Elevers uppfattningar om likhetstecknets roll

Malmö högskola

Lärarutbildningen Natur Miljö Samhälle

Examensarbete

Elevers uppfattningar om likhetstecknets

roll

Students’ perceptions of the role of the equality sign

Anna Lindwall & Josefin Svensson

Lärarexamen 180 poäng Handledare: Per-Eskil Persson Matematik och lärande

Sammanfattning

I denna uppsats undersöktes elevers förståelse för likhetstecknets olika funktioner. Skälet till att undersökningen gjordes var att det förelåg en misstanke om att elever inte har tillräckligt god förståelse för likhetstecknets strukturella såväl som dess operationella funktioner. I undersökningen användes kvalitativa intervjuer och enkäter och undersökningsgruppen bestod av 79 elever som genomförde enkäten och elva elever som blev intervjuade från skolår nio. Resultatet visade att majoriteten av eleverna har bristande förståelse för de olika roller

likhetstecknet har och hur man använder dem. Likhetstecknet uppfattades av eleverna som en symbol vars uppgift var att visa ett svar.

Nyckelord: algebra, förståelse, grundskolan, likhetstecknet, manipulera, operation, operationell, strukturell

Innehållsförteckning

1 INLEDNING ... 1

2 SYFTE OCH FRÅGESTÄLLNING ... 3

2.1SYFTE... 3

2.2FRÅGESTÄLLNING... 3

3 BAKGRUND ... 4

3.1LIKHETSTECKNET SOM SYMBOL... 4

3.2LIKHETSTECKNET KOPPLAT TILL KURSPLANEN... 4

3.3LIKHETSTECKNET – TALUPPFATTNING... 6

3.4SKOLALGEBRA... 7

3.5SKOLALGEBRA HAR VISAT SIG VARA ETT PROBLEM... 8

3.6ORSAKER TILL ATT SKOLALGEBRA ÄR ETT PROBLEM... 9

4 METOD ... 11 4.1URVAL... 11 4.2DATAINSAMLINGSMETODER... 11 4.3PROCEDUR... 12 4.4TILLFÖRLITLIGHET... 13 5 RESULTAT ... 14 5.1ENKÄTUNDERSÖKNINGEN... 14

5.2RESULTAT FÖR RESPEKTIVE INTERVJUFRÅGA... 17

6 DISKUSSION ... 22

6.1SAMMANFATTNING AV RESULTAT... 22

6.2RESULTATETS TILLFÖRLITLIGHET... 22

6.3ANALYS... 23

6.4SLUTSATS... 27

6.5FÖRSLAG TILL VIDARE FORSKNING... 28

KÄLLFÖRTECKNING ... 29

1 Inledning

Något som vi lagt märke till, dels under vår verksamhets förlagda tid, men även vid de tillfällen då vi vikarierat på olika skolor, är att elever använder likhetstecknet på ett sätt som tyder på att de inte har insikt om dess funktioner. Det vi främst lagt märke till är att vissa elever tenderar att rada upp flera uttryck och likhetstecken till höger om det ursprungliga. Felet eleverna begår är att de uttryck och medföljande likhetstecken som de radar upp till höger inte är likvärdiga med det ursprungliga uttrycket till vänster om det ursprungliga likhetstecknet. Detta sätt att arbeta med likhetstecknet benämner Hedrén (2000)

”kedjeräkning”.

Av elevernas sätt att hantera likhetstecknet drar vi slutsatsen att de enbart tagit fasta på likhetstecknets operationella funktion. Med andra ord ser de likhetstecknet som en uppmaning att utföra en beräkning. Dessa elever tycks sakna insikt om likhetstecknets strukturella

funktion. En bristande förståelse av likhetstecknets båda funktioner kan vara en bidragande orsak till att en del elever upplever svårigheter med matematik eftersom det begränsar deras förmåga att se och förstå samband och likheter.

Under vår utbildning till lärare har problemet med elevers bristande insikt vad gäller likhetstecknet lyfts fram och fångat vårt intresse. Vi upplever dock att det inte fokuserats tillräckligt mycket på detta problem. Med andra ord saknar vi en diskussion kring hur vanligt problemet är hos elever, hur problemet uppkommer, om det överhuvudtaget är ett problem och, om så är fallet, om det finns en lösning och hur den skulle se ut.

Då vi upplever att inte tillräckligt mycket gjorts – dels under vår utbildning, men även ute på skolorna – för att belysa det som vi misstänker kan vara ett hinder för elevers matematiska utveckling, vill vi undersöka hur stort problemet egentligen är för elever som går i skolår nio, och därmed är på väg att lämna grundskolan.

Våra erfarenheter av undervisningen på grundskolan, det vill säga vår egen skoltid och den tid vi spenderat på olika skolor som lärarstudenter eller som vikarier, är att det tas för givet att elever har förståelse för - och därmed insikt om - likhetstecknet. Samtidigt som en bristande insikt om likhetstecknet kan medföra negativa konsekvenser för elevers förståelse av

förståelse för likhetstecknet inte uppmärksammas i tillräckligt stor utsträckning för att vanföreställningar skall upptäckas och därmed kunna åtgärdas.

2 Syfte och frågeställning

2.1 Syfte

Med denna undersökning hoppas vi kunna bidra med att kartlägga och belysa problemet med (vissa) elevers bristande insikt om likhetstecknet. Detta skulle kunna leda till en diskussion kring eventuellla konsekvenser som denna brist kan medföra för deras fortsatta

matematikstudier. Vi tror att resultatet av undersökningen kan vara till stor nytta för oss som blivande lärare då den kan ge oss en uppfattning, det vill säga kunskap om hur stort problemet är och vilka föreställningar som ligger bakom elevers hantering av likhetstecknet.

2.2 Frågeställning

För att kunna undersöka i vilken grad elever har förståelse för likhetstecknets båda funktioner, har vi valt att söka svar på följande fråga:

I vilken utsträckning har en grupp elever i skolår nio insikt om likhetstecknets strukturella funktion?

3 Bakgrund

3.1 Likhetstecknet som symbol

Symboler som används inom matematiken kan ofta uppfattas på två sätt. Det ena sättet är att de anger en operation, alltså, att något – en beräkning – skall utföras. Det andra sättet är att de är symboler som anger eller beskriver en struktur, ett objekt eller en relation som kan råda mellan siffror, tal och uttryck. Dessa sätt att uppfatta symboluttryck och begrepp går under beteckningarna ”operationell” respektive ”strukturell” (Sfard, 1991).

En symbol vars funktioner kan uppfattas både operationellt och strukturellt är likhetstecknet (ibid). I Algebra för alla står att denna symbol (likhetstecknet) introducerades 1557 av

engelsmannen Robert Recorde ”med orden ”bicause noe 2 thynges can be moare equalle” (Emanuelsson et al, s. 24)

Likhetstecknet är en symbol som elever lär sig använda tidigt i skolan. Troligtvis är det den första matematiska symbolen – förutom siffersymbolerna – de lär sig använda tillsammans med additionstecknet, och så småningom med tecknen för de andra tre räknesätten.Trots att elever introduceras till likhetstecknet tidigt i sin skolgång finns det indikationer på att de saknar tillräckligt god insikt om denna matematiska symbol då de lämnar grundskolan (Brekke, Grönmo & Rosén, 2000; m fl).

3.2 Likhetstecknet kopplat till kursplanen

Med rätt argument går det att koppla vikten av en god insikt om likhetstecknet till alla uppnående- och strävansmål som skolverket har stipulerat. Vi väljer här att fokusera på de mål som vi anser direkt påverkas av elevers förståelse för likhetstecknet.

Mål som eleverna skall ha uppnått i slutet av det nionde skolåret

Eleven skall ha förvärvat sådana kunskaper i matematik som behövs för att kunna beskriva och hantera situationer samt lösa problem som vanligen förekommer i hem och samhälle och som behövs som grund för fortsatt utbildning (skolverket 2000).

Inom denna ram skall eleven

- ha utvecklat sin taluppfattning till att omfatta hela tal och rationella tal i bråk- och decimalform,

För att elever skall ha förståelse för att ett tal kan uttryckas på olika sätt, krävs att de uppfattar likhetstecknets strukturella funktion. Exempelvis måste elever förstå att ½ = 0,5 visar ett föråhållande mellan två tal, och inte endast att 1 dividerat med 2 ”blir” 0,5.

- kunna tolka enkla formler, lösa enkla ekvationer samt kunna tolka och använda grafer till funktioner som beskriver verkliga förhållanden och händelser.¨

För att kunna hantera dessa moment är det avgörande att elever har insikt om likhetstecknets strukturella funktion för att de skall kunna tolka och manipulera uttryck. Med andra ord krävs det exempelvis av eleverna att de kan tolka olika uttryck som likvärdiga.

Skolan skall i sin undervisning i matematik sträva efter att eleven - inser värdet av och använder matematikens uttrycksformer,

utvecklar sin förmåga att formulera, gestalta och lösa problem med hjälp av matematik, samt tolka, jämföra och värdera lösningarna i förhållande till den ursprungliga

problemsituationen,

Att ha insikt om likhetstecknets strukturella funktion kan tolkas som en omformulering av ”inser värdet av och använder matematikens uttrycksformer”, och visar därmed att kravet på en insikt om likhetstecknets båda funktioner är inskrivit i målen för grundskolan. Vidare krävs det en god insikt om likhetstecknets båda funktioner för att elever skall kunna ”formulera, gestalta, … lösa problem … tolka, jämföra och värdera lösningar i förhållande till den ursprungliga problemsituationen”

Strävan skall också vara att eleven utvecklar sin tal- och rumsuppfattning samt sin förmåga att förstå och använda

- grundläggande algebraiska begrepp, uttryck, formler, ekvationer och olikheter, - egenskaper hos några olika funktioner och motsvarande grafer,

Dessa strävansmålen är direkt kopplade till insikten om likhetstecknets båda funktioner, då de handlar om att förstå och använda matematiska begrepp som är starkt kopplade till

likhetstecknet.

3.3 Likhetstecknet – taluppfattning

För att elever skall klara av de krav som ställs på dem i samhället är det enligt Hedrén (2000) av stor vikt att de har en god ”taluppfattning”. Dessutom krävs det redan i läroplanen för skolår 5 att eleverna har ”en grundläggande taluppfattning som omfattar naturliga tal och enkla tal i bråk- och decimalform” (Lpo 94). Några punkter som Hedrén anser tillhöra en god taluppfattning är bland annat elevers förmåga att uppfatta tal som ”sammansatta av olika delar, t.ex. talet 7 som bestående av 4 och 3”. Han beskriver hur ”yngre elever beräknar ofta additionen 48 + 7 som 48 + 2 + 5 = 50 + 5” (s. 138). Även förstålelse för positionssystemet är en del av en god taluppfattning och bygger enligt Hedrén, på att kunna uppfatta hur talen är uppbyggda, det vill säga, vilka deras beståndsdelar är. Ytterligare ett kriterium för god

taluppfattning är ”[k]ännedom om och förmåga att utnyttja tals delbarhet”. Detta är något som han även kopplar till ”[f]örståelsen för och användning av räknelagarna” (s. 139).

Det Hedrén (2000) beskriver är att elever, för att de skall anses ha en god taluppfattning, måste kunna uppfatta tal och uttryck som olika men likvärdiga strukturer. För att kunna jobba med dessa begrepp – tal, uttryck och likvärdighet – måste elever ha en god insikt om

likhetstecknets strukturella funktion såväl som dess operationella (Sfard, 1991).

En iakttagelse som kan göras i detta sammanhang, är att Hedréns beskrivning av det som ligger till grund för en god taluppfattning kan liknas vid prealgebraiska övningar, som i sin tur ofta ligger till grund för undervisningen i skolalgebra.

3.4 Skolalgebra

Enligt Usiskin (1988) är begreppet algebra svårdefinierat, då den algebran som undervisas i (grund)skolor skiljer sig från den algebran som lärs ut vid universitet och högskolor. För att kunna särskilja skolalgebran har Usiskin kommit fram till följande fyra områden som innefattar – definierar – skolalgebra:

1. Problemlösningsverktyg 2. Generaliserad artimetik 3. Studium av relationer 4. Studium av strukturer

Enligt Persson, & Wennström (2005) kan (de olika delarna i) skolalgebran struktureras genom att använda sig av de tre faserna som ingår i den algebraiska cykeln. Dessa tre faser är:

1. Översättning (till ett uttryck) 2. Omskrivning (av symboluttryck) 3. Tolkning (av ett symboluttryck)

Denna cykel med dess tre faser går att finna i alla fyra aspekter av algebran. Exemplet nedan, som är taget ur Algebra för alla (Emmanuelson et al, 2002) belyser på ett bra sätt hur algebran kan användas som problemlösningsverktyg, och illustrerar hur de tre faserna i den

algebraiska cykeln är beroende av varandra. Exemplet visar bland annat nödvändigheten av att förstå och behärska de tre faserna för att kunna utnyttja algebran som det verktyg det är. I beskrivningen av exemplet kommer även vikten av en god insikt om likhetstecknet att framgå.

Exempel 5

Sven: Ge mig åtta kronor, så har vi sen lika mycket!

Åsa: Om du istället ger mig åtta kronor, så kommer jag sen att ha dubbelt så mycket som du. Hur mycket hade egentligen Åsa och Sven?

Vid ingången av den algebraiska cykeln ställs eleverna inför en händelse. Enligt exemplet är det alltså problemets formulering i texten som är händelsen. Eleverna skall då översätta händelsen till ett algebraiskt uttryck. Därefter måste de göra en viss omskrivning. Denna omskrivning leder till ett nytt algebraiskt uttryck. Eleven måste sedan tolka det nya algebraiska uttrycket och kunna förstå och beskriva den händelse som detta uttryck representerar. Därmed har en hel cykel fullbordats.

Om elever inte uppfattar likhetstecknets strukturella funktion kommer de att få problem redan i fas ett, då de skall översätta texten till ett algebraiskt uttryck. De måste kunna förstå likhetstecknets strukturella funktion för att kunna representera två uttryck som inte ser likadana ut, men som ändå skall antas ha samma värde (jfr ovan, där Hedréns resonemang leder till behovet av att elever ser likvärdigheter i olika strukturer). I fas två då de skall lösa ekvationer stöter de på nästa svårighet, nämligen att omskriva. Omskrivningen kräver en god insikt om likhetstecknets strukturella funktion, då omskrivningen ofta kräver en manipulation av uttryckets delar i förhållande till likhetstecknet. I fas tre som kräver att eleverna tolkar svaret, är likhetstecknet också avgörande då eleverna måste läsa av vad uttrycken betyder eller visar, alltså den ekvivalens som likhetstecknet beskriver.

Kieran (2004) beskriver något som liknar dessa tre faser för ”algebraic activity”. Enligt henne består ”algebraic activity” av följande:

- generational [genererande] – att teckna uttryck och ekvationer - transformational [transformerande] – manipulering av uttryck

- global/meta-leve [global/meta nivå] – användning av matematik [algebra] som verktyg

3.5 Skolalgebra har visat sig vara ett problem

Enligt Kieran (2004) har forskningsstudier på 1970 och 1980 talet visat att elever som

påbörjar sina algebrastudier har svårigheter med genererande och transformerande aktiviteter. Skälet hon anger är att elevernas aritmetikundervisning oftast är svarsorienterad och inte inriktad på processer och relationer. En undersökning som Kieran (1988) genomfört ger exempel på hur en svarsorienterad aritmetikundervisning kan resultera i att elever tänker på

ett speciellt sätt. Detta sätt beskriver hon som aritmetiskt, och kännetecknas av att eleverna är fokuserade på räkneoperationerna av uttryck, och inte ser till strukturer och förhållanden. Det sätt som då skulle vara inriktat på strukturer och förhållanden (processer och relationer) är det som hon beskriver som algebraiskt. De elever som deltog i denna undersökning, och visade prov på algebraiskt tänkande, fokuserade på inverserna av räkneoperationerna på motsatta sida likhetstecknet.

Förutom Kieran (1988, 2004) har även andra forskare (Knuth, Stephens, McNeil & Albali, 2006) kommit fram till att elever saknar insikten om likhetstecknets strukturella funktion, och är i huvudsak fokuserade på dess operationella funktion.

Vidare, har en norsk kartläggning (Brekke, Grönmo & Rosén, 2000) av elevers förståelse för algebra och deras kunskapsutveckling inom området bland annat visat att många elever saknar insikt om likhetstecknets båda funktioner. En slutsats som dessa forskare drog var att denna bristande insikt kunde vara en av orsakerna till att många elever har svårigheter med algebra.

Flera forskare (Knuth, Stephens, McNeil & Alibali, 2006; Freeman & Lee, 2004) är eniga om att en god förståelse för och insikt om likhetstecknets båda funktioner är avgörande för elevers förståelse- och kunskapsutveckling inom algebra. En anledning till detta kan vara att ekvationer spelar en central roll inom matematiken och dess användningsområden (Bernard & Cohen, 1988), och i det sammanhanget har likhetstecknet en viktig funktion. Detta är kanske ett skäl till att en del forskare (Persson & Wennström, 2005; Stacey et al, 2004; Freeman & Lee, 2004) anser att en god förståelse för, och behärskning av algebra är avgörande för att elever skall lyckas med sina fortsatta studier inom matematik. Andra forskare går så långt som att hänvisa till påståendet att ”algebra plays [the role] as a gatekeeper to future educational and employment opportunities” (Knuth, Stephens, McNeil & Alibali, 2006, s. 297)

har gett indikationer på att elever generellt sett endast uppfattar likhetstecknets operationella funktioner. En förklaring kan enligt Kieran (2005) vara att aritmetik undervisningen i

grundskolan oftast är inriktad på att hitta ett svar, och att fokus inte ligger på att (studera) ”representationer av processer eller relationer” (Stacey et al s. 26). I detta sammanhang är ”processer” och ”relationer” aspekter av matematik som är tätt förknippade med den strukturella uppfattningen och förståelsen av likhetstecknet.

Sfard (1991), argumenterar för att avsaknaden av en strukturell uppfattning kan hindra fortsatt kunskapsutveckling. Enligt henne krävs, att det som till synes är en operation även – så småningom – uppfattas som en struktur. Det är alltså inte förrän insikten om att en operation även kan uppfattas strukturellt, som kunskaper kan vidareutvecklas (ibid.). Hon sammanfattar med att föreslå att förmågan till strukturell uppfattning är det som ligger till grund för det som Skemp (1976) benämner relationell förståelse.

Relationell förståelse är benämning på den förståelse som en individ har då han/hon är mycket väl förtrogen med ett (matematiskt) problem och dess lösning i en given situation. En elev har en relationell förståelse då han/hon både vet vilken regel som gäller och varför. Motsatsen till relationell förståelse är instrumentell förståelse. Denna förståelse kan beskrivas som en förståelse för att en viss regel skall tillämpas, men inte varför (Skemp, 1976).

Emanuelsson et al (2002) beskriver övergången från operationell uppfattning till strukturell uppfattning som en ”perspektivförskjutning” (s. 18). Perspektivförskjutningen ligger i att gå från ett aritmetiskt till ett algebraiskt tänkande. Brown (2004) förklarar skillnaden med att aritmetiskt tänkande (som vi tolkar vara detsamma som ”before algebra”) och algebraiskt tänkande är att i den förstnämnda agerar vi på tecknen, medan vi i den andra agerar på och med tecknen (s. 43).

4 Metod

4.1 Urval

Vi valde att genomföra undersökningen på två olika skolor, i två olika kommuner. I de fem berörda matematikgrupperna finns det sammanlagt 79 elever. Samtliga tilldelades ett informationspapper (bilaga A) där föräldrarna skulle ge sitt godkännande till att deras barn intervjuades. Av de 79 elever som genomförde vår enkätundersökning (bilaga B) intervjuades 11 stycken. Anledningen till att endast elva elever intervjuades var för att de var de elever som var villiga att ställa upp och som hade med sig lappar från sina föräldrar. Anledningen till att vi valde skolår 9 var för att undersöka om de uppfyller målen som stipuleras i kursplanen för matematik då de lämnar grundskolan (Lpo 94). Det faktum att en av matematikklasserna gjorde sin prao under den vi genomförde intervjuerna begränsade antalet elevintervjuer ytterligare. Eftersom vi inte i förväg bestämt oss för att göra ett givet antal intervjuer, räknar vi inte med något externt bortfall (Patel & Davidsson, 2003) Vi har inte tagit hänsyn till eventuella sociala skillnader skolorna emellan och valet av kön på de elever som blev

intervjuade är något som vi har valt att inte fokusera på, då det är faktorer som ej kommer att beröras i detta arbete.

4.2 Datainsamlingsmetoder

I vår undersökning har vi kombinerat en mindre enkätundersökning med kvalitativa

intervjuer. Enkäten, som vi har valt att kalla undersökning 1, består av sju stycken uppgifter av algebraisk natur, varav uppgifterna 4 – 7 har lånats från Brekke (2005), (se bilaga B). Del 2 av vår undersökning består av kvalitativa intervjuer. Det innebär att vi använde oss av friare formulerade frågor (se bilaga C) som under intervjuns gång kunde varieras på olika sätt

man medvetet eller omedvetet styr valet av elever så att det ska passa ens syfte. Trots detta valde vi ändå att låta eleverna genomföra en enkät först för att bredda vårt

undersökningsunderlag, så att det även skulle komma att bestå av elevers olika matematiska lösningar. Det visade sig inte föreligga någon risk för att vi styrdes i vårt urval av elever inför intervjuerna, då vårt urval var begränsat till de elever som gav sitt medgivande till att bli intervjuade.

4.3 Procedur

Vi kontaktade lärare på respektive skola för att få hjälp att genomföra vår undersökning med elever i skolår 9. Del ett av vår undersökning bestod i att vi kom ut på skolorna och

presenterade vår enkät som de ombads att genomföra. Detta var något som alla elever gick med på att göra. Vid samma tillfälle tilldelades eleverna ett introduktionsbrev där deras föräldrar kunde ge sitt godkännande till att deras barn intervjuas. De ombads att ta med brevet hem till sina föräldrar för påsyn och underskrift. Insamlingen sköttes delvis av deras lärare och delvis av oss när vi kom ut för att genomföra våra intervjuer. Intervjuerna genomfördes i ett enskilt grupprum på respektive skola. Eleverna fick information om att de skulle, enligt forskningsetiken (Johansson & Svedner, 2001), förbli anonyma i uppsatsen, ha möjlighet att ställa frågor och att resultatet inte skulle vara betygsgrundande.

Vi underströk att vårt intresse låg i hur de tänker och att de inte skulle fokusera på att försöka hitta rätt svar, och att de inte behövde vara rädda för att säga fel. Intervjuerna genomfördes under lektionstid och vi använde oss av en bandspelare för att spela in

intervjuerna. Anledningen till att vi valde att spela in intervjuerna var för att vi senare enkelt skulle kunna lyssna på alla intervjuerna och att vi inte skulle lägga för mycket tid på att anteckna vad varje elev sa. Vi transkriberade samtliga elevintervjuer från band till dokument. Vi deltog båda två på samtliga intervjuer, men skiftade med att leda intervjuerna. Efter intervjuerna förklarade vi för eleverna skillnaden mellan likhetstecknets strukturella och operationella funktion, dock utan att använda begreppen operationell och strukturell.

4.4 Tillförlitlighet

Med tanke på denna uppsats omfattning är vi medvetna om att det kan vara svårt att mäta reliabiliteten och validiteten av våra undersökningar. Vi anser dock att djupintervjuerna har hög trovärdighet eftersom vi mäter vad som är relevant i sammanhanget och vi tror att de resultat vi har fått även gäller på andra skolor i Sverige. Vi anser också att vem som helst hade kunnat genomföra samma intervju och få ett liknande resultat. När det gäller enkäten anser vi dock att det är svårt att avgöra hur hög reliabiliteten och validiteten är. Vi anser att så är fallet eftersom det är svårt att avgöra om elevernas bristfälliga lösningar beror på

uppgifternas svårighetsgrad och utformning, och inte deras bristande förståelse för

likhetstecknet. De lösningar som presenterades av elevern visade även på brister inom andra områden än förståelsen för likhetstecknet.

5 Resultat

I detta kapitel presenterar vi resultatet från vår enkätundersökning och resultatet från våra elevintervjuer. Resultatet från enkäterna kommer att presenteras i kategorier beroende på hur eleverna har svarat och resultatet från intervjuerna kommer att presenteras punktvis där varje intervjufråga behandlas separat.

5.1 Enkätundersökningen

Enkäten bestod av sju uppgifter (Bilaga B). De två första uppgifterna var uträkningar där vi hade lämnat två luckor i högerledet och två luckor vänsterledet där eleverna kunde fylla i vilka tal de ville för att få uppgifterna att stämma. Eleverna uttryckte överlag att de tyckte att dessa två uppgifter var svåra att lösa. Vi visade ett exempel på hur man kan lösa en liknande uppgift på tavlan för att de skulle förstå principen. Uppgift 3 var en ekvation med x i båda leden vilket också upplevdes som svårt av eleverna.

Uppgift 1: 15 + _ - _ = 19 - _ + _

Uppgift 2: _ - 6 - _ = _ + 10 + _

Vi har valt att kategorisera elevernas svar på de tre första uppgifterna i tre olika kategorier.

Inget/fel lösning Bristfällig lösning Gissad lösning Korrekt lösning

Uppgift 1 & 2 1% 46% _______ 53%

Uppgift 3 57% _______ 16% 27%

Nästan alla elever besvarade uppgift ett och två. Endast 1% av alla elever som genomförde enkäten svarade inte på dessa två uppgifter. Anledningen till att vi sammanfört resultaten på dessa uppgifter är att de elever som löst uppgift ett på ett visst sätt, har även löst uppgift två på samma sätt. 46% uppvisade en bristfällig lösning på båda uppgifterna. De har fyllt i de tomma raderna med siffror och tal som inte leder till någon likhet mellan de två leden i uppgifterna.

En variant av en bristfällig lösning är att elever har fyllt i de tomma raderna med

slumpmässigt valda siffror och tal. En andra variant av en bristfällig lösning är att eleverna har beräknat vänsterledet till det värde som den första termen i högerledet utgör. I uppgift ett innebär det att eleverna har fyllt de tomma raderna i vänsterledet så att en uträkning av

vänsterledet resulterar i talet 19. En annan vanlig bristfällig lösning är när eleven har räknat ut vänsterledet till nitton och högerledet har de fått till femton.

I uppgift två har samma elever beräknat vänsterledet och fyllt i resultatet i den första tomma raden i högerledet(se elevexempel under rubrik 6.3).

57 % av eleverna besvarade inte uppgift 3, alltså var det mindre än hälften som försökte lösa uppgiften. Eleverna uttryckt även här att de upplevde denna uppgift som svår. 16 % av

eleverna provade sig fram till en lösning. Att de använde sig av detta tillvägagångssätt framgick av deras medföljande förklaringar.

27 % av eleverna löste ekvationen genom att manipulera uttrycken på ett korrekt sätt och därmed komma fram till vilket värde som x skulle anta.

Uppgifterna 4-7 var flervalsfrågor där eleverna skulle ta ställning till ett algebraiskt påstående och kryssa i ett av tre svarsalternativ. De tre svarsalternativen var: detta är alltid sant, detta är aldrig sant eller detta kan vara sant (se bilaga B). Här har vi valt att inte kategorisera elevernas svar eftersom vi inte funnit det vara möjligt. De flesta eleverna hade överhuvudtaget inte besvarat uppgifterna 4 – 7. Av de som kryssat i ett alternativ hade de flesta inte gett någon förklaring till sitt val. Flera av de elever som både hade valt ett alternativ och angett en förklaring visade brister inom andra områden än förståelse för likhetstecknet.

5.2 Resultat för respektive intervjufråga

Följande frågor ställdes till eleverna med den enda skillnaden att olika elever fick olika följdfrågor beroende på hur de besvarade våra frågor. Då deras svar inte skiljde sig markant från varandra fick alla elever i princip samma frågor.

• Vad betyder likhetstecknet för dig?/Hur använder du likhetstecknet?

Majoriteten av eleverna ger uttryck för att likhetstecknet är en symbol vars uppgift är att avsluta en beräkning och föregå ett svar.

Följande citat är hämtade från samtliga deltagare då de besvarade frågan om vad

likhetstecknet betyder för dem, alternativt hur de använder likhetstecknet, då de inte förstod vår första fråga:

Xi – ”I slutet, som liksom slutet på ett tal, för att eh … visa vad summan blir på allting.”

Zeb – ” …det är kopplingen mellan en formel och ett svar”

Bertil – ”… att det ska vara lika på båda sidorna så att det kan vara en uträkning på vänstra så ska svaret vara lika mycket på högra eller nåt sånt där …”

Cecilia – ”…för det mesta är det väl ett svar .. alltså betyder eller vad ett svar blir eller vad ett svar innebär…”

David – ”…i slutet .. när jag ska räkna ut svaret.”

Ellen – ”…för att få ett svar på en fråga.”

Greta – ” …vad summan av två tal blir.”

Hussein – ” …det är vilket det blir alltså .. eller när man räknar ihop dom talen .. så lika med är vilket det blir när man räknar .. jag tror det.”

Ines – ”…innan svaret använder jag det.”

Trots att alla elever gav det entydiga intrycket av att uppfatta likhetstecknets operationella funktion, var det två elever, Bertil och Xi, som berörde vikten av att det skulle vara samma värde på båda sidor om likhetstecknet. Bertils beskrivning var att ”en uträkning på vänstra så ska svaret vara lika mycket på högra eller nåt sån där .. för att det måste väga jämt” (vår understrykning). Xi nämnde det i samband med ekvationer. Alltså ”ekvationer och sånt, … ha lika mycket på andra sidan…”.

• Hur använder du likhetstecknet?/Tror du att det har någon betydelse hur du använder det?

På denna fråga svarar samtliga elever att de använder likhetstecknet för att få fram svaret eller i slutet på en uträkning för att visa vad summan blir. Merparten av eleverna tyckte inte att det hade så stor betydelse hur de använde likhetstecknet. Enligt dem fanns likhetstecknet där bara för att visa och avskilja svaret.

Zeb – ” Otroligt stor betydelse. Det … är… det har… gjort väldigt mycket nytta och förenklar matematiken väldigt mycket för många människor runt om i världen … och det gör att folk kan förstå varandra… det hade varit inte så jätte roligt om man hade bara skrivit svaren och bara skrivit en siffra efteråt då skulle det blivit plus tjugotre … det hade inte varit jätte roligt eh … det hade blivit ett helt annat svar … eh… å att det hjälper och det skiljer saker

Intervjuare – ” Så du ser likhetstecknet som ett skiljetecken?”

Zeb – ” Ja, ett … ett skiljetecken … det är nog bra att säga, det är en väldigt bra beskrivning.

Ines – ” Innan svaret använder jag det”.

Intervjuare – ” Ok … du använder likhetstecknet innan du skriver svaret”? Ines – ” Ja.”

Intervjuare – ” Ok … ähm tror du att det har någon betydelse hur du använder det?” Ines – ” Jag tror det … man måste ju göra det för att veta svaret.”

Bertil – ” Jag använder nog det fel för att man ska ju .. om man har ett tal så ska ju .. man ska ju sluta uträkningen där men ibland så fortsätter jag det där så…

Intervjuare – ” Kan du visa ett exempel?

Bertil – ” Nä men om man sätter x+1=2 då så sen så kanske man delar med 2 är lika med 1 då alltså jag fortsätter uträkningen … en lång rad där istället för att avsluta den när man egentligen ska avsluta den. Intervjuare – ”Mm ok, och varför är det fel?

Bertil – ” Därför att då blir ju det inte jämnt på … på båda sidorna av likhetstecknet.

Intervjuare – ” Mm … just det. Tror du att det har någon betydelse hur du använder likhetstecknet? Bertil – ” Äh, jag vet inte riktigt … jag gör … eh … egentligen som jag vill där med det.

• Har du fått likhetstecknet förklarat för dig?/Har du någon gång fått det påpekat att du har använt det fel?

Av de elva eleverna som intervjuades var det fem som hade minne av att de på något sätt deltagit i en diskussion , eller blivit undervisad i likhetstecknets funktion. En av dessa elever var Bertil.

Bertil – ” Ja att det måste väga jämnt och ahh.” Intervjuare – ” Och det kändes relevant liksom?” Bertil – ”Jaa.”

Intervjuare – ” Mm.”

Intervjuare – ” Tänkte att har du några funderingar på varför det är så viktigt att … varför lärarna påpekar detta?”

Bertil – ” Nej egentligen har jag ingen aning varför det är så att … varför det ska väga jämnt eller sådär utan det är mer som dom säger att det Ska vara så.”

Zeb – ”Det har jag faktiskt, eh … när, när man var mindre så var det .. så kunde man göra det här misstaget till exempel, eller att man gjorde ett sånt här misstag, ett plus två lika med tre eh .. och så tog man direkt efter det var tre lika med tre plus fem. Sånt misstag gjorde jag när jag var lite mindre .. men det har jag lärt mig nu, att eh .. det är ju som sagt fel, för så skall man ju inte göra för då blir det något helt annat .. ehm .. så, javisst, jag tror att alla människor i hela världen har gjort fel med likhetstecknet någon gång .. eh .. det är inte världens enklaste tecken om man väl tänker efter .. utan .. det har lika stor betydelse som alla andra, andra siffror och allting .. parenteser .. och, en parantes kan skilja väldigt

Även Zeb tillstod att han fått likhetstecknet förklarat för sig. På vår fråga om han har fått likhetstecknet förklarat för sig i samband med ekvationslösning svarade han jakande och fortsatte med att berätta att ”lärarna på den här skolan varit ytterst duktiga”. Ellen som också bekräftade att hon deltagit i någon diskussion om likhetstecknet, sa att hon gjort det på lågstadiet. Ett svar som liknar Ellens var det som David gav, nämligen:

David – ” ”första gången man läste matte så sa dom att det skulle vara .. där i slutet .. av talet”.

Sex elever svarade att de aldrig har fått någon undervisning om likhetstecknet och dess funktion.

• Använder du likhetstecknet i andra sammanhang?/När?

Zeb – eh … det kan man göra rätt mycket, man kan använda det inom eh … till exempel NO, om man har två stycken eh . syror till exempel slå ihop dom så kanske det blir en ny, då har man ju ett likamed tecken för att det skall visa att två saker tillsammans eller fler saker tillsammans blir någonting.. så att det blir ett skiljetecken … eh … och det hjälper.

Bertil –” Ja, ehh när vi har glosor till exempel … så har vi kanske en franskglosa så skriver jag är lika med … ja det svenska ordet då … så är det oftast.”

David – ”Nej .. ja .. ifall man skriver snabbt på datan så att svaret .. vänta lite så ska jag bara tänka … ehm, ifall man frågar istälet för att säga frågetecken så skriver man är lika med .. ja ..”

Intervjuare – ”Vad förväntar du dig .. alltså .. nu fattar jag inte riktigt .. ’skratt’. Alltså vad förväntar du dig när du skrivit likhetstecknet?”

David – ”Ett svar .. å en fråga typ om ja .. någon ska träna idag .. så sätter man är lika med efter för då blir svaret där”.

Här svarade sju elever att de har använt eller använder likhetstecknet i andra sammanhang än inom matematiken. Tre av svaren var antingen att de använde tecknet som smiley vid

chattning eller i berättelser och vid översättning av glosor. De andra sa att de använde det inom de naturorienterade ämnena eller när de skriftligt besvarade en fråga.

På denna fråga svarade alla eleverna att meningen med likhetstecknet är att visa svaret eller att det ska visa när uträkningen tar slut. En elev benämner det som ett skiljetecken och en annan som svaret på en fråga.

Cecilia – ”Vet faktiskt inte.”

Intervjuare – ” Jag tänkte … varför har vi det?”

Cecilia – ” Hm i matten är det för att … hm … avskilja ett svar … hm … tror jag.”

Greta – ’skarttar’, ”för att veta vilken summa det blir”

Zeb – ”Alltså, man hade kunnat ha någonting annat där .. om .. om .. man hade hittat på någonting innan man hittade på likamedtecknet … nu gjorde man inte det, och nu var likamedtecknet .. alltså liksom, kända .. tecken för att slå ihop en formel slash ekvation med ett svar, hade vi, vi hade till exempel hade någon valt att ha ett plus där istället, eh .. innan någon starta likamedtecknet så hade det gått, det hade varit, en då hade man fått ha ett annat tecken för plus.”

Intervjuare – ”Mm, du menar bara, bara att det hade haft samma innebörd? Zeb – ”Ja.”

Intervjuare – ”Ja, ok mm, ja då förstår jag vad du menar.”

Zeb – ” Mmm .. eh .. än en gång, skiljetecken är det ju, och sen är .. eh .. tecken som man slår ihop eh … ja, ekvationer eh … och till ett svar.”

Alla eleverna gav liknande svar som antydde att de fokuserar på den operationella funktionen av likhetstecknet. Ingen av eleverna påtalade att det skulle vara lika på bägge sidor.

6 Diskussion

6.1 Sammanfattning av resultat

Då vi påbörjade detta examensarbete hade vi föreställningen att elever generellt sett inte har insikt om likhetstecknets strukturella funktion, utan endast om dess operationella. Vid genomgång av forskningslitteratur inför detta arbete förstärktes vår föreställning, då det visade sig att undersökningar genomförda av forskare (Kieran 1988, 1991, Brekke 2005; m fl.) pekade mot att elever har bristande förståelse för likhetstecknet.

Den undersökning som vi genomförde, och som vi redogör för i detta arbete stödjer det som forskare (Kieran 1988, 1991, Brekke 2005; m fl.) har kommit fram till, nämligen att elever i huvudsak har insikt om likhetstecknets operationella funktion, men inte dess strukturella. De två metoder vi använde oss av i vår undersökning gav liknande resultat. Av enkätsvaren skulle det vara möjligt att dra slutsatsen att en del av eleverna inser likhetstecknets

strukturella såväl som dess operationella funktion. Det som talar emot dessa resultat är

elevernas resonemang som framkommer vid intervjuerna. Resultatet på intervjuerna visade att eleverna i princip enbart såg likhetstecknet som en symbol vars uppgift var att signalera att en operation skulle utföras. Den insikt som eleverna tycks ha, och som skulle kunna misstolkas som en insikt om likhetstecknets strukturella funktion, är att de visste att ”svaret” i högerledet skulle vara lika mycket värt som beräkningen i vänsterledet.

De felsvar som eleverna angav på enkäten var inte explicit relaterade till en bristande förståelse av likhetstecknet. Däremot pekade resultaten av intervjuerna på att elevernas uppfattningar om likhetstecknet var begränsade till dess operationella funktion.

6.2 Resultatets tillförlitlighet

Vi är av den uppfattning att resultaten på vår undersökning har en god tillförlitlighet. Vi har låtit 79 elever från två olika skolor delta i undersökningen. Dessa elever kommer från 5 olika matematikgrupper. Eftersom vi varken styrt urvalet av elever som deltagit i

enkätundersökningen eller intervjuerna, har vi heller inte kunnat påverka underlaget så att det skulle falla ut till vår fördel; det vill säga att det skulle stödja den uppfattningen vi hade då vi påbörjade vårt examensarbete. I efterhand har vi tagit reda på huruvida de olika eleverna anses vara svag- eller starkpresterande i skolämnet matematik. Enligt sina lärare ansågs några av de som vi intervjuade vara duktiga elever. Trots att dessa elever bedömdes vara starka inom skolämnet matematik, återspeglades inte detta i deras förmåga att uppfatta

likhetstecknets jämfört med hur de så kallade svagpresterande eleverna uppfattade likhetstecknet.

6.3 Analys

Vid undersökningstillfället var det många elever som gav uttryck för att de tyckte att uppgifterna ett och två var svåra. Att eleverna tyckte att dessa uppgifter var svåra fick vi bekräftat då vi granskade resultatetn från enkäterna. Resultaten antydde att nästan hälften av eleverna inte förstod hur de skulle lösa uppgifterna ett och två, trots att vi förklarat hur de skulle göra, och visat ett exempel. Vi anser att, trots att eleverna kanske inte sett en liknande uppgift tidigare, är symbolerna – additionstecknet, subtraktionstecknet och likhetstecknet – inte främmande för dem; de borde alltså med hjälp av våra instruktioner och en god förståelse för symbolerna, kunnat lösa uppgifterna på ett tillfredsställande sätt. Eftersom drygt hälften av alla elever lyckats lösa uppgifterna, tolkar vi det som att uppgifterna inte hade en alltför hög svårighetsgrad, och att det skulle vara anledningen till den förhållandevis låga

svarsfrekvensen. Istället drar vi slutsatsen att de elever som inte klarade av att lösa uppgifterna på ett tillfredsställande sätt, är de elever som troligtvis inte uppfattar

likhetstecknets strukturella funktion. Enligt resultaten på enkäterna är det alltså 47 % (46 % har gett bristfälliga lösningar + 1 % har inte löst dessa uppgifter alls) som enligt enkäterna inte tycks ha insikt om likhetstecknets båda funktioner.

Exempel på elevsvar på uppgifterna ett och två som vi ansåg vara bristfälliga kunde se ut på följande sätt:

Eleverna har i dessa fall fokuserat på siffror och operationerna i vänsterledet och skrivit i svaret i den första tomma rutan till höger om likhetstecknet. I det första exemplet på elevsvar har eleven nöjt sig med detta och valt att bortse från det som kommer efter den tomma rutan. Detta sätt att hantera en uppgift som består av två uttryck på vardera sidan om likhetstecknet, påminner om de elevsvar som Bernard & Cohen (1988) erhöll i sin undersökning.

I det andra exemplet tolkar vi det som att eleven anser sig ha kommit fram till ett delsvar som är resultatet av beräkningarna gjorda i vänsterledet, och sedan fortsatt att leta ytterligare ett svar. Eleverna tycks uppfatta den sista siffran längst till höger i uppgiften som det

slutgiltiga svaret. De elever som har löst uppgifterna ett och två på något av dessa sätt tar inte någon hänsyn till att vänsterledet skall vara likvärdigt med högerledet.

De elever som har en korrekt lösning på uppgifterna ett och två har visat att de inser att det skall vara samma värde i vänsterledet som i högerledet. Dessa elever har tillsynes insikt om likhetstecknets strukturella funktion. Dessväre stämmer inte detta med det som framkommer under intervjuerna. Det verkar som om eleverna inser att värdet av det som står på vardera sidan om likhetstecknet skall vara likvärdigt, men våra undersökningar tyder på att de är fast i föreställningen om att det är svaret som står till höger om likhetstecknet. Detta kan jämföras med det som Kieran (1988) kom fram till i sin undersökning, nämligen att eleverna vet att det skall vara samma värde i båda leden, men de ser räkneoperationerna och handlar enligt dem. De ser alltså inte strukturen. Detta tankesätt benämner Kieran som aritmetiskt, emedan det sätt att tänka där de ser till strukturen (processer och relationer) benämner hon som

algebraiskt.

När eleven jobbar algebraiskt skall de, istället för att utföra beräkningar, manipulera uttryck enligt vissa givna regler som i slutändan kanske resulterar i ett nytt uttryck – en ny struktur. Med andra ord är eleverna vana vid att exempelvis summan av 5 och 4 ”är” eller ”blir” 9, alltså 5 + 4 = 9. Det torde då vara ganska uppenbart att elever har svårt att acceptera och förstå vad som menas med x + y då dessa symboer inte har ett definierat värde som kan

adderas. Det närmaste och mest logiska blir då att lägga ihop dem så gott det går, alltså x + y = xy.

57 % av de elever som genomförde enkäten valde att inte svara på uppgift tre. Detta tolkar vi som att de fann det svårt att lösa en ekvation med en okänd variabel i både vänsterledet och högerledet. Detta anser vi vara en tydlig indikation på att eleverna inte har förstått

likhetstecknets strukturella funktion då ekvationen inte var svårare än att de skulle klara av att räkna den i huvudet eller testa sig fram till ett svar. En annan förklaring till den låga

svarsfrekvensen på uppgift tre kan också vara det faktum att elever överlag har svårt för uppgifter/uttryck med okända variabler. Många elever låser sig när de ser uppgifter som liknar vår. Detta kan då gälla uppgifter som har enbart en okänd variabel i ett av leden. Då vår uppgift innehöll en okänd i variabel i både vänsterledet och högerledet kan det förstärka elevens intryck av ekvationen som svår, och därför har de inte ens försökt då de inte tror att de kan lösa den. 16 % av eleverna gissade sig fram till en lösning vilket vi, med tanke på deras skriftliga förklaringar om hur de har gått tillväga, tolkar som att dessa elever har en förståelse för att de ska vara lika på båda sidor om likhetstecknet. De 27 % elever som har löst ekvationen genom att manipulera uttrycken är svåra att dra slutsatser om, då det inte

nödvändigtvis betyder att de har den fulla förståelsen för likhetstecknet utan att de besitter instrumentell förståelse för lösningsmetoden men inte relationell förståelse för ekvationen (Skemp,1976).

Resultaten på uppgifterna fyra till och med sju, som är lånade från den undersökning som Brekke (2005) genomförde, tyder också på att eleverna kan ha en viss insikt om likhetstecknet som symbol för likvärdighet. Det som framkom av de förklaringar som angavs på dessa fyra uppgifter var att eleverna hade stora svårigheter inom andra matematiska områden än

likhetstecknet. Därför har vi valt att inte lägga någon större vikt på dessa uppgifter i detta arbete. Dessutom var det väldigt få elever som valde att skriva en förklaring till hur de kom fram till sitt svarsalternativ vilket också gjorde det svårt att bedöma hur eleverna tänkte. Av de elevsvar som är en respons på frågorna ”Vad betyder likhetstecknet för dig?” och ”Hur använder du likhetstecknet?”, är det endast Cecilia som uttrycker en viss nyansering i vad likhetstecknet innebär eller betyder. Hon säger ” för det mesta är det väl ett svar ”, vilket ju kan tolkas att det även kan vara något annat än ett svar. Vidare säger hon ” …eller vad ett

att ett svar blir något. Annars går det inte att urskilja någon nämnvärd skillnad i svaren hos de intervjuade eleverna.

Resultatet från våra intervjuer visar att eleverna har svårt att med ord beskriva

likhetstecknets funktion. De tolkar överlag likhetstecknets funktion till en symbol som visar att en beräkning ska utföras. Med andra ord har de en instrumentell förståelse (Skemp, 1976), vilket innebär att man lär sig matematiska regler utan ha förståelse för dessa. Vi ser tydligt att eleverna i undersökningen har lärt sig använda likhetstecknet på ett sätt för att komma fram till en lösning. Vi instämmer med Persson & Wennström (2005) och Stacey et al (2004) som anser att detta inte leder till någon djupare förståelse. Vi tror att begreppsförståelse handlar om att se matematiken i ett bredare perspektiv och inte bara knyta det till ett mekaniskt sätt att använda symboler.

En av de mest överraskande resultaten av intervjuerna är intervjun med Zeb. Zeb anses av sina lärare vara en mycket högpresterande och ambitiös elev. Han kommer från en hemmiljö där studier prioriteras och anses vara viktiga. Under intervjun hänvisar han flera gånger till sin mamma som är ”doktor i materialteknik … matte är väl ett av hennes huvudämnen…”, han är också genomgående mycket säker på sig själv då han uttalar sig. Det som vi särskilt

uppmärksammade och tyckte var förvånande var följande uttalande:

Zeb – ”skillnaden, jag ser här är att den här är nog värst (pekar på 1 + 2 = 3 = 3 + 5), för här blir svaret .. en ..en uträkning, och det är som sagt hemskt. Den bara, ..det kanske .. tre blir tre, visst det blir det, men det .. man kan inte använda det så, det blir fel. Enligt min mening i alla fall, sen vet jag ju inte om andra delar det.”

Detta uttalande kommer sig av att vi frågade Zeb om han någonsin fått påtalat att han gjort fel då han använde likhetstecknet. Exemplen som han angav var: 1 + 2 = 3 = 3 och 1 + 2 = 3 = 3 + 5. Förklaringen till att 1 + 2 = 3 = 3 är fel, var enligt Zeb ”..hur jag menar, det är att till exempel man kan skriva om så .. bara ett enkelt ett plus två är lika med tre lika med eh .. tre .. funkar inte. Det där blir bara ett tal .. det blir inte ett till.” Vi uppfattar detta som att det enligt honom endast är en siffra eller ett tal som kan stå till höger om likhetstecknet.

I sitt uttalande angående felet i 1 + 2 = 3 = 3+ 5, är det inte faktum att uttrycken om vardera sidan om likhetstecknen inte är likvärdiga som Zeb anser vara felaktigt, utan det faktum att det är ett uttryck som innehåller en räkneoperation (det är vad vi tolkar att ”tal” innebär för honom) som stör honom.

Vissa av de andra eleverna uttryckte en viss tveksamhet och visade tecken på en osäkerhet kring likhetstecknets funktion, det vill säga att det inte var fullt så okomplicerat som de alltid har trott. En anledning till att vi uppfattade en osäkerhet hos eleverna var att de visade en medvetenhet om att det var möjligt att göra fel med likhetstecknet. De tillstod att de vid något/några tillfällen blivit rättade i sitt sätt att använda likhetstecknet, men de tycktes inte vara helt införstådda med varför. De exempel som de gav för att illustrera situationer som inte accepterats av läraren var sådana där de hade använt sig av ”kedjeräking” (Hedrén, 2000) liknande den som Zeb gav. Elevernas tveksamhet kan bero på att de är osäkra på hur de ska uttrycka sig matematiskt och att de inte är vana att reflektera över sitt eget lärande och den kunskap som de faktiskt besitter.

6.4 Slutsats

Syftet med vårt examensarbete var att undersöka i vilken utsträckning elever i skolår nio har insikt om likhetstecknets båda funktioner, det vill säga likhetstecknets strukturella, såväl som dess operationella funktion. De forskningsresultat som vi tagit del av har allihop pekat mot att elever i huvudsak uppfattar likhetstecknets operationella funktion. Vår enkätundersökning antydde att så även var fallet med de elever som deltog i vår undersökning. För att ta reda på hur det egentligen ligger till, kompletterade vi med djupintervjuer av de elever som var tillgängliga. Resultaten från våra intervjuer visade att eleverna i huvudsak uppfattar likhetstecknets operationella funktion. Då vi anser att våra undersökningar har en hög

tillförlitlighet, drar vi slutsatsen att elever generellt ser likhetstecknets operationella funktion men inte dess strukturella funktion.

Under intervjuerna framkom det att de flesta eleverna inte deltagit i någon form av

diskussion eller undervisning kring hanteringen och tolkningen av likhetstecknet. Detta tror vi är den främsta orsaken till att eleverna inte har utvecklat sin insikt om likhetstecknets

operationella funktion till att även omfatta dess strukturella funktion. Vissa elever insåg visserligen att vänsterledet och högerledet skulle vara likvärdigt, men av den anledningen att

forskningslitteratur som vi har tagit del av anger att elever i huvudsak jobbar med

svarsorienterad matematik under sina tidigare skolår. Av den attityd som eleverna tycks ha, drar vi den slutsats att lärare generellt sett godtar det sätt som eleverna uppfattar

likhetstecknet. Antingen är lärarna inte uppmärksamma på att eleverna inte har förståelse för likhetstecknets strukturella funktion, eller anser de inte att det är tillräckligt viktigt att ha den förståelsen. Ytterligare en orsak kan vara att de inte själva är medvetna om vilka

konsekvenser denna brist kan innebära för deras elevers framtida matematikstudier.

Det tycks inte vara förrän elever blir introducerade till skolalgebra – oftast under den senare delen av grundskolan – som processer och relationer blir en aspekt av deras

matematikundervisning, och då oftast i samband med ekvationslösning.

6.5 Förslag till vidare forskning

Vi anser att resultatet av vår undersökning påvisar att man tar för givet i skolan att eleverna besitter den fulla förståelsen för likhetstecknet som symbol och har förståelse för dess funktioner. Då detta inte tycks vara fallet enligt vår undersökning anser vi att skolorna bör lägga ner tid på att jobba med likhetstecknet som symbol .

Under arbetets gång har vi kommit fram till några förslag till vidare forskning kring likhetstecknets funktioner. Ett förslag är att man kan undersöka om det finns någon undervisningsmetod som gynnar elevens förståelse för likhetstecknet som symbol. Kan laborativt material, diskussionsuppgifter och verklighetsanknuten undervisning främja eleverna i sin matematiska utveckling? Ett annat förslag till forskning är att undersöka hur mycket matematikboken påverkar elevernas uppfattning om hur de kan ha användning för sina kunskaper om likhetstecknet. Vidare skulle det vara intressant att ta reda på vilken syn på elevers uppfattningar om likhetstecknet lärare har ute på skolorna. Är lärare i allmänhet medvetna om vilket hinder en bristande insikt om likhetstecknets strukturella funktion kan innebära för elevers fortsatta kunskapsutveckling? Ytterligare en fråga är huruvida lärare är beredda att utmana elever i deras vanföreställningar, eller låter de missbruk av likhetstecken passera i tron att det ordnar sig självt.

Källförteckning

Bernard, J., Cohen, M. (1988). An Integration of Equation-solving Methods int a

Developmental Learning Sequence. Conceptions of School Algebra and Uses of Variables. In A. Coxford (Ed.) The ideas of algebra, k-12 (1988 Yearbook). Reston, VA: NCTM. 97 - 111

Brekke, G. (2005). School Algebra: Manipulations of Empty Symbols on a Piece of Paper.. In Grevholm, Barbro (red), Proceeding of norma 01 Third Nordic Conference on Mathematics Education (pp. 105 – 112). Linköping: SMDF

Brekke, G., Grönmo L. & Rosén, B. (2000). Veiledning til algebra F, H og J. Nasjonelt laeremiddelsenter. Kartleggning av matematikkforståelse. Oslo. Nasjonalt læremiddelsenter Oslo.

Emanuelsson et al, 2002. Algebra för alla. Nämnaren Tema. Nationelt Centrum för matematik. Göteborg.

Freiman, V. & Lee, L. (2004). Tracking Primary Students’ Understanding of the Equality Sign. Proceedings of the 28th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, 2, 415 - 422

Hedrén, R. (2000). Alternatives to standard algorithms. A study of three pupils during three and a half years. Nordisk matematikkdidaktikk, 8(1), 35 – 64.

Johansson, B. & Svedner, PO. (2001). Examensarbetet i lärarutbildningen. Uppsala: Kunskapsföretaget.

Kieran, C. (1988). Two Different Approaches Among Algebra Learners. Conceptions of School Algebra and Uses of Variables. In A. Coxford (Ed.) The ideas of algebra, k-12 (1988 Yearbook). Reston, VA: NCTM. 91 - 96.

Knut, E., Stephens, A., McNeil, N. & Albali, M. (2006). Does Understanding the Equal Sign Matter? Evidence from Solving Equations. Journal for Research in Mathematics Education, 37(4), 297 – 312.

Persson, P. & Wennström, T. (2005). Algebraic knowledge in upper secondary school. In Grevholm, Barbro (red), Proceeding of norma 01 Third Nordic Conference on Mathematics Education (pp. 195 – 201). Linköping: SMDF

Sfard, A.(1991). On the dual nature of mathematical conceptions: Reflections on processes and objects as different sides of the same coin. Educational Studies in Mathematics, 22, 1 – 36.

Skemp, R. (1976). Relational and instrumental understanding. Mathematics Teaching, Bulletin of the Association of Teachers of Mathematics. 77, 20 – 26.

Skolverket (2000). Grundskolan, Kursplaner och betygskriterier 2000. Skolverket och Fritzes, Västerås

Usiskin, Z. (1988). Conceptions of School Algebra and Uses of Variables. In A. Coxford (Ed.) The ideas of algebra, k-12 (1988 Yearbook). Reston, VA: NCTM. 8 – 19.

Bilagor

Bilaga A

Hej vi är två studenter som just nu skriver vårt examensarbete. Vi läser till lärare

i matematik och engelska för grundskolans senare år. Vi genomför just nu vår

undersökning i så 9. Del ett av undersökningen består av ett antal

matematikuppgifter som eleven ska lösa och del två är personliga intervjuer.

Dessa intervjuer kommer enbart att behandla ämnet matematik och hur eleven

tänker. För att vi ska få genomföra dessa intervjuer behöver vi ett skriftligt

godkännande från elevens förälder. Vi hoppas att ni ska låta oss intervjua era

barn. Om ni har några frågor så går det bra att kontakta oss via mail.

Anna och Josefin

Anna:

Josefin:

Ja ni får lov att intervjua min son/dotter

__________________________________________ Målsmans underskrift

Bilaga B

Undersökning examensarbete HT 06

Lös följande uppgifter. Redovisa dina beräkningar och förklara med ord hur du tänkte.

1. 15+ __− __=19− __+ __

Förklara hur du tänkte

__________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________

_________________

Förklara hur du tänkte __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ _________________ 3. 8x−2=4+6x

Förklara hur du tänkte

__________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________

_________________

Kryssa i rätt alternativ och ge en kort förklaring till hur du kom fram till

svaret.

__________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________

__________________

5. 4+ x=4+ y

Detta är alltid sant Detta är aldrig sant Detta kan vara sant

Förklara hur du kom fram till svaret

__________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________

6. 2a+3=2a−3

Detta är alltid sant Detta är aldrig sant Detta kan vara sant

Förklara hur du kom fram till svaret

__________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________

__________________

7. l+m+n=l+ p +n

Detta är alltid sant Detta är aldrig sant Detta kan vara sant

Förklara hur du kom fram till svaret

__________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ __________________

Bilaga C

• Vad betyder likhetstecknet för dig?/Hur använder du likhetstecknet?

• Hur använder du likhetstecknet?/Tror du att det har någon betydelse hur du använder det?

• Har du fått likhetstecknet förklarat för dig?/Har du någon gång fått det påpekat att du har använt det fel?

• Använder du likhetstecknet i andra sammanhang?/När?