Examensarbete i fördjupningsämnet Matematik och
Lärande
15 högskolepoäng, avancerad nivå
Variation i matematikläroböcker på
gymnasiet
Variation in Swedish Upper Secondary School Mathematics
Textbooks
Mattias Andersson
Ämneslärarexamen med inriktning mot gymnasieskolan, 300 högskolepoäng Datum för slutseminarium: 2017–05–30
Examinator: Leif Karlsson Handledare: Annica Andersson Natur, miljö, samhälle
2
Abstrakt
I detta arbete undersöks hur gymnasieböcker i matematik använder sig av innehållslig variation. Läroböckerna analyseras utifrån ett variationsteoretiskt perspektiv, med fokus på hur funktionsbegreppet presenteras i kursen Matematik 1c. Inspiration har även tagits från asiatisk matematikundervisning där variation är ett betydande inslag. Begreppen proceduriell respektive begreppslig variation har hämtats från forskning kring denna
undervisningstradition, och har också använts för att analysera hur innehållet varieras. Arbetet har två syften, dels att identifiera innehållslig variation i läroböckerna och dels att beskriva en analysmetod för att göra detta. Analysen resulterade i en beskrivning av tio dimensioner av variation som återfinns i böckerna. Studien visar även exempel på hur proceduriell och begreppslig variation kan användas, även om upplägg i enlighet med kriterierna för
proceduriell och begreppslig variation återfinns i liten utsträckning i läroböckerna. Resultaten kan ha betydelse för planering av undervisning kring funktionsbegreppet och användningen av läroböcker i allmänhet när det gäller tillämpning av variation som en princip för lärande. Med den utarbetade analysmetoden är det också möjligt att analysera andra områden inom skolmatematiken.
Nyckelord: variationsteori, matematikläroböcker, funktionsbegreppet, dimensioner av
3
Innehållsförteckning
1. INLEDNING ... 5
2. SYFTE OCH FRÅGESTÄLLNINGAR ... 7
3. TEORI ... 8
3.1 Variationsteori ... 8
3.1.1 Bakgrund till variationsteorin ... 8
3.1.2 Variationsteorin i skolsammanhang ... 9
3.1.3 Variationsmönster ... 10
3.1.4 Variationsteori och matematikuppgifter ... 12
3.2 Sammanfattning av centrala begrepp ... 14
4. TIDIGARE FORSKNING ... 15
4.1 Elevers uppfattningar om funktionsbegreppet ... 15
4.2 Forskning utifrån variationsteorin ... 17
4.3 Sammanfattning ... 19
5. METOD ... 20
5.1 Urval ... 20
5.1.1 Urval av matematiskt innehåll ... 20
5.1.2 Urval av analysmaterial ... 21
5.2 Analysmetod ... 22
5.2.1 Steg 1: kartläggning av externa horisonten ... 22
5.2.2 Steg 2: identifiera dimensioner av variation och variationsmönster ... 23
5.2.3 Steg 3: identifiera proceduriell och begreppslig variation ... 25
5.3 Forskningsetiska överväganden... 26
6. RESULTAT OCH ANALYS ... 28
6.1 Läroböckernas upplägg... 28
6.2 Dimensioner av variation och variationsmönster ... 30
6.2.1 Dimensioner av variation ... 30
6.2.2 Exponent ... 30
6.2.3 Matematik 5000... 33
6.2.4 M-serien ... 35
4
6.3 Proceduriell och begreppslig variation ... 37
6.3.1 Exponent ... 38 6.3.2 Matematik 5000... 39 6.3.3 M-serien ... 40 6.3.4 Sammanfattning ... 41 7. DISKUSSION ... 42 7.1 Resultatdiskussion ... 42 7.2 Analysdiskussion ... 43 7.3 Vidare forskning ... 44 8. REFERENSER ... 46 9. BILAGOR ... 51 9.1 Bilaga 1 ... 51 9.2 Bilaga 2 ... 52 9.3 Bilaga 3 ... 53
5
1. Inledning
Flera rapporter har visat att läroböcker har en stor roll i de svenska matematikklassrummen (Skolinspektionen, 2010; Skolverket, 2003). Enligt dessa rapporter finns det stora variationer i hur läroboken används, vissa lärare utgår helt från boken medan andra använder den som ett stöd för att konkretisera kursmålen. Gemensamt är dock att många lärare följer lärobokens upplägg och att eleverna ofta spenderar mycket tid med att räkna på de uppgifter läroboken erbjuder (Skolinspektionen, 2010). Läroböcker är ett användbart verktyg då de tillhandahåller ett färdigt upplägg med förklaringar, exempel och uppgifter vilket på många sätt kan
underlätta för läraren. Men som lärare är det viktigt att själv fundera över hur innehållet i kursplanerna kan tolkas och kritiskt reflektera över hur läroboken kan användas för att skapa så bra lärandesituationer som möjligt (Johansson, 2006; Skolverket, 2015).
I kommentarsmaterialet till ämnesplanen i matematik för gymnasieskolan talas det om variation, variation i form av arbetsform, arbetssätt och frågeformuleringar (Skolverket, 2011a). Men i kommentarsmaterialet tas även innehållslig variation upp och styrdokumenten refererar då uttryckligen till variationsteorin. Variationsteorin “går ut på att eleven endast kan få syn på en egenskap hos ett begrepp om det presenteras i ljuset av en variation.”
(Skolverket, 2011a, s. 9). Enligt variationsteorin kan ett matematiskt begrepp ses som uppbyggt av ett antal delar, så kallade aspekter. Variation i dessa aspekter är nödvändigt för att förstå begreppet. Teorin fokuserar alltså på vad det är som ska läras, till skillnad från många andra teorier där t.ex. arbetssätt eller elevens omgivning kan vara det som betonas. Variationsteorin är en relativt ung teori och kopplingen mellan teori och praktik är fortfarande under utveckling. Denna koppling görs ofta genom så kallade learning studies, men lärarna som deltar i dessa upplever ofta att det är svårt att fortsätta använda sig av teorin efter projektet avslutats (Lo, 2014). En annan möjlighet att tillämpa variationsteorin kan vara att analysera läroböcker (Häggström, 2008; Lo, 2014), vilket är precis vad som görs i detta arbete.
I Kina har variation länge utgjort en naturlig del av matematikundervisningen och där intar även läroboken en central roll i undervisningen (Zhang, Wang, Huang & Kimmins, 2017). I Kina har begreppen proceduriell respektive begreppslig variation använts för att beskriva variationen. Detta sätt att se på innehållslig variation påminner om det variationsteoretiska
6
men det finns även skillnader (Gu, Huang & Marton, 2004). Flera forskare anser att detta fokus på variation kan vara en del av förklaringen till att Kina och andra asiatiska länder, som arbetar efter liknande principer, presterar bättre än västerländska elever i internationella jämförelser (Pang & Marton, 2007). Eftersom läroböckerna har en stor roll i undervisningen i Sverige är det intressant att fråga sig hur svenska matematikläroböcker är uppbyggda utifrån ett variationsteorietiskt perspektiv. Hur ämnesinnehållet i matematikläroböcker presenteras med avseende på innehållslig variation är i stor utsträckning ett outforskat område men skulle som sagt kunna vara ett sätt för lärare att använda sig av variationsteorin i praktiken. I detta arbete genomförs en sådan analys med avseende på det matematiska begreppet funktion. Det är ett begrepp som är grundläggande inom matematiken men är samtidigt något som eleverna ofta upplever svårigheter med. Eleverna har t.ex. ofta skilda uppfattningar av dess betydelse och har dessutom svårt att växla mellan olika perspektiv på begreppet (Bardini, Pierce, Vincent & King, 2014). Sammanfattningsvis utgörs arbetet av en analys av hur svenska matematikläroböcker använder sig av variation i framställningen av funktionsbegreppet.
7
2. Syfte och frågeställningar
Detta arbete har två syften. Det första är att undersöka hur matematikläroböcker på gymnasiet använder sig av innehållslig variation. Detta görs genom att analysera hur funktionsbegreppet presenteras i olika läroböcker utifrån ett variationsteoretiskt perspektiv. Utifrån detta syfte skapas de tre frågeställningarna:
- Vilka dimensioner av variation av funktionsbegreppet är möjliga att urskilja i gymnasiets matematikläroböcker?
- Hur varieras dessa aspekter i matematikläroböckerna?
- Hur använder sig matematikläroböcker av proceduriell och begreppslig variation
Eftersom få liknande studier genomförts tidigare blev ett andra syfte att formulera och
diskutera en användbar analysmetod. Förhoppningsvis kommer därmed arbetet även utgöra ett litet bidrag till att konkretisera variationsteorin och göra det lättare att tillämpa dess idéer i praktiken. Utifrån detta blir en fråga:
- Hur skulle en metod för att analysera innehållslig variation i matematikläroböcker kunna utformas?
8
3. Teori
I teoriavsnittet presenteras det teoretiska perspektiv arbetet utgår från, det variationsteoretiska. Först presenteras variationsteorins huvudidéer samtidigt som relevanta begrepp inom teorin redogörs för. De teoretiska begreppen är ganska många men är också centrala i arbetet och har inte alltid en helt entydig innebörd. Därför sammanfattas begreppen och deras användning i ett eget avsnitt.
3.1 Variationsteori
3.1.1 Bakgrund till variationsteorin
Synen på lärande inom variationsteorin kommer från fenomenografin, där lärande sker genom att den lärande erfar fenomen (Marton & Booth, 2000). Fenomen kan stå för olika saker så som en situation, en händelse eller ett föremål. Erfara kan ses som synonymt med uppfatta och förstå men erfara är den vanligaste benämningen i variationsteoretisk litteratur. Erfarande kan i sin tur ses som en process där någonting urskiljs från sitt sammanhang. Enligt teorin är det alltså inte möjligt att lära om ett fenomen om vi inte först kan urskilja fenomenet från dess sammanhang (Lo, 2014). För att kunna göra denna urskiljning och skilja fenomenet från andra fenomen måste vi uppleva en variation av fenomenet i fråga (Bowden & Marton, 1998). Det är även möjligt att bryta ner fenomenet i ett antal delar som tillsammans utgör fenomenets helhet, dess struktur. Dessa delar måste i sin tur urskiljas från omgivningen samt urskiljas och sättas i relation till varandra för att vi ska kunna erfara fenomenet i dess helhet. Om samtliga delar kan urskiljas och fokuseras på samtidigt kommer den lärande ha en fullständig förståelse för fenomenet (Marton & Booth, 2000). Att lyckas med detta är dock väldigt osannolikt i de flesta situationer. Istället är det troligt att olika personer fokuserar på olika delar, och ofta långt ifrån samtliga delar, vilket enligt detta perspektiv ses som anledningen till att vi erfar samma fenomen på skilda sätt (Bowden & Marton, 1998). Med denna bakgrund kan det vara intressant att fråga sig vad dessa idéer betyder mer konkret.
Denna syn på lärande kan illustreras med följande exempel från Marton och Booth (2000). De ställer sig frågan vad som krävs för att få syn på ett orörligt rådjur i en skog om natten. För att
9
få syn på rådjuret överhuvudtaget måste vi urskilja det från dess sammanhang, från de omgivande träden och buskarna. Vi måste alltså uppfatta dess konturer och dessutom sätta dem i relation till omgivningen. I denna process använder vi våra tidigare erfarenheter från andra sammanhang för att sluta oss till att det är just ett rådjur. Till exempel vet vi att det inte är en björn eftersom konturerna inte stämmer överens. Vi kan även dra slutsatsen att det inte är en antilop eftersom dessa vanligtvis inte befinner sig i skogen. För att sedan utveckla vår förståelse för situationen ytterligare krävs det att vi uppfattar mer specifika delar av
situationen, t.ex. djurets hållning, dess storlek och vad det har uppmärksamheten riktad mot. Dessa och många andra delar kommer olika personer att ha olika fokus på, och därmed uppfattar och reagerar de på situationen på olika sätt. Detta perspektiv på lärande är allmänt men är för en lärare givetvis intressant att applicera på undervisningen.
3.1.2 Variationsteori i skolsammanhang
När variationsteorin tillämpas på lärandemiljön i ett skolsammanhang används ofta en något utvidgad begreppsapparat än den som redogjorts för hittills. Först och främst behövs
någonting som lärs för att lärande ska kunna ske. Detta någonting kallas för lärandeobjektet (Runesson, 2005). Lärandeobjektet utgörs av det innehåll som behandlas under den avsedda lärandesituationen och kan vara allt från en viss aktivitet till ett helt ämnesområde (Lo, 2014). Lärandeobjektet kan ses utifrån tre perspektiv (Marton, Runesson & Tsui, 2004). I detta arbete används svenska översättningar av perspektiven, i enlighet med Wernberg (2009). Det första kallas för det intentionella lärandeobjektet och utgörs av det läraren avser att förmedla kunskap kring. Det som läraren avser att förmedla behöver dock inte överensstämma med det som faktiskt är möjligt för eleven att lära sig, det iscensatta lärandeobjektet, vilket till stor del är beroende på hur läraren lägger upp undervisningen. Slutligen finns såklart möjligheten att eleverna inte tar till sig det som presenteras till fullo. Det innehåll som eleverna uppfattar kallas för det erfarna lärandeobjektet.
Enligt den tidigare beskrivningen av lärandets uppbyggnad kan lärandeobjektet ses som bestående av en mängd aspekter som eleverna måste urskilja för att skaffa sig en förståelse för objektet. Men alla aspekter kan inte fokuseras samtidigt och elevernas förståelse för ett visst lärandeobjekt beror på vilka av dessa aspekter som hamnar i för- respektive bakgrunden. Lärande sker enligt teorin när eleven urskiljer nya aspekter av ett lärandeobjekt, klarar av att
10
fokusera på flera aspekter samtidigt och därmed uppfattar lärandeobjektet på ett nytt sätt (Marton, 2015). Men ett lärandeobjekt är inte en isolerad företeelse, det existerar och får mening i ett sammanhang som kallas för lärandeobjektets externa horisont (Marton & Booth, 2000). Den externa horisonten kan utgöras av det eleverna har med sig när de stöter på objektet, den användning eleverna kan ha av objektet i framtiden och av andra relaterade lärandeobjekt (Lo, 2014).
Hur lärandeobjekten väljs ut och behandlas är enligt Lo (2014) grundläggande i
undervisningen men är något som många lärandeteorier inte fokuserar på. Istället kan t.ex. arbetsform eller det sociala samspelet stå i fokus. Variationsteorin sätter däremot frågor om
vad som ska läras och hur detta ska läras i fokus (Marton & Booth, 2000). Det korta svaret
som teorin ger på dessa frågor är att lärandeobjektet, eller de aspekter som utgör
lärandeobjektet, är det som ska läras och att det ska läras genom variation (Marton, 2015). När en aspekt varieras sägs att dess dimension av variation öppnas (Marton, Runesson & Tsui, 2004). Detta uttryck har en stor roll i arbetet eftersom det utgör en länk mellan lärandeobjektets aspekter och vad som är möjligt för eleverna att lära, det iscensatta
lärandeobjektet. Till exempel kan det finnas aspekter som tas för givna av läraren, inte öppnas genom variation och därmed inte blir möjliga för eleverna att urskilja (Häggström, 2008).
De aspekter som anses avgörande för förståelsen av ett lärandeobjekt kallas i
variationsteoretisk litteratur ofta för kritiska aspekter men benämningen nödvändiga aspekter är mer lämplig i detta arbete. Detta eftersom en aspekt kan benämnas som nödvändig om den anses vara avgörande för att uppfatta lärandeobjektet på ett visst sätt. Aspekten blir inte kritisk förrän den relateras till en elev som ännu inte har urskilt aspekten (Marton, 2015). Om eleven sedan tillägnar sig aspekten anses den inte längre vara kritisk. Kritiska aspekter är alltså förknippade med en viss elevs sätt att förstå ett lärandeobjekt. Eftersom detta arbete utgår från läroböcker finns det inte några elever att koppla aspekterna till och nödvändiga aspekter är därför mer passande.
3.1.3 Variationsmönster
Exempel på vad som skulle kunna utgöra aspekter av ett lärandeobjekt är färg, temperatur och storlek. En aspekt är i sin tur uppbyggd av olika drag (Lo, 2014). För aspekten färg utgörs
11
dragen av färgerna, t.ex. grön, blå och röd. För aspekten temperatur kan dragen exempelvis vara kall och varm. Urskiljandet av en aspekt sker genom att aspektens drag varieras och aspekten blir på så sätt tillgänglig för den lärande. Aspekter och drag är alltså i högsta grad beroende av varandra i lärandesituationer. Dragen kan inte uppfattas utan vetskap om aspekten som förenar dem och en aspekt kan inte uppfattas utan medvetenhet om dess drag (Marton, 2015). En aspekts drag kan varieras på olika sätt, enligt så kallade variationsmönster. Antalet variationsmönster som används inom variationsteorin kan skilja sig något mellan olika studier. De fyra som vanligtvis används är kontrastering, separation, generalisation och fusion (Lo, 2014). I denna studie antas dock Martons (2015) upplägg. Detta innebär att separation ses som en del av kontrastering, ett samband som förklaras nedan.
För att urskilja en aspekt hos ett objekt kan den fokuserade aspekten kontrasteras mot andra aspekter. Detta görs genom att variera dragen hos den fokuserade aspekten samtidigt som dragen hos de övriga aspekterna hålls konstanta (Marton, 2015). I denna process blir den lärande även medveten om vissa drag hos en aspekt. Dessa drag blir då en ny upplevelse för den lärande eftersom aspekten som dragen är en del av inte kunnat urskiljas tidigare. Dessa nyuppfattade drag kan då fokuseras på och varieras separat från det objekt vilket de utgör drag av. Detta är precis det som avses med variationsmönstret separation (Lo, 2014). Som ett exempel kan lärandeobjektet vara att urskilja en kvadrat från andra geometriska figurer. Då är vinklarnas storlek en aspekt som kan varieras och därmed kontrasteras mot en romb. Om övriga aspekter, t.ex. sidornas längd, antalet sidor och figurens position, hålls konstanta kommer vinkelns betydelse att kunna fokuseras. Sedan kan även sidornas längd varieras samtidigt som övriga aspekter hålls konstanta. Dragen rät vinkel och lika långa sidor har då kontrasterats genom variation och kan separeras från objektet.
Nästa variationsmönster syftar till att den lärande ska inse att ett drag kan vara detsamma trots att objektet skiljer sig i andra aspekter. Genom att hålla ett visst drag av en aspekt konstant och samtidigt variera andra aspekter som kan påverka elevernas förståelse kan eleverna uppleva en så kallad generalisering. Det drag som hålls konstant generaliseras då över de aspekter som varieras (Marton, 2015). Generalisering skiljer sig från kontrastering genom att det vid kontrastering är den fokuserade aspekten som varieras medan det vid generalisering är den fokuserade aspekten som hålls konstant. Som en fortsättning på exemplet ovan kan den räta vinkeln hållas konstant samtidigt som övriga aspekter varieras. Den räta vinkeln blir då ett generaliserat drag. Samma process kan sedan genomföras med konstant längd på sidorna
12
för att generalisera detta drag.
Det sista variationsmönstret, fusion, sker genom att flera aspekter hos ett objekt varieras samtidigt. Detta kan ses som att objektets delar blir tydligt kopplade till varandra och till objektet som helhet (Lo, 2014). Att den lärande ska kunna uppfatta den samtida variationen i flera aspekter förutsätter givetvis att dessa har separerats av den lärande i ett tidigare skede. Som en avslutning på exemplet med kvadraten kan både vinkeln och sidornas längder nu varieras samtidigt för att eleven ska se båda aspekternas betydelse för att den geometriska figuren ska klassificeras som en kvadrat.
3.1.4 Variationsteori och matematikuppgifter
När variationsteorin tillämpas i praktiken räcker det enligt Marton (2015) inte att variation av de nödvändiga aspekterna är närvarande i undervisningen, vilket det i någon utsträckning är i de flesta klassrum. Läraren måste också arbeta med att göra det så troligt som möjligt att eleven uppmärksammar variationen. Watson (2003) samt Watson och Mason (2006) har försökt att utveckla variationsteorin till att användas på uppgifter och beskriver hur variationsteoretiska idéer skulle kunna tillämpas i dessa. De menar att uppgifter i matematikläroböcker ofta har som syfte att “träna” eleverna. Men enligt Watson följer uppgifterna inte alls ett upplägg som gör denna “träning” lärorik utan är i stor utsträckning varierade på ett godtyckligt sätt. För många delar som varierar samtidigt gör att eleverna inte klarar av att uppfatta de mönster och strukturer som är viktiga inom matematiken. Watson och Mason har utgått från att uppgifter utformade med en viss systematisk variation borde kunna uppmärksamma eleverna på specifika matematiska strukturer. Detta påstående baserar författarna på att de lärande inte kan låta bli att leta efter mönster och generalisera när de arbetar med denna typ av uppgifter. De använder sig av uttrycket dimensioner av möjlig
variation för att beskriva de aspekter som faktiskt varieras, vilket i princip kan förstås på
samma sätt som dimensioner av variation ovan. Men de använder också tillåten räckvidd av
variationen för att beskriva de nya drag som eleverna kan urskilja genom uppgiften. Väljer
man att se en hel större uppgift som ett enda lärandeobjekt bör det enligt Watson bara finnas en dimension av variation inledningsvis, fast med en stor tillåten räckvidd av variation. Längre fram i uppgiften kan det öppnas upp fler dimensioner men det ska då ske på ett systematiskt sätt så att eleverna kan uppmärksamma variationen. Watson och Mason ger
13
följande exempel på en uppgift där eleven får möjlighet att hitta mönster och göra generaliseringar genom att uppgiften presenteras med en systematisk variation:
D(P, A) är det kortaste avståndet från P till A i ett tvådimensionellt rutsystem där enbart horisontell och vertikal rörelse är tillåten. Detta avstånd kallas för taxi-avståndet eftersom rutsystemet kan ses som en stadskarta. I den här uppgiften är A= (-2,-1). Markera A i rutsystemet. För varje punkt P i (a) till (h) nedan, bestäm D(P, A) och markera P i rutsystemet.
(a) P = (1, -1) (e) P = (1/2, -1 1/2)
(b) P = (-2, -4) (f) P = (-1 1/2, -3 1/2)
(c) P = (-1, -3) (g) P = (0, 0)
(d) P = (0, -2) (h) P= (-2, 2)
(Watson & Mason, 2006, s. 7. I originalet presenteras (a) till (h) i en kolumn och texten har här översatts från engelska.)
Författarna har genomfört uppgiften med hundratals personer i olika åldrar och nästan alla gör generaliseringar medan de löser uppgiften. Generaliseringarna görs utifrån punkternas
varierande position på samma linje och det konstanta avståndet till utgångspunkten. När mönstret väl bryts gällande positionen längs linjen men avståndet fortfarande är detsamma har det visat sig att många personer självmant börjar ställa ytterligare frågor. Denna uppgift och hur variation används i den skulle också kunna beskrivas utifrån de variationsteoretiska begrepp som redogjorts för ovan, en analys som utförs av Watson och Mason (2006). Författarna ger avslutningsvis exempel på ett antal steg för planering av lärande som utgår från hur elever uppfattar matematiska objekt:
- Analys av begrepp som eleven förväntas stöta på inom ett visst område.
- Identifiera regelbundenheter i typexempel som kan hjälpa eleven att göra generaliseringar kring begreppet.
- Identifiera variationer som skulle kunna utgöra exempel på dessa generaliseringar, vad som skulle varieras och hur det skulle varieras.
- Skapa uppgifter med kontrollerad variation som ger eleverna möjlighet att observera regelbundenheter, utveckla förväntningar, göra jämförelser och testa sina antaganden inom uppgiften.
14
3.2 Sammanfattning av centrala begrepp
I föregående avsnitt beskrevs variationsteorin och hur olika begrepp relaterar till varandra. Eftersom det är många begrepp som kommer att användas genom hela arbetet presenteras här en kort beskrivning av de mest väsentliga.
Lärandeobjekt: Den del av matematiken som eleverna ska utveckla sin förståelse för. I detta arbete utgörs lärandeobjektet av funktionsbegreppet.
Iscensatt lärandeobjekt: Det som eleverna faktiskt får möjlighet att lära sig genom undervisningen.
Aspekt: En del av lärandeobjektet. Lärandeobjektets aspekter kan ses som delar av objektet som tillsammans gör objektet till en helhet och ger det dess egenskaper.
Drag: De värden som en viss aspekt kan anta.
Dimension av variation: Används för att beskriva en aspekt när den varieras. I arbetet kan uttrycket att en dimension öppnas ses som ekvivalent med att en aspekt varieras.
Extern horisont: Det sammanhang som lärandeobjektet existerar i. I skolsammanhang utgörs den externa horisonten av de erfarenheter och kunskaper eleverna har med sig sedan tidigare och det de kommer att lära i framtiden.
Variationsmönster: Olika sätt att variera aspekter och drag hos ett lärandeobjekt.
Kontrastering: Variation av den aspekt som vill fokuseras samtidigt som övriga aspekter hålls konstanta.
Generalisering: Variation av de aspekter som inte vill fokuseras samtidigt som den fokuserade aspekten hålls konstant.
Fusion: Samtidig variation av flera aspekter som vill fokuseras för att skapa en förståelse för lärandeobjektets helhet.
15
4. Tidigare forskning
I detta kapitel belyses två områden som anses vara relevanta för studien. Först diskuteras ett antal studier rörande elevers svårigheter med och missuppfattningar kring funktionsbegreppet. Dessa är kopplade till funktionsbegreppets nödvändiga aspekter vilket gör det relevant att ha med sig denna kunskap vid analysen av läroböckerna. Avslutningsvis presenteras några studier som har undersökt hur variationsteorin kan användas i praktiken, framförallt vid konstruktion av matematikuppgifter.
4.1 Elevers uppfattningar om funktionsbegreppet
Funktionsbegreppet är ett område som har studerats i stor utsträckning inom den matematikdidaktiska forskningen. Vinner och Dreyfus (1989) undersökte närmare 300 israeliska elevers uppfattningar om vad en funktion är. Detta undersöktes både genom slutna frågor kring grafiska representationer och påståenden i textform samt öppna frågor där
eleverna fick beskriva vad en funktion är. Forskarna försökte kategorisera svaren på de öppna frågorna och kom fram till sex stora kategorier samt en stor andel svar som inte passade in i någon av dessa. Bland kategorierna fanns t.ex. funktionen som en beroende relation, som en algebraisk operation och som en symbolisk eller grafisk representation. På senare tid har Bardini et al. (2014) genomfört en liknande studie bland australiensiska universitetsstudenter. Även i denna studie angav många av eleverna ofullständiga beskrivningar av vad en funktion är och många elever hade även problem med att koppla ihop olika representationsformer. I båda studierna påpekas vikten av att ha en god förståelse för funktionsbegreppet när eleverna påbörjar universitetsstudier eftersom begreppet har en central roll i de flesta inledande matematikkurserna. Båda studierna inriktar sig på studenter i inledningen av sina
universitetsstudier. Det är en något högre nivå än i detta arbete men är ändå relevant eftersom resultaten pekar på vikten av att skaffa sig en god förståelse för funktionbegreppet i ett tidigare stadium.
Just elevers uppfattningar kring olika representationer av en funktion har studerats mer ingående. Enligt Nitsch et al. (2015) har förmågan att växla mellan olika
16
ofta kopplar en viss representationsform till en viss typ av kontext och har svårt att använda sig av en annan representationsform i samma kontext. Detta problem identifierar även Pettersson (2008) i en studie kring svenska universitetsstudenters uppfattning om
grundläggande begrepp inom den matematiska analysen. Att både internationell och svensk forskning påvisar svårigheter hos eleverna att hantera olika representationsformer tyder på att dessa problem återfinns i stor utsträckning och därmed är bra att ha vetskap om i denna studie.
Sfard (1991) beskriver att matematiska begrepp kan uppfattas på två sätt, som operationella eller som strukturella. För just funktionsbegreppet framhäver olika representationsformer dessa synsätt olika bra och att det är viktigt att behärska flera representationsformer för att få en övergripande förståelse för begreppet. Nitsch et al. (2015) genomförde en studie på vad som motsvarar gymnasienivå i Tyskland där de undersökte kopplingen mellan elevernas förmåga att växla mellan olika representationsformer och deras förståelse för
funktionsbegreppet. Resultatet visar att det finns ett tydligt samband mellan dessa faktorer och att de dessutom är avgörande för att eleverna ska få en helhetssyn över funktionsbegreppet. Författarna drar slutsatsen att förmågan att växla mellan representationsformer är något som måste tränas mer, bland annat genom en större variation i vilka representationsformer som kopplas samman.
Som nämnts ovan är både representationsformerna och definitionen av en funktion två delar som eleverna ofta upplever svårigheter med. Men även den vanligt använda symbolen f(x) kan orsaka problem hos eleverna. Nyikahadzoyi (2015) påpekar att beteckningen kan vara förvirrande eftersom den ofta används för att beskriva själva funktionen men samtidigt står för ett visst funktionsvärde. Nyikahadzoyi föreslår att funktioner istället kan presentera genom
uttryck på formen 𝑥→ 𝑓(𝑥), för att tydliggöra skillnaden mellan funktionen f och 𝑓
funktionsvärdet f(x). Även Sajka (2003) kommer i en djupintervju med en polsk gymnasielev fram till att notationen f(x) kan vara problematisk. Eleven har i studien svårt att förklara f(3) med motiveringen att de bara använder symbolen f(x) för att beskriva en formel i skolan, exempelvis f(x)=2x+3. Denna typ av uppfattningar är viktiga att arbeta med eftersom de kan ställa till stora problem för eleverna längre fram (Vinner & Dreyfus, 1989). Flera av de ovan redovisade studierna visar på liknande resultat trots att det gått ganska lång tid mellan
studierna. Detta tyder på att svårigheterna som beskrivs är vanligt förekommande och inte helt lätta att hantera.
17
Ji-Won och Qintong (2016) jämförde hur funktionsbegreppet introduceras i läroböcker i USA och Kina. Detta gör de med avseende på inledande gymnasienivå, vilket gör det till en
relevant jämförelse för detta arbete. Författarna motiverar sin studie med att läroböckerna utgör en stor del av hur kursplanerna konkretiseras i undervisningen. Eftersom det skiljer mycket mellan länderna i internationella kunskapsmätningar är läroböckerna en tänkbar del i denna skillnad. De undersöker både introduktionen av innehållet och de tillhörande
uppgifterna som presenteras. En stor skillnad som framkommer i undersökningen är att det i de amerikanska läroböckerna fanns runt tre gånger så många uppgifter relaterade till
funktionsbegreppet som i de kinesiska läroböckerna. Zhu och Fan (2006) har tidigare också noterat detta och påpekar att även om det fanns fler uppgifter i de amerikanska böckerna var dessa ofta korta och det saknades uppgifter i flera steg, vilket det fanns desto fler av i de kinesiska läroböckerna. Deras forskning har dock varit inriktad på andra områden än just funktionsbegreppet, och dessutom med inriktning på högstadiet. Detta gör att deras slutsatser inte är helt överförbara till detta arbete men det kan åtminstone ge en bild av läroböckers upplägg i andra länder. Ji-Won och Qintong fann även att lösningarna till de exempel som presenteras i böckerna var mycket mer detaljerade i de kinesiska böckerna, med förklaringar och redovisningar av de olika stegen i lösningen. Dessa studier redovisas för att ge en insikt i hur läroböcker struktureras i andra länder men väldigt få konkreta exempel på innehållet i böckerna presenteras i studierna. Detta är en svaghet med studierna då det försvårar möjligheten att granska deras analys och göra jämförelser med andra resultat.
4.2 Forskning utifrån variationsteorin
Den största delen forskning som genomförts med variationsteorin som teoretisk grund är så kallade learning studies. Det vanliga upplägget i dessa är att några lärare tillsammans planerar en eller flera lektioner utifrån variationsteorin. När en lektion genomförts analyseras den gemensamt, justeras och genomförs i en annan klass. Denna process kan sedan upprepas ytterligare gånger. När lektionssekvensen är genomförd utvärderas momentet genom ett eftertest och erfarenheterna dokumenteras (Marton, 2015). Studier med samma upplägg som detta arbete har inte genomförts i någon större utsträckning tidigare. Men det har genomförts studier där variationsteorin tillämpats på andra sätt, då framförallt i samband med
18
Pang och Marton (2007) undersökte hur olika sorters variation i uppgiftsformuleringar påverkar elevernas förståelse. Författarna jämförde två gymnasieklassers förståelse för ett lärandeobjekt i en ekonomikurs. Den ena klassen blev under första lektionen guidade genom en serie frågor som med hjälp av variation avsåg att separera två aspekter av lärandeobjektet. Den andra klassen fick under en lektion arbeta i grupper med ett material där båda aspekterna fanns med men utan den tydliga variation som fanns hos den första klassen. Detta upplägg beskrivs inte speciellt detaljerat i deras rapport, vilket gör det svårt att veta vilka skillnaderna mellan de båda uppläggen faktiskt är. Nästa lektion fick båda klasserna en likvärdig
föreläsning där de båda aspekterna varierades samtidigt, genom fusion, för att skapa en helhetsbild av lärandeobjektet. För att undersöka skillnaden mellan metoderna genomfördes ett eftertest direkt efter lektionen och ytterligare ett sex veckor senare. Dessa tester
kompletterades med intervjuer av ett urval av eleverna. Resultaten av eftertesterna visade att bland eleverna som undervisades efter det första upplägget hade 90% en uppfattning av lärandeobjektet som stämde överens med den högsta nivån i bedömningen. Motsvarande andel för den andra klassen var 73%. Detta pekar på att det första upplägget ger goda effekter men det är samtidigt svårt att säga vad som det bättre än det andra, då beskrivningen inte är mer detaljerad. Författarna drar dock en viktig slutsats av studien, nämligen att det inte räcker att berätta för eleverna vad de nödvändiga aspekterna är. För att eleverna ska kunna urskilja deras betydelse för lärandeobjektet behöver de uppleva en genomtänkt variation i just dessa aspekter. Pang och Marton är alltså inne på vikten av att tänka på vad det iscensatta
lärandeobjektet är, det vill säga vad som faktiskt är möjligt för eleverna att lära. Deras studie är inriktad på ett begrepp inom ekonomi, vilket inte gör den direkt applicerbar på detta arbete utan mer som ett exempel på att goda resultat kan uppnås genom användning av
variationsteorin.
I Kina utgör matematikläroböcker en viktig del av undervisningen och där har variation länge varit en grundläggande idé när läroböcker konstrueras (Zhang, Wang, Huang & Kimmins, 2017). Som nämnts tidigare kom Ji-Won och Qintong (2015) fram till att det finns stora skillnader mellan amerikanska och kinesiska matematikläroböcker. En skillnad var att det i de kinesiska läroböckerna fanns många längre uppgifter där eleverna till synes bara gjorde samma sak gång på gång. Just denna ”repetitionsträning” förbryllade under 90-talet många västerländska forskare som inte förstod hur kinesiska elever trots detta arbetssätt
genomgående presterade bättre än västerländska elever i internationella jämförelser (Gu, Huang & Marton, 2004). Andra forskare har sedan dess undersökt upplägget noggrannare.
19
Mer precist så har flera studier identifierat en variation i uppgifterna som kan delas upp i två kategorier, proceduriell respektive begreppslig variation (Gu, Huang & Marton, 2004). Den proceduriella variation återfinns i stor utsträckning i de kinesiska uppgifterna men saknas ofta i västerländska läroböcker (Yeap, Ferrucci & Carter, 2006). Proceduriell variation kan ses som en stegvis process där eleverna övar på rena procedurer samtidigt som de får möjlighet att utveckla förståelse för matematiska begrepp (Lai & Murray, 2012). Repetitionen blir då inte bara en slags drillande utan ett sätt att visa på egenskaper som kan ge eleverna djupare förståelse. Men även begreppslig variation är mer vanligt förekommande i Kina än i USA och europeiska länder. Begreppslig variation innebär att eleverna tränas i att se begrepp utifrån olika perspektiv och därmed får möjlighet att välja och anpassa metoder efter
problemsituationen (Gu, Huang & Marton, 2004). Ett problem med forskning inom
variationsteori, och även forskning med fokus på proceduriell och begreppslig variation, är att det är ett relativt nytt forskningsfält. Att mycket forskning är relaterad till Kina är en följd av detta och det går att ifrågasätta i vilken utsträckning denna forskning är applicerbar i andra skolkulturer. Detta leder också till att de använda metoderna inte prövas under olika förutsättningar i någon större utsträckning. Både en större geografisk och innehållsmässig spridning skulle behövas i framtiden för att ge ytterligare tyngd till den typ av
forskningsresultat som presenteras ovan. I detta arbete används den tidigare forskningen som en inspiration vid konstruktionen av analysmetoden, vilket kan ses som en del i denna
utvidgning av forskningsfältet.
4.3 Sammanfattning
Utifrån den tidigare forskningen kring funktionsbegreppet kan tre huvudsakliga problem urskiljas. Dessa delar är definitionen av en funktion, funktionens olika representationsformer och det symbolspråk som vanligtvis används i samband med funktionsbegreppet (Nitsch et al., 2015; Sajka, 2003; Vinner & Dreyfus, 1989). Flera studier framhäver också att god grundläggande förståelse för funktionsbegreppet är viktigt för att klara av framtida
matematikstudier. Mycket av den forskning som använder sig av variationsteorin har varit inriktade på Kina. Flera studier har jämfört kinesisk och västerländsk matematikundervisning och hittar stora skillnader i hur innehållet behandlas. Variation utgör ett naturligt inslag i den kinesiska matematikundervisningen och begreppen proceduriell respektive begreppslig variation används vanligtvis för att beskriva denna variation (Gu, Huang & Marton, 2004).
20
5. Metod
I metodavsnittet beskrivs inledningsvis det urval som har gjorts i studien, både vilket matematiskt innehåll samt vilka läroböcker som undersöks. Analysmetoden beskrivs och motiveras sedan utförligt eftersom det inte har genomförts så många liknande studier tidigare. I sista avsnittet diskuteras arbetet utifrån ett forskningsetiskt perspektiv.
5.1 Urval
5.1.1 Urval av matematiskt innehåll
Undersökningen har innehållsmässigt begränsats utifrån följande punkter i det centrala innehållet för kursen Matematik 1c (Skolverket, 2011b):
• Begreppen funktion, definitions- och värdemängd samt egenskaper hos linjära funktioner samt potens- och exponentialfunktioner.
• Representationer av funktioner i form av ord, funktionsuttryck, tabeller och grafer.
I det centrala innehållet beskrivs funktion och definitions- och värdemängd som separata begrepp. Men med tanke på definitionen av en funktion som en regel mellan en mängd
invärden och en mängd tillåtna utvärden, med egenskapen att varje invärde svarar mot exakt ett utvärde, ses definitions- och värdemängd samt olika representationsformer som delbegrepp
av funktionsbegreppet i arbetet. Definitions- och värdemängd ses därmed som några av de delar som tillsammans bildar helheten, begreppet funktion. Variation i dessa delar gör det möjligt för eleverna att erfara funktionsbegreppet. En annan möjlighet hade varit att formulera definitions- och värdemängd samt olika representationsformer som separata lärandeobjekt. Men utifrån hur formuleringarna ser ut i kursplanen och hur innehållet vanligtvis presenteras i läroböcker används här ett lärandeobjekt på denna något mer odetaljerade nivå. Denna nivå är också vald eftersom det är en lagom nivå om man vill arbeta på liknande sätt i praktiken, vilket arbetet syftar att inspirera till. Att se ett lärandeobjekt som funktioner i allmänhet skulle antagligen bli alldeles för brett i praktiken. Men att gå in på allt för detaljerad nivå skulle samtidigt bli för mycket arbete i förhållande till den tid som finns tillgänglig. Därför används
21
alltså denna nivå av noggrannhet, en indelning som även är möjlig att tillämpa på andra delar av gymnasiematematiken.
Innehållet är också avgränsat till själva funktionsbegreppet och de funktionstyper som ges exempel på i det centrala innehållet bortses från i arbetet, förutom att de ses som en del av lärandeobjektets externa horisont. Även dessa delar skulle var och en kunna vara område för en separat analys enligt samma princip som används i detta arbete. Urvalet har gjorts eftersom det är svårt, om inte omöjligt, att ta sig an en hel kurs eller ens ett helt delområde under den begränsade tid som examensarbetet innebär. Att just funktionsbegreppet valdes beror på att funktioner och dess egenskaper är centrala begrepp inom alla matematikkurser på gymnasiet och även för vidare studier inom många olika utbildningsdiscipliner (Bardini, Pierce, Vincent & King, 2014; Pettersson, 2008).
5.1.2 Urval av analysmaterial
I arbetet undersöks tre läroböcker: Exponent 1c (Gennow, Gustafsson & Silborn, 2011), Matematik 5000 1c (Alfredsson, Bråting, Erixon & Heikne, 2011) och Matematik M 1c (Holmström, Smedhamre, Sjunnesson, Jakobsson & Nilsson, 2012). Dessa benämns
fortsättningsvis med de förkortade beteckningarna Exponent, Matematik 5000 och M-serien. Det finns fler läroböcker för kursen på marknaden men detta urval har gjorts eftersom jag stött på dessa under praktiken. Arbetet syftar inte till att jämföra läroböckerna utan flera böcker används för att kunna visa på olika sätt att använda variation. Tre böcker gör det också möjligt att kunna dra mer generella slutsatser kring sådant som är liknande i alla böckerna. C-spåret har valts eftersom eleverna som läser den kursen är de som i störst utsträckning använder sig av funktionsbegreppet i senare kurser.
I respektive bok avgränsades analysen till att omfatta de sidor som endast berörde det innehåll som beskrevs i kapitel 5.1.1 ovan. Detta betyder att delar om t.ex. räta linjen, koordinatsystem och exponentialfunktioner inte tas med i analysen. Dessa delar beskrivs dock ändå kortfattat i ett avsnitt i resultatdelen utifrån deras förhållande till de analyserade delarna. I enlighet med de variationsteoretiska idéerna kring lärandeobjektets externa horisont (Lo, 2014) är det av intresse att veta vad som har tagits upp innan och vad som tas upp efter det valda
22
och 288–291 i Matematik 5000 samt sid. 196–203 i M-serien studerades i analysen. Exempel på materialet som valdes ut för analys ges i bilagorna. Där presenteras introduktionen till funktionsbegreppet i Exponent i bilaga 1, Matematik 5000 i bilaga 2 och M-serien i bilaga 3.
5.2 Analysmetod
Detta arbete avser att undersöka hur läroböcker i matematik använder sig av variation i framställningen av ett visst innehåll, i detta fall funktionsbegreppet. I studier av läroböcker undersöks oftast bara själva teoridelarna eller t.ex. hur många uppgifter det finns till ett visst kapitel (Li, 2000). I detta arbete undersöks både de teoretiska genomgångarna och de
tillhörande uppgifterna, med fokus på själva innehållet, eftersom båda delarna har potential att påverka elevernas lärande (Li, 2000). Då få studier har genomfört liknande undersökningar används ingen tidigare metod i sin helhet. Istället sätts kriterier för analysen ihop utifrån teorin och tidigare studier. På grund av detta beskrivs och motiveras analysen utförligt i kommande avsnitt. Analysen genomfördes i tre steg, som beskrivs nedan.
5.2.1 Steg 1: kartläggning av externa horisonten
I första steget undersöktes vilket sammanhang det undersökta området presenteras i. Detta innebär hur böckerna presenterar moment relaterade till funktionsbegreppet. Både vilken förkunskap eleverna kan tänkas ha och även gällande det som eleverna kommer att stöta på senare i kursen. Detta kan ses som ett kartläggande av lärandeobjektets externa horisont och är relevant att göra eftersom lärandeobjektet först får sin innebörd i relation till det system det existerar inom (Lo, 2014). Den externa horisonten skulle per definition kunna sträcka sig väldigt mycket längre framåt och bakåt och även inkludera alla elevens tidigare erfarenheter
(Marton & Booth, 2000) men här var det nödvändigt att göra en avgränsning. För ett
lärandeobjekt som funktionsbegreppet och med tanke på att det är en analys av läroböcker anses denna avgränsning till relaterade moment i kursen vara tillräcklig. Denna
bakgrundsanalys är dock inte helt oproblematisk eftersom elevernas tidigare kunskaper och erfarenheter skiljer sig åt i praktiken, vilket i sin tur kan påverka deras sätt att uppfatta området. Detta är en svaghet i läroboksanalyser och i en undersökning av en riktig elevklass skulle denna del spela en större roll. Om ett liknande arbete skulle genomföras i relation till en viss elevgrupp skulle det också vara möjligt att ha ett något annorlunda fokus. Läraren har då
23
förhoppningsvis haft eleverna i tidigare delar av kursen och har en plan inför framtida delar. För att kartlägga den externa horisonten i detta arbete studerades alltså böckerna för att identifiera det innehåll som är närmast relaterat till funktionsbegreppet. Detta innehåll lästes igenom översiktligt och en sammanfattning presenteras i resultatdelen. Att ha med sig kunskap om detta är relevant i analysen eftersom det kan ge en förståelse för varför en lärobok har lagt upp innehållet på ett visst sätt. Det kan också underlätta för läsaren att få en mer övergripande bild av sammanhanget.
5.2.2 Steg 2: identifiera dimensioner av variation och variationsmönster
När sammanhanget kartlagts analyserades i nästa steg hur läroböckerna använder sig av variation. Detta innebar en undersökning av hur variation används i text och uppgifter. Utifrån detta kunde slutsatser dras kring vilka dimensioner av variation som öppnas upp samt vilka variationsmönster som används. Att identifiera detta är viktigt eftersom det enligt teorin är nödvändigt för eleverna att urskilja att nya dimensioner av variation öppnas för att utveckla förståelse för lärandeobjektet (Marton, 2015). Först lästes de valda delarna igenom med fokus på att identifiera variation. Den variation som uppfattades vid genomläsningen noterades för var och en av böckerna. Detta tillvägagångssätt kan ses som inspirerat av diverse textanalyser där genomläsning av texten och bokföring av intressanta delar är en allmän princip
(Denscombe, 2016). Därefter genomfördes en andra genomläsning av böckerna med samma fokus. Detta gjordes för att öka tillförlitligheten i undersökningen då viss variation kan ha identifierats i den andra boken och därmed påverkat analysen av den tredje men inte den första. Vid genomläsningen hölls kriterierna för vad som skulle noteras väldigt öppna och allt som på ett eller annat sätt varierades antecknades. I detta steg räknades övningsuppgifterna också igenom för att få insikt i vad eleverna faktiskt kan uppfatta när de arbetar i boken. I denna process intogs ett elevperspektiv för att försöka uppfatta all den variation som kan sägas utgöra det iscensatta lärandeobjektet, alltså det som görs möjligt för eleverna att lära sig. Inspiration togs här från Häggströms (2008) studie där han analyserar och jämför svenska och kinesiska lektioner om ekvationssystem. Inledningsvis noterades all möjlig variation för att få med den variation som kan sägas utgöra dimensioner av variation. Men då kom även variation som inte nödvändigtvis hjälper lärandet enligt variationsteorin med.
24
Den variation som identifierades inledningsvis var väldigt spretig och alla delar av den kunde alltså inte anses utgöra någon dimension av variation. Därför gjordes en inledande analys av det initiala materialet för att identifiera de dimensioner av variation som kan sägas vara öppnade i böckerna. För att en variation från första steget skulle klassas som en dimension av variation användes kriteriet att det skulle finnas en systematisk variation där olika drag antas. Även kriteriet att variationen ska utgöra en möjlighet för eleverna att urskilja något nytt kring lärandeobjektet användes (Marton, 2015). Dessa kriterier gjorde det möjligt att skilja på variation som kan tänkas bidra till att eleverna utvecklar en förståelse för funktionsbegreppet från variation som t.ex. endast syftar till repetition, sätter fokus på annat än lärandeobjektet eller rent av försvårar lärandet.
Variationen tilläts att ske på olika nivåer: i genomgångarna, i exemplen, inom en uppgift eller genom på varandra följande uppgifter. Bland de situationer som inte ansågs som en del i någon dimension av variation finns uppgifter där samma sak efterfrågas och förutsättningarna bara ändras något. Ett exempel är upprepade uppgifter där f(x) är given på algebraisk form och f(a) ska beräknas för olika värden på a. Om denna typ av uppgifter inte innehåller något speciellt som eleverna kan uppfatta anses de mer som ren repetition än uppgifter som öppnar någon dimension av variation. Även situationer där möjligheten att uppfatta variationen var alldeles för liten valdes bort. Exempel på detta är aspekter som bara antar andra drag på ett ställe i kapitlet, och då inte med direkt koppling till övriga drag. I Exponent användes även benämningarna funktion och avbildning parallellt inledningsvis men denna variation ansågs inte heller leva upp till kravet att ge eleverna nya insikter kring funktionsbegreppet.
En analys av hur variationen skedde i böckerna gjordes till viss del redan när dimensionerna identifierades. Men en noggrannare analys av hur dimensionerna faktiskt varierades i var och en av läroböckerna genomfördes i en separat del där just användandet av variationsmönster stod i fokus. I denna del av analysen användes de variationsmönster som beskrevs i teoridelen som utgångspunkt. Frågor som “hur sker variationen?”, “vilka variationsmönster används?” och “vad varieras och vad hålls konstant?” ställdes under denna process. Även denna del av analysen upprepades för att ge en så korrekt beskrivning av variationen som möjligt.
25
5.2.3 Steg 3: identifiera proceduriell och begreppslig variation
I det sista steget av analysen undersöktes i vilken utsträckning böckerna använde sig av proceduriell och/eller begreppslig variation. Analysen utgick från de definitioner och beskrivningar av proceduriell respektive begreppslig variation som ges av Gu et al. (2004), Lai och Murray (2012) samt Zhang et al. (2017). I de exempel på uppgifter och beskrivningar av proceduriell respektive begreppslig variation som ges i litteraturen är det i princip alltid väldigt lätt att identifiera uppgiften som tillhörande någon av variationsformerna. Det konstaterades direkt att det fanns få uppgifter i läroböckerna som tydligt kunde placeras i någon av kategorierna. Därför identifierades istället uppgifter och beskrivningar som åtminstone uppfyller några av kriterierna för respektive variationsform och dessa beskrevs utifrån hur de uppfyller kriterierna. Utifrån den litteratur som angetts ovan sattes ett antal frågor ihop. Dessa användes som utgångspunkt för att identifiera hur proceduriell och
begreppslig variation användes i läroböckerna. Även i denna del av analysen lästes böckerna igenom upprepade gånger och de situationer som ansågs uppfylla kriterierna för proceduriell respektive begreppslig variation valdes ut. Dessa analyserades sedan utifrån hur de uppfyller kriterierna och hur de bidrar till ökad förståelse.
Vid sökandet efter begreppslig variation ställdes frågor som “går begreppet från att vara en konkret till en abstrakt upplevelse för eleven?”, “varieras betydelsen av begreppet?”, “påpekas viktiga egenskaper genom specialfall eller motexempel?” och “visas förhållandet till andra närliggande begrepp?”. Dessutom användes grundidén att den begreppsliga variationen ska leda till att eleverna får möjlighet att förstå begreppet på olika sätt. För proceduriell variation användes istället frågor som “tillåts eleverna att göra stegvis framsteg?”, “löses större problem genom att det bryts ner i mindre delar?”, “byggs elevens erfarenheter på genom varierande processer?” och “används olika metoder för samma problem eller samma metod till olika problem?”. Även här utgjorde syftet med proceduriell variation, att främja elevernas begreppsförståelse genom stegvisa processer och problemlösning, ett stöd i att klassificera innehållet. Dessa frågor är framtagna utifrån de beskrivningar av begreppslig och proceduriell variation som ges av Gu et al. (2004) samt Lai och Murray (2012).
Ett exempel på en uppgift som varken klassades som proceduriell eller begreppslig variation ges från Matematik 5000. Uppgiften går ut på att bestämma x om g(x)=0 för funktionerna
26
g(x)=x-6, g(x)=2x-6 och g(x)=12x+3. Även om denna uppgift uppfyller att det är “samma metod för olika problem” så är det troligare att det blir en övning i ekvationslösning än ett bidrag till elevernas förståelse för funktioner.
Enligt kriterierna för de olika variationsformerna behöver variationen inte ske inom en specifik uppgift utan den kan även ske i genomgångar eller för en serie uppgifter. Men detta ledde även till problem i analysen och i Exponent fanns ett exempel på det. Där fanns ett avsnitt där sju frågor i rad hade exakt samma struktur: en situation formulerad i textform som följdes upp av frågorna a) bestäm en funktion samt b) bestäm funktionens definitions- och värdemängd. Denna situation låg på gränsen mellan vad som kan klassa som proceduriell variation och vad som utgör rena repetitionstillfällen. Denna situation valdes dock ut och beskrivs närmare i resultatdelen.
Om man drar tolkningen av kriterierna till sin spets skulle man kunna hitta ytterligare situationer i böckerna som skulle kunna klassas som proceduriell eller begreppslig variation. Exempelvis så används begreppen i viss mån i “varierande sammanhang”. Även “olika metoder för att lösa samma problem” sker till exempel när f(3) ska bestämmas ur en graf i en uppgift och när sedan f(5) ska bestämma ur en värdetabell i en annan uppgift. Men denna skeva tolkning av vad proceduriell och begreppslig variation innebär anses inte ligga i linje med de grundidéer som redogörs för i litteraturen och denna tolkning görs därmed inte i arbetet.
5.3 Forskningsetiska överväganden
I och med att arbetet utgörs av en läroboksanalys saknas det undersökningsdeltagare vilket gör att Vetenskapsrådets fyra forskningsetiska begrepp (Vetenskapsrådet, 2011) inte behöver tas hänsyn till. Men det är ändå viktigt att vara öppen med hur arbetet genomförts för att öka användbarheten och trovärdigheten i resultaten. Detta har i arbetet gjorts genom att följa de krav som ställs på god validitet och reliabilitet i kvalitativ forskning (Cohen, Manion & Morrison, 2011). Genom att tydligt beskriva det urval som gjorts och de metoder som använts i analysen har arbetet gjorts tillgängligt för granskning. Analysen genomfördes upprepade gånger och vid de olika genomläsningarna identifierades nya aspekter samtidigt som vissa initiala ströks eller omformulerades. Dessa revideringar har stärkt resultatets trovärdighet men
27
visar även på att det kanske skulle vara möjligt att identifiera ytterligare aspekter om fler analysen genomförts. Analysen har också genomförts så objektivt som möjligt och grundats i teorin för att stärka reliabiliteten i resultatet.
28
6. Resultat och analys
I denna del av arbetet presenteras resultatet från undersökningen. Resultaten presenteras som en kombinerad beskrivning och analys av det utvalda innehållet, i enighet med vad som angetts i metodkapitlet. Resultaten för vart och ett av stegen presenteras under egna rubriker och inom de olika stegen presenteras de olika böckerna var för sig. Detta upplägg används för att skapa en struktur i resultatredovisningen.
6.1 Läroböckernas upplägg
I det övergripande upplägget är alla böckerna strukturerade på samma sätt, med
kapitelrubriker som direkt går att känna igen från det centrala innehållet. De delar som är intressanta för arbetet finns inom kapitlet där funktionsbegreppet tas upp, vars rubricering presenteras i tabell 1.
Tabell 1. Rubriker för kapitlet som innehåller funktioner i respektive bok. Delkapitlet som innehåller funktionsbegreppet är markerat i kursiv stil.
Lärobok Exponent Matematik 5000 M-serien
Kapitelrubrik Funktioner Grafer och funktioner
Samband och förändring
Underrubriker Repetition.
Vad är en funktion?
Egenskaper hos olika typer av funktioner.
Grafer och direkt proportionalitet. Funktioner. Procent. Funktionsbegreppet. Linjära funktioner. Proportionalitet. Potensfunktioner. Exponentialfunktioner. Mer om grafiska lösningar.
I Exponent föregås introduktionen till funktionsbegreppet av ett uppslag med repetition där gradering och avläsning i grafer tas upp. Denna del kan introducera eleverna till det grafiska sättet att beskriva ett samband mellan två variabler och att hantera koordinatsystem, vilket är högst väsentliga delar i den grafiska representationen av en funktion. Själva
funktionsbegreppet introduceras sedan i tre delar, fördelat över tio sidor. Först definieras innebörden av en funktion, därefter visas olika sätt att representera funktioner och
avslutningsvis förklaras definitions- och värdemängd mer ingående. Kapitlet avslutas med att linjära funktioner, potens- och exponentialfunktioner tas upp, tillsammans med hur dessa kan hanteras grafiskt. Även i dessa delar är det ett stort fokus på olika representationsformer, men
29
framförallt den grafiska. Utspritt över kapitlet finns även ett antal andra moment så som gruppaktiviteter, utmaningar och sant eller falskt. Några av dessa med direkt koppling till just funktionsbegreppet.
Matematik 5000 inleder funktionskapitlet med en aktivitet där eleverna direkt får arbeta med funktionsbegreppet. Olika samband presenteras med ord, tabell eller grafiskt och eleverna får i uppgift att beskriva sambanden med formler. Därefter följer ett kortare delkapitel om koordinatsystem, tolkning av grafer och direkt proportionalitet. I dessa delar är det mycket fokus på grafiska representationer, som nästan uteslutande utgörs av räta linjer. Men det förekommer även en hel del uppgifter där eleverna ska tolka oregelbundna grafer baserade på verkliga situationer. Funktionsbegreppet tas sedan upp på två uppslag. Ett där teori och ett par exempel visas samt ett uppslag med övningsuppgifter. Därefter följer räta linjer, potens- och exponentialfunktioner men också en del där skillnaderna mellan algebraiskt uttryck, ekvation, funktion och olikhet tas upp. Noterbart från dessa delar kan vara att beteckningen f(x) inte används i någon större utsträckning utan istället beskrivs funktionerna oftast som y=. Kapitlet avslutas med en del där olika funktionstyper jämförs med varandra. Det finns även ett par aktiviteter i kapitlet, dock med specifik koppling till exponentialfunktioner och räta linjer.
I M-serien är inte funktioner ett eget kapitel utan det inkluderar även kursinnehållet procent. Kapitlet är dock tydligt uppdelat och inleds med procentdelen. Därefter tas
funktionsbegreppet upp direkt. Denna del är på åtta sidor, med varierande genomgångar, exempel och uppgifter. Själva teorin är uppdelad i två stycken. Först ett stycke med funktionsbegreppet och olika representationsformer och sedan ett med definitions- och värdemängd. Sedan följer delkapitel om linjära funktioner, potens- och exponentialfunktioner samt en större del med fokus på grafiska lösningsmetoder. I kapitlet finns två aktiviteter som dock är kopplade till exponentialfunktioner och att hantera andragradsfunktioner med digitala verktyg. Därmed är dessa inte något som analyseras vidare i arbetet.
Genom denna övergripande analys av böckernas upplägg urskiljs en intressant aspekt inför vidare analyser, att funktionsbegreppet i Exponent och Matematik 5000 föregås av en introduktion med delar som anses vara användbara när funktionsbegreppet och olika
funktionstyper introduceras. Även omfattningen på det innehåll som behandlas i arbetet kan vara värt att notera, även om det inte säger något om det faktiska innehållet. Det som tas upp på åtta respektive tio sidor i M-serien och Exponent behandlas på fyra sidor i Matematik
30
5000. Det ska dock tas i beaktande att Matematik 5000 har en relativt omfattande introduktion till funktionsbegreppet innan den analyserade delen och följderna av detta tas upp i
kommande avsnitt.
6.2 Nödvändiga aspekter och variationsmönster
6.2.1 Dimensioner av variation
I tabell 2 presenteras de dimensioner av variation som ansågs öppnade i någon av böckerna. Hur dessa dimensioner av variation öppnades beskrivs sedan för var och en av läroböckerna. Detta görs genom att situationerna där variationen förekommer beskrivs och hur själva variationen används analyseras utifrån variationsteorin.
Tabell 2. Sammanställning av de dimensioner av variation som identifierades vid analysen av läroböckerna.
Dimensioner av variation.
- Definitions- och värdemängderna kan vara andra tal än heltal. - Definitions- och värdemängderna kan vara annat än tal.
- Definitions- och värdemängderna kan anta olika former (kontinuerlig, diskret). - Alla samband behöver inte utgöra funktioner.
- Samma funktion kan beskrivas med olika representationsformer.
- Samma typ av problem kan lösas med hjälp av olika representationsformer. - Funktioner kan inte alltid beskrivas med sammanhängande grafer.
- Det är skillnad på funktionsvärdet, f(x), och funktionsregeln.
- Andra bokstäver än f och x kan användas i den algebraiska representationen. - Funktionsregeln går inte alltid att beskriva med en ”enkel” algebraisk formulering.
6.2.2 Exponent
I Exponent beskrivs funktioner inledningsvis som en avbildning från en mängd till en annan. Detta visas med ett exempel där ett antal namn paras ihop med antalet bokstäver i namnet. Genom denna inledning görs direkt tydlig skillnad på funktionsregeln och funktionsvärdet. I efterföljande exemplen visas på fler samband mellan mängder och dimensionen att det är
skillnad på funktionsvärdet, f(x), och funktionsregeln öppnas. Detta görs i exemplen genom att
funktionsregeln hålls konstant och varierande funktionsvärden tas fram för den givna regeln. Skillnaden görs även tydlig i ett senare avsnitt där f(x) används som ett element i
31
genomgången förklaras även begreppen definitions- och värdemängd, vilket blir tydligt då namnen och antalet bokstäver i namnen beskrivs som mängder. Här kontrasteras direkt vad elementen i mängderna kan vara. Dimensionen att definitions- och värdemängderna kan vara
annat än tal öppnas genom att dragen namn och tal används som element i mängderna inom
samma exempel.
I det första lösta exemplet ges tre par av mängder där regeln samt definitions- och värdemängden ska bestämmas. Inom dessa kontrasteras beskrivningen av funktionen
samtidigt som funktionsregeln är konstant. Därmed öppnas dimensionen samma funktion kan
beskrivas med olika representationsformer, om än bara mellan mängdrepresentationen och
den algebraiska representationen. Genom upprepade exempel kan det även ses som att
dimensionen generaliseras. Detta eftersom de båda representationsformerna fortsätter att visas upp för olika funktionsregler. I ett av de tre mängdparen tillordnas ett tal i definitionsmängden två tal i värdemängden. Sambandet utgör därmed inte en funktion. Detta exempel är ett sätt att öppna dimensionen att alla samband inte behöver utgöra funktioner. Denna variation sker dock mellan olika exempel, som är väldigt lika i utformning men som ändå skiljer sig i vilka tal som utgör mängdelementen. Kontrasteringen anses vara möjlig att uppfatta även om den skulle kunna göras ännu tydligare genom att visa på en funktion och en icke-funktion med samma mängder.
De efterföljande uppgifterna inleds med att eleverna får göra precis det som beskrivits i exemplen och får därmed möjlighet att själva uppleva samma variation. De sista uppgifterna skiljer sig dock något. I en uppgift ges fyra exempel på grafer där eleverna ska avgöra vilka som beskriver en funktion. Med denna uppgift kontrasteras grafer som utgör funktioner med grafer som inte beskriver funktioner. Denna uppgift anses vara ytterligare ett sätt att öppna upp dimensionen att alla samband inte behöver utgöra funktioner. Som avslutande uppgift är en funktion given på algebraisk form och f(a), f(2a) och f(g(x)) ska bestämmas. Därmed öppnas dimensionen definitions- och värdemängderna kan vara annat än tal ytterligare, denna gång genom att dragen mängderna som algebraiska uttryck och andra funktioner antas. I dessa uppgifter har funktionsuttrycket och frågeformuleringen varit konstant och variationen har endast skett i det som vill fokuseras, vad definitions- och värdemängderna kan vara. Därmed underlättas för eleverna att faktiskt urskilja det som vill fokuseras. Med tanke på att uppgiften ligger sist och anses vara ”extra svår” är risken stor att dimensionen inte öppnas för många elever. I några av uppgifterna används mängder med dagar och namn som
32
definitionsmängder. Detta öppnar inte bara för variation i definitions- och värdemängd utan också i hur funktionsregeln anges. Dessa specialfall blir en kontrast mot övriga uppgifter där funktionen beskrivs som en algebraisk regel. Denna variation möjliggör för eleverna att urskilja att funktionsregeln inte alltid går att beskriva med en ”enkel” algebraisk formulering. Om eleverna endast får uppleva funktioner som kan beskrivas ”enkelt” kan denna aspekt felaktigt generaliseras.
Rubriken för nästa stycke i boken är “olika sätt att beskriva funktioner” och inleds med ett exempel på en cykeltur med konstant hastighet. I samband med detta visas att andra
bokstäver än f och x kan användas i den algebraiska representationen genom att sträckan
beskrivs som en funktion av tiden, s(t). Detta sker i kontrast mot samtliga fall så långt, där en funktion än så länge varit synonymt med f(x), med undantag för sista uppgiften i exemplet ovan där f(g(x)) skulle bestämmas. I de exempel och uppgifter som ges är det dock endast i situationer där en sträcka beror på tiden som s(t) används. För cykelexemplet visas även hur funktionen kan beskrivas med olika representationsformer. Dimensionen samma funktion kan
beskrivas med olika representationsformer utvidgas här ytterligare. Från att tidigare ha
varierats genom att representeras som mängder och på algebraisk form beskrivs funktionen här även i ord, i tabellform och grafiskt. Detta görs för samma situation så urskiljandet av variationen underlättas. Den grafiska representationen beskrivs som att värdena från tabellen prickas in i koordinatsystemet och punkterna sammanbinds med en linje. Att sammanbinda punkter på detta viset kan leda till en övergeneralisering att alla funktioner kan beskrivas med sammanhängande grafer om inte dimensionen funktioner kan inte alltid beskrivas med
sammanhängande grafer öppnas. De uppgifter som följer denna förklaring har alla samma
tema. En representationsform är given i uppgiftstexten och sedan blir uppgiften att beskriva sambandet med en annan representationsform och i vissa fall ta reda på något utifrån den nya representationsformen. Även om uppgifterna skiljer sig något i formulering så anses ändå dimensionen samma typ av problem kan lösas med hjälp av olika representationsformer öppnad. Frågorna är i princip likadana, bortsett från själva kontexten, och detta gör det möjligt att fokusera på variationen i representationsform. Men det skulle kunna gjorts tydligare
genom upprepade frågor på samma situation. Det uppvisas en stor variation i vilka övergångar mellan representationsformer som används i uppgifterna. Flera av uppgifterna har potential för att visa på andra aspekter, exempelvis det ovan nämnda om grafer av funktioner, men som uppgifterna är formulerade är det långsökt att de skulle leda till att några nya dimensioner av variation öppnas.
