Självständigt arbete I, 15 hp
Det brokiga bråket!
- En kvalitativ undersökning om elever med olika
härkomst beträffande deras användning av
representationsformer vid beräkning av bråk
Författare: Lisa Axelsson och Matilda
Sandberg
Handledare: Berit Roos Johansson ExaminatorTorsten Lindström Termin: HT17
Ämne: Matematikdidaktik Nivå: Avancerad
Det brokiga bråket!
- En kvalitativ undersökning om elever med olika härkomst beträffande deras använd-ning av representationsformer vid beräkanvänd-ning av bråk
The particoloured fraction!
- A qualitative study of pupils with different origin regarding their use of representation forms when calculating fractions
Abstrakt
Studien syftar till att undersöka elevers användning av matematiska representationsfor-mer inom området bråk. Studien syftar även till att undersöka vilka skillnader det finns mellan elever utifrån deras härkomst med avseende på deras val av representationsfor-mer. Datainsamlingen skedde genom användning av frågeformulär, observationer samt elevintervjuer. Samtlig datainsamling ägde rum på en mångkulturell skola i tre klasser i årskurs 6. Totalt deltog 53 elever vid datainsamlingens början, och därefter valdes tolv elever ut för vidare intervjuer. Utifrån dessa presenteras och används enbart sex elever i studien. Som utgångspunkt för resultatet har ett ramverk av olika representationsformer skrivits ihop.
Resultatet av datainsamlingen visar att ett flertal elever väljer att använda sig av en en kombination av olika representationsformer, medan andra föredrar att använda sig av enstaka. De mest förekommande representationsformerna är bild och symbol. Vidare talar resultatet att det inte finns några uppseendeväckande skillnader med avseende på användningen av representationsformer utifrån elevernas härkomst.
Nyckelord
Innehåll
1 Inledning __________________________________________________________ 1 2 Syfte ______________________________________________________________ 2 2.1 Frågeställningar _________________________________________________ 2 2.2 Förtydligande av begrepp _________________________________________ 2 3 Litteraturbakgrund _________________________________________________ 3 3.1 Bråk __________________________________________________________ 33.1.1 Bråk som del av helhet ________________________________________ 3
3.1.2 Bråk som del av antal _________________________________________ 4
3.1.3 Bråk som tal ________________________________________________ 4
3.1.4 Bråk som förhållande/proportion/andel ___________________________ 5
3.2 Beräkning av bråk inom addition och subtraktion _______________________ 5 3.3 Matematik för elever med utländsk bakgrund __________________________ 6 4 Teori ______________________________________________________________ 7 4.1 Representationsformer för bråk _____________________________________ 7 4.1.1 Verklighet __________________________________________________ 7 4.1.2 Laborativt material ___________________________________________ 8 4.1.3 Bild _______________________________________________________ 8 4.1.4 Symboler ___________________________________________________ 8 4.1.5 Språk ______________________________________________________ 9
4.2 Beräkning av bråk med olika representationsformer _____________________ 9
4.2.1 Lösning genom bild _________________________________________ 10
4.2.2 Lösning genom symboler _____________________________________ 10
4.2.3 Lösning genom språk/beskrivning ______________________________ 11
5 Metod ____________________________________________________________ 12 5.1 Datainsamlingsmetoder __________________________________________ 12 5.1.1 Frågeformulär/elevuppgifter __________________________________ 12 5.1.2 Observation _______________________________________________ 12 5.1.3 Intervjuer _________________________________________________ 12 5.2 Urval ________________________________________________________ 13 5.2.1 Datainsamlingen ____________________________________________ 13 5.2.2 Elevuppgifterna ____________________________________________ 13 5.2.3 Elevintervjuerna ____________________________________________ 13 5.3 Databearbetningsmetoder ________________________________________ 14 5.4 Procedur ______________________________________________________ 14 5.5 Etiska aspekter _________________________________________________ 15 6 Resultat och Analys ________________________________________________ 17
6.1 Vilka representationsformer använder eleverna för att lösa enkla uppgifter inom bråk? _____________________________________________________________ 17 6.1.1 Verklighet _________________________________________________ 17 6.1.2 Bild ______________________________________________________ 18 6.1.3 Symbol ___________________________________________________ 18 6.1.4 Språk _____________________________________________________ 19
6.1.5 Kombination av flera representationsformer ______________________ 19
6.1.6 Analys ____________________________________________________ 20
6.2 Hur skiljer användningen av representationsformer sig åt mellan elever med utländsk bakgrund och elever med svensk bakgrund? _______________________ 20
6.2.1 Uppgift 8 __________________________________________________ 21 6.2.2 Uppgift 10 _________________________________________________ 22 6.2.3 Uppgift 11 _________________________________________________ 23 6.2.4 Analys ____________________________________________________ 24 7 Diskussion ________________________________________________________ 25 7.1 Metoddiskussion _______________________________________________ 25 7.2 Resultatdiskussion ______________________________________________ 26 7.3 Förslag på fortsatt forskning ______________________________________ 26 8 Referenser ________________________________________________________ 28 9 Bilagor ____________________________________________________________ I 9.1 Bilaga A – Samtyckesblankett _______________________________________ I 9.2 Bilaga B - Elevuppgifter ___________________________________________ I 9.3 Bilaga C - Observationsschema ____________________________________ IV
1
Inledning
Det är ingen nyhet att mångkulturalitet blir allt vanligare i svenska skolor. Som framtida yrkesverksamma lärare är det således av stor vikt att ha kunskap i hur undervisningen bör genomföras för att alla elever oavsett bakgrund ska få ett likvärdigt utbyte av den. Vad gäller ämnet matematik har vi under våra verksamhetsförlagda utbildningar upp-märksammat att elever med utländsk bakgrund ibland separerats från övriga klassen och arbetat med annat material under matematiklektionerna. Vi har utifrån de iakttagelserna utvecklat en nyfikenhet i att undersöka hur användningen av representationsformer skil-jer sig åt mellan elever med svensk bakgrund respektive elever med utländsk bakgrund. Det är ett välkänt fenomen att den konventionella undervisningen inom bråk medför svårigheter och missuppfattningar hos många elever (Eriksson & Eriksson, 2016:7). Av den orsaken anser vi att det är nödvändigt att fördjupa oss i olika representationsformer inom det specifika området för att i slutändan kunna ge alla elever oavsett kunskapsnivå och bakgrund, en individanpassad undervisning.
Ytterligare en orsak till att vi valt att fokusera på bråk är att det är ett matematiskt om-råde som eleverna inte använder lika frekvent i vardagen som de gör med bland annat decimaltal (Karlsson & Kilborn, 2015a; McIntosh 2008). Trots den begränsade använd-ningen av bråk i vardagen benämns ändå kunskapen under det centrala innehållet i den aktuella läroplanen (Skolverket, 2011). Bråkräkning, likt många andra områden inom matematiken är dessutom en grundkunskap eleverna behöver ha med sig för att kunna förstå kommande delar inom bland annat algebra och funktionslära (İskenderoğlu, 2017; Skolverket, 2017; Karlsson & Kilborn, 2015a; Loewenberg Ball m.fl. 2005). Enligt vår uppfattning är området bråk således särskilt viktigt för eleverna att få goda kunskaper i redan under mellanstadiet.
Vi har valt att genomföra studien i par eftersom den ena av oss har interkulturell inrikt-ning samt har genomfört merparten av de verksamhetsförlagda utbildinrikt-ningarna i mång-kulturella skolor, medan den andra av oss har större inblick i skolor som främst innefat-tar elever med svensk bakgrund. Det medför att vi har två olika fokusområden som kan vara intressanta att jämföra med varandra. En annan aspekt som främjar att denna studie genomförs i par är att vi har olika uppfattningar om hur beräkningar av bråk enklast löses, det vill säga vilka representationsformer vi själva föredrar att använda. Med detta i åtanke kan vi förhoppningsvis enklare förstå de olika representationsformerna eleverna väljer att använda, och följaktligen blir rimligen det insamlade materialet lättare att tolka.
2
Syfte
Syftet är att undersöka vilka representationsformer elever med svensk bakgrund, respek-tive elever med utländsk bakgrund i årskurs 6 använder för att lösa enkla uppgifter inom bråk, samt hur användningen skiljer sig åt.
2.1
Frågeställningar
Studien kommer utgå ifrån följande frågeställningar
• Vilka representationsformer använder elever för att lösa enkla uppgifter inom bråk?
• Hur skiljer användningen av representationsformer sig åt mellan elever med ut-ländsk bakgrund och elever med svensk bakgrund?
2.2
Förtydligande av begrepp
I studien förekommer begreppet enkla bråk, vilket till exempel syftar på tal som 1/n där n är lika med ett positivt heltal. De inkluderade räknesätten är addition och subtraktion. Ett annat begrepp som kan behöva definieras ytterligare är elever med utländsk
bakgrund, vilket i denna studie syftar till elever som har anknytning till andra länder än
Sverige. Förslagsvis genom att antingen själva vara födda i ett annat land än Sverige, alternativt ha minst en förälder som är utlandsfödd (Lahdenperä, 1997).
3
Litteraturbakgrund
Följande avsnitt kommer att behandla tidigare litteratur som är relevant för denna stu-die. Bland annat diskuteras olika sätt att se på bråk, olika representationsformer för att lösa uppgifter inom bråk samt vad som redan finns studerat med avseende på elever med utländsk bakgrund inom matematikämnet.
3.1
Bråk
Bråk är som tidigare nämnts ett matematiskt område som inte används lika frekvent i elevers vardagsliv i jämförelse med bland annat tal uttryckta i decimal- och procentform (Karlsson & Kilborn, 2015a; McIntosh, 2008). Det är emellertid flera forskare (McIn-tosh, 2008; İskenderoğlu, 2017; Karlsson & Kilborn, 2015a; Löwing 2008) som är överens om att förståelse för bråk är en grundförutsättning för att elever senare ska kunna tillägna sig kunskaper inom algebra och följaktligen en grundläggande kunskap för att utvecklas inom matematikämnet.
Inom bråk finns det fyra grundläggande aspekter att förhålla sig till (McIntosh, 2008; Löwing, 2008). Den första innebär att samtliga delar måste vara lika stora för att de ska kunna uttryckas som bråkdelar. Vidare ska bråk även bestå av en nämnare som visar hur många delar helheten har delats i, samt en täljare som visar hur många delar av nämna-ren, det vill säga helheten, som finns. Avslutningsvis är det nödvändigt att förstå att ju fler delar helheten är delad i, desto mindre blir varje bråkdel (McIntosh, 2008). Nedan visas ett förtydligande till påståendet genom bild.
Figur 1: En tredjedel i jämförelse med en fjärdedel. En visuell bild av bråket visar tyd-ligt att en tredjedel utgör en större bråkdel än vad en fjärdedel gör. Bild av Matilda Sandberg.
Det är viktigt att tillämpa olika representationsformer vid beräkning av bråk vid under-visning av elever eftersom dessa utvecklar och fördjupar förståelsen av bråk (İsken-deroğlu, 2017). Utöver att tillämpningen av olika representationsformer fördjupar för-ståelsen av bråk bidrar den även till konkretion som eleverna har användning för vid vidare utveckling av matematik (Kilborn, 2014).
Nedan ges en beskrivning av bråkets olika ansikten. För att förståelse för bråk som pro-portionalitet, förhållande eller antal ska kunna utvecklas, måste tidigare kunskap inom bråk som del av helhet, del av antal samt bråk som tal vara befäst (Charalambous & Pitta-Pantazi, 2007).
3.1.1 Bråk som del av helhet
Bråk som del av helhet är det eleverna i störst utsträckning har stött på utanför skolans matematik (Malmer, 2002). Rimligtvis har eleverna stött på området när de delat upp
exempelvis en pizza, tårta, chokladkaka eller vetelängd med en kompis eller någon fa-miljemedlem så varje bit varit lika stor. En viktig aspekt att befästa hos eleverna med avseende på bråk som helhet är att storleken av delen är helt beroende av det man tagit delen från (Karlsson & Kilborn, 2015a). Till exempel, om det skulle finnas en tårtlängd och det är fyra vänner som ska dela lika på den, får de en större bit till skillnad från om det skulle varit sex stycken vänner som skulle dela på en lika stor tårtlängd.
Figur 2: En illustration av hur fördelningen av en tårtlängd ser ut vid fyra respektive sex vänner då alla ska ha en lika stor bit av helheten. Bild av Matilda Sandberg. 3.1.2 Bråk som del av antal
Att låta elever arbeta med bråk som del av antal skapar en bra grund för fortsatt mate-matikinlärning eftersom det är nära anknutet till division och faktorisering (Kilborn, 2014). Ett exempel på hur detta går till kan vara genom att utgå från talet 24. Talet 24 kan bland annat faktoriseras till 64 eftersom 246=4 och 244=6. På samma sätt går det även att faktorisera 24 till 83 samt 212. Vilka faktorer som används beror på hur stor del av antalet som ska plockas ut. Ska 24 delas upp i fjärdedelar eller sjättedelar används vid faktoriseringen 64. Ska 24 istället delas upp i tredjedelar eller åttondelar är faktori-seringen 83 lämpligare att använda sig av.
Figur 3: En sjättedel respektive en fjärdedel av 24 uppdelat i faktorerna 46. Bild av Matilda Sandberg, influerad av Karlsson och Kilborn (2015a).
Figur 4: En tredjedel respektive en åttondel av antalet 24 uppdelat i faktorerna 38. Bild av Matilda Sandberg, influerad av Karlsson och Kilborn (2015a).
3.1.3 Bråk som tal
Att arbeta med bråk som ett tal är någonting som i dagens skola vanligtvis prioriteras bort (Karlsson och Kilborn, 2015a). Det resulterar i att många elever länge går med
upp-fattningen om att det inte finns några tal mellan exempelvis ½ och ¼ (Karlsson & Kil-born, 2015a).
Tallinjen kan vara ett bra redskap vid arbete med bråk som tal eftersom det markerar att det finns något mellan bråken ¼ och ½ genom att ett tomrum visas mellan uttrycken (İskenderoğlu, 2017).
Figur 5: Tallinje med markerade fjärdedelar. Mellan varje fjärdedel är det ett tom-rum som visar att det finns ytterligare tal som inte är utmarkerade. Bild av Matilda Sandberg.
3.1.4 Bråk som förhållande/proportion/andel
Ibland uppträder inte bråkuttrycket som ett tal utan som en proportion, andel eller som ett förhållande mellan två olika enheter (Löwing & Kilborn, 2002). När uttrycket påvisar en proportion bör det noteras att det inte kan räknas som ett tal förrän man angivit vad proportionen tagits ifrån. Detta kan exemplifieras med hjälp av proportionen ⅖ ≠ ⅕ + ⅕ eftersom proportionen ⅖ är detsamma som 40 % av en helhet eller antal, medan ⅕ i detta sammanhang är detsamma som talet 0,2 (Löwing & Kilborn, 2002). Skulle uttrycket istället uppträda som ett förhållande står täljaren och nämnaren för två olika enheter. Ett exempel på det kan vara 3 kg sand för 15 kronor, vilket ger ett kilopris på 15/3 kronor (Löwing & Kilborn, 2002). Vid ett sådant tillfälle kan ett bråk ses som ett resultat av en division av x/y, där x och y är heltal och står för olika enheter (Chara-lambous & Pitta-Pantazi, 2007).
3.2
Beräkning av bråk inom addition och subtraktion
För att det ska vara möjligt att genomföra beräkningar av bråk inom addition och subtr-aktion krävs vissa förkunskaper, däribland kunskaper i vad som utgör ett bråk (Löwing, 2008). Eleverna måste exempelvis veta nämnarens respektive täljarens innebörd samt att ett bråk kan skrivas på många olika sätt. Först efter de kunskaperna befästs kan ele-ver börja addera, subtrahera samt även jämföra olika bråk med varandra (Löwing, 2008).
Ytterligare en regel elever bör känna till vid beräkning av bråk är att man enbart kan bara addera och subtrahera bråk som har samma nämnare (Löwing, 2008). Vid addition av lika nämnare, exempelvis ⅖ + ⅕ är det antalet femtedelar som ska adderas, vilket i detta fall är 2 + 1 och således ger tre femtedelar. Denna typ av beräkning beskrivs på följande sätt av Löwing (2008:256):
Subtraktion mellan bråk med lika nämnare genomförs på liknande sätt.
Om additionen eller subtraktionen istället innehåller två bråk med olika nämnare behöver eleverna känna till att bråk kan skrivas på många olika sätt innan själva
beräkningen eller jämförelsen kan genomföras (Löwing, 2008). Vid jämförelse av bråken ¾ och ⅗ är det enklast om eleverna provar sig fram genom att skriva:
Gör eleverna på rätt sätt bör de komma fram till att båda ovanstående bråk kan skrivas om i tjugondelar. När de två uttrycken nu har lika nämnare går det att jämföra dem och det framgår tydligt att 15/20 (¾) är större än 12/20 (⅗). Det går även att genomföra en beräkning av bråken när de har lika nämnare oavsett om det avser en subtraktion eller addition.
Elever ska kunna använda sig av algoritmerna för de fyra olika räknesätten samt förstå hur de är uppbyggda och fungerar eftersom vissa algoritmer inom matematiken är så pass fundamentala att de måste behärskas med automatik. Det räknesätt som ligger närmast området bråk är division (Loewenberg Ball m.fl., 2005).
3.3
Matematik för elever med utländsk bakgrund
Det är fastställt att elever med utländsk bakgrund, i synnerhet elever med utländsk bak-grund som invandrat efter ordinarie skolstart uppnår lägre resultat i matematik än elever med svensk bakgrund (Skolverket, 2016). Det är inte konstigt eftersom dessa elever i genomsnitt får färre år på sig att uppnå samma mål i skolan som de elever som genom-gått samtliga år i grundskolan. Den svenska skolan har idag en omfattande uppgift vad gäller undervisning eftersom alla elevers olika behov måste tillgodoses (Skolverket, 2016).
Vid undervisning av elever med utländsk bakgrund är det ett vanligt förekommande fenomen att lärarna uppfattar det som att eleverna inte har tillräckligt med centrala be-grepp eller erfarenheter för att kunna tillägna sig den matematiska undervisning de får (Rönnberg & Rönnberg, 2001). Detta kan ha sin grund i att elevernas begrepp och erfa-renheter istället är anknutna till annat språk och andra kulturella skillnader. Rönnberg & Rönnberg (2001) anser att skolan bör lägga resurser på kompetensutveckling hos yrkes-verksamma lärare för att alla elevers olika förmågor och behov ska få möjlighet att bli tillgodosedda. För att detta ska kunna uppnås är det viktigt att kompetensutvecklingen förändrar lärarnas attityder och förutfattade meningar kring elever med utländsk bak-grund.
4
Teori
I följande avsnitt behandlas de bärande begrepp som studien grundar sig i. Det börjar med en presentation av olika representationsformer som används inom området bråk och fortsätter med exempel på hur ett urval av dessa kan användas vid beräkning av bråk inom addition och subtraktion. Innehållet i detta avsnitt används vidare i kapitel sex vid analys av studiens resultat i avseende på de representationsformer som används i elevlösningarna.
4.1
Representationsformer för bråk
I enlighet med Karlsson och Kilborn (2015b) går det att konstatera att matematik är en abstrakt vetenskap. En lärare behöver följaktligen lägga mycket fokus på att konkreti-sera hur, när, var och varför man använder olika sorters beräkningsmetoder. Författarna menar även att en konkretisering inte enbart innefattar laborativt material utan inklude-rar även de tillfällen läinklude-raren står framme vid tavlan och exempelvis ritar en cirkel inde-lad i fjärdedelar. Karlsson och Kilborn (2015b) poängterar att konkretiseringar alltid ska leda till att eleverna kan abstrahera uppgifterna och lösa dem på ett formellt sätt. Det påståendet styrks av Piaget (i Häggblom, 2013) som menar att ett abstrakt tänkande vanligtvis kommer från “konkreta erfarenheter” (s. 29).
Tillämpning av olika representationsformer är av stor vikt när eleverna ska lära sig nya matematiska begrepp eftersom de utgör en mer nyanserad bild (Sveider, 2016).
Nedan presenteras en sammanfattande tabell över olika representationsformer som kan användas inom bråk.
Figur 6: En sammanställande tabell av de olika representationsformerna för bråk. Bild av Matilda Sandberg, influerad av Häggblom (2013).
4.1.1 Verklighet
För att beskriva vad som menas med vardagskunskaper kan man utgå från två olika sätt. Det första sättet omfattar kunskaper och erfarenheter eleverna förvärvat utanför skolan.
Det andra sättet innefattar snarare vardagskunskap som sådana matematiska kunskaper eleverna förvärvar i skolan och sedan applicerar i vardagen som till exempel vid köp av produkter på rabatt (Wistedt, 1990). Vid sådana tillfällen står oftast rabatten uttryckt i procent. I den här studien ligger fokus på att se i vilka sammanhang eleverna använt tal uttryckta i bråk med avseende på verklighet, exempelvis när de delat upp godisbitar eller delat på en pizza.
4.1.2 Laborativt material
Det är vanligt förekommande att lärare för mellanstadieåldrarna inte använder sig av laborativt material i undervisningen. Orsaken till det är bland annat att vissa lärare är rädda att eleverna ska tycka arbetssättet är barnsligt, samt att de inte känner sig tillräck-ligt kunniga inom området (Malmer, 2002). Trots detta betonas vikten av konkretion inom det matematiska ämnet, särskilt när det gäller elever i matematiksvårigheter ef-tersom dessa ofta har en svag abstraktionsförmåga. Det är emellertid viktigt att poäng-tera att det inte är materialet i sig som leder till lärande utan snarare det sätt läraren pre-senterar och använder tillgångarna (Szendrei, i Karlsson & Kilborn, 2015b).
Det laborativa arbetssättet har en historia som sträcker sig långt tillbaka i tiden (Sveider, 2016). En av de som redan under 1600-talet betonade att elever skulle använda sig av fysiska eller bildliga redskap, från verkligheten och sina egna sinnen under matematik-lektionerna var den omtalade pedagogen Comenius. Idag anses dessutom laborativa material i matematikämnet vara motiverande och utmanande för elever i skolan (Svei-der, 2016).
4.1.3 Bild
Malmer (2002) talar både positivt samt negativt om att läraren illustrerar bråk med hjälp av “tårtbitar” och rutnät. Författaren menar att det är lätt hänt att eleverna fixerar sig vid formerna för exempelvis en fjärdedel och en halv när man använder “tårtbitar” och vid illustration med hjälp av rutnät förekommer det att eleverna inte förstår att de skuggar en del av en helhet, utan istället skriver den skuggade delen som täljare och den återstå-ende delen som nämnare. Innan man börjar använda sig av bild i undervisningen är det viktigt att eleverna först kan hitta och förstå sambandet mellan text och bild. Har inte eleverna kunskaperna de behöver för att kunna använda innehållet i text eller bild, kan konsekvensen bli att de fokuserar mer på det estetiska (Hammill, 2010).
4.1.4 Symboler
Den symboliska representationsformen är den mest abstrakta utav de fem som presente-ras i detta avsnitt. Vid beräkning av bråk med olika nämnare som till exempel talen i figur 7, skrivs formeln på följande sätt:
(Löwing, 2008)
(Sollervall, 2015)
En konkretisering med hjälp av symboler kan ske genom att bryta bråkuttrycket på sät-tet som visas nedan.
Några av målen med undervisningen är att utveckla elevernas beräkningsförmåga samt resonera och argumentera matematiskt med hjälp av matematiskt symbolspråk (Skol-verket, 2011; SOU, 2007:28).
För att elever ska kunna utföra korrekta beräkningar av de slag som illustreras ovan är det nödvändigt att de har vissa förkunskaper kring användandet av bland annat likhets-tecknet. En del elever tänker inte på att likhetstecknet visar på en relation mellan höger och vänster led, det vill säga att tecknet betyder lika mycket som (Falkner, Levi & Car-penter, 1999).
4.1.5 Språk
Språk som representationsform innebär att eleverna använder sig av korrekta matema-tiska begrepp inom det område de arbetar med, vilket i det här fallet innefattar området bråk (Häggblom, 2013). Vid användning av denna representationsform ska eleven följaktligen kunna läsa ut exempelvis “En fjärdedel plus två fjärdedelar är lika med tre
fjärdedelar” samt med hjälp av såväl det skriftliga som det muntliga språket kunna
formulera sig hur hen löser uppgiften. Språk som representationsform kan även vara behjälplig för att elever ska förstå det som händer vid beräkning av bråk inom addition och subtraktion eftersom de under processen själva namnger bråktalens benämningar (Häggblom, 2013).
4.2
Beräkning av bråk med olika representationsformer
Att beräkna bråk inom addition och subtraktion har både sina likheter och olikheter med addition och subtraktion av naturliga tal (Häggblom, 2013). När man adderar eller sub-traherar naturliga tal som till exempel talen 3 och 1 svarar man på frågan hur många av någonting är, medan samma räknesätt av bråk snarare svarar på frågan hur stor del av eller hur många delar av en helhet eller av antal någonting är. Har man till exempel 3 adderat med 1 är det lika med antalet 4, liksom 3 subtraherat med 1 är lika med antalet 2. Om man istället adderar 1/4 med 2/4 har man tagit reda på att det är lika med 3/4. Man adderar således delar av en helhet istället för flera hela (Häggblom, 2013). En van-lig missuppfattning bland elever vid beräkning av bråk är just att de hanterar täljare och nämnare som skilda tal (Häggblom, 2013). Nedan presenteras en textuppgift som be-handlar bråk. Uppgiften går att lösa med hjälp av åtminstone tre representationsformer vilka är bild, symboler och text. Dessa representationsformer redogörs i olika underru-briker.
Figur 7: Påhittad textuppgift av Lisa Axelsson, influerad av Häggblom (2013). 4.2.1 Lösning genom bild
Figur 8: Uträkning genom bild. Den första cirkeln representerar Linns pizzabit, den andra cirkeln illustrerar Josefinas. Cirkeln till höger om likhetstecknet representerar den totala mängden de ätit och den vita biten är alltså det som är kvar av pizzan, vil-ket motsvarar ¼. Bild av Lisa Axelsson, influerad av Häggblom (2013).
4.2.2 Lösning genom symboler
Figur 9: Abstrakt lösning i form av symboler. Uträkningen börjar med att hitta den gemensamma nämnaren och fortsätter med en addition av bråken. Avslutningsvis genomförs en subtraktion mellan pizzan som helhet och det som Josefina och Linn tillsammans ätit. Då får man fram det som är kvar, vilket är ¼. Lösning av Lisa Ax-elsson, influerad av Häggblom (2013).
4.2.3 Lösning genom språk/beskrivning
Figur 10: Lösning av uppgift genom detaljerad beskrivning av hela processen. Sva-ret är även här ¼. Lösning av Lisa Axelsson, influerad av Häggblom (2013).
5
Metod
I följande avsnitt redogörs tillvägagångssätt för datainsamling samt metodval. Först presenteras de olika datainsamlingsmetoder som använts i studien. Därefter följer en redovisning av de urval som utförts. I kapitlet presenteras även tillämpade databearbet-ningsmetoder, proceduren samt de etiska aspekter vi förhållit oss till.
5.1
Datainsamlingsmetoder
Datainsamlingen genomfördes utifrån tre olika metoder vilket benämns som
metodtri-angulering (Stukát, 2011). Det innebär att man inom samma undersökning kombinerar
olika sätt att samla data vilket möjliggör en djupare och mer nyanserad bild av fråge-ställningarna vid analys. En kombination av flera metoder ökar även validiteten ef-tersom möjligheten att bekräfta resultatet är större om man ser på det utifrån olika aspekter (Denscombe, 2000). De metoder som användes i datainsamlingen var elevupp-gifter, observationer samt elevintervjuer.
5.1.1 Frågeformulär/elevuppgifter
I studien var en av datainsamlingsmetoderna ett frågeformulär innehållande matema-tiska uppgifter som eleverna fick lösa. Användningen av frågeformulär berodde dels på det stora antalet respondenter samt att behovet av interaktion ansikte mot ansikte inte fanns (Denscombe, 2000). Eftersom frågeformuläret inte var utformat som en enkät var detaljerna i formuläret anpassade efter studiens frågeställningar. För att inte omfånget ska bli för stort har enbart frågor som är relevanta för studien ställts (Denscombe, 2000).
Genom studiens gång har hänsyn tagits till de forskningsetiska aspekterna och därför godkändes frågeformuläret samt elevernas deltagande av såväl lärare som föräldrar. En djupare genomgång av de forskningsetiska principerna går att hitta under avsnitt 5.5. 5.1.2 Observation
Observationen genomfördes under tiden eleverna löste uppgifterna och var en så kallad systematiskt observation (Denscombe, 2000). Avsikten med observationen var följaktli-gen inte att hjälpa eleverna i deras lösningsprocess, utan snarare avsedd för att observera händelser i klassrummet.
Eftersom observationen skulle genomföras i flera klasser och risken för variationer var hög, skrevs ett observationsschema ihop (se Bilaga C) där punkterna fokuserade på händelsernas frekvens (Denscombe, 2000). Denna typ av observation kallas för
Obser-vation av viktiga händelser (Johansson & Svedner, 2010). 5.1.3 Intervjuer
Denna insamlingsmetod syftade till att få en djupare och bredare inblick i elevernas tankegångar (Denscombe, 2000). Även om många av de skriftliga lösningarna i sig gav en relativt tydlig bild över hur respektive elev löst uppgifterna fanns det inte tillräckligt med utrymme till en vidareutveckling av deras tankegångar, och eleverna kunde inte heller ändra sina svar om de inte fick ett uppföljande tillfälle att göra det. I många fall används intervjuer för att följa upp andra metoder, vilket även var fallet i denna studie. Intervjuerna användes således som en vidare utveckling av den skriftliga datainsamling-en (Ddatainsamling-enscombe, 2000).
Intervjuerna som genomfördes med eleverna var semistrukturerade. Denna struktur pas-sade studiens ändamål bäst eftersom den innebär att intervjuaren kan förbereda ett frågeformulär som för samtalet i rätt riktning samtidigt som den ger utrymme för indi-vid- samt situationsanpassade följdfrågor (Denscombe, 2000).
5.2
Urval
Vid behandling av materialet användes två olika urvalsmetoder vilka var klusteruval samt subjektivt urval (Denscombe, 2000). Klusterurvalet kom till väl användning när valet av skola skulle göras. Dels fanns den relevanta gruppen elever tillgänglig på sko-lan eftersom den var mångkulturell, och dels låg skosko-lan på lämpligt avstånd med datain-samlingens tidsbegränsning i åtanke. Den andra metoden, subjektivt urval, användes när valet av elever att intervjua skulle göras. Då det fanns en kännedom avseende elevernas härkomst underlättade det selektionen.
5.2.1 Datainsamlingen
Datainsamlingen skedde på en F-6 skola, centralt belägen i en mindre stad i sydvästra Sverige. Uppgifterna genomfördes i tre årskurs sex-klasser på sammanlagt 53 elever. Den kulturella bakgrunden var synnerligen differentierad. I en klass hade ungefär hälf-ten av eleverna utländsk härkomst, medan en annan klass hade majoritehälf-ten av elever svensk härkomst. Sammanlagt var det tre stycken som var nyanlända, varav två hade kommit bara någon vecka tidigare och aldrig förr gått i en svensk skola. Skolan valdes ut huvudsakligen med den mångkulturella aspekten i åtanke, samt att ingen av oss hade någon direkt anknytning till varken skolan eller eleverna. Ingen av oss hade således nå-gon bekantskap till informanterna som kunde leda resultatet in i en särskild riktning. 5.2.2 Elevuppgifterna
De matematikuppgifter eleverna blev tilldelade att lösa var till största del antingen di-rekt kopierade eller influerade från Skolverkets Diamantdiagnos (2017) inom rationella tal. Anledningen till att många av uppgifterna valdes från specifikt Diamant (Skolver-ket, 2017) är både att diagnosen har sin grund i rådande läroplan, samt att tiden inte rik-tigt räckte till att konstruera helt egna uppgifter som skulle omfatta denna studies om-råde.
I åtanke att några elever kunde ha stött på uppgifterna tidigare valdes det dock att göra vissa ändringar i ett antal uppgifter så eleverna oavsett var tvungna att tänka nytt. Origi-nalet i Diamantdiagnosen (Skolverket, 2017) innehöll dessutom inte en enda uppgift som uppmanade eleverna att visa hur de tänkte i sina lösningar, vilket motsäger Denscombe (2000) om frågornas relevans. För att kunna svara på samtliga frågeställ-ningar valde vi således att även komplettera diagnosens uppgifter med en egenformule-rad textuppgift som gav utrymme till flera olika lösningsförslag samt uppmuntegenformule-rade ele-verna att beskriva sina tankegångar.
De elva uppgifter som eleverna blev tilldelade att lösa behandlade både taluppfattning och beräkning av enkla bråk. Exempel på dessa var bråk som del av en helhet samt del av ett antal.
5.2.3 Elevintervjuerna
Intervjuerna skedde med ett urval av de elever som utifrån vår tolkning hade mest ut-märkande lösningar. Det huvudsakliga syftet med studien är inte att ta reda på vilken representationsform som används mest frekvent, utan snarare vilka olika
representat-ionsformer elever föredrar. Valet av elevintervjuer rangordnades följaktligen utifrån lösningarnas säregenhet. Dessutom påverkade elevernas bakgrund urvalet i stort ef-tersom studiens syfte var att jämföra elever med svensk härkomst med avseende på de-ras användning av representationsformer i förhållande till elever med utländsk härkomst och deras användning av representationsformer. Det var följaktligen viktigt att få en så jämn fördelning som möjligt i datainsamlingen.
Efter transkribering gjordes emellertid ännu ett urval som ledde till att enbart sex elever av de ursprungliga tolv intervjuade eleverna användes i studien då resultatet av dessa var mest ändamålsenliga i förhållande till studiens syfte.
5.3
Databearbetningsmetoder
Eftersom en av metoderna som användes vid datainsamlingen var intervju genomfördes även en intervjuutskrift av relevant material. Intervjuutskrifter är en god tillgång ef-tersom de “väcker samtalen till liv igen” (Denscombe, 2000:155). Dessutom är materi-alet enklare att analysera i skriftform än i form av ljudupptagning. Alla inblandade, så-väl elever som intervjuare, har kodats om. Samtliga elever har fått koden elev, följt av en siffra samt antingen ett S eller U, beroende på om eleven har svensk eller utländsk bakgrund. Vi som genomför studien har betecknats med S1 och S2 som står för student. I resultat och analys har svaren i intervjuerna citerats för att styrka resonemang och handlingar. De har däremot inte använts som bevis (Denscombe, 2000). Vid citering bör fingerade namn användas ifall inte den intervjuade godkänt användandet av verkligt namn (Denscombe, 2000). Eftersom intervjuutskrifterna har kodats är således citaten i den här studien fingerade och garanterar anonymitet.
Eftersom studien är av kvalitativ karaktär bör det påpekas att vi, genomförare av stu-dien, kan ha haft en inverkan på elevernas svar vid intervjutillfällena eftersom vi kan ha lett dem in på särskilda tankebanor beroende på tonläge och liknande (Denscombe, 2000).
5.4
Procedur
När arbetets syfte och frågeställningar var fastställda skickade vi ut ett mejl till fyra rek-torer i fyra olika skolor som vi visste hade både mångkulturell inriktning samt den års-kurs som var ämnad att undersöka. I mejlet framkom vår studies syfte och de metoder vi tänkt använda oss av i datainsamlingen. Av de fyra som kontaktades var det en rektor som förde vidare informationen till en av matematiklärarna på skolan som i sin tur hörde av sig till oss redan samma dag. Den läraren blev snart vår kontaktperson och var mycket behjälplig under hela datainsamlingsprocessen.
Så snart det blev bestämt att ovanstående skola kunde ta emot oss skrev vi tillsammans ihop en samtyckesblankett (se bilaga B) som sedan mejlades till den lärare som från första början hört av sig till oss. Läraren var vänlig nog att skriva ut brevet åt oss och såg dessutom till att samtliga elever i årskurs sex fick hem blanketten för underskrift av vårdnadshavare.
Fyra dagar efter samtyckesblanketten skickats ut via mejl åkte vi till skolan för ett första besök. Dagarna innan besöket hade vi fixat i ordning häften med relevanta uppgifter samt fått klartecken av vår handledare gällande innehållet. Vi hade även gjort i ordning ett enklare observationsschema som genomgick vissa ändringar på plats.
Under själva besöket presenterade vi oss för såväl berörda lärare som elever och förkla-rade muntligt vad besöket var ämnat för. Eleverna fick även tillfälle att ställa frågor, vilket somliga valde att göra. När inga elever verkade ha några funderingar kvar blev de ombedda att genomföra uppgifterna, och eftersom nivån var ganska ojämn fick de i uppgift att ta upp bänkboken när de var klara. En del elever slutförde uppgifterna på bara några få minuter, medan andra behövde över en halvtimme på sig att genomföra häftet på grund av bland annat språkliga brister. Ett par av de som satt kvar längst var nyanlända och var tvungna att använda en Ipad för att översätta uppgifterna till deras modersmål.
Innan eleverna började göra uppgifterna visade vi vart de laborativa materialet fanns att hämta och nämnde även att de mer än gärna fick ta hjälp av det. Det som fanns till hands var bland annat bråkcirklar i olika stora delar samt bråkbitar. Linjal hade varje elev i sin bänk.
Efter det första besöket undersöktes samtliga elevlösningar grundligt och vi valde däref-ter ut de mest representativa eleverna för vår studie som var aktuella för indäref-tervju. Några dagar därpå togs återigen kontakt med läraren på skolan som då hjälpte oss att kategori-sera eleverna efter deras bakgrund, och vi lyckades strax därpå få ihop lika många ele-ver med utländsk härkomst som eleele-ver med svensk härkomst av de som valts ut för in-tervju. Sammanlagt valdes tolv elever ut, men enbart sex av dessa används i studien. Eftersom en av de utvalda eleverna var nyanländ och inte hade varit i Sverige mer än några veckor var vi dock i behov av någon som kunde översätta/tolka åt oss för att in-tervjun skulle vara möjlig att genomföra. Även detta såg läraren till att ordna inför det andra besöket som skedde exakt en vecka efter det första tillfället.
När det var dags för intervjuerna presenterade vi oss återigen och förklarade noggrant hur samtalet skulle genomföras. Vi talade om att intervjun skulle spelas in, men att ing-en annan än vår handledare och examinator skulle få ta del av samtalet, samt att varking-en namn, kön eller aktuell skola skulle framkomma i studien. Deltagandet skulle således vara helt anonymt och svaren skulle inte påverka elevens betyg eller annat utan enbart vara behjälplig för oss. Varje elev fick även tillfälle att ställa frågor till oss personligen samt svara på några allmänna frågor för att känna sig trygga i situationen innan resone-mangen kring deras lösningar efterfrågades.
5.5
Etiska aspekter
För att kunna avvärja problem och debatter mellan forskare och medverkande individer har Vetenskapsrådet (2002) tagit fram ett antal etiska principer alla forskare ska förhålla sig till. De grundläggande etiska principerna är fyra stycken och benämns tillsammans som Individskyddskravet.
Enligt informationskravet ska forskaren informera alla medverkade uppgiftslämnare om deras uppgifter i datainsamlingen samt detaljer kring eventuella risker för obehag eller skada. Forskaren ska dessutom klargöra för de medverkande att deras deltagande är frivilligt samt att all datainsamling enbart kommer användas i syfte till forskningen. Utöver informationskravet finns dessutom samtyckeskravet, konfidentialitetskravet samt nyttjandekravet. Samtyckeskravet innefattar sammanfattningsvis att forskaren måste få samtycke till användning av insamlad data från deltagaren eller dess målsman om deltagaren skulle vara under 15 år gammal. De deltagande ska även själva få
be-stämma om de skulle vilja avbryta sin medverkan och detta ska inte medföra några ne-gativa följder. Konfidentialitetskravet innebär kortfattat att samtliga undersökningsdel-tagare ska anonymiseras. Dessutom ska inblandade forskare signera tystnadsplikt och se till att allt insamlat material förvaras oåtkomligt för utomstående. Nyttjandekravet innebär att all insamlad data enbart får användas till konstaterat ändamål och således inte får lånas ut till marknadsundersökningar eller andra studier som inte är vetenskap-liga (Vetenskapsrådet, 2002).
I utförd studie följdes informationskravet och samtyckeskravet genom att skicka ut mejl till rektorer som sedan vidarebefordrade innehållet till aktuell lärare. Med hjälp av lärare delades därefter ett brev ut att ta hem till elevernas vårdnadshavare. I breven tydliggjor-des tydliggjor-dessutom garanterad anonymitet samt att all insamlad data enbart skulle användas till denna forskningsinriktade studie. Eleverna som deltog i intervjuerna fick även möj-lighet att ställa frågor i slutet och vi var tydliga med att informera hur deras svar skulle användas i studien.
6
Resultat och Analys
I följande avsnitt redogörs resultatet av den data som samlats in. Varje område analyse-ras sedan utifrån tidigare behandlad teori. Resultatet presenteanalyse-ras utifrån två huvudkate-gorier, vilka båda har direkt anknytning till studiens frågeställningar.
I resultatet har samtliga medverkande anonymiserats och fått beteckningar som present-eras nedan. Bokstaven som följer siffran har betydelse gällande vilken härkomst eleven har. Bokstaven U representerar en elev med utländsk bakgrund medan bokstaven S be-tecknar en elev med svensk bakgrund.
Elev 1U Elev 2S Elev 3U Elev 4S Elev 5U Elev 6S
6.1
Vilka representationsformer använder eleverna för att lösa
enkla uppgifter inom bråk?
Nedan presenteras de olika representationsformer eleverna använder i sina lösningar. En del av representationsformerna används frekvent av flera elever, medan andra före-kommer mer sällan och enbart på någon enstaka uppgift.
6.1.1 Verklighet
Uppgift 1: Skugga en tredjedel av följande figurer
Figur 11: Elev 5U:s lösning på uppgift 1.
Eleven ovan löser uppgift 1b genom att tänka på peacetecknet. Det framgår under inter-vjun när eleven muntligt beskriver sin tankegång.
“I skolan har vi lärt oss att dela olika figurer i olika delar, och vår lärare har sagt att det är lättast att tänka på fredsmärket, eller ja peacetecknet”
6.1.2 Bild
11. Josefina och Linn ska dela på en pizza men orkar inte äta upp hela. Josefina äter halva pizzan medan Linn bara äter en fjärdedel. Hur stor del av pizzan är kvar när Josefina och Linn ätit färdigt? Visa hur du tänker.
Figur 12: Elev 4S:s lösning på uppgift 11.
Eleven ovan löser uppgiften genom att först rita två cirklar som representerar Josefinas och Linns delar av pizzan. Dessa läggs sedan samman i en gemensam cirkel där den bit som blir över framgår.
6.1.3 Symbol
10b. Räkna ut följande. Visa hur du tänker.
Figur 13: Elev 1U:s lösning på uppgift 10b.
Eleven ovan löser uppgiften genom att använda symboler samt utgå från regler inom bråkräkning. Hen tar således först reda på den gemensamma nämnaren och utvecklar det sedan därifrån.
“Då liksom man måste hitta ett tal som man kan multiplicera båda tal så de har som eh [...] som gemensam […] då det är liksom multiplicerar dem fem med tredjedel femton och sen multiplicera här så jag får liksom rätt, samma nämnare här”
Figur 14: Elev 6S:s lösning på uppgift 10b.
Eleven ovan löser uppgiften genom att först omvandla bråkuttrycket till hundradelar och utifrån det utveckla vidare till procent.
“Ja, jag gjorde om det till hundradelar för att jag, man kan ju inte dela de så jag kunde inte få de till gemensam nämnare eller täljare…”
6.1.4 Språk
Uppgift 8: Vilka av de två talen är störst? Förklara hur du tänker.
Figur 15: Elev 5U:s lösning av uppgift 8.
Eleven ovan löser uppgiften främst genom att skriftligt beskriva sina tankegångar. 6.1.5 Kombination av flera representationsformer
Uppgift 11: Josefina och Linn ska dela på en pizza men orkar inte äta upp hela. Josefina äter halva pizzan medan Linn bara äter en fjärdedel. Hur stor del av pizzan är kvar när Josefina och Linn ätit färdigt? Visa hur du tänker.
Figur 16: Elev 6S:s lösning av uppgift 11.
Eleven ovan löser uppgiften genom att rita en cirkel som illustrerar pizzan, i kombinat-ion med att hen beräknar bråktalen i symbolspråk. I intervjun framgår det att båda re-presentationsformer väger lika mycket i denna uppgiftslösning.
6.1.6 Analys
I de elevlösningar som presenteras ovan framkommer samtliga behandlade representat-ionsformer. Många elever varierar sina sätt att lösa uppgifterna och anpassar använd-ningen av representationsformerna till upplägget av frågorna. En av de representations-former som används vid upprepade tillfällen är bild (se exempel på elevlösningarna un-der 6.1.2 & 6.1.5). För att bild ska vara till hjälp inom området är det av största vikt att eleverna förstår dess anknytning till text (Hammill, 2010). Genom att observera lös-ningarna i kombination med elevernas muntliga beskrivning av processen, går det att uttyda att förståelsen finns hos de elever som medverkar i denna studie på de uppgifter som presenteras i detta kapitel.
En del elever väljer att använda verklighetsanknytning som representationsform i flera uppgifter. Ett exempel där denna representationsform framgår är under 6.1.1 där eleven tänker på en särskild vardagsrelaterad symbol för att komma ihåg hur man delar upp en cirkel i tredjedelar. I den verklighetsanknytningen går det att uttyda Wistedts (1990) tankar kring vardagskunskaper inom matematik som eleverna tagit till sig i skolan. Vi-dare väljer ett antal elever att omvandla bråkuttrycken till procent (se exempel under 6.1.3) vilket Wistedt (1990) framhåller som en vardagskunskap, då elever ofta köper varor på rabatt som då är uttryckta i procentform.
Utöver representationsformerna bild och verklighet använder samtliga elever symboler i viss utsträckning vid beräkning av bråk. Likt det som presenteras under 4.2.2 använder elev 1U och 6S symboler i flera steg (se exempel under 6.1.3). Det visar att eleverna kan resonera utifrån matematiskt symbolspråk, vilket Skolverket (2011) uttrycker som ett undervisningsmål. I det som presenteras under 6.1.3 använder förvisso elev 1U lik-hetstecknet felaktigt då relationen mellan leden inte stämmer överens med varandra (Falkner, Levi & Carpenter, 1999), men det påverkar i sig inte det slutgiltiga resultatet som är korrekt.
Språk som representationsform blir främst uppmärksammad under de muntliga intervju-erna (se exempel på intervjusvar under 6.1.3) där elevintervju-erna förtydligar hur de tänker vid beräkning av bråk (Häggblom, 2013). Representationsformen framkommer dock även till viss del skriftligt vilket går att se under 6.1.4 där eleven använder korrekta benäm-ningar inom området bråk, som till exempel ”mindre och större nämnare”.
Den sista representationsformen som eleverna använder vid lösning av uppgifterna är laborativt material. Den går dock endast att utläsa vid ett tillfälle och det är under 6.1.1 där det framgår att eleven tagit hjälp av en linjal. Bristen på användning av laborativt material i de flesta elevlösningar stämmer väl överens med det som presenteras under 4.1.2 där det beskrivs att laborativt material sällan används i undervisning av mellansta-dieelever (Malmer, 2002).
6.2
Hur skiljer användningen av representationsformer sig åt
mellan elever med utländsk bakgrund och elever med svensk
bakgrund?
I detta kapitel redovisas ett urval av uppgifter där samtliga intervjuade elevers lösningar presenteras för att ge ett så trovärdigt resultat som möjligt. Elevlösningarna struktureras utifrån vilken härkomst eleverna har för att eventuella skillnader ska vara väl synliga.
6.2.1 Uppgift 8
8. Vilket av de två talen är störst? Förklara hur du tänker.
Figur 18: Elev 2S:s, 4S:s & 6S:s lösningar på uppgift 8. 6.2.2 Uppgift 10
10. Räkna ut följande. Visa hur du tänker.
Figur 19: Elev 1U:s, 3U:s & 5U:s lösningar av uppgift 10a & 10b.
6.2.3 Uppgift 11
11. Josefina och Linn ska dela på en pizza men orkar inte äta upp hela. Josefina äter halva pizzan medan Linn bara äter en fjärdedel. Hur stor del av pizzan är kvar när Jo-sefina och Linn ätit färdigt? Visa hur du tänker.
Figur 21: Elev 1U:s, 3U:s & 5U:s lösningar av uppgift 11.
6.2.4 Analys
Utifrån elevlösningarna som presenteras under 6.2.1 framgår det viss skillnad i använd-ningen av olika representationsformer utifrån vilken härkomst eleverna har. Två av tre elever med utländsk bakgrund använder sig bland annat av bild som representations-form vid lösning av uppgift 8, vilket kontrasterar hos eleverna med svensk bakgrund där enbart en av tre elever använder sig av bild i sin lösning. En av eleverna med svensk bakgrund svarar felaktigt på uppgift 8, vilket ingen av eleverna med utländsk bakgrund gör.
Under 6.2.2 framgår det att såväl elever med svensk bakgrund som elever med utländsk bakgrund främst använder sig av representationsformen symboler vid lösning av uppgift 10a. Endast en elev använder sig av bild som representationsform vid uppgift 10a, och dess bakgrund är svensk. Vidare är det endast en elev som använder sig av skriftlig be-skrivning, det vill säga språk som representationsform vid lösning av samma uppgift och denna elev har utländsk bakgrund. Det är således inte någon uppseendeväckande skillnad i användningen av representationsformer med avseende på elevernas härkoms-ter utifrån det resultat som redogörs under 6.2.2. I uppgift 10a är det en elev med ut-ländsk bakgrund som svarar fel, resterande lösningar är korrekta.
En generell svårighet som är uppenbar hos majoriteten av eleverna är addition av bråk med olika nämnare (se elevlösningar till uppgift 10b). Endast två elever, varav en har svensk bakgrund och en har utländsk bakgrund lyckas få fram ett korrekt svar på det som efterfrågas, varav enbart eleven med utländsk bakgrund svarar i bråkform. Två av de elever med svensk bakgrund samt en elev med utländsk bakgrund gör den missupp-fattningen som Häggblom (2013) beskriver som vanlig, det vill säga att de behandlar nämnare och täljare som separata tal. Det framgår genom att de adderar täljare och nämnare med varandra istället för att hitta den gemensamma nämnaren.
I uppgift 11 väljer samtliga elever med svensk bakgrund att använda sig av bild när de ska lösa uppgiften. Som komplement till bilden använder dessutom en av dessa elever (se figur 22, bild 3) symboler i samma uppgift vilket tyder på att denne förstår samban-det mellan text och bild (Hammill, 2010). Vad gäller de elever med utländsk bakgrund är det två av tre elever som väljer att använda sig av bild vid lösning av samma uppgift. En av de eleverna (se figur 21, bild 3) kompletterar dessutom bilden med beräkning i symbolform samt använder sig av ett matematiskt språk under intervjun. Det gör att beräkningens händelser blir tydliga (Häggblom, 2013). Den tredje eleven med utländsk bakgrund (se figur 21, bild 2) väljer istället för bild, att lösa uppgiften med hjälp av symboler i procentform. En omvandling från bråk till procent tyder på en verklighetsan-knuten representationsform eftersom de bråkuttryck som återfinns i uppgift 11 är ¼ samt ½ som kan kännas igen som 25 % och 50 %. Talen i procentform är av sådan ka-raktär som i många fall återfinns i butiker vid realisationer (Wistedt, 1990). I uppgift 11 har samtliga elever med såväl svensk som utländsk bakgrund svarat korrekt.
7
Diskussion
I detta avsnitt kommer metodvalen och resultaten att diskuteras. Inledningsvis kommer metoddiskussionen problematisera de valda metoderna. Därefter följer en diskussion av resultaten från den genomförda datainsamlingen. Avslutningsvis presenteras förslag till fortsatt forskning.
7.1
Metoddiskussion
Datainsamlingen skedde med hjälp av en så kallad triangulering, vilket ger en mer ny-anserad bild av resultatet (Stukát, 2011). Dessutom ökar validiteten av studiens resultat vid användning av triangulering eftersom en frågeställning undersöks utifrån flera per-spektiv (Denscombe, 2000). Kombinationen av frågeformulär, intervju och observation upplevs ha gett en bredare och djupare bild än om enbart en eller två av dessa metoder hade använts, som till exempel enbart frågeformulär och observation.
Inledningsvis omfattade datainsamlingen 53 elever vilket gör frågeformuläret avsevärt väsentligt eftersom interaktion med varje elev inte är nödvändigt (Denscombe, 2000). Observationen fungerade som ett komplement till frågeformulären eftersom syftet med den var att se om någon elev använde sig av laborativt material, bad om hjälp eller gjorde något annat uppseendeväckande (Johansson & Svedner, 2010). Observationen var även behjälplig vid urvalet när elever att intervjua skulle utses, eftersom enbart ett fåtal elever stack ut i användandet av laborativt material. Observationen gav emellertid inte det resultat vi hoppats på eftersom eleverna enbart använde linjal som laborativt material. Intervjumetoden är den metod som främst kompletterar frågeformuläret ef-tersom dessa gav en djupare inblick i elevernas tankegångar när de löste uppgifterna (Denscombe, 2000). Att använda semistrukturerade intervjuer var fördelaktigt i denna studie då det gav oss möjlighet att lägga till följdfrågor som kunde hjälpa eleverna vi-dare i sina tankegångar och följaktligen ge oss ett ändamålsenligt svar (Denscombe, 2000).
Under såväl tillfället då frågeformuläret genomfördes som vid av intervjutillfällena var vi båda två närvarande. Detta kan anses som överflödigt vid första besöket, det vill säga tillfället då eleverna skulle svara på frågeformuläret eftersom allt som skedde då var observationer av eleverna när de löste uppgifterna. Å andra sidan kan en och samma händelse uppmärksammas och tolkas på olika sätt beroende på vem som är betraktaren, och därför ansåg vi att det var värdefullt att genomföra observationerna tillsammans. Avsikten med att genomföra intervjuerna tillsammans var likt observationerna, att vi kunde ha skilda uppfattningar i elevernas lösningar, och således ha olika prioriteringar i vilka uppgifter som var extra viktiga att förtydligas. Även vid transkriberingen kunde det vara en fördel att båda varit närvarande under samtliga intervjutillfällen eftersom vissa händelser under intervjuerna kunde memoreras och knytas an vid analysen.
Vid granskning av svar på frågeformulären samt intervjuerna upptäckte vi att uppgifter-na i formulären kunde ha anpassats ytterligare till frågeställningaruppgifter-na. Många av de upp-gifter som används förespråkar en eller två representationsformer vilket inte gör samt-liga representationsformer jämbördiga. Språk som representationsform är till exempel mycket svår att analysera utifrån enbart formulären då den endast förekommer begrän-sat i skrift. Det gör att intervjuerna är ett nödvändigt komplement eftersom det först är där eleverna muntligt får möjlighet att använda sig av matematiska begrepp. Även an-vändandet av de laborativa materialet är svår att analysera eftersom i princip ingen elev
använder annat än linjal. Detta skulle kunna förbättras genom istället för att lägga materialet längst fram, på ena sidan eller längst bak i klassrummet dela ut så att alla elever har tillgång till fler former av laborativt material på sina bänkar. Varför detta inte gjordes under besöket berodde dock på den begränsade tillgången på laborativt material som skolan hade. Det som fanns att tillgå räckte inte ens till en halv klass.
Med avseende på reliabiliteten och generaliserbarheten kunde den möjligtvis höjas om datainsamlingen inte begränsats till en skola, det vill säga om vi valt att använda en an-nan metod vid urvalen än klusterurval (Denscombe, 2000). Utifrån den datainsamling som gjorts är det till exempel inte möjligt att fastställa huruvida resultatet beror på lä-rarnas undervisning av eleverna på skolan eller om det eventuellt beror på förslagsvis läromedel. Dessutom kan andra bakomliggande faktorer påverka resultatet såsom mångkulturalitet, skillnader i socioekonomiska tillstånd samt matematisk begåvning.
7.2
Resultatdiskussion
Utifrån resultatet på elevlösningarna framkommer det att beräkning av bråk som del av helhet är det samtliga elever i störst utsträckning lyckas genomföra. Orsaken till det kan vara att många av de medverkande eleverna troligtvis delat exempelvis en pizza, tårta, chokladkaka eller vetelängd med vänner eller familjemedlemmar och följaktligen befäst goda kunskaper inom området redan innan de arbetat med det i skolan (Malmer, 2002). I kontrast till ovanstående konstaterande är det beräkning av bråk med olika nämnare som majoriteten av eleverna misslyckas med. Det kan bero på att eleverna inte befäst regeln som innebär att man enbart kan genomföra beräkningar av två eller fler bråk som har en gemensam nämnare (Löwing, 2008). Om bråkuttrycken inte har en gemensam nämnare måste eleverna först förlänga bråken så att de får en gemensam nämnare, vilket bara en av samtliga medverkande elever lyckades genomföra.
Utifrån de elevlösningar som redogörs under 6.2 framkommer det att elever med svensk bakgrund totalt har lika många korrekta, respektive felaktiga svar som elever med ut-ländsk bakgrund. Det innebär att denna undersökning inte stämmer överens med det Skolverket (2016) fastställt, det vill säga att elever med utländsk bakgrund klarar sig sämre i matematik än elever med svensk bakgrund. Det är dock viktigt att betona att denna skola knappast kan representera samtliga skolor i Sverige, men kan ändå vara en intressant iakttagelse. Den elev som lyckades genomföra uppgift 10b genom att förlänga bråket var dessutom den enda av de medverkande vars resultat har presenterats i denna studie som invandrat till Sverige en bra bit efter ordinarie skolstart och inte kunde svenska språket överhuvudtaget.
Genom ovanstående konstaterande är det extra viktigt att framhäva det Rönnberg & Rönnberg (2001) poängterat, det vill säga att det är viktigt att arbeta med lärares före-ställningar med avseende på elever med utländsk bakgrund. Är majoriteten av elever med utländsk bakgrund sämre i matematik, eller får de bara aldrig tillfälle att visa vad de egentligen kan för att lärare inte vet hur de ska hantera språkskillnader?
7.3
Förslag på fortsatt forskning
Vid ett intervjutillfälle nämnde en av de medverkande eleverna att matematikundervis-ningen såg annorlunda ut i Turkiet, framförallt med avseende på nivån där den var be-tydligt högre i förhållande till skolundervisningen i Sverige. Enligt elevens uppfattning var inte uppgifterna i sig alls särskilt svåra, utan hen hade arbetat med betydligt mer
avancerade beräkningar inom bråk som inkluderade alla fyra räknesätt. Deras mellan-stadiematte motsvarade ungefär den matematik svenska elever lär sig på högstadiet. Ett vidare forskningsområde kan följaktligen vara skillnader i matematik inom olika länder, både med avseende på lärarnas undervisning, det vill säga om de använder samma typ av material och arbetssätt som lärare i Sverige eller om de har en annan syn på lärande, samt hur nivån skiljer sig inom samtliga matematikområden.
8
Referenser
Charalambous, C., Y. & Pitta-Pantazi, D. (2007). Drawing on a theoretical model to study students` understandings of fractions. Educational Studies in Mathematics, 64, 3, ss 293-316. DOI: 10.1007/s10649-006-9036-2
Denscombe, M. (2000). Forskningshandboken: för småskaliga forskningsprojekt inom
samhällsvetenskaperna. Lund: Studentlitteratur
Eriksson, H. & Eriksson, I. (2016). Matematik som teoretiskt arbete - utveckling av matema-tiska modeller för rationella tal i åk 4. I Forskning om undervisning och lärande. 4(1), 6-24.
Falkner, Karen P., Levi, Linda & Carpenter, Thomas P. (1999). Children’s understanding of equality foundation for Algebra. I Teaching Children Mathematics. 6(4), 232-237. Hammill, L. (2010) The Interplay of Text, Symbols, and Graphics in Mathematics Education.
Transformative Dialogues: Teaching & Learning Journal 3(3), 2-8
Häggblom, L. (2013) Med matematiska förmågor som kompass. 1. uppl. Lund: Studentlittera-tur
İskenderoğlu, A. T. (2017) The problems posed and models employed by primary school teachers in subtraction with fractions. I Academic Journals 12(5), 239-250, doi: 10.5897/ERR2016.3089
Johansson, B. & Svedner, P-O. (2010). Examensarbetet i lärarutbildningen. 5. uppl. Uppsala: Kunskapsföretaget
Karlsson, N. & Kilborn, W. (2015a). Matematikdidaktik i praktiken: att undervisa i årskurs
1-6. 1. uppl. Malmö: Gleerups Utbildning
Karlsson, N. & Kilborn, W. (2015b). Konkretisering och undervisning i matematik:
matematikdidaktik för lärare. 1. uppl. Lund: Studentlitteratur
Kilborn, W. (2014). Om tal i bråk- och decimalform - en röd tråd. Göteborg: Nationellt centrum för matematikutbildning (NCM), Göteborgs universitet.
Lahdenperä, Pirjo (1997). Invandrarbakgrund eller skolsvårigheter?: en textanalytisk studie
av åtgärdsprogram för elever med invandrarbakgrund. Diss. Stockholm : Universitet
Loewenberg Ball, D., Ferrini-Mundy, J., Kilpatrick, J., Milgram, J., Schmid, W. & Schaar, R. (2005). Reaching for common ground in K-12 mathematics education. Mathematical Association of America.
Löwing, M. (2008). Grundläggande aritmetik: matematikdidaktik för lärare. 1. uppl. Lund: Studentlitteratur
Löwing, M. & Kilborn, W. (2002). Baskunskaper i matematik: för skola, hem och samhälle. Lund: Studentlitteratur
Malmer, G. (2002). Bra matematik för alla: nödvändig för elever med inlärningssvårigheter. 2. uppl. Lund: Studentlitteratur
McIntosh, A. (2008). Förstå och använda tal: en handbok. 1. uppl. Göteborg: Nationellt centrum för matematikutbildning (NCM), Göteborgs universitet
Rönnberg, I. & Rönnberg, L. (2001) Minoritetselever och matematikutbildning: en
littera-turöversikt (NCM-RAPPORT 2001:1). Göteborg: Nationellt centrum för
matematikut-bildning (NCM), Göteborgs universitet.
Rönnberg, I. & Rönnberg, L. (2006). Etnomatematik [Elektronisk resurs] : perspektiv för
ökad förståelse i matematiklärandet. Stockholm: Kompetensfonden, Stockholms stad
Skolverket (2016). Invandringens betydelse för skolresultaten [Elektronisk resurs]. Stock-holm: Skolverket
Skolverket (2017). Läroplan för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet 2011. uppl. 4. Stockholm: Skolverket/Fritzes Offentliga Publikationer
Sollervall, H. (2015). Aritmetik för lärare: tal och de fyra räknesätten. 2., [rev.] uppl. Lund: Studentlitteratur
SOU 2007:28. Utredningen om mål och uppföljning i grundskolan: Tydliga mål och
kunskapskrav i grundskolan: förslag till nytt mål- och uppföljningssystem - betänkande.
Stockholm: Fritzes Offentliga Publikationer
Stukát, S. (2011). Att skriva examensarbete inom utbildningsvetenskap. 2. uppl. Lund: Studentlitteratur
Sveider, C. (2016). Lärares och elevers användande av laborativt material i
bråkundervis-ningen i skolår 4-6: Vad görs möjligt för eleverna att erfara?. Lic.-avh. Linköping :
Linköpings universitet, 2016
Vetenskapsrådet (2002). Forskningsetiska principer inom
humanistisksamhällsvetenskaplig-forskning. Stockholm: Vetenskapsrådet
Wistedt, I. (1991). Vardagskunskaper och skolmatematik, I Nämnaren 1(1) 14-15. Gö-teborg: Nationellt centrum för matematikutbildning (NCM), Göteborgs universitet
9
Bilagor
9.1
Bilaga A – Samtyckesblankett
Hej!
Vi är två studenter som läser sista året på lärarutbildningen med inriktning mot arbete i årskurs 4-6 på Linnéuniversitetet i Växjö. Vi skriver för närvarande ett självständigt ar-bete i matematik och matematikdidaktik. Syftet med vårt arar-bete är att se vilka olika meto-der/representationsformer elever i årskurs 6 använder när de löser uppgifter inom bråk-räkning, samt att ta reda på om det finns några skillnader i val av
me-tod/representationsform mellan enspråkigt svenska elever och flerspråkiga elever med interkulturell bakgrund.
För att kunna besvara frågeställningarna ovan kommer vi låta ett antal klasser från olika skolor i årskurs 6 lösa ett urval av uppgifter inom området bråk i samband med att vi ge-nomför en observation. Vid ett senare tillfälle kommer vi även intervjua ett fåtal elever från varje klass för att få en bredare bild av hur de tänkt. Dessa intervjuer kommer att spe-las in med ljud och sedan transkriberas. Intervjuerna, liksom ett urval av elevlösningarna är endast avsedda att användas som underlag till vår studie. Inga namn, varken på eleverna eller på skolan, kommer att uppges i vårt arbete. Det kommer inte heller framgå̊, vare sig genom uppgiftslösningarna eller genom intervjusvaren, vilka som deltagit i studien. För att använda insamlat material i samband med observationerna och elevintervjuerna behöver vi få vårdnadshavares samtycke. Vänligen fyll i nedanstående talong och lämna den till ansvarig lärare snarast.
Genom att du/ni ger samtycke till att ert barn deltar i studien ger du oss möjlighet att ut-veckla vår kompetens som blivande matematiklärare. Stort tack för hjälpen!
Har du/ni frågor eller funderingar kan du/ni höra av er till oss eller vår handledare. Med vänliga hälsningar,
Lisa Axelsson & Matilda Sandberg Mail: la222tb@student.lnu.se Handledare: Berit Roos Johansson Mail: Berit.roos-johansson@lnu.se
--- --- Samtycke för _________________________________________________
Jag/Vi samtycker till att material där mitt/vårt barn finns med får användas enligt ovan JA( ) NEJ( )
Vårdnadshavares underskrift
_________________________________________________
9.2
Bilaga B - Elevuppgifter
Namn och skola: ___________________________________________ 1. Skugga en tredjedel av följande figurer
´ 2. Skriv i bråkform a. en sjättedel __________ b. en femtedel __________ c. en halv __________ 3. a) Skugga 4/5 av figuren
b) Skugga tre femtedelar av figuren
4. Hur stor andel av cirklarna är skuggade? Svara i bråkform
________ ________
5. a) Skugga 2/3 av cirklarna
