Prediktion av beta för fonder

(1)

Prediktion av beta för fonder

Robert Andersson

Examensarbete LIU-IEI-TEK-A--08/00358--SE Institutionen för ekonomisk och industriell utveckling

(2)

Prediktion av beta för fonder

Prediction of beta for mutual funds

Robert Andersson

Handledare vid Linköpings Universitet: Peter Hultman

Handledare hos SEB Merchant Banking: Martin Axell

Examensarbete LIU-IEI-TEK-A--08/00358--SE Institutionen för ekonomisk och industriell utveckling

Produktionsekonomi

(3)

Abstract

SEB Merchant Banking provides to its institutional customers a true market neutral product called Dynamic Manager Alpha (DMA). The DMA is constructed by a long position in an exceptionally well performing mutual fund and a beta adjusted short position in an appropriate index. The key to making the product market neutral is adjusting with the correct beta, since the beta changes, it is very important to have a good model for predicting beta in the future.

This master thesis begins with describing what beta is in a CAPM sense. It then continues with recognizing the so called “Two‐Beta Trap”, which separates two kinds of beta. The first is in CAPM sense, with a market portfolio represented by the whole market. The second is a “best‐fit” beta where the market portfolio is the index which explains as much as possible of the fund returns. It is this second way of calculating beta that is used in this thesis and therefore beta can be viewed upon like a hedge‐ ratio. The purpose of this thesis is to predict the future beta for mutual funds with as high accuracy as possible. The starting point has been historic OLS (Ordinary Least Squares) estimation of beta. From earlier studies and own studies in this thesis a lot of different techniques for predicting beta has been tested. For example the periodicity in the returns, the interval length, different regression methods as LAD (Least Absolute Deviation) and IRLS (Iteratively Reweighted Least Squares). Also different adjustments to beta have been tested for better catching the momentum in beta and general mean reverting tendencies.

The results of the studies show that when possible, returns calculated with daily compounding is not favorable. For daily but especially weekly returns, LAD and IRLS are superior to OLS in predicting beta. Adjusting techniques have a positive effect in predicting beta, especially for weekly returns. Monthly returns seem to be most stable and have the smallest prediction errors, but with the right model and adjustment, betas with weekly returns have almost as good characteristics.

Since the prediction model needs to have a fast response to market changes, returns calculated with short compounding is favorable. It is therefore very encouraging that the results from this thesis have showed great improvements in prediction of beta for returns calculated with weekly compounding.

(4)

1. INLEDNING ... 6 1.1. BAKGRUND ... 6 1.2. SYFTE ... 6 1.3. AVGRÄNSNINGAR ... 7 2. NULÄGESBESKRIVNING ... 8 2.1. SKANDINAVISKA ENSKILDA BANKEN (SEB) ... 8 2.2. PORTFÖLJTEORI ... 8 2.2.1. Diversifiering ... 9 2.2.2. Den effektiva fronten ... 11 2.3. CAPITAL ASSET PRICING MODEL ... 12 2.4. BETA ... 16 2.4.1. Metoder att estimera beta ... 17 2.5. FONDER ... 19 2.6. BETA FÖR FONDER ... 21 3. PROBLEMBESKRIVNING ... 23 3.1. VAL AV MARKNADSPORTFÖLJ ... 23 3.2. DYNAMIC MANAGER ALPHA ... 25 3.3. REFERENSBETA ... 26 3.4. BETA PREDIKTION ... 27 4. TEORETISK REFERENSRAM ... 28 4.1. FAKTORER SOM PÅVERKAR SKATTNINGEN AV BETA ... 28 4.1.1. Tidsfönster ... 28 4.1.2. Studier kring periodicitet ... 30 4.2. STABILITET OCH MEDELVÄRDESÅTERVÄNDANDE FÖR BETA ... 32 4.2.1. Studier kring portföljer av aktier ... 32 4.2.2. Studier kring aktiefonder ... 33 4.2.3. Blumes justering ... 34 4.3. PARAMETRAR OCH FENOMEN SOM PÅVERKAR BETA FÖR FONDER ... 35 4.4. BULL OCH BEAR BETA ... 35

(5)

4.5. MINSTAKVADRATMETODEN (ORDINARY LEAST SQUARES) ... 36 4.6. LEAST ABSOLUTE DEVIATION ... 38 4.7. ITERATIVELY REWEIGHTED LEAST SQUARES ... 40 5. PROBLEMANALYS ... 42 5.1. DATAINSAMLING ... 42 5.2. UTVÄRDERINGSMETODIK ... 44 5.2.1. Allmänt om beta ... 44 5.2.2. LAD och IRLS ... 44 5.2.3. Medelvärdesåtervändande ... 47 5.2.4. Psyklogiskt fenomen ... 48 6. RESULTAT ... 49 6.1. ALLMÄNNA RESULTAT KRING BETA ... 49 6.2. LAD OCH IRLS ... 50 6.3. BETA JUSTERING ... 57 6.4. TEST AV DEN PSYKOLOGISKA FAKTORN ... 62 7. SLUTSATSER OCH DISKUSSION ... 63 7.1. DISKUSSION KRING RESULTATEN ... 63 7.2. RIKTLINJER KRING PREDIKTION AV BETA ... 65 7.3. FORTSATTA UNDERSÖKNINGAR ... 65 LITTERATURFÖRTECKNING ... 66 A. APPENDIX ... 69 B APPENDIX ... 73

(6)

1. Inledning

Detta första kapitel är en inledning på detta examensarbete som undersöker fonder och deras beta. Kapitlet inleds med bakgrund kring arbetet, därefter syftet och slutligen avgränsningar

1.1. Bakgrund

Avdelningen A‐TCM inom SEB Merchant Banking jobbar med strukturerade produkter, vilket innebär komplexa investeringslösningar. En av deras produkter kallas Dynamic Manager Alpha (DMA). Vad denna produkt försöker göra är att ta ut den överavkastning som förhoppningsvis fondförvaltare lyckas slå sina jämförelseindex med. Detta görs genom att köpa fonder (lång position) och gå kort i ett till fonden lämpligt index. Gå kort innebär att sälja lånade värdepapper, sjunker värdepappret i värde kan man köpa tillbaks det billigare och därmed göra en vinst.

Hur stor den korta positionen ska vara bestäms av betavärdet för fonden. Där betavärdet i denna tillämpning kan ses som en hedge‐ratio. Genom att äga denna kombination av lång position i en fond och en kort position i ett index, skapas en avkastning som inte ska vara beroende av marknadens riktning (marknadsneutral), utan enbart hur skicklig fondförvaltaren är på att slå sitt jämförelseindex.

Det är väldigt viktigt för DMA produkten att marknadens riktning inte har någon påverkan på avkastningen. Detta kan bara uppnås genom att korrigerar storleken på den korta positionen med fondens korrekta betavärde.

Beta är inte konstant utan förändras med tiden för fonden. Det blir därför av yttersta vikt att kunna prediktera vad beta är imorgon, om en vecka eller till och med om flera år, för att produkten ska vara så marknadsneutral som möjligt. Problematiken i att skatta och prediktera detta betavärde för fonder är bakgrunden till detta examensarbete. 1.2. Syfte Examensarbetets syfte är att undersöka skattning av betavärden och ta fram en så god prediktionsmodell som möjligt för beta på fonder.

(7)

1.3. Avgränsningar

Bara aktiefonder kommer att undersökas, vilket är fonder med hela sitt belopp investerat i aktier (det är tillåtet med en liten residual av likvider eller räntebärande papper). Inga fond‐i‐fond, hedgefonder eller fonder med mandat att ta andra mer exotiska positioner kommer behandlas.

(8)

2. Nulägesbeskrivning

Avsnittet inleds med en kort genomgång av Skandinaviska Enskilda Banken (SEB) och därefter avdelningen på banken som har intressen i detta examensarbete. En genomgång görs av vad beta är, hur beta skattas samt i vilka sammanhang beta är viktigt. För att kunna göra en genomgång av vad beta är, kommer först begreppen, portföljteori och CAPM redas ut. Nulägesbeskrivningen tar även upp vad fonder är och varför betaskattning för fonder är intressant.

2.1. Skandinaviska Enskilda Banken (SEB)

SEB bildades 1972 genom en sammanslagning av Stockholms Enskilda Bank och Skandinaviska Banken. SEB har genom åren vuxit till en ledande nordeuropeisk finansiell koncern med över 20 000 medarbetare. Banken är för att nämna några områden, ledande inom bland annat valutahandel, cash management, kapitalförvaltning och prime brokerage (SEB 2007).

Avdelningen A‐TCM som detta examensarbete görs för, jobbar med strukturerade produkter. De strukturerade produkterna delas på A‐TCM upp i två delar, alpha och beta, där alpha betyder produkter som ger marknadsneutral överavkastning och beta, indexprodukter.

2.2. Portföljteori

Grundaren till det som kom att kallas den moderna portföljteorin heter Harry Max Markowitz, han visade hur risken för en portfölj med tillgångar kunde minskas genom att välja tillgångar vars avkastningar inte var perfekt korrelerade.

En tillgångs risk kan delas upp i två delar, systematisk risk och osystematisk risk. Systematisk risk innebär den risk, som associeras till marknaden tillgången finns på, därför kallas det också ofta marknadsrisk. Den osystematiska risken är den tillgångsspecifika risken, som beror på faktorer i tillgången och kallas därför även unik risk. Den osystematiska risken är möjlig att göra sig av med, eller i praktiken göra den väldigt liten, genom att investera i en väldiversifierad portfölj av tillgångar. En väldiversifierad portfölj sägs endast ha systematisk risk (Brealey, Myers och Marcus 2001).

(9)

2.2.1. Diversifiering

Risken i finansiella sammanhang mäts oftast i form av standaravvikelse ifrån den förväntade avkastningen och kallas volatilitet. En portfölj med lägre volatilitet är alltså mindre riskfylld. Detta är en förenklad bild av vad som upplevs som risk i en tillgång, men det är ändå en utgångspunkt som är rimlig och som går att hantera matematiskt. Nedan förs ett matematiskt resonemang om hur lägre volatilitet i en portfölj kan uppnås genom diversifiering. Variansen är kvadraten av standaravvikelsen och kan utgående ifrån definitionen (Blom et. al., 2005) skrivas: 2 2 2 (1)

Det första steget i portföljteori är att förstå att samvariationen eller snarare avsaknaden av perfekt samvariation sänker volatiliteten för en portfölj av tillgångar. Samvariationen är alltså ett beroendemått, detta mäts i form av kovarians. Kovariansen , mellan X och Y definieras ,

. Blom et al. (2005) visar att kovariansen kan skrivas enligt:

, (2)

Ett vanligare beroendemått är korrelation och hänger ihop med kovarians. Korrelationkoefficienten för X och Y definieras enligt:

, , (3)

Variansen för en summa av två tillgångar, X och Y, kan visas genom att kombinera ekvation (1) och (2):

(10)

2 2

2 2 ,

(4)

Vidare gäller att, om tillgångarna X och Y ges vikterna a och b i en portfölj blir variansen enligt:

2 , (5)

Användande av ekvation (1) och (3) i (5) ger:

2 , (6)

Nedan följer ett exempel som illustrerar hur standaravvikelsen kan minskas genom att investera i en portfölj av tillgångar och därmed minska risken: Antag att en portfölj består av lika stora delar av två icke oberoende tillgångar X och Y. Standardavvikelserna för tillgångarna X och Y är 0.2 respektive 0.3. Korrelationen mellan tillgångarna har uppmätts till 0.8 Portföljen P kan alltså skrivas som 0.5 0.5 .

Det som nu är sökt är 0.5 0.5 . Med hjälp av ekvation (6) kan detta beräknas:

0.5 0.2 0.5 0.3 2 0.5 0.5 0.2 0.3 0.8 0.234 Med perfekt korrelation, 1 fås det viktade medelvärdet av standardavvikelsen, vilket alltså i detta fall skulle bli 0.5 0.2 0.5 0.3 0.25. Som vi ser blir standardavvikelsen lägre med lägre korrelation. Som minst blir standardavvikelsen när 2 , termen görs så liten som möjligt, detta sker när 1.

Av detta kan man dra slutsatsen att genom att kombinera tillgångar som har en låg korrelation, kan risken minskas. En investerare bör alltså inte lägga alla ägg i samma korg, vilket även intuitivt känns rätt.

(11)

2.2.2. Den effektiva fronten

I portföljteori kombineras tankarna om enskilda tillgångars förväntade avkastning och dess förmåga att sänka risken i en portfölj på grund av diversifieringseffekter. Genom att beräkna den portfölj med minst varians för en given förväntad avkastning skapas det som kallas den effektiva fronten, eller Markowitz fronten (Luenberger 1998)

Figur 1: Den effektiva fronten

Som kan ses i figur 1, skapar den effektiva fronten ett konvext område, med de högsta möjliga avkastningar, för en given standardavvikelse. Den portfölj med minsta möjliga varians, kallas ofta minimum varians portföljen.

Genom att även introducera en riskfri placering, kan en kombination av ägande i den riskfria positionen och en portfölj på den effektiva fronten skapas. Som kan ses i figur 2, väljer då självfallet den rationella investeraren en portfölj på den effektiva fronten som ger största möjliga lutning på linjen, eftersom den portföljen kombinerat med den riskfria positionen ger högsta möjliga avkastning för en viss risknivå. Denna portfölj är alltså den optimala portföljen och är den portfölj som alla rationella investerare vill äga. Linjen som tangerar den optimala portföljen kallas Capital Asset Line (CAL). För att nå en avkastning utöver den optimala portföljens, antas att man kan belåna portföljen, till samma ränta som utlåning sker och på så sätt få hävstång på

‐4% ‐2% 0% 2% 4% 6% 8% 10% 12% 0% 5% 10% 15% 20% 25% Avkastn ing Standardavvikelse

(12)

denna portfölj. Det är dock inte ett helt rimligt antagande i praktiken att utlåningsräntan är den samma som inlåningsräntan. Figur 2: Capital Asset Line och den optimala portföljen 2.3. Capital Asset Pricing Model Capital Asset Pricing Model, eller som den oftast kallas, CAPM utvecklades av William Sharpe, John Lintner och Jan Mossin i början av 1960‐talet. Modellen ger en prediktion över förhållandet mellan risk och förväntad avkastning. Den förväntade avkastningen är en av de viktigaste faktorerna inom den finansiella världen, eftersom det är en viktig komponent inom värderingen av tillgångar. I och med detta avsnitt fås även en första insikt i vad beta är och vilken stor betydelse betavärdet har för CAPM. Även om empiriska studier har kunnat hitta många brister med CAPM, så är det ändå en mycket betrodd och använd modell i den finansiella världen (Bodie, Kane och Marcus 2003).

CAPM bygger på en mängd antaganden, där dessa antaganden utgör en förenkling av den värld vi lever i (Bodie, Kane och Marcus 2003)

Dessa antaganden ignorerar många av de imperfektioner som finns i den verkliga världen. Vid framtagande av en modell, är det dock svårt att ifrån början, jobba i en så komplex värld som vi lever i. Så dessa listade antaganden ‐3% ‐2% ‐1% 0% 1% 2% 3% 4% 5% 6% 0% 5% 10% 15% 20% 25% Av kastni ng Standardavvikelse

(13)

blir en utgångspunkt för framtagande av en modell där man sedan kan börja titta på hur vissa av dessa antaganden kan lättas på och vilka effekter det får. Givet de tidigare antagandena om världen visar Bodie, Kane och Markus (2003) att detta implicerar ett antal saker:

• Alla investerare kommer välja att äga riskfyllda värdepapper i sådana proportioner, att de replikerar marknadsportföljen. Denna portfölj inkluderar alla handlade värdepapper, för att förenkla, tänker vi på dessa värdepapper som aktier. Vikterna för varje aktie i marknadsportföljen bestäms genom marknadsvärdet på aktien (antal utstående aktier multiplicerat med dess pris) dividerat med det totala marknadsvärdet av alla aktier.

• Marknadsportföljen som alla investerare vill äga kommer inte bara ligga på den effektiva fronten, utan även vara tangentportföljen till den optimala capital allocation line (CAL), därför är denna linje och capital market line (CML) i detta fall samma linje.

• Riskpremien för marknadsportföljen , kommer vara proportionell mot risken i portföljen och riskaversionen hos den för marknaden representativa investeraren. Beskrivet matematiskt:

0.01

Där är den förväntade avkastningen för marknadsportföljen, den riskfria räntan, riskaversionen hos den representativa investeraren och är variansen för marknadsportföljen. Faktorn 0.01 är där för att skala om till en avkastning.

• Riskpremien för ett enskilt värdepapper kommer i sin tur vara proportionellt mot riskpremien för marknadsportföljen och beta koefficienten, enligt följande samband:

(7)

Där beta definieras enligt:

,

(14)

Uttryck (7) är just CAPM och här dyker för första gången beta upp, som brukar betecknas med den grekiska bokstaven .

Här följer en härledning av detta uttryck för CAPM och således också var definitionen av beta kommer ifrån (Bodie, Kane och Marcus 2003).

Utgå ifrån en rationell investerare som investerat 100 % i marknadsportföljen i enighet med de slutsatser som gäller under de antaganden om världen som gjorts. Denna investerare vill öka sin position i marknadsportföljen med en marginell storlek, . För att göra detta lånar investeraren till den riskfria räntan . Portföljavkastningen kommer således bli . Där är avkastningen för marknadsportföljen. Genom att ta väntevärdet av detta och sedan förändringen i förväntad avkastning, Δ på grund av portföljförändringen fås följande samband:

Δ (8)

För att mäta förändringen i risk av detta tillskott i portföljen som nu har vikterna 1 i marknadsportföljen och – i den riskfria tillgången, använder vi oss av ekvation (5) i kombination med vetskapen att den riskfria tillgången inte har någon varians och är oberoende av marknadsportföljen, vilket ger följande:

1 1 2 (9)

Om portföljökningen är väldigt liten, kan termen approximativt sättas till noll, eftersom den är så väldigt liten i jämförelse med 2 . Portföljvariansen har alltså förändrats med: Δ 2 (10) Genom att kombinera ekvation (8) och (10) kan vi skriva följande kvot: Δ Δ 2 (11) Detta kallas marginalpriset på risk och är hälften utav måttet marknadspriset på risk.

(15)

Anta nu att investeraren, istället för att investera en mängd extra i marknadsportföljen, investerar detta i en tillgång . Förändringen i förväntad avkastning blir precis på samma sätt som i ekvation (8):

Δ (12)

Variansen i portföljen blir däremot inte på samma sätt som i den tidigare beräkningen. Portföljen består av vikterna 1.0 i marknadsportföljen, i tillgång och – i den riskfria räntan. Återigen används ekvation (5) med kunskap om den riskfria räntans egenskaper fås: Δ 2 , (13) Genom att återigen approximera förändringen med första ordningens termer av och kombinera ekvation (12) och (13) fås återigen marginalpriset på risk: Δ Δ 2 , (14)

I jämvikt måste marginalpriset på risk för tillgång och marknadsportföljen vara lika. Om dessa inte skulle vara lika och tillgång :s marginalpris på risk var högre, skulle investerare kunna öka sin portföljavkastning genom att öka andelen i portföljen av tillgång och vice versa om marginalpriset på risk var lägre. Därför måste ekvation (11) och (14) vara lika, vilket ger: 2 2 , , (15) (16) , (17)

Detta uttryck i ekvation (16) är känt som CAPM och härledningen visar även var faktorn i ekvation (17) kommer ifrån, samt hur beta är definierat.

(16)

Vi ser att marknadens avkastningskrav för tillgången sjunker i och med att beta sjunker. Varför detta är rimligt och hur beta ska tolkas besvaras i nästkommande avsnitt.

2.4. Beta

Definitionen i ekvation (17) av beta är den allmänt vedertagna definitionen, kovariansen mellan tillgången och marknadsportföljen, , delat med marknadsportföljens varians. Det är väldigt svårt att få någon intuitiv känsla av detta mått skrivet på denna form och därför kan en omskrivning vara till hjälp. Genom att använda ekvation (3) kan beta skrivas på följande alternativa form: , , , (18) En mer intuitiv bild av vad som påverkar beta kan nu lättare fås, eftersom vi vet att korrelationskoefficienten har följande egenskap: 1 1.

Allt annat lika, sjunker alltså beta när korrelationen för tillgången mot marknadsportföljen sjunker och därmed sjunker även avkastningskravet i CAPM. Att avkastningskravet sjunker med lägre korrelation är helt naturligt. En investerare är beredd att betala mer för en tillgång som kan sänka risken i portföljen och som visades i avsnitt 2.2.1 minskas volatiliteten, alltså risken för portfölj av två tillgångar med minskande korrelation. Tillgångar med låg korrelation eller till och med negativ korrelation får då naturligt ett lägre avkastningskrav på grund av dess egenskap i en portfölj, vilket överensstämmer med CAPM.

Ur ekvation (18) kan även marknadsportföljens beta enkelt beräknas:

, 1 1 1

Detta innebär att det viktade medelvärdet av alla värdepappers beta är lika med ett, eftersom marknadsportföljen består av alla dessa värdepapper (Bodie, Kane och Marcus 2003).

Enligt ekvation (18) består beta av två komponenter, en korrelationskomponent som vi nu behandlat och en volatilitetskomponent.

(17)

Denna kvot av volatiliteter skalar alltså om korrelationen med en faktor som beror på hur stor tillgångens volatilitet är jämfört med marknadsportföljens. Ett sätt att tolka ekvation (18) blir alltså att korrelationskomponenten uttrycker till vilken grad tillgången följer marknadsportföljen och volatilitetskvoten hur stora svängningar tillgången gör i förhållande till marknadsportföljen. Beta uttrycker alltså hur mycket tillgången rör sig i

genomsnitt när marknaden rör sig en enhet.

Att beta beror av flera olika faktorer gör att det är svårt att uttyda vad som skapar betat, eftersom två tillgångar kan ha samma beta, utan att de har samma korrelation med marknaden, eller volatilitet.

Trots detta används beta som ett mått på en tillgångs känslighet mot marknadsportföljen. Värdepapper med ett 1 sägs vara aggressiva värdepapper och de med 1 är således defensiva (Bodie, Kane och Marcus 2003).

2.4.1. Metoder att estimera beta

Den vanligaste metoden för att göra en uppskattning av beta är att använda historiska avkastningar för en tillgång mot marknadens avkastningar. Genom att i minsta kvadratmening lösa en linjär regression utav dessa avkastningar med marknadsavkastningarna som den oberoende variabeln och tillgångens avkastningar som den beroende, kommer lutningen på den skattade linjen estimera beta (Gordon och Norman 1980). Anledningen att regressionen görs på avkastningarna, är för att avkastningarna är stationära, medans själva värdepapprets pris inte är det.

Som kan ses i figur 3, har en regressionsberäkning av Ericsson mot OMXS30 gjorts på dagsavkastningar.

(18)

Två h är vi vilke svar Enlig anna studi Anle undv perio vilke Andr att b Norm En an även tillsa till e (Hed ‐1 Avkastn ingar för E ri csson huvudprobl lken tidspe t periodicit på detta. gt en studie an studie på ierna anv dningen at vika brus i odicitet. St t referensb ra fenomen beta över tid man 1980). nnan, inte l n kallat fund mmans bes xempel bo hill och Jak 10% ‐8% Figur 3: lem uppstå riod som s tet ska avka

e ska den o åstår dock ände mån t använda mätdata. udierna ge beta som an n som obse d är väldigt ika använd damentalbe skriver beta lagets tillvä kobsson 200 ‐6% ‐4% A Regression av b r vid estime ka inkluder astningarna optimala tid att sju år, g nadsavkastn avkastning Det finns er olika sva nvänds. rverats är a t ostabilt oc form för b eta. Princip a. Dessa fa äxttakt, likv 07). ‐40% ‐30% ‐20% ‐10% 0% 10% 20% 30% 40% 50% ‐2% 0% Avkastnin

Betas

Avkastningar beta för Ericsson ering av be ras som dat a beräknas. dsperioden ger den bäs ningar (Go gar med en dock ingen ar beroend att beta te ch överlag ä beta estime pen är att m ktorer kan viditet, sku % 2% ngar för OMXS

skattning

Linjär (A n mot OMXS30 eta på histo ta underlag Tyvärr finn att mäta b sta estimer ordon och längre pe n enighet r e på vilket nderar att är svårt att ring är gen man tror at vara vad s ldsättnings y = 4% 6% S30

g

Avkastningar) risk data. D g, det andr ns det inget beta vara n ingen av be h Norman riodicitet, ä runt tidspe t dataunde driva mot skatta (Go om en fakt tt ett antal som helst, f sgrad och s 1,844x + 0,000 R² = 0,348 8% 10% Det första a är med t entydigt nio år, en eta. Båda n 1980). är för att eriod och erlag och ett, samt rdon och ormodell faktorer för aktier så vidare. 0 % 12%

(19)

Matematiskt:

Där … är vikterna för de olika faktorerna och … är faktorerna beta beror på. Dessa parametrar skattas sedan genom en multipelregression. För fonder kan det alltså tänkas att det finns ett antal parametrar som kan förklara beta.

2.5. Fonder

En fond är ett delägarskap i fondens förmögenhet. Hanteringen av fonden sköter ett annat företag, som sköter placeringar och administrationen kring fonden. För detta betalar fondens ägare en avgift till det fondförvaltande bolaget.

Det finns särskilda lagar för svenska investeringsfonder (som är det korrekta namnet på fonder) och myndigheten FI (Finansinspektionen) övervakar att dessa regler följs. Bland annat finns ett krav på riskspridning, för att skydda investerarna mot att förvaltaren tar för stor risk. Det minsta antal olika aktier en fond, teoretiskt sett, skulle kunna innehålla är 16, fyra aktier som svarar för 10 % vardera och 12 aktier med 5 % vardera. I

praktiken innehåller ofta vanliga aktiefonder mellan 50 och 100 aktier. (Wilke, Malmqvist och Jansson 2007).

Reglerna för fonder kan variera något världen över. En gemensam nämnare är dock att gränser ska finnas för att de som sköter fonden ska ha en viss minsta riskspridning.

Fondsparande har ökat kraftigt som sparform världen över, inte minst i Sverige, mycket tack vare premiepensionssparandet (PPM). Fondsparandet i Sverige uppgick vid slutet av 2006 till 1528 miljarder kronor. (Fondbolagens Förening 2007)

Figur 4: Riskindikator (Fondbolagens Förening 2007)

(20)

Fonder brukar delas upp i olika kategorier, ofta är den uppdelningen baserad på att olika fonder har olika risknivåer. Fondbolagens förening beskriver risknivåerna enligt figur 4.

En kortare presentation av de olika typerna av fonder följer här (Wilke, Malmqvist och Jansson 2007):

Korta räntefonder innehåller räntebärande värdepapper med kort löptid. Fonderna brukar ibland kallas för likviditetsfonder eller penningmarknadsfonder. NAV (Net Asset Value ‐ värdet av en andel av fonden) ska inte påverkas speciellt mycket vid ränteförändringar.

Långa räntefonder innehåller räntebärande placeringar som har längre löptid och därigenom får de en högre ränta, kallas även för obligationsfonder. Ränteförändringar påverkar i större grad långa räntefonder. En höjd ränta betyder ett sänkt värde och en sänkt ränta ger en högre förmögenhet och ett högre NAV.

Blandfonder innehåller både aktier och räntebärande placeringar. Viktigt här är att ta reda på i vilka proportioner dessa två blandats.

Globala aktiefonder placerar i aktier över hela världen och följer ofta något världsindex. Globalfonder kan även innehålla räntepapper.

Landsfonder och regionfonder placerar pengar i ett land, eller en region, t.ex. Östeuropa, Asien och så vidare. Risknivån här är generellt högre, eftersom lands‐ och regionsproblem ofta uppstår.

Branschfonder placerar aktier inom en viss sektor och väljer aktier över hela världen i denna sektor, om inte annat sägs. Branscherna kan vara, IT, läkemedel, teknik, råvaror och mycket annat. Risknivån i branschfonder anses vara i den högsta riskkategorin.

Det finns självklart även många sorters blandningar, så som en branschfond inriktad på en viss region, det är mest fantasin hos fondförvaltarna som sätter gränserna. I figur 5 visas hur sparandet samt fondförmögenheten hos svenskar ligger fördelad mellan olika typerna av fonder.

(21)

Förutom detta finns även hedgefonder, som i teorin inte är begränsade till något område och där risknivån kan variera mellan väldigt defensiv till väldigt aggressiv. Fond i fond, innebär att det är en fond som investerar i andra fonder, en nackdel som ofta påtalas är att investeraren får betala avgifter i dubbla led. Slutligen Exchange Traded Funds (ETF) som är börshandlade fonder, ofta följer en ETF något index. 2.6. Beta för fonder Varför är beta för fonder intressant? Först och främst är beta ett väldigt använt mått av investerare i allmänhet och som vi sett i avsnitt 2.5 är fonder något det investeras enormt stora summor pengar i. Det finns ett allmänintresse att en god skattning av beta för fonder görs.

Utöver detta växte idén till detta examensarbete fram ur en strukturerad produkt som säljs på avdelningen A‐TCM, som beskrevs ytligt i avsnitt 2.1. Produkten bygger på att hitta duktiga fondförvaltare som klarar att slå sitt benchmark‐index. Genom att ta en lång position i fonden och en kort position i index, får produkten den avkastning som fondförvaltaren lyckas (eller misslyckas) att slå index med.

Hur kommer då beta in i detta? Den korta index positionen, behöver nämligen beta‐justeras. För att klargöra detta, kan som ett exempel en fond som

(22)

uppmäts ha 0.5 mot detta index väljas. Följande dag går marknaden upp 2% och fonden som har ett uppmätt beta på 0.5 går då upp i genomsnitt med 1%. Storleken på kursrörelserna i index måste justeras till samma storleksordning som fondens.

Matematiskt kommer detta ifrån ekvation (15), alltså CAPM. Men istället för att använda marknadsportföljen, approximeras denna med ett för fonden lämpligt index . Detta index kan vara vad som helst, som på ett bra sätt avspeglar fonden. William Sharpe föreslog detta behandlingssätt av marknadsportföljen, där det kallas diagonal modellen (Eyssell 2003).

Genom att lägga till en term alfa som beskriver överavkastningen, får CAPM följande utseende:

(19)

Genom att lösa ut alfa ur ekvation (19) fås det som kallas Jensens alfa:

(20)

Som vi ser ifrån ekvation (20): för att få ut enbart överavkastningen alfa i en portfölj, måste portföljen ta en lång position i tillgång och en kort betajusterad position i det index , som nu approximerar marknadsportföljen. I A‐TCM:s produkt är tillgången fonden och det som får approximeras som marknadsportföljen, är det index som bäst speglar fondens exponering. Uttrycket för fondens alfa blir alltså:

(21)

1 (22)

Där är de förväntade avkastningarna och NF står för Net Funding. Net Funding innebär för att finansiera positionen för fonder med 1 kommer det behöva lånas mängden 1 till räntan . Däremot kommer fonder med 1 få ett överskott av likvida medel, vilket då kan investeras till den riskfria räntan .

Det blir alltså ytterst viktigt att betaskattningen görs korrekt för att få ut en ren överavkastning som inte innehåller någon betakomponent. Det är här detta examensarbete tar sin början.

(23)

3. Problembeskrivning I detta kapitel diskuteras själva problemställningen, vilka svårigheter som kan uppstå vid lösandet av problemet. En prediktionsmodell för beta på fonder ska arbetas fram. För att göra detta behöver först ett antal frågor besvaras. Först och främst måste ett lämpligt referensvärde väljas, som används för att verifiera hur väl prediktionsmodellen fungerar. Detta referensvärde kommer kallas avstämningsbeta eller referensbeta. Avstämningsbeta bör lämpligen använda data som inte finns tillgänglig för prediktionsmodellen. Sedan ska en fungerande prediktionsmodell arbetas fram, detta är själva målet med examensarbetet. En tredje viktig komponent är att välja ut det underlag som studien ska utföras på.

Förutom detta finns det många egenskaper runt beta som kan vara värt att titta på. Bland annat stabiliteten i beta, vilken periodicitet i avkastningarna som bör användas, vilken tidsperiod beta bör skattas över och mycket mer. Först förklaras dock problematiken kring vad som egentligen är marknadsportföljen, mer noggrant.

3.1. Val av marknadsportfölj

Ett problem som uppmärksammats mycket i forskningsvärden är förvirringen runt hur marknadsportföljen ska och får approximeras i verkligheten. Harry Markowitz tar upp detta i en artikel han kallar ”Two‐Beta Trap”. Sammanfattat beskriver Markowitz problemet som följande (Eyssell 2003):

Beroende på vad man ska använda beta till, är olika approximationer av beta det korrekta. Enligt CAPM:s teorier ska marknadsportföljen som beskrivits i avsnitt (2.3) bestå av alla tillgångar på marknaden, en god approximation till marknadsportföljen skulle då vara ett så brett världsindex som möjligt. Ska man alltså skatta den förväntade avkastningen och vill använda CAPM:s teorier, måste fondens beta beräknas mot ett index av denna typ.

Problemet med detta index är att förklaringsgraden för detta breda index, mot en fond, som består av något väldigt specifikt, blir väldigt låg. I vissa sammanhang, till exempel som i den produkt som beskrivs i avsnitt (2.6) är det

(24)

mer intressant att titta på en gemensam faktor som har bäst korrelation med fonden, man pratar om det index som är ”the best fit”. Sharpe hade på sextiotalet problem med för dålig datorkapacitet när han skulle beräkna en Markowitz portföljer (beskrivet i avsnitt 2.2.2). För att minska beräkningsbördan för datorn, utvecklade han en idé att den största delen i en tillgångs avkastning kan förklaras av en gemensam faktor (Sharpe 1963). Han kallade detta en ”diagonal model” som inte kräver några förutsättningar om investerares rationalitet och alla de andra antaganden som är ett krav i CAPM (se avsnitt 2.3). I diagonal modellen är alla index den potentiellt lämpliga gemensamma faktorn. Sharpes syfte med modellen var ett annat, men tankesättet är ändå att en gemensam faktor förenklar och förklarar till stor del avkastningarna för en tillgång.

Morningstars (som är världens största oberoende rating företag av fonder) utnyttjar detta alternativa sätt att beräkna beta, för att ge uppfattning om risken hos en fond, mot ett index. Det ”best fit” index som väljs är helt enkelt det index som har högst korrelation med den portfölj som ska analyseras (Eyssell 2003).

Det finns alltså två olika betaskattningar, beroende på vad som söks. I detta examensarbete, som är kopplat till produkten beskriven i avsnitt 2.6 och verksamheten på A‐TCM kommer ”best fit” beta att användas, vilket är beta beräknat mot det index som bäst överensstämmer med fondens innehav. Oftast väljs detta på geografiska grunder. Investerar fonden i Europa, är ett Europeiskt index best fit. Men detta är inget egentligt krav. Kravet är som för Morningstar, att indexet ska ha en hög korrelation med fonden.

Detta beta är alltså inte lämpligt att använda, för att beräkna ett avkastningskrav på fonden, enligt CAPM:s teorier. Beta i denna typ av tillämpning ska mer ses som en hedge‐ratio, men där själva tanken bakom beta och hur det ska användas kommer ifrån CAPM.

Vidare beskrivs mer ingående kring produkten som introducerades i avsnitt 2.6.

(25)

3.2. Dynamic Manager Alpha

Den strukturerade produkten som detta examensarbete kretsar kring är skapad på avdelningen A‐TCM och kallas Dynamic Manager Alpha (DMA). Som förklaras i avsnitt 2.6 bygger DMA produkten på att få ut ett alpha (marknadsneutral överavkastning), som visas i ekvation 21. Detta alpha bygger alltså på hur skicklig fondförvaltaren är.

Som nämns i avsnittet innan så skulle en Sverigefond kunna kortas med ett svenskt index. Men hänsyn tas även till inriktningen på fonden. Inriktar sig fonden på till exempel Large‐Cap väljs ett motsvarande Large‐Cap index och så vidare. Detta är dock inget krav, bara indexet anses spegla fondens innehav och inriktning är det en möjlig kandidat. Det ligger alltså i problematik att utreda vad ett lämpligt index är.

DMA produkten består av ett aggregat av långa och korta positioner. Varje kort positions storlek bestäms som tidigare förklarats i avsnitt 2.6, av beta värdet, som alltså kan ses som en hedge‐ratio till positionen. Ett par saker runt hur detta betavärde är tänk att användas, kan behöva förklaras.

Hur lång tidsperiod avstämningsbeta beräknas på har en viktig innebörd. Enligt teorin i avsnitt 2.3, så används CAPM främst som ett verktyg för att beräkna avkastningskrav. Den viktigaste komponenten i denna beräkning är som tidigare nämnt beta. I olika tillfällen kan investeraren ha olika investeringshorisonter. Investeraren är alltså intresserad av avkastningskravet för en viss längd in i framtiden. På samma sätt är investeringsstrategin på A‐ TCM beskriven i avsnitt 2.6, designad för att hålla investeringen under en viss tidshorisont. Eftersom DMA portföljen är aktivt förvaltad och kontinuerligt följs upp, så finns det möjlighet att med relativt korta intervall justera hedge‐ ration (det vill säga beta). Den beta prediktion som söks ska alltså inte förklara beta i genomsnitt det närmaste åren, utan med så god noggranhet som möjligt, prediktera beta för en väldigt kort tidsperiod. En kort tidsperiod i dessa sammanhang kan vara så lite som några veckors sikt.

En fråga som då uppstår är, hur mäter man vad det sanna betat är under denna korta tidsperiod? För att korrekt skatta beta under en två veckorsperiod, ska bara information ifrån dessa två veckor ingå? För korta tidsperioder uppstår isåfall ett problem. Tillräckligt mycket data finns inte tillgängligt för att göra en statistiskt korrekt skattning. Normalt är den tätaste data för fonder som går att hitta, dagliga värden. Skulle beta skattas för till

(26)

exempel en två veckors period så finns det bara tio datapunkter att beräkna skattning på, vilket är för lite.

Detta leder in problembeskrivningen på problemen runt skattningen av referensbeta.

3.3. Referensbeta

Två huvudalternativ finns, antingen tas referensbeta ifrån en utomstående källa. Många finansiella företag beräknar beta för fonder, bland annat sidan Morningstar, som har en stor databas över världens fonder och deras betavärden. Det andra alternativet är att arbeta fram ett eget jämförelsebeta, beräknat på historisk data som ligger senare i tiden, än den data den framarbetade prediktionsmodellen får tillgång till.

Eftersom det blir svårt att få någon kontroll på hur beta uppmäts ifrån en utomstående källa, väljs inte detta alternativ. Istället kommer ett eget referensbeta/avstämningsbeta beräknas. En identifiering av de olika delproblemen i skattningen av referensbeta görs:

Referensbeta kommer att beräknas med hjälp av en regression på historiska avkastningar till exempel så som beskrivet i avsnitt (2.4.1). Referensbetas beräkning delas upp i två delproblem:

1. Tidsfönstrets längd

2. Periodiciteten på avkastningarna

Tidsfönstrets längd innebär hur mycket historisk data som ska ingå i underlaget för betaskattningen.

Periodiciteten innebär med vilket avstånd i kurshistoriken som avkastningarna beräknas på. Den kortast möjliga tidsperiod som normalt finns tillgänglig (på grund av tillgängligheten i databaser) är dagsavkastningar. Frågan är alltså vad som är en lämplig periodicitet?

Vid utvärderingen behövs det även tas ställning till om prediktionsmodellen och referensbeta ska dela på data, eller om det ska vara två helt skilda dataunderlag?

(27)

3.4. Beta prediktion

Prediktionsmodellen för fonders beta är själva slutmålet med examensarbetet. Som en utgångspunkt för prediktionsmodellen kan de lärdomar som dras runt referensbeta användas, för att göra en så god skattning som möjligt på historisk data. För att detta ska fungera som en modell för det framtida betavärdet för fonden, krävs att beta är stabilt över tid. Som Gordon och Norman (1980) visar i sin studie är inte beta stabilt för enskilda aktier, men däremot relativt stabilt för portföljer av aktier, vilket är precis vad en fond är. Alltså kan historiskt skattat beta fungera som åtminstone en komponent i predikterande av framtida fondbeta.

Förutom den historiska betaskattningen finns olika metoder att förbättra skattningen. Bland annat finns det bättre metoder att hantera regression på ekonomiska tidsserier, där inte lika stor tonvikt läggs på outliers, alltså avkastningar som avviker kraftigt ifrån det normala. Andra faktorer som att beta har visat sig vara medelvärdesåtervändande kan också utnyttjas (Blume 1971). Slutligen kan den mänskliga psykologins påverkan på beta studeras, genom att titta på om några anomalier förekommer på marknaden.

(28)

4. Teoretisk referensram

Den teoretiska referensramen kommer ta upp studier och resultat som har intressanta och relevanta slutsatser för att bättre förstå hur beta för fonder bör skattas. Speciellt studier som hittat faktorer som kan påverka beta för fonder men även studier av mer allmän karaktär. Teori kring allmän förbättring av regression tas även upp.

4.1. Faktorer som påverkar skattningen av beta

Som förklaras i avsnitt 3.3 finns det två delproblem i skattningen och utvärdering av beta, oavsett vilken regressionsmodell som används. Dessa två är tidsfönstrets längd och periodiciteten i avkastningarna. Här nedan presenteras studier kring dessa problem.

4.1.1. Tidsfönster

Ett flertal studier har genom åren gjorts, kring hur lång period av avkastningar som ska användas till en betaskattning, denna period kommer kallas estimeringsintervallet eller tidsfönstret. En av de bästa och mest utförliga studierna gjordes av Gordon och Norman (1980), där de utgick ifrån tidigare studier gjorda av Baesel (1974) och Gonedes (1973) kring tidsfönstrets längd. I alla tre studier användes månadsavkastningar, vilket gör att korta tidsperioder (mindre än ett år) blir omöjligt att utvärdera, eftersom skattningen då görs på alldelles för få datapunkter, för att vara statistiskt godtagbar. Studierna gjordes även främst på enskilda aktier och inte portföljer av aktier.

I den första studien av Baesel, var slutsatsen att ju längre tidsfönster, desto stabilare beta. Den längsta tidsperioden var nio år i denna studie och det var då även den bästa.

I nästa studie av Gonedes påpekades att även om stabiliteten i beta ökade med ökande tidsfönster, så kunde estimeringen ändå bli sämre på grund av att de strukturella förändringar i bolaget påverkade beta till den grad att estimeringen blev sämre. Gonedes slutsats blev att sju års tidsfönster var den optimala tidslängden.

(29)

Båda dessa studiers huvudsyfte var inte att hitta det optimala tidsfönstret, utan det var mer ett sidospår och resultaten kring tidsfönster var mer tagna på känn ur resultaten än statistiskt bevisade. Den studie som däremot statistiskt undersökte det optimala tidsfönstret var Gordon och Normans. Gordon och Norman testade tidsfönster av längden ett, två, fyra, sex och nio år. När de gjorde testet för optimalt tidsfönster använde de dock istället en lite annorlunda referensperiod än de andra studierna. I de två första studierna var alltid prediktions och avstämningsbeta uträknade på lika långa tidfönster. Avstämningsbeta beräknades på den direkt följande tidsperioden efter vad det predikterade beta beräknades på. Men i Gordin och Normans studie var avstämningsbeta alltid räknat på ett år.

Resultaten av Gordon och Normans studie blev att det optimala tidsfönstret beräknat med månadsavkastningar var 6 år, men tidslängden fyra år, var så pass likvärdig i resultatet att den inte kunde uteslutas. Rekomendationen blev att allt i intervallet fyra till sex år är en bra avvägning mellan för kort och för långt tidsfönster.

Ett problem med dessa studier, är att alla utvärderingar utförts med månadsavkastningar (troligen för att databaser med väldigt lång historik inte har tätare data). Vilket gör att det finns väldigt lite att gå på kring tidfönster med kortare periodictet i avkastningarna. En nyare studie som tittar på tidsfönster med dagsavkastningar gjordes på kinesiska bolag av Xia, Cai och Wu (2006).

Slutsatsen i studien var att en för kort tidsperiod ger en ostabilitet i skattningen, som riskerar att över‐ eller underskatta beta. Medans ett för långt tidsfönster tappar karakteristiken i den systematiska risken hos portföljen. Studien utfördes på dagavkastningar och en kort tidsperiod antogs vara 30 handelsdagar och en lång tidsperiod 480 handelsdagar.

I denna studie var alltså cirka en två års period betraktad som en lång tidsperiod, vilket är betydligt kortare än för undersökningarna med månadsavkastningar.

(30)

4.1.2. Studier kring periodicitet

Enligt studien av Cohen et al (1983) gjordes regressioner för beta till en början nästan alltid på månadsdata. Anledningen till detta var inte att månadsavkastningar hade utretts vara det bästa, utan den största databas som hade sparade historiska kurser var CRSP (Chicago University’s Center for Research in Security Prices) och de hade under 70‐talet bara månadshistorik. I en studie av Levhari och Levy (1977) undersöktes hur periodiciteten i avkastningarna påverkade beta och i förlängningen då även avkastningskravet via CAPM. Studien visade att om beta för aktier var tillräckligt aggressivt eller defensivt (för alla periodiciteter) så påverkades betaskattningen av periodiciteten i avkastningarna. Aktier med ett lågt beta (defensiv) får med längre avstånd i periodicitet för avkastningarna ett lägre beta och aktier med ett högt beta (aggressiv) får med längre avstånd ett ökande beta. Aktier med ett beta nära ett kunde ingen sådan effekt uppmätas. Vissa protester gjordes av bland annat Hawawini och Vora (1981) mot att det statistiska underlaget var för dåligt i denna undersökning och gjorde själva en undersökning som inte påvisade någon effekt av denna typ i betaskattningen för aktier. Samma år gjorde Levhari och Levy (1981) ett svar på detta och förklarade att detta bara gäller om avkastningarna är enkla och inte logaritmiska, vilket Hawanini och Vora använt och även att de hade missuppfattat hur man rankar aktier efter att vara aggresiva och defensiva. Levhari och Levy gjorde också i svaret på anklagelserna ett utförligare test, där 393 aktier undersöktes och klassificerades enligt följande: • Aggressiva aktier: 1 1.5 • Defensiva aktier: 0.6 0.6 • Neutrala aktier: 0.9 1.1

Där den upphöjda siffran innebär med vilken periodicitet avkastningarna beräknas (i månader).

Uppdelningen gjordes genom att göra mätningar med avkastningar på mellan 1 månad och 30 månader under tidsperioden 1946‐1975 och sedan ranka betavärdena från 1 till 9, där 1 är lägst beta värde och 9 högst. Studien påvisade att denna tidigare beskrivna tendens stämde för de aggressiva och defensiva aktierna. Medans de neutrala och aktier som inte tillhörde något av de tre intervallen, inte uppvisade något sådant fenomen. Som kan ses i figur 6

(31)

stiger genomsnittrankingen med längre periodicitet för aggressiva aktier och vice versa för defensiva.

Figur 6: Betas tendens att ändras för aggressiva och defensiva aktier (Levhari och Levy 1981)

I en undersökning av Wood och McInish (1985) försökte man bättre förstå hur detta fenomen som påvisats av Levhari och Levy uppstår. Idén var att fenomenet stördes eller möjligen uppstod på grund av asynkron handel. Med detta menas att mätvärdet ifrån i detta fall aktiens stängningskurs skedde vid en tidpunkt skiljd ifrån indexets stängningstid. Detta fenomen kan till exempel uppstå om ingen handel sker i aktien under en viss tidslängd fram tills avstämningstidpunkten (marknadens stängning) eller om marknaderna som aktien och indexet handlas på, stänger vid olika tidpunkter.

Wood och McInish menade på att vid skattning av beta, var detta fenomen något som ofta bortsågs ifrån, vilket skapar en onödig felkälla i undersökningar. I deras studie användes aktier av olika typer, de som handlas frekvent och de med väldigt lågfrekvent handel för att fånga upp detta problem.

Studien gjordes både på enkla avkastningar och logaritmiska avkastningar med periodiciteten 1, 2, 4, 8, 16 och 32 dagar. Samt 1, 2, 3, 4, 5 och 6 månader.

Resultatet av studien blev att, aktier med stor asynkron handel påverkas annorlunda av periodiciteten i avkastningarna. Som kan ses i figur 7 ökar beta för dessa aktier med både lågt och högt beta med ökande periodicitet. Vilket

(32)

alltså motsäger sig Levhari och Levys slutsatser för aktier med lågt beta, men bekräftar tendensen för aktier med högt beta. För aktier med väldigt låg asynkron handel tenderar de tidigare slutsatserna istället att stämma. Figur 7: Betas tendens att ändras (Wood och McInish 1985) 4.2. Stabilitet och medelvärdesåtervändande för beta Stabilitet hos beta innebär hur mycket beta tenderar att ändras över tid. Detta är självklart något av högsta relevans, eftersom en hög stabilitet i beta skulle innebära att historiska skattningar är bra prediktioner av framtida betavärden. Det har tidigt upptäckts att beta har en tendens att över tid återvända till värdet ett, beta har alltså en medelvärdesåtervändande tendens.

Nedan följer två delar, först där resultaten ifrån studier på portföljer av aktier tas upp och sedan ett avsnitt om studier på aktivt förvaltade fonder.

4.2.1. Studier kring portföljer av aktier

De mer kända studierna kring stabilitet hos beta för portföljer av aktier har utförts av Blume (1971) och Levy (1971).

(33)

En del av Blumes studie gjordes på portföljer av valda aktier. Aktierna rankades efter deras beta, så att portföljer med olika högt beta kunde skapas. Blume använde månadsavkastningar över långa tidsperioder (84 månader) och fann väldigt starka samband mellan beta i olika icke överlappande tidsperioder. Stabiliteten enligt hans studie skulle vara väldigt hög.

Det mest kända av Blumes resultat i denna studie är hans upptäckt om betas förmåga att återvända till marknadsportföljens beta (se avsnitt 2.4), alltså värdet ett. Genom hans indelning av portföljer med olika beta, kunde han se att nästföljande period hade portföljerna med högt beta i genomsnitt fått ett lägre beta. Portföljerna med ett lågt beta hade istället fått i genomsnitt ett högre beta.

Levy tittade i sin studie på mer kortsiktig stabiliteten. Han använde 13, 26, och 52 veckoavkastningar under en tioårig tidsperiod. Hans resultat var liknande som Blumes, både kring stabilitet och tendensen att medelvärdesåtervända. Den lilla skillnad kring medelvärdesåtervändandet i de två studierna var att månadsavkastningar i Blumes studie verkade ge en större effekt av återvändande för låga betavärden, medans i Levys studie med veckoavkastningar hade portföljer med högt beta större tendens att återvända mot ett.

4.2.2. Studier kring aktiefonder

Även om en aktiefond också är en portfölj bestående av aktier, så skiljer den sig ifrån en statisk portfölj genom att en förvaltare under årens lopp byter och viktar om innehaven i portföljen efter dennes preferenser och strategi. Fonden har som nämnts i avsnitt 2.6 också regler som sätter restriktioner på fondportföljen. Alltså kan det finnas en viss skillnad i hur beta uppför sig för en portfölj av aktier och en fond.

Klemkosky och Maness (1978) sammanfattar två tidigare studier av Jensen (1969), Pogue och Conway (1972) och utför även en egen studie runt beta för aktiefonder.

Jensens studie omfattar 56 aktiefonder där beta skattas för två på varandra följande tioårsperioder. Korrelation mellan beta i dessa två tidsperioder blir 0.74 och Jensen drar slutsatsen att fonderna till stor del verkar behålla samma nivå av systematisk risk (beta).

(34)

Pogue och Conway tittade på en kortare tidsperiod där det predikterade beta beräknades för perioden januari 1969 till maj 1970 och referensbeta räknades på perioden juni 1970 till oktober 1971 (ett år och fem månader per intervall). I samma studie testades även känsligheten för dags‐, vecko‐ och månadsavkastningar, som har diskuterats i avsnitt 4.1.3.

Pogue och Conways resultat stödde Jensens tidigare studie, men visade även att för kortare periodicitet i avkastningarna steg korrelationen.

Klemkosky och Maness egna studie var dock inte samstämmig med de två tidigare. I deras undersökning blev resultatet att en aktivt förvaltad fond skiljde sig betydligt ifrån en icke‐förvaltad portfölj av aktier. Av de 118 fonder som ingick i studien menar Klemkosky och Maness att upp emot 50% av fondförvaltarna förändrade den systematiska risken.

Gällande tendensen för beta att återvända mot ett medelvärde, så syntes ingen tydlig sådan tendens heller, med ett undantag. För fonder med väldigt högt beta, syntes en tydlig sänkning av beta i nästkommande tidsperiod.

4.2.3. Blumes justering

Marshall Blume föreslog i samband med sina studier en enkel metod för att justera beta (Blume 1971). Studien utfördes på enskilda aktier.

Metoden han hade var en enkel linjär regression på skillnaderna i beta för två på varandra följande perioder. En beta skattning av beta helt enkelt, med skillnaden att även alfa komponenten (skärningen) nu är viktig.

Som kan ses i Figur 8 blev resultaten av hans studie att beta predikterat i den tidigare tidsperioden, överlag behöver justeras rejält.

Figur 8: Blumes resultat kring justeringsfaktorerna (Blume 1971)

(35)

I en senare studie av Blume fastslog han att i genomsnitt för portföljer så återvänder beta mot marknadsportföljens beta, alltså värdet ett (Blume 1975). 4.3. Parametrar och fenomen som påverkar beta för fonder Som nämns i avsnitt 4.2.2 så skiljer sig fonder ifrån portföljer av aktier på flera sätt. Den stora skillnaden (för de fonder denna studie tittar på) är att fonden är aktivt förvaltad, vilket innebär att innehav säljs och köps. Fondens avkastning kommer alltså till viss del bero på den eller de personer som sköter förvaltningen av fonden. De som förvaltar fonden kommer i sin tur inte alltid agera som en rationell investerare, eftersom utvecklingen på fonden påverkar deras arbete och lön. Det kan alltså finnas en psykologisk faktor som påverkar bland annat beta för fonden.

I en nyligen utkommen studie av Manuel Ammann och Michael Verhofen (2007) visar undersökningen på en tydlig form av icke‐rationellt investerande. Nämligen att fondförvaltaren ändrar sin investeringsstrategi under andra halvan av året beroende på hur första halvan utvecklade sig. Studien visar att fondförvaltare som fått en i förhållande till index dålig avkastning under första halvan av året, ökar sitt tracking error för andra halvan. Fondförvaltare som lyckats bra under första halvan av året, kommer öka sin volatilitet samt sitt beta och förflytta en större del av fondportföljen till värde‐aktier, små bolag och momentum‐aktier jämfört med fondförvaltare som lyckats sämre. En förklaring till detta skulle kunna vara att fondförvaltare utvärderar sin fondutveckling årvis och får ofta bonus på lönen beroende på resultatet av utvärderingen.

4.4. Bull och bear beta

Det påstås även ofta att beta påverkas av marknadsklimatet, att i uppåtgående marknad (bull) ska korrelationen mellan värdepapper vara lägre än i en nedåtgående marknad (bear), detta ska då påverka beta. Enligt en studie av Fabozzi och Francis (Stability tests for alphas and betas over bull and bear market conditions, 1977) visar sig dock detta inte att stämma.

(36)

4.5. Minstakvadratmetoden (Ordinary Least Squares)

Minstakvadratmetoden, eller OLS (Ordinary Least Squares) som den hädanefter kommer kallas är den överlägset mest använda metoden att utföra linjära regressioner på insamlad data. För att åskådliggöra hur OLS fungerar kommer först det två‐dimensionella fallet betraktas, alltså där man har en förklarande variabel och en beroende variabel. (Gujarati 1995).

Betrakta uttrycket:

β β X µ (23)

Där är den beroende variabel, är den förklarande variabeln, är skärningen med Y‐axeln, är lutningen på regressionslinjen och är residualfelen. Eftersom inte är känd måste de skattade variablerna användas och ekvation (23) blir då: ̂ ̂ (24) Omarrangering av termer ger att residualerna kan skrivas: ̂ (25) Vilket visar att residualerna bara är skillnaden mellan det skattade värdet och utfallet. OLS går ut på att göra summan av de kvadrerade residualfelen så små som möjligt, vilket matematiskt kan skrivas: (26)

(37)

Gujarati (1995) visar sedan genom att derivera ekvation (26) m.a.p. de två konstanterna som ska skattas i regressionsmodellen, sätta dessa ekvationer lika med noll och lösa detta ekvationssystem fås följande lösning för OLS:

∑

∑ (27)

(28)

Där och

Genom att gå över till matrisberäkning kan OLS beskrivas mer generellt för flera förklarande variabler (Gujarati 1995). Betrakta den generella modellen som nu har förklarande variabler: ̂ (29) Vilket på matrisform kan skrivas: 1 1 1 ̂ ̂ ̂ (30)

Gujarati (1995) visar enligt samma metodik som för fallet med två variabler, att lösningen till detta i OLS mening är:

(31)

(38)

För att statistiskt kunna utvärdera OLS måste ett antal antaganden göras, de viktigaste tas upp här nedan, resterande kan hittas i Gujaratis bok: • värdena antas vara icke‐stokastiska • Givet värdet för X är väntevärdet av störningstermen lika med noll, matematiskt innebär det: | 0 • Givet värdet för X är variansen för lika för alla observationer. Vilket matematiskt innebär: | . Detta kallas också att är homoskedastisk. • Ingen autokorrelation mellan störningstermerna, matematiskt: , , 0

• Ingen kovarians mellan och , matematiskt: , 0. Genom att använda ekvation (2) och eftersom 0 kan detta förenklas till kravet att 0.

Det finns vissa problem med OLS, det största problemet inses genom att betrakta ekvation (26). Eftersom OLS minimerar kvadraten av avvikelserna ifrån den skattade regressionslinjen, kommer stora avvikelser, så kallade outliers få väldigt stor vikt i skattningen. Modellen blir alltså inte robust för outliers. En annan skattningsmetod har sedan länge varit känd som bättre klarar av såkallade outliers och den förklaras här nedan.

4.6. Least Absolute Deviation

Least Absolute Deviation (LAD) har många olika namn, bland annat Least Absolute Error (LAE), Least Absolute Value (LAV) och L1‐norm problemet. I fortsättningen kommer förkortningen på det förstnämnda, LAD att användas. LAD utgår ifrån samma linjära modell som OLS, men istället för att som i ekvation (26) minimera kvadraten av residualerna, så minimeras beloppet:

| | (32)

Detta problem går inte som i OLS fall att lösa analytiskt, utan en numerisk lösningsmetod krävs, med dagens datorkapacitet är detta inget stort problem. Fördelen med att LAD är att lösningen är mer robust. Detta innebär i detta sammanhang att lösningen inte påverkas lika mycket av avvikande värden. LAD har också egenskapen att lösningen är mer ostabil än OLS (Ellis 1998). Att