Hur läromedel bråkar med bråk : En läromedelsanalys inspirerad av variationsteorin

Hur läromedel bråkar

med bråk

En läromedelsanalys inspirerad av variationsteorin

KURS: Examensarbete för grundlärare F-3, 15 hp

PROGRAM: Grundlärare med inriktning mot arbete i förskoleklass och grundskolans årskurser 1–3

FÖRFATTARE: Alexander Bäck EXAMINATOR: Pernilla Mårtensson TERMIN: VT21

JÖNKÖPING UNIVERSITY Examensarbete för grundlärare F-3 15hp

School of Education and Communication Grundlärare förskoleklass och årskurs 1–3

Vårterminen 2021

SAMMANFATTNING

_______________________________________________________________________

Alexander Bäck

Hur läromedel bråkar med bråk – En läromedelsanalys inspirerad av variationsteorin

Antal sidor: 38

______________________________________________________________________________

Bråk beskrivs som ett av de mest komplexa ämnesområden inom matematik. Däremot har en del läromedel tonat ner bråkens betydelse samtidigt som forskning visar att läroböcker utgör en central del av lärares matematikundervisning. Syftet med denna studie är att ge en bild av vad tre läromedel läroböcker erbjuder elever att lära om bråk. Undersökningen har inspirerats av variationsteorin och utgår från fyra kritiska aspekter som utifrån tidigare forskning visat sig vara viktiga för elevers förståelse för bråk. Totalt har sex läroböcker analyserats med hjälp av en innehållsanalys, i syfte att identifiera vilka variationsmönster som används för att synliggöra fyra kritiska aspekter. Dessutom undersöktes vilka lärandeobjekt som förekommer i respektive lärobok. Av resultatet framgår en variation i vilken utsträckning de kritiska aspekterna behandlas och vilka variationsmönster som används för att öka elevers förståelse för de kritiska aspekterna. Framförallt ges elever möjlighet att lära om täljaren och nämnarens funktion genom generalisering som mönster av variation. I läromedlen kunde sammanlagt 19 unika lärandeobjekt identifieras. Däribland återfinns lärandeobjekt om såväl bråk som del av en helhet som bråk som del av antal. Även om inget av de analyserade läromedlen behandlar samtliga lärandeobjekt är det möjligt att utläsa en tydlig skillnad vad gäller såväl omfång som innehåll. Oavsett står det klart att en kombination av flera läromedel kan berika elevers möjligheter att lära bråk. För att en sådan variation ska vara möjlig krävs en stärkt skollag som säkerställer elevers rätt till läromedel.

_______________________________________________________________________

Sökord: bråk, läromedel, variationsteori, lärandeobjekt, variationsmönster, kritiska aspekter ______________________________________________________________________________

ABSTRACT

_______________________________________________________________________

Alexander Bäck

How textbooks in mathematics face fractions – A teaching material analysis inspired by the theory of variation

Pages: 38

______________________________________________________________________________

Research shows that there are a number of reasons students struggle with fractions. On the other hand, some mathematics textbooks still reduce the importance of fraction, while research found mathematics textbooks as a central part of teachers’ math teaching. However, the aim of this study is to depict what three educational materials offer pupils to learn about fractions. The study has been inspired by the theory of variation and is based on four critical aspects that, based on previous research, have been found as critical for students’ understanding of fractions. A total of six mathematics textbooks have been analysed using a content analysis, in order to identify which patterns of variation are used to make the selected critical aspects visible. Furthermore, this study examined which learning objects that appear in each textbook. The results show a variation in the extent each critical aspect is treated and which variation patterns that are used to improve pupils understanding of selected critical aspects. A total of 19 unique learning objects could be identified in the mathematics textbooks. Due to the fact that none of the analysed teaching materials deals with all learning objects, it is possible to distinguish a variation of both volume and content. However, result from this study claims that mathematics textbooks combined would offer greater opportunities to learn obviously. If teachers should be able to overcome a various teaching material it is necessary to strengthen students’ rights to teaching material.

_______________________________________________________________________

Keywords: fraction, mathematics textbooks, theory of variation, learning object, patterns of variation, critical aspects

Innehållsförteckning

1 Inledning ... 1

2 Syfte och frågeställningar ... 2

3 Bakgrund ... 3

3.1 Bråk som tal ... 3

3.1.2 Bråk som del av en helhet ... 3

3.1.3 Bråk som del av ett antal ... 4

3.1.4 Bråk i undervisning ... 4

3.2 Tidigare forskning ... 5

3.3 Variationsteori ... 8

3.3.1 Lärandeobjekt ... 8

3.3.2 Kritiska drag och kritiska aspekter ... 9

3.3.3 Variationsmönster ... 10 4 Metod ... 12 4.1 Metodval ... 12 4.2 Urval ... 13 4.3 Läromedelsbeskrivning ... 14 4.3.1 Singma matematik ... 14 4.3.2 Koll på matematik ... 15 4.3.3 Favorit matematik ... 15 4.5 Analys ... 16 4.6 Etiska ställningstaganden ... 19 4.7 Studiens tillförlitlighet ... 20 5 Resultat ... 21

5.1 Identifierade lärandeobjekt i läromedlen ... 21

5.2 Identifierade variationsmönster av kritiska aspekter i läromedlen ... 23

6 Diskussion ... 31

6.1 Metoddiskussion ... 31

6.2 Resultatdiskussion ... 33

6.2.1 Lärandeobjekt i läromedlen ... 33

6.2.2 Variationsmönster av kritiska aspekter ... 35

6.2.3 Elevers rätt till läromedel ... 36

6.2.4 Slutord resultatdiskussion ... 37

6.3 Konklusion ... 38

6.4 Idéer om fortsatt forskning ... 38

7 Referenslista ... 39

1

1 Inledning

Skolans matematikundervisning syftar till att utveckla elevers förståelse av tal, där tal i bråkform beskrivs som ett av de mest rikaste och komplexa ämnesområden inom matematik (Jigyel & AfamasagaFuata’i, 2007; Mack, 1993). I Wallinder och Johansson (2020) undersöktes vad matematikdidaktisk forskning säger om elevers missuppfattningar vid storleksordning och jämförelse av tal i bråkform. Resultatet av studien visar på flera missuppfattningar bland elever när de tar sig an tal i bråkform i matematikundervisningen. Samtidigt har en del läromedel tonat ner bråkens betydelse och fokuserat på de rationella talens decimalform istället (Skolverket, 2013). Min reflektion från utbildningens verksamhetsförlagda utbildning är att undervisningen många gånger är styrd av läromedel och inte minst matematikundervisningen. Forskning (Alajmi, 2009; Hirsch et al., 2005; Skolverket, 2012) bekräftar tesen om att läromedel har en stor inverkan på matematikundervisningen. Dessutom belyser flertalet studier (Fan et al., 2013; Reys et al., 2004) att kvalitén på läromedlen påverkar elevers lärande. Däremot hävdar Gustav Fridolin, i egenskap av statens särskilda utredare, att det finns relativt mycket data som pekar på att det köps in färre läromedel idag än tidigare (SVT, 2021). Mot denna bakgrund finner jag intresse i att, genom en läromedelsanalys, undersöka hur ett ämnesområde som bråk behandlas i olika läroböcker.

Min förhoppning är att en läromedelsanalys kan ge en bild av vad elever erbjuds lära om bråk i en läromedelsstyrd undervisning. En sådan analys skulle även kunna ge en bild av vilka eventuella delar av bråkbegreppet som elever inte får bekanta sig med i läromedlen. Arbetet avgränsas till granskning av sex olika läroböcker från tre olika läromedelsserier. Eftersom denna läromedelsgranskning behandlar tal i bråkform som ämnesinnehåll vänder sig samtliga granskade läromedel till grundskolans årskurs 2 och 3, då erfarenhet säger att bråkbegreppet ges större utrymme i läromedel ämnade för årskurs 2 och 3 i jämförelse med grundskolans tidigare årskurser. Undersökningen har inspirerats av den forskning (Marton & Booth, 1997) inom fenomenografin som legat till grund för variationsteorins utveckling.

2

2 Syfte och frågeställningar

Syftet med studien är att ge en bild av vad tre läromedel erbjuder elever att lära om bråk. Detta syfte besvaras genom följande frågeställningar:

• Vilka lärandeobjekt förekommer i läromedlen?

3

3 Bakgrund

Följande avsnitt innefattar en beskrivning bråk samt en redogörelse av vad tidigare forskning säger om elevers missuppfattningar och förståelse för bråk och tal i bråkform. Dessutom följer en beskrivning av variationsteorin.

3.1 Bråk som tal

Bråk är ett rationellt tal som kan skrivas: !_" , där a utgörs av täljare och b av nämnare. Det streck som skiljer a från b kallas bråkstreck (Löwing, 2017). Nämnaren namnger enheten och täljaren talar om hur många gånger enheten ryms i talet (Kiselman & Uscka-Wehlou, 2017). Ett tal skrivet i denna form (se figur 1) benämns ofta som tal i bråkform och kommer således även göras i detta arbete. Emellertid representeras bråk av andra representationsformer såsom delar av en cirkel, rektangel, triangel. När bråk representeras av andra representationsformer än !

" (tal i bråkform) kommer dessa benämnas vid bråk.

Figur 1: [Färg]. Yeap, Agardh, Rejler och Tan (2018, s. 144). Tal i bråkform ur Singma matematik.

Natur&Kultur.

3.1.2 Bråk som del av en helhet

En grundläggande idé om bråk som del av en helhet, är likadelning. Om en helhet delas i två lika stora delar blir den ena delen en halv och om en helhet delas i tre lika stora delar blir en av delarna en tredjedel. För att ge elever möjlighet till att urskilja bråk som del av en helhet krävs en variation. När två olika representationer delas in i tredjedelar och jämförs behöver inte det nödvändigtvis betyda att de olika tredjedelarna är lika stora sett till tredjedelarnas area. Det innebär att en tredjedel inte säger något om andelens storlek utan storleken är situerad i vad andelen tagits ifrån. Mot den bakgrunden kan en fjärdedel av ett objekt vara större än en tredjedel av ett annat objekt (Karlsson, 2015). Nedan (se figur 2) illustreras huruvida andelens storlek är situerad i vad andelen tagits ifrån.

4

Figur 2: Kilborn (2014, s. 9). Bråk som visar att storlek är situerad i vad andelen tagits ifrån.

3.1.3 Bråk som del av ett antal

Likadelning ses som en grundläggande idé även vid elevers förståelse för bråk som del av ett antal. När 12 föremål ska delas in i tredjedelar, bör föremålen separeras för att synliggöra principen. Vidare kan föremålen även separeras i tre olika grupper, med lika många i varje grupp. Om 12 föremål delas i tre lika stora grupper skulle det resultera i tre grupper med ett antal av fyra föremål i varje grupp. Sådana övningar är till stor användning när elever senare ska lösa uppgifter som #_$ av 12 (Karlsson, 2015).

3.1.4 Bråk i undervisning

Bråk i undervisning har av tradition varit mycket formell och påverkad av algebraiska inslag (Skolverket, 2013). En sådan undervisning har bidragit till en uppfattning där bråk betraktas som svårt, vilket lett till att bråk tonats ner i undervisningen. I en del läromedel har tal i bråkforms betydelse ersatts med de rationella talens decimalform genom att översätta additioner som #_%+ $₍ till 0,40 + 0,75 = 1,15. Samtidigt som den här typen av översättningar bidrar till en bristande kontinuitet mellan bråkräkning och grundläggande algebra bör decimalform betraktas som ett alternativt sätt att skriva fram vissa former av tal i bråkform (Skolverket, 2013). Däremot innebär varken en tidig introduktion eller frekvent repetition av bråk, nödvändigtvis att elever ges bättre möjligheter att lära bråk. Bezuk och Cramer (1989) menar att en sådan repetition tyder på att bråk inte undervisas på ett bra sätt i någon årskurs. Forskning (Wantanabe, 2001) föreslår att det är bättre att introducera bråk i årskurs 4, eller åtminstone vissa delar av bråkbegreppet såsom beräkningar och jämförelser av tal i bråkform (Bezuk & Cramer, 1989). Istället hävdar Wantanabe (2001) att skolans kursplaner i matematik bör fokusera på innehåll och processer som är värd den tid och uppmärksamhet det kräver. Denna idé grundas i tre antaganden: (1) grundskolans läroplaner innehåller redan för många ämnen, (2) bråk-konceptet kanske inte är utvecklingsmässigt lämpligt för elever i de tidigare skolåren, och (3) det undervisningsmaterial som finns att tillgå idag kanske inte kan stödja elevers bråkinlärning. I ett antal länder introduceras bråk uttryckligen först i årskurs 3 och 4 (vid

5

nio och tio års ålder). Enligt Wantanabe (2001) introduceras bråk i Japan först i årskurs 4 (vid nio års ålder), samtidigt som resultaten från TIMSS (Skolverket, 2020) tyder på att japanska elever har goda kunskaper om bråk, trots denna försenade introduktion. Däremot ligger tal i bråkform till grund för elevers förståelse för undervisning inom mer avancerade matematiska områden och beskrivs därför som ett av de mest rikaste och komplexa ämnesområden inom matematik (Jigyel & Afamasaga- Fuata’i, 2007; Mack, 1993).

Även didaktiska analyser av grundskolans kursplaner visar att bråk har en central roll i undervisningen. Lärare behöver vara medvetna om att bråk behandlas i flera olika ämnesområden i skolans matematik, däribland i formler och i termer till ekvationer och ekvationssystem samt inom algebra. Om elever saknar grundläggande kunskaper inom tal i bråkform när de lämnar grundskolan, riskerar de att få svårigheter med att fullfölja matematikundervisningen på gymnasieskolan (Skolverket, 2013). Även forskning (Yang & Wu, 2010; Behr et al., 1984; Cramer et al., 2002) understryker hur sådana kunskaper är en förutsättning för att elever ska kunna ta sig an andra matematiska områden.

3.2 Tidigare forskning

Forskning visar att ett grundelement för att förstå bråk som tal är det faktum att bråk har en egen storlek. Många elever misslyckas med att uppmärksamma tal i bråkforms egenskaper och tittar enbart på de tal som utgör ett tal i bråkform (Gómez & Dartnell, 2018). Flertalet studier (Gómez & Dartnell, 2018; Meert et al., 2010; Rinne et al., 2017) pekar på samband där elever övergeneraliserar kunskap om de naturliga talen när de bedömer storleken på ett tal i bråkform. Deringöl (2019) hävdar att denna övergeneralisering leder till att elever kan jämföra tal i bråkform på felaktiga grunder om de uppfattar täljaren och nämnaren som naturliga tal. Vid en learning study (Drageryd et al., 2012) med fokus på elevers förmåga att storleksordna tal i bråkform bekräftades flera kritiska aspekter. En av de kritiska aspekterna handlar om att alla delar i ett tal i bråkform måste vara lika stora, vilken även finns beskriven i (Kullberg & Runesson, 2013). En annan aspekt berör hur elever ska förstå att enkla bråk förhåller sig till tal genom att urskilja att även tal i bråkform är tal som kan placeras på tallinjen (Drageryd et al., 2012). Elever behöver även ges möjlighet att urskilja att det finns olika tal i bråkform som kan representera samma tal (Başürk, 2016; Drageryd et al., 2012). Till exempel har )_# samma

6

systematiskt pekar ut de tal i bråkform som består av de minsta talen som de största talen i bråkform. Dessa missuppfattningar beskrivs i forskning (Meert et al., 2010; Gómez & Dartnell, 2018) som ett resultat av elevers bristande kunskaper om naturliga tals förhållande till tal i bråkform. Även om elever utvecklat en viss förståelse för att större tal leder till mindre bråkdelar är denna inte tillräcklig eftersom kunskap om förhållandet mellan täljare och nämnare saknas (Rinne et al., 2017).

I en studie av Kullenberg och Runesson (2013) konstaterades inte bara att elever kan ha en bristande förståelse för täljare och nämnare, utan även hur dessa svårigheter beror på att de inte har urskilt aspekter som anses nödvändiga att urskilja. De menar att elever inte anammat förhållandet mellan täljare och nämnare, utan ser de tal som utgör ett tal i bråkform som två separata tal. Som ett resultat av studien föreslås flera kritiska aspekter som elever behöver få syn på för att förstå innebörden hos täljare och nämnare: Skilja mellan antalet grupper som hela ska delas in i (nämnaren) och antalet inom varje grupp, skilja mellan antalet enheter (täljaren) och mängden objekt i varje enhet samt skilja mellan

den fjärde och fyra. Elevers bristande kunskaper om täljarens och nämnarens innebörd

leder till att tal i bråkform jämförs efter täljare och täljare och nämnare efter nämnare.

Elever som har svårt att föreställa sig hur täljare och nämnare utgör en helhet tillsammans skulle därför kunna tolka %_* som större än $₍, då talen i bråkform jämförs utefter deras täljare. I detta fall skulle generaliseringen om ju större tal som utgör ett tal i bråkform,

desto större tal i bråkform inte leda till en korrekt jämförelse (Deringöl, 2019). Forskning

(Kullberg & Runesson, 2013) visar att elever har svårare för att förstå uppgifter som involverar icke stambråk än stambråk. Även Ball (1993) bekräftar elevers visade svårigheter för icke stambråk. För att förstå innebörden av ett stambråk ( )₍ ), behöver den lärande enbart dela in helheten i fyra lika stora delar. Till skillnad från stambråk kräver icke stambråk att både helheten delas upp i lika stora delar och sedan en multiplikation av antalet delar.

I denna studie görs en åtskillnad mellan begreppen storleksordna och jämföra bråk och tal i bråkform. Vid hänvisning till att storleksordna åsyftas en storleksordning av minst tre bråk eller tal i bråkform medan en jämförelse syftar till en jämförelse av två bråk eller tal i bråkform. Denna åtskiljning grundar sig i tidigare forskning (Clark & Roche, 2009; Post et al., 1985; Meert et al., 2010) där begreppen ordering of magnitude används vid de tillfällen där tre eller fler bråk eller tal i bråkform storleksordnades, medan comparison

7

förekommer i huvudsak vid de tillfällen där två bråk eller tal i bråkform jämförs.

3.3 Skolans styrdokument

För att säkerställa en likvärdig utbildning där alla elever undervisas inom samma ämnesområden i riktning mot samma mål utgår all verksamhet i svensk skola från en nationell läroplan. Eftersom detta arbete undersöker hur tre läromedelsserier ämnade för årskurs 2 och 3 behandlar tal i bråkform, presenteras de skrivningar som återfinns i skolans styrdokument, vilka berör detta område.

Först och främst ska elever genom undervisning i matematik ges möjlighet till att utveckla sin förmåga att: ”använda och analysera matematiska begrepp och samband mellan begrepp” (Skolverket, 2019, s. 54). Ett sådant samband mellan begrepp skulle kunna vara förhållandet mellan täljare och nämnare. För att kunna använda och analysera ett matematiskt begrepp krävs också en förståelse för dess funktion. Därför är det av särskilt intresse att undersöka i vilken utsträckning begrepp såsom täljare och nämnare behandlas i läromedlen. Vidare ska undervisningen i årskurs 1–3 behandla: ”Del av helhet och del av antal. Hur delarna kan benämnas och uttryckas som enkla bråk samt hur enkla bråk förhåller sig till naturliga tal” (Skolverket, 2019, s. 55). Dessutom ska undervisningen behandla ”Naturliga tal och enkla tal i bråkform och deras användning i vardagliga situationer” (Skolverket, 2019, s. 55). För att en elev ska anses ha godtagbara kunskaper i matematik i slutet av årskurs 3, ska eleven bland annat visa ”…grundläggande kunskaper om tal i bråkform genom att dela upp helheter i olika antal delar samt jämföra och namnge delarna som enkla bråk” (Skolverket, 2019, s. 59f). Om elever ska kunna jämföra tal i bråkform framgångsrikt behöver de urskilja likvärdiga tal i bråkform, alltså att olika tal i bråkform kan ha samma värde (Başürk, 2016; Drageryd et al., 2012).

8

3.3 Variationsteori

Resultat från fenomenografisk forskning beskrivssom en förutsättning för utvecklingen av variationsteorin (Mårtensson, 2015). Marton och Booth (1997) har sammanfattat den forskning inom fenomenografin som legat till grund för variationsteorins utveckling. Till skillnad från en fenomengrafiskt inriktad undersökning har en variationsteoretisk undersökning inte enbart fokus på att undersöka den variation av uppfattningar som till exempel elever har av ett specifikt lärandeobjekt, utan intresserar sig även för vad som är möjligt för elever att urskilja om lärandeobjektet i en undervisningssituation (Pang, 2003). Det är inte möjligt att förstå vad torrt vin är utan att kontrastera det mot sött vin. Det är heller inte möjligt att förstå vad linjär ekvation är genom att enbart möta linjär ekvation. Däremot är det möjligt att förstå vad linjär ekvation är genom att jämföra linjära ekvationer med andragradsekvationer. Lärandets hemlighet finns i de mönster av variation elever upplever (Marton, 2015). Vidare beskriver variationsteorin lärandeprocessen som att lärande alltid är riktat mot ett objekt. När ett lärande uppstår innebär det att den lärande har ändrat sitt ursprungliga sätt att uppfatta det lärandet gäller. Mot den bakgrunden behöver lärare ta reda på elevers tidigare kunskaper och hur elever ursprungligen såg på ett lärandeobjekt för att också kunna vara medvetna om undervisningen hjälpt eleverna att förändra sitt sätt att se på lärandeobjektet (Lo, 2014).

Inom denna teori finns det två aspekter på lärande: vad och hur. Med vad-aspekten menas det direkta lärandeobjektet eller det innehåll som ska läras medan hur-aspekten syftar på hur eleven ska visa sitt kunnande och vilken förmåga som är kopplad till innehållet. Dessa två aspekter förs samman så att den undervisande samtidigt måste värdera dess innehåll eller moment som på bästa sätt kan hjälpa elever att utveckla de förmågor som är målet för lärandet (Lo, 2014).

3.3.1 Lärandeobjekt

Som tidigare nämnts måste allt lärande riktas mot något. Det är inte möjligt att tala om lärande utan att hänvisa till det innehåll som ska läras, det vill säga lärandeobjektet. Lärandeobjektet utgör en central del inom variationsteorin och fokuserar på inledningen av lärandeprocessen medan ett lärandemål fokuserar på slutet av lärandeprocessen. Däremot hänger de samman då lärandeobjektet syftar på vad eleverna behöver lära sig för att uppnå ett önskat lärandemål. Därtill är lärandeobjektet dynamiskt i den mån det förändras under undervisningen och lärandeprocessens gång (Lo, 2014). Ett lärandeobjekt

9

utgörs alltid av flera kritiska drag och kritiska aspekter elever behöver få syn på för att kunna ta sig an olika lärandeobjekt. Innan lärare planerar sin undervisning kring ett valt lärandeobjekt måste de först identifiera dess kritiska drag och kritiska aspekter (Lo, 2014, Marton, 2015).

3.3.2 Kritiska drag och kritiska aspekter

Lo (2014) anser, för att kunna se ett objekt på ett visst sätt, behöver betraktaren fokusera på de drag som är avgörande för ett speciellt sätt att se, vilka kallas kritiska drag. Det finns framförallt två viktiga skäl till att identifiera de kritiska dragen hos ett lärandeobjekt: (1) för att hjälpa lärare att förstå lärandeobjektet och (2) för att underlätta hanteringen av elevers individuella olikheter. Med tanke på att människors personliga sätt att uppfatta ett objekt avgörs av de kritiska drag som är i fokus behöver lärare vara medvetna om ett lärandeobjekts kritiska drag. För att förstå ett lärandeobjekt måste samtliga kritiska drag urskiljas samtidigt. När elever lyckats urskilja de kritiska dragen måste de också ha urskilt de kritiska aspekterna eftersom dessa hänger ihop: ”Kritiska aspekter syftar på en dimension av variation medan kritiska drag är ett värde i denna dimension av variation” (Lo, 2014, s. 80). Mot denna bakgrund krävs att elever simultant urskiljer såväl de kritiska aspekter som de kritiska dragen som finns hos ett lärandeobjekt (Marton, 2015).

För att förtydliga detta är det möjligt att använda sig av en stor, svart hund av rasen Labrador som exempel. I detta fall är stor, svart och Labrador kritiska drag och storlek, färg och ras dess kritiska aspekter. Om inte elever förstår innebörden av storlek går det heller inte tala om huruvida någon är stor eller liten. Detsamma gäller elever och deras undervisning, för att kunna urskilja kritiska drag behöver de först urskilja dess kritiska aspekter. Enligt Marton (2015) är det inte tillräckligt att peka på ett objekt och benämna det vid dess namn, utan elever behöver få erfara vad olika ord betyder på ett kraftfullt sätt. Det är viktigt att fundera över hur ett objekts kritiska drag kan separeras och hur denna separation kan synliggöras. Kritiska aspekter handlar om vad eleverna ska lära sig och innefattar de aspekter som eleverna ännu inte har fått syn på. Lo (2014) hävdar att genom granskning av läroböcker kan de flesta kritiska dragen hos ett lärandeobjekt identifieras.

10

3.3.3 Variationsmönster

Inte sällan talas det om sätt att erfara inom variationsteorin. Inom denna teori beskrivs lärande om ett fenomen när den lärande ”klarar av att samtidigt och fokalt vara medveten om andra aspekter av ett fenomen än tidigare” (Marton & Booth, 1997, s. 142). Ibland kallas detta för ”en förändring av de ögon varigenom vi betraktar världen omkring oss” (Marton, Dahlgren, Svensson & Säljö, 1977, s. 23). Lärare behöver därför hjälpa elever att utveckla starka sätt att erfara för att utveckla elevers förmåga att lösa problem. Ett objekt lärs först när det urskils från dess kontext (Maton & Booth, 1997). Lämpliga variationsmönster kan hjälpa elever att skapa olika sorters medvetenhet som anses nödvändiga för ett effektivt lärande. Ett variationsmönster påvisar vad som varieras eller hålls konstant i ett lärandeobjekts kritiska aspekter eller drag (Lo, 2014). Marton et al., (2004) har identifierat fyra mönster av variation: kontrast, generalisation, separation och fusion. Enligt Marton (2015) föranleds generalisering av kontrast men att båda variationsmönstren syftar till att separera aspekter från varandra och vad de är aspekter av. Därefter används fusion för att föra samman helheten av det som tidigare separerats genom en simultan variation av flera aspekter. Däremot hävdar Magnusson (2014) att separation inte längre behövs som ett variationsmönster som står för sig självt, utan kan synliggöras med hjälp av variationsmönstren kontrast och generalisering. Mot den bakgrunden har separation som variationsmönster exkluderats i denna undersökning. Nedan följer en kortare beskrivning av varje variationsmönster.

Kontrast

För att möjliggöra urskiljning av de kritiska dragen hos ett lärandeobjekt, måste den lärande erfara variation i denna aspekt. Detta mönster av variation skapas genom att kontrastera ett lärandeobjekt mot ett annat. För att veta vad någonting är, måste det ställas mot vad något inte är. Genom att kontrastera någonting mot vad det inte är blir det också enklare för elever att urskilja dess kritiska drag (Marton et al., 2004). För att elever ska urskilja färgen ”gul” behöver lärare visa dem andra färger än gul. När två färger kontrasteras öppnas en dimension av variation där olika färger utgör olika värden. På så sätt skapas ett mönster för variation (Lo, 2014). För att förstå vad en tredjedel är krävs också en förståelse för vad det inte är, en fjärdedel.

11 Generalisering

För att förstå vad tre är, måste en variation av dess förekomst upplevas, till exempel tre bollar, tre äpplen, tre pennor. Detsamma gäller förståelsen för tredjedelar. Denna variation är nödvändig för att kunna förstå vad en tredjedel är och separera det från irrelevanta aspekter som färg och dess representation (äpplen, pennor, böcker) (Marton et al., 2004). Läraren kan visa flera trianglar på tavlan och hoppas att eleverna urskiljer dess särskilda drag. Men enligt denna teori är inte det att föredra. Istället bör den fokuserade aspekten förbli invariant medan den aspekt som inte är i fokus variant. Mot denna bakgrund behöver minst ett värde i samma dimension av variation synliggöras för att elever ska kunna uppleva någon skillnad. Läraren behöver då hålla det fokuserade värdet, i detta fall triangeln, konstant och variera varje aspekt som hittills inte varit i fokus (Lo, 2014).

Fusion

Förståelsen för ett objekt beror emellertid på en medvetenhet av flera kritiska aspekter och hur dessa förhåller sig till varandra och till ett objekt samtidigt. För att möjliggöra fusion som mönster av variation krävs ett variationsmönster som innehåller simultan variation av den dimension av variation som motsvarar de kritiska aspekterna (Lo, 2014). Även Marton (2015) understryker att fusion definierar relationen mellan två eller flera aspekter genom en simultan variation av aspekterna. När elever jämför talen i bråkform )₊ , #₊ , $₊ , (₊ och %₊ är det möjligt att urskilja att ju större tal som utgör täljaren, desto större tal i bråkform, förutsatt att nämnaren hålls konstant. Detsamma gäller för talen i bråkform )_# , )_$ , )₍ , )_% och )

, med skillnaden att ju större tal som utgör nämnaren, desto mindre tal i bråkform, förutsatt att täljaren hålls konstant. Fusion förekommer först när tal i bråkform som (_* och %

, jämförs, eftersom dessa uttryck involverar en variation av både täljare och nämnare samtidigt, vilket begripliggör hur såväl täljare som nämnare måste tas i beaktning.

12

4 Metod

I detta avsnitt redovisas de metodval som legat till grund för studiens framställning av resultat.

4.1 Metodval

Metoden som använts för att framställa resultat är en innehållsanalys av läromedlen. Enligt Bryman (2018, kap 13) kan innehållsanalys ses som en metod för att analysera och kvantifiera olika innehåll utifrån förutbestämda kategorier. I denna studie hämtades förutbestämda kategorier med inspiration av variationsteorin. Vidare utgör begreppen

objektivitet och systematik en grund för denna metod, framhåller Bryman (2018, kap 13).

Med objektivitet eftersträvas en så liten påverkan av forskarens personliga värderingar som möjligt. Detta uppnås genom tydliga strukturer där det klart och tydligt framgår hur innehållet som analyseras kategoriseras. Systematiken i innehållsanalysen syftar till att förutbestämda regler och ramar tillämpas konsekvent. Mot denna bakgrund och ett korrekt förhållningssätt gentemot begreppens innebörd, bör samtliga användare av reglerna nå liknande resultat och på så sätt utelämnar analysprocessen forskarens enskilda värderingar, menar Bryman (2018, kap 13). Ovanstående motiverar valet av metod då en läromedelsanalys fokuserar på innehåll, oberoende av forskarens egna åsikter och värderingar. I föreliggande studie upprätthålls objektivitet och systematik genom en noggrann beskrivning av hur materialet kodats och analyserats.

Denna innehållsanalys använder sig av såväl en kvantitativ som kvalitativ ansats. Den kvalitativa innehållsanalysen syftar till att beskriva egenskaperna hos råmaterialet och utgår från följande frågor: Vilka lärandeobjekt förkommer i respektive läromedel? Genom vilka variationsmönster behandlas täljarens funktion? Genom vilka variationsmönster behandlas nämnarens funktion? Genom vilka variationsmönster behandlas likadelning av bråk? Genom vilka variationsmönster behandlas likvärdiga bråk? Vidare ligger den kvalitativa analysen till grund för den kvantitativa analysen som syftar till att skapa en generaliserbar överblick av det material som analyserats (Larsson, 1986). Den kvantitativa innehållsanalysen utgörs av antalet lärandeobjekt och variationsmönster av kritiska aspekter som identifierats i den kvalitativa analysen av respektive lärobok. Dessa lärandeobjekt och variationsmönster av kritiska aspekter räknas till antalet och sammanställs i två tabeller (se tabell 3 och tabell 4).

13

4.2 Urval

Under urvalsprocessen över vilka läromedel som skulle ingå i analysen var det några förutbestämda kriterier som behövde uppfyllas. Först och främst ska läromedlen vara utgivna efter 2011, då senaste läroplanen implementerades. Dessutom ska läromedlen erbjuda läroböcker ämnade för både årskurs 2 och 3. För att ett läromedel ska vara aktuellt behövs även ett godkännande för analys av läromedelsförlagen, vilket tillkännagavs via samtyckesblankett (se bilaga 1). Samtliga förlag godkände analys av läromedel. Däremot var inte ett av förlagen, på grund av rättighetsskäl, villiga att tillåta digital publicering av bilder eller illustrationer, vilket kan komma att påverka resultatets framställning. Samtliga analyserade läromedel är utgivna av olika läromedelsförlag för att skapa en variation bland urvalet. Mot den bakgrunden baserades urvalet delvis på vad Bryman (2018, kap 18) kallar ett målstyrt urval med så stor variation som möjligt. Därtill tillämpades ett tillfällighets- eller bekvämlighetsurval. Det bygger på, vad namnet antyder, av sådana personer eller i detta fall läromedel som för tillfället råkar finnas tillgängliga. I mitt fall fanns två av de tre valda läromedlen tillgängliga redan innan arbetet påbörjats (Bryman, 2018, kap 8).

Eftersom denna läromedelsanalys behandlar bråk som ämnesinnehåll avgränsas samtliga granskade läromedel till grundskolans årskurs 2 och 3, då läromedlen inte behandlar bråk eller tal i bråkform i lika stor utsträckning i läroböcker ämnade för årskurs 1 och förskoleklass. Valet att fokusera på tre läromedelsserier grundar sig dels i tidsaspekten för genomförande av detta arbete, dels utifrån de förutbestämda kriterierna. Följande läromedel och läroböcker har valts ut för analys: Singma matematik 2A och 3A (Yeap etl., 2017; Yeap etl., 2018), Koll på matematik 2A och 3B (Almström & Tengvall, 2015; Almström & Tengvall, 2017), samt Favorit matematik 2A och 3B (Asikainen et al., 2018a; Asikainen et al., 2018b).

14

4.3 Läromedelsbeskrivning

Här följer en närmare beskrivning av de läromedel som ingår i undersökningen.

4.3.1 Singma matematik

Läromedlet är utgivet 2017 av Natur & Kultur och dess författare; Dr Yeap Ban Har, Agardh och Rejler. Singma matematik beskrivs som ett av Sveriges nyaste matematikläromedel, som ger stora möjligheter att upptäcka och utforska matematiken. Läromedlet tar sin utgångspunkt i Singaporemodellen som är en välbeprövad metod för undervisning i matematik, förankrad i forskning och utformad efter den svenska läroplanen. Singaporemodellen härstammar från Singapore och syftar till att skapa en djupare förståelse för centrala begrepp och områden inom matematiken, snarare än att fokusera på regler och procedurer. Undervisning med utgångspunkt i Singaporemodellen består till stor del av dialog och resonemang i helklass och mindre grupper (Natur&Kultur, u.å.a).

I Singma matematik betonas kvalitet i undervisningen och lärarens roll för elevers utveckling och lärande. Läromedlet ger läraren stöd och en tydlig idé om hur undervisningen kan arrangeras, vad som är i fokus och hur lärare på bästa sätt både stödjer och utmanar elevers eget tänkande och lärande. Singma matematik består av lärarhandledning, lärobok och övningsbok. Varje kapitel är indelade i olika lektioner, lektion 1, 2, 3 och så vidare. Undervisningen utgår ifrån läroboken som i sin tur är indelad i två olika delar. Den första delen utgörs av ”Vi lär” uppgifter för att i den andra delen sedan övergå till ”Vi övar” uppgifter. Därefter fortsätter undervisningen i övningsboken. Väl i övningsboken ges elever möjlighet att, på egenhand, ta sig an uppgifter som hör till lektionens genomgång. Varje kapitel avslutas med en kunskapslogg där eleverna gör en självbedömning av sina kunskaper inom varje område. I anknytning till kapitlens avslutning finns även fördjupande och utmanande uppgifter (Natur&Kultur, u.å.b). De uppgifter som inkluderats i analys är ”Vi övar” uppgifter samt alla de uppgifter som förekommer i övningsboken exklusive kunskapslogg.

15

4.3.2 Koll på matematik

Läromedlet är utgivet 2017 av Sanoma utbildning och dess författare; Tengvall och Almström. Koll på matematik beskrivs skapa möjligheter att undervisa efter Lgr 11 på ett inspirerande, strukturerat och kärnfullt sätt. Eleverna får upptäcka matematik i vardagliga händelser och situationer. Läromedlet består av elevbok, läxbok och lärarguide. Lärarguiden redogör hur varje kapitel är förankrat i Lgr 11. Dessutom erbjuder lärarguiden förslag på arbetsgång och praktiska tips om hur undervisningen kan utformas. Läxboken innehåller läxor till varje kapitel i elevboken. Elevboken är indelad i sex kapitel med uppgifter, både för gemensamt och enskilt arbete. De olika kapitlen består av startsidor, grundsidor, mixsidor, koll på-sidor, samt gula och gröna sidor. Koll på-sidorna tillsammans med gula och gröna sidor sammanfattar grundsidorna och ger elever möjlighet att själva bedöma sina kunskaper. De ger också underlag för lärares bedömning och fortsatta arbete (Sanoma Utbildning, u.å.). Sammanfattningsvis har startsidor, grundsidor samt mixsidor inkluderats i analys.

4.3.3 Favorit matematik

Läromedlet är utgivet 2014 av Studentlitteratur och dess författare; Asikainen, Nyrhinen, Rokka och Vehmas. Favorit matematik beskrivs på förlagets egen hemsida som Sveriges mest använda läromedel i matematik, beprövad med goda resultat. Läromedlet kommer ursprungligen från Finland och har anpassats till den svenska läroplanen. Vidare erbjuder Favorit matematik, utöver grundboken, ytterligare utmaningar i Mera Favorit matematik med samma innehåll som i Favorit matematik men med ökad svårighetsgrad. Med läromedlet följer både lärarhandledning och grundbok. Grundboken består av numrerade kapitel som i sin tur utgörs av numrerade lektionsinnehåll. Varje lektionsinnehåll tillhandahåller ett fyrsidessystem bestående av två inledande grundsidor som följs upp med ”öva och pröva sidor”. Samtliga kapitel avslutas med Favoritsidor, ”Vad har jag lärt mig?” Samt Sallys Hinderbana (Studentlitteratur, u.å.). De sidor som inkluderats i analys är de sidor som utgör grundbokens fyrsidessystem.

16

4.5 Analys

De kritiska aspekter som ligger till grund för studiens kategorisering och analys grundar sig i antaganden gjorda utifrån tidigare ämnesdidaktisk forskning. De kritiska aspekterna baseras även på huruvida de lämpar sig för de årskurser läroböckerna i denna läromedelsanalys vänder sig till. Således ska samtliga kritiska aspekter finnas inom ramen för kursplanen i matematik för årskurs 1–3. Följande kritiska aspekter ligger till grund för studiens kategorisering och analys:

1. Täljarens funktion: Det är inte tillräckliga kunskaper att enbart känna till dess benämning utan elever behöver även urskilja att täljaren visar antal delar av en helhet. Därtill är det av särskild vikt att elever kan skilja mellan antalet enheter (täljaren) och mängden objekt i varje enhet.

2. Nämnarens funktion: Detsamma gäller för nämnaren, det räcker inte med att enbart känna till dess benämning utan elever behöver även urskilja att nämnaren visar antalet lika stora delar som helheten är uppdelad i. Undervisningen bör även skapa tillfällen som gör det möjlighet att skilja mellan antalet grupper som hela ska delas in i (nämnaren) och antalet inom varje grupp.

3. Likvärdiga bråk: Det är viktigt att elever ges möjlighet till att urskilja det faktum att olika bråk eller tal i bråkform kan ha samma värde. Om inte detta

uppmärksammas möter elever svårigheter med att bland annat jämföra och storleksordna tal i bråkform som ett potentiellt lärandeobjekt.

4. Likadelning: Alla delar i ett bråk måste vara lika stora. Med ”delar” avses även delar av ett antal.

Som tidigare nämnts analyseras undersökningens data med hjälp av en innehållsanalys. För att skapa en bild av vad läromedlen erbjuder elever att lära om bråk, analyserades, i ett första steg, vilka uppgifter som på ett eller annat sätt berör bråk. Därefter delas ämnesområdet in i olika lektioner utifrån lärarhandledningen och läroboken. Singma

matematik 2A och 3A kunde delas in i fem respektive nio lektioner medan Favorit matematik 2A och 3B kunde delas in i fem respektive åtta lektioner. I Koll på matematik

17

vardera, vilket var en ungefärlig standard i jämförelse med de andra läromedlen. Både

Favorit matematik och Singma matematik beskrev i sina lärarhandledningar vilket innehåll

varje lektion är kopplat till (se figur 3), vilket gav vägledning i analysen. I sökandet efter lärandeobjekt identifierades vad eleverna behöver lära sig för att uppnå ett önskat lärandemål, således blev sökandet av ett verb i fokus. I figur 4 är dela, det verb som utgör lärandeobjektet dela i halvor. Vidare analyserades samtliga lektioners deluppgifter för att kunna fastställa vilka potentiella lärandeobjekt som förekommer i de olika lektionerna.

Figur 3: [Färg]. Yeap, Agardh, Rejler och Tan (2017, s. 200). Visar hur lärandeobjektet dela i

halvor identifierats i Singma matematik lärobok 2A. Natur&Kultur.

Därefter undersöks huruvida en deluppgift behandlar någon av de kritiska aspekterna och om det var möjligt att identifiera något variationsmönster av den kritiska aspekten. De deluppgifter som inte berör någon av de kritiska aspekterna, eller där en variation uteblir, exkluderas från analys. Analysen gick till enligt följande (se figur 4):

Figur 4: [Färg]. Flödesschema av analysprocess

Deluppgifter Kritisk aspekt

Variation av irrelevant aspekt

En aspekt Generalisering

Flera aspekter Fusion

Variation av relevant aspekt

En aspekt Kontrast

18

Detta deduktiva angreppssätt innebär att undersökningen utgår ifrån en teori (variationsteori) och utifrån denna teori observera det som sedermera analyseras för att framställa ett resultat (Boréus & Kohl, 2018). De uppgifter och framställningar av bråk som identifierades användes sedan i den kvalitativa innehållsanalysen. Uppgifterna och dess framställning analyserades utifrån variationsteorin med fokus på lärandeobjekt, kritiska aspekter och variationsmönster. Bryman (2018, kap 13) framhåller kodning som en central del i en innehållsanalys. Därför utformades ett kodningsschema (se tabell 1 och tabell 2) utifrån undersökningens forskningsfrågor. Därefter kodades kritiska aspekter och variationsmönster i ett anteckningsblock. Dessutom antecknades varje lektions lärandeobjekt i samma anteckningsblock innan de fastställdes i respektive tabell (se tabell 3 och tabell 4). Koderna som användes för att notera variationsmönstren och de identifierade kritiska aspekterna var (se tabell 1 och tabell 2):

Tabell 1: Tabell över kodning av kritiska aspekter

Kritisk aspekt Kodning

Täljarens funktion T

Nämnarens funktion N

Likadelning LD

Likvärdiga bråk LV

Tabell 2: Tabell över kodning av variationsmönster

Variationsmönster Kodning

Kontrast K

Generalisering G

19

4.6 Etiska ställningstaganden

Innan analys av läromedlen påbörjas uppmärksammas några etiska principer (Bryman, 2018, kap 6). Vid all forskning måste vissa etiska principer tillgodoses (Vetenskapsrådet, 2017). Dessa principer är informationskravet, samtyckeskravet, konfidentialitetskravet och

nyttjandekravet. Samtliga principer handlar om att visa respekt för inblandade aktörer. För

att tillgodose dessa principer kontaktades läromedelsförlagen i syfte att få ett godkännande vad gäller publikation av bilder och uppgifter ur läromedlen. I enlighet med informationskravet kommunicerades undersökningens syfte till de läromedelsförlag som är utgivare för de läromedel som tänkt analyseras. Samtidigt efterfrågades ett godkännande för analys. Detta kommunicerades med hjälp av en samtyckesblankett via mejl (se bilaga 1). Det fanns aldrig något krav från min sida att de läromedelsförlag som kontaktades var tvungna att delta.

Eftersom resultatets framställning innehåller illustrationer från läromedlen följer varje illustration en noggrann hänvisning till såväl illustratör som läromedelsförfattare. Nyttjandekravet tillgodoses genom läromedelsförlagens rätt att åberopa studiens resultat, vilket även redovisas i samband med att studien publiceras. Eftersom föreliggande studie inte involverar inblandade aktörers personuppgifter eller andra känsliga uppgifter var aldrig konfidentialitetskravet något som kom att beaktas i stor utsträckning. Däremot hade konfidentialitetskravet kunnat beaktas genom att inte benämna läromedlen vid dess riktiga namn. Eftersom samtliga läromedelsförlag informerades om studiens upplägg och gav tillåtelse för analys och sedermera även publicering, kom läromedlen att benämnas utan att avidentifieras. Läromedlen som analyserats har förvarats på ett sådant sätt att obehöriga inte kan ta del av dem, då läromedelsförlagen gav mig personligen tillåtelse för analys av deras läromedel (Bryman, 2018, kap 6; Vetenskapsrådet, 2017).

20

4.7 Studiens tillförlitlighet

En undersöknings reliabilitet avgörs i den mån studiens tillförlitlighet motiveras och då huruvida dess resultat hade blivit detsamma om undersökningen hade genomförts på nytt (Bryman 2018, kap 7). För att säkerställa undersökningens reliabilitet presenteras urvalsprocessen och de avgränsningar som föranlett de valda analyserade läromedlen. Därtill redogörs de olika förutbestämda kategorier och kodscheman som legat till grund för analys av det innehåll som föranlett undersökningens resultat. Bryman (2018, kap 7) menar att även om det finns en åtskillnad mellan begreppen reliabilitet och validitet bör de snarare betraktas som varandras förutsättningar. Om en mätning inte är reliabel kan den heller inte vara valid. Validitet har att göra med huruvida de indikatorer som utformats i syfte att mäta ett begrepp verkligen mäter just det begreppet. Detta avgörs från fall till fall utifrån hur väl en undersökning uppfyller sitt syfte genom att besvara dess forskningsfrågor (Boréus & Kohl, 2018). Denna studies validitet motiveras i den utsträckning kodningsschemat och de förutbestämda kategorierna överensstämmer med såväl den teori som undersökningen inspirerats av som med frågeställningarna undersökningen ämnar uppfylla sitt syfte igenom. Eftersom råmaterialet (läromedlen) utgörs av en variation bland

21

5 Resultat

Följande avsnitt presenterar innehållsanalysens resultat.

5.1 Identifierade lärandeobjekt i läromedlen

I följande tabell (se tabell 3) redovisas de lärandeobjekt som identifierats vid analys av läromedlen. Varje grön ruta motsvarar identifierat lärandeobjekt och varje röd ruta motsvarar icke identifierat lärandeobjekt i de olika läroböckerna. Läromedlen presenteras enligt följande: Singma matematik 2A och 3A (SM 2A och 3A), Favorit matematik 2A och

3B (FM 2A och 3B), Koll på matematik 2A och 3B (KM 2A och 3B).

Tabell 3: [Färg]. Tabell över identifierade lärandeobjekt

Lärandeobjekt

Dela i flera fjärdedelar ”3/4” Dela i tredjedelar

Skriva och uttrycka tal i bråkform

Ange vilka bråk eller tal i bråkform som saknas för att bilda en hel Skriva och uttrycka en hel som tal i bråkform

Jämföra bråk eller tal i bråkform med gemensam nämnare Storleksordna bråk eller tal i bråkform med gemensam nämnare Jämföra bråk eller tal i bråkform med gemensam täljare

Storleksordna bråk eller tal i bråkform med gemensam täljare Dela en hel i tiondelar

Dela en hel i hundradelar

Placera bråk eller tal i bråkform på tallinjen

Addera bråk eller tal i bråkform med gemensam nämnare Subtrahera bråk med gemensam nämnare

Dela in olika antal föremål i halvor Dela in olika antal föremål i fjärdedelar Dela in olika antal föremål i tredjedelar

Totalt identifierade lärandeobjekt i respektive lärobok 7 12 5 13 5 8 Totalt identifierade lärandeobjekt i respektive läromedel (unika) 19 (17) 18 (15) 13 (10)

22

Sammanfattningsvis har totalt 19 unika lärandeobjekt identifierats. Ett unikt lärandeobjekt syftar till antalet olika lärandeobjekt. Ibland har ett och samma lärandeobjekt identifierats i flera läroböcker, exempelvis dela i halvor. Av dessa totalt 19 unika lärandeobjekt utgör

dela i halvor endast ett av samtliga unika lärandeobjekt trots att det identifierats vid flera

tillfällen. Detsamma gäller sammanställningen av totalt identifierade lärandeobjekt i respektive läromedel. Om ett lärandeobjekt identifierats vid upprepade tillfällen i samma läromedel räknas det endast vid ett tillfälle.

Singma matematik är det läromedel som behandlar flest unika lärandeobjekt (17) och inte

långt där efter Favorit matematik (15). Koll på matematik visade sig vara det läromedel som behandlar färst lärandeobjekt (10). Samma läromedel utelämnar lärandeobjekt såsom

beräkningar med bråk eller tal i bråkform, dela en hel i tiondelar, skriva och uttrycka en hel som tal i bråkform, ange vilka bråk eller tal i bråkform som saknas för att bilda en hel.

De lärandeobjekt som förekommer i samtliga läromedel, fördelade i antingen årskurs 2 eller årskurs 3 lärobok är: Dela i halvor, dela i fjärdedelar, dela i tredjedelar, skriva och

uttrycka tal i bråkform, jämföra bråk eller tal i bråkform med gemensam nämnare och täljare, placera bråk eller tal i bråkform på tallinjen samt dela in olika antal föremål i tredje- och fjärdedelar.

I tabell 3 framgår det att läroboken Favorit matematik 2A är den enda läroboken där elever inte ges möjlighet att skriva och uttrycka tal i bråkform. Däremot är deras uppföljning

Mera favorit matematik 3b den enda lärobok som behandlar hundradelar som tal i

bråkform. Eftersom denna undersökning gör en åtskillnad mellan begreppen jämföra och

storleksordna görs också en skillnad i dess fenomen som lärandeobjekt. Detta har bidragit

till en skillnad i resultatet. I tabell 3 framgår det att enbart ett av de analyserade läromedlen (Singma matematik) behandlar storleksordning av bråk och tal i bråkform, alltså uppgifter där tre eller fler bråk eller tal i bråkform ställs mot varandra. I resterande läromedel görs en jämförelse av två bråk eller tal i bråkform.

23

5.2 Identifierade variationsmönster av kritiska aspekter i läromedlen

I detta avsnitt följer en tabell över samtliga identifierade variationsmönster av de kritiska aspekterna. Därefter presenteras några exempel ur läromedlen.

Tabell 4: Tabell över identifierade variationsmönster av kritiska aspekter

Läromedel Variations- mönster Nämnarens funktion Täljarens funktion Likadelning Likvärdiga bråk Koll på matematik 2A Kontrast Generalisering Fusion 0 5 0 2 3 0 0 3 0 0 0 0 Totalt 5 5 3 0 Koll på matematik 3B Kontrast Generalisering Fusion 0 2 5 0 3 5 0 5 0 0 0 0 Totalt 7 8 5 0 Singma matematik 2A Kontrast Generalisering Fusion 1 2 3 3 0 3 8 3 0 0 1 0 Totalt 6 6 11 1 Singma matematik 3A Kontrast Generalisering Fusion 2 12 4 2 24 4 0 5 1 0 2 2 Totalt 18 30 6 4 Favorit matematik 2A Kontrast Generalisering Fusion 1 4 0 1 3 0 0 5 0 0 0 0 Totalt 5 4 5 0 Favorit matematik 3B Kontrast Generalisering Fusion 2 9 5 2 21 5 0 1 1 0 3 0 Totalt 15 28 2 3

24 Kontrast

Den kvalitativa innehållsanalysen visar att kontrast som mönster av variation främst behandlas i anslutning till att bråk introduceras i läroböckerna ämnade för årskurs 2. Variationsmönstret har framförallt kunnat identifieras i de uppgifter som behandlar

likadelning, men även i uppgifter som berör täljaren och nämnarens funktion. I figur 5 är

det möjligt att, utifrån en variationsteoretisk analys, påstå att uppgiften möjliggör för elever att urskilja den kritiska aspekten likadelning genom kontrast. Kontrast har identifierats då den fokuserade aspekten likadelning varierar genom att kontrastera bråk där alla delar är lika stora mot bråk där alla delar inte är lika stora. Uppgiftens samtliga fem figurer är delade i fyra delar och således hålls antalet delar invariant. Kontrast uppstår genom att studera skillnaderna i delarnas storlek i de figurer där tre av fyra delar är målade. Det är enbart de två inringade figurerna som utgörs av tre målade delar där figurens samtliga fyra delar är lika stora. En figur som är delad i fyra delar och där tre av fyra delar är målade är inte en tillräcklig beskrivning av $₍, utan elever behöver även vara medvetna om att alla delar måste vara lika stora. Mot den bakgrunden kan uppgiften som illustreras i figur 5 ge elever möjlighet att urskilja den kritiska aspekten likadelning genom variationsmönstret

kontrast

Figur 5: [Färg]. Yeap, Agardh, Rejler och Tan (2017, s. 144). Uppgift som kan möjliggöra att

elever urskiljer likadelning genom kontrast i Singma matematik lärobok 2A. Natur&Kultur.

Generalisering

Av tabell 4 framgår att generalisering är det variationsmönster som utifrån en variationsteoretisk analys, behandlar de kritiska aspekterna i störst utsträckning. Generalisering har identifierats i samtliga läroböcker och behandlar, om än i varierad utsträckning, samtliga kritiska aspekter. Variationsmönstret har framförallt kunnat identifieras vid tillfällen där täljaren och nämnarens funktion behandlas. I figur 6 och 7 visas två exempel på hur den variationsteoretiska analysen kunnat identifiera generalisering som kan ge elever möjlighet att urskilja täljarens funktion i Singma

25 matematik 3A. I figur 6 är den kritiska aspekten täljarens funktion i fokus. Generalisering

kan identifieras då täljare varierar medan nämnare hålls invariant. Uppgiften i figur 6 kan ge elever möjlighet att urskilja att täljaren visar antal delar av en helhet genom att visa på en variation av dess förekomst. Detta variationsmönster kan bli än mer påtagligt om figur 7 studeras parallellt. Uppgiften i figur 7 förekommer under samma lektion som uppgiften i figur 6. Nämnare (tiondelar) hålls alltjämt invariant medan täljare varierar, dessutom illustreras täljarens funktion i nya figurer. I tidigare uppgift (se figur 6) utgörs täljare av antalet målade delar av rektangulärt formade figurer, medan uppföljande uppgift (se figur 7) utgörs täljare av antalet målade delar av cirklar. I de sammanhängande uppgifterna i figur 6 och figur 7 varieras antalet delar av en helhet (täljare) vid upprepade tillfällen samtidigt som antalet delar (nämnare) hålls invariant. Mot den bakgrund är det möjligt att, utifrån en variationsteoritisk analys, påstå att täljarens funktion synliggörs genom generalisering.

Figur 6: [Färg]. Yeap, Agardh, Rejler och Tan (2018, s. 152). Uppgift som kan möjliggöra att

elever urskiljer täljarens funktion i Singma matematik lärobok 3A. Natur&Kultur.

Figur 7: Yeap, Agardh, Rejler och Tan (2018, s. 136). Uppgift som kan möjliggöra att elever

urskiljer täljarens funktion genom generalisering i Singma matematik övningsbok 3A. Natur&Kultur.

26

Vidare utgör generalisering mer än hälften av alla identifierade variationsmönster av den kritiska aspekten likvärdiga bråk. I figur 8 illustreras hur generalisering används i syfte att öka elevers förståelse för att olika bråk eller tal i bråkform kan representera samma tal. Denna uppgift skapar möjligheter för den lärande att erfara att en hel förekommer i olika situationer som utgörs av olika tal i bråkform. Till exempel att både $

$ och +

+ kan representera en hel. En hel hålls invariant medan övriga aspekter varierar. Om täljare och nämnare studeras är det även möjligt att urskilja hur dess funktion kan tränas med hjälp av fusion eftersom både täljare och nämnare varierar.

Figur 8: [Färg]. Yeap, Agardh, Rejler och Tan (2018, s. 140). Uppgift som kan möjliggöra att

elever urskiljer likvärdiga bråk genom generalisering i Singma matematik lärobok 3A. Natur&Kultur.

Fusion

Som tabell 4 visar har fusion som mönster av variation identifierats i samtliga läromedel men framförallt i de läroböcker som vänder sig till årskurs 3. Inget av dessa variationsmönster behandlas i anslutning till att något nytt introduceras. Variationsmönstret innehåller oftast en simultan variation av täljare och nämnare. Nedan presenteras två exempel (se figur 9 och figur 10) där både täljare och nämnare varierar. I uppgiften i figur 9 ombeds elever att bland annat jämföra talen i bråkform (_* och %_, och eftersom denna uppgift involverar en variation av såväl täljare som nämnare krävs också en simultan förståelse för täljare och nämnare. Genom denna simultana variation av flera kritiska aspekter är det möjligt att identifiera fusion som variationsmönster. I uppgiften i figur 10 följer också en variation av både täljare och nämnare när eleverna ombeds identifiera bråkens täljare och nämnare. Om den vänstra figuren i figur 10 studeras är det

27

möjligt att identifiera talet i bråkform )_$ medan den högra figuren illustrerar talet i bråkform #

(. I denna uppgift är varken täljare eller nämnare invariant, utan flera aspekter (täljare och nämnare) varierar samtidigt, vilket skapar fusion som mönster av variation. Dessutom finns en variation av delarna figurerna är delade i. I den vänstra figuren utgörs delarna av rektanglar och i den högra figuren utgörs delarna av trianglar.

Figur 9 (tv): Almström, Tengvall och Widlund (2017, s. 111). Uppgift som kan möjliggöra att

elever urskiljer täljaren och nämnarens funktion genom fusion i Koll på matematik 3B. Sanoma Utbildning.

Figur 10 (th): Yeap, Agardh, Rejler och Tan (2018, s. 129). Uppgift som kan möjliggöra att elever

urskiljer täljaren och nämnarens funktion genom fusion i Singma matematik övningsbok 3A. Natur&Kultur.

Sammanfattningsvis utgör generalisering majoriteten av de variationsmönster som identifierats. Kontrast som mönster av variation används tidigt i kapitlen och i större utsträckning i de läroböckerna ämnade för årskurs 2, medan fusion påträffats mestadels i årskurs 3 läroböcker eller mot slutet av ett lärandeobjekt. Samtliga analyserade läromedel introducerar bråk genom att behandla den kritiska aspekten likadelning. Därefter följer övervägande uppgifter som behandlar täljaren och nämnarens funktion. På nästkommande sida redovisas en samlande tabell (se tabell 4) över identifierade variationsmönster av de kritiska aspekter som grundats i antaganden om tidigare ämnesdidaktisk forskning.

Vidare visas (se figur 11, figur 12 och figur 13) en sammanfattande struktur över de identifierade variationsmönstrens förekomst. Strukturen är tagen ur Singma matematik 2A i samband med att lärandeobjektet dela i tredjedelar behandlas. I denna undervisningssekvens arbetar elever med tre olika uppgifter som berör lärandeobjektet. Dessutom ges elever möjlighet att urskilja tre kritiska aspekter genom tre olika identifierade variationsmönster. Inledningsvis (se figur 11) har den variationsteoretiska

28

analysen kunnat identifiera den kritiska aspekten likadelning genom kontrast som variationsmönster. Därefter (se figur 12) synliggörs täljarens funktion och till viss del även

nämnarens funktion genom generalisering. Avslutningsvis (se figur 13) varierar både

täljare och nämnare samtidigt, vilket skapar variationsmönstret fusion.

Uppgiften i figur 11 kan ge elever möjlighet att urskilja att alla delar i ett bråk måste vara lika stora genom att kontrastera bråk där alla delar är lika stora mot bråk där alla delar inte

är lika stora. Den fokuserade aspekten likadelning varierar eftersom uppgiften innehåller

figurer som både utgörs av lika stora och inte lika stora delar. Däremot hålls antalet delar i figurerna invariant (förutom i kvadraten längst ner till höger som utgörs av fyra lika stora delar). Kontrasten utgörs av de figurer som är delade i tre delar och kan upptäckas genom att studera skillnaden i de figurer där alla tre delar är lika stora och de figurer där delarnas storlek varierar. I de figurer som är inringade är alla tre delar lika stora medan resterande två figurer som är delade i tre delar innehåller en variation av delarnas storlek.

Figur 11: Uppgift 1: Yeap, Agardh, Rejler och Tan (2017, s. 216). Uppgift som kan möjliggöra

29

I nästkommande uppgift (se figur 12) skapas möjligheter för elever att urskilja täljarens funktion genom generalisering. Stambråk generaliseras genom att variera olika bråkuttryck där täljare utgörs av tal inte större än ett. Genom denna variation av stambråk kan täljarens funktion förbli fokuserad. Däremot finns även en variation av såväl nämnare som figurer delarna är delade i. Till exempel representeras )

# av en cirkel delad längs diagonalen och ) $ av en rektangel delad i tre vågräta delar. Mot den bakgrunden är det möjligt att identifiera fusion som variationsmönster och att även nämnarens funktion synliggörs. Vidare synliggörs nämnarens funktion genom att variera figurernas antal delar (nämnare) samtidigt som figurernas målade delar (täljare) hålls invariant.

Figur 12: [Färg]. Uppgift 2: Yeap, Agardh, Rejler och Tan (2017, s. 216). Uppgift som kan

möjliggöra att elever urskiljer täljaren och nämnarens funktion genom generalisering i Singma matematik övningsbok 2A. Natur&Kultur.

Uppgiften i figur 13 kan ge elever möjlighet att urskilja täljaren och nämnarens funktion genom fusion som variationsmönster. Fusion har identifierats genom en variation av flera aspekter. I denna uppgift finns en variation av såväl täljare och nämnare som de figurer delarna är delade i. Inledningsvis illustreras )₍ i form av fyra trianglar (varav en målad) som

bildar en rektangulär figur. I den tredje figuren (näst längst ner) illustreras $_$ i form av tre kvadrater som bildar en sexhörning. Om dessa två figurer studeras är det möjligt att identifiera en variation av figurernas antal delar (nämnare) och antal målade delar (täljare). Genom en sådan variationsteoretisk analys, kan elever ges möjlighet att urskilja täljaren och nämnarens funktion genom fusion.

30

Figur 13: Uppgift 3: Yeap, Agardh, Rejler och Tan (2017, s. 216). Uppgift som kan möjliggöra att

elever urskiljer täljaren och nämnarens funktion genom fusion i Singma matematik övningsbok 2A. Natur&Kultur.

31

6 Diskussion

I detta avsnitt diskuteras studiens metod och resultat.

6.1 Metoddiskussion

Innehållsanalysen har grundats i såväl kvalitativ som kvantitativ metod. Valet av både kvalitativ och kvantitativ metod har bidragit till ett resultat sett ur flera perspektiv dels vad gäller innehåll, dels vad gäller omfång. Kodning som beskrivs vara fördelaktigt vid innehållsanalys har underlättat framställning av resultat (Bryman, 2018, kap 13). Även variationsteori som inspiration visade sig vara lämplig, då teorin, om än i varierad utsträckning, kunde utläsas i samtliga analyserade läroböcker. Däremot har jag personligen aldrig tillämpat variationsteorin i denna utsträckning, vilket påverkade studiens tillförlitlighet. De kritiska aspekter som ligger till grund för studiens analys och kategorisering har grundats i antaganden om tidigare ämnesdidaktisk forskning, snarare än empiriska data, vilket kan ha påverkat studiens tillförlitlighet.

Emellertid har flera kritiska aspekter och variationsmönster varit fokuserade i samma uppgift, vilket förutsätter en bedömning i vilken eller vilka kritiska aspekter och variationsmönster som är i huvudfokus. Även om resultatets framställning innehåller motiveringar av vilken kritisk aspekt eller vilka variationsmönster som är i huvudfokus, stannar det vid enbart motiveringar. Således skapas också ett ofrånkomligt tolkningsutrymme av vilka variationsmönster en kritisk aspekt behandlas igenom. Denna innehållsanalys innehåller ingen data för att fastställa huruvida uppgifterna i läromedlen bidrar till att elever urskiljer en kritisk aspekt eller inte, utan bygger på antaganden utifrån variationsteoretiska analyser av de läromedel som analyserats. Mot den bakgrunden är det möjligt att ifrågasätta huruvida innehållsanalysen visar samma resultat vid olika genomföranden. För att öka studiens tillförlitlighet analyserades läromedlen vid upprepade tillfällen.

Inledningsvis undersöktes i vilken utsträckning bråk i allmänhet behandlas i form av antal uppgifter som berör bråk. Denna frågeställning kom att revideras och ersättas av vilka lärandeobjekt som var möjliga att utläsa i respektive lärobok, i egenskap av huruvida ett sådant räknande av uppgifter bidrar till en intetsägande undersökning. Dessutom råder en viss osäkerhet kring, i vilken utsträckning en sådan frågeställning ställer sig inom ramen för en undersökning som inspirerats av variationsteori. Istället undersöktes vilka

32

lärandeobjekt som förekommer bland läromedlen, vilket dels skapar transparens gentemot läsaren, dels för resultatet närmare studiens syfte. Denna studie avser inte att svara på vad elever lär om bråk utan vad elever ges möjlighet att lära om bråk. Troligtvis sträcker sig elevers lärande långt utanför räknandet i läroböcker. Många av dagens läromedel tillhandahåller även en detaljerad lärarhandledning med förslag på till exempel upplägg, genomgångar, gruppövningar, samtalsbilder, laborativt material, allt för att få ut så mycket som möjligt av det innehåll som behandlas i läromedlen. Då sådana aspekter inte inkluderats i denna undersökning kan inte heller en rättmätig bild av vad elever lär genom läromedlen förmedlas. Mot den bakgrunden avgränsades studiens syfte till att ge en bild av vad tre läromedel erbjuder elever att lära om bråk. Urval har även gjorts av vilka sidor i läromedlen som inkluderats i analysen. Hade undersökningen inkluderat samtliga sidor i läromedlen hade resultatet möjligtvis genererat ett annat utfall. Dessutom var ett av läromedelsförlagen inte villiga att godkänna publicering av illustrationer. Detta kom att påverka resultatets framställning av illustrationer ifrån läromedlen.

För att öka studiens anknytning till den aktuella verksamheten inkluderades ett nyhetsinslag från Sveriges Television (SVT, 2021). Denna källa tillsammans med TIMSS (Skolverket, 2012) har legat till grund för diskussion gällande elevers rätt till läromedel och en likvärdig utbildning. Undersökningen har bidragit med insikt inför kommande val av läromedel. Däremot, av tidsskäl, analyserades långt ifrån hela det utbud av läromedel som läromedelsförlagen erbjuder. Även om läromedelsanalysen resulterat i kunskap om hur bråk behandlas, saknas kunskap om hur andra ämnesområden framställs i läromedlen. Däremot kvarstår insikt om dess övergripande upplägg. Dessutom saknas kunskap om hur väl läromedlen fungerar i den dagliga verksamheten. Analysen har heller inte jämfört prisskillnader mellan läromedlen, vilka kan tvingas vara angelägna vid val av läromedel.