MATEMATIK Hj¨alpmedel: ordlistan fr˚an kurshemsidan, ej r¨aknedosa
Chalmers tekniska h¨ogskola Datum: 2019-10-29 kl. 14.00–18.00
Tentamen Telefonvakt: Adam Malik
Telefon: 5325
MVE585 Inledande matematik
Skriv tentamenskoden tydligt p˚a samtliga inl¨amnade papper. Fyll i omslaget ordentligt. Tentan r¨attas och bed¨oms anonymt. Betygsgr¨anser: 3: 20-29, 4: 30-39 och 5: 40-50.
L¨osningar l¨aggs ut p˚a kursens webbsida. Resultat meddelas via Ladok senast tre veckor efter tentamenstillf¨allet.
1. Denna uppgift finns p˚a separat blad p˚a vilket l¨osningar och svar skall skrivas. L¨osg¨or (14p) bladet och l¨amna in det som blad 1 tillsammans med ¨ovriga l¨osningar.
Till f¨oljande uppgifter skall fullst¨andiga l¨osningar inl¨amnas. Endast svar ger inga po¨ang. 2. L˚at A = (1, 1, 0), B = (3, 3, 0), C = (2, 0, 2), D = (−2, −5, 1) och `1 : x − 2 = y − 3 = 1−z2 .
(a) Best¨am ekvationen f¨or det plan π1 som inneh˚aller punkterna A, B och C. (2p)
(b) Best¨am sk¨arningspunkten mellan π1 och linjen `1. (2p)
(c) Best¨am vinkeln mellan π1 och det plan π2 som inneh˚aller linjen `1 och punkten D. (2p)
3. Rita grafen (inklusive eventuella asymptoter) till funktionen (6p)
f (x) = x ln x.
4. Best¨am st¨orsta m¨ojliga v¨ardet f¨or y-koordinaten hos den punkt d¨ar tangenten till kurvan (6p) y = x4− x2 sk¨ar y-axeln, samt f¨or vilken punkt (x
0, y0) p˚a kurvan som detta intr¨affar.
5. Best¨am antalet l¨osningar till ekvationen (6p)
|x| = aex f¨or olika v¨arden p˚a konstanten a ∈ R.
6. F¨or x > 0, l˚at Ax vara arean som begr¨ansas av y = 0, y = 1t, t = 1 och t = x och l˚at (6p) ln x = Ax , x ≥ 1 −Ax , 0 < x < 1 . Visa att d dxln x = 1 x.
7. (a) Visa att om en funktion f ¨ar deriverbar i en inre punkt a ∈ Df ¨ar f kontinuerlig i a. (3p)
(b) Visa att funktionen (3p)
f (x) =
e−x , x < 0 x3+ 1 , x ≥ 0 ¨
ar kontinuerlig men inte deriverbar i x = 0.
Lycka till! Fredrik
Anonym kod Po¨ang
MVE585 Inledande matematik 2019-10-29
1. Till nedanst˚aende uppgifter skall korta l¨osningar redovisas, samt svar anges, p˚a anvisad plats (endast l¨osningar och svar p˚a detta blad, och p˚a anvisad plats, beaktas).
(a) Ber¨akna f¨oljande gr¨ansv¨arden: (3p)
(i) lim x→−1 x2− 5x − 6 x2− 1 (ii) lim x→0+sin(x) ln(x) L¨osning: Svar: . . . .
(b) Best¨am samtliga l¨osningar till det linj¨ara ekvationssystemet (3p)
x1 + 2x2 + 2x3 = 1 x1 + 3x2 − 2x3 = 1 x1 + 5x2 − 10x3 = 1 . L¨osning: Svar: . . . . Var god v¨and!
(c) Best¨am arean av det parallellogram som sp¨anns upp av vektorerna ~u = (1, 2, 3) och (2p) ~v = (2, −1, −1).
L¨osning:
Svar: . . . .
(d) Best¨am lutningen till hyperbeln x2− y2 = 12 i punkten (x, y) = (−4, 2). (2p) L¨osning:
Svar: . . . . (e) Best¨am g0(e) om g(x) = sin
π ln(x) . (2p) L¨osning: Svar: . . . .
(f) Best¨am v¨ardem¨angden f¨or funktionen f (x) = ln (sin(x) cos(x)) , x ∈ 0,π2. (2p) L¨osning: