Malmö högskola
Lärarutbildningen
Natur, miljö, samhälle
Examensarbete
15 Högskolepoäng på grundnivå
Hämmar matematikundervisningen
elevers tänkande?
Elevers tänkande vid problemlösning i förhållande till lärarens inställning till matematikundervisningen.
Does the mathematics classroom impede pupils´ thinking?
Pupils´ thinking processes in relation to the teacher’s attitude to mathematics teaching.Camilla Capert
Helene Thynell
Lärarexamen 210hp Handledare: Ange handledare
Matematik och lärande 2010-11-09
Examinator: Ingrid Dash Handledare: Pesach Laksman
3
Abstract
I syfte att undersöka om och hur lärarens inställning till problemlösning och undervisning förhåller sig till elevens tänkande har vi vänt oss till tre klasser i skolår 3. I vår teoretiska förankring har vi ur ett konstruktivistiskt perspektiv utgått från vad, hur och varför. I undersökningen fick eleverna två problemlösningsuppgifter som de skulle lösa individuellt och semistrukturerade intervjuer gjordes med lärarna till klasserna. Resultatet visade att klassen med problemlösande undervisning hade sämst resultat men störst variationer i lösningarna. Utifrån vårt analyserade resultat och tidigare forskning ser vi betydelsen av en variation i undervisningen, både när det gäller problem, metod och arbetsform för att nå den viktiga djupa förståelsen.
Nyckelord: problem, problemlösning, förståelse, strategier, rika problem, öppna frågor,
5
Innehållsförteckning
1 Inledning ... 8
2 Syfte och frågeställningar ... 10
2.1 Syfte ... 10
2.2 Frågeställningar ... 10
3 Teoretisk bakgrund ... 11
3.1 Styrdokument ... 11
3.2 Konstruktivism ... 13
3.3 Öppna och slutna frågor ... 14
3.4 Problemlösning ... 15
3.4.1 Heuristik ... 15
3.4.2 Vad är problem och problemlösning? ... 16
3.4.3 Varför ska man ha problemlösning? ... 17
3.5.4 Hur organiseras problemlösningssituationer? ... 18
3.5.5 Problem och problemlösning för oss ... 23
3.6 Sammanfattning teori ... 23
4 Metod ... 24
4.1 Val av metod ... 24
4.2 Urval ... 25
4.3 Val av intervjufrågor och elevuppgifter ... 26
4.4 Procedur ... 26
4.5 Beskrivning av undersökningarna ... 27
6 5 Resultat ... 29 5.1 Resultat av elevuppgifter ... 29 5.1.1 Rätt ... 30 5.1.2 Fel ... 33 5.2 Resultat av lärarintervjuerna ... 35 5.2.1 Lärare A ... 35 5.2.2 Lärare B ... 36 5.2.3 Lärare C ... 37
6 Analys och diskussion ... 38
6.1 Frågeställning 1 ... 38
6.1.1 Analys och diskussion av klass A ... 39
6.1.2 Analys och diskussion av klass B ... 40
6.1.3 Analys och diskussion av klass C ... 40
6.2 Frågeställning 2 ... 41
6.2.1 Analys och diskussion av klass A ... 41
6.2.2 Analys och diskussion av klass B ... 41
6.2.3 Analys och diskussion av klass C ... 42
6.3 Lärarnas undervisning ... 42
6.4 Sammanfattning av analys och diskussion ... 43
6.5 Tillförlitlighet ... 44 6.6 Slutsats ... 45 6.7 Framtida forskning ... 46 Referenslista ... 47 Bilagor ... 50 Intervjufrågor ... 50 Uppgift 1 ... 51 Uppgift 2 ... 52
7
Förord
Under detta arbete har vi mött en stor mängd teorier i forskningslitteraturen men också fått en inblick i det praktiska utövandet av läraryrket ute i skolan. Processen har gett oss ett bredare perspektiv som känns betydelsefull för framtiden.
I arbetet har vi båda varit lika delaktiga i sammanställningen. En uppdelning gjordes vid den praktiska undersökningen. Camilla gjorde elevundersökningen och Helene stod för intervjun och transkriberingen av lärare A. Vad beträffar elevundersökningen, intervjun och transkriberingen för de andra klasserna, ansvarade Camilla för klass B och Helene för klass C. Första granskningen av elevsvaren gjorde vi för våra respektive klasser och därefter kategoriserade och analyserade vi dem tillsammans.
Vi vill tacka lärarna och eleverna som deltagit i vår undersökning, vår handledare Pesach Laksman och examinator Ingrid Dash.
Och slutligen vill vi tacka våra förstående familjer som stöttat oss dels under denna intensiva period men även under hela utbildningen. Maja, Ida, Manfred och Alice, älskade barn, ni har varit både inspirationskällor och testpiloter under dessa år, extra tack till er!
8
1 Inledning
Det är fascinerande att se hur barn tänker. När barnen är små kan de lösa rätt kluriga problem. Som Frank K Lester (1996) skriver är de problemlösare av naturen. De använder sig av strategier där de provar sig fram på olika sätt. Hur utvecklas då strategierna? En viktig uppgift för läraren är att utveckla denna naturliga fallenhet (Lester, 1996), det är också ett av de primära målen i matematikundervisningen. Med problemlösning stimuleras även tänkandet (Emanuelsson, Wallby, Johansson & Ryding, 1996). Samtidigt är det vida känt i samhället hur mycket sämre resultat eleverna har i ämnet matematik i dag (OECD, 2003). Dessutom mister många elever i tio till tolvårsåldern intresset för ämnet, vilket på sikt resulterar i en sänkt självkänsla och tillit till sitt lärande (SOU 2004:97). Vad och hur kan man göra åt detta?
Läraren är viktigast för elevens lärande. Kan vi se vilken betydelse lärarens ämnesprofession och uppfattning av problemlösning har och hur det påverkar elevens tänkande och förmåga att tänka kreativt och skapa sig en förståelse för matematik?
Under vår VFT, verksamhetsförlagda tid, har vi mött elever som är osäkra, rädda för att säga fel svar, göra på fel sätt och vågar inte gissa. Det är vår uppgift som medvetna lärare att i vår undervisning främja elevernas trygghet och självkänsla.
Det står i styrdokumenten att problemlösning skall användas vid undervisning i matematik, men hur görs detta? Hur kan problemlösning hjälpa eleverna att bilda sig en djupare förståelse för matematiken och gå ut skolan med ett bättre resultat än idag? Problemlösning bygger på förståelse och förståelse är den viktigaste ingrediensen i matematik. Därför är det viktigt att läraren är medveten om detta och hur man kan och bör arbeta med problemlösning.
9
De osäkra eleverna och den spännande problemlösningen har fångat oss och vi vill med vår undersökning ta reda på om och hur lärarens pedagogiska synsätt och undervisning påverkar elevens tänkande. Kan vi se det så tidigt som i skolår 3? Ett av målen att uppnå i skolår 3 är att eleven ska ”kunna undersöka elevnära matematiska problem, pröva och välja lösningsmetoder och räknesätt samt uppskatta och reflektera över lösningar och deras rimlighet” (Skolverket 2000). Ett talande citat av Andrejs Dunkels (Olsson, 2000, s.213)
”Förståelse – det är väl när man inte behöver komma ihåg det som man måste minnas för att kunna?”
10
2 Syfte och frågeställningar
2.1 Syfte
Syftet med vår undersökning är att se om och i så fall hur elevens tänkande påverkas av lärarens sätt att bedriva matematikundervisning.
2.2 Frågeställningar
Kan man se ett samband mellan elevernas tänkande och strategier att lösa matematiska problem och lärarens inställning till problemlösning?
11
3 Teoretisk bakgrund
I vår teoridel kommer vi att redogöra för teorier, begrepp och styrdokument som är kopplade till vår undersökning samt har med problem och problemlösning att göra. I undersökningen utgår vi från det konstruktivistiska synsättet. Vi vill se elevernas förmåga att lösa problem och hur de går till väga i relation till lärarens undervisning och inställning till problemlösning, det vill säga hur elevernas kunskap konstrueras.
3.1 Styrdokument
Synen på undervisning med problemlösning har förändrats genom tiderna. I samband med Lgr 69 (Läroplan för grundskolan 1969) hade man undervisning för problemlösning, det vill säga att det var tillräckligt att eleven kunde hantera verktygen för att lösa problemen (Wyndhamn, Riesbeck & Schoultz, 2000). När LGR 80 kom (Läroplan för grundskolan, 1980) fick problemlösning en betydande roll då det infördes som huvudmoment. Detta kom att innebära ett stort framsteg för undervisningen i matematik (Löwing & Kilborn, 2002). Undervisningen skulle handla om problemlösning, där eleverna skulle finna passande strategier och räknesätt (Wyndhamn et al., 2000). Matematiken skulle bygga på förståelse med hjälp av problemlösningsverktyg, istället för formler, algoritmer och färdighetsträning. Läroplanen kopplades till en baskunskapssyn. Detta synliggörs i nedan utdrag ur Lgr 80
12
Det grundläggande målet för ämnet matematik är att alla elever skall förvärva god förmåga att lösa sådana problem av matematisk natur som man möter i hem och samhälle. För att kunna lösa sådana problem krävs vanligen att
– man kan förstå problemet och har en lösningsmetod (Skolöverstyrelsen, 1980, s.99). Intentionen i läroplanen var att problemen i första hand skulle väljas utifrån elevernas intressen och erfarenheter, men också ta upp problem i samhället och världen. Uppgifterna skulle vara anpassade efter varje elevs förmåga. I gällande kursplan, Lpo 94 (Läroplan för det obligatoriska skolväsendet, förskoleklassen och fritidshemmet), är grundtanken att eleverna ska utveckla kunskaper och tänka matematiskt med hjälp av problemlösning som redskap, det vill säga undervisning genom problemlösning (Wyndhamn et al., 2000). Detta kan man exempelvis se i nedan mål att sträva mot
– utvecklar sin förmåga att formulera, gestalta och lösa problem med hjälp av matematik, samt tolka, jämföra och värdera lösningarna i förhållande till den ursprungliga problemsituationen (Skolverket, 2000, s.26).
Att problemlösning är av stor betydelse syns tydligt i styrdokumenten. I kursplanen i matematik (Skolverket, 2000) under ämnets karaktär och uppbyggnad ges beskrivningen att problemlösning alltid haft en central plats i matematikämnet. Vidare poängteras att matematiska problem kan vara av olika art, lösas på olika sätt, med olika metoder och i olika sammanhang. Citatet ”För att framgångsrikt kunna utöva matematik krävs en balans mellan kreativa, problemlösande aktiviteter och kunskaper om matematikens begrepp, metoder och uttrycksformer” (s.28) ger en sammanfattning av detta. I Lpo 94 kan man bland annat läsa att skolan skall sträva efter att eleven ”lär sig att lyssna, diskutera, argumentera och använda sina kunskaper som redskap för att formulera och pröva antaganden och lösa problem” (s.9).
I kursplanen i matematik (Skolverket, 2000) synliggörs betydelsen under ämnets syfte och roll där eleven ska få möjlighet att uppleva glädjen i att kunna förstå och lösa problem. I mål att sträva mot skall skolan i sin matematikundervisning sträva efter att eleven ” utvecklar sin förmåga att formulera, gestalta och lösa problem med hjälp av matematik, samt tolka, jämföra och värdera lösningarna i förhållande till den ursprungliga problemsituationen” (s.26). Nedan följer mål att uppnå med koppling till problemlösning
Mål som eleverna lägst ska ha uppnått i slutet av det tredje skolåret
kunna undersöka elevnära matematiska problem, pröva och välja lösningsmetoder och räknesätt samt uppskatta och reflektera över lösningar och deras rimlighet (s.28).
13
Mål som eleverna skall ha uppnått i slutet av det femte skolåret
Eleven skall ha förvärvat sådana grundläggande kunskaper i matematik som behövs för att kunna beskriva och hantera situationer och lösa konkreta problem i elevens närmiljö (s.29).
Vi står nu med ny läroplan och kursplan i matematik framför oss. Hur kommer den att påverka lärarnas inställning och arbetssätt samt elevernas lärande?
I den kommande kursplanen ser vi att det, liksom i Lpo 94, är genom undervisningen som eleverna ska utveckla kunskap och lärande ske. En skillnad mellan dem är dock att ordet genom förstärks. Detta åskådliggörs i nedan utdrag enligt regeringens förordning
Genom undervisningen i ämnet matematik ska eleverna sammanfattningsvis ges förutsättningar att utveckla sin förmåga att formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier och metoder.
(www.regeringen.se/content/1/c6/15/34/87/8de6b5ef.pdf)
3.2 Konstruktivism
Konstruktivismens grundare är Jean Piaget (1896-1980), pedagog och 1900-talets mest betydande utvecklingspsykolog. Han menade att logiken hade sitt ursprung i människors agerande (Nationalencyklopedin (a)). Med hans inflytande har konstruktivismen blivit en betydelsefull teori inom matematikinlärningen. Det finns olika inriktningar inom konstruktivismen, men gemensamt är att individen själv skapar sin kunskap med hjälp av tidigare erfarenheter (Ernest, 1998). Konstruktivismen har med tiden vidareutvecklats och Ernest nämner tre olika former av den, svag, radikal och social. Piaget och Lev Vygotsky (1896-1934) är båda framstående personer inom konstruktivismen. Vad som skiljer dem åt är att Piaget fokuserar på den enskilda individen och Vygotsky på den sociala miljön.
Piagets teori om det kognitiva tänkandet är den teori som haft störst betydelse för uppfattning av tänkandets utveckling för barn och ungdomar (Evenshaug & Hallen, 2001). Enligt Piagets stadieteori går människan igenom ett flertal utvecklingsstadier som kommer i en förutbestämd ordning och inom vissa åldersintervall, vilka av Piaget ses som nödvändiga. De fyra stadierna är det sensomotoriska, det preoperationella, det konkret operationella och det formellt operationella Piaget uppfattar lärandet som en
14
jämviktsprocess, adaption. Dels försöker individen anpassa sig efter omgivningen, ackommodation, dels försöker omgivningen anpassa sig efter individen, assimilation. Lärandet är enligt Piaget en ständigt pågående process som utvecklas i samspel med omgivningen. Det är enligt lärandeteorin lika viktigt att beakta både vad eleverna redan vet och vad de behöver lära sig (Illeris, 2001).
För Piaget var barnens felsvar och förklaringar till hur de tänkte intressant (Evenshaug & Hallen, 2001). Barn har föruppfattningar, eller vardagsföreställningar, vilka under lärandeprocessen ska ändras. Den redan befintliga uppfattningen är av stor betydelse då den nya tankestrukturen byggs utifrån denna. Missuppfattningar, misconceptions, är uppfattningar som skiljer sig från de vetenskapliga uppfattningarna. Ur en konstruktivistisk syn ska eleven ges möjlighet att gå från missuppfattning till en vetenskapligt korrekt uppfattning. Läraren måste därför förstå hur eleven tänker (Claesson, 2007). Enligt Piaget bygger det vetenskapliga tänkandet på ett betydande förråd av vardagskunnande och bör ses som något positivt (Andersson, 2008).
Läroplanen Lpo94 och kursplanen i matematik bygger på konstruktivismen där människan konstruerar kunskap utifrån sina erfarenheter. Enligt Arne Engström (1998), utgår en konstruktivistisk uppfattning ifrån att eleven använder sig av tidigare inlärda kunskaper för att utveckla nya betydelsefulla lösningar. Laborativa aktiviteter utgör ett stort inslag i undervisningen och eleverna stimuleras att reflektera och konstruera sin egen matematik. Gruppdiskussioner hjälper eleverna att ändra eller utveckla sina uppfattningar och övar dem i att motivera sitt tänkande. I problemlösande aktiviteter får elevernas frågor stort utrymme vilket resulterar i ett lärande. Matematiken verklighetsförankras hos eleverna och lärarens roll är att fungera som handledare.
3.3 Öppna och slutna frågor
Målet med öppna frågor är att eleverna ska tänka, lära, analysera, kritisera och kunna lösa okända problem och förståelse för matematik skapas. Genom frågorna väntas eleverna se samband och generaliseringar. Eleverna ska också kunna se egna strategier genom arbetet då lösningsmetoden inte är uppenbar. Till frågorna finns fler än ett svar. För att frågorna ska förstås av alla elever, oavsett språk och begreppsutveckling, ska
15
olika elevers tolkning tas upp i klassrummet (Sullivan & Lilburn, 2002). I den slutna frågan finns endast ett svarsalternativ (Ahlberg, 1995).
Exempel på öppen fråga:
I klassen går 22 elever. Hur många pojkar och flickor kan det gå i klassen? Exempel på sluten fråga:
I klassen går 22 elever, tolv är flickor. Hur många pojkar går i klassen?
3.4 Problemlösning
3.4.1 Heuristik
Heuristik omfattar generella problemlösningsstrategier som man kan använda på problem av varierande slag (Nilsson, 1999). Vad som kännetecknar metoden är att man kommer fram till lösningen genom stegvisa försök (Wyndhamn et al., 2000). Ordets ursprung ligger i grekiskan och betyder upptäcka, finna. Den första som gick djupare i heuristiken var George Polya. Polya (1887 – 1985) var en ungersk professor i matematik vars huvudsyfte var att lära ut den ovan nämnda metoden för att användas generellt vid problemlösning.
Läraren kan vägleda eleverna att upptäcka en lösning eller utveckla ny kunskap genom metodiska frågor. Med dessa frågor stimuleras också det egna tänkandet. Exempel på frågeställningar är ”Vad är givet? Vad är det sökta? Har jag löst något liknande tidigare?” (Nilsson, 1999; Taflin, 2007). ”Att göra upp en plan” är i heuristiken den centrala delen (Wyndhamn et al., 2000).
16
3.4.2 Vad är problem och problemlösning?
Problem och problemlösning är två olika begrepp.
Vanligaste uppfattningen av problem är en uppgift som för barnen inte har en självklar lösningsstrategi (Ahlberg, 2000). Problem beskrivs också som en uppgift som är så invecklad att den medför svårigheter att lösa. En annan beskrivning på problem är skriftligt benämnda uppgifter, ofta från verkligheten (Löwing & Kilborn, 2002; m fl.). Uppfattningarna ovan kan sammanfattas i tre kriterier som ska uppfyllas för att en uppgift ska kunna benämnas som problem
● det ska finnas en vilja eller ett behov att lösa det ● det ska inte finnas en given strategi
● det ska krävas en ansträngning av kreativ anda.
Om det är problem eller inte beror även på individen. Barnets ålder och erfarenheter har betydelse, vilket medför en relation mellan uppgiften och barnet.Det som är ett problem för skolår ett behöver inte vara det för skolår två (Ahlberg, 2000; Olsson, 2000).
Forskare pratar om rika och värdefulla problem. Bland annat Taflin (2007) pratar om rika problem, för att ett problem ska kallas rikt måste följande sju kriterier uppfyllas. Problemet ska
● introducera till viktiga matematiska idéer
● vara lätt att förstå och alla ska ha en möjlighet att arbeta med det ● upplevas som en utmaning, kräva ansträngning och tillåtas ta tid
● kunna lösas på flera olika sätt, med olika matematiska idéer och representationer ● kunna initiera till matematiska resonemang utifrån elevernas skilda lösningar
ett resonemang som visar på olika matematiska idéer ● kunna fungera som brobyggare
● kunna leda till att elever och lärare formulerar nya intressanta problem (s.56).
Ole Björkqvist (2001) sammanfattar problemen som motiverande för merparten av eleverna och värdefulla då de utvecklar matematiska begrepp. De kan också vara rika då matematiska grundtankar eller lösningsmetoder sammankopplas. Han menar också att i sammanlänkningen mellan matematiska och icke-matematiska sammanhang påverkas transfern av det inlärda positivt. Transfer innebär att kunna använda sig av kunskaper i nya situationer. I dessa rika och värdefulla problem syns likheter med öppna frågor.
17
Beträffande problemlösning, det vill säga processen att lösa problem, har vi funnit några olika uppfattningar. Polya (1957/2005) ser problemlösning som en praktisk verksamhet, vilken man bland annat lär sig genom att härma och öva. Han jämför det exempelvis med simning och menar att barn ser hur andra gör, härmar genom att försöka göra likadant och lär sig sedan genom att träna på det. Problemlösningsprocessen delas enligt Polya in i fyra faser vilka vi redogör för senare. Lester & Lambdin(2007)anser att problemlösning ska användas somett hjälpmedel där nya kunskaper utvecklas och eleverna är aktivt deltagande. Detta kan ses som ett sätt att lära, vilket också känns igen från nuvarande kursplan (Taflin, 2007). Wyndhamn (Taflin, 2007) ser det ur ett bredare perspektiv och menar att eleverna löser problem hela tiden i skolan, han liknar det vid en process. Han menar vidare att de även använder sig av problemlösning i vardagen, ofta genom att köpa eller mäta.
3.4.3 Varför ska man ha problemlösning?
Eleverna lär sig matematik vid problemlösning (Hagland, Hedrén &Taflin, 2005). Vid arbete med rika problem får eleverna upptäcka, utvidga, fördjupa och använda sina matematiska kunskaper. Då ökar även deras matematiska medvetenhet. Taflin (2007) menar vidare att huvudsyftet med problemlösning är processen med elevernas varierande lösningsmetoder och förståelse. Aktiviteten tar längre tid än vanliga rutinuppgifter men befästs bättre då eleverna får utforska, jämföra, upprepa, fundera och diskutera. Forskning visar också att begreppsuppfattningen därigenom ökar (Lester & Lambdin, 2007).
Med engagerande problemlösningsaktiviteter menar Lester & Lambdin (2007) att eleverna lär sig väsentlig matematik som bygger på en djupare förståelse. Lester & Lambdin redogör för sex anledningar som förordar förståelse
● förståelse är motiverande när något känns begripligt och eleven vill lära sig mer ● förutsättningar för mer förståelse skapas när tidigare inlärda metoder tas i bruk ● i förståelsen ser man sammanhanget vilket hjälper minnet att erinra länkade principer ● med förståelse förbättras transfern och matematiken kan användas i andra situationer ● förståelsen bidrar till mer positiva attityder och föreställningar
18
Ett träffande citat av Hiebert m fl. ”förståelse föder självtillit och engagemang: att inte förstå leder till uppgivenhet och brist på engagemang” (Lester & Lambdin, 2007, s.98). Citatet säger mycket, bland annat illustreras betydelsen av att alla elever på något sätt är engagerade i problemet från början, oavsett kunskapsnivå. Det är dock skillnad på förståelse och förståelse. Richard R Skemp (1976) skiljer mellan instrumentell och relationell förståelse. Den relationella bygger på vad och varför och kan beskrivas som långsiktig och djupare. Den instrumentella förklarar hur man gör, en mer ytlig och formell förståelse, som är regelstyrd.
För att eleverna ska känna sig väl förberedda inför vardagsnära och yrkesrelaterade matematiska problem behövs problemlösning i undervisningen (Hagland et al., 2005). Även Jo Boaler (1993) menar att om pedagogen intresserar sig för elevernas privata och sociala liv och binder samman detta med matematiken i klassrummet, kommer lärandet att bli mer betydelsefullt och givande för eleverna.
Problemlösning utvecklar elevernas förmåga att tänka kreativt och logiskt, systematiskt och strukturerat. Samtidigt ökar elevernas motivation samt viljan att arbeta med matematik. När eleverna finner egna lösningar på problemen stärks deras självförtroende (Hagland et al., 2005). Vid problemlösning utvecklas elevernas kommunikations- och argumentationsförmåga samtidigt som även deras begreppsförståelse vidgas (Hagland et al., 2005; Kronqvist & Malmer, 1993).
3.5.4 Hur organiseras problemlösningssituationer?
Precis som i frågan vad finns det också enligt litteratur och forskning många olika sätt att se på frågan hur. Det finns olika sätt att arbeta med problemlösning. Lärarens inställning till problemlösning samt det teoretiska synsättet påverkar frågan hur (Wyndhamn et al., 2000). Eleven och dennes lärande påverkas av lärarens uppfattningar. Erkki Pehkonen (2001) menar att elevens egen uppfattning byggs genom en process som påverkas av uppfattningar från omgivningen, det vill säga där läraren har stor roll. Uppfattningar är somPehkonen skriver svåra att förändra och därför är det viktigt hur de byggs upp.
Som vi skrev i avsnittet om styrdokumenten har hur förändrats ur ett tidsperspektiv. Från att ha varit ett användande av inövade färdigheter till att träna metoder och
19
arbetssätt och vidare till att nu i gällande kursplan utgöra det dominerande i undervisningen, har problemlösning utvecklats till ett sätt att lära. Problemlösning kan användas som aktivitet utanför boken där eleverna arbetar med olika idéer och kreativt material för att nå nya infallsvinklar och lösa problem. En del möter kanske bara problemlösning som benämnda skriftliga uppgifter i läroboken (Taflin, 2007). Liksom Taflin beskriver också Lester & Lambdin (2007) dessa aktiviteter, de betonar arbetssättet för att genom aktiviteter lära matematik. Beroende på lärarens arbetssätt, det vill säga hur, påverkas elevernas förmåga att ta till sig matematiken.
Progression
För att uppnå det viktiga syftet med problemlösning, som vi skrev under varför, är arbetssättet av stor betydelse.
I aktiviteter är syftet viktigt, såväl före, under som efter (Taflin, 2007). Arbetet med problemlösning skall vara välgenomtänkt med en progression i åtanke. Ett F-12 perspektiv bör finnas, där man utgår från enkla enstegsproblem och utvecklar problematiken efterhand (Löwing & Kilborn, 2002). De menar även att beroende på syfte och mål krävs olika problemtyper och arbetssätt. För att få eleverna till bra problemlösare bör pedagogen utmana, uppmuntra och efterhand höja deras målmedvetenhet. Enligt matematikdelegationens rapport kan elevens första erfarenheter av ämnet vara avgörande för inställning och prestation senare i livet (SOU 2004:97).
Strategier
I aktiviteter med problemlösning lär sig eleverna matematik och använder matematiska strategier (Taflin, 2007). Enligt Lester (1996) finns olika strategier för problemlösning och dessa bör ingå i undervisningen så att eleverna kan se möjliga lösningsalternativ. Möjliga strategier enligt Lester är att
● välja en eller flera operationer att arbeta med ● rita bilder
20 ● arbeta baklänges
● göra en lista
● skriva upp en ekvation ● dramatisera situationen
● göra en tabell eller ett diagram ● gissa och pröva
● lösa ett enklare problem
● använda laborativa material eller modeller (s.88).
Hagland et al. (2005) anser inte att man skall undervisa strategierna men däremot bör de förklaras och uppmärksammas, exempelvis i efterföljande samtal när uppgifterna redovisas. Lester (1996) menar att undervisning med strategier bör delas in i två faser. Eleverna undervisas om hur strategierna kan användas i fas ett, innebörden och tekniker uppmärksammas. I andra fasen handlar det om undervisning i att bestämma när de olika strategierna ska användas. Som vi ser det utgår Hagland et al. mer ifrån elevernas tänkande medan Lesterföregår eleverna i undervisningen.
Problemlösningsprocess
Polya (1957/2005) beskriver fyra faser i problemlösningsprocessen
● förstå problemet utifrån frågeställningar som ”Vad är det som söks?” ”Vad är det som är givet?” för att illustrera ritas gärna figurer
● att göra upp en plan ”Har du sett detta förut?” ”Känner du till något närbesläktat problem?” med hjälp av tidigare erfarenheter ser man samband
● genomföra planen ”Kan du bevisa att det är riktigt?” fasen som kräver att varje steg undersöks tålmodigt
● se tillbaka på den färdiga lösningen ”Kan du kontrollera resultatet?” lösningen granskas
Dessa faser har vidareutvecklats av Schoenfeld (Taflin, 2007). Faserna är på individnivå och förklaras med att problemet löses inombords. Varianter av Polyas ursprungsfaser används flitigt av lärare och i läromedel idag (Wyndhamn et al., 2000). Silver (Taflin, 2007) är kritisk till metoden och menar att den heuristiska metoden lätt kan resulterai
21
algoritmisering och menar att de fyra faserna är mer ett förhållningssätt och inte en undervisningsmetod i problemlösning.
Läraren
Lärarens betydelse är som vi ovan nämntav storvikt. Enligt Lester är det betydelsefullt för elevens utveckling om eleven märker att läraren tycker ämnet är viktigt (Taflin, 2007). Polya (1957/2005) menar att lärarens viktigaste uppgift är att hjälpa eleven, genom att till exempel konkretisera problemet. Eleven måste på ett naturligt sätt få lagom med hjälp och läraren måste försätta sig i elevens situation. Polya betonar vikten av att eleven lär sig genom att härma och öva och för att utveckla förmågan att lösa problem bör de ges rikliga tillfällen att öva och intresset för problem successivt öka.
Taflin (2007) beskriver i sin forskning en arbetsgång med stegen: introduktion, idéfas, lösningsfas och redovisningsfas. Resultaten visar att eleven lär i alla faser. När läraren presenterar problemet på ett genomtänkt sätt samt håller en gemensam genomgång i slutet av lektionen skapas tillfällen till matematiklärande. När eleverna under lektionen arbetar med samma problem drar de nytta av att lyssna på kamraternas och eventuellt lärarens förslag på lösningar. En lärandesituation blir till genom att använda elevernas korrekta eller felaktiga lösningar som utgångspunkt för en diskussion. Här blir tillfälle att fånga upp tolkningssvårigheter och därmed hjälpa eleverna. Det är viktigt att alla elever får se de alternativa lösningarna. Denna betydelse visar också Ahlberg (1992) i sin studie där hon menar att när eleverna får argumentera för och presentera sin metod blir de medvetna om sitt eget tänkande, samtidigt som deras förståelse ökar och eleven stärks.
Val av problem och dess utformning har stor betydelse, vilket också läraren styr över. Eleverna bör få använda värdefulla problem som uppmuntrar till att utforska, spekulera och arbeta uthålligt med uppgiften. Att utgå från elevernas intressen, frågor och förförståelse är enligt flera forskare lärarens viktigaste uppgift i problemlösning (Taflin, 2007). Med detta skapas tillfälle för eleverna att konstruera egna matematiska strukturer. Aktiviteterna måste enligt Burton (Boaler, 1993) vara öppna och eleverna tillåtas arbeta enligt egen uppfattning. Eleverna måste få staka ut sin egen väg, arbetsgång.När det gäller problem i läroböckerna är merparten av problemen slutna och
22
stereotypa och står i slutet av kapitlet (Taflin,2007). Eleverna vet då vilken matematik som åsyftas. Med detta tränas inte eleverna att utveckla egna strategier eller välja metod, utan använder den som läroboken eller läraren har visat. Taflin (2007) menar att vid problemlösning ska man inte veta vilken strategi och matematik som skall användas. Detta kan kännas motsägelsefullt och kan lätt misstolkas då hon samtidigt ser det betydelsefullt att lärarens val av problem beror på vad eleverna för närvarande arbetar med, planerat arbetssätt och tillgängliga hjälpmedel. Undervisningen ska vara elevdriven med utmanande problem. Lester (1996) menar i sin tur att fokus bör ligga på processproblem som utvecklar det strategiska tänkandet, det vill säga problem som inte kan lösas enbart med beräkningar.
Ernest (2007) menar att med hjälp av engagerade lärare och spännande resurser görs matematiken relevant för eleverna. Han anser även att det krävs en anknytning till elevernas vardag och intressen i matematikprojekten, ett igenkännande, för att uppnå detta. Detta stämmer också in på ett av målen att uppnå i Lpo94 som säger att ”skolan ansvarar för att varje elev efter genomgången grundskola behärskar grundläggande matematiskt tänkande och kan tillämpa det i vardagslivet” (s.10). Även Barbro Grevholm (1991) anser att vardagsanknytning är av vikt, men det huvudsakliga är att det blir en tankemässig utmaning för eleverna.
Eleverna
Eleverna ska sättas i sådana situationer att de kan se sambandet mellan matematiken i skolan och matematiken i vardagen. Matematiken ska också utformas efter elevernas förförståelse där sammanhanget är avgörande för elevernas inställning till matematiken och reflektioner krävs för att motivera och engagera eleverna (Boaler, 1993). Samma uppfattning kan vi utröna hos Ernest (2007) som menar att eleverna bör räkna utifrån aktuella händelser och undersöka i smågrupper. Samtidigt menar Winslow att det är viktigt att läraren hjälper eleverna att utifrån deras tankar göra mål som tydliggör olika matematiska idéer, oavsett dess utvecklingsmöjlighet (Taflin, 2007).
Slutligen vill vi poängtera betydelsen av att läraren anpassar sig till elevernas förutsättningar eftersom elever är olika (Björkqvist, 2001). Detta trycks det även på i kursplanen i matematik där det står under ämnets karaktär och uppbyggnad:
23
…för att framgångsrikt kunna utöva matematik krävs en balans mellan kreativa, problemlösande aktiviteter och kunskaper om matematikens begrepp, metoder och uttrycksformer. Detta gäller alla elever, såväl de som är i behov av särskilt stöd som elever i behov av särskilda utmaningar (Skolverket, 2000, s.28).
3.5.5 Problem och problemlösning för oss
Vår uppfattning av problem är att det är något som det inte finns ett givet sätt att lösa det på, kan lösas på olika sätt och det krävs ett tänkande samt kan inte lösas per automatik. Med problemlösning menar vi att det är en process som används för att lösa ett problem och att ett lärande därmed utvecklas. Logiskt tänkande och förståelse krävs.
3.6 Sammanfattning teori
I vår teoridel har vi kort redogjort för problemlösning där vi har utgått från frågorna vad, hur och varför. Som svar kan man utläsa att problemlösning kan tolkas på många olika sätt och att det även har ändrats genom tiderna.
Problemlösning kan ses som en praktisk verksamhet som används för att lära. För att eleverna ska lära sig matematik med en djupare förståelse förordas verklighetsanknuten problemlösning. Arbetet ska vara väl genomtänkt från planering till avslut, både i kort och långt perspektiv.
24
4 Metod
Under detta avsnitt kommer vi att beskriva metoden vi använt för vår undersökning där vi redogör för val av metod, urval, val av intervjufrågor och elevuppgifter, procedur, beskrivning av undersökningarna och avslutar med att föra ett forskningsetiskt resonemang.
4.1 Val av metod
Som datainsamlingsmetod har vi valt en triangulering där två kvalitativa metoder ingår. Dels har vi gjort en semistrukturerad intervju med lärarna, dels har eleverna löst vars två problemlösningsuppgifter. En kvalitativ metod används när fokus ligger på ord istället för mängd insamlat material. Metoden bygger på resultat av praktisk forskning, förståelse av den socialt tolkade verkligheten, samt förståelse av individer (Bryman, 2001). Vi har valt den kvalitativa metoden för att se effekten av lärares och elevers handlingar samt fånga de intervjuades synsätt, uppfattning och ståndpunkter. Ett annat skäl till kvalitativ undersökning är att vi i intervjun vill ha fylliga svar.
Med en intervjuundersökning är avsikten att få fram den intervjuades attityder, värderingar, åsikter och beteende. I en semistrukturerad intervju utgår man från fasta frågor där ordningsföljden kan variera. Frågorna brukar vara allmänt formulerade och det finns ett visst utrymme för att ställa uppföljningsfrågor. Då svarsmöjligheterna är
25
öppna ges beskrivande svar. Eftersom vi har gjort undersökningar i tre klasser som vi vill kunna jämföra valde vi semistrukturerad intervju.
Triangulering innebär att mer än en metod används. Ett syfte med triangulering är att resultatet kan dubbelkontrolleras, vilket medför högre trovärdighet (Bryman, 2001). Vi har använt triangulering för att kunna utläsa ett eventuellt samband mellan undersökningarna.
För forskning av människors tänkande finns framförallt två metoder, hermeneutik och fenomenologi. Hermeneutiken avser att förstå och tolka texter. Inför arbetet är tolkaren så gott som planlös och bör ha en god förförståelse. En klarhet söks i innehållet genom pendling mellan del och helhet och huvudsyftet är att få fram ett tydligt mönster som visar sambandet. I detta samspel fördjupas förståelsen successivt. Syftet med den fenomenologiska metoden är också att nå en helhetsuppfattning, men på ett annat sätt. Generellt kan man säga att metoden används för att beskriva olika företeelser som framträder vid tänkandet och därefter finna likheter samt tolka och kategorisera dem (Möllehed, 2001).
Som tolkningsmetod i vår undersökning har vi använt oss av både hermeneutiken och fenomenologin. Enligt hermeneutiken ska man ha god förförståelse för att underlätta tolkningen av materialet. Vi har byggt upp vår förförståelse under processen med den teori vi tagit del av och därefter använt vid analys. Samtidigt har vi enligt fenomenologin försökt leva oss in i elevernas föreställningar och försökt förstå deras tankar utan ett på förhand givet mönster. De olika kategorierna av tänkande har vi försökt sammanföra till mindre grupper med gemensamma drag. Slutligen har vi försökt sammanfatta delarna från både intervjusvar och elevsvar till en helhet för att urskilja ett mönster, se ett resultat.
4.2 Urval
Som underlag för vår undersökning har vi vänt oss till tre klasser i skolår 3, på olika skolor. Skolorna vi undersökte ligger i samma kommun och har ett gemensamt upptagningsområde. Detta urval gjordes för att eleverna ur ett samhällsperspektiv skulle vara så lika varandra som möjligt. Ett annat kriterium som skulle uppfyllas var att
26
läraren skulle ha undervisat klassen sedan skolår ett och är den som påverkat och lagt grunden för elevernas matematiska tänkande. Läraren på den ena skolan är inspirerad av ett matematikprojekt, där syftet är att utveckla matematikundervisningen och få ökad lust till ämnet och tilltro till det egna tänkandet, detta genom undersökande aktiviteter och öppna uppgifter. Övriga lärare är slumpvis utvalda.
4.3 Val av intervjufrågor och elevuppgifter
Val av intervjufrågor har vi gjort med avsikt att få inblick i de intervjuade lärarnas matematikundervisning samt inställning och användande av problemlösning (bilaga 1). Eleverna fick två problemlösningsuppgifter (bilaga 2 och 3), med inspiration från Ahlberg (2000) och Nämnarens Kängurusida (NCM). Valet av uppgift grundade sig på en vardagsanknytning för eleverna, vilket av många forskare är av stor betydelse (Ernest, 2007; Taflin, 2007 m fl.). Vi valde två liknande uppgifter med olika svårighetsgrader som vi anser kan lösas på olika sätt. Detta stärkte också vår uppfattning vid gruppering. Vi valde uppgifterna med avseende att fånga elevernas enskilda tankar vid lösning av individuella problem. Öppna problem anser vi svårare att värdera och kategorisera utifrån syftet med vår undersökning. Vi finner de öppna frågorna lämpligare för samtal eller gruppdiskussion och då är andra metoder att föredra, till exempel observation, det vill säga metod där intryck registreras genom iakttagelser (Nationalencyklopedin (b)).
4.4 Procedur
Vid inledningen av vår undersökning diskuterade vi olika undersökningsalternativ och tog telefonkontakt med rektorer inom olika kommuner. Efter övervägande bestämde vi oss för att hålla oss till en kommun. Innan vi kom i kontakt med våra informanter berättade vi vårt syfte för rektorerna på respektive skola och frågade om det fanns någon klass i skolår 3 vi kunde besöka.
27
Före intervjutillfället berättade vi åter för lärarna att vi tänkt en kort intervju samt även ge två uppgifter till eleverna som de skulle lösa. Vi berättade att allt var anonymt samt frågade om det gick bra att spela in intervjun. Vi var också noggranna med att delge de deltagande lärarna syftet. Innan intervjun startade frågade vi om de hade några frågor samt om allt kändes bra. Intervjuerna spelades in samtidigt som vi förde anteckningar. Först gjordes två pilotstudier för att undersöka om uppgifterna och intervjufrågorna verkade relevanta. Vi upptäckte då att en uppgift var för svår och att vi behövde ändra ordningen på några av intervjufrågorna. Den ena pilotstudien gjordes innan vi valt upptagningsområde och den andre innan vi fått veta att läraren endast undervisat klassen i en månad.
Vid elevundersökningen berättade vi för eleverna att vi var lärarstuderande och att vi behövde deras hjälp med att lösa två uppgifter. Vi berättade för dem att de skulle arbeta självständigt, inte skriva något namn samt att de skulle visa hur de kom fram till svaret, gärna på så många olika sätt som möjligt. Om de undrade över något skulle de räcka upp handen och vänta på hjälp. Tanken var att vi och inte klassens lärare skulle komma vid behov av hjälp. Detta för att vi var intresserade av elevens lösningar utan yttre påverkan. Innan vi delade ut uppgifterna läste vi dem högt för eleverna. Eleverna fick sitta med de två uppgifterna i maximalt 30 minuter, blev de klara tidigare bad vi dem att åter läsa igenom uppgifterna och om möjligt lämna fler alternativa lösningar.
Efter undersökningarna transkriberades intervjuerna och elevsvaren kodades, med bokstav för klass och siffror för elevsvar. Detta för att kunna para ihop elevernas respektive svar. Vi gick först enskilt igenom våra elevsvar, därefter tillsammans för att ha samma kriterier vid våra grupperingar. Vi gjorde först detaljerade indelningar och därefter grövre med inspiration från Lester (1996) och Ebbe Möllehed (2001).
4.5 Beskrivning av undersökningarna
Klass A besöktes en fredagseftermiddag efter lunch. Klassen bestod av 21 elever, alla närvarade vid undersökningstillfället. Eleverna satt på sina ordinarie platser vid undersökningen. Klassens lärare var inspirerad av ett matematikprojekt men hade fått akuta hinder från att närvara, en vikarie närvarade istället. På grund av lärarens frånvaro
28
blev det ingen efterföljande intervju med denne. Istället intervjuades parallellklassens lärare, en nära samarbetande och inspirerande kollega.
Klass B besöktes en tisdag efter förmiddagsrasten. Klassen bestod av 13 elever, 11 närvarade. Klassens lärare närvarade tillsammans med en fritidspedagog. Eleverna satt vid undersökningstillfället väl utspridda i klassrummet. Läraren och fritidspedagogen hjälpte eleverna med att förklara uppgifterna noggrant. Eleverna hade före undersökningstillfället fått veta att undersökningen rörde matematik. Efter undersökningen gjordes lärarintervjun i ett ostört personalrum. Därefter skulle läraren följa sin klass till lunch och viss tidspress förelåg. Läraren har arbetat som utbildad pedagog i 10 år.
Klass C bestod av 30 elever som samtliga var närvarande. Besöket gjordes en måndag förmiddag, direkt efter en rast. Fyra av eleverna var inte med från början. Eleverna satt parvis i klassrummet. I klassrummet var också en speciallärare. Både specialläraren och läraren gick runt i klassrummet. Efter elevundersökningen gjordes intervjun med läraren. Intervjun genomfördes i ett öppet genomgångsrum intill klassrummet. Under samtalet blev vi störda några gånger, en elev och en personal som kom med fråga och en som gick igenom rummet. En viss stress upplevdes med befaran att läraren kände detsamma då lunchen närmade sig.
4.6 Forskningsetik
Vi har i vår undersökning varit noggranna med den etiska aspekten. Vid arbetets start var vi intresserade av att undersöka två ytterligheter ur ett pedagogiskt perspektiv. När vi skulle söka möjliga informanter uppstod ett problem. Hur skulle vi hitta lärarna med traditionell undervisning, det vill säga läroboksbunden, och delge syftet med undersökningen på ett för dem positivt sätt?
På grund av denna svårighet valde vi istället slumpvis två lärare och en lärare med inspiration av ett matematikprojekt. Vi informerade våra informanter om etiska aspekter, såsom anonymitet, syfte och den konfidentiella hanteringen av undersökningsmaterialet samt bandinspelningen (Bryman, 2001).
29
5 Resultat
I detta kapitel kommer vi att redogöra för resultaten av undersökningarna och intervjuerna. Elevsvaren har vi fått analysera till viss del för att kunna kategorisera dem.
5.1 Resultat av elevuppgifter
Som vi tidigare nämnt har vi i vår undersökning använt oss av två olika problemlösningsuppgifter som vi finner lämpliga för skolår 3. Vi ser i uppgifterna olika lösningsmöjligheter och anser därför att de visar en del av elevernas sätt att tänka. Uppgifterna är skriftligt benämnda uppgifter av flerstegskaraktär, vilket innebär att eleverna måste utföra beräkningar i fler steg (Ahlberg, 1995). Utifrån Lesters strategier (1996) anser vi att möjliga hypotetiska lösningar för elevernas ålder och situationen är gissa och pröva, söka mönster, välja en eller flera operationer att arbeta med, rita bilder, algebraiskt och göra en tabell. Inom dessa finns olika tillvägagångssätt. Visuell lösning kan exempelvis illustreras med index eller ikoniska tecken. I den aritmetiska lösningen kan alla de fyra räknesätten användas.
Resultaten på uppgifterna har vi först delat upp i två grupper, rätt och fel, för att se elevernas problemlösningsförmåga. I ett senare skede ville vi se ett eventuellt samband mellan svaren och lärarnas pedagogik. I elevernas felsvar kan vi se hur eleverna tänker, vilket stämmer överens med Piagets teori om misconceptions, missuppfattningar
30
(Claesson, 2007).Under respektive grupp har vi sen gjort indelningar i olika kategorier. Följande problemlösningsuppgifter ingick i studien:
Uppgift 1
Lena har 28 godisbitar och Maria har 16. Lena vill att hon och Maria ska ha lika många. Hur många godisbitar måste hon då ge till Maria?
Uppgift 2
På skolgården finns det 19 flickor och 12 pojkar. De vill dela in sig i sex lika stora lag och alla ska få vara med. Hur många fler barn måste det komma för att det ska gå?
Tabellerna nedan illustrerar fördelningen av elevernas rätt- och felsvar. Det första vi såg var att klass B har avsevärt större andel rätt svar, att beakta är dock att i denna klass deltog endast elva elever i undersökningen.
Tabell 1
Klass A
Klass B
Klass C
Uppgift 1 Antal % Antal % Antal %
Rätt 7 33 7 63 16 53
Fel 14 67 4 37 14 47
Totalt 21 100 11 100 30 100
Tabell 2
Klass A
Klass B
Klass C
Uppgift 2 Antal % Antal % Antal %
Rätt 6 29 8 83 7 23
Fel 15 71 3 17 23 77
Totalt 21 100 11 100 30 100
5.1.1 Rätt
Vid vidare bearbetning av vårt datainsamlingsmaterial kom vi fram till tre huvudsakliga metoder som eleverna använt sig av vid de rätta svaren. Dessa metoder liknade vi med
31
Lesters strategier som vi tidigare nämnt i teoridelen (ss 19). Strategierna som framkom ur materialet är:
● välja en eller flera operationer att arbeta med – elever som använder sig av huvudräkning eller aritmetik i flera steg
● rita bilder – eleverna använder symboler för att illustrera och räkna visuellt
● gissa och prova – eleverna provar sig fram stegvis med hjälp av uppdelning av talen. Elevsvaren kan tillhöra olika grupper, men vi har varit konsekventa och valt att indela dem enligt det vi tolkat som deras grundidé. En elev kan exempelvis ha visat på mer än ett sätt hur svaret framkommit. Om illustrationen av tillvägagångssättet är otydlig och steg i uträkningen fattas på pappret, har vi tolkat det som huvudräkning. Därmed har vi lagt in svaret i kategorin välj en eller flera operationer. I denna kategori har vi också lagt in dem som enbart skrivit svaret.
Ett exempel på denna strategi på denna strategi i uppgift 1 är: 28−6 = 22
16+6 = 22
Svar: Lena ger Maria 6 godisar.
En del elever har gjort på liknande vis, med en viss variation. Detta visar att eleverna som första steg använt huvudräkning, där de har räknat ut hur många de skall ha vardera. Detta kan dock ha gjorts på olika sätt, vilket inte framgår av deras svar. Lösningarna inte är illustrerade och vi kan därmed inte fånga deras osynliga tankar.
I kategorin gissa och prova har vi placerat dem som använder en stegvis uträkning och vi märkt att de provat sig fram med bland annat upp- och nedräkning. Till exempel i nedan elevsvar kan man förstå att eleven letat efter det okända antalet tills man ser att det är lika.
32
I kategorin rita bilder har vi placerat dem som på något sätt använt bilder för att antingen visa hur de tänkt i sin uträkning eller använt det som ett hjälpmedel. I det här elevsvaret, och liknande, illustrerar eleven med hjälp av ringar de sex lagen (se uppgift 2). Ringar med kryss är pojkar, ringar med prickar är flickor och de tomma ringarna är antal barn som behöver komma för att få sex lika stora lag.
33
I samtliga klasser användes tre olika sorters strategier vid rätt lösning av uppgifterna. Vi såg att den mest frekventa strategin för alla klasser var rita bilder. En viss variation i tillvägagångssätten inom de olika kategorierna finns. Nedanstående tabeller visar fördelningen på de olika strategierna.
Tabell 3
Klass A
Klass B
Klass C
Uppgift 1 Antal % Antal % Antal %
en eller flera operationer 2 29 1 14 4 25 rita bilder 4 57 5 72 8 50 gissa och prova 1 14 1 14 4 25 Totalt 7 100 7 100 16 100 Tabell 4
Klass A
Klass B
Klass C
Uppgift 2 Antal % Antal % Antal %
en eller flera operationer 2 33 4 50 3 43 rita bilder 4 67 4 50 4 57 gissa och prova 0 0 0 0 0 0 Totalt 6 100 8 100 7 100
5.1.2 Fel
För de felaktiga svaren har vi inspirerats av Mölleheds (2001) påverkansfaktorer vid problemlösning. Han redogör för 16 olika faktorer som påverkar problemlösningen i matematik, både kognitiva och matematiska. De kognitiva faktorerna är beroende av elevens tänkande medan de matematiska faktorerna påverkas av undervisningen samt elevens kunskaper i ämnet.
34
Vi har valt ut fyra av de 16 faktorerna, vilka vi anser passa vår undersökning. Faktorerna är textförståelse, logik, räkneförmåga och uppmärksamhet.
● textförståelse – eleverna förstår inte frågans avsikt, de svarar inte på rätt sak ● logik – eleverna visar en ofullständig lösning
● räkneförmåga – eleverna gör räknefel och visar brister i taluppfattning ● uppmärksamhet – eleverna gör slarvfel
Ibland har eleverna fler än en brist, men då har vi grupperat dem efter det huvudsakliga felet. Då elevlösningarna enbart är tolkningar från vår sida råder det osäkerhet kring dem vi har placerat inom gruppen textförståelse. Det kan likaväl handla om slarvfel, det vill säga tillhöra gruppen uppmärksamhet. Vi har dock varit konsekventa när vi grupperat svaren. Inom varje grupp finns flera olika angreppssätt. Nedan redogör vi för fördelningen av felaktiga svar i respektive uppgift.
Tabell 5
Klass A
Klass B
Klass C
Uppgift 1 Antal % Antal % Antal %
Textförståelse 9 65 4 100 8 57 Uppmärksamhet 2 14 0 0 1 7 Logik 2 14 0 0 0 0 Räkneförmåga 1 7 0 0 1 7 Olöst 0 0 0 0 4 29 Totalt 14 100 4 100 14 100 Tabell 6
Klass A
Klass B
Klass C
Uppgift 2 Antal % Antal % Antal %
Textförståelse 10 66 1 34 17 74 Uppmärksamhet 1 7 0 0 2 9 Logik 1 7 1 33 0 0 Räkneförmåga 3 20 0 33 0 0 Olöst 0 0 1 0 4 17 Totalt 15 100 3 100 23 100
35
Vad vi kan utläsa så brister det framförallt i elevernas textförståelse, de läser inte uppgiften rätt. Detta visar sig i uppgift 1 då många svarat antingen 22 eller 12. 22 är antalet godisbitar de får var och 12 är skillnaden mellan antalet godisbitar flickorna har från början. I uppgift 2 är det vanligaste felsvaret sju, vilket är skillnad mellan antal pojkar och flickor.
I våra första detaljerade indelningar, vilka vi nämnt i proceduren, uppmärksammades variationer i uträkningarna där klass A har 8 olika tillvägagångssätt, klass B 3 och klass C 6 i uppgift 1. I uppgift två har klass A 10, B 3 och C 6 olika tillvägagångssätt.
5.2 Resultat av lärarintervjuerna
Då vår avsikt med undersökningen är att se om lärarnas tillvägagångssätt, inställning och användande av problemlösning påverkar elevernas lösningar beskriver vi lärarna kort utifrån intervjuerna.
5.2.1 Lärare A
Lärare till klass A var inte närvarande vid undersökningen och har av personliga skäl inte heller deltagit i någon intervju. Istället intervjuade vi dennes kollega som inspirerat lärare A mycket. Den intervjuade läraren hade bara haft sin klass en kort period, därför gjordes inte undersökningen i den klassen. I arbetet har vi valt att kalla den vi intervjuade för lärare A. De har ett nära samarbete samt planerar tillsammans och enligt den intervjuade har de samma synsätt. Lärare A har arbetat som lärare i åtta år och har deltagit i ett matematikprojekt. Läraren beskriver sin undervisning som problemlösande där de arbetar mycket med praktisk matematik, öppna frågor som kräver tankeverksamhet och samarbete. De försöker koppla praktik med teori och försöker alltid att få med så många olika arbetssätt som möjligt. De använder sig av läroboken, Eldorado, som ett komplement i undervisningen. Informanten anser att eleverna även behöver sitta ensamma och räkna. Boken fungerar som ett stöd i undervisning för att få med alla delarna.
36
Problemlösning kopplar läraren dels till elevernas arbetssätt och dels till de uppgifter eleverna får. Uppgifterna kan vara både muntliga och praktiska men också skriftliga. Läraren anser att det ibland fokuseras för mycket på problemlösning i skolorna och att det bara är en del av det hela. Strategierna som det arbetas med i klassen lär eleverna av varandra i samband med redovisningar av hur man gjort och läraren fyller i om det är någotav betydelse som saknas. Läraren nämner att strategierna till viss del är synliga i klassrummet då de ibland nedtecknas på blädderblock som hänger framme.
5.2.2 Lärare B
Lärare B arbetade som vikarie i grundskolan i många år innan lärarutbildningen påbörjades och har därefter varit verksam lärare sedan 2000. Varje dag har de någon form av matematik. Lektionerna kan vara allt ifrån 10 till 40 minuter långa, de pratar matematik, har muntliga problem eller arbetar med multibasmaterial. Övrig tid arbetar de med Mästerkatten, en lärobok. Läraren vill ha eleverna samlade i grupp, men de barn som är duktigare får arbeta mer självständigt. De arbetar i egen takt, men är med på gemensamma genomgångar. Elever som har problem med matematiken får delta i extragrupper. En gång i veckan efter skolslut tränar de baskunskaper. I lärare Bs klass följer de läroboken, men många avstickare görs ifrån den. För lärare B är boken ett stöd för att allt ska komma med.
Problemlösning är för lärare B mycket viktigt. Det är praktiska problem som barnen kan stöta på i sin vardag, t.ex. pengar, lagindelning, klockan och fruktdelning. Det liknar uppgifterna som ingick i elevundersökningen. I undervisningen har lärare B ibland muntliga problem som en inledning på lektionen och ibland får eleverna skriva egna problem till varandra. Lärare B ser muntlig matematik som ett sätt att lära ut strategier, det vill säga hur man kan tänka vid problemlösning. Men det skiljer sig från elev till elev och är beroende av problemets art. Eleverna ritar, skriver på matematikspråk eller diskuterar. De använder också en mängd material som klossar, måttband, multibasmaterial, med mera.
37
5.2.3 Lärare C
Läraren i klass C har arbetat som lärare i 13 år och har haft denna klass sedan skolår ett, dessförinnan arbetade läraren med skolår 4-6. Kopplingen mellan det konkreta och symboliska ska enligt lärare C vara tydlig. Vikten av att arbeta med vardagsmatematik så eleverna förstår vad matematiken är till för betonas i beskrivningen av undervisningen. Genomgångar är också ett viktigt inslag, dels där läraren själv förklarar och hjälper eleverna att upptäcka sammanhang men också att fråga dem mycket. Arbetsformen varierar, de arbetar individuellt, i par och i olika grupper. Eleverna förklarar och hjälper varandra. Resonemang och samtal är viktiga inslag i undervisningen. Ett exempel på detta är när eleverna hjälper och förklarar för varandra. Matematikpassen försöker lärare C ha i längre pass så eleverna får arbeta in sig. Därefter använder de ofta läroboken, men inte vid varje pass. Läraren släpper inte eleverna fria och de börjar inte lektionen direkt med boken utan det är en vidare bearbetning av det de har pratat om. Boken är som ett stöd och den har ett bra innehåll. Den ger eleverna trygghet, där de kan fördjupa sig individuellt.
Läraren associerar problemlösning med räknehändelser, men även olika spel och aktiviteter. Problemlösning och att höra elevernas resonemang samt se vilka strategier de använder sig av tycker läraren är spännande. De arbetar med problemlösning i perioder, inte så mycket i tidigare åren, då mycket fokus ligger på automatisering. I de lägre åldrarna kommer det in som räknehändelser, i samband med att de lär addition och subtraktion och även spel som det finns mycket strategier i, exempelvis Yatzy. När det gäller strategier fångar läraren elevernas lösningar och fyller i om det är några viktiga som inte kommit med, dessa samtalar de om i grupp. De strategier som de arbetar med är talens uppdelning, tvillingar, räkna upp, samband mellan addition och subtraktion.
38
6 Analys och diskussion
Analys- och diskussionsavsnitten kommer vi att behandla gemensamt då vi i vårt arbete ser ett nära samspel dem emellan. Vi börjar med analys och diskussion utifrån frågeställningarna klassvis och därefter av lärarintervjuerna vilket summeras i en sammanfattning. Avslutningsvis har vi diskussion kring undersökningens tillförlitlighet och sist en slutsats.
Syftet med vår undersökning är som vi tidigare nämnt att se om och i så fall hur elevens tänkande påverkas av lärarens sätt att bedriva matematikundervisning, vilket vi vill få besvarat genom våra frågeställningar som vi nedan återger.
6.1 Frågeställning 1
Kan man se ett samband mellan elevernas förmåga och strategier att lösa matematiska problem och lärarens inställning till problemlösning?
Vid en första anblick på resultatet, utan någon djupare analys, ser vi att klass A har lägst andel rätt svar. Läraren till den klassen säger i intervjun ”att det ibland fokuseras för mycket på problemlösning i skolorna”. Klass B däremot har högst andel rätt svar med läraren som sa ”problemlösning är jätteviktigt, jätteviktigt”. Men, när vi gräver djupare, vad finner vi då?
39
6.1.1 Analys och diskussion av klass A
Vi finner flest variationer i elevernas lösningar, eller försök till lösningar, i klass A. Det är även den klassen där eleverna visar fler tillvägagångssätt per uppgift. Klass A anser vi dessutom använder sig av mer matematiska lösningar på problemen, mer utmanande. Exempelvis prealgebra och division, men däremot få eller ingen gissa och prova. Det känns som om de försöker, men kommer inte hela vägen fram. Handlar det om avsaknad av relationell förståelse (Skemp, 1976) eller är de i ett utvecklingsskede?
I illustrationerna är index, vilket Ahlberg (1995) beskriver som streck, pilar och cirklar, vanligast förekommande. Här ser vi ett samband mellan lärarens undervisning och elevsvaren. Öppna frågor, där de olika svaren och lösningsmetoderna diskuteras är vanligt förekommande i undervisningen, vilket för eleverna synliggör flertalet variationer (Sullivan & Lilburn, 2002; Taflin, 2007; Ahlberg, 1995).
Vid beskrivning av vilken typ av problemlösning de använder i klass A sa informanten att de också använder sig av skriftliga uppgifter, som exempel ”Kalle och Lisa är ute och går. Kalle vill ha en glass, men pengarna räcker inte. Hur mycket saknas?” Detta problem är liknande de vi hade med i vår undersökning, men det citerade exemplet är ett enstegsproblem, medan våra problem kräver fler steg. Många av deras svar i båda uppgifterna bestod av att räkna ut mellanskillnaden, det vill säga det första steget i uppgifterna. Hur vana är eleverna i klass A vid flerstegsproblem?
Arbetsgången som vi skrev om i teoridelen (Taflin, 2007) med introduktion, genomförande och gemensam genomgång ser vi i klassen där eleverna lär sig strategierna av varandra då de gruppvis redovisar om hur man kan lösa uppgifterna.”Ett tag hade jag strategierna på färdiga, så gick jag igenom strategi för strategi. De tog aldrig åt sig det på det sättet. Det är först när de själva kommer med, jag kan lösa det så här. Jag känner att det fungerar bättre, i alla fall i min undervisning.”
I elevsvaren, som ofta är uppbyggda på liknande sätt, finns i ett flertal både index och uträkning med siffror, vilket vi känner igen från lärarens upplägg på lektionerna ”jag kan ge en uppgift och jag frågar dem i slutet av lektionen, den här gruppen – hur löste ni uppgiften? Och så berättar de det, och så kan jag föra över det matematiskt på whiteboard, tavlan eller smartboard”. Som Ahlberg (1995) skriver är övergången från informell till formell matematik med symboler ofta svår men viktig för sammanhanget.
40
6.1.2 Analys och diskussion av klass B
I klass B’s elevsvar såg vi en stor andel rätt svar, men inte så många fantasifulla lösningar. Illustrationerna består övervägande av index, men det förekommer också ikoniska tecken, det vill säga bildtecken, exempelvis streckgubbar (Ahlberg, 1995). I lärarintervjun framgick det att klassen var van vid problemlösning liknande den som ingick i undersökningen, vilket tydligt märks med citatet ”Du hade lagindelning, det är sånt som barnen använder dagligen, eh, vi har ju, vi gör ju så innan man går ut på rast. Att nu e vi 12 i klassen idag. Tillsammans hur kan vi dela upp jämna grupper idag?” Eleverna i klass B var vana att arbeta praktiskt med olika material som hjälpmedel, vilket påverkar elevernas matematiska förståelse (Malmer, 1999).
I klassen pratar de mycket matematik, med bland annat muntliga problem med boken som underlag. De få tillvägagångssätten som visades kopplar vi till användandet av läroboken, vilken enligt Taflin (2007) inte ger så många lösningsförslag. Vad vi inte kan bortse ifrån är det låga elevantalet i klassen, jämfört med övriga undersökta klasser.
6.1.3 Analys och diskussion av klass C
I klass C klarade ungefär hälften av eleverna första uppgiften men betydligt färre klarade uppgift två som var lite svårare, där betydligt större andel felsvar berodde på textförståelse. Vad som mer var intressant var att 25 % använde sig av gissa/prova på uppgift ett, men ingen på uppgift två.
I klassen arbetar de med problemlösning i perioder, vilket visas i citatet ”…finns med i sjok kan man säga så när vi väl börjar arbeta med det så koncentrerar vi oss på det lite extra och då får andra saker stå tillbaka lite grann”. Hur hade resultatet sett ut om undersökningen gjorts under en period då problemlösning varit i fokus i undervisningen? Hade den höga frekvensen i avsaknad av svar sett annorlunda ut? Problemlösning bör utvecklas långsamt under en lång period med många och varierande problem (Lester, 1996). Eleverna i klass C är vana att hjälpa varandra och liksom i klass A arbetar de med gemensamma genomgångar (Taflin, 2007) där de utgår från elevernas olika strategier. Genom att ge eleverna många representationer ges också större möjlighet att fånga alla elever och deras förståelse vidgas (Malmer, 1999). Detta
41
syns då eleverna har en variation i lösningarna, men ändå många som illustrerar på likartade sätt. De använder sig av såväl index som ikoniska tecken, där den senare är mest frekvent. Den aritmetiska förståelsen ökar då eleverna får en visuell upplevelse genom att rita (Ahlberg, 1995).
6.2 Frågeställning 2
Ges eleverna möjlighet att utveckla eget tänkande eller används redan utlärda metoder?
6.2.1 Analys och diskussion av klass A
”… arbetar mycket med praktisk matematik, och jobbar mycket med öppna frågor där vi ger uppgifter som har många lösningar, de kräver lite tankeverksamhet, de kräver samarbete mellan eleverna.” Citatet visar att eleverna får utveckla eget tänkande med det beskrivna arbetssättet. I elevundersökningen syns detta i frekvensen av varierande lösningar, där de inte fokuserar på rätt svar utan möjliga svar och tillvägagångssätt, vilket stämmer överens med beskrivningen av öppna frågor (Sullivan & Lilburn, 2002).
6.2.2 Analys och diskussion av klass B
Läroboken är utgångspunkt för klassens matematikundervisning vilken de arbetar praktiskt utifrån. Boken utvecklar inte eget tänkande då bland annat instruktioner och rubriker vägleder både när det gäller strategi och räknesätt (Kronqvist & Malmer, 1993; SOU 2004:97; Taflin, 2007). Vi uppfattar det som att eleverna får möjlighet att utveckla det matematiska tänkandet genom samtal och praktiskt arbete, men dock under lärarens initiativ och styrning.
