ÖREBRO UNIVERSITET
Grundlärarprogrammet f-3 MatematikSjälvständigt arbete i matematik, grundnivå 15 HP Termin 6, 2018
Konkret material i sannolikhet och statistik
- En systematisk litteraturstudie om aktiviteter med konkret material iundervisning om sannolikhet och statistik i matematik
Ida Jåfs & Magdalena Peter
Manipulatives in probability and statistics
- A systematic literature study about activities with manipulatives inthe teachings of probability and statistics in mathematics
Abstract
Probability and statistics is a subject that teachers find difficult to teach. Partly because this area is relatively new in the mathematics course, partly because of the lack of deepened knowledge amongst teachers in this subject area. The purpose of this study is to contribute with knowledge about teaching activities in the probability and statistics course in the early years of elementary school, years K–6, for teachers. The databases used to collect scientific foundation to this systematic literature study is ERIC, WoS and DiVA. The result showed that activities with manipulatives are useful in all subareas in probability and statistics and that students’ knowledge acquirement improves if the activities are followed up by discussions. However, the result also brought out tangible suggestions of how activities with concrete materials can be used in a teaching situation. To round up this study is a discussion of consequences for teaching as well as suggestions for further research.
Keywords:
manipulatives, concrete materials, hands on, activities, probability, statistics, mathematics education, randomness, chance, riskSammanfattning
Sannolikhet och statistik är ett ämne lärare har svårt att undervisa i. Dels för att ämnet är relativt nytt, dels för att lärare saknar fördjupade kunskaper inom området. Syftet med den här litteraturstudien är att bidra med kunskap om undervisningsaktiviteter i sannolikhet och statistik i grundskolan, år f-6, för lärare. Databaserna ERIC, WoS och DiVA användes för att samla in vetenskapligt underlag till denna systematiska litteraturstudie. Resultatet visar att aktiviteter med konkret material är användbart i alla delar i sannolikhet och statistik samt att det ger bättre resultat för elevers kunskapsinhämtande om aktiviteterna följs upp av
diskussioner. I resultatet framkommer även konkreta förslag på hur aktiviteter med konkret material kan användas i en undervisningssituation. Konsekvenser för undervisning samt förslag till vidare forskning avslutar den här studien.
Nyckelord:
konkret material, aktiviteter, sannolikhet, statistik, matematikundervisning, slumpmässighet, chans, riskInnehållsförteckning
1. Inledning ...6
1.1 Syfte och frågeställningar ...7
1.2 Disposition ...7
2. Teoretisk bakgrund ...8
2.1 Sannolikhet och statistik ...8
2.1.1 Lärares kunskaper i sannolikhet och statistik ... 10
2.2. Konkret material ... 11
2.2.1 Konkret material i undervisning ... 12
2.2.2 Konkret material i sannolikhet och statistik ... 14
3. Metod ... 15
3.1 Varför systematisk litteraturstudie? ... 15
3.2 Etiska överväganden ... 16
3.3 Datainsamlingsmetod... 17
3.3.1 Manuellt urval ... 19
3.3.2 Reliabilitet, replikerbarhet och validitet ... 20
3.4 Metod för analys av insamlat material ... 21
3.4.1 Kvalitativ innehållsanalys och Grundad teori ... 21
3.4.2 Metod vid övergripande kartläggning ... 21
3.4.3 Metod vid analys av fördjupningsmaterialet ... 24
4. Resultat och analys ... 24
4.1 Övergripande kartläggning ... 25
4.2 Analys och illustration ... 26
4.2.1 Aktiviteter med konkret material i undervisning om sannolikhet och statistik ... 27
4.2.2 Delområden i sannolikhet och statistik ... 29
4.3 Analys av fördjupningsmaterialet ... 30
4.3.1 Projektbaserade aktiviteter ... 31
4.3.2 Laborerande aktiviteter ... 33
4.3.3 Spel- och tävlingsaktiviteter ... 36
1 5. Diskussion ... 38 5.1 Sammanfattning av huvudresultat ... 39 5.2 Resultatdiskussion ... 39 5.3 Metoddiskussion ... 43 5.4 Konsekvenser för undervisning ... 45 5.5 Vidare forskning ... 45 Referenser ... 47 Bilagor ... 53 Bilaga 1 Sökschema ... 53 Bilaga 2 Analysscheman ... 55
Bilaga 2.1 Fördjupningsmaterial under projektbaserade aktiviteter: ... 55
Bilaga 2.2 Fördjupningsmaterial under laborerande aktiviteter: ... 55
Bilaga 2.3 Fördjupningsmaterial under spel- och tävlingsaktiviteter: ... 56
Bilaga 3 Aktivitetsblad ... 58
Aktivitet 1: Solroslotteriet ... 58
Aktivitet 2: Mattedetektiver ... 59
Aktivitet 3: Vilken färg har korken?... 60
Aktivitet 4: Pappersmuggen ... 61
Aktivitet 5: Putta myntet ... 62
6
1. Inledning
Sannolikhet och statistik har pendlat mellan att vara en punkt i lågstadiets respektive mellanstadiets kursplaner i matematik från 1960-talet och framåt. Sannolikhet och statistik blev ett eget mål i lågstadiet efter revideringen 2008 av Läroplanen för det obligatoriska skolväsendet, förskoleklassen och fritidshemmet 1994 (Utbildningsdepartementet, 1994, reviderad 2008). Numera är det en egen punkt under centralt innehåll, under ämnet matematik, och det återfinns i kunskapskraven även för lågstadiet i Läroplanen för
grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet, 2011, reviderad 2017 (Skolverket, 2011, reviderad 2017) även kallad Lgr 11. Denna förändring beskriver Nilsson och Lindström (2013) som en växande betydelsefull trend. Sannolikhet och statistik kan benämnas som ett relativt nytt område jämfört med resterande områden i matematiken menar Garfield och Ben-Zvi (2007) samt Gal (2004).
Liksom andra skolrelaterade kunskaper, används sannolikhet och statistik i vardagen i samhället. Bland annat inom sport, spel, försäkringar, när vi ska fatta olika beslut och vid olika val som kommer ha betydelse för vårt samhälle (Koparan, 2015; Gal, 2004; Illowsky & Dean, 2015). Eftersom att skolans uppdrag är att fostra framtida samhällsmedborgare
(Skolverket, 2011, reviderad 2017), är det således viktigt att elever har förmågan att tänka utifrån ett sannolikhets- och statistikperspektiv, för att kunna granska och tolka all
information vårt informationssamhälle överöser oss med (Kinnear & Clark, 2014).
En problematik som uppstår är att lärare anser det vara svårt att undervisa i ämnet sannolikhet och statistik, det råder alltså en osäkerhet kring hur undervisningen skall bedrivas (Nilsson et al., 2013; Garfield et al., 2007). Även lärares kunskaper i sannolikhet och statistik brister (Garfield et al., 2007). Vi har mött det här under vår verksamhetsförlagda utbildning, där vi enbart observerat slentrianmässig undervisning i sannolikhet och statistik utifrån läromedel. Lärare uttryckte själva att de aldrig frångick läromedlet eftersom att de dels saknade
ämneskunskaper om sannolikhet och statistik. Dels också på grund av avsaknaden av kunskaper kring arbetsmetoder inom ämnesområdet. Alltså blev läromedlet en form av
trygghet, vilket lärare själva gav uttryck för. Detta bekräftar den bild Nilsson et al., (2013) ger av situationen. Nilsson et al., (2013) påpekar dessutom vikten av att ha tillräckliga kunskaper som lärare, för att kunna avgöra ifall läromedlet visar bra exempel.
7
I den här litteraturstudien har vi för avsikt att öka kunskaperna för lärare om undervisning i matematik, genom att mer specifikt beröra användningen av konkret material i undervisning om sannolikhet och statistik. Med konkret material menas olika fysiska material som elever kan laborera med för att möta området experimentellt (Rystedt & Trygg, 2010; Uribe-Florez & Wilkins, 2017).
Skolverket (2011) påvisar att många lärare har svårt att tolka hur konkret material kan användas i undervisning för att öka elevers kunskaper. I kombination med lärares osäkerhet i undervisning av sannolikhet och statistik skapas en dimension där elevers chanser till ökade kunskaper i området sannolikhet och statistik, genom konkret material, blir åsidosatt (Nilsson et al., 2013). Därmed spelar lärare en avgörande roll, menar Rystedt och Trygg (2010). Det är därför av intresse för oss som blivande lärare, men också andra lärarstudenter och redan aktiva lärare att veta hur konkret material kan tillämpas i undervisning i sannolikhet och statistik. Det är av stor vikt att öka medvetenheten om syftet med konkret material samt hur respektive när konkret material kan användas för att realisera undervisningens syfte. När i den här studien syftar till delområden i sannolikhet och statistik såsom slumpmässiga händelser, sannolikhet, chans och risk och tolkning av data i tabeller och diagram. Därutöver är forskning inom fältet begränsat, därför är den här litteraturstudien viktig för att det behövs mer kunskap ute i verksamheterna om användning av konkret material, särskilt i undervisning om sannolikhet och statistik.
1.1 Syfte och frågeställningar
Syftet med den här litteraturstudien är att bidra med kunskap om undervisningsaktiviteter i sannolikhet och statistik i grundskolans tidigare år, f–6, för lärare. Genom kartläggning av forskningsområdet ämnar litteraturstudien besvara följande frågeställningar:
• Hur kan konkret material användas i undervisning om sannolikhet och statistik? • I vilka delområden i sannolikhet och statistik är konkret material användbart? 1.2 Disposition
Den föreliggande studien kommer fortsätta med en teoretisk bakgrund där centrala begrepp av betydelse för litteraturstudien kommer presenteras och förklaras. Först kommer området sannolikhet och statistik att presenteras, sedan följer ett avsnitt om lärares kunskaper i sannolikhet och statistik. Därefter kommer konkret material redas ut och en förklaring kommer ges över vad som menas med konkret material i den här studien. Konkret material i
8
undervisning kommer att ta vid för att sedan smalna av till konkret material i sannolikhet och statistik. Det efterföljande metodavsnittet kommer behandla sökstrategier, urval och olika metodval som har drivit processen framåt. Här kommer även en beskrivning av hur resultatet har analyserats. Under resultat och analys kommer teman och underkategorier redogöras för samt en syntes av fördjupningsmaterialet. Litteraturstudien avslutas med ett diskussionsavsnitt där en sammanfattning av studiens huvudresultat ges med efterföljande resultat- och
metoddiskussioner. Slutligen diskuteras det kring konsekvenser för undervisning samt vidare forskning inom fältet. I medföljande bilagor presenteras konkreta aktiviteter som möjliggör fördjupade kunskaper hos elever i sannolikhet och statistik (se bilaga 3).
2. Teoretisk bakgrund
I detta avsnitt kommer centrala begrepp för studien att redas ut, för att få en förförståelse inför den föreliggande studien. Först kommer området sannolikhet och statistik inom matematik att beskrivas, för att sedan kopplas ihop med lärares kunskaper inom området. Därefter skall begreppet konkret material redas ut, för att skapa en tydlig bild över vad som menas med konkret material i denna studie. Vidare kommer konkret material i undervisning att diskuteras. Därpå följer en avsmalning mot studiens fokusområde, där konkret material i sannolikhet och statistik motiveras och exemplifieras.
2.1 Sannolikhet och statistik
Sannolikhet och statistik har förenats till ett område inom matematiken i skolan. Statistiken utvecklades genom att slumpmässiga stickprov, vilka praktiseras inom sannolikhet, användes som grund för att dra slutsatser ur statistiskt material. Detta pekar på en viktig koppling mellan områdena (Kinnear & Clark, 2014). Trots att det har varierat under åren i vilken årskurs elever skall möta området sannolikhet och statistik, är det ändå kunskaper som är nödvändiga för samhällsmedborgare att besitta i dagens samhälle (Gal, 2004; Leonard & Tracy, 1993; Grevholm, 2014).
I Lgr 11 (Skolverket, 2011, reviderad 2017) framkommer det vad sannolikhet och statistik handlar om i skolsammanhang. Nämligen att elever i f–6 skall möta sannolikhet,
slumpmässiga händelser i spel och experiment, chans och risk utifrån vardagliga situationer, kombinatorik, diagram och tabeller för att sortera, förstå, beskriva och tolka data samt olika lägesmått som kan användas inom statistiken, såsom median, medelvärde och typvärde
9
(Skolverket, 2011, reviderad 2017). Utifrån kunskapskraven (Skolverket, 2011, reviderad 2017) skall elever kunna redovisa och sortera resultat i diagram respektive tabeller, kunna diskutera rimligheten i olika resultat samt kring slumpmässiga händelser.
Sannolikhet handlar om olika tillvägagångssätt för att beräkna hur sannolikt det är att en händelse kommer att inträffa (English & Watson, 2016). Elever är mer vana vid synonymerna chans, slump, risk, otroligt och troligt som kan förekomma i vardagliga sammanhang
(Landtblom, 2013). Att koppla samman begreppen med sannolikhet är lärarens roll.
Slumpmässiga händelser som Landtblom (2013) ger exempel på är frågor som öppnar upp för diskussion och som möjliggör införandet av begrepp kring sannolikhet. Exempelvis ”hur stor är sannolikheten att det är julafton imorgon?” (Landtblom, 2013, s. 27). Istället för att prata med elever om sannolikhet som del av en helhet kan lärare ta tillvara på de uttryck de känner sig trygga med, såsom troligt och otroligt. Eckert (2014) påpekar att liknande övningar, som öppnar upp för diskussion, är en viktig del i undervisning om sannolikhet.
Statistik handlar om att samla in, granska och tolka olika data, till exempel data som
genereras av att arbeta med sannolikhetsuppgifter (Garfield et al., 2007). Genom att inse hur data har samlats in, ges elever möjligheten att ifrågasätta och bedöma rimligheten av
slutsatser som dras från data. Kinnear och Clark (2014) påpekar vikten av att kunna
klassificera och sortera data utifrån olika principer och menar att det är en förutsättning för att eleven ska bli medveten om tabeller och diagrams uppbyggnad. Det handlar till stor del om att ordna och jämföra tal samt avläsa dem. Således kan det uppfattas som att statistiska data kräver god taluppfattning. Garfield et al. (2007) påpekar vikten av att elever, i mindre
grupper, kan börja med enklare insamlingar av data och utföra enkla experiment innan de får gå över till mer avancerade och formella idéer i sannolikhet och statistik. En följd blir att elever möter begrepp i sannolikhet och statistik samtidigt, snarare än som isolerade ämnen. Således blir det tydligt att sannolikhet och statistik är ett relativt brett område som inbegriper en hel del olika delområden, som är viktiga för elever att förvärva kunskaper kring.
Sannolikhet och statistik innehåller begrepp som används mer eller mindre frekvent i vardagen. Begreppen slump, chans och risk är mer bekanta än exempelvis relativ frekvens, lagbundenhet, sannolikhetsresonemang, fördelning, de stora talens lag, experimentell sannolikhet och teoretisk sannolikhet, vilka framkom i studiens artiklar. Med de stora talens lag menas att medeltalet av resultaten erhållna från en omgång försök tenderar att bli närmare det förväntade värdet ju fler försök som utförs (Lem, 2015). Det betyder således att i
10
aktiviteter kopplade till sannolikhet och statistik behöver elever upprepa försöken många gånger. Relativ frekvens är förhållandet av antalet gånger ett värde av data inträffar dividerat på antalet försök (Illowsky & Dean, 2015). Teoretisk sannolikhet kan förklaras som den förväntade variationen som går att beräkna, medan den experimentella sannolikheten är den faktiska variationen man får under ett experiment (English et al., 2016).
Sannolikhetsresonemang kan beskrivas som hur säkert det är att något kommer att inträffa baserat på befintliga data (Kinnear & Clark, 2014). Jämförelse av olika fördelningar kan erbjuda möjligheter för elever att resonera kring nyckelbegrepp om statistik, som inkluderar bland annat variation och stickprov (Bakker & Gravemeijer, 2004). Statistiskt tänkande är något vi möter i det vardagliga livet, men det är inget som kommer utvecklas av sig själv hos elever. Elever lär sig snabbt att världen består av lagbundenhet. De förväntar sig att ett svar antingen är rätt eller fel, åtminstone när det kommer till svar i form av siffror, vilket inte alltid är fallet inom sannolikhet (Moore, 1990). I sannolikhet och statistik är alltså lagbundenheten inte lika tydlig som inom andra grenar i matematiken.
2.1.1 Lärares kunskaper i sannolikhet och statistik
Många lärare saknar grundläggande kunskaper i sannolikhet och statistik, mer preciserat så råder det osäkerhet kring statistik samt om stickprov vid sannolikhet (Shaughnessy, 2007). Nilsson et al. (2013) menar att lärare hjälper elever att göra beräkningar i sannolikhet och statistik snararare än att fokusera på begrepp inom området. Detta visar på bristande kunskaper rörande sannolikhet och statistik. Lärare är osäkra när det kommer till begrepp gällande slumpmässiga situationer, vilket gör att de har svårt att förklara för elever hur de ska lösa en uppgift med hjälp av användning av korrekta begrepp när det kommer till uppgifter i läromedel (Nilssons et al., 2013). Nilsson et al. (2013) visar att lärare har svårt att avgöra och uttrycka innehållet i en uppgift om sannolikhet. Det är viktigt att lärare har en komplett uppfattning för möjliga resultat när ett slumpmässigt experiment består av flera moment av flera olika slumpmässiga variabler (Nilsson et al, 2013).
Brendefur, Thiedel, Strother, Bunning och Peck (2013) menar att det finns en signifikant relation mellan kunskaper inom både sannolikhet och undervisningspraktiker. Däremot påpekar Batanero, Godino och Roa (2004) att det inte räcker att ha en bred kunskapsbas i sannolikhet och statistik för att kunna undervisa i området, utan det är de didaktiska
kunskaperna inom området, som avgör om undervisningen blir av god kvalitet. Batanero et al. (2004) påpekar att svårigheterna i undervisning om sannolikhet och statistik inte enbart handlar om att presentera olika modeller och hur de kan appliceras. Det handlar också om att
11
gå in på djupare och bredare frågor om hur kunskap om data tillägnas, varför en viss modell är passande samt hur lärare kan hjälpa elever att utveckla korrekt kunskap och idéer om slumpmässighet och orsakssamband. Det räcker inte att enbart utföra experiment då de inte svarar på hur och varför problemen lösts. Med hjälp av exempelvis träddiagram kan elever också börja se lösningarna på problemen som handlar om sannolikhet (Batanero et al., 2004).
2.2. Konkret material
Ordet konkret är enligt Svenska Akademiens ordlista (2014) en beskrivning för något som är påtagligt, gripbart, verkligt och som kan uppfattas med sinnena. En beskrivning av konkret material kan därför vara att det är fysiska material som eleven kan ta på, vrida och vända på, plocka isär, ordna och sätta ihop (Uribe-Florez et al., 2017; Rystedt & Trygg, 2010;
Häggblom, 2013). Rystedt och Trygg (2010) påvisar att sådana material brukar vara i plast eller trä men kan även vara vardagliga saker såsom pennor, kapsyler, häftstift, papper eller digitala verktyg som till exempel datorer. Det finns en koppling mellan det konkreta och det abstrakta på så sätt att det abstrakta blir mer påtagligt när våra sinnen, med hjälp av det konkreta, får hjälpa till (Rystedt & Trygg, 2010). Ett exempel kan vara att ta reda på hela klassens skostorlekar, genom att elever får titta på alla skor i klassen, ordna upp dem efter storlek och sedan sortera data i en tabell för att sedan komma fram till hur många som har respektive skostorlek. Det konkreta materialet blir skor, vilket blir mer konkret än en textuppgiftsform. Rystedt och Trygg (2010) påvisar även att aktiviteterna med konkret material ger en mer positiv och bred syn på matematik. Men ger också ökat intresse vid introduktionen av nya ämnesområden samt erbjuder en variation på färdighetsträning. I den här studien, syftar aktiviteter till undervisningssituationer där elever är aktiva deltagare i samband med olika former av konkret material. McIntosh (2008) menar att elevers
kunskapsinhämtning ökar när de får förklara sina tankebanor i samband med utmaningar och arbete med konkret material, än om de bara ska lyssna till regler och förklaringar.
Konkret material kan benämnas med olika begrepp både på svenska och på engelska, med vissa skillnader i begreppen. Konkret material, laborativt material, plockmaterial,
manipulatives, concrete materials, laboratory materials, hands on och experimentational materials är några vanliga begrepp inom matematiken i Sverige och internationellt. För att få ett så brett forskningsområde som möjligt i den något snäva inriktningen, har synonymerna setts som entydiga. Med konkret material menar vi alltså olika typer av material som kan tillämpas i undervisningen för att konkretisera matematiken för elever. Skapandet och
12
användandet av tabeller ses som en förlängning av det konkreta materialet och därmed likställt med konkret material i den här studien.
Utifrån ett lärarperspektiv är det av stor vikt att vara väl förtrogen med hur konkret material berörs i styrdokumenten för att således tillämpas i undervisningen så att elever uppnår fastställda mål och krav. Uribe-Florez et al. (2017) menar att lärare behöver utveckla professionella erfarenheter i samband med olika sorters konkreta material samt lämpliga strategier för att använda dem i undervisningen. Enligt kunskapskraven (Skolverket, 2011, reviderad 2017) i matematik för årskurs 3 skall elever med hjälp av konkret material, symboler eller bilder kunna beskriva olika egenskaper hos begrepp samt diskutera kring respektive beskriva olika tillvägagångssätt på ett i huvudsak fungerande sätt. Rystedt och Trygg (2010) lyfter fram argument från en del lärare, angående konkret material och aktiviteter, som mer negativa aspekter. Exempelvis att det tar mycket tid, kräver resurser i form av pengar samt att vissa elever kan uppfatta det som barnsligt.
Avgränsningar inom begreppet konkret material har gjorts. Läromedel har exkluderats från studien, dels eftersom att de oftast enbart erbjuder rutinuppgifter som skall lösas med abstrakt tänkande (Batanero et al., 2004). Dels för att i den här studien likställs inte läromedel med konkret material. Batanero et al. (2004) påpekar även att läromedel ofta presenterar en för trång syn på sannolikhet. Även digitala verktyg har exkluderats från studien, med tanke på den varierande ekonomiska situationen mellan skolor, vilket leder till en kostnadsfråga rörande inköp av digitala verktyg (Riksdagen, 2015/2016). Dessutom har forskning kring digitala verktyg inom matematikundervisning redan vuxit fram som ett helt nytt
forskningsområde med egna teorier, ramverk och definitioner, därmed behöver lärare istället ha mer kunskaper kring användandet av övriga konkreta material. Dels också för att studien skall bli hanterbar utifrån de förutsättningar som finns att tillgå.
2.2.1 Konkret material i undervisning
I den här studien ligger fokus på undervisning, där undervisningssituationer går att koppla till olika lärandeteorier, de av relevans kommer att nämnas kort nedan. Genom att tillämpa konkret material i undervisningen gör lärare elever mer aktiva. Särskilt om materialet används på ett sådant sätt så att elever behöver arbeta tillsammans med varandra i användandet av det konkreta materialet. Det här är något den sociokulturella traditionen förespråkar, där det är viktigt att språket och materialet ses som verktyg och varandras förutsättningar snarare än att skilja dem åt (Säljö, 2017). Vilket betyder att konkret material, enligt denna tradition, bör
13
integreras med kommunikation i klassrummet för att driva lärandet framåt (Jakobsson, 2012). På så sätt deltar elever både mentalt och praktiskt i undervisningen, menar Rystedt och Trygg (2010). En annan lärandeteori är socialkonstruktivism, den skiljer sig en del från den
sociokulturella traditionen, men det finns även vissa likheter. Interaktion lyfts fram som viktigt inom socialkonstruktivismen också, vilket innebär att begrepp och dess
representationsformer, såsom konkret material, är inberäknade i kunskapsinhämtningen (Häggblom, 2013). Således innebär det att utifrån ett socialkonstruktivistiskt synsätt är konkret material en viktig aspekt i kombination med kommunikationen i klassrummet i form av utvecklande frågor så som: Kan du förklara varför det blir så? (McIntosh, 2008). Det finns ytterligare en lärandeteori som kan kopplas till undervisning med konkret material, nämligen pragmatism. Inom pragmatismen framkommer tankar kring konkret material tydligt, med uttrycket learning by doing, där elever bland annat tillägnar sig kunskaper vid aktivt
användande av fysiska material (Säljö, 2017). Pragmatiker anser även att undervisning med konkreta material gör undervisningen mer lustfylld för elever (Säljö, 2017).
I denna studie är de olika lärandeteorierna inte i fokus, men de finns där som en aspekt att ta hänsyn till när det kommer till undervisning. Trots att de tre lärandeteorierna skiljer sig åt kan vissa gemensamma mönster urskiljas, såsom vikten av kommunikation och delaktighet. De visar således på de olika sätt elever lär sig eller tar till sig kunskap.
I undervisningssituationer med konkret material påpekar Rystedt och Trygg (2010) att lärares val av material är av stor vikt, vilket även Leonard et al. (1993) styrker. Även då
ämnesinnehållet och det konkreta materialet är detsamma, kan aktiviteterna erbjuda olika svårighetsgrad. I många olika sammanhang har Rystedt och Trygg (2010) mött lärare som påtalar elevers ökade intresse för matematik genom aktiviteter med konkret material, och menar att det ökade intresset i sin tur även gynnar elever i undervisningen. Garfield et al. (2007) påpekar att elever som är engagerade i den egna kunskapsförvärvningen och är motiverade att utvecklas kommer att ta till sig undervisningen bättre. Eftersom eleven får en konkret minnesbild att tänka tillbaka till, kan aktiviteterna även var till hjälp i den abstrakta matematiken (Rystedt & Trygg, 2010). Det räcker dock inte att enbart använda det konkreta materialet vid enstaka tillfällen, utan elever måste få många tillfällen på sig så att de ser på materialet som ett verktyg för att kunna tillägna sig kunskaper (Clements & McMillen, 1996).
Uribe-Florez et al. (2017) påpekar att elevers matematiska progression är nära förknippat till frekvent användande av konkret material, om det inte används över längre tid kommer det
14
inte att ge den önskvärda effekten. Frekvent användande ska dock inte likställas med upprepande av en övning.
Den teoretiska kunskapen som beskriver varför konkret material fungerar inom matematiken är en viktig bas. Den tar däremot inte hänsyn till lärares kunskaper kring hur materialet fungerar eller vilka elever som ska använda det. Alltså behöver lärare besitta praxiskunskaper för att kunna omsätta de teoretiska kunskaperna till handlande samt göra överväganden som gynnar elever (Eriksson Barajas, Forsberg & Wengström, 2013).
Trots den här studiens fokus på undervisning framför lärande finns det ändå tydliga
kopplingar mellan konkret material och lärandeteorier även om de inte uttrycks explicit. Där språk, kommunikation, utvecklande frågor, diskussion, learning by doing och aktivt
användande av konkret material är huvuddrag från de olika lärandeteorierna som kan återfinnas i undervisningssituationer.
2.2.2 Konkret material i sannolikhet och statistik
Garfield et al. (2007) lyfter fram att undervisning i sannolikhet och statistik skall genomsyras av användandet av konkret material och laborationer. Landtblom (2013) förespråkar
användandet av konkret material i sannolikhet och statistik med tanke på att elever således kan koppla uppgifterna till egna erfarenheter från vardagen, vilket kan öka deras insikter inom området. Trots detta, framkom det i studien av Nilsson et al. (2013) att den teoretiska delen av undervisning i sannolikhet är prioriterad.
En viktig del i undervisning om sannolikhet är att den inte är omvändbar, reversibel, så som exempelvis en uppställning med addition (Nilsson et al., 2013; Batanero et al., 2004). Vid arbete med konkret material i sannolikhet går det inte att få samma resultat om och om igen, till skillnad från andra matematiska operationer, där utgångsläget alltid går att återvända till. Nilsson et al. (2013) samt Batanero et al. (2004) använder den matematiska operationen 2+3=5 som exempel där eleven har två äpplen och lägger till tre äpplen med resultatet fem äpplen. Om två eller tre äpplen tas bort är eleven tillbaka i utgångsläget, vilket alltid blir detsamma. Däremot, om eleven kastar en näve häftstift för att ta reda på hur de landar,
kommer de efterföljande kasten aldrig ge samma resultat som vid första kastet. Det här gör att begreppen rörande sannolikhet blir svåra att konkretisera (Nilsson et al., 2013; Batanero et al., 2004).
15
Det finns en osäkerhet hos lärare i hur de ska tillämpa konkret material i undervisning om sannolikhet och statistik, trots att det finns en mängd olika konkreta material som kan
användas på flera olika sätt (Garfield et al., 2007). Se bild 1–4, där några vanliga material vid undervisning inom sannolikhet och statistik listas.
Bild 1: polyedriska tärningar. Källa: fyndiq.se Bild 2: svenska mynt. Källa: egen bild
Bild 3: klossar. Källa: egen bild Bild 4: snurra. Källa: egen bild
3. Metod
I det här avsnittet kommer systematisk litteraturstudie som metodval att diskuteras. Därefter redovisas respektive motiveras tillvägagångssättet som använts för att söka tidigare forskning, avgränsa sökningarna och göra urval. Överväganden kring reliabilitet, replikerbarhet och validitet kommer att redovisas och problematiseras. Slutligen beskrivs analysmetoden av det insamlade materialet. Ovanstående delar kommer att noggrant redovisas, diskuteras och problematiseras för att säkra studiens kvalitet.
3.1 Varför systematisk litteraturstudie?
I systematiska litteraturstudier är det möjligt att inkludera studier utöver de som enbart är empiriska. På detta sätt formas en större överblick över det aktuella forskningsläget. Syftet
16
med systematiska litteraturstudier är att söka fram tidigare forskning på ett systematiskt sätt i ett försök att identifiera all tillgänglig forskning för att besvara studiens frågeställningar (Eriksson Barajas et al., 2013). Genom att sammanställa tidigare forskning menar Eriksson Barajas et al. (2013) att resultaten blir mer reliabla och generaliserbarheten ökar på ett helt annat sätt, eftersom att det blir en helhet av forskningsstudier. Enligt skollagen (SFS
2010:800) skall undervisning bygga på beprövad erfarenhet men också vetenskaplig grund. Därför är det en hjälp för skolpersonal att ta del av systematiska litteraturstudier, eftersom att det ger en överblick av det aktuella forskningsläget. Den föreliggande studien bidrar således med ny kunskap, baserad på sammanställd forskning.
Eftersom detta är en systematisk litteraturstudie, har nya kunskaper kring studiens område förvärvats, vilket gör att en precisering av syftet utifrån den teoretiska bakgrunden blivit nödvändig. Således är syftet med den här litteraturstudien att bidra med kunskaper kring undervisningsaktiviteter i sannolikhet och statistik, där lärare kan skapa möjligheter för elever att arbeta med slumpmässiga händelser, sannolikhet, chans och risk samt tolkning av data i tabeller och diagram.
3.2 Etiska överväganden
Eftersom att den föreliggande studien är en systematisk litteraturstudie, har vi avgränsat sökningarna till att endast inkludera artiklar som är peer reviewed (Eriksson Barajas et al., 2013). Peer reviewed betyder att artiklarna granskats av sakkunniga forskare inom området. De har begrundat artiklarnas innehåll samt kvalitet och därefter rekommenderat eller avrått från publicering (Eriksson Barajas et al., 2013; Vetenskapsrådet, 2017). Därför får det antas att forskarna, som skrivit de vetenskapligt granskade artiklarna, har uppfyllt de etiska riktlinjer som skall följas enligt Vetenskapsrådet (2017). Å ena sidan kan det antas att
samtycke finns, att resultaten är korrekta snarare än manipulerade och att forskarna inte agerat oredligt. Å andra sidan påverkar ett lands egna lagar och regler hur etiken inom forskningen tolkas samt även synen på moral (Vetenskapsrådet, 2017). Då de flesta artiklarna kommer från andra länder än Sverige är det inte helt säkerställt att de följer samma etiska riktlinjer som svenska forskare följer. Det kan ändå antas att artiklar som är peer reviewed håller hög kvalitet.
Andra etiska överväganden som varit aktuella i denna studie är att det är viktigt att presentera allt material som hittas, vilket är viktigt även om det skulle motsäga en forskares förutfattade meningar (Eriksson Barajas, et al., 2013). Detta har varit en stor del i urvalsprocessen och
17
inget material har valts bort, utan snarare motsatsen. Alla perspektiv kring studiens problem har inkluderats eftersom det ger ett mer intressant underlag som kan leda till intressanta diskussioner och resultat. På grund av avsaknaden av förväntningar respektive förutfattade meningar kring ämnet sannolikhet och statistik kan det manuella urvalet sägas vara objektivt.
3.3 Datainsamlingsmetod
Den föreliggande studien har utgått från artiklar sökta i databaserna Web of Science (WoS) och ERIC (EBSCO). Senare blev även en sökning i DiVA aktuellt. WoS är en databas av hög kvalitet där alla artiklar är vetenskapligt granskade. Däremot finns inte alla
matematikdidaktiska tidskrifter med i WoS, vilket kan medföra att artiklar av relevans för studien förbigås. Därför har även sökningar efter artiklar i ERIC gjorts. Där återfinns artiklar som är både av hög kvalitet och mindre hög kvalitet, därför har sökningarna avgränsats med funktionen peer reviewed, för att höja kvaliteten på sökresultaten. DiVA är ett digitalt vetenskapligt arkiv där bland annat avhandlingar från svenska universitet finns publicerade.
Vi har utgått från fritextsökningar i posten topic där den booleska operatorn AND har använts för att resultatet skall bli snävare (Eriksson Barajas et al., 2013). Att söka i posten topic ökar chansen att hitta artiklar av relevans eftersom sökorden återfinns i artiklarnas titlar, nyckelord eller sammanfattning. Den booleska operatorn OR tillämpades för att använda synonymer och på så sätt bredda sökningen. Däremot valdes den booleska operatorn NOT aktivt bort därför att uteslutningen av ett ord i syfte att precisera sökningen ändå kan medföra att artiklar av relevans filtreras bort. Istället har ett manuellt urval tillämpats som har fått avgöra vilka artiklar som skall inkluderas respektive exkluderas i studien.
Eftersom att studiens huvudintresse är matematik med inriktning mot sannolikhet och statistik samt användandet av konkret material har dessa sökord använts tillsammans med den
booleska operatorn AND, för att säkerställa att alla sökord skulle ingå i träffarna. Resultaten blev något begränsade, därför prövades några sökord i taget (se bilaga 1). Asterisker (*) användes för att trunkera vissa sökord och på så sätt bredda sökresultaten. Trunkering
används för att hitta artiklar som innehåller samma ordstam, som exempelvis sökordet math*, vilket visar resultat som innehåller orden mathematics och mathematical också. Eftersom att internationella databaser användes för att söka i, krävdes det att sökorden var på engelska.
Flera sökningar med olika söksträngar har använts (se bilaga 1). Vid jämförelse av
sökresultaten från de olika söksträngarna var det tydligt att samma artiklar inte återkom vid byte av enskilda sökord. Eftersom det blev så vitt skilda träffar samt för att minimera risken
18
att gå miste om relevanta artiklar och således öka reliabiliteten inkluderades artiklar från fler än en sökning. Därför har vi valt att i bilaga 1 redovisa alla sökningar.
Sökning 3 (se bilaga 1) gav enskilt mest resultat, söksträngen var: (statistics and probability) AND (elementary school math*). Söksträngen användes i ERIC och resulterade i 105 träffar efter avgränsningen: peer reviewed. I denna sökning blev det 50 artiklar kvar efter läsning av titlar. Vid läsning av abstract blev det 23 artiklar kvar. Efter läsning av artiklarna i fulltext samt utifrån inkluderingskriterierna (se tabell i avsnitt 3.3.1) återstod 18 artiklar från denna sökning.
Den söksträng som gav minst resultat såg ut som följer: (probabilit* OR statistic*) AND (manipulativ* OR concret* OR experimentat* OR hands on*) AND (teach* OR learn* OR instruction* OR education*) AND (elementary school* OR primary school*). Trots att sökningen innehöll alla relevanta sökord, återfanns inte någon av artiklarna från de andra söksträngarna. Sökningen resulterade i 35 träffar, men efter läsning av titlar visade det sig att artiklarna saknade relevans för studien.
Sökträffarna i WoS var något begränsade, därför användes liknande söksträngar även i ERIC och resulterade i fler sökträffar som dessutom var användbara i förhållande till studien. Det totala resultatet av sökträffar i alla redovisade söksträngar (se bilaga 1) var 274 stycken. Alla 274 titlar lästes, vid osäkerhet kring artiklarnas relevans lästes även abstract. De som slutligen ansågs relevanta för studien efter läsning av titlar var 95 stycken. Därefter lästes alla 95 abstract och antalet reducerades ytterligare, eftersom många artiklar enbart beskrev exempelvis vikten av konkret material utan koppling till sannolikhet och statistik. Reduceringen mynnade ut i 33 artiklar. Efter läsning av artiklarna i fulltext samt utifrån inkluderingskriterierna (se tabell i avsnitt 3.3.1) blev resultatet 27 artiklar.
En av de 27 artiklarna hittades med den så kallade snöbollsmetoden. Det innebär att någon tipsade om ett antal artiklar som det sedan söktes efter. Sökningen I DiVA, på författarnas namn, resulterade i en artikel som ansågs relevant för studien: Contributing to develop
contributions – a metaphor for teaching in the reform mathematics classroom (Eckert, 2017). Utöver ovannämnda söksträngar, har även andra kombinationer av sökord prövats och
avfärdats då de inte tillförde något nytt till sökningen, exempelvis (teaching statistics) AND (probability) med avgränsning math* och articles (Se bilaga 1).
19
3.3.1 Manuellt urval
Efter att databassökningen var gjord påbörjades en manuell urvalsprocess. Den formades enligt följande inkluderingskriterier som ringar in fältet:
Beståndsdel: Inkluderingskriterier:
Publikation Vetenskapligt granskade artiklar, ingen tidsbegränsning.
Område Sannolikhet och statistik i matematik, matematikdidaktik,
konkret material
Problemområde Användning av konkret material i undervisning om
sannolikhet och statistik
Exkludering: artiklar som enbart berörde konkret material, artiklar som använde enbart digitala verktyg
Deltagare Elever i grundskolan, lärarstudenter och lärare.
Applicerbarhet Aktiviteterna skall kunna appliceras i olika nationer.
Metoder Ingen begränsning.
Tabell: Inkluderingskriterier för manuellt urval.
Valet att inte ha någon tidsbegränsning beror på att användandet av konkret material, men också området sannolikhet och statistik är lika aktuellt nu som förr i tiden. Av denna
anledning har vi valt att söka efter innehåll, snarare än publiceringssår. Eftersom att studiens intresseområde är matematik med fokus på användandet av konkret material i sannolikhet och statistik, är de det viktigaste inkluderingskriteriet. Därav exkluderades artiklar som enbart berörde konkret material utan koppling till sannolikhet och statistik samt artiklar som enbart använde digitala verktyg som konkret material. Utgångspunkten var att inkludera artiklar som berörde elever i grundskolan. Sökningen resulterade dock i flera intressanta artiklar där lärarstudenter och högstadieelever var deltagare i det empiriska materialet, men som berörde hur respektive när lärare kan använda konkret material i undervisning om sannolikhet och statistik. Aktiviteterna går även att applicera på elever i grundskolan. Dessutom genererade
20
sökresultaten ett antal artiklar som innehöll tips och idéer till hur lärare kan arbeta med konkret material i sannolikhet och statistik.
Artiklar där aktiviteterna var tydligt kopplade till ett visst lands läroplan, som inte var kompatibla med Sveriges läroplan, valdes bort med tanke på Landahl och Lundahls (2017) påpekande angående att vissa aktiviteter inte går att applicera i ett annat land utan att ta hänsyn till kulturella sammanhang. Valet att inte ha någon begränsning på metoder beror på att det kan göra underlaget snävare och artiklar med viktigt innehåll kan komma att uteslutas av misstag.
För att inkludera artiklar av relevans för inkluderingskriteriets problemområde lästes först titlar där sannolikhet och statistik eller konkret material framgår på något sätt. Vissa titlar kunde exempelvis innehålla orden ”dice”, ”activities” eller ”candy” istället för konkret material samt ”expectation” eller ”randomness” vilket tolkades tillhöra området sannolikhet och statistik. Vid läsning av abstract visade det sig att vissa av artiklarna hade ett innehåll som snarare passade i studiens teoretiska bakgrund.
Om det fortfarande rådde osäkerhet kring artiklarnas innehåll efter läsning av abstracts lästes även andra delar i artiklarna. En del artiklar saknades i fulltext och exkluderades därför från studien eftersom abstracten inte gav tillräckligt med material. Efter det manuella urvalet blev sökresultatet 27 artiklar.
3.3.2 Reliabilitet, replikerbarhet och validitet
En studies tillförlitlighet benämns som dess reliabilitet (Bryman, 2002/2014). För att öka reliabiliteten i den här studien har dess metod och resultat beskrivits detaljerat, vilket möjliggör ett nytt genomförande av undersökningen där resultatet blir detsamma. De risker som kan uppstå i en litteraturstudie är att författarens, i det här fallet författarnas, tolkningar kan ha påverkat resultatet. Studiens replikerbarhet kan även påverkas, vilket innebär att undersökningen ska kunna genomföras av en annan forskare där resultatet blir detsamma (Bryman, 2002/2014). Vid en sådan undersökning finns det en möjlighet, eller risk, att de underkategorier som skapats i den här studien inte skulle bli samma, eftersom de skapades utifrån författarnas tolkningar av sökresultaten. Därav vikten av den detaljerade beskrivningen samt motivationen av studiens förfarande. För att minimera risken har huvudteman och
21
Hur studiens slutsatser är relevanta till det studien ämnade undersöka är detsamma som studiens validitet (Eriksson Barajas et al., 2013). För att säkerställa validiteten behöver studiens syfte, frågeställningar, metod, resultat och diskussion ha en tydlig koppling. Frågeställningarna har bearbetats genomgående och resulterat i slutsatser rörande studiens syfte. Utifrån detta kan den här litteraturstudien motiveras vara valid.
3.4 Metod för analys av insamlat material
Analysen har utgått från en kvalitativ ansats. Bryman (2002/2014) förklarar skillnaden mellan kvantitativ och kvalitativ ansats, att den kvantitativa ansatsen syftar mer till att mäta data och jämföra dem med siffror i tabeller och liknande. I den kvalitativa ansatsen är fokus mer på att tolka och försöka förstå ett innehåll (Bryman, 2002/2014). Eftersom den här studiens analys går ut på att tolka innehåll i olika vetenskapliga artiklar blir således kvalitativ ansats ett naturligt val.
Nedan följer en redogörelse för kvalitativ innehållsanalys och grundad teori, sedan följer en översikt över hur temana formulerades samt hur underkategorierna synliggjordes under analysens gång. Därefter redogörs det för tillvägagångssättet vid fördjupningen av kategorierna.
3.4.1 Kvalitativ innehållsanalys och grundad teori
I den föreliggande studien har kvalitativ innehållsanalys och grundad teori varit valet av analysmetoder. Eftersom att studien är en systematisk litteraturstudie är det intressant att identifiera olika teman och mönster i de insamlade artiklarna, vilket Eriksson Barajas, et al. (2013) benämner som det grundläggande arbetssättet i en latent innehållsanalys. För att upprätthålla den kvalitativa innehållsanalysens steg har således en översiktlig läsning av artiklarna gjorts och sen sammanställts i ett analysschema. Genom sammanställningen kunde kategorier väljas ut. Därefter har en konstant jämförande analys tillämpats under
analysprocessen, där data och kategorier har jämförts med sig själva och varandra för att upptäcka bland annat likheter och skillnader, vilket är utpekande för grundad teori (Thornberg & Fejes, 2015).
3.4.2 Metod vid övergripande kartläggning
När det manuella urvalet var klart och de 27 artiklarna var utvalda började analysarbetet. Artiklarna lästes i sin helhet och sammanfattades systematiskt in i analysscheman (se bilaga 2), utifrån de områden vi utarbetade under läsningens gång. Dock redovisas endast
22
analysscheman med artiklar som använts vid analys av fördjupningsmaterial. Rubrikerna som slutligen användes i analysschemat (se bilaga 2) var: referens, delområde i sannolikhet och statistik, aktivitet-er och bakgrund. Tanken var att ge en överblick över artiklarnas förslag på både hur och när konkret material kan användas i matematikundervisning kopplat till
sannolikhet och statistik. Detta för att säkerställa artiklarnas relevans utifrån studiens frågeställningar.
Vid analysprocessens början skapades en översiktlig bild av det aktuella forskningsfältet för att formulera huvudteman samt identifiera underkategorier som svarar på studiens
frågeställningar. Det formulerades och bearbetades fram två huvudteman och sex
underkategorier. De två huvudteman som formulerades är: Aktiviteter med konkret material i undervisning om sannolikhet och statistik och Delområden i sannolikhet och statistik. Det första temat kännetecknas av aktiviteter som visar hur konkret material kan användas i undervisning om sannolikhet och statistik. Kännetecknande för det andra temat är i vilka delområden i sannolikhet och statistik som undervisning med konkret material kan användas.
En tydlig skillnad mellan underkategorierna har varit nödvändig, för att särskilja dem åt på grund av den starka kopplingen mellan de olika delområdena i sannolikhet och statistik. Vid den övergripande kartläggningen, delade vi upp huvudtema 1 och huvudtema 2 under varsin rubrik, där vi redogjorde för underkategorierna genom konkreta exempel från artiklarna. Underkategorierna till huvudtema 1 fick namnen: projektbaserade aktiviteter, laborerande aktiviteter samt spel- och tävlingsaktiviteter. Underkategorierna till huvudtema 2 fick
namnen: slumpmässiga händelser, sannolikhet, chans och risk och tolkning av data i tabeller och diagram.
Efter sammanfattningen av artiklarna i studiens analysscheman (se bilaga 2), började arbetet med att placera in dem under de underkategorier som var lämpliga. Eftersom att alla 27 artiklar nämner minst en aktivitet, har de fördelats i de tre underkategorierna till huvudtema 1. En del artiklar passade in under flera underkategorier och har därför placerats därefter. Det handlar om artiklar med flera olika aktiviteter beskrivna, som faller under flera olika
underkategorier. Därav har de tre underkategorierna till huvudtema 1 tillsammans fler artiklar än 27. I underkategorierna under huvudtema 2 placerades samma artiklar in utefter vilka kunskaper i sannolikhet och statistik som aktiviteterna syftade till att utveckla hos elever. En del artiklar berörde flera olika underkategorier eftersom aktiviteterna behandlar mer än ett delområde i sannolikhet och statistik, därför placerades de in under mer än en underkategori.
23
Det var svårt att särskilja slumpmässiga händelser från sannolikhet, chans och risk, eftersom de är två relaterade termer. Underkategorin slumpmässiga händelser kännetecknas främst av att det i artiklarna benämns som randomness, medan det i artiklarna som placerades under sannolikhet, chans och risk istället kallades för probability. I artiklarna under kategorin sannolikhet, chans och risk nämns inte randomness alls utan snarare begrepp som hur osäkert eller säkert det är att en händelse ska inträffa. I några få fall finns både begreppet randomness och osäkert respektive säkert med. En övervägning har gjorts där artikeln har placerats in utefter det som överväger.
Underkategorin projektbaserade aktiviteter innehåller nio artiklar.
• En artikel placerades under alla underkategorier, slumpmässiga händelser, sannolikhet, chans och risk och tolkning av data i tabeller och diagram. • En artikel placerades enbart under slumpmässiga händelser.
• Två artiklar placerades enbart under sannolikhet, chans och risk.
• En artikel placerades under både sannolikhet, chans och risk och tolkning av data i tabeller och diagram.
• Fyra artiklar placerades enbart under tolkning av data i tabeller och diagram. Underkategorin laborerande aktiviteter innehåller 11 artiklar.
• Två artiklar placerades enbart under slumpmässiga händelser.
• En artikel placerades under både slumpmässiga händelser och tolkning av data i tabeller och diagram.
• Tre artiklar placerades under både sannolikhet, chans och risk och tolkning av data i tabeller och diagram.
• Fyra artiklar placerades enbart under sannolikhet, chans och risk.
• En artikel placerades enbart under tolkning av data i tabeller och diagram. I underkategorin spel- och tävlingsaktiviteter har nio artiklar placerats in.
• En artikel placerades enbart under slumpmässiga händelser.
• En artikel placerades både under slumpmässiga händelser och tolkning av data i tabeller och diagram.
• Tre artiklar placerades under både sannolikhet, chans och risk och tolkning av data i tabeller och diagram.
24
Därutöver har huvudtemana respektive underkategorierna prövats och omarbetats flertalet gånger under översikten, för att göra innehållet i artiklarna så framträdande som möjligt.
3.4.3 Metod vid analys av fördjupningsmaterialet
När översikten var klar och temana respektive underkategorierna kartlagda, genomfördes fördjupningen. Återigen blev en urvalsprocess aktuell där först en artikel från varje
underkategori valdes ut. För att kunna göra urvalet över vilka artiklar som skulle fördjupas lästes och analyserades artiklarna i sin helhet. Fördjupningsmaterialet utgick från de
underkategorier som identifierades under analysen, där två artiklar från varje underkategori i huvudtema 1 valdes ut med kravet att aktiviteterna även berörde olika underkategorier i huvudtema 2. Eftersom det är många artiklar i en och samma underkategori samt för att få ett djup i analysen respektive en tydligare bild över artiklarnas aktiviteter, har ytterligare en artikel från varje underkategori valts ut. De artiklar som valdes ut i urvalsprocessen var de som beskrev respektive underkategori på bästa sätt för att tydliggöra dem så väl som möjligt. En del artiklar nämner explicit vilka delar i sannolikhet och statistik som berörs, medan andra är mer implicita.
Under analys av fördjupningsmaterialet redovisas underkategorierna till huvudtema 1 med egna rubriker, där underkategorierna i huvudtema 2 är integrerade. Detta med tanke på den starka koppling aktiviteterna har till sannolikhet- och statistikundervisning. Alltså berörs underkategorierna till huvudtema 2 i samband med de andra underkategorierna (se figur 1 under 4.1.2). Därefter fortsatte fördjupningen genom att läsa de valda artiklarna noggrant och analysera dem utifrån en kvalitativ innehållsanalys respektive grundad teori. Vi analyserade de valda artiklarnas aktiviteter med konkret material, för att kunna redovisa hur respektive i vilket delområde som de är användbara, det vill säga svara på studiens frågeställningar. Därefter har resultatet från analysen tolkats och en syntes skapats, för att ge ett nytt perspektiv på det nuvarande forskningsläget, i resultatavsnittet.
4. Resultat och analys
I det här avsnittet redovisas först en överblick av forskningsläget med hjälp av de valda artiklarna i studien. De har delats in i två huvudteman och sex underkategorier som kommer presenteras därefter. I den övergripande kartläggningen av underkategorierna till huvudtema 1 redovisas det för hur många artiklar som placerats i varje underkategori från huvudtema 1
25
som berörs av underkategorierna från huvudtema 2. Detta för att ge läsaren en förståelse för hur aktiviteterna berörs av de olika delområdena i sannolikhet och statistik. Två artiklar från varje underkategori kommer att fördjupas, analyseras och jämföras för att slutligen skapa en syntes. I syntesen kommer delarna från analysen sättas ihop i en ny helhet (Eriksson Barajas et al. 2013) med hjälp av likheter, skillnader och mönster.
4.1 Övergripande kartläggning
Det finns en hel del forskning om sannolikhet och statistik respektive konkret material. En kombination av dem båda, alltså forskning inom studiens intresseområde, är en aning begränsat. Den forskning som finns är dels kvalitativa klassrumsstudier och dels kortare forskningsartiklar som ger konkreta förslag på aktiviteter med en kort motivering till varför aktiviteterna är bra. Även klassrumsstudierna fokuserar på själva aktiviteten, där en kort förklaring över tillvägagångssätt presenteras.
I nästan alla artiklar riktar sig aktiviteten mot elever i årskurs 1–6. Däremot berör några artiklar lite äldre elever eller studenter på universitet. Anledningen till varför de ändå är inkluderade är för att det beskrivs att aktiviteterna på ett eller annat sätt går att tillämpa i undervisning i de lägre åldrarna.
De sökord och sökkriterier som använts i denna studie, resulterade i artiklar från olika delar av världen. Övervägande delen av artiklarna är utfärdade i olika delar av USA, närmare bestämt 17 artiklar. Det är enbart två artiklar som är publicerade i Sverige. Därutöver har en artikel från respektive land framkommit: Australien, Danmark, England, Frankrike, Irland och Sudan. En av de viktigaste aspekterna i sökkriterierna var att artiklarnas innehåll skulle vara applicerbara här i Sverige. Genom att inkludera internationella artiklar, skapas en bredare syn på forskningsläget där förhoppningen är att kunna införa andra innovativa aktiviteter som kanske inte används i skolor här i Sverige.
Alla artiklar som är inkluderade i studien behandlar olika former av aktiviteter med konkret material i undervisning om sannolikhet och statistik. Övervägande delen av artiklarna motiverar även varför konkret material är användbart respektive viktigt. Därmed kan det tolkas att artiklarna är rörande överens angående att konkret material faktiskt är användbart i undervisning om sannolikhet och statistik.
26
4.2 Analys och illustration
Vid analysen av artiklarna har huvudtemana och underkategorierna varit i fokus. För att tydliggöra underkategoriernas sammanhang har de placerats under varsitt huvudtema utifrån studiens frågeställningar. Syftet med underkategorierna är att påvisa bredden och
möjligheterna inom varje huvudtema. Se punktlista och figur 1.
Huvudtema 1: Aktiviteter med konkret material i undervisning om sannolikhet och statistik • Projektbaserade aktiviteter
• Laborerande aktiviteter • Spel- och tävlingsaktiviteter
Huvudtema 2: Delområden i sannolikhet och statistik • Slumpmässiga händelser
• Sannolikhet, chans och risk
• Tolkning av data i tabeller och diagram
Figur 1: Egen illustration. Huvudtema med underkategorier
Delområden i sannolikhet och statistik
Slumpmässiga händelser Sannolikhet, chans, risk Tolkning av data i tabeller och diagram
Aktiviteter med konkret material i undervisning om
sannolikhet och statistik
27
4.2.1 Aktiviteter med konkret material i undervisning om sannolikhet och statistik
Matematiklärare behöver undervisa i sannolikhet mer fördjupat för att synliggöra dess breda tillämpning. Både elever och lärare behöver se tydligt att simuleringar med konkret material kan användas för att lära sig de grundläggande tankarna om sannolikhet samt att påståenden rörande sannolikhet är tagna utifrån vardagen (Choate, 1979). Lärare måste således visa att sannolikhet har praktiska funktioner. Orlando och Orlando (2013) menar att elevers
begreppsliga kunskaper om sannolikhet och statistik går att utveckla, utan att vara beroende av tekniken. Enligt Sherard (1985) kan undervisning i sannolikhet och statistik vara väldigt effektivt i en matematikmiljö där elever får använda konkret material. Det finns bland annat tre viktiga överväganden vid utformning av aktiviteter med konkret material: vikten av att förutspå till exempel olika resultat, att aktiviteten är kommunikativ samt att vara medveten om att elever inte nödvändigtvis tillägnar sig kunskap vid undervisning (Orlando et al., 2013).
Underkategorin projektbaserade aktiviteter innehåller nio artiklar, vilka berör aktiviteter
utformade som projekt, där elever får arbeta med konkret material i flera olika steg för att möta flera olika delar inom sannolikhet och statistik. Projektbaserade aktiviteter särskiljer sig från övriga aktiviteter på ett sådant sätt att elever först ska samla in data genom exempelvis observationer av andra elevers hårfärg, ögonfärg eller favoritfärg, för att sedan sammanställa och redovisa data i olika slags tabeller eller grafer (Shand, 1999; Andrew, 2009). En annan variant på en projektbaserad aktivitet var där elever fick så frön, vilket tog många lektioner i anspråk över en längre tid i takt med att fröna grodde och växte (Nilsson, 2013).
Gemensamt för de flesta artiklarna i den här underkategorin är att de involverar elever i aktiviteter som är mer eller mindre vardagsanknutna. Detta för att introducera elever till att se hur data samlas in och även redovisas för att så småningom kunna läsa mer komplicerade tabeller och grafer. En artikel hade en projektbaserad aktivitet som syftade till att ge elever insikt i relationen mellan teoretisk och experimentell sannolikhet samt lagbundenhet och slumpmässighet (Abrahamson, Janusz & Wilensky, 2006). Där skulle elever fylla i kvadrater som innehöll nio rutor med färgerna grön och blå för att se hur många olika varianter det fanns som inte hade samma färgmönster som någon annan kvadrat (Abrahamson et al., 2006). Den här aktiviteten var indelad i flera moment under flera dagar där eleverna först fick arbeta självständigt, sedan i par för att slutligen göra en plansch med alla möjliga färgkombinationer, vilket gjorde att den placerades under projektbaserade aktiviteter. Det konkreta materialet var papper där de fick färglägga rutor för att sedan tillverka planschen genom att samarbeta samt klippa och klistra.
28
Underkategorin laborerande aktiviteter innehåller 11 artiklar. De här aktiviteterna innebär
att elever på olika sätt får laborera, testa sig fram och manipulera med fysiskt, konkret material för att upptäcka olika delar av sannolikhet och statistik. I laborerande aktiviteter ingår att eleverna först ska gissa, förutse eller skapa någon form av hypotes för att sedan testa hypotesen och därefter dra slutsatser.
Det framkommer i en artikel att undervisning i sannolikhet och statistik är mest effektivt om det förekommer ett överraskande slut eller ett resultat med en oväntad tvist (Gelman & Nolan, 2002). I en artikel påvisas det att M&M är ett bra konkret material att tillämpa för att träna på att använda olika tabeller, såsom histogram (Reys & Wasman, 1998). Groth, Butler och Nelson (2016) påvisar att elever brukar ha svårt för begrepp och redogör för en aktivitet som kan hjälpa dem utveckla begrepp kopplade till sannolikhet. I två artiklar lyfts aktiviteter fram där flera tärningskast ska hjälpa elever att undersöka bland annat slumpmässighet (Watson & English, 2015; Andrew, 2009). Skillnaden mellan spel med tärningar och laborerande med tärningar är att det senare innebär mer testande för att se vad som sker framför att spela ett spel. I sex artiklar presenteras olika varianter av aktiviteter där elever på ett eller annat sätt ska dra objekt ur till exempel en påse utan att se innehållet, för att på så sätt ta reda på
fördelningen i behållaren (Choate, 1979; Webb & McKay, 1978; Orlando et al., 2013; Leavy & Hourigan, 2014; Eckert, 2017; Van Engen & Grouws, 1975). En artikel anser att
experiment och laborering i sannolikhet och statistik bör vara av sådan art att det inte går att räkna ut på förhand vad sannolikheten är att en händelse ska ske (Andrew, 2009).
Gemensamt för de flesta artiklarna i ovanstående underkategori är att elever blir aktiva i undervisningen. Därmed upptäcker de olika samband med hjälp av varandra och emellanåt även med lärares hjälp. Att använda klassrumsaktiviteter kan göra elever mer involverade och undanröja tristess och generera intresse (McPherson, 2015).
I underkategorin spel- och tävlingsaktiviteter återfinns nio artiklar som dels är tydligt
inriktade på spel, dels är tydligt inriktade på tävling med en vinnare. Det konkreta materialet här är främst tärningar och mynt. Det mest utmärkande för den här underkategorin är att aktiviteterna antingen är spel i form av bland annat vardagsnära brädspel, tärningsspel och arkadspel. Spelen har ett mer eller mindre explicit förhållande till tävling.
Det var dock inte det konkreta materialet i aktiviteten som var avgörande för den här underkategorin eftersom det återfanns under andra kategorier också, utan främst hur det konkreta materialet användes. I två artiklar beskrivs klassrumsaktiviteter där mynt används
29
som det konkreta materialet. I den ena artikeln används myntet till att singla slant med och i den andra används myntet istället som en spelpjäs. Elever behöver inse att singla slant och liknande aktiviteter kan användas för att simulera den teoretiska sannolikheten (Choate, 1979). I två andra artiklar där spel med tävlingsinslag är aktuellt, används två tärningar som konkret material (McPherson, 2015; Foster & Martin, 2016). Tärningar kan av en del anses som överanvända i klassrummet, fördelen är att de erbjuder ett välbekant sammanhang för att utforska mer komplexa koncept. Om grundläggande kunskaper för sannolikhet vid kast med tärning är lagd finns det stora möjligheter att avancera mot mer komplexa begrepp (Watson et al., 2015). En artikel beskriver flera olika aktiviteter där de bland annat använder sig av vardagsanknutna spel såsom Monopol och Yatzy, men även kortlekar, snurror och
polyedriska tärningar (Fennell, 1984). En annan artikel använder sig av leken sten, sax, påse (Reys et al., 1998). I en artikel beskrivs många olika aktiviteter, men en av dem involverar klossar i en respektive två påsar som elever ur två olika lag får dra. Poäng fås endast vid dragning av röd kloss (Van Engen & Grouws, 1975). En artikel innehåller en aktivitet där elever ska hitta det mest fördelaktiga arkadspelet genom att prova sig fram bland flera olika. Syftet var att upptäcka bristerna i att endast spela några få gånger jämfört med flera (Leavy et al., 2014). Den sista artikeln i den här underkategorin beskrev en typ av bingo. Gemensamt för artiklarna är att de syftar till att öka den intuitiva känslan för konsekvenserna av
slumpmässiga händelser, sannolikhet, chans och risk. Kunskaperna som utvecklas inkluderar även hantering av data samt hur tabeller och grafer konstrueras, eftersom elever även ska föra anteckningar under spelen och tävlingarna (Kader & Perry, 1998).
4.2.2 Delområden i sannolikhet och statistik
Att undervisa i sannolikhet och statistik är viktigt, särskilt eftersom att användningen av de här begreppen i vardagen är mycket varierande (Fennell, 1984). Det är viktigt att bearbeta elevers missuppfattningar rörande bland annat deras tankar om att det råder orättvisa i slumpmässiga händelser (Degner, 2015). Därför syftar en del aktiviteter till att bearbeta missuppfattningarna. En början kan vara att prata om begreppet slumpmässiga händelser, för Lecoutre, Rovira, Lecoutre och Poitevineau (2006) har i sin studie bekräftat att människor har olika tolkningar kring begreppet slumpmässiga händelser, även många som använder det i sitt arbete, till exempel lärare. Elevers vardagliga erfarenheter om sannolikhet utgör ofta hinder för utveckling av korrekta begrepp inom sannolikhet (Leavy et al., 2014). Även om det generella närmandet och tillämpningen av statistiska metoder är enkla att begripa, är
30
tanke på antalet människor som arbetar med sannolikhet är det dags att vi använder fenomenet för att relatera sannolikhet, statistik och framförallt spel till läroplanen och främst till elever i grundskolan (Fennell, 1984).
Sannolikhet och statistik är, som påvisat i denna studies bakgrund, ett brett ämne där många olika delar ingår, såsom slump, chans, risk och även tolkning av data i tabeller. I de valda artiklarna har aktiviteterna berört minst ett delområde, vilket visar på aktiviteternas relevans inom området.
19 av de 27 artiklarna placerades under sannolikhet, chans och risk, vilket var underkategorin med flest antal artiklar. Utmärkande för den här underkategorin är att elever får möta begrepp rörande sannolikhet, chans och risk. Det konkreta materialet som användes i aktiviteterna var mycket varierade, men tärningar var något vanligare, därefter mynt och sedan en blandning av spel, snurror, frågekort etcetera.
15 av de 27 artiklarna placerades under tolkning av data i tabeller och diagram. Det som utmärker den här underkategorin är att eleverna får arbeta med att föra in egna insamlade data i tabeller och diagram samt bearbeta och tolka data. Det vanligast förekommande konkreta materialet var även här tärningar, därefter mynt och det övriga materialet bestod av bland annat plastmuggar, kulor och korkar.
Minst antal artiklar hamnade under slumpmässiga händelser. Det var endast sju av de 27 artiklarna som placerades i den här underkategorin. Det mest utmärkande för den här underkategorin är aktiviteter där eleverna får möta begrepp som bland annat säkert och osäkert. Två stycken var spel- och tävlingsaktiviteter med materialet mynt i den ena aktiviteten och kulor i en flaska i den andra. Det konkreta materialet var främst kulor, men också mynt och tärningar.
Sambandet mellan de olika delområdena och aktiviteter med konkret material kommer att fördjupas i följande avsnitt.
4.3 Analys av fördjupningsmaterialet
Fördjupningsmaterialet som ingår i denna analys är, som tidigare nämnts, två till antalet per underkategori, vilka ämnar visa på underkategoriernas bredd. Underkategorierna är knutna till tema 1, medan underkategorierna till tema 2 istället är integrerade i aktiviteterna. Eftersom det är svårt att diskutera underkategorierna till huvudtema 2 utan att nämna kopplingen till
31
4.3.1 Projektbaserade aktiviteter
För att fördjupa denna underkategori har artiklarna Challenges in seeing data as useful evidence in making predictions on the probability of a real-world phenomenon av Nilsson (2013) och The numbers game: teaching kids how to play and win av Shand (1999) valts ut. Gemensamt för aktiviteterna i den här underkategorin är att eleverna är med och skapar sitt egna datamaterial enda från början till slut, där det redovisas i någon form av tabell eller diagram. Det är alltså aktiviteter uppbyggda i flera moment under en längre tid, där eleverna är delaktiga och där de delvis får välja vilket material de vill samla in.
I den första artikeln, Challenges in seeing data as useful evidence in making predictions on the probability of a real-world phenomenon, beskrivs en aktivitet där elever ska plantera solrosfrön (Nilsson, 2013). Syftet med studien är att utveckla kunskaper om undervisning i sannolikhet och statistik bortanför idealistiska spelliknande situationer. Vikten av att iaktta på vilket sätt som elever utvecklar kunskaper kring vardagliga slumpmässiga situationer
framkommer. Den här artikeln har valts ut för att den innehåller en tydligt projektbaserad aktivitet där elever får arbeta under en längre tid i flera olika moment.
I aktiviteten som studien presenterar undersöks relationen mellan lagbundenhet och slumpmässiga händelser, genom att elever experimenterar i en vardaglig situation rörande osäkerhet (Nilsson, 2013). Aktiviteten är uppdelad i två moment, där 12 elever fick reflektera över grobarheten av solrosfrön. I första momentet planterade elever 15 frön var, totalt 180 frön, vilket visar på de stora talens lag. Varje elev fick en egen kvadratmeter, där de skulle placera fröna. För att kunna reflektera över slumpmässiga variationer, preparerades vissa frön i förväg så att de med säkerhet inte skulle gro. Om alla frön hade grott, kunde eleverna tro att det inte fanns något slumpmässigt beteende involverat. Därefter räknade dem de solrosor som grott och markerade numret på klistermärken i ett stort diagram. När alla elever var klara, återsamlades de och diskuterade samt reflekterade kring diagrammet. Det diskuterades bland annat hur och varför vissa gror och andra inte. I diskussionen var det flera elever som pekade på ekologiska aspekter såsom behov av vatten och solens energi. En elev pratade om behovet av att ge plantan kärlek. Ingen av eleverna refererade till problem som slumpmässighet eller drog kopplingar till sannolikhet (Nilsson, 2013).
I andra momentet, som kallades solroslotteriet, fick varje grupp med elever en låtsastusenlapp för att välja ett frö ur en korg och satsa på om det skulle gro eller inte. Tanken var att de skulle använda empirin och erfarenheterna från moment 1 till att förutse grobarheten (Nilsson, 2013).
