Samtidighet mellan addition
och subtraktion
En intervjustudie om undervisning som synliggör sambandet mellan
addition och subtraktion
KURS: Examensarbete för grundlärare F-3 15hp
PROGRAM: Grundlärarprogrammet med inriktning mot arbete i förskoleklass och grundskolans årskurs 1–3
FÖRFATTARE: Linnea Ståhl
EXAMINATOR: Robert Gunnarsson TERMIN: VT21
JÖNKÖPING UNIVERSITY Examensarbete för grundlärare
School of Education and Communication F-3, 15 hp
Grundlärarprogrammet med inriktning mot arbete i förskoleklass och
grundskolans årskurs 1–3 VT2
SAMMANFATTNING
_______________________________________________________________________
Linnea Ståhl
Samtidighet mellan addition och subtraktion – En intervjustudie om undervisning som synliggör sambandet mellan addition och subtraktion.
Simultaneity between addition and subtraction – An interview study about teaching that show the relation between addition and subtraction.
Antal sidor: 32
_______________________________________________________________________
Syftet med denna studie är att ge en bild av undervisning som synliggör sambandet mellan addition och subtraktion. Elever har visat svårigheter med att använda sambandet mellan addition och subtraktion för att lösa olika aritmetiska problem. Samtidigt är det en viktig förutsättning för att utveckla effektiva lösningsstrategier. Studien är genomförd med inspiration från fenomenografi där kvalitativ intervju använts som metod. Fem lärare i årskurs 1–3 har intervjuats. Lärarna som har intervjuats har medverkat i två olika utvecklingsprojekt där de tillsammans med forskare fördjupat sig i addition och subtraktion. Resultatet visar på vikten av att tidigt synliggöra sambandet mellan addition och subtraktion samt uppdelningen av tal för att elever effektivt ska kunna lösa olika aritmetiska problem. Vidare framgår i resultatet att sambandet mellan addition och subtraktion kan synliggöras genom att arbeta med addition och subtraktion samtidigt, att undervisa om tals del-helhetsrelationer och genom medvetna val av konkret material och representationsformer av tal.
The purpose of this study is to provide a comprehensive understanding and insights regarding teaching that show the relation between addition and subtraction. Students have shown difficulty in using the relation between addition and subtraction to solve arithmetic problems. At the same time, it is an important prerequisite for developing effective strategies. The study is inspired by phenomenography where qualitative interview was used as a method. Five teachers have been interviewed, which is operative in the first to third grade. The participating teachers have been participating in development projects where they were accompanied by researchers who deepened their knowledge within addition and subtraction. The study shows the importance to visually illustrate the connection between addition and subtraction in an early phase, as well as the separation of numbers so that students are able to solve arithmetic problems more efficiently. Furthermore, the result shows that the relation between addition and subtraction can be shown by working with addition and subtraction simultaneously, working with part-whole relations, and through smart choice of concrete material and representation of numbers.
_______________________________________________________________________
Sökord: undervisning, addition, subtraktion, samband
Innehållsförteckning
1 INLEDNING ... 1
2 SYFTE ... 2
3 BAKGRUND ... 3
3.1ARITMETIK OCH MATEMATISKA PRINCIPER ... 3
3.2TALS ADDITIVA DEL-HELHETSRELATIONER ... 3
3.3UNDERVISNING OM ADDITION OCH SUBTRAKTION ... 4
3.4TEORETISK UTGÅNGSPUNKT ... 6 4 METOD ... 9 4.1KVALITATIV INTERVJU ... 9 4.2URVAL ... 10 4.3GENOMFÖRANDE ... 11 4.4MATERIALANALYS ... 11 4.5FORSKNINGSETISKA ASPEKTER ... 13 5 RESULTAT ... 15
5.1UNDERVISNING SOM SYNLIGGÖR SAMBANDET ... 16
5.1.1SAMTIDIGHET MELLAN RÄKNESÄTT ... 16
5.1.2TALS DEL-HELHETSRELATIONER ... 19
5.1.3KONKRET MATERIAL OCH REPRESENTATIONSFORMER AV TAL ... 20
5.2FÖRÄNDRING AV UNDERVISNING ... 22
5.2.1STÖRRE FOKUS PÅ TALS DEL-HELHETSRELATIONER ... 22
5.2.2ÖKAD MEDVETENHET OM VAL AV REPRESENTATIONSFORM ... 23
5.2.3ÖKAD MEDVETENHET OM SUBTRAKTIONENS BETYDELSE ... 25
6 DISKUSSION ... 27 6.1METODDISKUSSION ... 27 6.2RESULTATDISKUSSION ... 28 6.3VIDARE FORSKNING ... 32 7 REFERENSLISTA ... 33 8 BILAGOR ... I
1 Inledning
Forskning visar att elever ofta uppfattar addition och subtraktion som två åtskilda operationer vilket gör det svårare för dem att förstå hur båda räknesätten kan användas vid samma situation (Baroody, 2016; McIntosh, 2008). Det är vanligt att elever uppfattar subtraktion som svårare än addition och utför då beräkningar med addition genom att räkna framåt och vid subtraktion räkna bakåt, ett steg för varje räkneord. Det är kognitivt krävande och kan leda till svårigheter med att utveckla effektiva och ändamålsenliga strategier inom aritmetik. Lärare behöver därför vara medvetna om hur elever uppfattar räknesätten för att utveckla deras förståelse av hur räknesätten kan innebära mer än att bara räkna framåt eller bakåt (Neuman, 2013). Vidare visar forskning (Baroody, 1999; Baroody & Lai, 2007; Neuman, 2013) att det är gynnsamt för elever att tidigt lära sig att utnyttja sambandet mellan räknesätten addition och subtraktion. Skolverket (2019) betonar att lärare ska möjliggöra för elever att våga pröva olika strategier och tillämpa dessa i olika situationer. En grundtanke i kursplanen för matematik är att undervisningen ska ske med ett utforskande förhållningssätt där eleverna ges möjlighet att pröva hur olika representationsformer, metoder och strategier kan tillämpas. Inom aritmetiken kan det innebära att förstå hur olika räknesätt förhåller sig till varandra och vilket räknesätt som lämpar sig bäst för olika sammanhang. Förståelse av hur räknesätten addition och subtraktion förhåller sig till varandra kan vara en väg till att utveckla effektiva strategier för att lösa olika uppgifter.
Mot denna bakgrund och tillsammans med vad tidigare forskning framhåller om sambandet mellan addition och subtraktion är det intressant att söka efter lärares uppfattningar och beskrivningar av undervisning som synliggör sambandet mellan räknesätten addition och subtraktion samt hur undervisningen påverkas av lärares uppfattningar av fenomenet. Genom att göra kvalitativa intervjuer med lärare som deltagit i två olika utvecklingsprojekt där man tillsammans forskare fördjupat sig i addition och subtraktion i undervisningen, vill jag med den här studien bidra med kunskap om hur matematikundervisningen kan bedrivas för att synliggöra sambandet mellan addition och subtraktion och utveckla elevers förmåga att använda effektiva strategier.
2 Syfte
Syftet med denna studie är att ge en bild av undervisning som synliggör sambandet mellan räknesätten addition och subtraktion på lågstadiet.
Detta syfte avser jag att uppfylla genom att besvara följande frågor:
• På vilka olika sätt beskriver lärare i årskurs 1–3 att de gör för att utveckla elevers förmåga att använda sambandet mellan addition och subtraktion?
• Hur beskriver lärarna att deras undervisning har förändrats genom att ha deltagit i utvecklingsprojekt där addition och subtraktion i undervisningen varit i fokus?
3 Bakgrund
I följande kapitel beskrivs aritmetik, matematiska principer och sambandet mellan addition och subtraktion i förhållande till skolans styrdokument. Därefter redogörs för tidigare forskning av undervisning om sambandet mellan räknesätten addition och subtraktion. Avslutningsvis presenteras studiens teoretiska utgångspunkt.
3.1 Aritmetik och matematiska principer
Ett långsiktigt mål i grundskolan är att eleverna ska kunna använda sina matematiska kunskaper på ett kreativt och utforskande sätt för att lösa matematiska problem i olika situationer (Skolverket, 2019). Matematikkunskaper ska användas som ett verktyg för att göra bedömningar om effektiva tillvägagångssätt och se olika strategiers möjligheter och begränsningar (Heiberg, Solem, Alseth & Nordberg, 2010; Skolverket, 2017). En grundförutsättning för utvecklade kunskaper inom aritmetik1 är förståelse av de olika
räknesätten och hur de förhåller sig till varandra (Skolverket, 2017).
Räknesätten addition och subtraktion är inverser vilket innebär att en operation (addition eller subtraktion) kan motverkas genom att tillföra inversen, det är en matematisk princip som kan uttryckas som 𝑎 + 𝑏 − 𝑏 = 𝑎 eller 𝑎 − 𝑏 + 𝑏 = 𝑎 (Baroody, 2016). Det inversa förhållandet behandlar även den matematiska principen att en additionsoperation kan bli en subtraktionsoperation och tvärtom, exempelvis kan operationen 𝑎 + 𝑏 = 𝑐 uttryckas som 𝑐 − 𝑎 = 𝑏 eller 𝑐 − 𝑏 = 𝑎 (Ching & Nunes, 2017). Inom aritmetiken kan de här matematiska principerna användas för att på ett effektivt sätt lösa olika aritmetiska problem. I den här studien behandlas de ovan beskrivna matematiska principerna som drar nytta av sambandet mellan addition och subtraktion.
3.2 Tals additiva del-helhetsrelationer
En förutsättning för att kunna använda sambandet mellan de två räknesätten på ett effektivt sätt är kunskaper om relationen mellan tal och hur de kan delas upp (Baroody & Lai, 2007; Gilmore & Bryant, 2006; Neuman, 2013). Neuman (2013) betonar vikten av att inte bara utgå från delarna i en operation, det vill säga delarna 𝑎 och 𝑏 i uppgiften 𝑎 + 𝑏 = __, utan
också se relationen mellan delar och helhet för att på så sätt kunna se relationen mellan räknesätten. De tio första naturliga talen kan delas upp och ses som relationer mellan tre tal. Talet 7 kan exempelvis ses som en helhet och delas upp i delarna 5 och 2. Neuman (2013) förklara det som aritmetikens grundsten, att direkt kunna se hur kombinationen av tre tal, exempelvis 7 | 5 | 2, kan uttryckas som 2 + 5 = 7, 5 + 2 = 7, 7 − 2 = 5, och 7 − 5 = 2 och dra nytta av sambandet mellan addition och subtraktion. Att se tal som relationer kan därför vara ett effektivt sätt att lösa additions- och subtraktionsuppgifter (Baroody, 2016; Neuman, 2013).
Elever uppfattar ofta uppgiften 2 + __ = 9 som endast addition, att två delar ska läggas samman och bilda summan 9. Det gör att de räknar upp samtliga räkneord för den okända delen, de börjar då räkna upp från den kända delen 2 till summan 9 : ”tre, fyra, fem, sex, sju, åtta, nio”, och samtidigt hålla reda på antalet uppräknade tal (Neuman, 2013). Det är kognitivt krävande vilket Neuman (2013) anser att barn saknar kapacitet för. Ett mer effektivt sätt skulle vara att istället använda det omvända räknesättet, 9 − 2 = 7, och utgå från tals del-helhetsrelationer. Det samma gäller om uppgiften hade varit 9 − 7 = __. Istället för att räkna 7 nedåt från 9 ; ”åtta, sju, sex, fem, fyra, tre, två”, och hålla reda på antalet uppräknade tal är det mer effektivt att använda addition som 7 + __ = 9. För elever som inte får möjlighet att utveckla kunskaper om tals additiva del-helhetsrelationer och strategier där sambandet mellan addition och subtraktion används hindras möjligheterna till att utveckla vidare aritmetiskt tänkande (Neuman, 2013).
3.3 Undervisning om addition och subtraktion
I läroplanens centrala innehåll för årskurs 1–3 (Skolverket, 2019) tydliggörs det att undervisningen ska behandla egenskaper hos räknesätt och naturliga tal, hur de kan delas upp samt hur sambandet mellan räknesätten kan användas i olika situationer. Matematikundervisning behöver bidra till att fördjupa föreställningarna om räknesätten för att eleverna senare ska kunna använda strategier och matematiska principer oavsett vilka tal som finns i uppgiften. Forskning visar att om elever tidigt utvecklar kunskaper om räknesättens samband kan det förstärka elevernas förmåga att se mönster och relationer i olika lösningar (Baroody & Lai, 2007). Baroody (1999) framhåller även att om elever endast kopplar subtraktion till att ta bort kan svårigheter uppstå vid uppgifter där skillnaden mellan talen är liten, det är då svårt att relatera uppgiften till de redan befästa kunskaperna
om addition och tals relationer. Det visade sig i Baroodys (1999) studie att elever inte tyckte sig bli hjälpta av ett additionsuttryck som 5 + 3 = 8, för att lösa en subtraktionsuppgift som 8 − 5 = __. Om uttrycken istället bestod av två likadana termer, som 3 + 3 = 6, var eleverna mer frekventa med att använda uttrycket som hjälp för att lösa motsvarande subtraktionsuttryck, 6 − 3 = __. Det kan således vara fördelaktigt att i undervisningen utgå från de talrelationer eleverna är bekanta med och deras förkunskaper om räknesätten. Det kan underlätta för att senare kunna ta fram den kunskapen och applicera oavsett vilka tal som finns i uppgiften (Baroody, 1999).
Resultat från forskning (Canobi, 2005) visar att skillnaden i barns förståelse av de matematiska principerna som tidigare presenterats, grundas i deras förståelse av tals additiva del-helhetsrelationer. Canobi (2005) undersökte barns förmåga att bedöma och förklara matematiska principer i samband med uppgifter innehållande tvåsiffriga tal. Hon fann att yngre elever utvecklar förståelse av additionens kommutativa egenskap, att två delar bildar en helhet oavsett i vilken ordning de läggs samman; 𝑎 + 𝑏 = 𝑐 och 𝑏 + 𝑎 = 𝑐 , tidigare än de förstår att om 𝑎 − 𝑏 = 𝑐 så är 𝑎 − 𝑐 = 𝑏. Utifrån resultatet framhåller hon att en viktig utveckling i barns matematiska tänkande är när de går från att endast förstå kommutativa lagen till att även förstå matematiska principer relaterat till sambandet mellan addition och subtraktion. Canobi (2005) betonar att förståelse av tals additiva del-helhetsrelationer kan bidra till att utveckla förståelse av de två matematiska principerna. På samma sätt kan förståelse för att operationen 𝑎 + 𝑏 − 𝑏 = __ genererar antalet man hade från början, bidra till kunskap om det inversa förhållandet mellan addition och subtraktion. Liknande resultat fick Nunes et al. (2009) i sin undersökning av effekten av olika typer av undervisningsmetoder om det inversa sambandet mellan addition och subtraktion. Eleverna som deltog fick göra ett förtest innehållande uppgifter som baserades på det inversa förhållandet mellan räknesätten, exempelvis 18 + 7 − 7 = __ samt kontrolluppgifter som inte baserades på sambandet; 11 + 11 − 4 = __. För- och eftertesterna innehöll även uppgifter där eleverna först fick se uppgifter med strukturen 𝑎 + 𝑏 = 𝑐 för att utifrån den uppgiften lösa motsvarande subtraktionsuppgift, 𝑐 − 𝑎 = 𝑏 eller 𝑐 − 𝑏 = 𝑎. Därefter delades de in i två grupper för att få olika typ av undervisning som fokuserade på uppgifter som 𝑎 + 𝑏 − 𝑏 = 𝑎. För den ena gruppen användes centikuber som representationsform av tal. Den andra gruppen fick lära sig om sambandet endast genom muntliga förklaringar, utan någon referens till konkret material. De båda grupperna förbättrade sina resultat på eftertestet, vilket var identiskt med förtestet.
Däremot visade det sig att den grupp som lärt sig det inversa sambandet genom konkret material som representationsform även hade förbättrat sina resultat på uppgifter av typen 𝑎 + 𝑏 = 𝑐; 𝑐 − 𝑎 = __, trots att undervisningen endast varit riktad mot uppgifter som 𝑎 + 𝑏 − 𝑏 = __. Att använda konkret material för att synliggöra hur addition och subtraktion kan upphäva resultaten av varandra (𝑎 + 𝑏 − 𝑏 = 𝑎) kan därför hjälpa elever att förstå hur de kan använda addition för att lösa motsvarande subtraktion (𝑎 + 𝑏 = 𝑐; 𝑐 − 𝑎 = 𝑏) (Nunes et al., 2009).
Det råder enighet om att det inte alltid är självklart för alla elever hur sambandet mellan addition och subtraktion kan användas som en lösningsstrategi vid aritmetikuppgifter. Flertalet forskare (Canobi, 2005; Ching & Nunes, 2017; Gilmore & Bryant, 2006) har undersökt betydelsen av att använda konkret material i undervisningen för att synliggöra matematiska principer och sambandet mellan addition och subtraktion. Att ge elever möjlighet att möta matematiska principer genom olika representationsformer och konkret material kan bidra till att förbättra elevers lärande för de annars abstrakta principerna. Ching & Nunes (2017) betonar vikten av att konkretisera sambandet mellan addition och subtraktion då det visat sig att elever lär sig bemästra principerna när de får referera till konkret material. Canobi (2005) drar å andra sidan slutsatsen att konkret material inte nödvändigtvis bidrar till elevers lärande. Elever kan besitta kunskaper om matematiska principer utan att referera till konkret material, men att det kan vara till hjälp när eleverna ska förklara principerna. I sin undersökning fann Canobi en grupp elever som visade svårigheter med att urskilja principerna när uppgifter presenterades med andra representationsformer än siffror. Resultaten tyder på att skillnaden i elevers förståelse är beroende av tidigare kunskaper om tals relationer samt i vilken grad eleverna är i behov av att koppla matematiken till olika representationsformer och konkret material (Canobi, 2005).
3.4 Teoretisk utgångspunkt
Den här studien har genomförts med inspiration från delar av den fenomenografiska ansatsen, en forskningsansats som uppkommit ur fenomenologin (Larsson, 1986). Både fenomenologi och fenomenografi utgår från att människor förstår fenomen på olika sätt och syftar till att beskriva människors tankar, upplevelser och erfarenheter av något i omvärlden (Dahlgren & Johansson, 2014; Larsson, 1986). Fenomenografin utvecklades
vid Göteborgs Universitet av en forskargrupp inriktad mot pedagogik och utgår från andra
ordningens perspektiv. Det innebär sökandet efter hur något upplevs eller uppfattas snarare
än vad som är sant eller falskt. Det är människans olika sätt att betrakta ett fenomen eller objekt som är av intresse (Larsson, 1986). Fenomenografin har blivit en stor del av den forskning som bedrivs inom lärande, pedagogik och didaktik. Människan förstår fenomen på olika sätt och hur någon uppfattar eller tolkar ett fenomen är beroende av erfarenheter och tidigare kunskaper. Dahlgren och Johansson (2014) framhåller att uppfattningen om ett fenomen är ett resultat av ett lärande och att det sätt människan förstår något utvecklas och förändrar innebörden av fenomenet ju mer kunskap man utvecklar om det.
Den här studien har inspirerats av delar från den fenomenografiska forskningsansatsen. Det finns därför både likheter och skillnader mellan den här studien och andra fenomenografiska studier. I likhet med den fenomenografiska ansatsen har den här studien utgångspunkt i ett väl avgränsat fenomen, vilket i det här fallet utgörs av undervisning som synliggör sambandet mellan addition och subtraktion. Det jag söker är lärares uppfattningar och beskrivningar av hur de gör för att utveckla elevers förståelse för sambandet mellan addition och subtraktion samt hur de beskriver att deras undervisning har förändrats genom att ha deltagit i något utvecklingsprojekt. I resultatet redogör jag för de beskrivningar som framkommer under analysarbetet. Fenomenografi som forskningsansats grundas ofta på empiriska data av intervjuer. Att intervjuer länge varit grunden för ansatsen har att göra med syftet att förstå hur människor erfar och uppfattar något (Larsson, 1986). I likhet med detta utgörs även den här studien av empiriska data som samlats in genom kvalitativ intervju som metod, med syftet att ta del av lärarnas beskrivningar av fenomenet. Däremot skiljer sig studien från andra fenomenografiska studier eftersom jag istället för att redovisa lärarnas kvalitativt skilda uppfattningar i fenomenografisk mening, uppfyller studiens syfte och frågeställningar genom att redogöra för lärarnas beskrivningar utifrån olika beskrivningskategorier.
Det finns även likheter och skillnader i det analysarbete som gjorts. En skillnad är att jag inte låtit någon utomstående granska analysarbetet vilket annars är vanligt i fenomenografiska studier. Larsson (1986) betonar att låta en oberoende granska analysarbete kan bidra till att erhålla objektiv analys. Däremot har jag, i likhet med fenomenografin, varit noggrann med att låta intervjupersonens uttryck vara centrala samt att i analysarbetet och framställning av studiens resultat inte låta mina tidigare kunskaper,
erfarenheter och uppfattningar påverka de beskrivningskategorier som resultatet utgörs av. Studien utgår från andra ordningens perspektiv där jag med inspiration från en fenomenografiska analysprocess låtit beskrivningskategorierna växa fram under arbetet och utgår endast från vad lärarna uttryckt under intervjun.
4 Metod
Kapitlet inleds med en presentation av vald metod för studien, urval och genomförande. Därefter beskrivs hur studiens material har analyserats följt av de etiska ställningstagande som tagits hänsyn till vid genomförandet av studien.
4.1 Kvalitativ intervju
Den metod som använts för datainsamling är kvalitativ intervju, där kunskap produceras genom interaktion och samtal. Larsson (2005) kopplar kvalitativa forskningsmetoder till att gestalta eller karaktärisera något. Till skillnad mot kvantitativa metoder, vilka i korthet används för att beskriva storlek, mängd eller kvantitet, fokuseras kvalitativa metoder till att finna beskrivningar eller kategorier av det som undersöks. Bryman (2016) betonar att kvalitativa metoder inriktas mer på ord än siffror och deltagarnas upplevelser är av mer betydelse än forskarens. Vidare beskriver Kvale & Brinkmann (2014) intervjun som en kontextuell, språklig och social produktion av kunskap som sker utifrån ett ämne av gemensamt intresse. Samtal är ett grundläggande sätt att åstadkomma kunskap på och målet med den kvalitativa intervjun är att ta del av den intervjuades beskrivningar av ett fenomen för att därefter tolka dess innebörd (Kvale & Brinkmann, 2014). Syftet med den här studien är att ge en bild av undervisning som synliggör sambandet mellan addition och subtraktion genom att söka efter skilda beskrivningar av fenomenet. Valet av metod föll därför naturligt på att genomföra kvalitativa intervjuer med verksamma lärare.
I syfte att erhålla intervjupersonernas beskrivningar av undervisning om sambandet mellan addition och subtraktion använde jag en semistrukturerad struktur, vilken kan liknas vid ett vardagssamtal där intervjuaren söker förståelse genom frågor av öppen karaktär (Kvale & Brinkmann, 2014). I den semistrukturerade intervjun finns förutbestämda frågor, däremot behöver frågorna inte ställas i precis ordning och följdfrågorna kan variera beroende på intervjupersonens svar (Bryman, 2016). Med en semistrukturerad intervju gavs möjlighet att i intervjun vara flexibel i följdfrågorna. Intervjupersonernas erfarenheter skiljer sig vilket även påverkar deras svar. Möjligheten att under samtalets gång göra förändringar av frågornas form och ordning ställer krav på att som intervjuare vara väl påläst på ämnet. Genom att vara påläst på ämnet är det också lättare att ställa relevanta frågor och göra förtydligande om så skulle behövas. Vet intervjuaren vilka frågor som ska
ställas finns möjlighet att fokusera på att vara en god lyssnare och aktivt intressera sig för vad intervjupersonen säger (Bryman, 2016).
4.2 Urval
Det urval som gjorts har varit målstyrt och strategiskt. Ett målstyrt urval innebär att deltagare väljs utifrån den relevans de har för undersökningens syfte och forskningsfrågor (Bryman, 2016). Om man vid kvalitativa studier är ute efter en bredd av kategorier eller uppfattningar finns det en risk med att förlita sig på slumpen vad gäller urval av deltagare, eftersom man då riskerar att få många liknande svar. För att möjliggöra att få fatt i olika beskrivningar i enlighet med studiens syfte, är det därför mer fördelaktigt att sprida urvalet till grupper som kan tänkas ha olika uppfattningar (Larsson, 1986). Vidare innebär ett strategiskt urval att man utgår från valda kriterier för vad som är av relevans (Bryman, 2016). I mitt urval har jag utgått från två kriterier. Den första var att de jag intervjuar ska vara utbildade och verksamma lärare i förskoleklass eller årskurs 1–3. Det andra kriteriet var att de ska ha deltagit i ett utvecklingsprojekt som fokuserats på undervisning om addition och subtraktion. Valet av det andra kriterier grundas i att lärarna är väl förtrogna med fenomenet och förhoppning om att de med deras kompetens kan bidra med en djupare kunskap om sambandet mellan addition och subtraktion.
Jag har intervjuat fem lärare verksamma i årskurs 1–3. Tre av de intervjuade har deltagit i utvecklingsprojektet EXTENT2 där de tillsammans med forskare fördjupat sig i
undervisning utifrån en strukturell ansats, där tals additiva del-helhetsrelationer stått i fokus. I utvecklingsprojektet har lärarna planerat, genomfört och reflekterat över undervisning som främjar elevers aritmetiska färdigheter och lärande av addition och subtraktion vid tiotalsövergångar. De andra två som intervjuades arbetar som speciallärare och har tillsammans med kollegor, genom Ämnesdidaktiskt kollegium3, fördjupat sig i
sambandet mellan addition och subtraktion. I första skedet hade jag fler lärare som uttryckt intresse att delta men som sedan tackade nej. Valet att ta med lärare från två olika utvecklingsprojekt grundas i förhoppningen om att få ett bredare urval än om samtliga deltagit i samma projekt. Att intervjua deltagare som är särskilt förtrogna med fenomenet
2 EXTENT: Se eller räkna? Elevers räknestrategier i addition och subtraktion med tiotalövergång 3 Ämnesdidaktiskt kollegium (ÄDK) är en modell där lärare tillsammans med forskare, utifrån
kan bidra till att synliggöra uppfattningar utanför det Larsson (1986) benämner ”normalsynen”.
4.3 Genomförande
Studien inleddes med att jag skickade ut mejlförfrågningar till lärare som jag hade avsikt att intervjua, vilka jag kom i kontakt med genom tips från min handledare för studien. I mejlet fanns en samtyckesblankett (bilaga 1) bifogad med information om syftet med studien och genomförandet av intervjuerna. På grund av restriktioner för Covid-19 fanns det inte möjlighet för lärarna att ge samtycke skriftligt, därför gav lärarna sitt samtycke genom mejl och muntligt vid intervjutillfället. En intervjuguide utformades som grund för materialinsamlingen (bilaga 2). Intervjuguiden omfattade tre huvudfrågor som varje intervju skulle beröra. För varje huvudfråga formulerade jag förslag på följdfrågor i syfte att fördjupa intervjupersonernas beskrivningar och resonemang. Larsson (1986) betonar att det är först när intervjupersonen svarat på frågan som man vet hur frågan tolkats, och först då kan man med följdfrågor få fram uppfattningar och beskrivningar av fenomenet. Intervjuerna genomfördes via mötesplattformen Zoom på grund av restriktioner som Covid-19 medfört. Samtliga intervjuer var enskilda för att jag lättare skulle kunna fånga varje lärares beskrivning av fenomenet och i syfte att intervjupersonerna inte skulle påverka varandra. Jag uppmanade lärarna att genomföra intervjuerna i sina respektive klassrum för att underlätta för dem att visa eventuella exempel och material. Under intervjuerna var det tre lärare som satt i sina klassrum och två av lärarna genomförde intervjun hemifrån. Längden på intervjuerna varierade, den kortaste var 21 minuter och den längsta var 30 minuter. Intervjuerna spelades in med bild och ljud för att i efterhand transkriberas i separata dokument. Transkriptionerna skrevs därefter ut för att analyseras. Det ska tilläggas att de utsagor som citeras i resultatet för studien har reviderats för att göra det mer läsvänligt. Utfyllnadsljud som öh, eh, hm har tagits bort.
4.4 Materialanalys
Med fenomenografin vill man urskilja och beskriva variationer av uppfattningar (Larsson, 1986). För att hitta skilda uppfattningar av fenomenet behöver man i analysen leta efter likheter och skillnader mellan det intervjupersonerna uttrycker, det man söker är essensen
av det någon har uttryckt. I analysarbetet har jag inspirerats av den fenomenografiska analysmodell som beskrivs av Dahlgren & Johansson (2014).
Det första steget i analysen bestod av att bekanta mig med materialet. Efter att intervjuerna transkriberats skrev jag ut dem och läste intervjuerna var för sig. Under läsningen markerade och antecknade jag delar som jag ansåg var relevanta för att svara mot studiens syfte och frågeställningar. Jag markerade utsagorna samt skrev korta anteckningar bredvid om vad som uttryckts i citaten. Det här gav mig en övergripande bild av vad som uttryckts i intervjuerna och en första inblick i hur fenomenet kan uppfattas. I det andra steget analyserades intervjuerna för att finna essensen och det mest betydelsefulla av intervjupersonernas uttalanden. Jag klippte ut de utsagor jag tidigare markerat och som jag ansåg var betydelsefulla, de utsagor som kunde relateras till varandra samlades därefter tillsammans i grupper. I detta skede sorterade jag även bort de utsagor jag ansåg var irrelevanta för studien, till exempel utsagor som beskrev andra delar av matematiken eller som inte berörde sambandet mellan addition och subtraktion.
I det tredje steget jämfördes utsagorna genom att jag tittade på både likheter och skillnader. Jag sökte likheter och skillnader både inom och mellan grupperna av utsagor. Det hjälpte mig att finna variationer av uppfattningar och arbeta fram beskrivningskategorier för skilda sätt att uppfatta fenomenet på. Beskrivningskategorierna som resultatet utgörs av var inte på förhand givna utan växte fram under analysarbetet. Larsson (1986) betonar hur förståelsen av material fördjupas genom att inte nöja sig med de beskrivningskategorier som inledningsvis framkommer. Genom att läsa och reflektera över materialet och utsagorna flertalet gånger kunde jag arbeta fram de beskrivningskategorier som presenteras i resultatet. Jämförelser mellan lärarnas utsagor tydliggjorde vad som innebar kvalitativt skilda sätt att erfara fenomenet. Detta arbete medförde också att nya kategorier formades utifrån materialet. Till en början hade jag inte för avsikt att i resultatet ha med uppfattningar om hur undervisning som synliggör sambandet mellan addition och subtraktion har förändrats genom de utvecklingsprojekt som lärarna deltagit i. Efter att ha kritiskt granskat materialet fann jag det ändå intressant att ha med det i resultatet då det visade sig vara en viktig aspekt för studiens syfte och för de uppfattningar som framkom.
I det fjärde steget grupperades skillnaderna som utgör de olika sätt att uppfatta undervisning som synliggör sambandet mellan addition och subtraktion. Utsagor som
kunde relateras till varandra samlades och skapade grunden för de två utfallsrum som resultatet utgörs av; Uppfattning av undervisning som synliggör sambandet mellan
addition och subtraktion och Uppfattning av hur undervisningen har förändrats. Inom
varje utfallsrum fann jag tre beskrivningskategorier som utgör de skilda sätt lärarna beskriver fenomenet på.
4.5 Forskningsetiska aspekter
När forskning bedrivs ställs krav på arbetets kvalitet såväl som ett etiskt förhållningssätt hos den som forskar (Vetenskapsrådet, 2002, 2017). Vid intervjuer är det särskilt viktigt att den som blir intervjuad känner trygghet i att delge erfarenheter som senare kommer att publiceras offentligt, vilket kräver en balansgång mellan värdefull kunskap och respekt för intervjupersonens integritet (Kvale & Brinkmann, 2014). Informationen som ges ut ska vara riktig och de som deltar ska skyddas från skada och kränkande behandling (Vetenskapsrådet, 2017).
Det finns fyra huvudkrav gällande forskningsetik; informationskravet, samtyckeskravet,
konfidentialitetskravet och nyttjandekravet (Bryman, 2016; Vetenskapsrådet, 2002), vilka
har tagits hänsyn till vid genomförandet av undersökningen för den här studien. I enlighet med informationskravet ska samtliga deltagande informeras om syftet med undersökningen och villkoren för deras deltagande (Vetenskapsrådet, 2002). En samtyckesblankett skickades ut till samtliga deltagande för att informera om studiens syfte, utförande och de deltagandes roll. Vidare fanns även mina kontaktuppgifter om det skulle uppstå frågor kring undersökningen.
Det tydliggjordes också att deras deltagande var frivilligt och att de hade rätt till att när som helst avbryta sitt deltagande utan anledning. Samtyckeskravet innebär att de som deltar ska ha full rätt att själva bestämma över sitt deltagande (Vetenskapsrådet, 2002). Ansvarig forskare ska inhämta samtycke från deltagarna, vilket i det här fallet gjordes genom samtyckesblanketten. På grund av att jag inte har haft möjlighet att träffa lärarna fysiskt gav lärarna sitt samtycke skriftligt via mejl samt muntligt vid intervjutillfället. Den ansvariga forskaren har även krav på att deltagarnas uppgifter förvaras på ett sådant sätt att inga utomstående kan ta del av uppgifterna (Vetenskapsrådet, 2002). I enlighet med konfidentialitetskravet har samtliga intervjuade lärare och skolor avidentifierats. De
inspelade intervjuerna har förvarats på ett sådant sätt att utomstående inte kan ta del av det och materialet kommer raderas efter avslutad studie. Det material som vidare används ska enligt nyttjandekravet endast användas för forskningens ändamål (Vetenskapsrådet, 2002). Data som samlats in från intervjuerna har därför endast använts och analyserats för studiens syfte.
5 Resultat
Syftet med studien är att ge en bild av undervisning som synliggör sambandet mellan räknesätten addition och subtraktion på lågstadiet. Studiens resultat redovisas i två utfallsrum utifrån hur lärarna uppfattar och beskriver undervisning som synliggör sambandet mellan addition och subtraktion samt hur deras undervisning har förändrats genom att ha deltagit i ett utvecklingsprojekt där addition och subtraktion varit i fokus. Nedan illustrerar figur 1 de beskrivningskategorier som framkom vid analysen.
Figur 1: översiktlig bild av resultatet
Utifrån analysen framkom tre skilda sätt på vilka lärarna uppfattar och beskriver undervisning som synliggör sambandet mellan addition och subtraktion; samtidighet
mellan räknesätt, tals del-helhetsrelationer och konkret material och
representationsformer av tal. Det framkom tre skilda sätt på vilka lärarna uppfattar att
undervisningen har förändrats; större fokus på tals del-helhetsrelationer, ökad
medvetenhet om val av representationsform och ökad medvetenhet om subtraktionens betydelse. Lärarna som deltagit har avidentifierats och benämns i resultatet som lärare 1–
5.1 Undervisning som synliggör sambandet
I första delen av resultatet presenteras lärarnas beskrivningar av undervisning som synliggör sambandet och hur lärarna gör för att utveckla elevers förståelse av sambandet mellan räknesätten addition och subtraktion, vilka redovisas nedan.
5.1.1 Samtidighet mellan räknesätt
Det som kännetecknar beskrivningskategorin är ett synsätt där addition och subtraktion inte ses som åtskilda operationer. Lärarna beskriver att de i sin undervisning arbetar med addition och subtraktion samtidigt och lägger vikt vid att eleverna ska se möjligheten att lösa en uppgift både genom addition och subtraktion. Utsagor visar att eleverna inte ska ta fasta på att en viss uppgift ska lösas med bara addition eller subtraktion. Nedan ger en lärare ett exempel på en sådan uppgift, vilken vanligtvis uppfattas som subtraktion.
”Stina har 11 äpplen och Kalle har 15, hur många fler har Kalle?”…Det kan du ju lösa både lägga till upp till 15 och använda subtraktion och ta 15 minus 11. (lärare 1)
Uppgiften i citatet kan lösas genom att räkna addition, 11 + __ = 15, men också subtraktion 15 − 11 = __. Läraren uttrycker vidare vikten av att elever utvecklar förmåga att använda både addition och subtraktion flexibelt. En annan lärare uttrycker att det är ”samtidigheten som är nyckeln” (lärare 2) och beskriver att undervisning om addition och subtraktion samtidigt gör det lättare att synliggöra hur de två räknesätten förhåller sig till och kompletterar varandra. Utsagor visar även att om man i undervisningen fokuserar på ett räknesätt i taget kan det göra att eleverna fäster sig vid ett räknesätt för vissa specifika uppgifter, lärare 5 ger uttryck för det nedan.
Många elever fastnar ju i att om man börjar med addition, då fastnar de i additionen och när det är en additionsuppgift så räknar de bara addition och när det är en subtraktionsuppgift så räknar de bara subtraktion. Men om man kan se sambandet så kan man också använda subtraktion när man ska räkna en additionsuppgift och tvärt om.
Ett sätt som beskrivs för att arbeta med addition och subtraktion samtidigt och synliggöra sambandet mellan räknesätten är att arbeta med flera addition- och subtraktionsuttryck samtidigt. Till vänster i figur 2 nedan visas en triad med talen 9, 5 och 4 som en lärare
ritade upp och visade under intervjun. Läraren beskriver att hon bredvid triaden brukar rita upp alla tänkbara additions- och subtraktionsutsagor, vilka jag konstruerat i efterhand och som visas till höger i figuren. Eleverna får därefter resonera om hur talen kan sättas in i de olika öppna utsagorna för att få ett samband mellan uttrycken och de två räknesätten.
Figur 2: triad av talen 9 | 5 | 4
Beskrivningskategorin kännetecknas av att kunna se helheten i uppgifterna, oavsett vilket räknesätt som används, och att använda det man kan i addition för att lösa en subtraktion. För att eleverna ska utveckla förmågan att använda kunskap om addition för att lösa en subtraktion behöver eleverna se hur addition och subtraktion ”kan vara samma sak”, vilket också bidrar till en djupare förståelse av matematik, lärare 1 ger uttryck för det i citatet nedan.
Du kan ju vara ganska duktig på matte och kunna addition och subtraktion men inte förstå hur de hör ihop, du förstår det inte på djupet. Du kan inte se helheten i uppgiften, du kan inte använda det för att lösa ett annat, du kan inte använda det du kan i addition för att lösa en subtraktion, du ser inte hur det kan vara samma sak. (lärare 1)
Det framkommer även i lärarnas resonemang att sambandet mellan addition och subtraktion uppfattas som en princip, ett visst matematiskt tänkande som kan appliceras på inte bara addition och subtraktion utan också multiplikation, division och inom högre talområde.
Har man väl förstått sambandet, både addition och subtraktion och multiplikation och division, då drar man ju nytta av det. Det spelar liksom ingen roll vilka tal det är man
jobbar med. Utan man kan själva principen för sambanden. […] Man ser progressionen i matematiken. (lärare 2)
I de två citaten ovan uttrycks en progression i matematiken och att det är betydelsefullt att eleverna förstår principen för sambandet mellan olika räknesätt. Lär sig eleverna använda sambandet mellan addition och subtraktion kan de utnyttja principen även för multiplikation och division. Utsagor visar att det inte då spelar någon roll om man använder exempelvis miniräknare, huvudräkning eller skriftlig räknemetod för att lösa ett problem, det är förståelsen av principen som är centralt. Förståelse av sambandet mellan addition och subtraktion skapar förutsättningar för elever att flexibelt välja mellan addition och subtraktion, multiplikation och division oavsett vilken uppgift det är.
Återkommande i utsagorna är lärares upplevelser av att elever inte använder den kunskap de redan besitter vilket gör att sambandet mellan addition och subtraktion inte kommer till användning. Det beskrivs att elever ska få syn på hur exempelvis lösningen på en uppgift kan utnyttjas i en annan behöver undervisningen behandla addition och subtraktion parallellt. I citatet nedan resonerar en lärare om uppgifterna 9 − 5 = __ och __ + 4 = 9. Lärare 2: De tar varje uppgift som en ny uppgift. De ser inte både och, de utnyttjar inte
ledtrådar kan man säga. För har man båda uppgifterna kan man utnyttja att man har femman i den andra.
Intervjuare: Kan du beskriva mer vad du menar med ledtrådar?
Lärare 2: Jag tänker då på mönstret. Den med _ + 4 = 9, då hade man kunnat tänka att aha då ser de det utan att man behöver visa på det. De ser det av sig själva, men alla gör inte det. Utan man behöver peka på, eller rikta fokus på det för att de ska uppmärksamma det.
Läraren uttrycker att eleverna behöver för de här två uppgifterna få syn på hur kunskapen om relationen mellan talen 9 | 5 | 4 kan utnyttjas för att effektivt kunna lösa olika additions- och subtraktionsuppgifter med de tre talen. När eleverna har löst uppgiften 9 − 5 = __ kan de sedan använda talet 5 som ledtråd i uppgiften __ + 4 = 9. Lärarna uttrycker att det är viktigt att rikta elevernas uppmärksamhet på att se hur uppgifter kan relateras till varandra oavsett vilket räknesätt det är.
5.1.2 Tals del-helhetsrelationer
Till skillnad från det som kännetecknar undervisning om addition och subtraktion parallellt, framkommer det i den här beskrivningskategorin att undervisning om tals del-helhetsrelationer är en förutsättning för att synliggöra sambandet mellan räknesätten addition och subtraktion. Kategorin kännetecknas av att sambandet mellan addition och subtraktion relateras mer till taluppfattning än om själva räknesätten. Räknesätten anses istället vara ”ett språk” (lärare 3) för att kunna dela upp och sätta samman tal.
Det är inte bara för att förstå sambandet och kunna använda det till exempel då för att kontrollräkna eller för sakens skull utan det handlar verkligen om att vi behöver undervisa för att de ska få den taluppfattningen för att kunna bli flexibla i sitt tänkande om tal. (lärare 3)
Läraren uttrycker i citatet ovan att undervisning om sambandet mellan addition och subtraktion är viktig för att eleverna ska utveckla god taluppfattning och utveckla flexibilitet i tänkandet om talrelationer, vilket görs genom att undervisa om hur tal kan delas upp. Ett sätt som beskrivs för att synliggöra tals del-helhetsrelationer är att använda talblock. En lärare berättar och visar under intervjun hur talet 5 kan delas upp i delarna 3 och 2 med hjälp av talblock, vilket illustreras i figur 3.
Figur 3 (i färg): Illustration av talblock
Om vi säger att det här är fem [håller upp talblock 5]. Och så 3 [håller upp talblock 3]. Och så har jag 2 [håller upp talblock 2]. De är ju talkamrater [lägger talblock 3 och 2 på 5]. Då kan man
jobba med att 5 kan jag dela upp i 3 och 2. Och så tar jag bort den ena, vad har jag kvar då? [plockar bort talblock 2]. (lärare 2)
När elever lär sig tals del-helhetsrelationer kan de därefter lära sig hur de tre talen förhåller sig till varandra i både additions- och subtraktionsuppgifter. I citatet nedan förklarar en lärare även hur förståelse av tals del-helhetsrelationer gör det lättare för elever att ta sig an problem där likhetstecknet är placerat i början istället för på slutet av uppgiften.
Om man ser sambandet mellan addition och subtraktion då är det ju helhet och delar, ofta med likhetstecknet så fastnar många elever i att likhetstecknet står på slutet och sen kommer svaret, sen kan de ha svårt för sådana tal som 5 = __ + 3, har de då koll på helhet och delar så vet man att det är en del som saknas. (lärare 5)
Lärarna uttrycker det viktigt att eleverna vet var de ska börja i uträkningen och även vet om det är ett tal som helhet eller del som efterfrågas och då är grunden förståelse av tals del-helhetsrelationer. Det handlar då främst om att förstå helhet och delar i relation till talen; hur tal kan delas upp, men också uppgiftens struktur; att veta vad som är vad i uppgiften. Lärare 4 uttrycker vidare att förståelse av tals del-helhetsrelationer gör att de förstår addition och subtraktion bättre, även om undervisningen inte direkt riktas mot räknesätten och deras egenskaper.
5.1.3 Konkret material och representationsformer av tal
Kännetecknande för den här beskrivningskategorin är lärarnas syfte med att använda konkret material och olika representationsformer som verktyg i matematiken. Det går att urskilja uppfattningen att matematikundervisningen handlar om att utveckla verktyg för att förstå och effektivt kunna lösa problem. Ett sätt som lärare beskriver utvecklar elevers förståelse av sambandet mellan addition och subtraktion är att arbeta utifrån en konkret situation och övergå till en allt mer abstrakt situation. Nedan berättar en lärare att hon utgår från en konkret och praktisk situation där eleverna utforskar och upptäcker hur tal kan delas upp.
Jag brukar börja med något praktiskt först och sen brukar jag använda något plockmaterial, klossar eller så där de får dela upp, och sen kanske talblocken. Så jag utgår från helkonkret och sen går till halvkonkret material, halvabstrakt och sen över
I citatet uttrycker läraren hur arbetet sker i olika situationer med hjälp av olika material och representationsformer. Undervisningen utgår från konkreta vardagssituationer som eleverna är bekanta med för att med hjälp av olika representationsformer övergå till det abstrakta symbolspråket i matematik. Under intervjun delade läraren skärm och visade bilden i figur 4 nedan. Bilden illustrerar hur uppdelning av talet 7 och sambandet mellan räknesätten addition och subtraktion kan konkretiseras genom att arbeta från en konkret situation till det abstrakta symbolspråket.
Figur 4: Skärmbild som visar hur uppdelningen av talet 7 kan synliggöras i en konkret, halvkonkret,
halvabstrakt och abstrakt representation.
Läraren berättar att en konkret representation kan vara att spela bowling, där eleverna har ett antal bowlingkäglor och upptäcker strukturen för hur ett tal kan delas upp genom att se hur många käglor som faller ned respektive står kvar. Vidare berättar hon att en halvkonkret representation kan vara att arbeta med talblock eller tärningsbilder på dominobrickor där tals del-helhetsrelationer synliggörs visuellt. Det är först i en halvabstrakt representationsform som symbolspråket används, då genom en triad av talen tillsammans med addition- och subtraktionstecken. Den abstrakta representationsformen utgörs av endast matematiska symboler. En annan lärare betonar även att variationen av konkreta och abstrakta representationsformer är något man behöver arbeta med frekvent.
Det är inte alltid barnen förstår om jag bara säger ett tal, de behöver liksom se det framför sig. Jag tänker det här konkret – halv konkret – abstrakt. Kan de det inte när det är i en abstrakt situation så får man backa till konkret och jobba sig framåt. (lärare 2)
I citatet uttrycker läraren vikten av att visualisera talen för eleverna och möjliggöra för eleverna att utveckla förståelse i varierade situationer och sammanhang, med varierade
konkreta material och representationsformer. Lärarna beskriver även hur eleverna får upptäcka och utforska tals relationer och samband mellan addition och subtraktion innan regler och principer inom matematik.
Det finns regler som kommutativa lagen till exempel, det behöver man ju veta. Men jag tänker att man behöver få syn på det innan man säger att det är en regel. Jag tror det blir mer naturligt, eller att barn upptäcker det själva innan, om de upptäcker någonting och man säger och visar på att ”ja så är det därför att det finns den här regeln” eller vad man ska säga. (lärare 5)
I lärarnas resonemang framkommer vikten av att eleverna får möjlighet att utforska och möta matematik på olika sätt i vardagliga sammanhang, som innefattar både konkreta och abstrakta material och representationsformer av tal.
5.2 Förändring av undervisning
I andra delen av resultatet presenteras uppfattningar av hur undervisning som synliggör sambandet mellan addition och subtraktion har förändrats genom att lärarna deltagit i ett utvecklingsprojekt där räknesätten addition och subtraktion varit i fokus. De tre beskrivningskategorierna redovisas nedan.
5.2.1 Större fokus på tals del-helhetsrelationer
Utsagor visar en förändring i sättet lärarna introducerar och arbetar med de två räknesätten addition och subtraktion. Det kan urskiljas att lärarna innan utvecklingsprojekten gjorde en större skillnad mellan räknesätten än vad de gör nu. I citatet nedan belyser en lärare två olika ingångar för hur man kan introducera sambandet mellan räknesätten för eleverna, antingen genom att särskilja de två räknesätten och deras egenskaper eller att utgå från delarna i en uppgift och hur tal kan delas upp.
Innan började man ju med addition, och sen jobbade man med det. Sen försökte du visa sambandet när du började arbeta med subtraktion. Nu börjar vi med uppdelning av tal. Vi pratar inte om addition eller subtraktion. (lärare 1)
En annan lärare uttrycker även att det blir lättare för eleverna att upptäcka sambandet mellan räknesätten om man utgår från tals helhet och delar, eftersom ”då kommer addition och subtraktion automatiskt” (lärare 5).
Det som kännetecknar beskrivningskategorin är att lärarna innan utvecklingsprojektet uppfattade det centrala innehållet ”de fyra räknesättens egenskaper och samband samt användning i olika situationer” (Skolverket, 2019, s. 55) mer kopplat till räknesätten än de ingående talen i uppgifterna. En lärare uttrycker hur räknesätten nu är mer ett språk för att arbeta med uppdelning av tal.
Jag såg mer på själva räknesättet från början. Sambandet mellan addition och subtraktion, när jag läste det och tittade i kursplanen, då tänkte jag mer på räknesätten och att man använder tal i räknesätten […] Nu tänker jag mer på själva talen och talens delbarhet och hur man kan dela upp tal och sätta samman tal, och då är räknesätten mer ett språk för att göra det. (lärare 3)
I utsagorna uttrycks det att lärarna, innan utvecklingsprojektet, kopplade sambandet mellan addition och subtraktion till själva räknesätten och undervisningen behandlade de två räknesätten vid olika tillfällen. En skillnad i lärarnas uppfattningar av sambandet mellan addition och subtraktion är att det nu mer beskriver tals del-helhetsrelationer. Till skillnad från att undervisa om räknesätten och deras egenskaper undervisar lärarna nu om tals relationer och låter räknesättens samband komma i efterhand. För beskrivningskategorin finns även uppfattningen att sambandet mellan addition och subtraktion tidigare kopplades till att använda det motsatta räknesättet för att kontrollera sina lösningar.
När jag tänker på det så såg jag det nog mer tidigare som en följd, att man kunde kontrollera räknesätten med hjälp av 2 + 3 = 5; jag har 5, tar bort 3 och har 2 kvar, den här följden i det. Nu ser jag det mer som kopplat till själva talen mer än tidigare. (lärare 3)
Här uttrycks att det inversa förhållandet användes för att kontrollräkna uträkningar utifrån synen att addition och subtraktion är två skilda räknesätt som används för skilda syften. Från utsagorna går det att urskilja uppfattningen att det inversa förhållandet innebär att addition och subtraktion är två motsatta operationer som används som en rutin för att se om en uträkning stämmer snarare än hur de båda räknesätten kan användas som lösningsstrategi vid matematiska problem.
5.2.2 Ökad medvetenhet om val av representationsform
Utmärkande för beskrivningskategorin är uppfattningen att lärare behöver vara medvetna om syftet med konkret material och hur det kan utveckla elevernas lärande om sambandet
mellan addition och subtraktion. Det framkommer i lärarnas resonemang att de efter att ha deltagit i utvecklingsprojekt har ökad medvetenhet om på vilka sätt olika representationsformer och konkret material möjliggör lärande. Nedan uttrycker en lärare det mer effektivt att använda mindre konkret material och istället arbeta med att utveckla minnesbilder för tal.
För att sitta och jobba med plockmaterial när de inte kan, det ger ingen minnesbild, det ger inget på sikt. Att göra det först för förståelsen tycker jag är en sak, men att sitta med plockmaterial på lektionerna tycker jag är ganska lönlöst för det ger ingen minnesbild. (lärare 3)
I citatet framkommer det att konkret material är något som kan användas för att utveckla en grundläggande förståelse av tals del-helhetrelationer. Läraren berättar att det kan vara plockmaterial som klossar och med hjälp av klossar kan elever utveckla förmågan att dela upp tal på olika sätt, det uttrycks däremot vara en ohållbar metod i längden. Utsagor visar att lärarnas användning av konkret material har minskat efter att de deltagit i något av utvecklingsprojekten. I följande citat framkommer att medvetna val av konkret material och representationsformer i undervisningen leder till att läraren använder ett och samma material eller representationsform mer konsekvent.
Lärare 1: Jag använder mindre konkret material. Men det jag använder det använder
jag väldigt mycket. Och då är det fingertalen liksom. Innan var det linjaler och det var stickor. Hundrarutan kan jag använda ibland för att visa mönster.
Intervjuare: När du säger mönster, vad menar du då?
Lärare 1: Till exempel att du kan använda det du kan i lilla subtraktion 0–10 kan du även använda högre upp. Och då använda fingertalen där också. Att koppla det till hundrarutan tycker jag kan vara bra. Men jag använde sånt mycket mer förut.
Läraren berättar under intervjun att hon använder elevernas fingrar som representationsform av tal. Med fingertal menas att istället för att räkna på fingrarna och hålla upp ett finger för varje räkneord används fingrarna för att på ett strukturerat sätt gruppera fingrar för att dela upp och sätta samman tal. Det uttrycks viktigt att erbjuda eleverna konkret material och representationsformer som är ändamålsenliga och som går att använda även i andra delar av matematiken. Enligt lärarna är det viktigare att utveckla
hållbara strategier och verktyg som eleverna alltid kommer kunna använda, där fingertalen är ett sådant. Läraren använder mindre konkret material i undervisningen efter utvecklingsprojektet, men fingertalen används frekvent eftersom ”det är ett sådant konkret material som man alltid har med sig” (lärare 1).
5.2.3 Ökad medvetenhet om subtraktionens betydelse
Kännetecknande för den här beskrivningskategorin är lärarnas upplevelse av att elever ofta har svårare för subtraktion jämfört med addition. Undervisning om uppdelning av tal och att eleverna ska se tal istället för att utföra enstegsräkning uttrycker lärarna har bidragit till att elevernas förståelse av subtraktion har utvecklats, vilket kan vara en följd av att de två räknesätten numera inte ses som åtskilda. En lärare uttrycker att ”den största skillnaden är att inte enstegsräkna”. Läraren berättar vidare att de innan utvecklingsprojektet arbetade med enstegsräkning med ett räknesätt i taget, där man på tallinjen hoppade åt vänster vid subtraktion eller åt höger vid addition, ett steg för varje räkneord. Det framkommer i lärarnas resonemang att det däremot är svårt att då belysa och se sambandet mellan addition och subtraktion. I citatet nedan beskrivs vidare en förändring i såväl undervisning som elevernas lärande.
Men när vi nu har arbetat på det nya sättet och att vi använder fingertal och att vi ska se tal och inte räkna, då faller det sig naturligt att antingen räkna uppåt eller räkna nedåt. Då blir det inte sån stor skillnad mellan de två räknesätten som det var innan. Så nu mina elever, när vi gör utsagor eller textuppgifter, vissa räknar uppåt och vissa räknar nedåt, de har båda sätten, det spelar inte så stor roll. Men innan var det att eleverna hade mycket lättare för additionen och sen jobbade man med subtraktionen och då var det jättesvårt. Nu är det ingenting sig likt efter den här studien, de har jättelätt för båda räknesätten och speciellt subtraktionen. (lärare 4)
I citatet ovan uttrycks det att om elever utvecklar förmågan att se tal som sammansatta enheter istället för att enstegsräkna gör det att de får det lättare att ta sig an problem genom att se möjligheten att använda antingen addition eller subtraktion. En annan lärare uttrycker även svårigheten med subtraktion i citatet nedan och betonar hur krävande det är för elever att enstegsräkna. Det framkommer även i denna utsaga problematiskt om eleverna inte har utvecklat förståelse av uppdelningen av tal när de senare ska lösa subtraktionsalgoritmer, det vill säga skriftlig räknemetod för subtraktion.
Det är ju jätteenergikrävande att sitta och räkna uppåt och nedåt på fingrarna, det går väl an i ettan och göra de här beräkningarna men det är ju jättesvårt sen när man ska använda sig av detta innehåll i dels högre talområde men sen om de ska göra algoritmer (lärare 3)
För att eleverna effektivt ska kunna lösa subtraktion med skriftlig räknemetod behöver eleverna ha utvecklat förståelse av dels sambandet mellan addition och subtraktion men också hur tal kan delas upp. Det är för att eleven inte ska fastna i räknandet utan istället lägga energin på utförandet, själva räknemetoden, och på så sätt ”komma vidare i matematiken” (lärare 3).
6 Diskussion
I avsnittet diskuteras inledningsvis studiens metod, materialinsamling och tillförlitlighet. Därefter diskuteras studiens resultat i relation till tidigare forskning. Slutligen ges förslag på vidare forskning inom ämnesområdet.
6.1 Metoddiskussion
Då fenomenografin söker finna olika uppfattningar om ett fenomen är det inte frågan om att ge en bild av vad som är rätt eller fel. Jag har med studien avsikt att ge en bild av lärares uppfattningar och beskrivningar av undervisning om sambandet mellan addition och subtraktion samt visa hur lärarna gör för att utveckla elevers förståelse av ämnesinnehållet. Jag vill därmed inte påstå att ett sätt är bättre än något annat, utan bidra med kunskap om hur undervisning som synliggör sambandet mellan räknesätten addition och subtraktion kan bedrivas. Valet att genomföra intervjuer som metod för studien gav mig god möjlighet att söka efter lärarnas erfarande och uppfattningar om fenomenet. Däremot kan resultatet ha påverkats av att jag inte har några tidigare erfarenheter av att genomföra kvalitativa intervjuer. För att bli en skicklig intervjuare krävs övning och erfarenhet (Bryman, 2016). Kvale och Brinkmann (2014) betonar vikten av att åstadkomma intervjupersonens spontana beskrivningar av fenomenet. Det kräver intervjuarens förmåga att både aktivt lyssna och samtidigt avgöra vilka följdfrågor som är lämpliga att ställa för att få så uttömmande svar som möjligt.
Jag hade till en början inte för avsikt att fokusera på hur lärarna uppfattar att deras undervisning och elevernas lärande har förändrats genom att ha deltagit i något av utvecklingsprojekten. I analysen framkom det däremot att lärarna, utan att jag direkt ställde frågan, beskrev sina uppfattningar genom att jämföra med hur de tidigare tänkt och uppfattat fenomenet. Det visade sig vara en viktig del av lärarnas uppfattningar och jag fann det därför intressant att ha det som en frågeställning. Dahlgren och Johansson (2014) betonar att uppfattningar inte är något statiskt utan kan förändras och utvecklas genom erfarenheter och fördjupade kunskaper om fenomenet, vilket vi kan se i lärarnas beskrivningar i resultatet. Om jag hade fokuserat än mer på den frågeställningen i intervjun är det möjligen så att resultatet hade blivit mer utvecklat och jag hade med följdfrågor kunnat få fram fler och mer uttömmande resonemang från lärarna. Trots det och
tillsammans med den lilla erfarenhet jag har av att genomföra kvalitativa intervjuer anser jag mig ha kunnat svara på studiens syfte och frågeställningar.
Kriterierna för inklusion i studiens urval kan även ha påverkat de utfallsrum som resultatet utgörs av. Samtliga lärare har deltagit i ett utvecklingsprojekt och är erfarna lärare inom matematik. Två av lärarna arbetar även som speciallärare inom matematik. En tanke jag ställer mig är hur resultatet hade förändrats om kriterierna för inklusion var andra. Om jag i mitt urval även inkluderat lärare som inte deltagit i något utvecklingsprojekt, eller om jag hade genomfört fler än fem intervjuer, kan det tänkas ha tillkommit ytterligare någon beskrivningskategori eller tillkommit utsagor som beskrivit fenomenet på ytterligare sätt.
Eftersom jag inte haft möjlighet att ta mig ut till de skolor lärarna arbetar på genomfördes samtliga intervjuer via mötesplattformen Zoom. En tanke jag får är om det hade blivit ett annat resultat om jag haft möjlighet att genomföra intervjuerna på plats i lärarnas klassrum. Möjligtvis hade jag kunnat utnyttja den sociala interaktionen på ett annat sätt och fått fram fler och tydligare exempel än vad jag kunde via videosamtal, vilket även uttrycktes av en lärare; ”det här låter ju jätteflummigt hör jag nu, men det är svårt att förklara såhär”. När lärarna visade och ritade exempel har jag i vissa fall kunnat ta en skärmbild från den inspelade intervjun, men i flera fall syns intervjupersonen i bild samtidigt vilket inte är i enlighet med de forskningsetiska aspekterna som tagits hänsyn till i studien. Om intervjuerna hade skett på plats hade jag lättare kunnat skildra de exempel och det material som lärarna visade upp.
6.2 Resultatdiskussion
Resultatet visar skilda sätt att erfara och undervisa om sambandet mellan addition och subtraktion samt uppfattningar av hur sambandet mellan de två räknesätten kan ge implikationer för undervisningen. Forskning (Baroody, 1999; Canobi, 2005) visar att sambandet mellan addition och subtraktion är en viktig grund i aritmetiken vilket även går att urskilja i resultatet för studien. De olika uppfattningarna som framkommit i resultatet grundar sig i att utveckla förståelse av sambandet mellan addition och subtraktion genom att eleverna får syn på tals relationer. Både tidigare forskning (Baroody, 2016; McIntosh, 2008) och lärarna i studien lyfter att elever vanligtvis har svårare för subtraktion än addition. Det visar sig i resultatet vara fördelaktigt att arbeta med addition och subtraktion
parallellt och att det bidrar till att förändra synen om att subtraktion är svårt. Genom att undervisa om addition och subtraktion samtidigt, som lärarna beskriver i beskrivningskategorin Samtidighet mellan räknesätt, kan eleverna få syn på hur räknesätten kompletterar varandra, vilket kan tänkas bidra till utvecklade kunskaper om subtraktion. När eleverna får syn på hur addition och subtraktion kan användas för samma syfte, kan de utveckla tilltro till sin matematiska förmåga. Att utveckla tilltro till sin matematiska förmåga är även en del av syftet för ämnet matematik (Skolverket, 2019). Genom medvetenhet om hur addition och subtraktion kan komplettera varandra utvecklas även elevernas förmåga att ”växla mellan perspektiv, ta till nya metoder och reflektera över vad man gör och vad resultatet blir” (Skolverket, 2017, s. 5). Elever ska få möjlighet att utveckla strategier i matematiken som kan appliceras på bekanta som obekanta situationer (Skolverket, 2017, 2019). Resultatet visar att om elever utvecklar förmågan att dra nytta av sambandet mellan addition och subtraktion kan de effektivisera sitt räknande och matematiska tänkande.
När elever ska ta sig an ett problem är det för beskrivningskategorin Tals
del-helhetsrelationer fördelaktigt att eleverna fokuserar på de ingående talens relation istället
för att ta sig an problemet genom att fokusera på vilket räknesätt som står i uppgiften. För den här beskrivningskategorin kopplar lärarna sambandet mellan addition och subtraktion till den grundläggande taluppfattningen och som det uttrycks i kategorin Större fokus på
tals del-helhetsrelationer pratar de inte om räknesätten innan eleverna utvecklat förståelse
av tals helhetsrelationer. Intressant att diskutera är uppfattningen av om tals del-helhetsrelationer ska automatiseras eller inte. Neuman (1987, 2013) menar att om elever inte tidigt lär sig sambandet mellan addition och subtraktion och hur tal kan delas upp fastnar de i den kognitivt krävande dubbelräkningen som tar både tid och energi, vilket även uttrycks i resultatet för den här studien. Lärarna beskriver också att om elever lär sig tals del-helhetsrelationer utantill kan de istället använda kunskaper om relationen mellan talen och se vilken del som fattas i uppgiften. Om en elev exempelvis har automatiserat del-helhetsrelationen för talen 5 | 3 | 2 kan eleven direkt se att delen 3 fattas i uppgiften 2 + __ = 5. Samtidigt går det att urskilja uppfattningen av att eleverna möjligtvis då lär sig något utantill utan att förstå varför. Det framkommer viktigt att eleverna förstår vad de gör samt varför tal förhåller sig på ett visst sätt till en uppgift, det vill säga vad talen står för.
Utöver automatisering av tals del-helhetsrelationer visar resultatet betydelsen av att undervisningen är utforskande. Det kan innebära att elever får möta matematik i vardagen för att därefter utveckla förmågan att använda den förståelsen i mer abstrakta kontexter och med matematiska symboler. Det är kunskaper som även betonas i kursplanen för matematik, eleverna ska bli förtrogna med matematikens uttrycksformer i vardagliga som matematiska sammanhang (Skolverket, 2019). Intressant är även förståelsen för hur undervisningen påverkas av lärarens sätt att uppfatta och tolka läroplanens innehåll, något som betonas i beskrivningskategorin Större fokus på tals del-helhetsrelationer. I ett av citaten hänvisar läraren till hur uppfattningen av det centrala innehållet ”de fyra räknesättens egenskaper och samband samt användning i olika situationer” (Skolverket, 2019, s. 55) har ändrats, vilket även påverkat undervisningen. Detta visar att räknesättens egenskaper och samband kan innebära både undervisning om de enskilda räknesätten men även som tals del-helhetsrelationer. Hur ett centralt innehåll tolkas av lärare kan därför tänkas påverka vilken typ av undervisning och lärande eleverna erbjuds.
Forskning (Ching & Nunes, 2017; Nunes et al., 2009) visar att användning av konkret material och olika representationsformer kan vara fördelaktigt för eleverna när de utvecklar kunskap om sambandet mellan addition och subtraktion. Samtidigt går det utifrån Canobis (2005) studie att dra slutsatsen att det inte är så enkelt som att erbjuda elever konkret material och tro att eleverna lär sig genom det. På liknande sätt framkommer det i resultatet hur lärarna anser att sättet som konkret material används blir avgörande för vad eleverna utvecklar förståelse av. För beskrivningskategorin Konkret material och representationsform av tal framkommer att gå från en konkret till abstrakt situation kan
gynna elevers lärande för de matematiska principerna, vilket överensstämmer med resultatet av Ching och Nunes (2017) studie. Vidare argumenterar Canobi (2005) för att det inte är det konkreta materialet i sig som utvecklar elevers lärande. Detta överensstämmer med vad lärarna uttrycker i beskrivningskategorin Ökad medvetenhet av
val av representationsform. Lärare beskriver hur de använder mindre konkret material. Det
går att urskilja en förändring i lärarnas uppfattning som skulle kunna visa på hur det konkreta materialet används och vad lärare har för avsikt med det är av mer betydelse för elevers lärande än att använda flera olika former av material. I resultatet framkommer uppfattningen att konkret material ibland används utan något riktigt syfte med det. Om det inte finns en tydlig tanke bakom varför och hur det konkreta materialet eller
