Malmö högskola
Lärarutbildningen
Natur, miljö, samhälle
Examensarbete
15 högskolepoängGrafritande räknare – hur påverkar de
undervisningen i matematik?
Graphing calculators – how do they affect mathematics teaching?
Elaf Falih
John Jensen
Lärarexamen 270 hp Handledare: Ange handledare
Matematik och lärande 2009-01-14
Examinator: Leif Karlsson
3
Förord
Under arbetets gång har vi kommit i kontakt med ett antal personer som på olika sätt hjälp oss. Först och främst vill vi rikta ett tack till de lärare och elever som ställt upp och svarat på våra frågor. Ett särskilt tack vill vi rikta till vår handledare Per-Eskil Persson. Du har varit ett värdefullt bollplank och vi tackar för alla tips och värdefulla påpekanden. Ett tack även till våra opponenter och vår examinator för deras respektive tips på förbättringar i denna rapport. Sist, men ingalunda minst, vill vi rikta ett stort tack till våra familjer för deras kärlek och stöd genom hela processen.
5
Sammanfattning
Syftet med studien är att undersöka hur lärare och elever anser att grafritande räknare påverkar undervisningen i gymnasiets matematikkurser. Genom att bli medvetna om detta kan lärare och blivande lärare få möjlighet att själva reflektera över användningen av grafritande räknare i sin undervisning. Det empiriska underlaget utgörs av intervjuer med lärare och en enkätundersökning bland elever på två gymnasieskolor i södra Sverige. Resultatet visar att lärarna framför allt betraktar den grafritande räknaren som ett hjälpmedel, ungefär som papper och penna. De använder den om och när den anses kunna bidra på ett väsentligt sätt i undervisningen, antingen för att spara tid och/eller för att bidra till ökad förståelse för olika matematiska begrepp och metoder. En slutsats som kan dras är att den grafritande räknaren påverkar undervisningen på olika sätt, och i stigande grad, ju längre upp i kurserna man kommer.
Nyckelord: grafritande räknare, gymnasiet, påverkan, undervisning.
Abstract
The purpose of the study is to examine how teachers and students believe that graphing calculators affect the teaching of high school mathematics courses. By becoming aware of this, teachers and teacher students have the opportunity to reflect on the use of graphing calculators in their teaching. The empirical base consists of interviews with teachers and a survey among students at two high schools in southern Sweden. The results show that teachers especially consider the graphing calculator as a tool, much like paper and pencil. They use it if and when it is deemed able to contribute in a significant way in their teaching, either to save time and/or to help deepen the
understanding of various mathematical concepts and methods. One conclusion is that graphing calculators affect teaching in different ways, and increasingly, as the level of the course increases.
7
Innehållsförteckning
Förord ... 3 Sammanfattning ... 5 Abstract ... 5 Inledning ... 9 Bakgrund ... 9 Styrdokument ... 9Definitioner och begrepp ... 11
Forskning om användning av grafritande räknare i matematikundervisningen ... 13
Syfte... 15 Forskningsfrågor ... 15 Metod ... 17 Urval ... 17 Urval av skolor ... 17 Urval av lärare ... 17 Urval av elever ... 19 Forskningsetiska aspekter ... 19 Datainsamlingsmetoder ... 20 Kvalitativa intervjuer ... 22 Enkät ... 22 Tillvägagångssätt ... 23
Databearbetning och tillförlitlighet ... 24
Resultat och analys... 25
Forskningsfråga 1 ... 25
Den grafritande räknaren som ett hjälpmedel ... 25
Påverkar olika mycket beroende på vilken matematikkurs det gäller ... 25
Påverkar lektionernas innehåll ... 26
Påverkar genomförandet av lektionerna ... 28
Påverkar utformningen av prov och provuppgifter ... 28
Påverkar hur eleverna löser matematiska problem ... 29
Påverkar val av matematiska metoder ... 30
Påverkar kontroll av lösningar ... 30
Påverkar graden av reflektion ... 31
8
Forskningsfråga 2 ... 32
Funktionslära ... 33
Statistik ... 34
Forskningsfråga 3 ... 35
Tillgång till (samma) grafritande räknare ... 35
Introduktion till nya funktioner ... 36
Funktioner som lärarna undviker ... 37
Elevernas egen nyfikenhet ... 38
Diskussion ... 39
Sammanfattning och diskussion av resultaten ... 39
Forskningsfråga 1 ... 39
Forskningsfråga 2 ... 40
Forskningsfråga 3 ... 41
Uppnåddes syftet? ... 42
Bedömning av hållbarheten i resultaten ... 43
Egna lärdomar från examensarbetet ... 44
Referenser ... 45
Bilagor Bilaga 1: Följebrev 1 ... 48
Bilaga 2: Följebrev 2 ... 49
Bilaga 3: Enkät till elever ... 50
9
Inledning
Rapportens inledande avsnitt ger först en kort presentation av ämnet och en bakgrund till studien. Avsnittet avrundas med studiens syfte och centrala forskningsfrågor. Under den verksamhetsförlagda tiden (VFT) i vår lärarutbildning har vi noterat att räknare av olika slag är ett vanligt förekommande inslag i dagens
matematikundervisning på olika gymnasieskolor. Vilken typ av räknare man använder på lektionerna verkar dock skilja sig åt, t.ex. mellan olika skolor och mellan olika program. Kan detta vara en medveten strategi från lärarnas sida, eller finns det andra orsaker till att det är eller blir så? Under vår lärarutbildning har vi i olika sammanhang blivit varse de möjligheter att förstärka elevernas inlärning på olika sätt som t.ex. den grafritande räknaren kan erbjuda. Är det så den används i praktiken också? Eller används grafritande räknare mest till enklare aritmetiska beräkningar i de olika
matematikkurserna? När börjar den grafritande räknarens fördelar att utnyttjas i de olika matematikkurserna på gymnasiet? Svaren på dessa och andra liknande frågor borde vara av intresse för alla matematiklärare. Därför har vi valt att studera detta närmare.
Bakgrund
Vi inleder med en genomgång av vad styrdokumenten och forskningen säger om användningen av grafritande räknare.
Styrdokument
Skolverket (2008a) diskuterar i sin beskrivning av ämnet matematik på gymnasieskolan användningen av tekniska hjälpmedel i undervisningen, och menar att dessa medför att ”nya typer av problem av mer sammansatt karaktär kan studeras i ämnet”. Man
understryker samtidigt att de tekniska hjälpmedlen ska användas med omdöme i det att de har ”begränsat värde utan kunskaper om begrepp och metoder”. Slutligen poängterar man att ” förståelse, analys av hela lösningsprocedurer och kritisk granskning av resultat samt förmåga att dra slutsatser är grundläggande i gymnasieskolans matematikämne”.
I målen för matematik A (Skolverket, 2008b) finns det en uttrycklig hänvisning till grafritande räknare. Där står det att eleven skall
ha vana att vid problemlösning använda dator och grafritande räknare för att utföra beräkningar och åskådliggöra grafer och diagram.
10
Här finns det ett antal komponenter som kan tolkas på olika sätt. Vad menar man t.ex. med ”ha vana”, ”problemlösning”, ”beräkningar”, ”grafer och diagram”?
Även i målen för matematik B (Skolverket, 2008c) anges det uttryckligen att eleven i samband med olika funktioner skall
kunna förklara vad som kännetecknar en funktion samt kunna ställa upp, tolka och använda några icke-linjära funktioner som modeller för verkliga förlopp och i samband därmed kunna arbeta både med och utan dator och grafritande hjälpmedel.
Här kan noteras att man inte använder ordet räknare utan istället använder ordet hjälpmedel.
I matematik C (Skolverket, 2008d) finns det två mål som relaterar till hjälpmedel. Eleven skall:
känna till hur datorer och grafiska räknare kan utnyttjas som hjälpmedel vid studier av matematiska modeller i olika tillämpade sammanhang
kunna använda sambandet mellan en funktions graf och dess derivata i olika tillämpade sammanhang med och utan grafritande hjälpmedel.
Här börjar vi ana en begreppsförvirring, för nu hänvisar man till grafiska räknare i det första målet, men till grafritande hjälpmedel i det andra. Vad menar man egentligen?
Går vi vidare till målen för matematik D (Skolverket, 2008e) finns det även här två mål där grafritande räknare antyds och där eleven skall:
kunna förklara och använda tankegången bakom någon metod för numerisk ekvationslösning samt vid problemlösning kunna använda grafisk, numerisk eller symbolhanterande programvara kunna redogöra för tankegången bakom och kunna använda någon metod för numerisk integration samt vid problemlösning kunna använda grafisk, numerisk eller symbolhanterande programvara för att beräkna integraler
Här är det alltså i samband med numerisk ekvationslösning och numerisk integration som man anser att olika programvaror kan användas. Den grafritande räknaren nämns alltså inte heller här uttryckligen.
11
Slutligen tar vi en titt på vad målen för matematik E (Skolverket, 2008f) säger. Här finns det ingen uttrycklig hänvisning till användning av några tekniska hjälpmedel alls. Innebär det att man menar att de varken kan eller ska användas i denna kurs?
Sammanfattningsvis innebär användningen av olika tekniska hjälpmedel generellt att nya, mer komplexa, matematiska problem kan studeras. Samtidigt måste detta åtföljas av en kunskap avseende bakomliggande matematiska begrepp och modeller för att uppnå full effekt. Slutligen verkar det råda en viss förvirring i målen kring vilka tekniska hjälpmedel man avser.
Definitioner och begrepp
I studien förekommer det några begrepp och termer som kan behöva en närmare definition. Därför tas de viktigaste upp här.
Termen tekniska hjälpmedel används här som samlingsnamn för alla typer av framför allt elektroniska verktyg som kan användas i matematikundervisningen. Detta innefattar t.ex. datorer och olika typer av miniräknare.
Med dator menas här en ”digital automatisk beräkningsmaskin som styrs av ett i dess minne lagrat program” (Nationalencyklopedin, 2008a).
Med miniräknare menas en ”liten digital räkneapparat som ryms i handen” (Nationalencyklopedin, 2008b).
Olika typer av miniräknare nämns i denna studie. Dahland (1998) anser att man i princip kan dela in miniräknare i fyra kategorier: aritmetiska räknare, funktionsräknare (tekniska räknare), grafritande räknare och symbolhanterande räknare. I denna studie intresserar vi oss endast för den grafritande räknaren, men det kan vara av intresse att positionera den i förhållande till övriga räknartyper. Per-Eskil Persson (personlig kommunikation den 14 december 2008) tar upp några intressanta egenskaper man kan titta närmare på; hur de arbetar (numeriskt1 eller analytiskt2), vilka funktioner de är utrustade med, hur många minnesplatser de har och storlek på räknarens fönster:
1
Med numeriskt arbetssätt avses här att räknaren endast använder närmevärden i sina beräkningar. Om en uträkning t.ex. skulle leda fram till exakt , svarar räknaren med ett närmevärde på , dvs. 3,14159…
2 Ett analytiskt arbetssätt innebär att man kan få fram en exakt lösning. I exemplet ovan skulle räknaren
12
Aritmetiska räknare har funnits sedan 1970-talet. De har ett numerisktarbetssätt och klarar i princip de fyra räknesätten. De är i allmänhet utrustade med en minnesplats och har ett mycket enkelt fönster.
Funktionsräknarna kom i mitten på 1970-talet. Arbetssättet är numeriskt. De kan det som de aritmetiska räknarna kan, men har dessutom ett antal färdiga funktioner beroende på dess tillämpningsområde (teknik, ekonomi osv.). De har typiskt ett litet antal minnesplatser och som regel ett enkelt fönster.
Grafritande räknare (kallas ibland grafiska räknare eller grafräknare), kom i slutet av 1980-talet. Även dessa arbetar numeriskt. Förutom det som
funktionsräknarna kan, ritar de upp grafer, angivna på olika sätt. De har vanligen verktyg för att följa grafer (t.ex. TRACE), utföra skalning (t.ex. ZOOM), hitta skärningar (t.ex. ZERO, ROOT, INTERSECT), numerisk derivering och integrering av funktioner. Ofta är de utrustade med olika specialfunktioner för t.ex. statistik, listhantering, matrisräkning, ekvationslösning (t.ex. SOLVER) samt möjlighet till enklare programmering. Dessa har betydligt fler
minnesplatser, i princip ett per tangent. En viktig skillnad mot tidigare räknartyper, är det stora fönstret. Det är därmed möjligt att se tidigare
inmatningar, vilket kan vara till stor nytta i undervisningssammanhang, t.ex. vid kontroll och felsökning.
Symbolhanterande räknare är det senaste tillskottet och började komma i slutet av 1990-talet. Dessa arbetar till skillnad från tidigare analytiskt och kan hantera symboler (jfr eng. CAS, Computer Algebra System). Resultatet presenteras om möjligt som ett exakt uttryck, om man inte särskilt begär ett närmevärde. Förutom att kunna rita grafer, är dessa utrustade med fler analytiska verktyg. I princip kan man säga att det är som en liten dator. Antalet minnesplatser begränsas av fysiskt minne i räknaren. Fönstret kan vara av olika storlek och upplösning. (ibid.)
När det gäller grafritande räknare, finns det ett antal olika märken och modeller att välja på. Här ges en kort introduktion till några av de modeller från Texas Instruments som vi kom i kontakt med i vår studie, nämligen TI-82 STATS, TI-83 Plus och TI-84.
13
TI-82 STATS ersätter den tidigare modellen TI-82 och är utrustad med ett antal statistiska och ekonomiska funktioner (Texas Instruments, 2008a).
TI-83 Plus har fler och mer avancerade funktioner än TI-82 STATS, är snabbare och har mer minne. Den är också utrustad med så kallat Flash-teknologi, vilket bl.a. innebär att man kan lägga till applikationer (färdiga program) i efterhand (Texas Instruments, 2008b).
TI-84 Plus är en vidareutveckling av TI-83 Plus och har bl.a. en snabbare processor, mer minne och inbyggd datorkommunikation (Texas Instruments, 2008c).
Forskning om användning av grafritande räknare i matematikundervisningen
Användningen av grafritande räknare i matematikundervisningen verkar vara
omfattande. Andersson (2001) gjorde en enkätundersökning bland lärare och elever i årskurs 1 till 3 på Naturvetenskapliga programmet (NV) och Tekniska programmet (TE) på fyra gymnasieskolor i södra Sverige samt lärarstuderande på Lärarhögskolan i
Malmö. Av undersökningen framkom det att grafritande räknare används frekvent på matematiklektionerna av både lärare och elever.
Burrill m.fl. (2002), som gjort en sammanställning av 43 amerikanska
forskningsrapporter, kom fram till att lärarna generellt använder den grafritande räknaren i en utvidgning av det sätt de alltid undervisat på, och att det har ett nära samband med deras egen syn på matematik. Om de i huvudsak har en resultatinriktad syn på matematiken, speglas det i att räknaren används för beräkningar av olika slag. Om de däremot är mer inriktade mot begreppsförståelse och ett undersökande arbetssätt, använder de räknaren för det ändamålet. Balling (2004) skiljer i sin doktorsavhandling mellan tre olika sätt att använda den grafritande räknaren:
Som ett beräknings- och grafritningsverktyg, dvs. till beräkningar i olika uppgifter, till kontroll av svåra uträkningar, till numeriska beräkningar och till grafritning. Detta sätt att använda den grafritande räknaren på kom även Andersson (2001) och Burrill m.fl. (2002) fram till, men Burrill m.fl. fann att den dessutom används för datainsamling, för växling mellan olika
14
Som ett undervisningsverktyg, där läraren använder räknaren till att prova nya former för undervisning, till att låta eleverna själva undersöka egenskaper hos olika matematiska objekt och till att hitta matematiska samband. Även Burrill m.fl. (2002) fann en del undersökningar som indikerar att vissa elever använder räknaren på ett utforskande och undersökande sätt, men som regel bara om uppgifterna kräver grafritning.
Som ett verktyg för lärande, där eleven använder räknaren för att utforska ett matematiskt samband, för att ställa upp och testa egna hypoteser och för att förtydliga matematiska diskussioner.
Både Burrill m.fl. (2002) och Balling (2004) menar att det inte är tillräckligt att endast förse lärarna med grafritande räknare för att undervisningen ska ändras. De behöver mer, i form av fortbildning och stöd från olika håll.
Det finns en risk att den grafritande räknaren överanvänds. Enligt Burrill m.fl. (2002) överanvänds de grafritande räknarna av vissa elever, som blint och okritiskt litar på de svar räknaren ger. Ett exempel är felaktig eller missförstådd användning av skalor när man ritar grafer. Ibland svarade eleverna felaktigt att en andragradsfunktion var en rät linje, eftersom de bara såg en del av kurvan i räknarens fönster.
Enligt Burrill m.fl. (2002) finns det också elever som underanvänder den grafritande räknaren, i synnerhet om de känner osäkerhet kring hanteringen av verktyget som sådant, eller avseende hur uppgiften ska redovisas skriftligt. Även i Anderssons (2001) undersökning framkom det att ett flitigt användande är en förutsättning för att kunna behärska den grafritande räknaren som ett verktyg på ett adekvat sätt.
Burrill m.fl. (2002) anser att den största nyttan av den grafritande räknaren fås om matematiken och teknologin integreras på ett fruktsamt sätt. Detta innebär att man måste ha en viss grundläggande matematisk kunskap för att kunna använda räknaren på rätt sätt och för att kunna göra en korrekt tolkning av de resultat man får fram. Man måste också diskutera och förstå vad den egentligen kan göra och vilka dess tekniska begränsningar är.
Några forskare, t.ex. Berry, Graham & Smith (2006) och Sheryn (2005), har försökt att komma ännu närmare inpå eleverna och försökt studera hur eleverna mer handgripligen
15
använder sina grafritande räknare. Ett intressant inslag i deras studier var metoden de använde. Genom att installera en specialutvecklad applikation (key-recorder software) i räknarna, kunde de spela in alla tangenttryckningar som eleverna gjorde, både i och utanför skolan. En fördel med detta var att man kunde observera eleverna utan att de ständigt påmindes om att de var observerade. Senare kunde de föra över de inspelade data till en dator för närmare analys. Detta gav forskarna en unik inblick i hur och till vad eleverna använde de grafritande räknarna. I Sheryns fall indikerade insamlad data tre olika typer av lärande: lära sig matematik, lära sig hur räknaren fungerar samt lära sig matematik och hur räknaren fungerar samtidigt.
Som framgår av denna genomgång, finns det en hel del teoretisk och empirisk forskning gjord i andra länder. Det finns dock relativt lite empirisk forskning gjord i Sverige kring användningen av grafritande räknare och hur den påverkar matematikundervisningen i gymnasieskolan. En av slutsatserna som kan dras från tidigare forskning, är att det tar relativt lång tid för ett nytt verktyg att få fullt genomslag i matematikundervisningen. Därför ställer vi oss undrande till om de slutsatser man funnit i tidigare forskning fortfarande är aktuella?
Syfte
Syftet är att undersöka hur lärare och elever anser att grafritande räknare påverkar undervisningen i matematikkurserna A till E på två gymnasieskolor i södra Sverige. Genom att göra lärare och blivande lärare medvetna om detta, kan de få möjlighet att reflektera över hur de själva använder grafritande räknare i sin undervisning. I
förlängningen kan det eventuellt påverka användningen av grafritande räknare i positiv riktning.
Forskningsfrågor
Detta leder till att vi ställer oss följande forskningsfrågor:
1. Hur påverkar den grafritande räknaren undervisningen inom gymnasiekurserna i matematik enligt lärare och elever på de två gymnasieskolorna?
2. Vilka funktioner på den grafritande räknaren anser lärarna vara särskilt viktiga inom olika områden i matematikkurserna A till E?
16
3. Hur introduceras eleverna till den grafritande räknaren och hur lär de sig använda den i undervisningen på de två gymnasieskolorna?
17
Metod
I detta avsnitt beskrivs hur urvalet gjordes, vilka datainsamlingsmetoder som användes och tillvägagångssätt samt vilka åtgärder som vidtogs för att höja tillförlitligheten i datamaterialet.
Urval
Urval av det empiriska materialet gjordes på tre nivåer: urval av skolor, urval av lärare och urval av elever.
Urval av skolor
Undersökningen omfattar totalt 7 lärare och 81 elever fördelade på två gymnasieskolor i södra Sverige. För att kunna besvara våra frågeställningar, var det viktigt att få tillgång till respondenter på skolor där man har undervisning på de olika nivåerna i matematik, dvs. A till E. Det främsta skälet till detta var att kunna undersöka hur mycket av den grafritande räknarens funktioner som faktiskt kommer till användning. Det var också av intresse att ha med respondenter från gymnasieskolor med olika profiler eller
inriktningar, för att på så sätt kunna undersöka om användningen av grafritande räknare skiljer sig mellan dessa. I urvalet ingår därför två gymnasieskolor, som valdes ut via vårt eget kontaktnät. Den första skolan har tre av de nationella programmen, däribland naturvetenskapliga programmet, där eleverna läser alla matematikkurserna. Den andra skolan har huvudsakligen elever på yrkesförberedande program, där eleverna kan läsa till och med matematik C.
Urval av lärare
När det gällde urvalet av lärare, var det framför allt två kriterier som ansågs viktiga att uppfylla. För det första att lärarna faktiskt använder grafritande räknare i sin
matematikundervisning. För det andra borde de ha flera års erfarenhet av matematikundervisning, då det kunde medföra uttalande om hur den grafritande räknaren förändrat undervisningen över tid. För det tredje bör de undervisa åtminstone upp till matematik C, för att säkerställa att de använder något mer än bara
grundläggande funktioner på de grafritande räknarna.
Vid ett besök på den första skolan tillfrågades slumpmässigt fem av matematiklärarna om de ville delta. Alla svarade jakande.
18
Här följer en kort presentation av dessa lärare och deras kontakt med grafritande räknare. Samtliga namn är fingerade.
Eivor har arbetat som matematiklärare i 25-26 år och undervisar i matematik A till C. Hon undervisar också i data och företagsekonomi. Grafritande räknare har hon använt i undervisningen sedan många år. Själv använder hon för närvarande TI-83 och TI-84. TI-83 har hon fått någon enstaka kurs på, men det mesta har hon fått lära sig själv. Dessutom fick hon hjälp av några kollegor med att lära sig grafritande räknare.
Axel har arbetat som matematiklärare i 23 år och undervisar i matematik A till E. Han undervisar även i fysik A och B. Han har lång erfarenhet av grafritande räknare i undervisning, och har använt t.ex. TI-80, TI-82, TI-83 och TI-84. I början gick han några kurser, som gav honom en bra grund att bygga vidare på. Numera lär han sig nya modeller själv och tillsammans med sina kollegor.
Benny har arbetat som matematiklärare i 11-12 år och undervisar i matematik A till E. Han undervisar även i fysik A och B. Han har använt grafritande räknare i
undervisningen sedan han började som lärare och har använt t.ex. TI-80, TI-82, TI-83 och TI-84. Han lär sig själv genom att prova och genom att fråga kollegor.
Conny har arbetat som matematiklärare i 15 år och undervisar i matematik A till E. Han undervisar även i fysik A och B. Grafritande räknare har han använt i undervisningen sedan han började som lärare. Han lär sig själv genom att prova och genom att fråga kollegor. Av och till konsulterar han även manualen som medföljer.
Daniel har arbetat som matematiklärare i 9 år och undervisar i matematik A till E. Han undervisar även i fysik A och B. Han fick sin första utbildning på grafritande räknare på Lärarutbildningen, och har använt den i undervisningen sedan han började som lärare. Han lär sig nya modeller självmant och på olika internutbildningar.
På den andra skolan valdes två lärare i matematik ut genom personlig kontakt och tillfrågades om de ville delta. Det ville de. Här följer en kort presentation av dessa lärare och deras kontakt med grafritande räknare.
Carina har arbetat som matematiklärare i 12 år och undervisar i matematik A till C. Dessutom undervisar hon i fysik och data. Hon använder själv TI-82, och lär sig nya modeller av grafritande räknare med hjälp av manualen och läromedel. Hon har även
19
varit på en kurs. Hon började använda grafritande räknare i undervisningen för ca 8 år sedan.
Einar är civilingenjör i grunden, och har senare tagit lärarexamen i matematik och fysik. Han har arbetat som matematiklärare i 7 år och han undervisar i matematik A till C. Därutöver undervisar han i fysik A och B samt tekniska ämnen på yrkesförberedande program. De grafritande räknare han använder själv är TI-82 och TI-83. Från början lärde han sig grafritande räknare på Malmö lärarutbildning. Sedermera har han varit på en internkurs också. Han har använt grafritande räknare i undervisningen alltsedan han började arbeta som matematiklärare för sju år sedan.
Urval av elever
Totalt har 81elever deltagit i en enkätundersökning. Från den första skolan deltog 67 elever, och från den andra 14 elever. Urvalet av dessa grundades på vilka
matematikkurser och program de läser samt vilken lärare de har. De intervjuade lärarna ombads fråga sina respektive elever om de ville delta i undersökningen. Av dessa var det tre elevgrupper som gick med på att delta i undersökningen. Av de totalt 81 eleverna som deltog i enkätundersökningen, angav 6 elever att de inte ville delta.
Forskningsetiska aspekter
Det finns ett antal etiska aspekter som måste tas hänsyn till i forskningssammanhang. Till dessa hör enligt Johansson & Svedner (2006, ss. 29-30) bland annat följande punkter:
Deltagarna skall erhålla en rättvisande och begriplig beskrivning av undersökningsmetoderna och undersökningens syfte.
Deltagarna skall ha möjligheter att när som helst ställa frågor om undersökningen och få sina frågor sanningsenligt besvarade.
Deltagarna skall upplysas om att de kan avböja att delta eller avbryta sin medverkan utan negativa följder.
Deltagarna skall vara säkra på att deras anonymitet skyddas. Av den färdiga rapporten skall det inte vara möjligt att identifiera vare sig förskola/skola, lärare eller elever/barn. Om man
överväger att namnge de som deltagit i undersökningen måste man ha tillstånd från alla berörda: personalen på skolan, eleverna och deras föräldrar och eventuellt andra.
20
För att uppfylla dessa aspekter, informerades de tillfrågade lärarna via ett följebrev (bilaga 1) om undersökningen. Detta delades ut antingen vid personligt besök eller via e-post. För elevernas del fick de information dels via sina lärare, dels via det följebrev (bilaga 2) som följde med enkäten (bilaga 3).
Datainsamlingsmetoder
För att få svar på forskningsfrågorna, fanns det flera möjliga metoder för datainsamling att välja på. Några vanliga metoder som skulle kunna passa in här är observationer, intervjuer, textanalyser och enkäter (Johansson & Svedner, 2006). Även den metod med inspelning av tangenttryckningar, som t.ex. Berry m.fl. (2006) och Sheryn (2005) beskriver, skulle kunna bidra med värdefulla data.
Observationer innebär i korthet att man observerar t.ex. undervisningen och antecknar det som är av intresse för undersökningen (Johansson & Svedner, 2006). Den främsta fördelen med observation som insamlingsmetod, är möjligheten att kunna observera hur lärare och elever använder grafritande räknare under t.ex. matematiklektioner eller på ett prov, dvs. i verkliga situationer (Repstad, 2007). När det gäller dokumenteringen hade det optimala sättet troligtvis varit att videofilma olika lektioner, för att på så sätt lättare kunna analysera dessa ur olika aspekter efteråt i lugn och ro. På skolorna sa dock eleverna nej till videofilmning. Den främsta nackdelen med observation i denna
undersökning har egentligen inte med själva metoden att göra, utan rör det faktum att observationerna måste göras vid ”rätt” tidpunkt, dvs. just på de lektioner där den grafritande räknaren faktiskt används. Detta visade sig vara svårt att förutse inom
tidsramen för undersökningen, eftersom de tillfrågade lärarna för närvarande var inne på andra områden i matematiken. Därmed var det tveksamt om observationer var rätt metod att använda i denna undersökning, ens i kombination med andra
datainsamlingsmetoder. En annan nackdel, som t.ex. Sharyn (2005) och Berry m.fl. (2006) tar upp, är att de observerade vet att de observeras, vilket kan påverka deras beteende och därmed insamlad data. Ett sätt att minska denna risk, menar Barry m.fl., är att istället använda en särskild applikation som installeras på räknaren och som spelar in alla tangenttryckningar som görs. Berry m.fl. noterade att eleverna snart glömde bort att de observerades och därmed kunde de fånga elevernas naturliga sätt att arbeta med sina grafritande räknare. För vår del, fanns det framför allt två hinder, som gjorde att vi inte kunde använda denna metod. Det första var att få tag på applikationen, vilket vi inte lyckades med. Det andra hindret var att de grafritande räknare (TI-82 STATS) som
21
eleverna använder saknar så kallad Flash-teknologi, och därmed möjlighet att installera applikationen.
Intervjuer innebär direkt kontakt mellan den som intervjuar och den som intervjuas. Vanliga sätt att genomföra intervjuer är genom personlig kontakt eller via telefon. Det finns många olika sätt att klassificera intervjuer. Ett sätt är att utgå från graden av standardisering. En intervju med hög grad av standardisering kännetecknas av att både frågeområdena och frågorna är noggrant formulerade i förväg och förknippas oftast med så kallad kvantitativa studier. Motsatt gäller att en låg grad av standardisering
kännetecknas av att frågorna formuleras och ställs alltefter som intervjun fortlöper, ofta i syfte att fördjupa tidigare svar. Denna typ av intervjuer är vanliga i så kallade
kvalitativa studier. (Ejlertsson, 2005)
Textanalyser innebär en kritisk granskning av olika typer av dokumentation, t.ex. läroböcker och prov (Johansson & Svedner, 2006). Här skulle man kunna tänka sig att närmare studera de läroböcker lärare och elever använder i samband med
undervisningen ur perspektivet grafritande räknare. Vilken typ av räknare hänvisar de till? Vilka utesluts? Vilka funktioner går man in på? Vilka inte? Osv. När det gäller prov, skulle man t.ex. kunna analysera vilka uppgifter eleverna löser grafiskt. Främsta nackdelen med denna metod jämfört med intervjuer och enkäter, är att den tar mycket tid i anspråk. Det kan också vara svårt att skaffa fram t.ex. prov som eleverna gjort.
Enkäter används ofta vid breda och relativt ytliga undersökningar (Johansson & Svedner, 2006). En enkät utgörs ofta av ett formulär innehållande ett antal frågor med övervägande fasta svarsalternativ, och det är som regel respondenten själv som fyller i svaren (Ejlertsson, 2005). Ejlertsson tar upp ett antal fördelar som, jämfört med intervjuer, passade in i vår undersökning: de tillåter ett större urval, de innehåller som regel frågor som är korta och enkla att besvara, samma fråga ställs på ett likartat sätt till alla respondenter, eliminering av den så kallade ”intervjuareffekten”. Jämfört med intervjuer fanns det också nackdelar att ta hänsyn till: risken för stort bortfall, ingen möjlighet att följa upp svar med följdfrågor eftersom de svarar anonymt, frågorna kan inte vara alltför omfattande att svara på.
Ett sätt att minimera nackdelarna med enkäter kunde ha varit om de kombinerades med t.ex. intervjuer av vissa respondenter. Det skulle i så fall ha kunnat bidra till en djupare
22
insikt i t.ex. hur elever använder den grafritande räknaren i en viss situation. Dock visade det sig att det var svårt att genomföra i praktiken, dels med tanke på det som sagts ovan rörande observationer, och dels med tanke på tidsramarna för
undersökningen.
Kvalitativa intervjuer
Efter noggrant övervägande valde vi att göra semistrukturerade kvalitativa intervjuer med lärarna, då vi ansåg att vi kunde få tillräckligt djupgående svar från dessa för att uppfylla syftet och för att kunna besvara forskningsfrågorna. Kvalitativa intervjuer valdes, då det var viktigt att få så många aspekter som möjligt på hur den grafritande räknaren har påverkat undervisningen. Med semistrukturerad menas att frågeområdena var bestämda i förväg, medan ordningen mellan frågorna och i viss mån vilka frågor som ställs, tillåts variera mellan intervjuerna. Intervjuerna var semistrukturerade för att tillåta viss flexibilitet i intervjusituationen, utan att gå miste om möjligheten att senare jämföra lärarnas svar sinsemellan.
Det fanns framför allt två frågeområden, som var viktiga att belysa i intervjuerna. Den viktigaste frågekategorin är det vi benämner ”Grafräknare och lärande” (se bilaga 4). Dessa frågor ger insikt om varför, till vad och hur läraren använder den grafritande räknaren i undervisningen. En annan viktig frågekategori benämnde vi ”Lärarens egen erfarenhet”. Här återfinns frågor som rör lärarens erfarenheter, dels av
matematikundervisning, dels av användningen av den grafritande räknaren i och utanför undervisningen. Dessa frågor bidrar till att få en uppfattning om hur läraren själv
använder och lär sig använda nya grafritande räknare, vilket sannolikt kan påverka hur eleverna instrueras avseende olika funktioner på den grafritande räknaren.
Det bör poängteras att frågorna inte har hämtats direkt ur någon tidigare undersökning eller befintliga teorier, utan att det är vi själva som sammanställt dessa med
utgångspunkt i våra frågeställningar och den litteratur vi läst.
Enkät
Med tanke på att eleverna enligt deras lärare redan var under tidspress inför olika prov, och då mycket tid redan gått bort från lektionerna till följd av andra aktiviteter,
bestämde vi att en enkätundersökning bland eleverna skulle kunna ge oss tillräckligt med information. Syftet med enkäten var att den skulle användas som komplement till
23
de kvalitativa intervjuerna med lärarna och att bidra med elevernas perspektiv på användningen av grafritande räknare.
Enkäten (se bilaga 3) består till övervägande del av korta frågor med fasta
svarsalternativ. Frågorna 7, 8 och 9 är öppna, för att inbjuda till variation i svaren. Vi ville även ha en uppfattning om vilka funktioner på den grafritande räknaren eleverna varit i kontakt med. Detta riskerade dock att utmynna i för många tekniskt svåra frågor. En kompromiss var att göra som i fråga 14. Där visas en bild av tangentbordet på en vanlig grafritande räknare (TI-84 Plus) och eleverna får markera de tangenter de varit i kontakt med. Det bör noteras att en APPS-tangenten inte återfinns på modellen TI-82 STATS, men väl på mer avancerade modeller, t.ex. TI-83 Plus och TI-84 Plus.
Tillvägagångssätt
Studien inleddes med en litteratursökning. Vi fick värdefulla tips på litteratur och artiklar av handledaren. Sökningar gjordes också i olika databaser via biblioteket, t.ex. Academic Search Elite (EBSCO), MathDi – Mathematics Education Database,
MathSciNet och MUEP – Malmo University Electronic Publishing. Exempel på sökord var: ”räknare”, ”grafritande räknare”, ”grafräknare”, ”calculator”, ”graphic calculator”, ”graphing calculator”, ”graphing technology”. Därutöver besöktes olika webbplatser, t.ex. Skolverket, NCM – Nationellt Centrum för Matematikutbildning och Texas Instruments.
Datainsamlingen inleddes med ett personligt besök på den första gymnasieskolan. Under besöket träffade vi ett antal matematiklärare i deras fikarum och berättade om examensarbetet. Introduktionsbrevet (se bilaga 1) delades ut till samtliga närvarande. På uppmaning från en av de närvarande lärarna, bokade vi in tider för intervjuer redan då. Även på den andra gymnasieskolan bokades intervjutiderna vid ett personligt besök.
Parallellt med detta färdigställdes intervjuguiden (bilaga 4) och enkäten (bilaga 3).
Intervjuerna ägde rum på respektive skola. Varje lärare som skulle intervjuas fick själv välja lämplig plats. Sex av intervjuerna genomfördes därför i klassrum där vi kunde sitta ostörda. En av intervjuerna genomfördes i ett personalrum, där vi satt relativt ostörda av omgivningen. Vid en av de sju intervjuerna var det en intervjuare och en lärare. Vid de andra sex intervjuerna var vi två intervjuare närvarande tillsammans med en lärare. I dessa fall var en av oss huvudfrågeställare men båda kunde ställa följdfrågor vid behov.
24
Samtliga intervjuade lärare samtyckte till att intervjuerna fick spelas in. Alla intervjuerna spelades därför in med hjälp av en liten MP3-spelare. Dess lilla format medförde att den kunde placeras diskret på bordet. Därmed kunde vi koncentrera oss på att lyssna på de svar som gavs och vara beredda på att ställa följdfrågor. Efter varje intervju ombads läraren fråga någon av sina klasser om de ville delta i undersökningen. Det bestämdes också en plats och tid för överlämnande av rätt antal enkäter till de lärare, vars elever ville delta. Detta förfarande var också ett steg i att minimera eventuellt bortfall, dels genom att varje lärare slapp att själv ombesörja kopieringen, dels genom att endast dela ut till de klasser där eleverna ville delta.
Enkäterna kopierades upp på två dubbelsidiga A4-papper, som sedan häftades ihop. På framsidan fanns följebrevet (se bilaga 2). Därefter följde själva formuläret (se bilaga 3) på sidorna två till fyra. Varje lärare tog själv på sig att fråga sina elever om de ville delta i undersökningen och att muntligen informera dem om vad den gick ut på. Det var också lärarna själva som administrerade utlämning och insamling av enkäten, vilket alltid sammanföll under samma lektion. Därefter la lärarna enkäterna i en hög på överenskommen plats på respektive skola, där en av oss sedan hämtade dem. Svaren i enkäterna stansades in löpande i ett kalkylprogram (Microsoft Excel). Varje enkät gavs också ett löpnummer för att vid behov kunna koppla den till rätt post i
kalkylprogrammet.
Databearbetning och tillförlitlighet
Vid varje intervju noterades var (skola och plats) och vilket datum och tid den hölls. Varje intervju spelades in och transkriberades löpande, vilket gjorde det möjligt att i efterhand analysera exakt vilka ord som yttrades av både intervjuare och intervjuad. Vid eventuella problem med tolkningen av en transkribering, fanns det möjlighet att lyssna på den inspelade intervjun och få med inte bara vad som sades, utan även hur det uttrycktes. Därmed minskades risken för feltolkning av den intervjuades svar.
En åtgärd som vidtogs för att öka validiteten i enkätundersökningen, var att genomföra en pilotstudie med tre elever som går på Naturvetenskapliga programmet på en annan skola än de som ingår i undersökningen. Varje elev fick fritt kommentera respektive fråga muntligt. Detta ledde till vissa smärre förändringar av frågorna i enkäten.
25
Resultat och analys
I denna del av rapporten presenteras resultat och analys av det empiriska
datamaterialet. Redovisningen utgår från forskningsfrågorna, och struktureras sedan efter kategorier utifrån respondenternas svar.
Forskningsfråga 1
Hur påverkar den grafritande räknaren undervisningen inom gymnasiekurserna i matematik enligt lärare och elever på de två gymnasieskolorna?
Till denna frågeställning hör ett flertal av de frågor som ställdes till lärarna på de två skolorna. Därför sker redovisningen här utifrån olika kategorier baserade på
respondenternas svar. I förekommande fall kompletteras dessa med vad eleverna uppgett i enkätundersökningen.
Den grafritande räknaren som ett hjälpmedel
Den övergripande faktorn som påverkar om och när den grafritande räknaren används, uppges vara de vinster som den kan medföra, främst i form av om den kan tillföra något för att öka elevernas förståelse för matematiska begrepp, eller om den kan leda till att tid frigörs för andra saker, t.ex. analys och reflektion.
Alla lärarna var överens om att den grafritande räknaren i första hand är att betrakta som ett hjälpmedel, ungefär som penna och papper, till skillnad från att vara ett kursmoment som ska gås igenom för sin egen skull. Här är några uttalanden:
Jag ser ju inte grafritande räknaren som en del av kursen som måste genomföras, utan det är ett hjälpmedel i kursen. [Eleverna] ska alltid vara beredda, de ska alltid ha räknaren med sig […] räknaren är ungefär som papper och penna. (Benny)
Jag låter liksom inte grafritande räknaren styra undervisningen, utan tvärtom. När undervisningen blir bättre av en grafritande räknare, då så tar jag fram den. (Benny)
Alltså, jag vill ju se miniräknaren som en penna, alltså, som en tillgång som man har för att lösa uppgifter som finns att lösa. Att det inte ska vara, liksom, så krångligt. Det ska vara ett hjälpmedel. (Conny)
Påverkar olika mycket beroende på vilken matematikkurs det gäller Alla lärarna uppger att de använder den grafritande räknaren i sin
26
räknaren, att låta eleverna få träna på var olika tangenter sitter, enkla redigeringar osv. Från och med matematik B börjar man använda den grafritande räknaren alltmer. Här gör också flera av lärarna hänvisningar till uppgifter på de nationella proven:
Introducerar den i A-kursen, men använder den mer i pedagogiken i B-kursen och uppåt […] I A-kursen är det mest för att förbereda dem för B-kursen, för det är en betydligt mindre kurs. Så att jag behöver använda en del av den tiden, så att de är förtrogna med att kunna rita grafer. (Daniel) Jag skulle nog säga att jag använder den mycket i alla andra kurser. I A blir det väl mindre. (Benny)
Där är aldrig uppgifter på grafräknaren på [nationella] matte A-provet. Och nästan inte på B-provet … nationella heller. Men där använder vi alltid grafräknare, på matte B. Och på matte C är det självklart. Helt självklart, alltså. Och uppåt. På matte C och D brukar ju nationella provet innehålla en uppgift, nästan 100 procent alltså, där man måste kunna räkna med grafräknaren. (Axel) I matte A har vi bara vanliga miniräknare, grafritande räknare knappt. Kanske lite på slutet när man har funktionskapitel, men då är tiden så kort eftersom det är nationella prov och massa andra saker att göra så… oftast hoppar jag over det. (Einar)
I de fall eleverna bara ska läsa matematik A, kan läraren tänka sig att inte använda grafritande räknare. Det händer t.ex. om eleverna uttryckligen säger ifrån:
Om jag har matte A på Handelsprogrammet t.ex. så … så kan det bli nästan ingenting alls. Det står visserligen i kursmålen på matte A att de ska ha använt en grafräknare, men … De vill inte ha den, och de köper hellre en sådan vanlig räknare, som de säger. Med bara en räknerad på. Så då kan det bli mer att jag visar exempel på overheaden vad jag skulle kunnat ha gjort. (Axel)
Påverkar lektionernas innehåll
När det gäller innehållet, har tillgången till grafritande räknare medfört att man kan ta upp nya typer av matematiska problem, som man förr inte hade möjlighet till. Det finns exempelvis enkla ekvationer (ex = x och Sin x = x), som inte kan lösas algebraiskt av eleverna, men som med den grafritande räknaren blir enkla för dem att lösa.
I och med att man då kan lösa problem som inte är algebraiskt lösbara, så kan man ju konstruera svårare problem. (Benny)
När det inte finns algebraisk lösning, utan vi hänvisar till numerisk lösning, så blir ju räknaren jättebra. (Benny)
27
I andra fall handlar det om uppgifter som visserligen skulle kunna lösas algebraiskt men där det, med hänsyn till den tiden det skulle ta, inte är praktiskt genomförbart.
[Det gäller t.ex.] olika typer av ekvationer, som differentialekvationer och sådant. Det fanns ju inte den möjligheten över huvud taget innan. Att göra det för hand, det tog alldeles för lång tid helt enkelt. Det var inte genomförbart. (Axel)
En annan aspekt är koppling mellan den djupare förståelsen för den bakomliggande matematiken och den praktiska tillämpningen av densamma. Några lärare gör också en koppling till uppgifterna på de nationella proven.
När man jobbar med matematik C finns det andra delar som man kan använda den till för att få bättre bild av själva matematiska fenomen. (Einar)
Som en linje, va, att de kan lära sig hur en linje ser ut när k är positivt, när k är negativt, och för olika m värden osv. (Eivor)
När man introducerar derivata då är den guld värd; man kan låta miniräknaren dra tangenten, och man kan dra tangenten i två olika punkter, och man kan se hur tangenten ändras, och koppla det till hur derivatan kan se ut. Så där kan man ju snabbt få upp snygga grafer som man kan resonera kring. (Daniel)
De nationella proven visar ju tydligt vad som ger MVG nu, och det är att förstå vad som ligger bakom. Det räcker inte att kunna använda matten, utan du ska kunna förklara dig. (Axel)
Varifrån lärarna hämtar inspiration och olika exempel från varierar. I början, då den grafritande räknaren kom, var det en del som gick kurser. Man tittade också på det inspirationsmaterial som kom från tillverkaren. Det förekommer också ett visst utbyte mellan lärarna. Läromedel, gärna andra än de eleverna själva har, används också som källa till variation. De manualer som medföljer de grafritande räknarna används dock i mindre omfattning, om ens alls. Inte heller tillverkarens hemsidor på Internet används nämnvärt av lärarna. Här följer några uttalanden:
Det kommer nog från så många olika håll. Jag menar, för en sju, åtta år sedan […] var det ju att man försökte få tag på de häftena [från tillverkarna] som hade bra tips och så. Men nu, tycker jag, har den funnits så länge, så nu sitter det nog. Jag har de exempel jag behöver i huvudet, för det mesta. (Axel)
28
Alltså, det är olika. Jag tror att det är på olika nivåer man tar det på olika sätt. På NV så tycker jag att där är det jättebra om de får lära sig på en massa olika sätt hur man kan lösa, samma uppgift eller andra uppgifter. Däremot för andra, där det handlar om att; nu måste vi göra så här. Där de blir väldigt nervösa av att det finns en annan, ett annat sätt att lösa saker och ting. Utan vill veta en metod [...]Men, jag tar hellre exempel från andra böcker eller hittar på egna exempel när jag går introducerar något. (Conny)
När jag undervisar brukar jag ha en bok som klassen har, men sen när jag förbereder mina lektioner, brukar jag ta en annan [läro]bok eller en tredje [läro]bok och bläddra lite. Hur förklarar de det här avsnittet? Vad har de för typexempel i sina böcker? (Daniel)
Påverkar genomförandet av lektionerna
När det gäller genomförandet, nämner lärarna att vissa moment kan gås igenom mycket snabbare med hjälp av grafritande räknare. Detta gäller t.ex. moment som innefattar att rita upp ett antal funktioner under ett lektionspass och studera deras egenskaper
närmare, enskilt eller i helklass.
Då går det ju väldigt snabbt att man kan rita upp flera stycken grafer och så se; vad är likheterna? Vad är skillnaderna? Istället för att ägna en hel lektion åt att de ska göra olika tabeller för olika saker och så där. (Conny)
T.ex., ska du rita en kurva och dess derivata på fri hand, och få det här att bli trovärdigt och snyggt, så tar det ju rätt så långt tid. Och kan man då göra det på ett snabbt sätt, så kan man på en lektion hinna med betydligt mycket fler exempel än man kunde tidigare. (Daniel)
Ja självklart för att då kan jag gå lite snabbare genom olika delar … särskild inom
funktionskapitlet, linjefunktion, andragradsfunktion går det jättesnabbt med hjälp av detta. (Einar)
Det kan också vara att man med den grafritande räknaren kan illustrera lösningar av olika matematiska problem innan eleverna har lärt sig andra metoder.
Ja, alltså, håller jag på med linjer och liknande, grafer, ska beräkna exponentialekvationer innan de kan logaritmera och så där, så går jag ju igenom alla olika möjliga sätt man kan … fixa med räknaren. (Conny)
Påverkar utformningen av prov och provuppgifter
Den grafritande räknaren har också påverkat utformningen av olika prov och
provuppgifter. Även här påverkas man av hur de nationella proven är utformade. Från och med matematik C uppger lärarna att de alltid, där det är relevant, har med
åtminstone någon uppgift avsedd just för den grafritande räknaren. Här följer några uttalanden:
29
Precis som på nationella provet, så försöker vi ha uppgifter … inte många uppgifter, men vi försöker ha uppgifter på de proven där det är relevant, där vi tvingar dem att använda grafräknaren, så att säga. Det finns inget annat sätt att lösa uppgiften på. T.ex. en ekvation som de inte vet hur man löser om de inte löser den grafiskt. (Axel)
Att man […] ibland gör uppgifter som där det verkligen krävs grafritande räknare, t.ex. så att den har ingen algebraisk lösning. (Benny)
Jag brukar använda det lite när jag tycker att det blir viktigt att man kan använda grafräknare på nationella prov, dvs. från matematik C. (Conny)
Om eleverna väljer att lösa en uppgift grafiskt eller numeriskt med hjälp av den grafritande räknaren, måste de ändå redovisa hur de har gått tillväga på för att lösa uppgiften.
Oftast är det en skiss av vad de ser i grafen. Man kan ha skärningspunkt, och så kan man ha en pil och visa, här har vi lösningen, INTERSECT ger … och de läser av x- och y-värden. Så de måste ändå redovisa hur tankegången var. (Daniel)
För att motverka att eleverna löser uppgifter enbart med den grafritande räknaren, har man som regel en provdel där räknare över huvud taget inte är tillåten. Det främsta skälet till detta uppges vara att kunna testa om eleverna har relevanta matematiska kunskaper. Av enkätundersökningen framgår det att samtliga 25 elever som läser matematik C eller D uppger att de haft nytta av den grafritande räknaren på prov.
Påverkar hur eleverna löser matematiska problem
Några lärare menar att eleverna blir bättre på att lösa matematiska problem med hjälp av den grafritande räknaren, även om de inte riktigt kan hitta belägg för det påståendet.
Ja, jag tycker det, men när vi varit med i de här internationella undersökningarna, så har inte det resultatet blivit särskilt tydligt. (Axel)
Ja, alltså så tillvida att man kan komma fram till en lösning […] Det är ju ändå så, tycker jag, att den stora tankeverksamheten är ju när man ställer upp ekvationerna. Och sedan är ju räknandet bra verktyg för att liksom komma fram till lösningen utifrån sina ekvationer. (Benny)
Jag är övertygad att de blir bättre på analys, för att man kan frigöra tid till att analysera kurvor, tolka kurvor och grafer, och så. Med det här hjälpmedlet. Lite till priset av att de blir lite sämre på fingerövningar, alltså algebra. (Daniel)
30
Det finns också farhågor för att elevernas kunskaper i algebra blir sämre om de får möjlighet att lösa olika uppgifter numeriskt istället, dvs. använda den grafritande
räknarens olika funktioner. En strategi som används av lärarna för att motverka detta, är att flytta vissa uppgifter till den räknarfria delen av ett prov.
Påverkar val av matematiska metoder
Man försöker träna eleverna i att växla mellan olika representationsformer, t.ex. gå från uttryck till funktion, från funktion till graf osv. Den grafritande räknaren uppges i några intervjuer användas för att ge en grafisk visualisering av ett matematiskt problem eller begrepp:
Så jag drillar mina elever … ja, ganska hårt, att försöka skissa och rita så mycket som möjligt. Även för hand, förutom på grafräknaren. (Axel)
Om man bara gör algebraiskt så fattar de betydligt mindre än om man kopplar det till grafer. (Axel)
Ifall vi nu jämför med när vi räknade på det här … säg att vi räknar med en andragradsekvation. Vi ritar upp den andragradsfunktionen och hittar nollställen, och liksom kan jämföra det ena med det andra, och vad som är viktigt och så där, va. Det är jättebra. (Conny)
Nu kan man mer resonera; ja, den här funktionen, hur tror du dess derivata kommer att se ut? Ja, om man tittar på någon funktion. Så kan man ha diskussion och sen kan man derivera; ja, titta här. Där hade vi fel eller där hade vi rätt, va. Så man kan få en rätt så dynamisk och bra diskussion i klassrummet, om man bollar med de olika graferna. (Daniel)
Ibland, då eleverna har svårt för att över huvud taget rita en graf för hand, kan den grafritande räknaren vara ett hjälpmedel i elevens lärande genom visualisering.
[Säg att] man ritar någon graf, så kan de inte göra det för hand, utan de kan bara göra det med räknaren … Då menar jag att det är ju bra, va. För då lär de sig någonting på att … De ser i alla fall hur den ser ut. (Benny)
Påverkar kontroll av lösningar
Det är en medveten strategi hos flera av lärarna att träna eleverna i att kontrollera sina lösningar, med eller utan den grafritande räknaren. Här följer några uttalanden:
Sedan kan de ju kontrollera på grafräknarna att det faktiskt blir så. (Axel)
Även om de kanske ska räkna ut hela uppgiften på skrivningen och sätta upp på olika sätt, och räkna logaritmiskt, så har du en logaritmräkning. Så kanske du inte är riktigt säker på det, då kan
31
man lika gärna, liksom, kolla upp det med två stycken grafer. Och då har man en säkerhet i det, att man; så här räknar jag, så kan jag testa med det här andra … ja, det verkar stämma med varandra. (Conny)
Samtidigt finns det också elever som av någon dum anledning inte kontrollerar sina lösningar. För så fort du har en ekvation och får ut svar, då är det ju så jädra enkelt att sätta in dem och kolla så att det verkligen stämmer. (Conny)
Under lektionstid kastar de sig över facit så fort de kan […] Men, under provtid försöker jag ju säga, att det finns inget facit förutom det som ni har i handen, dvs. era grafiska räknare. (Daniel)
Påverkar graden av reflektion
Även när de använder den grafritande räknaren, finns det lägen då eleverna måste tänka efter, t.ex. när det gäller axlarnas skalor i en graf. Här upplever en av lärarna att det är positivt med den grafritande räknaren.
För jag vill att de ska göra just det tankarbetet och tänka; vilka x-värden är rimliga och vilka y-värden är rimliga? För just den tankeverksamheten är den jag är ute efter. (Daniel)
En annan oro är att eleverna verkar ta det som den grafritande räknaren ger som svar, som det rätta, utan att närmare reflektera över det. Risken finns att eleverna blir sämre på att bedöma rimligheten i svaret. En lärare tror att det kan bero på att det går för snabbt att få fram svaret.
Jag satt och diskuterare med en sjuttonåring, som går på samhällsprogrammet, igår, hur mycket en tredjedel gånger tre är t.ex. Och det kunde han ju när han var tio år, bergsäkert. (Axel)
Jag tror det var någonting med Cheops pyramid, där det skulle räknas ut volymen av den, va. Och när man då kommer fram till 0,46 liter, då borde man ju ha hajat till vid det svaret. (Conny) Ja, de reflekterar alldeles för lite. Om jag säger att förändringsfaktor är 140 % så att de ser den ökning med 40 %. De tänker inte att de har 100 kr som jag hade från början och det måste bli lite mer alltså 140, utan att de bara trycka på knappar hade den blivit kanske 3000 kr eller 50 kr eller mer de funderar inte utan att de tar den som det blir i själva maskinen. (Carina)
Om man gör hantverket, och kommer fram till orimligt svar, så hinner man ju reflektera över det […] jag har en känsla av att man får en större andel fullständigt orimliga svar, när det bara är två knapptryckningar till svar. (Daniel)
Räknare eller inte räknare
Några lärare uttrycker också oro för att eleverna använder räknarna för mycket och till fel saker. Rena rutinberäkningar, som eleverna borde kunna lösa med vanlig
32
huvudräkning eller uppställning, använder de räknaren till. Detta leder enligt lärarna till att eleverna blir sämre på att räkna utan tillgång till miniräknare.
Efter ett tag så slår du ju 2 x 1 bara för att säkerställa att det är 2 [...] Och det här med att sex gånger en halv och inte kan inse att det blir tre. Utan att man måste sitta flera minuter … Hade de räknare, så såg de det på räknaren. Men annars gör de en uppställning av någon konstig anledning, och ser hur sex gånger noll komma fem, och sitter och räknar och räknar och räknar, och till slut får de ut det till tre. Det är inte riktigt bra. (Conny)
Det finns ju elever som inte klarar av att räkna ut ”17 x 18” […] Och det är inte alla som kan ställa upp. (Eivor)
Överhuvudtaget är eleverna jätteglada för att använda miniräknare, men samtidigt tycker jag att det är bra att de använder huvudräkning och använder huvudet. (Carina)
Det lärarna diskuterar numera är dock inte om den grafritande räknaren (eller egentligen räknare över huvud taget) ska få användas, utan när. Detta uttrycks i intervjuerna på lite olika sätt:
Det vi diskuterar, det är däremot att vi borde vara hårdare med när de inte ska använda räknare alls, så att säga. Att tvinga sig att räkna bråkräkning eller ha en räknarfri vecka då och då. (Axel) Men faktiskt är det så här, och det har det egentligen varit sedan min tid också, att man använder räknaren för alla de här idiotiska små räkningarna, bara för att kontrollera sig själv. Därför är det rätt bra nu med nationella proven, att de är uppdelade i en del som är utan räknare och en del som är med räknare. (Conny)
Jag använder nog räknaren för mycket, på något sätt […] Tyvärr så använder jag den till de flesta lektionspass, fast jag vet att de inte gör det när det väl är prov […] Grafräknare är bra, men man måste använda den med förnuft, va. Och det gör vi inte riktigt idag, tycker jag. (Daniel) De måste lära sig tänka också. De måste veta ungefär vad det ska bli, det de slår in på räknaren. (Eivor)
Forskningsfråga 2
Vilka funktioner på den grafritande räknaren anser lärarna vara särskilt viktiga inom olika områden i matematikkurserna A till E?
Här redovisas resultatet utifrån de funktioner på den grafritande räknaren som omnämns i såväl intervjuer med lärarna som de som elever hänvisar till i enkäten, främst fråga 14.
33 Funktionslära
Ett givet användningsområde för samtliga lärare var funktionslära, där den grafritande räknaren har ett antal användbara funktioner. Här presenteras kortfattat vad dessa innebär enligt manualerna (Texas Instruments, 2008d, 2008e).
Y= Öppnar en editor, där man kan skriva in en eller flera funktioner
eller uttryck som ska plottas (ritas på skärmen).
WINDOW Här ställer man in visningsfönstret, så att grafen3 presenteras så bra som möjligt, t.ex. med avseende på vilka x- och y-värden man är intresserad av.
TRACE Används för att flytta markören längs grafen. Förfarandet kallas ibland för att spåra. I botten på skärmen visas markörens
position, t.ex. x- och y-värdet.
CALC En meny som används för olika beräkningar (analyser) på grafen. Här ingår bl.a. zero, minimum, maximum, intersect, dy/dx (derivata) och ∫f(x)dx (integral).
ZERO eller ROOT Hittar grafens nollvärde (rot) inom ett markerat område.
MINIMUM Hittar minsta värdet inom ett markerat område på grafen.
MAXIMUM Hittar största värdet på en funktion inom ett markerat område på grafen.
INTERSECT Hittar skärningspunkten mellan två grafer.
DERIVATA (dy/dx) Beräknar numeriskt derivatan av en funktion i en viss punkt på
dess graf.
INTEGRAL (∫f(x)dx) Beräknar numeriskt integralen av en funktion inom ett markerat område på grafen.
TABLE Visar aktiva funktioners värdetabeller.
3
34
I fråga 14 på enkäten (se bilaga 3) fick eleverna svara på vilka tangenter på deras
grafritande räknare de använt. Diagrammet (se figur 1) visar att eleverna i stort bekräftar att det som lärarna betraktar som viktiga funktioner också har använts av dessa elever. Vi kan dock inte vara säkra på om eleverna verkligen använt t.ex. CALC-menyn, eftersom man kommer åt den genom två tangenttryckningar i sekvens ([2nd], [TRACE]). Därför tas endast vissa av de funktioner som nämnts ovan med i diagrammet. 91% 85% 69% 79% 47% 0% 20% 40% 60% 80% 100%
Y= WINDOW ZOOM TRACE STAT
Tangenter som eleverna uppger att de använt
(Antal som svarat: 75 elever)
Figur 1 Relativ frekvens av svaren på fråga 14 på enkäten (se bilaga 3).
Statistik
STAT Meny för hantering av listor och statistiska beräkningar och analyser, inklusive läges- och spridningsmått samt
regressionsanalyser.
STAT PLOT Används för att plotta data som ett histogram, xy-diagram, spridningsdiagram, lådagram i två varianter, eller som en vanlig sannolikhetsplottning.
Regressionsanalyser, där man försöker hitta den funktion som är bäst beskriver t.ex. ett antal punkter i ett diagram, går man igenom med de elever som går på det
35
programmet. Ett skäl att gå igenom det uppges vara tillämpningar i t.ex. fysiken, där man kanske behöver anpassa en funktion till ett antal mätdata.
Några av lärarna uppger i intervjuerna att de även använder de funktioner som är knutna till statistik, t.ex. STAT och STAT PLOT. Att inte alla lärare använder dessa bekräftas av diagrammet (figur 1) i och med att bara knappt hälften av eleverna uppger att de använt tangenten STAT.
Forskningsfråga 3
Hur introduceras eleverna till den grafritande räknaren och hur lär de sig använda den i undervisningen på de två gymnasieskolorna?
Till denna frågeställning hör flera av de frågor som ställdes till lärarna på de två skolorna. Därför sker redovisningen här utifrån olika kategorier baserade på respondenternas svar. I förekommande fall kompletteras dessa med vad eleverna uppgett i enkätundersökningen.
Tillgång till (samma) grafritande räknare
Fram till för tre år sedan fick eleverna själva köpa sina grafritande räknare. Enligt de lärare vi intervjuade betraktas numera grafritande räknare som ett läromedel som skolan måste tillhandahålla. Dessa köps in gemensamt för hela kommunen i centrala
upphandlingar. De grafritande räknarna får eleverna sedan låna via skolans bibliotek.
Det finns en kursplanegrupp i kommunen, där man i nuläget kollektivt förordar
modellen TI-82 STATS. I intervjuerna med lärarna framkom det flera skäl till valet av just märket Texas Instruments. Ett skäl är att man i olika läromedel oftast utgår från Texasräknare, eller som en av lärarna uttrycker det:
[I läroböckerna] finns ju speciella exempel som är gjorda. För Texas dessutom. Så de har verkligen lyckats få in det. […] När det gäller Texas har vi inte så stora alternativ, tycker jag. (Axel)
En motivering till att köpa in samma modell uppges vara att det både underlättar och sparar tid vid genomgångar och diskussioner i helklass.
Vi kan inte lära oss för många olika räknare. […] Av det enkla skälet, att då kan vi diskutera hur räknaren fungerar tillsammans. Annars blir det ju individuellt, och då blir det ju svårt för mig också. (Axel)
36
De framkom också i intervjuerna med lärarna att eleverna endast undantagsvis använder andra märken än Texas Instruments, men att de dock kan ha olika modeller. Av
enkätundersökningen framkom det att 1 elev av 75 (ca 1,3 %) använder en annan typ av räknare, och att 3 elever av 75 (4,0 %) använder andra (bättre) modeller.
Introduktion till nya funktioner
Det är oftast läraren som först introducerar en viss funktion på räknaren. Det framkom dock att eleverna är delade när det gäller att själva utforska den grafritande räknaren.
Jag tror nästan aldrig att de tittar i instruktionsboken, utan jag tar upp funktioner som finns, och så tränar de på dem. Så går det till. (Axel)
Det är väldigt stor skillnad i en klass. Det finns de som bara använder den när jag är här och så finns det de som tycker det här är spännande och kul, och liksom sätta sig med instruktionsboken och lära sig alla funktioner och experimentera och tycker att det är kul att gå in i alla menyer och så. Så att, det finns verkligen två olika grupper som har helt olika inställning till räknaren i samma klassrum. (Daniel)
När eleverna ska introduceras till nya funktioner på räknaren, använder lärarna olika metoder. Ett vanligt sätt är att använda den så kallade OH-plattan, som är ett tillbehör till den grafritande räknaren för visning av räknarens fönster via en OH-apparat. Andra sätt som nämns är att använda plansch över räknarens tangenter eller att helt enkelt hålla upp räknaren och visa hur man trycker.
I princip finns det en OH-platta tillgänglig för varje matematiklärare på de båda skolorna. Denna föredras av flera av lärarna, särskilt då läraren har planerade genomgångar av något moment.
Jag tar ett exempel, och då har jag ju räknaren på overheaden, så att de ser den på whiteboarden. (Axel)
När jag har planerat någonting med räknaren, så har jag ju en sådan här overheadplatta […] Men om jag inte planerat någonting, utan det kommer upp spontant, så brukar jag ju stå så med räknaren [håller upp räknaren i luften] och peka. (Benny)
Och rätt ofta, liksom, ritar jag upp någonting, och sedan ritar också på tavlan, på den funktionen som visas upp. (Conny)
37
Dock kan det också hända att läraren aktivt undviker OH-plattan av något skäl:
Jag har använt den här OH-plattan väldigt mycket, men alla ser inte i klassrummet. Så jag tycker det är bättre … Jag skriver på tavlan … Först skriver jag funktionen och sen skriver jag vilken knapp de ska trycka på och sätter en ruta runt om knappen, så att de kan skilja på knappen och instruktioner. (Eivor)
När det gäller HUR lärarna gör när de ska demonstrera, finns det även där olika strategier. En del vill visa först och sedan låta eleverna träna, medan andra gör det tillsammans med eleverna. Det finns för- och nackdelar med båda metoderna, menar de. I det första fallet nämns risken med att eleverna glömmer procedurerna, och i det andra att eleverna kommer efter eller trycker fel. En av lärarna var speciellt uppmärksam på detta problem och anpassar hela tiden sitt tempo:
Alltså, jag visar ju dem, och sen rör jag mig runt och ser så att alla har kommit lika långt som jag har gjort [...] jag är väldigt noga med det; att jag gör ett steg och sen tar jag en liten tur, och sen tar jag ett steg och tar en ny tur, så att jag ser att tempot är okej. (Daniel)
Funktioner som lärarna undviker
Det var också intressant att undersöka om det fanns funktioner på de grafritande räknarna som lärarna helst såg att eleverna inte använder. Här framkom det att lärarna inte explicit går in och säger ifrån att eleverna inte får eller inte bör använda vissa funktioner på de grafritande räknarna.
I princip kan jag säga att jag aldrig aktivt säger att; ni bör inte gå till det och det stället på räknaren. Det har jag nog aldrig gjort. (Axel)
Detta sker mer implicit genom att man inte talar om eller använder sig av vissa funktioner på den grafritande räknaren. Här följer några uttalanden:
Jag brukar inte visa dem att man kan räkna bråkräkning [med FRAC] på räknaren. (Axel) Jag har aldrig berättat för dem hur de kan programmera […] Inte för mycket SOLVER har jag använt heller, för det kan jag tycka att det finns andra sätt att räkna det. (Conny)
Jag tycker att man tappar greppet över grafen när man håller på att trycka för mycket på ZOOM IN och ZOOM UT […] Så att när jag undervisar det där med att rita grafer, så använder jag faktiskt aldrig den. (Benny)
38
Lärarna uppger olika anledningar till varför de inte går igenom dessa funktioner på den grafritande räknaren. Det kan t.ex. vara att man inte anser att tiden räcker till, att eleverna behöver träna på att göra det för hand eller att man vill stimulera eleverna att reflektera och fundera.
Elevernas egen nyfikenhet
En del elever är nyfikna av sig och hittar fram till dessa funktioner själva, vilket lärarna ibland uppmärksammar.
Alltså, jag har inte talat alltför mycket om för dem, men det har de ju hittat själv. (Conny) När matte C hade prov, så var det en som hade använt nollfunktionen för att få nollställen till en andragradsfunktion. Och det har inte jag lärt dem. Så det tyckte jag var jättebra. Där var det någon som kommit på detta själv. (Eivor)
Enligt eleverna själva (se figur 2) lär de sig den grafritande räknaren främst genom att prova sig fram eller genom att fråga läraren.
86% 54% 62% 51% 22% 3% 3% 0% 20% 40% 60% 80% 100% Provat mig fram Tips i matteboken Frågat läraren Frågat kompisar Frågat hemma Läst räknarens manual Via hemsidor
Sätt som elever uppger att de lär sig mer om den grafritande räknaren på
(Antal som svarat: 37 elever)
