Lecture_10_MVE606_585_Max_Min_Mellanvärdessats_Derivator.pdf: MVE605 Inledande matematik

Föreläsning 10 i Inledande matematik för Z/TD.

Maximum och minimum av kontinuerliga funktioner

på ett begränsat slutet intervall. Satsen om

mel-lanliggande värden. Tangenlinjer.

Introduktion.

Vi kommer att introducera ett begrepp "kontinuerlig utvidgning" för en funk-tion. Vi betraktade faktiskt detta i sista exemplet i föregående föreläsning utan att nämna det.

Vi formulerar satsen om sammansatta kontinuerliga funktioner som följer från motsvarande satsen för gränsvärden.

Vi kommer att betrakta två mera komplicerade satser om kontinuerliga funktioner och dess användning.

Den ena är satsen som ger villkor då en kontimuerlig funktion uppnår sitt maximum och sitt minimum.

Andra satsen är satrsen om mellanliggandevärden som låter införa en enkel metod att beräkna rötter för kontinuerliga funktioner - Intervallhalveringsmetod (The Bisection method in English)

Sedan kommer vi att börja ett nytt kapitel i kursen - om derivator.

Kontinuerlig utvidgning, och försumbar diskontinuitet. Adams

sid. 82-83.

Vi påminner de…nitionen av kontinuitet för en funktion f i en punkt a.

lim

x!af (x) = f (a)

De…nitionen på kontinuitet innehåller faktiskt två villkor: 1) att f har ett gränsvärde då x går mot a:

2) att värdet av f (a) är lika med limx!af (x):

De…nition. Kontinuerlig utvidgning (continuous extension in English). Låt gränsvärde

lim

x!cf (x) = L

existera.

Låt …nktionen f vara ode…nierad i x = c; eller vara icke kontinuerlig i punkten x = c.

De…niera en "utvidgad" funktion F på följande sätt

F (x) = f (x) x6= c lim_x!cf (x) = L x = c

F de…nierad på det viset är kontinuerlig per de…nition, och kallas för kontin-uerliga utvidgningen av f till punkten x = c.

f (x) = x 2_sin 1 x x6= 0 odef inierad x = 0 0.1 0.05 0 -0.05 -0.1 0.01 0.005 0 -0.005 -0.01 x y x y

Det verkar att funktionen går mot noll då x går mot noll...

Man kan tillämpa instängningssatsen (satsen om två polismännen) för att bevisa detta.

Observera att

1 sin 1

x 1; x6= 0 Detta medför att

x2 x2sin 1 x x

2_{; x}

6= 0 Observera nu att lim_x!0 x2 _{= 0 och lim}

x!0x2 = 0 Då måste lim x!0x 2 sin 1 x = 0 enligt instängningssatsen.

Den funktionen är ode…nierad i x = 0

Om vi utvidgar funktionen till x = 0 så att utvidgade funktionen g har värdet g(0) = 0, i 0 g(x) = x 2_sin 1 x x6= 0 lim_x!0x2_sin 1 x = 0 x = 0 så blir g kontinuerlig i x = 0 : Exempel 7. sid 82 f (x) = x2 x

x 1, då x 6= 1. Ange en kontinuerlig utvidgning till f i punkten x=1:

x2 _x x 1 = x(x 1) x 1 = x ; x6= 1 =_{) lim} x!1 x2 _x x 1 = limx!1x = 1 F (x) = x2 _x x 1 x6= 1 1 x = 1 = x

Sammansatta kontinuerliga funktioner. Adams Th. 7 sid.

82.

Låt f (g(x) vara de…nierad på ett intervall som innehåller punkten c. Låt lim_x!cg(x) = L och f vara kontinuerlig i L:

Då

lim

x!cf (g(x)) = f limx!cg(x) = f (L)

Om g är kontinuerlig i c så att g(c) = L, då är f g(x) = f (g(x)) kontinuerlig i c.

lim

x!cf (g(x)) = f (g(c))

Bevis är Exercise 37 i kap. 1.5 Adams.

Max-Min satsen. Adams Th. 8, sid. 83.

Låt f vara kontinuerlig på ett begränsat slutet intervall [a; b]. Då …nns punkter p och q i [a; b] sådana att

f (p) f (x) f (q) för alla x 2 [a; b]:

Detta betyder att en funktion f kontinuerlig på ett begränsat slutet intervall måste anta sitt absoluta (globala) maximum och sitt absoluta (globala) minimum på det intervallet. max x2[a;b]f (x) = f (q) min x2[a;b] f (x) = f (p) Motexempel.

Satsen om mellanliggande värden. Adams Th. 9, sid 85.

Betrakta en funktion f kontinuerlig på ett intervall [a; b] och dess värden f (a) och f (b) i endpunkterna.

Satsen påstår att om talet s ligger mellan f (a) och f (b) så måste …nnas ett tal c_{2 [a; b] sådant att}

f (c) = s; c_{2 [a; b]}

Geometriska meningen med satsen är linjen genom s parallell med x - axeln måste trä¤a den röda f -s graf någonstans. Trä¤punkten har x -koordinatan c av den skärningspunktensom nämns i satsen.

f (x) = 1 x=2 x2 [0; 0:5)

x=2 x_{2 [0:5; 1]} . Välj s = 0:6 (röda linjen) och observera att den inte trä¤ar funktionens graf.

1 0.75 0.5 0.25 0 1 0.875 0.75 0.625 0.5 0.375 0.25 x y x y Exempel 10, sid. 85

Bestäm intervall där funktionen f (x) = x3 _{4x är positiv och negativ. Lös det}

själv!

Att hitta rötter av funktioner numeriskt.

Intervallhalver-ingsmetoden (Bisection method in English)

Adams sid. 85-86. (det blir en labb i Matlab om detta för TD).

Vi kollar sedan tecknet av f i mittenpunkt a2 på intervallet [a; b]. Det är f (a2) <

0. Detta medför enligt satsen om mellanliggande värden att f måste ha en nollpunkt (rot) på det mindre intervallet [a2; b]:

Sedan repeterar vi samma procedur på intervallet [a2; b]. Vi betraktar dess

mit-tenpunkt a3 = a2₂+b och tecknet av f i den punkten. Vi ser från bilden att f (a3) > 0.

Detta medför att f har ett nollställe (rot) på intervallet [a2; a3]. Valet av

halvinter-vall på varje steg beror på, i vilket halvinterhalvinter-vall funktionen f byter tecknet och har ett nollställe (rot).

Om värdet f (a3)skulle vara negativ på det steget: f (a3) < 0så skulle intervallet

[a3; b] väljas på det steget.

Varje nytt intervall blir kortare än föregående och skall konvergera till en punkt som är ett nollställe för f:

Observera att vi kan hitta bara ett nollställe hos f på det viset.

Tangentlinjer till grafer och deras lutning. Derivatan.

Adams sid. 97-98.kapitel 2.1

Non-vertikala tangentlinjer De…nition.

Låt en funktion f vara kontinuerlig i x = x0 och

lim

h!0

f (x + h) f (x)

h = m

existerar. En rät linje genom punkten (x0; f (x0)) me dlutningen m kallas

tan-gentlinje till grafen av f .

y = f (x0) + m(x x0)

Exempel. 1 sid 97 i Adams f (x) = x2. x0 = 1. f (x0) = 1. m = lim h!0 f (1 + h) f (1) h = limh!0 (1 + h)2 ₁ h = = lim h!0 1 + 2h + h2 ₁ h = limh!0 2h + h2 h = limh!0 2 + h 1 = 2 y = 1 + 2(x 1) Motexempel Exempel.

5 2.5 0 -2.5 -5 5 3.75 2.5 1.25 x y x y en tangentlinje i x = 0?

Vi försöker beräkna gränsvärdet

lim h!0 f (0 + h) f (0) h = limh!0 jhj h =???

Det gränsvärdet saknas eftersom vänster och höger gräsnvärden existerar men är olika: Vänstergränsvärde (h < 0) lim h!0 f (0 + h) f (0) h = limh!0 jhj h = limh!0 h h = 1 Högergränsvärde (h > 0) lim h!0+ f (0 + h) f (0) h = limh!0+ jhj h = limh!0+ h h = 1 Vertikala tangentlinjer. Exempel f (x) =p3 _x 5 2.5 0 -2.5 -5 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 x y x y De…nition 2 sid. 98.

Grafen till funktionen f har en vertikal tangent i en punkt x0 i fall

lim

h!0

f (x + h) f (x0)

h = 1

Lutning av en graf i en punkt är lutningen av dess tangentlinje om den existerar.

Exempel. 5. sid. 99 i Adams

Bestäm lutningen av y = x= (3x + 2) i punkten x = 2:Gär själv.

Motexempel. f (x) = x2=3 =p3x2_{: Betrakta punkten (x; f (x)) = (0; 0):} lim_h!0+ f (x+h) f (x0) h =1 lim_h!0 f (x+h) f (x0) h = 1

Det saknas även oändliga gränsvärden trots att grafen ser "…nt ut".

Dett gör att tangentlinjen (även vertikala tangentlinjen) saknas här i origo.

5 2.5 0 -2.5 -5 2.5 2 1.5 1 0.5 x y x y

Normal till en graf.

normalens_lutning = 1

tan gentens_lutning Bevisas med hjälp av additionsformler för sin och cos.

Exempel 6, sid. 99 i Adams.

Hitta en ekvation för tangentlinjen och ekvation for normallinen som går genom punkten (4; 2) på grafen y = px. (löses med hjälp av multioplikation och division med konjugat )