• No results found

Ett vidsträckt landskap av outforskade gåtor* eller färdighetsträning? : En analys av problemlösningsuppgifter i Favorit matematik 3A och Eldorado 3A

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Ett vidsträckt landskap av outforskade gåtor* eller färdighetsträning? : En analys av problemlösningsuppgifter i Favorit matematik 3A och Eldorado 3A"

Copied!
34
0
0

Loading.... (view fulltext now)

Full text

(1)

Ett vidsträckt landskap av outforskade gåtor*

eller färdighetsträning?

-En analys av problemlösningsuppgifter i Favorit

matematik 3A och Eldorado 3A

A vast landscape of unexplored riddles * or

rote learning?

- An analysis between problem solving tasks in

Favorit matematik 3A and Eldorado 3A

Paulina M. Zens *citat av Boaler (2017)

(min översättning)

Akademin för utbildning, kultur Handledare: Annika Grothérus

och kommunikation

Examinator: Jan Olsson Självständigt arbete 2 för grundlärare F-3

Matematik

(2)

Termin: VT År:2019

Akademin för utbildning

kultur och kommunikation Kurskod: MAA017

Termin: VT År:2019

SAMMANDRAG

____________________________________________________________ Paulina M. Zens

Ett vidsträckt landskap av outforskade gåtor* eller färdighetsträning?

-En analys av problemlösningsuppgifter i Favorit matematik 3A och Eldorado 3A

A vast landscape of unexplored riddles * or rote learning?

- An analysis between problem solving tasks in Favorit matematik 3A and Eldorado 3A

*citat av Boaler (2017)

Årtal: 2019 Antal sidor: 30

____________________________________________________________ Denna studie syftar till att undersöka hur problemlösningsuppgifter i läromedel

som är vanliga i svensk skola bidrar till elevers matematiska utveckling inom området problemlösning. Ett analysverktyg har konstruerats och använts till att genomföra en analys av problemlösningsuppgifterna i de båda läroböckerna. Slutsatser som framkommit är att läraren i mer eller mindre grad måste

kompensera så att uppgifterna uppfyller alla kriterier och att lärare måste vara särskilt uppmärksamma på att ge elever möjligheter att implementera och att tillägna sig problemlösningsstrategier samt utmanas att reflektera och verifiera sina lösningar.

____________________________________________________________ Nyckelord: Problemlösningsuppgifter, analysverktyg, läroböcker, läromedel,

(3)

School of Education, Culture

and Communication course code: MAA017 Semester: Spring Year:2019

Abstract

____________________________________________________________ Paulina M. Zens

A vast landscape of unexplored riddles * or rote learning?

- An analysis between problem solving tasks in Favorit matematik 3A and Eldorado 3A

*citat av Boaler (2017)

Year: 2019 Pages: 30

____________________________________________________________ This study aims to investigate how problem-solving tasks in educational books

that are common I Swedish schools contribute to student’s development in mathematics in the area of problem-solving. A framework has been created and used to conduct an analysis of the problem-solving tasks in two educational books. The conclusions are that the teacher more or less needs to compensate for some aspects of the problem-solving tasks and that the teacher has to be extra careful to make sure that the students will appropriate problem-solving strategies and reflect upon and verify their solutions.

___________________________________________________________ Keywords: problem-solving tasks, framework, educational books, third grade,

(4)

Innehållsförteckning

1 Inledning ... 1

1.1 Syfte ... 2

1.2 Forskningsfråga ... 2

2 Litteraturgenomgång ... 2

2.1 En kort historisk översikt över problemlösning i svensk läroplan ... 2

2.2 Problemlösning i den rådande läroplanen ... 3

2.3 Syftet med problemlösningsuppgifter i matematikundervisningen ... 3

2.4 Kännetecken för en problemlösningsuppgift som bidrar till utvecklingen av den matematiska förmågan ... 4

2.4.1 Imitativa och kreativa resonemang ... 4

2.4.2 Kriterier för rika problem ... 6

2.5 Den språkliga utformningen av en problemlösningsuppgift ... 7

2.6 Läroböcker i matematikämnet ... 8

2.6.1 Favorit matematiks disposition ... 8

2.6.2 Eldorados disposition ... 9

3 Teoretiskt ramverk ... 9

3.1 Att eleven ställs inför matematik, inte bara generell problemlösning ... 10

3.2 Att eleven måste resonera sig fram till en lösning, dvs konstruera lösningsmetoder och formulera argument ... 10

3.3 Att uppgiften är språkligt tillgänglig ... 11

3.4 Att det finns möjligheter att implementera strategier och använda representationer i arbetet med uppgiften ... 12

3.5 Att eleven uppmuntras till att reflektera över lösningen ... 12

4 Metod ... 13 4.1 Metodval ... 13 4.2 Urval ... 13 4.3 Genomförande ... 15 4.3.1 Analysmetod ... 15 4.4 Etiska överväganden ... 18

4.5 Validitet och reliabilitet ... 19

5 Resultat ... 19

6 Slutsatser ... 20

7 Diskussion ... 21

7.1 Metoddiskussion ... 21

7.2 Resultatdiskussion ... 22

7.2.1 Läraren måste kompensera problemlösningsuppgifterna ... 22

7.2.2 Sammanfattning ... 24

Bilaga 1 – Exempel på rutinuppgift (inringad) ... 28

Bilaga 2 - Tillstånd från Natur och kultur (Eldorado) ... 29

Bilaga 3 – Tillstånd från Studentlitteratur (Favorit matematik)………….……….30

(5)

1 Inledning

Det är inte uppenbart vilka kunskaper elever bör utveckla i skolan idag för att på bästa sätt rustas för framtiden (Perdahl, 2019, 30 september., Larsson, 2017, juni). Samhällets snabba teknologiska utveckling medför nya krav på undervisningen i skolan (Bandura, 2002). Det räcker inte att förmedla faktakunskaper utan ett större fokus måste finnas på att elever förstår de bakomliggande processer som möjliggör faktaförståelse (Bandura, 2002). Att utveckla elevers förmåga att lösa problem kan vara ett sätt att möta detta behov. Matematik som skolämne har länge strävat efter att utveckla elevers problemlösningsförmåga, men trots denna sträva är

matematikundervisningen till stor del utformad för att främja utantilllärande

(Lithner, 2008). I läroplanen (Lgr 11) och i kursplanen för matematik återfinns denna sträva genom att problemlösning omskrivs som både en förmåga elever ska utveckla och som ett centralt innehåll. Hur det centrala innehållet ska förmedlas omskrivs inte i kursplanen, därmed finns en öppen arena för någon eller något att göra anspråk på (jmf. Skolverket, 2011).

Läromedelsföretagen med de läromedel de producerar utgör idag aktörer på denna öppna arena, vilket kan bekräftas av flera forskare som fastslår att

matematikundervisningen är centrerad kring de fysiska läroböckerna (Brändström, 2003; Grevholm, 2014; Johansson, 2011). Lärobokens centrala roll kan förstås mot bakgrund av elevers behov av färdighetsträning i ämnet matematik, att läromedlet förmedlar en trygghet och att läroboken helt enkelt används av rutinmässiga

anledningar (Nationellt centrum för matematikutbildning, 2014). Oavsett anledning till lärobokens ständiga närvaro har läromedelsföretagen möjlighet att påverka

matematikundervisningens innehåll. Detta kan vara problematiskt då producenter av läroböcker har inflytande över vilket matematiskt innehåll elever möter. Det vill säga en praktik som antingen går stick i stäv eller i linje med politiska beslut på området. En kontroll av de läromedel som producerades genomfördes tidigare av Statens institut för läromedel, men efter dess avveckling år 1991 förflyttades

lämplighetsbedömningen till lärarna (Riksarkivet, u.å.) Således är det lärarna som avgör huruvida läromedlet är lämpligt att använda i syfte att bedriva undervisning i enlighet med gällande styrdokument. Det finns dock undersökningar som visar att dessa styrdokument inte ligger till grund för utformningen av läromedelsböcker (Grevholm, 2014).

Det finns olika sätt att se på problemlösning i matematikundervisningen. Det är vanligt att elever får instruktioner om strategier som löser olika typer av uppgifter (Jäder m.fl., 2019, Schoenfeld, 1992). Eleven ska sedan kunna identifiera vilken strategi en viss uppgift kräver och genomföra den. Denna inställning till

problemlösning har kritiserats då detta sätt att arbeta med problemlösningsuppgifter tenderar att leda till ett utantilllärande som kan hämma elevers matematiska

utveckling (Jäder m.fl., 2019) Andra menar att matematisk problemlösning handlar om att lösa uppgifter där man inte i förväg vet hur de ska lösas. Att det finns en kreativ del som handlar om att utveckla och verifiera strategier som löser ett problem, vilket kan bidra till att elever utvecklar andra förmågor till exempel

resonemangsförmågan (Lithner 2008). Schoenfeld (1992) menar att elever behöver möta problemlösningsuppgifter som ger dem utrymme att arbeta i klassrummet på samma sätt som matematiker gör. Problemlösningsuppgifter ska ge elever utrymme

(6)

att utveckla strategier och förkasta de som inte är lämpliga, kommunicera sina tankar och argumentera för deras upptäcker (Schoenfeld, 1992). I denna studie används Skolverkets (2011) definition för problemlösning: En uppgift där eleven inte i förväg vet hur den ska gå tillväga för att lösa den.

Att det inte finns ett institut som kontrollerar läromedel och att det finns olika sätt att se på problemlösning skapar ett intresse för att undersöka problemlösningsuppgifter. Mot denna bakgrund ämnar jag undersöka hur de läroböcker som finns i en

mellansvensk kommun i Sverige kan bidra till att utveckla elevers matematiska förmåga. För att fullfölja denna undersökning kommer problemlösningsuppgifter i två läroböcker analyseras: Favorit matematik 3A och Eldorado 3A.

1.1 Syfte

Föreliggande studie syftar till att undersöka hur problemlösningsuppgifter i läromedel som är vanliga i svensk skola bidrar till elevers matematiska utveckling inom området problemlösning.

1.2 Forskningsfråga

1. På vilket sätt bidrar problemlösningsuppgifterna i respektive lärobok till elevernas matematiska utveckling i området problemlösning?

För att undersöka hur problemlösningsuppgifter i läroböcker bidrar till elevers

matematiska utveckling har ett analysverktyg som bygger på delar av Lithners (2008) ramverk och Haglands m.fl. (2005) kriterier för rika problem tagits fram. Detta presenteras i sin helhet i kapitel 4.

2 Litteraturgenomgång

2.1 En kort historisk översikt över problemlösning i svensk läroplan

Problem och problemlösning har omskrivits i kursplanerna för matematik sedan många år tillbaka. I den läroplan som var gällande mellan 1962–1969 (Lgr 62) framgår det att elever bör ställas inför enkla problem från årskurs ett (Kungliga skolöverstyrelsen, 1962). Den nästkommande läroplanen (Lgr 69) benämner

problemlösning som ett av flera arbetssätt där elever tränas i att arbeta självständigt (Skolöverstyrelsen, 1969). Vidare står det att läsa i Lgr 69 att elever bör möta olika problem som är kopplade till elevers erfarenheter och andra skolämnen. I Lgr 80 fastslås det att elever ska utveckla sin problemlösningsförmåga och att det ska vara ett grundläggande mål. Problemlösning är dels ett huvudmoment i

matematikundervisningen, dels ett område som ska förekomma i de andra

huvudmomenten. De övriga huvudmomenten är grundläggande aritmetik, reella tal, procent, mätningar och enheter, geometri, algebra och funktionslära, beskrivande statistik och sannolikhetslära och datalära. (Skolöverstyrelsen, 1980). Även i Lpo 94 (Utbildningsdepartementet, 1994) har problemlösning en viktig roll.

(7)

Matematikundervisningen ska bidra till att elever utvecklar

problemlösningsförmågan, vilket innebär att de ska kunna förstå, värdera och formulera problem. De ska även lära sig värdera och tolka de lösningar de kommer fram till (Utbildningsdepartementet, 1994).

2.2 Problemlösning i den rådande läroplanen

I den nu rådande läroplanen (Lgr 11) tillskrivs problemlösning en roll som kan liknas vid den roll problemlösning tillskrivs genom Lgr 80. Det matematiska området problemlösning finns omnämnt på flera ställen i kursplanen för matematik, i det centrala innehållet, syftet och i kunskapskraven (Skolverket, 2011). I och med att problemlösning omnämns på flera ställen tillskrivs området problemlösning en särskild ställning, nämligen den att problemlösning både är ett mål och ett medel (Häggblom, 2013).

Under rubriken Syfte i kursplanen för matematik redogörs bland annat för de olika förmågorna elever ska få möjlighet att utveckla i samband med

matematikundervisning. Dessa förmågor är mer exakt: begreppsförmågan, räkneförmågan, kommunikationsförmågan, resonemangsförmågan och problemlösningsförmågan (jfr. Skolverket, 2011). Matematiska

problemlösningsuppgifter kan, om de håller god kvalité (se nedan vad god kvalité innebär), erbjuda ett brett studieområde som medför att elever möter till exempel olika begrepp, kommunicerar matematiska lösningar, resonerar om dessa och dessutom använder olika räknesätt. På så sätt kan elever, genom att arbeta med problemlösningsuppgifter, få möjligheter att utveckla förmågor utöver

problemlösningsförmågan. Således tycks problemlösning fungera som ett medel för att utveckla de andra förmågorna som beskrivs i Lgr 11, något som också Smith & Stein (2014) pekar på.

Det centrala innehållet anger den kunskap elever ska kunna föra sig med i samband med att de lämnar årskurs tre. Det centrala innehållet består av sex olika

matematiska områden som presenteras under följande rubriker; taluppfattning och tals användning, algebra, geometri, sannolikhet och statistik, samband och

förändring och problemlösning. (jfr. Skolverket, 2011). Under varje rubrik redogörs i punktform för den kunskap elever ska uppnå. Således är den kunskap som anges i det centrala innehållet att betrakta som ett mål. Under rubriken problemlösning i

centrala innehållet specificeras det att elever ska lära sig strategier för att lösa matematiska problem, de ska även lära sig formulera egna matematiska frågeställningar, det vill säga problemlösning som mål (Skolverket, 2011).

2.3 Syftet med problemlösningsuppgifter i matematikundervisningen

Att arbeta med problemlösningsuppgifter kan i flera avseende bidra till elevers matematiska utveckling genom att de får möjlighet att utveckla sitt sätt att tänka på ett kreativt, självständigt, logiskt, systematiskt och strukturerat sätt (Hagland m.fl. 2005). Elever ges även möjlighet att utveckla ett symbolspråk och bygga upp en förståelse för matematiska begrepp (Hagland m.fl., 2005); Elever kan i arbetet med problemlösningsuppgifter ges möjlighet att använda sina tidigare förvärvade

kunskaper (Hagland m.fl., 2005); Elever ser att det finns ett behov av de kunskaper de redan besitter, en kunskap de kan använda inom olika moment samtidigt som

(8)

elever ges tillfälle att själva välja bland de kunskaper de har (Hagland m.fl. 2005). Att elever ska arbeta med problemlösningsuppgifter bekräftas även av det Skolverket (2011) skriver i kursplanen för matematik. Utöver detta kan även arbete med problemlösningsuppgifter bidra till att matematikundervisningen upplevs som motiverande av elever då de kan erbjudas en mer varierad undervisning (Hagland m.fl., 2005) Det finns även andra fördelar för elever att vinna än matematisk

kunskap. Då elever får finna sin egen väg till en lösning kan både självförtroendet och tron på sin förmåga öka (Hagland m.fl., 2005).

Vidare skriver Boaler (2017) att elever idag tror att matematik består av statiska metoder som de antingen förstår eller inte förstår. Och för att elever ska förändra sin inställning till matematik behöver deras bild av matematik förändras. De behöver möta matematikämnet som ” […] ett vidsträckt landskap av outforskade gåtor de kan vandra runt i, där de kan ställa frågor och fundera över hur saker hänger ihop […]” (Boaler, 2017 s.56). Det är först då elever kan inse att deras uppgift handlar om att de själva ska tänka och på så sätt utvecklas (Boaler, 2017).

Den teknologi vi använder idag bidrar till att samhället förändras i dess mest fundamentala aspekter. Mer exakt: det utbildningsystem som idag utbildar elever måste prioritera att skapa elever som kan verka i ett sådant samhälle (Bandura, 2002). Smith och Stein (2014) menar att framtiden kräver oss på välutbildade människor som kan tänka och resonera logiskt och som är effektiva problemlösare. De har dock sett att det inte alltid ser ut så i skolorna och hänvisar till studier som visar att regelbunden undervisning i avancerad problemlösning lyser med sin frånvaro. Genom matematiska diskussioner av hög kvalitet, möjlighet att

kommunicera sina tankar och en uppmuntran till att värdera sina och andras tankar kommer elever att bli matematiska litterater det vill säga matematiskt allmänbildade (Smith & Stein, 2014). Att arbeta med problemlösningsuppgifter är därmed en väg att gå för att förbereda elever för den snabbt föränderliga framtid som väntar oss.

2.4 Kännetecken för en problemlösningsuppgift som bidrar till

utvecklingen av den matematiska förmågan

Det finns idag olika ramverktyg och kriterier för att klassificera vad en

problemlösningsuppgift bör innehålla för att bidra till elevers matematiska utveckling (Hagland m.fl., 2005, Lithner, 2008). Lithners ramverk (2008) kan användas för att undersöka vilken typ av resonemang en elev för när hen löser en

problemlösningsuppgift. Lithner (2008) menar att det finns två huvudtyper av resonemang, imitativa resonemang och kreativa resonemang. Det är när eleven resonerar med kreativa resonemang som eleven matematiska förmåga utvecklas. Haglands m.fl. (2005) kriterier för rika problem definierar vad ett matematiskt problem bör innehålla för att vara ett rikt problem, det vill säga en

problemlösningsuppgift som bidrar till elevers matematiska utveckling.

2.4.1 Imitativa och kreativa resonemang

Lithner (2008) har skapat ett ramverk med syfte att kategorisera elevers matematiska resonemang när de löser problem och därmed bidra till en ökad förståelse och utveckling av matematikundervisning. Ett resonemang är, enligt

(9)

Lithner (2008), den tankegång som frambringar olika antaganden och leder till en eller flera slutsatser. Vidare förklarar Lithner (2008) att de resonemang som går att återfinna i matematikundervisningen främst kan delas in i två huvudkategorier: imitativa resonemang och kreativa resonemang. Imitativa resonemang kan delas in i två olika typer; memorerade resonemang och algoritmiska resonemang. Algoritmiska resonemang i sin tur har tre underkategorier: bekant algoritm, avgränsad algoritm och guidad algoritm. I motsats till de imitativa resonemangen finns, som ovan nämnt, de kreativa resonemangen. Figur 1 nedan ger en förenklad överblicksbild över delar av ramverket.

Figur 1. En översikt över de typer av resonemang som utgör Lithners ramverk (Boesen, Lithner & Palm 2006, s.3. modifierad).

En central aspekt i Lithners ramverk är att elever för olika typer av resonemang vid arbete med matematikuppgifter. Vilken typ av resonemang elever får tillfälle att använda beror på hur matematikuppgiften är utformad. Om en matematikuppgift är utformad som en rutinuppgift är det lämpligt att elever använder ett imitativt

resonemang, då applicerar eleven något hen tidigare lärt sig eller följer ett exempel (Boesen m.fl., 2006, Jäder, 2015). Är matematikuppgiften däremot utformad som en problemlösningsuppgift lämpar sig det kreativa resonemanget. Då det är det kreativa resonemanget som fungerat som inspiration till föreliggande studies analysverktyg lämnar vi härmed de imitativa resonemangen. För läsaren som önskar en fördjupning av ramverket i sin helhet hänvisas läsaren till vidare läsning av Lithner (2008),

Boesen, Lithner & Palm (2006) och/eller Jäder (2015).

Lithner (2008) skriver att skolan sedan många år brottas med problemet att det finns en önskan om att elever ska vara problemlösare, men att de ändå till stor del arbetar med utantilllärande. Ett sätt att motverka detta kan vara att elever får möta

problemlösningsuppgifter som kräver dem på ett kreativt resonemang. För att ett resonemang ska kategoriseras som kreativt ska fyra kriterier uppfyllas: nytänkande, flexibilitet, rimlighet och matematiks grund (Boesen m.fl., 2006). Nytänkande innebär att eleven skapar en ny lösning eller använder sig av en bortglömd algoritm för att finna en lösning på uppgiften. Flexibilitet innebär att eleven kan finna olika vägar till lösningar på uppgiften. Rimlighet bygger på nödvändigheten av en

argumentation som stödjer valet av strategi och att lösningen av uppgiften är rimlig. Det sistnämnda kriteriet matematisk grund innebär att argumenten och

resonemangen bör ha sin grund i matematiska egenskaper. Lithner (2008) skriver att ett kreativt matematiskt resonemang tar elevens matematiska tänkande längre än att

(10)

stanna vid att strikt följa en algoritm eller idéer skapade av andra. Därmed kan elevers matematiska förmåga utvecklas fördelaktigt med det kreativa resonemanget. 2.4.2 Kriterier för rika problem

För att avgöra huruvida en problemlösningsuppgift bidrar till elevers matematiska utveckling har Hagland m.fl. (2005) skapat sju kriterier som kan användas för att definiera om ett problem är rikt. Nedan följer en redogörelse för de fyra av totalt sju kriterierna, vilka använts som inspiration för att skapa det analysverktyg som använts i föreliggande studie. Följande tre av Haglands m.fl. (2005) sju kriterier har inte tagits med: 5. Problemet ska kunna initiera en matematisk diskussion utifrån

elevens skilda lösningar, en diskussion som visar olika strategier, representationer och matematiska idéer, 6. Problemet ska fungera som brobyggare mellan olika matematiska områden och 7. Problemet ska kunna leda till att elever och lärare formulerar nya intressanta problem. Nedan redogörs de kriterier som använts vid

skapandet av analysverktyget (1–4). (Hagland m.fl., 2005 s.28–30).

1. Problemet ska introducera viktiga matematiska idéer eller viktiga lösningsstrategier: I ett rikt problem bör elever möta matematiska begrepp och procedurer och inspireras till att själv använda kända eller okända

procedurer och tekniker (Hagland m.fl. 2005). Ett begrepp kan till exempel vara likhetstecken eller en kvadrat. En procedur kan vara till exempel addition. I ett rikt problem kan flera olika lösningsstrategier vara användbara, vilket kan leda till diskussion mellan elever där de jämför och reflekterar över

användningen av olika strategier (Hagland m.fl., 2005).

2. Problemet ska vara lätt att förstå och alla ska ha en möjlighet att arbeta med det: Alla elever som arbetar med en problemlösningsuppgift ska förstå uppgiftens innehåll och vad som efterfrågas i uppgiften (Hagland m.fl., 2005). Det är även viktigt att det matematiska innehållet är anpassat efter elevens förmåga (Hagland m.fl., 2005). Hur problemlösningsuppgiften

introduceras för elever kan vara av stor betydelse för elevers förståelse av, och förmåga att arbeta med, problemlösningsuppgiften. Läraren bör därför sträva efter att elever förstår en uppgift utan att avslöja hur de går tillväga för att lösa den (Hagland m.fl., 2005).

3. Problemet ska upplevas som en utmaning, kräva ansträngning och ta tid: En problemlösningsuppgift som har ett djup och en bredd, det vill säga inte är en rutinuppgift där färdighetsträning efterfrågas (Hagland m.fl., 2005), kräver en ansträngning av elever och kan således ses som en utmaning. Därtill måste de elever som möter ett rikt problem ges tid till att tänka på

problemlösningsuppgiften och arbeta med den utefter den individuella förmågan. För ett exempel på en rutinuppgift se bilaga 1.

4. Problemet ska kunna lösas på flera olika sätt, med olika strategier och representationer: För att kriterier två och tre ska kunna uppfyllas är olika vägar till att lösa en problemlösningsuppgift nödvändig (Hagland m.fl., 2005). Olika sätt att lösa problem kallas ofta för representationsformer eller uttrycksformer. Hagland m.fl. (2005) har delat in uttrycksformerna i fyra olika kategorier: Konkret representationsform, Logisk-språklig

(11)

representationsform, Algebraisk-aritmetisk representationsform och Grafisk-geometrisk representationsform. Dessa kategorier bildar akronymen KLAG. Genom att eleven sorterar materiel för att lösa uppgiften använder hen sig av en Konkret representationsform (Hagland m.fl., 2005). Till exempel kan det innebära att eleven använder sig av mynt, centikuber eller cuisenairestavar. Väljer eleven att förklara sin lösning med ord, utan matematiska symboler eller förkortningar använder eleven en Logisk-språklig representationsform (Hagland m.fl., 2005). När eleven använder sig av den Logiskt-språkliga

representationsformen kan eleven uttrycka sig både skriftligt och muntligt. Vid användning av en Algebraisk-aritmetisk representationsform formuleras lösningen med aritmetiska och/eller algebraiska symboler. (Hagland m.fl., 2005). Till exempel använder sig eleven av mattespråket för att visa sin lösning. Utöver dessa uttrycksformer kan eleven även rita en bild, graf, träddiagram och/eller en tabell. Då använder sig eleven av den Grafiska-geometriska uttrycksformen (Hagland m.fl., 2005). Vidare skriver Hagland m.fl. (2005) att det är både vanligt och önskvärt att elever använder flera av dessa uttrycksformer, liksom det är önskvärt att elever hoppar mellan de olika formerna vid arbete med en problemlösningsuppgift.

Sammanfattningsvis ska det sägas att det för lärare inte är helt okomplicerat att finna eller som lärare skapa egna problemlösningsuppgifter som uppfyller samtliga

kriterier (Hagland m.fl., 2005). Slutligen påpekar författarna att

problemlösningsuppgifterna med en viss modifikation kan bli till rika problem. Men det föreligger alltid en risk att en förändring kan leda till att

problemlösningsuppgifterna blir till rutinuppgifter.

2.5 Den språkliga utformningen av en problemlösningsuppgift

Alla lärare i skolan, oavsett ämne och årskurs ska arbeta för att utveckla elevers språk (Myndigheten för skolutveckling, 2008). Således finns det en språklig aspekt för matematiklärare att förhålla sig till, bland annat måste lärare vara medvetna om vilka svårigheter språket kan skapa för elever (Myndigheten för skolutveckling, 2008). Inom matematiken används ett språk som skiljer sig från det språk vi använder i vardagen (Myndigheten för skolutveckling, 2008). Det innebär bland annat att elever måste behärska det matematiska språket och förstå dess innebörd. Myndigheten för skolutveckling (2008) ger ett förtydligande genom följande exempel:

”Medan man i vardagligt språk uttrycker ett matematiskt problem med t.ex. Två äpplen och fem

äpplen blir sju äpplen tillsammans uttrycker man i matematiskt språk detta genom summan av två och fem är sju” (s.16).

Citatet beskriver således att det finns en matematisk språkvokabulär för de händelser som sker runtomkring oss. Något som ytterligare kan bidra till att svårigheter uppstår hos elever när de arbetar med problemlösningsuppgifter är som Myndigheten för skolutveckling (2008) förespråkar; att vissa ord i det svenska språket innehåller ord som har en betydelse i det vardagliga språket och en annan i det matematiska

språket. Ord så som ”rymmer”, ”axel”, ”volym” och ”udda” utgör exempel som innefattar både en vardaglig och en matematisk betydelse (Myndigheten för skolutveckling, 2008 s. 16–17). Elever bör ges förutsättningar för att behärska det matematiska språket på ett succesivt sätt och utveckla ett språk som kan fungera som ett medel för problemlösning (Myndigheten för skolutveckling, 2008).

(12)

2.6 Läroböcker i matematikämnet

Vid undervisning i matematik är det, liksom ovan poängterat, vanligt förekommande att lärare använder sig av någon av de läroböcker i matematik som finns till

förfogande på läromedelsmarknaden. Att läroboken har en central roll i

matematikundervisningen bekräftas av Brändström (2003) och Grevholm (2014). Läroboken är ett stöd för lärare, elever och även föräldrar (Brändström, 2003). Men det finns en risk att läroboken får ett alltför stort utrymme och därmed tenderar att styra undervisningen (Grevholm, 2014). Vad vi här ska gå vidare med är att

Grevholm (2014) hänvisar till den TIMSS rapport som visar att undervisningen i de skandinaviska länderna styrs av läroboken i en högre grad än i andra länder. En fråga som här kräver sin uppmärksamhet är: På vilket sätt kan vi anta att denna styrning påverkar undervisningen i matematik? En risk tycks vara att läraren och

styrdokumenten tilldelas en mindre viktig roll (Johansson, 2011). Det är därmed ytterst intressant och nödvändigt att undersöka vilket innehåll som återfinns i läroböckerna. All undervisning som sker i den svenska skolan ska enligt skollagen bedrivas på en vetenskaplig grund och beprövad erfarenhet (SFS 2010:800). Dessa två kriterier bör därför också ta plats i de läroböcker som används i undervisningen. Både Boaler (2017) och Smith och Stein (2014) skriver dock att det finns mer att önska av de läroböcker som finns idag, då de till stor del erbjuder rutinmässiga uppgifter. Författarna lägger ansvaret på lärare att själva erbjuda elever

matematikuppgifter av god kvalitet, antigen genom att utveckla de befintliga

uppgifterna eller att välja andra mer lämpliga problemlösningsuppgifter. Man bör här påminna sig om att det statliga institut som kontrollerade läromedel som

publicerades i Sverige avvecklades år 1991 (Riksarkivet, u.å.). Därmed saknas det idag en statlig instans som garanterar att läroböckerna är utformade på ett lämpligt sätt i förhållande till styrdokument och forskning. Således är det nödvändigt att på ett noggrant sätt granska de läroböcker som idag används i matematikundervisningen, vilket leder oss in på studiens syfte och de läroböcker som genom denna studie har analyserats.

2.6.1 Favorit matematiks disposition

Favorit matematik 3A är skapad av finska författare och är i grunden en finsk lärobok som har översatts till svenska (Karppinen, Kiviluoma & Urpiola, 2013). Förlaget Studentlitteratur (u.å.) framhåller att läroboken är anpassad efter den svenska läroplanen och är beprövad med goda resultat. Att läroboken har en tydlig struktur och hjälper elever till goda resultat är enligt förlaget orsaken till att lärare väljer Favorit matematik till deras matematikundervisning (Studentlitteratur, u.å.). Ett digitalt stöd och en lärarhandledning finns att tillgå via förlagets hemsida. Favorit matematik 3A består av fyra kapitel som är indelade i mindre delar som svarar mot olika lektioner. Varje lektion innehåller två sidor med basuppgifter och två sidor som heter Öva och Pröva. Öva-sidorna är tänkta att vända sig till de elever som behöver ytterligare repetition för att befästa de kunskaper som sidorna vill förmedla. Pröva-sidorna är till för de elever som vill testa nya uppgifter. Utöver dessa sidor finns det i varje kapitel Favoritsidor som innehåller mångsidiga matematikaktiviteter som bland annat utvecklar elevers problemlösningsförmåga och resonemang. På Vad har

jag lärt mig? -sidorna ges elever möjlighet att formativt utvärdera deras arbete. Och

sist i varje kapitel finns Sallys hinderbana där elever får repetera väsentliga delar från det föregående kapitlet.

(13)

2.6.2 Eldorados disposition

Eldorado är en serie läromedelsböcker i matematik som är skapade av svenska författare för den svenska skolan (Olsson & Forsbäck, 2016a). Författarna har även skapat en lärarbok som stöd till läraren i sin undervisning (Olsson & Forsbäck, 2016b). Förlaget Natur och kultur (u.å.) skriver att elever på ett lustfyllt sätt får lära sig matematik, först gemensamt för att sedan arbeta vidare med en individuell färdighetsträning. Läroboken erbjuder ett undersökande arbetssätt och det finns även digitala verktyg att tillgå (Natur och kultur, u.å.). Läroboken Eldorado 3A består av sex kapitel och varje kapitel består av två till fyra matematiska områden. Varje område inleds med sidan Undersök där elever arbetar gemensamt. Därefter följer

Träningssidorna, på vilka elever arbetar individuellt med att befästa kunskaper.

Efter träningssidorna kommer Utvärdering och Repetition. Varje kapitel avslutas med uppslaget Kul med matte som fokuserar på problemlösningsuppgifter. (Natur och kultur, u.å.).

3 Teoretiskt ramverk

Huvudkomponenterna i studiens forskningsfråga är problemlöningsuppgifter och hur de bidrar till elevers matematiska utveckling. Av den anledningen behövs en teoretisk ram för vad matematisk problemlösningsuppgift är och vad som menas med att problemlösningsuppgifterna stödjer elevers matematiska utveckling.

Kännetecknande för en problemlösningsuppgift är att den är ”intellektuell

utmanande för individen.” (Lithner, 2008, s. 254, min översättning). Vad som är en intellektuellt utmanade uppgift för en elev kan vara en rutinuppgift (se exempel bilaga 1) för en annan elev (Hagland m.fl., 2005). På så sätt pekar Hagland m.fl. (2005) på att definitionen av den matematiska problemlösningsuppgiftens kvalité till viss del är beroende av elevers förkunskaper. Skolverket (2017) menar att en

problemlösningsuppgift kännetecknas genom följande: ”Matematiska problem är uppgifter eller situationer där eleverna inte på förhand känner till hur problemet ska lösas” (s.25). När elever ställs inför uppgifter eller situationer utan en uppenbar lösningsmetod kommer de behöva testa olika tillvägagångsätt för att finna en lösning. Hagland m.fl. (2005) beskriver likt Skolverket (2017) att ett matematiskt problem är en uppgift som elever har ett behov av eller vilja till att lösa, inte vet hur de ska gå tillväga för att lyckas lösa och som kräver en ansträngning. Som tidigare nämnt används Skolverkets (2017) definition i denna studie, att en problemlösningsuppgift är en uppgift där eleven inte i förväg vet hur den ska gå tillväga för att lösa den. Stycket ovan beskriver vad som kännetecknar en problemlösningsuppgift, men det är också av betydelse hur läraren förmedlar en problemlösningsuppgift till eleverna och på vilket sätt eleverna blir instruerade att arbeta med den. Brousseau (1997) och Brousseau & Warfield (2014) beskriver två olika sätt. Ett sätt är att läraren föreläser för eleverna om den kunskap och de strategier de behöver för att lösa en

problemlösningsuppgift. Därefter får eleverna applicera denna kunskap på likande problemlösningsuppgifter. Med hjälp av de kunskaper och strategier de nyss erfarit kan de nå en snabb lösning på problemlösningsuppgiften. Risken är dock att eleverna endast imiterar strategier utan någon djupare förståelse. Det andra sättet är att

läraren tillhandahåller en problemlösningsuppgift till eleverna, förklarar under vilka förutsättningar de ska arbeta och vilket mål de ska uppnå. Därefter ska läraren inte blanda sig i elevernas väg till en lösning. Det enda tillfället läraren ska vara aktiv är

(14)

om eleverna inte kan finna en lösning. Lärarens uppgift är då att modifiera problemet för att stötta eleverna, inte att förklara hur de når en lösning.

Även om en problemlösningsuppgift lever upp till definitionen ovan, behöver det inte innebära att den bidrar till elevers matematiska utveckling. För att bidra till elevers matematiska utvecklig behövs till exempel att den kräver elever på resonemang eller uppmanar elever till att använda sig av olika strategier. I följande stycken följer en genomgång vad en problemlösningsuppgift bör innefatta för att uppnå en god kvalité, det vill säga att den bidrar till elevers matematiska utveckling.

3.1 Att eleven ställs inför matematik, inte bara generell problemlösning

En problemlösningsuppgift innebär alltså att eleven inte känner till en lösningsmetod i förväg (Skolverket, 2017; Hagland m.fl., 2005). Att lösa problem innebär att

använda strategier och kontrollera att dessa strategier leder arbetet mot lösningen framåt. Förutom kunskaper och erfarenheter att implementera strategier behövs kunskaper om ämnet för problemlösningsuppgiften (Schoenfeld, 1992). Enligt det första kriteriet för Rika problem bör eleverna möta någon form av matematiska begrepp eller någon matematisk procedur (Hagland m.fl. 2005). Alltså, om syftet för uppgiften är lärande i matematik måste uppgiften innebära att eleven möter ett matematiskt innehåll. Följande exempel beskriver hur en problemlösningsuppgift som har ett matematiskt innehålla kan vara utformad.

Läraren ger 3 av sina elever 5 pennor var. Karl ger tre pennor till Miguel och sen ger Miguel hälften av sina pennor till Isla. Hur många pennor har Isla då?

I denna problemlösningsuppgift möter eleven en problemlösningsuppgift som hen kan tänkas lösa genom att räkna addition och division: 5+3=8, 8/2=4, 5+4=9 och därmed är det tydligt att eleven möter ett matematiskt innehåll.

3.2 Att eleven måste resonera sig fram till en lösning, dvs konstruera lösningsmetoder och formulera argument

Ett resonemang är, enligt Lithner (2008), den tankegång som frambringar olika antaganden och leder till en eller flera slutsatser. Lithner (2008) pekar på att ett resonemang inte nödvändigtvis måste vara sanningsenligt eller bygga på formell logik. Istället menar Lithner (2008) att ett tillräckligt kriterium för ett resonemang är att det finns anledningar till att tankegången upplevs rimlig för den tänkande

individen. För att förstå vad Lithner (2008) vill få oss att förstå riktar läsaren fördelaktigt sin tanke här mot den imaginära elev som på ett matematikprov redovisar en lösning på en problemlösningsuppgift, som både är fel och saknar

underliggande formellt logiskt resonemang. Men, om eleven har anledning till att hen gör som hen gör kan vi konstatera: eleven resonerar.

Vid implementering av problemlösande strategier och kontroll av hur dessa leder arbetet mot lösningen framåt behöver eleven komma fram till hur den ska gå tillväga och argumentera för lösningsmetoden, det vill säga föra resonemang. Det är då viktigt att uppgiften har en rimlig kreativ och begreppslig utmaning (Lithner, 2017). För att en problemlösningsuppgift ska uppmana eleven att föra ett resonemang ska den inte innehålla en lösningsmetod, en mall hur eleven ska gå tillväga för att finna

(15)

en lösning eller ett facit där eleven kan konstaterat att hen har gjort rätt för att det står i facit (Lithner, 2008). Eleven behöver själv konstruera en metod och för att finna en lösning och argumentera för sina val. Uppgiften ska erbjuda eleven något mer än bara färdighetsträning (Hagland m.fl., 2005), om problemlösningsuppgiften bara erbjuder färdighetsträning är det en rutinuppgift (se exempel bilaga 1).

Vi använder oss av exempeluppgiften i tidigare stycke för att exemplifiera hur det kan se ut när en elev resonerar. Eleven läser uppgiften:

Läraren ger 3 av sina elever 5 pennor var. Karl ger tre pennor till Miguel och sen ger Miguel hälften av sina pennor till Isla. Hur många pennor har Isla då?

Denna uppgift tillhandahåller ingen lösningsmetod till eleven, det finns heller inte något facit som eleven kan vända sig till. Låt oss ponera att eleven börjar med att fundera på vad hen vet och vad hen behöver göra med den informationen. Då konstruerar eleven en lösningsmetod, exempelvis genom att skapa en tabell (Grafiska-geometriska representationsformen).

Karl Miguel Isla

5 5 5

2 8 5

2 4 9

När eleven skapar tabellen behöver hen resonera om vilka räknesätt hen behöver använda, hur många hälften är och argumentera för vilka resultat hen finner. Denna resonemangskedja skulle förmodligen leda eleven till rätt svar. Men låt säga att eleven istället någonstans på vägen till lösningen blandar ihop siffrorna och tänker att Miguel har 5 pennor och att då ger 2,5 pennor till Isla kan vi fortfarande

konstatera att eleven resonerar trots en felaktig lösning. Eleven har fortfarande funderat på vilket räknesätt hen behöver använda och vad hälften av något är. Om eleven däremot stött på en uppgift som endast kräver eleven på färdighetsträning till exempel 3+5=__ behöver eleven nödvändigtvis inte resonera utan hen vet att svaret är 8 och kan snabbt fylla i det.

3.3 Att uppgiften är språkligt tillgänglig

En problemlösningsuppgift bör vara formulerad med lättförståeligt språk, om eleven behöver läsa uppgiften flera gånger ska det vara för att eleven försöker förstå hur hen ska arbeta för att komma vidare i arbetet mot lösningen. Eleven ska inte behöva läsa om uppgiften för att det är svårt att förstå vad som efterfrågas på grund av ett

invecklat språkbruk. Med andra ord ska en problemlösningsuppgift av god kvalité vara som Hagland m.fl. (2005) beskriver, lätt att förstå. En annan aspekt att ta i beaktande är att de ord som används i matematiken dels kan ha en betydelse i vardagligt språk, dels en betydelse i matematiska sammanhang, exempel rymmer,

axel, volym och udda (Myndigheten för skolutveckling, 2008). Dessa ord kan skapa

svårigheter för eleven i arbetet mot att finna en lösning om hen inte har förståelsen för den matematiska betydelsen av ordet.

(16)

3.4 Att det finns möjligheter att implementera strategier och använda representationer i arbetet med uppgiften

Att implementera strategier kan ske på olika sätt. För att stötta elevers försök att lösa problemlösningsuppgiften kan läraren övervaka arbetet och ställa frågor som stöttar elever i deras strävan att lösa uppgiften (Schoenfeld, 1992). Elever måste själva få upptäcka vilka strategier de applicerar på problemlösningsuppgiften, de ska inte få dessa presenterade av läraren. Om läraren först har en genomgång om hur eleverna kan finna en lösning med hjälp av en viss strategi är det inte längre en

problemlösningsuppgift, utan en rutinuppgift där eleverna imiterar en strategi de fått presenterade för sig (Schoenfeld, 1992, Lithner 2008).

Att en problemlöningsuppgift uppmanar elever eller ger elever utrymme till att lösa uppgiften genom olika strategier är en kvalité som eftersöks i en

problemlösningsuppgift som kan bidra till elevers matematiska utveckling.

Ett av de kriterier Lithner (2008) har satt upp för hans ramverket är flexibilitet, vilket innebär att det i problemlösningsuppgiften ska finnas en möjlighet till flera olika sätt att lösa uppgiften. Också Hagland m.fl. (2005) menar att det i en

problemlösningsuppgift av kvalité bör finnas utrymme för att lösa den på olika sätt. Eleven kan då använda sig av olika representationsformer så som en Konkret

representationsform eller en Algebraisk-aritmetisk representationsform. Låt oss ponera att eleven möter ovanstående problemlösningsuppgift genom en konkret representationsform kan det innebära att hen använder sig av pennor och delar ut dem till imaginära elever för att finna en lösning. Tar sig eleven däremot an uppgiften genom att använda en Algebraisk-aritmetisk representationsform skriver eleven ner talen hen använder sig av för att nå en lösning. Till exempel:

5+3=8 8/2=4 5+4=9

3.5 Att eleven uppmuntras till att reflektera över lösningen

Under elevens arbete med problemlösningsuppgiften och när eleven nått en lösning bör eleven uppmuntras till reflektion över vad hen gör. Skolverket (2017) menar att det är en del av problemlösningsförmågan, att eleverna ska kunna värdera valda strategier och metoder. Denna tankegång stöds även av Lithner (Boesen m.fl., 2006) som skriver att rimlighet är ett kriterium som definierar ett kreativt resonemang. Det innebär att elevers strategival och lösning ska vara rimlig. För att en

problemlösningsuppgift ska hålla god kvalité bör den alltså uppmana eleven att reflektera över lösningen, är det jag kommit fram till rimligt? Ett exempel på hur en uppgift kan uppmana eleven till att reflektera över lösningen är att det står att eleven ska kontrollera att svaret är rimligt eller att eleven uppmanas att visa hur hen har tänkt.

(17)

4 Metod

4.1 Metodval

Syfte med föreliggande studie är undersöka hur problemlösningsuppgifter i läromedel som är vanliga i svensk skola bidrar till elevers matematiska utveckling inom området problemlösning. För att uppnå studiens syfte har en forskningsfråga skapats: På vilket sätt bidrar problemlösningsuppgifterna i respektive lärobok till elevernas matematiska utveckling i området problemlösning?

För att skapa underlag till denna studie har ett analysverktyg skapats och en analys av problemlösningsuppgifter i två läroböcker i matematik har genomförts.

Vid studier av tryckta källor är en innehållsanalys lämplig (Bryman, 2018) och då denna studie ämnar undersöka på vilket sätt problemlösningsuppgifterna i respektive lärobok bidrar till elevers matematiska utveckling inom området problemlösning, valdes denna metod. Vidare skriver Bryman (2018) att i en kvantitativ

innehållsanalys kan mängden i innehållet fastställs utifrån valda kategorier. I denna studie kan frågorna i analysverktyget ses som de valda kategorierna som respektive problemlösningsuppgifts kvalité fastställs genom och därmed genomförs en

kvantitativ innehållsanalys.

4.2 Urval

Initialt genomfördes en undersökning för att skapa en bild av vilka läromedel som används i matematikundervisningen. Denna undersökning avgränsades till de kommunala och fristående grundskolorna med årskurser F-3 i en mellansvensk kommun. I den initiala undersökningen kontaktades samtliga kommunala och fristående grundskolor i den mellansvenska kommunen, 28 skolor. Av dessa var det 21 skolor som svarade. Bilden nedan (figur 2) visar förekomsten av läroböcker i matematik bland de 21 skolorna. Om en och samma skola använder flera olika

läromedel till exempel flera olika böcker, för olika årskurser, har varje lärobok som då använts registrerats i figur 2 som en frekvens. Därav uppgår frekvensen av läromedel till 27 och urvalet i figur 2 till 21 skolor.

(18)

Figur 2. Frekvens av olika läroböcker i matematik.

Den vanligaste förekommande läroboken i de kontaktade skolorna är den i grunden finska läroboken Favorit matematik, varför den valdes att ingå i studien. Då den initiala undersökningen också visade att några skolor använde läroboken Eldorado innan Favorit matematik och att den skolan som fortfarande använder Eldorado önskar byta till Favorit matematik föreföll Eldorado som ett passande

jämförelseobjekt.

De läroböcker som har valts till analys är två böcker som är tänkta att användas av elever i årskurs tre. Både Eldorado och Favorit matematik erbjuder två böcker till årskurs tre, en A-bok och en B-bok. I denna studie är det A-böckerna som valts till analys. Anledningen till att läroböcker för årskurs tre som valts till analys är att det ställs högre krav på elevers läsförmåga i årskurs tre och därmed kan det förekomma fler textvägledda uppgifter, vilket underlättar vid analys av böckernas

problemlösningsuppgifter.

I Eldorado 3A finns det enligt författarna ett fokus på problemlösningsuppgifter på sidorna Kul med matte. Samtliga uppgifter på dessa sidor har analyserats.

Författarna till Eldorado 3A har skapat problemlösningsuppgifter som de kallar ”rika problem” till introsidorna som finns till varje kapitel. Dessa ”rika problem” finns endast i lärarboken och har också analyserats. Jag är medveten om att elever kan möta problemlösningsuppgifter och att elever tränar på att använda olika strategier som är användbara för problemlösning på andra ställen i boken. Då Olsson & Forsbäck (2016b) lyfter att elever får möjlighet att arbeta med

problemlösningsuppgifter i dessa delar av läroboken, har jag gjort valet att begränsa analysen till just dessa delar.

I Favorit matematik 3A får elever, enligt författarna till läroboken, möta

problemlösningsuppgifter på de sidor som heter Favoritsidor, avsnitten som heter

Problemlösning och på de sidor där det längst ner finns en hänvisning där det står att

eleven arbetar med problemlösning (Karppinen, Kiviluoma & Urpiola, 2013). Det finns även problemlösningsuppgifter i lärarhandledningen som också analyserats. Även i detta fall är jag medveten om att eleven kan möta problemlösningsuppgifter på andra ställen men även här har jag begränsat urvalet av analyserade uppgifter.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 Favo rit M atema tik Mitt i pric k Koll p å mate matik Eldo rado Pixe l Matte deck arna Prim a Mate matik Rik m atema tik Matte borg en Tänk a, räk na,… Antal förekomster Lärobok

Förekomst av olika matematikläroböcker i

en mellansvensk kommun, åk f-3

(19)

Precis som den initiala undersökningen visar används finns det flera olika läroböcker som används. Studiens resultat ska inte ses som en generalisering för hur läroböcker i matematik som används i Sverige kan bidra till att elever kan utveckla den

problemlösningsförmågan. Även om resultatet inte kan generaliseras vill jag dock påtala att Favorit matematik och Eldorado är två läroböcker som många elever möter.

4.3 Genomförande

För att uppnå studiens syfte skapades ett analysverktyg som med stöd av studiens teoretiska ramverk ställer fem frågor till läromedlens problemlösningsuppgifter. När analysverktyget var framtaget identifierades alla uppgifter, i respektive lärobok, som enligt författarna till böckerna är problemlösningsuppgifter (se avsnitt 4.2 Urval). När alla problemlösningsuppgifter var identifierade granskades varje uppgift med avseende på hur de svarar mot analysfrågorna. Om en problemösningsuppgift uppnådde en analysfråga, det vill säga om svaret var ja skrevs numret in på den uppnådda analysfrågan. Vid genomförande av analysen har de siffror som analysen genererat sammanställts i två olika tabeller. Dessa siffror har sedan kontrollerats fem gånger för att säkerställa att ingen felaktighet uppstått.

4.3.1 Analysmetod

För att kunna analysera problemlösningsuppgifterna i respektive lärobok på ett objektivt och vetenskapligt grundat sätt skapades ett analysverktyg. Analysverktyget består av fem frågor som alla kan härledas till den forskning som presenterats i

avsnitt 3. Teoretiskt ramverk. Nedan följer en tabell där varje analysfråga presenteras och därefter beskrivning på hur analysfrågorna i analysverktyget är skapade utifrån det teoretiska ramverket (se avsnitt 3. Teoretiskt ramverk). Därefter kan läsaren ta del av en detaljerad bild av de steg som genomförts i analysen.

Analysfrågor

1. Ställs eleven inför matematik? 2. Kräver uppgiften eleven på

resonemang?

3. Är problemlösningsuppgiften språkligt lättillgänglig?

4. Finns det möjligheter att använda strategier och representationsformer i arbetet mot att nå en lösning? 5. Uppmuntras eleven till att reflektera

över lösningen?

(20)

Analysfråga 1 Ställs eleven inför matematik? (se avsnitt 3.1)

Denna analysfråga eftersöker huruvida eleven ställs inför matematik i arbete med problemlösningsuppgiften. För att eleven ska uppnå ett lärande i matematik måste eleven möta matematik, inte generell problemlösning. Eleven bör behöva skapa strategier som leder mot en lösning och använda sig av de matematiska resurserna och procedurer som eleven kan (Schoenfeld, 1992). Eleven behöver använda den intuitiva kunskapen hen besitter gällande matematik, vad är lämpligt att göra i

arbetet mot att finna en lösning på problemlösningsuppgiften. Den matematik eleven möter kan vara i form av begrepp eller procedurer (Hagland m.fl. 2005) och kan därmed alltså inte vara en ”kluring” eller gåta som inte har ett matematiskt innehåll. Analysfråga 2 Krävs eleven på resonemang? (se avsnitt 3.2)

Analysfråga 2 tydliggör att en lösningsmetod inte ska presenterats för eleven, det ska heller inte finnas ett facit som eleven kan kontrollera sitt svar mot (Lithner, 2008). Eleven måste själv fundera och tänka för att komma fram till en lösning. Eleven ska konstruera en egen lösningsmetod, vilket är själva resonemanget (Lithner, 2008). Resonemangskedjan kan leda till ett felaktigt svar, eleven har ändå resonerat. Denna analysfråga gör skillnad på om uppgiften kan ses som en rutinuppgift där endast färdighetsträning efterfrågas eller om uppgiften kan kategoriseras som en

problemlösningsuppgift.

Analysfråga 3 Är uppgiften språkligt lättillgänglig? (se avsnitt 3.3)

Denna analysfråga konstaterar om uppgiften är utformad med ett lättförståeligt språk. Eleven ska inte behöva lägga onödig energi på att förstå uppgiften, utan energin ska läggas på att förstå hur hen ska arbeta med matematiken i uppgiften och själva processen mot en lösning.

Om en uppgift innehåller ord som har en matematisk och vardaglig betydelse kommer det inte påverka huruvida uppgiften möter analysfrågan. Visserligen kan dessa ord med dubbla betydelser försvåra för eleven att förstå uppgiften men då det är upp till varje lärare att genomföra en undervisning där eleverna tillägnar sig de begrepp och därmed det språk som används i den matematik de möter.

Analysfråga 4 Finns det möjligheter att använda strategier och

representationsformer i arbetet mot att nå en lösning? (se avsnitt 3.4)

Analysfråga 4 undersöker huruvida uppgiften ger eleven utrymme att lösa problemlösningsuppgiften på olika sätt. Enligt Schoenfeld (1992) innebär

problemlösning att använda sig av olika strategier och implementera lämplig strategi. Eleven möter en uppgift och funderar på hen ska nå en lösning. Eleven kan

exempelvis testa att rita en bild eller ställa upp en tabell. För att minska

objektiviteten i denna analysfråga har en tabell skapats för att tydliggöra vad som eftersöks igenom denna analysfråga.

(21)

Olika strategier och

representationsformer – KLAG (Hagland m.fl., 2005)

Hur representationsformen och strategin eftersök vid analys.

1. Konkret representationsform Om uppgiften ger utrymme för att lösas med denna representationsform innebär det att en lösning kan nås genom att konkret material till exempel mynt, centikuber cuisenairestavar, pennor eller andra plockisar sorteras.

2. Logisk-språklig representations form

Om uppgiften ger utrymme för att lösas med denna representationsform innebär det att lösningen kan förklaras med ord, utan att använda ”matte-språk”.

3. Algebraisk-aritmetisk representationsform

Om uppgiften ger utrymme för att lösas med denna representationsform innebär det att lösningen kan förklaras genom

aritmetiska eller algebraiska symboler. 4. Grafisk-geometrisk

representationsform

Om uppgiften ger utrymme för att lösas med denna representationsform innebär det att lösningen kan förklaras med en bild, graf, träddiagram eller tabell.

Figur 5. KLAG (Hagland m.fl., 2005)

Ett förtydligande gör sig här nödvändigt, analysfråga 4 handlar inte om att eleven ska få olika sätt att lösa uppgiften presenterad för sig, då försvinner som ovan nämnt utrymmet för att resonera. Utan det handlar om att uppgiften är utformad på så vis att eleven kan lösa den på olika sätt.

Om en uppgift kan lösas med fler än två av dessa representationsformer anses den uppnå analysfråga 4.

Analysfråga 5 Uppmuntras eleven till att reflektera över lösningen? (se avsnitt 3.5) Eleven bör reflektera om den lösning hen har nått är rimlig. Att kunna värdera valda strategier och metoder är en del av problemlösningsförmågan (Skolverket, 2017 och Schoenfeld, 1992) och rimlighet är ett kriterium för ett kreativt resonemang, det vill säga att val av strategier och lösningen ska vara rimligt (Boesen m.fl., 2006).

Ett exempel på hur en uppgift kan uppmana eleven till att reflektera över lösningen är att det står att eleven ska kontrollera att svaret är rimligt eller att eleven uppmanas att visa hur hen har tänkt hela vägen fram till lösningen.

(22)

Analysarbete genomfördes i följande steg:

1) Alla problemlösningsuppgifter identifierades och skrevs in i en tabell. Om till exempel uppgift 1 har en a-, b-, och c - uppgift räknas de som tre uppgifter. Även de uppgifter som tillhandahålls genom lärarhandledningen och lärarboken identifierades och skrevs in i en tabell.

2) Därefter ställdes varje uppgift mot analysfrågorna. Om det finns instruktioner till läraren i uppgiften har dessa räknats med som en del av uppgiften. Till exempel om det står skrivet till läraren att hen ska låta eleverna förklara hur de tänkt möter uppgiften analysfråga 5. När en uppgift uppnådde en

analysfråga skrevs numret på analysfrågan in i tabellen, om en uppgift inte uppnådde analysfrågan gjordes ingen notering utan uppgiften ställdes mot nästa analysfråga.

3) När samtliga problemlösningsuppgifter ställs mot analysverktygets frågor sammanställdes resultaten i två nya tabeller (se avsnitt 5).

4) Vid genomläsning av dessa två tabeller blev det tydligt hur många analysfrågor som uppnåddes i respektive lärobok och vilka analysfrågor som förekom ofta och mer sällan. Med andra ord kunde vissa mönster urskiljas.

Om svaret är ”Ja” på samtliga frågor kan problemlösningsuppgiften kategoriseras som en uppgift som ger elever förutsättningar att utveckla problemlösningsförmågan, och det på ett fullgott sätt enligt denna studie.

4.4 Etiska överväganden

Enligt Vetenskapsrådet (2017) är det flera principer som ligger till grund för att bedriva god forskning. Informerat samtycke, individsskyddskravet och

anonymisering är alla principer som riktar sig till individer. Av denna anledning är det inte principer som tas hänsyn till i denna studie då det är två läroböcker som granskas.

Däremot är det av största vikt att studien tar hänsyn till forskningskravet, de vill säga att det är etiskt riktigt att genomföra forskningen. Då denna studie syftar till att undersöka vilka möjligheter problemlösningsuppgifter kan bidra med till att utveckla elevens matematiska förmåga inom området problemlösnings har hänsyn tagits till forskningskravet. Studien kan också tänkas ge de lärare som arbetar med dessa

läroböcker en bild av vilken kvalité respektive lärobok erbjuder inom problemlösning. Analysverktyget kan också tänkas användas av aktiva lärare för att undersöka vilken kvalité problemlösningsuppgifter kan uppnå, oavsett lärobok. Något som ytterligare stärker att hänsyn tagits till forskningskravet. Stor vikt har även lagts vid att studien är transparent och objektiv, det genomsyrar hela studien från inledning till

diskussion. Vid genomförande av studien har det också funnits en stor noggrannhet gällande att inte underhålla resultat som inte är positivt för studien utan även där finns det en objektivitet.

(23)

4.5 Validitet och reliabilitet

De problemlösningsuppgifter som analyserats i respektive lärobok har resulterat i ett kvantitativt resultat. Resultatet gör inte anspråk på att vara generaliserbart. I

kvantitativa forskningssammanhang kan begreppet validitet bidra till att väcka frågor rörande huruvida en studie mäter det som studien avser att mäta (Bryman, 2018). För att denna studie ska låta sig etiketteras med god validitet har studiens resultat nu vuxit fram från ett analysverktyg som tydligt förklarar vad som studeras (se kap. 3. Teoretiskt ramverk och 4.3.1 Analysmetod). Efter att analysen genomförts har de siffror som generats kontrollerats fem gånger. Kontrollen har genomförts fem gånger för att bland annat undvika slarvfel och felbedömningar.

Reliabilitet som begrepp innebär enligt Bryman (2018) ”…följdriktigheten,

överensstämmelsen och pålitligheten hos ett mått på ett begrepp” (s.208). Med andra ord hur tillförlitligt den genomförda studien kan anses vara. Syftet med föreliggande studie är att undersöka hur problemlösningsuppgifter i läromedel som är vanliga i svensk skola bidrar till elevers matematiska utveckling inom området

problemlösning. Studien består av flera delar, en initial undersökning, skapande av analysverktyg och genomförd analys. Analysverktyget som använts har skapats utifrån presenterad teori och litteratur (se b.la. Hagland m.fl. 2005, Lithner 2008, Skolverket, 2011), vilket ökar tillförlitligheten. Jag vill hävda att det finns en ökad tillförlitlighet i denna studie då analysverktyget kan bidra till en ökad objektivitet och därmed bidra till att studiens resultat kan upprepas. Om Lithners ramverk (2008) och Haglands m.fl. (2005) kriterier för rika problem i sin helhet kan anses vara tillförlitliga kan det tänkas att även denna studies analysverktyg kan anses ha en tillförlitlighet.

5 Resultat

I följande avsnitt redovisas studiens resultat. De två tabellerna nedan visar två olika sammanställningar av genomförd analys. Det första tabellen (Figur. 6) visar vilket antal analysfrågor som uppnås i respektive läroboks problemlösningsuppgifter. Ett förtydligande exempel: i Favorit matematik 3A är det 28 problemlösningsuppgifter som möter två av studiens analysfrågor och i Eldorado 3A är det 23

problemlösningsuppgifter som möter två av studiens analysfrågor.

Den andra tabellen (Figur. 7) visar hur många gånger varje analysfråga förekommer (att analysfrågan förekommer innebär att den kan besvaras med ett ”Ja” vid analys av problemlösningsuppgiften) i respektive lärobok. Ett förtydligande exempel:

Analysfråga 2 förekommer 120 gånger i Favorit matematik 3A och 52 gånger i Eldorado 3A.

(24)

Antal uppnådda

analysfrågor Favorit matematik 3A Eldorado 3A Procent i förhållande till totalt antal problemlösningsuppgifter (avrundat till en decimal)

0 0 1 0,0/1,3 1 1 0 0,7/0,0 2 28 23 18,3/29,5 3 61 42 39,9/53,8 4 62 12 40,5/15,4 5 1 0 0,7/0,0 Totalt antal problemlösningsuppgifter 153 78

Figur.6 Antal uppnådda analysfrågor i respektive lärobok.

Antal förekomster av

analysfrågor Favorit matematik 3A Eldorado 3A Procent av totala antal uppgifter Analysfråga 1 149 ggr 78 ggr 97,4/100 Analysfråga 2 120 ggr 52 ggr 78,4/66,7 Analysfråga 3 153 ggr 78 ggr 100/100 Analysfråga 4 62 ggr 10 ggr 40,5/12,8 Analysfråga 5 9 ggr 6 ggr 5,9/7,7

Figur 7. Antal förekomster av varje analysfråga i respektive lärobok. Sammanfattningsvis kan det konstateras att endast en av

problemlösningsuppgifterna bidrar till att utveckla elevers matematiska utveckling på ett komplett sätt, det vill säga möter samtliga analysfrågor. De olika analysfrågorna uppnås i olika frekvens i läroböckerna, och därmed kan det även konstateras att problemlösningsuppgifterna till viss del bidrar till att utveckla elevens matematiska förmåga.

6 Slutsatser

Denna studie syftade till att undersöka hur problemlösningsuppgifter i läromedel som är vanliga i svensk skola bidrar till elevers matematiska utveckling inom området problemlösning.

Den genomförda studien visar att kvalitén på problemlösningsuppgifterna varierar. I Favorit matematik 3A är det vanligast att en problemlöningsuppgift möter fyra av studiens fem analysfrågor och i Eldorado 3A är det vanligast att en

problemlösningsuppgift möter tre av de fem analysfrågorna. Favorit matematik 3A erbjuder fler uppgifter med en högre kvalité (40,5% av uppgifterna möter minst fyra analysfrågor) medan mer än hälften av uppgifterna i Eldorado 3A uppnår en

medelhög kvalité (53,8% av uppgifterna möter tre analysfrågor). I Favorit matematik 3A är det endast en uppgift som möter samtliga analysfrågor och i Eldorado 3A

förekommer det ingen problemlösningsuppgift som möter samtliga analysfrågor. Den första slutsatsen vi kan härleda ur studiens resultat är att läraren i mer eller mindre grad måste kompensera så att uppgifterna uppfyller alla kriterier.

(25)

Om vi ser till respektive analysfråga kan vi konstatera att analysfråga 4 och 5 är de analysfrågor som uppnås minst antal gånger. Möjligheten att lösa ett problem på olika sätt och uppmaningar till reflektion över lösningar saknas i flera

problemlösningsuppgifter. Vilket leder oss in på den andra slutsatsen; lärare måste vara särskilt uppmärksamma på att ge elever möjligheter att implementera och att tillägna sig problemlösningsstrategier och att elever utmanas att reflektera och verifiera sina lösningar.

För framtida forskning kan det vara intressant att empiriskt undersöka hur

problemlösningsuppgifter som används i klassrumspraktiker, med faktiska elever, svarar mot analysverktyget. Och på den vägen möjligtvis kunna landa i en välgrundad värdering av den ena läroboken som en mer lämpad problemlösningsmiljö än den andra eller vilken insats som krävs av den undervisande läraren. Det finns även en förhoppning om att det konstruerade analysverktyget kan vara användbart för

undervisande lärare, även de utanför denna mellansvenska kommun, att använda för att analysera och bedöma kvalitén hos de problemlösningsuppgifter de möter och använder i sin undervisning, och därmed på ett effektivt sätt kunna kvalitetssäkra sin egen undervisning. Ytterligare ett förslag till fortsatt forskning är att undersöka hur lärare kan kompensera för brister i läromedel, framför allt när det gäller elevers möjligheter att lösa problemlösningsuppgifter med olika strategier och att reflektera över lösningar.

7 Diskussion

I metoddiskussionen diskuteras studiens styrkor och svagheter. I resultatdiskussion diskuteras de två slutsatser som framkommit genom studien. Avsnittet avslutas med en sammanfattning.

7.1 Metoddiskussion

Att skapa ett analysverktyg var en omfattande del av denna studie. Ett alternativ skulle kunna varit att undersöka om något analysverktyg som använts i andra studier kunde varit lämpligt. Men eftersom analysverktyget är tänkt att baseras på

styrdokument och aktuell forskning valdes ändå alternativet att skapa det för den aktuella studien. Med stöd i aktuell forskning ger det en välgrundad bild av vad som bör eftersökas i en problemlösningsuppgift för att den ska bidra till elevers

matematiska utveckling inom området problemlösning. Att det, av tidsmässiga aspekter, inte har funnits möjlighet att ta all forskning som publicerats om

problemlösningsuppgifter i beaktande kan upplevas som en brist i studien. Dock är den forskning som valts ut aktuell och i linje med rådande styrdokument gällande problemlösning. Med detta som utgångspunkt var ambitionen att skapa ett

heltäckande analysverktyg som är användbart på skriftliga problemlösningsuppgifter, oavsett läromedel.

En annan viktig aspekt gällande analysverktyget var att minska subjektiviteten. Det finns alltid en subjektiv närvaro genom forskaren som genomför studien.

Analysverktyget som konstruerats och använts ämnar minska denna subjektivitet och bidra med en ökad objektivitet i resultatet. Jag finner det sannolikt att ett likvärdigt analysresultat skulle uppnås om en annan person skulle återupprepa analysen. Vilket

(26)

kan stärkas av att analysen av läroböckerna har genomförts på ett heltäckande sätt, med en tydlighet och transparens gällande hur analysarbetet har genomförts. Det resultat som framkommit genom analysen av problemlösningsuppgifterna gör inte anspråk på att vara representativt för andra läromedel. Resultatet som

framkommit genom analysen är gällande för problemlösningsuppgifterna i respektive lärobok.

7.2 Resultatdiskussion

7.2.1 Läraren måste kompensera problemlösningsuppgifterna

Studiens resultat visar att de analyserade läroböckerna har en varierande kvalité. Det är endast en problemlösningsuppgift i Favorit 3A som möter samtliga analysfrågor. Det innebär att läraren i mer eller mindre grad måste kompensera så att uppgifterna uppfyller alla kriterier.

Det har tidigare påpekats i forskning att det inte är helt enkelt att finna en komplett problemlösningsuppgift (Hagland m.fl., 2005), vilket också visat sig vara gällande för de problemlösningsuppgifter som analyserats i denna studie. Som ovan nämnt

förekommer det inga problemlösningsuppgifter i Eldorado 3A som möter samtliga kriterier och endast en uppgift i Favorit matematik 3A som möter samtliga kriterier. I Favorit matematik 3A finns det fler uppgifter som möter fyra av de fem

analysfrågorna medan det i Eldorado 3A förekommer fler problemlösningsuppgifter som möter tre av de fem analysfrågorna.

Att problemlösning är en central aspekt i matematikundervisningen har tidigare redogjorts för i litteraturgenomgången (Skolverket, 2011, Häggblom 2013, Hagland m.fl. 2005,). Det finns en uppenbar enighet om att elever bör möta

problemlösningsuppgifter i matematikundervisningen och den forskning som finns lyfter vad en problemlösningsuppgift bör innehålla och hur läraren bör agera i

klassrummet. Skolverkets (2011) definition på en problemlösningsuppgift innebär att eleven möter en uppgift där hen inte vet hur hen ska gå tillväga för att lösa uppgiften. Gällande hur eleverna bör arbeta med en problemlösningsguppgift, bör de arbeta på självständigt sätt, där förutsättningar och mål synliggjorts för dem (Brousseau 1997, Brousseau & Warfield 2014). Läraren ska vara aktiv först när eleverna kört fast och inte kommer vidare mot en lösning (Brousseau 1997, Brousseau & Warfield 2014). Studiens analysverktyg kan ses som en sammanfattning (utifrån presenterad forskning) vad en problemlösningsuppgift bör innehålla. Att flertalet av

problemlösningsuppgifterna inte möter samtliga analysfrågor ger vissa implikationer för undervisningen, exempelvis vad de olika läroböckerna erbjuder och vilket

innehåll lärare behöver kompensera i problemlösningsuppgifterna.

Lärare som väljer att använda Favorit matematik 3A möter en bok med fler sidor, fler problemlösningsuppgifter och fler uppgifter som i en högre grad bidrar till elevers matematiska utveckling. Lärare som däremot väljer Eldorado 3A möter en bok med färre sidor men med fler uppgifter som möter 3 analysfrågor. Därmed spelar det också en väsentlig roll hur läraren arbetar med respektive lärobok. Använder läraren hela boken från början till slut eller väljer läraren vissa delar av boken. Eldorado 3A erbjuder en tätare sammansättning med problemlösningsuppgifter som möter tre analysfrågor än motsvarande i Favorit matematik 3A gällande vilka uppgifter som

Figure

Figur 1. En översikt över de typer av resonemang som utgör Lithners ramverk  (Boesen, Lithner & Palm 2006, s.3
Figur 2. Frekvens av olika läroböcker i matematik.
Figur 4. Frågorna i studiens analysverktyg.
Figur 5. KLAG (Hagland m.fl., 2005)
+2

References

Related documents

grunden för läsförståelse läggs hos de små barnen, både på förskola och i hemmet är denna studie viktig för pedagoger både i skolan och på förskolan. Forskningen visar ofta

Konventionen har till syfte att skydda alla människors värdighet och identitet samt att garantera alla människor respekt för sin integritet och andra rättigheter och grundläggande

Eftersom detta är mitt första stycke med text hade jag inte heller en strategi för hur jag skulle hantera situationen, så till slut gav jag upp och tänkte inte mer på det?. Samma

Anledningen till att resultatet i klass A visar att de behärskar de högre nivåerna kan enligt mig bero på att eleverna ska byta lärare när de börjar årskurs 1, och det kan

Detta stämmer överens med Thedin Jakobssons (2004) studie där hon diskuterar att lärare verkar sätta detta som en hög prioritet. Eleverna ser inte idrotten som ett tillfälle där

I skollagen formuleras ett krav på att rektor genom utbildning och erfarenhet ska ha förvärvat pedagogisk insikt, men vad pedagogisk insikt i praktiken innebär tycks vara upp till den

Då två (lika) system med olika inre energier sätts i kontakt, fås ett mycket skarpt maximum för jämvikt då entropin är maximal, inre energin är samma i systemen och

Den totala entropiändringen under en cykel (eller tidsenhet för kontinuerliga maskiner) är entropiändringen i de båda värmereservoarerna. Du ska kunna redogöra för hur en bensin-