därefter använde läraren berikningsmaterial för att skapa en djupförståelse från de baskunskaper som de redan hade. Läroplanen, Lpo 94, (2003) förespråkar en individualisera undervisning där man möter eleverna utifrån deras individuella behov och förutsättning. Löwing (2006) påpekar betydelsen att ta reda på elevernas förkunskaper med formella eller informella förtest. Krutetskii (1976) betonar att matematisk förmåga utvecklas i aktivitet så det borde vara pedagogiken som ska studeras och ändras.

6.4 Slutsats

Enligt Krutetskii (1976) uttrycks och utvecklas de matematiska förmågorna i aktivitet. I undersökningen synliggjordes många av de definierade matematiska förmågorna genom att eleverna fick arbeta kommunikativt tillsammans med problemlösning som anses som gynnsamma förhållanden (avsnitt 3.1.2 och 3.2.2). De matematiska förmågorna ger indikationer på var eleverna befinner sig, vilken abstraktions och kunskapsnivå de ska arbeta på för sin progression (avsnitt 3.1).

Samtliga elever i undersökningen visade prov på matematisk förmåga i första problemet. De kunde snabbt och rationellt härleda en generell arbetsmetod för en lösning. Detta problem kan finnas på den abstraktionsnivån för att alla elever ska kunna synliggöra sina matematiska förmågor. Därmed är det inte konstaterat att samtliga av elevernas matematiska förmågor utvecklas i just detta problem. Här ligger en av svårigheterna, att finna rätt problem som tillåter progression och rätt abstraktionsnivå.

Andra problemets löstes rationellt genom generalisering av en formel. Detta medförde att deras beskrivningar med bilder och långa uträkningar undveks och problemet kunde lösas rationellt. Elever som använder ett stort antal tillvägagångssätt kan vilseledas från lösningen av problemet. Därmed kan de tappa lusten och motivationen för att arbeta vidare. I delproblem fem arbetade de med omvänd tankegång och en generell formel användes efter att logiskt fastställt sambandet mellan

37

problemets kontext och resultat. De elever som inte kan arbeta med omvända problem kan ha svårigheter med likhetstecknets betydelse. Problem kan uppstå med förståelsen för de fyra räknesätten som är reversibla, kan byta riktning. Elever kan uppvisa färdigheter att utföra beräkningen med alla fyra räknesätt men förmågan att veta när de ska användas saknas. Det är viktigt att läraren konkretiserar de grundläggande momenten inom matematik för att eleverna ska kunna abstrahera begrepp, relationer, operationer och andra problemlösningsmetoder (avsnitt 3.1).

Här kommer jag att föra fram mina egna tankar för att utveckla matematiska förmågor. Jag anser att om alla elever ska kunna explicera ett problem är det viktigt att lärare identifierar deras matematiska förmågor och har verktygen för att utveckla dem. Elevernas potential är viktig att möta då matematiska förmågor är utvecklingsbara. Det krävs diger och adekvat ämneskunskap för att möta alla elever på rätt kunskaps och abstraktionsnivå. De matematiska förmågornas progression kan ske genom problemlösning där det finns flera olika abstraktionsnivåer. Dessa måste vara noggrant avvägda då problemet ska skapa intresse, lust och motivation. Eleverna befinner sig i olika utvecklingszoner som läraren måste ta hänsyn till. Därför är det viktigt att undervisningen planeras utifrån rätt praxisgemenskap. Förtester kan åskådliggöra var eleverna befinner sig och vem de bör placeras tillsammans med för gynnsam utveckling av matematiska förmågor vilket både läraren i undersökningen och forskning poängterar.

Det har nämnts tidigare att det är pedagogiken som ska studeras och ändras för att progression av matematiska förmågor ska ske.

Detta kan möjliggöras genom vidareutbildning, seminarium och föreläsningar där lärare tillgodoses med ämneskunskap, information om problemlösning och inspiration. För att främja elever med välutvecklad matematisk förmåga kan antingen berikning eller acceleration användas. Ett samarbete med andra lärare i högre årskurser eller med resurscentret Nationella centrumet för matematikutbildning kan vara en bra möjlighet för att möta dessa elever.

Vi som pedagoger måste ge eleverna adekvat stimulans och utveckla en pedagogik som lyfter fram elevers matematiska förmågor samt skapar en bred och allsidig kunskapsutveckling där eleverna ser sambanden mellan skolmatematiken och omvärlden.

38

Genom presenterad forskning och undersökningen har det konstaterats många viktiga aspekter som gynnar utvecklingen av matematisk förmåga.

 Matematisk förmåga finns, skapas, uttrycks och utvecklas endast i matematisk aktivitet med flera abstraktionsnivåer.

 Matematiska förmågor, åtta till antalet, är nära förbundna, påverkar varandra och en matematisk förmåga kan kompensera en annan.

 Problemlösning är en matematisk aktivitet som innehåller flera abstraktionsnivåer för att eleverna ska kunna arbeta från den individuella utvecklingszonen till den närmaste utvecklingszonen.

 Lärandet ska vara kontextuellt och situerat i en kommunikativ praxisgemenskap.

 Positiva affektiva föreställningar tillsammans med motivation och intresse skapar lust och självförtroende.