Användningen av olika uttrycksformer i matematikundervisningen när elever arbetar med tal i bråkform

1

Naturvetenskap-matematik-samhälle

Självständigt arbete i Matematik och lärande

15 högskolepoäng, grundnivå

Användningen av olika uttrycksformer i

matematikundervisningen när elever

arbetar med tal i bråkform

The use of different forms of expressions in mathematics education when pupils work with fractions

Kawther Al Muweyel

Grundlärarexamen, 240 hp

Datum för slutseminarium: 2020-03-24

Examinator: Lisa Björklund Boistrup Handledare: Peter Bengtsson

2

Förord

Detta examensarbete har skrivits i samband med kursen LL701G-20201-L9026-, Examensarbete i fördjupningsämnet, vilket har gjorts enskilt.

Jag vill börja med att tacka samtliga informanter för att ha deltagit i studien, eftersom utan deras erfarenheter och upplevelser hade det inte blivit någon uppsats. Jag vill tacka Peter Bengtsson som har varit min handledare och hjälpt mig genom processen.

3

Sammanfattning

Undersökningen handlar om hur lärarna beskriver hur de använder olika uttrycksformer i sin undervisning och hur dessa uttrycksformer, enligt lärarna, påverkar elevernas kunskaper med tal i bråkform. Detta undersöks för att många elever har svårigheter med att hantera tal i bråkform. Att använda olika uttrycksformer i matematikundervisningen kan stötta eleverna. Därför är jag nyfiken på vilka uttrycksformer lärarna använder i samband med undervisningen om tal i bråkform och hur dessa uttrycksformer påverkar elevernas kunskaper.

För att ta reda på vilka uttrycksformer lärarna använder och hur uttrycksformer påverkar elevernas inlärning, har en kvalitativ studie gjorts med fem matematiklärare i årskurs 4-6 i form av en semistrukturerad intervju. Det empiriska materialet har strukturerats med en tematisk analysmetod, och analysera utifrån ett sociokulturellt perspektiv. Slutsatser dras utifrån de olika mönster och teman som framkommer i studien.

Resultatet visar att många av dessa pedagoger använder uttrycksformer i sin undervisning och anser att det stärker eleverna att förstå och det blir tydligare med olika uttrycksformer såsom tallinje och digitala matematiksspel. Många elever använder sig av bilder, kommunicera verbalt och använder numeriska överläggningar för att visa sin lösning.

Nyckelord: bråkform, bråktal, grundskola, kommunikation, matematikundervisning,

4

Innehållsförteckning

2.1 Vad är tal i bråkform? ... 8

2.2 Sociokulturellt perspektiv ... 8

2.3 Definition av begreppet uttrycksformer ... 10

3. Tidigare forskning ... 12

3.1 Vilka svårigheter har elever med tal i bråkform ... 12

3.2 Forskning kring olika uttrycksformer ... 13

3.2.1 Tallinjen ... 13

3.2.2 Konkreta material i relation till bråkform ... 14

3.2.3 Den bildliga uttrycksformen ... 14

3.2.4 Digitala matematikspel ... 16

3.3 Tidigare forskning i relation till denna studie ... 16

4. Metod ... 17

4.1 Metodval ... 17

4.2 Urval ... 18

4.3 Validitet och reliabilitet ... 18

4.4 Forskningsetiska överväganden ... 19

4.5 Analysmetoden ... 19

5. Resultat ... 22

5.1 Vilka olika uttrycksformer använder lärarna sig av ... 22

5.1.1 Lärarna tar hänsyn till elevers olika behov genom att använda olika uttrycksformer i matematikundervisningen ... 22

5.1.2 Variationen av uttrycksformer i matematikundervisningen i samband med tal i bråkform ... 23

5.2 Påverkan på elevers kunskaper att använda olika uttrycksformer i samband med tal i bråkform ... 25

5.2.1 Olika uttrycksformer ger eleverna olika sätt att lära sig ... 25

5.2.2 Elever lär sig av kommunikationen i matematikundervisningen ... 26

5.3 Sammanfattning och analys av resultaten utifrån en sociokulturell teori ... 28

6. Diskussion och slutsatser ... 30

5

8. Metoddiskussion ... 34

9. Referenser ... 35

Bilaga 1: Intervjuguide ... 40

6

1. Inledning

Språket är ett viktigt verktyg som ger oss möjlighet till kommunikation och samverkan i samband med undervisningen (Gibbons, 2016). Uttrycksformer hör ihop med de sätt att kommunicera matematik genom olika medier som används. McIntosh (2009) diskuterar om vikten av att använda olika uttrycksformer i undervisningen och tar upp tanketavlan som ett exempel. Vidare skriver McIntosh (2009) att när elever har svårigheter med att använda olika uttrycksformer kan det vara ett tecken på att eleverna inte förstår uppgiften. Att använda olika uttrycksformer kan kopplas till läroplanen och där står det om att matematikundervisningen ska “syfta till att eleverna utvecklar kunskaper om matematik och matematikens användning i vardagen och inom olika ämnesområden” (Skolverket, 2017, s. 54). Dessutom ska undervisningen bidra till “att eleverna utvecklar intresse för matematik och tilltro till sin förmåga att använda matematik i olika sammanhang” (Skolverket, 2017, s. 54). Det står även i läroplanen att eleverna ska få möjlighet att utveckla sina kunskaper i matematik genom att använda olika matematiska uttrycksformer i vardagliga situationer. Eleverna ska utveckla en förtrogenhet med matematiska uttrycksformer och hur dessa kan användas för att kommunicera i vardagliga och i olika matematiska sammanhang.

Enligt Skolinspektionen (2009) granskning är det vanligt att elever idag inte möter matematik i olika sammanhang såsom i hemmet, i samhället och i skolan. Matematikundervisningen bedrivs traditionellt. Idag möts eleverna av en undervisning, där eleverna i stor utsträckning får räkna enskilt i sina matematikböcker (Skolinspektionen, 2009). Det får till följd att lärarnas undervisning inte blir tillräckligt varierad och anpassad till att möta olika elevers behov och förutsättningar, vilket är en av anledningarna till att elever har svårt med matematikämnet (Skolinspektionen, 2009). Till exempel har en del elever svårt att förstå delar av matematiken såsom tal- och antalsuppfattning, vilket inkluderar bråktal, som detta examensarbete fokuserar på. Eleverna anser att matematikämnet är för abstrakt och finner ingen mening med att lära sig matematik (Skolverket, 2018).

7

Jag är en lärarstudent som är nyfiken på hur lärare arbetar när de använder uttrycksformer i matematik i samband med tal i bråkform, eftersom det enligt (Tian & Siegler, 2017; Yang, 2018) kan finnas en del svårigheter för elever att förstå tal i bråkform. Om eleverna inte förstår tal i bråkform kommer de stöta problem vid studier av mer avancerad matematik. Om eleverna inte förstår bråktal, blir det svårare för eleverna att förstå algebra. Bråktal är grundläggande för att förstå både tal i decimalform, tal i procentform och operationen division (Tian & Siegler, 2017; Yang, 2018). Arbetet med olika uttrycksformer är ett sätt att utveckla elevernas begreppsförståelse, och därför vill jag intervjua lärare och analysera hur de använder olika uttrycksformer i matematikundervisningen, och då speciellt i samband med arbetet med tal i bråkform. Jag vill fördjupa mina kunskaper om vilka uttrycksformer lärarna använder i matematikundervisningen, och på vilket sätt som uttrycksformer används i undervisningen. Jag vill även fördjupa mina kunskaper kring om hur undervisningen påverkar elevernas kunskaper i samband med arbetet med tal i bråkform genom användning av olika uttrycksformer. För att ta reda på vilka uttrycksformer lärarna använder och hur eleverna påverkas av dessa, har jag intervjuat lärare som jobbar med elever i årskurs 4-6. Detta skulle kunna bidra till kunskap om hur lärare kan anpassa undervisningen om tal i bråkform efter elevernas behov.

1.1 Syfte

Syftet med detta arbete är att skapa kunskap om hur lärare använder olika uttrycksformer i matematikundervisningen om tal i bråkform i årskurs 4-6 och vilka konsekvenser detta kan ha för elevernas lärande.

1.2 Frågeställningar

Jag har utgått ifrån följande frågeställningar:

• Hur beskriver lärarna vilka olika uttrycksformer de använder i undervisningen i samband med tal i bråkform för att kommunicera matematik i årskurs 4-6. • Hur påverkas, enligt lärarna, elevernas kunskaper i området tal i bråkform vid

8

2. Teoretiska perspektiv

Nedan följer en definition av bråkbegreppet, sociokulturellt perspektiv och uttrycksformer som kommer att användas i detta arbete.

2.1 Vad är tal i bråkform?

Tal i bråkform och decimalform är tillsammans rationella tal (McIntosh, 2009). Rationella tal kan skrivas på formen a/b, där a och b tillhör de naturliga talen som innebär hela tal och b aldrig är 0. Tal skrivna i bråkform består av följande tre delar: ett bråkstreck, en täljare som är talet som står ovanför bråkstrecket och en nämnare talet som står under bråkstrecket (McIntosh, 2009).

Utbytbara bråktal är tal som kan skrivas på olika sätt men talen har samma värde, som inte är delade lika i samma antal bitar. Exempel på utbytbara bråktal är 1/2, 2/4 och 50/100 (Nationalencyklopedin, u.å. A).

Bråktal anger del av en helhet. Där helheten står i täljaren och hur många delar den skall delas står i nämnaren. (Mattecentrum, u å). Ett exempel på detta är att när en människa delar in något, till exempel en tårta, i ett antal lika stora delar så får delarna ett namn efter antalet delar (Mattecentrum, u å).

Bråktal anger också del av antal. Detta innebär att ett visst antal föremål kan delas upp i till exempel hälften, en fjärdedel eller en tredjedel (Kilborn, 2014). Del av ett antal är nära kopplade till division och uppdelning i faktorer till exempel är talet 12 kan delas upp i faktorer på olika sätt bland annat som 4*3 och 6*2. Att 12=4*3 betyder samtidigt att 12/4=3 och att 12/3=4. Om vi ska till exempel ta en tredjedel av 12 eller en fjärdedel av 12 delas talet 12 enligt mönstret 4*3 . Vill man ha 1/3 av 12 så vet man att 12/3 är 4 (Kilborn, 2014).

2.2 Sociokulturellt perspektiv

Själva läroplanen utgår ifrån ett sociokulturellt perspektiv, där det står att eleverna ska använda sig av olika uttrycksformer i matematikundervisningen (Skolverket, 2018).

9

Olika uttrycksformer är en viktig del inom det sociokulturella perspektivet. Det står även att eleverna ska använda olika uttrycksformer för att samtala om, argumentera och redogöra för frågeställningar, beräkningar och slutsatser (Skolverket, 2018). Samtal är också ett viktigt verktyg inom det sociokulturella perspektivet.

Förgrundsgestalten för det sociokulturella perspektivet är Vygotskij (Lundgren, Säljö & Liberg, 2014). Inom det sociokulturella perspektivet betonas den proximala utvecklingszonen som betyder att två elever eller en lärare och en elev kan hjälpa varandra på två olika nivåer. Stöttning är också ett viktigt begrepp i det sociokulturella perspektivet som betyder en byggnadsställning för eleverna att luta sig mot (Lundgren et al., 2014). När de är redo för att klara uppgifterna på egen hand kan denna stöttning tas bort. Inom det sociokulturella perspektivet finns det många aspekter som påminner lite om pragmatismen, där förespråkaren för denna teorin är Dewey. Dewey tar upp vikten av att människor lär sig genom att göra, att kunskapen är både teoretisk och praktisk för att de går alltid hand i hand med varandra. Dewey menar att i alla situationer måste det finnas reflektion över kunskap och det sker genom fysisk handling (Lundgren et al., 2014). Vi människor är olika och uppfattar saker olika. För att förstå vissa delområden använder vi människor av vissa redskap och detta kallas för mediering (Lundgren et al, 2014). Mediering är olika sätt att kommunicera. Mediering delas in två delar, de språkliga och de materiella. De språkliga handlar om siffror, bokstäver, räknesystem, alltså handlar det om användning av symboler för att kommunicera. De materiella handlar om fysiska verktyg (Lundgren et al., 2014).

Ett sociokulturellt perspektiv i skolan utgår ifrån att eleverna lär sig i ett socialt sammanhang, det vill säga i ett samspel med andra till exempel är det samspel mellan elever och mellan elever och lärare. Kunskap handlar här om att vi deltar i ett samspel. Interaktion och kommunikation blir alltså nycklar till lärande och utveckling (Lundgren et al., 2014). Det som Vygotskij menar är en viktig del i hans sociokulturella teori är att utveckling sker genom samspel med andra människor. Han menar att det man kan göra tillsammans med andra idag, kan man göra på egen hand imorgon.

10

Detta arbete handlar om uttrycksformer, som är olika redskap för att kommunicera idéer, i detta fall matematiska idéer. När elever samtalar med varandra får de många tillfällen att producera språk och därför blir det språkutvecklande. Det är språkutvecklande när informationen i samtalen uttrycks på olika sätt. Det ger eleverna även en chans att begripa det som har sagts i gruppen och i helklassen (Gibbons, 2016). Mediering är också en viktig del i arbetet då användning av olika uttrycksformer hör ihop med mediering. Hur vi människor lär sig är olika. Den proximala utvecklingszonen är också en viktig del i studien, därför att när eleverna kommunicerar med varandra, kan de hjälpa varandra.

2.3 Definition av begreppet uttrycksformer

Uttrycksformer benämns som representation eller uttryckssätt. Björklund Boistrup (2010) tar upp olika uttrycksformer som används i matematikundervisningen. Med inspiration från Björklund Boistrup (2010) och utifrån den forskningen som beskrivs nedan används fem olika uttrycksformer i denna uppsats: fysisk, bildlig, verbal, numerisk och symbolisk uttrycksform. Den som kan överföra mellan olika uttrycksformer för att beskriva samma matematiska begrepp har en rikare och användbar begreppskunskap.

Med fysisk uttrycksform handlar om att presentera materialet i form av konkreta material såsom läromedelsböcker, prov, klossar, dokument och som exempelvis äpplen. Att låta eleverna använda fysisk uttrycksform bidrar till att eleverna förstår bättre (Abtahi, 2018). I jämförelse med en annan artikel skriver McIntosh (2009) och (Lesh, Post & Behr, 1978) att när lärare låter eleverna använda konkreta material i matematikundervisningen underlättar elevernas förståelse för matematiska begrepp till exempel ⅓.

Bildlig uttrycksform handlar om att man använder bilder för att beskriva lösningen till uppgiften (Björklund Boistrup, 2010). När elever får se bråktalen i bilder kommer eleverna inte se till exempel täljaren och nämnaren som separata tal, utan som en storleksordning (Kerslake, 1986). Eleverna kommer därför att förstå relationen mellan täljaren och nämnaren. Textuppgifter med bilder kan bidra till att eleverna förstår uppgiften (Ainsworth, 2006).

Verbal uttrycksform betyder det talade språket, när lärare och elever samtalar om begrepp och om olika uppgifter (Björklund Boistrup, 2010). Språket är en av de viktiga verktyg i

11

skolan. Inom det sociokulturella perspektivet är kommunikation och interaktion nycklar till lärande och utveckling (Lundgren et al., 2014). Eleverna delar med sig sina kunskaper, erfarenheter och informationen i samtalen uttrycks på olika sätt, därför är kommunikationen och interaktionen nycklar till lärande och utveckling (Gibbons, 2016).

Numerisk uttrycksform handlar om att presentera materialet i form av siffror (Nationalencyklopedin, u.å. B).

Med symbolisk uttrycksform handlar om presentera materialet i form av siffror som exempelvis additions- och subtraktionstecken, algebraiska symboler som x och y, och multiplikationstecken (Björklund Boistrup, 2010).

12

3. Tidigare forskning

Nedan presenteras en söksammanställning av relevanta källor för denna kunskapsöversikt. Dessa källor är peer reviewed, som betyder att de är vetenskapligt granskade (Friberg, 2006). Jag använde mig av både engelska och svenska sökord för att få så många vetenskapligt granskade artiklar som möjligt i mina sökningar.

3.1 Vilka svårigheter har elever med tal i bråkform

Bråkform förknippas med rationella tal och behövs bland annat för att hantera avancerad matematik, såsom algebra och grundläggande matematiska kunskaper såsom decimalform och procentform. Bråkform är avgörande för numerisk utveckling (Siegler et al., 2012 & Tian & Siegler, 2017).

Kamii och Clark (1995) diskuterade relationen mellan nämnaren och täljaren. De kom fram till att vissa elever tror att bråktal såsom ⅓ är lättare att begripa än 2/6, det vill säga att 1 och 3 är lättare att hantera än 2 och 6 vid aritmetiska operationer. Dessa elever tyckte att 2/6 inte hade samma värde som ⅓. McIntosh (2009) skriver också att det finns elever som tycker att det är svårt med utbytbara bråktal. Resnick et al. (2016) menar att elever som har svårigheter inom matematiken har problem relaterade till del av helhet och del av antal, vilket leder till att eleverna inte förstår relationen mellan nämnare och täljaren. En annan svårighet som tas upp i forskningen är att elever har svårt med att addera eller subtrahera bråktal med varandra, oavsett om uppgifterna har olika eller samma tal i nämnaren (Tian & Siegler, 2017). Det finns elever som adderar täljaren med täljaren och nämnaren med nämnaren till exempel 1/2 + 1/2 = 2/4. Samma sak gäller för subtraktion, att elever subtraherar nämnaren och täljaren var för sig. I jämförelse med en annan artikel skriver Hansen, Jordan och Rodrigues (2015) också att elever har oftast svårt med att räkna summan av två bråktal. De som adderar täljaren med varandra och nämnaren med varandra förstår inte att dessa tal inte är heltal utan en relation mellan två heltal (Tian & Siegler, 2017). Detta är en brist på förståelse för tal i bråkform, eftersom tal i bråkform uttrycker en relation mellan de två talen (Tian & Siegler, 2017).

13

Hansen et al. (2015) skriver om en annan svårighet som eleverna har i samband med tal i bråkform. Enligt Hansen et al. (2015) har eleverna svårt med att jämföra och sortera bråktal från det minsta till det största. I jämförelse med en annan artikel skriver Siegler och Pyke (2013) att det var 50% av eleverna i årskurs 8 i USA som inte kunde lösa uppgiften att storleksordna talen, 2/7, 1/12, och 5/9 i bråkform från det minsta till det största. Geary, Hoard, Bryd-Craven, Nugent och Numtee (2007) menar att elever har svårigheter med bråktal, eftersom de inte begriper vad täljaren och nämnaren har för innebörd. När dessa elever som har svårt med bråkform löser ett matematiskt tal i bråkform, förstår de inte begreppen utan de löser uppgiften genom att minnas reglerna och proceduren.

3.2 Forskning kring olika uttrycksformer

Nedan presenteras forskning kring olika uttrycksformer.

3.2.1 Tallinjen

Bättre undervisning och mer tid för att förstå och lösa uppgifter ger bättre resultat (Tian & Siegler, 2017). Tallinjen kan användas som fysisk och bildlig uttrycksform, men den är också numerisk och den innehåller symboler. Tallinjen används för att ordna tal och används för att förstå bråktal. Tian och Siegler (2017) menar att tallinjen är ett användbart verktyg i undervisning. En fördel med att använda tallinjen är att det underlättar för elever att förstå att bråktalen följer efter varandra på en linje. En annan fördel är att sätta bråktalen på tallinjen innebär att det blir tydligt för eleverna att det finns ett oändligt antal bråktal mellan två bråktal. När eleverna arbetar med tallinjen kommer de förstå att täljaren och nämnaren bildar en storleksordning i stället för två separata tal (Tian & Siegler, 2017). Eleverna kommer också att förstå begreppet utbytbara bråktal (Hecht, Close, & Santisi, 2003; Seethaler, Fuchs, Star & Bryant, 2011). Till exempel kan eleverna använda tallinjen för att visa att utbytbara bråktal såsom 1/4, 2/8, 4/16, finns på samma punkt i linjen.

Det finns missuppfattningar med att arbeta med tallinjen (Heron, 2014). Det finns elever som räknar från noll, för att eleverna inte ska räkna med noll kan de rita slingor varje gång de hoppar till en annan sträcka. Det finns elever som räknar alla sträckorna i tallinjen utan att ha samma avstånd mellan dessa (Heron, 2014).

14

3.2.2 Konkreta material i relation till bråkform

Abtahi (2018) undersöker hur två elever i klass sju löser att addera två olika bråktal med olika nämnare, 2/5 + 1/2, med hjälp av bråkplanket (se bilaga 2) och cuisenairestavar. När en elev deltar i interaktioner med matematiska verktyg för att lösa en matematisk uppgift uppstår ett systematiskt samband mellan vad de gör, vad de säger och vetande som sker (Abtahi, 2018). Efter några diskussioner kunde de använda cuisenairestavar för att komma fram till att det är 9/10. Forskaren kom fram till att genom att använda konkreta material som är en fysisk uttrycksform bidrar det till att dessa två elever blev bättre på att förstå och använda en annan uttrycksform i istället bara för den symboliska uttrycksformen (Abtahi, 2018). I jämförelse med en annan artikel menar Moyer och Mailley (2004) att använda konkreta material hjälper eleverna att förstå bråkform. Lärare och elever kan använda konkreta material i matematikundervisningen för att underlätta elevernas förståelse för matematiska begrepp till exempel begreppet ⅓. (Lesh et al., 1987; McIntosh, 2009). McIntosh (2009) anser att nya begrepp ska introduceras med laborativa material genom aktiviteter, där lärare och elever diskuterar om begreppen. Vidare menar McIntosh (2009) att eleverna ska handskas med bråkdelar i olika sammanhang, bland annat genom att klippa isär, rita, dela områden och föremål. Ett exempel på laborativ matematikundervisning är att eleverna ska använda sig av klossar som visar olika sammanhang (McIntosh, 2009). Läraren kan till exempel dela upp klossarna i två lika stora högar och fråga eleverna hur det kan uttryckas på bråkform och hur bråktalen kan skrivas i bråkform. Utbytbara bråkuttryck kan även visas genom konkreta material. En användbar modell för utbytbara bråkuttryck är att utgå från en rektangel som klippas i lika delar. Varje del delas sedan upp i ytterligare delar för att visa att en halv har samma värde som 2/4 (McIntosh, 2009).

3.2.3 Den bildliga uttrycksformen

Kerslake (1986) skriver att när elever får se bråktalen i bilder kommer eleverna inte se täljaren och nämnaren som separata tal, utan som en storleksordning. Eleverna kommer att förstå relationen mellan nämnaren och täljaren. När eleverna ser bråktalen representerade i bilder, kommer de kunna tänka på dem som tal. Vidare skriver Kerslake

15

(1986) att till och med användningen av bilder av kakor som måste till exempel delas upp mellan ett antal barn verkar vara till en stor nytta. I en studie skriven av Rau, Aleven och Rummel (2015) om betydelsen av att använda bilder som uttrycksform. De lyfter fram att använda bilder som uttrycksform bidrar ofta till vidare förståelse av innehållet. Rau et al. (2015) diskuterar även om att textuppgifter som innehåller bilder stimulerar till djupare analys av innehållet. Författarna menar att när eleverna löser textuppgifter med bilder, kan bilderna stötta elevernas förståelse.

Moyer och Mailley (2004) utgick utifrån en bok som heter Inchworm and a Half (Pinczes, 2001), när de skulle planera en lektion som handlar om bråktal. Läraren gav eleverna bilder som representerade ormarnas längd med bråktal, ¼, ½, 1 hel och 1/3. Efter det skulle eleverna med hjälp av dessa bråktal mäta sina grönsaker i exempelvis gurkor. Därefter skulle eleverna rita och skriva med ovan nämnda bråktal hur långa grönsakerna var, såsom gurka, morot, sparris, selleri och bönor. Efter andra dagen skulle läraren undervisa om hur man lägger ihop två bråktal som har samma nämnare såsom hur lång är hela gurkan som man använder ½ orm och ½ orm. Enligt Moyer och Mailley (2004) är uttrycksform med visuella modeller en hjälpmedel för eleverna att förstå bråkform. Genom att utforska samma begrepp på olika sätt med visuella modeller, kan de tidiga klasserna koppla sina uppfattningar till matematisk tänkande (Moyer & Mailley, 2004).

Purwadi, Sudiarta och Suparta (2019) använde sig av metoden Concrete-Pictorial-Abstract (CPA) strategi. Denna strategi är baserad på Bruners inlärningsteori och består av tre inlärningsmetoder. De inlärningsmetoderna är konkret, lärande sker genom verkliga föremål, bild lärande sker genom bildlig uttrycksform och abstrakt lärande sker genom abstrakt skrift. Dessa olika metoder kan minska frustrationen som eleverna känner när de lär sig bråkform. Purwadi et al. (2019) genomförde en intervju med eleverna på grundskolan, och resultatet var att eleverna som undervisades med CPA strategin hade djupare förståelse av bråkformen. Elever som lärde sig med konkreta föremål hade dessutom en mer fullständig förståelse av bråkform, så användning av abstrakta begrepp i matematikundervisningen bör minimeras (Purwadi et al., 2019).

16

3.2.4 Digitala matematikspel

Digitala matematikspel är också ett verktyg för att lära sig om bråktal (Akman & Cakir, 2019). Spel motiverar eleverna att upptäcka mer och gör att eleverna får ökat självförtroende. Zhang, Trussel, Gallegos och Asam (2015) kom också fram till att digitala matematikspel motiverar eleverna och är lätta att använda. På spelet som forskarna använde sig av fanns det många olika spel, och bråktal var en av dem (Akman & Cakir, 2019). I varje typ av spel förekommer det feedback, där eleverna ser vad de har gjort för fel så att de kan rätta till det. Akman och Cakir (2019) såg att feedback var positivt för eleverna, då eleverna reflekterade över sitt lärande, och över vad de har lärt sig. I en annan artikel skriver Zhang et al. (2015) att användningen av digitala matematikspel och applikationer hjälper och förbättrar elevers prestation i matematikämnet. Vidare menar Zhang et al. (2015) att använda digitala matematikspel i matematikundervisningen stimulerar eleverna till att begripa och förstärka sitt lärande i matematikområden. Mahmoudi, Koushafar, Saribagloo och Pashavi (2015) kommer fram till att digitala matematikspel är ett verktyg för både underhållning och inlärning. Vidare menar Mahmoudi et al. (2015) att digitaliseringen genomsyrar hela vårt samhälle, och därför är elever också insatta i digitaliseringen.

3.3 Tidigare forskning i relation till denna studie

Det framkommer i denna studie i relation till tidigare forskning, att uttrycksformer används på olika sätt i olika sammanhang. Tallinjen som är en bildlig uttrycksform, konkreta material såsom klossar, cuisenairestavar, laborativa material och digitala matematikspel, där eleverna får se uppgiften genom bilder, symboler och nummer, används i matematikundervisningen. Bilder används också såsom ormarnas längd, kvadrater, cirklar och andra olika sorters bilder som representerar tal i bråkform.

Genom att låta eleverna använda olika uttrycksformer i matematikundervisningen, påverkar elevernas inlärning. Eleverna får se hur en uppgift löses på flera olika sätt, genom att diskutera om olika bråktal, bilder, symboler, användning av konkreta material och att skriva bråktalet numeriskt.

17

4. Metod

I det här kapitlet kommer jag att presentera studiens tillvägagångssätt som medför en beskrivning av metodval, urval, validitet och reliabilitet, de forskningsetiska överväganden och till sist hur analysmetoden har gått till.

4.1 Metodval

Detta examensarbete utgår utifrån en kvalitativ forskningsstrategi, vilket innebär att forskaren ska samla in information som därefter analyseras och tolkas. För att samla in information behöver forskaren välja vilken metod eller metoder som passar för undersökningen. Det finns många metoder som forskaren kan välja mellan såsom intervjuer, observationer och tolkning av material (Christoffersen & Johannessen, 2015). I kvalitativa intervjuer kallas personerna som intervjuas för informanterna, därför kommer informanter att användas i examensarbetet (Alvehus, 2019).

I detta examensarbete har datainsamlingen analyserats utifrån en kvalitativ data. Jag har intervjuat lärare i form av en semistrukturerad intervju (Alvehus, 2019). En semistrukturerad intervju bygger på en intervjuguide och frågorna är i stort sett öppna som betyder att det inte finns formulerade svarsalternativ. Informanterna som svarar, svarar fritt på hur de känner att de uppfattar frågan med sina egna ord (Alvehus, 2019). Forskaren som ställer frågor har mindre påverkan på hur informanten svarar. Även om jag använde öppna frågor har jag valt att göra så att alla informanter som intervjuas får samma frågor men med olika följdfrågor. Fördelen med att använda semistrukturerade intervjuer är att frågorna kan vara öppna till en viss del, så att även följdfrågor kan ställas. Alltså kan intervjun anpassas efter vad informanterna säger. På detta sätt kommer intervjun att kännas mer som ett samtal än som ett förhör (Alvehus, 2019).

Fördelen med att använda kvalitativ metod är att forskaren kan förstå människors tankar bättre, och det ger mer information än vad kvantitativ metod ger (Fekjær, 2016). Att använda sig av kvalitativ data i form av interjuver där frågorna som ställs mer öppna, och där frågorna som ställs kan variera från informant till informant efter hur informanten har uppfattat intervjufrågorna och vad för tema det är, kan vara en fördel. (Fekjær, 2016). Nackdelen med kvalitativa data är att datainsamlingen som forskaren har samlat in, att

18

det blir svårare att generalisera resultaten till andra sammanhang.. Kvalitativ forskningsstrategi tar också väldigt lång tid att förbereda. (Fekjær, 2016).

4.2 Urval

I kvalitativa intervjuer väljer forskaren ut informanterna med hjälp av strategiska urval (Christoffersen & Johannessen, 2015). Forskaren måste tänka igenom vilken målgrupp som forskaren vill samla in data från. Nästa steg blir att välja ut de informanter från målgruppen som ska delta i undersökningen (Christoffersen & Johannessen, 2015). Målgruppen som har valts i detta examensarbete är matematiklärare som undervisar på mellanstadiet, årskurs 4-6. Valet av urvalet har gjort utifrån att skribenten är nyfiken på hur lärare arbetar med bråkform och om hur olika uttrycksformer stödjer elevernas inlärning av tal i bråkform.

Jag har skapat intervjufrågor utifrån frågeställningarna. Därefter har jag intervjuat fem grundskolelärare som arbetar på mellanstadiet. Jag intervjuade matematiklärare på en skola som jag kände till och en skola som var slumpmässigt vald. Jag har alltså använt mig av ett bekvämlighetsurval och ett slumpmässigt urval för att samla in data till examensarbetet. Bekvämlighetsurval betyder att forskaren väljer det som är enklast och mest bekvämt och slumpmässigt urval innebär en variant av slumpmässigt urval (Christoffersen & Johannessen, 2015).

De deltagande lärarna togs fram dels genom att använda tidigare kontakter och dels genom en förfrågan via mail på respektive skola. Alla grundskolelärare som var villiga att ställa upp deltog i intervjun. Intervjuerna genomfördes på respektive skola och varade i 15-20 minuter. Medan jag intervjuade använde jag mig av en diktafon för att spela in informationen för vidare bearbetning.

4.3 Validitet och reliabilitet

En viktig fråga blir då hur väl data representerar fenomenet, hur relevanta de är. I forskningslitteraturen används begreppet validitet, av engelskan validity som betyder giltighet (Christoffersen & Johannessen, 2015). Validitet kan stärkas i en kvalitativ intervju genom att informanterna får tala öppet och som intervjuare kunna ställa

19

följdfrågor såsom att be personen utveckla sitt svar. Reliabilitet handlar om datainsamlingen som vi har samlat in är tillförlitlig (Christoffersen & Johannessen, 2015). Reliabiliteten handlar om att resultaten blir densamma ifall undersökningen genomförs på nytt. Eftersom jag har valt kvalitativ data i form av en semistrukturerad intervju och valt att intervjua endast fem lärare innebär det att det kunde ha lett till annorlunda resultat om jag intervjuade några andra lärare. Därför är det svårt att generalisera resultatet utifrån detta arbete. Det är endast fem subjektiva uppfattningar som inte kan representera uppfattningar av alla matematiklärare i Sverige. Arbetet skulle kunna kompletteras, med andra metoder såsom enkäter, observationer och intervjuer med elever för att kunna förhöja arbetets validitet och därmed reliabiliteten.

4.4 Forskningsetiska överväganden

Jag har utgått utifrån de fyra forskningsetiska perspektiven (Larsen, 2018). De fyra övergripande forskningsetiska perspektiven är informationskravet, samtyckeskravet, konfidentialitetskravet och nyttjandekravet (Larsen, 2018). Jag har informerat om samtyckeskravet, att lärarna själva har rätt att bestämma över sin medverkan, de har både rätt att hoppa av under intervjun och efter. I samtyckesblanketten och under intervjun har jag även meddelat om informationskravet, syftet med intervjun och varför den genomförs. Konfidentialitetskravet har också nämnts, att personuppgifterna inte kommer att gå ut i allmänheten och nyttjandekravet, alltså att information kommer endast användas till examensarbetet och därefter kommer informationen att försvinna efter att examensarbetet blir gjort.

4.5 Analysmetoden

I analysarbetet har jag inspirerats och utgått från Braun och Clarkes (2006) arbete med tematisk analys. Enligt Braun och Clarke (2006) är en tematisk analys en metod för att ta fram, analysera och rapportera teman av ett datamaterial. Den tematiska analysen ska innehålla tolkningar av olika aspekter av forskningsområdet. Vidare menar de att det är viktigt att första gången sortera ut det som man tycker är viktigt när man har läst hela texten för att sedan läsa texten igen och försöka hitta koder (Braun & Clarke, 2006). Koderna som man har hittat i källorna är de som sedan ska kunna kategoriseras i olika

20

teman. Det har jag valt att göra för att få en tydligare struktur och analys av resultatet av min studie.

Jag har valt att analysera mitt material genom att skapa två huvudrubriker som utgår utifrån de två frågeställningarna. Utifrån de två huvudrubrikerna har jag sedan sorterat lärarens utsagor. Lärarna som jag intervjuade benämns med nummer från L1-5 för att kunna urskilja lärarnas svar ifrån varandra. Varje intervju varade mellan 15 till 20 minuter.

Den tematiska analysen genomfördes i sex olika steg (Braun och Clarke, 2006). Den

första fasen handlade om att bekanta sig med datainsamlingen, vilket utfördes genom att

transkribera de fem intervjuerna ordagrant. Efter transkriberingen behövde jag läsa igenom datainsamlingen flera gånger. I första steget noterade jag även mina tankar under tiden jag läste transkriberingen.

Fas två gick ut på att hitta initiala koder på ett systematiskt sätt genom hela

datainsamlingen. Jag kodade utdrag utifrån transkriberingen och markerade viktiga citat. Jag anser att koderna som jag fick utifrån utdragen var relevanta för frågeställningarna. I nedanstående tabell visas ett exempel på hur jag kodade.

Transkript Koder

L1: På många olika sätt, ju fler olika sätt så hittar eleven det sätt som passar dem.

Variationen spelar en stor roll matematikundervisningen. L2: L- Det hjälper rätt många att repetera

saker genom att använda datorn. Tex för att markera en tredjedel. Det motiverar många av dem. De ser själva bilder men vi har problem med att vissa elever gör något annat.

Datorn hjälper eleverna att repetera matematiska färdigheter.

Eleverna motiveras av att använda datorn.

Uppgifterna på datorn uttrycks med olika uttrycksformer såsom med bilder.

L3: Ja måste utgår alltid utifrån modeller Matematikundervisningen består av olika uttrycksformer.

21

L3: De lär sig av varandra. Ibland så börjar dem prata om något annat. Men meningen är också att när de är i lärparen att de ska kommunicera mattespråket vilket jag ser.

När eleverna kommunicerar med varandra påverkar deras inlärning genom att de lär sig av varandra. L4: Ja det påverkar mycket för det blir

tydligare att se. Det ökar förståelsen för det här att åttondelar är mindre än fjärdedelar.

Tallinjen påverkar elevernas inlärning av att förstå tal i bråkform för att det blir tydligare för dem att förstå storleksordningen.

L5: För att en del barn lär sig med bilder. Medans en del barn så behöver dem det blir svårare med bild till och med, de behöver symboler för att de kan dem se det. Sen är det en del elever som behöver det här konkreta materialet. Så det är olika.

Elever lär sig på olika sätt

I fas tre analyserades koderna och grupperades i potentiella teman. Jag skapade först

huvudteman och underteman till den första frågeställningen, hur beskriver lärarna vilka

olika uttrycksformer de använder i undervisningen i samband med tal i bråkform för att kommunicera matematik i årskurs 4–6. Därefter skapades huvudteman och underteman

till den andra frågeställningen, Hur påverkas, enligt lärarna, elevernas kunskaper i

området tal i bråkform vid användning av olika uttrycksformer?.

I den fjärde fasen förfinades teman och revideras vid behov. Jag märkte att vissa teman

inte innehöll tillräcklig data, därför behövde jag sammankoppla separata teman. De teman som valdes granskades mot den transkriberade texten för att få ett helhetsperspektiv.

I den femte fasen handlade om att definiera och namnge varje enskilt tema genom att

sammanfatta varje tema i relation till frågeställningarna.

I den sista fasen, steg sex, producerarades rapporten, och det betyder att forskaren har

sina teman klara och att det ska skapas en berättelse utifrån datainsamlingen. Jag valde datautdrag och analyserade utdragen i relation till frågeställningarna.

22

5. Resultat

Nedan presenteras och analyseras materialet från lärarintervjuerna med utgångspunkt i studiens två frågeställningar. Analysen är skapad utifrån ett tolkande perspektiv och baseras på Braun och Clarkes (2006) tematiska analys. Till sist kommer jag utifrån materialet från lärarintervjuerna dra slutsatser utifrån ett sociokulturellt perspektiv. I resultatbeskrivningen nedan förekommer alla olika material i citaten från intervjuerna. Dessa förklaras här:

• Bråkplanket: är en modell som kan vara i fysiskform men också i bildligform. Materialet används för att visa samband och jämföra mellan olika stora bråkdelar (Yeap, Agardh, & Rejler, 2019, s. 104; Sjöström & Sjöström, 2017, s. 46). • Tanketavla: Tanketavlan kan användas för att överföra begrepp eller uppgifter

mellan olika uttrycksformer. I tanketavlan ska eleverna visa en matematisk idé på olika sätt: med ord i både tal och skrift, med symboler, med bilder och med konkret material (McIntosh, 2009). Bilderna kan visas med skisser och teckningar, men också grafer och diagram. Tanketavlan är ett viktigt verktyg för eleverna, för den skapar en förståelse för matematik (McIntosh, 2009).

• Cuisenairestavar: Det är ett material som består av olikfärgade stavar och används för att arbeta med delar och helheter.

5.1 Vilka olika uttrycksformer använder lärarna sig av

Nedan presenteras de teman som jag har identifierat när det gäller den första frågeställningen; Hur beskriver lärarna vilka olika uttrycksformer de använder i

undervisningen i samband med tal i bråkform för att kommunicera matematik i årskurs 4-6.

5.1.1 Lärarna tar hänsyn till elevers olika behov genom att använda olika

uttrycksformer i matematikundervisningen

Lärarna tar hänsyn till elevers olika behov i klassrummet genom att använda uttrycksformer i matematikundervisningen. Elever har olika behov och förutsättningar

23

och det är lärarens roll att skapa en klassrumsmiljö som är accepterande. Lärarna varierar sin matematikundervisning, genom att använda olika uttrycksformer och samtliga använder sig av kursplanen och det centrala innehållet för att planera sin matematikundervisning. Som utdragen nedan visar uppges en variation av uttrycksformer som en viktig del för att möta elevers behov i matematikundervisningen.

L4: Dels så tar jag hänsyn till alla elevers behov, utifrån de svaga till de starka och deras sätt att lära sig. Vissa lär sig genom att liksom se med bildligt och andra mer med matematiska med siffror. Vissa lär sig genom att titta på filmklipp och så. Sedan brukar jag variera matematikundervisningen…

L5: Jag försöker planera min matematikundervisning, genom att i undervisningen försöka variera undervisning i planeringen... För att alla elever lär sig på olika sätt och för att kunna nå så många elever som möjligt i gruppen.

I dessa utdrag framgår det att variationen av uttrycksformer är en viktig del i matematikundervisningen. Variationen av uttrycksformer är en viktig del eftersom hur elever lär sig skiljer sig åt från individ till individ. En del elever lär sig färdigheter genom bilder, andra lär sig med matematiska siffror och en del lär sig genom att titta på videoklipp.

5.1.2 Variationen av uttrycksformer i matematikundervisningen i samband

med tal i bråkform

Matematiklärarna använder sig av olika uttrycksformer i sin matematikundervisning i samband med tal i bråkform. Det syns till exempel i utdraget nedan.

L1: Det bildliga det visuella, beroende på vad det är så har vi använt klossar. Pärlor. De har fått rita.

L2: Alltså en bråkplanket. Det har jag haft med eleverna för att förstå hur de ska jämföra….Bildlig, symbolisk och numeriskt använder jag..

L4: Bilder…Konkreta material.

L1: Sedan är det rätt mycket spel, klossar och cuisenairestavar. Jag brukar dela in dem i grupper, oftast två och två. Jag brukar dela ut stenciler. Vi har Nomp och vi har Elevspel.

I ovanstående utdrag framgår det, att det beror på vilken lärare det är eftersom alla matematiklärare använder sig av olika uttrycksformer i sin matematikundervisning i

24

samband med tal i bråkform. Lärarna har visat bråktal i bildlig uttrycksform på smartboarden. Lärarna har också visat bråktalet i bildlig uttrycksform genom att ha ritat upp ett bråktal i form av en cirkel på tavlan. Matematikspel i form av fysisk uttrycksform förekommer också i matematikundervisningen, som exempelvis klossar, cuisenairestavar och bråkplanket. Digitala matematikspel såsom Nomp och Elevspel förekommer också i matematikundervisningen, där eleverna får använda olika uttrycksformer vid arbetet med aktiviteterna såsom i numerisk, bildlig, verbal och symbolisk uttrycksform.

L5: Jag använder först verbalt, sedan bildligt därefter numeriskt och övergår till fysiskt och sedan slutar med symboler som eleverna jobbar med.

L5: Det är blandning. Vi har haft mycket verbalt, där de har pratat om det. Vi har pratat om delar, en halv, en tredjedel osv... Sedan har dem också byggt fysiskt till exempel genom klossar, jämfört bråk genom cuisenairestavar och bråkplanket.. Sedan har vi ju kommit långt att vi har gjort det med symboler i sin mattebok.

I utdraget ovan beskriver en av lärarna hur matematikundervisningen kan se ut i arbetet med tal i bråkform. Det är vanligt att matematikundervisningen varierar mellan olika uttrycksformer. Först planerar läraren en diskussion, där eleverna får möjlighet att diskutera om olika bråktal. Läraren använder då sig av den verbala uttrycksformen. Diskussionerna kan vara hur bland annat en halv, en tredjedel, en fjärdedel ser ut och jämföra dem med varandra. En annan matematiklektion kan handla om att eleverna använder fysisk uttrycksform såsom klossar för att få möjlighet att lösa olika uppgifter. Läraren har också planerat en matematikundervisning, där eleverna får möjlighet att jämföra olika bråktal och i samband med det använda olika uttrycksformer former såsom symbolisk form och numerisk form, och därigenom motivera vilket bråktal är störst med hjälp av cuisenairestavar och bråkplanket.

Matematiklärarna arbetar med olika uttrycksformer i sina klassrum. De använder tallinjen som är i fysisk och bildlig uttrycksform och innehåller symboler. Matematiklärarna använder bråkplanket som bildlig, numerisk, symbolisk och i fysisk uttrycksform. Cuisenairestavar används som är en fysisk uttrycksform. Cuisenairestavar är tillgängliga för eleverna i klassrummet. Det syns till exempel i utdraget nedan.

25

L3: Bråkplanket har jag också använt mig av. De har de i fysisk form och visuell form. Tallinjen har jag också..

Enligt lärarna är Widgit ett av de hjälpmedel som eleverna använder sig av, när eleverna har svårt med språket. Lärarna kan skapa och dela ut bildkort på begrepp genom att använda sig av Widgit, och därför är Widgit en bildlig uttrycksform. En av lärarna använder aktiviteten fråga-fråga-byt som är en verbal uttrycksform, där eleverna har ett kort som de ska förklara för en annan kompis och även förklara kompisens begrepp. I utdraget nedan förklarar vad lärarna använder sig av i samband med tal i bråkform.

L3: Använder mig mycket av Widget för att förklara begrepp.

L5: Som fråga-fråga-byt. En struktur där barnen är styrda i sina begrepp och de ska sedan byta begreppen med en annan elev i klassrummet..

5.2 Påverkan på elevers kunskaper att använda olika

uttrycksformer i samband med tal i bråkform

Nedan presenteras de teman som jag har identifierat när det gäller den andra frågeställningen; Hur påverkas, enligt lärarna, elevernas kunskaper i området tal i

bråkform vid användning av olika uttrycksformer?

5.2.1 Olika uttrycksformer ger eleverna olika sätt att lära sig

När matematiklärarna använder olika uttrycksformer i matematikundervisningen i samband med aktiviteter i tal i bråkform, påverkar elevernas förståelse och motivation till att lära sig. Det öppnar upp olika möjligheter för eleverna att arbeta på olika sätt och nivåer. Läraren presenterar olika lösningsmetoder för en och samma uppgift. Därefter får eleverna välja den metod som de känner att de är bekväma med att använda, vilket framgår av nedanstående utdrag. Samtliga lärare anser att när lärare använder olika uttrycksformer i sin matematikundervisning, utvecklas elevernas matematikförståelse. Elevernas möjligheter i att lyckas i matematik som ämne ökas. Däremot utvecklas inte elevernas matematiska förståelse lika bra om endast en uttrycksform presenteras.

L1: På många olika sätt, ju fler olika sätt så hittar eleven det sätt som passar dem, det ger de också större chans att klara sig.

26

L3: Genom att visa det hur man löser en uppgift på flera olika sätt hjälper eleverna att använda det sättet de är bekväma med.

L3: När eleverna använder bilder till exempel cirklar där eleverna kan jämföra bråktal blir det mycket tydligare för dem att förstå bråkform.

I utdraget ovan beskriver en av lärarna att när eleverna använder bildlig uttrycksform, till exempel cirklar, i samband med tal i bråkform, kan eleverna med hjälp av cirklarna jämföra olika bråktal. Det påverkar elevernas förståelse genom att området i bråkform blir tydligare för dem.

Tanketavlan används i liten uträckning matematikundervisningen, enligt lärarna. Matematiklärarna har visat hur en uppgift kan lösas på flera olika sätt och utgått från elevernas lösningar. Lärarna har använt elevernas olika lösningar. En del elever uttrycker sig i bråkform med att använda bildlig uttrycksform, de ritar oftast cirklar och pizzabitar. En annan elev kan ha löst uppgiften genom numerisk räkning. En del kan ha uttryckt uppgiften symboliskt genom att skriva siffror. En del elever använder inte rätt begrepp när de uttrycker sig verbalt i bråkform. Eleverna säger till exempel inte en sjättedel utan en delat med sex. Eleverna ges möjlighet att se flera olika lösningar av uppgifterna genom att få ta del av varandras lösningar. De får se hur andra elever har strukturerat sina lösningar. En del barn lär sig med bilder, vissa behöver det numeriska formen eller det symboliska formen och en del behöver det konkreta materialet.

L2: Ja, dels att visa en uppgift på flera olika sätt.

L1: Tanketavlan har jag använt väldigt lite. Ja, det brukar jag göra sedan brukar jag använda elevernas olika lösningar.

L3: De använder inte alltid rätt begrepp. De säger inte en sjättedel utan de säger en delat med sex. De begreppen inte är lätta från början. De har tillgång till material, såsom tallinje och bråkplanket.

5.2.2 Elever lär sig av kommunikationen i matematikundervisningen

De flesta elever lär sig av varandra när de kommunicerar matematik i klassrummet. Eleverna lär sig genom att de förklarar för begrepp för varandra och förklarar hur en uppgift kan lösas. När eleverna använder sig av begrepp i kommunikationen, kan det vara nödvändigt att en del elever får förklara uppgifter för de andra genom att till exempel rita,

27

skriva, eller visa med konkreta material. Lärarna hör hur eleverna kommunicerar med varandra, eleverna hjälper varandra och de flesta elever förklarar på ett matematiskt korrekt språk. Grupparbeten fungerar olika bra för olika elever, och eleverna lär sig av varandra när de delar med sig av sina kunskaper. Det är viktigt att som lärare dela in grupperna i väl genomtänkta gruppkonstellationer, och för det mesta delar lärarna in dem i nivågrupperade grupper, men det kan också vara så att eleverna är i blandade grupper. Det syns i till exempel utdraget nedan.

L1: Det är stort ansvar för mig att dela in dem i rätt grupper, och grupperna fungerar olika. L3: De lär sig av varandra. Ibland så börjar de prata om något annat. Men meningen är också att när de är i par ska de kommunicera mattespråket vilket jag ser. Jag hör hur de förklarar för varandra. Även om de behöver min hjälp så börjar de kommunicera med varandra och förklara för varandra hur man löser uppgiften.

L5: Som fråga-fråga-byt. En struktur där barnen är styrda i sina begrepp och de ska sedan byta begreppen med en annan elev i klassrummet. Jag brukar dela in eleverna i blandade grupper.

I utdraget ovan beskriver lärarna hur kommunikationen, alltså den verbala uttrycksformen, är viktig i matematikundervisningen och hur det påverkar elevernas inlärning i samband med tal i bråkform.

5.2.3 Tallinjen och digitala matematikspel hjälper eleverna att förstå

bråkform

Samtliga lärare anser att det finns en koppling mellan elevernas förståelse av tal i bråkform och elevernas arbete med tallinjen. Arbetet med tallinjen påverkar eleverna att förstå tal i bråkform, eftersom de får en visuell bild av var bråktalen ligger på tallinjen. Eleverna ser att det finns flera bråktal mellan två olika bråktal, och de utvecklar förståelsen om hur de ska storleksordna bråktalen, från det minsta till det största. Tallinjen hjälper också att förstå utbytbara bråktal och med hjälp av tallinjen blir det lättare för eleverna att se vilket bråktal som är störst. Eleverna som har det svårt med att storleksordna bråktal kan använda sig av tallinjen för att öka förståelsen. Det ökar förståelsen för en åttondel är mindre än till exempel en fjärdedel. I nedanstående utdrag syns till exempel hur en del lärare anser om tallinjen.

28

L3: Ja det är det som vi har pratat om, om utbytbara bråktal.

L4: Ja tallinjen påverkar mycket för det blir tydligare att se. Det ökar förståelsen för det här att åttondelar är mindre än fjärdedelar. Ja, dels har jag gjort och dels så finns det i deras läromedel.

L5: Ja till exempel storleksordna bråktal. Det kan vara säkert. Tallinjen hjälper många elever att storleksordna.

Digitala matematikspel påverkar också elevernas inlärning för att förstå tal i bråkform. I digitala matematikspel får eleverna se olika uttrycksformer, såsom bildligt, numeriskt och symboliskt. Datorn hjälper många elever att repetera färdigheter med hjälp av matematikspel till exempel för att markera en tredjedel. Eleverna kan tycka att det är roligt att använda datorn, men det är mer motiverande när eleverna samarbetar på datorn. I utdraget nedan beskriver tydligt vad lärarna anser om digitala matematikspel på datorn.

L3: Ju fler grejer metoder, desto bättre blir det. Vissa klarar bara genom genomgången. Vissa klarar sig med modellen, vissa klarar sig genom matematiksspel.

L4: Men jo just samarbetsdelen, där eleverna får samarbeta på datorn. Samarbetsbiten som motiverar dem

L5: Ja, vi använder datorn främst till färdighetsträning i alla område.

I utdraget ovan beskriver en av lärarna återigen att ju fler olika metoder eleverna använder sig av desto bättre förståelse får de.

5.3 Sammanfattning och analys av resultaten utifrån en

sociokulturell teori

Det övergripande och mest framträdande intrycket av intervjuerna av lärarna är att de tar hänsyn till elevers olika behov. Lärarna varierar sin undervisning och använder olika uttrycksformer i matematikundervisningen, såsom bildligt, verbalt, numeriskt, symboliskt och fysiskt. Samtliga använder olika uttrycksformer i matematikundervisningen för att de anser att variationen i matematikundervisningen är en viktig del, eftersom hur elever lär sig skiljer sig åt från individ till individ. En del elever lär sig färdigheter genom bildligt, andra lär sig med matematiska siffror och en del lär sig genom att titta på videoklipp. Hur matematikundervisningen ser ut i bråkform är varierande. Matematiklärarna planerar sin undervisning genom att eleverna får diskutera

29

verbalt kring bråktal, lösa uppgifter med hjälp av konkreta material såsom bråk planket, klossar och tallinje. En annan matematikundervisning kan se ut genom att eleverna får motivera symboliskt vilket bråktal är störst och även skriva bråktalet med numeriska tal. Att använda sig av olika uttrycksformer i undervisningen öppnar upp olika möjligheter för eleverna att arbeta på olika sätt och nivåer. Lärarna brukar visa elevernas lösningar på tavlan eller genom en digital kamera för att det ger fler möjligheter för eleverna att lösa samma uppgift på ett annat sätt. Eleverna kan se en uppgift hur den löses på flera olika sätt, till exempel genom bild, genom ord, genom symboler och också genom konkreta material. Kommunikationen i matematikundervisningen är också viktig för att de flesta elever lär sig av varandra. Eleverna lär sig genom att de förklarar begrepp för varandra och förklarar hur en uppgift kan lösas. Tallinjen är också viktig inom matematikundervisningen i samband med tal i bråkform. Tallinjen hjälper eleverna att förstå utbytbara bråktal och storleksordning. Att låta elever arbeta med digitala matematikspel på datorn hjälper eleverna att förstå bråkform. Eleverna får se olika uttrycksformer, såsom bildligt, numeriskt och symboliskt på datorn.

Grundaren för det sociokulturella perspektivet är Vygotskij och enligt honom är språket en av de viktiga verktyg i skolan (Lundgren et al., 2014). Kunskap handlar om att vi deltar i ett samspel, där interaktionen och kommunikationen blir nycklar till lärande och utveckling. När eleverna kommunicerar och arbetar i grupper, kan de hjälpa varandra på olika nivåer och detta kallas för den proximala utvecklingszonen. Vilket syns tydligt när lärarna berättar om hur eleverna arbetar i grupper, en del lärare konstruerar grupperna utifrån nivåer och en del utifrån blandade grupper. Att använda olika uttrycksformer i matematikundervisning kopplas till begreppet mediering inom det sociokulturella perspektivet (Lundgren et al., 2014). Hur eleverna lär sig är olika och därför behöver de olika redskap. En del behöver använda bilder för att lösa uppgifter om bråkform, en del behöver konkreta material, en del behöver samtala om bråkform, en del räcker det för dem att skriva i symboler och en del löser uppgiften genom numerisk räkning.

30

6. Diskussion och slutsatser

Syftet med examensarbetet var att ta reda på hur lärarna beskriver vilka olika uttrycksformer de använder i undervisningen samband med tal i bråkform. Syftet var också att ta reda på hur elevernas kunskaper, enligt lärarna, inom området tal i bråkform påverkar vid användning av olika uttrycksformer. För att besvara frågeställningarna genomfördes intervjuer i form av semistrukturerade intervjuer med 5 mellanstadielärare Första frågeställningen var: Hur beskriver lärarna vilka

uttrycksformer de använder i undervisningen i samband med tal i bråkform för att kommunicera matematik i årskurs 4-6. Andra frågeställningen var: Hur påverkas, enligt lärarna, elevernas kunskaper i området tal i bråkform vid användning av olika uttrycksformer? Dessa frågeställningarna är betydelsefulla, då många elever har

svårigheter med tal i bråkform. En svårighet som eleverna har med tal i bråkform är utbytbara bråktal, exempelvis att eleverna tror att ⅓ inte har samma värde som 2/6 (Kamii & Clark, 1995). McIntosh (2009) diskuterar också att eleverna har svårt med utbytbara bråktal. Hansen et al. (2015) och Tian och Siegler (2017) diskuterar om att eleverna har svårt med att räkna summan av två bråktal. I en annan artikel skriver Siegler och Pyke (2013) att en del elever har svårt med att storleksordna bråktal från det minsta till det största. Det framgår av denna forskning att när elever använder sig av olika uttrycksformer såsom tallinjen, konkreta material och bilder, ökar elevernas förståelse av tal i bråkform. Om eleverna inte behärskar tal i bråkform, kommer de inte heller förstå matematiska koncept såsom decimaltal, procenttal och algebra (Siegler et al., 2012 & Tian & Siegler, 2017).

Den första frågeställningen om hur lärarna beskriver vilka uttrycksformer de använder i undervisningen i samband med tal i bråkform har besvarats i resultatdelen. I matematikundervisningen tar lärarna hänsyn till elevers olika behov i klassrummet, därför att de använder sig av olika uttrycksformer i matematikundervisningen. I enlighet med läroplanen ska matematikundervisningen syfta till att ”eleverna utvecklar kunskaper om matematik och matematikens användning i vardagen och inom olika ämnesområden” (Skolverket, 2017, s. 54). Därför använder de intervjuade lärarna sig av olika uttrycksformer i matematikundervisningen. De uttrycksformer som matematiklärarna använder sig av är bildlig uttrycksform av bråktal, fysisk uttrycksform av bråktal såsom

31

klossar, cuisenairestavar och bråkplanket. De använder sig också av tallinjen som är en symbolisk uttrycksform, och som också kan representeras i fysisk eller bildlig uttrycksform. Matematiklärarna använder sig också av digitala matematikspel såsom Nomp och Elevspel, där dessa sidor innehåller olika uttrycksformer såsom i numerisk, bildlig, verbal och symbolisk uttrycksform. Enligt Lundgren et al. (2014) är vi människor olika och hur människor uppfattar saker är olika, därför lär vi oss på olika sätt. Vi människor lär oss är genom att använda oss av mediering, vilket betyder olika sätt att kommunicera (Lundgren et al., 2014).

Den andra frågeställningen som handlar om hur elevernas kunskaper, enligt lärarna, påverkas vid användning av olika uttrycksformer, har besvarats i avsnittet tidigare forskning och i resultatdelen. Samtliga lärare anser att olika uttrycksformer ger eleverna olika sätt att lära sig. Det öppnar upp olika möjligheter för eleverna att arbeta på olika sätt och nivåer. Matematiklärarna använder sig också av elevers olika lösningar, detta görs för att ge eleverna fler möjligheter att lösa samma uppgift på ett annat sätt. När elever ser olika mängd av elevlösningar, påverkar det deras lärande genom att dessa elever kommer att använda en annan metod, som de förstår bättre och att de kommer begripa betydligt mer (Jess, Skott & Hansen, 2011). Dessutom är det inte bara läraren som förklarar dessa elevlösningar utan också eleverna förklarar, vilket gör att eleverna kommer höra hur andra elever kommunicerar. Ibland behövs det elever som förklarar på sitt sätt, men viktigt att som lärare förse eleverna med rätt matematiskt språk och material menar Jess et al. (2011). De intervjuade matematiklärare använder sig av olika uttrycksformer bland annat tallinjen, bilder och digitala matematikspel. I relation till tidigare forskning har olika forskare diskuterat om olika uttrycksformer såsom tallinjen som är en symbolisk uttrycksform och kan representeras som fysisk eller bildlig uttrycksform, fysisk uttrycksform såsom bråkplanket och cuisenairestavar, utbytbara bråktal genom konkreta bråkform och bilder som representerar olika bråktal. Forskningen har också diskuterat om digitala matematikspel. Samtliga lärare anseratt det finns en koppling mellan elevernas förståelse av tal i bråkform och elevernas arbete med tallinjen. De anser att tallinjen påverkar elevers lärande genom att de får en visuell bild av var bråktalen ligger på tallinjen. Vidare anser matematiklärarna att när eleverna använder sig av tallinjen utvecklar de förståelsen av hur de ska storleksordna bråktalen, från det minsta till det största. I enlighet med tidigare forskning menar Tian och Siegler (2017) att tallinjen

32

underlättar för elever att förstå att bråktalen ligger efter varandra på en linje. Hecht et al (2003) och Seethaler et al. (2011) skriver att när elever använde sig av tallinjen kommer det öka förståelsen för begreppet utbytbara bråktal. Därför är tallinjen ett användbart verktyg när eleverna ska lära sig att förstå tal i bråkform. (Tian & Siegler, 2016). Digitala matematikspel påverkar också eleverna i samband med tal i bråkform, menar matematiklärarna. Eleverna påverkas genom att de blir motiverade att lära sig matematik. Spel motiverar eleverna att upptäcka mer och gör så att eleverna får självförtroende, anser Akman och Cakir (2019) och Zhang et al. (2015). Matematiklärarna använder också bildlig uttrycksform i samband med tal i bråkform, och en del elever behöver den bildliga uttrycksform för att förstå tal i bråkform. Enligt Kerslake (1986) är bildlig uttrycksform användbart verktyg och påverkar även elevernas lärande. När eleverna får se bråktalen i bilder kommer eleverna inte se täljaren och nämnaren som separata tal, utan som en storleksordning. Aleven och Rummel (2015) skriver att bildlig uttrycksform ofta bidrar till förståelse av innehållet. Att använda fysisk uttrycksform påverkar även elevers förståelse och lärande i samband med tal i bråkform, menar matematiklärarna. Abtahi (2018) undersöker hur två elever löser att addera två olika bråktal med olika nämnare med hjälp av fysisk uttrycksform såsom bråkplanket och cuisenairestavar. Abtahi (2018) och Moyer och Mailley (2004) skriver att använda konkreta material i matematikundervisningen påverkar elevers lärande genom att det hjälper eleverna att förstå bråktal.

Att ha kännedom om vilka uttrycksformer lärare använder sig och hur elever påverkas vid användningen av olika uttrycksformer, kan hjälpa lärare att motverka svårigheter inom tal i bråkform. Med hjälp av resultatet har jag förstått hur olika uttrycksformer kan hjälpa eleverna att förstå inte bara tal i bråkform utan matematikämnet. Människor idag lär sig på olika sätt och därför behövs det olika redskap för lärandet.

33

7. Vidare forskning

Resultaten kanske hade sett ut annorlunda om underlaget varierat i större utsträckning. Bristerna i detta arbetes empiri är att intervjuerna kunde ha givit ett annat resultat om det var andra lärare. I denna undersökning har jag också ställt olika följdfrågor till de intervjuade lärare, vilket innebär att det blir svårt att jämföra svaren. Som förslag till vidare forskning vill jag därför intervjua elever om hur de anser att de påverkas av att använda olika uttrycksformer i samband med tal i bråkform och se det ur deras perspektiv också. Detta skulle inte lösa problematiken med att lärarna ger olika svar, men öka reliabiliteten för det som lärarna uttrycker om vad eleverna använder för uttrycksformer. Som stöd skulle det vara också intressant att ge eleverna en uppgift i samband med tal i bråkform, för att undersöka hur de använder uttrycksformer i matematikämnet. Så därför skulle frågeställningarna vara: Vilka uttrycksformer använder

elever i bråkform? och Hur påverkas eleverna av att använda uttrycksformer i matematikundervisningen?

34

8. Metoddiskussion

Studien har genomförts med hjälp av semistrukturerade intervjuer med syftet att skapa en bild av hur fem olika lärare ser på olika uttrycksformer i matematikundervisningen i området tal i bråkform. Syftet var också att matematiklärarna skulle beskriva hur eleverna påverkades av att använda olika uttrycksformer i matematikundervisningen i samband med tal i bråkform. Denna studie var begränsad till fem intervjuer och matematiklärarna som jag intervjuade arbetar för elever i årskurs 4-6. Jag har strävat efter att skapa intervjufrågor som var relevanta till mina forskningsfrågor, men också tydliga och bra strukturerade. Den första intervjun som genomfördes fungerade som en pilotstudie. Pilotstudien gjordes för att undersöka om lärarens svar på frågorna besvarade min studies frågeställningar. Då jag upplevde att jag fick tydliga svar på intervjufrågorna och att svaren besvarade frågeställningarna, bestämde jag att inkludera denna intervju i mitt examensarbete. Efter pilotstudien formulerade jag några intervjufrågor om, till exempel jag lade till ord som “på vilket sätt” och “hur” för att intervjufrågorna skulle vara öppna. Detta innebar dock inte någon innehållsmässig förändring, och därmed kan informantresponsen i pilotstudien jämställas med de övriga intervjuerna. Att använda sig av semistrukturerad intervju som metod har varit fungerande för att uppnå studiens syfte då metodvalet besvarade studiens frågeställningar. Alvehus (2019) menar att informanterna får större frihet att föra fram sina åsikter i en semistrukturerad intervju, därför att intervjufrågorna är öppna. Semistrukturerad intervju som metod har gett mig möjlighet att jämföra informanternas olika svar på samma frågor. En nackdel med att använda kvalitativ forskningsmetod är att den bygger på subjektiva åsikter och upplevelser och enligt Fekjær (2016) kan det vara svårt att generalisera resultaten. Då intervjuerna som genomfördes var få. För att höja studiens kvalitet, det vill säga validitet, behövs mer data för att kunna generalisera studiens resultat (Brinkkjær & Høyen, 2013). I stället för att endast intervjua fem matematiklärare kunde jag ha intervjuat också eleverna, vad de anser om uttrycksformer och hur de använder uttrycksformer i matematikundervisningen.

35

9. Referenser

Abtahi, Y. (2018). Pupils, Tools and the Zone of Proximal Development. Research in

Mathematics Education, 20(1), 1–13.

Ainsworth, S. (2006). DeFT: A conceptual framework for considering learning with multiple representations. Learning & Instruction, 16(3), 183–198.

Akman, E., & Çakır, R. (2019). Pupils’ Opinions on an Educational Virtual Reality Game in Terms of Flow Experience. International Journal of Emerging Technologies in

Learning, 14(15), 121–137.

Alvehus, J. (2019). Skriva uppsats med kvalitativ metod: en handbok. (Upplaga 2). Stockholm: Liber

Björklund Boistrup, L. (2010). Assessment discourses in mathematics classrooms: a

multimodal social semiotic study. Diss. Stockholm : Stockholms universitet, 2010.

Stockholm.

Braun, V., & Clarke, V. (2006). Using thematic analysis in psychology. Qualitative

Research in Psychology, 3(2), 77-101.

Brinkkjaer, U. & Høyen, M. (2013). Vetenskapsteori för lärarstudenter. Lund: Studentlitteratur.

Christoffersen, L. & Johannessen, A. (2015). Forskningsmetoder för lärarstudenter. Lund: Studentlitteratur.

Fekjær, S.B. (2016). Att tolka och förstå statistik. (1. uppl.) Malmö: Gleerup. Friberg, F. (red.) (2006) Dags för uppsats : vägledning för litteraturbaserade