Vilka missuppfattningar
visar elever kring tal i
decimalform?
En intervjustudie med elever i årskurs 6
KURS:Examensarbete för grundlärare 4–6, 15 hp
PROGRAM:Grundlärarprogrammet med inriktning mot arbete i grundskolans årskurs 4–6 FÖRFATTARE:Filip Johansson
EXAMINATOR:Annica Otterborg TERMIN:VT 21
JÖNKÖPING UNIVERSITY Examensarbete för grundlärare, 15 hp School of Education and Communication Grundlärarprogrammet med
inriktning mot arbete i grundskolans årskurs 4–6
Vt 21
SAMMANFATTNING
Filip Johansson
Vilka missuppfattningar visar elever kring tal i decimalform? En intervjustudie med elever i årskurs 6
Antal sidor: 32 _______________________________________________________________________ För att fördjupa förståelsen om elevers missuppfattningar beträffande tal i decimalform, är detta en intervjustudie med åtta elever som besvarar frågeställningarna: Vilka kritiska aspekter finns i relation till kända missuppfattningar gällande tal i decimalform? Vilka kritiska aspekter finns i relation till missuppfattningen om att svaret alltid blir mindre vid division? Den teoretiska utgångspunkten för studien är variationsteorin, då begreppen inom teorin är väsentliga för att få kännedom om vilka skilda sätt ett specifikt ämnesinnehåll uppfattas.
Den data som samlats in för studien gjordes genom en triangulering. I studien har 45 elever genomfört ett arbetsblad där åtta elevers svar följdes upp med intervjuer som spelades in. Avsikten var att få inblick i vad som kan vara kritiskt i förhållande till olika missuppfattningar. I resultatet framförs vilka kritiska aspekter som kan orsaka missuppfattningar för tal i decimalform. Studien visar att flera av de kända missuppfattningarna som forskning skildrar också förekommer bland elever i årskurs 6. De kritiska aspekter elever behöver urskilja för att förstå ett ämnesinnehåll kan finnas i fler än en specifik missuppfattning.
Sökord: Tal i decimalform, division, missuppfattningar, kritiska aspekter, variationsteori _______________________________________________________________________
JÖNKÖPING UNIVERSITY Degree Project for Teachers in School of Education and Communication Preschool Class and Primary school
Years 4–6, 15 credits
Teacher Education Programme for Primary Education – School years 4-6
Spring semester 2021
ABSTRACT
Filip Johansson
What misconceptions do students show about decimal numbers? An interview studies with 6th grade students
Number of pages: 32 _______________________________________________________________________ In order to understand students’ misconceptions regarding decimal numbers is this an interview study with eight students and answers the questions: What kind of critical aspects are there in relation to known misconceptions about decimal numbers? What kind of critical aspects are there in relation to misconceptions that the correct answer always is lower when it comes to division? The theoretical basis of the study is the variation theory, where the theoretical concepts are essential in order get the understanding of the distinct ways the content of the subject is understood.
The data for the study was collected with a triangulation. In the study, 45 students filled in worksheets where eight students’ answers were followed up with recorded interviews. The intention was to gain insight into what could be critical in relation different types of misconceptions. The results convey the critical aspects which can cause misconceptions for decimal numbers. The study shows that much of the known misconceptions portrayed by science are also prevalent in 6th grade students. The critical aspects students need to distinguish in order to understand the content of a subject can exist in more than one specific misconception.
Keywords: Decimal numbers, division, misconceptions, critical aspects, variation theory _______________________________________________________________________
Innehållsförteckning
1. INLEDNING ... 1
2. SYFTE OCH FRÅGESTÄLLNING ... 2
3. BAKGRUND ... 3
3.1STYRDOKUMENT ... 3
3.2TALSYSTEMET ... 3
3.2.1 Att förstå tal i decimalform ... 3
3.3ATT FÖRSTÅ DIVISION ... 4
3.4MISSUPPFATTNINGAR OM TAL I DECIMALFORM ... 5
3.4.1 Ju fler siffror, desto större tal ... 5
3.4.2 Ett tal i decimalform tolkas som två skilda tal ... 7
3.4.3 Förståelse för siffrors platsvärden ... 7
3.4.5 Blir svaret i division alltid mindre? ... 8
3.5VARIATIONSTEORIN ... 9 4. METOD ... 11 4.1URVAL ... 11 4.2GENOMFÖRANDE ... 12 4.3ANALYSMETOD ... 13 4.4STUDIENS TILLFÖRLITLIGHET ... 14 4.5ETISKA ÖVERVÄGANDEN ... 14 5 RESULTAT ... 16
5.1JU FLER SIFFROR, DESTO STÖRRE TAL ... 16
5.1.1 Fallet Johanna ... 16
5.2ETT TAL I DECIMALFORM TOLKAS SOM TVÅ SKILDA TAL ... 17
5.2.1 Fallet Morgan ... 17
5.2.2 Fallet Sandra ... 18
5.2.3 Fallet Martin ... 19
5.3FÖRSTÅELSE FÖR SIFFRORS PLATSVÄRDEN ... 20
5.3.1 Fallet Frida ... 20
5.4.1 Fallet Kerstin ... 21
5.4BLIR SVARET I DIVISION ALLTID MINDRE? ... 23
5.4.1 Fallet Victoria ... 23 5.4.2 Fallet Victoria ... 24 5.4.3 Fallet Andreas ... 25 5.4.4 Fallet Andreas ... 26 6. DISKUSSION ... 28 6.1METODDISKUSSION ... 28 6.2RESULTATDISKUSSION ... 29
6.2.1 Ju fler siffror, desto större tal ... 29
6.2.2 Ett tal i decimalform tolkas som två skilda tal ... 29
6.2.3 Förståelse för siffrors platsvärden ... 30
6.2.4 Blir svaret i division alltid mindre? ... 31
6.2.5 Sammanfattning och didaktiska implikationer ... 31
7. REFERENSER ... 33 BILAGA 1 ... I BILAGA 2 ... II BILAGA 3 ... X BILAGA 4 ... I
1. Inledning
Matematikundervisningen ska bidra till att elever förstår hur tal i decimalform används i vardagliga situationer samt hur beräkningar med tal i decimalform utförs (Skolverket, 2019). Elever möter tal i decimalform när de exempelvis handlar i den lokala mataffären eller mäter saker i sin närhet, exempelvis sin penna eller sitt räknehäfte. I takt med att elever utforskar tal i olika kontexter fördjupas deras uppfattning för tal och dess storhet (Skolverket, 2017).
För att elever ska förstå såväl stora som små tal, behöver eleven ha förståelse för att en siffra kan ha olika värden beroende på var i ordningen den står. För att förstå heltal och tal i decimalform, beskriver forskning att elever behöver förstå, ju längre åt vänster en siffra står, desto större värde har siffran (Hansson, 2019; Resnick et al., 1989). Undervisning ska gå från konkreta och vardagsnära situationer till att stegvis kunna användas i andra sammanhang (Skolverket, 2017). För barn är förståelsen för division viktig när antalet legobitar från legolådan ska delas jämt, likväl som när farmors femhundralapp ska delas jämt mellan syskon. I vuxen ålder kan krognotor och bensinpengar delas upp så att alla betalar lika mycket. Division behandlas allt som oftast i vardagskontexter där ett antal eller en summa ska delas i ett antal högar eller bland ett antal personer. Således blir alltså mängden mindre än det som utgicks ifrån. Föreställningen att räknesättet division alltid leder till att svaret blir mindre, stämmer däremot inte. Det kan bero på att delningsdivision används flitigt. Att använda delningsdivision gör det svårt att förstå att om ett tal delas med ett tal mellan 0 och 1, blir svaret större (Mårtensson, 2015).
Studiens utgår ifrån kända missuppfattningar gällande både tal i decimalform och division där täljaren befinner sig mellan 0 och 1, som bland annat Mårtensson (2015), Sackur-Grisvard & Leonard (1985) och Roche (2005) undersöker. Denna studie syftar därmed till att fördjupa förståelsen för vilka missuppfattningar som finns bland elever i årskurs 6 för tal i decimalform och för division där täljaren befinner sig mellan 0 och 1. Dessutom finns det inte så mycket svensk forskning som behandlar division där nämnaren befinner sig mellan 0 och 1 för elever i skolans mellanår. Problemområdet undersöks genom ett arbetsblad där åtta elever valts ut för intervjuer för att gå på djupet i vilka kritiska aspekter elever urskiljer och inte urskiljer för att förstå tal i decimalform.
2. Syfte och frågeställning
Syftet med studien är att fördjupa förståelsen om elevers missuppfattningar beträffande tal i decimalform
Syftet besvaras med hjälp av följande frågeställningar:
• Vilka kritiska aspekter finns i relation till kända missuppfattningar gällande tal i decimalform.
• Vilka kritiska aspekter finns i relation till missuppfattningen om att svaret alltid blir mindre vid division.
3. Bakgrund
3.1 Styrdokument
Matematikundervisning ska dels bidra till att elever utvecklar sin förmåga att föra matematiska resonemang, dels utveckla sin förståelse för hur matematik används i både vardagliga och matematiska sammanhang. Genom undervisning ska elevers intresse för matematik öka. Undervisning ska dessutom leda till att elever skapar tilltro till sin förmåga att använda matematik i olika sammanhang (Skolverket, 2019). Undervisning ska dessutom ge elever möjlighet att välja och använda olika strategier och metoder för att lösa problem och rutinuppgifter (Skolverket, 2017). Tal i decimalform hör samman med det matematiska området taluppfattning. För att elever ska förstå tal i decimalform, beskrivs det i det centrala innehållet för årskurs 4–6, att de ska utveckla förståelse för ”rationella tal och deras egenskaper”, ”positionssystemet för tal i decimalform”, ”tal i decimalform och deras användning i vardagliga situationer”, ”centrala metoder för beräkningar med naturliga tal och enkla tal i decimalform vid överslagsräkning, huvudräkning samt vid beräkningar med skriftliga metoder” samt ”rimlighetsbedömning vid uppskattningar och beräkningar i vardagliga situationer” (Skolverket 2019, s. 56).
I kommentarmaterialet för matematik beskrivs området taluppfattning som ”förståelse för tals betydelse, relationer och storlek”, som innefattas i området tal i decimalform (Skolverket, 2017, s. 12). En god taluppfattning, som innebär förståelse för tals betydelse, relationer och storlek beskrivs som viktig för att vidareutveckla matematiska kunskaper. Matematikundervisning ska leda till att elever skapar tilltro till sin förmåga och lär sig använda kunskaperna både i och utanför klassrummet (Skolverket, 2017).
3.2 Talsystemet
Vårt talsystem är ett tiobassystem, som består av 10 olika siffror, (0, 1, 2, … och 9). Med dessa symboler finns ingen möjlighet att ge ett värde på en position med större värde än 9 eller mindre värde än 0. Med talsystemet möjliggörs att både väldigt stora och väldigt små tal kan representeras (Hansson 2019; Howe, 2018). För att särskilja siffror som betecknar heltal från siffror som betecknar tal i decimalform, används i Sverige ett decimaltecken (,). Dessutom kan decimalpunkten (.) förekomma. Decimalpunkten används vanligtvis i engelskspråkiga texter, på miniräknare och i vissa datorprogram (Kiselman & Mouwitz, 2008).
3.2.1 Att förstå tal i decimalform
För att elever ska förstå tal i decimalform, behövs först och främst en god förståelse för heltal (Mårtensson, 2015; Resnick et al., 1989). För att förstå heltal behöver elever ha förmågan att urskilja fyra aspekter. Siffran sju används för att exemplifiera aspekterna. Elever behöver urskilja att siffran sju bland annat kan ses som ett antal eller som en position i räkneramsan. Dessutom behöver sjuans relation till dess delar och sjuan som del av andra
tal urskiljas. Det innebär att ett tal kan ha flera dimensioner som behöver urskiljas samtidigt för att ett tal ska förstås (Runesson, 1999). För att elever inte ska behöva lära sig om ett helt nytt område, förklaras det som nyttigt att elever successivt bygger på sina tidigare kunskaper från heltalen för att förstå tal i decimalform (Sackur-Grisvard & Leonard, 1985). Tal i decimalform, som ingår i kategorin rationella tal, är tal som kan skrivas med oändligt antal decimaler och har en periodisk decimalutveckling (Kiselman & Mouwitz, 2008). För att elever ska förstå vad siffrorna i flersiffriga tal betyder, krävs förståelse för tals storhet. Tals storhet identifieras genom förståelse för platsvärden. Ett platsvärde förklaras som ”det värde en siffra representerar i ett tal, utifrån var i talet den står” (Hansson, 2019, s. 48). För att exemplifiera vad ett platsvärde är, används siffran 2. Platsvärdet för siffran 2 i talet 200 är hundratal. Samma siffra kan också representera två tiondelar i talet 0,200. Platsvärden kan baseras på två olika principer. Den ena är positionsprincipen och den andra är decimalprincipen.
Positionsprincipen betyder att exempelvis siffran 1 fyller funktionen som antalet 1 i en position. Exempelvis fyller siffran 1 funktionen som ental i talet 201 och som hundradel i talet 2,01. Samma princip gäller både för ensiffriga och flersiffriga naturliga tal.
Decimalprincipen betyder att tio siffror (0–9) kan ge den maximala siffran nio för varje position. Tio siffror av samma position ger ett värde av en i närmast värdemässigt högre position. Det gäller oberoende position i positionssystemet, vilket betyder att exempelvis tio hundradelar utgör samma värde som en tiondel (Hansson, 2019). Strukturen för hur heltal och decimaler ökar eller minskar är oberoende av vilken position de står i (Resnick et al., 1989).
Det är vanligt förekommande att elever i tidigare årskurser möter tal i decimalform i sammanhang där någonting ska mätas. Det kan bero på att undervisningen ska relatera till händelser som intresserar dem. En sådan händelse kan vara att mäta sin längd. För att elever ska förstå tal i decimalform kan konkret material i kontextbundna uppgifter leda till ökad förståelse. Ett heltal kan symboliseras i ett sammanhang genom en sak, exempelvis med ett sugrör. Sugröret kan klippas i tio lika stora delar för att på så vis synliggöra att ett ental består av tio tiondelar (Wright & Tjorpatzis, 2015).
3.3 Att förstå division
Division är ett av de fyra aritmetiska räknesätten (Kiselman & Mowuitz, 2008). Divisionsalgoritmen innebär att talet k, kvoten, beräknas genom att täljaren a divideras med nämnaren b. Formeln för division är !" = k.
I en intervju med en elev med uppgift att förklara hur den löst en uppgift beträffande division, gavs följande svar: ”You can read it in two ways – divided into, or divided by” (Bell et al., 1984, s. 142). Precis som eleven beskrev, så finns det två skilda sätt att tolka division på. Det ena är innehållsdivision och det andra är delningsdivision (Kinda, 2013).
Nämnaren kan därmed ha olika betydelse beroende på hur den uppfattas (Neuman, 1999). I Terminologi, beteckningssätt och uppställningstyper i den elementära
matematikundervisningen (1961) underkände Skolöverstyrelsen användandet av begreppet innehållsdivision och fastställde att termen division bör brukas istället (Kiselman &
Mouwitz, 2008).
Begreppet delningsdivision kan förklaras på två sätt. Neuman (1999) förklarar delningsdivision som ”antalet delar”. Mårtensson (2015) förklarar begreppet ”att dela lika”, som kan knytas an till elevers tidigare erfarenheter från heltalen. Aktiviteter som innefattar delningsdivision är viktiga för att utveckla förståelse för rationella tal (Lamon, 1996). Förmågan att dela tal eller objekt i lika stora delar anses gynna elevers logiska tänkande och kan dels vara relevant för förståelsen för del av del och del av helhetsrelationer, dels för att förstå likhet och olikhet. Forskaren framhäver värdet av att både bildligt och konkret representera tals delar för att utveckla elevers förståelse. För att behandla delningsdivision, kan uppgiften lyda enligt följande: 35 personer ska dela lika på 7 bananer, hur många bananer får varje person? En korrekt uppställning av divisionen är #$
%. Här berör täljaren personerna som ska få ett visst antal bananer medan nämnaren berör bananer. I delningsdivision uppstår alltså två olika enheter i täljaren och nämnaren. I täljaren är enheten personer och i nämnaren är enheten bananer, medan kvoten i det här fallet anges i enheten bananer (Neuman, 1999).
Begreppet innehållsdivision kan förklaras som antalet i varje del (Neuman, 1999). Yngre elever som beräknar division, väljer att använda sig av repetitiv addition. De använder talet i nämnarens position och adderar talet till dess att det får samma värde som talet i täljarens position. Vidare förklaras att innehållsdivision består av en enhet till skillnad delningsdivision som innehåller två enheter (Neuman, 1999). En uppgift som behandlar innehållsdivision kan lyda: Det finns 35 bananer, hur många personer kan få 7 bananer? En korrekt uppställning av divisionen är #$%. Både täljaren och nämnaren har bananer som enhet, medan kvoten i det här fallet anges i enheten personer (Neuman, 1999).
Sammanfattningsvis mynnar både delningsdivision och innehållsdivision ut i samma kvot. Det är bara två skilda sätt att angripa en division. Division kan ses som upprepad subtraktion, som innebär hur många gånger man kan ta bort kvantiteten 7 från kvantiteten 35. Dessutom kan division ses som upprepad addition, som innebär hur många gånger 7 får plats i 35 (Kiselman & Mouwitz, 2008). Räknesättet multiplikation kan användas för att säkerställa att en division är korrekt beräknad, genom att multiplicera kvoten med nämnaren (Neuman, 1999; Kullberg et al., 2014)
3.4 Missuppfattningar om tal i decimalform 3.4.1 Ju fler siffror, desto större tal
En missuppfattning för tal i decimalform är att elever tror att ju fler siffror ett tal innehåller, desto större är talet. Denna missuppfattning kan indikera på att en förståelse för decimaltecknets betydelse saknas. Antingen ignorerar elever decimaltecknet eller så ser elever decimaltecknet, men visar inte någon hänsyn till det. Exempelvis kan talet 12,34 tolkas som 1234. Missuppfattningen leder i sin tur till att om elever ska jämföra tal i decimalform, exempelvis 4,123 och 12,4 ser eleverna talen som 4123 och 124. Då uppfattas 4,123 som det större talet eftersom det är ett längre tal eller ett tal med fler siffror (Sackur-Grisvard & Leonard, 1985). En annan aspekt ur missuppfattningen ju fler siffror, desto större tal, är att elever endast ser till antalet decimaler ett tal innehåller. Det kan exemplifieras genom att jämföra talen 0,147 och 0,54. Det förstnämnda talet innehåller tre decimaler medan det andra innehåller två decimaler. Om elever övergeneraliserar sin kunskap om heltalen, kan det leda till att talet 0,147 upplevs vara större än 0,54 eftersom heltalet 147 är större än heltalet 54 (Steinle & Stacey, 1998). Ett annat exempel är om talen 125,2 och 125,200 jämförs. Nollor som står längst till höger efter decimaltecknet påverkar inte tals värde. Samma sak gäller heltal, men då behöver ingen hänsyn visas till nollor som står till vänster om första siffran som representerar heltal (Sackur-Grisvard & Leonard, 1985; Resnick et al., 1989). Däremot behöver nollor som står i mitten av tal tas i beaktning, det vill säga att en nolla som varken befinner sig längst till vänster i ett tal eller längst till höger bland decimalerna. Nollan agerar platshållare åt en position som inte har ett värde. Används talet 202 som exempel, betyder nollan att det inte finns några tiotal. Om den tomma positionen inte hade markerats, hade talets värde varit 22 (Hansson, 2019; Howe, 2018).
Det som särskiljer de olika sätten att missuppfatta tal i decimalform är att i det ena visar elever ingen hänsyn till decimaltecknet, utan ser ett tal i decimalform som ett tal i en helhet. I det andra har elever decimaltecknet i beaktning men ser endast till antalet decimaler talet har (Sackur-Grisvard & Leonard, 1985; Steinle & Stacey, 1998).
En annan vanlig missuppfattning handlar tvärt emot tidigare exempel att elever uppfattar att färre siffror alltid ger ett större tal (Sackur-Grisvard & Leonard, 1985; Steinle & Stacey, 1998; Resnick et al., 1989). Missuppfattningen innebär att elever har förståelse för decimaltecknets betydelse samt att tal som delas i delar ger mindre delar. Det förklaras att elever saknar förståelse för hur decimalerna i ett tal i decimalform korresponderar med täljaren och nämnaren med tal i bråkform (Resnick et al., 1989). Elever har lärt sig urskilja decimalernas platsvärde, exempelvis att efter decimaltecknet kommer tiondelen, därefter hundradelen och så vidare. Dessutom förstår eleven att hundradelar är mindre än tiondelar. Däremot generaliserar eleverna påståendet och antar att alla tal som innehåller hundradelar är mindre än tal som endast innehåller tiondelar, exempelvis att talet ”4 hela och 65 hundradelar” är mindre än ”4 hela och 9 tiondelar” (Resnick et al., 1989). Denna missuppfattning beskrivs av andra forskare som att eleven begriper decimaltecknets betydelse och förstår att ju längre åt höger en siffra är från decimaltecknet, desto mindre värde har den och ju längre åt vänster från decimaltecknet, desto större värde har den. Eleven är införstådd med för varje position till vänster i ordningen ökar platsvärdet tiofalt
och till höger minskar platsvärdet tiofalt. Om talen 0,98 och 0,35 jämförs med 0,6 anser eleven att 0,6 är det största talet eftersom det endast innehåller en siffra efter decimaltecknet. (Sackur-Grisvard & Leonard, 1985; Steinle & Stacey, 1998). Fenomenet förklaras härstamma från hur platser i talsystemet benämns och leder till generaliseringar av tiondelar och hundradelar (Steinle & Stacey, 1998).
3.4.2 Ett tal i decimalform tolkas som två skilda tal
Att se tal i decimalform som två separata heltal som skiljs åt med ett decimaltecken kan innebära att elever tolkar ett tal i decimalform som två skilda tal (Roche, 2005; Steinle, 2004; Resnick et al., 1989). Det är känt att både vuxna och barn har missuppfattningar om hur beräkningar med tal i decimalform ska utföras (Steinle och Stacey, 1998). Sackur-Grisvard och Leonard (1985) förklarar att elever kan anses ha förståelse för decimaltecknets betydelse, men inte dess innebörd. Eleven uppfattar ett tal i decimalform som om det vore två heltal, eftersom talet 12,34 vanligtvis avläses som ”tolv komma trettiofyra”. Vidare förklarar forskarna att elever använder kunskaper de besitter från heltalen och applicerar dem när de ställs inför beräkning med tal i decimalform. Dock är det inte säkert att missuppfattningen syns när elever beräknar tal i decimalform. Trots att beräkningarna renderar i korrekta svar, betyder inte det att eleven har förståelse för tal i decimalform. Det framhålls som någonting bra att kunna utföra korrekta beräkningar med tal i decimalform, däremot flyttas fokus från området tal i decimalform och hamnar istället på området heltal (Sackur-Grisvard & Leonard, 1985). Elever kan utveckla förståelsen för tal i decimalform i vardagliga kontexter, exempelvis när de handlar. Då behöver eleven kunna räkna sina pengar samt räkna ut hur mycket den ska få tillbaka i växel om inte jämna pengar används (Carraher et al.,1988). Genom att handskas med pengar skapar det förståelse för dels positionsvärden, dels för de olika valörernas värde. Elever kan använda sina vardagskunskaper om pengars värde för att förstå tal i decimalform. Däremot kan användande av pengar leda till missuppfattningar. Elever kan se pengar som en symbolisk representation av ett tal. Dessutom kan tal i decimalform tolkas som två skilda tal, exempelvis kan 12,34 kr tolkas som antingen ”12 kr och 34 kr” eller ”12 kr och 34 ören” (Jameson, 2016). Missuppfattningen kan härledas till språkbruket och hur läraren exempelvis benämner talet 0,5. Benämns talet som ”noll komma fem” kan det leda till att elever ser ett tal i decimalform som två separata heltal, ”noll och fem”. Är inte språkbruket i klassrummet tydligt nog, kan elever urskilja tiondelen fem som heltalet fem (Sackur-Grisvard & Leonard, 1985).
3.4.3 Förståelse för siffrors platsvärden
För att elever ska urskilja hur värdemässigt små respektive stora tal är, är förståelsen för tals platsvärden fundamental (Sackur-Grisvard & Leonard, 1985). Att kunna urskilja tals värdemässiga storlek kan härledas till sättet som de benämns på. Otydliga benämningar kan leda till övergeneraliseringar. Eleverna behöver urskilja vad tal i decimalform har gemensamt med heltalen och vad som är unikt. Om till exempel talen 0,6 och 0,600 jämförs med varandra, kan benämningen av decimalerna leda till övergeneraliseringar. Benämns decimalerna som heltal och jämförs därefter, kan ”noll komma sexhundra”
(0,600) urskiljas som det värdemässigt största talet och ”noll komma sex” (0,6) som det värdemässigt minsta talet, eftersom heltalet 600 är större än heltalet 6 (Mårtensson, 2015). Ett sätt att förhindra elevers svårigheter är om lärare benämner tal i decimalform utifrån den minsta beståndsdelen (Roche, 2005). Ett mer korrekt sätt att utläsa talet 1,75 är ”en hel och sjuttiofem hundradelar” eftersom man benämner talets helhet och delar utifrån den minsta beståndsdelen (Roche, 2005; Resnick et.al., 1989). Likt heltal ska tal i decimalform utläsas som en helhet. Talet 1993 utläses ”ettusen-niohundra-nittio-tre” och talet 0,234 utläses som ”tvåhundra-trettio-fyra tusendelar”. Det för att sista siffran i talet (4) står på tusendelspositionen. För att elever ska förstå tals värdemässiga storlek, är det viktigt att lärare använder ett korrekt matematiskt språk för att öka elevers förståelse för tals platsvärden. Forskarna förklarar vikten av att lärare tydligt betonar platsvärdet för ett tal. Jämförs talen 0,345 och 0,67 ska varje position benämnas, exempelvis decimalerna 345 består av tre tiondelar (0,3), fyra hundradelar (0,04) och fem tusendelar (0,005), medan decimalerna 67 består av sex tiondelar (0,6) och sju hundradelar (0,07). Enligt forskarna ska antalet tiondelar på tiondelspositionen jämföras med varandra för att identifiera storheten av ett heltal med decimaler. Således är förståelsen för tals platsvärden viktiga för att identifiera tals värdemässiga storlek (Sackur-Grisvard & Leonard, 1985). 3.4.5 Blir svaret i division alltid mindre?
En förekommande missuppfattning för division är att kvoten alltid blir mindre (Bell, Swan & Taylor, 1981; Kullberg et al., 2014). Samma missuppfattning råder inom multiplikation, men då blir produkten alltid större. Det har bekräftats att elever har svårigheter att välja rätt räknesätt, division eller multiplikation, beroende på vilket problem de ställs inför (Bell et al., 1981). Dessa svårigheter antas bero på övergeneraliseringar (Mårtensson, 2015). För att förstå att division inte alltid blir mindre är det av värde att elever förstår att det finns en brytpunkt bland tal. Brytpunkten för när kvoten blir lika stor som täljaren är när nämnaren är 1. Det innebär att när talet i nämnarens position befinner sig mellan 0 och 1, blir kvoten större än täljaren, exempelvis ',)&' = 50. Samma brytpunkt existerar i räknesättet multiplikation. Däremot, om ett tal multipliceras med 1 blir produkten lika stor som faktorn. När ena faktorn befinner sig mellan 0 och 1 blir produkten mindre, exempelvis 50 × 0,2 = 10 (Kullberg et al., 2014).
En annan missuppfattning för division är att oberoende av vilket problemområde som undersöks, ska det större talet alltid delas med det mindre talet (Bell et al., 1981; Bell et al., 1984). Fenomenet kan härledas till vilken kontext de vanligtvis möter division i. I elevernas tidiga skolgång möter de allt som oftast tal där ett större heltal ska delas med ett mindre heltal (Bell et al., 1984).
3.5 Variationsteorin
I dagens skola är en vanligt förekommande föreställning att lärare behöver visa på likheter för att elever ska förstå ett fenomen. Enligt variationsteorin behöver både likheter och skillnader framföras i undervisningen för att elever ska förstå ett fenomen (Lo, 2014). Enligt variationsteorin ska människan upptäckta hur saker skiljer sig åt i vissa avseenden men är lika i andra avseenden (Pang et al., 2016; Kullberg et al., 2014). Variationsteorin härstammar från fenomenografin, som handlar om på vilka skilda sätt människor upplever samma sak (Lo, 2014; Pang et al., 2016). Variationsteorin utgår ifrån andra ordningens perspektiv, som innebär att människors olika sätt att uppfatta ett objekt står i fokus, snarare än att uppfatta det som faktiskt har hänt, som betraktas som första ordningens perspektiv (Mårtensson, 2015).
För att påvisa likheter och skillnader inom variationsteorin, används begreppen variation och invarians. Variation förklaras som den aspekt av något, exempelvis ett ämnesinnehåll som ändras, eller varierar. Invarians förklaras som den aspekt av något som inte ändras, alltså är konstant. Dessa likheter och skillnader behöver elever själva erfara för att uppnå lärande (Lo, 2014; Kullberg et al., 2014). Att erfara, förklaras som att en människa samtidigt kan vara medveten om en eller flera aspekter av ett fenomen, än vad den kunde innan. Det betyder att människan fått en förändrad bild över hur den betraktar sin omgivning (Lo, 2014). Således måste lärare bistå med kraftfulla sätt att erfara som möjliggör att elever kan urskilja nödvändiga aspekter för att handskas med nya situationer som dyker upp (Marton & Tsui, 2004).
Genom att urskilja kritiska aspekter, kan elever förstå vad av en aspekt eller ett fenomen som förändras eller inte (Mårtensson, 2015; Lo, 2014). En kritisk aspekt är en aspekt som elever ännu inte urskilt. Det kan också förklaras som det elever måste lära sig för att utveckla sina kunskaper om något. En kritisk aspekt förklaras som att ett fenomen kan uppfattas olika, beroende på hur elever ser på fenomenet och vad elever urskilt av fenomenet. Om elever inte har urskilt de nödvändiga delar som krävs för att förstå ett fenomen, betraktas det som en kritisk aspekt för eleven (Mårtensson, 2015). För att förstå sig på ett specifikt fenomen eller en specifik situation, måste samtliga kritiska aspekter från fenomenet eller situationen urskiljas samtidigt (Kullberg et al., 2014). Däremot behöver inte nödvändigtvis skilda sätt att uppfatta fenomen ses som felaktiga, snarare som ofullständiga (Mårtensson, 2015).
Att urskilja innebär att man ser olika aspekter av det som lärs ut som varierar (Kullberg, 2004). För att urskilja en aspekt från en annan, behöver elever få en samtidig upplevelse där minst två aspekter av fenomenet skiljer sig åt. För att åskådliggöra begreppet urskilja, används ett blått klot som exempel. För att förstå vad färgen blå är, behöver eleven å ena sidan få andra färger presenterade för sig, såsom vit och röd, å andra sidan behöver eleven få andra blåa objekt presenterade för sig, såsom ett blått klot, en blå pyramid eller en blå kub. Genom att visa en elev ett blått, ett rött och ett vitt klot visualiseras en varians (klotets färg). Däremot hålls föremålen (kloten) invarianta. Det kan leda till generaliseringen att ett
blått klot är ekvivalent med färgen blå. Därför behöver eleven få andra blåa föremål presenterade för sig, såsom en kub eller pyramid, för att urskilja färgen blå. Den varians som åskådliggörs är föremålen, medan färgen hålls invariant. Fenomenet färgen blå har därmed generaliserats genom ett medvetet variationsmönster (Lo, 2014).
Figur 1. Illustrerar hur färgen blå urskiljs från andra färger med hjälp av ett variationsmönster. I
fallet till vänster kontrasteras klotens färger i fallet till höger varierar de geometriska kropparna. (Lo, 2014)
Ett lärandeobjekt förklaras som vad elever behöver lära sig i innehållsliga termer, i termer av lärandemål samt i termer av kritiska aspekter (Mårtensson, 2015). Ett lärandeobjekt kan också förklaras som ”det som ska läras”. Det innebär att läraren måste göra medvetna val i undervisningen (Lo, 2014). Däremot kommer inte lärares undervisning behandlas i studien.
Färg
Vitt klot Blått klot Rött klot
Blå
Blå kub Blå pyramid
4. Metod
Syftet med studien är att fördjupa förståelsen om elevers missuppfattningar beträffande tal i decimalform. Detta är en studie som bygger på datainsamling från arbetsblad och intervjuer med åtta elever i årskurs 6, där elevers förståelse för tal i decimalform prövas i varierande kontexter. Elevernas missuppfattningar identifierades inledningsvis genom ett arbetsblad (se bilaga 2). Som forskningsmetod användes semistrukturerade intervjuer. Semistrukturerade intervjuer beskrivs som flexibla och anses åtråvärda av just den anledningen. I semistrukturerade intervjuer är det primära att lyssna på respondentens tankar och resonemang. Det innebär att intervjun tillåts ta andra riktningar eftersom det är personen som intervjuades uppfattningar som är det centrala, inte att frågorna ska besvaras i en viss ordning (Bryman, 2018, kap 11). Att använda fler än en datainsamlingsmetod betecknas som en triangulering. En triangulering kan användas som en forskningsstrategi för att säkerställa resultatet utifrån analysen av det insamlade materialet (Bryman, 2018, kap 17).
4.1 Urval
Elevgruppen som deltog i studien valdes utifrån ett bekvämlighetsurval, som i det här fallet innebär att det redan finns en etablerad kontakt med både undervisande lärare och elevgrupp. Fördelen med att ett bekvämlighetsurval gjordes i den här studien, är att en redan etablerad kontakt finns mellan intervjuaren och respondenten. Det i sin tur leder till att kvalitén på intervjuerna stärks eftersom respondenterna känner sig bekväma med intervjuaren som gör att de vågar redogöra för hur de tänker. Ett arbetsblad, som samtliga 45 elever i elevgruppen genomförde, användes i syfte att skapa ett urval inför intervjuerna (Bryman, 2018, kap 8). Arbetsbladen prövade missuppfattningar som forskning identifierat för tal i decimalform. De missuppfattningar som avsågs prövas i arbetsbladet var: Ju fler siffror, desto större tal, ett tal i decimalform tolkas som två skilda tal, förståelse för siffrors platsvärden samt blir svaret i division alltid mindre? Vissa av uppgifterna som prövades i arbetsbladet var tidigare beprövade uppgifter som behandlar tal i decimalform samt division där talet i nämnaren befinner sig mellan 0 och 1. I några av de tidigare beprövade uppgifterna gjordes medvetna modifieringar av talen för att nivåanpassa studien utifrån undersökningsgruppen. Några uppgifter på arbetsbladet är egenkonstruerade men syftade till att pröva missuppfattningar, som forskning beskrivit för tal i decimalform. Varje uppgift i arbetsbladet syftade till att pröva en specifik, eller i ett fall två specifika missuppfattningar.
Tabell 1. Illustrerar var uppgifterna i arbetsbladet är hämtade från eller inspirerade av
Uppgift Hämtad från Missuppfattning
1. Inspirerad av en färdig uppgift i (Roche, 2005). Ju fler siffror, desto större tal,
ju färre siffror, desto större tal.
2. Egenkonstruerad men inspirerad av Sackur-Grisvard & Leonard (1985), Resnick et al., 1989) och Steinle & Stacey, (1998).
Ett tal i decimalform tolkas som två skilda tal.
3. Egenkonstruerad men inspirerad av
Sackur-Grisvard & Leonard (1985), Resnick et al., 1989), Steinle & Stacey, (1998) och Roche (2005).
Förståelse för siffror som platshållare.
4. Direkt från Roche (2005). Förståelse för siffror som
platshållare.
5. Modifierade och inspirerade av färdiga uppgifter
från Mårtensson (2015)
Blir svaret i division alltid mindre?
I studien användes ett målstyrt urval, som innebär att urvalet för studien inte var sannolikhetsbaserat. Ett målstyrt urval kännetecknas också av att eleverna som väljs ut för intervjuer, väljs systematiskt utifrån vad studien undersöker (Bryman, 2018, kap 18). Urvalet gjordes utifrån elevernas prestationer på arbetsbladen och tio elever valdes ut för intervjuer. Däremot var det endast åtta elever som intervjuades på grund av två bortfall. Övervägande del av eleverna som valdes ut för intervjuer, påvisade flera missuppfattningar för tal i decimalform. Till intervjuerna valdes dessutom några elever, som angav svar som stack ut från mängden. Dessa elever inkluderades för att studien skulle urskilja så många aspekter som möjligt och för att bredda materialet.
För att tillåtas genomföra intervjuer med eleverna, som inte var myndiga, krävdes tillåtelse från deras vårdnadshavare (Vetenskapsrådet, 2017; Bryman, 2018, kap 6). En samtyckesblankett delades ut till eleverna som deltog i studien (se bilaga 1). När samtliga samtyckesblanketter samlats in kunde studien genomföras med de vars vårdnadshavare givit ett godkännande i samtyckesblanketten. Majoriteten av eleverna som erhöll en samtyckesblankett, gav tillbaka den med ett godkännande av vårdnadshavare. Beroende på vilka elever som fick tillåtelse att delta i studien, skapades ett urval.
4.2 Genomförande
Intervjuerna genomfördes i ett grupprum i nära anslutning till elevernas vanliga klassrum. I grupprummet befann sig endast intervjuaren och respondenten. Innan intervjuerna påbörjades och spelades in med hjälp av en mobiltelefon, informerades eleverna att deras namn kommer ersättas med ett fiktivt namn i studien. Deras svar kan heller inte härledas till deras skola eller kommun. Eftersom intervjuerna spelades in, informerades eleverna att det endast är intervjuaren som har tillgång till det inspelade materialet och att de fick avbryta sin medverkan när som helst utan att ange anledning. Dessutom informerades eleverna att det inspelade materialet kommer arkiveras när examinatorn godkänt uppsatsen. I intervjuerna valdes mellan fem och tolv uppgifter ut från varje arbetsblad. De uppgifter som behandlades i intervjuerna, var unika för varje enskild elev. De flesta frågorna som valdes ut för intervjuerna, var frågor som eleverna besvarat fel. I vissa intervjuer valdes att utöver felaktiga svar, diskutera frågor som besvarats korrekt. Korrekta
svar inkluderades också med anledningen att förstå elevernas uppfattningar mer djupgående.
För att genomföra intervjuer där samtliga elevers svar tillsammans ska mynna ut i ett resultat, är det viktigt att ha en struktur för intervjuerna. Därför konstruerades en intervjuguide (se bilaga 3). En intervjuguide fungerar som en strukturell mall. Intervjuguiden användes tillsammans med elevernas arbetsblad i intervjuerna. Intervjuerna som hölls var semistrukturerade, som innebär att intervjuaren har en uppsättning frågor, ett frågeschema. Frågorna i en semistrukturerad intervju kan ställas utan inbördes ordning. I intervjuguiden skrevs öppna frågor som möjliggjorde att respondenterna fick svara med sina egna ord (Bryman, 2018, kap 11). Exempel på öppna frågor som ställdes i denna studie var: ”Du svarade … på uppgift …, hur tänkte du när du läste den?” och ”Varför blev det så tror du? Vanligt förekommande för semistrukturerade intervjuer är att uppföljningsfrågor används för att säkerställa att respondentens svar tolkats korrekt (Bryman, 2018, kap 9). Exempel på uppföljningsfrågor som användes i denna studie var: ”Så du menar att?” och ”Om du skulle berätta hur du tänkte när du läste uppgiften för en som går i tvåan, vad skulle du säga då?”. Om en elev inte visste hur den skulle beräkna en uppgift kunde intervjuaren hjälpa respondenten framåt i sina resonemang. Det intervjuaren bland annat gjorde i intervjuerna var att betona viktiga begrepp när frågorna lästes upp, ställa öppna frågor som leder respondenten framåt i mer korrekta tankebanor eller illustrera hjälpande streck, tal eller uträkningar på arbetsbladet för att påvisa likheter och skillnader i uppgifterna. Varje intervju spelades in med skribentens privata mobiltelefon. Den intervju som tog kortast tid pågick i ca 12 min och den som tog längst tid pågick i ca 26 min. I transkriberingen skrevs elevernas svar ner ordagrant för att inte försköna deras resonemang. Det transkriberade materialet lästes igenom flera gånger för att bekräfta att elevernas uppfattningar tolkats rätt (Bryman, 2018, kap 20).
4.3 Analysmetod
I analysens första steg gjordes en enkel analys av elevernas svar på arbetsbladen för att kunna göra det urval som beskrivits ovan under rubrikerna ”4.1 Urval” och ”4.2 Genomförande”. Elevernas svar på arbetsbladen rättades och sammanställdes i ett externt Exceldokument (se bilaga 4). Rätta svar markerades med ettor (1) och färgkodades med en grön cell. Felaktiga svar markerades med nollor (0) och färgkodades med en röd cell. Uteblivna svar markerades med ett bindestreck (-) och färgkodades med en gul cell. Cellerna färgkodades med anledning att få en överskådlig bild över elevernas svar. I analysens andra steg analyserades Exceldokumentet för att se vilka uppgifter eleverna svarat rätt eller fel på. Dessutom gick det, utifrån Exceldokumentet, att anta vilka kritiska aspekter färst elever urskiljer. Därefter analyserades arbetsbladen med flest felaktiga svar mer djupgående för att urskilja vilka missuppfattningar som tros ligga bakom de felaktiga svaren.
Analysens tredje steg handlar om analys av intervjuerna. Det inspelade materialet från intervjuerna transkriberades till externa Worddokument. I transkripten analyserades vilka kritiska aspekter eleverna urskilt eller inte urskilt. Aspekterna analyserades och jämfördes med empirin, för att forma ett resultat i enighet med studiens frågeställningar. Uppmärksammades uppfattningar som stack ut från mängden, färgkodades dessa i transkripten. I transkripten analyserades vilken data som skulle inkluderas i studiens resultat.
4.4 Studiens tillförlitlighet
För att genomföra en god undersökning är det viktigt att studien har en hög trovärdighet och tillförlitlighet. Trovärdighet och tillförlitlighet benämns också som validitet och reliabilitet. Explicit betyder reliabilitet tillförlitlighet och validitet trovärdighet. Att en studie har hög reliabilitet innebär att om studien skulle genomföras i andra undersökningsgrupper skulle likvärdiga resultat uppnås (Bryman, 2018, kap 3). För att uppnå så hög reliabilitet som möjligt, användes metoden triangulering. Eleverna genomförde att arbetsblad som kompletterades med intervjuer (Bryman, 2018, kap 17). Att spela in ljudupptagningen från intervjuerna ökade också studiens reliabilitet. Eftersom ljudet spelats in, fanns möjligheten att pausa och gå tillbaka i intervjuerna för att säkerställa att respondentens svar tolkats rätt. Att en studie har hög validitet innebär att det som avses mätas i studien är det som mäts. I studien var syftet att identifiera vilka kritiska aspekter som fanns i relation till missuppfattningar gällande tal i decimalform samt vilka kritiska aspekter elever har för division där talet i nämnaren befinner sig mellan 0–1. Någonting som ökar validiteten är att flera av uppgifterna är inspirerade av forskning vilket innebär att de prövats tidigare. Valet att ställa öppna intervjufrågor ökar också validiteten då respondenterna får använda egna ord (Bryman, 2018, kap 3).
4.5 Etiska överväganden
I studien har forskningsetiska överväganden gjorts i enlighet med Bryman (2018, kap 6) och Vetenskapsrådet (2017) för att deltagarna i studien ska hållas anonyma och inte utsättas för skador eller kränkningar. Informationskravet, samtyckeskravet, konfidentialitetskravet och nyttjandekravet är etiska ställningstaganden som tagits i beaktning i studiens genomförande.
Informationskravet innebär att eleverna som deltar i undersökningen gör det av egen vilja och har möjlighet att avbryta sitt deltagande utan följder eller ifrågasättanden. Utöver det ska deltagaren informeras om studiens tillvägagångssätt. Det som aktivt gjordes för att upprätthålla informationskravet var att eleverna informerades att deltagandet var frivilligt och att några elever kan väljas ut för intervjuer.
Samtyckeskravet innebär att deltagarna i undersökningen själva får bestämma över sin medverkan. Är deltagaren omyndig, krävs vårdnadshavares samtycke för att studien ska genomföras. Det som aktivt gjordes för att upprätthålla samtyckeskravet var att deltagarna
fick en samtyckesblankett hemskickad som krävde samtycke av vårdnadshavare. Dessutom informerades deltagarna om att medverkan i studien var frivillig.
Konfidentialitetskravet innebär att deltagarna hålls anonyma och att personuppgifterna för de medverkande hålls oåtkomliga. Det som aktivt gjordes för att upprätthålla konfidentialitetskravet var att deltagarna informerades om att deras arbetsblad och inspelade intervju förvarades på ett säkert ställe. Dessutom avidentifieras deltagarna i studien och blev tilldelade fiktiva namn.
Nyttjandekravet innebär att de uppgifter som samlats in från de medverkande i studien endast används till forskningsändamålet. Det som aktivt gjordes för att upprätthålla nyttjandekravet var att upplysa deltagarna att datainsamlingen endast används för studien. (Vetenskapsrådet, 2017; Bryman, 2018, kap 6).
5 Resultat
I detta kapitel redogörs resultaten från arbetsbladen och intervjuerna. I intervjuerna har respondenterna tilldelats fiktiva namn och intervjuaren benämns (I). Varje rubrik har en missuppfattning som utgångspunkt. Under varje missuppfattning beskrivs vad som kan vara kritiskt i förhållande till missuppfattningen genom att presentera elevers resonemang som olika fall. För att besvara studiens frågeställningar presenteras varje elevs kritiska aspekter.
5.1 Ju fler siffror, desto större tal 5.1.1 Fallet Johanna
I uppgift 1e skulle eleverna ringa in det största talet av 125,2 och 125,200 eller sätta ett likhetstecken (=) mellan talen om de är lika stora. Nedan synliggörs hur Johanna besvarade uppgift 1e.
Figur 2. VisarJohannas svar på uppgift 1e
Dialog 1.
Johanna: Då är det ju 125,200. För att då är det ju 200, och på den andra är det ju bara 20, fast man skriver bara 125,2, och 200 är ju mer än 20. … Jag tror att jag var lite osäker på det också, för att jag har bara hört att man tar ett, alltså att det blir 20 om man skriver en 2: a, inte att det kan bli 200.
I: Mhm, för om vi tänker såhär. Här står det ju 125,2 och här står det 125,200. Om jag drar ett litet streck mellan tvåan och nollorna. Finns de här nollorna i det andra talet också?
Johanna: Nae.
I: Nae, det har du rätt i, det gör det ju inte, för här finns det inga nollor. Men faktiskt, så finns de här nollorna här. När nollorna står sist i ett tal, betyder de ingenting, när det är decimaltal vi pratar om. Hade det stått 1252 hade nollor efter spelat roll, men nu är det ju ett kommatecken där … då spelar nollorna efter ingen roll för värdet på talet. Så här står det 125,200 också (pekar på 125,2).
Johanna: Mhm.
I dialogen framgick att det Johanna kunde urskilja ur missuppfattningen ”ju fler siffror, desto större tal” var att 125,2 också kan skrivas som 125,20. Johanna urskiljer att en nolla efter tiondelen inte påverkar ett tals värde. Således förstår Johanna att två tiondelar är
ekvivalent med 20 hundradelar. Däremot kunde inte Johanna urskilja att 20 hundradelar är ekvivalent med 200 tusendelar. Om fler än en nolla läggs till längst till höger bland decimalerna, förändrar det inte talets värde. Därmed urskildes inte nollans betydelse som platshållare. Johanna förklarade att 125,200 är värdemässigt större än 125,2 eftersom hon påstod att 200 är värdemässigt större än ”bara 20”. Alltså generaliserade hon sina kunskaper om heltal. Utläses 200 som ett heltal, kan det tolkas vara värdemässigt större än heltalet 20. Denna regel gäller inte när talet 200 står skrivet som decimaler. Sammanfattningsvis kan missuppfattningen ”ju fler siffror, desto större tal” härledas till att två kritiska aspekter inte urskiljs. Eleven urskiljer inte att nollan fyller en tom position som platshållare och att heltal och decimaler har olika egenskaper. Således har heltalet 200 inte samma egenskaper som om samma tal skulle stå skrivet som tusendelar (0,200). En annan elev som visat samma missuppfattning var Sandra.
5.2 Ett tal i decimalform tolkas som två skilda tal
I uppgift 2a skulle eleverna fylla i den tomma raden och besvara påståendet: Hur många tal 12,31 innehåller. Nedan synliggörs hur Morgan besvarade uppgift 2a.
5.2.1 Fallet Morgan
Figur 3. Visar Morgans svar på uppgift 2a
Dialog 2.
Morgan: Jag tänkte, man har ju ental, tiotal, och så. … Jag tänker först, inte de som är decimaler, utan jag tänker först tar man tiotalen. 1:an står på tiotalsplatsen, 2:an står på entalsplatsen, 3:an står på tiondelsplatsen och 1:an längst bak står på hundradelsplatsen.
I: Men om jag går tillbaka till frågan, så står det ju, hur många tal innehåller 12,31? Hur många tal innehåller 12,31?
Morgan: Aha, det är ju 4 tal. … För det är ju 4 siffror. …
I: Okej, så 4 siffror betyder 4 tal? Men vad är skillnaden på en siffra och ett tal? Morgan: Eh, jag vet inte riktigt, eller hur menar du?
I: Det finns ju matematiska ord, som heter siffror och tal. Vad är en siffra? Kan du ge ett exempel?
Morgan: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. I: … Men vad är ett tal?
Morgan: Ett tal är … man kan ju ha bara en siffra som ett tal, men man kan också ha fler siffror som ett tal.
I: Det har du ju alldeles rätt i. Så om du får ändra ditt svar nu. … Hur många tal tror du att det är?
Morgan: Öh, alltså själva talet är ju bara ett tal. Eftersom det är ju bara, alltså, jag vet inte riktigt. Men det där är fel nu, det vet jag, det förstod jag, tror jag. För när jag skrev det då, så trodde jag att du menade, alltså själva hur många tiotal det finns och hur många ental det finns.
I: Så du tänkte helt enkelt hur många talsorter det finns. Det här är ju talsorter, tiotal, ental, tiondel och hundradel.
Morgan: Men nu antar jag att det innehåller ett tal. För att själva de här 4 siffrorna, de bildar ett tal, och då måste det vara ett tal. Så det är vad jag tror nu.
I dialogen framgick att det Morgan kunde urskilja ur missuppfattningen ”ett tal i decimalform tolkas som två skilda tal” var att ett decimaltecken inte delar upp ett tal i två separata tal. Däremot urskilde inte Morgan betydelsen av matematiska begrepp. De begrepp Morgan inte urskilt var tal och talsorter. När eleven med hjälp av intervjuaren fick resonera och urskilja siffror från tal, kunde eleven, trots uppvisad osäkerhet om begreppens betydelse, komma fram till att siffrorna 1, 2, 3, och 1 tillsammans utgör ett tal. Sammanfattningsvis kan missuppfattningen ”ett tal i decimalform tolkas som två skilda tal” härledas till att urskilja olika begrepps betydelser. Andra elever som visat samma missuppfattning var Andreas, Johanna, Frida och Victoria.
5.2.2 Fallet Sandra
Nedan synliggörs hur Sandra besvarade uppgift 2a. Figur 4.Visar Sandras svar på uppgift 2a
Dialog 3.
Sandra: Jag har skrivit två tal. Jag tänkte ju inte fyra tal. Det är ju ett tal tillsammans. I: Så allt det här är ett tal?
Sandra: Nej två.
I: Varför är 12,31 två tal?
Sandra: De står ju var för sig. Det är ju 12 komma 31. Så det är ju inte ett tal tillsammans.
I: Mhm, så du tänker att. Om det hade stått 1231, och vi tänker bort kommatecknet, då hade det bara varit ett tal?
Sandra: Ja, tillsammans.
Sandra: Ja.
I dialogen framgick att det Sandra kunde urskilja ur missuppfattningen ”ett tal i decimalform tolkas som två skilda tal” var att om ett tal står skrivet utan ett decimaltecken (1231) utgör det ett tal. Sandras resonemang styrktes genom att hon gav ett jakande svar på frågan: ”Om det hade stått 1231, och vi tänker bort kommatecknet, då hade det bara varit ett tal?”. Sandra hade alltså urskilt att decimaltecknet har en betydelse, men inte vad den har för betydelse. Sandra urskilde inte att decimaltecknet inte delar upp ett tal i två separata tal. Sandra urskilde heller inte decimaltecknets innebörd. Sandra påvisade att decimaltecknet minsann hade betydelse för huruvida fyra siffror i följd kan urskiljas som ett eller två tal. Sammanfattningsvis kan missuppfattningen ”ett tal i decimalform tolkas som två skilda tal” härledas till de kritiska aspekterna att ett decimaltecken inte delar upp tal samt förståelse för decimaltecknets innebörd. En annan elev som visat samma missuppfattning var Martin.
5.2.3 Fallet Martin
I uppgift 2b skulle eleverna ringa in rätt påstående. Påståendet var: Vad är 13,68? Svarsalternativen var: 13 heltal och 68 heltal, 13 heltal och 68 decimaltal eller 13,68 är ett tal. Nedan synliggörs hur Martin besvarade uppgift 2b.
Figur 5. Visar Martins svar på uppgift 2b
Dialog 4.
I: Vad är ett decimaltal? Du kan ge ett exempel? Martin: Ett komma.
I: Om jag förstår dig rätt, så ett tal som innehåller ett kommatecken ett decimaltal? Martin: Jag vet inte. Då är det den, 13 heltal och 68 heltal.
I: Varför ändrade du dig till den? Martin: Den känns mer rätt. I: Men den här då? 13,68 är ett tal. Martin: Ja, men det är ju ett tal. I: Ja, det är ju det, 13,68 är ett tal.
Martin: Jag ändrar mig till det. I: Men varför är 13,68 ett tal?
Martin: Men kanske om man går till affären, så står det 19,95, då är ju det ett tal, eller så.
I: Ja, då är ju det ett visst antal kronor, då är ju det ett tal.
I dialogen framgick att det Martin kunde urskilja ur missuppfattningen ”ett tal i decimalform tolkas som två skilda tal” var att ett tal i decimalform innehåller ett decimaltecken. Däremot urskildes inte inledningsvis att ett decimaltecken inte delar upp tal i två separata tal. Martin påvisade en osäkerhet om vad ett tal i decimalform är. Efter att de olika alternativen vägts mot varandra och med hjälp av intervjuarens frågor kom till slut Martin fram till att 13,68 är ett tal. Hur han kom fram till det var att talet associerades till en kontext som är bekant sedan innan. Han såg talet som ett pris på en vara i en affär och kom då fram till att talet 19,95 är ett tal, vilket innebar att 13,68 också borde vara ett tal. Sammanfattningsvis kan missuppfattningen ”ett tal i decimalform tolkas som två skilda tal” härledas till de kritiska aspekterna att ett decimaltecken inte delar upp tal samt decimaltecknets innebörd. Samtliga elever i studien har visat samma missuppfattning som Martin.
5.3 Förståelse för siffrors platsvärden 5.3.1 Fallet Frida
I uppgift 3b skulle eleverna med egna ord förklara vem som betalade mest om en person betalade 5,5 kr och en annan 5,50 kr. Nedan synliggörs hur Frida besvarade uppgift 3b. Figur 6. Visar Fridas svar på uppgift 3b
Dialog 5.
Frida: Erik betalade mest. För att när det är mer än 50, så avrundar man uppåt och därför blir det 6 kr och inte 5 kr.
I: Mhm, förklara hur du tänkte.
Frida: För att om det är mer än 50 så avrundar man det uppåt och då blev det 6 kr. Men om det hade stått 5,40 så hade det blivit neråt, och då hade det blivit 5 kr.
I: Så att om jag har förstått det rätt, så är 5,50 kr mer än 5,5 kr? Frida: Ja
I dialogen framgick att det Frida kunde urskilja ur missuppfattningen ”förståelse för siffrors platsvärden” var att decimaltecknet särskiljer hela tal från delar. Frida har inte urskilt den kritiska aspekten om tals platsvärden och att nollor som står längst till höger bland decimalerna inte förändrar tals värdemässiga storlek. Frida urskiljer heller inte att ett pris också kan uppfattas som ett tal i decimalform. Frida använde sina tidigare kunskaper från sammanhang när priser används. När ett pris ska betalas, avrundas det till närmsta hela krona, eller närmsta heltal. Hon generaliserade att ett pris i affären, som oftast skrivs ut med hundradelar som minsta decimal, 50 öre, alltid avrundas uppåt till 6 kr. Eftersom 50 öre avrundas uppåt till närmsta heltal, kan det tolkas att hon uppfattade att 5,5 kr avrundas neråt till närmsta heltal. Tals platsvärden, som heller inte urskildes korrekt, tolkades 5,5 kr som ”fem kronor och 5 ören” och 5,50 kr tolkades som ”fem kronor och 50 ören”. Dessutom generaliserade Frida sina tidigare kunskaper från heltalen, då 50 hela är större än 5 hela. Således uppfattas 5,50 kr som ett värdemässigt större tal än 5,5 kr. Sammanfattningsvis kan missuppfattningen ”förståelse för siffrors platsvärden” härledas till de kritiska aspekterna att alla siffror i talet utgör ett tal, att nollan fyller en tom position samt sättet som tal benämns på. Ingen annan elev visade samma missuppfattning som Frida.
5.4.1 Fallet Kerstin
I uppgift 4 skulle eleverna ringa in det tal som är närmst 0,18. Nedan synliggörs hur Kerstin besvarade uppgift 4.
Figur 7. Visar Kerstins svar på uppgift 4
Dialog 6.
Kerstin: Jag tänkte att 17 är ett heltal och 0,1 och 0,2 är för litet och 2 är också ett heltal, och då borde 0,15 vara närmast 0,18.
I: Mm, jag förstår hur du resonerar och tänker. Men varför valde du inte 0,1 till
första uppgifterna i det här testet, då har ju du till exempel på 1a, som du har rätt på, skrivit att 0,3 är större än 0,125.
Kerstin: Mm.
I: Varför är 0,3 större än 0,125?
Kerstin: För att jag tänker, för först 0, alltså innan kommatecknet, så efter, då kan
jag tänka bort de två sista och då är det bara 1. Där är 3. Det är liksom, det blir
mindre. …
I: Om vi ska jämföra. Det vi ska jämföra med (0,18), innehåller 2 siffror efter decimaltecknet. Den har också 2 siffror efter, (0,15). Om vi ska jämföra, vad tycker du det är bäst att jämföra med? Två eller en siffra efter?
Kerstin: Ehm. Två.
I: Okej, så vilken siffra skulle vi sätta bakom här (pekar på 0,1) så att det inte förändrar talets värde men att talet är lika stort?
Kerstin: Noll.
I: Jag sätter en nolla här så länge (0,10). Och då kan man göra samma sak här (0,20). … Så nu kan vi ju jämföra. Vilken är närmast 0,18?
Kerstin: 0,2.
I: Hur vet du att den är närmre 0,18 är den (0,15)?
Kerstin: För om man sätter en nolla bakom, då blir det nästan som 20, då blir det 19, 20.
I: … Hur många hopp är det mellan här då (pekar på 0,15 och 0,18)? Kerstin: Tre.
I dialogen framgick att det Kerstin kunde urskilja ur missuppfattningen ”förståelse för siffrors platsvärden” var att heltalen sjutton och tolv kunde sållas bort, eftersom talen till vänster om decimaltecknet utgör hela tal och är därför inte relevanta att jämföra med när resterande tal som ska jämföras med 0,18 har noll i heltalspositionen. Däremot urskilde Kerstin inte i det inledande skedet den kritiska aspekten om tals platsvärden samt att heltals egenskaper skiljer sig från tal i decimalforms egenskaper. Kerstin generaliserade heltalens egenskaper och jämförde decimalerna därefter. Det kan tolkas att Kerstin uppfattade exempelvis talet 0,1 som ”noll komma ett” och talet 0,18 som ”noll komma arton”. Således övergeneraliserades hennes tidigare kunskaper för heltalen, vilket ledde till ett felaktigt svar. Vid ett senare skede i intervjun urskildes däremot tals platsvärden. I uppgift 1a, som besvarats korrekt, påvisade Kerstin att om ett tal som endast innehåller tiondelar jämförs med det tal som innehåller både tiondelar, hundradelar och tusendelar, behöver varken hundradelarna eller tusendelarna tas i beaktning. Kerstin urskilde att de talsorter som fanns
i ena talet, men inte i det andra, saknade relevans. Dessutom urskildes förståelsen för att nollor kan läggas till längst till höger i ett tal i decimalform utan att det sker en värdemässig förändring. Sammanfattningsvis kan missuppfattningen ”förståelse för siffrors platsvärden” härledas till de kritiska aspekterna att siffror fyller olika funktion beroende på vilken plats de står på samt att heltalens egenskaper skiljer sig från decimaltals egenskaper. En annan elev som visat samma missuppfattning var Frida.
5.4 Blir svaret i division alltid mindre? 5.4.1 Fallet Victoria
I uppgift 5a skulle eleverna ringa in ”ja” eller ”nej” om de tror att påståendet ”Om du använder division blir kvoten alltid mindre än täljaren”. Victoria angav ett korrekt svar på frågan, men intervjuaren var nyfiken på att höra hennes resonemang. Nedan synliggörs hur Victoria besvarade uppgift 5a.
Figur 8. Visar Victorias svar på uppgift 5a
Dialog 7.
Victoria: Jag vet inte riktigt hur jag tänkte, jag tror det var en gissning. …
Victoria: Eller om man tänker såhär, om man tar täljaren och så tar man något som är högt eller någonting, typ 100, och så kan man ta någonting delat på högre, eller mindre.
I: Så om vi säger att vi har 100 i täljaren, och så delar vi det på någonting som är mer än 100.
Victoria: Jag vet inte hur jag tänkte.
I: Så du tänker att om vi exempelvis tar 100, som ett högt tal, sa du, för att det är lätt att tänka då. Skulle man dela på ett högre tal, sa du, så tar vi 200 som exempel. !""
#"". …
Victoria: Det blir ”0, −100”. Jag vet inte hur jag tänkte. Jag kommer inte ihåg vad det blir. Det blir väl typ 0,100? Jag vet inte.
I: Okej, vi gör det lite lättare. Istället för 100 tar vi 1 och istället för 200 tar vi 2. ! #. Victoria: Det blir 0,5.
I: … 1 är ju mer än 0,5. Victoria: Aah.
…
I: Då läser vi informationstexten jag skrev till 5a. Testa gärna att stoppa in både tal mellan 0 och 1 och heltal i nämnarens position här. Jag bestämmer att vi utgår från talet 2 delat på…ett tal mellan 0 och 1 … Vad finns det för tal mellan 0 och 1? Victoria: Det finns 0,1, 0,2, 0,3.
I: Jag tar 0,5 för jag tror att det blir lättast att räkna med. Alltså #
",%. Kan man dela 2 i halva delar?
Victoria: Nae, det vet jag inte.
I: Okej, ",%#, då kan man tänka på ett sätt som heter innehållsdivision och det betyder hur många gånger 0,5 får plats i 2.
Victoria: 4 gånger.
I: Exakt, det får plats 4 gånger. Och då blir ju faktiskt kvoten, alltså svaret, större än täljaren.
Victoria: Ja!
I dialogen framgick att det Victoria kunde urskilja ur missuppfattningen ”blir svaret i division alltid mindre?” var att det förmodligen gick att få ett värdemässigt större svar med division, men att hon inte visste hur. I dialogen framgick det att Victoria kunde urskilja tal mellan 0 och 1 och gav exempel på några. Däremot urskildes inte i det inledande skedet att det var möjligt att stoppa in ett tal mellan 0 och 1 i nämnarens position. Victoria menade att om man tar ett värdemässigt stort tal och delar det med ett värdemässigt större tal, kan svaret bli större än täljaren. Detta resonemang lyckades inte Victoria till fullo redogöra för, vilket ledde till att hon till slut gav upp och svarade ”jag vet inte”. Genom att intervjuaren introducerade innehållsdivision och skrev ner exemplet )
',$, kunde eleven urskilja att det är möjligt att få ett värdemässigt större svar än det som utgicks ifrån. Sammanfattningsvis kan missuppfattningen ”blir svaret i division alltid mindre?” härledas till den kritiska aspekten att det är möjligt att dela med ett tal som är mindre än 1 men större än 0, för att få ett värdemässigt större svar. Andra elever som visade samma missuppfattning var Morgan, Martin, Johanna och Kerstin.
5.4.2 Fallet Victoria
I uppgift 5b:3 skulle eleverna sätta in rätt tal på den tomma positionen i divisionen. Nedan synliggörs hur Victoria besvarade uppgift 5b:3.
Figur 9. Visar Victorias svar på uppgift 5b:3
Dialog 8.
I: Den här hade du lämnat tom.
Victoria: Någonting ska ju få plats i 25. Är det 0,5 också eller? I: Hur kom du fram till 0,5?
Victoria: Om man tänker här. Om man tänker 25 + 25 = 50, och 2 + 2 = 4 (eleven hänvisar till intervjuarens exempel i uppgift 5a). Då är det som att man plussar på ungefär.
I: Så eftersom du ser det här mönstret, att 2 + 2 = 4, och du ser att 25 + 25 = 50 så då måste man dela på 0,5?
Victoria: Ja.
I dialogen framgick att det Victoria kunde urskilja ur missuppfattningen ”blir svaret i division alltid mindre?” var att det var möjligt att använda division för att få ett värdemässigt större svar genom att tänka innehållsdivision. Med hjälp av informationen som gavs i uppgift 5a kunde Victoria komma fram till rätt svar genom att visa på ett variationsmönster med hjälp av varians och invariant. Victoria menade att ',$)$ = 50, eftersom 25 + 25 = 50 och ',$) = 4, eftersom 2 + 2 = 4. Det innebär att Victoria har urskilt om ett tal delas på en halv, blir svaret dubbelt så stort. Detta variationsmönster synliggjordes för Victoria när hon såg att det var möjligt att addera täljaren med täljaren när nämnaren är 0,5 och på det viset komma fram till rätt svar. Det som varierar är talen i täljarens position och det som är invariant är talen i nämnarens position. Dessa likheter och skillnader fick eleven själv erfara och uppnådde lärande på egen hand. Sammanfattningsvis kan missuppfattningen ”blir svaret i division alltid mindre?” härledas till elevers förståelse för variationsmönster och innehållsdivision. Andra elever som lämnat uppgift 5b:3 tom var Frida, Kerstin och Sandra.
5.4.3 Fallet Andreas
Nedan synliggörs hur Andreas besvarade uppgift 5b:3. Figur 10. Visar Andreas svar på uppgift 5b:3
Dialog 9.
Andreas: Jag tror 0,5 … För 25 och 50, det är asså, hmm, … 0,5 känns mer rätt för det är mitt emellan.
I: Mitt emellan vilka tal?
Andreas: 1 och 0. Och det är mer. Det blir liksom #%
",%= 50. Det känns som det. I: För att det är mitt emellan?
Andreas: Ja … För att den är mitt emellan. För 5 är mitt emellan 10 och 0. Eller 1 och 0 då. 0,5 då. … För 25 är i mitten av 50, från 0 och 50 så är 25 i mitten.
I dialogen framgick att det Andreas kunde urskilja ur missuppfattningen ”blir svaret i division alltid mindre?” var att det var möjligt att använda division för att få ett värdemässigt större svar. Andreas urskilde att mitt emellan 0 och 50 befinner sig talet 25 och mitt emellan 0 och 1 befinner sig talet 0,5. Det kan antydas att han urskilde att om man utgår från svaret 50 och gör en mental tallinje från 0 till 50, så blir mitten på den tallinjen 25. Samma mentala tallinje kan användas i nämnaren, men då består tallinjen av talen 0 till 1 och mittpunkten på den tallinjen blir 0,5. Delas mittpunkterna från tallinjerna med varandra blir svaret 50. Sammanfattningsvis kan missuppfattningen ”blir svaret i division alltid mindre?” härledas till en förståelse för ett tals relationer till dess delar. Andreas var ensam om sitt svar på uppgift 5b:3.
5.4.4 Fallet Andreas
I uppgift 5c skulle eleverna ringa in divisionen som gav den största kvoten. Nedan synliggörs hur Andreas besvarat uppgift 5c.
Figur 11. Visar Andreas svar på uppgift 5c
