Taluppfattning: En undersökning av elevers förståelse och svårigheter inom talomvandling mellan olika former (bråk, decimal och procent)

Malmö högskola

Lärande och samhälle

Skolutveckling

Examensarbete

Taluppfattning

En undersökning av elevers förståelse och svårigheter inom

talomvandling

mellan olika former (bråk, decimal och procent)

Number sense – a survey on number-format conversion

(fraction, decimal and per cent)

Abdul Hamid Yasin Munir

Lärarexamen 270 hp Examinator: Haukur Viggosson

Lärarutbildning 90 hp Handledare: Birgitta Lansheim 2013-05-30

3

Förord

Först och främst vill jag tacka alla elever och lärare på den skola där jag fick genomföra undersökningen, samt bibliotekarien som hjälpt mig att låna böcker.

Ett stort tack till min handledare Birgitta Lansheim, som gav mig råden att undersöka elevers taluppfattning och talomvandling, och som har stöttat och inspirerat mig.

4

Taluppfattning:

Abdul Hamid Yasin Munir

Sammanfattning

I min studie har jag valt att undersöka elevers förståelse och svårigheter om talomvandling mellan olika former (bråk, decimal och procent). Syftet med detta arbete är att ta reda på elevernas förståelse för och svårigheter med att omvandla tal mellan bråkform, decimalform och procentform. Dessutom ville jag ta reda på om det skiljer i svårighet mellan benämnda uppgifter och rutinuppgifter när det gäller talomvandling. Med rutinuppgifter avser jag uppgifter utan text. Rutinuppgifternas syfte är att utveckla procedurförmåga medan de benämnda uppgifterna också utvecklar problemlösningsförmåga. Undersökningen i denna studie bygger på ett skriftligt test. Totalt deltog 243 elever i årskurs 7–9.

Resultatet visar att eleverna har förståelse för talomvandling när det gäller  Möjligheten att skriva ett tal på olika form.

 relativ storlek på tal i bråkform, decimalform och procentform.

Dock visar det sig att cirka 45 % av eleverna har svårigheter med talomvandling när det gäller  sambandet mellan del av helhet i en delvis skuggad figur och tal i bråkform, decimalform

och procentform

Samt visar att cirka 71 % av eleverna har svårigheter med talomvandling när det gäller  utbytbara uttryck för tal mellan bråkform, decimalform och procentform

Vidare visar resultaten på att det är svårare att lösa benämnda uppgifter än rutinuppgifter. Resultaten visar att cirka 55 % av eleverna klarade rätt svar när det gäller rutinuppgifter medan bara 34 % av eleverna klarade rätt svar när det gäller benämnda uppgifter.

Min undersöknings resultat visar att en stor del av eleverna har brister i uppmärksamhet så att matematik lärare måste betona att eleverna måste förbättra sig genom att läsa frågan och förstår vilka svar vi fråga efter. Ett laborativt arbete är viktigt med en god kommunikation och lärarna måste försäkra sig om att det laborativa arbetet är relevant som kan utveckla elevernas förståelse om talomvandling.

5

Lärarna måste använda matematiskt språk på lektionerna så att eleverna vänjer sig uttrycka sig med matematikspråk. Grupparbete är bra metod så att eleverna ska kunna använda matematikspråk och tala med både klasskamrater och läraren.

Jag tror att lärarna bör ta mer genomgångar på tavla och visa eleverna steg för steg hur lösningsprocesser måste vara samt träna mer med benämnda uppgifter. Lärare ska arbeta mer med ordkunskap. Matematikläraren bör samarbeta med modersmålslärare ger matematiklärare en viktig kunskap om hur barnet förstår och uttrycker sig på sitt modersmål och kan tillsammans vidta lämpliga åtgärder.

Nyckelord

Bråkform, decimalform, grundskolan, matematik, naturliga tal, procentform, talomvandling, åk7-9

6

Innehållsförteckning

3.1.1 Språkets betydelse för inlärning ... 13

3.2 Tal – begreppsdefinitioner ... 14

3.2.1 Naturliga tal ... 14

3.2.2 Bråktal ... 15

3.2.3 Decimaltal ... 15

3.2.4 Procent som tal ... 15

3.2.5 Elevers förståelse för talomvandling mellan bråk-, decimal- och procentform ... 16

3.2.6 Elevers svårigheter vid talomvandling ... 16

3.3 Undersökningar och studier ... 17

4 Metod ... 19

4.1 Datainsamlingsmetoder ... 19

4.2 Urval ... 20

4.3 Den skriftliga diagnosen ... 21

4.4 Genomförande ... 22

4.5 Databearbetning och analys av data ... 22

5 Resultat och analys ... 24

5.1 Resultaten utifrån rutinuppgifter och benämnda uppgifter ... 35

5.2 Sammanställning av hela den skriftliga undersökningen ... 37

6 Diskussion och slutsatser ... 38

6.1 Reflektion över undersökningen ... 38

6.2 Elevers förståelse för och svårigheter med att omvandla tal mellan olika former ... 39

6.3 Skiljer det i svårighet mellan benämnda uppgifter och rutinuppgifter? ... 40

6.4 Slutsatser ... 41

6.5 Pedagogiska implikationer ... 42

6.6 Förslag till fortsatt forskning ... 43

7 Referenser ... 44 Elektroniska dokument ... 46 Bilaga 1 Bilaga 2 Bilaga 3 Bilaga 4

7

1 Inledning

Som lärare måste man vara observant på vilka kunskaper om ett begrepp en elev har. Där ingår också att identifiera de förkunskaper som krävs för att förstå begreppet. Taluppfattning är en av grunderna för matematikinlärningen, och är nödvändig för att behärska talomvandling mellan bråkform, decimalform och procentform. Ahlberg (2001) anser att taluppfattning inom matematiken har stor betydelse för elevers uppfattning av ämnet.

Under mina sex år som matematiklärare på högstadiet har jag ofta hört mina kollegor bekymra sig över elevernas svårigheter med taluppfattning och talomvandling. Mitt intryck har varit att elevernas förmåga att bemästra taluppfattning skiljer sig kraftigt: eleverna har olika svårigheter med talomvandling mellan bråk, decimaltal och procentform vid huvudräkning. Jag har därför undersökt elevernas förståelse och eventuella svårigheter att omvandla tal mellan olika former vid huvudräkning. Relevansen i detta styrks av att McIntosh (2006) anser att en förståelse av tal hos elever utvecklas genom huvudräkning.

Uppgifterna i matematikläroböckerna på min skola innehåller huvudräkning. För att eleverna ska klara dessa uppgifter bör de ha god uppfattning av och förståelse för tal, samt sambandet mellan de olika talformerna (främst bråk- och decimaltal).

Enligt McIntosh (2008) är tal i bråk, tal i decimalform och procent olika sätt att beskriva tal. Vidare anser McIntosh att den stora skillnaden är att för tal i bråk- och decimalform är helheten

ett och för procent är helheten hundra.

Enligt Skolverkets kursplan, Lgr 11, är följande centrala innehåll i matematikundervisningen:

 Centrala metoder för beräkningar med tal i bråk- och decimalform vid överslagsräkning,

huvudräkning

 Tal i bråk- och decimalform och deras användning i vardagliga situationer.

 Tal i procentform och deras samband med tal i bråk- och decimalform.

Enligt Skolverket (2003) visar resultat från PISA och den nationella utvärderingen, där man kan jämföra resultat för elever i årskurs 9 mellan olika länder, att elevernas resultat i matematik har försämrats sedan 1992. Resultaten visar också att andelen svaga elever har ökat och andelen duktiga elever har minskat.

Enligt Skolverket (2007) visar resultat från TIMMS 2008, som handlar om svenska elevers matematikkunskaper, att elevernas taluppfattning och beräkningsprocedurer inte har utvecklas

8

tillräckligt. Detta resultat från PISA och TIMMS har gjort mig intresserad av att undersöka elevers förståelse för talomvandling mellan bråkform, decimalform och procentform.

Genom detta arbete vill jag också belysa svårigheter att lösa benämnda uppgifter respektive rutinuppgifter. Min förhoppning med undersökningen är att bidra till ökad måluppfyllelse om talomvandling i skolan.

9

2 Syfte

Syftet med detta arbete är att få en inblick i förståelsen för tal och talomvandling hos eleverna i årskurs 7–9. Jag har koncentrerat mig på omvandling mellan bråk, decimaltal och procentform samt de aktuella svårigheterna vid denna process. Jag vill också få en bild av hur elevernas förståelse skiljer sig mellan att lösa rutinuppgifter respektive benämnda uppgifter. Jag hoppas att resultaten ska medverka till att ge matematiklärare i både grundskolan och gymnasiet en tydligare uppfattning om svårigheterna med att omvandla tal mellan bråk, decimalform och procentform.

2.1 Frågeställningar

1. Vilken förståelse visar elever vid omvandlingar av tal mellan bråkform, decimalform och procentform?

2. Vilka svårigheter visar elever när det gäller att omvandla tal mellan bråkform, decimalform och procentform?

3. Vilka skillnader föreligger när det gäller svårigheter vid lösandet av rutinuppgifter jämfört med lösandet av benämnda uppgifter?

10

3 Teoretisk bakgrund

I detta avsnitt går jag igenom forskningslitteratur som har anknytningen till min undersökning. Jag tar också upp definitioner av olika begrepp som till exempel bråk-, decimal- och procentform samt naturliga tal – alla centrala begrepp i mitt arbete – och beskriver vad som menas med taluppfattning och talomvandling mellan de olika formerna.

3.1 Tidigare forskningslitteratur

För det rationella tänkandets utveckling använder Piaget (1942) ett förklaringssätt. Det sättet är konstruktivistiskt, dvs. hur strukturer utvecklas mot bättre strukturer. Vidare nämner Piaget fyra faktorer som bidrar till de kognitiva strukturernas utveckling:

 mognad  erfarenhet

 social interaktion  självreglering

Enligt konstruktivismen finns en vision av en aktiv och kunskapsteoretiskt stärkt elev (Ernest 1998). Vidare anser Ernest att konstruktivismen alltså bygger på ett arbetssätt, där elevernas lärande sätts i centrum istället för att läraren förmedlar givna kunskaper som skall utveckla deras matematiska värld. Med detta kan vi se att elevers prestationer i talomvandling mellan bråk, decimal och procentform kan utvecklas när eleven blir mognare och har större erfarenhet. Engström (1997) anser att eleven kan uppfatta ett bråktal med hjälp av en bild av en pizza eller en delvis skuggad figur. Engström fortsätter med att eleven ska kunna omforma bråkform till decimalform och/eller procentform. Vidare anser Engström att i matematikundervisningen i skolan är mycket av den matematik eleverna lär sig väldigt konkret, och bråktal är den första mer abstrakta matematik som eleverna möter. Han anser att eleverna ska vara förtrogna med de naturliga talen innan de börjar arbetet med de rationella.

Smith (1997) anser att man för att förstå Piagets teorier kan använda bergsbestigning som en metafor, varvid talet uppfattas som ett berg att bestiga. Eleven ska utveckla sin förståelse för taluppfattning under hela lärotiden. Detta innebär att förståelse för taluppfattning börjar i tidig ålder och bör fortsätta under hela grundskolan och gymnasiet. Engström (1998) anser att

11

utveckling av ett begrepp är en utdragen process; för många matematiska begrepp är det fråga om en mycket lång process.

Engström (1997) ger exemplifieringar ur Behr(1992) och Padberg(1989). Behr (1992) konstaterar att hur man ska arbeta med bråk i skolan är omdebatterat inte bara i Sverige utan även utomlands, eftersom det är ett område eleverna stöter på problem i. den internationella forskningen är inte enig kring hur bråk bör arbetas med i skolan, men överenskommelse ligger i att det finns ett problem med elevers prestationer i bråk. Med denna förutsättning har Engström (1997) i sin forskning strävat efter att undersöka hur elever lär sig bråk. Han ville ta reda på vilka problem eleverna stöter på i arbete med bråk och omvandling till decimalform. Engström behandlar även dessas relevans för undervisningen det vill säga hur eleverna försöker skapa sig en mening i sitt matematiska tänkande. Engström (1997) nämner en undersökning i Finland som visade att de svåraste uppgifterna för eleverna var att skapa en tallinje för bråktal. Eleverna hade svårt att ange tal som var större än en hel, och dessutom var det svårt för eleverna att uppfatta storlek på bråk och konstruera ett annat namn på ett bråktal. När en elev uppfattar 1/5 som ett tal som är större än 1/4 för att 5 är större än 4, förklaras det som en bristande förståelse där eleven antingen riktar uppmärksamheten mot antalet delar eller mot delens storlek.

Räkning med tal i decimalform istället för bråkform har börjat tillämpas mer. Motiveringen till detta har legat i att det anses att eleverna möter tal i decimalform mer ofta i sin vardag som till exempel priser och vikter än tal i bråkform. Det sägs även att det är lättare för elever att räkna med tal i decimalform (Engström, 1997). Det sistnämnda argumentet ifrågasätter Engström då han refererar till Padbergs (1989) tyska undersökning med 900 elever från 34 klasser. Undersökningen gjordes med elever i skolår 7, där det visade sig att eleverna inte uppvisade några generellt bättre prestationer med räkning av bråk i decimalform än med allmänna bråk. Prestationerna låg något högre vid räkning med bråk i decimalform gällande addition och subtraktion, men med multiplikation och division låg prestationerna mycket högre i räkning med bråkform. Padberg (1989) påpekar fördelarna med att tillämpa båda formerna, då han anser att man bör hitta ett samspel i undervisningen, som ger eleverna möjlighet att uppfatta det som olika sätt att beskriva samma matematiska objekt.

Löwing och Kilborn (2003) anser att eleven kan ha två olika uppfattningar av samma tal om det skrivs i bråkform eller decimalform. Det finns skillnader mellan bråkformen och decimalformen: till exempel kan 27/100 användas för en andel av 27 stycken av 100, men decimaltalet 0,27 har bara betydelsen av ett tal, en plats på tallinjen.

12

En elev som ska förstå ett tal med decimaler måste kunna förstå positionssystemet, anser Verschaffel och De Corte (1996). Vidare anser författarna att det är tre olika aspekter av positionssystemet som ska integreras: Den första aspekten är att till exempel 38 kan delas upp i åtta ental och tre tiotal. Den andra aspekten är att uttala och skriva talet 38. Den tredje aspekten är att kunna skriva talet 38 med bokstäver: trettioåtta.

Eftersom åldersskillnaden mellan elever i åk 9 och åk 1 på gymnasiet är liten är det intressant att läsa undersökningen av procentkunskaper i årskurs 9 genomförd av Omfors (2003). Denna visar att många elever hade problem med begreppsförståelsen och genom mekaniskt räknande klarades endast enkla uppgifter. Det var stora bekymmer med procentuella förändringar och begreppen procent och procentenheter förstod man inte skillnaden på.

Elvstam och Månsson (2006) har undersökt procentkunskaper i åk 6 i grundskolan och åk 1 på gymnasiet. Deras studie av läroböcker visar att svårighetsgraden på uppgifterna inte förändras speciellt mycket mellan åk 6 och åk 9.

Jaworski (1998) anser att man genom lärande skapar sig en bra matematisk uppfattning utifrån sina erfarenheter i förhållande till kunskap. Denna förhållandet ska förändras för att kunna generalisera eller tänka i abstrakta matematiska begrepp. Med detta anser Jaworski att elev som uppfattar ordet hälften av en mängd, bör eleven kan skriva uttrycka ordet hälften på olika form till exempel 50 % eller 0,5 av samma mängd.

Emanuelsson (2001) anser att eleverna har olika erfarenheter som påverkar deras lärande. Om och hur en elev lär sig ett nytt begrepp kan förklaras av olika variationer.

Löwing och Kilborn (2002) anser att det inte är lätt att avgöra vilken uppfattning eleverna har om bråk och viken aspekt de behärskar, och att bråk- decimalräkning är ett svårt ämnesområde. Vidare anser Löwing och Kilborn (2002) att eleverna bör uppfatta att decimaltalen är en typ av bråk med ett annorlunda skrivsätt. Man missar förklaringen av hur man dividerar tal när man hoppar över bråktalen och går direkt till decimaltalen. Kilborn (1990) har funnit att elever idag ofta omvandlar bråktal till decimaltal med hjälp av miniräknare, men att detta leder till att eleverna får problem med att utföra algebraiska förenklingar i gymnasieskolan. Vidare skriver Kilborn att decimaltalen idag har övertagit mycket av bråkräkningens roll, och att miniräknare och datorer i samhället har minskat behovet av färdigheter i skriftliga beräkningsmetoder.

13

3.1.1 Språkets betydelse för inlärning

Språket bygger upp en förståelse som har stor betydelse för inlärning av matematik anser Riesbeck (2008). Vidare anser Riesbeck att lärare och elever kan skaffa sig en god förståelse för matematik genom att tänka, läsa, tala, lyssna och skriva. Engström (1998) anser att det finns en koppling mellan elevens uppfattning av talen och språket. Fortsättningsvis skriver Engström att språkbruket kan underlätta inlärningen av talramsan.

PISA är en återkommande internationell undersökning av femtonåringar elevers färdigheter i tre olika ämnen: läsförståelse, matematik och naturvetenskap. I figur 1 presenteras resultaten för svenska elever från PISA 2000, uppdelat efter migrationsstatus för de tre kunskapsområdena. 4 416 elever deltog i undersökningen, och de har delats upp i tre grupper efter migrationsförhållanden.

Figur 1: Svenska elevers färdigheter i läsförståelse, matematik och naturvetenskap uppdelat efter migrationsstatus.

Resultaten visar stora skillnader mellan alla de tre grupperna för alla de tre kunskapsområdena. ”En delförklaring till detta resultat kan vara att uppgifterna som eleverna genomförde i PISA- undersökningen både i matematik och i naturvetenskap innefattade en hel del textmassa. Därmed är grundläggande kunskaper i läsförståelse också i praktiken ett nödvändigt villkor för att klara sig bra i matematik och naturvetenskap.” (Skolverket, 2001a.). I min undersökning vill jag också belysa svårigheter att lösa benämnda uppgifter respektive rutinuppgifter. Ladberg (2003) anser att språket spelar en stor roll i barnens utveckling och för att de ska kunna lära sig saker och ting. I boken Matematik från början beskriver författaren att läraren genom samtal kan ta reda på elevers tankar, kunskap och förståelse av tal/matematik. Samtalen stärker elevers språkutveckling och ett välutvecklat språk hjälper eleverna att utveckla sitt matematiska tänkande.

Tiden som krävs för att elever med utländsk härkomst ska behärska svenska språket på samma sätt som infödda varierar beroende bland annat på hur gammal eleven var vid ankomsten till Sverige. Språkforskaren Virginia Collier(2002) har gjort följande uppställning:

14

Ankomstålder Genomsnittlig tidsåtgång

5–7 år 3–8 år

8–11 år 2–5 år

12–15 år 6–8 år

Figur 2: Tid som krävs för att invandrarungdomar ska lära sig svenska. (Källa: Myndigheten för skolutveckling, 2003)

3.2 Tal – begreppsdefinitioner

Så här definierar Reys & Reys (1995) taluppfattning:

”En persons övergripande förståelse för tal och operationer parat med förmåga, färdigheter och lust att använda denna förståelse på olika sätt som underlag för beslut och för att utveckla användbara och

effektiva strategier för att använda tal och operationer.”

Vidare anser Reys & Reys att en elevs taluppfattning visar sig på olika sätt i aktiviteter i matematik. Det är svårt att mäta elevers förståelse för tal inom taluppfattning på grund av att det är ett komplext begrepp, anser Reys & Reys (1995). De menar att det är svårt att ta reda på hur eleverna tänker. Kilborn & Löwing (2003) anser att en god förståelse inom taluppfattning handlar om att:

 förstå talens betydelse och storlek  behärska talraden både framåt och bakåt  behärska entals- och tiotalsväxling

Med detta ska elever kunna skriva tal i storleksordning samt omvandla talen mellan olika former (bråk, decimal och procent).

3.2.1 Naturliga tal

Den traditionella innebörden om ”naturliga tal” är heltalen 0, 1, 2, 3… till oändlighet anser Thompson (1991).

15

3.2.2 Bråktal

Enligt Nationalencyklopedin (1991) är bråk ett ”matematiskt uttryck av formen a/b. a kallas täljaren, b nämnaren och strecket bråkstreck. Nämnaren får aldrig vara noll.” Vidare är ett bråktal kallas för ett rationellt tal som är ett ”tal som kan skrivas som kvoten mellan två heltal,

p/g, och g ≠ 0”. Ordet rationell kommer från latinets ratio, som betyder kvot (Thompson 1991).

Enligt Piaget (1942) är inlärning av de två grundläggande förhållandena del–helhet och del–del viktiga vid bildandet av elevers bråkföreställningar.

Kilborn & Löwing (2002) menar att vi för att kunna avgöra vilken iakttagelseförmåga det finns av bråk och vilka aspekter som ska behärskas måste vi fundera över bråkets olika gestaltningar. Bråket ½ har en plats på tallinjen, innebär att bråktal är en form av tal.

McIntosh (2008) anser att bråkuttryck är nära knutna till resultatet av en division: när en mängd delas i lika delar kan det ses som en form av division, och själva kvoten kan skrivas i bråkform.

3.2.3 Decimaltal

Löwing & Kilborn (2003) skriver att decimaltalet är en form av tal som består av heltal och delar och innehåller decimaltecken. Ett decimaltal kan bestå av en ändlig eller oändlig följd av decimaler, till exempel 1/4 = 0,25 och 7/3 = 2,333333… Siffrorna har olika värde beror på deras respektive positioner. Decimaltal är en speciell form av bråk, och med hjälp från grundläggande bråkräkning kan eleven förstå vad decimaltecknet betyder och var det ska placeras. Decimaltal, bråk och procent tillhör tillsammans de rationella talen. Till exempel 2/5 som bråktal är lika med 0,40 som decimaltal och är lika med 40 % som procent form. Kilborn (1999) beskriver rationella tal som de tal som kan skrivas som heltal, bråk, procent-, eller decimalform. Rationella tal som skrivs i decimalform kan skrivas med ett oändligt antal decimaler.

3.2.4 Procent som tal

Procent betyder per hundra eller hundradelar, och är faktiskt bara en stenografisk förkortning, där de två nollorna i nämnaren av exempelvis 7/100 återges med symbolen %, och därmed skrivs talet kort som 7 % (Skott, Hansen, Jess & Schou, 2010). Eleven ska uppfatta talet i procentform som ett tal i bråkform med nämnaren 100.

16

3.2.5 Elevers förståelse för talomvandling mellan bråk-, decimal- och procentform

Enligt Skott, Hansen, Jess & Schou (2010) innebär talomvandling mellan olika former att ett tal ska skrivas i bråkform, decimalform och procentform utan att värdet ändras. Eleven bör kunna grunderna i bråkräkning och räkning med tal i decimalform för att klara procenträkning. Teorin om procentform är att 15 % betyder varken mer eller mindre än 15/100 eller 0,15, och man räknar med 15 % på exakt samma sätt som med 15/100 och 0,15.

McIntosh (2008) anser att bråk, tal i decimalform och procent är olika sätt att beskriva tal. McIntosh menar att den stora skillnaden är att för tal i bråk- och decimalform är helheten ett och för procent är helheten hundra. Att förstå att två olika bråkuttryck kan representera samma tal är centralt för att förstå bråkform anser McIntosh (2008). Hon menar att två bråk, till exempel 2/3 och 4/6, ses helt olika ut men ändå beteckna samma tal eller andel av något.

Löwing och Kilborn (2003) anser att elever visar förståelse för tal när de arbetar med tal i olika former, och kan omvandla ett tal mellan bråkform, decimalform och/eller procentform. Enligt Löwing och Kilborn (2003) gäller för procenträkning i stort sett grundläggande förståelse för decimaltalsräkning. Det gäller att förstå innebörden i procentbegreppet, att det handlar om en andel av något uttryckt i hundradelar.

3.2.6 Elevers svårigheter vid talomvandling

Elevers svårigheter med matematik för elever när de arbetar med talomvandling kan påverkas av olika faktorer till exempel elevers erfarenheter och förutsättningar. Verschaffel & De Corte (1996) kopplar den matematiska utvecklingen till det logiska tänkandet och förmågan att utföra beräkningar. Denna utveckling leder inte alltid rätt spår, exempelvis för flersiffriga tal i decimalform till exempel eleverna tror att 1,25 > 1,3. Verschaffel & De Corte (1996) anser att en annan utmaning är att eleven ska förstå sammanhanget när benämnda uppgifterna gäller vardagsmatematiska problem; då kan eleven lösa praktiska uppgifter som utvecklar elevens matematiska förmåga.

Löwing och Kilborn (2003) anser att bristande färdighet att arbeta med tal kan iakttas när elever på högstadiet systematiskt gör fel vid räkning med bråk och decimaltal. Det är då svårt för en elev att förstå att 2/5 av 30 kr är lika med 0,40 av 30, samt ska kopplas till procentandelen 40 %, eftersom eleven inte ser siffrorna 2 och 5 i talet 0,40. Vidare anser Löwing & Kilborn att 40 %

17

får numerisk betydelse som proportionen (andelen) av något. Alltså bör man skilja mellan 2/5 som tal, vilket är lika med 0,40, och 2/5 av 300 där 2/5 betyder 2 andelar av 5 som en proportion. Tal som ska omvandlas från bråkform till procentform är enkla när täljaren är lika med 100, för en hundradel är lika med en procent. Exempel: 28/100 = 28 %. Det blir svårare om täljaren inte är lika med hundra, till exempel 38/146. Löwing & Kilborn (2003) tar som exempel 56/160, som med hjälp av division kan skrivas som 0,35. Då finner vi att 56/160 = 35/100, som kan skrivas som 35 %.

McIntosh (2008) tar ett exempel där 40 % av pojkarna och 40 % av flickorna i skolan använder glasögon. Frågan är hur många procent av alla eleverna i skolan det är. McIntosh anser att de som svarar 20 % (hälften av 40 %) eller (40 % + 40 % =) 80 % använder räkneregler och inte uppfattar innebörden av situationen.

3.3 Undersökningar och studier

Enligt Skolverket (2003) visar den nationella utvärderingen av grundskolan dels att cirka 90 % av eleverna klarar målen i taluppfattning, dels att elevernas resultat i matematik har blivit sämre jämfört med år 1992. Resultaten visar också att andelen svaga elever har ökat och andelen duktiga elever har minskat. Enligt Skolverket (2007) visar resultat från TIMMS 2008, som handlar om svenska elevers matematikkunskaper, att elevernas taluppfattning och beräkningsprocedurer inte har utvecklas tillräckligt. Vidare skriver man att 42 % av eleverna uppger att de aldrig diskuterar matematik. Detta kan visa brister på att eleven kan skriva till exempel ”var femte” i bråk, decimal och procentform. I min undersökning vill jag om eleverna kan skriva till exempel ”varannan och trettiotvå hundradelar” i bråkform, decimalform och procentform.

Enligt en studie som utförts av Möllehed (2001) påverkar sexton olika faktorer elevernas uppfattning i matematik. Nedan tar jag bara upp de faktorer som kan kopplas till min undersökning samt de brister som förekommer hos elever för respektive faktor.

 Textförståelse: Elever missförstår hela eller delar av innehållet i texten.  Talförståelse: Bristerna består i feltolkningar av decimaler och rationella tal.

 Relationer mellan helheten och dess delar: Här kan man inte se hur delarna och helheten hör samman.

18

 Räkneförmåga: Algoritmfel förekommer, sammanblandning av de olika räknesätten samt räknefel med heltal, decimaltal, rationella tal och procent.

 Uppmärksamhet: Här är det frågan om att eleven gör slarvfel som till exempel att ge ett ofullständigt svar.

Enligt Engström (1997) utförde PRIM- gruppen vårterminen 1989 en nationell utvärdering gällande elevers kunskaper och färdigheter i matematik (bilaga 3). Uppgiften handlar om hur eleven kan se samband mellan tal i bråk, decimal och procentform samt välja det största talet av några tal.

Magne (1990) jämförde i sin Medelsta- studie hur väl eleverna behärskade matematikämnet enligt Lgr 69 och Lgr 80. Bilaga 4 visar resultatet för en uppgift om sambandet mellan del av helhet i en delvis skuggad figur och tal i bråkform, decimalform och procentform.

Mäkiranta (2009) presenterar resultatet av ett fördjupningsarbete under en kurs med boken ”Förstå och använda tal – en handbok” av Alistair McIntosh. Figur 3 nedan visar resultat för fråga 14. Där visar att bara 50 % av eleverna som deltog på arbetet kunde omvandla ett tal från procentform till bråkform och decimalform.

14. Uttryck 60 % i bråkform och decimalform.

Resultatet: 9 korrekta svar av 18 elever som svarade på frågan (50 %)

Figur 3: Ett exempel på att ett tal kan skrivas på olika form (omvandling mellan bråkform, decimalform och/eller procentform) (Mäkiranta, Nämnaren nr1, 2009).

Resultaten ovan från olika studier och undersökningar ska jag använda för att jämföra min undersöknings resultat och försöka komma fram på svar till min undersöknings frågeställningar. Samt kommer jag att dra slutsatser som kan bidra till att matematik lärare kan ta hänsyn till det.

19

4 Metod

I detta kapitel kommer jag att redovisa de metoder som användes i undersökningen, samt hur de uppgifter som användes i det skriftliga testet valdes. Dessutom beskrivs urvalet av elever som deltog i det skriftliga testet.

I min undersökning har jag beaktat forskningsetiska principer. Enligt Forskningsetiska principer

i humanistisk–samhällsvetenskaplig forskning ska undersökningar uppfylla följande krav

(Vetenskapsrådet, 2000):

 Informationskravet: Forskaren ska informera dem som berörs av forskningen om syftet med forskningen.

 Samtyckeskravet: De berörda får själva bestämma om de vill medverka i forskningen.

 Konfidentialitetskravet: Ingen annan får ta del av namn på personer som deltagit i undersökningen.

 Nyttjandekravet: Insamlade uppgifter får bara används inom forskningen.

I min studie informerade jag mina arbetskamrater som är matematiklärare och min rektor och förklarade min studies syfte. Jag träffade alla 11 klasser innan de deltog på undersökningen och berättade om studien och jag gav de ett brev till sina föräldrar med information om min studie. Jag berättade till alla elever att eleverna får själv bestämma om de vill delta i forskningen, och att eleverna inte behöver skriva sitt namn. Eleverna fick veta att uppgifter får bara används inom forskningen.

4.1 Datainsamlingsmetoder

Johansson & Svedner (2006) skiljer på enkäter, som bidrar till en bredare men ytligare information, och intervjuer, som ger en smal men mer grundlig information i en undersökning. Det skriftliga testet är delvis gjort som en kvantitativ undersökning. Det skriftliga testets syfte är att få en bild av elevernas kunskap i taluppfattning. Jag kommer att göra en kvantitet resultatredovisning genom min analys och kategorisering.

För att kunna jämföra och till viss del generalisera resultat bad jag alla deltagande elever att försöka svara på alla frågor. Patel & Davidsson (2003) anser att detta kännetecknar undersökningar som har enkäter som metod.

20

Davidson & Patel (2003) anser att man kan få information om omvärlden genom observation. Detta innebär att man kan skaffar kunskap om ett problemområde. Vidare beskriver författarna två typer av observationer: strukturerad och ostrukturerad observation. I denna studie användes

ostrukturerad observation under två veckor innan det skriftliga testet genomfördes.

Min undersökning är gjord med 243 elever så underlaget kan ge mig bra möjlighet att jämföra och generalisera min undersöknings resultat.

4.2 Urval

Jag valde att genomföra det skriftliga testet (bilaga 2) med elever i elva klasser som går i högstadiet (åk 7–9) i en grundskola i Skåne utgående ifrån vad som enligt Lgr 11 för matematik ska ha uppnåtts under skolår 9. Målen innefattar att eleverna ska ha grundläggande taluppfattning som omfattar att kunna klara beräkningar med tal i bråkform och decimalform, samt kunna beräkningar med procent genom att omvandla tal mellan bråkform och decimalform till procentform.

Jag valde denna skola av två anledningar. Den första anledningen var att denna skola är en mångkulturell skola, så att jag kunde få bättre resultat om en frågeställning som handlar om huruvida förståelsen av och svårigheterna med benämnda uppgifter skiljer sig från rutinuppgifter. Med detta ville jag kontrollera hur bristande matematikspråk inverkar på elevernas förståelse av talomvandling mellan bråkform, decimalform och procentform. I skolan kan eleverna välja mellan tre olika profiler: musik-, fotbolls- och kulturprofil. I klasser med musikprofil som betecknas med (M) har majoriteten av eleverna inte invandrarbakgrund. I klasser med kulturprofil som betecknas med (A och/eller B) består majoriteten av elever med invandrarbakgrund. Klasserna som har fotbollsprofil som betecknas med (FM) har den jämnaste fördelningen mellan elever med och utan invandrarbakgrund. Löwing (2006) lyfter fram det faktum att ”bristen på ett adekvat språk kan vara en bidragande orsak till den kris som råder i dagens matematikundervisning”. Den andra anledningen till valet av den skolan var att jag arbetar på denna skola sedan sex år. Jag hade därför tillgång till lämpligt material och salar.

21

4.3 Den skriftliga diagnosen

Utgångspunkten för min diagnos är McIntoshs (2010) definition av fem olika typer av frågeställningar för att uppfatta sambandet mellan bråkform, decimalform och procentform: 1. att kunna omvandla enkel bråkform till decimalform och procentform

2. att kunna tolka ett uttryck till tal i olika former 3. att kunna omvandla ett tal mellan olika former

4. att kunna koppla procentuell förändring till decimalform

5. att jämföra storleken på tal i bråkform, decimalform och procentform

När jag valde frågorna till det skriftliga testet tog jag hänsyn till att de förväntades ge svar på de forskningsfrågor jag ställt. Målet var att välja frågor av bra kvalitet då de testades av en forskare eller författare av läroböcker. Jag har använt frågor av den typ som finns i boken ”Förstå och

använda tal – en handbok” av McIntosh (2010). I de fall jag inte fann lämpliga frågor i boken,

har jag använt frågor ur två olika läroböcker. Den första läroboken är Möte med matte åk 7–9 och den andra läroboken är Matte Direkt åk 7–9. Jag kompletterade med egna frågor och modifierade några frågor som jag valde från ovanstående böcker. Det kan till exempel gälla att svaret i mitt skriftliga test ska anges i bråkform, decimalform och procentform i stället för bara bråkform. Material och hjälpmedel som eleverna fick använda var penna och sudd. Det skriftliga testet bestod av nio frågor. De första sju uppgifterna skulle lösas genom att eleven skriver bara svaret. De sista två svaren skulle eleverna redovisa fullständigt. För att ska kunna jämföra och analysera om det skilde i svårighet mellan benämnda uppgifter och rutinuppgifter valde jag tre benämnda uppgifter. För att undvika att en uppgift gav vägledning till lösningen på nästa uppgift ändrade jag ordningen på uppgiftstyperna. En närmare beskrivning av uppgifterna:

1. Uppgift 1 och 3 handlar om att ett tal har samma värde men kan skrivas på olika form (omvandling mellan bråkform, decimalform och/eller procentform). Uppgiften är tagen från läroboken Möte med matte B och Matte Direkt åk 9.

2. Uppgift 2 handlar om sambandet mellan del av helhet i en delvis skuggad figur och tal i bråkform, decimalform och procentform. Uppgiften kommer ursprungligen från McIntosh (2010).

3. Uppgift 4 och 5 handlar om relativ storlek på tal, samt jämförelse mellan tal i bråkform, decimalform och procentform. Uppgifterna kommer ursprungligen från McIntosh (2010).

22

4. Uppgift 6 handlar om att kunna tolka tal i bråkform, decimalform och procentform. Uppgiften kommer ursprungligen från Möte med matte C.

5. Uppgift 7 och 8 handlar om vardagsproblem där bråk- och procentbegrepp ingår. De texterna kommer ursprungligen från Möte med matte E och Matte Direkt åk 7.

4.4 Genomförande

Jag inledde med att tala med mina arbetskamrater som är matematiklärare och förklarade min undersöknings syfte och metoden med ett skriftligt test. Jag diskuterade även med dem hur jag skulle utföra det skriftliga testet. Skolans rektor gav mig mycket stöd och beröm under hela min undersökning och utbildning. Jag fick gå in i varje klass när de hade matematik och berättade för eleverna om min undersökning. I ett brev (bilaga 1) till elevernas vårdnadshavare berättade jag lite om vem jag är, om min undersökning och bad om tillstånd för deras barn att delta i undersökningen. Eleverna fick 60 minuter på sig att besvara skriftligt testet (bilaga 2). Under testet var eleverna placerade så att fusk skulle undvikas. För att göra undersökningsresultatet mer konkret försökte jag motivera eleverna att genomföra det skriftliga testet och att svara på bästa sätt. Jag klargjorde varför deras insats var viktig och att de hade möjlighet att påverka undervisningen i talomvandling mellan bråkform, decimalform och procentform. Jag förklarade för eleverna att de skulle fokusera på division, vilket gör det lättare att klara talomvandling mellan olika form. Engström (1997) anser att elever måste behärska division för att kunna räkna med bråk på det sätt eleverna ska lära sig under högstadiet. Vidare anser Engström att elevernas förståelse av division bör vara ett viktigt mål för undervisningen att omvandla tal mellan olika former. Piaget (1942) anser att elevers föreställning om bråk beror på förståelsen av division.

4.5 Databearbetning och analys av data

Johansson och Svedner (2006) anser att ett skriftligt test är en kvantitativ undersökning som kan vara mer bristövertygande och osäkert, och oklara frågor eller slarv vid svar på dessa kan orsaka låg reliabilitet. Om jag hade valt att intervjua eleverna som komplement med det skriftliga testet skulle det bidra till säkrare resultat än resultaten som jag har fått av det skriftliga testet. Av de skriftliga testresultaten fick jag dock en bild av vilka uppgifter eleverna klarade bättre än andra. Vidare visade testet om det fanns någon skillnad i förståelse av benämnda uppgifter och rutinuppgifter. Det är möjligt att använda svaren för statistisk jämförelse mellan resultaten från

23

en mångkulturell skola och resultaten från PISA-undersökningen i matematik. Varje uppgift och dess resultat redovisas i tabeller eller diagramform. Efter genomförande enkätundersökning började jag med att läsa igenom vad alla eleverna svarat. Sedan sammanställde jag svaren i datorn uppdelat efter varje enkätfråga. Utifrån de enkätfrågor jag utformade till att besvara mina frågeställningar delade jag in elevernas resultat i tre kategorier: rätt svar, delvis rätt eller fel eller inget svar. Efter dessa moment jämförde jag resultaten med tidigare studie och undersöknings resultat.

24

5 Resultat och analys

I detta avsnitt presenteras resultatet av den skriftliga diagnosen om elevers uppfattningar om talomvandling mellan olika former (bråk, decimal och procent). Totalt medverkade 243 elever i den skriftliga undersökningen, fördelade så här:

Tabell 1. Antal elever som deltog i undersökningen i varje klass.

ÅK 7: 60 elever 7AB: 15 elever 7FM: 18 elever 7M: 27 elever

ÅK 8: 98 elever 8A: 24 elever 8B: 21 elever 8FM: 25 elever 8M: 28 elever

ÅK 9: 85 elever 9A: 16 elever 9B: 21 elever 9FM: 27 elever 9M: 21 elever

Undersökningsresultatet är indelat i olika sätt att omvandla talet mellan bråkform, decimalform och/eller procentform enligt följande:

 Att ett tal kan skrivas på olika former men har samma värde (uppgift 1 och 3).

 Sambandet mellan del av helhet i en delvis skuggad figur och tal i bråkform, decimalform och procentform (uppgift 2).

 Relativ storlek på tal, samt jämförelse mellan tal i bråkform, decimalform och procentform (uppgift 4 och 5).

 Att tolka uttryck som tal i bråkform, decimalform och procentform.(uppgiften 6).

 Benämnda uppgifter om vardagsproblem där bråk- och procentbegrepp ingår.(uppgift 7 och 8).

Vid analys och beskrivning av uppvisade svårigheter har jag använt mig av de teoretiska resonemangen hos Möllehed (2001) och Kilborn & Löwing (2003), Magne (1990), Engström (1997) och Mäkiranta (2009) samt studieresultaten från PRIM-gruppen (1989).

Jag delade in svaren i tre kategorier:  rätt svar

 delvis rätt

25

Uppgift 1 och 3:

1. Vilka av talen har värdet 1/4? 0,4 25% 40% 3/12 0,25 2/6 3. Fyll i tabellen.

Bråkform Decimalform Procentform

1 3/5

0,65

14 %

Jag analyserade elevernas svar och försökte jämföra resultatet med Mäkirantas (2009) resultat att 50 % svarade rätt på en fråga om att ett tal kan uttryckas på olika former (bråk, decimal och procent).

Resultaten för uppgift 1 och 3:

Tabell 2. Resultat för uppgifter 1 och 3.

Svaret 7AB 7FM 7M 8A 8B 8FM 8M 9A 9B 9FM 9M Rätt 40 % 58% 48 % 77% 26% 78% 54% 59% 60% 50% 79% Delvis rätt 37% 19% 37% 21% 48% 8% 34% 28% 33% 35% 19% fel eller inget svar 23% 23% 15% 2% 26% 14% 12% 13% 7% 15% 2%

Årskurs 7: Resultaten visar att merparten av eleverna i klass 7AB uppvisar svårigheter när det

gäller att ett tal kan skrivas på olika former (bråk, decimal och procent) men har samma värde. 40 % svarade rätt. Eleverna i klass 7FM uppvisar god taluppfattning när det gällde att förstå att ett tal har samma värde men kan skrivas på olika form. Den besvarades över huvud taget inte av 6 elever i 7AB, 8 elever i 7FM och 7 elever i 7M. Detta tyder på att dessa elever inte förstod frågan. Exempel på delvis rätt svar är om eleven enbart klarar omvandling mellan decimal och procent. Eleverna hade svårigheter att omvandla talet 1 3/5 till decimalform och procent.

Årskurs 8: Resultatet visar att merparten av eleverna i klass 8A uppvisar god förståelse när det gäller att ett tal kan skrivas på olika form. 77 % gav rätt svar. I 8B svarade 13 elever delvis rätt, såsom att 1/4 = 25 % = 0,25, men ingen svarade 1/4 = 3/12. Merparten av eleverna i klass 8FM uppvisade god taluppfattning med 78 % rätt svar. Exempel på delvis rätt svar är om eleven

26

enbart klarar omvandling mellan decimal och procent. Eleverna hade svårigheter att omvandla 1 3/5 till decimalform och procent, samt att omvandla 14 % till bråktal (14/100). Läraren instruerade eleverna i 8A att de skulle besvara hela frågan och inte bara en del, vilket kan förklara varför ingen elev i 8A gav fel svar i uppgift 3.

Årskurs 9: Resultatet visar att merparten av eleverna i klass 9A uppvisade god taluppfattning när det gäller att ett tal kan skrivas på olika form, 59 % gav rätt svar. Merparten av eleverna i klass 9B uppvisade god taluppfattning när det gäller att ett tal kan skrivas på olika former (bråk, decimal och procent): 60 % gav rätt svar. Elever som svarade delvis rätt, såsom att 1/4 = 25 % = 0,25, men ingen svarade 1/4 = 3/12. 9M har god taluppfattning när det gäller att ett tal kan skrivas på olika form. Där svarade 79 % rätt. Uppgift 3 besvarades över huvud taget inte av 3 elever i 9A och 4 elever i 9FM. Detta tyder på att dessa elever inte förstod frågan. Exempel på delvis rätt svar är om eleven enbart klarar omvandling mellan decimal och procent. Eleverna hade svårigheter att omvandla 1 3/5 till decimalform och procent eller att omvandla 14 % till bråktal (14/100).

Sammanfattning av resultatet för uppgift 1 och 3:

Resultaten visar att en del av eleverna i alla klasser har delvis rätt. De eleverna som har delvis rätt i uppgift 1 har bara skrivit ett svar på uppgift 1, till exempel 1/4 = 25 % eller 1/4 = 0,25, eftersom de antagligen trott att de bara skulle ange ett svar. Det kan vara ett exempel på vad Möllehed (2001) menar om att elever missförstår hela eller del av frågan. Elever som har delvis rätt svar på uppgift 3 har klarat omvandling mellan decimaltal och procent, men de kunde inte omvandla talet 1 3/5 till decimal- och procentform. Uteblivet svar kan tyda på slarv. Enligt Johansson & Svedner kan detta orsaka låg reliabilitet.

Rätta svar: 50 % i åk 7, cirka 60 % i åk 8 och cirka 61 % i åk 9. Detta tyder på talutveckling, i och med att eleverna i åk 9 klarar uppgifterna bättre än eleverna i åk 8 och åk 7: uppmärksamhet, matematiska begrepp och räkneförmåga verkar utvecklas.

Uppgift 2:

27

Svaret i bråkform: decimalform: procentform:

Jag analyserade elevernas svar och försökte jämföra resultatet med det som Magne (1990) redovisar när det gäller sambandet mellan del av helhet i en delvis skuggad figur och tal i bråkform, decimalform och procentform:

År 1977 svarade rätt 81 % och år 1986 svarade rätt 76 %.

Resultaten för uppgift 2:

Tabell 3. Resultat för uppgift 2

Svaret 7AB 7FM 7M 8A 8B 8FM 8M 9A 9B 9FM 9M

Rätt 13 % 56 % 56 % 83 % 29 % 64 % 46 % 50 % 62 % 67 % 62 % Delvis rätt 87 % 28 % 22 % 17 % 62 % 28 % 36 % 31 % 38 % 26 % 24 % fel eller inget

svar

0 % 16 % 22 % 0 % 9 % 8 % 28 % 19 % 0 % 7 % 14 %

Årskurs 7: Resultaten visar att merparten av eleverna i klass 7AB uppvisar stora svårigheter i

taluppfattning när det gäller sambandet mellan del av helhet i en delvis skuggad figur och tal i bråkform, decimalform och procentform. 7FM och 7M visar bättre taluppfattning än 7AB, men de hade fortfarande svårigheter när jämfört med Magnes resultat

Årskurs 8: Resultatet visar att merparten av eleverna i klass 8A uppvisar god förståelse när det

gäller sambandet mellan del av helhet i en delvis skuggad figur och tal i bråkform, decimalform och procentform. Ingen svarade fel eller underlät att svara i 8A. 8B hade svårigheter. Vissa elever missförstod frågan så att de trodde att svaret bara skulle skrivas i bråkform. Detta innebar att 9 % inte svarade, vilket kan tyda på problem med begreppsförståelse eller slarv vid svaret. 8FM visar god taluppfattning. Merparten av eleverna i klass 8M uppvisar svårigheter när det gäller sambandet mellan del av helhet i en delvis skuggad figur och tal i bråkform, decimalform och procentform.

Årskurs 9: Resultatet visar att merparten av eleverna i klass 9A uppvisar svårigheter när det

28

och procentform. Exempel på delvis rätt är 6/24, 25 % eller 0,25. 9B har taluppfattning. 62 % gav rätt svar, och inget helt felaktigt svar gavs. Vissa elever missförstod frågan så att de trodde att svaret bara skulle skrivas i bråkform. 9FM uppvisar taluppfattning med 67 % rätt svar. Merparten av eleverna i klass 9M uppvisar god taluppfattning med 62 % svarade rätt.

Sammanfattning av resultatet för uppgift 2:

Andelen delvis rätta svar varierade mellan klasserna. Exempel på delvis rätt är att elever svarade bara med ett svar 6/24, 25 % eller 0,25. Vissa elever missförstod frågan så att de trodde att svaret bara skulle skrivas i bråkform. Felräkning kan tyda på brister i uppmärksamhet eller räkneförmåga – vilket är svårt att avgöra eftersom eleverna inte redovisade någon uträkning. Detta är eventuellt ett tecken på brister i många av Mölleheds (2001) matematiska kompetenser, såsom uppmärksamhet, matematiska begrepp och räkneförmåga. Elever som har delvis rätt svar i uppgift 2 har svarat på omvandling mellan decimaltal och procent, men de kunde inte omvandla talet 1 3/5 till decimal- och procentform. Uteblivna svar kan tyda på slarv vid svaret. Enligt Johansson & Svedner kan detta orsaka låg reliabilitet.

Rätta svar: 45 % i åk 7, 56 % i åk 8 och 61 % i åk 9. Detta tyder på talutveckling, i och med att eleverna i åk 9 klarar uppgifterna bättre än eleverna i åk 8 och åk 7: uppmärksamhet, matematiska begrepp och räkneförmåga verkar utvecklas. Resultatet visar att de som gav fel svar är mellan 0–28 %, och detta stämmer inte helt med Skolverkets (2003) resultat att nationella utvärderingen av grundskolan visar att cirka 90 % av eleverna klarar målen i taluppfattning.

Uppgift 4 och 5

4. Ringa in det största talet.

2/3 0,24 5,2 %

5. Ringa in det största talet i varje par.

30 % eller 0,5 3/8 eller 80% 2/5 eller 0,25

Resultaten för uppgift 4 och 5:

Jag analyserade elevernas svar och försökte jämföra resultatet med det som Engström (1997) redovisar om att 47 % svarade rätt när det gäller ett exempel på relativ storlek på tal, samt jämförelse mellan tal i bråkform, decimalform och procentform

29 Tabell 4. Resultat för uppgifter 4 och 5

Svaret 7AB 7FM 7M 8A 8B 8FM 8M 9A 9B 9FM 9M Rätt 47 % 78 % 80 % 71 % 52 % 90 % 63 % 69 % 88 % 74 % 86 %

Delvis rätt 23 % 3 % 5 % 12 % 7 % 0 % 10 % 9 % 0 % 6 % 0 % fel eller inget

svar

31 % 19 % 15 % 17 % 41 % 10 % 27 % 22 % 12 % 20 % 14 %

Årskurs 7: Resultatet visar att merparten av eleverna i klass 7AB har taluppfattning när det gäller

ett exempel på relativ storlek på tal, samt jämförelse mellan tal i bråkform, decimalform och procentform. Merparten av eleverna i klass 7M uppvisar god taluppfattning med 80 % rätt svar. Exempel på delvis rätt svar är att eleven svarar på ett par eller två par, men inte på alla tre par.

Årskurs 8: Resultatet visar att merparten av eleverna i klass 8A uppvisar god förståelse när det

gäller relativ storlek på tal, samt jämförelse mellan tal i bråkform, decimalform och procentform. Exempel på fel svar är att 5,2 % är större än 0,24. I 8B gav 52 % rätt svar, men 41 % svarade fel eller underlät att svara. Detta innebär att en stor del hade svårigheter att jämföra tal i olika form (bråk, decimal och procent). Merparten av eleverna i klass 8FM uppvisar god taluppfattning med 90 % korrekta rätt svar. Merparten av eleverna i klass 8M uppvisar bra taluppfattning med 63 % rätt svar. 10 % i 8M svarade delvis rätt. Detta tyder på att eleverna hade brister i räkneförmåga eller slarvade vid räkning.

Årskurs 9: Resultatet visar att merparten av eleverna i klass 9A uppvisar god förståelse när det

gäller relativ storlek på tal, samt jämförelse mellan tal i bråkform, decimalform och procentform.

9B uppvisar bättre god taluppfattning än 9A med 88 % gav rätt svar. Merparten av eleverna i

klass 9FM visar god taluppfattning med 74 % gav rätt svar, men 20 % av elever svarade fel, vilket tyder på brister i räkneförmåga. merparten av eleverna i klass 9M uppvisar god taluppfattning med 86 % rätta svar. Uteblivet svar tyder på har brister i räkneförmåga eller slarv vid räkning. Resultatet för uppgift 4 visar att ingen elev i alla fyra klasser har delvis rätt svar. Detta betyder att ingen elev har begränsad talförståelse. För uppgift 5 blev resultatet att alla elever i svarade rätt. Detta tyder på att de eleverna har mycket god taluppfattning när det gäller jämföra mellan tal i olika former (bråk, decimal och/eller procent).

Sammanfattning av uppgift 4 och 5:

30  En elev uppfattar 5,2 % som 5,2.

 En elev i klass 9B skrev att 5,2 % är större än 2/3.

 En elev i 8B skrev att 2/3 är 2 av 3 så att det är lika med 3–2=1, och kommer fram till att 1 är större än 0,24 så att 2/3 är större än 0,24.

 En elev skrev att 0,5 = 5 %, 30 % är större än 5 % så att 30 % är större än 0,5. Eleven har svårighet att se att 0,5 = 0,50 = 50 %.

Eleverna som svarade fel har brister i talförståelse (feltolkningar av decimaler och rationella tal) eller i förståelsen av relationer mellan helheten och dess delar. Resultaten visar att eleverna i åk 9 har mycket bättre taluppfattning än eleverna i åk 8 eller åk 7. Detta tyder på att större erfarenhet ger bättre taluppfattning. Men visst går det att använda huvudräkning/papper och penna, genom att betrakta 1 % som en hundradel. Om 1/3 är cirka 33 hundradelar, så är 2/3 lika med cirka 67 hundradelar. Eleven kan skriva 0,24 som 24 hundradelar och 5,2 % som 5,2 hundradelar. Rätt svar: cirka 71 % i åk 7, cirka 69 % i åk 8 och cirka 79 % i åk 9. Detta tyder på talutveckling, i och med att eleverna i åk 9 klarar uppgifterna bättre än eleverna i åk 8 och åk 7: uppmärksamhet, matematiska begrepp och räkneförmåga verkar utvecklas.

Uppgift 6: Att tolka uttryck som tal i bråkform, decimalform och procentform. 6. Skriv ett tal som motsvarar uttrycket (bråkform, decimalform och procentform)

Uttrycket Bråkform Decimalform Procentform

Varannan elev är pojke.

Tre av fyra av elever uppnått målen i Ma 32 hundradelar liter saft.

En hel och 6 hundradelar

Resultaten för uppgift 6:

Jag analyserade elevernas svar och försökte jämföra resultatet med det som Mäkiranta (2009) redovisar om att 50 % svarade rätt på en fråga om att ett tal kan uttryckas på olika former (bråk, decimal och procent). Dessutom utgick jag ifrån vad McIntosh (2008) anser om utbytbara uttryck för tal i bråkform, decimalform och procentform.

Tabell 5. Resultat för uppgift 6

Svaret 7AB 7FM 7M 8A 8B 8FM 8M 9A 9B 9FM 9M Rätt 20 % 5 % 15 % 50 % 10 % 40 % 27 % 25 % 43 % 45 % 52 %

31 fel eller inget

svar

40 % 28 % 29 % 1 % 47 % 32 % 27 % 25 % 14 % 18 % 5 %

Årskurs 7: Resultatet visar att merparten av eleverna i klass 7AB, 7FM och 7M uppvisar

svårigheter med taluppfattning när det gäller att tolka uttryck som tal i bråkform, decimalform och procentform. De verkar ha svårt att förstå vad vi frågar efter. 18 elever av 60 i åk 7 svarade inte på uppgiften, vilket motsvarar 30 %. Detta kan tyda på problem med begreppsförståelse eller slarv vid svaret. 33 elever av 60 i åk 7 svarade delvis rätt på uppgiften, vilket motsvarar 55 %. Felräkning kan tyda på brister i uppmärksamhet eller räkneförmåga.

Årskurs 8: Resultatet visar att merparten av eleverna i klass 8A uppvisar taluppfattning medan

8Boch 8M hade stora svårigheter med taluppfattning när det gäller att tolka uttryck som tal i

bråkform, decimalform och procentform. Bara 10 % av 8B svarade rätt. Merparten av eleverna i klass 8FM uppvisar svårigheter i taluppfattning när det gäller att tolka uttryck som tal i bråkform, decimalform och procentform. 20 elever av 98 i åk 8 svarade inte på uppgiften, vilket motsvarar 20 %. Detta kan tyda på problem med begreppsförståelse eller slarv vid svaret. 40 elever av 98 i åk 8 svarade delvis rätt på uppgiften, vilket motsvarar 40 %. Felräkning kan tyda på brister i uppmärksamhet eller räkneförmåga.

Årskurs 9: Resultatet visar att merparten av eleverna i klass 9A uppvisar stora svårigheter med

taluppfattning när det gäller att tolka uttryck som tal i bråkform, decimalform och procentform. Resultatet visar att merparten av eleverna i klass 9B och 9FM uppvisar lite svårt med taluppfattning när det gäller att tolka uttryck som tal i bråkform, decimalform och procentform. 9M har viss taluppfattning när det gäller att tolka uttryck som tal i bråkform, decimalform och procentform. 7 elever av 85 i åk 9 svarade inte på uppgiften, vilket motsvarar cirka 8 %. Detta kan tyda på problem med begreppsförståelse eller slarv vid svaret. 36 elever svarade delvis rätt på uppgiften av 85 i åk 9, vilket motsvarar 42 %. Felräkning kan tyda på brister i uppmärksamhet eller räkneförmåga.

Sammanfattning av uppgift 6:

Exempel på felaktiga eller enbart delvis korrekta svar:  korrekta svar i enbart bråk- och decimalform.

 ”tre av fyra” omvandlat endast till bråk- och decimalform  en hel och 6 hundradelar = 1,6 = 16 %

32

 varannan uppfattat som 50 % men mer sällan uttryckt i decimalform

 32 hundradelar omvandlat till decimalform och procentform men inte bråkform

McIntosh (2008) anser att talomvandling mellan decimalform och procentform är betydligt enklare eftersom siffrorna är desamma. Problemen där beror snarare på bristande begreppsförståelse. Att elever inte kan skriva 1 hel och 6 hundradelar = 106 %, tyder på att det kan vara svårt att acceptera att någonting kan vara mer än 100 %. Resultatet visar att elever har svårt med taluppfattning när det gäller att tolka uttryck som tal i bråkform, decimalform och procentform. Uttrycket ”varannan” upplevs tydligen som krångligt: 76 av 243 elever svarade rätt på frågan, vilket motsvarar cirka 31 %. Detta kan jämföras med 50 % i Mäkirantas undersökning.

Felräkning kan tyda på brister i uppmärksamhet eller räkneförmåga – vilket är svårt att avgöra eftersom eleverna inte redovisade någon uträkning. Detta är eventuellt ett tecken på brister i många av Mölleheds matematiska kompetenser, såsom uppmärksamhet, matematiska begrepp och räkneförmåga.

I samband med undersökningen frågade jag alla elever som har bott mindre än fem år i Sverige vad uttrycket ”varannan” betyder. 5 av 12 elever förstod frågan och kunde skriva rätt svar, men resten hade svårt att skriva svaret i decimalform 0,50. Detta tyder på att bristande matematikspråk inverkar på elevernas förståelse för talomvandling mellan bråkform, decimalform och procentform.

Rätta svar: 13 % i åk 7, 32 % i åk 8 och 42 % i åk 9. Detta tyder på talutveckling, i och med att eleverna i åk 9 klarar uppgifterna bättre än eleverna i åk 8 och åk 7: uppmärksamhet, matematiska begrepp och räkneförmåga verkar utvecklas.

Uppgift 7 och 8: Benämnda uppgifter om vardagsproblem där bråk- och procentbegrepp ingår.

Redovisa lösningar så fullständigt du kan

8. Erik sparar fyrtio procent av 300 kr varje månad. Stefan sparar två femtedelar av 350 kr. Vem sparar mest varje månad?

9. Anders tjänar 24000 kr per månad. Han betalar tjugofem procent av lönen till skatt. Av resten betalar Anders två sjättedelar till hyran. Anders sparar tretton procent av det som är kvar. Hur mycket sparar Anders på ett år?

De sista två uppgifterna är benämnda uppgifter, där eleverna skulle redovisa lösningar så fullständigt de kunde. Uppgifterna utgörs av procenträkning i flera steg, där man dessutom måste tänka sig för vad man svarar på. Även dessa frågor visade sig vara ganska kluriga. En svårighet i

33

uppgift 9 var att eleven måste räkna rätt för att uträkningen i nästa steg beror på resultatet från det första steget. Eleverna fick inte använda miniräknare som hjälpmedel.

Resultaten för uppgift 7 och 8:

Tabell 6. Resultat för uppgifter 7 och 8

Svaret 7AB 7FM 7M 8A 8B 8FM 8M 9A 9B 9FM 9M

Rätt 17 % 11 % 41 % 56 % 24 % 34 % 46 % 44 % 41 % 56 % 76 % Delvis rätt 23 % 31 % 13 % 27 % 24 % 14 % 18 % 31 % 21 % 24 % 21 %

fel eller inget svar

60 % 58 % 46 % 17 % 52 % 52 % 36 % 25 % 38 % 20 % 5 %

Årskurs 7: Resultatet visar att merparten av eleverna i klass 7AB och 7FM uppvisar stora

svårigheter med taluppfattning när det gäller benämnda uppgifter om vardagsproblem där bråk- och procentbegrepp ingår. Merparten av eleverna i klass 7M uppvisar vissa svårigheter med taluppfattning: För uppgift 8 uteblev svar från 29 elever av 60 i åk 7 vilket motsvarar cirka 48 %.

Årskurs 8: Resultatet visar attmerparten av eleverna i klass 8A uppvisar viss taluppfattning när det gäller benämnda uppgifter om vardagsproblem där bråk- och procentbegrepp ingår. Merparten av eleverna i klass 8B och 8FM uppvisar stora svårigheter med taluppfattning. Merparten av eleverna i klass 8M uppvisar lite svårt med taluppfattning: 27 elever av 98 i åk 8 svarade inte på uppgift 8, vilket motsvarar 28 %. Detta kan tyda på problem med begreppsförståelse eller slarv vid svaret. Eleverna som svarat delvis rätt på uppgiften är 29 elever av 98 i åk 8 vilket motsvarar 30 %. Felräkning kan tyda på brister i uppmärksamhet eller räkneförmåga.

Årskurs 9: Resultatet visar att merparten av eleverna i klass 9Aoch 9B uppvisar svårt taluppfattning när det gäller benämnda uppgifter om vardagsproblem där bråk- och procentbegrepp ingår. 9FM har viss taluppfattning: 56 % svarade rätt. merparten av eleverna i klass 9M har god taluppfattning: 76 % svarade rätt. På Uppgift 8 underlät 18 elever av 85 i åk 8 att svara, vilket motsvarar 21 %. Detta kan tyda på problem med begreppsförståelse eller slarv vid svaret. 29 elever av 85 i åk 8 svarade delvis rätt på uppgiften, vilket motsvarar 34 %. Felräkning kan tyda på brister i uppmärksamhet eller räkneförmåga.

34

Sammanfattning av uppgift 7 & 8:

Exempel på svårigheter:

1. 40 % av 300 = 300/40 = 7,5 kr. (Ett resultat som uppkommit då eleven inte behärskar den procedur som krävs.)

2. 40 % av 300 = 0,4 * 300 = 1 200. (Eleven visar textförståelse och en bra procentuell räkning, men eleven visar bristande i multiplikation i decimaltal, eleven kommer att klara uppgiften om de får använda miniräknare.)

3. Tjugofem procent av 24 000 = 24 000/4 = 6 000 kr

2/6 av resten, eleven räknar 2/6 av 24 000. (Eleven har bristande på uppmärksamhet eller textförståelse och utgår från hela lönen. Detta räknefel gör att svaret i slutänden blir felaktigt.)

4. Två femtedelar av 300 kr. (Eleven tolkar en femtedel som 50 %, dvs. 150 kr. (Eleven förstår inte uttrycket med bokstäver, vilket tyder på bristande matematikspråk.)

5. 13 procent av 12 000 = 13 gånger 12000. (Eleven förstår inte att 13 % = 13 hundradelar.) 6. Skatt = 25 % av 24 000 = 24 000/4 = 6 000 kr

Resten efter skatt = 24 000 – 6 000 = 18 000 kr

Hyran = 2/6 av 18 000, 18 000/6 = 3 000, dvs. hyran = 6 000 kr Resten efter hyran = 18 000 – 6 000 = 12 000 kr

Sparat = 13 % av 12 000

1 % = 120 kr, 10 % = 1 200, så 13 % = 1 200 + 3 * 120 = 1 560 kr

(Eleven visar textförståelse och bra procenträkning, men faller på bristande uppmärksamhet.) Fel eller inget svar alls kan tyda på problem med begreppsförståelse, strategisk kompetens och resonerande. De elever som inte svarade på frågorna utgjorde cirka 43 % i åk 7, 29 % i åk 8 och 16 % i åk 9. Detta kan vara på grund av slarv vid svaret. Enligt Johansson & Svedner kan detta orsaka låg reliabilitet.

Rätta svar: cirka 26 % i åk 7, 40 % i åk 8 och 55 % i åk 9. Detta tyder på talutveckling för benämnda uppgifter om vardagsproblem där bråk- och procentbegrepp ingår, i och med att eleverna i åk 9 klarar uppgifterna bättre än eleverna i åk 8 och åk 7: uppmärksamhet, matematiska begrepp och räkneförmåga verkar utvecklas.

35

5.1 Resultaten utifrån rutinuppgifter och benämnda uppgifter

I detta avsnitt diskuteras om det skiljer i svårighet mellan benämnda uppgifter och rutinuppgifter. Utgångspunkten är vad Möllehed (2001) visar om att olika faktorer påverkar elevernas matematikuppfattning.

Resultat för åk 7:

Figur 4: Resultat på rutinuppgifter och benämnda uppgifter för elever i årskurs 7.  Rutinuppgifter: 50 % rätt, 22 % delvis rätt och 28 % fel eller inget svar  Benämnda uppgifter: 22 % rätt, 32 % delvis rätt och 46 % fel eller inget svar

Resultaten från åk 7 visar att det är svårare att lösa benämnda uppgifter än rutinuppgifter. Detta kan tyda på problem med begreppsförståelse eller slarv vid svaret. De 58 delvis korrekta svaren motsvarar 32 %. Detta tyder på att elever har bristande på uppmärksamhet eller textförståelse; det sker ett räknefel vilket gör att svaret i slutänden blir felaktigt.

Resultat för åk 8:

Figur 5: Resultat på rutinuppgifter och benämnda uppgifter för elever i årskurs 8.  Rutinuppgifter: 55 % rätt, 17 % delvis rätt och 28 % fel eller inget svar  Benämnda uppgifter: 38 % rätt, 27 % delvis rätt och 35 % fel eller inget svar

36

Resultaten från åk 8 visar att det är svårare att lösa benämnda uppgifter än rutinuppgifter. Detta kan tyda på problem med begreppsförståelse eller slarv vid svaret. De 80 delvis korrekta svaren motsvarar 27 %. Detta tyder på att elever har bristande på uppmärksamhet eller textförståelse; det sker ett räknefel vilket gör att svaret i slutänden blir felaktigt.

Resultat för åk 9:

Figur 6: Resultat på rutinuppgifter och benämnda uppgifter för elever i årskurs 9.  Rutinuppgifter: 60 % rätt, 15 % delvis rätt och 25 % fel eller inget svar  Benämnda uppgifter: 51 % rätt, 30 % delvis rätt och 19 % fel eller inget svar

Resultaten från åk 9 visar att det är svårare att lösa benämnda uppgifter än rutinuppgifter. Detta kan tyda på problem med begreppsförståelse eller slarv vid svaret. De 77 delvis korrekta svaren motsvarar 30 %. Detta tyder på att elever har bristande på uppmärksamhet eller textförståelse; det sker ett räknefel vilket gör att svaret i slutänden blir felaktigt.

Sammanfattning av resultaten utifrån rutinuppgifter och benämnda uppgifter

En del av eleverna fick bara delvis rätta svar på benämnda uppgifterna, eftersom deras svar saknar redovisningar och hela lösningsprocesser fastän de har kommit fram till rätt resultat. Delvis korrekta svar kan tyda på bristande uppmärksamhet eller textförståelse; det sker ett räknefel vilket gör att svaret i slutänden blir felaktigt. Uteblivna svar kan bero på att eleven inte förstått texten, vilket tyder på bristande matematikspråk. Resultatet visar att det är svårare att lösa benämnda uppgifter än rutinuppgifter. Cirka 56 % svarade rätt på rutinuppgifterna medan bara 39 % svarade rätt på benämnda uppgifter. Elever i åk 9 klarade uppgifterna bättre än eleverna i åk 8, och eleverna i åk 8 har svarat bättre än eleverna i åk 7. Detta tyder på att elevernas erfarenheter och tidigare inhämtade kunskaper i talomvandling har betydelse.