• No results found

Utmaningar i gymnasielärares arbete med de matematiska förmågorna

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Utmaningar i gymnasielärares arbete med de matematiska förmågorna"

Copied!
45
0
0

Loading.... (view fulltext now)

Full text

(1)

Examensarbete

15 högskolepoäng, avancerad nivå

Utmaningar i gymnasielärares arbete

med de matematiska förmågorna

Challenges in upper secondary school teachers’ work with the

mathematical competencies

Hanna Carlsson

Kompletterande pedagogisk utbildning, 90 hp Ämneslärarexamen gymnasieskolan

Matematik, fysik Handledare: Ange handledare

2017-01-12

Examinator: Per-Eskil Persson Handledare: Peter Bengtsson

(2)

(3)

3

Sammanfattning

Detta examensarbete tar sin utgångspunkt internationella undersökningar och forskning om matematikundervisningen i Sverige. En nedåtgående trend har beskrivits parallellt med att svensk skola har kritiserats för en undervisning med alltför stort fokus på procedurer, enskilt räknande samt utantillkunskap och för lite utrymme för bland annat problemlösning och kreativt matematisk tänkande. I dagens läroplan har betydelsen av fler matematiska förmågor framhävts och ett ramverk för matematisk kunskap används för att visa på olika typer av kunskap. Syftet med denna uppsats är att bidra till ökad kunskap om varför vissa lärare väljer att fokusera på procedurförmågan i sådan utsträckning att möjligheterna att utveckla övriga förmågor begränsas. Studien har en kvalitativ ansats och innefattar intervjuer med fem yrkesverksamma gymnasielärare i matematik. Dessa berättar hur de arbetar med läroplanens matematiska förmågor och vilka utmaningar de har upplevt i arbetet med detta. Resultatet visar på ett antal utmaningar som skulle kunna leda till en procedurfokuserande undervisning. Undervisning som tar upp en bredd av matematiska förmågor kräver mer tid, speciellt i grupper med svaga eller spridda förkunskaper. Vissa menar att begrepp och procedurer behöver behandlas innan övriga förmågor kan utvecklas. Lärarna berättar också att det är enklare att arbeta med begrepp och procedurer. I klasser där lärarna kämpar för att eleverna ska nå godkänt påverkas undervisningen av att de matematiska förmågorna tycks svårare att särskilja på E-nivå och att poängen på det nationella provet är viktade mot begrepps- och procedurförmågan. Ur resultaten framkommer även att det upplevs som svårare att arbeta med de matematiska förmågorna i högre kurser och att det verkar finnas specifika utmaningar i att träna elevernas relevans- och modelleringsförmåga.

(4)

(5)

5

Innehåll

Innehåll ... 5 1. Inledning ... 7 1.1 Internationella studier ... 7

1.2 Procedurfokus i svensk skola ... 8

2. Syfte och frågeställningar ... 11

3. Tidigare forskning ... 12

3.1 Från avsedd läroplan till utförd läroplan ... 12

3.2 Den utförda läroplanen ... 13

3.3 Från utförd läroplan till uppnådd läroplan ... 16

4. Teori ... 17

4.1 De matematiska förmågorna... 17

4.2 Ramfaktorteori ... 19

4.3 Traditionell undervisning ... 20

4.4 Modell för konceptuell förändring av uppfattningar ... 21

5. Metod ... 23

5.1 Urval och informanter ... 24

5.2 Analys av data ... 25

5.3 Reliabilitet ... 26

5.4 Etiska aspekter ... 27

6. Resultat och analys ... 28

6.1 Hur lärare arbetar med förmågorna ... 28

6.2 Utmaningar i arbetet med förmågorna ... 31

6.3 Ramfaktorer och andra begränsningar ... 34

6.4 Analys av resultaten ... 35

7. Slutsats och diskussion ... 37

7.1 Resultatdiskussion ... 37

7.2 Slutsatser ... 39

7.3 Validitet ... 39

7.4 Implikationer och fortsatt forskning ... 40

Referenser ... 42

(6)

(7)

7

1. Inledning

I detta kapitel beskrivs svenska skolungdomars nedåtgående resultat inom matematik, både över tid och i jämförelse med andra länder, fram till ett trendbrott uppmättes år 2015. Det presenteras att undervisning i svenska skolor till övervägande del har fokuserat på algoritmer men brustit bland annat när det gäller att ge eleverna förutsättningar att öva problemlösning och att föra kreativa resonemang. Slutligen lyfts några potentiella svårigheter med att som lärare förändra sin undervisning. Genom att belysa hur ett antal gymnasielärare arbetar med de matematiska förmågorna i dagens läroplan och huruvida de har upplevt några utmaningar i arbetet med att undervisa med fokus på dessa, är förhoppningen att denna uppsats ska kunna bidra till en ökad kunskap om varför vissa lärare väljer att bedriva en undervisning som huvudsakligen fokuserar på procedurer och enskilt arbete i läroböckerna.

1.1 Internationella studier

Få har undgått den så kallade PISA-chocken och andra alarmerade rapporter om hur svenska skolungdomar har försämrat sina kunskaper inom matematikämnet. Det finns tre åter-kommande studier av elevers matematikkunskaper som genomförs internationellt; PISA, TIMSS och TIMSS Advanced. PISA är störst av dessa och genomförs vart tredje år av OECD. I fokus för studierna är 15-åriga skolungdomars kunskaper inom matematik, naturvetenskap och läsförståelse. TIMSS och TIMSS Advanced organiseras av IEA och genomförs vart fjärde år med fokus på matematik och naturvetenskap. TIMSS genomförs med elever i årskurs fyra och årskurs åtta medan TIMSS Advanced undersöker kunskaper hos gymnasieelever som läser sista året på det naturvetenskapliga eller det tekniska programmet. Skolverket (2013) beskriver hur svenska skolelevers PISA-resultat har sjunkit kontinuerligt sedan den första studien genomfördes år 2000 till och med 2012 då Sverige presterade under genomsnittet i alla undersökta kunskapsområden. I matematik stod Sverige för den största nedgången av alla deltagande länder mellan 2003 och 2012 (Skolverket, 2013). Intressant är att den nedåtgående trenden för matematik inom PISA verkar ha brutits i och med resultatet från 2015 års mätning (Skolverket, 2016a). Sverige visar i denna en statistiskt säkerställd förbättring av resultaten, även om kunskapsnivån fortfarande är lägre än vad den var före år

(8)

8

2009. TIMSS Advanced har, precis som PISA, visat på en nedåtgående trend sedan den första mätningen 1995 (Skolverket, 2016c). Mellan åren 2008 och 2015 har dock utvecklingen vänt även i dessa tester och svenska gymnasieelever visar ett signifikant högre resultat. Endast två av nio länder förbättrar sina resultat över denna tid. Däremot är det genomsnittliga resultatet fortfarande högre i de flesta andra länder och dessutom betydligt längre än år 1995. Inga fördjupade analyser har färdigställts om vad förändringarna skulle kunna bero på. Vad som tas upp är dock att det finns ett samband mellan högre resultat och högre grad av hemresurser, minst en svenskfödd förälder, en positiv inställning till ämnet och en hög grad av ansträngning (Skolverket, 2016c). Skolverkets rapport poängterar att eleverna i 2015 års studie läser 50 poäng mer matematik än de elever som deltog 2008. Två tredjedelar av eleverna i studien har undervisats av lärare som har deltagit i olika former av kompetens-utveckling inom pedagogik, metodik och bedömning vilket är en högre andel än 2008. Som exempel på ett omfattande sådant arbete kan nämnas Matematiklyftet som har genomförts under åren 2012–2016 (Skolverket, 2016b). Eleverna är också de första i granskningarna som har läst hela sin gymnasieutbildning enligt läroplanen från 2011. Huruvida detta bidrar till att förklara det trendbrott som noterats och om resultaten fortsätter att öka är mycket intressant men för tidigt att svara på. Med största sannolikhet är det flertalet faktorer som samspelar för att förklara om elever uppnår mer eller mindre väl utvecklade kunskaper i matematik. Det är i frågan om vad som kännetecknar matematikundervisning av god kvalitet och hur förutsättningarna ser ut för att kunna bedriva sådan på svenska gymnasieskolor som denna uppsats tar sin utgångspunkt.

1.2 Procedurfokus i svensk skola

Skolinspektionen (2010) skriver i sin rapport om undervisningen i matematik i gymnasie-skolan att många elever inte ges förutsättningar att utveckla alla de olika matematiska kompetenser och förmågor som tas upp i kursplanen. En av de generella iakttagelserna som presenteras är att undervisningen i stor utsträckning fokuserar på enskilt arbete i läroboken och att eleverna tränas för lite i att lösa problem, upptäcka samband, föra matematiska resonemang och kommunicera om ämnet. Skolinspektionen framhåller att en sådan undervisning riskerar att begränsa matematiken till att handla om utantillkunskap och försvåra för elevernas lärande på längre sikt. Granskningen har fokuserat på den dåvarande kursen

(9)

9

Matematik A och är inte tänkt att ge någon generell bild av undervisningen. Resultatet ligger dock i linje med andra rapporter och forskning inom området. Bergqvist, Boesen och Nyroos (2010) har sammanställt en kunskapsöversikt om hur matematiklärare arbetar för att utveckla elevers kunskaper i matematik. Denna sträcker sig över perioden från 1995 och framåt och sammanfattas i ett antal generella betraktelser; läromedlen har en stark ställning i klassrummen, det enskilda arbetet med eller utan handledning dominerar, det finns ett fokus på procedurer och/eller algoritmer och det saknas ofta tillfällen för reflektion och gemensamma diskussioner. Skolinspektionen (2016) har också granskat en senare kurs i matematik på gymnasiet, Matematik 3c, främst med avseende på huruvida eleverna ges förutsättningar att träna problemlösning och utveckla begreppsförståelse men i viss mån även i vilken utsträckning de får möjligheter att öva resonemangs- och kommunikationsförmågan. Även här bekräftas bilden av matematik som ett traditionellt sett tyst ämne med mycket arbete på egen hand. Goda exempel finns emellertid men på många håll får eleverna för få utmaningar och för lite stimulans till abstrakt tänkande.

Matematikkunskap beskrivs idag, både nationellt och internationellt, med hjälp av ett antal kompetenser eller matematiska förmågor. De förmågor som avses i dagens styrdokument för matematikämnet har genom åren gradvis fått ett större utrymme. I föregående kursplan behandlades förmågorna mer implicit än idag, i form av mål som eleverna skulle ges förutsättning att sträva mot (Skolverket, 2000). I den senaste läroplanen från 2011, Gy11, har förmågornas betydelse för undervisningen och elevernas kunskapsutveckling förtydligats. I ämnets syfte beskrivs på gymnasiet sju förmågor som också kunskapskraven är uppbyggda kring; begreppsförmåga, procedurförmåga, problemlösningsförmåga, modelleringsförmåga, resonemangsförmåga, kommunikationsförmåga samt relevansförmåga (Skolverket, 2011b). I det kommentarmaterial som Skolverket (2011a) gav ut i samband med att Gy11 infördes skildras de rapporter och den typ av forskning som tagits upp tidigare som en explicit motivering till att de matematiska förmågorna har getts en tydligare roll i styrdokumenten:

Utvärderingarna och granskningarna visar att undervisningen i matematik i stor utsträckning är präglad av enskild räkning, vilket får till följd att eleverna i undervisningen har begränsade möjligheter att utveckla förmågan att lösa problem. Det innebär också̊ att eleverna sällan har fått möjlighet att använda matematiken i vardagen och inom olika ämnesområden. Mot bakgrund av detta är ambitionen med den nya kursplanen att betona vikten av att eleverna ges möjlighet att använda matematiken i olika sammanhang, utveckla förmågan att lösa problem, använda logiska resonemang samt att kommunicera matematik med hjälp av olika uttrycksformer. Den nationella utvärderingen av matematikundervisningen, NU-03, visade att det i den tidigare kursplanen var svårt att urskilja de förmågor som undervisningen syftade till

(10)

10

att eleverna skulle utveckla. Dessa centrala förmågor har samstämmigt stöd i matematikdidaktisk forskning och i den nya kursplanen är dessa förmågor tydligare framlyfta i syftestexten. (s. 6)

Ett alltför stort fokus på matematiska algoritmer och enskild räkning i en lärobok, enligt ovan, ger motivation till en reformerad matematikundervisning. Det finns dock ett antal utmaningar med att förnya pedagogiken i klassrummen. Termerna avsedd läroplan, genomförd läroplan och uppnådd läroplan, som myntats av IEA för att visa på den komplexa processen från intentioner i styrdokumenten till elevernas prestationer i matematik (Mullis & Martin, 2007), indikerar att det finns flera nivåer där svårigheter kan uppstå. Det finns också starka traditioner rörande matematikundervisning som innebär att såväl lärare som elever kan tvingas utmana sin bild av hur matematikundervisning ska gå till. Detta illustreras av en artikel om två norska lärarstuderande som försökte implementera ett undersökande arbetssätt under sin praktik men stötte på motstånd hos både lärare och elever (Wedege, 2008). Förklaringen tillskrivs ett rådande didaktiskt kontrakt om en annan slags undervisning där antalet korrekt bemästrade uppgifter var det viktiga för eleverna. Frågor med syfte att fördjupa elevernas förståelse ledde till att tillfredställelsen av ett korrekt svar ersattes av orolig stämning och bristande fokus. Eleverna delade inte lärarens syn på vad matematik handlar om och vad som var poängen med de uppgifter de arbetade med. Ur lärarens perspektiv finns rimligen många fler potentiella utmaningar att förhålla sig till om denne har ambitionen att utveckla sin undervisning i nya riktningar. Det här examensarbetet kommer att fördjupa sig inom detta område med fokus på de matematiska förmågorna så som de beskrivs av Gy11.

(11)

11

2. Syfte och frågeställningar

I ljuset av de rapporter om nedåtgående resultat för svenska skolelever som i utdrag presenterats i inledningen känns det angeläget att reformer för att vidareutveckla matematik-undervisningen får genomslag i klassrummen. Mot bakgrund av den forskning som beskriver en undervisning som på många håll i landet riktar fokus mot algoritmer och mer eller mindre mekaniskt räknande i läroböckerna har de matematiska förmågorna en viktig roll att spela. Ytterligare motivation för att ge de matematiska förmågorna en större och tydligare roll i undervisningen skulle vara om det trendbrott som uppvisats i de internationella mätningarna 2015 kan kopplas till den nya läroplanen och de olika kompetensutvecklade aktiviteter som genomförts i svensk skola sedan denna infördes. Eftersom kritiken mot den procedur-fokuserande undervisningen har framförts vid upprepade tillfällen genom åren faller det sig naturligt att ställa frågan om vilka faktorer det är som begränsar lärarna i deras arbete med att undervisa för kunskapsutveckling inom en bredd av matematiska kompetenser.

Syftet med det här examensarbetet är att bidra till en ökad kunskap om varför matematik-undervisningen på många håll i Sverige fokuserar på procedurförmågan i sådan utsträckning att möjligheterna att utveckla de övriga matematiska förmågorna i läroplanen verkar begränsas. Undersökningen är tänkt att belysa lärarnas perspektiv och de erfarenheter de har från sin vardag. Med andra ord görs en avgränsning till de utmaningar som är synliga ur lärarens infallsvinkel. Kontexten för studien är den svenska gymnasieskolan.

De frågeställningar som ligger till grund för studien är:

• Hur planerar och genomför lärare undervisning med avseende på de matematiska förmågorna?

• Upplever lärare några utmaningar i arbetet med att undervisa med avseende på de matematiska förmågorna och i så fall vilka är dessa?

(12)

12

3. Tidigare forskning

För att skapa en struktur för detta kapitel används IEA:s begrepp avsedd läroplan, utförd läroplan och uppnådd läroplan (Mullis & Martin, 2007). Den avsedda läroplanen utgörs av ett lands mål och intentioner för vad elever ska lära sig i skolan. Styrdokument såsom läroplan och kursplaner är en tydlig källa till detta. Den utförda läroplanen inbegriper vad som faktiskt lärs ut i skolorna. Kortfattat handlar det om resultatet av de val en lärare gör i form av arbetssätt, läromedel, vilka områden som betonas och liknande. Slutligen beskriver den uppnådda läroplanen de kunskaper som eleverna tar med sig från undervisningen. I idealfallet skiljer sig inte den uppnådda läroplanen från den avsedda. Avvikelser kan dock uppstå genom hela kedjan.

Denna uppsats intresserar sig för den undervisning som bedrivs och de utmaningar som kan uppkomma gällande de matematiska förmågorna i strävan efter överensstämmelse mellan avsedd och uppnådd läroplan. Då studien görs från lärarens perspektiv finns potentiella utmaningar som har begränsade möjligheter att framkomma i undersökningen. Detta kapitel vill emellertid med hjälp av tidigare forskning på området belysa olika perspektiv på procedurfokuserad undervisning och vidareutveckling av sådan. Däremot kommer innehållet i den avsedda läroplanen inte att diskuteras eller värderas.

3.1 Från avsedd läroplan till utförd läroplan

Detta avsnitt behandlar framförallt tolkningsprocessen från formuleringar i styrdokumenten till de intentioner lärarna tar med sig till sin undervisningsplanering. En stor kvalitets-granskning av matematikutbildningen har genomförts med syfte att förbättra studieresultaten och öka måluppfyllelsen (Bergqvist, Bergqvist, Boesen, Helenius, Lithner, Palm & Palmberg, 2010). Det är denna forskning som ligger till grund för den övergripande rapport från Skolinspektionen (2010) som presenterats i inledningen till denna uppsats. Studien innefattar både kvantitativa och kvalitativa delar i form av enkäter, observationer och intervjuer. Som nämnts bekräftas att procedurhantering är den vanligaste aktiviteten i de undersökta klassrummen. Ett annat av studiens fokus är lärares uppfattningar och kunskap om

(13)

13

styrdokumentens olika mål (Bergqvist et al., 2010). Studien genomfördes hösten 2009, det vill säga när kursplanen behandlade förmågorna som mål att sträva mot. Detta betyder att de kompetenser som undersökts inte till fullo stämmer överens med förmågorna i dagens läroplan. Essensen av det som åsyftas är dock mycket lik. Rapporten tar upp att kursplanen kan påverka lärare på olika sätt. Målen behöver vara formulerade på ett sätt som gör det möjligt för lärarna att tolka dem, lärarna behöver ha fått utbildning som gör att de besitter förmågan att tolka målen och lärarna behöver uppleva målen som relevanta. Endast 18 % av lärarna i undersökningen visar på omfattande kunskap om de förmågor som tas upp av strävansmålen. En fjärdedel av lärarna filtrerar kursplanen genom sina personliga grundläggande mål för undervisningen vilket kan begränsa det utrymme olika förmågor ges under lektionerna. En annan risk är att läraren låter bli att bearbeta kursplanen på djupet eftersom den upplevs stämma överens med lärarens befintliga tankesätt. Det finns också lärare som menar att innehållsmålen måste behandlas först för att eleverna ska ha förutsättningar att utveckla andra förmågor. Många som inte talar om kursplanen som en betydande faktor tar upp att läroboken har ett starkt inflytande på undervisningen. Flera lärare menar också att kursplanen är svår att förstå. Studien bedömer generellt sett den dåvarande kursplanens påverkan när det gäller matematiska förmågor som mycket liten. Kollegiala diskussioner tycks dock ha bidragit till ökad kunskap om och fokus på förmågorna. Eftersom förmågornas roll har tydliggjorts i Gy11 förväntas kunskapsnivån ha ökat men det är inte omöjligt att vissa av problemen som beskrivits ovan kvarstår. Om så är fallet kan dessa fortfarande bidra till varför vissa lärare ännu inte har utvecklat undervisningen i enlighet med reformen om de matematiska förmågorna.

3.2 Den utförda läroplanen

Detta avsnitt tar upp vad som sker i undervisningen. Att procedurer och enskilt arbete dominerar under matematiklektionerna har tagits upp tidigare. Bergqvist et al. (2010) visar därutöver på att när undervisningen väl fokuserar på en förmåga utöver procedurförmågan ökar elevernas möjligheter att utveckla även de andra förmågorna. Detta ligger i linje med hur förmågorna beskrivs i Skolverkets (2011c) text om matematikämnet. Samma undersökning belyser en positiv korrelation mellan användning av läroboken och arbete med matematiska procedurer och en negativ korrelation mellan läroboken och övriga förmågor. Detta betyder

(14)

14

att det finns en risk att förhålla sig till när det kommer till läromedlens starka roll i undervisningen. Tillåts läroboken ensamt styra undervisningen kan konsekvensen bli ett alltför stort fokus på procedurförmågan. Ytterligare en aspekt värd att lyfta fram från studien är att de aktiviteter som behandlar förmågor utöver procedurförmågan visade sig vara vanligare förekommande på det naturvetenskapliga programmet. För aktiviteter som fokuserar på procedurer presenteras det omvända. Detta tyder på att det kan finns skillnader att åskådliggöra mellan programmen med fler matematikintresserade elever och övriga utbildningar.

Lärobokens betydelse för elevernas möjligheter att utveckla specifika förmågor har också uppmärksammats av Johan Sidenvall (2015). Han har publicerat en licentiatavhandling, som precis som denna uppsats utgår från ett övervägande fokus på procedurer inom skolan, om gymnasieelevers möjligheter att lära sig föra kreativa matematiska resonemang. Sidenvall skiljer på kreativt matematiskt resonemang och olika typer av imitativt resonemang. Det förstnämnda kopplas till konceptuell förståelse medan imitativt resonemang hör samman med användandet av procedurer och algoritmer. I den första delstudien konstateras att elever nästan enbart använder sig av imitativt resonemang när de arbetar med läroboken. Eleverna arbetade främst med bokens enklare uppgifter och även när eleverna fick guidning av lärare eller klasskamrater användes samma resonemangstyp. Studien ifrågasätter därför elevernas möjlighet att träna resonemangs- och problemlösningsförmågan genom arbete med läroboken. I den tredje delstudien, som har undersökt uppgifter i läroböcker från tolv länder, konstateras det dessutom att endast omkring en tiondel av uppgifterna kräver ett kreativt matematiskt resonemang och att de uppgifter som gör det ofta är placerade i slutet av avsnitten. Även denna undersökning implicerar alltså en svårighet att undervisa om matematikens alla förmågor utan komplement till läroboken. Viktigt att poängtera är dock att studien inte alls har tagit hänsyn till på vilka sätt läroboken används i undervisningen.

Eftersom frågan om svenska ungdomars matematikkunskaper är av intresse även ur ett internationellt perspektiv blir det intressant att fråga sig vad som kännetecknar matematik-undervisningen i de länder där eleverna presterar bättre. Den studie av läroböcker som har nämnts tidigare innefattade böcker från tolv länder och visade på ungefär samma fördelning av uppgifter oavsett ursprungsland (Sidenvall, 2015). Sex av länderna som representerades i studien har precis som Sverige deltagit i internationella jämförelser såsom PISA-undersökningarna. Alla sex länder presterar också bättre än Sverige, varför lärobokens

(15)

15

utformning endast verkar kunna bidra till en del av förklaringen. I en rapport från OECD (2016) kan ses en generell skillnad mellan undervisningen i Sverige och i de länder som presterar i topp på PISA, nämligen att svenska elever mer sällan möter en utmanande matematikundervisning. Detta skulle möjligen kunna vara ett tecken på någon form av koppling mellan procedurfokus och de försämrade resultaten. I samma rapport tas också vissa fördelar med utantillinlärning upp. OECD menar att denna typ av inlärningsstrategi kan vara positiv för att lågpresterande elever ska kunna utveckla grundläggande kunskaper och samtidigt höja sitt självförtroende inom ämnet. Då Skolinspektionen (2010) beskriver utantillinlärning som riskfyllt för matematiklärandet på lång sikt uppenbarar sig en balans-gång att förhålla sig till som matematiklärare. Utantillkunskap kan vara effektivt på kort sikt men få negativa konsekvenser på lång sikt. Eftersom procedurinriktad undervisning ofta upplevs som effektiv på grund av ett högt antal korrekt producerade svar samt att de negativa konsekvenserna uppenbarar sig först i ett senare skede, är det förståeligt om denna typ av undervisning i stunden ses som ett attraktivt arbetssätt.

Den undersökning som visar på flest likheter med denna studie är en kvalitativ undersökning av Jesper Boesen (2006). Boesen har i en tidigare undersökning konstaterat att lärare i stor utsträckning betonar imitativt resonemang i de prov de använder sig av. Genom intervjuer med utvalda lärare söker han svar på varför de väljer detta fokus. Resultaten visar bland annat exempel på lärare som ser det kreativa matematiska resonemanget som önskvärt men bedömer det som orealistiskt för svagare elever att behärska. Kreativt resonemang kopplas av dessa lärare samman med svårare uppgifter och en önskan om att kunna godkänna alla elever leder till sänkta krav. Betydelsen av att lärare utmanar sina uppfattningar om matematik och matematikundervisning framträder på nytt. Det fanns också lärare som beskrev en önskan om att elever som arbetat flitigt i läroboken skulle känna igen sig vid provtillfällena, vilket återigen indikerar lärobokens starka ställning i klassrummen. Exempel på övriga aspekter som tas upp som orsaker till provens fokus på imitativt resonemang är upplevda svårigheter att konstruera, alternativt hitta, lämpliga uppgifter som testar ett kreativt matematiskt tänkande samt att detta arbete tar mycket tid i anspråk (Boesen, 2006). Dessa förklaringar är sannolikt överförbara till denna undersökning.

(16)

16

3.3 Från utförd läroplan till uppnådd läroplan

Detta avsnitt tar upp problem som kan uppkomma på vägen mot den uppnådda läroplanen, även om det finns en hög överensstämmelse mellan avsedd och utförd läroplan. Richard Wester (2015) har i en licentiatstudie undersökt reforminriktad undervisning ur elevens perspektiv. Wester ställer den reforminriktade undervisningen i ett motsatsförhållande till den traditionella undervisningen. Han menar att reforminriktad undervisning karaktäriseras av ett undersökande arbetssätt och att denna är tätt sammankopplad med intentionerna med läroplanens matematiska förmågor. Denna undervisningstyp syftar till att ge eleverna en relationell förståelse för matematiken, det vill säga en förståelse som innebär att eleverna inte bara vet hur de ska gå till väga för att lösa en uppgift utan också inser varför metoderna fungerar. Den traditionella undervisningen, å andra sidan, menar Wester fokuserar på en instrumentell förståelse. Enligt en sådan handlar förståelse om att behärska de procedurer som behövs för att kunna lösa uppgifter. I studien följs en lärare som aktivt arbetar med de matematiska förmågorna och några av hennes elever. Dessa elever tillhör den första årskullen som skulle avsluta grundskolan och bedömas enligt dagens ämnesplan och det nya betygssystemet. Studien visar att läraren och eleverna ofta har saknat en samsyn om vad skolmatematik är och hur den bäst lärs ut. Läraren genomför en undervisning som syftar till att ge eleverna en relationell förståelse för ämnet medan eleverna istället arbetar efter en instrumentell förståelse. Eleverna strävar efter att på ett effektivt sätt finna korrekta svar och de menar att läraren krånglar till det. De kopplar också de matematiska förmågorna främst till bedömning och betyg. Det blir påtagligt att traditioner inom matematikundervisning har en viktig roll och att det krävs en medvetenhet om såväl lärarens som elevernas uppfattningar kring ämnet för att kunna förändra arbetsformerna. Alla parter behöver acceptera en förändring för att undervisningspraktiken ska kunna vidareutvecklas.

(17)

17

4. Teori

I detta kapitel kommer de matematiska förmågorna att presenteras närmre. Därefter förklaras begreppet ramfaktor genom en introduktion till ramfaktorteorin. Traditionell undervisning diskuteras som begrepp och jag förklarar de begrepp jag väljer att använda mig av och varför. Slutligen beskrivs en teoretisk modell som kan användas för att studera förändring av uppfattningar hos lärare i samband med nya utbildningsreformer och hur denna kommer att utnyttjas för att analysera resultatet i denna undersökning.

4.1 De matematiska förmågorna

Att beskriva matematisk kunskap med hjälp av ett ramverk bestående av ett antal kompetenser eller förmågor är idag vanligt även internationellt. I USA har ett projekt genomförts som bland annat har haft till syfte att ta fram forskningsbaserade rekommendationer om undervisning i matematik för att kunna förbättra elevers lärande (Kilpatrick, Swafford & Findell, 2001). I den rapport som redovisar projektet, Adding It Up, betonas fem matematiska förmågor. Fyra av dessa förmågor är näst intill identiska med begrepps-, procedur-, problemlösnings- och resonemangsförmågan i svenska styrdokument. Den femte ligger närmst relevansförmågan men inkluderar också uppfattningar om matematik. Ämnet ska till exempel ses som meningsfullt och eleverna ska känna en tillit till sin egen förmåga att lära matematik. I Danmark har genomförts ett annat projekt om matematiska kompetenser, nämligen KOM-projektet (Niss & Højgaard Jensen, 2002). Här framhävs åtta kompetenser; tankegång, problemlösning, modellering, resonemang, representation, symbol- och formalism, kommunikation och hjälpmedelskompetens. I mångt och mycket beskriver dessa kompetenser samma typ av matematisk kunskap som förmågorna i Sverige, även om de är indelade på lite olika sätt. Några skillnader består dock i att användandet av digitala verktyg beskrivs av en särskild kompetens i det danska systemet samt att det saknar en motsvarande beskrivning av relevansförmågan. Ett tredje ofta förekommande arbete i dessa sammanhang är NCTM:s så kallade Principles and Standards (NCTM, 2000). NCTM, som står för National Council of Teachers of Mathematics och finns i USA och Kanada, har organiserat målen i innehållsmål och processmål. Processmålen beskriver motsvarigheten till de matematiska förmågorna och

(18)

18

är fem till antalet; problemlösning, resonemang och bevis, kommunikation, samband samt representation. De tre förstnämnda tas upp även av de svenska styrdokumenten medan övriga två till stor del faller under begrepps- och procedurförmågorna. Relevansförmågan behandlas alltså inte av ramverket.

Nedan följer en sammanfattning av Skolverkets (2011c) beskrivning av de matematiska förmågorna i svensk gymnasieskola. Först bör poängteras att svensk grundskola arbetar med fem förmågor i jämförelse med gymnasieskolans sju. De förmågor som tillkommer på gymnasienivå är relevans och modellering. De matematiska förmågorna ska inte betraktas som något en individ besitter eller inte, utan som områden där kunskaperna är i ständig utveckling. Förmågorna i ramverket ska heller inte separeras utan utvecklas i samspel med varandra och det finns ingen inbördes rangordning dem emellan. Begreppsförmåga innebär att kunna förklara olika begrepp och hur de hänger samman, att kunna använda olika representationsformer för att illustrera begreppen samt att känna till när och hur begreppen är användbara. Procedurförmåga handlar om att kunna välja och på ett effektivt sätt tillämpa metoder för att lösa uppgifter av standardkaraktär. Förmågan innefattar även att kunna hantera digitala hjälpmedel. Problemlösningsförmåga innebär förmåga att lösa uppgifter där eleven på förhand inte känner till en lämplig lösningsmetod. För att åstadkomma detta krävs bland annat att eleven kan analysera och tolka problem, använda problemlösningsstrategier och värdera sina val och sitt resultat. Problemlösning är den enda förmåga som uttryckligen förekommer både som mål och medel, vilket innebär att problemlösning ska användas också för att utveckla andra förmågor. Modelleringsförmåga avser att kunna formulera en matematisk beskrivning av en realistisk situation, använda denna och tolka resultatet. Viktigt är också att kunna värdera modellen och dess begränsningar. Resonemangsförmåga innefattar bland annat att kunna diskutera, förklara, generalisera och argumentera om saker som begrepp, metoder, lösningar på problem och matematiska modeller. Även att formulera hypoteser, genomföra bevis och skilja välgrundade påståenden från gissningar hör hit. Kommunikationsförmåga innebär att med lämpliga representationer kunna kommunicera matematik i både tal och skrift samt att kunna anpassa kommunikationen efter sammanhang. Relevansförmåga handlar slutligen om att kunna sätta in matematiken i ett större sammanhang, bland annat genom att visa på matematikens betydelse inom ekonomi, samhällsliv, yrkesarbete och så vidare. Det är dessa definitioner av matematisk kunskap som åsyftas genom denna uppsats.

(19)

19

4.2 Ramfaktorteori

Något som ofta dyker upp när utmaningar, eller snarare begränsningar, i undervisningen diskuteras är ramfaktorteorin. Teorin grundar sig i ett arbete av Urban Dahllöf från 1967 (Lundgren, 2014). Arbetet genomfördes i ett sammanhang då differentieringsfrågan debatterades flitigt, det vill säga frågan om huruvida och i så fall hur länge Sverige skulle ha en sammanhållen enhetsskola i kontrast till ett parallellskolesystem. I arbetet konstaterade Dahllöf att elever i odifferentierade klasser och i negativt differentierade klasser lägger ned mer tid på matematikämnet för att nå samma resultat, jämfört med positivt differentierade klasser. Dahllöf noterade också att det i en klass vanligtvis finns en så kallad styrgrupp bland eleverna vars kunskapsnivå avgör den takt läraren väljer att hålla. Det som markerades av arbetet och blev grunden för ramfaktorteorin var att undervisningsprocesser och dess resultat måste förstås utifrån de ramar som finns. Med andra ord kom relationen mellan resurser, verksamhet och resultat att förtydligas. Ulf P. Lundgren bekräftade fem år senare modellen och presenterade en vidareutvecklad teori (Lundgren, 2014). Vanliga ramfaktorer som påverkar undervisningens resultat är den undervisningstid som finns till förfogande samt elevgruppens sammansättning gällande förkunskaper och liknande. Ramarna påverkar vad som är möjligt att genomföra i undervisningen men kan inte ses som orsaker till ett visst resultat. Lindblad, Linde och Naeslund (1999) tar upp ramfaktorteorin som aktuell även idag och beskriver hur teorin med åren utvidgats till att även beröra saker som sociala, kulturella och historiska förutsättningar. De kritiserar dock teorins begränsade möjligheter att förklara skolans resultat eftersom den endast behandlar nödvändiga betingelser för att något ska kunna ske och inte vad som är tillräckliga förutsättningar. Lindblad, Linde och Naeslund menar att förklaringsmodeller också behöver ta hänsyn till lärare och elevers intentioner och uppfattningar. Marginaliseras sådana aspekter riskerar läraren att få en marionett-liknande roll med alltför liten möjlighet att påverka undervisningen. Ramfaktorteorin kan med andra ord inte ses som heltäckande för att beskriva de utmaningar som finns i undervisningen. Teorin kan dock illustrera den komplexitet som undervisning utgör i form av flertalet faktorer som samspelar och att vissa av dessa ligger utanför vad den enskilde läraren kan påverka. I denna uppsats kommer begreppet ramfaktorer att användas för att beskriva yttre begränsningar för undervisningen som den enskilda läraren inte har möjlighet att påverka.

(20)

20

4.3 Traditionell undervisning

I relation till Westers (2015) studie, som beskrivs i kapitlet tidigare forskning, vill jag belysa och problematisera användandet av begreppet traditionell undervisning. Wester använder begreppet i beskrivningen av en undervisning som är otillräcklig för att stimulera till utveckling av alla matematiska förmågor. Även i Sidenvalls (2015) licentiatavhandling förekommer begreppet kopplat till ett fokus på procedurer och i motsats till ett undersökande klassrumsklimat. Begreppet kopplas också till att mycket tid läggs åt elevernas arbete i läroboken. Skolinspektionen (2010) nämner inte traditionell undervisning som begrepp men pratar ändock om en tradition inom matematikundervisningen där lektioner inleds med en gemensam genomgång följt av enskilt arbete i läroboken. Bergqvist, Boesen och Nyroos (2010) betonar lärarens ledande roll i den traditionella undervisningen och att elever här mestadels lyssnar och svarar på frågor. Med andra ord är det flertalet olika aspekter av undervisning som på olika håll inom forskning kopplas till traditionell undervisning på ett kritiskt sätt. Sammantaget ser jag en risk att budskapet som förmedlas blir att det krävs en helt annan undervisning med andra typer av aktiviteter än gemensamma genomgångar och arbete med räkneuppgifter för att kunna arbeta i linje med den nya läroplanen. Kraven skulle kunna upplevas som så stora att läraren blir handfallen och fortsätter som förut, för att denne saknar kunskap om hur förändringen skulle kunna se ut. I Westers (2015) studie förekommer ofta genomgångar följt av enskilt räknande. Däremot ser rollerna inte likadana ut som de ovan beskrivna. Genomgångarna tar också upp en större andel av lektionstiden och en annan typ av frågor ställs till eleverna. Min hypotes är att det undersökande arbetssättet tar upp förmågorna och arbetar med relationell förståelse i större utsträckning än det mer traditionella men att även detta kan behandla matematiken på ett sätt som ger en djupare förståelse, exempelvis genom vilken typ av uppgifter som används och i vilken utsträckning eleverna är delaktiga i undervisningen. En enskild lärares undervisning kan också innehålla vissa komponenter som kan kategoriseras som mer traditionella och vissa som är mer reforminriktade. I ljuset av de internationella jämförelser där Sverige presterar avsevärt sämre idag, än till exempel i TIMSS Advanced år 1995 (Skolverket, 2016), finns också en viss bristande logik i att sammanföra kritiken mot de negativa resultaten under begreppet traditionell undervisning. Bättre är i så fall att försöka fokusera på vad det är i innehållet eller metoderna som är negativt för eleverna i den traditionella undervisningen. Jag har därför valt att använda tavelpedagogik, ett ord som dök upp i datainsamlingsprocessen, för att beskriva den undervisning som bedrivs i helklass

(21)

21

där läraren har en ledande roll men eleverna inbjuds att aktivt bidra till arbetet vid tavlan. Undervisningen utesluter inte heller att eleverna stundtals ges tid för diskussion i mindre grupper eller att fokus läggs på relationell förståelse.

4.4 Modell för konceptuell förändring av uppfattningar

Att traditioner och uppfattningar om matematik och matematikundervisning påverkar de resultat som uppnås i klassrummen har tidigare forskning belyst. Michele Gregoire (2003) föreslår en kognitiv-affektiv modell för att beskriva stegen från en presenterad reform till förändrade uppfattningar och i förlängningen ett förändrat arbetssätt. Modellen tar upp de faktorer som påverkar en lärare som möts av ett nytt budskap om hur undervisning bör bedrivas och dess möjligheter att generera en konceptuell förändring hos läraren i fråga. Det utvecklingsarbete som Gregoire refererar till handlar om att få matematiklärare att arbeta mer problemlösande och mer konstruktivistiskt inspirerat genom att eleverna ska engageras i upptäckande övningar snarare än att agera passiva mottagare av kunskap. Det finns alltså många likheter mellan exemplen i Gregoires artikel och intentionerna med de matematiska förmågorna. Modellen tycks därför användbar för att tolka de faktorer som skulle kunna utgöra hinder för en förnyad undervisning. Inledningsvis lyfter Gregoire fram två exempel från forskningen där lärare från olika stadier förklarat sig vara positiva till det budskap som introducerats och själv menat att de arbetar reforminriktat trots att det framkommit att så inte var fallet. Att lärarna trots goda ambitioner genomför en undervisning där procedurer betonades över djupare inlärning föreslås bero på att de uppfattningar lärarna haft med sig om matematikundervisning sedan tidigare stått i konflikt med det nya budskapet. Detta skulle kunna förekomma även i denna undersökning. Dock har en avgränsning gjorts till lärarens perspektiv och det hamnar därför utanför vad som är möjligt att analysera.

Det första steget i Gregoires (2003) modell utgörs av att en ny reform, som exempelvis införandet av de matematiska förmågorna, presenteras för läraren. Budskapet kan då upplevas som skrämmande beroende på vilken uppfattning läraren har med sig sedan tidigare. En ny reform kan implicera att tidigare undervisningsmetoder har haft negativa konsekvenser för elevernas möjligheter att utveckla förståelse för ämnet. I modellen frågas om läraren anser sig påverkad av reformen. Här menar Gregoire att den som redan tycker sig arbeta enligt

(22)

22

reformen sannolikt saknar motivation att bearbeta den på ett systematiskt sätt och därför riskerar att missa budskapet. Bearbetningen görs då endast ytligt eller inte alls och läraren ändrar inte sina konceptuella uppfattningar, oavsett om de är i linje med reformen eller inte. För de lärare som upplever en viss stress eller oro kring reformen finns däremot förutsättningar för förändrade uppfattningar. Dock måste den hotfulla känslan övervinnas och situationen uppfattas som en utmaning möjlig att hantera. För att lyckas med detta krävs en tillräckligt stark tilltro till sin egen kapacitet att undervisa enligt den nya reformen. Om den inre motivationen saknas undviks det hotfulla i reformen och resultatet blir även här ett ytligt eller obearbetat budskap och inga betydande förändringar av lärarens uppfattningar. Det krävs också att läraren upplever att det finns tillräckliga resurser i form av kunskap om ämnet, tid, stöttande kollegor och liknande för att förändringen ska ses som genomförbar. Passerar läraren detta steg i modellen har han eller hon som mål att närma sig reformen och läraren kommer att bearbeta budskapet på ett systematiskt sätt. Om budskapet därefter verkar rimligt och läraren tror att förändringarna kan ge positiva resultat i undervisningen förändrar läraren slutligen sina uppfattningar i modellens sista steg. Gregoire menar alltså att sannolikheten att läraren i fråga bearbetar reformen på djupet och förändrar sina existerade uppfattningar ökar om budskapet upplevs som utmanande men genomförbart. Om budskapet upplevs ligga i linje med lärarens befintliga arbetssätt sjunker däremot motivationen att sätta sig in i och bearbeta innehållet ytterligare.

Den modell som har redovisats ovan kommer att ligga till grund för analysen av denna studie. Jag menar att modellen kan användas för att försöka förstå de bakomliggande orsakerna till de utmaningar som lärare har upplevt i samband med att dagens läroplan introducerades och i arbetet med att undervisa i enlighet med denna. Gregoires (2003) modell beskriver främst om läraren i det här fallet har kunnat förändra sin uppfattning i enlighet med reformen om de matematiska förmågorna och inte om läraren har lyckats förändra undervisningen på motsvarande sätt. Däremot illustrerar modellen att det finns fler begränsningar än de traditionella ramfaktorerna och att såväl befintliga uppfattningar som inre och yttre resurser samspelar.

(23)

23

5. Metod

Detta arbete vill bidra till ökad kunskap om de utmaningar som kan uppstå i en gymnasielärares arbete med att undervisa matematik med avseende på de sju matematiska förmågorna såsom de beskrivs av Gy11 (Skolverket, 2011b). Den forskning som är inriktad på att beskriva eller förstå ett fenomen på ett djupare plan, snarare än att analysera och generalisera baserat på större mängder data, är av kvalitativ typ. Bryman (2011) skriver att kvalitativ forskning förenklat sett intresserar sig mer för ord än siffror och skiljer kvalitativ och kvantitativ forskning åt på tre punkter. Kvalitativ forskning har vanligtvis en induktiv ansats där teorier genereras från insamlad empiri, ett tolkningsinriktat fokus som försöker förstå en social verklighet baserat på de deltagande individernas tolkning av densamma samt en konstruktionistisk utgångspunkt där sociala företeelser formas och revideras som resultat av mellanmänsklig interaktion. Detta stämmer väl in på denna studie även om ansatsen inte är renodlat induktiv, eftersom en teoretisk modell kommer att användas för att analysera lärarnas erfarenheter. Alvehus (2013) tar upp att induktiv och deduktiv forskning är ett slags idealfall och att verkligheten snarare beskrivs av vad han benämner som en abduktiv ansats.

Som datainsamlingsmetod har semi-strukturerade intervjuer med ett antal verksamma lärare inom gymnasieskolan valts. Underlaget i studien kommer att vara förhållandevis litet men förhoppningsvis ska studien kunna bidra till en djupare förståelse för de arbetssätt som lärare väljer eller väljer bort i sin undervisning. Möjligheten att ställa fördjupande följdfrågor är en av fördelarna med semi-strukturerade intervjuer som var avgörande vid valet av metod (Alvehus, 2013). Önskvärt var också att välja en metod som i största möjliga mån skapar en öppen och tillåtande undersökningsmiljö. För att undvika olika typer av gruppeffekter valdes fokusgrupper och andra former av gruppintervjuer bort. Lärarna skall inte känna sig granskade huruvida de i sin undervisning behandlar de matematiska förmågorna i den utsträckning styrdokumenten föreskriver. Studiens fokus är istället att lyfta fram de eventuella svårigheter som kan finnas i uppdraget. För att rikta fokus mot studiens frågeställningar samt för att minimera en eventuell påverkan från mina personliga föreställningar om frågorna skapades en intervjuguide, se bilaga 1. Vilka frågor som ställdes och i vilken följd anpassades dock under respektive intervjutillfälle.

(24)

24

Alla intervjuer har genomförts i avskilda rum på lärarnas arbetsplats. Bryman (2011) förespråkar, framförallt den som är ovan vid intervjusituationen, att göra någon eller några pilotintervjuer innan datainsamlingen inleds. På grund av ramarna för examensarbetet bedömdes tiden otillräcklig för att genomföra en regelrätt pilotstudie. Jag har däremot valt att göra en testintervju på en lärarstuderande kamrat för att bedöma kvaliteten på frågorna, tidsåtgången för de olika delarna samt för att bli mer bekväm med rollen som intervjuare. För att skapa goda möjligheter för en utförlig analys och för att säkerställa att lärarnas ursprungliga kommentarer och uttryck bevarades samtidigt som utrymme gavs att fokusera på samtalet och eventuella följdfrågor, spelades intervjuerna in och transkriberades i efterhand. Intervjuerna tog mellan 38 och 82 minuter att genomföra. Medianvärdet blev 47 minuter.

5.1 Urval och informanter

För att få ett bra empiriskt underlag krävs ett rimligt urval av intervjupersoner, det vill säga informanter. Av strategiska skäl föreslås ofta ett målinriktat urval för kvalitativ forskning (Bryman, 2011). I detta fall skulle det kunna handla om att välja informanter som har reflekterat över de matematiska förmågornas roll och stött på utmaningar när de arbetat med att införliva dessa i undervisningen. Önskvärt för att täcka in olika infallsvinklar blir också att informanterna representerar en bredd gällande hur lång erfarenhet de har av yrket, vilka gymnasieprogram och kurser de undervisar, med mera. På grund av ramarna för examensarbetet har ett bekvämlighetsurval tillämpats (Alvehus, 2013). Av praktiska skäl har min VFU-skola kontaktats för att söka informanter. Lämpliga som informanter bedömdes dem vara som är behöriga matematiklärare och har erfarenhet av att undervisa på gymnasiet. Efter att ha fått information om studiens syfte och villkor för deltagande anmälde fem lärare sitt intresse. Detta antal bedömdes kunna ge tillräcklig information samtidigt som datamängden sågs som rimlig att hantera, varför inga ytterligare lärare kontaktades. Denna procedur innebär att alla informanter arbetar på samma skola. Den variation som önskades bland informanterna tillgodosågs dock i förhållandevis stor utsträckning av slumpen. Två av informanterna är kvinnor, tre är män. Deras ålder varierar mellan cirka 35 och 65 år. Tillsammans undervisar gruppen det samhällsvetenskapliga, naturvetenskapliga, humanistiska och det estetiska programmet. Lärarnas erfarenhet från yrket varierar från omkring 10 år till

(25)

25

drygt 40 år. Medianvärdet för yrkeserfarenheten är 17 år. Några av lärarna har erfarenhet från flertalet skolor medan andra har arbetat många år på samma arbetsplats.

5.2 Analys av data

Bryman (2011) skriver att grounded theory har blivit det vanligaste synsättet i samband med analys av kvalitativa data. Grounded theory föreslår ett iterativt arbetssätt där datainsamling och analys växelverkar för att sträva efter en teoretisk mättnad. En sådan metod kräver mer tid för datainsamling och analys än vad som har funnits utrymme för i detta examensarbete. Det finns dock flera likheter mellan teknikerna för kodning inom grounded theory och det analysverktyg som har valts här. Den transkriberade datamassan har analyserats med inspiration av kvalitativ innehållsanalys så som den beskrivs av Graneheim och Lundman (2004). Metodiken ämnar analysera såväl det tydligare innehållet, så kallat manifest innehåll, och det mer latenta innehållet i datan. Det första steget går ut på att den som ska genomföra analysen skapar sig en helhetsbild av texten genom att läsa igenom det transkriberade materialet upprepade gånger. Därefter kan texten vid behov delas in i olika delar beroende på vad innehållet handlar om, exempelvis i delar som härrör till olika frågeställningar. Analysen påbörjas genom att de meningsbärande enheterna i textmassan identifieras. Detta innebär att yttranden som tillsammans säger något i förhållande till undersökningens frågeställningar och syfte skiljs ut. De meningsbärande enheterna kondenseras sedan för att kunna beskrivas mer kortfattat. De kondenserade enheterna abstraheras i följande steg och enheterna tilldelas var sin så kallad kod. Koderna fungerar som etiketter som beskriver innehållet. Efter att koderna har bestämts kan dessa jämföras med varandra med avseende på likheter och skillnader och sorteras i kategorier och underkategorier. Kategorierna ska i idealfallet vara heltäckande utan att överlappa varandra. I det slutgiltiga steget placeras därefter kategorierna i teman där tolkningen fördjupas ytterligare. Kategorierna tar främst upp det manifesta innehållet medan det latenta innehållet kommer fram genom de teman som väljs. Processen har beskrivits som linjär men innebär i praktiken ett iterativt arbete som växlar mellan helheten och de separata delarna. Jag har valt att avbryta dataanalysen efter att innehållet har kategoriserats och att behandla möjliga bakomliggande orsaker till lärarnas upplevelser i ett separat avsnitt. Dessa tolkas istället i förhållande till den teoretiska modell om konceptuell förändring av uppfattningar som presenterades i föregående kapitel.

(26)

26

5.3 Reliabilitet

Begreppet reliabilitet handlar om hur tillförlitlig en studie är med avseende på om resultaten skulle bli desamma om studien upprepades (Bryman, 2011). Som del av detta kan diskuteras om undersökningen påverkats av slumpmässiga eller tillfälliga premisser. En sådan faktor skulle exempelvis kunna vara om en lärare känt sig stressad under intervjun och därför valt att berätta mindre om sina tankar och erfarenheter än vad han eller hon hade gjort vid en tidpunkt som passade läraren bättre. Ingen av lärarna gav dock intryck av att påskynda samtalet. Intervjun hade heller ingen begränsning i hur lång tid den fick ta. En annan fråga att ta ställning till är huruvida resultatet hade blivit detsamma om andra lärare med samma förutsättningar, det vill säga behöriga matematiklärare på gymnasienivå, valts ut som informanter. Då bekvämlighetsurval användes och alla deltagare i studien arbetade på samma skola kan det tänkas att andra arbetssätt och upplevda utmaningar skulle kunna framkomma i en annan miljö. Motsvarande gäller med anledning av att skolan i fråga endast erbjuder studieförberedande gymnasieprogram och att inga nyutexaminerade lärare fanns representerade i undersökningen. Likaså skulle vilka ämnen lärarna undervisar utöver matematik, personliga intresseområden med mera kunna påverka. Implikationen blir att studien troligtvis inte haft möjlighet att ge en fullständig bild av området. En annan konsekvens av att ha använt bekvämlighetsurval är att lärarna i studien generellt sett presenterat en hög medvetenhet om de matematiska förmågorna. Intressant hade varit att identifiera och samtala med lärare som i mindre utsträckning har lyckats implementera förmågorna i sitt arbete. Ett tecken på att det finns mer information att uthämta i den aktuella kontexten är om det inte har uppstått en mättnad angående vad som förs fram i intervjuerna (Bryman, 2011). I denna studie återkom stora delar av samtalsämnena men det är troligt att ytterligare aspekter skulle lyftas fram om fler intervjuer genomförts. Detta var dock aldrig ett alternativ på grund av begränsad tid för arbetet. En annan viktig punkt att lyfta fram gällande tillförlitligheten är den roll personen som genomför en kvalitativ studie ofta intar. Vid intervjuerna är det intervjuaren som i stunden gör ett val av vilka följdfrågor som ska ställas. I den efterföljande dataanalysen görs sedan olika tolkningar av materialet. Detta betyder att om en studie upprepas av en annan part är det sannolikt att vissa skillnader skulle framträda. Jag som författare till denna uppsats har på grund av den urvalsmetod som använts dessutom någon form av relation till alla informanter i studien från min VFU-period. Målet har

(27)

27

konsekvent varit att detta inte ska påverka undersökningen men det är omöjligt att säga om jag helt har kunnat lägga undan tidigare erfarenheter i samband med analysen av intervjuerna.

5.4 Etiska aspekter

Vetenskapsrådet (u.å.) sammanfattar de forskningsetiska principerna inom humanistisk-samhällsvetenskaplig forskning under fyra huvudkrav med syfte att skydda individen; informationskravet, samtyckeskravet, konfidentialitetskravet och nyttjandekravet. För att säkerställa att denna studie förhåller sig till dessa fick de potentiella informanterna skriftlig information i samband med att de kontaktades med förfrågan om deltagande. I denna information presenterades syftet för studien. Lärarna fick veta att deltagande är frivilligt och att informanter när som helst har möjlighet att avbryta sin medverkan. De fick också veta att de uppgifter som samlas in endast kommer att användas till examensarbetet i fråga och att den data som används i uppsatsen avidentifieras för att bevara deltagarnas anonymitet i den mån det är möjligt. Samtycke säkerställdes genom att de lärare som tagit del av informationen och ville delta i studien kontaktade mig för att boka tid för en intervju. Slutligen informerades lärarna också om var uppsatsen kommer att publiceras och informanterna erbjöds en digital kopia via mail efter avslutat arbete. Alla informanter fick också godkänna att samtalen spelades in innan intervjuerna inleddes.

(28)

28

6. Resultat och analys

Det som har framkommit efter en kvalitativ innehållsanalys av de transkriberade intervjuerna presenteras i följande tre avsnitt. Det fjärde avsnittet försöker förstå hur utmaningar av olika slag samspelar i dess påverkan på en lärares planering och dess undervisning. Resultaten har kategoriserats i en del som handlar om hur lärarna arbetar med förmågorna, en som beskriver utmaningar som huvudsakligen uppstår på grund av de matematiska förmågornas roll i dagens läroplan samt en del som tar upp utmaningar som visserligen är relevanta i arbetet med förmågorna men som kan vara närvarande i undervisningen oavsett inriktning. Avgränsningen mellan de två sistnämnda är inte absolut men fungerar som ett sätt att skilja utmaningar med nära koppling till förmågorna från yttre begränsningar såsom ramfaktorer och liknande. Underkategorier och koder benämns inte uttryckligen utan förklaras i löpande text.

6.1 Hur lärare arbetar med förmågorna

Detta avsnitt har för avsikt att svara på frågeställningen om hur lärare arbetar med de matematiska förmågorna när de planerar och genomför undervisning. I intervjuerna framkom flera intressanta och detaljerade exempel på undervisning som på olika sätt stimulerar flera aspekter av matematisk kunskap. Resultatet kommer dock att presenteras på ett mer övergripande sätt, dels på grund av begränsat utrymme men framför allt för att fokusera på det som kan kopplas till syftet att öka kunskapen om varför vissa väljer en procedurinriktad undervisning.

Lärarna i studien presenterar de matematiska förmågorna för sina elever så att dessa känner till vad de behöver kunna och vad som ligger till grund för bedömningen av deras kunskap. Detta sker framförallt i början av en kurs men många pratar också om förmågorna löpande under läsåret. Lärarna tar också upp förmågorna i samband med prov och andra examinerande övningar. Vissa använder sig av bedömningsmatriser för att synliggöra elevernas prestationer inom var och en av de matematiska förmågorna medan andra nöjer sig med att prata om förmågorna på ett formativt sätt. Generellt sett menar lärarna i studien att eleverna inte behöver sätta sig in i förmågorna på ett djupare plan utan att detta är lärarnas ansvar. Det

(29)

29

framkom i intervjuerna att vissa har prövat att arbeta med bedömningsmatriser men av olika orsaker valt bort arbetssättet. En av orsakerna som nämnes var att eleverna, framförallt när Gy11 var ny, hade svårt att till fullo förstå systemet. Det poängterades också att arbetet med bedömningsmatriser av vissa upplevs som arbetsamt och tidskrävande. Oavsett vilka metoder lärarna har valt så är det uppenbart att eleverna får information om de matematiska förmågorna och att de bedöms med avseende på dem. Vad som dock varierar är hur medvetet lärarna arbetar med förmågorna utöver vid kursstarten och i samband med bedömning. Vissa arbetar kontinuerligt med förmågorna på ett aktivt sätt medan andra berör förmågorna på olika sätt utan att planeringen har det som primärt syfte. Följande citat kommer från olika lärare och visar på olika sätt att tänka:

• ”När jag gör terminsplaneringen så försöker jag alltid se till att jag täcker in alla förmågorna i det, för jag menar på att det finns olika sorters undervisning som gynnar de olika förmågorna.”

• ”Det är väldigt sällan som jag tänker i förmågor när jag planerar. När jag lägger upp ett avsnitt så tänker jag nog mer på omfattningen av avsnittet och hur mycket tid jag har på mig. Sen när jag kommer till undervisningen så kommer ofta förmågorna med.” • ”Alla förmågorna går in i varandra tänker jag, de hänger ju ihop. Det är klart att man måste tänka igenom det ibland så att man inte missar något men jag tänker nog egentligen mer i det här språkutvecklande sättet.”

• ”Så vill jag att undervisningen ska se ut hela tiden, att förmågorna så ofta som möjligt ska komma in, gärna många på en gång och gärna inte isolerat bara resonemang eller bara procedur, utan att man samkör förmågorna.”

Det finns också en lärare i studien som uttrycker att de matematiska förmågorna inte förekommer i arbetet på det sätt som läraren själv menar att de borde. Läraren förklarar detta med att det krävs mycket arbete och engagemang för att sätta sig in i förmågorna ytterligare och att det är svårt att motivera sig till det då personen endast kommer att arbeta som lärare i några få år till. Som citaten visar på så finns det många olika sätt att se på de matematiska förmågorna och de förekommer på olika sätt och i olika grad. Två huvuddrag att organisera undervisningen på framträdde i samtalen med lärarna. Ett sätt utgår från en grund där tavelpedagogiken är återkommande och utöver den genomförs olika typer av aktiviteter för att träna någon eller några matematiska förmågor specifikt. Tavelpedagogiken innehåller ofta

(30)

30

begrepp och procedurer men lärarna arbetar också med resonemang och kommunikation och strävar efter att eleverna ska vara aktiva och bidra. Aktiviteterna kan se ut på många olika sätt. En del skapas av läraren själv, en del plockas från läroboken och andra är inspirerade av uppgifter från andra källor. Det andra arbetssättet utgår från problemlösning och strävar efter att förmågorna ska samspela i så stor utsträckning som möjligt. Här kan procedurer och begrepp introduceras, inte bara via genomgångar utan också via problemlösningsuppgifter. Några av lärarna som arbetar efter det förstnämnda sättet menare snarare att begrepp och procedurer behöver behandlas först för att eleverna ska bygga upp grundläggande kunskaper och kunna arbeta med andra aktiviteter och förmågor på ett bra sätt.

Ett annat generellt drag från intervjuerna är att relevansförmågan sticker ut på olika sätt. Kunskapen om vad förmågan innebär och hur man kan arbeta med den verkar sämre än kunskapen om de övriga förmågorna. Flertalet hänvisar också till att relevansförmågan inte testas på de nationella proven, vilket kan bidra till att lärarna i lägre grad fokuserar på denna. Någon menar att den kommer med i undervisningen genom att man arbetar med annat men genomför ingen undervisning direkt riktad mot att träna förmågan. Någon annan beskriver ett aktivt arbete med förmågan, men först efter att de nationella proven har genomförts. Även modelleringsförmågan skiljer ut sig från övriga förmågor vid upprepade tillfällen och bilden som ges är att även denna behandlas i lägre grad. Exempel på utmaningar som har beskrivits med förmågorna tas upp i nästkommande avsnitt.

Lärarna framhäver i intervjuerna betydelsen av matematiklyftet och hur viktigt det kollegiala lärandet har varit för deras möjligheter att utveckla sin undervisning så att den i större utsträckning utvecklar elevernas samtliga matematiska förmågor. De betonar vikten av att tid avsätts för gemensamma diskussioner framförallt när en ny läroplan introduceras men också i det fortlöpande arbetet. De nationella proven tas upp som exempel på bra diskussionsunderlag för att lära mer om förmågorna i samband med kollegialt lärande. Framförallt verkar matematiklyftet ha bidragit till en ökad kunskap om förmågorna och hur man på konkreta sätt kan arbeta med dem i sin undervisning. Några av lärarna menar att det i princip är matematiklyftets förtjänst att de har kunnat förändra sin undervisning och att de har fått förutsättningar att arbeta enligt den nya läroplanen.

(31)

31

6.2 Utmaningar i arbetet med förmågorna

Undervisning som, i motsats till procedurinriktad sådan, behandlar en bredd av matematisk kunskap beskrivs som i större utsträckning förståelseinriktad. Lärarna i studien menar att förståelseinriktad undervisning behöver få ta tid för att ge ett bra resultat oavsett hur de har valt att arbeta med förmågorna. Det framkommer också att planeringen ofta tar längre tid för undervisning i form av aktiviteter eller med exempel som berör flera av de matematiska förmågorna. En lärare önskade en bank att kunna hämta bra aktiviteter ur. En annan påtalade dock att det tar tid att sätta sig in i någon annans material och efterfrågar i så fall avsatt tid för gemensam planering lärare emellan. Generellt anses begrepp och procedurer vara enklare att arbeta med än övriga förmågor. Dock betonar några lärare att undervisning om begrepp och procedurer också kan vara utmanande om strävan är att eleverna verkligen ska nå en djup förståelse för det de arbetar med. Ofta är lärarna mer vana vid och därmed tryggare i en undervisning som passar in på beskrivningen tavelpedagogik och som mestadels berör just begrepp och procedurer. Inget tyder dock på att lärarna nöjer sig med att arbeta med ytligare kunskaper inom dessa områden. Det framkommer av intervjuerna att lärarna har blivit mer och mer bekväma i undervisningen om fler matematiska förmågor med åren. Lärarna har behövt tid för att lära sig arbeta på nya sätt och för att samla på sig bra material.

Det har uppenbarat sig ett antal utmaningar som är kopplade till specifika matematikkurser. Framförallt är det Matematik 4 som flera lärare beskriver som mer utmanande med avseende på de matematiska förmågorna än andra. Dels innehåller kursen mycket stoff som ska behandlas på den tid som finns tillgänglig, något som tycks gälla även Matematik 2, dels är innehållet mer abstrakt. Det beskrivs som svårare att arbeta mot förmågorna när eleverna inte går på djupet i det aktuella centrala innehållet. Matematik 4 behandlar ofta innehåll som eleverna inte har tillräcklig kunskap om för att kunna förstå på ett djupare plan. Eleverna ska heller inte behöva kunna genomföra bevis och liknade kopplat till dessa områden. Kursen innehåller dessutom många olika områden med begränsad koppling till varandra vilket gör det svårare att stanna upp för att bearbeta kunskapen på olika sätt. Det påtalas att förmågorna ligger närmre varandra när innehållet blir mer abstrakt. Ytterligare en aspekt som framförs är att det är svårare att hitta bra och konkreta exempel samt att knyta an till elevernas vardagsförståelse. Det generella draget är alltså att det är svårare att arbeta med de matematiska förmågorna i högre kurser.

(32)

32

Förmågorna tycks enligt lärarna även ligga närmre varandra på E-nivå, och då framförallt modellering och procedurer samt problemlösning och procedurer. Någon menar att om en elev har begrepp och procedurer på E-nivå så har han eller hon ofta också vad som krävs för att klara av problemlösning, modellering, resonemang osv på samma nivå. Flera betonar hur det nationella provet bedömer att en elev har nått E inom kommunikation genom att kommunicera sina lösningar så att denne tar poäng inom andra förmågor på E-nivå. Det nationella provet innehåller också fler poäng inom begrepp och procedurer än övriga på E-nivå, en viktning som lärarna menar kan antyda att de förmågorna blir viktigare för att nå en godkänd nivå även om kunskapskraven inte är formulerade på ett sådant sätt. Ett annat exempel som kommer fram är svårigheten att konstruera en uppgift som tränar eller bedömer problemlösningsförmågan eller modelleringsförmågan på E-nivå som inte blir en procedur-uppgift. Det tycks alltså vara svårare att testa vissa förmågor på E-nivå.

Något annat som framkom tydligt i intervjuerna var att förmågorna är svåra att särskilja. Detta kan framförallt bli ett problem när det handlar om att bedöma elevernas kunskapsnivåer. Lärarna berättade att de gemensamt hade studerat provuppgifter från tidigare nationella prov men haft svårt att enas om vilka förmågor som uppgifterna testade. Det poängteras också att en uppgift ofta kan lösas på olika sätt och att en elev kan visa kunskap inom en förmåga medan en annan elev kan använda en annan förmåga för att lösa samma exempel.

Det framkommer inte bara skillnader i hur lätt eller svårt det är att arbeta med olika förmågor i olika kurser utan också på olika program. Exempelvis kan det vara svårare att hitta intressanta exempel för elever som läser det samhällsvetenskapliga programmet jämfört med elever på det naturvetenskapliga programmet. En lärare återberättar hur elever ofta väljer samhällsprogrammet för att de väljer bort matematiken på det naturvetenskapliga programmet och att dessa elever sällan uppvisar ett specifikt intresse för samhällsvetenskap. På det naturvetenskapliga programmet är det lättare att hitta relevanta uppgifter för modellering och annat, till exempel inom fysik och kemi. Lärarna berättar att det i och med att dessa klasser generellt sett är starkare inom matematik vad gäller intresse, motivation och förkunskaper också blir mer tid över samt enklare att arbeta med aktiviteter riktade mot de matematiska förmågorna. I svagare klasser räcker inte tiden till för att fördjupa förståelsen utan undervisningen kommer främst att behandla grundläggande kunskaper. Fokus blir att eleverna ska nå godkänt. Det är också svårare att få eleverna i svagare klasser att arbeta engagerat med

References

Related documents

Dock ingen större förändring från besiktningen 2013-10-25; utseendemässigt ingen skillnad mot Material nr 1.  Smutsigt utseende, bl a på grund av att folk rensar fisk längst ut

kompetens i matematik och skollagen (2010), som säger att eleverna ska ges den stimulans de behöver för sin personliga utveckling och kunskapsutveckling, bör lärare som inte

4.1.3 Är uppgifterna eller aktiviteterna som behandlas under lektionen framtagna så att eleverna får möjligheten till att utveckla de matematiska förmågorna.. Uppgifterna som

På tre av de resterande förmågorna (procedur, problemlösning och resonemang) bedöms respektive förmåga ha en hög överensstämmelse mellan en lärares beskrivningar och

Program Notes Program October 9, 2011 Suite #3 in C major BWV 1009 Prelude Allemande Courante Sarabande Bourree I, II Gigue Suite #1 in G major BWV 1007 Prelude

Målet med dagen är att ha en klar bild av vilka behov näringen har för att gå mot en framgångsrik och hållbar framtid och vad som behöver göras fram till 2025 för att

Även om det till exempel saknades problemlösningsuppgifter i den finska boken så kanske det finns fler möjligheter för eleverna att träna problemlösning med förslag eller

- Does straylight levels of windscreens cause reductions of driver detection distances to obstacles on the road in vehicle lighting.. This question should be answered for each of