undersoka-upptacka-uppleva-

Undersöka, upptäcka, uppleva

och i grunden förstå!

Bengt Drath

Fortbildare, lärarutbildare och framförallt

Ma/NO-lärare.

Fråga på ma-biennalen i Karlstad 2016

Vad gjorde att ni utvecklades vidare i ert

yrkeskunnande?

En kognitiv konflikt



I NO-undervisningen låter jag eleverna i första

hand undersöka och utforska för att få nya

insikter och nå en begreppsförståelse.

Syn på lärande

Kan man verkligen ha två så olika syner på

lärande i två så närliggande ämnen?!

Att utvecklas…..



Omedvetet okunnig



Medvetet okunnig

Kursplan i matematik Lpo94



Utbildningen i matematik skall ge eleven möjlighet att utöva och

kommunicera matematik i meningsfulla och relevanta situationer i

ett aktivt och öppet sökande efter förståelse, nya insikter och

lösningar på olika problem.



För att framgångsrikt kunna utöva matematik krävs en balans mellan

kreativa, problemlösande aktiviteter och kunskaper om

matematikens begrepp, metoder och uttrycksformer. Detta gäller

alla elever, såväl de som är i behov av särskilt stöd som elever i

behov av särskilda utmaningar.



Undervisningen skall sträva mot att eleven utvecklar sin förmåga att

förstå, föra och använda logiska resonemang, dra slutsatser och

generalisera samt muntligt och skriftligt förklara och

Kursplan i matematik Lgr11

Genom undervisningen i ämnet matematik ska eleverna

ges förutsättningar att utveckla förmågan att

- formulera och lösa matematiska problem samt värdera valda

strategier och metoder,

- använda och analysera matematiska begrepp,

- välja och använda lämpliga matematiska metoder för att göra

beräkningar och lösa rutinuppgifter,

- föra och följa logiska matematiska resonemang, samt

- använda ett matematiskt språk för att samtala om och redogöra för

frågeställningar, beräkningar och slutsatser.

Kriterier för bedömning av kunnande i matematik

Betyg E

Betyg C

Betyg A

Problemlösningsförmåga

ett i huvudsak fungerande sätt genom att välja strategier med viss

anpassning till problemets karaktär.

För enkla resonemang om val av tillvägagångssätt.

Löser problem i bekanta situationer på ett relativt väl fungerande sätt genom att välja strategier med

förhållandevis god anpassning till

problemets karaktär. För utvecklade resonemang om val av

tillvägagångssätt.

Löser problem i bekanta situationer på ett välfungerande sätt genom att välja strategier med god anpassning till problemets karaktär. För

välutvecklade resonemang om val av

tillvägagångssätt.

Begreppsförståelse

matematiska begrepp och kan använda denna i välkända sammanhang på ett i huvudsak

fungerande sätt.

Har god förståelse av matematiska begrepp och kan använda denna i

bekanta sammanhang på ett relativt väl fungerande sätt.

Har mycket god förståelse av matematiska begrepp och kan använda denna i nya sammanhang på ett väl fungerande sätt.

Procedurförmåga

metoder vid olika typer av beräkningar samt lösning av rutinuppgifter med ett

tillfredsställande resultat.

Använder ändamålsenliga metoder vid olika typer av beräkningar samt lösning av rutinuppgifter med gott resultat.

Använder ändamålsenliga och

effektiva metoder vid olika typer av

beräkningar samt lösning av rutinuppgifter med mycket gott resultat.

Resonemangsförmåga

resonemang på ett sätt som till viss del

för resonemanget framåt i

redovisningar och diskussioner.

För och följer matematiska resonemang på ett sätt som för

resonemanget framåt i redovisningar

och diskussioner.

För och följer matematiska resonemang på ett sätt som för

resonemanget framåt och fördjupar eller breddar redovisningar och

diskussioner.

Kommunikationsförmåga

och skrift på ett i huvudsak fungerande sätt med viss anpassning till

sammanhanget.

Använder matematiska uttryckssätt i tal och skrift på ett ändamålsenligt sätt med förhållandevis god

anpassning till sammanhanget.

Använder matematiska uttryckssätt i tal och skrift på ett ändamålsenligt

och effektivt sätt med god anpassning

Allt får inte plats i en matris!



Tillit, våga



Attityd



Väcka intresse



Utforska



Kreativ



…..

Utvecklas förmågorna?



Problemlösningsförmåga



Begreppsförståelse



Procedurförmåga (Metod och beräkning)



Resonemangsförmåga



Kommunikationsförmåga

Rikt problem



Introducera ett matematiskt innehåll



Alla skall kunna jobba med problemet



Utmanande, ansträngning, ta tid



Olika vägar mot målet



Ge upphov till ett matematiskt samtal



Brobyggare mellan olika matematiska områden

Utanför matrisen



Tillit, våga



Attityd



Väcka intresse



Utforska



Kreativ



…..

Undersöka, upptäcka, uppleva

Alla andra lektioner?!!

”Att lära sig verktygen” för att kunna lösa

problem…….

Subtraktionsstrategier



56 – 12 =

56 – 12 =



40 + 4 = 44



46 – 2 = 44



92 – 17 =



80 – 5 = 75

eller egentligen

80 + (-5) = 75



90 – 17 + 2 = 75



72 + 3 = 75



95 – 20 = 75



90 – 15 = 75



3 + 70 + 2 = 75

Tillämpa nyvunnen kunskap

Vilken strategi tycker du passar bäst?

303 – 296 =

303 – 296 =



4 + 3 = 7

Generalisera inom andra talområden



12,3 – 9,8 =



76,5 – 18,7 =



510 – 195 =

Reflektera över strategier



Vilka uppgifter löser ni på samma sätt?

88-49

102-97

250-3

21-2

54-12

46-21

31-28

74-34

45-26

Utvecklingsbara strategier



5 – (-3) = 3 + 5 = 8

5

-3

0



5 – (-3) = (5 + 3) – ((-3) + 3) = 8 - 0 = 8

Rika problem leder till nya områden

92 – 17 = 95 – 20 = 75

Utvecklas förmågorna?



Problemlösningsförmåga



Begreppsförståelse



Procedurförmåga (Metod och beräkning)



Resonemangsförmåga



Kommunikationsförmåga

Rikt problem ?



Introducera ett matematiskt innehåll



Alla skall kunna jobba med problemet



Utmanande, ansträngning, ta tid



Olika vägar mot målet



Ge upphov till ett matematiskt samtal



Brobyggare mellan olika matematiska områden

Utvecklas mer?



Tillit, våga



Attityd



Väcka intresse



Utforska



Kreativ



…..

Undersöka och upptäcka



Vad händer när man multiplicerar med 10?

10 · 6 =

10 · 70 =

10 · 6,5 =

10 · 274,83 =

Undersöka och upptäcka



Vad händer när man multiplicerar med 10?

10 · 6 = 60

10 · 70 = 700

10 · 6,5 = 65

10 · 274,83 = 2748,3

Att synliggöra via kontrastering

Diskutera skillnader och likheter mellan

uttrycken:

Vilket'tal'är'minst?'

2,9'''''2,98''''2,998''''2,889''''2,89'

2,9'

2,889'

2,998'

Kritiska aspekter

Vilket tal är minst? Diskutera och motivera!

0,9 eller 0,12

Undersöka och uppleva!



Hitta ett tal mellan 1,2 och 1,3

Problemlösning som mål och medel



Mål att kunna lösa problem (centralt innehåll)



Man lär sig genom problemlösning (en

konstruktivistisk syn på lärandet)



Läs Alma Gullbrands examensarbete:

”Matematikundervisning genom problemlösning - En

studie om lärares möjligheter att förändra sin

undervisning”

…eller som man säger i Japan

Problemlösning i grupp



Tänk enskilt

Alla skall hinna sätta sig in i problemet och börja tänka ut en strategi



Lös uppgiften i gruppen

Diskutera! Argumentera! Enas om den bästa lösningen

.



Förbered redovisningen.

Alla skall vara beredda att redovisa.



Redovisning

Läraren hjälper till att strukturera elevernas tankar och synliggöra

innehållet



Reflektion

Granska lösningarnas kvalitet, förmågor i uppgiften, samarbete m.m.

Arbetsgång



Problemlösning

Diskussion i grupp

Redovisning



Nya problemställningar

Diskussion i grupp

Redovisningar



Gör egna problem

Lös varandras problem

Visa läraren



Färdighetsträna i boken

Lgr 11, del 2.2

om Kunskaper

(Övergripande

Mål och riktlinjer)

”Utforskande, nyfikenhet och lust att lära ska

utgöra en grund för skolans verksamhet.”

”Skolan ska ansvara för att varje elev efter genomgången

grundskola:

-

kan använda sig av matematiskt tänkande för

Att tänka mer än att räkna

Det går inte att visa bilden. Det finns inte tillräckligt med ledigt minne för att kunna öppna bilden eller så är bilden skadad. Starta om datorn och öppna sedan filen igen. Om det röda X:et fortfarande visas måste du kanske ta bort bilden och sedan infoga den igen.



Lös på olika sätt

1

,

0

Olika strategier



Innehållsdivision:



Förlänga:



Samband multiplikation/division:

0,1· 60 = 6

60

10

6

1

,

0

6

=

⋅

=

60

1

60

1

,

0

10

6

10

1

,

0

6

=

=

⋅

⋅

=

Använd strategier



Välj en lämplig strategi

2

,

0

6

25

,

0

6

5

,

0

6

Nya talområden



Välj en lämplig strategi

200

6000

250

6000

253

6000

Nya talområden



Välj en lämplig strategi

3

/

1

6

3

/

2

6

Analys



En konstruktivistisk syn på lärandet.



Problemlösning som drivkraft till ny kunskap.



Ett medvetet val av uppgifter.



Tavlan synliggör.



Alla förmågorna ges möjlighet att utvecklas.



”En strukturerad undervisning under lärares

ledning”.

Reflektion



Utvecklas förmågorna?



Rikt problem?

Japanmodellen



Hatsumon

Presentation av problemet



Kikan-shido

Läraren ”går runt mellan bänkarna”



Neriage

Helklassdiskussion



Matome

Sammanfattning

Instruction vs. teaching



Enligt Keith Devlin:

•

Instruction:

en förmedlande envägskommunikation

•

Teaching:

en interaktiv process mellan lärare och

elev



Hur kan vi undvika instruction till förmån

Instruction vs. teaching

På hur många olika sätt kan du ställa 8

krukor i två fönster?

Istället för:

7+1=8

6+2=8

…….

Instruction vs. teaching



1 dm

2

= 100 cm

2

Instruction vs. teaching

Hur kan vi ange punkt A på ett bra sätt?

Ett försök att undvika instruction

6,7

2

_{45 6,7 10}

6

2

_{= 36 3}

3

2

_{= 9}

6

11,7 6

11,7

2

_≈

₁₃₆

5

2

_{= 25}

₁₀

2

_{= 100}

4

5 4

2

_{= 16}

₆

2

_{= 36}

3

2

_{= 9}

3

Undersök sambandet mer



Testa sambandet på en egen rätvinklig triangel



Testa sambandet på icke rätvinkliga trianglar



Formulera sambandet igen med nya erfarenheter



Försök även att formulera sambandet med symboler



Nu passar det bra att vi förstärker elevernas upptäckt

genom att ”sätta area” på sambandet, t.ex. med bilder

och olika pussel.



Därefter är det dags för tillämpningen av detta magiska

Hållbar kunskap

Är det när någon talar om hur du skall göra

eller när du tvingas tänka själv……

Passar detta vårt uppdrag?

Genom undervisningen i ämnet matematik ska eleverna

ges förutsättningar att utveckla förmågan att

- formulera och lösa matematiska problem samt värdera valda

strategier och metoder,

- använda och analysera matematiska begrepp,

- välja och använda lämpliga matematiska metoder för att göra

beräkningar och lösa rutinuppgifter,

- föra och följa logiska matematiska resonemang, samt

- använda ett matematiskt språk för att samtala om och redogöra för

frågeställningar, beräkningar och slutsatser.

Kriterier för bedömning av kunnande i matematik

Betyg E

Betyg C

Betyg A

Problemlösningsförmåga

ett i huvudsak fungerande sätt genom att välja strategier med viss

anpassning till problemets karaktär.

För enkla resonemang om val av tillvägagångssätt.

Löser problem i bekanta situationer på ett relativt väl fungerande sätt genom att välja strategier med

förhållandevis god anpassning till

problemets karaktär. För utvecklade resonemang om val av

tillvägagångssätt.

Löser problem i bekanta situationer på ett välfungerande sätt genom att välja strategier med god anpassning till problemets karaktär. För

välutvecklade resonemang om val av

tillvägagångssätt.

Begreppsförståelse

matematiska begrepp och kan använda denna i välkända sammanhang på ett i huvudsak

fungerande sätt.

Har god förståelse av matematiska begrepp och kan använda denna i

bekanta sammanhang på ett relativt väl fungerande sätt.

Har mycket god förståelse av matematiska begrepp och kan använda denna i nya sammanhang på ett väl fungerande sätt.

Procedurförmåga

metoder vid olika typer av beräkningar samt lösning av rutinuppgifter med ett

tillfredsställande resultat.

Använder ändamålsenliga metoder vid olika typer av beräkningar samt lösning av rutinuppgifter med gott resultat.

Använder ändamålsenliga och

effektiva metoder vid olika typer av

beräkningar samt lösning av rutinuppgifter med mycket gott resultat.

Resonemangsförmåga

resonemang på ett sätt som till viss del

för resonemanget framåt i

redovisningar och diskussioner.

För och följer matematiska resonemang på ett sätt som för

resonemanget framåt i redovisningar

och diskussioner.

För och följer matematiska resonemang på ett sätt som för

resonemanget framåt och fördjupar eller breddar redovisningar och

diskussioner.

Kommunikationsförmåga

och skrift på ett i huvudsak fungerande sätt med viss anpassning till

sammanhanget.

Använder matematiska uttryckssätt i tal och skrift på ett ändamålsenligt sätt med förhållandevis god

anpassning till sammanhanget.

Använder matematiska uttryckssätt i tal och skrift på ett ändamålsenligt

och effektivt sätt med god anpassning

Kollegialt lärande

Det är inget ensamarbete att utveckla undervisningen på

ett professionellt sätt.

Självklart gäller samma syn på lärare som på elever: vi lär

oss bäst tillsammans i en aktiv dialog.

Elevtankar senare i livet



”Vi lärde oss mer på högstadiet, inte bara

att räkna”.



”Alla var engagerade, både duktiga och

20 års erfarenheter



Passar dagens lustbarn



Alla elever kan delta mer eller mindre



Verklig individualisering – utmaningar för alla



Samtal vs. färdighetsträning



Formativ bedömning ”på studs”



Rika situationer – leder till nya upptäckter



Intresset för ämnet matematik ökar



Visst hinner man samtala – åtminstone om man skall

uppfylla kursplanens intentioner!

Vad har betydelse för eleven?



Läraren är utbildad i ämnet



Läraren är engagerad



Läraren är förtrogen med

styrdokumentens innebörd



Läraren undervisar med intentionen att

väcka intresse för ämnet

Mitt strävansmål

Att duka upp för:

En problemformulerad undervisning i

kommunikativ miljö under alla lektioner.

Då hinner förmågorna att utvecklas

.

Eller

”Att undervisa i matematik som i NO”!

Det var ju så det började…..

Resan från ”medvetet okunnig” till ”medvetet kunnig”

tar aldrig slut!

Vad kan ni göra?!



Ni behöver ”bara” utveckla synen på

lärandet, bäst ihop med andra kollegor

(kollegialt lärande).



Allt annat finns på plats.

Om ni vill veta mer ….



Drath, B. (2005). Samtal för förståelse. Nämnaren nr 2, 2005.



Drath, B. (2007). Upptäcktsfärd mot nya begrepp. Nämnaren nr 2,

2007.



Drath, B. (2011). Resonera, argumentera och kommunicera.

Nämnaren nr 3, 2011.



Olsson, A. (2014). Från enskilt räknande till kollegialt lärande.

Nämnaren nr 1, 2014.



Drath, B. (2016). Att utveckla sitt yrkeskunnande.

Nämnaren nr 2, 2016.



Skolverkets youtube-kanal i Matematiklyftet



UR Samtiden: Underbar matematik 2013. Att utveckla elevernas

matematiska förmåga. (

http://urplay.se)