Lecture_6_Introduction. Trigonometri.pdf: MVE605 Inledande matematik

(1)

Föreläsning 6 i Intromatematik för Automation och

mekatronik/Teknisk design.Trigonometri.

De…nitionen av sin och cos av vinklar i en rätvinklig triangel. sin( ) = b=c; cos( ) = a=c

1 Ehetscirkel och godtyckliga vinklar.

Längden av cirkel och vinklar.

De…nitionen av sin( ) och cos( ) för godtyckliga vinklar _{2 R.} Jag påminner att längden av hela enhetscirkeln är lika med 2 .

är andra viktiga exempel av irrationella tal.

360 grader svarar mot 2 . 180 grader svarar mot ; 45 grader svarar mot =4; 30 grader svarar mot =6; 60 grader svarar mot =3.

90 grader svarar mot =2. Speciella vinklar. 45 ; 30 ; 60 :

(2)

Vinklar mäter man i enheter som kallas radianer. Vi de…nierar värdet av vinkeln t på bilden som båglängden av den båge på cirkeln som går från punkten A(1; 0) på x - axeln - till den punkten Pt på cirkeln som svarar mot vinkeln t:

Trigonometriska ettan. (Pythagorsatsen för triangeln QtPtO)

cos2(t) + sin2(t) = 1

Periodicitet. (tillägg n varv moturs eller medurs, d.v.s. n(2 ) eller n( 2 ))

sin(t n2 ) = sin(t) cos(t n2 ) = cos(t) Udda och jämna funktioner.

sin( t) = sin(t) cos( t) = cos(t)

sinär en udda funktion och cos är en jämn funktion. Komplementära vinklar =2 t ; t :

(3)

cos( =2 t) = sin(t) sin( =2 t) = cos(t)

Lite exempel med speciella vinklar.

2 Additionsformler

cos(s + t)) = cos(s) cos(t) sin(s) sin(t) cos(s t) = cos(s) cos t(t) + sin(s) sin(t)

sin(s + t) = sin(s) cos(t) + sin(t) cos(s) sin(s t) = sin(s) cos(t) sin(t) cos(s)

(4)

Vi kommer att bevisa formeln cos(s t) = cos(s) cos t(t) + sin(s) sin(t)och ritar en bild med alla tre vinklar s, t, (s t) och motsvarande punkter på enhetscirkeln: Ps, Pt, Ps 1:

Vi observerar att trianglar OAPt soch OPtPshar samma vinkel vid hörnet O och

likadana sidor vid den vinkeln (radien av cirkeln). Detta medför att dessa trianglar är lika (kongruenta om man gillar latin:)). Detta i sin tur medför att längder av sidor PsPtoch Ps tA är lika. Vi betraktar likheten för deras kvadrater som är alltid

lämpligare i beräkningar.

(PsPt)2 = (Ps tA)2

Vi uttrycker dessa längder i termer av punkternas koordinater. Allmänna formeln för två godtyckliga punkter P1; P2 är:

[Avstand(P1; P2)] 2

= (x1 x2)2+ (y1 y2)2

Vi tillämpar det för två par punkter: PsPt och Ps tA där punkterna har

föl-jande koordinater: Ps(cos(s); sin(s)), Pt(cos(t); sin(t)), Ps t(cos(s t); sin(s t)),

och A(1; 0). Vi sätter dessa koordinater i allmänna formeln för varje par punk-ter: Avstand (Ps; Pt) och Avstand (Ps t; A)och får ett konkret uttryck av likheten

(PsPt)2 = (Ps tA)2ovan i termer av punkternas koordinater.

(cos(s) cos(t))2 + (sin(s) sin(t))2 = (cos(s t) 1)2+ (sin(s t) 0)2

Beräkna alla kvadrater:(cos(s) cos(t))2, (sin(s) sin(t))2, (cos(s t) 1)2; (sin(s t) 0)2 och sätt dem in i sista ekvationen:

cos2s 2 sin s sin t 2 cos s cos t + cos2t + sin2s + sin2t = cos2(s t) 2 cos(s t) + 1 + sin2(s t)

(5)

1 2 sin s sin t 2 cos s cos t + 1 = 1 2 cos(s t) + 1

cos(s t) = cos(s) cos(t) + sin(s) sin(t) Formler för dubbelvinklar och halvvinklar.

Om vi tar s = t i additionsfomler ovan, så får vi mycket lämpliga formler för dubbelvinklar och för halvvinklar.

cos(2t) = cos2(t) sin2(t)

= cos2(t) + cos2(t) cos2(t) sin2(t)

| {z }

1

= 2 cos2(t) 1

= 2(1 sin2(t)) 1 = 2 2 sin2(t) 1 = 1 2 sin2(t)

sin(2t) = 2 sin(t) cos(t)

Genom att lösa ut cos2_(t) _{och sin}2_(t) _{från andra och tredje formeln för cos(2t)}

får man formler för cos2 _{och sin}2 _{av halvinklar:}

cos2(t) = 1 + cos(2t) 2 sin2(t) = 1 cos(2t)

2

VI får kommentera att alla värden av sin och cos för multipla vinklar: cos(nt) och sin(nt) kan uttryckas som ett komplicerat polynom av sin(t) och cos(t) av grad n.

3 Andra trigonometriska funktioner

tan(t) = sin(t)

cos(t); tg(t) : •ar_en_alternativ_beteckning

Tangens är en funktion, de…nierad utanför punkter där cos(t) = 0, d.v.s. =2 n( ): Detta svarar mot vinklar 90 grader och 270 grader o.s.v.

cot(t) = 1 tan((t) =

cos(t)

sin(t); ctg : •ar_en_alternativ_beteckning

Kotangens är en funktion de…nierad utanför punkter där sin(t) = 0, d.v.s. n( ): I en rätvinklig triangel med sidor a och b

cot(t) = a b tan(t) = b a

(6)

4 Sinusregeln och cosinusregeln

Vi kan bevisa cosinusregeln med att tillämpa Pythagorsatsen och de…nitioner för sin och cos. c2 = h2+ (a b cos C)2 för C < =2 = h2+ (a + b cos( C))2 för C > =2 = h2+ (a b cos C)2 = b_{| {z }}2sin2C =h2

+ a2 2ab cos C + b2cos2C

= a2 2ab cos C + b2sin2C + b2cos2C

= a2 2ab cos C + b2 0 B @sin2C + cos2C | {z } =1 1 C A = a2 2ab cos C + b2

(7)

5 Övningar i trigonometri.

Exercises P7 i Adams, Övning 6.

Beräkna sin(11₁₂). Använd inte kalkulator eller tabeller.

sin 11 12

Vi kollar först om den vinkeln kan uttryckas i termer av en välkänd vinkel

11 12 = 12 12 1 12 = 1 12 1

12 är 15 gradersvinkeln som är halvan av 30 grader.

Vi kan använda regler för komplementa vinklar

(8)

6

sin 11 12 = sin 1 2 6 = sin 1 2 6 sin ₆ = 1 2. (30 gradersvinkeln).

Vi kan då tillämpa formeln för kvadrater av trigonometriska funktioner

sin2(t) = 1 cos(2t) 2 sin2(s=2) = 1 cos(s) 2 sin(s=2) = r 1 cos(s) 2 för att få fram sin(s=2) av en halvvinkel för s=2 = 1₂ ₆!!!!

OBSERVERA!!! Man måste bara kolla om sin(s=2) > 0 eller sin(s=2) < 0 i formeln ovan.

Men i det fallet är sin( =12) > 0

sin 12 = r 1 cos( =6) 2 = s 1 p3 2 2 = s 2 p3 2 2 = = s 2 p3 4 = p 2 p3 2 Exercise 14 Visa att 1 cos x sin x = sin x 1 + cos x = tan(x=2)

(9)

Vi använder igen formel för kvadrater:

sin2(t) = 1 cos(2t) 2

sin(2t) = 2 sin(t) cos(t) x = 2t; x=2 = t Vi skall leka lite grad med dessa formler.

1 cos x = 2 sin2(x=2)

sin x = 2 sin(x=2) cos(x=2) S•att_in_i_f•orsta_uttrycket : 1 cos x sin x = 2 sin2(x=2) 2 sin(x=2) cos(x=2) = sin(x=2) cos(x=2) = tan (x=2) Exercise 30.

Betrakta vinkeln som har tan lika med 1=2: tan( ) = 1₂.

Bestäm två andra trigonometriska funktioner: sin( ) och cos( ) om ligger inom intervallet [ ;3₂ ]. Vi ritar två vinklar som ger tan( ) = 1=2.

Vinkeln ( + ) har samma tan som vinkeln . Man kan se det från bilden men man kan se det också från formler för komplemntvinklar.

sin( + ) = sin( ) cos( + ) = cos( ) tan( + ) = sin( + )

(10)

Man kan uttrycka sin( ) och cos( ) i termer av tan( ) med hjälp av trigonometriska ettan: 1 + tan2( ) = 1 + sin 2_{( )} cos2_{( )} = cos2_{( ) + sin}2_{( )} cos2_{( )} = 1 cos2_{( )}

Man kan lösa ut cos2( ):

cos2( ) = 1 1 + tan2_{( )}

cos( ) < 0 för vinkeln _{2 [ ; 3=2 ]. Detta ger}

cos( ) = s

1 1 + tan2_{( )}

sin2( ) beräknas från relationen

sin2( ) = 1 cos2( ) = 1 1 1 + tan2_{( )} = 1 + tan 2_{( )} ₁ 1 + tan2_{( )} = tan2_{( )} 1 + tan2_{( )}

sin( ) < 0 för vinkeln _{2 [ ; 3=2 ]. Detta ger}

sin ( ) = s

tan2_{( )}

1 + tan2_{( )}

Exercise. 44

Bestäm cos(A) i fall alla tre sidor a, b, c i trianglen är givna. Tillämpa cosinusregeln i triangeln för att bestämma cosinus.

a2 = b2+ c2 2bc cos(A) Lös ut cosinus från den formeln

(11)

2bc cos(A) = b2+ c2 a2 cos(A) = b

2_{+ c}2 _a2