Elevers förståelse för det matematiska begreppet area

Malmö högskola

Examensarbete

10 poäng

Elevers förståelse för det matematiska

begreppet area

Students´ understanding of area as a mathematical concept

Sammanfattning

I denna uppsats undersöker vi elevers förståelse för begreppet area, samt om de kan koppla sina kunskaper till sin egen vardag. I undersökningen har vi använt oss av kvalitativa intervjuer och undersökningsgruppen bestod av tio elever i skolår 8. Resultatet visar att majoriteten av eleverna har brister i sin förståelse för areabegreppet, eleverna förknippar begreppet area med formeln A₌b_⋅h. De kan beräkna arean av en rektangel men kan inte med ord beskriva vad en area är. Eleverna anser trots detta att de har nytta av sina kunskaper om area i sin egen vardag.

Förord

Vi vill särskilt tacka Per-Eskil Persson för hans handledning under uppsatsens gång. Vi vill även tacka andra pedagoger som låtit oss ta del av deras verksamhet samt de elever som ställt upp på intervjuer. Ett stort tack till Carina Svensson för hjälp med korrekturläsningen och tack alla Ni som har ställt upp och stöttat oss.

Malmö, december 2005

Innehållsförteckning

1 Inledning... 1

2 Syfte och frågeställningar ... 2

3 Teoretisk bakgrund ... 3

3.1 Läroplan och kursplan ... 3

3.2 Förhållandet mellan begreppen yta, area och omkrets ... 3

3.3 Areabegreppet... 4

3.4 Undervisningens påverkan på förståelsen ... 5

3.5 Area i vardagen... 7 4 Metod ... 8 4.1 Urval ... 8 4.2 Datainsamlingsmetoder ... 8 4.3 Procedur... 9 5 Resultat ... 10

5.1 Resultat för respektive intervjufråga ... 10

6 Diskussion... 16

6.1 Sammanfattning av resultatet ... 16

6.2 Resultatets tillförlitlighet ... 16

6.3 Analys... 17

6.4 Slutsatser... 21

6.5 Förslag till vidare forskning ... 22

7 Källförteckning ... 23

Bilaga A - Introduktionsbrev Bilaga B - Intervjufrågor

1 Inledning

Då vi varit ute i skolans verksamhet har vi uppmärksammat brister i elevernas förståelse för begreppet area. Vi tror att många elever kan beräkna en area genom att använda en formel, men att de har svårare att med ord beskriva vad en area är. Vad vi upplever som ett vanligt förekommande svar då man ställer frågan vad en area är, är svaret ”längden gånger bredden”. Att de svarar på detta sätt kan bero på att vi är matematiklärare och att eleverna tror att det är det svaret vi önskar. Vi anser att detta svar inte påvisar någon förståelse för begreppet utan snarare en inlärd upprepning. Vi vill i vår uppsats närmare undersöka om vår hypotes om elevernas bristfälliga förståelse för area stämmer. Vi vill även försöka ta reda på om elever kan se area i sin egen vardag eller om de endast kopplar begreppet till skolans matematikundervisning. Vi tror att en del elever har svårt att relatera skolundervisningen i geometri till sin egen vardag, och de uppmärksammar nog inte alla de geometriska former och figurer som finns i vår omgivning.

Vi anser att en del av skolans undervisning inte stärker elevens förståelse för de matematiska begreppen utan mest består av färdighetsträning. Därför har vi som framtida lärare en vision om att arbeta nära elevernas vardag i den mån det är möjligt. Läroplanen (Skolverket, 1994) säger att varje elev ska behärska grundläggande matematiskt tänkande och kunna tillämpa det i vardagslivet efter genomgången grundskola.

2

2 Syfte och frågeställningar

Syftet med vår undersökning är att undersöka elevers förståelse för begreppet area i skolår 8, samt om de kan koppla sina kunskaper till sin egen vardag.

Våra frågeställningar är:

• Hur resonerar eleverna kring begreppet area?

• Finns det brister i elevernas begreppsuppfattning, i så fall vilka? • Hur kopplar eleverna begreppet area till sin egen vardag?

3 Teoretisk bakgrund

3.1 Läroplan och kursplan

I läroplanen (Skolverket, 1994) står det att varje elev ska, efter genomgången grundskola, behärska grundläggande matematiskt tänkande samt kunna tillämpa det i vardagslivet. Kursplanen för matematik (Skolverket, 2000) säger att eleverna ska ha kunskaper om matematiska begrepp eftersom det krävs för att de ska kunna utöva matematik. Ett av strävandemålen i kursplanen är att eleverna ska utveckla sin tal- och rumsuppfattning samt sin förmåga att förstå och använda grundläggande geometriska begrepp. Då elever avslutat det femte skolåret ska de kunna jämföra, uppskatta och mäta areor. I slutet av nionde skolåret ska de även kunna använda metoder, måttsystem och mätinstrument för att jämföra, uppskatta och bestämma areor.

3.2 Förhållandet mellan begreppen yta, area och omkrets

Nationalencyklopedin (2005) definierar area på följande sätt: Area, tidigare yta, mått på en figurs ytinnehåll.

I läromedlet Matte Direkt som är skrivet av Carlsson m.fl. (2002) definierar area på följande sätt:

Area är ett mått på hur stort ett område är.

Man skiljer mellan yta och area genom att säga att area är ett mått på en begränsad yta, t.ex. ett begränsat område (Kronqvist & Malmer, 1993). Ulin (1998) anser att man skjuter definitionsproblemet framför sig om man säger att arean hos en figur är detsamma som figurens ytinnehåll. En studie, gjord i skolår 7, kring elevers uppfattning av area (Unenge

4

m.fl, 1994) visar att eleverna spontant använder ordet yta i stället för area. Unenge m.fl. (1994) menar att elever har svårt att hålla isär begreppen area och omkrets. En vanlig missuppfattning bland eleverna är att de anser att t.ex. en villatomts area är densamma som längden på villatomtens staket, dvs. tomtens omkrets (Anderberg, 1992). Eleverna har lättare att koppla begreppet omkrets till sina egna erfarenheter (Berggren & Lindroth, 2004), medan det tvådimensionella begreppet area är betydligt svårare. Omkrets är längden av den kurva som begränsar ett område (Kronqvist & Malmer, 1993) en kurva består av en sammanhängande punktmängd och kan vara krökt eller rak.

3.3 Areabegreppet

Nationalencyklopedin (2005) definierar begrepp på följande sätt:

Det abstrakta innehållet hos en språklig term till skillnad från dels termen själv, dels de objekt som termen betecknar eller appliceras på. Med begreppet stad t.ex. avses således den innebörd vi lägger i uttrycket "stad", vilket måste skiljas från såväl ordet "stad" som de geografiska orter som betecknas som städer.

Ett begrepp är en kombination av ord, ordförståelse och erfarenheter (Berggren & Lindroth, 2004) och en stor del av matematiken handlar om att tillgodogöra sig matematiska begrepp. Det är i princip omöjligt att förstå och tillgodogöra sig ett nytt begrepp om man inte förstår sammanhanget runtomkring begreppet.

En studie gjord av Unenge m.fl (1994) visar att eleverna snabbt lär sig hur man beräknar area, i samband med detta försvinner begreppet area och eleverna ger i stället förklaringen att area är ”längden gånger bredden”. Om man lämnar de vanliga beräkningsuppgifterna visar resultatet i studien att eleverna inte förstår vad area är. Många elever kan beräkna arean av en rektangel men ändå ha dålig vetskap om vad area är (Anderberg, 1986), de beräknar arean med hjälp av formeln A₌b_⋅h (Trygg m.fl, 2002). Elever kan ofta inte se arean i en figur som saknar längd och bredd (Öberg, 1998) och för de eleverna är areabegreppet helt knutet till två sidor i en rektangel (Trygg m.fl, 2002). Det är helt främmande för dessa elever att area är ett mått på ett områdes storlek.

Begreppet area får inte bara bli en ordkunskap utan att ge en förståelse hos eleverna (Unenge, 1988). Det är möjligt att skilja mellan en passiv och en aktiv begreppskunskap. Aktiv begreppskunskap innebär att eleverna kan beskriva ett begrepp, medan passiv begreppskunskap innebär att eleverna kan känna igen ett begrepp.

Det är inte lätt att reda ut vad ”förstå” innebär (Utbildningsdepartementet, 1987). För att man ska kunna översätta ett verkligt eller i text formulerat problem till en matematisk beräkning krävs det förståelse. Då en förståelse skall uppnås och befästas är det viktigt att elevens första positiva upplevelse bevaras. Detta kan endast ske om eleven behärskar tidigare och grundläggande kunskaper innan man går vidare inom matematiken.

Nationalencyklopedin (2005) definierar förståelse på följande sätt: Kunna tillgodogöra sig det tankemässiga innehållet i yttrande, text etc.

Skemp (1976) skiljer mellan instrumental- och relational förståelse. Instrumental förståelse innebära att eleven lär sig och använder matematiska regler och formler utan att verkligen förstå dem. Motsatsen till instrumental förståelse är relational, i detta fall vet eleven både hur man löser ett matematiskt problem och har förståelse för varför man löser det på detta sätt.

3.4 Undervisningens påverkan på förståelsen

Många undersökningar visar att det finns elever som har utvecklat en svag förståelse för matematiska begrepp (Trygg m.fl, 2002). En av orsakerna till detta kan vara att undervisningen gått för snabbt fram och att eleverna har börjat göra beräkningar innan de har förstått begreppen. Geometri är ett område där eleverna ofta lär sig att använda formler och reproducera bevis vilket ofta inte leder till någon djupare förståelse (Löwing & Kilborn, 2002), detta är ett exempel på instrumental förståelse (Skemp, 1976). Malmer (1990) anser att symboler införs i undervisningen onödigt tidigt i de flesta fall eftersom eleverna därmed får redskap till att bokföra sina uppgifter. Har man en lärobok tillgänglig

6

är det dessutom frestande att låta eleverna arbeta i denna. Uppgifterna i läroböcker styr i många fall in eleverna på bestämda lösningsmodeller, verklighetens problem är däremot av en helt annan karaktär (Malmer, 1991). Areamätning bör i stället handla om att jämföra storleken av en fastställd yta med storleken av en redan känd yta. Unenge (1988) anser att det är bättre att arbeta med arean av t.ex. ett blad, när man introducerar begreppet, än att starta med regelbundna former. Däremot menar Helenius & Sterner (2005) att det inte behöver vara fel att inleda areabegreppet med rektanglar och definitionen basen gånger höjden. Denna definition kan senare generaliseras så att den gäller för även mycket komplext formade ytor. Det finns dock en risk med denna introduktion eftersom det är möjligt att eleverna lätt fastnar i beräkningen av area i stället för att förstå begreppet area. Öberg (1998) anser att barn, genom sina tidigare erfarenheter, har en helt klar uppfattning av begreppet area. Av dessa barn har många, genom undervisningen, tagit till sig vad de tror är nya kunskaper, istället för att få ett namn på sina tidigare erfarenheter. Skolans kunskaper har därmed inte knutits samman med barnens begreppsvärld och blir därför inte alltid användbara. På så vis får eleverna dubbla kunskaper, dels kunskaper som används i skolan och dels tidigare klara begrepp, fortfarande utan namn.

Anderberg (1986) talar om att elever har svårare att uppskatta olika områdens areor än vad man kan tro. För att mäta, jämföra och uppskatta storheter använder vi oss av enheter (Unenge, 1988). Man mäter en areas storlek med areaenheter (Kronqvist & Malmer, 1993) t.ex. cm2. Elever som har svårt för att förstå varför man multiplicerar vid areaberäkning kan även ha svårt att se hur _{cm cm cm}2

=

⋅ (Unenge, 1988). En del elever som har lärt sig detta kan även göra antaganden som att man kan multiplicera kronor med kronor osv. Vid en direkt jämförelse av areor behöver man inte alltid en enhet utan oftast är det uppenbart vilken som är störst eller minst. För att direkt kunna mäta storleken av en yta som är begränsad behövs däremot en enhet.

3.5 Area i vardagen

Ordet area förkommer praktiskt taget bara på matematiklektionerna i skolan och finns inte i det vardagliga språket eller i andra skolämnen (Unenge m.fl, 1994). Detta skapar problem för elever trots att begreppet area tillhör baskunskaperna. Det råder ofta stora gap mellan elevers verklighet och innehållet i skolans matematikundervisning (Malmer, 1991). För att eleverna ska få en fördjupad förståelse för geometriska begrepp är det viktigt att man i skolan för en diskussion utifrån deras vardagserfarenheter (Emanuelsson m.fl, 2001). Elevers uppfattning av area är helt beroende av deras tidigare erfarenheter (Öberg, 1998). De har kanske inte alls uppmärksammat alla de geometriska figurer som finns på skolgården och på väg till skolan.

8

4 Metod

4.1 Urval

I undersökningen deltog tio elever från fyra olika klasser i skolår 8. Vi valde att intervjua elever från två olika skolor som ligger i två olika kommuner i Skåne. I de fyra berörda klasserna finns det sammanlagt 86 elever och samtliga tilldelades ett introduktionsbrev (Bilaga A) där föräldrarna kunde ge sitt godkännande till att deras barn intervjuas. Av de elever som tilläts att deltaga, 55 st, valde vi slumpmässigt ut de tio eleverna som skulle intervjuas i undersökningen. Till externt bortfall (Patel & Davidson, 2003) räknar vi dels de som inte lämnat tillbaka lappen, 23 st, och dels de som inte ville deltaga, 8 st. I undersökningen förekommer inget internt bortfall.

4.2 Datainsamlingsmetoder

Vi har valt att genomföra kvalitativa elevintervjuer vilket innebär att vi använde oss av friare formulerade frågor som kan varieras på olika sätt under intervjuns gång (Johansson & Svedner, 2001). Detta för att vi är intresserade av uttömmande svar som påvisar elevernas kunskaper och erfarenheter. Intervjufrågorna nedan (Bilaga B) önskar vi leder till att vi bildar oss en uppfattning om elevernas förståelse för begreppet area.

• Vad är en area?

• Hur beräknar man area? Finns det olika sätt?

• Hur stor är en kvadratmeter? Kan den se ut på olika sätt?

• Hur skulle du kunna ta reda på hur många kvadratmeter golvet i detta rum är?

• En areas enhet kan anges i t. ex cm2, vad betyder tvåan? Kan du fler enheter för area? • Har allting en area? Förklara hur du tänker.

• Välj något i detta rum och uppskatta dess area.

En annan metod vi kunde valt att använda oss av i vår undersökning är att först genomföra en enkätundersökning (Johansson & Svedner, 2001) för att sedan intervjua de elever som gav intressanta svar. Nackdelen med att välja elever utifrån en enkät är att det finns en risk, att man medvetet eller omedvetet, styr inriktningen på resultatet i undersökningen. Fördelen med att göra en enkätundersökning är att man får ett större urval av elevsvar och nackdelen är att det finns en stor risk till att eleverna svarar alltför kortfattat. Fördelen med att genomföra kvalitativa elevintervjuer är att eleverna får uttrycka sig verbalt vilket vi tror underlättar för eleverna då de uppmanas att förklara.

4.3 Procedur

Vi kontaktade lärare på respektive skola för att få hjälp med att få kontakt med elever i skolår 8. Eleverna tilldelades ett introduktionsbrev där föräldrarna kunde ge sitt godkännande till att deras barn intervjuas. Brevet delades ut till eleverna av oss under lektionstid, då presenterade vi samtidigt vårt syfte med undersökningen. Insamlingen av introduktionsbreven genomfördes av matematikläraren för respektive klass. Intervjuerna genomfördes enskilt i ett avskilt grupprum på respektive skola. Eleverna fick information om att de kommer, enligt forskningsetiken (Johansson & Svedner, 2001), förbli helt anonyma i uppsatsen, har möjlighet att ställa frågor och att resultatet inte är betygsgrundande. Vi klargjorde även att vi är intresserande av hur de tänker och att de inte behöver vara rädda för att säga fel. Intervjuerna genomfördes under lektionstid och spelades in på band med hjälp av en bandspelare. Detta eftersom vi då senare kan gå tillbaka och lyssna på intervjuerna. I efterhand transkriberade vi samtliga elevintervjuer från band till dokument. Eleverna hade tillgång till papper och penna under intervjun som tog ca 15 minuter. Vi deltog båda två vid de tio intervjutillfällena men delade på ansvaret att vara den ledande intervjuaren.

10

5 Resultat

I detta kapitel presenterar vi resultatet av våra elevintervjuer. Resultatet för undersökningen redovisas punktvis, där varje intervjufråga (Bilaga B) behandlas separat. Svaren kategoriseras och varje elevsvar kan ingå i mer än en kategori.

5.1 Resultat för respektive intervjufråga

• Vad är en area?

Majoriteten av eleverna kopplar begreppet area till något man mäter. Vissa beskriver att de mäter bas och höjd och knyter därför begreppet till den metod de använder då de beräknar area. Kvadraten är den figur som eleverna oftast relaterar till då de ger en förklaring till hur de tänker. Ca en tredjedel av eleverna menar att area är något som finns innanför en omkrets och en av eleverna besvarade frågan på följande sett:

Elev 3 – Ja det är när man mäter hela det där inne, jag kan inte förklara Intervjuare – Kan du ge något exempel?

Elev 3 – Ja typ om man har ett klassrum, alla sidor. Omkretsen är typ runt om, men innanför, ja typ allting

En del elever blandar ihop begreppen area och omkrets och kan därför inte redogöra för vad area är. En av eleverna menar att area är storleken på en yta, men kan inte ge någon vidare förklaring till sin tankegång.

• Hur beräknar man area? Finns det olika sätt?

Alla elever, utom en, beskriver på ett eller annat sätt att de beräknar area genom att multiplicera basen med höjden. De svarar t.ex. ”längden gånger bredden”, ”gångar långsidan med kortsidan”, ”höjden gånger bredden” eller ”den ena sidan med den andra”. En elev svarar att man först multiplicerar baserna och sedan multiplicerar höjderna för att till sist multiplicera de båda produkterna.

Hälften av eleverna menar att det finns olika sätt att beräkna areor. De ger oftast triangeln som ett avvikande exempel men kan inte ge någon vidare förklaring till varför det är så. Följande dialog visar hur elev 7 besvarade frågan:

Elev 7 – Man gångar den ena sidan med den andra, långsidan och kortsidan Intervjuare – Man multiplicerar dem?

Elev 7 – Mmm

Intervjuare – Okej, finns det olika sätt eller gör man alltid likadant när man beräknar en area?

Elev 7 – Ja, förutom triangeln

Intervjuare – Hur menar du, kan du förklara? Elev 7 – Ja, man måste dela det

Intervjuare – Dela med vadå? Elev 7 – Ja, två kanske

Intervjuare – Varför delar du just med två? Elev 7 – Vet inte…

Två elever anser att det inte finns olika sätt att beräkna en area och några svarar att de inte vet om det finns olika sätt.

12

• Hur stor är en kvadratmeter? Kan den se ut på olika sätt?

Majoriteten av eleverna väljer att besvara frågan genom att göra en uppskattning av något i rummet. Vissa gör en bra uppskattning medan andra gör en direkt felaktig. Uppskattningarna varierar från allt mellan ca 0,25 m2 till ca 8 m2, några av föremålen de väljer att uppskatta är skåp, tavla och cirkulärt bord. Ett fåtal elever har valt att inte uppskatta utan beskriver en kvadratmeter som en kvadrat med sidan en meter. Två av eleverna vet inte alls hur stor en kvadratmeter är och kan inte heller göra någon uppskattning.

De flesta eleverna tror att en kvadratmeter kan se ut på olika sätt, dvs. ha olika former. En elev svarar att en kvadratmeter alltid är fyrkantig och en annan svarar att den kan vara olika stor. Hälften av alla eleverna i undersökningen kan inte förklara varför det är så. Två elever kan dock föra ett resonemang kring hur de tänker. De säger att en kvadratmeter kan vara en kvadrat, rektangel eller triangel och en av eleverna ger följande exempel:

Intervjuare – Kan en kvadratmeter se ut på olika sätt? Elev 2 – Den kan vara på olika sätt

Intervjuare – Kan du ge exempel?

Elev 2 – Ja om man tänker så här, kanske 2 gånger 6 blir 12 och sen kan det vara 4 gånger 3 som också blir 12

Intervjuare – Bra, är det alltid samma typ av figur som är en kvadratmeter? Måste det vara en kvadrat för att vara kvadratmeter?

Elev 2 – Nej, det kan vara rektangel, triangel och kanske cirkel

Eleven visar förståelse för att sidorna kan förhålla sig olika till varandra i en rektangel med samma area.

• Hur skulle du kunna ta reda på hur många kvadratmeter golvet i detta rum är?

Nio av tio elever säger att de mäter längden och bredden på rummet, för att sedan multiplicera dessa. Eleverna skulle välja att använda sig av linjal om det fanns tillgängligt, annars skulle de flesta ”stega” upp måtten. Följande dialog visar hur elev 10 besvarade frågan:

Elev 10 – Mäter ju, och gångar Intervjuare – Vad mäter du?

Elev 10 – Mäter den sidan och den sidan (menar rummets längd och bredd) Intervjuare – Vad gör du sen då?

Elev 10 – Ja, sen gångar jag… Intervjuare – Vad gångar du? Elev 10 – Det jag mätt såklart

Intervjuare – Vad hade du gjort om du inte haft någon linjal att mäta med? Elev 10 – Ja, då hade jag liksom tagit stora steg

Intervjuare – Förklara

Elev 10 – Ehh, de säger att ett steg är en meter, men det blir inte helt rätt då

Några elever hade valt att använda sig av ögonmått eller chansat och en elev hade valt att mäta rummets omkrets med en metersräknare.

• En areas enhet kan anges i t. ex cm2, vad betyder tvåan? Kan du fler enheter för

area?

På denna fråga ger eleverna väldigt spridda svar. Tre av eleverna svarar att tvåan visar att man multiplicerar med två. Andra säger att tvåan står för kvadrat och att den visar skillnad mellan cm och cm2, men de kan inte ge någon närmare förklaring. En elev kopplar ordet kvadrat i kvadratcentimeter till figuren kvadrat och besvarade frågan på följande sett:

14 Elev 4 – Ja för det är en kvadrat, det är fyra hörnor

Intervjuare – Kan du fler enheter, t.ex. någon som är större än kvadratmeter? Elev 4 – Kvadratkilometer

Intervjuare – Okej, och någon enhet som är mindre än en kvadratmeter? Elev 4 – Kvadratcentimeter och kvadratdecimeter

Intervjuare – Jag bara tänkte på det att du sa innan om att en kvadrat har fyra hörnor, stämmer det?

Elev 4 – Ja

Intervjuare – Om vi har en triangel då, kan dess area mätas i enheten kvadratmeter? Elev 4 – Kvadrat är ju samma som fyrkant, så det går inte…

En annan elev menar att tvåan visar att man har multiplicerat två sidor i en figur. Ett annat resonemang var att m, m2 och m3 har en viss ordningsföljd där tvåan i m2 står för dess position. Vi fick även svar som kvadratmeter och meter är samma sak, omkrets och area är samma sak fast med olika enheter och en elev svarade att ”en vanlig cm är rak medan en cm2 är en liten låda.” En del elever vet inte skillnaden mellan m och m2 och en menar att 1m är större än 1m2 och en annan säger att det är tvärt om.

Alla elever kan nämna fler enheter för area än cm2, vissa har dock svårt att relatera dem storleksmässigt till varandra. En elev blandar ihop enheterna m3 och m2.

• Har allting en area? Förklara hur du tänker.

Åtta av tio elever svarade att allting har en area. Ett stort antal gav förklaringen att allting har en area eftersom allt är mätbart. En elev tänker att allt har en storlek och därför också en area och en annan menar att allt är fyllt av någonting och har därför en area. De övriga eleverna anser att det krävs att figuren är regelbunden för att den ska ha en area, och en menar att det endast är kvadrater som har en area. Den sistnämnda eleven är den elev som i föregående fråga kopplar ordet kvadrat i areaenheten till figuren kvadrat.

• Välj något i detta rum och uppskatta dess area.

Alla valde att göra en uppskattning och de flesta gjorde en förhållandevis bra sådan. Eleverna valde att uppskatta arean på skåp, TV-apparat, böcker och dörrar. En del elever gör en bra uppskattning av längd och bredd men faller i överslagsberäkningen, följande elevsvar påvisar detta:

Elev 1 – Ett skåp

Intervjuare – Okej, hur skulle man kunna göra då?

Elev 1 – Ögonmått, jag tänker att den är 2 meter hög och bredden är 40 cm. Så kan jag ta gånger och se om det är rätt

Intervjuare – Vad gångar du? Elev 1 – Ja…. 2 gånger 40 Intervjuare – Vad blir detta? Elev 1 – Ja typ 80

Intervjuare – 80 vadå? Elev 1 – Ehh, kvadrat nått

Andra använder sig av olika enheter på måtten av längd och bredd men anser ändå att man kan multiplicera längd och bredd för att komma fram till arean.

• Beskriv en situation, utanför skolan, där du kan ha nytta av dina kunskaper om

area.

Alla elever kan beskriva en situation där de kan ha nytta av sina kunskaper. De gav svar som t.ex. kunna beräkna storleken på mark, garage, byggnader, lägenheter, fotbollsplanen, trädgård, paddock och hus. En elev svarar att ”om man ska köpa ett hus så kan det stå att det är 12 m2 stort.” De anser även att de behöver sina kunskaper då de ska måla om, tapetsera eller möblera. En elev menar att man behöver kunna beräkna och uppskatta en area i ett framtida yrke.

16

6 Diskussion

6.1 Sammanfattning av resultatet

• Eleverna använder ordet area och inte yta.

• Eleverna har svårt att med ord beskriva vad en area är, de kopplar benämningen area till formeln A₌b_⋅h.

• Vissa elever har svårt att hålla isär begreppen area och omkrets. • Åtta av tio elever anser att allting har en area eftersom allt är mätbart.

• Ingen av eleverna i undersökningen kan ge en bra förklaring till tvåans betydelse i areaenheten. Vissa har dessutom svårt att hålla isär enheterna för sträcka, area och volym.

• De flesta eleverna gjorde en förhållandevis bra uppskattning av längd och bredd då de ombads uppskatta en area.

• Nio av tio elever väljer att mäta rummets längd och bredd och sedan multiplicera dessa för att ta reda på golvets area. I avsaknad av linjal väljer de att ”stega” upp måtten.

• Flertalet av eleverna menar att en kvadratmeter kan ha olika form, men hälften kan inte ge någon vidare förklaring till varför det är så.

• Alla elever kunde ge exempel på hur de kan ha användning av sina kunskaper om area i sin vardag.

6.2 Resultatets tillförlitlighet

Vi anser att vårt resultat inte går att generalisera för alla elever i skolår 8 eftersom undersökningen endast genomfördes på tio elever på två olika skolor. Om resultatet skulle ha varit generaliserbart borde undersökningen ha genomförts i en representativ population. Vårt undersökningsmaterial har samlats in på samma sätt eftersom vi har varit konsekventa i sättet att genomföra intervjuerna. Då vi anser att våra intervjufrågor är konkreta och

välformulerade tror vi inte att eleverna missförstod frågorna. Däremot kunde följdfrågorna variera något utifrån vilka svar grundfrågorna gav. Vi tycker att eleverna i undersökningen har svårt att uttrycka sig matematiskt och att detta kan leda till missförstånd mellan intervjuaren och den intervjuade eleven. Det finns alltid en risk att eleverna tolkar frågorna olika, men eleverna i vår undersökning har svarat förhållandevis lika oavsett skola, därför menar vi att de tolkat våra frågor ganska lika. Med dessa punkter i åtanke tror vi ändå att tillförlitligheten är tämligen stor.

6.3 Analys

Unenge (1994) menar att eleverna spontant använder ordet yta i stället för area vilket vår studie inte visar. Det var i stort sett ingen elev som spontant använde ordet yta utan de använde sig istället av ordet area. En orsak till detta kan vara att vi konsekvent använder oss av benämningen area, samt att intervjuerna genomfördes under matematiklektionerna där allting kretsar kring matematik och dess terminologi. För att undvika detta kunde man genomfört intervjuerna utan anknytning till matematiklektionen och valt att använda ett mer vardagligt språk i intervjufrågorna. Vi har tidigare talat om att eleverna har svårt att uttrycka sig matematiskt, vi anser att förståelsen och språket till viss del går hand i hand. Om man inte kan prata matematik kan man kanske inte heller på ett förståeligt sätt beskriva hur man tänker, man kanske har förståelsen men kan inte uttrycka den. Ett elevsvar som ger exempel på detta är då en elev beskriver att arean beräknas genom att multiplicera höjden och bredden. Denna elev kan mycket väl mena bas och höjd men brister eventuellt i sitt ordförråd. En annan orsak till ordförväxlingen kan vara att man i böcker för tidigare skolår ofta använder beteckningen längd och bredd, medan man i senare skolår övergår till bas och höjd. Vi anser att detta kan skapa förvirring då man byter eller växlar mellan olika beteckningar på samma objekt.

Resultatet för vår undersökning visar att eleverna har svårt att med ord beskriva vad en area är. De kopplar benämningen area till den metod man använder sig av vid beräkning. Eleverna lär sig snabbt hur man beräknar area (Unenge, 1994) vilket kan leda till att eleverna förlorar sin förståelse för begreppet. De ersätter sin förståelse med förklaringen att

18

area är längden gånger bredden. Innan vår undersökning genomfördes hade vi en hypotes om att eleverna kopplar begreppet area till formeln A₌b_⋅h, vilket också visade sig stämma. De ägnar sig åt instrumental förståelse (Skemp, 1976) då man lär sig matematiska regler utan att ha förståelse för dessa. Då vi frågar om det finns något annat sätt att beräkna en area svarar de oftast att triangeln är annorlunda, men de kan inte närmare förklara hur och varför det är så. Vi ser tydligt att eleverna i undersökningen har lärt sig använda en formel för att komma fram till en lösning, vi samtycker med Löwing och Kilborn (2002) som anser att detta inte leder till någon djupare förståelse. Vi tror att begreppsförståelse handlar om att se matematiken i ett bredare perspektiv och inte bara knyta det till en formel. Vårt resultat styrker Unenges (1994) teori om att eleverna har svårt att hålla isär begreppen area och omkrets. Vi tror att eleverna har svårare att skapa sig en bild av en area än av en omkrets, detta leder till att de har svårare att förstå beräkningarna de utför. Omkretsen kan man se som en ram vilket vi tror kan underlätta då eleverna ska bygga upp en förståelse för begreppet. Berggren (2004) menar att eleverna har lättare att koppla begreppet omkrets till sina egna erfarenheter, medan det tvådimensionella begreppet area är betydligt svårare. Vi trodde, precis som Öbergs (1998) studie visar, att eleverna har svårt att se en area på ett föremål som saknar längd och bredd. Vår undersökning visar att åtta av tio elever anser att allting har en area vilket vi tycker är väldigt positivt. Många gav förklaringen att allting har en area eftersom allt är mätbart. Resultatet fick oss att tänka om, eleverna kan kanske se att en oregelbunden figur har en area. Vi tror dock inte att de vet hur de kan ta reda på oregelbundna figurers area och i efterhand inser vi att vi borde ha haft fler följdfrågor för att få klarhet i detta. Något som var oroväckande var att en elev menar att det bara är kvadrater som har area. Vi tolkar det som om denna elev tror att ordet kvadrat betyder samma sak i två olika sammanhang, dels figuren och dels enheten för area.

Vissa elever i vår undersökning påpekar att ingen av deras lärare har berättat för dem vilken betydelse tvåan har, och att det är på grund av detta som de inte kan ge någon förklaring. Vi anser att det är viktigt att eleverna får en god förklaring till varför man multiplicerar vid areaberäkning av rektanglar och hur detta moment bidrar till hur enheterna förändras. Ingen

av eleverna i vår undersökning kunde ge en fullständig förklaring till tvåans betydelse Om detta beror på undervisningens innehåll kan vi inte avgöra med vårt undersökningsmaterial som grund. Även om alla kan nämna olika enheter för area tror vi inte att de har någon större förståelse, utan snarare att det är ett exempel på en färdighet. En del kan inte skilja enheter för sträcka, area och volym och de kan inte heller relatera enheterna storleksmässigt till varandra.

Enligt kursplanens (Skolverket, 2000) mål ska eleverna, i slutet av skolår 9, kunna uppskatta areor, de ska även kunna använda sig av metoder, måttsystem och mätinstrument för att kunna göra denna uppskattning. Anderberg (1986) menar att eleverna har svårare än man tror för att uppskatta areor. Vi trodde att eleverna i undersökningen skulle brista i sin förmåga att göra uppskattningar, men vårt resultat visar motsatsen. De flesta elever i vår undersökning gjorde en förhållandevis bra uppskattning av längd och bredd då de fick uppmaningen att välja ut något i rummet och uppskatta dess area. Däremot har de svårigheter i att vara konsekventa med enheterna vilket vi anser kan leda till problem vid bestämning av areans storlek. Även då vi ställde frågan om hur eleverna skulle kunna ta reda på hur många kvadratmeter golvet är i det rum vi befann oss, svarade eleverna att de hade mätt längd och bredd och utfört multiplikationen. Eleverna väljer att mäta sträckorna med linjal och om det inte finns tillgängligt så skulle de flesta ”stega” upp måtten. Ingen av eleverna utnyttjade det faktum att vi i föregående fråga definierat hur stor en kvadratmeter är. Vi trodde att någon elev skulle valt att uppskatta hur många kvadratmetrar det får plats på golvets yta. En fråga vi ställt oss i efterhand är hur eleverna hade uppskattat en area på en oregelbunden figur. I vår undersökning borde vi ha haft en intervjufråga som hade gett oss klarhet i detta.

Majoriteten av eleverna valde att göra en uppskattning för att beskriva hur stor en kvadratmeter är. I detta fall uppskattar de ingen längd och bredd utan hela arean, vilket påvisar att de kan göra en uppskattning utan att referera till att arean av en rektangel beräknas genom att multiplicera bas och höjd. De flesta elever i vår undersökning menar att en kvadratmeter kan ha olika former, att hälften av eleverna inte har någon förklaring till

20

varför det är så kan vi inte svara på. Vi anser däremot att en av anledningarna kan vara att en kvadratmeter ofta demonstreras som en kvadrat med sidan en meter.

Malmer (1991) menar att det finns stora gap mellan elevers verklighet och innehållet i skolans matematikundervisning. Öberg (1998) beskriver två typer av kunskaper, en som eleverna byggt upp av sina tidigare erfarenheter och en som de konstruerat av skolans undervisning. Detta skapar ett problem då de inte ser sambandet mellan dessa. Alla de elever som deltog i vår undersökning kunde ge exempel på hur de i sin vardag kan ha användning för sina kunskaper om area. Vi tror att en del av dem har bildat sig denna uppfattning utifrån matematikbokens uppgifter. Vi har uppfattningen av att uppgifterna i böckerna ofta handlar om att mäta fotbollsplaner, måla väggar och lägga golv vilket eleverna också gav som förslag. Vi ifrågasätter om eleverna nyttjar sina kunskaper på detta sätt eller om det bara är en föreställning om hur de tror sig kunna använda sig av sina kunskaper i vardagslivet. Läroplanen säger att elevers ska kunna tillämpa sina kunskaper i vardagslivet men vad är då egentligen elevernas vardag? Vi anser att det kan vara svårt att på ett bra sätt väva in deras vardag i areaundervisningen. Att kunna beräkna area för att lägga golv, måla väggar och köpa hus eller lägenhet är kanske något man har nytta av i ett senare skede i livet. En elev antyder att ett hus kan vara 12 m2 stort vilket påvisar brister i storleksuppfattningen.

6.4 Slutsatser

Vårt syfte med denna undersökning var att undersöka elevers förståelse för begreppet area i skolår 8, samt om de kan koppla sina kunskaper till sin egen vardag. I detta avsnitt försöker vi kortfattat, utifrån analysen, besvara varje frågeställning i tur och ordning.

• Hur resonerar eleverna kring begreppet area?

Vi har kommit fram till att eleverna har svårt att med ord beskriva att area är ett mått på en figurs ytinnehåll. De förknippar i stället begreppet area med formeln A₌b_⋅h, däremot anser de överlag att allting har en area eftersom allt är mätbart. Då eleverna resonerar kring begreppet använder de sig inte av benämningen yta utan talar istället om area. Vi tycker att eleverna ibland verkar ha svårt att uttrycka sig matematiskt, vilket vi anser kan bidra till missförstånd angående elevernas kunskaper. Eleverna har kanske en förståelse, men kan inte förmedla den eftersom de har en brist i språket.

• Finns det brister i elevernas begreppsuppfattning, i så fall vilka?

Vi anser att eleverna i undersökningen brister i sin förståelse för begreppet area. De kan beräkna en area av en regelbunden figur men kan inte med ord beskriva vad en area är. De vet att man beräknar arean på en triangel på ett annorlunda sätt, jämfört med rektanglar, men de kan inte ger någon förklaring till varför. En del elever har svårt att uppfatta olikheten mellan begreppen area och omkrets och vissa har svårt att skilja enheterna för sträcka, area och volym åt. Ingen av eleverna i undersökningen kan ge en god förklaring som påvisar förståelse för tvåans betydelse i areaenheten. Eleverna visar enligt oss inga större brister i att uppskatta längd och bredd vid beräkning av en area på ett rektangulärt föremål. De har även förmågan att se att oregelbundna figurer har en area och att en kvadratmeter kan se ut på olika sätt. Eleverna brister däremot ofta i sin förklaring till varför det är så och det skulle kunna bero antingen på brist i språk eller förståelse.

22

• Hur kopplar eleverna begreppet area till sin egen vardag?

Eleverna kopplar begreppet till sin egen vardag och menar att de har nytta av sina kunskaper om area då de ska t.ex. måla om, tapetsera, lägga golv, möbler och mäta fotbollsplaner. Vi tror att en del av eleverna eventuellt har bildat sig denna uppfattning utifrån matematikbokens uppgifter, som ofta handlar om just dessa moment.

6.5 Förslag till vidare forskning

Vi anser att resultatet i vår undersökning påvisar att man fokuserar för mycket på beräkning av area istället för att prioritera förståelsen för begreppet. Vi tror att laborativ undervisning kan leda till ökad förståelse eftersom eleverna får möjlighet till att prova, känna och komma fram till egna slutsatser. Denna aktivitet kan vara en bidragande faktor till att stimulera eleverna intresse, samt ett sätt att verklighetsanknyta undervisningen. I ett tidigt stadium i undervisningen bör man inte lägga så stor fokus på formler för beräkning av area, utan istället lägga vikten vid att eleverna bygger upp en förståelse.

Under arbetets gång har vi kommit fram till några förslag till vidare forskning inom ämnet geometri och area. Ett förslag är att man kan undersöka om det finns någon undervisningsmetod som gynnar elevens förståelse för begreppet area. Kan laborativt material, diskussionsuppgifter och verklighetsanknuten undervisning främja eleverna i sin matematiska utveckling? Ett annat förslag till forskning är att undersöka hur mycket matematikboken påverkar elevernas uppfattning om var, i sin vardag, de kan ha användning för sina kunskaper om area. Ett tredje förslag är att undersöka varför eleverna blandar ihop begreppen area och omkrets.

7 Källförteckning

Anderberg, B. (1986). Matematikmetodik på högstadiet. Stockholm: Bengt Anderberg Läromedel.

Anderberg, B. (1992). Matematikmetodik i grundskolan. Stockholm: Bengt Anderberg Läromedel.

Berggren, P. & Lindroth, M. (2004). Positiv matematik – Lustfyllt lärande för alla. Solna: Ekelunds Förlag AB.

Carlsson, S, Hake, K-B & Öberg, B. (2002) Matte Direkt år 8. Stockholm: Bonnier Utbildning AB.

Emanuelsson, G, Wallby, K, Johansson, B. & Ryding, R. (2001). Rumsuppfattning och geometri. Nämnaren TEMA: Matematik - ett kommunikationsämne, sid. 163-178. Göteborg: Göteborgs universitet.

Helenius, O. & Sterner, G. (2005). Hur många ryms i klassrummet? Nämnaren - Tidskrift

för matematikundervisning. Nr 4, 2005, sid. 30-31.

Johansson, B. & Svedner, PO. (2001). Examensarbetet i lärarutbildningen. Uppsala: Kunskapsföretaget.

Kronqvist, K-Å. & Malmer, G. (1993). Räkna med barn. Solna: Ekelunds Förlag AB. Löwing, M. & Kilborn, W. (2002). Baskunskaper i matematik – för skola, hem och

samhälle. Lund: Studentlitteratur.

24

Malmer, G. (1991). Språkets roll i matematikinlärning. I G. Emanuelsson, B. Johansson & R. Ryding (Red). Tal och räkning 1. Lund: Studentlitteratur.

Nationalencyklopedin (2005). Nationalencyklopedins Internettjänst. Hämtat från

http://www.ne.se. Publicerat 2005. Hämtat 051115.

Patel, R. & Davidson, B. (2003). Forskningsmetodikens grunder. Lund: Studentlitteratur. Skemp, R. (1976). Relational and Instrumental Understanding. Mathematics Teaching, Bulletin of the Association of Teachers of Mathematics, 77, 20-26.

Skolverket (1994). Läroplaner för det obligatoriska skolväsendet, förskoleklassen och

fritidshemmet. Stockholm: Utbildningsdepartementet.

Skolverket (2000). Grundskolans kursplaner och betygskriterier. Stockholm: Skolverket. Trygg, L, Ryding, R, Emanuelsson, G, Mouwitz, L, Wallby, A. & Wallby, K. (2002). UT – matematik. Nämnaren TEMA: Uppslagsboken, sid. 52-53. Göteborg: Göteborgs universitet.

Ulin, B. (1998). Klassisk geometri – motiv & mening. Solna: Ekelunds Förlag AB. Unenge, J. (1988). Matematikdidaktik för grundskolan. Lund: Studentlitteratur.

Unenge, J, Sandahl, A. & Wyndhamn, J. (1994). Lära matematik. Lund: Studentlitteratur. Utbildningsdepartementet (1987). Matematik i skolan – Översyn av undervisningen i

matematik inom skolväsendet. Stockholm: Utbildningsdepartementet.

Öberg, U. (1998). Elevers uppfattning av area. (Red.) Gran, B. Matematik på elevens

Bilaga A - Introduktionsbrev

Hej föräldrar! 051006

Vi heter Maria Lundkvist och Sandra Svensson och läser sista terminen på Lärarhögskolan i Malmö. Vi har matematik som huvudämne och under höstterminen ska vi skriva vårt examensarbete. Syftet med uppsatsen är att undersöka elevers förståelse för begreppet area.

Vi ska genomföra undersökningen med hjälp av elevintervjuer och undrar om du/ni ger oss tillåtelse att intervjua ditt/ert barn? I uppsatsen kommer alla som intervjuas att

vara anonyma, intervjun tar ca 15 minuter, resultatet har ingen påverkan på betyget och intervjun genomförs under lektionstid.

Vi vore väldigt tacksamma om ni ville ställa upp! Fyll i lappen nedan och lämna den till

din matematiklärare senast fredagen den 14 oktober.

Mvh Maria och Sandra

... Elevens namn: ___________________________ Klass: __________

JA, mitt barn vill/får intervjuas

Bilaga B - Intervjufrågor

• Vad är en area?

• Hur beräknar man area? Finns det olika sätt?

• Hur stor är en kvadratmeter? Kan den se ut på olika sätt?

• Hur skulle du kunna ta reda på hur många kvadratmeter golvet i detta rum är?

• En areas enhet kan anges i t. ex cm2, vad betyder tvåan? Kan du fler enheter för area?

• Har allting en area? Förklara hur du tänker.

• Välj något i detta rum och uppskatta dess area.

• Beskriv en situation, utanför skolan, där du kan ha nytta av dina kunskaper om area.