Lärares uppfattningar
av kommutativitet
En kvalitativ studie med lärare i årskurs 1-3
KURS:Examensarbete för grundlärare F-3, 15 hp
PROGRAM:Grundlärarprogrammet med inriktning mot arbete i förskoleklass och grundskolans årkurs 1-3
FÖRFATTARE:Lisa Karlsson
EXAMINATOR:Annica Otterborg
Examensarbete för grundlärare F-3, 15 hp
Grundlärarprogrammet med inriktning mot arbete i förskoleklass och grundskolans årskurs 1-3 VT2020
__________________________________________________________________________ Sökord: matematik, kommutativitet, lärare, undervisning, aritmetik
Keywords: mathematics, commutativity, teacher, teaching, arithmetic
__________________________________________________________________________
JÖNKÖPING UNIVERSITY
School of Education and Communication
SAMMANFATTNING Abstract
___________________________________________________________________________ Lisa Karlsson
Lärares uppfattningar av kommutativitet: En kvalitativ studie med lärare i årkurs 1-3 Teachers’ perceptions of commutativity: A qualitative study with teacher in grades 1-3
Antal sidor: 29 ___________________________________________________________________________
Kommutativa lagen är en räknelag som återfinns hos räknesätten addition och multiplikation. Räknelagen innebär att det inte spelar någon roll i vilken ordning termerna eller faktorerna räknas, resultatet blir ändå detsamma. För att elever ska utveckla god kunskap inom aritmetik är det viktigt att de lär sig den kommutativa lagen. I den här studien har sex verksamma lärare i årskurs 1-3 intervjuats. Syftet med studien är att utforska lärares uppfattningar av undervisning av kommutativitet. Detta syfte besvaras genom frågeställningarna Hur
undervisar lärare om kommutativitet och varför? samt Hur använder lärare begreppet kommutativitet och varför? Studien är
genomförd med kvalitativ metod genom semistrukturerade intervjuer. Resultatet har analyserats i relation till fenomenografi. Resultatet visade att lärare har erfarenheter av flera olika sätt att undervisa samt att de har skilda erfarenheter av att använda begreppet kommutativitet i sin undervisning.
The commutative law is a property valid for addition and multiplication. The property means that the terms’ and factors’ spatial does not change the sum. For students to develop their knowledge of arithmetic it is important for them to learn about commutativity.
In this study, six active teachers in grades 1-3, have been interviewed. The aim of the study is to explore teachers’ perceptions of different ways to teach about commutativity. The aim is answered by asking the following questions How does teachers teach about
commutativity and why? and How does teachers use the concept of commutativity and why?. The result has been analysed in
relation to phenomenography. The result shows that teachers have experiences of different ways of teaching commutativity and different experiences of using the concept of commutativity in their teaching.
Innehållsförteckning
1 INLEDNING 1
2 BAKGRUND 2
2.1 Aritmetiska egenskaper, speciellt den kommutativa lagen 2
2.2 Undervisning om räknelagar 2
2.2.1 Kommutativitet i addition 3
2.2.2 Kommutativitet i multiplikation 3
2.3 Vad säger styrdokumenten? 5
2.4 Tidigare forskning om elevers förståelse för kommutativitet 6
2.4.1 Förkunskaper 6
2.4.2 Undervisningens form 7
2.4.3 Är begreppet kommutativitet viktigt? 8
3 STUDIENS TEORETISKA UTGÅNGSPUNKT 9
4 SYFTE 10 5 METOD 11 5.1 Metod för materialinsamling 11 5.2 Urval 11 5.3 Genomförande 12 5.4 Analys av material 12
5.5 Hur forskningsetiska principer togs hänsyn till 13
5.6 Tillförlitlighet 13
5.7 Metoddiskussion 14
6 RESULTAT 17
6.1 Lärares sätt att undervisa om kommutativitet 17
6.1.1 Användandet av plockmaterial för att göra kommutativitet konkret 17
6.1.2 Samtal och diskussioner 18
6.1.3 Sammankoppling med subtraktion för visa hur kommutativitet
fungerar 19
6.1.4 Upprepad addition, lika grupper och area 19
6.2 Lärares användning av begreppet kommutativitet 20
6.3 Resultatsammanfattning 22
7 RESULTATDISKUSSION 23
7.1 Lärares sätt att undervisa om kommutativitet 23
7.2 Begreppsanvändning 25
7.3 Avslutning och förslag till fortsatt forskning 26
8 REFERENSER 28
BILAGOR
Bilaga 1 – Intervjuguide Bilaga 2 – Samtyckesblankett
1
1 Inledning
I kursplanen för matematik går det utläsa olika matematiska områden som eleverna ska erhålla undervisning om. En av dessa är taluppfattning och tals användning (Skolverket, 2019, s.55). En viktig del av en god taluppfattning innefattar förståelse för aritmetikens räknelagar (Löwing, 2017). Dessa räknelagar innefattar associativa lagen, distributiva lagen och kommutativa lagen. Fokus i den här studien faller på den sistnämnda räknelagen,
den kommutativa lagen. Räknelagen beskriver att ordningen på två tal inte spelar någon
roll vid användandet av räknesätten addition och multiplikation. Exempelvis är 5 + 4 lika mycket som 4 + 5. I denna uppsats studeras kommutativitet, på vilket sätt det undervisas om och uppfattas, men frågan kunde vara mycket bredare. Kommutativitet är egentligen bara ett exempel. Den större fråga som skulle kunna behandlas är Hur undervisar lärare
och hur uppfattar lärare begreppen när det gäller grundläggande matematiska strukturer?
I denna uppsats kokar jag därför ner frågan till kommutativitet.
Tillsammans med en studiekamrat genomförde jag förra året en litteraturstudie där vi undersökte forskning om elevers förståelse av kommutativitet (Jansson & Karlsson, 2019). Vår studie visade att det finns sätt att undervisa på som underlättar elevers förståelse för kommutativitet, men att det också finns sätt som försvårar förståelsen samt att eleverna inte nödvändigtvis måste kunna begreppet kommutativitet för att förstå vad det innebär. Oavsett vad forskning pekar på kan jag konstatera att den kommutativa lagen nämns i en del läromedel redan i årskurs 1 (Ristola et al. 2012). Det jag upplevde saknades i forskningen var hur lärare undervisar om kommutativitet och varför de väljer att göra på det sättet. Det saknades också hur lärare väljer att använda begreppet kommutativitet i sin undervisning. Den här studien riktar sig därför till lärare i de lägre årskurserna och hur de gör när de undervisar om den kommutativa lagen i addition och multiplikation.
2
2 Bakgrund
2.1 Aritmetiska egenskaper, speciellt den kommutativa lagen
Aritmetiken är den del av matematiken som bland annat behandlar de fyra räknesätten; addition, subtraktion, multiplikation och division (Aritmetik, u.å). Dessa fyra räknesätt har olika egenskaper såsom kommutativitet, associativitet och distributivitet. Dessa kallas också för räknelagar, men de är ingen lag i den bemärkelsen att de bestämmer vad en person får och inte får göra utan beskriver just egenskaper hos de olika räknesätten (McIntosh, 2008).
Den kommutativa lagen, eller bara kommutativitet, är en egenskap som återfinns hos räknesätten addition och multiplikation. Egenskapen innebär att det inte spelar någon roll i vilken ordning termerna eller faktorerna räknas - summan eller produkten blir ändå densamma. Kommutativitet beskrivs ibland med formeln 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎 respektive 𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑏 ∙ 𝑎 (Löwing, 2017). Kommutativitet går också koppla till vardagliga händelser, exempelvis vid dukning av ett bord. Det spelar ingen roll om du sätter fram glasen före tallrikarna eller tvärt om - resultatet kommer ändå bli detsamma (Haider et al., 2014). I den här studien kommer begreppen kommutativitet och kommutativa lagen användas synonymt.
2.2 Undervisning om räknelagar
En förutsättning för att eleverna ska kunna räkna är att de behärskar talens egenskaper på ett sådant sätt att de kan räkna med flyt. Det innebär att de behöver ha en grundläggande taluppfattning, där det ingår att kunna tillämpa och behärska räknelagarna. Taluppfattning är ingenting elever bygger upp av sig själva, utan det krävs att läraren planerar undervisningen på ett sådant sätt att eleverna får praktisera kunskapen (Löwing, 2017). Räknelagarna är också viktiga egenskaper som kan användas vid huvudräkning och den lärare som undervisar om räknelagarna kan lägga fram en matematik som på sikt hjälper eleverna att gå från en mer grundläggande taluppfattning till en mer avancerad funktionslära (Löwing, 2017).
Räknelagarna är betydelsefulla för eleverna, då de kan använda dessa i vardagslivet utan att de själva vet om det. Det kan handla om att räkna i huvudet eller med papper och penna (McIntosh, 2008). Det har påpekats att det också är viktigt att arbeta grundligt med räknelagarna och att diskutera de begränsningar som finns. Det gör att eleverna blir
3 medvetna om när och hur de kan använda räknelagarna när de utför beräkningar (McIntosh. 2008). Löwing (2017) menar att begrepp som kommutativitet, eller kommutativa lagen, inte behöver läras ut i de lägre årskurserna, men att eleverna måste bli medvetna om att de olika räknesätten bygger på olika räknelagar och strategier.
2.2.1 Kommutativitet i addition
När elever ska lära sig addition i skolan, används ofta olika typer av laborativt material, exempelvis klossar, knappar eller pengar. Avsikten med det är att konkretisera den abstrakta additionen för att öka elevernas förståelse (Löwing, 2017). När elever ska räkna addition finns det tre huvudsakliga strategier som de använder sig av; räkna alla, räkna
från första termen och räkna för största termen1 (Löwing, 2017; McIntosh, 2008). Det
vanligaste är att eleverna i deras tidiga räknande använder metoden räkna alla. För att hjälpa eleverna att gå från räkna alla till räkna från första termen och slutligen räkna från
största termen menar Löwing (2017) att användning av konkret material i undervisningen
kan underlätta, vid till exempel uttrycket 5 + 3. Genom att täcka över den grupp som innehåller 5 i exemplet ovan, gör att eleverna inte kan räkna denna grupp en och en, utan måste räkna från första termen, det vill säga den termen som kommer först i uttrycket (McIntosh, 2008). Räkna från största termen är tätt kopplad till den kommutativa lagen. En del elever räknar tidigt från den största termen, då de insett att det förenklar uträkningen (Hansen et al, 2015).
2.2.2 Kommutativitet i multiplikation
Enligt Larsson (2016) finns det ett pedagogiskt dilemma kring hur multiplikation bör läras ut. Upprepad addition, lika grupper och matriser är vanliga sätt att undervisa när det undervisas om multiplikation och dessa har olika påverkan på elevers multiplikativa tänkande. Multiplikation är också kommutativt och det innebär för många elever att de kan byta plats på faktorerna för att på ett enklare sätt räkna ut en uppgift (Löwing & Kilborn, 2003).
Vid upprepad addition (se figur 1) kan elever till viss del förstå den idé som finns bakom multiplikationen, men de kan ändå sakna strategier för att använda den. Det blir svårt för elever att endast räkna med upprepad addition när det kommer till större tal, oavsett om
1 Räkna alla innebär att räkna en i taget tills alla är räknade. Räkna från första termen innebär att räkna från
den term som kommer först i uttrycket. Räkna från största termen innebär att räkna från den största termen i uttrycken.
4 det sker i huvudet eller skriftligt (Löwing, 2017). Vidare menar Löwing (2017) att kommutativiteten i multiplikation inte framkommer när elever räknar med hjälp av upprepad addition.
Figur 1: Ett matematiskt uttryck som först är skrivet som en multiplikation och sedan som en upprepad addition
Vid lika grupper benämns den faktor som står för antalet grupper för multiplikator och den faktor som visar hur många det finns i varje grupp kallas för multiplikand. Vid användandet av lika grupper kan det ge märkliga resultat om multiplikationen också används kommutativt (se figur 2). Det är stor skillnad på om 2 personer äter 100 glassar var eller om 100 personer äter 2 glassar var (Heiberg Solem et al., 2003), men matematiskt har lika många glassar ätits upp. Lika grupper används mest i de lägre årskurserna, dock är det inte lika användbart i undervisningen när talen blir större eller när talen innehåller decimaler (Larsson, 2016). Det är till exempel väldigt svårt att föreställa sig 2,8 påsar med 5,3 godiskarameller i varje.
Figur 2: Bild som visar tärningar med samma produkt, men där antalet grupper är olika.
Matriser är ytterligare en metod att använda när det undervisas om multiplikation. Om en person inte är bekant med hur en matris är uppbyggd, räknas oftast alla rutor (Heiberg
5 Solem et al., 2011). De som däremot upptäcker att varje rad innehåller lika många rutor, kan istället gå över att räkna med hjälp av upprepad addition, där personen lägger ihop antalet rader utifrån hur många kolumner det finns. För att arbeta multiplikativt med en matris räcker det dock med att det finns vetskap om hur många rader och kolumner det är för att kunna lägga ihop exempelvis 4 ∙ 2 (se figur 3). Matrisen är symmetrisk, vilket innebär att såtermer av matriser för att förstå och tillämpa kommutativitet (Larsson, 2016). Det räcker att vrida en matris 90° för att synliggöra kommutativtet. Oavsett hur en person väljer att vrida kommer antalet rutor inte att förändras. Det är kanske en av de tydligaste bilderna på den kommutativa lagen i multiplikation (Larsson, 2016).
Figur 3: Matris som är vriden 90° för att underlätta elevers förståelse för
kommutativitet i multiplikation. Två rader med fyra i varje är totalt lika många som fyra rader med två i varje.
2.3 Vad säger styrdokumenten?
I kursplanen för matematik står det inte att lärare måste undervisa om de räknelagar som finns, men under kunskapsområdet taluppfattning och tals användning återfinns punkten “de fyra räknesättens egenskaper och samband i olika situationer” (Skolverket, 2019, s. 55). Kommutativitet är en räknelag, men också en egenskap som återfinns hos räknesätten multiplikation och addition. En tolkning som kan göras är att det är under den punkten som kommutativa lagen hamnar, men eftersom kursplanen kan uppfattas olika kan det finnas fler tolkningar. Kommentarmaterialet till kursplanen i matematik som ska fungera som ett komplement till kursplanen, står det inte heller om kommutativa lagen. Det står dock att det kan användas flera olika innehållspunkter från det centrala innehållet inom samma arbetsområde (Skolverket, 2017). Det kan därför göras en tolkning att den kommutativa
6 lagen inte enbart hamnar under en punkt under det centrala innehållet, utan att den kan kopplas till flera punkter.
2.4 Tidigare forskning om elevers förståelse för kommutativitet
I det här avsnittet redogörs för tidigare forskning kring elevers förståelse av kommutativitet med fokus på förkunskaper, sätt att undervisa och om ordet kommutativitet har någon betydelse för förståelsen av räknelagens innebörd.
2.4.1 Förkunskaper
Forskning har undersökt om elever känner till och kan använda kommutativitet i addition redan innan de fått formell undervisning2 om det (Canobi et al., 2002; Hansen et al., 2015). Dessa studier visade att elever som fått formell undervisning visade bättre resultat än de som inte fått det, men att de som inte fått formell undervisning ändå visade viss förståelse av egenskapen (Canobi et al., 2002; Hansen et al., 2015.). Liknande resultat framkom i en tidigare studie (Bermejo & Rodriguez, 1993). Där drog författarna slutsatsen att elever har en förståelse innan de fått formell undervisning, men att undervisning krävs för att de ska utveckla den mer (Bermejo & Rodgriguez). Det här handlade alltså om kommutativitet i
addition.
Det har också gjorts studier som undersökt om elever känner till och kan använda sig av kommutativitet i multiplikation innan en formell undervisning skett (Pettito & Ginsburg, 1982; Schlieman et al., 1998). I studien ställdes två textbaserade frågor med multiplikation som räknesätt. Om den intervjuade behärskar kommutativitet, skulle personen klara av den andra uppgiften snabbt, eftersom faktorerna i uppgifterna endast bytt plats. Resultatet visade att de elever som fått formell undervisning, tillämpade kommutativitet på den andra uppgiften och de elever som inte fått formell undervisning räknade istället ut båda uppgifterna, flertalet med hjälp av upprepad addition. De som forskarna då kunde konstatera var att det krävs undervisning av kommutativitet i multiplikation eftersom det var tydliga skillnader mellan eleverna som fått formell undervisning och de som inte fått formell undervisning.
En slutsats av den forskning som presenterats är att det krävs formell undervisning om kommutativitet i multiplikation, men när det gäller addition finns en förståelse av det redan
7 innan undervisning erbjudits. Larsson (2016) skriver att det finns ett dilemma kring hur undervisning om multiplikation genomförs och att det finns undervisningssätt som kan försvåra elevers utveckling av en förståelse av kommutativitet.
2.4.2 Undervisningens form
Forskning har visat att undervisningens form och vilka medel som används påverkar elevernas förståelse av kommutativitet (Bermejo & Rodriguez, 1993). Fysiska objekt har visat sig påverka elevernas förståelse positivt. Studier har visat att elever som räknar med hjälp av fysiska objekt inte tar hänsyn till vilken hög de räknar först och inte heller tar hänsyn till någon ordning, speciellt inom addition (Canobi et al., 2002; Baroody et al., 1983). Canobi et al. (1998) gjorde också en studie där eleverna fick berätta för en “med-räknare” hur de gick tillväga när de löste olika problem. “Med-räknaren” som var i form av en docka, visade sig ha positiv påverkan på eleverna, då eleverna visade bättre resultat när de fick berätta och förklara för dockan hur de gick tillväga (Canobi et al., 1998). En slutsats från den studien var att det är viktigt att låta eleverna samtala om hur de genomför uppgifter och att det har en positiv påverkan på deras förståelse.
När det undervisas om kommutativitet i multiplikation, finns det flera sätt som påverkar elevers förståelse för kommutativitet. En studie som undersökte elevers multiplikativa tänkande kom fram till att många elever använder sig av lika grupper, vilket ledde till problem när de skulle tillämpa kommutativitet (Larsson, 2016). De elever som medverkade i studien såg faktorerna som multiplikator och multiplikand. Byter dessa faktorer plats, ändras antalet grupper och antalet i varje grupp, trots att produkten blir densamma, exempelvis att det är skillnad på om det finns tre blommor i två vaser eller två blommor i tre vaser. Larsson (2016) menar att det gav problem när eleverna skulle räkna kommutativt. Även upprepad addition har visat sig ha negativ påverkan på elevernas förståelse av kommutativitet (Pettito & Ginsburg, 1982; Schliemann et al., 1998; Larsson, 2016). De elever som använde upprepad addition i studierna kom fram till att 100 ∙ 6 gav samma produkt som 6 ∙ 100, men eftersom de använde sig av just upprepad addition för att räkna ut dessa, drogs ändå slutsatsen att dessa inte hade någon förståelse för kommutativitet. De som inte använde upprepad addition, utan tillämpade den kommutativa lagen, kunde direkt berätta att båda gav samma produkt (Pettito & Ginsburg, 1982; Schliemann et al., 1998). En annan studie (Larsson, 2016) gjord på svenska elever, visade liknande resultat. Elever som använde upprepad addition som ett sätt att räkna, hade betydligt svårare att förstå kommutativitet än de som inte gjorde det (Larsson, 2016).
8 En sak som visat sig ha en positiv påverkan på elevers förståelse för kommutativitet är matriser (Larsson, 2016; Hurst, 2017). Hurst (2017) visade att flera elever använde sig av matriser när de skulle illustrera uttrycket 4∙3. Följdfrågan i studien var om eleverna kunde rita på något annat sätt. En del av eleverna ritade då matrisen på ett annat sätt. Slutsatsen som drogs var att matriser kan hjälpa eleverna att få syn på och också tillämpa kommutativitet i multiplikation. Eleverna uppmanades också att illustrera matrisen på ett annat sätt, vilket resulterade i att eleverna vände på den matris de illustrerat tidigare. Slutsatsen var att matriser kan hjälpa elever att få syn på och också tillämpa kommutativitet i mutliplikation (Hurst, 2017).
2.4.3 Är begreppet kommutativitet viktigt?
Det finns flera studier som undersökt hur elever använder och beskriver egenskapen kommutativitet . Dessa studier visade att eleverna kunde använda och förklara hur de gjorde, men använde inte ordet kommutativtet när de gjorde det, utan förklarade istället med andra ord (Baroody & Gannon, 1984; Canobi et al., 1998; Hurst, 2017) När eleverna i en av studierna skulle förklara hur de gjorde använde de ord som vända på eller byta plats (engelska: turn-arounds, switcharounds). Slutsatsen var att eleverna hade förståelse av egenskapen kommutativitet, men kunde inte ordet. Några av de medverkande eleverna nämnde den kommutativa lagen, men kunde inte förklara hur den användes. Det indikerar istället på att de fått höra ordet, men inte visste vad det betyder (Hurst, 2017).
9
3 Studiens teoretiska utgångspunkt
Fenomenografi är en metod som växte fram under 1970-talet vid Pedagogiska institutionen, Göteborgs Universitet av Ference Marton (Marton & Booth, 2000). Marton och hans medarbetare gav en text till universitetsstudenter och bad dem återge poängen med texten. Det visade sig att studenterna uppfattade texten på olika sätt. Texten var lika för alla studenter, men studenterna var olika personer och de uppfattade då texten olika (Kroksmark, 2011). Kroksmark (2011) skriver också att den tidigare forskning på området har visat att denna skillnad beror på att personer har olika nivåer av kunskap och att personers sociokulturella bakgrund kan påverka förståelsen för en text. Det Marton och hans medarbetare iakttog var att varken personens kunskapsnivå eller sociokulturella bakgrund påverkade studenterna, utan att en text kan uppfattas på olika sätt enbart på grund av att personer är olika (Kroksmark, 2011).
Ett fenomen kan uppfattas på kvalitativt skilda sätt, vilket innebär att personer ser samma fenomen, men uppfattar det olika (Marton, 1997). Kroksmark (2011) tar upp ett exempel där elever presenteras för en uppgift där de ska lista ut hur mycket som saknas om en chokladbit kostar 7kr och eleven har 4kr. Här noteras det att eleverna uppfattar problemet på tre kvalitativt skilda sätt: som en relation mellan 3,4 och 7, som en addition, 4+_=7 eller som en subtraktion 7- 4=_ (Kroksmark, 2011).
Uppfattningsbegreppet är ett centralt begrepp inom fenomenografin och just uppfattningar genomsyrar alla led i skolan; de som har konstruerat läroplanen och kursplanerna har sina uppfattningar, liksom lärare har sina (Kroksmark, 2011). Inom fenomenografin görs det även skillnad på hur någonting är och hur det uppfattas vara. Det första kallas för första
ordningens perspektiv och handlar om fakta. Det andra kallas för andra ordningens perspektiv och det handlar om hur någon uppfattar någonting. Det handlar alltså inte om
huruvida någonting är sant eller falsk (Larsson, 1986). Det är andra ordningens perspektiv som den här studien kommer att utgå ifrån, då det är lärares uppfattningar av fenomenet kommutativitet samt deras erfarenhet av olika sätt att undervisa om kommutativitet på samt deras erfarenheter av begreppet kommutativitet.
10
4 Syfte
Syftet med studien är att utforska lärares uppfattningar av undervisning av kommutativitet. Detta syfte vill jag uppnå genom att besvara följande frågor:
• Hur undervisar lärare om kommutativitet och varför?
11
5 Metod
I följande kapitel redogörs för hur studien har genomförts genom materialinsamling, urval och analys. Studien ställs mot etiska aspekter och trovärdighet samt avslutas med en diskussion.
5.1 Metod för materialinsamling
För studien har en kvalitativ analys valts där data har bestått av individuella intervjuer. I en kvalitativ intervju riktas intresset mot den person som intervjuas och vad den har för erfarenheter av ett specifikt tema. Det är alltså mer fokus på ord än på siffror (Bryman, 2018). Kvalitativa individuella intervjuer valdes för att kunna få en detaljrik beskrivning av hur lärarna arbetade och hur de motiverade det arbetssättet och samtidigt kunna utläsa lärarnas uppfattning av kommutativitet i fenomenografisk mening. En kvalitativ intervju kan ske på olika sätt och det som valdes för den här studien var semistukturerad intervju. I en semistrukturerad intervju finns specifika teman, men intervjupersonerna har stor frihet att svara hur de vill. Det användas ofta en intervjuguide med uppskrivna frågor som ska ställas, vilket jag valde att använda. Bryman (2018) påpekar att frågorna behöver inte ställas i den ordningen som det står på intervjuguiden samt att frågor som inte ingår i den kan också ställas, beroende på vad de deltagande svarar (ibid).
5.2 Urval
Studien utgår från både ett målinriktat urval och ett bekvämlighetsurval. Målinriktat urval innebär att det har gjorts strategiska val av deltagarna för att intervjupersonerna ska passa de forskningsfrågor som är formulerade. Bekvämlighetsurval innebär att det görs ett urval som är lättillgängligt för den person som gör studien (Bryman, 2018). Jag använde lite av båda principerna för att välja deltagare. Trots att det gjordes ett bekvämlighetsurval, hade jag också urvalskriterier. Det första var att lärarna ska vara verksamma i, och behöriga för att undervisa i årkurs 1-3. Ett andra kriterium var att de ska ha varit verksamma lärare i minst fem års tid. För att nå ut till dessa tog jag kontakt med lärare som jag träffat under mina perioder med verksamhetsförlagd utbildning, samt genom en studiekamrats kontakt med andra skolor, och frågade om de ville delta i studien. I samband med det bifogades en samtyckesblankett, där lärarna kunde få ta del av information om studien samt ge sitt skriftliga samtycke till att delta i studien (se bilaga 2). Det resulterade i att 6 verksamma lärare ifrån fyra olika skolor och två olika kommuner ställde upp och kom att ingå i studien (se tabell 1).
12 Tabell 1: Deltagande lärare i studien
5.3 Genomförande
Några av intervjuerna skedde på lärarnas arbetsplats och några skedde digitalt via Zoom3. Vid intervjutillfällena användes en intervjuguide (se bilaga 1) som utformats utifrån de frågeställningar som är framtagna för studien. En intervjuguide kan beskrivas som en lista över vilka frågor som planeras att ställas under en semistrukturerad intervju, men att det också kan läggas till frågor som inte står med i intervjuguiden (Bryman, 2018). Under intervjun ställdes också följdfrågor för att få mer information kring vissa delar. Dessutom behövde en del av frågorna formuleras om för att tydliggöras. Lärarna fick också under intervjun ta del av kursplanen i matematik som tagits med i pappersform. De lärare som intervjuades via Zoom hade själva tillgång till kursplanen. Vid kvalitativa intervjuer spelas intervjuerna oftast in för att intervjuaren inte ska bli distraherad av behovet att föra anteckningar under intervjun samt för att veta exakt hur och vad en person har sagt (Bryman, 2018). De här intervjuerna spelades in på en mobiltelefon, samt genom inspelningsfunktionen i Zoom under de intervjuer som skedde digitalt, för att sedan transkriberas. Anledning till att intervjuerna transkriberades är för att underlätta vid den analys som gjordes av det insamlade materialet.
5.4 Analys av material
Det insamlade materialet kodades (Bryman, 2018) och de kodade delarna analyserades. Det första steget som togs i analysen var att transkribera intervjuerna, för att underlätta en mer noggrann analys av vad lärarna har svarat (Bryman, 2018). I transkriberingen skrev
3 Datorprogram med inspelningsfunktion som tillåter videosamtal över internet.
Lärare Just nu aktiv i årskurs Antal år läraren varit verksam Lärare A 2 20 år Lärare B 1 21 år Lärare C 3 25 år Lärare D 2 15 år Lärare E 2 15 år Lärare F 3 27 år
13 jag ordagrant ned det lärarna sagt , men ord som ”eh” och bekräftande ”mm” plockades bort, då det inte ansågs vara relevant för studien. Lärarna som medverkat i studien avidentifierades redan i transkriberingen och jag har valt att benämna dem Lärare A-F. Det andra steget som gjordes var att det transkriberade materialet färgkodades utifrån de frågeställningar som är framtagna för studien. Det gjordes för att få en tydlig uppdelning av det insamlade materialet och det gjordes flera gånger för att säkerställa att ingenting missades. Det tredje steget som gjordes vad att gå in djupare i de olika färgkodade delarna för att få ut nyckelord som sedan utgjorde kategorierna under respektive frågeställning, även det gjordes flertalet gånger för att verkligen få med allt.
5.5 Hur forskningsetiska principer togs hänsyn till
Under arbetet med studien har det tagits hänsyn till fyra forskningsetiska principer: informationskravet, samtyckeskravet, konfidentialitetskravet och nyttjandekravet (Vetenskapsrådet, 2002). Alla dessa krav har uppfyllts i arbetet med studien.
Informationskravet har uppfyllts genom att de deltagande lärarna har fått information kring vad studien handlar om samt hur den kommer att genomföras. Den informationen fick lärarna ta del av innan de bestämt sig för om de ville delta i studien. Samtyckeskravet har uppfyllts genom att de deltagande lärarna har fått information om att deltagandet är frivilligt samt att de gett ett skriftligt samtyckte till att delta i studien. Konfidentialitetskravet uppfylldes genom att deltagande lärare fick information kring att de kommer vara anonyma och att de benämns med bokstäver i studien samt att det material som samlats in genom intervjuer kommer att förvaras på ett säkert sätt och ingen förutom jag kommer att ta del av materialet. Nyttjandekravet innebär att det insamlade materialet endast kommer användas i forskningssyfte (Bryman, 2018), vilket lärarna blev informerade om i den samtyckesblankett som skickades ut.
5.6 Tillförlitlighet
Det finns två grundläggande kriterier för kvalitetsbedömning av både kvantitativa och kvalitativa undersökningar och dessa är reliabilitet och validitet. Det finns dock de som menar att dessa kriterier inte passar för en kvalitativ studie utan att en forskare istället ska använda sig av det alternativa kriteriet tillförlitlighet (Bryman, 2018). Eftersom den här studien är genomförd med kvalitativ metod, kommer jag att använda mig av tillförlitlighet. Tillförlitligheten består av fyra delkriterier: trovärdighet, överförbarhet, pålitlighet och möjligheten att styrka och konfirmera.
14 Det första delkriteriet, trovärdighet, handlar om att studien utförts i enlighet med de riktlinjer som finns, samt att intervjuaren exempelvis för samtal med de som deltagit i studien för att bekräfta att svaren är korrekt uppfattade (Bryman, 2018). I den här studien har jag följt de riktlinjer och regler som Jönköping University gett samt vad litteratur tagit upp om det. Dock kontaktades inte de deltagande lärarna efter transkriberingen för att kontrollera om jag gjort korrekta tolkningar av resultatet. Därav uppfylls endast ett av de två kraven i det här delkriteriet, vilket gör att studien kanske inte når upp till mer än en medelhög trovärdighet.
Det andra delkriteriet, överförbarhet, handlar om hur resultatet kan överföras till andra situationer. Dock är kvalitativa studier ofta kontextbundna samt att de inkluderar deltagare som har gemensamma egenskaper (Bryman, 2018). Jag har tagit hänsyn till det här delkriteriet genom att i resultatet ge tydliga och innehållsrika beskrivningar för att läsaren själv ska kunna göra en bedömning av om resultatet är överförbart. För att nå en ännu högre överförbarhet krävs sannolikt ett större antal intervjuer än de sex som utfördes.
Det tredje delkriteriet, pålitlighet, handlar om att alla faser i forskningsprocessen tydligt redogörs, som exempelvis forskningsfrågor och urval Det som också kan göras är att låta kollegor läsa och bedöma kvaliteten i de procedurer som valts (Bryman, 2018). I den här studien har alla steg i processen tydligt beskrivits och resultatet har diskuterats i relation till tidigare forskning på området. Jag har även fått feedback från handledare och studiekamrater genom hela processen.
Det fjärde och sista delkriteriet möjlighet att styrka och konfirmera, handlar om att förhålla sig objektiv till sin egen forskning (Bryman, 2018). Det delkriteriet har uppfyllts genom att jag inte lagt några personliga värderingar i lärarnas svar samt att jag ställt mig objektiv till lärarnas olika uppfattningar av kommutativitet. Trots att jag har en relation med några av lärarna sedan tidigare har jag varit noga med att inte låta det påverka studiens resultat.
5.7 Metoddiskussion
Kvalitativa intervjuer i form av semistrukturerade intervjuer användes som metod för materialinsamlingen. Anledningen till att den metoden valdes var för att jag ville att lärarna skulle kunna beskriva sin egen undervisning och deras egen uppfattning av kommutativitet. Att genomföra enskilda intervjuer gjorde att jag fick möjlighet att få ta del av lärarens argument och uppfattningar. Det som jag upplevde som en nackdel med
15 intervjuerna var att en del lärare var rädda för att svara “fel” på de frågor som ställdes samt att deras svar inte skulle vara tillräckliga. Ahrne och Svensson (2015) skriver att den intervjuande ska få möjlighet att förstå hur en intervju går till genom att få berätta om någonting som inte berör intervjuns tema. Jag valde därför att ställa frågor som ”Hur länge har du arbetat som lärare” och ”Hur länge har du varit verksam i åk 1-3”. En del av lärarna upplevde också en nervositet kring de frågor som skulle komma. Genom dessa allmänna frågor upplevde jag att deras nervositet dämpades. Lärarna gavs också fiktiva namn i transkriberingen och i presentationen av resultatet. Jag upplevde det som en fördel att lärarna visste om det, då de vågade uttrycka sig mer under intervjuerna.
I samband med covid-19-utbrottet infördes besöksförbud på en del skolor, därför genomfördes några intervjuer via Zoom medan några kunde genomföras på lärarens egen arbetsplats. De medverkande lärarna som intervjuades över Zoom fick själva välja om de ville ha kameran på eller avstängd, eftersom både ljud och bild spelades in. De blev informerade om att var kameran på skulle även bilden komma med i inspelningen. Anledningen till att Zoom valdes som hjälpmedel var att det gick att spela in samt att de som intervjuades inte behövde skapa ett konto. Det hade inte fungerat att genomföra intervjun via telefonsamtal, då det saknas inspelningsfunktion på den när samtal pågår. Eftersom Zoom ger möjlighet att se varandra, blir det enligt Bryman (2018) ingen större skillnad från en intervju som skett ansikte mot ansikte. För egen del upplevde jag det lättare att intervjua lärarna ansikte mot ansikte, eftersom jag tycker att det kändes mer seriöst.
Totalt skickades 14 samtyckesblanketter ut, men av olika anledningar, bland annat tidsbrist, var det en del lärare som tackade nej till att medverka i studien. Det resulterade i att det endast blev sex lärare som deltog och som alla uppfyllde kriterierna för studien. Dock upplevde jag det som lagom att intervjua sex lärare, då det är tidskrävande att intervjua och transkribera intervjuerna samt att tiden för arbetet är begränsad.
För att kontrollera att frågorna som står i intervjuguiden fungerade, hade en pilotundersökning med fördel kunnat genomföras. Anledningen till att en pilotstudie inte gjordes var för att jag ville genomföra den på en lärare, eftersom jag upplevde frågorna som svåra för någon som inte är lärare. Istället diskuterades frågorna med en studiekamrat om de fungerade. Det fungerade därmed som en förenklad pilot. De frågor som är framtagna för intervjun speglar inte riktigt den fenomenografiska ansatsen som sedan
16 användes vid analys av materialet. Anledningen är att när intervjuerna skedde var inte valet av den teoretiska utgångspunkten klar. En fördel hade varit att mycket tidigare i arbetet utgå från den fenomenografiska ansatsen, för att de frågor som ställdes under intervjun skulle spegla ansatsen.
17
6 Resultat
I följande kapitel presenteras resultatet av de individuella intervjuerna. Genom resultatet besvaras studiens två forskningsfrågor.
6.1 Lärares sätt att undervisa om kommutativitet
Alla lärare som medverkat i studien berättade att de undervisar sina elever om kommutativitet, både i addition och multiplikation. Alla lärare uppfattar kommutativitet som en egenskap som återfinns hos räknesätten addition och multiplikation, men inte hos subtraktion och division. Flera lärare kopplar samman det med räknestrategin störst-först. Det blir tydligt genom att Lärare C uttrycker ”Det gör jag ju i och med att man pratar ganska mycket om störst först som är ett smidigt sätt att räkna”. Även Lärare F uttryckte sig på liknade sätt; ”För att göra det enkelt, så brukar vi alltid tänka störst-först i addition”. De ser också kommutativitet som ett sätt att underlätta räknandet, speciellt i multiplikation, vilket Lärare D påpekar ”Kan dom en tabell så är det lättare att lära sig nästa tabell om dom kan vissa saker utantill redan innan”. Lärarna undervisar om kommutativitet på olika sätt, med motivering att alla lär sig olika och att som lärare måste möta eleverna på olika nivåer i sin undervisning.
Nedan presenteras de sätt som lärare, utifrån erfarenheter, undervisar på. Utifrån det går det göra en hierarkisk ordning utifrån vilket sätt lärarna använder mest, där det mest använda sättet presenteras först.
6.1.1 Användandet av plockmaterial för att göra kommutativitet konkret
Nästan alla lärare berättade att de använde plockmaterial när de undervisar om kommutativitet. De förklarade att de bygger upp olika additionsuttryck och multiplikationsuttryck för att visa på att det inte spelar någon roll i vilken ordning de räknar, vilket Lärare C uttrycker ”Att det inte spelar någon roll vilken hög man tar först, eller hur man gör”. Lärarna har olika erfarenheter av användandet av plockmaterial och några av lärarna väljer att låta eleverna laborera själva med plockmaterialet, medan några andra lärare väljer att själv visa under exempelvis en dokumentkamera. Lärare B har erfarenheter av att det kan bli väldigt stökigt om hen låter alla elever plocka med materialet, därför väljer hen att själva visa. Flera av de andra lärarna berättar att det beror på vilken grupp elever som undervisas. De har erfarenheter av stora elevgrupper som det fungerar att använda plockmaterial i, men också att det i vissa grupper krävs att läraren själv visar
18 och låter eleverna titta på och lyssna. Lärare E menar att en lärare måste känna sin klass och vilka sätt som fungerar bra och vilka sätt som fungerar mindre bra.
Lärarna har erfarenhet av att använda plockmaterialet för att göra räknandet mer konkret. När det kommer till kommutativitet, gör plockmaterialet att det blir mer konkret för eleverna än om de hade räknat med enbart siffror. Lärarna menade att eleverna lär sig bättre om de själva får bygga additioner och multiplikationer och att det blir tydligt för eleverna att det går att skifta ordning på högarna med material. Lärare F motiverar valet av att använda plockmaterial såhär;
”Den praktiska delen tänker jag är viktig att man inte glömmer den och att man ofta tar bort den delen lite för tidigt […] och det är väldigt dumt att plocka bort dom praktiska delarna för snabbt” (Lärare F).
Så beskriver läraren angående vikten av att behålla plockmaterial. Läraren menar vidare att elever kan ha svårt att abstrahera matematik, speciellt kommutativitet, och att det är då är viktigt att göra det konkret för eleverna. Det tyder på att läraren har goda erfarenheter av plockmaterial och att det kan hjälpa eleverna att konkretisera sitt räknande.
6.1.2 Samtal och diskussioner
Överlag tyckte många lärare att det är viktigt att diskutera matematik och då även den kommutativa lagen. De har erfarenhet av vikten av att låta eleverna få prata matematik och berätta för varandra hur de tänker och gör, samt att eleverna blir mer delaktiga genom diskussioner med varandra. Lärare E berättar att de diskuterar väldigt mycket ”Vi pratar rätt mycket matte, och dom får delta i det och komma med förslag hur man ska göra ” (Lärare E). Både Lärare D och Lärare E påtalar att eleverna behöver höra andras resonemang och att det inte gör någonting om det blir fel svar, utan att en diskussion då kan föras utifrån det felsvaret.
Det är många av lärarna som kombinerar plockmaterial med diskussioner. De har erfarenheter av att eleverna lär sig bättre genom att föra samtal kring hur de gör med plockmaterialet, vilket Lärare F berättar att hen gör ”Kollar blir det lika många, hur kan jag möblera om de här olika […] och så flyttar runt dom och se, stämmer det här”.
19 6.1.3 Sammankoppling med subtraktion för visa hur kommutativitet fungerar Några av lärarna har erfarenheter av att konkretisera kommutativitet med subtraktion. De berättar att de diskuterar och jämför de olika räknesätten och att de uppfattar kommutativitet som svårt för eleverna just för att de inte kan använda det på subtraktion. Lärare E trycker mycket på att det är viktigt att visa för eleverna att det inte fungerar att använda kommutativa lagen på subtraktion, att där går det inte tänka störst-först. Även Lärare C har erfarenheter av att använda subtraktion för att visa hur kommutativitet fungerar och att det görs tidigt i undervisningen. Läraren berättar att hen diskuterar med sina elever att det inte går att byta plats på termerna i en subtraktion, som det går att göra i addition, eftersom differensen då blir olika, exempelvis 12 − 4 = 8 och 4 − 12 = −8. Differensen blir alltså inte samma om termerna byter plats. Lärare F uppfattar kommutativitet som svårt för eleverna att ta till sig, speciellt då det inte fungerar att använda på subtraktion. Även Lärare F berättar att de pratar mycket om det och jämför räknesätten, för att eleverna ska förstå att kommutativitet inte fungerar att använda på subtraktion. Hur en sådan diskussion gick till, framkom inte genom intervjun.
6.1.4 Upprepad addition, lika grupper och area
En av lärarna berättade under intervjun att hen använder sig av upprepad addition när den undervisar om multiplikation. ”Att de först skriver det som 2 + 2 + 2 + 2 fyra gånger så och sen att man då förvandlar den här additionen till en multipliktion” (Lärare A). Läraren vill att eleverna ska lära sig att förstå att multiplikation är upprepad addition, men att det inte spelar någon roll om de tänker att det är fyra tvåor (2▪4) eller två fyror (4 ∙ 2), produkten blir ändå densamma.
Lärare B och C använder sig av att rita bilder när de ska undervisa sina elever i multiplikation. De använder sig av att rita bilder för att visa att en multiplikation kan ritas på två olika sätt. Lärarna menar att genom att låta eleverna rita bilder kommer kommutativiteten fram. En av lärarna var dock inne på att det finns en diskussion angående användandet av rita bilder, eftersom det ofta kopplas samman med lika grupper, vilket den uttrycker såhär; ”Kan du skriva en multiplikation hur som helst om du har två vaser med tre blommor i varje. Är det 2 ∙ 3 eller 3 ∙ 2 […] har du koll på det har det ingen betydelse för hur du skriver” (Lärare B). Läraren menar att hur eleverna skriver multiplikationen inte spelar någon roll, eftersom hen har erfarenheter av att det multiplikativa tänkandet kommer fram ändå. Lärare A väljer också att använda lika grupper, men har istället erfarenhet av
20 att använda det i samband med att eleverna skriver räknesagor till olika multiplikationsuttryck.
Lärare C kopplar kommutativitet till area, vilket i sin tur kan kopplas till matriser. Läraren har erfarenheter av att det i lägre årskurser arbetas mycket med areaenheter när de ska räkna ytan på ett objekt. Kommutativiteten blir synlig genom att visa att antalet areaenheter inte förändras om objektet vrids, samt att det inte spelar någon roll i vilken ordning enheterna räknas, det blir ändå samma antal enheter.
6.2 Lärares användning av begreppet kommutativitet
Några av lärarna har erfarenhet av att använda begreppet kommutativitet, eller kommutativa lagen, i sin undervisning, men att det inte alltid varit självklart, vilket Lärare A uttrycker såhär:
”Man trodde liksom att barnen inte hade förmåga att ta till sig så många nya ord, men det är ju jätteviktigt att man börjar redan från början. Varför ska man använda andra ord? ” (Lärare A).
Så beskriver Lärare A varför begrepp som kommutativitet är viktiga att använda. Hen säger också att hon alltid förklarar vad begreppet betyder, men att lärare inte ska vara rädda för att använda rätt begrepp, med rädsla för att eleverna inte ska förstå. Det är fler lärare som håller med och som anser att begreppsanvändningen har förändrats sedan lgr 11 kom. ”När jag började för 20 år sedan, så skulle man släta över allt, då sa man plus och minus” (Lärare B).
Många av lärarna har uppfattningen av att matematiken har ett eget språk med många olika begrepp som eleverna ska lära sig. De tycker att det är viktigt att de kan prata matematik och att de använder de rätta begreppen, men de har också uppfattningar av att några begrepp är viktigare att kunna än andra. Just kommutativitet använder några av lärarna i sin undervisning, men ställer inga krav på att eleverna ska kunna begreppet utantill. Istället fokuserar de på att eleverna ska lära sig innebörden av begreppet. Lärare B berättar att trots att det var ett tag sen de pratade om kommutativa lagen, har hen en uppfattning av att det är någon elev som ändå kommer att kunna det. Även Lärare A är imponerad av hur mycket eleverna faktiskt kan, vilket hen uttrycker såhär;
21 ”Dom går bara i 2:an och det bara klickar till. Dom börjar ändå
kunna sätta ord på det själva och använda dom rätta begreppen och det är ju ändå lite häftigt tycker jag” (Lärare A).
Lärare C har erfarenheter av att både använda och att inte använda begreppet. Hen menar att i vissa elevgrupper är det av större vikt att fokusera på andra matematiska begrepp och att en del elever inte kan ta till sig alla begrepp som matematiken innefattar. Hen väljer då att istället fokusera på de fyra räknesättens namn samt namn på geometriska objekt. Två av sex lärare som intervjuades har erfarenheter av att inte använda begreppet kommutativitet i sin undervisning. Lärare F menar att begreppet kommutativitet är väldigt abstrakt och kan vara svårt att förklara för eleverna. Lärare F berättar vidare att hen har erfarenheter av att det finns många andra begrepp inom matematiken som eleverna måste lära sig och att vissa elever har svårt att benämna de fyra räknesätten med rätt begrepp. Lärare F uppfattar kommutativitet som ett begrepp som inte är relevant för eleverna att kunna. Lärare E kände inte till begreppet sedan tidigare, därav erfarenheten av att inte använda begreppet. Lärare E poängterade att det inte är lätt att använda ett begrepp i sin undervisning om det inte finns någon kännedom av begreppet sedan tidigare. Hen menar, liksom Lärare F, att det finns andra begrepp som är viktigare för eleverna att kunna. Trots att lärarna väljer att inte använda begreppet kommutativitet i sin undervisning, väljer de att prata om innebörden av begreppet väldigt mycket. Lärare D berättar att hen ofta i sin undervisning, påminner eleverna om att det inte spelar någon roll i vilken ordning termerna och faktorerna räknas.
Det framkom också under intervjuerna att lärarna använde sig av olika läromedel, där ett läromedel tar upp begreppet och ett läromedel inte gör det. Det blev tydligt under intervjuerna att lärarnas erfarenheter av användandet av begreppet kommutativitet påverkas av det läromedel som används. Lärare F, som utgår från ett läromedel som inte tar upp begreppet, säger dock att hen förmodligen skulle använda begreppet om hen hade haft ett läromedel som tog upp det. Lärare B berättar också att hens uppfattning av användandet av begreppet förändras när hen kom i kontakt med ett läromedel som tog upp begreppet och hen fick således nya erfarenheter kring begreppet kommutativitet.
22 6.3 Resultatsammanfattning
I sin undervisning använder de flesta lärare sig av plockmaterial för att visa hur kommutativa lagen fungerar. De har erfarenheter av att plockmaterial är ett bra sätt att synliggöra kommutativitet på ett konkret sätt. Lärarna har olika erfarenheter kring huruvida eleverna ska bygga och laborera själva eller om läraren ska visa med hjälp av materialet. De har uppfattningen av att det beror på vilken elevgrupp som undervisas. Tre av lärarna väljer också att i sin undervisning koppla samman det med subtraktionen. När de undervisar i subtraktion väljer de att använda sig av kommutativa lagen för att visa för eleverna att i det här räknesättet fungerar det inte att byta plats på termerna. Lärarna har också erfarenheter av att använda samtal och diskussioner för att eleverna ska få en djupare förståelse för kommutativitet. De uppfattar samtal och diskussioner som väldigt viktigt, då eleverna får höra varandras resonemang. Även area, upprepad addition och rita bilder var sätt som lärarna hade erfarenheter av när det kommer till undervisning om kommutativitet i multiplikation. Resultatet visar tydligt på att lärarna har erfarenheter av olika sätt att undervisa elever när det kommer till kommutativitet.
Fyra av sex lärare har erfarenheter av att använda begreppet i sin undervisning, de resterade två har det inte. Av de lärare som använde begreppet, visar det sig att de har erfarenheter av att eleverna kan lära sig det och att det är viktigt att eleverna kan prata matematik och använda de rätta begreppen. De lärare som inte använde begreppet var det en som inte hade någon erfarenhet av begreppet sedan tidigare och en som uppfattar begreppet som väldigt abstrakt och svårt för eleverna att ta till sig. Alla lärare påpekade dock att deras erfarenheter av användandet påverkas till viss del av vilket läromedel de använder i sin matematikundervisning.
23
7 Resultatdiskussion
Resultatet diskuteras i relation till vad forskning säger, i relation till styrdokument och utifrån en fenomenografisk ansats.
7.1 Lärares sätt att undervisa om kommutativitet
Resultatet visade att lärarna använde sig av olika sätt att undervisa på när det kommer till den kommutativa lagen, där det vanligaste sättet var att använda sig av plockmaterial. Tidigare forskning har visat att användandet av plockmaterial är ett bra sätt för att eleverna ska utveckla sin förståelse och förmåga att använda sig av kommutativitet (Baroody et al., 1983; Canobi et al., 2002). Studierna visade att elever som använde plockmaterial hade lättare att förstå den kommutativa lagen genom att de inte tog hänsyn till vilken hög de räknande först. Plockmaterialet gjorde det konkret för eleverna och ökade deras förståelse (Baroody et al., 1983; Canobi et al., 2002). Marton & Booth (2000) skriver att hur människor uppfattar ett fenomen, i det här fallet kommutativitet, grundar sig i vilka erfarenheter de har av fenomenet sedan tidigare. Då lärarnas främsta uppfattning av kommutativitet var att det är väldigt abstrakt och att de har erfarenheter av att det är svårt för eleverna att förstå, väljer de att använda plockmaterial för att göra det konkret.
Samtal och diskussioner var sätt som lärarna hade erfarenheter av att använda, vilket stämmer överens med den forskning som finns på området. Studier har visat att elever ökar sin förståelse för kommutativitet om de får möjlighet att prata om och förklara hur de gör när de löser matematiska uttryck (Canobi et al., 1998). Studien visade också att elever som fick sätta ord på hur de gör när de räknar kommutativt, visade en högre förståelse och högre användning av räknelagen än de elever som inte satte ord på det (Canobi, et al., 1998). Det kan också göras en koppling till läroplanen där det står att elever genom undervisning ska få möjlighet att föra matematiska resonemang (Skolverket, 2019). Resultatet visade också att lärarna har erfarenheter av att använda sig av samtal och diskussioner samtidigt som de använder plockmaterial, för att de kompletterar varandra på ett sätt som kan öka elevernas förståelse. Utifrån det drar jag slutsatsen att det kan vara fördelaktigt att kombinera olika sätt, för att nå så många elever som möjligt.
Att använda subtraktion som ett sätt för att visa var kommutativa lagen inte är och att den inte fungerar att använda på subtraktion var det några lärare som hade erfarenhet av. Det kan kopplas till läroplanen där det står att eleverna i årskurs 1-3 ska lära sig de fyra
24 räknesättens egenskaper och samband (Skolverket, 2019). Då många lärare uppfattar kommutativitet som svårt delvis för att det inte fungerar på alla räknesätt, drar jag en slutsats av att det är viktigt att eleverna får lära sig att räknelagen inte fungerar på alla räknesätt.
Ytterligare ett sätt som en lärare hade erfarenhet av var användandet av upprepad addition. Det går således emot den forskning som finns på området (Larsson, 2016; Pettito & Ginsburg, 1982; Schliemann et al., 1998). Dessa studier har visat att upprepad addition försvårar elevernas förståelse för kommutativa lagen för att den inte synliggörs på ett tydligt sätt (Larsson, 2016; Pettito & Ginsburg, 1982; Schliemann et al., 1998). Trots att tidigare forskning har visat att upprepad addition försvårar, väljer jag ändå att dra slutsatsen att upprepad addition kan vara ett fungerande sätt, då läraren av erfarenhet berättade att det fungerade. Det kan bero på hur den undervisande läraren väljer att synliggöra kommutativiteten vid användandet av upprepad addition. Kommutativitet kan även förenkla en upprepad addition, då 9 ∙ 2 (9 + 9) är lättare att räkna än 2 ∙ 9 (2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2).
Även att rita bilder och area var det lärare som hade erfarenhet av. Det kan tolkas att rita bilder stämmer överens med det Larsson (2016) beskriver som lika grupper. Dock pekar Larssons forskning på att lika grupper inte visar kommutativitet, då sådan undervisning ofta fokuserar på multiplikator och multiplikand (antalet grupper och antalet i varje grupp). Utifrån den erfarenhet som läraren beskrev fokuserar denne inte på multiplikator och multiplikand när hen använde sig av rita bilder i sin undervisning. Läraren fokuserade istället på att en multiplikation kan ritas på två sätt. Utifrån det läraren har berättat kan jag därför dra en slutsats att rita bilder kan visa kommutativitet, om fokus inte ligger på multiplikator och multiplikand.
En av lärarna berättade att hen visar på kommutativitet när hen undervisar om area. Area kan kopplas samman med det Hurst (2017) kallar för matriser, då areaenheter kan jämföras med de rutor som finns i en matris. Hursts (2017) studie har visat att matriser synliggör kommutativitet i multiplikation på ett tydligt sätt, vilket stämmer överens med det läraren har berättat.
En tanke som uppkom i samband med intervjuerna var att när lärarna berättade hur de undervisar om kommutativitet, både i addition och multiplikation, kommer det fram att det är sätt som de vanligtvis använder i sin matematikundervisning. Utifrån det kan jag dra
25 slutsatsen att de olika sätten som lärarna berättar om är återkommande i deras undervisning och används inte bara för att synliggöra kommutativitet. Utifrån lärarnas långa erfarenhet av läraryrket kan ytterligare en slutsats dras att det är framgångsrika sätt, då lärarna själva berättade att de fungerar.
Ett annat intryck baserat på vad lärarna sa under intervjuerna är att det läggs störst fokus på kommutativitet när det kommer i addition. När det sedan är dags för eleverna att räkna multiplikation, använder många lärare samma sätt att undervisa på och väljer också att koppla tillbaka till kommutativitet i addition. Det kan kopplas till läroplanen där det står att eleverna ska kunna de fyra räknesättens egenskaper och samband (Skolverket, 2019). Ett samband skulle kunna vara den kommutativa lagen, att den fungerar att använda på båda räknesätten.
Alla lärarna tänkte på räknestrategin störst-först när kommutativitet kom på tal. I kursplanen för matematik står det att eleverna ska lära sig strategier för matematisk problemlösning (Skolverket, 2019). Det kan därför göras en tolkning att lärarna har erfarenheter av kommutativitet som strategi och att de synliggör denna strategi på olika sätt i sin undervisning.
7.2 Begreppsanvändning
Resultatet visade att fyra av sex lärare har erfarenhet av att använda begreppet kommutativitet och två av lärarna har erfarenhet av att inte använda det. Utifrån resultatet går det urskilja att lärarna har kvalitativt skilda uppfattningar av begreppet kommutativitet, vilket speglar deras val av att använda det eller inte. En av lärarna hade inte hört begreppet själv tidigare. Marton och Booth (2000) skriver att uppfattningar grundar sig i erfarenheter och eftersom läraren inte har någon erfarenhet av begreppet kommutativitet, går det heller inte urskilja en uppfattning av det. Forskning har visat att begreppet kommutativitet inte är nödvändigt för eleverna att kunna och att det inte påverkar elevernas förståelse av kommutativitet (Baroody & Gannon, 1984; Canobi et al., 1998; Hurst, 2017). I dessa studier använde eleverna andra ord för att beskriva kommutativitet och de kunde använda räknelagen på ett korrekt sätt ((Baroody & Gannon, 1984; Canobi et al., 1998; Hurst, 2017). En av lärarna uppfattar begreppet kommutativitet som ett av de matematiska begrepp som eleverna ska kunna. Det kan kopplas till läroplanen där det står att eleverna genom undervisning ska ges förutsättningar att utveckla en förtrogenhet med matematiska begrepp (Skolverket, 2019). En annan uppfattning som går att urskilja är att
26 kommutativitet är ett begrepp som bör användas, men det finns inget krav på eleverna i de lägre årskurserna att de ska kunna det utantill. En av de lärarna som inte använder sig av begreppet kommutativitet uppfattar det som att eleverna inte behöver kunna det för att förstå innebörden och har således också erfarenhet av att elever förstår det utan att kunna begreppet.
Det som också kom fram genom resultatet var att lärarna hade erfarenhet av två olika läromedel, varav ett tar upp begreppet och ett gör det inte. Jag kan inte undvika att göra tolkningen att användningen av begreppet delvis grundar sig i det läromedel som används. Marton och Booth (2002) skriver att en erfarenhet av ett fenomen kan förändras om det framträder i en ny situation. En av lärarna berättar att hen inte använde begreppet kommutativitet i sin undervisning innan hen kom i kontakt med ett nytt läromedel. Här blir det tydligt att erfarenheter kan ändras om det framkommer i en ny situation.
Som tidigare nämnts står det i kursplanen för matematik att elever ska ges förutsättning att utveckla en förtrogenhet med matematiska begrepp (Skolverket, 2019). Det står dock inte vilka begrepp som eleverna ska bli förtrogna med och forskning har visat att det inte påverkar elevernas förståelse om begreppet inte används (Baroody & Gannon, 1984; Canobi et al., 1998; Hurst, 2017). Utifrån forskning, kursplanen och det lärarna har berättat kring deras erfarenheter av begreppet drar jag en liknande slutsats angående begreppet kommutativitet. Det finns inget rätt eller fel, utan valet att använda begreppet i sin undervisning är upp till den undervisande läraren och dennes erfarenheter av det. Att använda begreppet kommutativitet eller att inte göra det, kommer inte spela någon roll för elevernas förståelse.
7.3 Avslutning och förslag till fortsatt forskning
Resultatet visade att lärarna använder olika sätt att undervisa samt att de även kombinerar dessa sätt i sin undervisning av den kommutativa lagen. Några av sätten att undervisa stämmer överens med den forskning som finns på området, andra gör det inte. Lärarna visar dock tydliga erfarenheter kring deras sätt att undervisa och uppfattar dem som framgångsrika sätt för att möjliggöra lärande. Hur lärarna väljer att använda begreppet kommutativitet, om de benämner det med andra ord eller använder det faktiska ordet, beror på vilka erfarenheter de har av begreppet sedan tidigare.
Efter att ha genomfört denna studie finns det flera intressanta vägar att gå. Det hade varit intressant att få möjlighet att intervjua lärare och elever i samma klass, för att få ta del av
27 olika perspektiv utifrån samma undervisning, möjligen också i kombination med en observation av ett undervisningstillfälle. Det hade också varit intressant att få möjlighet att genomföra en learning study för att kunna urskilja eventuella kritiska aspekter som kan uppstå när det kommer till elevers förståelse och användning av kommutativitet.
28
8 Referenser
Ahrne, G., & Svensson, P. (2015) Handbok i kvalitativa metoder (2. uppl.). Liber Aritmetik. (u.å.). I Nationalencyklopedin. Hämtat från
http://www.ne.se/uppslagsverk/encyklopedi/lång/aritmetik
Baroody, A.J., & Gannon, K.E., (1984). The development of the commutativity principle and economical addition strategies. Cognition and instruction, 14(3), 321-339. https://doi.org/10.1207/s1532690xci0103_3
Baroody, A. J., Ginsburg, H. P., & Waxman, B. (1983). Children's use of mathematical structure. Journal of research in mathematics education, 14(3), 156-168. https://doi.org/10.2307/748379
Bermejo, V., & Rodriguez, P. (1993). Children's understanding of the commutative law of addition. Learning and instruction, 3, 55-72. https://doi.org/10.1016/S0959-4752(09)80005-4
Bryman, A (2018). Samhällsvetenskapliga metoder. Liber
Canobi, K. H., Reeve, R. A., & Pattison, P. E. (1998). The role of conceptual
understanding in children's addition problem solving. Developmental Psychology,
34(5), 882-891. https://doi.org/10.1037/0012-1649.34.5.882
Canobi, K. H., Reeve, R. A., & Pattison, P. E. (2002). Young children's understanding of addition concepts. Educational Psychology, 22(5), 513-532.
https://doi.org/10.1080/0144341022000023608
Haider, H., Eichler, A., Hansen, S., Vaterrodt, B., Gaschler, R., & Frensch, P. A. (2014). How we use what we learn in math: An intergrative account of the development of commutativity. Frontline learning research, 1, 1-21.
https://doi.org/10.14786/flr.v2i1.37
Hansen, S. M., Haider, H., Eichler, A., Godau, C., Frensch, P. A., & Gaschler, R. (2015). Fostering formal commutativity knowledge with approximate arithmetic. PLOS
ONE, 10(11), 1-27. https://doi.org/10.1371/journal.pone.0142551
Heiberg Solem, I., Alseth, B., & Norberg, G. (2011). Tal och tanke -
matematikundervisning från förskoleklass till årskurs 3. Studentlitteratur
Hurst, C. (2017). Children have the capacity to think multiplicativitly, as long as...
European Journal of STEM Education, 2 (3), 1-14.
https://doi.org/10.20897/ejsteme/78169
Jansson, M., & Karlsson, L. (2019). Elevers förståelse av kommutativitet – en
litteraturstudie om elevers förståelse och användning av kommutativitet.
[Kandidatuppsats, Jönköping University] DiVa. http://www.diva-portal.org/smash/get/diva2:1320464/FULLTEXT01.pdf
29 Larsson, K. (2016). Students' understandnings of multiplication. [Doktorsavhandling,
Stockholms Universitet] DiVa.
http://www.diva-portal.org/smash/record.jsf?pid=diva2%3A1038458&dswid=mainwindow Larsson, S. (1986) Kvalitativ analys – exemplet fenomenografi. Studentlitteratur Löwing, M. (2017) Grundläggande aritmetik. Studentlitteratur
Löwing, M., & Kilborn, W. (2003). Huvudräkning. Studentlitteratur
Marton, F. (1997). Mot en medvetandets pedagogik. I M.Uljens (red.) Didaktik. (s.98– 119). Studentlitteratur
Marton, F., & Booth, S. (2000) Om lärande. Studentlitteratur
McIntosh, A. (2008) Förstå och använda tal – en handbok. Nationellt centrum för Matematikutbildning
Pettito, A. L., & Ginsburg, H. P. (1982). Mental arithmetic in Africa and America; Strategies, principles and explanations. International Journal of Psychology, 17, 81-102. https://doi.org/10.1080/00207598208247433
Ristola, K., Tapaninaho, T., & Tirronen, L (2012). Favoritmatematik 1a. Studentlitteratur Schliemann, A. D., Araujo, C., Cassundé, M. A., Macedo, S., & Nicéas, L. (1998). Use
of multiplicative commutativity by school children and street sellers. Journal of
research in mathematics education, 29(4), 422–435.
https://doi.org/10.2307/749859
Skolverket (2017) Kommentarmaterial till kursplanen i matematik. Skolverket
Skolverket (2019) Läroplan för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet 2011:
reviderad 2019. Skolverket
Vetenskapsrådet. (2002). Forskningsetiska principer inom
Bilagor
Bilaga 1 – Intervjuguide
1. Hur länge har du arbetat som lärare? 2. Hur länge har du undervisat i åk 1-3?
3. Läs ur kursplanen för matematik “De fyra räknesättens egenskaper och samband samt användning i olika situationer” s. 55
- Vilka egenskaper tror du att kursplanen syftar på?
4. Vad tänker du på när du hör kommutativitet/kommutativa lagen? 5. Undervisar du dina elever om kommutativitet i:
− Addition − Multiplikation 6. Varför/Varför inte?
7. På vilket sätt undervisar du eleverna om kommutativitet i: − Addition
− multiplikation
8. Varför väljer du att undervisa på det sättet?
9. Nämner du kommutativitet (kommutativa lagen) vid namn när du undervisar? − Varför/varför inte?
10. Var någonstans i den centrala innehållet uppfattar du att kommutativa lagen kommer fram?
Bilaga 2 – Samtyckesblankett
Hej.
Mitt namn är Lisa Karlsson och jag är student vid Jönköping University där jag går sista året på grundlärarutbildningen med inriktning mot undervisning i årskurs F-3. Under våren kommer jag skriva mitt examensarbete i samarbete med forskningsgruppen för matematikdidaktik. Jag söker nu därför erfarna lärare i årskurs 1-3 som kan ställa upp på en intervju om hur läroplanens centrala innehåll omsätts i praktiken.
Jag skulle vara tacksam om du som är verksam lärare i årskurs 1-3 skulle kunna tänka dig att låta dig intervjuas. Intervjun kan förslagsvis genomföras på er arbetsplats, men vill du hellre ha ett webb-möte så kan jag säkert ordna det istället. Intervjun kommer pågå i ca 30 minuter och den kommer att spelas in. Intervjuinspelningen kommer utgöra data för forskningsstudien och kommer lagras på ett säkert sätt och behandlas i enlighet med gällande dataskydds förordning (GDPR). Det betyder att i examensarbetet kommer du och den skola du arbetar på att avidentifieras, bara jag kommer känna till vilka som intervjuas. Materialet kommer endast användas i forskningssyfte.
Deltagandet är frivilligt och du kan när som helst avbryta din medverkan utan att ge någon anledning, men vi är mycket tacksamma om du på detta sätt skulle vilja bidra till en större kunskap om läraryrkets utmaningar.
Har du frågor är du välkommen att kontakta mig: Mail: kali1693@student.ju.se
Tel: 0763172774
Matematikdidaktikgruppen på JU nås enklast via: Mail: robert.gunnarsson@ju.se
Tel: 036-101375
För att följa god forskningsed skulle jag behöva ha ditt skriftliga medgivande till att delta i studien. Ta med det här pappret till intervjun eller maila en kopia på det underskrivna till mig.
Ja, jag har tagit del av informationen och vill delta i studien. Genom att göra det godkänner jag också att intervjudata hanteras i enlighet med gällande dataskyddsförordning (GDPR)
Namnteckning
