LÄRARPROGRAMMET
”Höjden gånger bredden gånger antal”
Elevers matematiska
begreppsförståelse i gymnasieskolan
Emmy Ivarsson och Louise Karlesand
Examensarbete 15 hp Höstterminen 2008
Handledare: Clas Lilja
HÖGSKOLAN I KALMAR
Humanvetenskapliga Institutionen
Arbetets art:
Examensarbete, 15 hp
Lärarprogrammet
Titel:
”Höjden gånger bredden gånger antal”
Elevers
matematiska
begreppsförståelse
i
gymnasieskolan
Författare: Emmy
Ivarsson
och Louise Karlesand
Handledare: Clas
Lilja
SAMMANFATTNING
Syftet med undersökningen var att ta reda på hur väl utvecklad elevernas matematiska begreppsförståelse är och hur deras matematiska begreppsförståelse påverkar deras förmåga att lösa matematiska uppgifter. Vi valde att undersöka elever som var i inledningen av kursen Matematik A på gymnasiet.
Undersökning utgick från två olika enkäter som besvarades av 55 elever. Enkäterna grundade sig i de sju begrepp som valdes ut och som ansågs var grundläggande för vardags- och studielivet. De utvalda begreppen var; diagonal, differens, rätvinklig triangel, hypotenusa, area, procent och medelvärde. På enkät A skulle eleverna med egna ord kortfattat beskriva begreppen och på enkät B skulle de utföra sju utvalda uppgifter som alla berörde ett utav begreppen. Vår undersökning tyder på att begreppsförståelsen inte är så väl utvecklad hos eleverna när de börjar läsa matematik på gymnasiet. De kan i många fall beskriva hur uträkningen skulle ha sett ut men de flesta saknar förmågan att uttrycka sig matematiskt korrekt.
Vi ser tendenser till ett samband mellan elevernas matematiska begreppsförståelse och deras förmåga att lösa matematiska uppgifter men inga generella slutsatser kan dras. För att ge eleverna en god matematikutbildning behöver matematiklärarna aktivt arbeta med språket i undervisningen.
INNEHÅLL
1 INTRODUKTION ... 3
2 BAKGRUND ... 4
2.1 Vad är matematik? ... 4
2.2 Styrdokument ... 4
2.3 Språkets betydelse i matematikundervisningen ... 5
2.4 Vardagsspråk och matematiskt språk ... 6
2.5 Begreppsbildning ... 7 2.6 Matematiska begrepp ... 7 2.7 Sammanfattning av bakgrund ... 8 3 SYFTE ... 9 4 METOD ... 10 4.1 Urval ... 10 4.2 Datainsamlingsmetod ... 10 4.3 Genomförande ... 12 4.4 Databearbetning Enkät A ... 12 4.4.1 Definition av begreppen ... 12 4.4.2 Våra nyckelord ... 13 4.4.3 Bedömning ... 13 4.5 Databearbetning Enkät B ... 14 4.5.1 Facit ... 14 4.5.2 Bedömning ... 14 5 RESULTAT ... 15 5.1 Sammanfattning av resultat ... 15 5.2 Begreppsförståelse ... 15 5.2.1 Diagonal ... 15 5.2.2 Differens ... 16 5.2.3 Rätvinklig triangel ... 16 5.2.4 Hypotenusa ... 16 5.2.5 Area ... 17 5.2.6 Procent ... 17 5.2.7 Medelvärde ... 18
5.3 Förmåga att lösa matematiska uppgifter ... 18
5.3.1 Diagonal ... 18 5.3.2 Differens ... 19 5.3.3 Rätvinklig triangel ... 19 5.3.4 Hypotenusa ... 19 5.3.5 Area ... 20 5.3.6 Procent ... 20 5.3.7 Medelvärde ... 20 6 DISKUSSION ... 21 6.1 Metoddiskussion ... 21
6.1.1 Reliabilitet och Validitet ... 21
6.1.2 Felkällor ... 21
6.2.1 Begreppsförståelse ... 22
6.2.2 Elevernas förmåga till att lösa matematiska problem ... 23
6.3 Slutsats ... 24
1
INTRODUKTION
Uppslaget till vårt examensarbete fick vi under den verksamhetsförlagda utbildningen på Au3 då vi skulle genomföra ett språk- och IT-projekt. Vi lät då eleverna göra sin egen ordlista i början av lektionerna och upptäckte då att det fanns en del brister i deras begreppsförståelse. Som blivande matematiklärare ville vi därför undersöka saken närmare. Syftet med vår undersökning var att undersöka hur väl utvecklad elevernas matematiska begreppsförståelse var men också att se om deras förmåga att lösa uppgifter hänger ihop med deras begreppsförståelse.
Vi tycker att det här är ett intressant och viktigt område att ha kunskap om som lärare. De resultat vi får fram kommer vi dessutom kunna ha nytta av i undervisningen i andra ämnen än matematik.
2
BAKGRUND
2.1
Vad är matematik?
Matematiken har en lång historia bakom sig och den är under ständig utveckling. Ett matematiskt kunnande ska ge ett självförtroende och en kompetens att kunna påverka och delta i vårt samhälle, det är en demokratisk rättighet (Skolverket 2003).
Matematiken har en alltmer betydande uppgift i samhället. Många av de politiska och administrativa beslut som tas grundar sig i ett matematiskt och statistiskt material. Ofta används matematisk bevisföring och argumentering, vilket kräver mer än grundkunskaper i matematik för att kunna tolka och kritiskt granska (Unenge, Sandahl & Wyndhamn 1994).
Matematiken är ett tankeinstrument som användes i så väl vardagen som i vetenskapen, vilket gör att den är ett viktigt ämne för utbildningen.
Många har goda erfarenheter av matematikstudier och tycker att matematiken ger utrymme för utmaning och stimulans. Alltför många elever har tyvärr negativa erfarenheter av matematik i form av att meningen med ämnet är otydlig och ämnet upplevs svårt och komplicerat. Detta kan bidra till att de upplever misslyckande och i vissa fall även ångest, känslor som kan följa med ända upp i vuxenlivet. Den här känslan inför matematik kan lätt avspegla sig på nästa generation. Lärare behöver därför se matematiken som ett orienterande och bildande ämne. För att kunna ge alla möjligheten att bli kritiska medborgare och att bygga upp ett livslångt lärande så behöver de som undervisar i matematik ha kunskap om och i matematik. Dagens matematikutbildning ska ge möjligheter för både privat- och yrkesliv, vidare studier och ett livslångt lärande. Tidigare har matematikundervisning varit inriktad på beräkningar, förenkling av algebraiska uttryck och lösande av ekvationer, men på senare tid har undervisningen fokuserat mer på tillämpningar, kommunikation och problemlösningsförmåga (Skolverket 2003).
2.2
Styrdokument
I kursplanen för gymnasieskolan i matematik (Skolverket 2008) betonas skolans uppgift på följande sätt:
Skolan ska i sin undervisning i matematik sträva mot att eleverna
utvecklar sin förmåga att tolka, förklara och använda matematikens språk, symboler, metoder, begrepp och uttrycksformer
utvecklar sin förmåga att tolka en problemsituation och att formulera den med matematiska begrepp och symboler samt välja metod och hjälpmedel för att lösa problemet
utvecklar sin förmåga att i projekt och gruppdiskussioner arbeta med sin begreppsbildning samt formulera och motivera olika metoder för problemlösning.
I kursmålen för Matematik A (Skolverket 2008) kan man läsa målen som eleverna ska ha uppnått efter avslutat kurs:
Eleven skall:
Ha fördjupat kunskaperna om geometriska begrepp och kunna tillämpa dem i vardagssituationer och i studieinriktningens övriga ämnen.
Även i Lpf 94 läggs viss vikt vid elevernas språkutveckling och även deras kunskapsutveckling inom matematik:
Mål att uppnå efter avslutat program är att eleven
Kan uttrycka sig i tal och skrift så väl att elevens språk fungerar i samhälls- yrkes- och vardagslivet och för fortsatta studier,
Kan formulera, analysera och lösa matematiska problem av betydelse för yrkes- och vardagsliv.
2.3
Språkets betydelse i matematikundervisningen
Malmer (1999) beskriver att många elever uppfattar matematik som ett främmande språk. Detta främmande språk är inte en del av elevernas verklighet, utan något som de endast kommer i kontakt med i skolans värld. Språk och tänkande hör ihop. För att eleverna ska kunna känna sig delaktiga och kunna tänka abstrakt och teoretiskt behöver de ha tillgång till ord och begrepp som de förstår.
I Nationella kvalitetsgranskningar menar Skolverket (2003) att ett väl utvecklat språk är nödvändigt för allt lärande, så även i matematik. Det är med hjälp av språket som begrepp utvecklas. Att eleverna själva får vara med i samtal kring matematik och förklara hur de tänkt gör att deras matematiska språk utvecklas.
Malmer (1990) betonar att lärare i större grad bör tala matematik med sina elever. Elever bör även få möjlighet att tala matematik med varandra. Då kommer de själva formulera sina tankar i ord vilket leder till en höjning av tänkandets kvalité. Språket är ett nödvändigt medel för att bygga upp och utveckla begrepp och föreställningar om matematiska förhållanden. Det har av det skälet stor betydelse för inlärningen, varför man bör ägna mer tid åt detta moment än vad som vanligen sker.
Berggren och Linderoth (1997) menar att det finns två sidor av problemet med matematik och språk. Det ena är elever med språksvårigheter och det andra är elever som saknar matematiska begrepp. De elever som saknar matematiska begrepp kan vara både elever som har svenska som modersmål och elever som har något annat modersmål än svenska. Har eleven svårigheter med språket så kommer den att få svårt att lösa uppgifter. Elever som saknar matematiska begrepp förstår uppgifterna i stort med har svårt att förstå detaljer. Det är därför viktigt att den matematiska kommunikationen tränas både muntligt och skriftligt. (a.a.)
Genom att läraren fungerar som en samordnare mellan ämnesinnehåll och elever så är det hon/han som sätter mallarna för hur det kommuniceras i klassrummet. Lärarens sätt att uttrycka sig i undervisningen blir grunden till hur den fortsatta kommunikationen i klassrummet blir. En av de viktigaste uppgifterna för matematikläraren blir därför att själv använda ett effektivt språk och det kräver en stor matematisk språkkänsla. När nya begrepp ska introduceras så är det viktigt att eleverna lär sig den fullständiga betydelsen från början. Ett exempel som Löwing (2006) tar upp är begreppet ”lika med”. Begreppet får ofta betydelsen ”det blir”, vilket kan fungera till en början; 3 + 4 blir 7. Problem uppstår däremot när ekvationer ska lösa eller uppgifter med luckor exempel: 7 = 3 + __ (Löwing 2006).
2.4
Vardagsspråk och matematiskt språk
Löwing & Kilborn (2002) menar att eleverna till större del använder sig av vardagsspråket än det matematiska språket under lektionerna. De delar med, istället för dividerar. I längden är det dock viktigt att eleverna mer och mer börjar anamma det matematiskt korrekta språket. Vid djupare studier i matematik räcker inte vardagsspråket till, utan ett bredare ordförråd och djupare begreppsförståelse krävs.
Malmer (1999) menar att läraren bör vara ”tvåspråkig” i sin matematikundervisning genom att uttrycka sig både med matematiskt korrekta begrepp men även med ”vardagsbegrepp”. Ett exempel på detta är att läraren kan uttrycka sig att nu ska vi addera termerna – lägga ihop talen. På detta sätt får eleverna en ständig påminnelse om de matematiska begreppen.
”En viktig förutsättning för att matematikundervisningen skall fungera är att lärare och elever använder ett adekvat språk” (Löwing 2006 s143).
Den kommunikation som sker på akademisk nivå är mycket speciell och internationellt gångbar. Den typen av kommunikation kan man av naturliga skäl inte använda i grundskolan. I grundskolan får läraren bygga undervisningen på ett mer vardagligt språk och efter hand bygga upp elevernas matematiska språk. (a.a.)
Malmer (1999) diskuterar vissa ord som hon vill kalla ”matematiska ord” därför att de sällan förekommer i vardagslivet. Exempel på sådana ord är addition, subtraktion och summa. Det är viktigt att introducera dessa ord tidigt för eleverna så att de kan känna igen de senare och ta de till sig som matematiska begrepp.
Matematiska begrepp kan anses vara språkberoende. Detta innebär att dessa fakta endast finns "i språket". Många av de matematiska begreppen är endast en verbal symbol utan grund i något som våra sinnen observerat Stendrup (2001).
De är därför i grunden sociala "överenskommelser" i matematiskt symboliskt och begreppslig form som gör det möjligt för oss att kunna påstå något om och förhålla oss till vår omvärld (Stendrup 2001).
Vygotskij (1999) menar att vardagsbegrepp bygger på empiriska erfarenheter till skillnad från vetenskapliga begrepp som är teoretiska. Undervisningen bör innehålla moment som förenar dem. Läraren har som uppgift att låta elevernas erfarenheter ställas mot de vetenskapliga begreppen. I detta möte utvecklas elevens spontana tänkande.
2.5
Begreppsbildning
Arevik och Hartzell (2007) diskuterar tankekvaliteter som kännetecknas av att lärarna strävar efter att utveckla elevernas språkligt begreppsliga förståelse. Som mål eller objekt i undervisningen bör därför olika former av språkligt tänkande ingå.
Tankekvaliteterna är kvalitativa mål vi vill att eleverna ska erövra. De utgör de begreppsliga redskap som ger oss möjligheter att t.ex. komma åt ämnenas organiserande principer, centrala begrepp, kärna och struktur (Arevik & Hartzell 2007).
Vid inlärning av nya begrepp pratat Malmer (1999) om sex nivåer som alltid måste genomgås i rätt ordning:
1. Tänka – tala
Första steget handlar om att eleverna ska få möjlighet att lära sig och förstå matematiska ord. De behöver inte kunna orden utantill utan känna igen begreppet.
2. Göra – pröva
Här ska eleverna få testa på laborativ matematik med konkreta material.
3. Synliggöra
På den tredje nivån har bilder en stor betydelse. Läraren tydliggör med hjälp av kartor, diagram, mönster mm.
4. Förstå – Formulera
Här ska eleverna lära sig förstå symbolspråket i matematik.
5. Tillämpa
Hur och när används den nya kunskapen?
6. Kommunicera
Den sista nivån handlar om att eleverna ska reflektera, beskriva förklara samt diskutera matematik.
2.6
Matematiska begrepp
Procent är ett centralt begrepp inom matematiken. Begreppet introduceras i år 5 och tas sedan upp varje år. Ändå visar undersökningar att elevernas uppfattning av procentbegreppet inte är nog tillfredsställande (Unenge m.fl. 1994).
Det är i grunden en svårighet för många elever att se sambandet mellan decimalform och bråkform. Utifrån den kunskapen så införs ofta begreppet procent som just ”en hundradel” fast nu med en ny symbol (%), detta leder till svårigheter för eleverna. Enligt Unenge m.fl. (1994) är det därför mer logiskt att resonera så här:
Hur mycket är 25 % av 6000 kr? 1 % av 6000 kr är 60 kr.
25 % är då 25 · 60, dvs. 1500 kr.
Det resonemanget överensstämmer mer med hur eleverna har stött på begreppet i naturliga situationer (a.a.).
Begreppet area är komplicerat visar en rad undersökningar. När begreppen omkrets och area har introducerats är det lätt att eleverna blandar ihop de begreppen. För att undvika detta bör man på ett tidigt stadium klarlägga att area är ett mått på storleken av ett område medan omkrets är storleken på områdets rand. Eleverna får lätt uppfattningen att area är något som bara förekommer på matematiklektionerna. (Unenge m.fl. 1994)
Geometriska begrepp inom matematiken används ofta tillsammans med symboler. När begreppet area diskuteras utnyttjas figurer som kvadrat, cirkel och rektangel. Dessa figurer kan ses som symboler. Får eleven ett antal uppgifter som behandlar area och figuren rektangel, kan symbolen rektangel ta överhand över förståelsen för begreppet area (Unenge m.fl. 1994).
2.7
Sammanfattning av bakgrund
I kursplanen för matematik i gymnasieskolan står det att skolan ska sträva mot att eleverna utvecklar sin förmåga att tolka, förklara och använda matematikens språk, symboler, metoder, begrepp och uttrycksformer. Språket är ett nödvändigt medel för att bygga upp och utveckla begrepp och föreställningar om matematiska förhållanden. Att eleverna själva får vara med i samtal kring matematik och förklara hur de tänkt gör att deras matematiska språk utvecklas.
En av de viktigaste uppgifterna för matematikläraren blir att själv använda ett effektivt språk och det kräver en stor matematisk språkkänsla. Ska nya begrepp introduceras så är det viktigt att eleverna lär sig den fullständiga betydelsen från början. Läraren bör vara ”tvåspråkig” i sin matematikundervisning genom att uttrycka sig både med matematiskt korrekta begrepp men även med ”vardagsbegrepp”. Ett exempel på detta är att läraren kan uttrycka sig att nu ska vi addera termerna – lägga ihop talen. På detta sätt får eleverna en ständig påminnelse om de matematiska begreppen.
En viktig förutsättning för att matematikundervisningen skall fungera är att lärare och elever använder ett adekvat språk (Löwing, 2006 s. 143).
Den kommunikation som sker på akademisk nivå är mycket speciell och internationellt gångbar. Den typen av kommunikation kan lärare av naturliga skäl inte använda i grundskolan. I grundskolan får läraren bygga undervisningen på ett mer vardagligt språk och efter hand bygga upp elevernas matematiska språk
Geometriska begrepp inom matematiken används ofta tillsammans med symboler. Risken är att symbolen kan ta överhand över förståelsen för begreppet.
3
SYFTE
Med bakgrunden som stöd har vi valt att undersöka hur väl eleverna förstår matematiska begrepp. Samt hur det påverkar deras förmåga att lösa matematiska uppgifter. Vi har valt att rikta in studien på gymnasieelever som läser
Matematik A. Nedanstående frågeställningar blir därför utgångspunkten för undersökningen.
• Hur väl utvecklad är elevernas matematiska begreppsförståelse?
• Hur påverkar elevernas begreppsförståelse deras förmåga att lösa matematiska uppgifter?
4
METOD
4.1
Urval
Trost (2001) betonar vikten av att begränsa sin undersökningsgrupp. Vi har valt att genomföra undersökningen på elever som under läsåret 2008/2009 läser Matematik A. Eftersom undersökningen omfattade sju matematiska begrepp och även uppgifter som utgick från begreppen valde vi att begränsa elevantalet till två klasser, totalt femtiofem elever.
Vi gjorde alltså ett icke-slumpmässigt urval då vi valde två klasser på samma skola. Dessa två klasser var bra lämpade av praktiska skäl då vi hade träffat dem på vår verksamhetsförlagda utbildning. Vi hade alltså redan en personlig relation med eleverna. Enligt Trost (2001) är det viktigt att relationen mellan respondenterna, i vårt fall eleverna, och den som genomför undersökningen är så god som möjligt. Om eleverna litar på oss är det större chans att de uppfattat enkäten som väsentlig.
4.2
Datainsamlingsmetod
Det gäller att välja en datainsamlingsmetod som ger den största möjligheten till att våra frågeställningar besvaras. Vi valde att göra en enkätstudie då vi ansåg att detta var det bästa sättet för oss att få svar på våra frågor. Enligt Johansson och Svedner (2006) är enkätundersökningen en metod som ger bred men ytlig information.
Beroende på hur det insamlade materialet bearbetas och analyseras kan undersökningen betecknas kvalitativ eller kvantitativ. Kvantitativt inriktad forskning är sådan forskning som använder sig av statistiska bearbetnings- och analysmetoder, medan kvalitativ forskning mer använder sig av verbala metoder. I praktiken kan en undersökning av kvantitativ karaktär ha inslag av verbala analyser. Vår undersökning är av kvalitativ karaktär (Patel & Davidsson, 2003).
Om jag är intresserad av att t.ex. försöka förstå människors sätt att resonera eller reagera, eller av att särskilja eller urskilja varierande handlingsmönster, är en kvalitativ studie rimlig (Trost 2001).
En enkät är en teknik för att samla data som bygger på ett frågeformulär. En enkät kan ha olika grad av strukturering och standardisering. En hög grad av standardisering innebär att frågorna och situationen är densamma för alla deltagande, allt är likadant för alla! Om respondenten får ett stort "svarsutrymme" tyder det på att undersökningen har låg grad av strukturering, medan frågor med svarsalternativ är helt strukturerade. (Patel & Davidsson 2003; Trost 2001). Vår enkät har hög grad av standardisering och låg grad av strukturering.
För vår undersökning har vi konstruerat två enkäter för att på bästa sätt få svar på våra frågeställningar. Enkät A ger eleverna chansen att med egna ord förklara vissa matematiska begrepp. (Se bilaga 1). Efter att eleverna svarat på enkät A samlades denna in och enkät B delades ut. På enkät B fick eleverna försöka lösa uppgifter som hade anknytning till begreppen på enkät A. (Se bilaga 2). Vi valde att skilja begreppsdefinitionerna från räkneuppgifterna för att undvika att eleverna tog hjälp av den ena enkäten för att lösa den andra.
De begreppen vi valde att behandla, valdes av flera anledningar. Dels märkte vi problematiken med vissa av begreppen under den verksamhetsförlagda utbildningen och dels det IT-projekt som genomfördes då. Vi försökte få en bredd på begreppen så att de behandlade olika delar av ämnet matematik. Vi anser att de valda begreppen är av grundläggande karaktär och viktiga ur demokratisk aspekt.
Sammanfattningsvis skulle man kunna säga att enkät A förhoppningsvis kommer ge oss svar på vår första frågeställning; Hur väl utvecklad är elevernas matematiska begreppsförståelse? Medan enkät B kommer att hjälpa oss att besvara den andra frågeställningen; Hur påverkar elevernas begreppsförståelse deras förmåga att lösa matematiska uppgifter?
När vi konstruerade frågorna till enkäterna strävade vi efter att följa Trosts (2001) rekommendationer så noga som möjligt. Vi försökte skriva korta frågor med begripligt och konsekvent språk. Vi var noga med att en fråga verkligen var en fråga och inte flera i en. Ordningsföljden av frågorna försökte vi göra så logisk som möjligt och vi undvek helt värdeladdade ord.
Våra enkäter är helt anonyma, det finns alltså inte någon möjlighet att identifiera individen som deltagit. Till skillnad från en konfidentiell enkät som innebär att den som utför undersökningen vet vem som lämnat ett visst svar. Denna information stannar hos den som utfört undersökningen och en ev. namnlista måste, efter bearbetningen, förstöras. De som deltar i undersökningen måste ha fått denna information innan de svarar på enkäten (Patel & Davidsson 2003).
Vi anser att vårt val av metod ger oss goda förutsättningar för att kunna svara på våra frågeställningar med en hög reliabilitet och validitet. Reliabiliteten är måttet på tillförlitlighet, alltså hur väl enkäten motstår slumpinflytande av olika slag. Reliabiliteten bestäms av hur undersökningen har utförts och hur noggrant man bearbetar informationen. Att ha en god validitet innebär att man mäter det man avser att mäta (Patel & Davidsson 2003).
4.3
Genomförande
Undersökningen genomfördes på en gymnasieskola i sydöstra Sverige. Detta är en skola som vi fått kontakt med under en av våra VFU-perioder.
Vi genomförde en mindre pilotstudie för att försäkra oss om att frågorna vi ställde gav svar på det vi ville undersöka. Enkäterna testades på en mindre grupp elever på samma skola som den "stora" undersökningen genomfördes. Det vi uppmärksammade under pilotstudien var att vi behövde vara tydligare i våra instruktioner. Många elever tenderade att ta miniräknaren till hjälp, vilket vi ansåg vara otillåtet hjälpmedel. Andra kikade på kompisen som satt bredvid, vi var därför tvungna att poängtera att detta var en enskild enkät. Vi behövde också ge tydligare instruktioner när det gällde delen där eleverna själva skulle beskriva begrepp, begreppen skulle beskrivas enbart med ord och inga bilder.
Väl ute på skolan fick vi möjlighet att genomföra studien i inledningen av en matematiklektion. Vi började med att informera hur enkäterna skulle genomföras. Vi poängterade också att enkäterna var helt anonym och gav eleverna valet att inte delta. Enkäterna gjordes på frivillig basis. Vi försökte vara extra tydliga gällande det som uppmärksammats under pilotstudien.
Eftersom bänkarna i de klassrum vi var i var fasta och inte gick att flytta, var det lite besvärligt att se till att eleverna inte kikade på varandra. Vi försökte dock undvika det genom att gå runt i klassrummet bland eleverna under tiden de skrev.
När de skrivit klart den enkät A fick de räcka upp handen. Vi samlade då in enkät A och gav samtidigt eleven enkät B. När de hade skrivit klart även enkät B fick de sitta kvar och vänta tills alla var klara. Allt eftersom samlade vi in enkät B.
Sammanlagt inkom femtiofem enkäter av vardera A och B som bearbetades.
4.4
Databearbetning Enkät A
4.4.1
Definition av begreppen
Det första vi var tvungna att göra när vi skulle bearbeta våra enkäter var att komma överrens om vad som var en godkänd eller en ej godkänd förklaring av de olika begreppen. För att göra detta behövde vi först och främst definiera begreppen tydligt för oss själva. Vi använde oss av matematikböcker och även våra egna erfarenheter och kunskap för att kunna skapa nedanstående tabell (Tabell 1).
Tabell 1. Definitioner av de utvalda matematiska begreppen.
Diagonal En sträcka som sammanbinder två icke närliggande hörn i en månghörning.
Differens Åtskillnad, skillnad, skiljaktighet, olikhet. Differensen mellan två tal fås genom att utföra subtraktion
Rätvinklig triangel En triangel med en rät (90°) vinkel.
Hypotenusa Hypotenusan är alltid den längsta sidan i en rätvinklig triangel, som alltid finns mittemot den räta vinkeln.
Area Yta eller mått på en figurs totala ytinnehåll. Procent Synonym med ordet hundradel.
Medelvärde Ett värde som används för att representera ett genomsnitt för en mängd värden.
4.4.2
Våra nyckelord
Vi använde oss av nyckelord eller i vissa fall nyckelmeningar, för att avgöra om ett svar var godkänt eller icke godkänt. De ord som vi enades om att kalla nyckelord presenteras i Tabell 2.
Tabell 2. Nyckelord som användes vid rättning av enkäter. Diagonal Hörn till hörn
Differens Skillnad Rätvinklig triangel 90°, rät vinkel
Hypotenusa Långa sidan i rätvinklig triangel Area Yta, storlek på område
Procent Hundradel, andel
Medelvärde Snittvärde, genomsnitt
4.4.3
Bedömning
Med nyckelorden tydligt definierade satte vi oss ner tillsammans och gick igenom våra enkäter. Enligt Patel och Davidsson (1994) är det viktigt att ha en god inre logik där delarna kan relatera till en meningsfull enhet. Vi försökte vara så konsekventa som möjligt i vår bedömning och här hjälpte det att ha nyckelorden färdiga redan innan. Det hände dock enstaka gånger att en elev hade förklarat ett begrepp utan nyckelorden men ändå med en tydlighet som tydde på att eleven förstod begreppet. I dessa fall godkändes svaret. Däremot om eleven endast gett ett exempel och inte förklarat vad begreppet betyder har vi underkänt svaret.
Allt eftersom vi gick igenom enkäterna summerades de rätta svaren för sig och de felaktiga svaren för sig. I och med att detta steg gjordes kunde vi jämföra resultaten per begrepp (ex hur många kunde förklara diagonal?), men även per elev (ex hur många rätt hade elev 1?). Det sistnämnda blir av mindre vikt i vår undersökning, så man kan säga att vi fick det på köpet.
4.5
Databearbetning Enkät B
4.5.1
Facit
Bearbetningen av enkät B var av en mer okomplicerad karaktär. Det berodde på att vi hade ett tydligt facit för denna enkät. Detta facit är redovisat i Figur 1. Observera att det på fråga 4 finns flera rätta svar.
Det fanns betydligt mindre tolkningsmöjligheter på enkät B. Antingen var svaret rätt eller fel. På fråga 3 var vi noga med att den räta vinkeln visades, antingen genom en markering för rät vinkel eller att bilden tydligt visade att den vinkeln var rät.
Figur 1. Facit till enkät B.
4.5.2
Bedömning
Eftersom att frågor på enkät A var av en annan karaktär än de på enkät B rättade vi hälften av enkäterna var. Om vi däremot blev osäkra på något svar togs en diskussion innan vi enades om bedömningen av svaret. Vi summerade på samma sätt som tidigare resultaten att kunna jämföra de olika uppgifterna.
När resultatet av båda enkäterna lades jämte varandra kunde vi också se sambanden mellan begrepp och tillhörande uppgift. Detta var till stor hjälp i analysen av vårt resultat. 1. 3°C 2. 58 3. 4. 5. 45 cm2 6. 7a. 40 % 7b. 100
5
RESULTAT
5.1
Sammanfattning av resultat
Nedanstående tabell (Tabell 3) visar en sammanfattning av vårt resultat. Den visar andelen av eleverna som fick godkänt på de olika uppgifterna.
Tabell 3. Sammanfattning av resultatet på enkäterna. Begrepp Andel rätt svar
Enkät A Andel rätt svar Enkät B Diagonal 13 % 55 % Differens 71 % 84 % Rätvinklig triangel 45 % 55 % Hypotenusa 0 % 16 % Area 40 % 85 % Procent 51 % 93 % Medelvärde 36 % 82 %
Det verkar som att eleverna kan räkna med begreppen men att de har svårare att förklara begreppen med egna ord. Det är alltid övervägande fler som har klarat räkneuppgiften än de som har kunnat förklara begreppen.
5.2
Begreppsförståelse
Här följer resultatet av enkät A. I sammanställningen av elevernas begreppsförståelse har vi delat in svaren efter de sju begreppen; diagonal, differens, rätvinklig triangel, hypotenusa, area, procent och medelvärde.
5.2.1
Diagonal
Flertalet av eleverna verkar ha bilden av en diagonal som ett snett streck, men någon djupare förklaring av det sneda sträcket ger de inte. De saknar däremot vetskapen om det finns diagonaler i flerhörningar än en fyrhörning.
Exempel på felaktiga svar: Snett upp/ner
Tvärs över
Exempel på svar som godkändes:
Ett streck som går genom t.ex. en kvadrat, snett över hela, från det ena hörnet till det andra.
5.2.2
Differens
Mer än 70 % av eleverna kunde förklara begreppet differens på ett korrekt sätt. Av de felaktiga svaren så handlade det oftast om att de hade blandat ihop summa och differens.
Exempel på felaktiga svar:
Summan Det är plus.
Exempel på svar som godkändes: Skillnaden mellan två tal Svaret i en subtraktion.
5.2.3
Rätvinklig triangel
Ungefär hälften av eleverna hade kunskapen om vad en rätvinklig triangel är. Av dem som saknade kunskapen hade det flesta förklarat en likbent eller liksidig triangel.
Exempel på felaktiga svar:
En triangel med tre lika långa sidor.
Triangel som har en spets åt höger eller vänster. Exempel på svar som godkändes:
En triangel med en 90° vinkel.
En triangel som har en rät vinkel, alltså 90°.
5.2.4
Hypotenusa
Ingen av eleverna kunde själv formulera en förklaring av vad en hypotenusa är. Det var inte många av eleverna som över huvudtaget hade gjort ett försök till en förklaring. Det var ett fåtal som i alla fall visste att hypotenusan används vid beräkning av Pytagoras sats.
Exempel på felaktiga svar: Basen och längden
5.2.5
Area
Många elever hade valt att förklara ordet area på det sätt som man beräknar area. Arean beräknas mycket riktigt som ”basen multiplicerat med höjden”, men det förklarar inte vad area är. Det visar sig också att det finns elever som blandar ihop area och volym.
Exempel på felaktiga svar:
Massa, uträkning av en ex. cirkels massa är area. Höjden gånger bredden gånger antal.
Exempel på svar som godkändes: Ytan av ett område
När man beräknar arean beräknar man storleken på en yta.
5.2.6
Procent
Det verkar som att eleverna kan ge exempel på vad man kan använda procent till, men de har svårare för att beskriva vad det är. Många hade tagit exempel från vardagslivet där de hade sött på begreppet procent.
Exempel på felaktiga svar:
T.ex. hur många procent i en klass tycker om röd. En rabatt kan få i en sådan form.
Exempel på svar som godkändes: Hundradel
5.2.7
Medelvärde
Eleverna kan berätta hur man räknar ut medelvärdet av ett antal värden men när de ska förklarar begreppet så beskriver de flesta medianvärdet istället. De blandar ihop medelvärde och medianvärde.
Exempel på felaktiga svar:
Ett ungefärligt värde av två tal.
Är det mittersta värdet av flera olika tal. Exempel på svar som godkändes:
Det är som genomsnitt.
Värde i genomsnitt av x antal tal.
5.3
Förmåga att lösa matematiska uppgifter
Här följer resultatet av enkät B. I presentationen av elevernas förmåga att lösa matematiska uppgifter så har vi delat upp svaren efter den rubrik som tillhör varje uppgift.
5.3.1
Diagonal
Rita en valfri geometrisk figur och markera dess diagonal.
Bara lite mer än hälften av eleverna kunde rita ut en korrekt diagonal. Det mest förekommande felet var att de hade ritat ett streck genom en cirkel, precis som en diameter.
Exempel på rätt svar:
Figur 2. Ett korrekt svar från en elev angående begreppet diagonal. Exempel på felaktigt svar:
5.3.2
Differens
Beräkna differensen av 100 och 42
Det här var en uppgift som de flesta kunde besvara. Av de felaktiga svaren ingick de som inte hade skrivit något alls samt de som hade räknat fel men ställt upp talet rätt.
5.3.3
Rätvinklig triangel
Rita en rätvinklig triangel
Precis som i begreppsförklaringen så var det många som blandat ihop rätvinklig, likbent och liksidig triangel. Några fler är hälften kunde rita en rätvinklig triangel.
Exempel på rätt svar
Figur 4. Ett korrekt svar från en elev gällande begreppet rätvinklig triangel. Exempel på felaktigt svar
Figur 5. Ett felaktigt svar från en elev gällande begreppet rätvinklig triangel.
5.3.4
Hypotenusa
Rita en lämplig figur och markera dess hypotenusa med en pil.
Trots att ingen kunde förklara begreppet hypotenusa så var det knappt en femtedel som kunde rita en lämplig figur med inritad hypotenusa.
Exempel på rätt svar
Exempel på felaktigtsvar
Figur 7. Ett felaktigt svar från en elev gällande begreppet hypotenusa.
5.3.5
Area
Beräkna arean av en rektangel med sidorna 9 cm och 5 cm.
En stor del av eleverna klarade den här uppgiften helt korrekt. För de som hade räknat fel var det vanligaste att de hade räknat ut omkretsen istället. Det fanns också några elever som hade räknat fel på ”9 multiplicerat med 5”.
Exempel på rätt svar
Figur 8. Ett korrekt svar från en elev gällande begreppet Area. Exempel på felaktigt svar
Figur 9. Ett felaktigt svar från en elev gällande begreppet Area.
5.3.6
Procent
Hur mycket är 25 % av 400?
Av dem som svarat på enkäten så vad det alla utom fyra elever som kunde frågan om procent. Av dessa fyra var det två som möjligen tänkt rätt men formulerat svaret på ett sätt så vi inte kunde godkänna det. De andra två svaren var helt fel.
5.3.7
Medelvärde
Mån Tis Ons Tor Fre Lör Sön 3°C 5°C 2°C 3°C 2°C 2°C 4°C
Beräkna medeltemperaturen under veckan.
82 % av eleverna löste uppgiften och fick fram rätt medeltemperatur. De övriga hade struntat i att svara på frågan.
6
DISKUSSION
Diskussionen är uppdelad i två delar. I den första delen behandlar vi metodval och genomförande. Den andra delen syftar till att utforska våra resultat och ställa dessa mot bakgrunden och syftet.
6.1
Metoddiskussion
6.1.1
Reliabilitet och Validitet
Utifrån de resultat som framkommit så anser vi att den insamlade data är tillräcklig och relevant för att kunna ge svar på våra frågeställningar. Validiteten (undersökningens avsikt) kan därför anses som god. Vi har undersökt den grupp av elever som vi avsåg att undersöka, elever som läser Matematik A.
Vi har arbetet hårt för att få en så hög reliabilitet (undersökningens tillförlitlighet) på vår undersökning som möjligt. Vi har t.ex. varit tydliga i våra instruktioner till eleverna och gett alla elever samma förutsättningar. I vår bearbetning av resultatet var vi strävat mot att vara konsekventa och rättvisa i vår bedömning. Med litteraturen som bakgrund och diskussioner oss emellan har vi bedömt elevernas svar som godkända eller ej.
6.1.2
Felkällor
Det framkommer i bearbetningen av resultatet att vissa elever kan har tittat på kompisen bredvid. Ultimat hade varit om vi kunnat möblera om så att eleverna suttit mer avskilt. Det finns alltid en risk att eleverna missförstår instruktioner trots att vi försökte vara så tydliga som möjligt. Vi har inte sett några tydliga indikationer på detta i vår undersökning, men faktum kvarstår. Vissa elever kan ha svårt att formulera sig med egna ord, det svaret de har angett kanske inte avspeglar deras egentliga kunskap. Det är svårt att tolka ett uteblivet svar då detta antingen kan bero på att eleven inte kan frågan eller att eleven avsiktligt inte har svarat.
I vår bedömning har vi inte analyserat svaren djupare än det eleverna skrivit. Eventuellt bakomliggande tankar har vi uteslutit i vår bedömning. Vi som rättar enkäterna lägger omedvetet en personlig tolkning i bedömningen av svaren som är svår att komma ifrån. Resultatet hade eventuellt kunnat se annorlunda ut om vi valt andra begrepp eller större antal respondenter. Även de val av klasser och skola som gjorts kan ha påverkat resultatet.
6.2
Resultatdiskussion
6.2.1
Begreppsförståelse
Enligt Unenge m.fl. (1994) kan symboler som används i undervisningen förknippas med ett begrepp till den grad att symbolen tar över. I vår undersökning ser vi sådana tendenser, speciellt när det gäller begreppen area och procent. Många elever vill förklara begreppet area genom att visa hur man räknar ut arean på en rektangel eller kvadrat. Detta kan förklaras med att den är den bild som de först får av area i läroböcker och de uppgifter som beräknas i skolan. Enligt Skolverket (2008) ska eleverna kunna uttrycka sig i tal och skrift så väl att språket fungerar i yrkes- och vardagsliv. Därför bör de ha kunskap om att area är storleken på en yta.
Vi får uppfattningen av att eleverna känner till och använder sig av begreppet procent i vardagssituationer. De flesta elever som deltog i undersökningen (93 %) kunde med hjälp av huvudräkning lösa uppgiften som berörde procent. Samtidigt noterade vi att många förknippar begreppet procent med rabatter och priser. Det är troligtvis i dessa situationer som eleverna kommer i kontakt med begreppet procent.
De begrepp vi undersökte ansåg vi vara grundläggande, det visade sig däremot att begreppet hypotenusa låg utanför elevernas matematiska begreppsförståelse. Detta kan bero på att eleverna inte har kommit så långt i sin matematiska utbildning och att begreppet därför inte etablerats hos eleverna. I enighet med Stendrup (2001) kan begreppet hypotenusa anses vara en verbal symbol som inte har någon grund i det elevernas sinnen observerat. Hypotenusa är inget begrepp som eleverna stöter på i vardagslivet utan förekommer endast på matematiklektionerna.
Resultatet från vår undersökning stämmer väl överrens med Löwing & Kilborn (2002), som menar att eleverna till större del använder sig av vardagsspråket än det matematiska språket under lektionerna. De delar med, istället för dividerar. Vi såg få svar med ett korrekt matematiskt språk och de flesta elever använde sig av ett vardagligt språk när de definierade begreppen. Detta kan tyckas oroväckande då inte alla elever läser mer än Matematik A och eventuellt Matematik B på gymnasiet. De borde ha haft ett större matematiskt ordförråd i skrivandes stund.
Malmer (1999) menar att läraren bör vara ”tvåspråkig” i sin matematikundervisning genom att uttrycka sig både med matematiskt korrekta begrepp men även med ”vardagsbegrepp”. För att ge eleverna bästa möjliga förutsättningar i ämnet Matematik är det viktigt att lärare, redan i de tidiga åren, använder sig av de matematiska begreppen. Till en början vid sidan av och tillsammans med vardagsbegreppen, men ju äldre eleverna blir desto mer korrekt bör det matematiska språket bli. Detta anser vi kommer att gynna eleverna att få goda kunskaper i ämnet matematik.
Resultatet från enkät A tyder på att elevernas matematiska begreppsförståelse inte är så väl utvecklad under pågående kurs, Matematik A. Vi upplever att eleverna förstår innebörden och kan ge exempel för de flesta begreppen, detta med ett vardagligt språk. Förmågan att, med ett korrekt matematiskt språk, kunna förklara begreppen saknar de flesta elever.
6.2.2
Elevernas förmåga till att lösa matematiska problem
Enligt Skolverket (2008) ska skolan arbeta för att eleverna utvecklar sin förmåga att tolka en problemsituation samt att välja lämplig metod för att lösa problemet. Resultatet på enkät B varierade mellan de olika begreppen. Area, procent, medelvärde och differens gav hög grad av korrekta svar vilket kan bero på begreppens vardagliga karaktär. Begreppen kan anses grundläggande i ämnet matematik men de är även sådana som eleverna kan stöta på i vardagssituationer. Övriga tre begrepp, hypotenusa, diagonal och rätvinklig triangel gav inte lika hög grad av korrekta svar. Detta kan ha flera förklaringar, främst kan det beror på att eleverna inte har varit i kontakt med de begreppen i samma utsträckning som övriga begrepp. Vi tror inte att eleverna stöter på de här begreppen i vardagen utan att de i första hand används i matematikundervisningen.
Språket är ett nödvändigt medel för att bygga upp och utveckla begrepp och föreställningar om matematiska förhållanden. Det har av det skälet stor betydelse för inlärningen, varför man bör ägna mer tid åt detta moment än vad som vanligen sker (Malmer 1990 s41).
Enligt Malmer (1990) kan en god begreppsförståelse hjälpa eleverna i inlärning av ämnet matematik. Det är vår skyldighet som lärare att ge eleverna alla de bästa förutsättningar för att lyckas i skolan och med en god begreppsförståelse ger vi eleverna en bra grund.
Vi kan inte dra några generella slutsatser i hur elevernas matematiska begreppsförståelse påverkar deras förmåga att lösa matematiska problem. Däremot kan vi se en tendens att hög grad av korrekta svar på enkät A följs av hög grad av korrekta svar på enkät B. Det som vi inte har undersökt är hur en viss elev har svarat på de båda enkäterna. Vi saknar statistik över huruvida ett korrekt svar på enkät A ledde fram till att samma elev svarat korrekt på enkät B för samma begrepp. Gemensamt för alla sju begreppen var att det var fler elever som kunde lösa det matematiska problemet än de som kunde förklara begreppet med egna ord.
6.3
Slutsats
De slutsatser som kan dras av genomförd undersökning är att elevernas begreppsförståelse lämnar en del att önska. Många elever har svår att definiera orden som vi gav dem. Vi kan även urskilja ett möjligt samband mellan elevernas matematiska begreppsförståelse och deras förmåga att lösa matematiska problem. En god begreppsförståelse kan alltså hjälpa eleverna vid problemlösning. Det är därför viktigt att matematikläraren medvetet arbetar för att främja elevernas begreppsförståelse, som ett verktyg för att hjälpa eleverna i matematikutbildningen.
6.4
Slutord
Undersökning i vårt arbete har gett resultat som förhoppningsvis kan väcka tankar bland matematiklärarna. Vår förhoppning är att väcka medvetenhet om matematiska begrepp hos lärarna. Vår undersökning kan inte anses vara generell men kan ändå ses som en indikator på att elevers begreppsförståelse är en viktig del i deras matematikutveckling. Vi anser att detta är ett område där vidare forskning kan vara intressant. Vidare forskning skulle kunna rikta in sig på elever som kommit längre i sin matematikutbildning. Man skulle även kunna välja andra begrepp eller undersöka hur lärarna använder sig av ett korrekt matematiskt språk. Infallsvinklarna är många och kan utgöra skäl för fortsatt forskning.
Vi vill tacka alla om bidragit till detta examensarbetes tillkomst. Framför allt de elever som ställde upp och besvarade våra enkäter. Jan Herrmann som via mail från Kenya har gett oss god och positiv respons. Tack också till Maria Andersson som bistått med goda idéer och bra litteratur. Slutligen vill vi tacka handledare Clas Lilja, bibliotekspersonalen och våra familjer som hjälpt oss i processen.
REFERENSLISTA
Arevik, S. & Hartzell, O. (2007). Att göra tänkande synligt: en bok om begreppsbaserad undervisning. Stockholm: HLS förlag
Berggren, P. & Lindroth, M. (1997). Kul matematik för alla - en idébok för 2000-talets lärare. Solna: Ekelund
Gennow, S. Gustafsson, I-M. Johansson, B. (2004). Exponent: matematik för gymnasieskolan. A. Malmö: Gleerup
Johansson, B. & Svedner, P-O. (2006). Examensarbetet i lärarutbildningen: undersökningsmetoder och språklig utformning. 4. uppl. Uppsala: Kunskapsföretaget
Löwing, M. (2006). Matematikundervisningens dilemman: hur lärare kan hantera lärandets komplexitet. Lund: Studentlitteratur
Löwing, M. & Kilborn, W. (2002). Baskunskaper i matematik: för skola, hem och samhälle. Lund: Studentlitteratur
Malmer, G. (1990). Kreativ matematik. Solna: Ekelund
Malmer, G. (1999). Bra matematik för alla: nödvändig för elever med inlärningssvårigheter. Lund: Studentlitteratur
Patel, R. & Davidson, B. (2003). Forskningsmetodikens grunder: att planera, genomföra och rapportera en undersökning. Lund: Studentlitteratur
Skolverket (2003). Nationella kvalitetsgranskningar. Lusten att lära – med fokus på matematik. Stockholm: www.skolverket.se Sökdatum: 081115
Skolverket (2008). Kursplan för Matematik A.
Stendrup, C. (2001). Undervisning och tanke: en ämnesdidaktisk bok om språk och begreppskunskap: exemplet matematik. Stockholm: HLS förlag
Svenska språknämnden (2003). Svenska skrivregler. Stockholm: Liber
Trost, J. (2001). Enkätboken. Lund: Studentlitteratur
Unenge, J. Sandahl, A. & Wyndhamn, J. (1994). Lära matematik: om grundskolans matematikundervisning. Lund: Studentlitteratur. Sida 17-24.
Utbildningsdepartementet. Läroplan för de frivilliga skolformerna, Lpf 94. Stockholm: Skolverket
BILAGA 1
Enkät AFörklara kortfattat följande matematiska begrepp:
• Diagonal • Differens • Rätvinklig triangel • Hypotenusa • Area • Procent • MedelvärdeBILAGA 2
Enkät B1. Emma mätte temperaturen varje dag i en vecka. Resultatet blev följande:
Mån Tis Ons Tor Fre Lör Sön 3°C 5°C 2°C 3°C 2°C 2°C 4°C
Beräkna medeltemperaturen under veckan.
2. Beräkna differensen av 100 och 42.
3. Rita en rätvinklig triangel.
4. Rita en valfri geometrisk figur och markera dess diagonal.
5. Beräkna arean av en rektangel med sidorna 9cm och 5 cm.
6. Rita en lämplig figur och markera hypotenusan med en liten pil.
