Trigonometri till fysik.doc 2014-02-19
Författare: Bengt A Johansson 1(2)
Trigonometri
Om vi tittar på en rätvinklig triangel kan vi med hjälp av trigonometri ta reda på 1) En sida om man känner till en annan sida och en vinkel till utöver den räta 2) En vinkel om man känner till minst två sidor
De samband vi använder är: n hypotenusa katet motstående ) sin( =v n hypotenusa katet e närliggand ) cos( =v katet e närliggand katet motstående ) tan( =v
sin(v) är en förkortning för sinus för vinkeln v cos(v) är en förkortning för cosinus för vinkeln v tan(v) är en förkortning för tangens för vinkeln v.
__________________________________________________________________________
Exempel 1
Vi vill ta reda på sidorna a och b.
Lösning
här är sidan a hypotenusa
sidan b motstående katet (den katet som är mittemot den vinkel vi använder)
sidan som är 14,2 cm är närliggande katet (den sida som ligger närmst den vinkel vi använder).
De samband vi kan ställa upp är då sambandet för cosinus. a cm 2 , 14 ) 2 , 58 cos( ° = n hypotenusa katet e närliggand ) cos( =v .
Om du låter din räknare beräkna cos(58,2°) visar den ca 0,52696 om du har ställt in räknaren på grader. Det kan tolkas som att den närliggande kateten är ca 52,7% av hypotenusan.
n hypotenusa katet e närliggand ... 52696 , 0 = Löser vi ut a får vi 26,9cm ... 52696 , 0 cm 2 , 14 ) 2 , 58 cos( cm 2 , 14 ≈ ≈ = a Motstående katet hypotenusan närliggande katet v 14,2 cm 58,2° b a
Trigonometri till fysik.doc 2014-02-19
Författare: Bengt A Johansson 2(2)
Nu gör vi på samma sätt för sidan b. Sidan b är motstående katet (den sida som är mittemot vår vinkel) och då vi känner till den närliggande kateten använder vi sambandet för tangens
cm 2 , 14 ) 2 , 58 tan( ° = b katet e närliggand katet motstående ) tan( =v Löser vi ut b får vi b=14,2cm⋅tan(58,2)≈22,9cm Svar: a = 26,9 cm och b = 22,9 cm. ___________________________________________________________________________ Exempel 2
Vi vill bestämma vinklarna α och β.
Lösning
när vi ska bestämma α får vi använda oss av sambandet för sinus eftersom hypotenusan är känd och sidan som är 55 cm lång är motstående katet till vinkeln α
87 55 ) sin(α = n hypotenusa katet motstående ) sin( =v Genom att ta inversen till sinus (sin-1) får vi vinkeln α
° ≈ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 39 87 55 sin 1 .
När vi nu ska bestämma vinkeln β är det istället hypotenusan och närliggande katet som vi känner till. ° ≈ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⇒ = − 51 87 55 cos 87 55 ) cos( 1 β β Svar: α = 39° och β = 51° ___________________________________________________________________________ Uppgifter:
Bestäm de okända sidorna a, b, c och d samt vinklarna α och β.
Facit: (sambandet inom parantes)
a = 29 cm (cos) b = 23 cm (sin) c = 47,1 cm (tan) d = 51,0 cm (sin)
α = 54,7° ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 7 , 15 2 , 22 ) tan(α β = 35,3°