Problemlösningsförmågan i matematikuppgifter - En analys av läromedel för årskurs sex

Examensarbete

15 högskolepoäng, grundnivå

Problemlösningsförmågan i

matematikuppgifter

En analys av läromedel för årskurs sex

Problem-solving ability in mathematics tasks

An analysis of textbooks in year six

Glenn Edetun Holgersson

Johan Olsson

Lärarexamen 210hp Matematik och lärande 2013-11-04

Examinator: Eva Riesbeck Handledare: Troels Lange

Lärande och samhälle

III

Förord

Examensarbetets alla delar har vi skrivit tillsammans genom diskussioner och samråd. Det första steget i analysen valde vi att dela upp för att kunna analysera fler läromedel inom tidsramen för arbetet, resterande analyser har vi genomfört tillsammans. Vi vill tacka vår handledare Troels Lange som har inspirerat oss i vårt arbete. Till sist vill vi tacka våra familjer som stöttat oss i både framgångar och motgångar.

V

Sammanfattning

I matematikundervisningen i skolan går färdighetsträning före förståelse och läroboken ges en central roll enligt Skolverkets rapport från 2003. Problemlösning är ett centralt begrepp och vi anser att elevernas förmågor inom matematik kan utvecklas via ett problemlösande arbetssätt. Vi vill därför undersöka om elever ges möjlighet till att utveckla sin problemlösningsförmåga om de arbetar med läroboken. Undersökningen genomfördes på 3 av de största förlagens mest populära lärobok samt Lektion.se som är en internetsida som tillhandahåller lektionsmaterial. Uppgifterna i läromedlen analyserades var för sig utifrån kunskapskravens kriterier för betyg E i årskurs 6 inom problemlösning. Vårt resultat visar att det inte finns tillräckligt med underlag för läraren att göra en bedömning av elevens kunskap om läraren använder de läromedel vi valt att studera. Resultatet visar även att läromedlen konstruerar uppgifter som endast fokuserar på en matematisk förmåga i taget medan problemlösning kräver att eleverna använder flera förmågor samtidigt. Lärare måste vara medvetna om läromedlens innehåll och kunna kompensera för det som saknas om eleven ska kunna utveckla alla förmågor som inbegrips i problemlösning.

VII

Innehållsförteckning

1. Inledning ... 1

2. Syfte och problemställning ... 3

3. Litteraturgenomgång ... 4

3.1 Problem och uppgifter ... 4

3.1.1 Vad är ett problem? ... 4

3.1.2 Rika problem och uppgifter ... 7

3.1.3 Sammanfattning. ... 8

3.2 Läroplanens intentioner ... 8

3.2.1 Syn på problemlösning historiskt ... 8

3.2.2 Förmågor ... 9

3.2.3 Sammanfattning ... 11

3.3 Läromedel ... 11

3.3.1 Läromedel och lärande ... 11

3.3.2 Läromedlens förhållande till läroplan ... 14

3.3.3 Sammanfattning ... 15

4. Metod och genomförande ... 16

4.1 Avgränsning och urval av läromedel ... 16

4.2 Analysinstrument ... 17

4.2.1 Analysfrågor ... 17

4.3 Validitet och reliabilitet ... 19

4.4 Analysförfarandet ... 20

4.4.1 Beskrivning av läromedel ... 20

5. Resultat och analys ... 22

5.1 Uppgifter i läromedel ... 22

5.2 Rutin och icke-rutin uppgifter ... 23

VIII

5.4 Elevnära situationer ... 25

5.6 Beskriva tillvägagångssätt och föra underbyggda resonemang ... 26

5.7 Ge förslag på alternativt tillvägagångssätt ... 28

5.8 Formulera problem ... 28 5.9 Sammanfattning analys ... 29 6. Slutsats ... 30 7. Diskussion ... 33 8. Referenser ... 35 Bilaga

1

1. Inledning

Under vår utbildning på Malmö högskola har vi genomfört vår verksamhetsförlagda tid på två helt skilda skolor. Under dessa praktikperioder har vi givits möjlighet att närvara bland både låg och mellanstadieelever. Eftersom vi båda har matematik som huvudämne i vår utbildning är det framförallt de olika skolornas matematiklektioner som fastnat på våra näthinnor. Det vi båda uppmärksammat är att matematiklektionerna främst har inneburit att eleverna fått arbeta enskilt med läromedel såsom matematikbok eller uppgifter hämtade från lektion.se som är en sida på internet som tillhandahåller lektionsplaneringar. De uppgifter eleverna framförallt fått arbeta med kan benämnas som rutinuppgifter där det oftast endast finns ett rätt svar, till skillnad från uppgifter där eleverna får utveckla sin förmåga att lösa problem. Många av de uppgifter som framställdes som problemlösningsuppgifter i läromedlen upplevde vi som textbaserade rutinuppgifter.

I Skolverkets rapport (2003) Lusten att lära – med fokus på matematik beskrivs att färdighet går före förståelse samt att läroboken ges en central roll i undervisningen vilket stämmer väl överens med vår upplevelse av skolan. Att läroboken har en dominerande roll i Sverige konstateras också i TIMSS studien från 2011 där 97 % av lärarna i årskurs 8 anger att de använder läroböcker som basmaterial, detta kan jämföras med genomsnittet för EU som är 71 % (Skolverket, 2012). Skovsmose (2001) beskriver att enligt ett flertal studier i klassrum faller de flesta lektioner in under vad han kallar uppgiftsparadigm (exercise paradigm), vilket kort kan beskrivas som att eleverna bedriver färdighetsträning på uppgifter där det endast finns ett rätt svar. Under vår utbildning har vi kommit till insikt att processen och diskussionen kring problemen är väsentlig ur ett lärandeperspektiv. Om elever enbart får arbeta med färdighetsträning skapas inte samma möjlighet till en djupare förståelse för matematiken.

Problemlösning och problemlösningsuppgifter är ett stort område inom forskning av matematikdidaktik. Det finns inte en entydig uppfattning inom forskningen av vad ett problem är. Flertalet forskare har gjort liknande tolkningar av problem Björkqvist (1999), Taflin (2007), Wyndhamn och Säljö (1997) beskriver att ett bra problem ska kunna fungera som en brobyggare mellan olika matematiska områden eller metoder. Wyndhamn och Säljö utrycker även att ett viktigt mål för matematikundervisningen är att utveckla

2

förmågan hos eleverna att lösa problem vilket läroplanen för grundskolan (Skolverket 2011) under rubriken syfte beskriver på följande sätt:

“Undervisningen ska bidra till att eleverna utvecklar kunskaper för att kunna formulera och lösa problem samt reflektera över och värdera valda strategier, metoder, modeller och resultat. Eleverna ska även ges förutsättningar att utveckla kunskaper för att kunna tolka vardagliga och matematiska situationer samt beskriva och formulera dessa med hjälp av matematikens uttrycksformer.” (Skolverket, 2011, s. 63)

Längre fram i läroplanen finns problemlösning med under centralt innehåll och i slutet av avsnittet beskrivs även kunskapskraven för problemlösning. För att få en djupare förståelse för läroplanen kommer vi att undersöka publikationer där skolverket konkretiserar dessa förmågor.

På grund av läromedlens dominerande ställning, där läroboksförfattarna är de som tolkar läroplanen, är det intressant att undersöka likheter och skillnader jämfört med Lektion.se. Uppgifterna som läggs upp på Lektion.se speglar mer lärarnas syn på hur läroplanen ska tolkas då uppgifterna är sådana verksamma lärare anser som bra uppgifter för att öka förståelsen inom problemlösning.

Utifrån det vi beskrivit anser vi att problemlösning är en viktig del av matematikundervisningen och därför är det intressant att undersöka hur problemlösning konkretiseras i läromedel.

3

2. Syfte och problemställning

Syftet med vårt arbete är att undersöka om uppgifter i läromedel för årskurs 6 i matematik är av sådan karaktär att de utvecklar elevernas problemlösningsförmåga utifrån läroplanens intentioner. Vi vill undersöka vilka möjligheter läromedelsförlagen och lektionerna på lektion.se ger eleverna för att nå kunskapskraven i läroplanen samt på vilket sätt det konkretiseras i läromedlen.

Genom följande frågor kommer vi att besvara syftet.

 Finns det underlag för att uppgifterna i läromedel ger sådana förutsättningar att eleverna kan utveckla sin förmåga att lösa problem?

 Vilka kunskapskrav inom problemlösning skulle kunna uppnås utifrån karaktären på uppgifterna som framställs i läromedlen?

4

3. Litteraturgenomgång

Litteraturgenomgången är indelad i tre delkapitel där vi först behandlar problemlösning och dess natur för att få en djupare bild av vad problemlösning innebär. Andra kapitlet omfattar läroplanens intentioner baserat på forskning inom området. Sista kapitlet behandlar läromedel och dess betydelse i undervisningen. Uppdelningen görs för att vi anser att dessa tre delar är övergripande komponenter i vår frågeställning men även för att skapa en tydlig struktur. Forskningen som sammanställs i litteraturgenomgången är vald utifrån vad vi anser har betydelse för att besvara vår frågeställning.

3.1 Problem och uppgifter

För att få en tydligare bild av begreppet problemlösning, som är en central del i vårt arbete, kommer följande kapitel att åskådliggöra vad forskning skriver om problem och rutinuppgifter samt varför problemlösning är en central del av matematiken. Vi kommer även att visa vad forskare konstituerar som ett problem.

3.1.1 Vad är ett problem?

Problemlösning är ett centralt begrepp inom matematiken i skolan. Enligt läroplanen ska problemlösning leda till att eleven upplever matematikens skönhet och känner tillfredställelse med att lösa problem. Eleven ska också utveckla kreativitet samt formulera och lösa egna problem (Skolverket, 2011). I kommentarmaterialet till läroplanen står Skolverkets definition av problemlösning:

Matematiska problem är situationer eller uppgifter där eleverna inte på förhand känner till hur problemet ska lösas. Istället måste de undersöka och prova sig fram för att finna en lösning. Matematiska problem kan också beskrivas som uppgifter som inte är av rutinkaraktär (Skolverket, 2011b, s. 25)

Flertalet forskare har en liknande syn på problem som Skolverket (2011b) och menar att problem, förutom att vara okänt för problemlösaren, ska vara av typen att eleverna känner sig delaktiga i processen och som en särskild fråga där en matematisk undersökning är nödvändig för att kunna besvara frågan (Lester, 1983; Taflin, 2007; Dowling, 1996; Niss & Højgaard-Jensen, 2002). Niss och Højgaard-Jensen (2002) beskriver dock att begreppet problem är relativt då en uppgift kan vara ett problem för vissa men för andra kan

5

benämnas som en rutinuppgift om kunskapen redan finns för hur uppgiften ska lösas. Situationen blir med andra ord avgörande för hur en uppgift benämns.

Motsatsen till problemuppgifter är rutinuppgifter vilka Taflin (2007) menar är sådana uppgifter som är välkända för eleverna och lösningsmetoden för dem är bekant. Uppgifter där även språk finns utöver matematiska symboler behöver inte vara ett matematiskt problem utan svårigheten är oftast språklig, inte matematisk (Riesbeck, 2008). En matematisk fråga behöver emellertid inte alltid vara ett problem, en fråga som exempelvis vad 3:an betyder i talet 231 är enligt Niss och Højgaard-Jensen (2002) inte ett problem som det krävs en matematisk undersökning för, utan handlar i stället om språkbruk och matematisk begreppsförståelse.

Begreppen mathematical literacy och quantitative literacy, även numeracy i viss utsträckning, är alla begrepp som behandlar problemlösning och motiverar tillämpningen i skolan. Dessa tre begrepp gränsar till varandra och används ibland utifrån samma andemening. Vi kommer här att ge en kort beskrivning av dessa begrepp utifrån de framställningar vi påträffat.

Schoenfeld (2001) beskriver quantitative literacy som förtrogenhet med matematik, en kulturell uppskattning av matematik, förmågan att tolka data, tänka logiskt, att göra eftertänksamma beslut och att kunna använda matematik i olika kontexter. Schoenfeld menar att quantitative literacy innebär att människor med fördel använder dessa matematiska förmågor för att kunna tolka och förstå situationer som vi möter i livet.

OECD (2009) definierar mathematical literacy som:

Mathematical literacy is an individual’s capacity to identify and understand the role that mathematics plays in the world, to make well-founded judgements and to use and engage with mathematics in ways that meet the needs of that individual’s life as a constructive, concerned and reflective citizen. (OECD 2009, s. 84)

OECD:s beskrivning överensstämmer i stora delar med Schoenfelds beskrivning av begreppet quantitative literacy. Skillnaden är att PISA utgår ifrån en beskrivning av en medborgare medan Schoenfeld har ett perspektiv som utgår från elevens utveckling. Begreppet numeracy beskriver Wedege (2002) som de matematiska förmågor som krävs för att lösa uppgifter i en viss kontext. Det räcker inte att endast använda de aritmetiska kunskaperna som krävs för att nå resultatet utan även en kontextuell uppfattning om vad som är rätt och fel.

Lärare sinsemellan har olika uppfattningar om vad begreppet problem och problemlösning innebär i läroplanen såsom: vilken uppgift som helst, en uppgift med speciella egenskaper, att det krävs att tankegångar redovisas eller att det är en uppgift där

6

inte svaret/lösningsmetoden syns direkt (Bergqvist, Bergqvist, Boesen, Helenius, Lithner, Palm & Palmberg, 2010).

Wyndhamn och Säljö (1997) utrycker att ett viktigt mål för matematikundervisningen är att utveckla förmågan hos eleverna att lösa problem. Vidare beskrivs att problemlösning oftast ses som den situationen där eleverna verkligen får applicera sina matematiska förmågor och kunskaper och inte bara genomföra en serie övningar med algoritmer. Problemlösning ses också som det slutgiltiga testet av färdighet och förståelsen. De problem som uppstår utanför klassrummet kräver oftast att man måste använda kunskaper och färdigheter ifrån flera områden för att kunna lösa dessa (Wyndhamn & Säljö, 1997). de Lange (2003) menar att vi bör se på matematik som en vetenskap som hjälper oss att lösa verkliga problem.

Problemlösning i skolan är ofta begränsad till matematikundervisningen där fokus ligger på själva utförandet av beräkningarna där det oftast inte diskuteras vad problemet består av. Kopplingen mellan vardagliga situationer och de matematiska operationer som genomförs är något som ofta förbises (Miller, 2010; Riesbeck, 2008). Synsättet överensstämmer med Wyndhamn och Säljö (1997) som uttrycker att elever som genomför problemlösningar troligen är nöjda med att bara komma fram till ett matematiskt korrekt resultat och analyserar inte om det kan vara ett rimligt resultat. Wyndhamn och Säljö menar att detta har sin grund i vad de benämner som kontraktsförhållandet (contractual obligations) mellan lärare och elev. i vad som måste presteras har uppnåtts och läraren ställer inga ytterligare krav på förståelse av problemet.

I skolan skapas oftast uppgifter med en tunn kontext mellan vardagen och skolmatematiken. Uppgifter som eleverna ställs inför, som kan gro ur en tunn kontext, måste upplevas som äkta av eleverna och de måste själva få äga problemet och kunna välja sin egen väg framåt (Boaler, 1993). Med detta menar Boaler att tunn kontext i problemen oftast skapas utifrån välformulerade frågor.

Chen, Van Dooren, Chen och Verschaffel (2011) påvisar att elever i skolan utvecklar en syn till problemlösning inom matematiken där de ignorerar väsentliga aspekter av verkligheten. Den matematik de utför baseras istället på konstgjorda analyser av nyckelord och siffror som finns i problemet. Chen et al. menar att en anledning till att elever tenderar att negligera verklighetsaspekten vid problemlösning är att pedagoger känner en stor press att hinna med och uppnå målen i läroplanen. Pedagoger tvingas att fokusera sin undervisning mot mer klassiska matematikkunskaper vilket resulterar i att

7

mindre tid samt energi ägnas åt att utveckla elevers förmågor att se verklighetsaspekten vid problemlösning.

3.1.2 Rika problem och uppgifter

Uttrycket rika problem är något som används av vissa forskare för att beskriva problem där särskilda kriterier ingår (Taflin, 2007; Björkqvist, 1999). Det finns inga klart fastställda kriterier inom litteraturen för denna benämning och olika tolkningar finns inom området. Rika matematiska uppgifter beskriver Björkqvist (1999) som uppgifter med ett värdefullt matematiskt innehåll och framhäver dess mångsidighet. Björkqvist anser att rika uppgifter kan fungera likt en brobyggare inom matematikundervisningen genom att länka samman olika metoder eller teman. En rik uppgift är något man ska kunna återkomma till och dess fulla potential bör inte utnyttjas på en och samma gång. En länk mellan olika tillvägagångssätt eller en brobyggare som Björkqvist beskriver det kan exempelvis vara att en uppgift som tidigare lösts algebraiskt kan med ett nytt betraktelsesätt lösas geometriskt.

För att ett problem ska kunna benämnas som rikt menar Taflin (2007) och Björkqvist (1999) att följande punkter bör ingå:

 Introducera viktiga matematiska idéer eller vissa lösningsstrategier.

 Vara lätt att förstå och ge alla en möjlighet att arbeta med det.

 Upplevas som en utmaning, kräva ansträngning och tillåtas ta tid.

 Kunna lösas på flera olika sätt, med olika strategier och representationer.

 Kunna initiera en matematisk diskussion utifrån elevernas skilda lösningar som visar på olika strategier, representationer och matematiska idéer.

 Kunna fungera som brobyggare.

 Kunna leda till att elever och lärare formulerar nya intressanta problem.

Forskning har visat att undervisning om olika tillvägagångssätt för att skapa sig en strategi inom problemlösning är möjlig vilket många lärare tagit tillvara på (Björkqvist, 2001). Björkqvist redovisar några av de vanligaste tillvägagångsätten vilka är: söka ett mönster, konstruera en tabell, arbeta baklänges och se problemet ur en annan synvinkel. Tillvägagångssätten går att härleda till den ungerska matematikern George Pólya som anser att problemlösning kan utföras utifrån 4 steg vilka ska arbetas igenom systematiskt. Stegen Pólya (2003) förespråkar är följande:

8 1. Att förstå problemet

2. Att göra upp en plan 3. Att genomföra planen 4. Att se tillbaka

Genom att arbeta stegvis och vid varje steg kritiskt granska och reflektera över det man kommit fram till, menar Pólya att nya kunskaper kommer att förvärvas samt förmågan att lösa problem kommer att utvecklas.

3.1.3 Sammanfattning.

Problem och problemlösningsuppgifter är något som kräver mer av eleverna än rutinuppgifter. Problem inom matematiken är uppgifter där lösningsmetoden är okänd för problemlösaren och elevens delaktighet i processen krävs samt en matematisk undersökning erfordras.

Forskning visar på att undervisning av olika strategier inom problemlösning ökar elevers förmåga att lösa problem. För att elever ska utveckla sina förmågor inom problemlösning är uppgifter med ett rikt matematiskt innehåll att föredra. Dessa rika uppgifter ska kunna fungera som en länk mellan olika tillvägagångssätt och matematisk kunskap.

3.2 Läroplanens intentioner

I följande kapitel kommer vi att belysa förmågan att lösa problem i läroplanen för matematik både ur ett historiskt perspektiv och vilken forskning som finns bakom förmågan. Vi kommer även att reda ut vad kunskapskraven för problemlösning innehåller.

3.2.1 Syn på problemlösning historiskt

Samtliga läroplaner genom åren anser att ett av de viktigaste målen för elever är att de ges handlingsberedskap för livet utanför och efter sin skolgång. Wyndhamn, Riesbeck och Schoultz (2000) menar att för matematikundervisningens del innebär det att förse eleverna med erfarenheter samt kunskaper som kan behövas vid framtida sammanhang. För att eleverna ska kunna tillgodose sig dessa kunskaper anser Wyndhamn et al. att problemlösning och arbete med problemlösnings-uppgifter under matematiklektioner är ett viktigt moment som även ges ett stort fokus i läroplaner och kursplaner.

9

Synen på problemlösning och dess utveckling tolkar Wyndhamn et al.(2000) som att läroplanerna allt mer anser att problemlösningsuppgifter ska bestå av öppen karaktär och inte vara tillrättalagda för att kunna lösas genom en viss metod. Wyndhamn et al. beskriver att synen på problemlösning inom matematikundervisningen som en utveckling från för att lösa problem till kunskapsförmedling om problem och vidare till dagens syn på kursplanen som undervisning via problemlösning.

3.2.2 Förmågor

Utifrån våra frågeställningar kommer kapitlet att grundas på den första syftesförklaringen i läroplanen för att sedan gå vidare till förmågorna och till sist kunskapskraven inom problemlösning. Sedan beskrivs forskningen utifrån vad som skulle kunna ligga bakom valet av orden i läroplanen för grundskolan där det står följande:

“Undervisningen ska bidra till att eleverna utvecklar kunskaper för att kunna formulera och lösa problem samt reflektera över och värdera valda strategier, metoder, modeller och resultat. Eleverna ska även ges förutsättningar att utveckla kunskaper för att kunna tolka vardagliga och matematiska situationer samt beskriva och formulera dessa med hjälp av matematikens uttrycksformer.” (Skolverket 2011, s. 68).

I kommentarmaterialet till Lgr11 Skolverket (2011b) beskrivs problemlösning som en central matematisk verksamhet. Skolverket skriver att många delar av matematiken omfattas i problemlösning såsom att: “använda matematiska begrepp, metoder och uttrycksformer liksom att kunna resonera matematiskt.“ (s. 8). Dessa delar av matematiken går att utläsa från de övriga förmågorna i läroplanen som markerats med kursiverad stil:

 formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier och metoder,

 använda och analysera matematiska begrepp och samband mellan begrepp,

 välja och använda lämpliga matematiska metoder för att göra beräkningar och lösa rutinuppgifter,

 föra och följa matematiska resonemang, och

 använda matematikens uttrycksformer för att samtala om, argumentera och redogöra för frågeställningar, beräkningar och slutsatser. (Skolverket 2011, s. 63).

Skolverkets syn att förmågorna inte utvecklas självständigt överensstämmer med Niss och Højgaard-Jensen (2002) rapport i vilken de beskriver att kompetenser innehas och förvärvas tillsammans. I deras rapport skildrar Niss och Højgaard-Jensen matematiskt kunnande utifrån följande kompetenser: problembehandlings-, tankegångs-, modellerings-, symbol och formalism-, resonemangs-, hjälpmedels-, kommunikations- och representationskompetenser vilka kan kontrasteras mot förmågorna i läroplanen.

10

Många av förmågorna i läroplanen finns beskrivna som kompetenser i rapporten och för att få en djupare förståelse för problemlösningsförmågan har kompetenserna studerats lite närmre. Niss och Højgaard-Jensen hävdar att alla kompetenser har två sidor, en utforskande och en produktiv sida. Niss och Højgaard-Jensen menar även att dessa kompetenser är tämligen avgränsade till sin natur men att de ändå står i förbindelse med varandra. För att lösa ett problem kan flera av kompetenserna behövas såsom tankegångsprocessen, att förstå vad problemet ska leda fram till, problembehandling, vilken strategi som ska väljas, resonemangskompetensen, samt om svaret är trovärdigt utifrån vald strategi.

Lester (1996) beskriver problemlösningsförmågan som att den består av flera delar inom matematiken men att även andra faktorer påverkar förmågan. Lester redovisar fem av varandra beroende faktorer vilka är: kunskap och användning, kontroll, uppfattning av matematik, affekter och socio-kulturella sammanhang. Med kunskap och användning menar Lester att elever behöver baskunskaper i matematik samt på vilket sätt kunskaperna kan användas i problemlösning. Kontroll innebär hur elever disponerar över sina tillgångar för att lösa problemet och hur de planerar arbetet. Uppfattning av matematik innebär hur elevens egna subjektiva syn på matematik är och vad matematik används till. Affekter beskriver Lester som elevens attityder och känslor som är kopplade till problemlösningssituationer. Den sista faktorn som Lester tar upp är den socio-kulturella, som innebär från vilket socio-kulturellt sammanhang eleven kommer ifrån samt i vilken miljö problemställningarna framställs och genomförs.

Längre fram i läroplanen kommer kunskapskraven där första stycket behandlar problemlösning vilket visar på hur eleven ska tillämpa förmågan och hur dessa ska bedömas. Betygsstegen belyser i vilken grad och omfattning förmågan är hos eleven. För betyget C ska eleverna kunna lösa problem relativt väl medan i betyg E ska de lösa problem på ett i huvudsak fungerande sätt. Betyget E för årskurs 6 är valt för att skillnaden mellan betygen A, C, E inte påverkar de nyckelfraser vi inriktar oss mot. Följande delar av kunskapskraven har vi valt att inrikta oss mot (kursiverad text):

”Eleven kan lösa enkla problem i elevnära situationer på ett i huvudsak fungerande sätt genom att välja och använda strategier och metoder med viss anpassning till problemets karaktär. Eleven beskriver tillvägagångssätt på ett i huvudsak fungerande sätt och för enkla och till viss del underbyggda resonemang om

resultatens rimlighet i förhållande till problemsituationen samt kan bidra till att ge

11

Vi har valt att fokusera på de kursiverade uttrycken i citatet baserat på forskning vi tagit del av som beskriver problemlösningsförmågan (Riesbeck, 2008; Dowling, 1996; Boaler, 1993; Niss & Højgaard-Jensen, 2002).

I syftet står det att eleverna ska få möjlighet att utveckla sin förmåga att formulera problem men i kunskapskraven är denna del inte utskriven. Att formulera problem inte är utskrivet är anmärkningsvärt, då detta borde vara en del av kunskapskraven eftersom det är en del inom problemlösning (Taflin, 2007; Björkqvist, 1999).

3.2.3 Sammanfattning

Skolverket (2011) beskriver problemlösning som att den kräver kunskap inom flera delar av matematiken och att problemlösning inte kan utvecklas utan att beröra flera kompetenser samtidigt. Problem som eleverna ställs inför bör därför vara rika till sin utformning och de bör även vara utformade för att kunna skapa möjlighet för en diskussion. Rika problem ger möjlighet till att både innefatta och utveckla flera kompetenser samtidigt. Elevernas delaktighet i problemställningen är betydelsefull för förmågan att lösa problem och de kan utveckla sina kunskaper inom matematiken via ett problemlösande arbetssätt.

3.3 Läromedel

Vi kommer i denna del fokusera på läromedlens roll i skolan. Med läromedel avser vi de artefakter som eleverna använder sig av i sina lärprocesser. Vi kommer att visa hur forskning ser på användandet av läromedel i klassrummet, både ur ett elevperspektiv samt lärarperspektiv. Även läromedlens förhållande till läroplanen kommer att tydliggöras.

3.3.1 Läromedel och lärande

Weinberg och Wiesner (2011) beskriver att läromedel kan ses på olika sätt och beskriver två varianter, en läsarinriktad (reader oriented) och en textinriktad (text oriented). Läromedel med en läsarinriktad syn innebär att böckerna är utvecklade för att inkludera läsaren i lärandeprocessen. Läsarinriktade läromedel är skrivna så att eleven kan relatera till den och därmed skapa förståelse utifrån boken. Läroböcker med en textinriktad utgångspunkt inkluderar inte eleven utan innehållet i boken kan ses som ren fakta (Weinberg & Wiesner, 2011).

12

Matematikböcker är utarbetade för att användas i ett pedagogiskt syfte men hur de används varierar över hela världen (Rezat, 2006). Rezat ställer sig frågan om matematikböcker ska ses som ett verktyg för att lära sig eller om den är själva föremålet av inlärning. Rezat menar att matematikböcker förmedlar kunskap och är på så sätt ett verktyg vid undervisning. Ofta är det huvudsakliga syftet för elever att återge det som står i boken vilket leder till att matematikbokens innehåll kan betraktas som målet. Rezat menar att böckerna inte ska ersätta lärarna utan är skrivna för att läraren ska förmedla innehållet.

Matematikbokens användande i skolan beskriver Rezat (2006) utifrån ett aktivitetsteoretiskt perspektiv med hjälp av Vygotskys triangel (Figur 1) där hörnen representeras av objektet, vad som ska läras; subjektet, vem som ska lära; och det tredje hörnet som består av den förmedlande artefakten.

Figur 1: Vygotskys aktivitetsteoretiska triangel (Rezat, 2006, s. 411)

Elevers användande av matematikböcker, som den skildras av Skolverket (2003), skulle kunna beskrivas enligt följande modell.

13

I denna modell (figur 2) ses lärande som en helhet där läroboken är den förmedlande artefakten för att tillgodogöra eleven den matematiska kunskapen. Erbas (2012) menar att detta händer när elever läser i läroboken för en förklaring av något och sedan följer en färdig mall. Läroboken ses då som textinriktad enligt Weinberg och Wiesner (2011) sätt att beskriva läromedel.

Rezat (2006) visar på att både elever och lärare använder läroboken fast på olika sätt. Lärare ser läromedlet inte bara som en förmedlande artefakt för elever utan även för att kunna tillgodose sig själv kunskap. Lärarens användande av läroboken leder till en komplex modell i form av en tetraeder.

Figur 3: En tredimensionell beskrivning av lärobokens användande (Rezat, 2006, s. 413)

Modellen (figur 3) visar en mer omfattande bild av hur matematikboken som läromedel används. Varje triangel i tetraedern visar på olika aspekter av lärobokens användande.

Elev - lärare - lärobok.

I denna triangel är läraren förmedlare av läroboken vilket gör eleven till subjektet och läroboken till objektet. Lärobokens innehåll blir då det som eleverna avses att lära.

Elev - lärobok - matematisk kunskap.

Denna triangel beskriver att eleven använder läroboken utan lärarens roll som förmedlare. Den matematiska kunskapen blir objektet och läroboken är den förmedlande artefakten mellan eleven och den matematiska kunskapen.

14

Lärare - lärobok - matematisk kunskap/didaktiska aspekter av den matematiska kunskapen.

Lärarens användande av läroboken beskrivs i denna triangel. Läraren är subjektet läroboken förmedlar och didaktiken är objektet. Det innebär att läroboken förmedlar didaktiken till läraren.

Elev - lärare - matematisk kunskap.

Denna triangel kan ses som ett komplement till föregående triangel (figur 3) Läraren använder kunskapen från läroboken utan att använda sig av den under lektion. Läraren blir förmedlaren, eleven subjektet och den matematiska kunskapen ses som objektet.

Användandet av matematikboken beskrivs som att det oftast är denna som har huvudansvaret av vad som ska tas upp under matematiklektionen (Skovsmose, 2001; Skolverkets, 2003). Skovsmose menar att skälet till varför uppgifterna ska göras inte kommer från någon i klassrummet såsom lärare eller eleven själv utan från en extern källa det vill säga läroboken som kräver att uppgiften ska genomförs.

3.3.2 Läromedlens förhållande till läroplan

Haggarty och Pepin (2002) menar att läroböcker används över hela världen och vanligtvis reflekterar målen som finns i respektive läroplan. De menar även att läroböcker är en av de viktigaste faktorerna som påverkar elevers möjlighet att lära sig matematik.

Johansson (2006) beskriver läromedlens förhållande till läroplanen i en förenklad modell (Schmidt et al., 2001. I Johansson, 2006). Denna modell visar på fyra steg som curriculum (vilket inte rakt av går att översätta till läroplan) genomgår, från vad politiker har beslutat att curriculum ska innehålla till vad elevens faktiska curriculum är. Den första fasen är avsedd läroplan (intended curriculum) vilket är Skolverkets intentioner som uttrycks i läroplanen och övriga styrdokument. Nästa fas är potentiell läroplan (potentially implemented curriculum) som representerar läromedlens innehåll. Följande fas genomförd läroplan (implemented curriculum) är vad som faktiskt sker i klassrummet, där läraren har en central roll. Sista fasen uppnådd läroplan (attained curriculum) är hur eleven faktiskt har genomfört curriculum där TIMMS resultaten har använts som referensram (Johansson, 2006).

Enligt Johansson (2006) använder lärare oftast läroboken som grund för lärandet medan skolmyndigheternas krav är att läroplanen ska ligga till grund för lärandet.

15

Johansson menar också att läroboken inte kan anta rollen som tolk av läroplanen på grund de aspekter som innefattar produktionen av läromedel. Några av dessa aspekter är enligt Johansson att läromedelsförlag inte är tvingade till att följa läroplanen och att det finns ett vinstintresse av att publicera en lärobok.

3.3.3 Sammanfattning

Beroende på hur läromedel används i klassrummet enligt figur 3 bör läromedel vara skrivna med antingen en textinriktad eller en läsarinriktad syn. Den forskning vi har redovisat visar på att läromedel tillåts styra vad som ska tas upp i klassrummet vilket kan liknas med att matematisk kunskap förmedlas via läroboken till eleven. Läromedel bör reflektera vad läroplanens intentioner (intended curriculum) är och därmed vara skrivna med ett läsarinriktat synsätt som innebär att läromedlet utgår från eleven. Uppgifterna som framställs i läromedlen bör beröra flera förmågor samtidigt för att kunna uppfylla läroplanens intentioner.

16

4. Metod och genomförande

Vi kommer att genomföra en litteraturstudie i form av en flermetodsundersökning (Bryman, 2011) där vi gör en kvalitativ innehållsanalys av uppgifter i läromedel vars data kvantifieras. Vi har valt flermetodsstrategin för att kunna hantera mängden analyser av uppgifterna i läromedlen. Vi skulle även kunnat göra en ren kvalitativ innehålls analys av läromedlen men då hade vi inte fått en helhetssyn utifrån vår frågeställning. Det hade även gått att göra en kvantitativ undersökning och undersökt förekomsten av specifika ord eller uttryck men vi menar att det inte skulle gett tillräckligt djupa svar utifrån vår frågeställning

För att analysera uppgifterna i läromedlen krävs det en god teori att stå på och att vi ställer upp förutbestämda kriterier för att kunna kategorisera och systematisera. Dessa kriterier är baserade på vår litteraturgenomgång ur vilken vi skapar utgångspunkterna i vårt analysinstrument. Analysen kommer att utföras i två steg där vi i första steget analyserar vilka uppgifter som är av karaktären rutinuppgift och vilka som inte är det. Steg två blir att analysera mot vilka delar av kunskapskraven icke rutinuppgifterna riktar sig mot.

Vi kommer att kvantifiera de kvalitativa data vi producerar för att motverka användandet av värderingar såsom några, flera och många, vilket Bryman kallar kvasi kvantifiering. Vi kan i stället sätta ett värde på i vilken utsträckning en viss företeelse förekommer vilket skapar en större precision och trovärdighet.

En kvalitativ undersökning förknippas oftast med en induktiv process där teorin framträder efter att observationerna genomförts (Bryman, 2011). I vårt arbete kommer vi pröva teorin som presenterats i litteraturgenomgången mot analysen av läromedlen vilket kan ses som ett deduktivt synsätt enligt Bryman.

4.1 Avgränsning och urval av läromedel

För att välja ut läromedel använder vi oss av vad Bryman (2011) benämner som målstyrt urval. Det innebär att vi i förväg bestämmer vilka läromedel vi kommer att analysera med hänsyn till vår frågeställning och tillgänglig tid för arbetet. Utifrån frågeställningen genomförs undersökningen på läromedel i årskurs 6. Tidsramen vi har till förfogande för vårt arbete innebär att har vi valt att studera fyra läromedel varav tre är läroböcker och en är en hemsida på internet. För att kunna skapa en så representativ bild av läromedlen som

17

finns på skolorna valde vi att kontakta de största förlagen angående vilken lärobok i matematik de sålde mest av. Genom mailkontakt med förlagen fick vi fram följande, att Liber sålde mest av boken Gamma, förlaget Natur och Kultur av boken Pixel samt att Gleerups förlag hade sålt mest av Prima Formula. Vi fick inget svar från Sanoma (tidigare Bonniers Förlag) vilket resulterade i att vi inte tog med deras lärobok i undersökningen.

Lektion.se har vi valt att inkludera i vår undersökning mot bakgrund av våra erfarenheter under praktikperioderna vi genomfört där de användes flitigt som komplement till läroböckerna. Urvalet av uppgifterna från lektion.se baserades på populariteten, vi valde ut de 1000 mest populära uppgifterna inom matematik för årskurs 6.

4.2 Analysinstrument

Utifrån vår frågeställning har vi valt ut nyckelfraser att använda i vårt analysinstrument som är baserat på den kursiverade texten i kunskapskraven från kapitel 3.2.2 för betyget E i slutet av årskurs 6. Vi har valt att även inkludera förmågan att kunna formulera problem som står med i både syftesbeskrivningen och det centrala innehållet men som inte är upptaget i kunskapskraven (Skolverket, 2011). Analysfrågorna är baserade på dessa nyckelfraser för att de representerar vad vi anser problemlösningsförmågan innehåller utifrån vår litteraturgenomgång. Varje analysfråga är strukturerad så att nyckelfraserna från kunskapskraven är citerad i första punkten. Andra punkten i analysfrågan beskriver innebörden av kravet och kopplingen till forskning. De sista punkterna är nyckelord och exempel på delar av uppgifter som underlättar för analysförfarandet.

4.2.1 Analysfrågor

Första steget i analysen av uppgifterna är att fastställa om det är en rutinuppgift eller en icke-rutinuppgift. Med rutinuppgift avser vi uppgifter där eleverna på förhand vet hur uppgiften ska lösas (Skolverket, 2011b). Det innebär för vår analys om det finns instruktioner presenterade i läromedlet före uppgifterna eller om liknande uppgifter presenterats tidigare. Icke-rutinuppgifter är de som inte uppfyller kravet för rutinuppgifter. Andra steget är att analysera icke-rutinuppgiftens karaktär genom att ställa följande analysfrågor:

18

 Elevnära situationer

o ”Eleven kan lösa enkla problem i elevnära situationer” (Skolverket, 2011, s. 66).

o Är uppgiften av sådan karaktär att den skapar en relation till eleven och att elevens egna val och tankar påverkar och blir en del av resultatet på problemet? Uppgifter som endast har ett tunt lager kontext kommer även innefattas fastän vi i litteraturgenomgången har givit en redogörelse för vikten av att skapa elevnära uppgifter (Riesbeck, 2008; Dowling, 1996; Boaler, 1993).

o Nyckelord/fraser: hur tänker du?

 Välja och använda strategier och metoder

o ”att välja och använda strategier och metoder med viss anpassning till problemets karaktär” (Skolverket, 2011, s. 66).

o Är uppgiften av sådan karaktär att flera steg krävs för att en lösning ska nås eller att det inte är uppenbart vilken lösningsstrategi som bör användas då liknande uppgifter inte är presenterade innan. Uppgifter som kan kräva en problembehandlingskompetens hos eleverna (Niss & Højgaard-Jensen, 2002; Taflin, 2007; Lester, 1983).

 Beskriva tillvägagångssätt

o ”Eleven beskriver tillvägagångssätt på ett i huvudsak fungerande sätt” (Skolverket, 2011, s. 66).

o Uppgiften är av sådan karaktär att en beskrivning av tillvägagångsättet redovisas i någon form. Uppgiften innebär att eleven ska redovisa det Lester(1996) beskriver som kontroll.

o Nyckelord: Visa hur, beskriv,

o Exempel: Visa hur du löst uppgiften?

 Föra underbyggda resonemang

o ”för enkla och till viss del underbyggda resonemang om resultatens rimlighet i förhållande till problemsituationen” (Skolverket, 2011, s. 66).

19

o Är uppgiften av sådan karaktär att det krävs en beskrivning till varför ett visst tillvägagångsätt har valts eller varför resultatet är som det är. Uppgiften kräver att resonemangskompetensen, som beskrivs av Niss och Højgaard-Jensen (2002), redovisas.

o Nyckelord: Förklara, varför, finns det, vad betyder, tror ni, hur tänker o Exempel: Förklara hur du tänker

 Ge förslag på alternativt tillvägagångssätt

o ”kan bidra till att ge något förslag på alternativt tillvägagångssätt.” (Skolverket, 2011, s. 66).

o Uppgiften är av sådan karaktär att redovisning av alternativa tillvägagångssätt krävs. Egenskapen hos uppgiften är sådan att den kan betraktas på olika sätt såsom rika uppgifter beskrivs (Björkqvist, 1999; Taflin, 2007).

o Nyckelord: Fler sätt, olika sätt

o Exempel: Lös uppgiften på ett annat tillvägagångsätt, Vilka andra lösningar finns det?

 Formulera problem

o Uppgiften är av sådan karaktär att ett nytt problem ska formuleras utifrån innehållet. Egenskapen hos uppgiften är av undersökande natur Niss och Højgaard-Jensen (2002) eller ska betraktas på olika sätt såsom rika uppgifter beskrivs (Björkqvist, 1999; Taflin, 2007).

o Nyckelord: Formulera, skapa, konstruera, undersök

4.3 Validitet och reliabilitet

Validiteten innebär om vi har lyckats mäta det som var syftet för mätningen, vilket betyder att om mätningen ger den data vi behöver för att kunna svara på vår frågeställning. I vår frågeställning avgränsar vi vårt område till att omfatta kunskapskraven i Lgr11 Skolverket(2011). Det svåra är om vi har lyckats att tolka innebörden av kunskapskraven och omvandla dessa till korrekta analysfrågor i vårt analysinstrument.

Reliabiliteten för vårt arbete är om mätningen i sig är konstruerad på ett sådant sätt att den ger reproducerbar data. Med ett analysinstrument finns ett analysförfarande som kan

20

påverkas av många faktorer. Användandet av ett analysinstrument ger en trygghet i att kunna jämföra uppgifterna mot. För att kontrollera vår reliabilitet har vi valt att undersöka delar av samma läromedel var för sig två gånger för att utröna om vi får samma resultat.

4.4 Analysförfarandet

Vi har analyserat en bok i taget och varje uppgift för sig. Uppgifter som innehåller deluppgifter exempelvis: 1a, 1b, 1c, har vi valt att räkna som en uppgift. Varje uppgift registrerades i formulär som vi skapat i Google Drive (se bilaga) där de sparades i en databas. Alla resultat fördes sedan över till Excel för att kunna bearbetas och sammanställas.

4.4.1 Beskrivning av läromedel

Vi kommer i detta avsnitt ge en kort beskrivning av de läromedel vi använt oss av i vår läromedelsanalys för att besvara vårt syfte.

Pixel matematik 6A och 6B

Pixel matematik ges ut av förlaget Natur och Kultur och finns från årskurs F-6. Pixel matematik består av två böcker som täcker årskurs 6 matematik. Båda böckerna består av 128 sidor och läromedlet är utgivet år 2009. Till varje bok finns det en lärarhandledning samt facit. Läromedlet kompletteras även med en övningsbok.

Grundbok Gamma

Matematikboken Gamma ges ut av förlaget Liber och består av en serie böcker för elever i årskurs 4-6. Grundboken Gamma är en årskursbok som täcker både höst- och vårterminen. Gamma Grundbok har fyra svårighetsnivåer och facit längst bak i boken. Grundboken Gamma består av 336 sidor och är utgiven år 2013.

I serien finns även A- och B-boken vilka är bantade versioner på grundboken där eleverna skriver direkt i böckerna. Lärarhandledning finns också att tillgå till samtliga delar. I serien finns även ett bashäfte som repeterar de moment som eleverna bör kunna innan de börjar med grundboken Gamma. Slutligen finns delen Utmaningen som är en breddning och fördjupning av grundbokens innehåll.

21

Prima Formula

Prima Formula ges ut av Gleerups förlag och är ett läromedel som ingår i en serie av tre böcker för elever i årskurs 4-6. Prima Formula är uppdelad efter läroplanens sex områden och består av 232 sidor. Boken är utgiven år 2013 och omfattar elevbok, lärarhandledning samt facithäfte.

Lektion.se

Lektion.se är en sida på internet där lärare kan dela med sig av material till lektioner och lektionsplaneringar samt möjligheten att söka på ämnesspecifika uppgifter. Vi har valt att använda oss av ca 1000 uppgifter vilka på hemsidan rankas som de mest populära inom matematik för elever i årskurs 6.

22

5. Resultat

Här presenteras resultat och analys av vår undersökning som är gjord för att kunna besvara våra frågeställningar. Vi har valt att presentera resultatet av varje analysfråga var för sig och inte bok för bok. Vi har gjort på detta sätt för att kunna hitta mönster och samband i läromedlen samt för att tydliggöra likheter och skillnader i de olika läromedlen.

5.1 Uppgifter i läromedel

Det totala antalet uppgifter i böckerna skiljer sig något åt, Gamma innehåller 32 % fler uppgifter än Formula och 25 % fler än Pixel. Om uppgifterna slås ut över antalet sidor i varje bok visar resultatet att det finns mellan 4,2 - 4,6 uppgifter per sida och Lektion.se har 8,6 uppgifter per nedladdad lektion.

Diagram 1: Antalet uppgifter i respektive läromedel

Den garanterade antalet timmar för matematik i grundskolan är 1020 (Skolverket, 2013). Antalet uppgifter i de läromedel vi analyserat skulle utslaget på antalet timmar i timplanen ge mellan 45 minuter och 1 timme per uppgift.

23

5.2 Rutin och icke-rutin uppgifter

Resultatet av fördelningen mellan rutin och icke-rutin uppgifter är lika i den mån att alla läromedel har en betydligt större andel av rutinuppgifter än uppgifter av icke rutinkaraktär.

Diagram 2: Fördelning av rutin och icke rutinuppgifter för varje läromedel

Diagrammet visar att Pixel har flest rutinuppgifter medan Lektion.se har färst antal rutinuppgifter. I analysen av icke rutinuppgifter framkommer det att 13 % är av sådan karaktär att ingen fråga ställs utan att uppgiften istället är ett spel eller någon aktivitet. För att tydliggöra vilka uppgifter vi har analyserat som rutinuppgifter visas nedan ett exempel.

Figur 4: Uppgiften är hämtad från Pixel matematik 6A, 2009, s. 26.

84% 88% 83% _80% 16% 12% 17% 20% 0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100%

Gamma Pixel Formula Lektion.se

Fördelning av rutin och icke-rutin uppgifter

24

Exemplet i figur 4 har vi analyserat som en rutinuppgift då det finns instruktioner för hur uppgiften ska lösas. Uppgiften nedan är ett exempel på en uppgift som vi har analyserat som en icke-rutinuppgift. Uppgiften hamnar under kategorin icke-rutinuppgift då det krävs någon form av strategi för att lösa den.

“Nathan ska fixa en turnering i tennis för sju spelare. Alla ska möta alla en gång. Hur många matcher ska spelas?”(Prima Formula matematik, 2013, s. 209)

Vi har även valt att visa en uppgift som är ett gränsfall mellan rutin och icke-rutin uppgift genom följande figur.

Figur 5: Uppgiften är hämtad från Pixel matematik 6A, 2009, s. 10.

Uppgiften i figur 5 kräver att eleven har en strategi för att lösa uppgiften men då den har föregåtts av 7 uppgifter där samma strategi ska appliceras kategoriseras uppgiften som rutinuppgift.

5.3 Välja och använda strategier och metoder

Diagram 3 visar en bild av egenskaperna hos rutinuppgifterna. Varje icke-rutinuppgift har analyserats och kategoriserats efter vårt analysinstrument. En uppgift kan inneha flera egenskaper vilket resulterar i att summan av staplarna är över 100 %. Det är viktigt att poängtera att procentsatsen i varje stapel är baserad på antalet icke-rutinuppgifter och inte det totala antalet uppgifter.

25

Diagrammet åskådliggör att 58 % av icke-rutinuppgifterna har karaktären av att eleverna behöver välja och använda strategier för att lösa uppgifterna. Diagram 3 visar att läromedlen oftast fokuserar på ett korrekt svar då uppgifterna inte i lika stor andel innefattar resonemangskompetens, uppgifterna frågar ej heller om vilken kontroll eleverna har. Resultatet visar att de flesta uppgifter fokuserar på träning av strategier och metoder för problemlösning. Ett exempel som är hämtat från Lektion.se vilket kan representera denna kategori av uppgifter:

“En penna och en linjal kostar tillsammans 30kr. Pennan och en anteckningsbok kostar tillsammans 40kr. Anteckningsboken och linjalen kostar tillsammans 50kr. Hur mycket kostar pennan?”(Jonasson, 2006). För att kunna lösa uppgiften finns det olika strategier som eleven kan använda sig utav och det har inte tidigare presenterats hur eleven ska gå tillväga. Uppgiften ställer däremot inte frågan om det är ett rimligt svar eller hur tillvägagångssättet var för att få fram svaret.

5.4 Elevnära situationer

Diagrammet (diagram 4) visar hur stor andel av icke-rutinuppgifterna som har karaktären av att vara elevnära i respektive läromedel.

Diagram 4: Andel elevnära uppgifter i procent i respektive läromedel

Diagrammet visar på att det är stor skillnad mellan läromedlen när det gäller att formulera elevnära uppgifter. Läroboken Gamma har flest antal uppgifter som har karaktären av att

26

vara elevnära. Uppgifterna i Gamma är mer frekvent formulerade på ett sätt där elevernas egna tankar och idéer får vara delaktiga i frågeställningen. Ett exempel på hur en sådan uppgift kan se ut:

“Hitta på ett eget mönster med bilder eller tal. Låt en kompis försöka lista ut nästa figur eller tal.”(Grundbok Gamma 2013, s. 175)

Utifrån analysinstrumentet är uppgiften elevnära för att eleven själv ska hitta på ett mönster och utgå från sina egna tankar och fantasier. Om elever ges möjlighet att vara delaktiga i uppgifterna ökar möjligheterna till förståelse enligt Dowling (1996). Ett annat exempel på en uppgift som kan vara elevnära kommer från boken Pixel.

Figur 6: Uppgiften är hämtad från Pixel matematik, 2009, s. 52.

Uppgiften (figur 6) som är tagen från boken Pixel är ett undantag av elevnära uppgifter i läromedlet eftersom endast 13 % av icke-rutinuppgifterna är utformade på ett elevnära sätt. De andra läromedlen i analysen väljer oftast att förbise elevernas möjlighet att påverka uppgiften och är istället mer konkret utformade och lämnar inget utrymme åt den enskilde individen. Ett exempel som representerar en icke-rutinuppgift som inte är elevnära:

“Bella beställer 14 pizzor till en fest. Varje pizza kostar 55 kr. Var femte pizza är gratis. Hur mycket kostar pizzorna tillsammans?” (Prima Formula, 2013, s. 173)

Om uppgiften utgått från hur många elever det går i problemlösarens klass skulle den däremot kategoriserats som elevnära.

5.6 Beskriva tillvägagångssätt och föra underbyggda

resonemang

I diagram 5 har vi valt att slå samman de två analysfrågorna, beskriva tillvägagångssätt och föra underbyggda resonemang. Sammanslagningen gjorde vi för att resultatet av

icke-27

rutinuppgifter i läromedlen som innehåller en av egenskaperna oftast innehåller den andra också.

Diagram 5: Beskriva tillvägagångsätt och föra underbyggda resonemang i procent av icke-rutinuppgifter.

Diagrammet visar på stora skillnader mellan läromedlen. Formuleringen av uppgifterna i boken Gamma är på ett sådant sätt att eleverna måste redovisa och beskriva hur de gått tillväga för att lösa uppgifterna alltså att redovisa det Lester (1996) menar med kontroll. Vår analys visar att böckerna Gamma och till viss del Formula konstruerar uppgifter som efterfrågar hur eleverna har kommit fram till svaret vilket Niss & Højgaard-Jensen (2002) beskriver som resonemangskompetens. Nedan visas ett exempel ur matematikboken Gamma där uppgiften innehåller de komponenter som krävs för att kategoriseras under

dessa egenskaper.

Figur 7: Uppgiften är hämtad från grundboken Gamma, 2013, s. 232

I uppgiften (figur 7) måste eleven förklara hur han konstruerat rektangeln vilket kräver en beskrivning av tillvägagångssättet. Därefter ska eleven förklara sina tankar varför rektangelns omkrets är minsta möjliga vilket kräver ett underbyggt resonemang.

38% 9% 19% 7% 41% 5% 20% 4% 0% 10% 20% 30% 40% 50%

Gamma Pixel Formula Lektion.se

Beskriva tillvägagångsätt och föra underbyggda

resonemang

28

5.7 Ge förslag på alternativt tillvägagångssätt

I vår analys framkommer det att mindre än 3 % av icke-rutinuppgifterna kräver att ett alternativt tillvägagångssätt redovisas. Ett exempel på en uppgift som vi benämner rik och där flera tillvägagångsätt är möjliga.

Figur 8: Uppgiften är hämtad från Lektion.se, Svensson(2008) uppgift Bondgården

Uppgiften (figur 8) är rik för att den kan lösas på flera olika sätt, är lätt att förstå, kan initiera en matematisk diskussion och kan upplevas som en utmaning. Uppgiften innehåller några av de delar som Taflin (2007) och Björkqvist (1999) menar att rika uppgifter bör innefatta.

5.8 Formulera problem

Resultatet visar att endast 2,3 % av alla uppgifter efterfrågar att eleverna ska formulera nya uppgifter. Att formulera problem är inte med i kunskapskraven vilket kan vara en förklaring till varför så få uppgifter har karaktären av att eleverna ska formulera problem. Ett exempel som representerar denna kategori av uppgifter är följande: ”Bygg en figur med fyra centikuber i olika färger. Rita av din figur i 2D från olika håll. Be en kamrat bygga figuren enligt dina bilder.” (Prima Formula, 2013, s. 54). Uppgiften innehåller delar av att formulera ett problem då eleven ska konstruera en ny uppgift åt en annan elev. Uppgiftens innehåll är däremot inte av utforskande karaktär där eleven ska formulera en problemställning.

29

5.9 Sammanfattning analys

Vi har valt att sammanfatta analysen genom att visa följande diagram där det framgår hur många kriterier som ingår i varje icke-rutinuppgift. De uppgifter som innehåller 0 kriterier är av karaktären spel eller aktivitet.

Diagram 6: Andel av icke rutinuppgifter som innehåller ett visst antal kriterier.

Diagram 6 visar att 61 % av alla icke-rutinuppgifter endast innehåller ett av kriterierna från vårt analysinstrument. Resultatet visar att uppgifterna oftast är konstruerade på ett sådant sätt att endast en del inom problemlösning efterfrågas.

30

6. Slutsats

Slutsatsen är strukturerad efter våra analysfrågor och vi avslutar med att svara på våra frågeställningar. Vår undersökning visar att fastän lektion.se är en sida där lärare kan hämta de lektioner eller lektionsplaneringar de vill skiljer de sig inte något nämnvärt mot de uppgifter som finns i de undersökta läromedlen. Det pekar på att lärare vill ha uppgifter som liknar de i läromedlen och att lärare har samma syn som läromedlen.

Vårt resultat visar att läromedlen innehöll från 1/5 till 1/8 icke-rutinuppgifter. Konsekvensen av detta är att eleverna till största del får räkna utan att reflektera över vad de gjort om de bara använder sig av boken. Resultatet stämmer överens med vad Skolverkets (2003) rapport visar att störst vikt läggs på färdighetsträning i skolan. Vi menar att resultatet tyder på att eleverna till största del får räkna utan att reflektera då de utför rutinuppgifter. Wyndhamn et al.(2000) tydning av läroplanen, att matematik bör läras via problemlösning, tolkar vi som att övervägande del av uppgifterna bör vara av icke-rutinuppgifter. Om läromedlens intentioner är att följa läroplanen, potentially implemented curriculum Johansson (2006), menar vi att dessa bör speglas i fördelningen av uppgifterna. Vårt resultat motsäger till viss del det Haggarty och Pepin (2002) påstår, att läroböcker vanligtvis reflekterar målen som finns i läroplanen.

58 % av icke-rutinuppgifterna innehåller krav på att använda strategier och metoder för att lösa problem vilket Niss och Højgaard-Jensen (2002) och Lester (1996) anser vara en viktig del av problemlösning. Resultatet tyder på att läromedlen har en syn som delvis överensstämmer med äldre läroplaners syn vilket Wyndhamn et al. (2000) beskriver som att lära sig om problemlösning.

Resultatet visar även att 21 % av icke-rutinuppgifterna är av elevnära karaktär vilket innebär att det ges få möjligheter för eleverna att kunna påverka uppgiften och känna delaktighet. Boaler (1993) anser att uppgifter som eleverna ställs inför måste upplevas som äkta av eleverna och de måste själva få äga problemet och kunna välja sin egen väg framåt. Gamma är i störst utsträckning det läromedel där eleverna inkluderas i lärandeprocessen genom att uppgifterna vill ha svar på läsarens tankar och på så sätt skapa delaktighet. Gamma kan till viss del beskrivas utifrån Weinberg och Wiesners (2011) reader oriented syn.

Läromedlen vi undersökt är i princip alltid är ute efter ett rätt svar och det finns få möjligheter att utveckla ett resonemang om svarens rimlighet i förhållande till problemställningen vilket flera forskare menar är viktigt (Miller, 2010; Niss &

Højgaard-31

Jensen, 2002; Wyndhamn et al., 2000). Att kräva ett resonemang av eleverna om uppgiften ges en möjlighet till granskning och reflektion av det som gjorts vilket utvecklar förmågan att lösa problem och kan skapa nya kunskaper enligt Pólya (2003). Läromedlens till viss del skilda angreppssätt kan beskrivas utifrån Rezat (2006) modell (figur 2) där boken Gamma tar en större roll som förmedlare än vad de övriga läromedlen gör.

Eleverna får väldigt få tillfällen i läromedlen att utveckla sin förmåga att använda olika tillvägagångssätt vilket enligt Pólya (2003) är en viktig del i problemlösningsförmågan. Saknandet av rika uppgifter/problem innebär att läraren får det svårt komma tillbaka till uppgifterna och använda det matematiska innehållet i dem. Bristen på rika uppgifter medför att eleverna då inte kan använda dessa som brobyggare mellan olika metoder och matematiska kunskaper vilket Björkqvist (1999) och Taflin (2007) anser betydelsefullt.

Den kategori som hade lägst procent i vår analys var att formulera problem med endast 2 %. Anledningen till detta skulle kunna bero på att formulera problem inte är upptaget bland kunskapskraven i läroplanen vilket vi anser märkligt då formulera problem är framskrivet i syftet. Läromedlen ger inte eleverna möjlighet att formulera problem utifrån verkligheten vilket Skolverket (2011) beskriver att eleverna ska ges möjlighet till. En förtrogenhet av matematiken fordras för att kunna formulera dessa problem som Schoenfeld (2001) anser krävs för att kunna tolka och förstå situationer vi möter i livet. Resultatet pekar åt att läromedlen är skrivna med en syn som Weinberg och Wiesner (2011) beskriver som textorienterad.

61 % av icke-rutinuppgifterna innehåller endast ett av kriterierna vilket innebär att läromedlen har en syn på lärande att det går att lära sig delarna för sig för att nå till helheten. Att uppgifterna är konstruerade mot en förmåga i taget motsäger Niss och Højgaard-Jensen (2002) och Skolverkets (2011b) beskrivningar att förmågorna inte kan utvecklas självständigt.

Med utgångspunkt i vår första frågeställning, Finns det underlag för att uppgifterna i läromedel ger sådana förutsättningar att eleverna kan utveckla sin förmåga att lösa problem, anser vi att det finns delar inom problemlösningsförmågan hos eleverna som skulle kunna utvecklas genom de uppgifter som läromedlen presenterar. Att välja och använda strategier och metoder anser vi som den del av problemlösning som skulle kunna utvecklas hos eleverna. Vår analys visar dock på att läromedlen sällan konstruerar uppgifter av karaktären att flera kompetenser ingår såsom i rika problem. Läromedlen i vår undersökning väljer istället att fokusera på en förmåga i taget vilket inte stämmer

32

överens med vad Skolverket (2011b), Niss och Højgaard-Jensen (2002) menar med vad som krävs för att lösa ett problem. Vi menar då att eleven inte får möjlighet att utveckla alla delar tillsammans som krävs för att skapa en djupare förståelse för matematiken. Vår slutsats tyder på att läromedlen fortfarande har en syn där eleverna ska lära sig om problemlösning inte att lära sig ny matematisk kunskap via problemlösning såsom Wyndhamn et al. (2000) menar att målet är.

Utifrån vår andra frågeställning: Vilka kunskapskrav inom problemlösning skulle kunna uppnås utifrån karaktären på uppgifterna som framställs i läromedlen? Visar vårt resultat att eleverna får svårt för att visa på sina samlade kunskaper i problemlösning då de flesta icke-rutinuppgifterna endast innehåller ett av kriterierna. Vi anser att det endast är delen som innehåller att välja strategier och metoder som skulle kunna uppfyllas. De övriga delarna är inte representerade i den omfattningen att kraven skulle kunna uppnås. Vårt resultat visar att det inte finns tillräckligt med underlag för läraren att göra en bedömning av elevens kunskap för betyget E om läraren enbart använder de läromedel vi valt att studera.

33

7. Diskussion

I vårt resultat framkom det att läroboken Gamma i högre grad än de andra läromedlen har konstruerat sina uppgifter på ett sådant sätt att de frågar om elevernas tankar och idéer. Författarna till boken Gamma har gjort på ett enkelt sätt genom att formulera frågorna med uttryck som exempelvis förklara hur du tänker eller visa på olika sätt vilket även de andra läromedlen skulle kunna ha gjort. Om läromedlen i större grad formulerade uppgifterna på ett sådant sätt anser vi att de skulle närma sig det Björkqvist (1999) beskriver som rika uppgifter, att egenskaperna i uppgifterna medför att de kan betraktas och lösas på olika sätt samt går att komma tillbaka till. Vi menar att tiden som finns tillgänglig, 45-60 min. per uppgift, enligt Skolverkets timplan borde ge utrymme för diskussioner och fördjupning vilket skulle kunna utveckla förmågorna inom problemlösning.

Läromedlen fokuserar mycket mot strategier och metoder vilket vi anser kan bero på tidigare läroplaners syn att lära sig om problemlösning. Undervisning av strategier blir då det huvudsakliga målet för undervisningen och att diskussionerna kommer i andra hand. Den oförändrade synen på problemlösning i läromedel tror vi också beror på att det är lärarna som styr utformningen av läromedel genom deras val av vad som köps in. Att lärarna har denna syn baserar vi på vårt resultat där Lektion.se liknar de övriga läromedlen. Om lärarna haft en annan syn och köpt läromedel som utformats med ett progressivt synsätt menar vi att de andra läromedelsförlagen även förändrat sina läromedel på grund av att förlagen har ett vinstintresse. Även uppgifterna på Lektion.se hade då utformats annorlunda.

Vi kommer att ha stor nytta av vårt examensarbete i vårt framtida yrke som lärare för att vi har fått en djupare inblick i läromedel, både vad de har att erbjuda men framförallt vad de saknar. Vårt arbete mot läroplanen har också gett oss en djupare förståelse för läroplanen och vilken forskning och vilka teorier som ligger bakom.

Vår studie är genomförd på endast fyra läromedel vilket inte ger en fullständig bild av läromedel som finns tillgängligt för skolan. Under analysfasen där vi analyserade närmare 4500 uppgifter hamnade vi stundtals i ett slentrianmässigt analyserande vilket medförde att varje uppgift gick allt snabbare att analysera som i sin tur bör ha påverkat resultatet av vår undersökning. Att vi var två som använde samma analysinstrument gav oss möjlighet att diskuterar hur en viss uppgift skulle analyseras. Diskussionerna gav oss tillfälle till att utveckla vårt analysinstrument vilket stärkte vår reliabilitet för undersökning.

34

Fortsatt forskning inom område skulle kunna vara att hur lärare i skolorna faktiskt arbetar med uppgifterna som presenteras i läromedel. På vilket sätt använder sig lärarna av läromedlen, som en förmedlande artefakt, är läraren förmedlare av läroboken eller faller användandet in under någon annan av Rezat (2006) aktivitetsteoretiska modell.

35

8. Referenser

Alseth, Bjornar, Nordberg, Gunnar & Røsseland, Mona (2009). Pixel: matematik. 6A,

Grundbok. Stockholm: Natur & kultur.

Alseth, Bjornar, Nordberg, Gunnar & Røsseland, Mona (2009b). Pixel: matematik. 6B,

Grundbok. Stockholm: Natur & kultur.

Bergqvist, Ewa, Bergqvist, Tomas, Boesen, Jesper, Helenius, Ola, Lithner, Johan, Palm, Torulf, & Palmberg, Björn (2010). Matematikutbildningens mål och undervisningens ändamålsenlighet. Grundskolan våren 2009. Göteborg: Göteborgs Universitet. Björkqvist, Ole (1999). Rika matematikuppgifter. Nämnaren, 26 (3), 35-39. Björkqvist, Ole (2001). Matematisk problemlösning. I Grevholm, Barbro (red.),

Matematikdidaktik: ett nordiskt perspektiv (s. 115-132). Lund: Studentlitteratur. Boaler, Jo (1993). The role of contexts in mathematics classrooms. For the learning of

mathematics, 13(2), 12-17

Bryman, Alan (2011) Samhällsvetenskapliga metoder, 2 (rev.) uppl. Malmö: Liber Chen, Limin, Van Dooren, Wim, Chen, Qi, & Verschaffel, Lieven (2011). An

investigation on Chinese teachers realistic problem posing and problem solving ability and beliefs. International Journal of Science and Mathematics Education, 9(4), 919-948.

de Lange, Jan (2003). Mathematics for literacy. I B. Madison & L. Steen (Red.),

Quantitative literacy: Why numeracy matters for schools and colleges (s. 75–89). New Jersey: The National Council on Education and the Disciplines.

Erbas, Ayhan Kürşat, Alacaci, Cengiz & Bulut, Mehmet (2012). A comparison of mathematics textbooks from turkey, singapore, and the united states of america. Educational Sciences: Theory & Practice, 12(3), 2324-2329.

Haggarty, Linda, & Pepin, Birgit (2002). An investigation of mathematics textbooks and their use in English, French and German classrooms: Who gets an opportunity to learn what? British Educational Research Journal, 28 (4), 567-590.

Johansson, Monica (2006). Teaching mathematics with textbooks: a classroom and curricular perspective. Diss. (sammanfattning) Luleå : Luleå tekniska univ., 2006. Luleå.