Uppvärmning av asfaltbeläggningar med hjälp av strålning : En teoretisk analys för bedömning av temperaturfördelningen och den tillgodogjorda värmeenergin

Nr 191 - 1980

ISSN 0347-6030

191

Statens väg- och trafikinstitut (VTI) - 581 01 Linköping

National Road & Traffic Research Institute - S-581 01 Linköping - Sweden

Uppvärmning av

asfaltbelägg-ningar med hjälp av strålning.

En teoretisk analys för bedömning

av temperaturfördelningen och

den tillgodogjorda värmeenergin.

Förord

Föreliggande studie har gjorts med institutets egna medel. Den utfördes under senare hälften av 1979.

Linköping i januari 1980

I N N E H A L L S F O R T E C K N I N G REFERAT ABSTRACT SAMMANFATTNING SUMMARY INLEDNING TEMPERATURFÖRDELNING I EN ASFALTBE-LÄGGNING VID OLIKA TEMPERATURER OCH UPPVÄRMNINGSTIDER HOS UPPVÄRMNINGS-ENHETEN. JÄMFÖRELSER MED PUBLICERADE RESULTAT ENLIGT ANNAN BERÄKNINGS-METOD

TEMPERATURFÖRDELNING I EN ASFALTBE-LÄGGNING VID OLIKA TIDPUNKTER EFTER DET ATT EN UPPVÄRMNINGSENHET PASSE-RAT

Allmänt

Vid 30 sekunders uppvärmning Vid 60 sekunders uppvärmning Vid 90 sekunders uppvärmning Vid 120 sekunders uppvärmning Vid 150 sekunders uppvärmning

Kommentarer

TEMPERATURFÖRDELNING I EN ASFALTBE-LÄGGNING VID OLIKA TIDPUNKTER EFTER DET ATT FLERA UPPVÄRMNINGSENHETER PASSERAT Allmänt VTI RAPPORT 191 Sid II III VI \ 1 U 1 U 1 U 1 11 13 15 15

Sid 4.2 Vid två uppvärmningar om 60 sekunder

åtskilda av olika lång avsvalning 15 4.3 Vid två uppvärmningar om sammanlagt

120 sekunder åtskilda av åtta

minu-ters avsvalning 19

4.4 Bestämning av erforderlig förvärm-ningstid för att få samma effektiva djupeffekt vid en ökning av

hastig-heten ₂₀

5 INNEHÅLL AV VÄRMEENERGI I ETT BE-LÄGGNINGSSKIKT VID OLIKA TIDPUNKTER EFTER DET ATT EN UPPVÄRMNINGSENHET

PASSERAT 23

.1 Allmänt 23

Vid 30 sekunders uppvärmning 23 Vid 60 sekunders uppvärmning 25 Vid 90 sekunders uppvärmning 25 Vid 120 sekunders uppvärmning 26 Vid 150 sekunders uppvärmning 27 Diskussion om verkningsgrader 28 6 INNEHÅLL AV VÄRMEENERGI I ETT

BE-LÄGGNINGSSKIKT VID OLIKA TIDPUNKTER EFTER DET ATT FLERA

UPPVÄRMNINGS-ENHETER PASSERAT 34

6.1 Allmänt 34

6.2 Vid två uppvärmningar om 60 sekunder

åtskilda av olika lång avsvalning 34

6.3 ' Vid två uppvärmningar om sammanlagt 120 sekunder åtskilda av åtta

minu-ters avsvalning 35

6.4 Vid problemställningen enligt 4.4 35

6.5 Diskussion om verkningsgrader 36

7 TILLÄMPNING AV MODELLEN PÅ ETT PRAKTISKT FALL

8 REFERENSER

9 FÖRTECKNING ÖVER BILAGOR

VTI RAPPORT 191

Sid

41 47

Uppvärmning av asfaltbeläggningar med hjälp av strål-ning. En teoretisk analys för bedömning av temperatur-fördelningen och den tillgodogjorda värmeenergin

av Anders Björklund

Statens väg- och trafikinstitut (VTI) 581 01 LINKÖPING

REFERAT

Underhåll av asfaltbeläggningar tillmäts allt större betydelse. Bland annat har metoder som innebär att den befintliga vägytan först uppvärms kommit till användning. I denna rapport redovisas numeriska resultat av en här-ledd beräkningsmetod som anger en asfaltbeläggnings temperatur under och efter utsatt värmeöverföring genom strålning. Energiförhållanden studeras också. Uppgjorda program för Hewlett-Packards kalkylator HP-97 har till-lämpats. De förutsättningar och antaganden som analysen bygger på är dock idealiserade.

Av resultaten framgår den relativt höga yttemperatur som uppnåtts när strålningen upphör och vars storlek beror på uppvärmningstidens längd. Yttemperaturen avtar emellertid snabbt om ingen isolering av ytan sker. Vär-mens nedträngning i beläggningen kommer då att ta rela-tivt lång tid. Vid flera uppvärmningar kan resultaten superponeras.

Om en eventuell åtföljande rivning av ett skikt anses tillåten då temperaturen överstiger en viss nivå bör den ske någon tid efter avslutad uppvärmning. Kanske kan emellertid en rivning ske tidigare. Den högre värme-energin i ytskiktet kan då i stället utnyttjas vid för-nyad utläggning och packning.

II

Heating of Asphalt Pavements by Use of Radiation. A Theoretical Analysis for the Estimation of the

Temperature Distribution and the Heat Energy Utilized by Anders Björklund

The National Swedish Road and Traffic Research Institute (VTI)

5-581 01 LINKÖPING Sweden

ABSTRACT

Greater and greater importance is attached to the main-tenance of asphalt pavements. Among other things,

methods which involve preheating of the existing road

surface have been used.

In this report, numerical results of a derived method of calculation giving the temperature of an asphalt pavement during and after heat transfer by radiation are presented. Energy conditions are also studied.

Programs made for the Hewlett-Packard Calculator, HP-97, have been applied. The assumptions which the analysis

is based on are, however, idealized.

From the results it appears that the surface temperature is comparatively high when the radiation ceases, and that its magnitude is dependent on the length of heating time. However, the surface temperature decreases fast if no insulation of the surface takes place. The pene-tration of heat into the pavement will then take a comparatively long time. After several periods of heating the results can be superposed.

If subseguent cutting, if any, is considered allowed in a pavement layer when the temperature exceeds a certain level, it ought to take place some time after completion of heating. Perhaps, however, cutting can be done

earlier. The higher heat energy in the surface layer can then be used in renewed laying and compaction

ope-rations instead.

III

Uppvärmning av asfaltbeläggningar med hjälp av strål-ning. En teoretisk analys för bedömning av temperatur-fördelningen och den tillgodogjorda värmeenergin.

av Anders Björklund

Statens väg- och trafikinstitut (VTI) 581 01 LINKÖPING

SAMMANFATTNING

Underhåll av asfaltbeläggningar har under senare år tillmätts allt större betydelse. Bland annat har me-toder som innebär att den befintliga vägytan först upp-värms kommit till användning.

I denna rapport redovisas numeriska resultat av en här-ledd beräkningsmetod som anger en asfaltbeläggnings temperatur under och efter utsatt värmeöverföring genom strålning. Metoden innebär också att man genom super-ponering enkelt kan bilda sig en uppfattning om flera på varandra följande uppvärmningsenheters inverkan på temperaturfördelningen.

Ett analogt tillvägagångssätt kan tillämpas för uppskatt-ning av den i ett visst belägguppskatt-ningsskikt vid olika tid-punkter befintliga energin. De numeriska resultaten har erhållits med hjälp av Hewlett-Packards kalkylator HP-97. Ett program för temperaturbestämningen och ett för ener-gin har använts, vilka återges och förklaras i rapporten. Av resultaten framgår den relativt höga yttemperatur som uppnåtts när strålningen upphör och vars storlek beror av uppvärmningstidens längd. En god överensstämmelse har här erhållits med publicerade resultat efter en annan beräkningsmetod. Analysen visar dock att yttemperaturen snabbt avtar om ingen isolering av ytan sker. Värmens nedträngning i beläggningen kommer då att ta relativt

lång tid.

IV

Beräkningsmetoden har tillämpats på ett praktiskt fall. Beräknade och erhållna temperaturer har därvid uppvisat god överensstämmelse med antagandet om en rimlig

stor-lek på den strålande temperaturen. Jämförelsen har dock endast kunnat ske under en avsvalningstid som varit nå-got längre än uppvärmningstiden i fråga.

En uppvärmning av en beläggning åtföljs ibland av en rivning. Om man antar att denna med gott resultat en-dast kan utföras då beläggningens temperatur inte under-stiger en viss storlek, här satt till 1OOOC, får man olika möjliga rivningsdjup. Det beror bl a på när man avser att riva. När yttemperaturen gått ned till lOOOC når man ett största möjliga rivningsdjup. Vi har defini-erat den här situationen som den optimala för uppvärm-ningen i fråga. Såväl uppvärmningstidens längd som den

strålande temperaturen hos värmningsenheten påverkar det optimala tillståndet. Det visar sig också att det optimala rivningsdjupet avtar om en enda uppvärmning uppdelas i flera små men med oförändrad total varaktig-het. För att kunna öka framdriften hos ett befintligt värmnings- och rivningsaggregat skulle då en viss för-värmning behöva sättas in. Omfattningen av denna visar

sig bero på bl a tidsavståndet till den ursprungliga en-heten. Detta påverkas i sin tur av värmens nedträngnings-hastighet. Möjligheterna att utnyttja avståndet mellan uppvärmningarna för lastbilar med ny asfaltmassa är i praktiken också tillvaratagna.

Den i beläggningen befintliga energin är intimt förknip-pad med temperaturförhållandena. Med antagandet att en

strålande temperatur på ca 10OOOC svarar mot en angiven effekt på 175 kW/mz, har vi gjort uppskattningar av verk-ningsgraden. Den definieras här som förhållandet mellan det i det aktuella beläggningsskiktet befintliga energi-tillskottet och den under uppvärmningen avgivna energin. Bedömningarna blir givetvis behäftade med osäkerheter, då t ex uppgifter om effektbehov (inkl slitage) vid framdrift med efterföljande rivningsaggregat saknas. VTI RAPPORT 191

Verkningsgraden blir emellertid allt lägre vid ett ökat optimalt rivningsdjup, vilket följande tabell får illus-trera:

Uppvärmningstid Optimalt rivningsdjup Verkningsgrad

(8) (cm) (z) 30 1 31-39 60 1,5 24-35 90 1,9 20-32 120 2,2 18-29 150 2,5 16-28

Eftersom det krävs en längre total uppvärmningstid vid en uppdelning för att nå ett givet optimalt rivningsdjup kommer verkningsgraden att bli lägre.

De förutsättningar och antaganden som analysen och följ-aktligen också de ovan dragna slutsatserna baseras på av-viker i högre eller lägre grad från verkligheten. Mate-rialparametrars temperaturberoende, fukt- och vindför-hållanden, den strålanden ytans utformning och närhet till beläggningsytan har t ex ej kunnat beaktas i model-len. Även om temperaturfördelningarna väl skulle svara mot verkliga förhållanden kan kanske en rivning till det optimala djupet ske tidigare. Visserligen kommer man då att riva även där materialet har lägre temperatur än 1OOOC men den högre värmeenergin i ytskiktet kan åtmin-stone till viss del utjämnas i det rivna materialet. En kommande packning med ny varm asfaltmassa skulle då un-derlättas. Möjligheterna till utläggning och packning av det rivna materialet på ett annat ställe skulle också förbättras. Det är mycket möjligt att en högre verknings-grad skulle kunna uppnås på detta sätt, eftersom en

större värmeenergi tillgodogörs processen. Detta kan ske trots att energibehovet för framdrift vid rivningen

(inkl slitage) rimligen ökar. Maskiner och metoder på marknaden uppvisar olikheter i bl a just detta avseende. Det tekniskt-ekonomiska resultat som de åstadkommer bör

ligga till grund vid val av tillvägagångssätt. VTI RAPPORT 191

VI

Heating of Aspahlt Pavements by Use of Radiation. A Theoretical Analysis for the Estimation of the

Temperature Distribution and the Heat Energy Utilized by Anders Björklund

The National Swedish Road and Traffic Research Institute

8-581 01 LINKÖPING Sweden

8 UMMA RY

In recent years, greater and greater importance has been attached to the maintenance of asphalt pavements. Among other things, methods which involve preheating of

the exisiting road surface have been used.

In this report, numerical results of a derived method of calculation giving the temperature of an asphalt pavement during and after heat transfer by radiation are presented. The method also implies that, by super-position, you can easily get a conception of the

temperature distribution caused by several successive heaters.

An analogous procedure is applicable to the estimation of the existing energy of a certain pavement course at different times. The numerical results were obtained by use of the Hewlett-Packard calculator, HP-97.

One program for the determination of the temperature and another for the energy were applied, which are reproduced and explained in this report.

From the results it appears that the surface temperature is relatively high when the radiation ceases, and that its magnitude is dependent on the length of heating time. This is in good agreement with published results obtained by another method of calculation. However, the analysis shows that the surface temperature decreases fast if no insulation of the surface takes place. The VTI RAPPORT 191

VII

penetration of heat into the pavement will then take a comparatively long time.

The method of calculation was applied to a practical case. Calculated and obtained temperatures then showed good agreement with the assumption of a reasonable mag-nitude of the radiant source temperature. However, it was only possible to make the comparison during a cooling time slightly longer than the heating time in question.

The heating of a pavement is sometimes followed by cutting. Assuming that, with good results, this can only be done when the temperature is above a certain level, which is here put at 212 OF (100 OC),all possible depths of cutting will be obtained. It depends when, among other things, you intend to cut. When the surface temperature has decreased to 100 0C, the greatest

possible depth of cutting is reached. We have defined this situation as the optimum for the heating in

question. The length of heating time, as well as the radiant source temperature, influences the optimum con-dition. It also appears that the optimum depth of

cutting decreases if one single period of heating is divided into several small ones with unaltered total duration. To be able to increase the capacity of an existing heating and cutting machine, a certain amount of preheating would be necessary. The extent of this preheating appears to depend on, among other things, the distance in time to the original unit, which, in turn, is affected by the penetration velocity. The

possibilities of using the distance between the heaters for trucks with new hot-mix are also utilized in

prac-tice.

The existing energy in the pavement is closely related to the temperature conditions. Assuming that a radiant

O

source temperature of 1800 F (982 0C) corresponds to VTI RAPPORT 191

VIII

an emitted effective power of 175 kW/mz, we have made estimations of the efficiency of the process. It is here defined as the ratio between the present energy contri-bution in the course under consideration and the energy emitted during heating. The judgements will, of course, be subject to uncertainties as, for instance, infor-mation concerning effective power requirements (incl. wear) in operations with subsequent cutting is lacking. The efficiency will, however, be lower and lower with an increased optimum depth of cutting, which can be illustrated by the following table.

Optimum depth

Heating time of cutting Efficiency

(s) (inches) (%) 30 0.4 31 - 39 60 0.6 24 - 35 90 0.7 20 - 32 120 0.9 18 - 29 150 1.0 16 - 28

Since, when dividing a heating period, a longer total heating time is required to arrive at the optimum depth of cutting given, the efficiency will be lower.

The assumptions which the analysis and, consequently, also the above-drawn conclusions are based on deviate to a greater or lower extent from reality. In the model it has not been possible to consider, for instance, the temperature dependence of the constants of the material, moisture conditions, the states of the wind, the design of the radiant surface and its vicinity to the pavement surface. Even if the temperature distributions should thoroughly reflect real circumstances, cutting to the optimum depth may be done earlier. You will then cut, it is true, also where the material has a temperature lower than 212 0F, but, at least to some extent, the

IX

greater amount of heat energy in the surfacing can be equalized in the cut material. The subsequent compaction with new hot-mix would then be facilitated. The possi-bilities of renewed laying and compaction of the cut material on another site would also be improved. It is quite possible that higher efficiency could be attained in this way as a greater amount of heat energy is

utilized in the process. This can be done in spite of the fact that, during the operations, the energy

requirements are quite likely to increase. Machines and methods available on the market show dissimilarities in, among other things, this respect. The technical and

economical result that they produce ought to be the basis of the choice of procedure.

1 INLEDNING

Den relativt kraftiga prisstegringen på asfaltmassor som skett under senare år har medfört ett ökat int-resse för resursbesparande metoder för Underhåll av as-faltbeläggningar. Slitna och deformerade beläggningar förvärms nu ofta med speciella maskiner, varvid endast en mindre mängd ny asfaltmassa krävs för att få en god sammanfogning med den befintliga beläggningen.

Meto-derna benämns ofta heating och hepaving.

Den uppvärmda beläggningen kan ofta även rivas och blandas med ny massa i en efterföljande enhet. Denna

metod går under benämningen necycfing. Förutom mindre

massaåtgång kan ofta en del övriga besparingar göras. T ex behöver man i många fall endast åtgärda ett av flera körfält. Vidare kan man slippa utföra ny trafik-linjemålning. I tätorter undvikes kantstenshöjningar. På något håll (1) har temperaturfördelningen i belägg" ningen vid sådana arbeten diskuterats. Till grund för dessa diskussioner har med dator framräknade tempera-turer legat. De har dock enbart gällt uppvärmnings-stadier. Farhågor som då förts fram är förstörelse av asfalten genom för hög yttemperatur men även problem förknippade med värmens ringa inträngningsdjup och en åtföljande rivning av befintlig beläggning.

Avsikten med föreliggande arbete har varit att på teo-retisk väg försöka skaffa sig ytterligare information om temperaturfördelningen. Intresset har då riktats mot vad som sker efter det att en eller flera uppvärm-ningsenheter förts fram över beläggningen. Dessutom har målet varit att bilda sig en uppfattning om den värmeenergi som meningsfullt kan tillgodogöras belägg-ningen d v s så att underhållsmetoderna fungerar opti-malt.

2 TEMPERATURFÖRDELNING I EN ASFALTBELÄGGNING VID OLIKA TEMPERATURER OCH UPPVÄRMNINGSTIDER HOS UPPVÄRMNINGSENHETEN. JÄMFÖRELSER MED PUBLICERADE RESULTAT ENLIGT ANNAN BERÄK-NINGSMETOD

I (1) redovisas temperaturfördelningen på djupet i en beläggning omedelbart efter det att en uppvärmnings-enhet passerat. Diffusiönsekvationen i en dimen-sion ligger till grund. Begynnelsetemperaturen är

konstant, 70°F (21°c , OCh randvillkoret vid ytan

be-stäms av att värmeöverföringen sker genom strålning. Man har bildat en ekvivalent konventionskoefficient för denna, vilken emellertid blir starkt temperatur-avhängig. Vid lösningen av värmeledningsekvationen har man därför använt sig av ett iterativt förfarande (se även (2)) varvid den ekvivalenta konvektionskoeffici-enten korrigerats vid varje iteration.

Vid beräkningen har det ansetts motiverat att använda följande värden på övriga ingående parametrar:

1. Termisk diffusivitet (k)

k = 0,0227 ftz/hr (0,002 mz/tim)

2. Termisk konduktivitet (Å)

Ä = 0,7 BTU/hr ftOF (1,21 W/mOC)

3. Djup (X)

.X = 0-1" (25 mm) i steg om 1/8" (0,0032 m) 4. Exponeringstider: 15, 30, 45 och 60 sekunder 5. Strålande temperaturer hos uppvärmningsenheten:

1000°F<538°c , 14OOOF (76OOC) och 1800°F (9820C)

På sidan fyra finns resultaten uppritade för 30

och 60 sekunders exponeringstid och med en strålande temperatur hos uppvärmningsenheten på 9820C (heldragna kurvor).

I bilaga 1 härleds temperaturfördelningen analytiskt. För att kunna göra detta har ett medelvärde på den

ekvivalenta konvektionskoefficienten vid strålning bil-dats. Lösningen anges av ekv. (10) med t = t1 och med d = 908.02 m_1. Temperaturkurvorna enligt denna lösning finns också inritade (streckade). Kompletterande kurvor för 15 och 45 sekunders exponering finns då även med. Till hjälp vid den numeriska behandlingen har ett upp-gjort program för Hewlett-Packards kalkylator HP-97 tjänat. Detta beskrivs närmare i bilaga 4.

Relativt god överensstämmelse tycks föreligga mellan de båda beräkningsmetoderna. Observera emellertid att den här beskrivna metoden, med det i bilaga 1 ansatta värdet på den ekvivalenta konvektionskoefficienten, givit ca ZOOC lägre temperatur.

TEMPE RATUR | 'C 2 m 100 :30 3:30 4100 1 5:30 14-1 leooçJ-l 7 / // I /ç / / // ,, ,/' løçø +//+a 3 / / / / / / / 0,5- / / / /

mn

.

M/ ./ ./,

/ // / ,/

/ / / /

318" m _ ?- /+/. /+//+/+

1/ / /

,, , / / - -- - - -- HÄR BESKRIVEN METOD 2 T f f sm.. (2)

l/ /

15 II / 5/8" . + +

4 l/

. I] 311.' 1! 2.0- I 7 I 1 wa" w 25 4 17 DJUP! TUMOCHCM

Figur 1. Jämförelse mellan resultat med här beskriven (1) och (2). Värm-ningsenhetens temperatur 9820C (18OOOF),

ex-30, 45 och 60 sek. Belägg-ningens begynnelsetemperatur 21OC (7OOF). metod och metod angiven i

poneringstid 15,

3 TEMPERATURFÖRDELNING I EN ASFALTBELÄGGNING VID OLIKA TIDPUNKTER EFTER DET ATT EN UPP-VÄRMNINGSENHET PASSERAT

3.1 Allmänt

När en uppvärmningsenhet passerat en punkt förändras det s k randvillkoret. Om man har en fullständig iso-lering av ytan sker ingen värmeförlust till luften. Värmen kommer i stället att tränga ner genom vägkrop-pen. Om ingen eller dålig isolering föreligger kommer däremot värme även att avges uppåt. Det visar sig att analysen förenklas om Vi förutsätter att ingen som helst isolering finns och att tillika den ekvivalenta konvektionskoefficienten för strålning är densamma vid beläggningens avsvalning som vid dess uppvärmning. Detta framgår av överläggningarna i bilaga 1. I det följande redovisas temperaturfördelningarna vid olika tidpunkter efter det att en uppvärmning skett. Effek-terna av 30, 60, 90, 120 och 150 sekunders exponering har studerats och de numeriska beräkningarna har

skett med programmet i bilaga 4.

3.2 Vid 30 sekunders uppvärmning

Med oförändrade värden på termisk diffusivitet och termisk konduktivitet och med en strålande temperatur hos uppvärmningsenheten på 9820C erhålles följande temperaturfördelningar vid ett antal olika tidpunkter.

OS 0 1(1) 200 300 'C AVSVALNINGS'HD

2 DJUPI CH 5 S 105 155 0 100 200 2C!) 'C AVSVALNlNGSTlD DJUP1CM 205 255 305 DJUPI CM 35 S LO 5 1.5 S °C AVSVALNlNGSTID DJUPI OH 505 55 s 60 5 °C AVSV DJUPI CM 150 s 240 s 3005 0 199 202_/\/ Q 190 200 /\/ 100 200 'C AVSVALNINGS-TID 1 +-r0PP 1

+- TOPP - e_- TOPP

2 2

3 3 DJUP I CM

3.3 Vid 60 sekunders uppvärmning

Med denna uppvärmningstid och i övrigt oförändrade betingelser blir temperaturfördelningarna enligt

föl-jande: OS 105 °C AVSVALNI NGST 50

3 3 DJUPI CH 20 5 30 5 'C AVSVALNlNGSTID DJUP I CM 1.05 SOS 0 100 200 0 00 203 °C AVSVALNINGSTID DJUP l CM 60 S 70 5 'C AVSVALNINGSTID DJUP I CM O 100 200 0 100 200 'C AVSVALNINGSTID DJUP I CM VTI RAPPORT 191

1005 110 S 'C AVSVALNiNGSTID DJUP I CM 1203 0 100 200 'C AVSVALNINGSTID DJUP l CM 21.03 o 52 190 'c AVSVALNINGSTID 1 2 3 DJUPI CM 3605 190 AOC °C AVSVALNINGSTID O 1 2 3 DJUP I CM VTI RAPPORT 191

3.4 Vid 90 sekunders uppvärmning 05 105 'C AVSVALNINGS TID

DJUP! CM 205 305 0 100 ZCX) 300 1.00 0 100 200 300 'C AVSVÅLNINGSTlD DJUPI CM LO S 50 3 'C AVSVALNINGSTID DJUP l CM 605 703 'C AVSVAL NI NGSTI D

DJUPI CM 808 905 °C AVSVALNINGSTID DJUP! CM 100 S 1105 0 'C AVSVALNINGSTID DJUP! CM VTI RAPPORT 191

10

3.5 Vid 120 sekunders uppvärmning

OS 105 0 100 200 300 400 700 0 500 'C AVSVÅLN I NGS TI 0

DJUP I CN 205 305 0 100 100 200 'C AV SVALNINGST ID DJUP I CM 405 505 'C AVSVALNI DJUP I CM .605 705 'C ÅVSVALNI NGSTlD DJUPI CM 805 908 DJUPI CM mos nos 'C AVSVALNINGSTID DJUP I CM VTI RAPPORT 191

11

3.6 Vid 150 sekunders uppvärmning

OS 105 'C AVSVALNINGS TID

3 3 DJUP I CN 205 305 0 100 200 300 1.00 500 0 103 200 300 1.00 'C AVSVALNINGSTID DJUP I CM 40 S 50 5 °C AVSVALNlNGSTID 3_ 3 DJUP l CM SOS 70 5 'C AVSVALNlNGSTID DJUP I CM 80 S 905 'C AVSVALNINGSTID 3 3 DJUPI CM 1005 110 S 0 100 200 300 'C AVSVALNINGSTHJ 3 3 DJUP I CM VTI RAPPORT 191

12

120 S 130 5

°C AVSVALNINGSTID

DJUP I CM

3.7 Kommentarer

Resultaten visar att yttemperaturen snabbt avtar och att en med tiden avtagande temperaturtopp återfinns allt längre ned i beläggningen. Om man antar att det är möjligt att riva beläggningen ner till ett djup där den håller 1000C utan att materialets kvalitet äventyras, kan ett största möjliga rivningsdjup vid en bestämd uppvärmningstid erhållas. Detta förutsätter

då att rivningsenheten följer på ett bestämt

tidsav-stånd efter uppvärmningsenheten. Kanske bör man också göra den förutsättningen att en yttemperatur lägre än 1000C inte skall tolereras vid rivningen. Om bägge dessa antaganden får ligga till grund blir det teore-tiskt möjliga rivningsdjupet något mindre men det in-träffar framför allt tidigare. Låt oss här kalla detta tillstånd för det optimala.

- Vid 30 sekunders uppvärmning får vi då ett Optimalt

rivningsdjup på 9,4 mm, vilket inträffar 36

sekun-der efter det att uppvärmningsenheten passerat. ° Vid 60 sekunders uppvärmning blir motsvarande

siff-ror 14,8 och 64.

- Vid 90 sekunders uppvärmning 18,8 och 86. - Vid 120 sekunders uppvärmning 22,1 och 106. - Vid 150 sekunders uppvärmning 24,9 och 124.

Även om det inte skulle föreligga en direkt prOportio-nalitet mellan uppvärmningstid och Optimalt tidsav-stånd mellan uppvärmnings- och rivningsenhet skulle ett vid viss uppvärmningstid Optimalt konstruerat

aggregat förhålla sig nära nog optimalt vid mindre va-riationer i hastigheten. Det möjliga rivningsdjupet

14

står inte heller i direkt preportion till

ningstiden. Det krävs allt större tillskott i uppvärm-ningstid för att kunna riva ytterligare en bestämd del av beläggningens tjocklek.

15

4 TEMPERATURFÖRDELNING I EN ASFALTBELÄGGNING VID OLIKA TIDPUNKTER EFTER DET ATT FLERA UPPVÄRMNINGSENHETER PASSERAT

4.1 Allmänt

I bilaga 2 redovisas beräkningarna. Under förutsätt-ning att den ekvivalenta konvektionskoefficienten för strålning antas vara densamma vid avsvalning som vid uppvärmning blir resultatet enkelt. Den resulterande temperaturfördelningen, sedan ett visst antal uppvärm-ningsenheter med samma strålande temperatur passerat, erhålles som summan av vad varje värmeenhet enskilt skulle ge på respektive tidsavstånd från den aktuella sektionen. Man måste dock minska summan med produkten av denkonstanta begynnelsetemperaturen och antalet enheter minus en. I det följande exemplifieras detta genom ett antal tänkta situationer.

4.2 Vid två uppvärmningar om 60 sekunder åt-skilda av olika lång avsvalning

Det triviala fallet utan någon som helst avsvalning är behandlat under 3.5.

Låt oss då i stället först se hur temperaturfördel-ningen kan beräknas med 10 sekunders åtskillnad mel" lan de båda uppvärmningarna. Antag också att vi vill studera temperaturfördelningen 110 sekunder efter den andra uppvärmningsenheten. Enligt 4.1 skall

vi då för att få temperaturen på ett visst djup, addera temperaturerna som erhålls med 60 sekunders uppvärmning vid de båda avsvalningstiderna 180 sekun-der (10+60+110) och 110 sekunsekun-der. Därefter skall man minska med den konstanta begynnelsetemperaturen. Be-räkningsgången illustreras genom följande tabell,

16

som erhållits med hjälp av programmet i Hewlett-Packards bordskalkylator HP 97 (bilaga 4).

Djup Temperatur med Begynnelse- Resulterande (enbart) en temperatur temperatur

uppvämning (nr ' 1 och 2) (tum) (cm) 1 2 0C 0C

0

0,00

48,61

68,06

21,00

95,67

1/8 0,32

64,94

94,43

21,00

138,37

1/4 0,64 76,45 109,27 21,00 164,72 3/8 0,95 82,31 111,86 21,00 173,17 1/2 1,27 82,67 104,25 21,00 165,92 5/8 1,59 78,46 90,22 21,00 147,68 3/4 1,91 71,10 73,79 21,00 123,89 7/8 2,22 62,15 58,21 21,00 99,36

1

2,54

52,96

45,37

21,00

77,33

9/8 2,86 44,56 35,88 21,00 59,44

Man kan självfallet också gå rent grafiskt till väga om man har temperaturfördelningarna vid 110 och 180 sekunders avsvalning uppritade.

Om vi, av skäl som tidigare anförts, är intresserade av att veta tidpunkten när yttemperaturen är 1OOOC får vi uppenbarligen söka oss närmre de båda enheter na. Det gäller att pröva sig fram, vilket emellertid sker med lätthet med hjälp av programmet i bilaga 4. Den sökta tidpunkten blir i detta fall 103 sekunder efter den sista enheten. Om vi sedan prövar oss fram

till det djup där temperaturen är 1000c erhålles

22,0 mm. Det är således en aning mindre än vad som er-hölls vid en uppvärmning om 120 sekunder. Temperatur-fördelningen blir enligt följande:

17

605 1035

1": 170.21.

22.0MM-ZT

omm CM 3-1

Vad händer om Vi ökar avståndet mellan de två uppvärm-ningsenheterna ytterligare? För att kunna besvara det-ta på ett tydligt sätt kan Vi genomföra beräknings-gången även för 120, 240 och 480 sekunders tidsavstånd

mellan enheterna.Vi får då följande optimala tillstånd

L eos L 1205 L eos ,I sas I,

1 1 1 1 1 an H??? 2558? 0 109,/zçom 143.57 1 167.45 1. 170.80 158.27

w 1322-374

71.93 DJUPI CM 34:' 57.81 2 d DJUP I CM 3] VTI RAPPORT 191

18 k 505 L LBOS\/\ L 505 ,, ses J, F 1 1-...] 1 1001.3

Sssss

\/\

sms

o

199/290_°c

142.56 160.63 155.98 136.32 111.05 37, 1.3_99'95 17.394 -2. DJUPI CM 34

Uppenbarligen erhålles ett allt mindre maximalt riv-ningsdjup. Även omman släpper kravet på 1000C yttem-peratur blir slutsatsen densamma. Det maximala riv-ningsdjupet blir då något större men inträffar fram-för allt avsevärt senare. Av speciellt intresse kan de senast genomgångna fallen vara om man vill komp" lettera en redan befintlig utrustning med förvärmare. Dels tar det ju relativt lång tid för värmen att

tränga ned på djupet dels gäller det ibland att kunna ge plats åt lastbilar med ny asfaltmassa. Effekten av denna förvärmning varierar tydligen med dess tidsav-stånd till den efterföljande enheten. Vid ett avtidsav-stånd motsvarande åtta minuter blir det möjliga rivnings-djupet 17,3 mm, vilket inträffar 69 sekunder efter den sista uppvärmningen. Det kan här vara intressant att jämföra med en uppvärmning om 60 sekunder som ger

14,8 reSpektive 64. Vid kortare uppehåll mellan de båda enheterna uppnås alltså ett större maximalt

riV-ningsdjup, vilket dock inträffar allt senare efter den sista uppvärmningsenheten. Vid exempelvis 10 sekunders mellanrum erhålles 22,0 mm, 103 sekunder efter avslu-tad värmning. Det är givetvis hela tiden meningsfullt att också jämföra med en uppvärmning om 120 sekunder, ett tillstånd som ju tidigare visat sig ge 22,1 mm

19

respektive 106 sekunder, och som kan betraktas som det andra gränsfallet.

Hur fungerar det egentligen med en annan uppdelning av den totala värmningstiden? Låt oss koncentrera oss på ett par fall med åtta minuters tidsmellanrum.

4.3 Vid två uppvärmningar om sammanlagt 120 se-kunder åtskilda av åtta minuters avsvalning Antag först att vi har en förvärmning på 30 sekunder som alltså följs av en ny uppvärmning på 90 sekunder. Med de regler som formulerats tidigare erhålls

följan-de Optimala tillstånd:

,1 305,1 4305 I, 90 s 1, 90 s 4 1 1 1 1 9999 14 JL 1 Z Z 2 o 199./po 'c * 11.3.79 167.59 1? 170.63 157.16 134.07 20,1 m4- 2 . _54.39'OMG -99.09 wum CM al

Jämfört med endast en uppvärmning om 90 sekunder (se

3.4 och 3.7) erhålles här endast en obetydlig ökning

av det maximala rivningsdjupet (20,1 mot 18,8 mm). I analogi med 4.2 infaller det också något senare (90 mot 86 sekunder). Det maximala bidraget från

förvärm-ningen är 10,04OC, vilket sker på 23,1 mm djup.

Enva-riation av avståndet mellan de två enheterna kan en-dast ge mindre effekter eftersom, enligt 3.5, 3.7 och 4.2, det största fräsningsdjupet blir 22,1 mm vid en enda uppvärmning på 120 sekunder.

20

Om ordningen mellan de två uppvärmningstiderna omkas-tas erhålles följande bästa resultat:

l, 905 ,, 1.805

T 1

W \/\

DJUP I CM

Jämfört med föregående exempel erhålles alltså en klar försämring. Om man däremot beaktar resultatet av endast en uppvärmning om 30 sekunder (se 3.2 och 3.7) blir ökningen i det maximala rivningsdjupet relativt stor (12,6 mot 9,4 mm). Det inträffar också något se-nare (42 mot 36 sekunder). Det maximala bidraget från förvärmaren blir här 34,020C och inträffar på djupet 21,5 mm. Här ger självfallet en variation av tidsav-ståndet mellan enheterna helt andra resultat än i fö-regående fall.

Det hitintills genomgångna skulle t ex kunna utnyttjas vid problemställningen i nästa avsnitt.

k

b

0 ...b Bestämning av erforderlig förvärmningstid

för att få samma effektiva djupeffekt vid en ökning av hastigheten

Antag att man under normala omständigheter vid heating eller repaving klarar sig med 60 sekunders uppvärmning.

Vid ett visst större objekt, utan eller med små

stö-rande hinder, vill man öka framdriften. Om man då nor_

malt arbetat med 4 m/min och vill öka till 5% m/min

21

erhålles en uppvärmning på 45 sekunder med det befint-liga aggregatet. Naturligtvis behöver man då kompense-ra bortfallet i uppvärmningstid och vi antar att man sätter in en förvärmare. Om arbetsmetodiken är så ut-formad att lastbilar med ny asfaltmassa skall kunna manövreras framför den bakre värmaren, kan kanske ett utrymme på 45-50 m vara lämpligt. Vi får då ett tids-avstånd på ca åtta minuter. Låt oss räkna med exakt så mycket. Om förvärmaren har samma egenskaper som den befintliga gäller det att bestämma tiden för förvärm-ningen d v 5 i praktiken dess längd. Denna bör då av-passas så att det vid 60 sekunders uppvärmning möjliga "operations"- eller rivningsdjupet (14,8 mm) vidmakt-hålles. Nästa diagramföljd får illustrera det hela. Tag först fram det Optimala tillståndet vid en upp-värmning med 4 m/Hümlsom ju infaller efter 64 sekunders

. N o l ' .

avsvalning. Tag darefter reda pa motsvarande med 53m/min. Fäst därvid speciellt avseende vid den optimala avsval-ningstiden som blir 50 sekunder. Vi vet då att om en för-värmare sätts in så kommer den gynnsammaste

avsval-ningstiden efter den andra enheten att bli längre. En-ligt tidigare kan den dock aldrig överstiga den lämp-liga avsvalningstid som erhålls vid en enda uppvärmning med en varaktighet som är lika med summan av bådas. Därför bör man också antaga en viss förvärmningstid. Om förvärmaren sedan,som här, ligger på relativt stort avstånd från den andra blir påverkan på den gynnsam-maste avsvalningstiden relativt liten. Man kan med

ledning av detta komma till en god första ansats. Här

prövades först en förvärmningstid på 60 sekunder och

en andra avsvalningstid på 55 sekunder. Detta gav i ytan 100,66OC. Avsvalningstiden ansattes då till 56 sekunder, vilket resulterade i 99,51OC. Därefter under-söktes temperaturen på djupet 14,8 mm som blev 99,18UC. Då detta var för lågt prövades med en något ökad för-värmningstid och beräkningarna upprepades.

Slut-resultatet blev 63 sekunders förvärmning och en VTI RAPPORT 191

22

I teorin skulle allt-andra avsvalning på 56 sekunder.

så "operations"- eller rivningsenheten förskjutas (0,71 m). lite längre bakåt vid hastighetsökningen

L M/MIN u

E_J

99.58

P P 3 l 0 190/203-0 :å 140.02 154.08 144.07 119,25 95,25 _' 99,98 DJUPI CM 5% mmm UTAN FÖRVÄRMNING DJUPl CM 0:0 MED FÖRVÄRMNING 92<§3 139.65 151.96 __ 140.78 117, _Jimma k sas ,1 1.805 T" 7* VN 1 T 7 m \/\ . 199/ 200°c 14.6 MM_ 91.97 24 58.31. 20.25 3* 5.50 DJUPI CM \ VTI RAPPORT 191

23

5 INNEHÅLL AV VÄRMEENERGI I ETT BELÄGGNINGS-SKIKT VID OLIKA TIDPUNKTER EFTER DET ATT EN UPPVÄRMNINGSENHET PASSERAT

5.1 Allmänt

I bilaga 3 redovisas de allmänna uttryck som gäller. De är funktioner av temperaturen och skall alltså tillämpas på den tidigare härledda temperaturfördel-ningen (ekv. (10) i bilaga 1). Detta är genomfört i bilaga 3. Som resultat erhålles den värmeenergi per ytenhet som passerar ett visst horisontalplan under uppvärmningen (ekv. (14)). Den värmeenergi som finns i ett bestämt skikt omedelbart efter en uppvärmning erhålles då som skillnaden mellan den energi som pas-serat uppifrån in i skiktet och den som transporterats nedåt ut ur detta (ekv 14 a, 14 b och 15).

När man vill studera förhållandena därefter bör man observera följande. Temperaturen enligt ekv. 10 kan ses som skillnaden av en uppvärmning under den totala tiden och en tänkt negativ uppvärmning under den

verk-liga avsvalningstiden. Innehållet av energi ges då av ekv. 14a, 14b och 16.

För de numeriska beräkningarna har ett program för HP-97 gjorts som återfinns och förklaras i bilaga 5.

5.2 Vid 30 sekunders uppvärmning

Precis efter uppvärmningen erhålles den i beläggningen upplagrade energin till 4335004,49 J/m2. Denna är då starkt koncentrerad till den övre delen av beläggning-en. Vi har nämligen mellan

ytan och djupet 3,2 mm 2572791,68 J/m2 59,3 Z

24

i skiktet mellan 3,2 och 6,4 mm 1174561,76 J/m2 27,1 2 - " - 6,4 och 9,5 mm 429960,40 J/m2 9,9 Z

- " -

9,5 och 12,7 mm

124155,77 J/m2

2,9 2

- " - 12,7 och 15,9 mm 27954,35 J/m2 0,6 Z - " - 15,9 och 19,1 mm 4863,53 J/m2 0,1 2 99,9 Z - " - 19,1 och 22,2 mm 647,17 J/m2

- " -

22,2 och 25,4 mm

64,82 J/m2

- " - 25,4 och 28,6 mm 4,76 J/m2 under 28,6 mm 0,25 J/mz.

Under den därpå följande avsvalningen sker naturligt-vis energiförlust uppåt samtidigt som värmeenergi fortplantas nedåt. Vid den enligt den tidigare gjorda definitionen Optimala tidpunkten, d V 5 36 sekunder efter värmningens slut, är den upplagrade energin

2918180,58 J/mz. Denna fördelar sig på följande sätt:

Mellan ytan och djupet 3,2 mm 679367,95 J/m2 23,3 Z

I skiktet mellan 3,2 och 6,4 mm

774557,40 J/m2

26,5 2

- " -

6,4 och 9,5 mm

646965,29 J/m2

22,2 Z

- " - 9,5 och 12,7 mm 426296,84 J/m2 14,6 2

- " -

12,7 och 15,9 mm

229590,45 J/m2

7,9 2

- " -

15,9 och 19,1 mm

103471,32 J/m2

3,5 2

- " - 19,1 och 22,2 mm 39728,98 J/m2 1,4 2

- " -

22,2 och 25,4 mm

13172,78 J/m2

0,5 Z

- " -

25,4 och 28,6 mm

3805,48 J/m2

0,1 2

under 28,6 mm 1224,09 J/m2 __9,0_Ã 2918180,58 J/m2 100,0 z

Om Vi därefter försöker beräkna den energimängd som meningsfullt används bör Vi begränsa oss till skiktet mellan ytan och djupet 9,4 mm. Det Visar sig då att

Vi har 2079437,65 J/mz, Kanske betyder dock inte höga

temperaturer så mycket för framdriften. Om man t ex

25

antar att temperaturer över lOOOC inte underlättar framdriften erhålles här i stället ett optimalt ener-giinnehåll på 2178000°0,00946(100-21) = 1617382,80 J/m2 (se bilaga 3, sista sidan).

5.3 Vid 60 sekunders uppvärmning

Omedelbart efter det att värmningen avslutats är den i beläggningen upplagrade energin 7380383,l7 J/m2. Efter 64 sekunder, som är den enligt vår gjorda defi-nition optimala tidpunkten, är den kvarvarande ener-gin 4696942,73 J/mz. Denna är då också fördelad på ett annat sätt. Energiinnehållet mellan ytan och det djup

vid vilket vi har 1000c, d v s 14,8 mm, är 3657969,0l

J/m2. Antar vi dock, som vid 30 sekunders uppvärmning, att temperaturer över lOOOC inte betyder något för fram-driften erhålles i stället 2178000-0,0l48-(lOO-21) = 2546517,6 J/m2 som Optimalt energiinnehåll mellan ytan och djupet 14,8 mm.

Det vid 30 sekunders uppvärmning optimala djupet, 9,4 mm, erhåller redan omedelbart efter 60 sekunders värm-ning en temperatur överstigande lOOOC. Energiinnehållet då i skiktet över denna nivå är 6458446,60 J/m2. Den stora skillnaden mellan denna och motsvarande energi-mängd vid 30 sekunder, 2079437,65 J/mz, orsakas

natur-ligtvis av de högre temperaturer som uppstår omedel-bart efter 60 sekunders uppvärmning. Sannolikt har den dock inte samma betydelse ur framdriftssynpunkt.

5.4 Vid 90 sekunders uppvärmning I beläggningen upplagrad energi

omedelbart efter uppvärmningen: 9,9 MJ/m2 Kvarvarande energi i beläggningen

efter optimal avsvalning på 86

se-kunder: 6,2 MJ/m2

26

Energiinnehåll i ytskiktet ner till 18,8 mm efter 86 sekunder:

D:o under förutsättning att tem-peraturer över lOOOC likställs med 1000C:

Det optimala djupet vid 60 se-14,8 mm, erhålles efter 10 sekunders kunders uppvärmning,

avsvalning. Energiinnehållet i ytskiktet ovanför är:

Det Optimala djupet vid 30 se-kunders uppvärmning, 9,4 mm,

är redan uppnått efter

avslu-tad värmning, Energiinnehål-let äver denna nivå är då:

5.5 Vid 120 sekunders uppvärmning I beläggningen upplagrad energi

omedelbart efter uppvärmningen: Kvarvarande energi i beläggningen efter optimal avsvalning på 106

sekunder:

Energiinnehållet i ytskiktet ner till 22,1 mm efter 106 sekunder: D:o under förutsättning att tem-peraturer över 100OC likställs med lOOOC: VTI RAPPORT 191 12,2 3,8 MJ/m2 MJ/m2 MJ/m2 MJ/má MJ/m2

MJ/mz

MJ/m2 MJ/m2

27

Det optimala djupet vid 90 sekun-ders uppvärmning, 18,8 mm, er-hålles efter 31 sekunders av-svalning. Energiinnehållet i

ytskiktet ovanför är: 8,9 MJ/m2

Det optimala djupet vid 60 sekun-ders uppvärmning, 14,8 mm, är re-dan uppnått efter avslutad uppvärm-ning. Energiinnehållet över denna

nivå är då:

11,0 MJ/m2

Energiinnehållet i skiktet över 9,4 mm omedelbart efter avslutad

värmning: 9,0 MJ/m2

5.6 Vid 150 sekunders uppvärmning I beläggningen upplagrad energi

omedelbart efter uppvärmningen: 14,2 MJ/m2

Kvarvarande energi i beläggningen

efter Optimal avsvalning på 124

9

sekunder: 8,7 MJ/mé

Energiinnehåll i ytskiktet ner

till 24,9 mm efter 124 sekunder:

7,3 MJ/má

Dzo under förutsättning att tem-peraturer över lOOOC likställs

med lOOOC:

4,3 MJ/m

Det Optimala djupet vid 120 se-kunders uppvärmning, 22,1 mm, erhålles efter 51 sekunders avsvalning. Energiinnehållet

i ytskiktet ovanför är: 9,7 MJ/m2

28

Det optimala djupet vid 90 se-kunders uppvärmning, 18,8 mm, är precis uppnått efter avsluu tad uppvärmning.

Energiinne-håller över denna nivå är då: 13,3 MJ/m2 Energiinnehållet i skiktet över

14,8 mm omedelbart efter

avslu-tad värmning: 12,3 HJ/m2

Dzo fast för skiktet över 9,4 mm: 9,8 MJ/m2

5.7 Diskussion om verkningsgrader

För att kunna bedöma verkningsgraden vid en uppvärm-ning med eventuellt åtföljande rivuppvärm-ning av belägguppvärm-ningen krävs uppgifter om tillförd energimängd. I (4) anges att brännarna i aggregatet sammanlagt utvecklar ca 2 milj Kcal/tim eller 2326 kw. Denna effekt är förde-lad på två på varandra följande värmehuvar om vardera 2 mzs längd och 3,3 mzs bredd. I medeltal avges allt-Så ca 175 kW/mz.

Om vi anser att 2 milj Kcal/tim väl svarar mot en strålande temperatur på ca 1OOOOC (d v 5 eg. 9820C) kan vi göra uppskattningar av verkningsgrader. Dessa bedömningar blir givetvis behäftade med osäkerheter då t ex uppgifter om energiåtgång vid framdrift med efterföljande rivningsaggregat saknas. Låt oss först studera förhållandena vid en uppvärmning på 30 sekun-der. Den avgivna energimängden är då 5,3 MJ/mz. En* ligt 5.2 har under denna tid 4,3 MJ/m2 upplagrats i beläggningen, d v 5 ca 82 %. 18 % skulle alltså ha förlorats till omgivningen. Det maximala rivningsdju-pet, enligt vår tidigare givna definition, är 9,4 mm och inträffar 36 sekunder efter det att uppvärmningen

29

upphört. Den värmeenergi som då återfinns i belägg-ningen över denna nivå är 2,1 MJ/mz, d v 3 39 % av den avgivna. Antar man emellertid att temperaturer över 1000C är likvärdiga med 1000C ur framdriftssyn-punkt, d v 5 att energibehovet för rivning inte blir mindre, bör man räkna med ett energiinnehåll på 1,6

9

MJ/mz. Verkningsgraden blir då högst 31 0.

Som nästa fall kan vi då betrakta 60 sekunders uppvärm-ning (se 5.3). 2

Avgiven energimängd

10,6 MJ/m

Upplagrad värmeenergi i beläggningen omedelbart efter uppvärmningen 7,4 MJ/m (70%) I beläggningen kvarvarande värmeenergi 64 sekunder efter uppvärmningen och

ner till 14,8 mm 3,7 MJ/m2 (35%)

Dzo om man värderar tempe-raturer högre än lOOOC som

1000c

2,5 MJ/m2

(24%)

Det optimala djupet vid 30 sekunders uppvärmning

(9,4 mm) är uppnått omedel-bart efter 60 sekunders uppvärmning.

Energin över denna nivå

är då

6,5 MJ/mz

(61%)

Om vi värderar temperaturer

högre än lOOOC som 100°c

1,6 .MJ/m2

(15%)

Efter motsvarande beräkningar även för 90, 30

120 och 150 sekunders uppvärmning kan resultaten sammanfattas i följande tabell: >._; uppvärmningstid (s) 30 60 90 120 150 I Avgiven energi (KJ/m2) Upptagen energi \ omedelbart efter \ uppvärmningen

(z)

Energiinnehåll i skiktet över 9,4 mm så snart som man där har 1000C och mer (Z) Dzo men skiktet 14,8 mm gällande över

(Z)

Dzo men skiktet . 18,8 mm gällande över

(Z)

gällande över 22,1 Dzo men i skiktet _ mm (%) Dzo men skiktet mm (Z) gällande över 24,9

5286,36

82 39

10572,73

70 61 35

15859,09

63 50 52 32

21145,45

58 43 52 42 29

26431,82

54 37 47 50 37 28

Av tabellen framgår att den upptagna energin omedel-bart efter uppvärmningen utgör en allt mindre del av den tillförda värmemängden vid en ökning av uppvärm-ningstiden. Resultaten visar också att om man bara

av-ser att riva i.det yttersta skiktet så blir resulta-tet sämre ur verkningsgradssynpunkt. Observera dock att motsatsen gäller vad den upptagna energins absolu-ta storlek beträffar.

1FFI EUXPPCHUF 191

31

avtar verkningsgraden med ett ökat rivningsdjup, vilket hör direkt samman med att detta erhålles

allt senare. En allt större värmemängd har då avgivits från beläggningen till omgivande luft.

Förklaringen till att man har relativt låga verknings-grader vid små djup är att man omedelbart efter värm-ningen ifråga skulle kunna åtgärda beläggvärm-ningen längre ned.

Vid de Optimala fräsningsdjupen ligger verkningsgrader-na här mellan 28 och 39 % där den högsta siffran gäl-ler för den kortaste uppvärmningstiden.

Om vi emellertid anser att temperaturer högre än

lOOOC inte gör mer nytta än lOOOC erhåller vi resulta-tet nedan. Vi har här brukat benämningen "effektivt" energiinnehåll.

32 uppvärmningstid (s) 30 60 90 120 150 Avgiven energi (KJ/m2) 5286,36 10572,73 15859,09 21145,45 2643l,82 Upptagen energi omedelbart ef-ter uppvärm-ningen (Z) 82 70 63 58 54 "Effektivt" energiinne-håll i skik-tet över 9,4 mm så snart som man där har lOOOC och mer (%) 31 15 10 8 6 Dzo men gäl-lande skiktet över 14,8 mm (Z) - 24 16 12 10 D:o men gäl-lande skiktet över 18,8 mm

(Z)

-

-

20

15

12

Dzo men gäl-lande skiktet över 22,1 mm (z) - - - 18 . 14 Dzo men för skiktet över 24,9 mm (Z) - - - _ 16

Vi ser då att verkningsgraden i stället ökar med ett tilltagande möjligt fräsningsdjup för uppvärmningstiden ifråga. Detta beror på att Vi inte tar hänsyn till

temperaturförändringar ovanför 1000C. Benämningen Op-timalt fräsningsdjup får här sin förklaring. Själv-klart får Vi i denna tabell lägre verkningsgrader än i den tidigare. Vid t ex de optimala tidpunkterna er-'VTI IUKPPCEUF 191

33

hålles här 16-31 % mot tidigare 28- 9 %.

Oberoende av vilket betraktelsesätt som används fram-går det dock klart att man bör tillämpa minsta möjliga uppvärmningstid för att nå ett visst fräsningsdjup. Detta är då det optimala för den valda uppvärmnings" tiden och den avgivna energin blir så låg som möjligt. Kanske kan emellertid en rivning också ske tidigare än vid den optimala tidpunkten med gott resultat. Visser-ligen kommer man då att även bearbeta djup där materi-alet har lägre temperatur än 1OOOC, men den hägre vär-meenergin i ytskiktet kan åtminstone till viss del

ut-jämnas i det rivna materialet. En kommande packning med ny varm asfaltmassa skulle då underlättas. Möjlig-heterna till utläggning och packning av det rivna ma-terialet på ett annat ställe skulle också förbättras. Det är mycket möjligt att en högre verkningsgrad skulle kunna uppnås på detta sätt eftersom en större Värmeenergi tillgodogörs processen. Detta kan ske trots att energibehovet för framdrift vid rivningen

(inkl slitage) rimligen ökar.

34

6 INNEHÅLL AV VÄRNEENERGI I ETT BELÄGGNINGS-SKIKT VID OLIKA TIDPUNKTER EFTER DET ATT FLERA UPPVÃRMNINGSENHETER PASSERAT

6.1 Allmänt

Det som står i avsnitt 5.1 tillämpas här för varje enhet. Avsvalningstiden skall då för dessa räknas till den aktuella tidpunkten även om mellanliggande uppvärmningar förekommer. Detta framgår vid en blick på ekv. (11), (12), (13) och (14). För t ex två på varandra följande uppvärmningsenheter erhålles den i beläggningen upplagrade energin enligt ekv. (17).

Beräkningar utföres här för de under avsnitt 4 behand-lade fallen. Programmet i bilaga 5 används här uppre-pade gånger. Vidare inriktar vi oss direkt på de op-timala tidpunkterna. Dessutom koncentrerar vi oss på energiinnehållet i det ytskikt som uppvisar en tempe-ratur på 1OOOC eller mer. När vi beräknat energin un-der förutsättningen att temperaturer över 10OOC an-setts likvärdiga 1OOOC från framdriftssynpunkt har vi använt benämningen "effektivt" energiinnehåll.

6.2 Vid två uppvärmningar om 60 sekunder

åt-skilda av olika lång avsvalning lO sekunders avsvalning Ytskiktets djup: 22,0 mm

MJ/m2

Energiinnehåll i ytskiktet: 2 0 ,8 MJ/mb (J O ON \ "Effektivt" energiinnehåll: l20 sekunders avsvalning Ytskiktets djup: 20,8 mm Energiinnehåll i ytskiktet: 5,6 MJ/m2 "Effektivt" energiinnehåll: 3,6 MJ/mz VTI RAPPORT 191

35 240 sekunders avsvalning Ytskiktets djup: 19,3 mm Energiinnehåll i ytskiktet: 5,0 MJ/mz "Effektivt" energiinnehåll: 3,3 MJ/m2 480 sekunders avsvalning Ytskiktets djup: 17,3 mm Energiinnehåll i ytskiktet: 4,4 MJ/m2 "Effektivt" energiinnehåll: 3,0 .MJ/.m2

6.3 Vid två uppvärmningar om sammanlagt 120 sekunder åtskilda av åtta minuters avsval-ning

30 sekunders förvärmning följd av en ny uppvärmning

på 90 sekunder.

Ytskiktets djup: 20,1 mm

Energiinnehåll i ytskiktet: 5,4 MJ/m2 "Effektivt" energiinnehåll: 3,5 MJ/m2

90 sekunders förvärmning följd av en ny uppvärmning på 30 sekunder.

Ytskiktets djup: 12,6 mm

Energiinnehåll i ytskiktet:

2,9 MJ/m2

"Effektivt" energiinnehåll:

2,2 MJ/m2

6.4 _{Vid problemställningen enligt 4.4} Detta fall behandlar inverkan av en

ökning i hastighet från 4 till 51/3

m/min och insats av förvärmning för att vidmakthålla det optimala djupet 14,8 mm.

Före ändringen har vi enligt 5.3 60 sekunders uppvärmning och 64 sekunders avsvalning.

Ytskiktets djup: 14,8 mm

Energiinnehåll i ytskiktet: 3,8 MJ/m2

"Effektivt" energiinnehåll:

2r5 MJ/m2

Efter ökningen till 51/3 m/min

har vi en förvärmning om 63 se-kunder följd av en avsvalnings-period på åtta minuter och en ny uppvärmning om 45 sekunder. 56 semunder därefter erhålles det optimala djupet.

Ytskiktets djup: 14,8 mm 3,6 MJ/m2

Energiinnehåll i ytskiktet: 3,6 MJ/m2 "Effektivt" energiinnehåll: 2,5 MJ/m2 6.5 Diskussion om verkningsgrader

Vid bedömning av verkningsgraderna för fallen under 6.2 kan det vara lämpligt att jämföra med vad som er-hålles med enbart en uppvärmning om 120 sekunder. Denna kan ju betraktas som två direkt på varandra följande uppvärmningar om 60 sekunder. Förhållandena finns

åskådliggjorda i nedanstående tabell som för fullstän-dighetens skull kompletterats med värden gällande för andra tidpunkter än de optimala.

37 Avsvalningstid (s) 0 10 120 240 480 Avgiven energi (KJ/m2) Upplagrad energi omedelbart efter andra uppvärm-ningen (Z) Energiinnehåll i skiktet över 17,3 mm så snart

som man där har

1000C och mer (Z) Dzo fast "Effektivt" (Z) Energiinnehåll i skiktet över 19,3 mm så snart som man där har 1000C och mer (Z) Dzo fast "Effektivt" (Z) Energiinnehåll i skiktet över 20,8 mm så snart som man där har 1000C och mer (Z) Dzo fast "Effektivt" (Z) Energiinnehåll i skiktet över 22,0 mm så snart som man där har 1000C och mer (Z) Dzo fast "Effektivt" (z) Energiinnehåll i skiktet över 22,1 mm så snart som man där har 10090 och mer (z) D:o fast "Effektivt" (Z) 21145,45 58 (eft 103) 48 14 (eft 383) 40 16 (eft 673) 35 17 (eft 1033) 30 18 (eft 1063) 29 18

21145,45

57 (eft 83) 48 14 (eft 373) 40 16 (eft 663) 34 17 (eft 1033) 29 18 21145,45 51 (eft 183) 37 14 (eft 473) 31 16 (eft 833) 27 17

21145,45

48 (eft 373) 29 14 (eft 763) 24 16

21145,45

45 (eft 693) 21 14 VTI RAPPORT 191

38

Låt oss utsträcka jämförelsen till en enda uppvärmning med varierande varaktighet. Som tidigare visats

för-lorar man i möjligt fräsningsdjup så snart det uppstår ett ökat avstånd mellan de båda uppvärmningarna om 60 sekunder. Vid två minuters avstånd uppnår man unge-för samma djupeffekt som vid en uppvärmning om 105 sekunder. Mot fyra och åtta minuters mellanrum svarar uppvärmningar om ungefärligen 90 respektive inte

fullt 80 sekunder.

Hur ställer sig verkningsgraderna vid andra uppdel-ningar av en total uppvärmning av given storlek? För att bedöma detta kan vi titta på nästa tabell som åskådliggör förhållandena vid 120 sekunders upp-delning. Deluppvärmningarna är på 30, 60 och 90 se-kunder och deras inbördes avstånd är åtta minuter. Som ett extremfall är inlagt en uppvärmning om 120 sekun-der. I likhet med föregående tabell har även andra tid-punkter än de optimala behandlats.

39 Förvärmningstid (3) - Eftervärmningstid (3) 90-30 60-60 30-90 0-120 Avgiven energi (KJ/m2) Upptagen energi omedelbart ef-ter andra upp-värmningen (Z) Energiinnehåll i skiktet ovan-för 12,6 mm så

snart som man

där har 1000C och mer (Z) Dzo fast effektivt (Z) Energiinnehåll i skiktet ovan-för 17,3 mm så

snart som man

där har 1000C och mer (z) Dzo fast effektivt (Z) Energiinnehåll i skiktet ovan-för 20,1 mm så snart som man där har 1000C och mer (Z) Dzo fast effektivt (Z) Energiinnehåll i skiktet ovan-för 22,1 mm så

snart som man

där har 100OC och mer (Z) Dzo fast effektivt (Z)

21145,45

36 (eft 423) 14 10

21145,45

45 (eft 43) 33 10 (eft 693) 21 14

21145,45

52 (omed eft) 43 10 (eft 313) 35 14 (eft 903) 26 16

21145,45

58 (omed eft) 49 10 (eft 103) 48 14 (eft 523) 37 16 (eft 1063) 29 18 'VTI IäÃPPCHUP 191

40

En jämförelse med en enda uppvärmning visar att kom-binationen 90-30 motsvarar inte fullt 50 sekunder. För 60-60 har vi enligt föregående knappt 80 sekun-der och 30-90 motsvarar en enda uppvärmning om ca lOOOC. Går vi så till problemet som behandlats i 4.4 och 6.4 erhåller vi resultaten nedan

Före hastighetsändringen Efter hastighetsändringen 4m/min och en uppvärm- 51/3m/min. Förvärmning på ning om 60 sekunder 63 sek. åtta min. avsval-ning och 45 sek. uppvärmn. Avgiven Energi (KJ/m ) 10572,73 19030,91 Upplagrad energi omedelbart efter sista uppvärm-ningen (Z) 70 43 Energiinnehåll i skiktet ovan-för 14,8 mm så

snart som man (efter 64 sekunder) (efter 56 sekunder) där har 10000

och mer (Z) 35 19

Dzo men

effek-tivt 24 13

Verkningsgraden efter hastighetsökningen blir alltså endast ca 55 % av den vi hade före.

För att få en mera fullständig bild av uppnåeliga verkningsgrader bör man beakta effekten av rivning till ett visst djup vid tidpunkter även före den op-timala. Det som anförts på sid 33 för en enda uppvärm-ning gäller då också här.

41

7. TILLÄMPNING AV MODELLEN PÅ ETT PRAKTISKT FALL Studie av Nordsjöfräsen - Robot den 24-25 september 1979 vid arbeten på Industrigatan utanför Eydskogen

-Folkets

Park i Linköping

^

Aggregatatet består av två värmningsenheter med åt-följande fräsningsenhet. Deras utsträckning och inbör-des avstånd framgår av nedanstående skiss.C>-(:)

betecknar lägen för temperaturmätningar.

LSm TLh'nT1mT, Gm T k .rn' fi 5m , 555 ssssswssssssssss ' 24/9 Hastighet 2 m/min O Lufttemp. i skuggan 15 C Marktemp. i solen 17 C (soligt)

@ (yttemp)

@

(39

G)

®

-

15500 14000

11000

8OOC

(glastermometern kunde stickas ned ca 2,5 cm under ytan) 25/9 Hastighet 2 m/min₀ Lufttemp. 13OC Marktemp. 13 C (lätt regn)

G) (yttemp)

@

(3)

G.)

loaoc

12000 11000

9000

70 c

(G1asterm0metern.kunde stickas ned ca 2,5 cm under ytan)

42

Regnet har naturligtvis en kraftig inverkan. Hur ställer sig resultaten vid torr väderlek mot den framtagna mo-dellen?

Med 2 m/minframdrift erhålles tidsavstånden enligt

nedan. Låt oss först som tidigare anta att bägge

värm-ningsenheterna har en strålande temperatur på 98lOC (l8OOOF) och att beläggningens begynnelsetemperatur är ZlOC överallt. Om värmekonduktiviteten (Å.) hos massan är 1,21 W/mOC och den temiska diffusiviteten (k)

0,002HF/tim erhålles temperaturfördelningarna vid exempelvis mätpunkterna (D och©tillz

,L305 L305 ,i 1805 , 45 755 1505 1 'I 1 1 118,33 få: se, 25 / de 5$§ 5755535555555 200.00 108.23 1 232.53 135.93 219.22 145.73 2 173.45 11.2. 11 131,01 126, 1.5 3 90.34 26 51,17 33,40

oso o

@

T

__ År

djupi cm djup i cm

Det i rapporten definierade Optimala tillståndet, d v 3

då yttemperaturen är lOOOC, inträffar 153 5 efter andra värmningen (d v 5 5,1 m efter, eller under lastbilen).

Samma temperatur föreligger också 29,6 mm under ytan.

100O isotermen når som djupast ca 31 mm vilket sker 276 3 efter andra värmningen (d v 5 0,2 m efter fräs-ningsenheten.

En jämförelse med de i praktiken erhållna resultaten visar emellertid att Vi inte har så hög strålande tem-peratur. Låt oss då försöka ta reda på denna. Antag därvid att termometerns utslag svarar mot den Värme-energi som vid de olika tidpunkterna befinner sig i skiktet ner till 2,5 cm (se bilaga 3). Med begynnelse-temperaturen (uO) l6OC, Värmekonduktiviteten (Å)

1,21 W/mOC och den

(k) 0,002

m2/tim erhålles då för i tur och ordning en strålande

8OOOC, 70000 och 6OOOC.

termiska diffusiviteten temperatur (U1) på

1. u1=8OOOC

2(01-uo)=1568OC a=s=133,52 m'1 (se bilaga 1)

_§Osy3OSL 1805 L 455 k 755 k 1505 L I 1 1 1 1 195.77 114.30 1 65.26 5155 555f55555555555555 0 tp\xmc 1m/Qmw 0 hm 2@% 255,15 \ 3153.90 93,40 24177 1 1 4:31/443 1 10093 175. 52 i 7 __ 47715053 113,92 114,39 på ?älv/.41. 2 - 107,22 71,51. - - 92. 26 ---193,L7 34 3* 3' dppian 537. Bl. / mupiun

(D

@@

Energiinnehåll i yt-skiktet ner till

2,5 cm.(HJ/n?)

11.7

9.4

7.2

4.7

från energisynpunkt ekvivalent tempera-t

_{år ( me 6 amp)}

= d lt

_{230 189}

₁₄₈

₁₀₂

(C) termometerns 155 140 110 80 utslag (OC) 'VTI ILAPPCHUP 191

44

Den strålande temperaturen är alltså lägre än BOOOC.

2. u =700°c

₁

2(01-uo)=l368OC, a=B=lOl,68 m_1 (se bilaga 1)

l305L30$L 1805 L 455 1 755 ;L 1505 i T 1. l 7 l 1751.0 7 106,09 7 54,51 ?F__

r 21263 19230 1 13a26 smAL 2 5290 3 dwpicm ® 42 2.33 // 2 3 djup i cm Energiinnehåll i yt- C) C) C) C)

skiktet ner till

2,5 cm.(MJ/m2) 9.0 7.5 5.9 1 3.9 från energisynpunkt ekvivalent tempera-tur (= medeltemp) 0 ( C) 180 153 124 88 termometerns utslag (OC) 155 140 110 80 VTUIIÃAPPCEUF 191

45

Även 7OOQC är uppenbart för mycket.

3. 01:6000C

2(U1-UO)=

30 s 305 1805

Energiinnehåll i yt-skiktet ner till 2,5cm(MN®Ö från energisynpunkt ekvivalent tempera-tur (= medeltemp) (Oc) termometerns utslag

(OC)

VTI RAPPORT 191 dupicm

1168cc, 0=s=75,37 (se bilaga 1)

©©

C4)

(5)

455 755 1505 °c 159.59 11.5,83 1 105.25 5007 2 4533 71.. 59 80.55 79. 1.5 72.51. 62.56 <:> assz 0100 ./ 1 2 3 djup i cm 6.5 5.6 4.5 3.2 135 119 99 74 155 140 110 80

46

Något för låga Värden erhålles tydligen. Den strålande temperaturen i modellen bör alltså ligga mellan 600 och 7000C, Vilket nedanstående diagram klart Visar.

Medeltemperatur

.Cê

250-'(

Beröknade vid strålande

tempera-turerna 600. 700, och 800 °C.

- - - - Erhållna

' 1 9

455 1205 2705

Avsvuhüngs-üd

På samma sätt som tidigare skulle Vi därefter kunna leta efter det optimala tillståndet. Ingenting har

dock hitills framkommit som tyder på att det frästa

materialet på något sätt skulle ha skadats trots att fräsningen delvis kanske skett vid lägre temperatur " 0

an 100 C.

REFERENSER

Asphalt PaVing Technology 1977

Proceedings, Association of Asphalt Paving Technical Sessions

22 and 23, Technologists,

San Antonio, Texas February 21, 1977 Volume 46 sid 526-540.

Handboken BYGG huvuddel 1 A, Allmänna grunder Kap 135 Värme.

Operational Methods in Applied Mathematics by H.S.

Second edition appendix III sid 355. Carslaw and J.C. Jaeger

Cutler-Repavermetoden. Metodbeskrivning av Repaver AB.

48

9 FÖRTECKNING ÖVER BILAGOR

l. Beräkning av temperaturförloppet i en asfaltbelägg-ning när en uppvärmasfaltbelägg-ningsenhet med konstant strå-lande temperatur passerar över beläggningen.

2. Beräkning av temperaturförloppet i en asfaltbelägg-ning när två uppvärmasfaltbelägg-ningsenheter med samma konstan-ta strålande temperaturer passerar över

beläggning-en efter varandra.

3. Beräkning av den i beläggningen upplagrade värme-energin.

4. Program för Hewlett Packards Kalkylator HP-97 vid beräkning av temperaturförloppet.

5. Program för Hewlett Packards Kalkylator HP-97 vid beräkning av den befintliga värmeenergin i ett be-läggningsskikt vid godtycklig tidpunkt efter det att en eller flera uppvärmningsenheter passerat.

Bilaga 1 Sida 1(6)

Beräkning av temperaturförlOppet i en asfaltbelägg-ning när en uppvärmasfaltbelägg-ningsenhet med konstant strålande temperatur passerar över beläggningen

L " L m / f LUFTTEMPERATURszT W ñv .1 h) t; §5 Jpüds ts U(x.o)=U0°C U(x.t)°C

Om temperaturen i en punkt på djupet x m under

belägg-ningsytan och t 5 efter det att uppvärmningsenheten

nått fram betecknas med u(x,t) gäller i det endimen-sionella fallet

z k 82U(X,t)

ot 8X2 x>0, t>0 ...(1)

k är det så kallade temperaturledningstalet och ut-trycks här i m2/s. k bildas av värmekonduktiviteten Å W/mOC och värmekapacitiviteten C J/kgOC samt densi-teten Y kg/m3 för materialet i fråga. Då dessa stor-heter för asfaltmaterial är temperaturavhängiga blir även k-värdet det. I denna härledning betraktas emel-lertid k-värdet som en materialkonstant oberoende av tiden.

För att kunna lösa (1) måste vissa begynnelse" och randvillkor vara kända. Om vi antar att beläggningens temperatur Överallt innan uppvärmningsenheten når

fram är konstant och lika med den omgivande lufttempe-raturen UOOC, (TOOK) kan begynnelsevillkoret formule-ras på följande sätt:

Bilaga 1 Sida 2

U(XIO) :51)OI X>O ...(2)

Om uppvärmningsenhetens strålningskälla hela tiden och i hela sin utsträckning har en konstant temperatur,

o 1

med yttemperaturen u(O,t)OC (T(O,t)OK) kan värmeöver-U C (T1OK) och dessutom ligger nära beläggningsytan föringen där i W/m2 något förenklat skrivas som (se

(2))

T

i =

_{A CS((1OO)}

1 4_ Håll-:l 4

_{( 100 ) ) O<t<t1 ...(3a)}

under uppvärmning, och

cb

(0 t) 4 To 4

Å = _cs((_rññy_) _(Töö) )

t>t1

...(3b)

under avsvalning

där Cs betecknar strålningskonstanten för en svart kropp som är 5,7-1Om8 W/m2K4.

Randvillkoret uttrycks nu som 8u(0,t)

= -Å 8x .(3c)

D

H

?

Om (3a) och (3b) insätts direkt i (3C) uppstår stora matematiska svårigheter vid lösning av (1). Om däre-mot (3a) och (3b) skrives om som

® _ _ \

Ä - GS(U1 U(Ort)) O<t<t1 _'°'(3d)

och

$ _ _ _

à _

BS(U(O,t) U0)

t>t1

...(3e)

där ds och Bs åsättes lämpliga konstanta värden i

Bilaga 1 Sida 3

W/mZOC (se nedan), kan (3c) utnyttjas för lösning av (1). Vi finner då följande randvillkor:

?Båååfl = -d(U1-U(O,t))+(dU1-BUO)H(t-t1)"

-(a-B)U(0,t)H(t-t1)

" O t<t for alla t, ty H(t-t1) = {1 t>t 1 (Heavisides enhetsfunktion) ds 8 TV samt 8 och där d = = 7?

(3a) och (3d) innebär att 3

OLs _{= Cs(T1} +T1 T(O,t)+T2 ₁

...(3f)

T2(O,t)+T3(O,t» och är alltså tidsberoende. För att försöka få ett rimligt konstant värde kan man pröva med att sätta T(O,t)

delvärdet av T1 och TO. Vi låter alltså

_

1

O _

'T(O,t) 2 - Tm

_ 3 m 2" V 9 3

OLs _ Cs(T1 +*1 lm+T1Tm +Tm )

(3b) och (3e) ger:

_ 3 2 2 3

Bs - Cs(T(O,t) +T (O,t)TO+T(O,t)TO +TO )

Om T(O ,t) I

medelvärdet av dessa enligt (3g) erhålles

som kan variera mellan TO och T1

32

23

m +Tm TO+TmTO +T0 )

Bs blir alltså mindre än ds.

VTI RAPPORT 191

lika med

me-...(3g)

...(3h)

, åsätts

Bilaga 1 Sida 4

273,15+21 = 294,150K

T ex får man med T

₀

och T1 = 273,15+982 = 1255,150K

T = 774,650K

_III

Detta ger i (3h) och (31):

as = 251,70 W/m2K0(OC)

och

Bs = 41,83 W/m2K0(OC) som med Å = 1,21 W/mOC innebär

att:

0 = 208,02 m"1

och

B = 34,57 m'1

En blick på randvillkoret (3f) avslöjar emellertid att det endast om 6 = d förenklas till ett hanterbart ut-tryck. Då kan det nämligen lätt Laplacetransformeras. Ur fysikalisk synpunkt kan dock en sådan approximation anses tveksam om ej direkt felaktig. Hur det nu än må förhålla sig med den saken är det detta antagande man

sannolikt måste göra för att få en analytisk lösning

till stånd. Vi har, som visas vid den numeriska behand-lingen i bilaga 4, satt B = d = 208,02 m-1 men ett

annat värde skulle kanske bättre svara mot verkliga förhållanden.

(3f) ger nu

80(O,t)

_ax

_{= -d(U1-U(O,t))+OL(U1-UO)H(t"t1)}

--o(3k>

Om Laplacetransformen till U(x,t) betecknas Ö(x,s)

gäl-ler definitionsmässigt Ö(X,s) = áU(x,t)e-Stdt.