Hur erfar lärare kunskapsskillnaderna hos elever med betyget A och E i matematik på gymnasiet?

Malmö högskola

Fakulteten för lärande och

samhälle

VAL-projektet

Examensarbete

15 högskolepoäng - Grundnivå

Hur erfar lärare kunskapsskillnaderna hos

elever med betyget A och E i matematik

på gymnasiet?

How experience teachers the knowledge gaps among students

with grade A and E in mathematics in upper secondary school?

Robert Korán

Lärarutbildning 90hp Handledare: Ange handledare

Slutseminarium 2013-06-18

Examinator: Anna-Karin Svensson Handledare: Therese Vincenti Malmgren

3

5

Sammanfattning

Examensarbetets övergripande syfte är att utreda på vilka sätt det är kvalitativa kunskapsskillnader mellan elever med höga och låga betyg i grundläggande matematikkurser på gymnasiet och hur lärare mäter kunskapen för att finna denna skillnad. Hur tolkas kunskapsmålen av lärare och hur går man tillväga för att avgöra på vilken nivå en elev befinner sig kunskapsmässigt? Hur gör lärare för att avgöra om alla elever oavsett kunskapsnivå har tillräckliga färdigheter i alla sju förmågorna som anges i ämnesplanen för matematik?

Vid metodvalet vägdes framför allt tidsaspekten in utöver vilken metod som troddes ge bäst bidrag till examensarbetet. Två frågeformulär konstruerades som därefter mejlades till ett antal lärare. Det första frågeformuläret kan sägas vara en surveyundersökning då frågorna är exakt likadant formulerade till alla, men eftersom frågorna är öppna och inga statistiska principer för urvalet använts är formuläret mer åt det kvalitativa hållet. Det första frågeformulärets kärna är hur de olika lärarnas bedömningsunderlag ser ut. En beskrivning av vad som karakteriserar prestationen hos en elev med grundläggande kunskaper i matematik respektive avancerad kunskap efterfrågades också. I det andra frågeformuläret ombads lärarna att för tio olika uppgifter om bråk ange om var och en av dessa är en uppgift på grundläggande nivå eller avancerad nivå, och vilken av de sju förmågorna uppgiften mäter färdigheterna i.

Resultaten från denna undersökning visar att lärare med längre erfarenhet i mindre utsträckning än lärare med kortare erfarenhet utgår från formuleringar i riktlinjerna då man planerar sin undervisning, konstruerar prov samt gör bedömningar och sätter betyg. Sammantaget visar det sig dock att inga lärare oavsett erfarenhet fullt ut hänvisar till kunskapsmålen i sin bedömning. Lärarna uppfyller inte heller riktlinjernas krav om att allsidigt utvärdera varje elevs kunskap. En del lärare visade sig helt strunta i de sju förmågorna då man bedömer de matematiska färdigheterna hos eleverna.

7

Innehållsförteckning

1.2 Syfte och frågeställningar ... 10

1.3 Avgränsningar ... 10

2. Kunskapsbakgrund ... 11

2.1 Den svenska skolans kunskapssyn ... 11

2.2 Betygsystemet ... 12

2.3 Matematiken i gymnasieskolan ... 13

2.4 Vad är goda matematikkunskaper? ... 15

2.5 Provkonstruktion och kunskapsbedömning ... 19

2.6 Nationella provets konstruktion ... 23

2.7 Nationella provet som bedömningsstöd ... 25

2.8 Teoretiskt perspektiv ... 26

3. Metod ... 27

3.1 Metodval ... 27

3.2 Urval ... 27

3.3 Genomförande ... 28

3.4 Bearbetning och analys ... 28

3.5 Forskningsetiska överväganden ... 28

3.6 Tillförlitlighet ... 29

4. Resultat och analys ... 30

4.1 Allmänt ... 30

4.2 Resultat av första frågeformuläret ... 30

4.3 Resultatanalys av första frågeformuläret ... 31

4.4 Resultat av andra frågeformuläret ... 32

4.5 Resultatanalys av andra frågeformuläret ... 33

4.6 Resultatsammanfattning ... 34

5. Slutsats och diskussion ... 35

8

5.2 Resultatdiskussion och slutsatser ... 35

5.3 Pedagogiska implikationer ... 37

5.4 Avslutande reflektioner och förslag till fortsatt forskning ... 38

Källförteckning ... 40

Bilagor ... 41

Bilaga 1: Centralt innehåll för kursen Matematik 1b ... 41

Bilaga 2: Kunskapskrav för kursen Matematik 1b ... 42

Bilaga 3: Första frågeformuläret till lärarna ... 44

9

1. Inledning

1.1 Bakgrund

Betyg och bedömning är ständigt en källa för debatt och läroplaner, betygssystem och lärarutbildningen ändras för att möta den kritik som hela tiden finns närvarande. I och med den senaste gymnasiereformen som började gälla läsåret 2011/12 infördes en ny läroplan för gymnasieskolan, nya examensmål för gymnasieprogrammen och nya kursplaner (Skolverket, 2011). Till detta fogas ett reviderat betygssystem med fem godkända betyg med nya kunskapskrav istället för de tidigare betygen MVG, VG och G. Syftet med fler betygssteg är att man ville synliggöra kunskapsutvecklingen bättre och på så vis öka tydligheten i informationen till elever och vårdnadshavare (SOU 2008/09:66). Kring betygssystemet finns en kunskapssyn som inte är förändrad och kunskapsbegreppet delas liksom tidigare in i ”de fyra F:en” – fakta, förståelse, färdighet och förtrogenhet (Skolverket, 2011). De tidigare öppna betygskriterierna som varje skolenhet hade som uppgift att konkretisera, har med de nya kunskapskraven reviderats. Kunskapskraven är mer preciserade, men ändå formulerade i allmänna ordalag. För varje ämne finns ett syfte formulerat, centralt innehåll beskrivet och avslutningsvis kunskapskrav. De olika delarna är sammanvävda. Ämnesplanen för matematik anger sju förmågor – ofta benämnda Begrepp, Procedur, Problemlösning, Modellering, Resonemang, Kommunikation och Relevans - som alla elever ska behärska för att få godkänt betyg. De sju förmågorna är samma för alla matematikkurser. Läroplanen ställer också krav på att allsidigt utvärdera varje elevs kunskaper och att kunskaper som en elev har tillägnat sig på annat sätt än genom den aktuella undervisningen ska beaktas. Sammantaget innebär styrdokumenten en komplexitet i bedömningsunderlaget som ska utmynna i ett likvärdigt och rättvist betyg. Forskning har visat att annat än enbart kunskap vägdes in vid betygssättningen enligt det gamla betygssystemet (Selghed, 2004). Dagens matematiklärare har striktare skrivningar i riktlinjerna att luta sig mot vid betygssättningen, men också många fler aspekter att väga in, vilket kanske gör det ännu svårare än tidigare att avgöra vilka kunskaps-skillnaderna är hos elever med högsta och lägsta betyg i matematik?

10

1.2 Syfte och frågeställningar

Examensarbetets övergripande syfte är att utreda på vilka sätt lärare erfar kvalitativa kunskapsskillnader mellan elever med höga och låga betyg i grundläggande matematikkurser på gymnasiet och hur lärare mäter kunskapen för att finna denna skillnad. Hur tolkas kunskapsmålen av lärare och hur går man tillväga för att avgöra på vilken nivå en elev befinner sig kunskapsmässigt? Hur gör lärare för att avgöra om alla elever oavsett kunskapsnivå har tillräckliga färdigheter i alla sju förmågorna?

1.3 Avgränsningar

Examensarbetet studerar vilka kunskapsskillnaderna enligt lärare är mellan betyget A och E. Inga jämförelser görs med andra ämnen. Inte heller några mellanliggande betygssteg studeras, utan för att tydliggöra resultaten tas endast extrembetygen bland de godkända betygen med. Inte heller studeras frågan om vad mellanbetygen B och D innebär i förhållande till A och C respektive C och E. För att än mer begränsa stoffet fokuseras på kursen Matematik 1b som läses av samtliga elever på ekonomiprogrammet, estetiska programmet, humanistiska programmet och samhällsvetenskapsprogrammet.

11

2. Kunskapsbakgrund

2.1 Den svenska skolans kunskapssyn

Den svenska skolan har vilat på samma kunskapssyn sedan 1994 då utredningen Skola för

bildning presenterades (Nordgren m fl, 2012). Kunskapsbegreppet delas in i ”de fyra F:en”

(Skolverket, 2011):

 Fakta

 Förståelse

 Färdighet

 Förtrogenhet

Kunskapsformerna anses vara varandras förutsättningar och samspelar med varandra. En balans mellan kunskapsformerna ska eftersträvas i skolarbetet eftersom alla fyra är viktiga för kunskapsbildningen.

Fakta är en teoretisk kvantitativ kunskapsform, det vill säga man har mer eller mindre kunskap beroende på hur mycket fakta man kan. I denna kunskapsform handlar det om rätt eller fel, att kunna eller inte kunna. Förståelse är också en teoretisk kunskapsform, men istället kvalitativ sådan. Man förstår samma fenomen på kvalitativt olika sätt. Fakta och förståelse hänger intimt ihop och är beroende av varandra. Fakta är förståelsens byggstenar. Man kan säga att när fakta får en mening har förståelse uppstått. Färdighet är en praktisk kunskapsform, som kan vara både motorisk och intellektuell. Vi vet hur något ska göras och klarar också av att göra det, till exempel att lösa en ekvation. Förtrogenhet handlar till exempel om bedömningar, vi vet eller ”känner” när något ska göras och vad som ska göras. Ett vanligt begrepp som används för detta är ”tyst kunskap”.

”De fyra F:en” lever kvar även efter skolreformen som började gälla läsåret 2011/12. För gymnasiearbetet finns dock en annan indelning av kunskapsformerna (Skolverket, 2011):

 Fakta och förståelse

 Färdigheter

 Värderingsförmåga och förhållningssätt

Fakta och förståelse handlar i gymnasiearbetet om att kunna redogöra, beskriva, diskutera och uppfatta innebörden i något. Färdigheter handlar om att veta hur något kan göras och kunna

12

utföra det. Den sista punkten omfattar alla fyra kunskapsformer (fakta, förståelse, färdighet och förtrogenhet).

2.2 Betygsystemet

I det betygssystem som började gälla på gymnasiet läsåret 1994/95 gavs betyg i fyra steg - IG = icke godkänt, G = godkänt, VG = väl godkänt och MVG = mycket väl godkänt. Sedan läsåret 2011/12 ges betyg i sex steg från A till F, där A är högsta betyget, E är lägsta godkända betyg och F anger icke godkänt resultat (SOU 2008/09:66). Betygssystemet är alltså inte nytt, utan bygger på samma kunskapssyn som tidigare och det anges fortfarande mål för de olika betygsstegen. I betygssystemet som började gälla läsåret 2011/12 anges kunskapskrav för betygen A, C och E. Däremellan finns betyget B då kunskapskraven för betyget C ska vara uppfyllda och till övervägande del för A. På samma sätt ska för betyget D kunskapskraven för E vara uppfyllda och till övervägande del för C. Den främsta anledningen till den nya betygsskalan är att man ville synliggöra kunskapsutvecklingen bättre och på så vis öka tydligheten i informationen till elever och vårdnadshavare (SOU 2008/09:66). Fler betygssteg innebär dock enligt Selghed (2011) fler gränsdragningsproblem.

Den kunskapssyn som gäller i svenska skolan innebär en skillnad i kunskapskvalitet mellan de olika betygsstegen. Vad kvalitet innebär i detta sammanhang är svårt att få ett klart svar på. Selghed (2011) menar att för betyget E ligger tyngdpunkten på fakta och i andra hand förståelse och analys och för betyget C är förståelsen viktigast medan övriga är mindre framträdande. För betyget A är analysförmågan i fokus tillsammans med fakta och förståelse. För betyget E måste eleven kunna beskriva, exemplifiera och föra enkla resonemang. För betyget C måste eleven kunna förklara, visa på samband och föra utvecklande resonemang. Till sist måste eleven för betyget A kunna förklara, visa på samband, generalisera och föra välutvecklade resonemang. Nordgren (2012) för ett något annorlunda resonemang. Nordgren menar att betyget E inte innebär enkla återgivande av fakta, betyget C förståelse och betyget A analyserande resonemang. Alla betygsnivåer menar han kräver färdigheter inom alla delar. Betygsstegen är inte hierarkiskt ordnade med början på faktakunskap och avslut på förtrogenhet.

I en mycket uppmärksammad studie (Selghed, 2004) intervjuade man 30 lärare i olika ämnen i årskurs nio på grundskolan för att undersöka hur de uppfattade betygssystemet och hur detta skulle tillämpas i kunskapsbedömningen. Alla 30 lärare gav i intervjuerna uttryck för att betyget baserades på elevens kunskaper och färdigheter. Det visade sig dock att nästan

13

alla lärare menade att betyget bestod av även andra saker. Åtta av lärarna sa att elevens sätt att agera i skolarbetet hade betydelse för betyget, det vill säga exempelvis elevens flit och närvaro på lektionerna. En elev som kämpar hårt kan alltså uppnå ett godkänt betyg utan att riktigt nå kunskapskraven på grund av just flit. Sju gav uttryck för att eleven som person spelade roll för betyget, till exempel kunde tysta blyga elever få lägre betyg. Lika många vägde in skolorganisatoriska aspekter, som vilken årskurs eleven gick i och vilket gymnasie-program eleven planerade att välja. Lägre betyg gavs i åttan än i nian för att slippa sänka betyget i nian. Fyra lärare menade att externa krav och förväntningar - såsom krav från politiker, skolledning och föräldrar - spelade roll för betyget. Till sist spelade lärarens egna personliga läggning roll för betyget för fyra lärare, som till exempel att ett IG ger merarbete för läraren och att denne då sätter ett G i betyg för att slippa det. Intervjusvaren blir alltså sammanlagt många fler än de 30 lärare som deltog, vilket visar att nästan ingen endast vägde in elevens kunskaper i betyget.

Med betygen G, VG och MVG upplevde lärare att spännvidden inom de olika betygsstegen var olika stora och även att avståndet mellan betygsstegen var olika långa (Selghed, 2011). Med de nya betygen A-E framställs ofta avståndet mellan de olika stegen som lika stora. Betyget E har fått samma meritvärde som det tidigare betyget G, det vill säga 10. Betyget C har meritvärdet 15, precis som VG, och betyget A har fått samma meritvärde som MVG, alltså 20. Mellanbetygen D och B har fått meritvärdena 12,5 respektive 17,5.

2.3 Matematiken i gymnasieskolan

I läroplanen för gymnasieskolan som gäller för gymnasiet läsåret 2011/12 inleds beskrivningen av matematikämnet med att betona dess historiskt långa betydelse som bildningsämne (Skolverket, 2011). Man menar att matematik ytterst handlar om att upptäcka mönster och formulera samband. Som ämnets syfte anges bland annat att utveckla elevernas förmåga att arbeta matematiskt. Det innefattar att förstå matematikens begrepp och metoder samt att utveckla olika strategier för att kunna lösa matematiska problem. Sju förmågor som undervisningen ska ge eleverna förutsättningar att utveckla anges i matematikämnet (Skolverket, 2011, s 90-91):

1. använda och beskriva innebörden av matematiska begrepp samt samband mellan begreppen. 2. hantera procedurer och lösa uppgifter av standardkaraktär utan och med verktyg.

3. formulera, analysera och lösa matematiska problem samt värdera valda strategier, metoder och resultat.

14

4. tolka en realistisk situation och utforma en matematisk modell samt använda och utvärdera en modells egenskaper och begränsningar.

5. följa, föra och bedöma matematiska resonemang.

6. kommunicera matematiska tankegångar muntligt, skriftligt och i handling.

7. relatera matematiken till dess betydelse och användning inom andra ämnen, i ett yrkesmässigt, samhälleligt och historiskt sammanhang.

Det betyder att även de elever som bedöms ha lägsta godkända betyg ska ha grundläggande färdigheter i alla sju förmågorna. Man brukar ofta namnge förmågorna med ett enda ord i turordning Begrepp, Procedur, Problemlösning, Modellering, Resonemang, Kommunikation och Relevans (Nordgren m fl, 2012). Detta är också benämningen på förmågorna i bedömningsanvisningarna i nationella proven. Dock benämns ibland förmågan Problemlösning istället som Metod.

Matematikämnet är uppdelat i olika kurser 1, 2 och så vidare som bygger på varandra, med ett tillägg av en bokstav a, b eller c. Kursen Matematik 1a läses av samtliga elever på yrkesprogrammen som enda obligatoriska matematikkurs. Matematik 1b läses av samtliga elever på ekonomiprogrammet, estetiska programmet, humanistiska programmet och samhällsvetenskapsprogrammet. För ekonomiprogrammet är Matematik 1b, 2b och 3b obligatoriska matematikkurser, för samhällsprogrammet 1b och 2b samt för estetiska programmet och humanistiska programmet bara Matematik 1b. Elever på naturvetenskapliga programmet och teknikprogrammet läser Matematik 1c, 2c och 3c som obligatoriska matematikkurser. Möjlighet finns att läsa Matematik 4 och Matematik 5. De sju förmågorna som anges för matematikämnet är desamma för samtliga matematikkurser.

Till varje kurs anges ett centralt innehåll. Detta är olika för de olika kurserna och kursplanerna anger inte att vissa delar är viktigare än andra, hur mycket tid som ska ägnas åt varje del i centrala innehållet eller hur djupt man ska gå in på varje del. Skolan och läraren ska själv göra dessa avvägningar. Centralt innehåll för kursen Matematik 1b finns återgivet i bilaga 1.

Efter avsnittet om kursens centrala innehåll följer kunskapskraven, med kriterier för betygen A, C och E. Eftersom en elev ska ha grundläggande kunskap inom hela det centrala innehållet samt även ha vissa färdigheter inom alla sju förmågor är texten för alla kriterier likadant formulerade, med skillnad för de fetstilade orden som anger en kvalitativ skillnad i kunskap mellan de olika betygsstegen. Kunskapskraven för Matematik 1b finns återgivna i bilaga 2.

15

2.4 Vad är goda matematikkunskaper?

Det finns en välspridd missuppfattning att goda matematikkunskaper är detsamma som att vara duktig på att räkna ut tal, gärna genom huvudräkning. Ett omprov i matematik anses enkelt att konstruera: ”Det är ju bara att byta ut siffrorna.” Inte sällan hörs kritik mot benämnda tal – det som i folkmun ofta kallas för ”läsetal” – eftersom man menar att matematiken försvinner i all text (Stenhag, 2010). Istället handlar goda matematikkunskaper och att få bra betyg i ämnet just om att kunna läsa och tolka en text, översätta problemet till en algoritm – ofta en ekvation av något slag – få fram ett svar och kontrollera om svaret är rimligt och slutligen att kommunicera resultatet. Det kräver ett aktivt tänkande och handlande. Att endast memorera något är inte tillräckligt. Det krävs alltså god läsförståelse och då inte i betydelsen att kunna avkoda ord för ord, utan att som anges i kursplanen för Svenska 1: ”Förmåga att läsa, arbeta med, reflektera över och kritiskt granska texter…” (Skolverket, 2011, sidan 161).

Stenhag (2010, s 147) ger ett konkret exempel på en matematikuppgift som när det gavs som ”naket tal” var det 50 procent fler av eleverna som lyckades lösa uppgiften än när det gavs som benämnt tal:

Benämnt tal:

Per och Lena har 175 kronor tillsammans. De åker berg och dalbanan var sin gång och betalar 24 kronor var. Hur mycket har de sedan kvar?

Naket tal: 175-24-24

Förståelsen av centrala matematiska begrepp bland elever är ofta bristfällig och undervisningen alltför ensidigt inriktad på beräkningsprocedurer. Elever klarar ofta att använda en beräkningsprocedur, men att den används fel. Större fokus på kunskap kring begrepp generar ofta kunskap i procedurer, men sällan tvärtom. Enligt Bentley, refererad av Stenhag (2010), borde undervisningen i större utsträckning inrikta sig på att utveckla den språkliga begreppsapparaten hos eleverna. Stenhag själv menar att god läsförståelseförmåga och att kunna lösa benämnda tal handlar om samma kognitiva förmåga. För att få högt betyg i grundskolans matematik krävs en metakognitiv förmåga till koncentrerad läsning. När elevernas slutbetyg i matematik jämfördes med resultatet på det nationella läsförståelseprovet visade det sig att 83 procent av eleverna med VG eller MVG i slutbetyg i matematik också

16

fick VG eller MVG på läsförståelseprovet. När man jämförde slutbetyget i svenska med resultatet på det nationella läsförståelseprovet var det 87 procent av de som fick VG eller MVG i slutbetyg som också fick VG eller MVG på läsförståelseprovet. Utvidgade man till att jämföra de med G, VG eller MVG på läsförståelseprovet var det 99 procent som fick VG eller MVG på nationella provet i matematik. En elev med god läsförståelseförmåga har dock inte nödvändigtvis VG eller MVG i matematik. Endast 59 procent med VG eller MVG på läsförståelseprovet hade VG eller MVG i slutbetyg i matematik. Detta visar att det utöver god läsförståelseförmåga krävs andra färdigheter också för att nå högt betyg i matematik. Samma studie visade att högt betyg i matematik var viktigare än högt betyg på läsförståelseprovet när man jämförde med medelmeritpoängen för alla teoretiska ämnen. Allra högst medelmeritpoäng hade de med högt betyg både på läsförståelseprovet och i matematik.

För att förstå ett matematiskt problem och hur man löser det krävs god läsförståelse. Det gör att såväl dyslektiker som elever med svenska som andraspråk många gånger har svårigheter i matematik. En generell försämrad läsförståelseförmåga hos gymnasielever blir allt tydligare vilket gör att även matematiken drabbas. Elever med dyslexi kastar om bokstäverna i ett ord men även symbolerna i ett matematiktal. Det gör att elever som har svårt att automatisera läsning också ibland har svårt att automatisera räkning (Stenhag, 2010). En studie gjord 2001 som Stenhag (2010) refererar till har visat att högstadieelever ofta misslyckas på matematikuppgifter som innehåller mycket text. Eleverna förstår inte innebörden i texten vilket kan leda till att de väljer fel räknesätt. Eftersom eleverna inte förstår sammanhanget mellan uppgiftstextens olika delar, väljs beräkningarna slumpmässigt. Hur eleverna angriper uppgiften saknar alltså helt koppling till uppgiftens innehåll. Ungefär 60 procent av de fel grundskoleeleverna gjorde på matematikuppgifterna berodde enligt studien på bristande läsförståelse. Ungefär 15 procent berodde på slarvfel. Endast 25 procent berodde på brister i rent matematiskt kunnande.

En studie gjord 2006 som Stenhag (2010) refererar till har bland annat visat att en del elever utvecklar och använder en särskild lässtrategi som bara används i texter med matematiska problem. Istället för att försöka förstå sammanhanget letar de efter nyckelord i texten. Elever som använder denna läsförståelsestrategi lyckas oftast sämre än elever som läser texter med matematiska problem på samma sätt som texter i andra ämnen. Stenhag menar därför att detta talar för att läsförståelse i matematik inte är annorlunda än annan läsförståelse. Stenhag säger vidare att forskning visar att den generella läsförståelseförmågan som regel inte är knuten till begåvning. Dock måste man skilja på läsförståelse och

17

ordavkodning, alltså att koppla ihop ljud och bokstäver till ord. Läsförståelse innebär att man förstår innebörden i texten, vilket är helt nödvändigt för att veta hur man ska angripa uppgiften och lösa det nedskrivna problemet.

En annan aspekt som inverkar är hur väl man har utvecklat en god metakognition, det vill säga hur väl man är medveten om sina egna tankar och kan följa sina tankar, hur väl det går och styra dem i rätt riktning. Mer än något annat ämne bygger ett resultat på ett tidigare som bygger på ett ännu tidigare; Allt hänger ihop! Matematik består av både faktakunskap och tillvägagångsätt. Man måste dels lära sig olika fakta, begrepp och symboler och dels tillvägagångssättet, det vill säga en handlingsplan för hur man ska göra för att lösa en uppgift. För att komma ihåg de olika tillvägagångssätten måste de bottna i en förståelse för vad man gör (Stenhag, 2010). En god metakognitiv förmåga är nödvändig för att kunna lösa uppgifter där det krävs att man läser och tolkar en text innan räknandet. Man måste då fråga sig vad som efterfrågas, vilka data man får veta och hur dessa kan användas för att nå lösningen.

Historiskt sett brukar man säga att betoningen i svensk skolmatematik har förflyttats från tillämpning av färdiga formler och resultat av typen rätt/fel till mer av kreativ problemlösning och kommunikation (Stenhag, 2010). Eleverna får lära sig att det ofta inte finns en enda färdig lösningsmetod, utan flera olika vägar att gå. De skriftliga proven består till stor del av öppna uppgifter. Dessa ger så klart en mängd olika lösningar och sätt att tänka på från eleverna. Detta är så klart mer tidsödande både vad gäller provkonstruktion som rättande av detsamma. Tyvärr tillämpas inte alltid detta, utan forskning visar att enskilt arbete dominerar under lektionerna och undervisningen är starkt styrd av läroboken. Innehållet ligger i fokus, istället för de förmågor som beskrivs i kursplanen (Nordgren m fl, 2012). Granskning av undervisningen har visat att eleverna får för lite träning i de olika förmågorna och är därmed dåligt förberedda för det nationella provet.

I Stenhags studie (2010) undersökte man också om det fanns ett samband mellan höga betyg i matematik och höga betyg i andra ämnen. Man kom fram till att det fanns ett starkt samband mellan högt slutbetyg i matematik och högt slutbetyg i alla andra teoretiska ämnen, alltså inte bara till exempel fysik och kemi utan även exempelvis religion och samhällskunskap. Detta samband var starkare än sambandet mellan högt slutbetyg i svenska och högt slutbetyg i övriga teoretiska ämnen. Mellan högt slutbetyg i engelska och högt slutbetyg i övriga teoretiska ämnen fann man inget samband alls. Studien visade också att kraven för betygen G och VG statistiskt sett var högre i matematik än i svenska. Därför är det sannolikt att man inte klarar att uppnå G i matematik om man inte klarat G i svenska. Det är

18

också sannolikt att om man klarar att uppnå VG eller MVG i matematik gör man det också i svenska. Däremot var sambandet mellan IG i svenska och IG i övriga teoretiska ämnen starkare än sambandet mellan IG i matematik och IG i övriga teoretiska ämnen.

Statistik visar också att det sätts fler VG och MVG i SO-ämnena än i NO-ämnena. Det finns olika modeller som visar på nivåer i individens kognitiva förmåga. En modell (Stenhag, 2010) säger att problemlösningsförmåga är ett högre kognitivt stadium än läsförståelse-förmåga. Enligt Stenhag skulle det kunna vara en generaliserad förklaring till att det sätts fler VG och MVG i SO-ämnena än NO-ämnena. Stenhag (2010) ger en alternativ förklaring nämligen att det finns olika typer av intelligens och att matematik kanske mäter NO-förmåga och svenska SO-förmåga, men att kraven är lägre i svenska. Kriterierna i svenska har visat sig svårare att tillämpa för lärarna och att de därför väljer att sätta ett högre betyg.

I en studie (Emanuelsson, 2001) besökte man åtta lärare på låg- och mellanstadiets lektioner i matematik och naturvetenskap två till fyra gånger vardera samt intervjuade dessutom lärarna. Studien visade att lärare i intervjuerna ofta beskrev vad eller hur eleverna gjorde, inte vad eleverna kunde eller hur de förstod. Inom matematik talade lärarna oftast om elevernas kunnande i termer om huruvida deras svar på uppgiften var rätt eller inte, snarare än om hur de gått tillväga för att nå svaret. Ett av resultaten i avhandlingen innebar att lärostoff, begrepp och färdighet måste varieras för att få insikt i hur eleverna tänker och ge dem varierade sätt att lära sig på eftersom alla tänker olika om samma sak. Om jag tillåter mig att föra över resonemanget från studiens resultat till matematikundervisningen på gymnasiet kan det innebära att ett flertal elever tror sig inte har förstått någonting om man uppehåller sig enbart vid proceduren att komma från den nedskrivna uppgiften till ett svar och endast en lösningsmetod lärs ut och tillåts, när de i själva verket kan inneha ett rikligt batteri av angreppssätt för att lösa uppgiften, som leder till samma rätta svar.

Det är sedan länge känt att matematik har visat sig kunna ge positiva transfereffekter, det vill säga att lärande i matematik underlättar lärande i andra ämnen. Än mer intressant är forskning som visat på effektiva transfereffekter om undervisningen blandar konkreta exempel med generella principer (Stenhag, 2010). Om eleven med lärarens hjälp finner likheter mellan olika komplicerade problem ger detta honom eller henne en god beredskap för framtida problemlösning.

19

2.5 Provkonstruktion och kunskapsbedömning

Traditionellt har skriftliga prov - som byggt på undervisningsinnehållet - använts som enda bedömningsunderlag, inte minst i matematik. En av de svåraste sakerna vid provkonstruktion oavsett ämne är hur frågorna är formulerade. Alla uppfattar text olika och ibland upptäcker man att väldigt många av de som gjort provet har uppfattat en fråga på ett annat sätt än man har tänkt sig. Ett prov kan ha bristande tillförlighet på grund av till exempel oklart formu-lerade uppgifter, att reglerna för poängsättning inte är tillräckligt genomtänkta, eller att möjligheterna att gissa sig till ett korrekt svar påverkar resultatet. En metod att öka tillför-litligheten är split half (Linde, 2003). Man konstruerar då två olika prov med samma frågor men olika formulerade. De båda proven ges sedan med frågorna blandade i samma formulär. Eleverna som gör provet får då svara på samma frågor två gånger i skilda uppgifter med olika formulering. Om resultatet blir ungefär lika mellan de båda proven finns ingen bristande tillförlitlighet på grund av formuleringarna. Om det istället blir stor skillnad så är formuleringarna fel och en ny utprövning med nya formuleringar måste göras. Det är alltså egentligen meningen att man ska göra detta test av formuleringarna innan man använder sitt prov i skarpt läge. Det har man sällan möjlighet till, men man kan ändå använda metoden för att efter ett par försök hitta rätt formuleringar till sina provfrågor.

Nästa viktiga aspekt är provets giltighet. För att man ska kunna betrakta provet som en giltig kunskapskontroll av det kursmoment som provet handlar om måste allt väsentligt tas med i provet (Linde, 2003). För ett matematikprov på gymnasienivå innebär det att hela det centrala innehåll som provet är kunskapskontroll av samt att alla sju förmågorna måste finnas med på provet, annars har provet bristande giltighet.

Nordgren m fl (2012) motsäger sig andra uppdelningar av prov såsom konventionella prov och alternativa prov och menar att det inte finns annat än bra och dåliga prov. De argumenterar för att det enda viktiga är att provet har giltighet och tillförlitlighet. Provformen är oväsentlig, utan det är kunskapssynen som provet vilar på och provets innehåll som är det enda viktiga.

Syftet med prov är inte enbart som bedömningsunderlag vid betygssättning – det vill säga det som brukar kallas för summativt syfte - utan även i diagnosiskt syfte för att bedöma den aktuella kunskapsnivån hos eleven, i formativt syfte för att ge stöd i lärandet och evaluerande syfte för att bedöma hur väl man som lärare och skolan lyckas (Nordgren m fl, 2012). Samma prov kan tjäna alla fyra syftena och skiljelinjen mellan bedömningsgrunderna är inte

20

knivskarp. Det är alltså inte provets utformning som bestämmer dess syfte, utan hur bedömningsunderlaget används. Även om provet är tänkt för ett summativt syfte måste det kunna användas även formativt eftersom betygssystemet är målinriktat.

Enligt Skolverkets riktlinjer (2011, s 15) ska läraren vid betygssättningen:

 utnyttja all tillgänglig information om elevens kunskaper i förhållande till de nationella kunskapskrav som finns för respektive kurs,

 beakta även sådana kunskaper som en elev har tillägnat sig på annat sätt än genom den aktuella undervisningen, och

 utifrån de nationella kunskapskrav som finns för respektive kurs allsidigt utvärdera varje elevs kunskaper.

Som tidigare nämnts har skriftliga prov - som byggt på undervisningsinnehållet – traditionellt använts som enda bedömningsunderlag, men kraven på att allsidigt utvärdera och beakta även kunskap som elever tillgodogjort sig på andra sätt än skolans undervisning gör att detta inte är tillräckligt (Selghed, 2011). Skolverket betonar också att betygsunderlaget ska bygga på varierade bedömningsformer och nämner prov och muntliga prestationer gjorda vid flera tillfällen. Inget enskilt prov, inte heller det nationella provet, kan enligt Skolverket utgöra hela underlaget för bedömningen i ett ämne (Skolverket.internetlänk).

Både provens form och innehåll påverkar elevernas syn på lärandet (Nordgren m fl, 2012). Proven signalerar vad läraren anser är viktig kunskap i ämnet och eleverna anpassar sina lärstrategier efter detta. Som lärare måste man tänka igenom några olika ämnesdidaktiska frågor: Vad är viktigt att kunna? Hur ska proven vara utformade för att alla elever ska kunna visa sina kunskaper? Varför väljer jag just denna provform och att fråga efter just denna kunskap? Påverkas provets utformning och innehåll av för vem det är avsett för? Ett prov måste alltid efterfråga ett samspel mellan de fyra kunskapsformerna fakta, förståelse, färdighet och förtrogenhet. De lägre betygen handlar inte om att endast kunna återge fakta (Nordgren m fl, 2012).

Eftersom skriftliga prov ännu är den klart vanligaste provformen i matematik kan det vara en god idé att studera denna provform mer i detalj och i generella drag oberoende av ämne innan man kommer in på alternativ till skriftliga prov. Provfrågor kan ha fasta svarsalternativ som till exempel flervalsfrågor och påståenden som markeras med sant eller falskt, eller där olika alternativ ska paras ihop. Dessa tre frågetyper brukar kallas för objektiva prov (Korp, 2003). Alla tre förekommer i matematikböcker. Frågor där eleven ska formulera ett svar helt själv förekommer också, inte minst nu då elever ska behärska alla sju förmågor som listas i ämnesplanen. Frågor med fasta svarsalternativ har fördelen att de går snabbt och enkelt att bedöma och eftersom ingen subjektivitet finns blir resultatet jämförbart. Nackdelen är att

21

frågor med fasta svarsalternativ sällan fokuserar på annat än faktakunskap. En annan nackdel är att eleverna inte får möjlighet att visa sina förmågor i att resonera eller tänka kritiskt (Nordgren m fl, 2012). Fördelen med frågor då eleverna själva ska formulera sina svar - särskilt vid essäfrågor, det vill säga då eleverna ska skriva långa svar – är att man kan mäta mer komplexa kunskapsnivåer, såsom analysförmåga. Nackdelarna är att bedömningen är tidskrävande och risken finns att bedömningen blir mer subjektiv. Ibland kan olika bedömare göra olika tolkningar och även samma bedömare kan påverkas av sådant som i vilken ordning provsvaren bedöms, elevernas handstil och förutfattade meningar om de olika elevernas prestationsförmåga (Nordgren m fl, 2012). Nordgren m fl förespråkar frågekonstruktioner som kräver problemlösande eller berättande svar, istället för kortsvars- eller flervalsfrågor. Få breda essäfrågor är bättre än många kortsvarsfrågor. Nordgren m fl förespråkar också att man ska premiera sammanhang och inte efterfråga ett visst antal aspekter.

Korp (2003) nämner ”tillämpningsprov” som den vanligaste formen av alternativa prov. Principen är att eleverna bedöms på basis av hur de praktiskt handlar i en situation. Detta exemplifieras bland annat med att om en lektion syftar till att lära eleverna skriva noveller och de bedöms med hjälp av ett tillämpningsprov, så får de skriva en novell och arbetet med denna utgör bedömningsunderlaget för elevernas kunskaper i novellskrivning. Motsvarande traditionella prov skulle då vara att eleverna istället får besvara ett antal frågor kring novellskrivandets tekniker och kvalitetskriterier. Tillämpningsprov passar bäst när målet med undervisningen är att eleverna ska kunna utföra något. Överför man detta till matematiken efterfrågar eleverna inte sällan tillämpningsexempel på matematiska samband, vilket läroböckerna också brukar innehålla rikligt med och lärarna gärna ger. En tillämpningsuppgift är oftast det som i kapitel 2.4 kallades för ”benämnt tal”, till skillnad från ”naket tal”. Vilka tillämpningsexempel som ges beror på lärarens kompetens och intresse utöver matematik och på vilka eleverna är, bland annat vilket gymnasieprogram de går. Eleverna efterfrågar tillämpningar för att motivera sig att lära sig sambandet. Läraren ger ofta tillämpnings-uppgifter på prov då förmågan att lösa en tillämpningsuppgift anses utgöra en högre kvalitativ kunskapsnivå än att endast memorera en formel.

Nordgren m fl (2012) vänder sig mot ett vanligt sätt att poängsätta prov, nämligen att poängen motsvarar just antalet uppräknade saker, istället för kunskapskvaliteten på det avgivna svaret. Att räkna upp fem saker och få fem poäng, utan att ha någon djupare förståelse, lönar sig bättre än att ha djupare förståelse kring tre. Man vänder sig också mot att

22

olika frågor ger olika många poäng baserat på hur mycket tid som ägnades åt denna sak i undervisningen eller hur mycket utrymme detta tog i anspråk i läromedlen.

På frågan om provfrågorna ska nivågrupperas ser Nordgren m fl (2012) fler nackdelar än fördelar. Fördelarna är att det tydligt framgår vilken kvalitet läraren förväntar sig av svaren på de olika frågorna och skillnaden mellan olika kunskapskvaliteter blir tydlig. Eleven kan också bestämma sig för en ambitionsnivå. En stor nackdel är att nivågrupperingen kan få elever att på grund av till exempel bristande motivation eller självförtroende väljer att avstå från att svara på de svårare frågorna och prövar därmed inte hela sin kunskapspotential. Forskning har också visat att frågorna på de lägre kunskapsnivåerna i stor utsträckning består av korta faktafrågor, vilket gör att dessa elever inte försöker förstå samband eftersom detta inte behövs för godkänt på proven.

Det finns alltså gott om argument för att skriftliga prov i sig inte är något dåligt eftersom det är provets innehåll och inte form som avgör om provet är bra eller dåligt. Dock säger Skolverkets riktlinjer att läraren ska ”allsidigt utvärdera varje elevs kunskaper” (Skolverket, 2011, s 15) och därför måste man fråga sig vilka alternativ till skriftliga prov som finns.

Inom vissa ämnen är portföljmetod och självvärdering vanliga vid kunskapsbedömning (Linde, 2003). Eleven samlar färdiga skolarbeten i en portfölj i form av till exempel en plastmapp eller USB-minne. Ibland sparas materialet en tid och därefter görs sammanfattningar av detta och originalmaterialet sorteras ut. Ett sätt att använda portföljen är självvärdering, då eleven i slutet av en kurs går igenom sin portfölj för att se hur en utveckling har skett och kanske upptäcka till exempel att man hade löst ett problem på ett annat sätt nu. Portföljen kan även användas av läraren med eller utan dialog med eleven som underlag för bedömningen. Då kan portföljen bedömas efter process eller produkt. Om processen är i fokus är det intressanta att följa utvecklingen och förändringarna i uppfattningar. Om produkten är i fokus är det istället kvaliteten hos de färdiga arbetena som bedöms. En viktig poäng som ofta förs fram med portföljmetoden är att man ur portföljen alltid kan plocka ut det som eleven gjort bra och ge uppmuntran för det.

Ibland kan man ställa det som kallas öppna frågor, det vill säga frågor som inte har ett enda korrekt svar. Även om matematik betraktas som ett ämne när exakta och korrekta svar eftersträvas är detta en frågeform som är användbar i matematik. Två exempel på öppna matematikuppgifter (Linde, 2003, s 118):

23 Gör egna matematikuppgifter.

a En uppgift skall leda till en lösning där multiplikation skall användas.

b En uppgift skall leda till en lösning där addition och multiplikation ska användas. c En uppgift skall leda till en lösning där procent skall användas.

d En uppgift skall leda till en lösning där ekvation skall användas.

Även till synes helt öppna frågor kan ge tämligen bestämda svar om man inför förutsättningar och definitioner (Linde, 2003). För en elev som saknar de förmågor som beskrivs i kapitel 2.3 tror jag denna uppgift är svår, eller rentav bara konstig. Elever är vana vid att lösningen på en uppgift är ett enda rätt svar. I andra ämnen kan en öppen fråga som till exempel ”Vad är demokrati?” sluta sig kring en mycket begränsad informationsmängd från en lektion (Nordgren m fl, 2012). Det är därför inte konstigt att öppna frågor väcker osäkerhet hos elever. Denna typ av frågor kan vara en del av ett skriftligt prov, men det kan också vara en del av ett muntligt prov där man – precis som i nationella provets muntliga del – ställer frågor för att lyssna av hur elever resonerar och utifrån det ställa följdfrågor.

Vid provkonstruktion i matematik kan man kategorisera uppgifterna på olika sätt. Det kan gälla arbetsformer såsom ”med eller utan tekniska hjälpmedel” eller ”arbete i grupp eller enskilt”, men även efter centralt innehåll. Oftast behandlar ett prov en del av det centrala innehållet, eller helt enkelt ett kapitel eller två i boken. Mer sällsynt är kategorisering efter de sju förmågorna (Nordgren m fl, 2012). Vid uppgifter som inte bara kräver ett korrekt svar behövs en helhetsbedömning och man måste ta hänsyn till hela lösningsproceduren. Kvaliteten på elevens arbete avgör på vilken nivå arbetet placeras och kan uttryckas med poäng, betyg eller ord. En mer strukturerad bedömningsanvisning ökar sannolikheten för att två bedömare ska göra samma bedömning av ett mer omfattande arbete. Självbedömning och kamratbedömning kan bidra till att olika matematiska begrepp diskuteras och eleverna utvecklar sin förmåga att se sitt eget lärande (Nordgren m fl, 2012).

En studie gjord 2006 refererad av Nordgren m fl (2012) visade att en majoritet av uppgifterna i lärarnas matematikprov kunde lösas med inövade procedurer och utan matematisk förståelse, medan kreativa och matematiskt välgrundade resonemang oftast behövdes på uppgifterna på nationella provet.

2.6 Nationella provets konstruktion

De nationella proven i matematik konstrueras av PRIM-gruppen som är en forskningsgrupp vid Stockholms universitet inriktad på kunskapsbedömning och kompetens. Bland uppdragen

24

ingår att konstruera de nationella proven i de olika matematikkurserna i såväl grundskolan som gymnasiet (PRIM-gruppen).

De nationella proven i matematik på gymnasiet innehåller fyra delar (PRIM-gruppen, presentation_skolforum.pdf):

 Kortsvars- och redovisningsuppgifter utan beräkningsverktyg

 Stor redovisningsuppgift med beräkningsverktyg

 Redovisningsuppgifter med beräkningsverktyg

 Muntlig del i grupper om tre till fyra elever

Vid konstruktionen har man strävat efter att väva samman ämnesplanens tre dimensioner, nämligen de sju förmågorna, kursernas centrala innehåll och kunskapskraven för respektive kurs. På varje uppgift utdelas kvalitativa förmågepoäng, det vill säga poäng på E-, C- och A-nivå samt dessutom anges vilken förmåga som uppgiften mäter. Ett exempel på en uppgift ur nationella provet ges (PRIM-gruppen):

Johanna häller kaffe med temperaturen 92 °C i en termos. Hon ställer sedan termosen utomhus där temperaturen är 15 °C. För att beskriva hur temperaturen y °C hos kaffet förändras med tiden x timmar undersöker hon två olika modeller:

Formel för modell A: y = 92 – 7x Formel för modell B: y = 92 ∙ 0,93x

a) Beräkna kaffets temperatur efter tre timmar enligt formel A och enligt formel B. (2/0/0)

b) Beskriv med vardagligt språk vad formel A respektive formel B säger om hur temperaturen sjunker. (1/2/0)

c) Undersök för hur många timmar som formeln för modell A respektive B kan gälla. (1/2/3)

Siffrorna inom parentes anger maximala E-, C- respektive A-poäng, alltså för deluppgift c maximalt 1 E-poäng, 2 C-poäng och 3 A-poäng. Som tidigare nämndes anges i rättningsmallen vilka förmågor som mäts. I detta exempel kan deluppgift a ge en E-poäng vardera för förmågorna Modellering och Procedur. Deluppgift b kan ge en E-poäng för förmågan Modellering samt en C-poäng vardera för förmågorna Modellering och Kommunikation. Till sist kan deluppgift c ge en E-poäng för förmågan Resonemang, en C-poäng vardera för förmågorna Kommunikation och Modellering samt en A-C-poäng vardera för förmågorna Kommunikation, Modellering och Problemlösning. I nationella provet ges ett provbetyg som baseras på dels på sammanlagd poäng som eleven har erhållit och dels på hur många C- och A-poängen är. För att uppnå provbetyget E ser man endast till sammanlagda poängen. För provbetygen D och C anges sammanlagd poäng samt hur många C-poäng och

25

däröver som eleven måste erhållit. För provbetygen B och A anges sammanlagd poäng samt hur många A-poäng eleven måste erhållit. Till provet medföljer en rättningsmall med exempel på lösningar för att underlätta för läraren att avgöra E-, C- och A-poängen.

2.7 Nationella provet som bedömningsstöd

Flera studier har visat att resultaten på nationella prov och internationella kunskapsmätningar skiljer sig från betygsutfallet. Denna skillnad är särskilt stor i matematik (Stenhag, 2010). Den senaste tillgängliga statistiken för resultatet på nationellt prov i Matematik 1b jämfört med kursbetyget gäller för vårterminen 2012 (Skolverket, 2013). Den visar att 60,9 % av eleverna fick samma kursbetyg som provbetyg, 38,1 % fick högre kursbetyg än provbetyg och 0,9 % fick lägre. Skillnaden mellan kursbetyg och provbetyg var något lägre på kommunala gymnasieskolor jämfört med friskolor. Något fler fick högre kursbetyg än provbetyg på friskolor än på kommunala skolor. Jag går inte in på någon analys om orsaken, utan konstaterar bara att det finns en skillnad. För jämförelsens skull kan man titta på avvikelsen mellan kursbetyg och provbetyg även i Svenska 1, Engelska 5 och Matematik 2b som samtliga elever på Samhälls- och Ekonomiprogrammet också läser som obligatorisk kurs. I Svenska 1 fick 66,2 % av eleverna samma kursbetyg som provbetyg, 20,7 % fick högre kursbetyg än provbetyg och 13,1 % fick lägre kursbetyg än provbetyg. I Engelska 5 fick 74,5 % av eleverna samma kursbetyg som provbetyg, 15,2 % fick högre kursbetyg än provbetyg och 10,4 % fick lägre kursbetyg än provbetyg. I Matematik 2b fick 78,0 % samma kursbetyg som provbetyg och 22,0 % fick högre kursbetyg än provbetyg. Ingen fick lägre kursbetyg än provbetyg.

Kritik lyfts ibland på olika sätt mot de nationella kursproven. Ofta sammanfaller denna med att det hos lärare, elever och allmänhet förekommer olika syn på varför undervisning i matematik ska ske i skolan. I en studie av Maria Bjerneby Häll refererad av Stenhag (2010, s 36-37) ställde man denna fråga till ett antal högstadielärarstudenter och vid analysen identifierades tio huvudargument:

 För att klara det vardagliga livet – idag och som vuxen  Med tanke på utbildning och yrke i en framtid

 För att kunna ta tillvara dina egna [elevens] intressen  Med tanke på samhällets behov och krav

 För att utveckla tänkandet

 Det är roligt och stärker självförtroendet  Det behövs för många andra skolämnen

26  Det tillhör allmänbildningen

 Det är ett viktigt kunskapsområde  Det kommer på provet

Bland lärarstudenterna var de tre första svaren de vanligaste. Samma person följde lärarstudenterna och ställde samma fråga igen när de börjat arbeta som lärare och det visade sig att för dem som arbetade i de senare årskurserna på grundskolan är de nationella proven väldigt styrande för undervisningen. En stor del av undervisningen fokuseras på att förbereda eleverna inför det nationella provet och därmed blir argumentet ”Det kommer på provet” det vanligaste.

2.8 Teoretiskt perspektiv

Undervisning och kunskapsbedömning i matematik är välstuderat. Detta kapitel har översiktligt undersökt och jämfört hur kunskapssyn och kunskapskrav framställs i styrdokument och hur lärare uppfattar dessa i sin praktik. Eftersom nu gällande kursplaner och kunskapskrav är nya finns ingen forskning på hur de gällande styrdokumenten uppfattas av lärare. Därför är det av intresse att undersöka detta. Utifrån hur kunskapssynen är beskriven i läroplanen tillsammans med kunskapskraven i Matematik 1b och de sju förmågorna i ämnesplanen kommer jag att undersöka hur lärare använder dessa för att avgöra elevers kunskapsnivå. Lärarna som deltagit i undersökningen är av olika kön, har olika ålder, har olika lång erfarenhet och undervisar i olika ämnen – med andra ord är detta en utmärkt del i en större undersökning. Påverkar någon av dessa aspekter hur man uppfattar och använder riktlinjerna och kunskapskraven? Denna undersökning är alltså av teoriprövande karaktär. Denna undersökning kan eventuellt vara hypotesbildande, men på grund av det lilla materialet omöjligen leda till några generella slutsatser som bidrar till ny begrepps- eller teoribildning.

Examensarbetets teoretiska perspektiv vilar på en fenomenografisk grund. Ference Marton (Uljens, 1997) talar om fenomenografi som en beskrivning av hur av hur olika människor som möter olika fenomen uppfattar, erfar eller förstår dessa. Enligt fenomenografin finns det ett begränsat antal kvalitativt skilda sätt att erfara världen. Examensarbetet strävar alltså efter att ta reda på hur lärare uppfattar riktlinjerna, till exempel kunskapskraven.

27

3. Metod

3.1 Metodval

Vid metodvalet vägdes framför allt tidsaspekten in utöver vilken metod som troddes ge bäst bidrag till examensarbetet. Eftersom jag själv som verksam lärare och de lärare som skulle kunna bidra med material befunnit oss i en tid på läsåret som varit fylld med både egna prov och nationella prov ville jag finna en metod som kunde ge mig användbart kvalitativt material utan att vara alltför tidsödande. Valet föll då på att via e-post skicka två frågeformulär till ett antal lärare verksamma på några olika gymnasieskolor i Skåne. Det första frågeformuläret, som är återgivet i bilaga 3, skickades till samtliga lärare och strax efter att var och en svarat på denna skickades det andra frågeformuläret till dem. Det andra frågeformuläret finns återgivet i bilaga 4.

Det första frågeformuläret kan sägas vara en surveyundersökning (Svenning, 2003) då frågorna är exakt likadant formulerade till alla, men eftersom frågorna är öppna och inga statistiska principer för urvalet använts är formuläret mer åt det kvalitativa hållet. Den främsta anledningen till metodvalet är tidsaspekten. Lärarna kan på kort tid och när de har möjlighet svara på frågorna och jag får svaren skrivna digitalt och kan direkt använda svaren i examensarbetet.

3.2 Urval

Frågeformulären skickades till ett antal lärare verksamma på några olika gymnasieskolor i Skåne. Gymnasieskolorna valdes på grund av deras olika storlek och för att det på var och en av dessa arbetade matematiklärare som kände till mig, vilket troddes öka svarsfrekvensen. Frågeformulären skickades till några enstaka matematiklärare på varje skola. Jämn fördelning av kön och ålder eftersträvades för att möjliggöra en analys huruvida detta hade betydelse för resultatet.

28

3.3 Genomförande

Frågeformulären skickades via e-post till de deltagande lärarna. När svar inkommit från respektive lärare på första frågeformuläret skickades det andra.

3.4 Bearbetning och analys

Det första frågeformulärets kärna är hur de olika lärarnas bedömningsunderlag ser ut, det vill säga hur deras skriftliga prov är konstruerade och hur omdömen ges på dessa, vilka andra kunskapskontroller som används och hur det nationella provet används som bedömningsstöd. Till sist efterfrågades en beskrivning av vad som karakteriserar prestationen hos en elev med grundläggande kunskaper i matematik respektive avancerad kunskap. I det andra frågeformuläret ombads lärarna att för tio olika uppgifter om bråk ange om var och en av dessa är en uppgift på grundläggande nivå eller avancerad nivå, och vilken av de sju förmågorna uppgiften mäter färdigheter i.

Vid analysen har funnits en strävan att utifrån ett litet material tränga djupt in i en problematik. Kvalitativa analyser är betydligt känsligare för nyanser och små variationer, och därför inte så exakta som kvantitativa undersökningar (Svenning, 2003). En fara med kvalitativa analyser är att man utifrån en liten undersökningsgrupp utser dessa till ”kronvittnen från verkligheten” (Svenning, 2003, s 163). Undersökningsgruppen står för den enda sanna skildringen av verkligheten och den egna analysen uteblir. En kvalitativ analys måste ha en teoretisk förankring för att inte stanna vid att endast citera undersöknings-gruppens ord. Denna undersökning syftar till att analysera hur lärarna tolkar Skolverkets riktlinjer, kunskapskraven, matematikämnets sju förmågor etcetera. I analysen har försök till kodning gjorts för att sortera frågeformulärens svar i kategorier. Utifrån de medverkandes svar på frågeformulären har en analys gjorts huruvida de medverkande kan kategoriseras efter idealtyper (Svenning, 2003).

3.5 Forskningsetiska överväganden

I forskningssammanhang ska svaren på ett frågeformulär anonymiseras för att säkra att de medverkandes identitet skyddas (Vetenskapsrådet, 2011). I detta examensarbete har fråge-formulären skickats via e-post till ett antal lärare verksamma på några olika gymnasieskolor i

29

Skåne. Jämn fördelning av kön och ålder eftersträvades för att möjliggöra en analys huruvida detta hade betydelse för resultatet. De svar som ges är av personlig karaktär. Svaren kan uppfattas som kontroversiella om de uppfattas som att läraren inte följer Skolverkets riktlinjer eller skollagen (Skolverket, 2011). Lärare är skyldiga att följa riktlinjerna, men formuleringar om hur man gör detta kan uppfattas som okonventionella och kontroversiella. Därför är de medverkandes anonymitet viktig. De medverkande lärarna är verksamma på några olika skolor i Skåne och de benämns i examensarbetet endast som lärare med längre erfarenhet eller lärare med kortare erfarenhet.

3.6 Tillförlitlighet

Två undersökningar med samma syfte och med samma metod ska ge samma resultat för att en undersökningsmetod ska anses tillförlitlig (Svenning, 2003). Undersökningens tillförlitlighet påverkas framför allt av hur frågorna är formulerade. Alla uppfattar text olika och metodvalet gör att reparationer är svåra att göra om när svaren inkommit det visar sig att frågorna har uppfattats på ett annat sätt än som är tänkt. Vid en större studie och med mer tid hade en pilotstudie kunnat genomföras, då ”split-half” (Linde, 2003) hade kunnat användas som en metod att öka tillförlitligheten. Två olika frågeformulär med frågorna olika formulerade konstrueras. Frågeformulären ges sedan med frågorna blandade i samma formulär. Samma frågor ställs på så vis två gånger med olika formulering. Om resultatet blir ungefär lika mellan de båda frågeformulären finns ingen bristande tillförlitlighet på grund av formuleringarna.

Vid en personlig intervju har man möjlighet att omformulera sig om i fall intervjuobjektet inte fullt ut förstår den och också kan ställa följdfrågor beroende på hur intervjuobjektet svarar. Tillförlitligheten blir inte fullkomlig eftersom samma fråga då ställts på olika sätt till olika deltagare. Även den som förstod frågan så som den ursprungligen var formulerad, kan ha svarat annorlunda om frågan ställts på ett annat sätt. En fördel med ett nerskrivet frågeformulär som skickas ut via e-post är att man undanröjer alla risker att på något sätt påverka intervjuobjektet. Därför anses metodvalet tillräckligt tillförlitligt.

30

4. Resultat och analys

4.1 Allmänt

Fem lärare svarade på de båda frågeformulären. Första frågeformuläret (se bilaga 3) innehöll öppna frågor för att ge intervjupersonerna möjlighet att med egna ord beskriva det som efterfrågades. Svaren som gavs var dock alltid korta. Givetvis kan inga generella slutsatser göras eftersom underlaget är för litet i både kvantitet och kvalitet. Resultaten ger dock uppslag för en större och djupare undersökning. Två lärare hade 8 års erfarenhet som lärare och resterande tre lärare hade 18, 37 och 42 års erfarenhet. Jag valde därför att kategorisera de två med kortast erfarenhet som lärare med kortare erfarenhet och resterande tre som lärare med längre erfarenhet.

4.2 Resultat av första frågeformuläret

Lärare med kortare erfarenhet säger sig i större utsträckning i sin konstruktion av matematikprov sträva efter att alla sju förmågorna som anges för matematikämnet finns representerade i uppgifterna. Lärare med kortare erfarenhet talar i större utsträckning om fasta nivågrupperingar av uppgifterna och anger E-, C- och A-nivå för dessa. Lärare med kortare erfarenhet använder i större utsträckning de skriftliga proven som enda bedömningsunderlag, medan lärare med längre erfarenhet även gör bedömningar i samband med lektioner och använder sig i större utsträckning av korta såväl skriftliga som muntliga läxförhör. Lärare med kortare erfarenhet anger i större utsträckning nationella proven som viktiga bedömningsstöd, vilken man motiverar bland annat med att de egna proven endast testar korta moment medan nationella proven är mer övergripande och ger därför en bättre bild av elevens samlade kunskap. Lärare med längre erfarenhet är i större utsträckning inte nöjda med nationella provens upplägg och finner därför inget bedömnings-stöd i dessa. Omdömena i samband med prov är likartade mellan alla lärare, nämligen i form av betyg A-F.

Lärare med kortare och längre erfarenhet beskriver vad som karaktäriserar prestationerna hos elever med grundläggande kunskaper i matematik respektive avancerade kunskaper på likartat sätt. Elever med grundläggande kunskaper kan lösa uppgifter innehållande inövade procedurer och problemlösning efter givna instruktioner. Beskrivningarna av vad som

31

karakteriserar elever med avancerade kunskaper skiljer sig mer åt. Lärare med kortare erfarenhet beskriver vad som karakteriserar prestationerna hos elever med avancerade kunskaper med att kunna planera och lösa problem samt dra slutsatser. Lärare med längre erfarenhet beskriver i större utsträckning vad som karakteriserar elever med avancerade kunskaper som förmåga att se samband, kunna generalisera, använda matematiskt språk och lösa uppgifter på högre abstraktionsnivå.

4.3 Resultatanalys av första frågeformuläret

Det första frågeformulärets kärna är hur mångfacetterat de olika lärarnas bedömnings-underlag ser ut. Tillsammans med att efterfråga en beskrivning av vad som karaktäriserar prestationen hos en elev med grundläggande kunskaper i matematik respektive avancerade kunskaper eftersträvades att få fram två olika bilder – en för hur kunskap bedömdes och en för vad för kunskap som fanns hos eleverna – som därefter kunde analyseras.

Lärarnas beskrivningar av grundläggande kunskaper är mycket lika matematikämnet på gymnasiets ämnesplansskrivning om procedurförmågan (Skolverket, 2011, s 90):

2. hantera procedurer och lösa uppgifter av standardkaraktär utan och med verktyg

Svaren på frågeformulären visar att lärare har en klar egen bild av vad som karaktäriserar prestationerna hos elever med grundläggande respektive avancerade kunskaper i matematik. Svaren delar upp sig något i hur lärare med kortare respektive längre erfarenhet formulerar skillnaderna. Lärare med kortare erfarenhet lutar sig i större utsträckning mot styrdokumenten medan lärare med längre erfarenhet lutar sig mot just sin erfarenhet. De ”vet” genom sin erfarenhet när en elev har avancerade kunskaper i matematik. De hänvisar till sin ”tysta kunskap”, eller för att dra paralleller till skolans egen kunskapssyn, till sin förtrogenhet. Detta är förmodligen också anledningen till att lärare med längre erfarenhet i mindre utsträckning menar att nationella proven är ett bedömningsstöd. Troligtvis gör dessa lärare inga radikala förändringar av sitt undervisningssätt eller provkonstruktion på grund av nya styrdokument.

Min tolkning är att flera av lärarnas svar ger en antydan om syn på skillnaden mellan betygsstegen som påminner om Selgheds (2011). Lärarna ger uttryck för att betygen innebär en skillnad i kunskapskvalitet mellan de olika betygsstegen och på liknande sätt som Selghed (2011) beskriver man en progression från E där tyngdpunkten ligger på fakta – i matematik inövade beräkningsprocedurer - och i andra hand förståelse och analys och för betyget A är

32

analysförmågan i fokus tillsammans med fakta och förståelse. För betyget E måste eleven kunna beskriva, exemplifiera och föra enkla resonemang. För betyget A kunna förklara, visa på samband, generalisera och föra välutvecklade resonemang. Hos någon lärare finns antydningar om en syn som mer påminner om den som Nordgren m fl (2012) ger uttryck för, nämligen att betyget E inte innebär enkla återgivande av fakta, betyget C inte förståelse och betyget A inte analyserande resonemang. Alla betygsnivåer kräver färdigheter inom alla delar. En lärare med längre erfarenhet beskrev sitt upplägg av proven på ett sätt som är snarlikt hur nationella proven är uppbyggda. Denna lärares prov var ofta uppdelade i två delar – en då räknare och formelsamling inte är tillåten och en där dessa är tillåtna som hjälpmedel. Så är nationella provet och de flesta matematiklärares prov uppbyggda. Det som var unikt var att han inte bara beskrev en nivågruppering, utan att varje uppgift kunde ge E-, C- och/eller A-poäng, precis som uppgifterna på nationella provet.

Svaren på frågorna i första frågeformuläret skiljer sig inte åt mellan olika lärare beroende, på kön, ämnesbehörighet, vilka kurser man undervisar i, eller vilka program man undervisar på. Svaren skiljer sig inte heller beroende på om man verkade på en stor eller liten gymnasieskola.

4.4 Resultat av andra frågeformuläret

I det andra frågeformuläret (se bilaga 4) ombads lärarna att för tio olika uppgifter om bråk ange om var och en av dessa är en uppgift på grundläggande nivå eller avancerad nivå, och vilken av de sju förmågorna uppgiften mäter färdigheterna i. Inspiration till uppgifterna hämtades från fyra olika läroböcker i matematik 1b för gymnasieskolan, digital uppgiftsbank till en av dessa läroböcker samt nationellt prov i matematik 1b. Baserat på hur de olika källorna klassificerade uppgifterna konstruerades uppgifter som kontrollerade olika förmågor och som var på grundläggande nivå eller avancerad. Bland de tio uppgifterna fanns sex av förmågorna representerade - Begrepp, Procedur, Metod, Tolkning, Resonemang och Kommunikation. Den enda förmågan som inte fanns representerad bland uppgifterna var Relevans. 8 uppgifter var grundläggande och en uppgift var på avancerad nivå. För att göra det hela svårare var en uppgift på mellannivå. Två lärare svarade på andra frågeformuläret. Båda hade längre erfarenhet som lärare.

Den ena läraren svarade att samtliga tio uppgifter var på grundläggande nivå och att de alla behandlade förmågan Procedur. Den andre läraren svarade att fyra av uppgifterna behandlade förmågan Begrepp på grundläggande nivå. Två av uppgifterna behandlade förmågorna

33

Begrepp och Procedur på grundläggande nivå. Två av uppgifterna behandlade förmågorna Begrepp, Procedur och Metod på grundläggande nivå. En uppgift behandlade förmågorna Begrepp, Procedur, Metod och Tolkning på grundläggande nivå. Till sist svarade läraren att en av uppgifterna behandlade förmågan Begrepp på grundläggande nivå samt förmågorna Procedur och Metod på avancerad nivå.

Övriga tre lärare valde av olika skäl att inte svara på det andra frågeformuläret. Gemensamt i motiveringen av varför man inte svarade på frågeformuläret var att en kompetent matematiklärare kan bedöma elevernas matematiska förmåga utan att blanda in de sju förmågorna som anges i ämnesplanen för matematikämnet. Ett ord som återkom var ”flum”.

4.5 Resultatanalys av andra frågeformuläret

Det andra frågeformuläret syftade till att undersöka om lärare på ett sådant enkelt område inom matematiken som bråk kunde avgöra vilken förmåga som var och en av uppgifterna mäter färdigheterna i och om de var på grundläggande nivå eller avancerad nivå. Bråk introduceras inom matematiken redan i grundskolans första årskurser. I kursplanen för matematikämnet anges i centralt innehåll för årskurs 1-3 bland annat (Skolverket, 2011, s 63):

Del av helhet och del av antal. Hur delarna kan benämnas och uttryckas som enkla bråk samt hur enkla bråk förhåller sig till naturliga tal.

Hänsyn till matematikämnets sju förmågor togs inte av alla lärare, trots att riktlinjerna är tydliga: ”Undervisningen i ämnet matematik ska ge eleverna förutsättningar att utveckla förmåga att…” (Skolverket, 2011, s 90) varefter de sju förmågorna listas och beskrivs. I första frågeformuläret beskrev lärare med kortare erfarenhet i större utsträckning att de strävade att alla sju förmågorna skulle finnas representerade på proven, men med tanke på svaren tycks vissa lärare tycka att förmågorna är ”flum” och slöseri med tid. Detta ligger i linje med vad forskning har visat (Nordgren m fl, 2012), nämligen att innehållet ligger i fokus, istället för förmågorna. Det leder till att undervisningen ger eleverna för lite träning i de olika förmå-gorna och därför är dåligt förberedda för det nationella provet. Den attityd till förmåförmå-gorna som lärarna ger uttryck för genom att svara att dessa är ”flum” innebär att alla sju förmågorna riskerar att inte finnas representerade i provet. Proven får bristande giltighet eftersom allt väsentligt – såsom alla sju förmågorna – inte finns representerat på proven (Linde, 2003).