Malmö högskola
Lärarutbildningen
Natur, miljö, samhälle
Examensarbete
15 poängElevers svårigheter med ekvationer och
formler i kemi och fysik
Students’ difficulties with equations and formulae in Chemistry and
Physics
Mehrdad Ansari & Blagojce Tasevski
Lärarexamen 90 poäng Heltid/Distans
2008-02-21
Examinator: Mats Areskoug
Sammanfattning
I detta examensarbete har nio gymnasieelever undersökts i årskurs tre på Teknik (TE) och Naturvetenskapliga (NV) programmet för att se om de i samband med studier i fysik och kemi har svårigheter med ekvationer och formler. Under våra praktikperioder har vi uppmärksam-mat att många elever som läser fysik och kemi har problem med att göra om formler som an-vänds inom detta område. Syftet är att se om det finns svårigheter att göra om formler i fysik och kemi och i så fall om det beror det på dåliga algebraiska kunskaper. Ett test genomfördes och därefter intervjuades eleverna om deras uppfattningar om ekvationer, formler och variab-ler. Resultatet av vår studie visar att endast 2 av 9 elever klarade att lösa ut en variabel från en av formlerna i testet. Det här resultatet instämmer med tidigare forskningsresultatet om eleve-rnas problem att hantera bråkformer i algebraiska formler.
Nyckelord: Algebra, Ekvation, Formel, Fysik, Kemi, Konstant, Matematik, Modell, Problem-lösning, Variabel.
Förord
Vi vill tacka Per-Eskil Persson för en bra handledning och hans goda råd och kommentarer till vårt examensarbete.
Innehållsförteckning
1. Inledning ..….………. 9
2. Syfte och frågeställningar ….………...10
2.1 Syfte ………10
2.2 Frågeställningar ……….…….10
3. Teoretisk bakgrund……….11
3.1 Allmändidaktiska teorier………....11
3.2 Matematikdidaktik………12
3.2.1 Likheter och ekvationer ………..……...12
3.2.2 Modell och verklighet………...15
3.2.3 Formler och räknelagar……….…...……...17
3.2.4 Konstanter och variabler………...17
4. Metod ………...18 4.1 Presentation av testuppgifterna……….19 4.2 Urval ………..21 4.3 Datainsamlingsmetoder ………..21 4.4 Procedur ………..22 4.5 Etiska aspekter………...23
5. Resultat och Analys av test och intervjuer……….23
5.1 TE3, NV3a och NV3b testresultat………...23
5.2 TE3, NV3a och NV3b intervjuer……….30
5.3 Sammanfattning av resultat efter frågeställning…….……….…39
6. Diskussion och slutsatser………...40
6.1 Reflektioner över vår undersökning……….………40
6.2 Elevers svar på djupare frågor……….42
6.3 Elevers problem och svårigheter med ekvationer och formler………...42
6.4 Elever har svårt att uttrycka sig verbalt……..………...………...….44
6.5 Resultat av vårt examensarbete i förhållande till vårt framtida yrke………...…………..44
Litteraturförteckning ………....46
Bilaga 1 ………..….48
Bilaga 2 ………...49
1. Inledning
Problemet med matematikundervisningen i gymnasieskolor och elevernas dåliga förkunskaper för att läsa vidare på högskolor och universitet har uppmärksammats i tidningarna och är ett känt fenomen i skolvärlden. Bl.a. läser man i en artikel av Anders Sandström i Sydsvenskan att ”Bara en av tio blivande civilingenjörer på Tekniska högskolan i Lund får tillräckliga kunskaper i matematik med sig från gymnasiet”. (Sandström, 2007)
Under våra praktikperioder uppmärksammade vi att våra elever på teknikprogrammet hade svårigheter att göra om formler när de ville lösa uppgifter i fysik. När vi beskrev formler
somU = I⋅R, hade många elever svårt att göra om formeln som R U I = eller I U R = som
betyder samma sak fast man uttrycker den på ett annat sätt. Då konstaterade vi att eleverna har en del svårigheter i algebrakunskaper som påverkar deras räkneförmåga när de vill lösa upp-gifter i fysiken och kemin. Därför bestämde vi att utreda gymnasieelevernas svårighet med algebra som examensarbete och speciellt undersöka deras problem med att använda bokstäver i algebraiska beräkningar och tolka dem som variabler som har en motsvarighet i verklighet. Det var samma problem på kemilektionerna med t.ex. formeln: P⋅V =n⋅R⋅T. Därför be-stämde vi att skriva om det här problemet i vårt examensarbete.
Har eleverna skaffat sig de rätta uppfattningarna inom algebra om dessa begrepp eller inte? Om svaret är ja eller nej, vad kan det bero på och vilka brister finns i undervisningen av grundläggande algebra i skolan och hur kan vi blivande lärare få kunskaper av de här studi-erna för att förbättra elevstudi-ernas kunskaper inom algebra?
Hypotesfråga
Vi har kommit fram till en hypotes på basis av våra verksamhetsförlagda tider (VFT) där vi har gjort observationer enligt ”induktiva metoden” där man observerar var och en företeelse för sig och försöker att hitta en relation eller ett samband mellan företeelser utan att luta sig mot någon speciell teori. I våra uppgifter ersätter vi bokstäver x och y som normalt används i algebra/matematiken, med andra bokstäver såsom U,I,R o.s.v. som normalt används i fysi-ken eller kemin, innebär detta att det blir svårare för eleverna att räkna ut uppgifterna? (Hart-man, 2004)
2. Syfte och frågeställningar
2.1 Syfte
Syftet med undersökningen är att få en inblick i elevernas svårigheter med algebraberäkningar inom naturvetenskapliga studier. Resultatet av undersökningen kan hjälpa oss att förstå gym-nasieelevernas svårigheter i algebra och dess påverkan på tekniska ämnen. Vi studerar och använder tidigare undersökningar som gjorts inom området ”Elevernas svårigheter med alge-bra”.
Vi hoppas att arbetet har givit några intressanta slutsatser vilka eventuellt kan vara ett un-derlag för en bättre utformad undervisning.
2.2 Frågeställningar
Vi har satt upp tre frågor som vi skulle vilja ha svar på:
1) Vilka svårigheter har eleverna att teckna ekvationer utifrån ett textbaserat problem och att lösa ekvationer?
2) Klarar eleverna att göra om formler och att lösa ut variabler från formler? 3) Hur uppfattar eleverna variablerna och deras samband med varandra i en formel?
3. Teoretisk bakgrund
3.1 Allmändidaktiska teorierPiagets kognitiva perspektiv
En av de viktigaste teorierna som utvecklades av Piaget är konstruktivismen, som utgår från att varje individ bygger upp sin egen uppfattning och sina tankescheman genom olika utveck-lingsstadier till en kognitiv struktur. Kunskapen utvecklas av eleverna själva och lärare hand-leder dem i deras inlärningsprocess genom att använda metoder som t.ex. problembaserade uppgifter i sitt ämne. ( Persson, 2005)
Tankeprocessen och utvecklingen beskrivs av Piaget med följande viktiga begrepp: anpass-ning (adaption), organisation, assimilation och ackommodation.
Som biolog var Piaget van vid att betrakta levande organismers anpassning till olika miljöer. Denna tanke överfördes till utvecklingsprocessen för människor och därav kommer begreppen anpassning. Den beskrivs i boken som ” en riktning mot ett jämviktstillstånd ”.
Vid sidan om den mentala anpassningen verkar två andra processer. Assimilation och ac-kommodation kompletterar varandra väl. Assimilation innebär att individen strävar efter att anpassa omgivningen efter sig själv. Ackommodation är motsatsen till assimilation och inne-bär att individen anpassar sig efter den nya omgivningen. (Evenshaug & Hallen, 2001).
Vygotskijs sociokulturella perspektiv
Vygotskij, som utvecklade en annan teori som kallades socialkonstruktivismen, menade att människor formar sina kunskaper i ett socialt sammanhang och genom sin interaktion med andra människor. Han upptäckte att det finns vissa trösklar eller svårigheter i inlärningspro-cessen som han kallade för den närmaste utvecklingszonen och därför menade han att elever-na behöver hjälp av en lärare eller erfaren person för att kunelever-na gå över tröskel eller vinelever-na över svårigheter som uppstår under deras inlärningsprocess.(Persson, 2005)
Att läraren har en viktig roll för elevens inlärningsprocess genom att handleda och hjälpa eleven. menade Vygotskij . Genom att lyssna på eleverna och observera dem och förstå i vil-ken utvecklingsfas de befinner sig, kan lärarna med lämpliga uppgifter och viss handledning hjälpa eleverna in i nästa utvecklingszon. (Egidius, 1999).
3.2 Matematikdidaktik
3.2.1 Likheter och ekvationer
Skillnaden mellan operationella (process) och strukturella (objekt) tänkande
Sfard (citerad i Kirean, 1992) skriver att ett abstrakt begrepp kan bli uppfattat på två olika fundamentala sätt:
1. operationella (som process) t.ex. när man ser 5x+2=9 som 5x adderas med 2 och svaret blir 5 och en operation blir utförd eller en process blir genomförd .
2. strukturella (som objekt) t.ex. när man ser 5x+2=9 som en struktur består av två delar 5 +x 2och 9 (eller två objekt) som är ekvivalenta (jämvikta) med varandra. Hon menar att det operationella begreppet är, för de flesta människor, det första steget i för-värvningen av ett nytt matematiskt begrepp. Övergången från ett processorienterat begrepp till ett objektorienterat begrepp slutförs inte snabbt och inte heller utan stora svårigheter.
Den teori som Sfard föreslår stämmer överens med Piagets utvecklingsstadier för en person som studerar algebra. Hon/han övergår från ett processtänkande till ett abstrakt och matema-tiskt objekttänkande stadium, vilket är svårt och tidskrävande. Men man ska träna ungdo-marna att se ekvationerna och algebraiska uttryck som matematiska objekt och inte utföra räkneprocesserna som mekaniska handlingar utan en djup förståelse för det matematiska be-greppet.
Kieran (1992) framför att algebra i skolan kan tolkas som en serie processer och objektori-enterade inställningar där eleven måste förstå den strukturella aspekten av algebraiskt tän-kande. Hon menar att ett processorienterat tänkande refererar till de aritmetiska operationer som uttrycks av tal. Man löser2x+5=11 genom att prova varierande värden förxtills det rätta värdet hittas. Eleverna får ett numeriskt resultat och illustrerar ett processtänkande per-spektiv i algebra. Men en objektorienterad inställning ser man 2x+5=11som en ekvivalens mellan två objekt, 2 +x 5 och 11.
I en del av matematikundervisningen betonas beräkningsprocedurer och att de i sin tur för-hindrar eleverna att utveckla sin förståelse av de begrepp som de bara upplever i processen av algebraiska räkningar, vilket medför att eleverna utvecklas mer i räkneprocess och operations-färdigheter, och mindre inom förståelse av begrepp och objektorienterat matematiskt tän-kande. Detta enligt Hiebert & Carpenter (citerad i Niss, 2002).
De flesta elever beskriver likhetstecknet som ett tecken som visar svaret där operationer ligger i vänster sidan av likhetstecken och svaret i höger om den. Den uppfattningen att svaret alltid finns på högersidan av likhetstecknet gör att eleven endast försöker manipulera bara på vänster sidan och inte både sidor samtidigt för att hålla balansen kvar på ekvationen.
När ekvationer introduceras för elever första gången, får de lära sig att det finns ett gömt tal som saknas och man ska räkna fram det. Man använder en bokstav för det gömda talet. Lik-hetstecken representerar balansen mellan höger- och vänstersidor av ekvationen. Högersidan av ekvationen kan bestå av tal eller siffror men kan också bestå ett helt algebraiskt uttryck . En ekvation definieras som ett aritmetiskt uttryck med ett gömt tal i. Tal ersätts av bokstäver och likhetstecken ses som en representant av ekvivalens eller balans mellan höger och vänster sida av ekvationen. De termer som används på högersidan av en ekvation behöver inte vara bara i form av tal utan kan även bestå av algebraiska uttryck som innehåller både bokstäver och tal eller bara bokstäver. (Kieran, 1992)
Metoder för att lösa ekvationer
Det finns sju olika metoder för att lösa ekvationer, enligt Kieran (1992), som används av ele-ver generellt. Enligt intuitiva metoden använder eleele-verna ”tal fakta” där de löser
9
5+ x= genom att använda den kunskapen att 5+4=9och sedan drar de slutsatser att 4
= x .
Den andra metoden är ” räkna metoden” där eleven räknar från 6,7,8,9 och därifrån räknar antalet siffror som är fyra d.v.s. x=4. Den tredje är ” täcka över” metoden. I den här meto-den löser man ekvationen 2x+9=5x genom att tänka 2x+3x=5xdå 3 =x 9ochx=3. I de första och tredje metoderna använder eleverna ett deduktivt sätt för att lösa ekvationer där man jämför en allmängiltig regel med ett utfall och med hjälp av de liknelserna löser de enkla ekvationer.
I den fjärde använder eleverna en ” arbeta omvänt” där de ersätter en given operation med inversen av den operationen t.ex. i fallet 2x+4=18blir 2x =18−4då 2 =x 14och x=7. Den femte metoden är ”pröva sig fram” -metoden där eleven prövar olika tal och testar svaret i ekvationen.
Det finns två metoder till som kallas ”formella metoder”. Den första är ”överflyttningsmeto-den” och den andra ”att utföra samma operation på både sidor av en ekvation”. I de metoderna gör man samma operation på både sidor av ekvationen som ibland kallas ”byta plats, byta tecken” av eleverna.
Kieran (1992) menar att det finns bevis på att de elever som använder substitutionsmetoden, d.v.s. att de ersätter en variabel med ett ekvivalent algebraiskt uttryck, får bättre förståelse för balansen mellan vänster- och högersida av en ekvation och inser klarare betydelsen av ekvi-valensen som likhetstecken innebär, än de elever som inte använde den metoden.
De elever som är nybörjare i algebra tänker oftast att likhetstecken skulle indikera svaret som t.ex. 4+3=7. Däremot ser man att erfarna elever försöker visa likhetstecken som ett av-skilt tecken mellan höger- och vänstersida av en ekvation, menar Byers & Herskovits (citerad i Kieran, 1992) .
Då Mervarech & Yitschak (citerad i Kieran, 1992) testade elever visade det sig att eleverna hade alltför bristfällig förståelse av likhetsteckens mening för att kunna lösa olika typer av en-variabel ekvationer.
Att lösa ekvationer är som att förändra betydelsen av något som betecknar samma sak. Pers-son (2005) menar att man också kan tolka algebraiska manipulationer som att ändra formen på ett uttryck genom att använda ett annat ekvivalent uttryck som behåller samma betydelse med en annan uttrycksform. T.ex. har2 +x 3x och x5 samma betydelse men uttrycks i olika former.
Han anser att eleverna i slutet av årskurs 3 ska kunna redogöra hur de kan lösa ekvationen
3 2 2 3 = −
x . Han menar att eleverna behöver en god förståelse för bråk och rationella uttryck samt en god manipulativ och operationell färdighet för att klara rationella ekvationer.
Eleverna tänker oftast i mönster när de förkortar algebraiska uttryck eller när de löser ekva-tioner. Det räcker att man ändrar lite på utseendet av en ekvation eller ett algebraiskt uttryck från det vanliga för att många elever ska få svårt att lösa uppgiften.
Eleverna lär sig hur man löser ekvationer eller manipulerar algebraiska uttryck på ett meka-niskt sätt och man kan upptäcka dessa brister hos eleven genom att formulera uppgifterna så att eleven kan lösa problemet om han eller hon verkligen har utvecklat algebraiska tänkandet. Några av resultaten av Perssons undersökning visade att rationella uttryck med variabeln i nämnaren innebar mycket större svårigheter än om variabeln fanns i täljaren.
Många forskare beskriver hur en del elever agerar mekaniskt, bl a Niss (2002).
Eleverna uppfattar ekvationen som en signal till att utföra en del bestämda operationer, utan ett djupare begrepp om ekvationen.
Han förklarar att eleverna uppfattar ekvationen som en matematisk entitet, som till exempel en utsaga eller ett predikat. Detta är ett problem som liknar det som händer med andra svåra begrepp som variabler, obekanta faktorer och betydelsen av likhet. Man kan anta att alla alge-braiska ekvationer orsakar svårigheter i all undervisning som fokuserar på förståelse av ekva-tionerna och inte enbart på metoder som går ut på att lösa dem.
3.2.2 Modell och verklighet
Wittgenstein (citerad i Lennerstad, 2004) skrev att matematik är ” allt algoritm och inget är mening” och man ska ladda matematiken med mening med hjälp av vardagsspråket.
Denna syn delas bla av De Lange (1996) och Grønmo (2005) som vidare anser att processen i den matematiska begreppsutvecklingen börjar med observation av verkligheten som reflek-teras med den matematiska modellen. Den modellen är en abstraktion eller formalisering av den verkliga världen som ska återkopplas till den tillämpade matematiken och testas och veri-fieras i den verkliga världen. Det finns en likhet mellan den matematiska modellen och den experimentella inlärningsmodellen som Lewin utvecklade, enligt De Lange.
Han menar också att Kolbs definition av inlärningsprocessen passar till det här perspektivet av matematiska modellen då inlärningen är en process där kunskap bildas genom transforma-tion och tolkning av verkliga livet.
Matematiken används som en förklarande modell i de mer traditionella tillämpningarna som fysik och astronomi enligt Blum & Niss (citerad i De Lange, 1996) . Man kan tolka fysika-liska problem från verkligheten till matematiska objekt och visa deras relationer och struktu-rer med hjälp av formler och ekvationer.
I ämnena fysik och kemi har man gjort stora framsteg genom att arbeta med verktyg som kvantifiering och matematiska modeller. Kvantifieringen är omvandlingen av vår upplevelse av en kvalitiv sinnesupplevelse som t.ex. värme till begreppet temperatur som definieras med hjälp av fysikaliska lagar. (Renard, 1995)
I fysiken definierar man t.ex. begreppet kraft F, som är kopplade till accelerationen a i for-meln F =m⋅a, där m är massan. Kraftbegreppet blir inte knutet till själva rörelsen utan till rörelseändringen (accelerationen). Naturvetenskapen har sin styrka i den operationella sym-boliken men det har skapat svåra pedagogiska problem i matematik- och fysikundervisning för eleverna. (Thompson, 1996)
Eleverna ska använda matematiken i situationer utanför matematikutbildningen som t.ex. i ämnena fysik och kemi och för detta behöver de modelleringskompetens. Detta innebär att de utifrån en utommatematisk situation kan skapa en matematisk modell som beskriver denna situation. Eleverna ska tolka de resultat som den matematiska modellen ger när den används, och utvärdera modellen och de resultat den ger i förhållande till den verkliga situationen. De ska klargöra modellens begränsningar och förutsättningar och avgöra om resultaten är rimliga. Eleven ska läsa matematikuppgiften och bilda sig en förståelse av den för att skapa en verklig modell av uppgiften, där uppgiftens komplexitet reduceras till en förenklad bild.
Eleven ska bilda en matematisk modell, i form av en ekvation eller funktion, som ska av-bilda det viktigaste i den verkliga modellen. Han eller hon kan utvärdera modellen och klar-göra dess begränsningar och förutsättningar. Modellen ska användas för att få ett matematiskt resultat och det ska tolkas i förhållande till uppgiften och den verkliga modellen för att be-svara frågeställningen i uppgiften. Det sista steget är utvärderingsfasen. (Palm, 2007)
Den moderna fysiken består av tre väsentliga teorier som kallas klassisk fysik, relativitetste-ori och kvantmekanik, vilka beskriver tre olika domäner eller områden av verkligheten. Varje domän kan ses som en modell eller ett perspektiv av verkligheten. Man använder modeller som hämtas från verkligheten för att förklara komplicerade sambanden i naturen. (Renard, 1995)
Ordet modell kommer från latinet och betyder ursprungligen förebild, mönster. Med mate-matiska modeller menar man att samband mellan storheter (avstånd, strömstyrkor, flöden, etc.) som kan observeras i systemet anges som matematiska relationer i modellen. De flesta naturlagar är matematiska modeller i denna mening. T.ex. anger Newtons kraftlag ett sam-band mellan kraft, massa och acceleration. Man analyserar ett system matematiskt genom att lösa de ekvationer som beskriver systemet och studerar lösningens egenskaper. Med en ma-tematisk modell menar man en beskrivning av system där relationerna mellan modellens vari-abler utrycks som matematiska samband.
Det finns ett antal olika storheter som uppträder i modeller. Vissa storheter i modellen varie-rar inte med tiden, de kallas konstanter t.ex.π och storheter som varievarie-rar med tiden kallar man för variabler. (Glad & Ljung, 2004)
En av lärarens svåraste uppgifter är, menar Löwing (2004), att med hjälp av konkretisering och metaforer bygga en bro mellan elevernas vardag och matematikens komplexa innehåll. Det är också viktigt att läraren hjälper eleverna att förstå och hantera det matematiska språket. Detta kan ske genom ett aktivt deltagande från elevernas sida. Läraren ska tillåta eleverna att använda språket vid olika typer av kommunikation i klassrummet.
3.2.3 Formler och räknelagar
Johansson & Emanuelsson (1992) svarade på en grupp låg -och mellanstadielärare som frå-gade: ”Är formler detsamma som räknelagar? (T.ex. a+b=b+a)” så här:
”Nej! En bokstav kan stå som beteckning för ett speciellt tal t.ex. π eller
ljushastigheten c och kallas då konstant. En bokstav kan också beteckna ett godtyckligt element i en mängd tal eller storheter och kallas då variabel. Ett samband mellan två eller flera variabler kallas en formel. Det kan sägas vara en beskrivning av hur man räknar ut något okänt med hjälp av något man kän-ner t.ex. arean av en rektangel= basen gånger höjden(i ord) eller med bokstä-verA=b⋅h. ”
I den matematikdidaktiska teorin som Löwing (2004) presenterar, kan eleverna bygga upp ett matematiskt vetande utifrån sina förkunskaper och sin förmåga och de behöver inte acceptera färdiga formler och modeller.
3.2.4 Konstanter och variabler
Enligt Ahlström (2001) är det förvirrande för elever och lärare att en bokstav i en ekvation knappast kan betraktas som en variabel. Det är snarare beteckning för en storhet eller ett tal som via ekvationslösningen ska ”låsas fast” till ett visst värde eller vissa värden. När vi artar med de formelsamband som bevisar generella räkneregler eller genomför algebraiska be-vis, är själva poängen att talet inte är fastlåst och tillåts variera och anta vilket värde som helst. En formel visar det generella sambandet skrivet på ett tydligt och kortfattat sätt med ett matematiskt språk.
För att ändra fokus i algebraundervisningen från färdighetsträning (manipulationer av alge-braiska uttryck och ekvationer) till förståelse av logiken bakom manipulationerna, menar Häggström (1996) att eleverna skulle uttrycka idéer till matematiska modeller med hjälp av algebra och utveckla uppfattningar av betydelsen av bokstavssymbolerna till en god förståelse av variabelbegreppet.
4. Metod
I en deskriptiv undersökning brukar man begränsa sig till att undersöka några aspekter av de fenomen man är intresserad av. De beskrivningar man gör av dessa aspekter är detaljerade och grundliga. Man använder oftast en teknik för att samla informationen till användning vid de-skriptiva studier. (Patel & Davidson, 2003)
Eftersom vårt forskningsproblem är ett känt fenomen i svenska gymnasieskolor anser vi att den deskriptiva metoden passar bra för att beskriva vårt forskningsproblem.
Vi har använt den kvalitativa forskningsmetoden i vår analys av elevernas svar på vårt test och våra intervjuer för att förstå och fördjupa oss i elevernas svårigheter med ekvationer och formler i algebra. (Johansson & Svedner, 2006)
I vårt examensarbete undersöktes och intervjuades sammanlagt nio gymnasieelever i årskurs 3, sex elever från Naturvetenskapligt program (NV) och tre elever från Teknikpro-grammet (TE). Eleverna kom från tre olika städer i södra Sverige.
Vi använde de kontakter vi hade på vår praktik- och arbetsplatser för att komma i kontakt med de 9 eleverna (5 flickor och 4 pojkar) för att göra ett test i algebra och genomgå inter-vjuer med uppföljningsfrågor. Testet var skriftligt och interinter-vjuerna har genomförts individu-ellt i skolan vecka 49 år 2007 av en av oss i ett avskilt rum som tog ungefär 30 minuter. Inter-vjuerna skrevs ner på papper och p.g.a. det upprepade vi frågorna i form av speglingar och läste upp elevernas svar till dem för att vara säker att vi uppfattade elevernas svar rätt. (Jo-hansson & Svedner, 2006)
Två klasser i årskurs tre, gymnasieelever på Naturvetenskapliga programmet (NV3a), (Nv3b) och en klass på Teknikprogrammet (TE3), i tre medelstora städer i södra Sverige gick genom ett test i matematik (algebra) i vår studie.
De elever som ingått i undersökningen är 18 år och läser matematik kurs D för närvarande. I testet och intervjun ställde vi frågor i nedanstående tre kategorier med avsikt att kontrol-lera i vilken utsträckning eleverna kunde lösa problemen samt att kartlägga elevernas svårig-heter. Kategorierna utgår från undersökningens frågeställningar (se sid.10).
a) Att teckna och lösa ekvationer.
b) Att göra om formler och lösa ut en variabel från formeln.
c) Att förstå och använda variabler och deras samband med varandra i en formel.
Vi valde att använda ett test och en intervju med tre fasta frågor och uppföljningsfrågor. Med hjälp av fråga 1 i testet (bilaga 1) kunde vi kontrollera om elever kan teckna utifrån en textbaserad uppgift och lösa ekvationer, och med fråga 1 på intervjun (bilaga 2) kontrollerar vi samtidigt elevers djupare kunskaper om ekvationer.
Fråga 2,4,5 i testet (bilaga 1) användes för att kontrollera om eleverna klarar att göra om formler och att lösa ut variabler från formler (andra frågan i frågeställningarna). I intervjun använde vi fråga 1 (bilaga 2) för att se hur eleverna definierar formeln.
Fråga 3 i testet (bilaga 1) och fråga 1,2 i intervjun (bilaga 2) refererar till 3 i frågeställning-arna. Fråga 3 i intervjun användes för att eleverna själv skulle berätta om sina svårigheter med ekvationer och formler när de började läsa algebra. Både test och intervju behövdes för att ge svar på samtliga frågor i frågeställningarna. Med intervjuerna kunde vi kontrollera ele-vernas kunskaper om matematiska begrepp och deras uppfattningar om ekvationer, formler och variabler.
4.1 Presentation av testuppgifter Fråga 1.
Summan av två temperaturer är 150°C och skillnaden är 10°C . Använd ekvationer för att hitta värden på de två temperaturer? Förklara hur du har tänkt för att lösa problemet!
Vår avsikt med första frågan i testet var att kontrollera om eleverna kan sätta upp en ekva-tion eller systemekvaekva-tioner utifrån en textbaserad uppgift i första hand. Detta kräver att elev-erna hittar ett eller flera samband mellan olika faktorer i texten som kan uttryckas i form av en ekvation eller ett ekvationssystem. Eleverna skulle lösa ekvationen men vi var också intresse-rade av de metoder som eleverna använde i sina lösningar.
Om eleven använde både tal och bokstäver för att lösa ekvationen, tyder det på ett process-orienterat matematiskt tänkande hos eleverna men om de använde bara bokstäver i sina lös-ningar tyder det på ett objektorienterat matematiskt tänkande enligt Kierans teori.
Fråga 2.
Vi har två formler U = I⋅Roch P= I⋅U . Sätt upp ett uttryck för P där Uoch R ingår.
Vi vet att
A L
R= ⋅ρ . Sätt upp ett utryck för P där, U, L , ρ, A ingår. Visa dina beräkningar
och försök förkorta dina svar så mycket så möjligt!
I andra frågan del a skulle vi kontrollera om eleverna kan göra om formler som används i uppgifter i fysik och kemi och härleda en ny formel med hjälp av andra formler genom att manipulera formler eller använder ersättningsmetoden d.v.s. istället för en variabel i en formel sätter man en annan variabel eller ett algebraiskt uttryck som är ekvivalent med den första variabeln och härledar en ny formel.
I del b av uppgiften tänkte vi använda formler med flera variabler än tre och använda bråk-form i bråk-formlerna för att härleda en ny bråk-formel av två andra bråk-formler. Vi har läst i bl.a. Perssons avhandling att eleverna har ett särskilt problem med de ekvationer som innehåller rationella former eller bråkdelar och vi vill testa det kända problemet hos de elever som deltog i vår un-dersökning.
Fråga 3.
Vi har variablerna I , U och R i formeln R U
I = . Vad händer med värdet på variabeln I om
man ökar värdet på variabeln R och låter variabeln U vara konstant? Motivera ditt svar! Eftersom de olika variablerna förhåller sig proportionellt mot varandra så ville vi se elevernas förmåga att resonera fram en uppfattning om vad som sker med variabeln I.
Fråga 4. ) ( a b b n n n x + =
Lös ut ”nb” och förklara hur du har gjort det!
I fjärde frågan ville vi kontrollera elevernas kunskaper att hantera en formel som uttrycks i bråkform med en variabel som fanns både i nämnaren och täljaren. Enligt de forskningar som bl.a. Persson (2005) gjorde, hade visat eleverna svårigheter att manipulera rationella ekvatio-ner.
Fråga 5.
Uttryck A med hjälp av storheterna V , n, R , F och T ! Om vi vet a) p⋅V =n⋅R⋅T b) A F p =
I frågan nummer fem skulle vi testa samma sak som fråga nummer två . Skillnaden mellan de två uppgifter är att i fråga 2 används formler från fysik och i fråga 5 används formler från kemi. Fråga 6. Lös ekvationen: 3 2 ) 2 ( 4 = − t Fråga 7. Lös ekvationen: 5 ) 1 ( 25 = − x
I fråga 6 och 7 vill vi testa vår hypotetiska fråga vilket var att om vi använder x som variabel i en ekvation och t i en likadan ekvation påverkar elevernas förmåga att lösa den ekvationen som hade x som variabel bättre än den ekvationen som hade t som variabel.
4.2 Urval
Vi har använt ett tillgängligt urval i våra undersökningar för att det inte var så många elever som ville delta i vår undersökning p.g.a. tidsbrist och egna skolarbete.
4.3 Datainsamlingsmetod
Vi samlade indata genom att genomföra ett test och intervjuer med följdfrågor om testet och elevernas uppfattningar om ekvationer, formler och variabler. I testen användes uppgifter med
samma innehåll men på olika former som t.ex.
3 2 ) 2 ( 4 = − t och ( 1) 5 25 = − x .
I vårt test använde vi uppgifter som skulle lösas i några steg för att kartlägga elevernas pro-blem i de olika stegen.
4.4 Procedur
Först fick hela klassen information om syftet med vår undersökning. Vi berättade att vi behö-ver tre frivilliga elebehö-ver för att göra ett skriftligt test och en intervju i algebra. Tre elebehö-ver från varje klass visade intresse för vårt arbete. De andra eleverna var inte intresserade för vår stu-die för att de inte hade någon nytta av den och dessutom inte hade tid eftersom de var uppta-gen med sina ordinarie studier och prov i skolan.
De intresserade eleverna genomförde testet skriftligt och blev intervjuades av oss under den ordinarie skoltiden i respektive skolor. Testet var sammanställt i förväg.
Sedan jämförde vi svaren från testen och använde svaren i vår analys. I intervjuerna som vi gjorde med eleverna, använde vi den kvalitativa metoden för att tolka och analysera dem. Vi studerade hur eleverna svarade på frågorna och på vilket sätt de löste uppgifterna.
Under intervjuerna använde vi sådana frågeord som ”vad”, ”vilka”, ”hur” och ”Ge exempel på vad du menar”.
Det fanns tre huvudfrågor som vi bestämde i förhand att ställa till eleverna.
1) Vilka svårigheter har eleverna att teckna ekvationer utifrån ett textbaserat problem och att lösa ekvationer?
2) Klarar eleverna att göra om formler och löser ut variabler från formler?
3) Hur uppfattar eleverna variablerna och deras samband med varandra i en formel? Intervjuerna var halvstrukturerade, vilket innebär att frågorna ställdes i den ordning som passade bäst i de enskilda fallen. (Patel & Davidson, 2003)
Vi ställde en del uppföljningsfrågor utifrån elevernas svar på vårt test för att förstå varför de svarade fel eller hoppade över någon fråga. Vi antecknade elevernas svar och läste upp svaren senare för eleven för att bekräfta dem.
Testet genomfördes av eleverna med intresse men de var mindre intresserade under inter-vjuerna och man kunde observera att frågorna var besvärliga och svåra att besvara eller för-klara.
Vi märkte att frågorna 1,2,4,5 i testet (bilaga 1) hade rätt nivå och bra innehåll för att mäta elevernas kunskaper och färdigheter. I intervjufrågorna var frågor 1,2,3 (bilaga 2)relevanta till frågeställningarna och vi kunde få en bild av elevernas begreppsuppfattningar om ekvationer, formler och variabler. Studiens svaghet var att antalet elever var få och inte representerade hela klassen och att urvalet av frivilliga elever gjorde att kanske de elever som var ”duktiga” ville vara med medan de ”mindre duktiga” drog sig undan.
4.5 Etiska Aspekter
I vår rapport tog vi hänsyn till elevernas integritet och använde inte deras riktiga namn eller något kännetecken som skulle kunna kopplas till elevernas riktiga identitet. Elevernas namn kodades för att avidentifiera dem. I den här studien var det inte av intresse att veta identitet på intervjupersonerna för att kunna genomföra tolkningar och analyser.
5. Resultat och Analys av test och intervjuer
I vår studie använder vi klasserna och könen för eleverna istället deras riktiga namn. Elever-nas svar ska inte karakteriseras för klasserna utan som enstaka individer.
5.1 TE3, NV3a och NV3b testresultat Uppgift 1)
Resultat 1:
Alla elever svarade rätt på fråga 1 i testet. Analys 1:
De använde både bokstäver som variabler och tal. Citat från en av de tre TE3-eleverna:
150 ) 10 ( + = + x x 140 2 =x 70 =
x °C är första temperaturen och andra temperaturen är 80°C. Citat från en av NV3a eleverna:
y x + = 150 10 = − y x y x= 10+ y y + + = 10 150 y y + = − 10 150 y y + = 140 2 140 = y y=70 70 150= x+ x=80
Flicka 1 (NV3b):
Citat: Sätter temperaturerna T1 och T2.
Jag börjar med att sätta upp formler för vardera ekvationen. Med hjälp av ekvationssystemet kan vi lösa ut T1 och T2 Svar: T1 = 80 T2 = 70
Här använde TE3-eleverna och NV3a och NV3b-eleverna både tal och bokstäver i sina lös-ningar vilket är processorienterat matematiskt tänkande. Detta kan bero på att eleverna tränar mer processorienterat än objektorienterat matematiskt tänkande. Det finns också en annan aspekt i problematiken, vilket är att objektorienterat tänkande utvecklas senare än processori-enterat tänkande. Eleverna hade inga problem med att sätta upp ekvationer utifrån den textba-serade uppgiften.
Uppgift 2) Resultat 2 del a:
8 elever svarade rätt på del a av fråga 2. Analys 2 del a:
Två TE3- elever (pojkar 1,3) svarade skriftligt rätt:
R U P
2 = .
Den tredje TE3- eleven (pojke 2) svarade skriftligt rätt med formeln:
R U U P= ⋅ .
Han kunde förenkla den ännu mer till
R U P
2 = .
En av NV3a-elev (flicka 2) räknade ”P=I2 ⋅R ” d.v.s. Wmed avseende på I och R och inte Uoch R. Det visade att hon inte läste frågan nogarannt.
De andra två NV3a-eleverna (flicka 1, pojke 2) svarade rätt. Alla tre NV3b-elever löste uppgiften rätt.
Svar: R U P 2 = Resultat 2 del b:
Analys 2 del b:
En TE3-elev (pojke 3) svarade rätt på frågan:
ρ ⋅ ⋅ = L U A P 2
Den andra TE3-eleven (pojke 2) svarade inte alls. Han tyckte att det var svårt och hoppade över det.
Den tredje TE3-eleven (pojke 1) svarade fel som
R A U L P ) ( ⋅ ⋅ 2 = ρ .
Den första NV3a-eleven (flicka 1) svarade nästan rätt med formeln:
A L P U ⋅ρ = 2 .
Den andra NV3a-eleven (pojke 1) svarade inte alls.
Den tredje NV3a-eleven (flicka 2) svarade fel: ( )( 2) 2 R U A L P= ⋅ρ . Alla tre elever från NV3b löste del 2 i uppgiften rätt.
Svar ρ ⋅ ⋅ = L A U P 2 Uppgift 3) Resultat 3:
Alla elever svarade rätt på fråga 3. Pojke 1 TE3:
I minskar om R ökar Pojke 2 TE3: I blir mindre Pojke 3 TE3:
Variabeln I kommer att minska när r ökar eftersom I är omvänt proportionellt mot R. Flicka 1 NV3a:
R U I =
Om värdet på variabeln R höjs och värdet på variabeln U hålls konstant minskas värdet på variabeln I.
Flicka 2 NV3a: I minskar då R höjs.
Pojke 1 NV3a:
I minskar, eftersom R U Blir ett allt mindre bråk. Flicka 1 NV3b:
Om U är konstant och Rökar, divideras U med ett större tal. Eftersom det divideras med ett större tal så, rent logiskt, minskar ju värdet på I.
Flicka 2 NV3b:
I minskas i värdet för att I har ett omvänt proportionell förhållande med R
R U
I = , U = konstant Anta att R fördubblas: R 2
Före: R U I = Efter: R U I ⋅ ⋅ = 2 1
I är hälften av vad den var från början
Alltså minskar värdet på variabeln I när man höjer värdet på variabeln. Flicka 3 NV3b:
I minskas i värdet för att I har ett omvänt proportionellt förhållande mot R. I blir mindre eftersom man delar med ett större tal då blir R mindre.
Rätt svar: t=8.
Uppgift 4) Resultat 4:
Två elever svarade rätt på den här frågan. Analys 4:
Uppgift fyra gick ut på att beräkna nb och redogöra för tankegången. Uppgiften var en formel med tre obekanta.
Citat från TE3-eleverna:
Pojke 1: Jag fattade inte vad man ska räkna. Det finns ju inga tal i uppgiften. Pojke 2: Uppgiften var svårt för att det inte fanns något tal att räkna.
Pojke 3: I uppgiften står det att lös ut ”nb” och eftersom det inte fanns några tal i formeln kunde jag inte lösa uppgiften.
Detta kan stämma med Sfards teori att eleverna först utvecklar processtänkande inom alge-bra och sedan kommer den matematiska objekttänkande.
Flickor 1, 2 (NV3a) löste uppgiften fullständigt. Både två elever använde korsmultiplikation metoden för att lösa uppgiften.
Pojke 1 (NV3a) gjorde ett slarvigt fel när han flyttade ett tal till ekvationens andra sida och
glömde byta tecken på talet. Han svarade ”
) 1 1 ( + = x n n a
b ” och om han inte gjorde (+) och (-)
tecken fel, kunde han skriva ”nb =
) 1 1 ( − x na
”. Han kunde vidare multiplicera ett ”x” i täljaren
och nämnaren och skriva ekvationen som ”
x x n n a b − ⋅ = 1 ”.
Citat från Pojke 1 (NV3a): Det var lite speciellt med uppgiften för att det fanns två stycken
”nb” i både täljaren och nämnaren: ” x =
) ( a b b n n n + ”.
Vi tolkar det som att eleverna hade problem med uppgiften p.g.a. de okända variablernas position. Det finns nb i både täljare och nämnare vilket gör termen svårare att lösa ut. Flicka 1,2 på NV3b löste uppgiften sådant:
) ( a b b n n n x + = x n n n b b a + = b b a n x n n = − ) 1 1 ( − = x n na b ) 1 1 ( − = x n n a b
Flickor1,2 på (NV3b) gjorde rätt så långt men sedan fortsatte de på fel sätt i nästa steg: a a a b n x n x n n = ⋅(1−1)= −
Det visade sig att dessa elever hade problem med att hantera bråkformer för att kunna för-enkla dem ännu mer. De kunde fortsätta så här.
) 1 ( x x n n a b − = x x n n a b − ⋅ = 1
Flicka 3 på (NV3b) försökte lösa uppgiften så här:
) ( a b b n n n x + = ) ( a b b x n n n = +
Eftersom ”nb” fanns det i täljaren och nämnaren blev det svårt för eleven att hantera samma variabel på två ställen.
Uppgift 5) Resultat 5:
6 elever svarade rätt på den här frågan. Analys 5:
Uppgift fem gick ut på att uttrycka variabeln A med hjälp av storheterna V, n, R, F och T. Två formler gavs som hjälp.
Alla NV3a-elever och en teknikelev (pojke 3) svarade rätt på frågan.
Rätt svar: T R n V F A ⋅ ⋅ ⋅ =
Två TE3-elever svarade fel på frågan.
1) V A T R n F = ⋅ ⋅ ⋅ 2) T R n F A ⋅ ⋅ =
Flickor1,2 från det naturvetenskapliga programmet (NV3b) löste uppgiften rätt och flicka3 svarade fel. Flicka3 svarade skriftligt så här:
T R n V P⋅ = ⋅ ⋅ A F P = A F V T R n = ⋅ ⋅ A V F T R n⋅ ⋅ = ⋅ R n V F A ⋅ ⋅
= , där slarvade hon bort variabel T i nämnaren.
Uppgift 6) Resultat 6:
7 elever svarade rätt på frågan. Analys 6:
Uppgift 6 gick ut på att lösa ut variabeln t ur ekvationen. Samtliga elever från det naturveten-skapliga programmet löste uppgiften rätt. Elever som går NV-programmet har använt sig av ekvationslösning länge och för dem är det inte vidare problematiskt att lösa ut en okänd vari-abel ur en given ekvation. Det visade sig att uppgiften var ganska lätt för NV3.
Alla sex elever i NV3a och NV3b och en Teknikelev (pojke 3) svarade helt rätt på den här frågan.
Pojke 2 (TE3) svarade inte fullständigt och gav följande svar: 2 ) 3 2 ( 4 + = t .
I det här läget stannade eleven för att han hade svårt att hantera ) 3 2 ( 4 som är 6 2 12 2 3 1 4 = = ⋅
som är en grundläggande bråkräkning från högstadiet. Pojke 1 (TE3) svarade:
) 2 ( 2 4 3 3 2 ) 2 ( 4 − ⋅ = = − t t 2 4 0 12 = − t 8 4 2 12 = − = t t
Hans sätt att skriva en korsvis multiplikation är fel och dessutom använde han likhetstecken på fel sätt. Det finns brister i räkneprocessfärdigheter och förståelse för likhetstecken i en ek-vation.
Han skulle skriva lösningen så här: 3 2 ) 2 ( 4 = − t ) 2 ( 2 3 4⋅ = t− 4 2 12= t− t 2 4 12+ = 8 = t Uppgift 7) Resultat 7:
Alla elever svarade rätt på den här frågan. Analys 7:
Uppgift 7 gick ut på att lösa ut variabeln x ur ekvationen. Samtliga elever från det naturveten-skapliga programmet (NV3a), (NV3b) och Teknikprogrammet (TE3) löste uppgiften rätt.
5.2 TE3,NV3a och NV3b intervjuer:
1. Vad är en ekvation och en formel för något? Vad är skillnaden mellan dem?
Pojke 1 (TE3) svarade:
”Ekvationen ska man lösa som t.ex. x−1 =5. Formeln är ett sätt att lösa ekva-tion med t.ex. man kan använda Pythagorassats för att lösa en ekvaekva-tion.”
Eleven gav ett exempel på en ekvation och hade svårt att definiera med egna ord. När det gäller om formel, kunde han definiera med egna ord och hade egen uppfattning om formel som beror på hans erfarenheter .
Pojke 2 (TE3) svarade:
”Ekvationen saknar lösning och man ska lösa ut den.
Formeln är mer en lag. Allting i en formel har ett samband med varandra.” Som eleven formulerade sig, betyder det att ekvationen inte har något svar, men han kanske menade att ekvationen har en okänd term som ska räknas fram. Han uttryckte sig bättre när det gäller en formel. Han såg formeln som en matematisk modell för att visa de samband som finns mellan en mängd storheter.
Pojke 3 (TE3) svarade:
”En ekvation och en formel är nästan samma sak. En formel är mer allmän och man kan använda den i nästan alla läge. En formel är en sort ekvation med några variabler och visar ett förhållande mellan olika variabler.”
I det här fallet hade eleven svårt att ge en definition av ekvationen med egna ord och förkla-rade mest vad en formel är för något. Enligt honom är en ekvation och formel samma sak.
Flicka 1(NV3a) svarade:
”En ekvation är som 3 och man ska ta reda vadx x är.” När jag frågade hur kan man lösa 3 , ändrade hon sitt svar så här: x
”Jag menar att ”3 = någonting” och man har en okänd som är x xoch kan vara i olika ställen i en ekvation. En ekvation har ingen funktion och man ska lösa en okänd i den. En formel är som U =I⋅R och sambandet i den är alltid likadant. Det gäller samma regler för att hantera en formel eller ekvation.”
Det här fallet visade att eleven i första hand tänkte på det algebraiska uttrycket 3 när hon x ville definiera ekvationen, och att hon senare tänkte på likhetstecken och högersidan av ekva-tionen.
Flicka 2(NV3a) svarade:
”En ekvation är som ”x= 2+y”. I en ekvation har man en okänd och man vill hitta den då sätter man en ekvation upp. Man kan räkna ut en ekvation för att få en formel. En formel är en förklaring för något som t.ex.s=v⋅t. Formler är fy-sik för mig.”
Eleven valde att ge ett exempel på en ekvation som har två variabler x, y och ett känt värde 2, vilket gör att det finns oändligt många lösningar för den här ekvationen.
Pojke 1(NV3a) svarade:
”En ekvation är som 5 +x 2.
Jag frågade hur man kan lösa 5 +x 2 då svarade eleven:
”Jag menade 5x+2=0. 5 +x 2 är ett uttryck och visar ingenting men 0
2
5x+ = är en ekvation och visar värdet på något som i det fallet 0. Man kan använda formler för att lösa ekvationer. Formler har allmänna variabler och ekvation har speciella variabler. En formel är som ”Wp =m⋅g⋅h” i fysiken.” Eleven svarade som flicka 1 (NV3a) där han definierade ekvation som ett algebraiskt uttryck och när man ställde frågan hur man löser ekvationen, kompletterar han sitt svar.
Flicka 1 (NV3b) svarade:
”I en formel finns det flera obekanta som t.ex. a + b = c + d. I en ekvation finns det bara en obekant och man ska lösa ut denna som t.ex. a + 10 = 5 + 11.” Eleven försökte svara på den här frågan genom att konkretisera med hjälp av exempel.
Hennes uppfattning byggdes av de erfarenheter och förkunskaper hon hade om ekvationen och formler som kan gälla för en del speciella fall som hon nämnde men hennes uppfattningar är inte allmängiltiga.
Flicka 2 (NV3b) svarade:
”När det finns flera okända variabler, är det en formel och när det bara är en obekant blir det en ekvation.”
Här svarade eleven som flicka 1(NV3b) och hennes svar kan gälla i vissa fall men de är inte allmängiltiga.
Flicka 3 (NV3b) svarade:
En formel är som t.ex. P V = n R T. En ekvation är som t.ex. x2 + 3x = 10.
Analys av uppfattningen om begreppet ekvation:
Ingen av eleverna definierade ekvationen som en balans mellan vänster- och högerledet. Fem elever sa att man ska lösa en ekvation och det visar att de visste vad de ska göra med en ekva-tion d.v.s. ett operaekva-tionellt tänkande dominerar hos eleverna. Fyra elever gav ett exempel på en ekvation och det visar att eleverna konkretiserar genom att använda exempel i sina för-klaringar.
Analys av uppfattningen om begreppet formel:
Fyra elever sa att en formel visar ett samband, ett förhållande, en lag och en förklaring. Det visar en god förståelse av begreppet formel och dess förhållanden som råder mellan olika va-riabler. Två elever sa att en formel består av flera okända eller obekanta.
Två elever sa att en formel är ett sätt att lösa ekvationer. De tänker på erfarenheter från and-ragradsekvationer där de använde en formel för att lösa denna typ av ekvationer. Två elever associerade formler med ämnet fysik och det visar att eleverna hade arbetat med formler inom fysiken där man visar sambanden som finns mellan fysikaliska storheter med varandra med hjälp av formler och därför kopplar eleverna ihop orden formler med fysik.
2. Vad är en variabel? Du kan gärna ta ett exempel.
Pojke 1 (TE3) svarade:
”Variabel är någonting som ändras t.ex. temperatur.”
Eleven definierade variabel som något som har en varierande karaktär och han hade rätt upp-fattning av vad en variabel är. Han konkretiserade med ett exempel från fysiken med storheten temperatur.
Pojke 2 (TE3) svarade:
”Variabel är ett okänt tal i en ekvation eller en bokstav i en formel. Innehållet i bokstaven beror på hur funktionen ser ut.”
Inom matematiken är variabeln en storhet som kan anta olika värden och som i algebraiska uttrycker eller ekvationer skrivs med bokstäver. Eleven svarade fel och hade svårt att förklara den matematiska termen variabel. Detta kan bero på att han blandade ihop variabel som ett matematiskt begrepp och de bokstavsymboler som används i algebra för att representera
vari-Pojke 3 (TE3) svarade:
”Variabel är ett okänt tal i en ekvation eller en bokstav som U. Variabel kan vara vilket tal eller vilket värde som helst.”
I detta fall fås uppfattningen om att eleven angivit två svar som på något sätt talar emot var-andra. I första meningen nämns att en variabel är ett okänt tal eller en bokstav och i andra me-ningen att det kan vara vad som helst. Eleven har en delvis rätt uppfattning, men inte helt kor-rekt. Han är bekant med ordet och vet var det används men kan inte specificera ordets exakta betydelse.
Flicka 1 (NV3a) svarade:
”Variabel är ett tal, ett värde på någonting t.ex. I ekvationen 3x−1=0, x har ett värde. En R är en variabel i formeln R= I⋅U. Variabel kan ändras beror på sambandet i en formel.
Variabel i en uppgift har samma värde.”
Hon svarade fel på frågan men i sitt exempel som konkretiserade variabeln i ohmslagen var hon på rätt spår. Flickan var på rätt spår då hon nämnde att R är en variabel i Ohms lag. Dock har hon en uppfattning som kan likna föregående elevs. Det syns tydligt att uppfattningen om vad en variabel är inte är helt korrekt, men samtidigt så kan eleven ungefärligt identifiera or-dets betydelse.
Flicka 2 (NV3a) svarade:
”En variabel är en konstant för mig. Någonting som är alltid det samma.” Elevens svar överensstämmer inte med definitionen av en variabel. (Se Johansson & Emanu-elsson (1992) sid.17)
En bokstav kan stå antingen som en konstant (ett tal) eller en variabel (en mängd av tal eller storheter), men en variabel som har en varierande karaktär, kan inte vara konstant.
Pojke 1 (NV3a) svarade:
”Variabel är ett okänt värde eller ett värde som kan variera eller ett värde som beror på andra variabler som U = I⋅R.”
Den första delen av svaret ”variabel är ett okänt värde” motsäger den andra delen av svaret ”ett värde som kan variera”. Eleven har en delvis rätt uppfattning, men inte helt korrekt. Han är bekant med ordet och vet var det används men kan inte specificera ordets exakta betydelse.
Flicka 1 (NV3b) svarade:
”En variabel är en okänd bokstav som står istället för ett tal.”
Elevens svar överensstämmer inte med definitionen av en variabel. (Se Johansson & Emanu-elsson (1992) sid.17)
Flicka 2 (NV3b) svarade:
”Det är en bokstav som står istället för ett tal och är obekant.” Den här eleven uppfattade variabeln som står för ett tal som flicka 1 (NV3b).
Flicka 3 (NV3b):
”En bokstav som står för ett okänt tal t.ex. x. ”
Här sa eleven att variabel står för ett tal som flickorna 1 och 2 (NV3b).
Analys av uppfattningen om begreppet variabel:
Inom matematiken är variabeln en storhet som kan anta olika värde och som i algebraiska uttryck eller ekvationer skrivs med bokstäver.
Eleven måste förstå att det finns tre viktiga frågor när det gäller variabeln:
1. Vad är en variabel för något? (En storhet som kan anta olika värde, någonting som är för-änderlig och växlande).
2. Hur presenterar man en variabel i ett algebraiskt uttryck eller en ekvation? (Man använder symbolbokstäver för att presentera variablerna inom algebran).
3. Vad innehåller en variabel? (En variabel innehåller olika eller varierande värde).
En elev uttalade att variabel är någonting som ändras. Fem elever uttryckte att en variabel är en konstant eller något liknande (”ett tal, ett okänt tal, en bokstav, en okänd bokstav”) som motsäger definitionen av variabeln. Tre elever svarade motsägelsefullt och definierade varia-bel som något som har både ett varierande värde som t.ex. (”vilket tal eller vilket värde som helst, ändras, varierar”) och ett fast värde (”ett tal, ett okänt tal, ett okänt värde” ).
3. Vad var problemet med ekvationer och formler när du började läsa algebra?
Pojke 1 (TE3) svarade:
”Problemet med algebra var och är att komma ihåg för vad alla de bokstäverna står för. T.ex. U för spännig, I för ström och R för resistans.
Man förstår bättre uppgiften om man vet för vad de bokstäverna står för annars blir det bara massor med bokstäver.”
Den här eleven vet att de symbolbokstäverna i formlerna är representerade för storheter som spänning inom fysiken men han behöver en bättre förståelse för de storheter och dess förhål-lande i fysiken för att kunna använda matematiska modeller och formler för att visa storheter-nas samband till varandra.
Pojke 2 (TE3) svarade:
”Svårigheter med algebra är att det är ett nytt sätt att tänka när man är van att se alla talen. Man undrar var alla talen är.”
Det är ett känt problem när eleven börjar med algebra och för eleven är det en stor klyfta att utvecklas från det aritmetiska stadiet till det algebraiska tänkandet. Det kräver tid och träning för att klara språnget.
Pojke 3 (TE3) svarade:
”Svårigheter med ekvationer när man ska göra korsvis multiplikation (han
vi-sade den). T.ex. Om man har
2 1 1 1 1 R R
R = + och vill lösa ut R med hjälp av R1 och R2.”
Här berättar eleven svårigheten att göra en gemensam nämnare för att kunna lösa ut R. Det visar bristen på elevens färdigheter i att manipulera rationella tal.
Flicka 1 (NV3a) svarade:
”Det var svårt att ha koll på plus och minus tecken och det blir lätt fel när man byter plats från en sida till den andra.”
Detta är ett känt problem hos dem som tidigare forskade i algebra. Orsaken till det här pro-blemet beror på bristande förståelse för gör samma operationer på höger och vänster sidor av likhetstecken i en ekvation och att eleverna löser ekvationerna på ett mekaniskt sätt som de kallar det Om man flyttar från en sida till en annan sida av ekvationen, ska man byta tecken från plus till minus och vice versa.
Flicka 2 (NVa) svarade:
”Jag kommer ihåg att det var svårt att jobba med bråk i algebra där man skulle använda gemensamma nämnaren.”
Eleven har bristande färdigheter att klara rationella tal som oftast beror på bristfälliga förkun-skaper från högstadiet inom de operationella färdigheterna inom bråktalsområde enligt Pers-son (2005).
Pojke 1 (NV3a) svarade:
”Svårast var när en x ligger i nämnaren som 1 +3=7
x . Det tar tid att lära sig metoden för att lösa sådana ekvationer. När jag började med enkla ekvationer som x+3 =7, kunde jag se svaret direkt som 4 och förstår inte varför ska man lösa problemet genom att skriva x=7 −3 och sedan x=4.”
Den här eleven har också problem med rationella tal och när variabeln finns i nämnaren. Person (2005) menar att eleverna i slutet i årskurs 3 skulle kunna redogöra hur de kan lösa
ekvationen 3 2 2 3 = −
x . Men eleverna behöver en god förståelse för bråk och rationella uttryck samt en god manipulativ och operationell färdighet för att klara rationella ekvationer.
Flicka 1 (NV3b) svarade:
”Jag har aldrig haft större problem med ekvationer. Innan jag började på gym-nasiet hade jag dock lite problem att lösa en ekvation om det stod t.ex. boksta-ven t istället för bokstaboksta-ven x, som jag var så van vid att räkna med.”
Elevens problem i det här fallet kan beskrivas som att eleverna oftast tänker i mönster när de förkortar algebraiska uttryck eller när de löser ekvationer. Det räcker att man ändrar lite på utseendet av en ekvation eller ett algebraiskt uttryck från det vanliga så får många elever får svårt att lösa uppgiften. I det här fallet bytte x plats med t och det orsakade problem för ele-ven.
Flicka 2 (NV3b) svarade:
”Jag har aldrig tyckt matematiken var svår och det har aldrig varit ett proble-matiskt ämne för mig. Ibland kan det vara jobbigt att förstå vissa saker som är nya för en men efter ett tag kommer man in i det hela och när man väl tanken bakom det hela går ekvationen enkelt att lösa.”
I det här fallet tog eleven upp problemet med nya begrepp och metoder som kräver tid och övningar för att kunna hanteras.
Flicka 3 (NV3b) svarade:
”Jag hade svårt med att ställa upp en egen ekvation och verkligen förstå och sätta mig in i problemet.”
Den här eleven hade problem med att både ställa upp och förstå ekvationer. Hennes svar visar att det är ett stort steg från att kunna lösa ekvationer tills att man få en djupare förståelse för vad ekvationen är.
Niss (2002) förklarade i sin artikel hur en del elever manipulerar ekvationer mekaniskt. Ele-verna uppfattar ekvationen som en signal till att utföra en del bestämda operationer, utan att ha ett djupare begrepp om ekvationen.
Analys av elevernas problem med ekvationer och formler när de började med algebra Tre elever hade svårigheter med ekvationer eller formler när de uttrycktes i bråkform speciellt när variabeln befann sig i nämnaren. De här eleverna hade problem med att göra korsvis multiplikation och att genomföra gemensam nämnare för att manipulera ekvationer och formler i bråkform.
Två elever hade problem med meningen av bokstäver i algebraiska ekvationer och formler. Det nämndes av två elever att de hade svårigheter med algebra eftersom det var ett nytt språk för dem och det krävdes tid för att förstå det.
5.3 Sammanfattning av resultat efter frågeställningar
1) Vilka svårigheter har eleverna att teckna ekvationer utifrån ett textbaserat problem och lösa ekvationer?
Alla elever kan i stort sett teckna och lösa en-variabel ekvationer men de uppgifter som innehåller bråkform kan skapa problem särskilt för de elever som har gått på teknikpro-grammet.
2) Klarar eleverna att göra om formler och att lösa ut variabler från formler?
Teknikeleverna kunde lösa ut en variabel från en formel, men att lösa ut en variabel från en sammansatt formel som består av många variabler och uttrycks i bråkform kan vara be-svärligt för dem. Fyra av de sex NV-eleverna kunde inte lösa uppgift 4 där de skulle lösa
ut variabel ”nb” från formel ) ( a b b n n n x +
= , för att uppgiften var i bråkform och variabel
”nb”var både i täljaren och nämnaren i uppgiften när vi tolkade elevernas svar. 3) Hur uppfattar eleverna variablerna och deras samband med varandra i en formel? Åtta elever hade en svag eller felaktig uppfattning om vad en variabel är. De ser en varia-bel som ett okänt tal som representerar ett konstant värde. Men variavaria-bel har ett varierande värde. En teknikelev svarade rätt på den här frågan att en variabel är något som varierar och ändrar värde.
Vår hypotetiska fråga stämde inte, eftersom eleverna i båda programmen löste ekvationer som innehåller x, och y U,I,R lika bra. Deras förmåga att lösa ekvationer påverkas inte av valet av bokstäver.
6. Diskussion och slutsatser
I detta avsnitt ska vi diskutera vår undersökning och inledningsvis börjar vi med en reflektion efter vårt arbete.
6.1 Reflektioner över vår undersökning:
Målet för vår studie var att undersöka vilka faktorer som påverkar gymnasieelevers lärande inom algebrastudier och dess påverkan på kemi- och fysikstudier. Vi skulle identifiera de vik-tigaste faktorerna och förklara det här problemet med ett test och de intervjuer som vi gjorde med eleverna. Elever som deltog i vår undersökning var från Naturvetenskapliga programmet (NV3a) och (NV3b) och Teknikprogrammet (TE3) klasserna kom från tre olika gymnasie-skolor i tre städer i södra Sverige.
I den kvalitativa studien som vi gjorde av elevernas intervjuer, var vi mest intresserade av att tolka och förstå elevernas begreppsuppfattningar.Därför fokuserade vi på elevernas förstå-else av algebraiska begrepp som ekvationer, formler och variabler.
De elever som vi intervjuade var upptagna med sina studier och var alltför stressade över att svara på våra frågor under intervjuerna. Eleverna svarade kortfattat på våra frågor och vi upplevde att det var svårt för dem att verbalisera sina tankar och kunskaper. Kvalitet på vår undersökning kunde ha blivit bättre, om fler elever än nio stycken hade deltagit i vår studie. Vi tycker att syftet med vårt examensarbete var rimligt och frågeställningar kunde vi svara med hjälp av de metoder som vi valde för att undersöka och svara på frågorna. Naturligtvis gjorde vi en del misstag som sänkte reliabiliteten på vårt arbete: Vi menar att våra undersök-ningsmetoder har utgått från och även har givit svar på de frågeställningar vi presenterat. Där-för anser vi att validiteten till största delen är säkerställd.
1. Vi har inte spelat in intervjuerna så elevsvaren är inte helt ordagranna.
2. I fråga 2 i testet använde vi fel beteckning för effekten, ”W” istället ”P”, i for-mel P=U⋅I men detta fel påverkade inte resultatet eftersom vi ville kontrol-lera elevernas algebraiska färdigheter att göra om formler.
3. Det finns två felkällor i fråga 4 i testet som gör att man kan diskutera och vara skeptiska mot resultatet eftersom vi tecknade formeln på testet
) (na nb
nb x
+
= där indexet a och b kan tolkas av eleverna att a och b
multipliceras i n. Vi skulle teckna formeln så här:
) ( a b b n n n x + = .
Vi skrev vidare ”Beräkna nb ” istället att skriva ”Lös ut nb ” . Detta kan tolkas av elever som att sätta in tal i formel och beräkna den.
När man tittar på resultatet av vårt test, ser man att på fråga 2 del b svarade 6 elever rätt och på frågan 4 svarade 2 elever rätt.
Enligt Persson (2005) finns det många elever som är osäkra i de operationella och manipu-lativa färdigheterna vilket är orsaken till elevernas problem med förenklingar av algebraiska uttryck eller lösningar av vissa ekvationer. Det finns också elever som har problem med upp-ställningar och tolkningar av algebraiska uttryck.
En elev uttalade sig så här:
”Svårigheter med ekvationer när man ska göra korsvis multiplikation (han
vi-sade den). T.ex. Om man har
2 1 1 1 1 R R
R = + och vill lösa ut R med hjälp av R1 och R2.”
Den andra eleven uttryckte sig att:
”Jag kommer ihåg att det var svårt att jobba med bråk i algebra där man skulle använda gemensamma nämnaren.”
Den tredje eleven uttalade sig så här:
”Svårast var när en x ligger i nämnaren som 1 +3=7
x .
Med hänsyn till Persson(2005) och resultatet på fråga 2 del b och delvis fråga 2 i testet och elevernas uttalande på intervjuerna, menar vi att en del elever hade svårt att hantera rationella uttryck eller bråkform i formler och speciellt när en variabel som skulle lösas ut, befann sig i både nämnaren och täljaren i formeln.
6.2 Elevers svar på djupare frågor
Två elever på Naturvetenskapliga programmet (NV3a) kunde lösa uppgiften rätt för att de hade de färdigheter som behövs för att manipulera rationella uttryck. De två eleverna hade goda algebraiska färdigheter inom den operationella delen som också kallas processorienterat matematiskt tänkande men när det gäller djupare kunskaper om begrepp som variabel eller ekvation var eleverna osäkra och hade svårt att förklara sina uppfattningar med egna ord. Den eleven som hade det bästa resultatet i testet sa att ” variabel är en konstant för mig”. Hon visste inte att variabel kan stå för en varierande storhet som t.ex. temperatur.
Den andra eleven som hade näst bäst resultat på testet svarade på frågan vad en ekvation är. Hon sa att ”en ekvation är som 3 och man ska ta reda vad x xär”. Hon gav ett algebraiskt ut-tryck 3 som ekvation i sin första definition. Eleven nämnde inte likhetstecken och högerledet x av ekvationer som första förklaring och det visade att hon inte tänkte på en ekvation som en balans mellan två led eller sidor där likhetstecken står för ekvivalensen. Det finns också en pojke från (NV3a) som gav exemplet 5 +x 2som en ekvation som är ett algebraiskt uttryck.
6.3 Elevernas problem och svårigheter med ekvationer och formler
Många problem som en del elever har med algebra har grunden i de bristande aritmetiska kunskaper som t.ex. bråktal och bråkräkningar och minustecknets betydelse. (Persson, 2005) Gallardo (citerad i Persson, 2005) pekar på det faktum att det finns olika delar i ett bråktal som är svårt för eleverna att manipulera. Gallardo berättar om två välkända problem. Ett pro-blem är minustecknet och det andra propro-blemet är likhetstecknets olika betydelser.
I vår studie förklarade en flicka från (NV3a) att hon hade svårt med plus och minus tecken när hon manipulerade med ekvationer och formler och detta överensstämmer med Perssons tidigare forskningsresultat.
De svårigheter med formler och ekvationer som nämndes av eleverna i intervjuerna kan kate-goriseras som:
• Problem med att manipulera rationella tal som t.ex. att föra fram den minsta gemen-samma nämnaren eller att göra korsvis multiplikation när variabler befinner sig i näm-naren i ekvationer och formler. Enligt Persson (2005) skulle eleverna i slutet av
årskurs 3 kunna redogöra hur de kan lösa ekvationen
3 2 2 3 = − x . De eleverna behöver en god förståelse för bråk och rationella uttryck samt en god manipulativ och opera-tionell färdighet för att klara raopera-tionella ekvationer. (Persson 2005)
• Ekvationer och formler betraktades som ett nytt språk och det behövdes ett nytt tän-kande för att lära det samt tid att förstå det. En av eleverna angav särskilda problem med att ställa upp och förstå ekvationer.
• Svårigheter med bokstävernas betydelse och användningen av bokstäver istället för tal i ekvationer och formler.
Niss (2002) förklarade i sin artikel att eleverna uppfattar ekvationen som en matematisk enti-tet, som till exempel en utsaga eller ett predikat. Detta är en problemställning som är nära för-knippad med andra svåra företeelser såsom variabler, obekanta faktorer och betydelsen av likhet. Han antar att alla algebraiska ekvationer orsakar svårigheter i varje undervisningssitu-ation som fokuserar på förståelse av ekvundervisningssitu-ationerna och inte enbart på metoder som går ut på att lösa dem.
I våra intervjuer med eleverna framgick att de uppfattar bokstaven som ett obekant eller ett okänt tal och inte en klass av tal som beskrevs av Quinlan. Detta visar att ingen av de elever som vi intervjuade har uppnått en tillräckligt hög abstraktionsnivå inom sitt algebraiska tän-kande.
6.4 Eleverna har svårt att uttrycka sig verbalt
Persson (2005) pekade också på en annan viktigt observation i sin forskning, nämligen att många elever hade svårt att uttrycka matematiska tankar i en berättande text.
I våra intervjuer upptäckte vi hur eleverna hade svårt att uttrycka sig och förklara med sina egna ord t.ex. vad en ekvation är för något. Detta kunde bero på att eleverna hade svårt att förstå begreppet ”ekvation”. Ingen av eleverna nämnde att i en ekvation råder en jämvikt eller balans mellan höger- och vänsterledet och att likhetstecknet står för ekvivalensen.
Av de orsaker som nämndes ovan är det en viktig uppgift för gymnasieskolor att förstå ele-vers algebraiska svårigheter samt att hjälpa eleverna i att komma över trösklar som uppstår i deras matematiska utvecklingsprocess med tanke på Vygotskijs närmaste utvecklingszon. (Egidius, 1999)
De elever som går i ett naturvetenskapligt program och på teknikprogrammet läser matema-tik i flera etappkurser A, B, C, D och E. Varje kurs är beroende av de föregående kurserna. För att eleverna ska lyckas med matematiken, är det nödvändigt att de hela tiden bygger nya kunskaper på de förkunskaper de har från de föregående kurserna. Eleverna måste utveckla sina matematiska begrepp genom ett aktivt deltagande i klassdiskussioner. Det ger en interak-tion mellan eleverna och läraren som bidrar till utvecklingen i algebrakunskaper.
6.5 Resultaten av vårt examensarbete i förhållande till vårt framtida yrke.
Vi kan inte generalisera våra slutsatser eftersom vårt urval endast bygger på de gymnasie-skolor vi har praktiserat eller jobbat på och därför gäller våra slutsatser för de enstaka elever vi har studerat.
Vi läser i kursplanen för matematik för Gymnasial utbildning om vikten av de matematiska kunskaperna för att kunna studera karaktärsämnet. Gymnasieämnet matematik ska knytas till den studieinriktningen som eleven väljer för att berika både matematikämnet och karaktärs-ämnena. Kunskaper i matematik är ofta en förutsättning för att eleven ska klara målen i ka-raktärsämnena. (Skolverket 2007)
Drouhard och Teppo (citerad i Persson, 2005) menar att eleven utvecklar ett algebraiskt tänkande genom både en djup förståelse och en god färdighet inom området. Den ena delen utan den andra medför svårigheter i det algebraiska lärandet.
