Malmö högskola
Lärande och samhälle Natur, miljö, samhälleExamensarbete
15 högskolepoäng på avancerad nivåAlgebrasvårigheter för gymnasieelever
Algebra difficulties for upper secondary school students
Heba Hussain
Lärarexamen 270 hp Handledare: Ange handledare
Matematik och lärande 2012-11-06
Examinator: Peter Bengtsson
3
Abstrakt
Syftet med detta arbete var att undersöka elevernas algebraiska svårigheter som de när de arbetar med algebraiska uttryck, samt att undersöka deras förståelse kring algebraiska bokstavssymboler. För att få svar på detta fick 105 gymnasieelever, som läser Matematik A eller Matematik 1c, göra ett skriftlig algebratest. Resultaten visar att eleverna har svårigheter och uppvisar olika förståelse för de algebraiska bokstavssymbolerna, såsom tolkning av bokstavssymboler i uttrycket och hantering av operationer för olika bokstäver som förekommer i ett uttryck. Detta kan exempelvis bero på om eleverna hanterar symbolerna som process eller som objekt. Slutsatsen är att lärarna måste visa skillnaderna bokstavssymbolerna i olika sammanhang såsom bokstavssymboler som okänd tal och som generellt tal för elever och tydliggöra betydelsen av bokstavsymbolerna som kommer i kontexten genom att peka på deras olika betydelser.
5
Innehållsförteckning
1 Introduktion 7
2 Definitioner 9
3 Teoretisk bakgrund 10
3.1 Ett historiskt perspektiv 10
3.1.1 Algebrans utvecklingshistoria 10
3.1.2 Algebra i svenska kursplaner 11
3.2 Bokstavssymbolens betydelse 11
3.2.1 Kategorisering av bokstavssymboler 12
3.2.2 Bokstavssymbolen betraktas som okänt tal 13
3.2.3 Bokstavssymbolen betraktas som generellt tal 14
3.2.4 Bokstavssymbolen tolkas som variabel 15
3.3 Algebraiska svårigheter hos elever 16
3.3.1 Bokstavssymbolen utvärderas 16
3.3.2 Bokstavssymbolen ignoreras 16
3.3.3 Bokstavssymbolerna behandlas som objekt 17
4 Syfte och frågeställning 18
5 Metod och genomförande 19
5.1 Undersökningsmetod och metodanalys 19
5.2 Informanter 20
5.3 Praktiskt genomförande 21
6 Resultat, analys och teoretisk tolkning 22
6.1 Bokstavssymbolens betydelse 22
6.1.1 Elevers tolkning av bokstäver i ett uttryck 22
6.1.2 Bokstavssymbolen som okänt tal 24
6.1.3 Bokstavssymbolen som generellt tal 26
6.2 Algebraiska svårigheter hos elever 28
6.2.1 Bokstäver ignoreras, utvärderas eller betraktas som ett objekt 29
6.2.2 Övriga svårigheter i elevers svar 31
6
6.4 Djupanalys och svar på frågeställningarna 33
6.5 Tillförlitlighet- och generaliserbarhetsanalys 36
7 Diskussion och slutsats 38
8 Konsekvens för kommande läraryrke 40
9 Vidare forskning 41
10 Referenslista 42
7
1 Introduktion
Bokstavsymbolers betydelse varierar beroende på i vilket sammanhang de används. Symboler inom algebra kan ges fyra betydelser, som okänt tal, generellt tal, variabler i t.ex. funktioner, och som parameter (Persson, 2010). Algebran beskrivs också som ett språk som uttrycker vad man har tänkt på när man tänker på matematiken (Mason, 1996; Papadosulos & Iatridou, 2010). I skolan tolkas algebran som ”ett sätt att generalisera talen
i texter”. På grund av de olika betydelser symbolerna kan anta, uppstår därför några
svårigheter för elever som arbetar med symbolerna inom algebran (MacGregor & Stacey, 1997). Elevernas uppfattningar behöver bearbetas, så att en bättre förståelse för vad symboler egentligen symboliserar kan uppnås. Om betydelsen för symboler inte definieras leder det till att eleven skapar egna regler eller memorerar reglerna och använder dem i fel sammanhang (se t.ex. Demby, 1997; Persson, 2005).
Förmåga att förstå algebra är viktig för att kunna formulera högre matematik och analysera den. Persson (2010) argumenterar för att algebraavsnitten utgör en fundamental grund för elevernas matematiska kunskapsutveckling inom andra områden inom matematik, som t.ex. geometri och statistik. En viss nivå måste uppnås av algebraförståelse för att samhället ska kunna fungera och för att främja intellektuella aktiviteter (Persson, 2010; Tolar, Lederberg & Fletcher, 2009). Men vilken nivå ska eleverna ha eller uppnå? Vilka föreställningar har eleverna kring algebran? Samt var befinner sig eleverna i sin algebrautveckling? Kända forskare som Küchemann (1981) och Quinlan (1992) har försökt besvara de frågorna. Bland deras resultat konstaterades att elever har olika uppfattningar om bokstavssymboler som Küchemann (1981) kategoriserade i sex kategorier, medan Quinlan (1992) ansåg att eleverna har särskilda nivåer som de befinner sig i. Enligt deras forskning kvarstod eleverna i de mer underordnade nivåerna, vilket resulterade att de saknade begreppsförståelse för bokstäver som förekommer i olika sammanhang.
För att stärka elevers uppfattning av bokstavssymboler och deras betydelse måste elevernas nuvarande uppfattning om symbolerna studeras. Inte bara deras uppfattning utan även deras missuppfattningar och deras algebriska svårigheter för symbolerna måste undersökas. I denna uppsats kommer i stort sett att behandlas bokstavssymbolsvårigheter
8
och deras tolkningar, samt de vanligaste missuppfattningar som visar sig i elevernas svar till algebraövningar.
9
2 Definitioner
Det är viktigt att definiera begreppen som används i detta examensarbete. Eftersom orden kan vara svåra, diffusa eller grumliga.
Ett okänt tal är ett tal som kan placeras i ett matematiskt samband istället för bokstavssymbolen för att lösa det matematiska problemet. Exempel på ett matematiskt samband är e + f = 8, där bokstäverna e och f i e + f = 8 kan anta vilka värden som helst. Därför betraktas bokstäverna e och f som okända tal (se Küchemann, 1981).
Generalisering är att formulera ett samband mellan två eller mer än två matematiska
objekt, och undersöka deras likheter och hitta en relation mellan objekten. Papadopoulos och Iatridou (2010) definierar generalisering som ”a process of applying a given argument
in a broader context”(s.86).
Variabel är ett storhet som varieras beroende på vilken värde man väljer. Enligt
Küchemann (1981) är variabelns betydelse ”understanding of an unknown as its value
changes”. (s.110). Ett exempel på variabel hittar vi i funktionen y = 3x + 5, där y och x är
variabler. Båda x och y-värdet kan ändras genom att man väljer olika tal för x:et, vilket i sin tur ger y-värdet. Vidare definierar Usiskin (1988) variabel som ”a literal number that may
have two or more values during a particular discussion”. (s.9).
Objekttänkande är att koppla bokstavssymbolerna i ett matematiskt samband till objekt
av vardagslivet. Till exempel i uttryck 2a + 3a tolkas som ”två apelsiner och 3 apelsiner”, eller bokstäverna i 2a + 5b tolkas som ”två apelsiner och fem bananer” (se bl.a. Dembys, 1997).
10
3 Teoretisk bakgrund
Algebra är ett viktigt avsnitt i matematikämnet och har stor roll i arbets- och vardagslivet. Många elever har svårt med att lösa algebraiska problem, vilket minskar deras förmåga att tillämpa algebra i sitt yrke eller i vardagliga situationer. Därför har forskarna undersökt grunderna för algebrainlärning och för elevers förståelseprocess inom området. I detta avsnitt kommer tidigare forskning redovisas, samt kommer algebrans utvecklingshistoria och i läroplaner därför att belysas.
3.1 Ett historiskt perspektiv
I detta avsnitt kommer två teman i huvudsak att belysas, algebrans utvecklingshistoria och algebra i svenska kursplaner.
3.1.1 Algebrans utvecklingshistoria
Algebran utvecklades från början inom problemlösning för att finna de okända tal som söks i samband problem. År 2000 f.Kr. började människorna i Indien och i Mesopotamien använda algebra för att lösa vissa typer av problem. Algebran var ganska enkel att beskriva under denna tid. Människorna beskrev algebralösning med vanliga texter istället för symboler. De kände inte till bokstavssymboler som används inom algebra i problemlösning såsom vi känner dem idag (Persson, 2010). Texterna behandlade bland annat enkla ekvationer och andragradsekvationer som var bekanta under denna tid. Algebran utvecklades därefter till en symbolisk algebra som representerar problemet med t.ex. okända tal.
Den moderna algebran där man använder variabler, parameter och bokstavssymboler kom under 1600-talet, vilket öppnade dörren för andra matematiker såsom Fermat, Descartes och Newton att konstruera nya algebriska regler.
Under 1800-talet blev algebran mer abstrakt och mer teoretisk, där kom de algebraiska strukturerna baserade på algebraiska regler, som i sin tur gjorde generalisering alltmer betydelsefull. Utvecklingen fortsatte fram till 1900-talet där algebran utnyttjades inom andra matematikens områden (Persson, 2010).
11
De historiska framstegen för algebra kan i stort sett representera elevers algebraiska utveckling. Därför är det viktigt att titta närmare på denna utveckling och jämföra den med elevers förståelse för bokstavssymboler. Pedagogerna får en uppfattning om strategier som används i algebraisk problemlösning samt upptäcker de steg eleverna går igenom vid inlärningsprogressionen (Sfard & Linchevski, 1994; Stacey, Chick & Kendel, 2004).
3.1.2 Algebra i svenska kursplaner
Undervisningsmålen i grundskolan årskurs 7-9 anger att eleven ska kunna arbeta med ord, begrepp och symboler för att beskriva matematiska problem och utvärdera arbetsprocesser. Ett av de ställda kraven för att få betyget E i matematik i grundskolan är att eleven kan använda begrepp och symboler i matematiska resonemang (Skolverket, 2011). Enligt Skolverket (2011) ingår i undervisningsmålen i gymnasieskolan för Matematik 1a, 1b respektive 1c att undervisningen ska behandla hantering av algebraiska uttryck och skillnader mellan ekvationer, algebraiska uttryck och funktioner, samt hantering av för karaktärsämnena relevanta formler. Kraven för betyget E i Matematik 1a, 1b och 1c är nästan desamma. För att få betyget E i kursen ska eleven kunna skilja mellan gissningar och välgrundade påståenden. Dessutom uttrycker sig eleven med viss säkerhet i tal, skrift och handling med inslag av matematiska symboler och andra representationer (Skolverket, 2011).
Forskning som Persson (2005) har gjort med gymnasieelever i början av sitt första läsår i gymnasieskolan visade att många elever har brister i manipulativa färdigheter såsom
förenklingar av uttryck och lösning av ekvationer, och det framgår att eleverna bär med sig detta från sin grundskoletid. För att undvika dessa brister förslog forskarna en tidig
introduktion för bokstavssymbolerna tillsammans med aritmetiken, där aritmetiska
uppgifter kan innehålla några bokstavssymboler som kan lätt bearbetas (Khng & Lee, 2009; Persson, 2005; Dooren, Verschaffel & Onghena, 2003; Demby, 1997).
3.2 Bokstavssymbolens betydelse
Bokstavssymbolerna har i olika sammanhang skilda roller, vilket betraktas som grunden för symbolisk algebra. Bokstäver inom algebran kan uppfattas som okänt tal, som
12
generaliserat tal, som ett variabel eller som parameter. Uppfattningar om parametrar
begreppet kommer inte behandlas i denna uppsats.
3.2.1 Kategorisering av bokstavssymboler
Forskarna har försökt kategorisera elevernas förståelse av algebrasymboler. Sådan viktig forskning var den som Küchemann (1981) utförde med 7:e – 9:e-klasser. Hans resultat pekade på sex kategorier för elevers bokstavsuppfattning. Kategorierna är:
“Letter evaluated: This category applies to responses where the letter is assigned a numerical value from the outset.
Letter not used: Here the children ignore the letter, or at best acknowledge its existence but without giving it a meaning.
Letter used as an object: The letter is regarded as a shorthand for an object or as an object in its own right.
Letter used as a specific unknown: Children regard a letter as a specific but unknown number, and can operate upon it directly.
Letter used as a generalized number: The letter is seen as representing, or at least as being able to take, several values rather than just one.
Letter used as a variable: The letter is seen as representing a range of unspecified values, and a systematic relationship is seen to exist between two such sets of values” (s. 104).
Kategorierna belyser tre olika missuppfattningar som eleverna vanligen gör när de löser problem som innehåller bokstavssymboler i sig. De tre missuppfattningskategorierna uppstår när bokstaven utvärderas, ignoreras eller betraktas som objekt, vilket belyses av Küchemanns tre första kategorier. Medan de tre sist nämnda kategorierna anger betydelsen av bokstavssymboler i algebraiska uppgifter, som okänt tal, som generellt tal, eller som en
variabel. Küchemann (1981) delade kategorierna i fyra olika nivåer, ”levels”, som
urskiljdes bland elevers uppfattning av bokstavsymboler. Han identifierade nivåerna som:
”Level 1: The items at this level are purely numerical, or they have a simple structure and can be solved by using the letters as objects by evaluating the letter or by not using the letters at all. Level 2: The clear difference between these items and those at Level 1 is their increased complexity, though the letters still only have to be evaluated, or used as object. Children at this level could still not consistently cope with specific unknowns, generalized numbers or variables. Level 3: The major advance made by children at this level is that they can use letters as specific unknowns, though only when the item-structure is simple.
Level 4: At this level children can cope with items that require specific unknowns and which have a complex structure. They can also cope with items that require, at a minimum, that the letters are regarded as specific unknowns, but where there is a strong temptation to treat them as objects involves generalised numbers.” (s.112-115).
13
Nivåerna kan ange var eleven befinner sig när han/hon löser matematiska uppgifter som inkluderar algebraiska symboler. Där nivå 1 betraktas som den svagaste, och visar låg förståelse för bokstavsymbolen jämfört med andra nivåer som anger en mer avancerad bokstavssymbolförståelse (Küchemann, 1981). Försök att kategorisera elevers bokstavsförståelse har utförts av en annan forskare, nämligen Quinlan (1992) som konstaterade fem hierarkiska nivåer:
1. Bokstaven ses som ett objekt som saknar mening, eller dess värde fås som bokstavens plats i alfabetet.
2. Det är tillräckligt att pröva med ett tal istället för bokstaven. 3. Det är nödvändigt att pröva med flera tal.
4. Man uppfattar bokstaven som representant för en klass av tal. Det räcker att pröva med något av dessa tal.
5. Man uppfattar bokstaven som representant för en klass av tal. Man behöver inte pröva med
något av dessa tal. (Refererat i Persson, (2005), s.17).
Quinlan (1992) beskrev fem skilda nivåer av elevers bokstavliga förståelse, vilka liknar Küchemanns (1981) i stort sett. Küchemanns (1981) kategorier är bredare än Quinlans (1992) fem nivåer, eftersom Küchemann (1981) konstruerade sina kategorier utifrån många uppgifter med varierande bokstavsbetydelse, medan Quinlan (1992) utgick från samma typ av uppgifter som behandlar framför allt generell taluppfattning.
3.2.2 Bokstavssymbolen betraktas som okänt tal
Ett okänt tal enligt Küchemann (1981) är ett tal som kan placeras istället för bokstavssymbolen för att lösa en uppgift. Ett exempel är e + f = 8, där bokstäverna e och f i e + f = 8 kan anta vilka värden som helst. Därför betraktas e och f som okända tal.
Första uppfattningen eleverna möter av bokstavssymboler är att de symboliserar okända tal som ska hittas (Küchemann, 1981). Persson (2010) anger en metod eleverna använder sig av när de löser uppgifter med okända tal. Denna metod är ”gissa och pröva”. Eleven i denna metod provar olika tal för att hitta det okända talet. Eleverna behandlar på detta sätt de okända talen som vanlig aritmetik när de inte kan hantera symboler (Malisani & Spagnolo, 2009; Persson, 2010; Küchemann, 1981; Demby, 1997). Naturligtvis skapar denna inställning svårigheter för elever som möter algebrasymboler. Forskning inom området menar att eleverna kan få olika svårigheter om de saknar betydelsen av
14
symbolerna, speciellt när de kommer till ekvations- och funktionsbegreppen (Malisani & Spagnolo, 2009; Persson, 2010).
Betydelsen av okända tal är olika. T.ex. i ekvation 40 = 5x representerar x:et ett okänt tal, medan i funktionen y = kx symbolerna x, y och k har olika betydelse, där x:et är oberoende variabeln, y:et är beroende variabel och k är parameter (Usiskin, 1988). Elever som inte kan inse skillnaderna mellan olika uppfattningar av symbolerna får svårigheter att ställa upp ekvationer, och har svårt att uppfatta skillnader mellan parametrar och variabler (MacGregor & Stacey, 1997; Persson, 2010).
3.2.3 Bokstavssymbolen betraktas som generellt tal
Generalisering är en grundpelare för algebran. Papadopoulos och Iatridou (2010) definierar generalisering som”a process of applying a given argument in a broader context”(s.86). Küchemann (1981) hävdar däremot att bokstavssymbolen antar mer än ett värde vid generaliseringen. Küchemann undersökte generalisering hos några elever som läser 7:e-9:e-klasser. Han utgick från uppgiften: Är L + M + N = L + P + N alltid, ibland eller aldrig
sanna, för att närma sig till denna uppfattning. Han upptäckte att eleverna betraktar
bokstäverna som okända tal först innan de tänker på generella tal, vilket tyder på att begreppet ”bokstavsymbolen som generellt tal” är svårare än begreppet ”bokstavssymbolen som okänt tal”. Därför låg generalisering i sista nivån av Küchemanns (1981) fyra nivåer (level 4). Förståelsen av bokstavsymbolen som generellt tal innebär att bokstavssymbolen representerar en hel klass av tal (Quinlan, 1992). Detta inträffar när man arbetar med mönsteruppgifter där man hittar en algebraisk formel som representerar alla möjliga svar. Persson (2005) utnyttjar mönsteruppgifter i sina test för att undersöka elevernas förmåga att ställa upp ett algebrauttryck. En av uppgifterna som Persson (2005) ställde var:
”* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * fig.1 fig.2 fig.3 fig.4
Hur många stjärnor finns i figur n?” (s.156).
Av alla testade elever var det 66 % som kunde ställa upp ett uttryck för förutnämnd uppgiften (Persson 2005). Resultaten visade att 34 % av eleverna inte kunde ge en formel
15
för Perssons mönsteruppgift. De 34 % saknar uppfattning för bokstavssymbolen som ett generellt tal.
I symbolmanipulering arbetar man mycket med begreppet generellt tal, exempelvis när man använder kommutativa lagen i t.ex. a + b = b + a (Demby, 1997), eller additionen i ett uttryck såsom 2a + 5b (MacGregor & Stacey, 1997). Andra exempel på symbolmanipulering inträffar i förenklingsövningar såsom 2a + 3a = 5a, där a:et uppfattas som generellt tal (Demby, 1997). I de flesta fallen uppfattar inte eleven bokstavssymbolen som generellt tal eller okänt tal. Istället betraktas bokstaven som ett objekt eller en process som skall behandlas (se t.ex. Küchemann, 1981; Tirosh, Even & Robinson, 1998; MacGregor & Stacey, 1997). Denna uppfattning hittades också hos lärarna som undervisade om förenklingar av algebraiska uttryck. Lärarna utnyttjade sig av objekt från vardagliga livet när de undervisade om uttrycksförenkling. I t.ex. 2a + 5b nämnde en lärare att bokstavsymbolerna kan symboliseras till objekt från vardagliga livet t.ex. ”2 apelsiner
och 5 bananer”. Det visar att läraren själv har svårt att betrakta bokstavssymbolerna i
uttrycket 2a + 5b som generella tal (Tirosh, Even & Robinson, 1998). Detta indikerar att lärarna inte kan förklara vad symbolen egentligen innebär för eleven, vilket i sin tur påverkar dennes förenklingssvar, så att t.ex. 2a + 5b blir 7ab. Detta tänkesätt belyser varför eleverna inte kan avsluta uttryck som 2a + 5b, utan fortsätter vidare tills de får ett svar som saknar operation: 7ab.
3.2.4 Bokstavssymbolen tolkas som variabel
Enligt Küchemann (1981) är variabelns betydelse ”understanding of an unknown as its
value changes”. (s.110). Till exempel funktionen y = 3x + 5, där y och x är variabler. Båda
variablerna kan ändras genom att man väljer olika tal för x:et, vilket i sin tur ger y-värdet. En annan argumentation för variabelns betydelse är Usiskins (1988), som argumenterade att variabler har många definitioner, referenser, och kan anta olika symboler. Om man försöker använda en enda uppfattning av vad variabeln egentligen är, då påverkas inlärningsprocessen för algebrasymboler på ett negativt sätt (Usiskin, 1988). Att förstå att variabeln tillhör en hel klass av tal, och att variablerna i t.ex. funktioner har ett visst samband. I sin forskning upptäckte Küchemann (1981) att 2/3 av de tillfrågade eleverna inte uppfattar vad variabeln betyder och därför uppnår inte hans fjärde nivå, ”level 4”. Inte
16
bara det, utan Persson (2005; 2010) upptäckte att många elever behandlar variabler i funktioner som okända tal som skall hittas, vilket medför att eleverna har svårt att tolka eller hantera variabeln i funktioner. Detta kommer dock inte att behandlas i denna uppsats, inte heller variabelbegreppet.
3.3 Algebraiska svårigheter hos elever
Küchemanns (1981) tre första kategorier pekar till stor del mot de svårigheter eleverna har när de löser algebraiska uppgifter, vilket är: letter evaluated (bokstaven utvärderas), letter
not used (bokstaven ignoreras), letter used as an object (bokstavssymbolen behandlas som
objekt). I detta avsnitt kommer varje aspekt av de förutnämnda att behandlas.
3.3.1 Bokstavssymbolen utvärderas
Många missuppfattningar i denna kategori grundar sig på förkunskaper i aritmetik. Man behandlar algebraiska uppgifter på liknande sett som i vanliga aritmetiska uppgifter (Khng & Lee, 2009; Dooren, Verschaffel & Onghena, 2003; MacGregor & Stacey, 1997; Persson, 2010; Demby, 1997; Küchemann, 1981). Detta medför att eleverna inte kan lämna additionen i t.ex. a + 5 kvar utan menar att svaret blir talet 6. De anger a:et värde som 1, så att svaret blir 6, eftersom bokstaven a ligger först i alfabetet, eller de har vad forskarna kallar för ”1 belief” (MacGregor & Stacey, 1997). Att varje bokstavssymbol i algebraisk uppgifter sätts till 1 beror delvis på att eleverna missuppfattar lärares förklaring av att ”x
utan koefficient betyder 1x”, eller på förklaring av nollpotenser där x0
= 1 (MacGregor & Stacey, 1997). I Küchemanns (1981) kategori -letter evaluated anger han att eleverna utvärderar symbolen som ett känt tal och räknar med detta tal. Liknade metoder förekommer när eleverna använder sig av” Guessing and checking” metoden. (Demby, 1997; Persson, 2010; Dooren, Verschaffel & Onghena, 2003).
3.3.2 Bokstavssymbolen ignoreras
”Symbolen ignoreras” innebär att eleverna utför räkneoperation utan att ta hänsyn till bokstavsymbolen som är med i uttrycket. Eleven ger exempelvis 18x som svar för multiplikationen mellan 6x och 3x i uttryck 6x · 3x. En av eleverna som löste föregående
17
uppgift förklarade att ”when we multiply 3x by 6x, we multiply 3 by 6 and copy x” (Demby, 1981, s.56). Det innebär att eleven ignorerar symboler helt och räknar uttrycket som vanlig talräkning och sedan bara kopierar bokstäven (Demby, 1997). Küchemann (1981) fann i sin forskning om elevs bokstavssymbolsuppfattning att 21 % av de testade eleverna för frågan
”If n – 246 = 762, n – 247 = …” ignorerar symbolen och koncentrerar sin beräkning på
talen istället. Eleverna svarade att n – 247= 763 eller angav fel värde. Grunden för deras felslut, enligt Küchemann (1981), ligger i de stora tal som användes i uppgiften, och på subtraktionen mellan bokstaven n och tal 247. En annan missuppfattning i hanteringen av bokstavssymboler uppkommer i förenklingsövningar för uttryck, såsom i Dembys (1997) förenklingsfråga 2x2 – x – 5x2, där svaret var 4x – x – 25x = -22x. Elevens kommentar för hans/hennes räkning var ”we must first compute the powers here”. (s.55). Eleven har inte kvadrerat x:en i uttrycket men utan istället kvadrerat talen 2 och 5, vilket tyder att eleven ignorerar bokstavssymbolen i första operationen och behandlar symbolen som objekt i det andra operationen.
3.3.3 Bokstavssymbolerna behandlas som objekt
Algebraiska symboler har olika tolkning beroende på vilken sammanhang de kommer i. Missuppfattningar hos elever beror på deras bristande kunskaper om betydelsen av bokstavssymbolerna. På grund av dessa brister i förståelse för bokstavsanvändning kopplar många elever symboler i uttryck till objekt av vardagslivet. T.ex. uttryck 2a + 3a tolkas av eleverna som ”två apelsiner och 3 apelsiner”, eller 2a + 5b tolkas som ”två apelsiner och
fem bananer”. Dembys (1997) forskning visade att eleverna har objekttänkande relaterat
till vardagslivet, vilket avspeglas i en elevs förklaring för uttrycket 3x +6x = 9x att ”3x and
6x make together 9x in much the same way as 3 apples and 6 apples make together 9 apples” (s.54). Küchemann (1981) betraktar denna typ av bokstavsmanipulering som svår
att uppfatta, speciellt i uppgifter där man omvandlar textform till bokstavssymbolform. T.ex. “one shilling equals 12 pence” till “s = 12d” istället för “d = 12s”. (s.107). Svårigheter kan uppstå på grund av uppgiftens textutseende. Eleverna brukar följa texten exakt och skriva en formel, och därför anser de exempelvis att a + b inte lika med b + a.
18
4 Syfte och frågeställning
Syftet med denna empiriska studie är att undersöka algebraiska bokstavssymbolers olika betydelser och att kartlägga de svårigheter eleverna träffar på när de arbetar med algebraiska uppgifter som innehåller olika bokstavssymboler. För att uppfylla syftet ställdes nedanstående frågor:
1) Hur tolkar elever från några gymnasieklasser de algebraiska uttrycken? 2) Vilka är de vanligaste felen dessa elever gör när de arbetar med algebra?
Det är viktigt att begränsa forskningsfrågorna, eftersom det finns ytterligare faktorer som kan påverkar algebrainlärning, men som inte undersökts i detta arbete. Exempelvis vilka erfarenheter eller förkunskaper eleverna har innan de börjar gymnasiet, vilken miljö eleverna befinner sig i när de arbetar med algebra och vilken attityd de har till algebra utanför skolan m.m. Alla de frågorna är breda och ligger utanför de metoder som används i denna studie.
19
5 Metod och genomförande
5.1 Undersökningsmetod och metodanalys
För att besvara frågeställningarna utfördes en speciell enkätundersökning i form av ett skriftligt algebratest och därefter en annan enkätundersökning med åtta slutna frågor och en öppen fråga för att belysa elevers åsikter om algebra. Den största datainsamlingen för denna uppsats var från testet, därför förhåller mig i stort sett till testet. Denna typ av undersökning ingår i ramen kunskapsfrågor. Där visar respondenter sin kunskap inom ämnesområdet genom att svara på ett tydligt sätt på vissa frågor. Valet av enkätundersökning var på grund av att enkät passar deltagarnas behov bättre, såväl som att det är en ganska snabb metod. Respondenter kan besvara enkäten utan några tidsbegränsningar (Bryman, 2011). Vidare, för att få ett meningsfullt resultat måste testet utformas på ett tydligt och begripligt sätt (Lindqvist, 2003). Det ska inte vara så långt, så att respondenterna blir trötta och inte vill besvara testet eller enkäten (Bryman, 2011; Johansson & Svedner, 2006). Därför hade testen lite frågor på inte mer än två sidor. Under varje fråga finns utrymme för svaret.
För algebratestet konstruerades uppgifterna med hänsyn till att utröna vilka tolkningar eleverna har av bokstavssymboler i olika situationer, och vilka svårigheter eleverna har när de löser testuppgifter. Varje uppgift i testet har en särskild roll, speciellt i förhållande till de två delfrågorna i frågeställningen (se t.ex. avsnitt 4). Testet återfinns i bilaga 1. Uppgifterna som ingick i testet var valda med stor försiktighet och är kopplade till tidigare forskning inom området algebra. Många av de givna uppgifterna är direkt antagna eller liknar i stort sett Dembys (1997) och Küchemanns (1981) frågor i deras forskningsarbete. Vidare finns några identiska frågor från Perssons (2005) diagnostiska test som ingick i hans studie om de bokstavliga svårigheter eleverna har när de studerar algebra. Variationen i uppgifterna grundar sig på att eleverna inte löser testet genom memorering av tidigare lösningsprocedurer och regler (Persson, 2010). Testet belyses med hjälp av Küchemanns (1981) sex kategorier och Quinlans (1992) fem nivåer för att få svar på den formulerad frågeställningen. Vidare för att analysera resultatet närmare konstruerades egna kategorier av särskilda uppgifter som inte kan beskrivas med förenämnda kategorier eller nivåer. Många av dessa är kopplade till Perssons (2010) testuppgifter.
20
För att möjliggöra bättre jämförelse med problemställningen kommer varje uppgift i algebratestet vara med i resultatavsnittet. Orsaken till det är att uppgifterna är ganska många, samt inte ordnade efter frågeställningen i syftet. Det kan vara svårt att läsa bilagan för varje delresultat utan att blanda ihop uppgifter eller resultaten på dem. Vidare återkommer många av testfrågorna på mer än ett ställe i resultatavsnittet. Testuppgifterna används för mer än ett mål. Exempelvis uppgift 3 och 4. Bakgrunden för varje uppgift har presenterats i avsnittet teoretiskt bakgrund.
5.2 Informanter
I studien deltog 105 elever från sex olika klasser som läser Matematik A (två klasser), och Matematik 1c (fyra klasser). Eleverna läser i två skilda skolor med tre olika program; naturvetenskap-, teknik- och omvårdnads -programmen. Alla elever går sitt första år i gymnasieskolan. Anledningen till att dessa skolor valts är de är helt skilda från varandra och har olika undervisnings sätt. Till exempel arbetar eleverna i omvårdnadsprogrammet med ett traditionellt undervisningsätt, där läraren förklarar sitt exempel på tavlan och eleven skriver av exemplet. Medan i natur- och teknikprogrammet varierande arbetsätt användas i undervisningen, såsom laborativa uppgifter, där eleverna arbetar med några uppgifter och därefter diskuterar med läraren eller i grupper vad de har kommit fram till. En annan anledning till att välja de tre programmen var att eleverna har olika attityder till ämnet matematik, vilket påverkar resultatet för deras svar i testet. Det är intressant att jämföra de tre programmen med varandra, om t.ex. resultaten är samma för alla program, eller om de skiljer sig från varandra. När man har jämfört resultaten kan man på detta sett dra slutsatser om undersökningen.
I undersökningen fick alla elever göra ett algebratest och sedan besvara enkätfrågor. Två klasser läser omvårdnadsprogrammet, totalt 25 elever som läser Matematik 1a. Två klasser läser teknikprogrammet, totalt 49 elever som läser Matematik 1c. Två klasser läser naturvetenskapsprogrammet, totalt 31 elever som även de läser Matematik 1c. Alla elever som deltog i undersökningen hade börjat skolan i mitten av augusti, en månad före undersökningens genomförande. Inga elever hade när undersökningen gjordes ännu kommit till algebraavsnitten eller också skulle de snart börja med algebraiska uttryck.
21
5.3 Praktiskt genomförande
Jag började med att introducera vem jag var och varför gjorde jag undersökningen utan att ange direkta svar på undersökningsfrågorna. Jag förklarade att de skulle genomgå två undersökningar; ett test och en enkätundersökning. Eleverna blev medvetna om att undersökningen är frivillig och anonym. Man behöver inte skriva sitt namn om man inte vill. Utan denna undersökning skulle hjälpa mig med att genomföra mitt examensarbete. Alla elever skulle försöka ge tydliga svar och använda egna ord, och svara så gott de kunde. Jag bad dem att skriva sitt svar på testet och om de behövde mer plats så kunde de använda baksidan. Alla elever deltog i algebratestet och i enkätundersökningen. Inget bortfall inträffade i denna undersökning.
Instruktioner för algebratestet var t.ex. att ingen fick använda miniräknaren eller mobiltelefonen för att göra beräkningar, samt att frågorna skulle lösas enskilt precis som ett vanligt prov. Därför fick de inte samarbeta med varandra. Jag förklarade för alla att de skulle sitta kvar när de gjort testet tills alla blev färdiga med sitt test. Inga frågor ställdes av eleverna under testtiden. Tiden för testet var inte begränsad. Eleverna fick lämna testet när de var färdiga med det och sedan börja med enkäten. Alla klasser som utförde undersökningarna använde relativt lite tid för att utföra både algebratesten och enkätundersökningen. I alla klasser tog undersökningen c:a 45 minuter.
22
6 Resultat, analys och teoretisk tolkning
Här skall resultaten av varje uppgift i algebratest presenteras, därefter presenteras resultaten av enkätundersökningen. Resultatet redovisas med relativa frekvenser i vissa uppgifter istället för antal elever. Orsaken till detta är skillnaden mellan antalet elever som deltog i undersökningen från varje program och att data från dessa ska vara jämförbara.6.1 Bokstavssymbolens betydelse
I detta avsnitt presenteras resultat för olika tolkningar eleverna har av algebraiska uttryck. Två viktiga aspekter som kommer med i resultat ska också belysas, nämligen bokstavssymboler som okända tal, och som generella tal.
6.1.1 Elevers tolkning av bokstäver i ett uttryck
För att mäta elevers tolkning ställdes följande fråga:En chokladkaka kostar a kr och en klubba kostar b kr. Vad betyder då 2a + 5b? Vad kan 2a - 5b betyda? Ge ett förslag!
Resultatet av uppgiften presenteras med hjälp av Küchemanns (1981) kategorier i nedanstående tabell 6.1. Denna redovisar bara elevers tolkning oavsett om de har svarat rätt eller fel på frågan.
Tabell 6.1. Resultat av uppgift 2.
Küchemanns (1998) sex kategorier för elevers bokstavssymbolsuppfattning
Uppgift
2a 2b
1 Letter evaluated: this category applies to responses where the letter
is assigned a numerical value from the outset. 2st 11st
2 Letter not used: here the children ignore the letter, or at best
acknowledge its existence but without giving it a meaning. 4st 6st
3 Letter used as an object: the letter is regarded as a shorthand for an
object or as on object in its own right. 56st 45st
4 Letter used as a specific unknown: children regard a letter as a
23 5
Letter used as generalized number: the letter is seen as
representing, or at least as being able to take, several values rather than just one.
32st 16st
6
Letter used as a variable: the letter is seen as representing a range of unspecified values, and a systematic relationship is seen to exist between two such sets of values.
2st 3st
Del 2a av uppgiften besvarades av alla elever, förutom en elev som inte gett något svar. Antalet som kunde inte besvara andra delen av uppgiften var 12 elever. Den största delen av eleverna, 56 elever utav 105 totalt, betraktade bokstäver som ett objekt i första deluppgiften. Detta motsvarar cirka 53 %. En mindre antal elever, 45 elever, vilket utgör cirka 43 %, såg bokstäverna som ett objekt i andra deluppgiften. Av alla elever så var det sammanlagt 34 som låg inom de högsta två av Küchemanns (1981) kategorier, 5 och 6, i deluppgift 2a. Vidare var det bara 19 elever sammanlagt som befann sig Küchemanns (1981) kategori 5 och 6 i deluppgift 2b.
En annan ställd fråga som behandlar elevers tolkning var: 7 Vilket eller vilka skrivsätt nedan anger alltid ett tal som är:
K+3 k+2 2k k + k k/3
k/2 0,5k 3k k + k + k 3+k
a) Hälften så stort som k b) Tre gånger så stort som k c) Dubbelt så stort som k d) 3 mer än k
Tabell 6.2. Resultat av uppgift 7.
Omvårdnadsprogram (n=25) Natur program (n=31) Teknik program (n=49)
7 Två rätt svar Ett rätt svar Fel svar Två rätt svar Ett rätt svar Fel svar Två rätt svar Ett rätt svar Fel svar a 51 % 49 % - 52 % 48 % - 59 % 41 % - b 47 % 45 % 8 % 48 % 52 % - 65 % 35 % - c 52 % 40 % 8 % 55 % 42 % 3 % 65 % 27 % 8 % d 52 % 36 % 12 % 52 % 42 % 6 % 65 % 31 % 4 %
Ingen elev har angett fel svar i deluppgift 7a i samtliga program. Nästan alla 105 elever angett ett eller två rätt svar på denna del uppgift. Vidare utgjorde de elever som svarade fel på deluppgifterna 7b, 7c, och i 7d bara liten andel i alla program. Exempelvis i 7b så var det
24
bara 8 % av omvårdnadseleverna som gav felaktigt svar. Medan i natur- och i teknikprogrammen eleverna inte hade något fel svar. Nästan hälften av eleverna inom alla program svarade rätt på frågan. Eleverna visade en hög förståelse av bokstäver som okänd tal, vilket placerar dem i kategorin -letter used as a specific unknown.
Resultatsammanfattning
Andelen elever med objektsuppfattning var större än andelen med generell uppfattning. I 2a var det 53 % och i 2b 43 % som uppvisade objektsuppfattning. Dessa elever tillhör Küchemanns (1981) tredje kategori – letter used as an object. Medan 30 % av eleverna betraktade bokstäverna som generellt tal i del a, och 15 % i del b, och ingår i Küchemanns (1981) femte kategori – letter used as a generalized number.
Många elever uppfattar bokstavsymbolen som okänt tal i uppgift 7, mer än 50 % i alla deluppgifter. De eleverna ligger därför i Küchemanns (1981) tredje kategori. Bara liten del faller inom övriga kategorier.
6.1.2 Bokstavssymbolen som okänt tal
För att belysa elevernas uppfattning för bokstavssymbolen som okänt tal införde följande frågor:
Ringa in det rätta svaret:
a) 7+2x = 2x+7 sant falskt
b) 5 – 8y = 8- 5y sant falskt
c) 24x/6 = 6/24x sant falskt
d) xy = yx sant falskt
Resultatet av uppgift 1 redovisas i tabellform 6.3. för tre program som utfört testet. Vidare redovisas antalet elever som svarade i procenttal för att underlätta jämförelse mellan program.
Tabell 6.3. Resultat av uppgift 1 Program Omvårdnadsprogram
(n= 25)
Naturvetenskap
program (n= 31) Teknik program (n= 49) Uppgift 1 Rätt svar Fel svar Inget svar Rätt svar Fel svar Inget svar Rätt svar Fel svar Inget svar A 92 % 8 % - 100 % - - 100 % - -
25
B 88 % 8 % 4 % 100 % - - 98 % 2 % -
C 72 % 8 % 4 % 100 % - - 96 % 4 % -
D 52 % 44% 4 % 100 % - - 94 % 6 % -
Eleverna demonstrerar att de har en stark uppfattning av bokstäver såsom okända tal. Denna uppfattning visade sig i alla tre program förutom i 1d där eleverna i omvårdnadsprogrammet visade svagare bokstavsförståelse, vilket var 52 %. Det betyder att eleverna är fördelade i Küchemanns (1981) tre första kategorier. Av tabell 6.3. ovan framgår också att alla uppgifter blev korrekt besvarade av samtliga elever från naturvetenskapsprogrammet, vilket i sin tur placerar dem i fjärde kategorin. Samma sak gäller för elever från teknikprogrammet.
En annan uppgift som prövar uppfattningen om bokstav som okänt tal är följande: Är likheterna alltid, ibland eller aldrig sanna? Skriv vilket efter varje likhet.
a) n + 5 = 11
b) a + b + c = c + a + b c) q + 2 = q + 16
Tabell 6.4. Resultat på uppgift 3
Omvårdnadsprogram (n=25) Naturprogram (n=31) Teknikprogram (n=49) Uppgift 3 Rätt svar Fel svar Rätt svar Fel svar Rätt svar Fel svar
n+5 = 11 60 % 40 % 68 % 32 % 78 % 22 %
a+b+c = c+a+b 48 % 52 % 90 % 10 % 90 % 10 %
q+ 2 = q+16 12 % 88 % 90 % 10 % 86 % 14 %
Två korrekta elevsvar var: ”ibland när man har n lika med sex då får man elva lika med
elva men inte när man har n lika med ett då får du 6 som inte lika med elva; ibland, till exempel 6+5=11, men 7+5=12”. Exempel på felaktiga svar var ”aldrig, för jag inte sett på mate uppgifter; alltid, n = 11 – 5, n = 6; aldrig, för man inte vet vad n har för värde”
Bokstavssymbolen n i första delen av uppgiften uppfattades som okänt tal av alla elever inom samtliga program. Uppfattning av bokstavsymbolen som okänt tal i andra och tredje deluppgifterna var bättre i naturprogrammet respektive i teknikprogrammet, men detta var inte fallet för omvårdnadseleverna. Där visade 48 % av dem förståelse som okänt tal i andra deluppgift och bara 12 % i tredje deluppgiften. Av totalt 105 elever svarade 65 elever på
26
alla tre delfrågor, vilket motsvarar 62 % totalt. Eleverna befinner sig i är fjärde kategorin hos Küchemann (1981).
Resultatsammanfattning
På samtliga deluppgifter i första frågan svarade 86 elever av 105 elever korrekt på alla delar, vilket utgör ca 82 %. Vidare minskar antalet samtliga elever som svarade rätt på tredje uppgiften till 65 elever vilket är 62 %. När man vill placera eleverna i en av Küchemanns kategorier, så befinner sig cirka 57 % i kategorin letter used as specific
unknown.
6.1.3 Bokstavssymbolen som generellt tal
För att få reda på elevernas förståelse för bokstäver som generaliserat tal ställdes följande uppgifter:
Förenkla följande uttryck: a) (x + 8) (x + 3) - 11x b) (x - 3y) (2x + 4y)
Resultat på elevernas svar bevisas i tabellen 6.5. nedan. Tabell 6.5. Resultat av uppgift 4.
Omvårdnadsprogram (n=25) Natur program (n=31) Teknik program (n=49) Uppgift 4 Rätt svar Fel svar Inget svar Rätt svar Fel svar Inget svar Rätt svar Fel svar Inget svar (x+8)(x+3) – 11x 4 % 96 % - 26 % 74 % - 16 % 82 % 2 % (x – 3y)(2x+4y) 8 % 84 % 12 % 23 % 77 % - 18 % 68 % 14 %
Några exempel på felaktiga svar på första deluppgiften var: ”25x; -9x + 11; 13x; 24 –
10x; -2x + 3; x + 24; 15x – 11”. Eleverna hade liknande fel i andra deluppgiften såsom: ”2x2
+ 12y2; x + 7y; 3x – 7y; 7y – x; 3x + y; 2x + 12y; x – 6xy + 4y”.
I denna uppgift borde bokstäverna x och y hanteras som en hel klass av tal, med andra ord som generella tal. Fast eleverna visade här inte förståelse för bokstäverna som generellt tal, istället betraktade de dem som objekt eller okända tal. Många hade fel i operationer mellan x och y. Inte i något program uppvisade eleverna uppfattningen ”generellt tal”. I
27
omvårdnadsprogram hade 96 % av eleverna andra uppfattningar såsom objekttänkande eller okänt tal-tänkande. Men kan se att eleverna i naturprogrammet heller inte visar generellt tal-uppfattning. Cirka 74 % visar bland annat objekts- eller okänt tal-uppfattningar. Av alla tre programmen var naturprogrammet det som hade den starkaste uppfattningen av bokstavssymbolen som generellt tal, cirka 26 % av eleverna.
Den andra uppgiften som behandlar bokstavssymbol som generellt tal var:
** ** *** ** *** *** ** *** *** ***
fig 1 fig 2 fig 3 fig 4
5) Ovan ser ni ett mönster som ökar hela tiden. a) Hur många stjärnor har fig 10?
b) Hur många stjärnor har fig n? Tabell 6.6. Resultat av deluppgift 5a.
Omvårdnadsprogram (n=25) Natur program (n=31) Teknik program (n=49) Uppgift Rätt svar Fel svar Inget svar Rätt svar Fel svar Inget svar Rätt svar Fel svar Inget svar 5 a 44 % 40 % 16 % 94 % 6 % - 71 % 24 % 5 %
I denna uppgift gav många elever rätt svar på frågan, trots att endast 23 % av eleverna använde sig av generalisering för att lösa uppgiften. Andra elever använde sig av andra metoder, såsom att räkna ut antalet stjärnor i varje figur upp till 10:e figuren.
För att analysera resultatet för 5b utnyttjades Quinlans (1992) nivåer i form av tabell för båda deluppgifter
Tabell 6.7. Resultat av uppgift 5b.
Nivå Quinlan (1992) fem hierarkiskt ordnade nivåer av elevers uppfattningar av bökstäver
Uppgift 5b
1 Bokstaven ses som ett objekt saknar mening, eller dess värde fås
som bokstavs plats i alfabetet 0 st
2 Det är tillräckligt att pröva med ett tal istället för bokstaven 39 st
3 Det är nodvändigt att prova med flera tal. 21 st
4 Man uppfattar bokstaven som representant för en klass av tal.
28
5 Man uppfattar bokstaven som representant för en klass av tal.
Man behöver inte pröva med något av dessa tal. 28 st
Några upprepade felsvar på 5b var: nx; 3n; 2n; n+3; n+2; figur n = x; 2+2x = n; 3n+4; det kan man inte veta för att jag inte vet hur mycket är figur n; x; 29 – n; figur n har x stjärnor +3; 3+2n; hur många som helst för att n kan vara vad som helst; 68; 38; olika tal; 2x; figur n har 14 stjärnor.
Elever som uppfattar bokstavsymbolen som generellt tal ligger i nivåerna 4 och 5. Av 105 elever fanns 43 elever vilka hade den förståelsen. Vidare befinner sig elever som uppfattar symbolerna som okända tal eller utvärderar bokstäver istället i nivåerna 2 och 3. De två sistnämnda nivåer sammanfaller med Küchemanns (1981) fyra första kategorier.
Resultatsammanfattning
Uppgifterna 4 och 5b anger andelen elever som har generellt talförståelse. Det visar sig att i alla tre programmen så är generellt tal-uppfattningen ganska låg. Även för elever som läser naturvetenskapsprogram så är det bara 26 %, 23 % och 41 % i uppgifterna 4a, 4b resp. 5b som uppnått generellt tal-uppfattning. I uppgiften 5a behöver man inte använda sig av bokstavsymbolen för att svar, eftersom den typen av uppgifter faller i bokstaven ignoreras, eller bokstaven utvärderas Küchemanns (1981) kategori 1 och 2. Resultaten visade att en liten del av eleverna betraktar algebrans bokstavssymboler som generella tal, vilket motsvarar Küchemanns (1981) kategori 5.
6.2 Algebraiska svårigheter hos elever
Som nämndes tidigare i teori avsnittet 3.3 har eleverna olika svårigheter med etablerade missuppfattningar kring algebraiska bokstavssymboler. I detta avsnitt kommer svårigheter att redovisas under två olika delar. Den första delen tar upp Küchemanns (1981) tre första kategorier, där bokstaven ignoreras, utvärderas eller betraktas som ett objekt. I andra delen presenteras andra vanliga missuppfattningar som Demby (1997) och Persson (2010) presenterat i sina forskningar.
29
6.2.1 Bokstäver ignoreras, utvärderas eller betraktas som ett objekt.
För att upptäcka elevers missuppfattningar kring olika bokstäver och närma sig till deras svårigheter i algebra ställdes två frågor. Första uppgiften som belyser det var: En
chokladkaka kostar a kr och en klubba kostar b kr.
Vad betyder då 2a + 5b?
Vad kan 2a - 5b betyda? Ge ett förslag!
I första deluppgiften svarade 50 elever av 105 stycken felaktigt på frågan. Deras svar kategoriseras i tabell 6.8. nedan.
Tabell 6.8. Kategorisering av elevers felsvar i uppgift 2a.
Kategori Exempel på fel svar Antalet elever
(n=50)
Bokstav som objekt
Två chokladkakor + fem klubbor; två chokladkakor adderat till fem klubbor; 2a=antalet kakor och 5b= antalet klubbor.
43st
Bokstaven ignoreras Sju saker; 7ab; 7+ab; man har sju
chokladkakor och klubbor. 4st
Bokstaven utvärderas a=10kr, b=2kr, så 2a+5b= 2*10+5*2= 30kr;
2+5=7. 3st
Antalet elever som hade missuppfattningar eller svårigheter att tolka bokstäver var 50 elever totalt. Av dem såg 43 elever bokstaven som objekt, vilket motsvarar 86 %, och 4 elever ignorerade bokstäven. Resten som var 3 elever utvärderade bokstäven genom att ersätta den till ett tal. 86 % som gjorde fel ligger i Küchemanns (1981) kategori tre, -letter
used as an object.
Antalet elever med bokstavssvårigheter i andra deluppgifter var totalt 59 elever utav l05. 13 av dessa elever besvarade inte frågan. Resultatet redovisas i Küchemanns (1981) tre kategorier nedan.
Tabell 6.9. Resultat för missuppfattningar i uppgift 2b.
Kategori Exempel på fel svar Antalet elever
30 Bokstav som
objekt
Två chokladkakor – fem klubbor; 2a=antalet kakor och 5b= antalet klubbor; man byter fem klubbor mot chokladkakor; man köper bara två chokladkakor.
42st
Bokstaven ignoreras
7 – ab; att man drar ifrån fem klubbor; att jag säljer
klubborna till en kompis; det kan inte betyda något. 13st Bokstaven
utvärderas
a=100kr; så 2a = 2*100 =200, b =1kr, så 5b= 5kr; 2 –
5 = -3; 2a =30 kr, 5b =10 kr. 8st
Resultatet visade att många elever svarade fel på uppgiften pga. att de hanterade variablerna som objekt, cirka 71 %. De befinner sig i Küchemanns (1981) kategori – letter
used as an object. Samt 22 % ignorerade bokstavssymboler i uttrycket, och cirka 14 %
bytte ut bokstavssymbolen mot ett tal som de valde själva för att utföra beräkningen. Nästa fråga som tester elevers svårigheter att ställa upp ett uttryck är:
En månad köpte Cecilia kläder för x kr. hennes syster Sofia köpte för dubbelt så mycket medan deras bror Albin köpte för 500 kr mindre än Cecilia. Teckna ett uttryck som visar hur mycket de tre syskonen tillsammans köpte för. Förenkla uttrycket!
Tabell 6.10. Resultat av uppgift 8.
Program
Korrekt svar (4x –
500)
Korrekt men inte förenklat uttryck
Korrekt men fel förenklat Fel svar Inget svar Omvårdnad (n=25) 36 % 4 % 8 % 40 % 12 % Natur (n=31) 45 % 7 % 16 % 32 % - Teknik (n=49) 49 % 22 % 6 % 23 % - Totalt (n=105) 44 % 13 % 10 % 30 % 3 %
Några exempel på felaktiga uttryck och uttryck förenklingar som eleverna gav i testet var;
x+x2+x–500; 2x2–500; 2(x+250); x=150; 3x+500; (2x – 500x); -479x; 3x2–500.
Det var 30 % av 105 eleverna som hade felaktigt svar på denna fråga. 10 % av eleverna hade svårigheter att förenkla uttrycket. Sammanlagt är de elever med svårigheter 42 elever
31
av l05 stycken. Man kan inte säga någonting om de elever som inte förenklat uttrycken. Därför kommer nästa tabell att belysa svårigheter för de 42 eleverna.
Tabell 6.11. Svårighet kategori av uppgift 8.
Kategori Exempel på elevers felaktiga svar Antalet elever
(n=42)
Bokstav som objekt x+2x+500–x = 2x+500 = 2(x+250); 3x
2 = 500; x–125+2x+x 30st Bokstaven ignoreras x+2x–500x= -497x; 4x/4=500/4, x=150 9st Bokstaven utvärderas x= 500; Cecilia:1000kr, Sofia:2000kr, Albin:500, allt ihop är 3500kr; 6000/4=1500, alltså Cecilia=1500 och Albin 1000 kr och Sofia = 3000 kr.
3st
Antalet elever som såg bokstaven som ett objekt var cirka 71 % och cirka 21 % ignorerade bokstaven, och bara 8 % ersatte bokstaven med ett tal. Den största andelen hamnar i Küchemanns (1981) tredje kategorin.
Resultatsammanfattning
Uppgifterna 2a, 2b och 8 behandlade elevernas missuppfattningar kring bokstavssymbolerna, där den största andelen av dem betraktade symbolerna som objekt, nämligen 86 %, 71 % respektive 71 %. Andra vanliga missuppfattningar hos elever var att de helt ignorerade symboler eller ersätter dessa med ett tal som de valde själva.
6.2.2. Övriga svårigheter i elevers svar
Uppgift 6 som ställdes i testet handlade om ekvationslösning, vilken inte behandlas i denna uppsats. Men uppgiften visar elevers missuppfattning och svårigheter när de löser uppgiften algebraiskt. Denna uppgift var: Förklara med ord hur man löser ekvationen 4x + 30 = 90 –
x. Tänk dig att du skall hjälpa en kamrat som inte kan lösa ekvationer. Av l05 elever gav
35 elever felaktiga förklaringar, 11 besvarade inte, och 59 elever gav korrekta förklaringar på den ställda frågan. Många elever kom fram till fel förklaringar på grund av att de använde en egen regel eller relaterade till andra regler inom ämnet. Ett exempel på felaktig förklaring är ”4x+30 ska bli 90–x, om man multiplicerar 3 med 30 så får man 90, så man
32
börjar med att flytta 30 under 90, det blir 4x = 90/30–x, och sen flytta 4x till andra sidan det blir 3–x–4x= 3–5x; man ska börja med att ta bort 30 så man subtraherar 30 på både sidorna, 4x+30–30=90–x–30, och nu ska man ta bort 4 och då dividerar vi på både sidorna, 4x/4=(90+x)*/4, det blir x=10–x sedan måste vi få bort x så dividerar på båda leden igen med x alltså x/x=(10–x)*/x då får man svaret x = 10”
En annan missuppfattning visade sig hos många elever i uppgift 7. Elever som gav ett rätt svar följde texten i uppgiften. T.ex. när man frågade efter ”3 mer än k”, så svarade de 3+k och inte k+3. En elevs motivation till ”3 mer än k” var: ”svaret är endast 3+k och inte
k+3, eftersom k i första uttryck är inte samma k i andra uttryck”. Antalet elever som gav ett
svar med avseende på texten var 33 elever ut av 105 elever i alla tre programmen.
Resultatsammanfattning
35 % av eleverna skapar egna regler eller använder fel regler. Vidare är 31 % av eleverna kontextberoende, vilket innebär att eleverna följer texten bokstavligt när de skriver deras svar, och ignorerar algebraiska regler såsom kommunikativa lagen a + b = b + a (se t.ex. Persson 2010; Demby, 1997).
6.3 Resultat av enkätundersökning
Samtliga 105 elever svarade på alla frågor som ställdes i enkätundersökningen, inget bortfall eller frågor som lämnades obesvarade. Resultatet visade att alla tre programmen hade liknande åsikter, därför kommer resultatet på enkätundersökning att presentera alla 105 elever som deltog i undersökningen.
I frågan om vad eleverna tyckte om algebra svarade 54 % elever att det är ganska roligt, och 4,8 % elever svarade att det är mycket tråkigt. 38 % ansåg att algebraavsnitten är mycket viktiga för att klara matematiken och dem flesta, cirka 56 %, sa att de är ganska viktiga. Endast 6 % ansåg att algebran inte eller inte alls är viktig för att klara av matematikämnet. Vidare visade resultaten av enkätsökningen att en elev utav alla 105 tillfrågade elever alltid hade svårigheter att hänga med när läraren undervisar om algebra.
*
Parenteser i elevlösningen saknades. Orsaken till parenteser är med är att det underlättar för läsaren att förstå vad eleven gjorde.
33
Medan 15 elever hade ibland svårt att följa med läraren. Majoriteten, cirka 94 %, hängde oftast/alltid med i algebraundervisning.
Dessutom är andelen som alltid blandar mellan addition och multiplikation är bara 11 %, där eleverna multiplicerar när de borde addera och adderar när borde multiplicera. Medan de som aldrig blandar är 20 %. Resten blandar mellan algebraiska operationer, men bara ibland beror detta på uppgiften. En stor andel av eleverna tyckte att jobba med uttryck och ekvationsuppgifter var det svåraste i matematikkurserna. I cirkeldiagrammet nedan visas med procentfördelning vad elevers tyckte var svåraste avsnittet i matematik.
Diagram 6.1. Visar svårighet indelning.
6.4 Djupanalys och svar på frågeställningarna
I denna del av uppsatsen analyseras det samlade materialet lite närmare för att belysa hur eleverna tolkar bokstavssymbolerna i algebra. Nästan alla elever löste olika uppgifterna på olika sätt. Detta gör att analysen av var och en av uppgifterna enskilt blir svårt, utan man måste analysera hela testet istället för varje elev för att förstå hur han/hon uppfattar symbolerna, och diskutera resultaten ur detta perspektiv.
Nästan alla elever som deltog i denna undersökning uppvisade förståelse av att bokstavsymbolerna har olika betydelser, och att symbolerna syftade på olika saker,
34
beroende på hur de placerades i frågan. Det enskilda elevtestet visade att de flesta av eleverna saknade förståelse för symbolen i sig själv, och hade svårigheter med att tolka betydelsen av bokstäverna som generella tal. Detta framgick starkt av testfrågan som ställdes om betydelsen av bokstäverna i uttrycken 2a + 5b och 2a – 5b. Eleverna hade inte förstått att 2a + 5b står för den totala kostnaden av två chokladkakor och fem klubbor. Istället skrev de att det refererade till två chokladkakor plus fem klubbor. Det betyder att eleverna tänkte på symbolerna som objekt. Denna uppfattning förekom på flera ställen i samma test, vilket förklarar att majoriteten hade denna missuppfattning, att symbolerna symboliserar objekt.
Svaren man fick från testerna pekade också på att eleverna hade två andra tolkningar av bokstavsymboler i algebra. Den första var att bokstavssymbolen representerade ett okänt
tal. Det visade sig i uppgift 1, där alla tre programmen som deltog i testet uppvisade denna
uppfattning. Den andra tolkningen eleverna visade var att symbolerna representerade ett
generellt tal. Aspekten om bokstäver som generella tal var mindre än aspekten av dem som
okända tal. Det var vanligare för elever att relatera bokstäver i uppgifter till ett okänt tal istället för till generellt tal. Många av eleverna hade även svårt att relatera det till en av de två förutnämnda aspekterna, istället ignorerade de bokstäverna helt eller helt enkelt bytte ut bokstaven mot ett tal och fortsatte beräkningen med sina utvalda tal. Det är därför en hel del av de testade eleverna som kunde hänföras till den lägsta nivån i Quinlans (1992) fem nivåer. Dessa elever hade inte heller uppnått den sista kategorin i Küchemanns (1981) sex kategorier, speciellt elever i omvårdnadsprogrammet som uppvisade denna uppfattning i högst grad. Eleverna på natur- eller teknikprogrammet visade lite högre förståelse nivå av algebrasymbolernas olika betydelse, men ändå hade de inte uppnått den högsta nivån.
I många fall var det svårt att kategorisera eleverna efter varje uppgift, eftersom många elever låg mellan två nivåer. Därmed var det svårt att placera den i en specifik kategori av Küchmanns (1981) sex kategorier. Vidare kunde inte många av eleverna läggas in i Quinlans (1992) nivåer, där nivån kan fungera i speciella deluppgifter och vid speciella situationer. För att ge en helhetsbild av elevernas tolkning av bokstavsymbolerna och deras uppfattning var Küchemanns (1981) kategorier mest lämpliga att använda för att analysera både elevernas uppfattning bokstäverna och för att belysa deras svårigheter kring
35
användningen av bokstäver. Utifrån detta utnyttjades Küchemanns (1981) tabell för att analysera elevers totala uppfattning för hela testet.
Tabell 6.12. Kategorisering av elevers totala bokstavssymbolsförståelse med hjälp av Küchemanns (1981) sex kategorier.
Kategori 1 Letter evaluated: this category applies to responses where the
letter is assigned a numerical value from the outset.
6st
Kategori 2 Letter not used: here the children ignore the letter, or at best
acknowledge its existence but without giving it a meaning.
10st
Kategori 3 Letter used as an object: the letter is regarded as a shorthand
for an object or as on object in its own right.
30st
Kategori 4 Letter used as a specific unknown: children regard a letter as
a specific but unknown number, and can operate upon it directly.
38st
Kategori 5 Letter used as generalized number: the letter is seen as
representing, or at least as being able to take, several values rather than just one.
15st
Kategori 6 Letter used as a variable: the letter is seen as representing a
range of unspecified values, and a systematic relationship is seen to exist between two such sets of values.
5st
Tabellen ger en bra bild över elevernas olika uppfattningar av symbolerna i algebra. Det framgick att 30 elever ut av 105 elever befann sig i objekttänkande-kategorin, vilket också märktes i flera av testuppgifterna. Om man jämför mellan antalet elever som markerade symbolerna som okända tal eller generella tal, så visar tabellen på att antalet elever som betraktade bokstavssymbolen som okänt tal var större än antalet elever som betraktade symbolen i ett uttryck som generellt tal. 38 elever hade okänt tal-uppfattning och endast 15 elever som har generellt tal-uppfattning.
36
6.5 Tillförlitlighet- och generaliserbarhetsanalys
För att diskutera tillförlitlighet i detta arbete måste man ta hänsyn till två grund aspekter i undersökningen, nämligen validitet och reliabilitet. Validitet innebär om mätningen kan ge en sann bild av det som undersöks, medan reliabilitet handlar om mätnoggrannhet i en undersökning (se t.ex. Bryman, 2011; Johansson & Svedner, 2006). Validiteten bedöms vara hög i det speciellt utformade algebratestet. Testfrågorna var formulerade efter den tidigare forskning som har utförts inom området, och som användes till denna undersökning. Frågorna mätte elevernas tolkning av algebraiska bokstavssymbolerna, och mätte elevers missuppfattningar som förkommer i deras svar i algebrauppgifter. Alla utvalda frågor liknade tidigare forsknings ställda frågor. Många av deluppgifterna var identiska med Küchemanns (1981) och/eller Perssons (2005; 2010). Därför var mätning av resultatet inte så komplicerat och ganska lätt att jämföra med tidigare resultat inom samma problemområde. Kategorierna kunde lätt placeras och genomföras med dessa studier. Även om denna studie inte handlade om alla områden som algebra kan användas inom, hade kategorierna i stort sett samma användning i resultatet (se resultatavsnittet). Resultaten i denna studie stämde med resultaten av tidigare genomförd forskning (se t.ex. Persson, 2005; 2010; Demby, 1997; Küchemanns. 1981). Därför bedöms validiteten i detta arbete ganska hög. Däremot kan validiteten i enkätundersökningen anses vara ganska låg, eftersom det förekom några termer som eleverna inte kände till, såsom ordet modellering. Enkätundersökningen påverkade inte validiteten för testet, eftersom dess innehåll fokuserade på att få elevernas allmänna åsikt för algebra som helhet och inte på hur de uppfattade symbolerna, dvs. i alla matematiska områden som hade med algebra att göra t.ex. inom ekvation, funktion, och uttrycken.
Det skriftiga algebratestet mätte elevernas uppfattning och deras kunskapsfärdigheter därför anses den ge god reliabilitet för just detta syfte. Säkerheten i reliabilitet kom av att studien tog upp två eller tre frågor som handlade om samma frågeställning, vilket avslöjade till vilken kategori eller nivå eleven skall tillhöra. Självklart mätte testet en del mängd av elevens kunskaper, men det finns inte ett test som mäter kunskaperna i helhet. Även skriftiga tester som användes i tidigare forskning mätte inte hela uppfattningen eleven hade för algebra. Vidare för att man ska ha en mycket god reliabilitet i sitt arbete måste man
37
utföra undersökningen flera gånger och under längre tid. Möjlighet att utföra en längre studie saknas på grund av tidsbrist. Därför bedöms reliabiliteten god men inte hög.
Antalet elever i detta arbete är mindre än tidigare forskning inom området, men man kan ändå studera generaliserbarheten i arbetet. En stor del av materialet som används i denna studie är baserade på den tidigare forskningen som behandlade liknande frågeställningar. Många av testuppgifterna är hämtade från tidigare forskning. Vid jämförelse med tidigare resultat som forskarna fått fram, så visar resultatet av detta arbete inte stor skillnad från vad andra forskare fått fram (se teoretisk bakgrund). Eleverna visade samma uppfattningar för bokstavssymbolerna som tidigare forskning hävdat, och eleverna visade samma svårigheter som tidigare forskning presenterat. Man kan säga att om denna studie utförs på nytt så få man sannolikt samma eller mycket nära samma resultat som denna studie. En annan tråd som visar generaliserbarheten i denna studie är jämförelsen mellan de tre programmen som deltog i arbetet. När man jämfört resultaten med varandra visade alla elever att de har samma bokstavssymboluppfattning och de hade samma missuppfattningar. Jag menar att eleverna uppvisar samma typ av missuppfattningar i stora delar av algebratestet. Av förutnämnda skälet kan man säga att arbetat kan generaliseras för alla elever som har börjat läsa i gymnasium och har första kursen i Matematik 1a, 1b resp.1c.
Arbetets syfte var att kartlägga elevernas uppfattning av de algebraiska symbolerna, samt studera vilka svårigheter de har när de arbetar med olika variationer av övningar som innehåller bokstavsymboler. Eleverna som deltog i denna undersökning kommer från tre olika program från två olika skolor, totalt är antal eleverna 105. Skolorna ligger i en stad i södra Sverige. Även om studien inte täcker hela landet, så är generaliserbarheten ganska viktigt att diskuteras här. Studiet utfördes under en vecka i mitten av september månad i alla tre program i sex olika klasser. Eleverna hade inte hunnit med algebraavsnitten, vilket betyder att elevernas förkunskap var vad de hade med sig från grundskolan, med hänsyn taget till att eleverna kom från olika skolor. Detta utgör ett bra urval för ett stickprov för denna undersökning. Deltagande elever i studiet bär med sig varierande kunskaper om algebra från sin grundskola även om det bygger på samma kursplaner.
