Fakulteten för lärande och samhälle
Vidareutbildning av lärare
Examensarbete i fördjupningsämnet Matematik
15 högskolepoäng, grundnivå
Matematisk problemlösning -
förmågor och strategier
Mathematical problem solving - abilities and strategies
Elma Dulbic
Examen, poäng: Lärarexamen,15 hp Examinator: Peter Bengtsson Slutseminarium: 2020-01-13 Handledare: Per-Eskil Persson
Förord
Tack till alla lärare som har ställt upp för intervju och gjort det möjligt att fullfölja undersökningen och detta examensarbetet. Ett tack även till handledaren som har funnits där som ett stöd till alla frågor som kom upp under tiden uppsatsen skrevs. Alla tips och råd har varit väldigt givande.
Sammanfattning
Syftet med arbetet är att besvara frågan om hur lärarna arbetar i undervisningen med att får eleverna intresserade av matematisk problemlösning, för att bryta trenden om att se på problemlösning som något som är svårt. Vilka metoder, strategier och anpassningar behöver lärarna fokusera på och arbetar med för att få med alla elever. Finns det någon relation enligt lärarna mellan elevens inställning till problemlösning i matematik och deras förmåga att kunna lösa sådan problemlösningsuppgifter. Vilka flera förmågor utöver de matematiska använder eleverna och lär sig vid arbetet med problemlösning? Förmågorna tillsammans med strategier och metoder är nyckeln till att eleven lär sig och utvecklas i hur matematiska problem löses.
Undersökningen gjordes med kvalitativa intervjuer på fem lärare som undervisar matematik för elever från årskurs 7-9. Undersökningen visar att inställningen till matematiska problemlösningar beror delvis på elevens inställning till matematik. Detta kan påverkar vidare elevens förmåga hur den presterar i dessa uppgifter. Alla fem lärare följer läroplanens riktlinjer men resultatet av lärarnas svar och syn på metoder,
strategier och anpassningar skiljer sig lite.
Innehållsförteckning
Förord 2
Sammanfattning 3
Innehållsförteckning 5
1. Inledning 7
2. Syfte och frågeställningar 8
3. Teoretiska perspektiv 9
3.1 Läroplan 9
3.2 Problemlösningens definition 10
3.3 Problemlösning anpassat till varje elev 10
4. Tidigare forskning 12
4.1 Forskningen skriver 12
4.2 Lektionsupplägget 12
4.2.1 Förhållningssätt, färdigheter och kunskap 13
4.2.2 Problemlösningsstrategier 13 4.2.3 Feedback 14 4.3 Tankesätt 15 4.4 Förmågor 15 5. Metod 17 5.1 Studie 17 5.2 Urval 18
5.3 Undersökningen och dataanalys 18
5.4 Tillförlitligheten och validitet 19
5.5 Etiska riktlinjer 20
6. Resultat och analys 22
6.1 Problemlösning 22
6.1.1 Problemlösningens definition för lärarna 22
6.1.2 Metoder och strategier i undervisningen 22
6.1.3 Uppgifter med lösningar 24
6.1.4 Anpassningar 25
6.2 Elevernas inställning och förmågor 25
6.2.1 Elevernas inställning 25
6.2.2. Förmågor under problemlösning 26
6.4 Sammanfattning 28
7. Diskussion och slutsats 30
7.1 Kvalitativa intervjuer 30
7.2 Följa läroplan 31
7.3 Metoder, strategier och anpassningar 31
7.4 Tankesätt, lärprocesser och förmågor 33
7.5 Slutsats 34
7.6 Vidare forskning 35
8. Referenser 37
Bilaga 1 39
1. Inledning
Grundskolans uppdrag och utbildningens syfte är bland annat att förmedla kunskaper, utveckla färdigheter och förmågor, men även att träna eleverna att tillämpa dessa i praktiken (Skolverket, 2011). Elever skall se kopplingen till skolans värdegrund och uppdrag genom utveckling av förmågor vid till exempel matematisk problemlösning. Förmågor som inte står direkt skrivna i kursplanen för matematik är samspelet och kommunikationen med andra elever och lärare som har till syfte att hjälpa eleverna att t.ex. utveckla förmågan att samarbeta. Ett stort och betydelsefullt område inom
matematik är just problemlösning där eleverna utvecklar många förmågor. Att utveckla problemlösning gör varje elev individuellt beroende på sina kunskaper och uppfattningar (Ärlebäck Bergman, 2013). I denna utveckling har läraren stor roll vid handledning genom användning av olika metoder, strategier och anpassningar för varje enskild elev. Anpassningarna är viktiga eftersom varje elev har olika intressen och
inlärningsförmågor som läraren behöver ta hänsyn till (Hattie, 2012). Samtidigt är inlärningsstrategier viktiga för elevens utveckling och för att föra dialogiska tal med läraren och andra elever. Eleverna befinner sig på olika nivåer i förståelse av ytligt och djupt tänkande (Hattie, 2012).
Idag sammankopplas ofta begreppet matematik med ordet svårt och ofta får lärare höra “jag kan inte det här”, “jag har alltid tyckt matematik är svårt” när problemlösning tas upp under lektionen. Ser eleverna att olika förmågor utvecklas vid arbetet av
problemlösning som t.ex. planering, reflektion, samarbete och självkännedom? Vilken inställning en elev har till matematisk problemlösning kan bero på hur eleven ser på sitt eget lärande. Carol Dweck pratar om growth mindset och static mindset (Dweck, 2006). Detta kan påverka hur eleven går vidare i utvecklingen och inlärningen. Growth mindset har visat sig ha en positiv inverkan på både individens mående och inlärning (Dweck, 2006).Detta är ett tankesätt där eleven tror på att “övar jag på något så kommer jag också bli bra på det”. I skolans värde behöver det pratas mer om hur vi lär ut och mindre om hur vi undervisar (Hattie, 2012).
2. Syfte och frågeställningar
Syftet med studien är att undersöka hur lärare arbetar i sin undervisning med olika färdigheter vid lösning av matematiska problem i årskurs 7-9. Vilka metoder, strategier och anpassningar läraren använder under lektionen. Undersökningen skall också besvara frågan om vilken uppfattning läraren har om elevernas syn och inställning till
problemlösning samt vilka förmågor, utöver matematiska förmågor, som utvecklas vid arbetet med problemlösning.
Mina frågeställningar är:
● Vilka metoder/strategier använder sig lärarna av i undervisningen när eleverna arbete med problemlösning?
● Vad anser lärarna krävs i undervisningen för att problemlösning skall bli anpassat till varje elev?
● Hur ser läraren på elevens inställning till problemlösning och utveckling av olika förmågor vid arbetet med problemlösning?
3. Teoretiska perspektiv
I detta kapitlet presenteras delar från läroplanen som handlar om problemlösning. Problemlösningens definition enligt Barton (2018) och problemlösningsstrategier enligt Polya (2003) är också beskrivna här.
3.1 Läroplan
Enligt det centrala innehållet för årskurs 7-9 som står i Lgr 11 ska läraren utgå från följande delar vid arbetet med problemlösning (Skolverket, 2011, s.59) :
Problemlösning
● Strategier för problemlösning i vardagliga situationer och inom olika ämnesområden samt värdering av valda strategier och metoder.
● Matematisk formulering av frågeställningar utifrån vardagliga situationer och olika ämnesområden.
● Enkla matematiska modeller och hur de kan användas i olika situationer. ● Hur algoritmer kan skapas, testas och förbättras vid programmering för
matematisk problemlösning.
Genom undervisningen i ämnet matematik ska eleverna sammanfattningsvis ges förutsättningar att utveckla sin förmåga att (Skolverket, 2011, s.55):
● formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier och metoder,
● använda och analysera matematiska begrepp och samband mellan begrepp, ● välja och använda lämpliga matematiska metoder för att göra beräkningar och
lösa rutinuppgifter,
● föra och följa matematiska resonemang, och
● använda matematikens uttrycksformer för att samtala om, argumentera och redogöra för frågeställningar, beräkningar och slutsatser.
3.2 Problemlösningens definition
En klar tolkning vad problem och problemlösning är finns inte tydligt skrivet i litteratur böcker men det som är tydligt är att det handlar om problem i matematik som ska lösas (Ärlebäck Bergman, 2013). Problemlösnings betydelse i forskningsvärlden och ordet problem kan syfta på olika saker. Det presenteras två motsatta definitioner av ordet matematiskt problem (Schoenfeld i Barton, 2018, s. 255):
Definition 1: “Inom matematiken är ett problem vad som helst som ska utföras eller som kräver att något utförs.”
Definition 2: “En fråga som är förbryllande eller svår.”
Bartons uppfattning av vad de flesta lärarna anser som problemlösningsfrågor syftar på att eleverna kan svara på frågor där de behöver resonera, tolka, kommunicera och lösa olika typer av problem (Barton, 2018). Typen av frågor är inte rutinmässiga där bara metoder och räknesätt testas och eleverna upplever oftast dem som svåra. För att förstå och kunna lösa en problemlösningsuppgift behöver eleverna lära sig färdigheter
(Barton, 2018). En slags planering av upplägget hur eleven går stegvis till vägar behöver utvecklas och bli en färdighet för eleven. De behöver lära sig under lektionen hur de ska ta itu olika problemlösningsuppgifter genom att tolka och resonera.
3.3 Problemlösning anpassat till varje elev
I George Polya (1887-1985) översatta bok Problemlösning: En handbok i rationellt
tänkande (1970) beskriver matematikern ett problemlösningsschema, hur problem inom
matematik borde lösas och läggas upp. Alltså hur metoden och strategin vid lösning av dessa uppgifter ser ut. De olika steg/faser som Polya beskriver i sitt schema är:
1. Att förstå problemet 2. Att göra upp ett plan 3. Att genomföra planen 4. Att se tillbaka
När eleven arbetar med den första punkten ska eleven ställa sig frågor som t.ex. Vad är
(Polya, 2003). Den första delen och punkten syftar att eleven får en helbild av problemet och förstår grunden. Vidare arbetar eleven med nästa punkt genom att göra upp en plan och se över om det finns samband mellan problemet och en tidigare uppgift eller område som eleven har stött på. Eleven funderar om tidigare uppgifter kan användas och tillämpas samt om problemet eventuellt kan omformuleras så att eleven kopplar samman kända satser och obekanta i uppgiften. Det är även viktigt att eleven inser att alla delar, villkor, i uppgiften används och har ett syfte i problemet. Används alla givna uppgifter och begrepp, vilken del är möjlig att lösa först, kan problemet ritas upp, kan en generella metoder som ekvation användas är exempel på frågeställningar som eleven kan använda.
I den tredje punkten behöver eleven se över att planen och frågor den har ställt går att genomföra och att argument för varför problemet är korrekt kan bevisas. I denna punkt är det bra att eleven har en egen plan som den kan analysera och då minimeras risken att eleven glömmer något steg på vägen (Polya, 2003). Den sista punkten syftar på att eleven ska reflektera över om resultatet den har fått är rimligt i förhållande till
problemet. På detta sätt utvärderar eleven om de översta punkterna har varit till hjälp, vilket i sin tur även leder till att eleven utvecklas i förmågan att dra slutsaser och resonemang över saker och matematiska problem (Skolverket, 2011).
I början när eleven ska lösa problem i matematik vet inte eleven direkt vilka strategier och frågor den behöver ställa. Dessa metoder och strategier som eleven utvecklar vid problemlösning leder vidare till att eleven blir medveten om sin egen inlärningsprocess och självreglering (Hattie, 2012). Lärarens roll är att undervisa eleven om de olika inlärningsstrategier för att t.ex. kunna angripa och lösa en problemlösningsuppgift i matematik. Läraren ger eleven ett utbud av färdigheter som eleven själv övar vidare på för att känna sig mer självsäkra (Hattie, 2012). .
4. Tidigare forskning
I detta kapitlet beskrivs och förklaras olika teoretiska modeller, inlärningsmodeller och tankesättet ur olika forskningsperspektiv.
4.1 Forskningen skriver
Att kunna problemlösning är en av de viktigaste kompetenser eleverna utvecklar under grundskolan och i matematikundervisningen. För att detta ska utvecklas förutses det att eleven kan läsa problemet, dela upp problemet och använda informationen och
strategier i uppgiften. En svårighet som tidigare studier visat är elevens läsning och förståelse av problemlösningsuppgifter (Barake, El-Rouadi & Musharrafieh, 2015). Eleverna har inte förstått problemet och kan inte resonera kring det (Barake, El-Rouadi & Musharrafieh, 2015). De saknar tydliga metoder och strategier. Att kunna lösa ett matematiskt problem utvecklar eleverna sitt tänkande och nyfikenhet vid okända problem (Barake, El-Rouadi & Musharrafieh, 2015). Även om matematiken innehåller många regler behöver eleven uppmuntras och motiveras att se utanför dessa regler, nyttan med matematiken (Schoenfeld, 2016). Denna förändring skulle innebära en förändring både i läroplanen och sättet att lära ut (Schoenfeld, 2016). Fokus blir inte på att memorera begrepp och metoder t.ex. utan att hitta olika lösningar, mönster och öva på att prata och formulera sig. Först efter dessa ändringar kommer eleverna kunna se matematiken ur andra synvinklar. Eleverna kommer då inse att matematik är en vetenskap med mönster och inte bara siffror (Schoenfeld, 2016). Det kommer bli tydligare att matematik finns överallt och att man använder det mycket i praktiken och det verkliga livet t.ex. vid bakning i recept, vid användning av en karta mm. Ur detta perspektiv skulle eleverna kunna vara mer flexibla i tänket och kunna hantera nya problem och situationer enklare.
4.2 Lektionsupplägget
Lektionerna ska läggas upp så att läraren allt mer kommer bort ifrån att stå framför tavlan och bort från monologiskt tal (Hattie, 2012). Denna metod utvecklas under
arbetet med problemlösning då lektionerna planeras av läraren utifrån uppgifterna, gruppen och tiden det kommer ta. Läraren bestämmer också om uppgiften görs i grupp eller individuellt. Syftet med undervisningen och tydliga mål samt starten av lektionen är viktig (Hattie, 2012).
4.2.1 Förhållningssätt, färdigheter och kunskap
James Nottingham hänvisar mycket till FFK-modellen som står för förhållningssätt, färdigheter och kunskap (Nottingham, 2013). Detta är en modell som kan användas vid planering av lektioner, elevens individuella mål och undersökning av elevens inlärningsprocess. Eleverna behöver bli medvetna om sitt lärande genom att utveckla dessa förmågor och inse att lärande är en process inte ett resultat (Nottingham, 2013). Nottingham menar att lärarna i undervisningen behöver lära eleverna olika strategier för att hjälpa eleven utveckla en viss färdighet. En speciell strategi som nämns och beskrivs är slutledningskvadraten (Nottingham, 2013). Denna strategi har till syfte att hjälpa eleven dela upp ett problem genom att få mer strukturerade tankar och utveckla färdigheter som fokusera på frågan, vad vet vi, vad kan vi avgränsa oss till samt vilka frågor blir relevanta att ställa.
De tre områden i FFK-modellen som eleverna behöver utvecklas inom syftar på att elevens inställning, förmågor att genomföra olika processer och kunna ämneskunskaper kring ett område (Nottingham, 2010). Detta livslånga lärandet som Nottingham skriver om syftar till att eleverna behöver utveckla sina tankefärdigheter genom att motivera sina svar, ställa frågor, diskutera med varandra, reflektera över frågan och utmana sig själva genom att rätta sig efter problemet den stöter på (Nottingham, 2013). Det finns inte en tydlig väg direkt i början hur problemet ska lösas utan det beror på kunskaper och förmågor för den som löser (Ärlebäck Bergman, 2013).
4.2.2 Problemlösningsstrategier
Strategierna och de fyra lösningssteg som Polyas skriver om i problemlösning och som beskrivs i kapitel 3.3 håller inte Barton riktigt med om (Barton, 2018). Barton menar att han upplever att många elever har svårt att genomföra dessa steg utan att få hjälp.
Tanken med dessa strategier som Polya beskriver ska hjälpa eleverna att själva kunna lösa olika svårighetsgrader av problemlösningsuppgifter. Vidare menar Barton att om en elev saknar förkunskaper så är det svårt och meningslöst att lära eleven
problemlösningsstrategier (Barton, 2018). Eleven som inte ser uppgiftens djupstruktur dvs kan inte identifiera vilka kunskaper, metoder och räknemetoder som skall användas hjälper inte problemlösningsstrategier något. Kunskapen måste komma först då
inlärning av baskunskaper samtidigt som eleven ska utveckla svåra
problemlösningsstrategier påverkar elevernas arbetsminne och en kognitiv
överbelastning sker (Barton, 2018). När Barton pratar om kognitiv överbelastning syftar han på kognitiv belastningsteori. Teorin syftar på att läraren behöver lägga upp
undervisningen på ett effektivt sätt så att inte överbelastningen sker. Om en överbelastning i arbetsminnet sker är risken att eleven inte förstår lektionen och uppfattar informationen samt att informationen inte lagras i långtidsminnet och ingen inlärning sker då (Barton, 2018). Det kan sluta med att eleven går från lektionen och har inte lärt sig något. Detta ser Barton som ett bekymmer och något en lärare behöver reflektera över.
Som studierna visar enligt John Hattie (2012) lär sig eleverna mycket när de blir sina och varandras egna lärare. Metakognitionen som självreglering har en positiv inverkan på elevens lärande (Hattie, 2012). Metakognition kan också tolkas och förklaras som “tänker på att tänka” (Barton, 2018). Samsynen om detta viktiga begrepp i elevernas lärande har Hattie och Barton. Eleverna behöver även bli medvetna om det.
4.2.3 Feedback
Feedback är också en viktig del vid elevens inlärning. Den feedbacken eleven får från läraren ska besvara frågorna “Vart är jag påväg?”, “Hur kommer jag dit?” och “Vad är nästa steg?” (Hattie, 2012). Eleverna ska alltså själva reflektera över responsen som läraren ger dem samt använda detta vid vidare utveckling. Elevens förhållningssätt till lärande är viktig eftersom eleverna får större självförtroende då (Hattie, 2012).
Återkopplingen från lärare blir givande för eleven då läraren ber eleven återberätta vad eleven gör och varför den gör så för att se om eleven har förståelse (Hattie, 2012).
4.3 Tankesätt
Dweck redogör och uppmärksammar att det finns två olika slags personliga mål dvs. prestationsmål och lärandemål (Dweck, 2006). Dessa kallar Dweck för statisk tänkesätt och dynamisk tänkesätt och menar att det finns dessa två typer av lärare. En lärare med statiskt tankesätt ser ofta sig själva som färdiga människor och där förmedla faktakunskaper är det som dominerar. Den dynamiska läraren har fokus på elevernas lärprocesser och där undervisningen handlar om att lära sig om människor, om sig själv och om livet (Dweck, 2006). Beroende på elevernas tankesätt påverkas elevens resultat i processen att lära. Med andra ord påverkar eleven sin utveckling i inlärningsprocessen beroende på uppfattningen läraren och i sin tur eleven har om saker och ting. En elev med statiskt mindset har en långsammare progression och projicerar ofta över sina egna misslyckanden på andra (Dweck, 2006). Ett dynamiskt tankesätt leder till att eleven fortsätter att försöka och tar sig också tid till att lära sig nya saker genom ansträngning (Dweck, 2006).
Dweck pratar också om elevernas självkänsla och att det finns pedagoger som sänker kraven i tron om att stärka elevernas självkänsla och att det i sin tur ska höja deras prestationer. Detta leder endast till att eleverna inte får den utbildning de är berättigade till. En lärare med dynamiskt tankesätt stöttar eleverna genom att ge dem verktyg som hjälper dem att komma över svårigheter (Dweck, 2006).
Citat från James Nottingham ( 2010, s.62)
“Det är inte det att jag är smart, det är bara det att jag håller på med problemen längre.” (Albert Einstein, 1879-1955)
4.4 Förmågor
Förmågornas betydelse i dagens kursplan i matematik är stor då detta används som ett underlag vid bedömning av nationella prov i årskurs 9 (Karlsson, 2015). Betydelsen av förmågor varierar och kan tolkas på olika sätt. En tolkning av definitionen kan vara att byta ut ordet bildning mot förmåga och då blir definitionen att “en förmåga är det som
också om elevernas livslånga lärande och elevens utveckling i sitt tänkande
(Nottingham, 2013). En sån här definition och syn på förmågan kan tydliggöra det som är kvar och lever vidare efter många år (Karlsson, 2015). De oskrivna förmågor som inte är så tydligt skrivna i läroplanen lever vidare. Det innebär inte bara de matematiska förmågor som begrepp, metod, kommunikation, redovisning och resonemang. Med de oskrivna förmågor menas t.ex. planering, strategi, kreativitet, samarbete och
självförtroende. Självförtroendet hjälper elever att engagera sig i sitt inlärningsprocess där olika strategier och metoder testas så att känslan av att eleven äger sitt lärande uppnås (Hattie, 2012).
5. Metod
I detta kapitlet beskrivs vilken metod som har valts att användas samt förklaring till varför just denna metoden har valts för att frågeställningar skall kunna besvaras. Den första delen beskriver den valda metoden och därefter urvalet samt hur undersökningen gick till.
5.1 Studie
Valet att genomföra denna undersökningen har varit via kvalitativa intervjuer. Detta innebär att lärarens upplevelse, synsätt och ställning i matematikundervisningen på problemlösningar, dess metod och genomförande har dokumenterats i ord. Alltså har en verbal analysmetod och tolkning av textmaterialet gjorts (Patel & Davidson, 2011). Syftet och undersökningsproblem är formulerat på så sätt att det handlar om lärarens uppfattning och upplevelse i vardagen, vilket gör att denna kvalitativa metoden är mer passande för denna undersökningen än den kvantitativa (Patel & Davidson, 2011). Kvantitativa metodens mening är mer en mätning av datainsamlingen och en statisk analys vilket är inte lämpligt för denna undersökning.
Metoden genomfördes via en semistrukturerad intervju med varje lärare, en i taget, där intervjufrågorna förbereddes i förväg (bilaga 1). Detta innebär att frågorna som ställdes var öppna men begränsade inom temat problemlösning i matematik (Patel & Davidson, 2011). Lärarna kunde fortfarande besvara frågorna fritt och berätta om sin uppfattning om problemlösning. Intervjun förbereddes genom att syftet och frågeställningarna berättades och förklarades muntligt för de tillfrågade lärarna och tiden för intervjun bokades tillsammans med lärarna. Även skolans rektor informeras om syftet och samtalen som skulle äga rum innan lärarna deltog i undersökningen. Innan samtalet skapades intervjufrågor (bilaga 1). Vid sidan om förbereds eventuella följdfrågor som kunde ställas för att förtydliga för lärare, så att de utvecklar sina svaren mer ingående.
5.2 Urval
De fem lärare som tillfrågades och intervjuades arbetar inom Helsingborgs kommun. Lärarna har under sitt arbetsliv undervisat elever i årskurs 7-9 i minst två år. Lärarna har olika akademiska bakgrunder, arbetat med olika årskurser och vissa har undervisat även i flera ämnen än matematik. Bland utvalda lärare har faktorer som ålder, kön och
utbildningsbakgrund inte tagits med. Den viktigaste faktorn i denna undersökning är att alla lärare jobbar efter den aktuella läroplanen i matematik och att alla lärare har
undervisat problemlösning samt har erfarenhet av eleverna inom dessa årskurser 7-9 i ämnet matematik.
5.3 Undersökningen och dataanalys
Tillsammans med varje lärare bestämdes tiden och platsen där intervjun skulle ske. Alla tider som bokades var efter elevtid och skedde på lärarens arbetsplats. Innan intervjun bokades informerades lärarna om den eventuella tiden som intervjun skulle ta. Tiden som bokades till varje intervju var från början 45 minuter och alla intervjuer var gjorda inom fem veckor. Två av intervjuer spelades in och de tre resterande antecknades under tiden. Varje lärare tillfrågades om de ville bli inspelade och kunde på så sätt välja detta själv. Därav är det endast två stycken som är inspelade. För de lärare som inte kände sig bekväma med att spelas in antecknades istället svaren ner under tiden de intervjuades. De två intervjuer som spelades in tog mindre än 30 minuter och de andra tre, där svaren antecknades, tog mer än 30 minuter.
För de två lärare som spelades in var transkriberingen av svaren ordagrant under varje ställd fråga. Efter varje intervju sammanställdes svaren i en direkt anslutning medan allt fortfarande var färskt i minnet genom att intervjuerna skrevs ner i skriftspråk. Dessa anteckningar skrevs vidare ut i pappersform. De tre lärare vars intervju antecknades, fick den intervjuade höra svaren upplästa ytterligare en gång för att bekräfta att svaren uppfattats korrekt. Under intervjun kunde skillnaderna och många likheter höras vilket gjorde att det var enkelt att skapa en indelning i huvudet redan då och kategorisera de olika svar efteråt med hjälp av intervjufrågor (bilaga 1). Vid sammanställningen
Tabellen har kategoriserats och sorterats efter vad de olika lärare svarade kortfattat om metod/strategi, anpassningar, inställningen och förmågor vid problemlösning. De utskrivna intervjuerna gjorde det lättare att ta ut delar och fylla i tabellen lärarens uppfattningar under rätt kodnamn. Denna uppdelningen och sorteringen gjorde att tolknings arbetet i analysdelen förenklades.
5.4 Tillförlitligheten och validitet
Alla intervjuade lärare fick höra frågeställningarna samt informerades om intervjuns syfte innan de ställde upp på undersökningen. De fick påverka och bestämma tider och platser där intervjun skulle ske och samma intervjufrågor (bilaga 1) ställdes till alla. På detta sätt upplevs intervjuer stabila och situationen för varje lärare likadan vilket medför en hög tillförlitlighet (Trost, 2010). Vidare kan svaren av lärarna varit annorlunda om frågorna hade ställts vid ett annat tillfälle och om alla intervjun hade spelats in. En ökning av reliabiliteten hade varit om alla intervjuer hade spelats in och ingen
information fallit bort vid transkriberingen. Å andra sidan lästes svaren högt upp för alla lärare som inte spelats in, efter varje besvarad fråga. Människan är inte statisk och frågornas svar kan förändras vid olika tillfälle av processen (Trost, 2010). Även följdfrågor kunde ha haft betydelse eftersom dessa varierade beroende på hur väl utvecklat läraren besvarade varje fråga. Följdfrågorna har även ställts i olika uppgifter för olika lärare vilket även kan ha en betydelse hur väl lärarna har uppfattat
huvudfrågan.
Validitet och tillförlitlighet som också kallas för reliabilitet står nära varandra och hänsyn till båda delar måste tas (Patel & Davidson, 2011). Med hög validitet vet man att det som undersöks är det som efterfrågas i syftet och med att sättet vi gör det på ger hög tillförlitlighet då metoden är korrekt och sann. Intervjuerna som genomfördes varierade i metoden hur det genomfördes. Visa spelades in där talspråk kunde tolkas och de andra antecknades ner och då skulle skriftspråk tolkas. Vid skriftspråket transkribering
försvinner mimik, rörelser, betoningar och kroppsspråk till exempel och vi talspråket kan det bli oavslutade meningar och grammatiska fel (Patel & Davidson, 2011). Detta är något som är viktigt för validiteten och kan påverka svaren.
5.5 Etiska riktlinjer
Under forskningsprocessen och de kvalitativa intervjuer så finns det många
problemområden eller så kallade osäkerhetsområden som kan uppstå och som behöver uppmärksammas i en intervjuundersökning (Kvale & Brinkmann, 2009). Dilemman för dessa områden skall intervjuaren vara beredd på och medveten om, men inte lösa dem. De fyra områden som ingår och tas upp i etiska riktlinjer som ett krav i
undersökningsstudier är informerat samtycke, konfidentialitet, konsekvenser och forskarens roll (Kvale & Brinkmann, 2009).
Informerat samtycke betyder att deltagare i undersökningen ska informeras om syftets upplägg, eventuella risker samt fördelar med undersökningen. Deltagare skall även meddelas att de frivilligt deltar i undersökningen samt kan dra sig ur och avbryta medverkan när som helst (Kvale & Brinkmann, 2009). Med en samtyckesblankett gavs intervjupersonen en förklaring av villkoren. Genom deras undertecknande på
samtyckesblanketten (bilaga 2) gav lärarna tillåtelse till undersökningen och tillstånd till användning av materialet i framtiden. Möjligheten att avbryta och ändra sina besvarade frågor fanns fortfarande kvar (Kvale & Brinkmann, 2009).
Konfidentialitet i forskningsundersökningar syftar på att personuppgifter och data som identifierar den deltagande inte kommer att avslöjas för de oberättigade (Kvale &
Brinkmann, 2009). Alla lärare kommer vara anonyma och inga personuppgifter kommer uppges utan endast arbetslivserfarenheter kring arbete med problemlösning med elever. De två inspelade lärarens intervjuer kommer inte delas med någon. Intervjuerna
kommer att tas bort efter att arbetet är färdigt. För att lärarnas identitet inte ska röjas kommer lärarna att presenteras med olika namn som figur 1 visar. Alla som heter A i tabellen är de lärare som spelades in under intervjun. De som heter B är lärare vars svar antecknades under intervjun.
Lärare A1 A2 B1 B2 B3
Det finns olika konsekvenser som en intervjuare är skyldig att tänka över innan och förbereda sig på (Kvale & Brinkmann, 2009). Ett exempel kan vara på frågorna som ställs och som kan göra att deltagaren kanske avslöjar saker som gör att den sedan ångrar sitt deltagande i studien. Alla intervjuade lärare har fått chansen att lyssna på sina svar eller få höra dem högt upplästa under intervjun och samtidigt fått godkänna
materialet.
Forskarens roll blir att säkerställa för lärarna att svaren och insamlad data endast används till det syfte som intervjuaren blivit informerad om i denna undersökning. Forskaren har också kravet att uppnå en hög vetenskaplig kvalite på det som skrivs och hålla sig till undersökningens resultat och inte lägga in egna värderingar (Kvale & Brinkmann, 2009).
6. Resultat och analys
I detta kapitlet presenteras undersökningens resultat. Frågeställningar ligger till grund i resultatet och ianalysen.
6.1 Problemlösning
En av de första frågorna (bilaga 1) under intervjun som lärarna tillfrågades var kopplat till vad problemlösning i matematik innebar för dem samt hur ofta de arbetade i undervisningen med detta. Vidare ställdes frågan om vilka metodet, strategier och anpassningar lärarna använder i undervisningen av problemlösning. Dessa frågor besvarades på olika sätt.
6.1.1 Problemlösningens definition för lärarna
Fyra av fem lärare (A1, B1, B2 och B3) menar att problemlösning i matematik handlar om ett problem som är formulerad i en textform. Problemet är en större uppgift där olika metoder och räkneoperationer kan förekomma och användas. Lärare A2 menar att lästal förväxlas med problemlösning i matematik och att allt i matematik egentligen är
problemlösning inte bara texttal. Definitionen av ett matematiskt problem skiljer sig på detta sätt bland intervjuade lärare.
Med problemlösningsuppgifter anser fyra av fem lärare (A1, A2, B1 och B2) att de arbetar veckovis. Några anser att eleverna arbetar med detta flera gånger under veckan och andra att det beror på läromedlet och hur ofta det kommer upp. En lärare B3 anser att det är viktigt att eleverna har kunskaper inom området innan de kan arbeta med problemlösning. Därav arbetar inte grupperna med problemlösningsuppgifter varje vecka. Eleverna testas både på tidigare kunskaper och det nya området under arbetet med problemlösning.
6.1.2 Metoder och strategier i undervisningen
Undersökning visar att alla fem intervjuade lärare anser att metoden i undervisningen i arbetet med problemlösning sker både enskilt och i grupp. Vidare har lärarna olika
åsikter när de olika metoder skall användas och hur de arbetar med detta i olika grupper. Lärare A2 menar att elevens inlärning vid problemlösning sker bäst vid diskussion med andra elever och då eleverna kan diskutera sig fram tillsammans till ett svar.
“ För då har dom ett sinne till som dom får jobba med”. “Sen blir det ändå beroende på vilken grupp man har så blir det om man inte styr det så blir det ofta en och en.” “Jag har två sjuor som är jätte olika den ena sjuan sätter igång och diskuterar med en gång den andra sjuan säger inte någonting inte ens när jag sätter dom två och två och säger ni ska prata matte och hjälpas åt…. så det är jätteolika.” (lärare A2)
Två andra lärare (B2 och B3) anser att det är viktigt att eleven individuellt tränar först innan de börjar arbeta i grupp och bygger vidare på varandras insikter. Risken är annars att de faller på andra elever och då behöver de inte tänka och komma fram till svaret själva. Lärare B1 håller med att eleverna måste lära sig göra uppgifter själva men tycker ändå att generellt i gruppen arbetar eleverna bättre och för arbetet framåt än om de sitter enskilt.
“ Inlärningen sker bäst vid början av ett nytt område om eleverna jobbar ensamma. När grunder och metoden sitter, dom har kunskaper, så kan dom gå vidare och
kommunicera med andra. Då blir grupparbetet ett bra sätt att få input, ta reda på hur man går vidare i sitt eget lärande och hur dom anpassar sig själva.”. “ Fördelen med att sitta själv är att du måste ta dig från A till O själv och de insikter du får blir mer djupgående om du kommer till dom”. (lärare B3)
“Vid enskilt arbete testas eleven om den klarar av alla moment själva.”. (lärare B2)
Alla lärare som tillfrågades var eniga om att rita, om det går, är en viktig strategi som de lär ut eleverna. Lärarna anser också att det är viktigt att hjälpa eleverna kunna översätta från text till bild samt tolka uppgiften genom att t.ex. ta fram formeln eller skriva ner det de vet i uppgiften. Vidare nämner tre av fem lärare (B1, B2 och B3) att de lär ut
eleverna att se och hitta generella lösningar. Eleverna som går i åk 7-9 har bättre förståelse vad generella metoder innebär och att olika lösningsstrategier hjälper dem
hitta en generell metod samt att de inte behöver testa sig fram längre. Det finns även elever som behöver strategi att testa sig fram berättar två lärare (A2 och B3).
“ Testa sig fram är en metod och framför allt kanske för dom svaga.”. (lärare A2) “ Vet man inte vad man ska göra då ska de testa sig fram.”. (lärare B3)
6.1.3 Uppgifter med lösningar
Alla lärare är bekanta med metoden där uppgifterna ges tillsammans med exempel på lösningar. Detta har fyra av fem lärare (A1, A2, B2 och B3) arbetat med någon gång i sin undervisning. Det är framför allt gamla nationella prov uppgifters som de flera av lärarna har gett till eleverna för att diskutera och reflektera över lösningarna. Lärare A2 tycker att effekten som detta kan ge eleverna är att de kan se hur de kan redovisa sina lösningar både vid övningar av uppgifter och vid provsituationer. En annan lärare A1 menar att detta gör de mer under lektioner som gruppuppgift än enskilt. Det kan vara efter ett prov som gruppen har skrivit att de efteråt tittar på lösningar som olika elever har gjort och diskuterar vad som är bra med lösningen eller vad som saknas till exempel. De har även diskuterat gamla nationella provets lösningar och eleverna har fått diskutera vilken nivå till exempel olika lösningarna ligger på. Effekten av dessa uppgifter tycker läraren A1 ger eleverna en större förståelse hur de kan göra.
“ Men lite AHA upplevelse att dom tänker liksom JAHA är det så de menar när de säger att jag ska visa min uträkning. Aha är det så man kan göra jag tänkte på ett annat sätt men den här eleven den tänker annorlunda än vad jag har gjort”. (Lärare A1)
En annan lärare B2 som arbetar på samma sätt menar att lösningsförslagen på olika nivåer gör eleverna medvetna om hur bedömningen enligt kunskapskraven ser ut. Eleverna blir mer medvetna om skillnaden mellan E, C och A- nivån samt hur de kan använda generella metoder.
“Det är bra med konkreta exempel för att synliggöra själva lärandet för en djupare förståelse”. (lärare B2)
Den fjärde läraren B3 som jobbar med detta i sin undervisning menar att gruppen får först enskilt lösa en uppgift och sedan jämföra de svaren med de olika lösningsförslag. Effekten blir bättre om eleverna kan använda strategier de har lärt sig först och sedan reflektera över andras lösningsförslag. Då ser eleverna nyttan av strategierna menar läraren B3 som läraren försöker lära ut i undervisningen.
“ Huvudsyftet blir snarare att dom kan koppla tillbaka till hur jag har löst , hur kan jag utvecklas, hur ser en sämre och bättre lösning ut”. (lärare B3)
6.1.4 Anpassningar
Vid arbete med anpassningar under problemlösnings är tre av fem lärare (A2, B1 och B2) tydliga med att de använder tavlan vid starten. Alla lärare är eniga om att eleverna behöver lära sig tolka och dela upp uppgiften samt förstå vad som efterfrågas. Lärare B1 säger “ Jag använder väldigt mycket tavlan och vill att alla elever antecknar också.”.
Tre av fem lärare (A1, B2 och B3) berättar att de arbetar visuellt med
problemlösningsuppgifter om det går. Det kan vara att visa med praktiskt material, göra uppgiften fysisk eller spela upp till att använda färgpennor för att dela upp uppgifterna visuellt. Dessa lärare berättar mer djupgående om olika strategier och anpassningar som krävs i undervisningen för att få med eleverna, jämfört med lärare A2 och B1.
6.2 Elevernas inställning och förmågor
Undersökningen visar att de intervjuade lärarna har en samsyn om elevernas inställning vid problemlösning. Det finns andra faktorer som påverkar inställningen. Samtidigt så utvecklar eleverna andra förmågor vid problemlösning som inte står direkt skrivna i kunskapskraven anser fyra av fem lärare.
6.2.1 Elevernas inställning
Elevernas inställning till matematik varierar enligt de intervjuade lärare. Lärarna anser att det finns både elever som har en positiv inställning och elever som har en mer negativ inställning till problemlösning. Lärare A2 säger att elevens inställning till
matematiken är samma som inställningen till problemlösning i matematik. Gott självförtroende i matematik och eleven blir mer positiv till problemlösning. En annan lärare A1 menar att inställningen beror delvis på matematiken och delvis på elevens självförtroende.
“Ja men det finns ju en variation där bland elever speciellt svaga elever då de känner
att det blir så fort det kommer en text så blir det som en vägg att dom inte vet vad dom ska börja och då känner dom att dom är dåliga. Fast jag tror inte de ser det som en utmaning de ser det som att det är något jag verkligen inte kan och det är som att de ger upp ibland att dom känner att det är för mycket.” (lärare A1)
Fyra av fem lärare (A1, B1, B2 och B3) har samma åsikt om att stämningen bland eleverna är lättare och mer avslappnad när de får samarbeta och diskutera tillsammans med andra elever. Lärare B2 säger “ Dom blir inte lärarbedömda på samma sätt som vid
enskilt arbete. Dom vågar säga mer och tänka högt samt är inte ute efter direkta svar utan vågar tänka mer först. “.
En lärare A2 menar att samarbetet beror på om eleven tycker det är roligt och om eleven är verbal. Pratar inte eleven ser eleven inte samarbetet och diskussionen ur andra perspektiv heller.
6.2.2. Förmågor under problemlösning
Fråga 10 -12 i intervjufrågor (bilaga 1) var kopplad till vad lärarna anser om
utvecklingen av de olika förmågor under problemlösningsuppgifter. Det som framkom där är att fyra av fem lärare (A1, B1, B2 och B3) anser att eleverna utvecklar andra förmågor utöver de som står i kunskapskraven. Lärarna delar olika åsikter vilka
förmågor det är. Det som tas upp är framför allt förmågan strategi, planering, samarbete och kreativitet som inte är så tydliga i kunskapskraven och som utvecklas under
problemlösning. Lärarna delar åsikten om att de glömmer uppmärksamma eleverna vilka förmågor generellt kommer upp under lektionen vare sig det är matematiska förmågor eller de oskrivna.
Det framkom också atttre av fem lärare (A1, A2 och B1) inte är tydliga med att säga högt “Idag arbetar vi med problemlösning”. Alla tre var eniga att det var absolut något de kunde bli bättre på. Det är en fördel att säga högt detta samt nämna vilken förmåga eleverna utvecklar under den tiden menar lärarna. Två av fem lärare (B2 och B3) menar att det finns en skillnad på elevens inställningen om man säger det i slutet eller i början av lektionen. Eleverna uppfattar vissa områden som utmaningar och därför säger de att skillnaden märks om man säger det i början eller slutet av lektionen.
“AHA det var detta vi gjorde och tränade på. Så mer stolthet i slutet känner
dom.”(lärare B3)
“När de har gjort det och jag kan säga nu har du jobbat med problemlösning på högre
nivå då känner dom en lättnad.” (lärare B2)
Fyra av fem lärare (A1, B1, B2 och B3) tror det spelar roll om man istället använder begrepp som samarbete och reflektion istället för problemlösning vid lektions uppstart. De menar att eleverna inte låser sig lika mycket och fokusera på ett annat sätt istället om lektionen skulle introduceras med att säga till eleverna att de skall utveckla förmågan att samarbeta och reflektera istället för att säga att de skall arbetar med problemlösning. Betydelsen av begreppen i elevens ögon är inte samma menar lärarna. Lärare A2 tror att det inte hade varit någon skillnad och att eleverna inte ser någon skillnad med hur man startar lektionen och om begreppet problemlösning kommer upp eller inte.
6.3 Återkopplingens betydelse
De två sista frågor 13-14 (bilaga 1) i intervjun handlade om hur lärarna ser på
återkopplingen som eleverna får på problemlösningsuppgifter. Alla intervjuade lärare är eniga om att feedbacken till eleverna är väldigt viktig för att framför allt hjälpa eleven förstå vad som behöver utvecklas och hur eleven går vidare. Lärarna är också eniga om att kamratåterkopplingen också är viktig men dessa återkopplingar är viktiga på olika sätt. Feedbacken från kamraten kan eleverna ibland lättare förstå medans lärarens feedback ofta kan leda till att man känner misslyckande då man får reda på att man inte når sitt mål.
Tre av lärarna (A1, A2 och B1) menar att om tiden var oändlig så skulle återkopplingen muntligt och enskilt vara bäst. Samtidig tycker lärare B1 att feedbacken sker
kontinuerligt under lektionen men att eleverna inte riktigt är medvetna om detta. Då behövs detta lyftas mer i klassrummet och feedbacken samt strategierna förtydligas på tavlan för alla. Vidare berättar lärare B1 och B3 att de försöker ställa ledande frågor till eleverna ibland och inte bara ge dem ett svar. På så sätt för de tänka efter själva först. Detta är något eleverna har svårt med upplever lärarna.
Skriftlig återkoppling är viktig då bl.a. för att föräldrarna kan se dessa, men detta är inte något eleverna tar åt sig lika mycket. Alla är eniga om att det är vilken nivå de ligger på som eleverna vill veta i de skriftliga återkopplingar.
6.4 Sammanfattning
Avslutningsvis kan det konstateras att lärarna som intervjuades har många liknande tankar och metoder som de använder i klassrummet vid bearbetning med
problemlösningsuppgifter. De svar som skiljer sig kan bero på att lärarna har under sitt arbetsliv undervisat olika årskurser och olika ämnen. En lärare A2 har denna terminen börjat med att undervisa matematik igen efter några års uppehåll med undervisning i NO ämnen. En annan lärare B1 kommer senast från gymnasiet där undervisningen i matematik ligger på en annan nivå jämfört med matematik för årskurs 7-9. Skillnaden i svaren kan märkas bland dessa två lärare om man jämför deras svar med de andra tre lärare (A1, B2 och B3) som har arbetat med elever i åk 7-9 en längre period i sträck under de senaste åren. Lärare B1 skiljer sig mest i svaret kring strategier då läraren pratar mycket om att eleverna ska se generella metoder. Lärare A2 skiljer sig mer i svaret kring vad problemlösning betyder, att allt i matematik är problemlösning och att eleverna utvecklar matematiska förmågor vid problemlösning. Anpassningarna för olika elever vid inlärningsprocessen och flera konkreta lektions situationer med
problemlösningsuppgifter är också något som syns och skiljer sig i intervjuer bland dessa lärare. Tabellen nedan, figur 2, visar en kort sammanfattning av kategorier som är tagna ur frågeställningarna.
Lärare Kategorier
Metoder Strategier Anpassningar Elevens inställning och förmågor som utvecklas A1 - självständigt
arbete först vid nytt område
- arbetar i grupp vid större uppgifter - diskutera med varandra
- rita
- skriv vad du vet - ta fram vad de vill veta i uppgiften -formulera på annat sätt
- praktiskt material - läsa uppgiften för dem & förklara - hjälpa att komma igång
-tydlig start och förklaring av syftet
- svaga elever ser text som en vägg
- elever ger upp snabbt - positiv inställning vid samarbete med andra elever
- utvecklar förmåga att samarbeta A2 - arbeta i team - redovisa tillsammans högt - diskutera de olika lösningar - rita
- testa sig fram - hitta formel som passar in
- genomgång tillsammans på tavlan
- arbeta två och två - prata ihop sig om en lösning
- samma inställning till problemlösning som till matte
- gott självförtroende i matte mer positiva till problemlösningar - alla matematiska förmågor B1 - genomgång - arbetar enskilt - arbetar i grupp - gå runt och hjälpa
- standard uttryck - översätta uttryck till generell metod - rita
- läsa en rad i taget
- använder tavlan - delar upp uppgifter - läser en rad i taget - elever får anteckna - standard uppgifter
- olika syn på problemlösning - mer positiv inställning om annat begrepp än problemlösning tas upp - förmågan strategi B2 - tydlig start - genomgång - läsa igenom uppgifter - träna på nya metoder
individuellt och sen tillsammans - tar fram strategier rita, vilken metod, vad vill jag komma fram till
- papper & penna - rita
- översätta text till bild
- besvara frågan “ Vad är det jag har” - dela upp uppgiften - ta fram en generell metod - vid samarbete utveckla resonemang - tydlig start - genomgång på tavlan kanske - kompensatoriskt stöd läsning/talsyntes - miniräknare - färgpennor - dela upp uppgiften visuellt
- hjälper med metoder & begrepp
- självkänslan är kopplad till prestation
- eleverna oroliga för att göra fel
- elever starkare vid diskussion med andra elever
-de vågar säga mer och tänka högt när de inte är lärare bedömda
- utvecklar många förmågor t.ex. planering, kreativitet B3 - grundläggande kunskaper om området - arbetar i grupp sen - förståelse från ytstruktur till djupstruktur - be dem stryka under
- lätt uppgift i start & svårare i slutet - förklara hur de kan tolkar uppgiften -läsa upp vid behov - hjälpa dem att rita - visa dem igen eller på annat sätt med samma uppgift men andra tal
- generell metod
- tolka uppgiften - rita upp
-skriva ner relevant formel
- testa sig fram då de inte vet exakt -resonera kring rimlighet
-prata med varandra -gör det fysiskt eller spela upp om det går
- beror delvis på inställning till matte och delvis på självförtroendet
- det är själva begreppet de låser sig på
- vid samarbete är eleverna mer avslappnade
- utvecklar kreativitet utöver de matematiska förmågor
7. Diskussion och slutsats
I detta kapitlet diskuteras val av metod och det som har framkommit i undersökningen. Svaren av intervjun kommer diskuteras med det som står i kapitlet teoretisk perspektiv och tidigare forskning samt med frågeställningarna. Även exempel på fortsatt forskning kommer nämnas.
7.1 Kvalitativa intervjuer
Metoden som valdes till denna undersökningen var semistrukturerade intervjuer med fem lärare. Denna metoden upplevdes korrekt för denna studien då samtalen var öppna och ordningen av frågorna kunder variera eftersom följdfrågor kunde ställas om något blev oklart (Patel & Davidson, 2011). Ordningen av frågorna var bestämd från början (bilaga 1) så det blev en hög grad av standardisering (Patel & Davidson, 2011). Syftet var att får en djupare förståelse hur lärarna arbetar med problemlösning samt hur de ser på elevens inställning och utveckling av förmågor i detta arbetet. Av de kvalitativa intervjuer gjordes vidare en analys och tolkning av de nedskrivna svaren (Patel & Davidson, 2011). Om tiden inte hade varit en faktor hade flera lärare kunnats intervjuas för att få mer variation i svaren. På grund av att ett fåtal lärare har tillfrågats kan studien inte generaliseras. Generaliseringen hade heller inte riktigt kunnat göras då frågorna endast ställdes till lärarna inom Helsingborgs kommun samt där lärarna har olika bakgrunder och har arbetat med olika årskurser under sitt arbetsliv.
Valet av semistrukturerade intervjuer underlättade arbetet när en lärare besvarade följdfrågor innan de ställdes eller svarade på nästa fråga omedvetet. Lärarna visste endast vad intervjun handlar om samt vad frågeställningarna var. De kunde inte riktigt förbereda sig eller tänka igenom vad de ska svara vilket upplevs som en bra
tillförlitlighet på svaren. Samtidigt var situationen likadan för samtliga lärare, tiden och platsen planerades och anpassades efter varje enskild lärare vilken också medför en hög tillförlitlighet (Trost, 2010). Det var 14 huvudfrågor under intervjun (bilaga 1) och till dessa ställdes följdfrågor för att få mer konkreta svar, när läraren inte besvarade exakt
det som efterfrågades. Det kan ha upplevts som långa intervjuer från lärarens sida men ingen lärare sa något. Kanske färre frågor kunde ha används.
7.2 Följa läroplan
De lärare som valdes och ställde upp undervisar elever i årskurs 7-9 i matematik samt följer läroplanens riktlinjer och det som gäller för problemlösning. Alla lärare arbetar på sitt sätt med elever när det gäller strategier för problemlösning, formulering, tolkning och metoder vid arbetet med problemlösning (Skolverket, 2011). En lärare A1 berättar även i sin intervju hur eleverna utvecklar olika förmågor som att kunna samarbeta, återberätta för varandra och prata matematik. Problemlösningen ger eleverna också en förståelse vad eleverna gör beräkningar på så de blir ett sammanhang att matematik inte är lösryckt från verkligheten utan att matematik faktiskt är verkligheten. Något som även lyfts fram i läroplanen när det står att det ska vara vardagliga situationer (Skolverket, 2011).
7.3 Metoder, strategier och anpassningar
När lärare B1 går runt och lyssnade på hur eleverna diskuterade tillsammans uppgifterna med varandra fick eleverna en muntlig formativ återkoppling. Eleverna fick reda på om de har reflekterar tillräckligt eller vad de eventuellt behöver utveckla (Jönsson, 2013). Detta är en strategin som fler lärare använde och nämnde under intervjun. De förklarade muntligt vid tavlan ofta och gjorde en uppgift tillsammans med gruppen ibland. Detta ger att eleven får bättre förståelse för begreppen i uppgiften. Vid tillfällen när lärarna cirkulerade runt och vid gemensam genomgång fick lärarna ytterligare en överblick vem som behöver extra stöttning i gruppen och eventuellt flera anpassningar.
Hur problem och problemlösning definieras inom ramen för skolmatematiken hör samman med vilken roll och funktion begreppen tillskrivs i undervisningssammanhang (Ärlebäck Bergman, 2013). I studien utmärkte sig lärare A2 i sin uppfattning om begreppet problemlösning. Lärarens tolkning av problemlösning lutar mer åt Definition
1 och säger att “Inom matematik är ett problem vad som helst som ska utföras eller som kräver att något utförs” (Barton, 2018, s. 255). Lärare A2 menar att allt eleverna gör
inom matematik är problemlösning. De andra fyra lärare (A1, B1, B2 och B3) syfta mer åt Definition 2 “En fråga som är förbryllande eller svår.” när de definierar
problemlösning. Här är en konkret skillnad bland lärarnas uppfattning.
Alla intervjuade lärare jobbar efter FFK- modellen eftersom de undervisar eleverna ämneskunskaper och begrepp, färdigheter som metoder och strategier samt hjälper dem med förhållningssättet till problemlösningen (Nottingham, 2010). Det är inte alltid lätt att ändra en elevs inställning till just matematik eller problemlösning men om läraren försöker hitta olika strategier och anpassningar så underlättar det för eleven lite på vägen trots att det ser der som en utmaning. Lärarna behöver få eleverna att inse att lärandet i problemlösning är en process och inte ett resultat (Nottingham, 2013). Man kan dra slutsats att lärarna använder sig av strategier som t.ex. en slutledningskvadrat när de försöker hjälpa elever att strukturera sina tankar när de löser
problemlösningsuppgifter (Nottingham, 2013).
Alla lärare uttrycker sig och lär ut eleverna med hjälp av en hel del strategier och
problemlösningsschemat som Polya beskriver. De använder inte samma ordning men de är eniga om metoder och strategier som att tolka texten, rita om det går och ta fram eventuell formel. Två lärare (A1 och A2) nämnde svagare elevgrupper och hur arbetet med problemlösning gick i dessa grupper. Det var ingen som nämnde baskunskaper eller överbelastning i arbetsminne och beskrev det som Barton (Barton, 2018). De arbetade med dessa elever som med de andra. Skillnad kunde vara att flera
gemensamma uppgifter på tavlan gjordes och eleverna fick diskutera mer tillsammans när de arbetade med problemlösning för att hjälpas åt. Lärare A1 använder lite mer praktiskt material i undervisningen för att underlätta förståelsen för eleverna. Här har vi ett tydligt utvecklingsområde som alla lärare hade behövt fundera över. Hur kan vi arbeta med problemlösning när eleven har svårigheter. Vilka metoder och strategier skulle kunna fungera här. Antagligen är det olika från elev till elev som för grupp till grupp. Det finns inte en generell väg med metoder och strategier hur man löser alla uppgifter. Detta är en färdighet som beror på kunskaper och förmågor som eleven har (Ärlebäck Bergman, 2013).
7.4 Tankesätt, lärprocesser och förmågor
Det framkommer i undersökningen av alla lärare att de finns elever som uttrycker eller säger att det är svårt med problemlösning samt kan ge upp lätt med detta tankesättet då de inte tror på sig själva. Eleven tänker helt enkelt detta kan jag inte och har svårt att ändra inställningen. Dessa eleverna har då en mer statiskt tankesätt och mer negativ inställning samt kan tycka att det är någon annans fel då de misslyckas (Dweck, 2006). För att läraren skall kunna stötta och anpassa sin undervisning till denna grupp av elever behöver de själva vara mer dynamiska i tänket och fokusera på elevernas lärprocesser. En framgångsrik lärare är den som hittar nya strategier beroende på gruppers behov (Hattie, 2012). Det är både framgång och misslyckande som behöver utvecklas. Detta är också en sak som ligger på läraren att förmedla för eleverna. I denna undersökningen upplevdes att alla intervjuade lärare hade ett dynamisk tankesätt och försöker hitta verktyg för att hjälpa sina elever med deras svårigheter (Dweck, 2006).
Lärarna berättar också att det finns en hel del elever som gillar utmaningar speciellt om problemlösning uppgifterna är verklighets kopplade. Det är viktigt som lärare att uppmuntra och motivera eleverna att se utanför dessa matematiska regler, nyttan med matematiken (Schoenfeld, 2016). Intresset, självförtroendet och arbetsviljan hänger ihop med relevanta problem (Polya, 2003). Eleverna visar då ett mer dynamiskt tankesätt vilket leder att de vill lära sig mer, de är medvetna om tiden det tar och de anstränger sig (Dweck, 2006). Eleverna utvecklar även sitt tänkande genom att visar nyfikenhet och löser dessa problemlösningsuppgifter (Barake, El-Rouadi & Musharrafieh, 2015). Att tror på att öva, öva och öva lite till, ger färdighet är något lärarna behöver prata mycket om i undervisningen (Hattie, 2012).
Förmågorna som eleverna utvecklar vid arbetet med problemlösning visar sig i denna studien vara flera än de matematiska förmågor. Det är en av fem, lärare A2, som inte riktig håller med där. De andra fyra menar att det finns oskrivna förmågor som eleverna utvecklar men alla lärare nämner inte samma förmågor. De förmågor som kom fram under intervjun var planering, kreativitet, strategier, självförtroende och samarbete. Dessa oskrivna förmågor är otydligt skrivna i Lgr11 men det står att eleverna skall ges
möjlighet att utveckla förmågor under arbetet med problemlösning (Skolverket, 2011). Eleverna behöver utveckla sitt tänkande och reflektera över hur de ska lösa uppgifter. De oskrivna förmågorna blir en slags tolkning av läroplanen då det i min undersökning visar att en lärare anser att alla förmågor står i Lgr 11 och fyra andra lärare ser det inte så tydligt. Fokus på dessa förmågor kanske är något som motiverar eleverna mer och ändrar deras inställning till matematik, att de inte ser ämnet som bara memorera begrepp och metod (Schoenfeld, 2016). Vidare hjälper självförtroendet elever att engagera sig i sitt inlärningsprocess så att känslan av att eleven äger sitt lärande uppnås (Hattie, 2012). Även de intervjuade lärarna tar upp och uttrycker att gott självförtroende i matematik påverkar elevens inställning till ämnet. Är det dessa oskrivna förmågor som lever vidare i eleven efter grundskoletiden är då frågan.
7.5 Slutsats
Återkoppling är en viktig del vid arbetet med problemlösning och något samtliga lärare behöver utveckla mer. Lärarna behöver istället vända på saken och ställa frågor till eleverna, när eleverna frågar om hjälp. Lärare B1 och B3 tog upp lite detta under intervjun men behöver utveckla och använda det mer i sin undervisning. Detta blir en slags framåtsyftande återkoppling där läraren inte berätta direkt exakt vad som eleven skall göra (Jönsson, 2013). Då får eleverna lära sig att utveckla sin förmågor att välja rätt metod, analysera de matematiska begrepp och resonera kring uppgiften till exempel (Skolverket, 2011). Eleverna behöver uppmuntras under lektionens gång att reflektera själva genom att ställa till exempel frågor till sig själva som “ Vad ska du ta reda på?”, “Vad är det i uppgiften som du förstår” och “Vad är det du inte förstår? “. Syftet med dessa frågor blir att eleven börja reflektera över sitt lärande och tänka själv genom att bli sina egna lärare (Hattie, 2012). Detta är något som kommer upp under intervjuerna också. Lärarna anser att eleverna behöver utvecklas sitt tänkande för att kunna lösa själva problemlösningsuppgifter i matematik.
Ur erfarenheten och från lärarnas intervjuer kan slutsatsen dras att det räcker att ibland läsa för eleven uppgiften högt för att de skall kunna tänka efter och förstå den bättre. Detta är en bra strategi vilket alla lärare under löpande intervju någon gång har nämnt.
Samtidigt är detta en svårighet som eleverna visar i tidigare studier, att läsa och förstå problemet (Barake, El-Rouadi & Musharrafieh, 2015). Det innebär att eleverna behöver stöttning vid läsning av matematiska problem av sin lärare vilket även denna
undersökningen visar.
För att eleverna skall kunna lösa okända problem i matematik behöver de ta till sig återkopplingen som de tidigare fått för att veta sina styrkor och utvecklingsområde (Jönsson, 2013), (Skolverket, 2011). Det är samma sak med problemlösningsuppgifter i matematik. Den feedbacken som läraren ger måste eleven ta till sig och bli mer vana med att använda de olika frågeställningar när de löser uppgifter som t.ex. “ Vad förstår du så här långt?”, “Vilka strategier/metoder kand du använder här?” och “Vilka
strategier/metoder behöver du utveckla?” På detta sätt skulle eleverna fortsätta träna på sin metakognitiva förmåga (Hattie, 2012). För att detta ska ske måste läraren i
undervisningssalen lära eleverna metoden och hur de går till vägar. Läraren behöver bädda in mer återkopplingen i inlärningsprocessen som en strategi eller en anpassning (Hattie, 2012).
Även läraren får viktig information efter ett prov till exempel. Meningen är att återkopplingen och bedömningen som läraren ger till eleven ska även hjälpa läraren utveckla sin undervisning och se eventuella brister och styrkor. Den formativa tolkningen hjälper läraren ändra sin undervisning och ge eleverna feedback på hur de engagerar och motiverar sig vidare i sitt lärande (Hattie, 2012). Detta är också ett utvecklingsområde för lärarna att se återkopplingen ur denna synvinkeln och börja reflektera mer kring det.
7.6 Vidare forskning
Vid planeringen av denna undersökningen fanns det en önska om att ur elevperspektiv ta reda på om lärarens syn på elevens inställning och utveckling av förmågor
samstämmer. På grund av tidsbrist fick forskningen begränsas och denna
frågeställningen togs inte med. Tanken från början var att göra en enkätundersökning på årskurs 9 elever för att få med deras upplevelse. I enkätens skulle frågor ställs om
problemlösningsmetoder som läraren använder, elevens inställning till matematiska problemlösning samt vad eleven tror utvecklas vid arbetet med problemlösning, vilka förmågor. Utgångspunkten skulle vara från intervjufrågor (bilaga 1) som ställdes till lärarna. En jämförelse här hade varit väldigt intressant och lärorik.
8. Referenser
Barton, C. (2018). Hjärnan i matematikundervisningen. Stockholm: Natur och Kultur.
Barake, F., El-Rouadi, N. & Musharrafieh, J. (2015). Problem solving at the middle
School Level: A comparison of different strategies. Journal of Education and Learning
Vol. 4(3). 62-70. Tillgänglig via:
http://www.ccsenet.org/journal/index.php/jel/article/view/48447
Dweck, C.(2006). Mindset. Du blir vad du tänker. Stockholm: Natur & Kultur.
Hattie, J. (2012). Synligt lärande för lärare. Stockholm: Natur & Kultur.
Jönsson, A. (2013). Lärande bedömning (3 uppl.). Malmö: Gleerups.
Karlsson, N. (2015). Vet inte, har inte en aning, kommer inte ihåg. Nämnaren nr 3. 49-52. Tillgänglig via http://ncm.gu.se/pdf/namnaren/4952_15_3.pdf
Kvale, S. & Brinkmann, S. (2009) Den kvalitativa forskningsintervjun (2 uppl.). Lund: Studentlitteratur
Nottingham, J. (2010). Utmanande undervisning i klassrummet.
Återkoppling-Ansträngning-Utmaning-Reflektion-Självkänsla. Stockholm: Natur och
Kultur
Nottingham, J. (2013). Uppmuntra lärande - Så hjälper du barn att lyckas i skolan. Stockholm: Natur och Kultur
Patel, R. & Davidson, B. (2011) Forskningsmetodikens grunder. Att planera, genomföra
och rapportera en undersökning (4 uppl.). Lund: Studentlitteratur.
Polya, G. (2003). Problemlösning - En handbok i rationellt tänkande (2 uppl.). (Print-on-demand). Stockholm: ePan
Skolverket (2011). Läroplan för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet. Tillgänglig via https://www.skolverket.se/getFile?file=4206
Schoenfeld, A. H. (2016). Learning to think mathematically: Problem solving,
metacognition, and sense making in mathematics (Reprint). Journal of Education Vol.
196(2). 1-38. Tillgänglig via:
https://journals-sagepub-com.proxy.mau.se/doi/pdf/10.1177/002205741619600202
Trost, J. (2010) Kvalitativa intervjuer (4 uppl.). Lund: Studentlitteratur
Ärlebäck Bergman, J. (2013). Matematiska modeller och modellering. Vad är det? Nämnaren nr 3. 21-26. Tillgänglig via http://ncm.gu.se/pdf/namnaren/2126_13_3.pdf
Bilaga 1
Intervjufrågor
1. Hur länge har du undervisat i matematik?
2. Vad innebär problemlösning i matematik för dig?
3. Vilka metoder använder du i undervisningen när gruppen arbetar med problemlösning?
4. Vilka anpassningar behöver du använda under arbetet med problemlösning för att få med alla elever?
5. Vilka problemlösningsstrategier lär du eleverna använda för att utveckla sitt tänkande vid lösning av sådana uppgifter?
6. När ni arbetar med problemlösning anser du att det spelar någon roll om du väljer att eleverna arbeta i grupp eller enskilt?
7. När eleverna arbetar enskild, har du testat med att ge ut exempel med lösningar till eleverna som de ska reflektera kring?
8. Hur ser eleverna på sin förmåga att lära sig/inte lära sig problemlösning? 9. Upplever du att eleverna ser på problemlösningen ur andra perspektiv (mer
positiv/negativ uppfattning) när de får samarbeta och diskutera med andra elever?
10. Vad anser du eleverna arbetar med/utvecklar när ni arbetar med problemlösningsuppgifter? Vilka förmågor utvecklar dom tycker du? 11. Hur tydlig är du med att säga högt idag arbetar vi med problemlösning? 12. Vad hade eleverna haft för uppfattning/åsikt om problemlösning om du istället
introducerade/startade lektionen med att säga “ Idag ska vi arbeta med att utveckla förmågan att samarbeta och reflektera”?
13. Hur viktig är feedbacken från dig som lärare och eleverna emellan varandra för att eleverna ska få nya infallsvinklar?
Bilaga 2
Samtyckesblankett / Consent form
Vår behandling av dina personuppgifter bygger på att dina personuppgifter behandlas med ditt samtycke. Du kan när som helst ta tillbaka samtycket och uppgifterna får då inte bevaras eller behandlas vidare utan annan laglig grund.
Genom insamling av uppgifter om [2. kategorier av personuppgifter, till exempel namn, e-post, och uppgifter som framkommer i intervju] kommer Malmö universitet att
använda i arbetet med examensarbetet. Uppgifterna kommer att behandlas under [5. tidsperiod] varefter de [6. raderas/arkiveras], [3. ev. inlägg om tredje part]. Du kan ta del av det som registrerats om dig eller ha synpunkter på behandlingen eller de uppgifter som samlats in genom att kontakta [7. kontaktperson för behandlingen] eller lärosätets dataskyddsombud på dataskyddsombud@mau.se. Klagomål som inte kan lösas med Malmö universitet kan lämnas till berörd tillsynsmyndighet.
Processing of personal data
This processing of your personal data is based on your consent. You may withdraw the consent at any time, and the data may not be retained or processed without any other legal grounds.
By collecting data on [2. categories of personal data], Malmö University will [4. brief description of the purpose]. The data will be processed during [5. period of time] after which the information will be [6. deleted / archived], [3. information about possible third party]. You can find out what has been registered about you or have feedback on the processing or information collected by contacting [7. contact person for the
treatment] or the university's Data Protection Officer at dataskyddsombud@mau.se. Complaints that can not be resolved with Malmö University may be submitted to the responsible
