Identitetsskapande i matematik - fem elever syn på matematik och sig själva som matematiker

Malmö högskola

Lärande och samhälle

Skolutveckling och ledarskap

Examensarbete

Identitetsskapande i matematik –

fem elevers syn på matematik och sig själva som matematiker

Identity formation in mathematics –

five students’ views on mathematics and themselves as mathematicians

Therese Alfredsson

Speciallärarexamen 90hp, Examinator: Anna-Karin Svensson Matematikutveckling

Abstract

Alfredsson, Therese (2015) Identitetsskapande i matematik – fem elevers syn på matematik och sig själva som matematiker (Identity formation in mathematics – five students’ views on mathematics and themselves as mathematicians). Speciallärarprogrammet, Skolutveckling och ledarskap, Lärande och samhälle, Malmö högskola.

Problemområde

Den matematiska identiteten och synen på sig själv som lärande i matematik spelar en betydande roll i en elevs matematiska utveckling. Palmer (2010, 2011) menar att den matematiska identiteten inte är statisk, utan omskapas ständigt, och den är beroende av situation och sammanhang. Därför kan den matematikundervisning som eleven möter i skolan bestämma och begränsa vilka matematiska identiteter som är möjliga för eleven att skapa.

Syfte och frågeställningar

Syftet med undersökningen är att beskriva några grundskolelevers syn på matematik och på sig själva som matematiker.

Frågeställningar:

• Vilken syn på matematik ger de intervjuade eleverna uttryck för?

• Hur förefaller de intervjuade elevernas syn på matematik påverkas av den undervisning de deltar i?

• Vilka matematiska identiteter framträder i intervjuerna med eleverna?

Teoretisk ram

I studien har Wengers (1998) sociala lärandeteori används som teoretisk utgångspunkt. Denna teori utgår ifrån att lärande förutsätter social delaktighet och att identiteter skapas genom denna sociala delaktighet.

Metod

Studien har en kvalitativ ansats och bygger på kvalitativa intervjuer med fem elever i årskurs 4, samt deltagande observationer under klassens matematiklektioner. Det insamlade materialet organiserades i teman och reflekterades över utifrån tidigare forskning och teoretiskt ramverk.

Resultat med analys

Resultatet tyder på att elevers identitetsskapande i matematik påverkas av den undervisning de deltar i. De intervjuade eleverna deltar i en matematikundervisning med fokus på regler och procedurer och det påverkar deras syn på matematik och vad som kännetecknar en

kompetent matematikelev. De identiteter som är möjliga för eleverna att skapa är begränsade till dessa kriterier.

Slutsats

De intervjuade elevernas syn på matematik förefaller vara begränsad till att kunna regler och utföra matematiska procedurer. Eleverna uttrycker en syn på matematik som ett görande och att en kompetent matematikelev är snabb och hinner långt i läroboken. Matematiken är kontextberoende och kunskaperna i matematik av ringa användning utanför skolan. Det förefaller finnas ett samband mellan de intervjuade elevernas uppfattningar om matematik och den matematikundervisning som bedrivs, då fokus för undervisningen är att lära sig vedertagna metoder och utföra matematiska procedurer i läroboken. Den normativa identitet, det vill säga den identitet som kännetecknar en kompetent matematikelev, karakteriseras av en skicklighet i att kunna utföra matematiska procedurer och hinna långt i läroboken. Det som utmärker de intervjuade elevernas personliga matematiska identiteter är en uppfattning av att inte vara duktig i eller ha talang för matematik, då deras personliga identitet inte överensstämmer med den normativa identitet som råder.

Kunskapsbidrag

Med denna studie vill jag lyfta fram hur viktig den matematiska identiteten är för elevers matematikutveckling. Eftersom en individs identitet skapas i sociala gemenskaper (Wenger, 1998) och i olika kontexter (Boaler, 2005) är det viktigt att uppmärksamma vilka identiteter som är möjliga att skapa i olika matematikklassrum. I ett klassrum där matematikundervisningen är begränsad till att träna på att använda vedertagna metoder och procedurer begränsas de identiteter som är möjliga för eleverna att skapa.

Specialpedagogiska implikationer

Identitet kan enligt Wenger (1998) uppfattas som både individuell och kollektiv, då den fokuserar på individen i ett socialt perspektiv. Då olika identiteter skapas i olika kontexter, är det viktigt att synliggöra det identitetsskapande som sker i matematikklassrummet. Ett viktigt uppdrag för specialläraren är att arbeta förebyggande, och att lyfta fokus från individnivå till grupp- och organisationsnivå. Detta kan göras genom att våga utmana den traditionella matematikundervisningen där den är rådande, så att fler identiteter blir möjliga att skapa.

Innehållsförteckning

3 Tidigare forskning och teorianknytning ... 11

3.1 Tidigare forskning ... 11

3.1.1 Identitetsbegreppet ... 11

3.1.2 Elevers identitetsskapande i matematik ... 12

3.1.3 Kontextens betydelse ... 13

3.1.4 Det didaktiska kontraktet ... 14

3.1.5 Elevers uppfattningar ... 14 3.1.6 Lärarens betydelse ... 15 3.2 Teorianknytning ... 16 3.3 Sammanfattning ... 19 4 Metod ... 21 4.1 Metodval ... 21 4.1.1 Deltagande observation ... 21

4.1.2 Den kvalitativa forskningsintervjun ... 21

4.2 Urval ... 22 4.3 Genomförande ... 22 4.3.1 Intervjuer ... 22 4.3.2 Klassrumsobservationer ... 23 4.4 Analysval ... 23 4.5 Studiens tillförlitlighet ... 24 4.6 Etiska överväganden ... 24

5 Resultat och analys ... 27

5.1 Social kontext ... 27

5.1.1 Intervjuer ... 27

5.1.2 Observationer ... 28

5.1.3 Analys ... 29

5.2 Identitet och matematisk självbild ... 30

5.2.2 Observationer ... 30 5.2.3 Analys ... 31 5.3 Syn på matematik ... 32 5.3.1 Intervjuer ... 32 5.3.2 Observationer ... 33 5.3.3 Analys ... 33 5.4 Sammanfattning ... 34

6 Slutsats och diskussion ... 37

6.1 Slutsats ... 37

6.2 Resultatdiskussion ... 37

6.3 Metoddiskussion ... 40

6.4 Specialpedagogiska implikationer ... 41

6.5 Förslag på fortsatt forskning ... 42

Referenser ... 43 Bilaga A: Missivbrev

1 Inledning

I Läroplan för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet 2011, Lgr 11 (Skolverket, 2011), står det under kursplanen i matematik att undervisningen i matematik ”ska bidra till att eleverna utvecklar intresse för matematik och tilltro till sin förmåga att använda matematik i olika sammanhang” (s. 62). För att åstadkomma intresse för matematik måste läraren ständigt sträva efter att elevens självtillit och tro på den egna förmågan stärks (Ahlberg, 2001). Elevernas känslomässiga inställning till matematik måste uppmärksammas, inte bara deras matematiska prestationer.

Under mina år som lärare i grundskolan har jag mött åtskilliga barn som uppvisar svårigheter i matematik. Anledningarna till svårigheterna kan vara olika, men även hur elever möter dessa svårigheter kan variera. Jag har mött elever som med lust och energi tar sig an matematiken med stor motivation, trots de utmaningar de ställs inför. Men jag har också mött de elever som uttrycker en hopplöshet och uppgivenhet inför matematiken. Det har länge fascinerat mig hur till synes liknande svårigheter kan ta sig uttryck på så skilda sätt. En förklaring kan vara att eleverna är bärare av olika matematiska identiteter. Grootenboer (2013) menar att kvaliteten på den matematiska identiteten påverkar elevens framtida möjligheter, då en stark matematisk identitet kan bidra till att eleven möter svårigheter med motivation och uthållighet, istället för att ge upp inför dem.

Läraren har stor betydelse för utvecklandet av en stark matematisk identitet. Denna betydelse går enligt Grootenboer (2013) bortom enbart ämneskunskaper och didaktiska färdigheter. Han talar om praxis, en särskild form av praktik som betonar de moraliska, etiska och omsorgsdimensionerna av undervisning. En lärares praxis kan ha stor betydelse för elevers identiteter och hur de uppfattar matematiken. I elevens möte med matematikundervisningen sker inte bara ett lärande av matematiska kunskaper och färdigheter, utan eleverna utvecklar också uppfattningar och attityder kring matematik och sig själva som lärande och utövare av matematik. Elevers syn på sig själva som lärande av matematik spelar stor roll för deras motivation och prestationer i matematik (Roesken, Hannula och Pehkonen, 2011).

Palmer (2010, 2011) menar att den matematiska identiteten inte är något statiskt, utan något som ständigt omskapas, den är beroende av situation och sammanhang. Därför kan den matematikundervisning som eleven möter i skolan bestämma och begränsa vilka matematiska identiteter som är möjliga att skapa. Eleven kan med andra ord utveckla olika matematiska

identiteter beroende på vilken undervisning som erbjuds, och uppleva sig mer eller mindre matematisk i olika situationer (Palmer, 2010, 2011).

Den matematiska identiteten och synen på sig själv som lärande i matematik spelar således en betydande roll i en elevs matematiska utveckling. Detta är viktigt att ta hänsyn till för att på bästa sätt kunna stötta elever som upplever svårigheter i sitt möte med matematiken. Grootenboer (2013) menar att historien har visat att vissa människor upplever sig fjärmade och alienerade från matematik efter sin skolgång, vilket kan påverka hela deras framtid. En negativ attityd till matematik kan följa eleven genom skoltiden och även upp i vuxen ålder (Ahlberg, 2001), vilket visar på vikten av att i skolan uppmärksamma elevers attityder och förhållningssätt till matematiken, i samma utsträckning som vi uppmärksammar om de uppnår de ställda målen eller ej.

2 Syfte

Det är viktigt att synliggöra elevers matematiska identitet och hur de ser på sig själv som lärande i matematik, då detta spelar en betydande roll för den matematiska utvecklingen. Syftet med denna studie är att därför att beskriva några grundskolelevers syn på matematik och på sig själva som matematiker.

2.1 Preciserade frågeställningar

• Vilken syn på matematik ger de intervjuade eleverna uttryck för?

• Hur förefaller de intervjuade elevernas syn på matematik påverkas av den undervisning de deltar i?

• Vilka matematiska identiteter framträder i intervjuerna med eleverna?

2.2 Centrala begrepp

Min avsikt med denna studie är inte att diskutera begreppet matematiksvårigheter eller dess möjliga orsaker. I stället kommer fokus att ligga på elevers reaktioner på matematik och de eventuella svårigheter som de upplever. En definition av begreppet matematiksvårigheter kan dock ge en viss kontext och på så sätt underlätta fortsatt läsning.

2.2.1 Matematiksvårigheter

Matematiksvårigheter kan orsakas av olika faktorer och förklaras utifrån skilda perspektiv, beroende på vad som främst anses vara orsaken till svårigheterna. I ett kategoriskt perspektiv, även kallat kompensatoriskt perspektiv, ses eleven som bärare av svårigheterna, och dessa svårigheter utgör brister hos eleven, brister som ska åtgärdas. Det motsatta perspektivet, det relationella eller demokratiska deltagarperspektivet, kännetecknas av synsättet att det är undervisningssituationen, och elevens möte med denna, som skapar svårigheterna (Emanuelsson, Persson & Rosenqvist, 2001; Haug, 1998). Vilket perspektiv som används får konsekvenser för omvärldens syn på eleven i matematiksvårigheter, men också för elevens syn på sig själv. Genom att tala om elever i matematiksvårigheter i stället för med svårigheter, vilket kännetecknar det relationella respektive det kategoriska perspektivet, indikeras att eleven, med skolans hjälp, har möjlighet att komma ur sina svårigheter.

Magne (1998) menar att matematikssvårigheter inte ska förklaras som en brist hos eleven, och använder i stället begreppet elever med särskilt undervisningsbehov i matematik. Med detta begrepp avser Magne (1998) de elever som av olika anledningar inte lyckas med matematiken i skolan genom att inte uppnå de ställda målen i styrdokumenten. Även Malmer

(1999) sätter begreppet i relation till uppsatta krav och förväntningar på eleven, och menar att svårigheter således är ett relativt begrepp. Enligt Malmer (1999) kan matematiksvårigheter uppstå i samband med undervisningen, om elevens möte med det matematiska stoffet och matematikundervisningen blir negativt. Då kan emotionella störningar som blockerar inlärning skapas.

3 Tidigare forskning och teorianknytning

3.1 Tidigare forskning

Elevers syn på matematik har varit av intresse inom matematikdidaktisk forskning under flera decennier och har beforskats utifrån olika aspekter. På senare år har även hänvisningar till begreppet identitet blivit allt mer vanliga inom denna forskning (Cobb, Gresalfi & Liao Hodge, 2009).

3.1.1 Identitetsbegreppet

Enligt Sfard och Prusak (2005) är identitet berättelser om oss själva, som skapas och återskapas i samspel med andra. Identitetsskapande är således en social aktivitet. I sin forskning skiljer Sfard och Prusak (2005) mellan faktisk och förväntad identitet. Den faktiska identiteten består av berättelser om de faktiska förhållanden som råder, utifrån hur personen själv uppfattar dem. Dessa berättelser berättas ofta i presens och är inte sällan formulerade som påståenden, till exempel ”Jag har svårt för matematik” eller ”Jag är inte bra på att läsa”. Den förväntade identiteten är den som förväntas uppnås, och berättelser om den förväntade identiteten berättas i futurum och kan innehålla ord som uttrycker önskningar och behov, som till exempel borde, måste och vill. Exempel på uttryck för den förväntade identiteten kan vara ”Jag måste bli bättre på att läsa” eller ”Jag vill bli läkare”. Den förväntade identiteten är inte alltid självvald eller önskad, men den uppfattas alltid som bindande. Palmer (2010, 2011) menar emellertid att eftersom vår matematiska identitet ständigt omskapas och är beroende av den praktik vi deltar i, kan vi genom att förändra praktiken även förändra vår matematiska identitet. Om vi däremot ständigt upprepar det beteende som frambringar en viss identitet, rekonstruerar vi den, och på så sätt upprätthålls denna identitet (Palmer, 2010, 2011).

Sfard och Prusak (2005) menar att lärandet är ett sätt att sluta gapet mellan den faktiska och den förväntade identiteten. Om en person däremot upplever ett konstant gap mellan den faktiska och den förväntade identiteten, som inte kan slutas, kan detta ge upphov till negativa känslor inför lärandet.

Skovsmose (2005) använder liknande begrepp i sin forskning. Han använder begreppet förgrund, som kan jämföras med Sfard och Prusaks (2005) begrepp förväntad identitet. Skovsmose (2005) menar att elever skapar sina förgrunder utifrån sina upplevda möjligheter, och de skapade förgrunderna påverkar elevernas engagemang i eller motstånd till matematik. Därför kan hinder för lärande i matematik hittas i den aktuella undervisningssituationen och i vilka möjligheter den erbjuder eleven. Vidare menar Skovsmose (2005) att en förstörd

förgrund kan vara det största hindret för lärande och att lärandet då kan upplevas meningslöst för eleven.

Det är viktigt, menar Skovsmose (2005), att inte enbart hänvisa till elevers bakgrund för att förklara deras prestationer, utan att även till deras förgrund. Bakgrund och förgrund kallar Skovsmose (2005) personens dispositioner, vilka bland annat yttrar sig i handlingar, val, prioriteringar och perspektiv. Följaktligen påverkar elevers förgrund hur de engagerar sig i lärandet av matematik, då förgrunden är en källa till att skapa mening åt matematiken.

3.1.2 Elevers identitetsskapande i matematik

Med utgångspunkt från bland annat Sfard och Prusaks (2005) och Skovsmoses (2005) begrepp kring identitet har Lange (2009) genomfört en studie kring barns identitetsskapande i matematik. Lange (2009) menar att matematik är en socialt konstruerad praktik och låg prestation i matematik är en obalans mellan individen och omgivningen. Eftersom matematikämnet i skolan värderas högt, har framgång såväl som misslyckande i matematik stort inflytande över individens självbild och syn på framtida möjligheter. Genom att uppleva svårigheter i matematik riskerar individen att misslyckas med att uppfylla en viktig social norm och måste forma sin identitet och uppfattning om matematikämnet utifrån detta faktum. För att använda Skovsmoses (2005) begrepp: att lära eller inte lära matematik är identitetsskapande och påverkar elevens förgrund.

Enligt Lange (2009) utsätts elever alltför ofta för undervisning som inte är anpassad till deras behov. Detta gäller framförallt de elever som har svårt att ta till sig den traditionella matematikundervisningen. Med traditionell matematikundervisning syftar Lange (2009) till en undervisning med fokus på regler och procedurer. Denna traditionella undervisning saknar koppling till elevernas vardag och reducerar matematik enbart till ett räknande, där korrekta svar på slutna frågor värdesätts. Följaktligen kan denna kunskap bara användas i ganska snäva kontexter och, för många elever, bara i en viss utsträckning (Lange, 2009).

Cobb et al. (2009) vänder sig mot tidigare definitioner av begreppet identitet, som de menar är för vaga och inte tillräckligt tydligt definierade. De presenterar i sin studie ett konkret sätt att analysera de identiteter som elever utvecklar i olika matematikklassrum. I studien utgår de från tre olika former av identitetsskapande i klassrummet: elever som identifierar sig med de matematiska aktiviteter som pågår, elever som enbart samverkar med läraren samt elever som vägrar delta i de pågående aktiviteterna och på så sätt utvecklar motsatta identiteter.

I studien delar Cobb et al. (2009) upp identitetsbegreppet i normativ och personlig identitet. Normativ identitet är den identitet som eleven upplever kännetecknar en framgångsrik och kompetent matematikelev i det specifika klassrummet. Som jag tolkar det liknar detta begrepp Skovmoses (2005) begrepp förgrund samt Sfard och Prusaks (2005) förväntad identitet. Cobbs et al. (2009) begrepp tenderar dock att ha en tydligare koppling till klassrumskontexten. Personlig identitet, menar Cobb et al. (2005), är den identitet som eleven utvecklar genom att delta i de pågående klassrumsaktiviteterna. Denna identitet är olika för olika kontexter, vilket innebär att vara matematiskt kompetent yttrar sig olika i olika klassrum.

Genom att identifiera vilka normativa identiteter som råder i ett klassrum synliggörs vad vissa elever identifierar sig med och andra motsätter sig (Cobb et al., 2009). Den normativa identiteten kan identifieras genom att observera:

• generella klassrumsprestationer: Får eleverna möjlighet att välja metoder och strategier eller tränas de i att använda vedertagna metoder? Vem ansvarar för lärandet i klassrummet – läraren eller eleverna?

• specifika matematiska prestationer: Vilka prestationer utgör en beskrivning av en framgångsrik och kompetent elev?

3.1.3 Kontextens betydelse

Att kontexten har betydelse för elevers identitetsskapande menar även Boaler (1999), som uttrycker att olika lärandemiljöer ger elever olika möjligheter och begränsningar. Enligt Boaler (1999) lär sig eleverna inte enbart matematik på matematiklektionerna. De lär sig även att interagera samt utvecklar attityder och uppfattningar om matematik. Dessutom utvecklar lärare och elever ett gemensamt beteende i matematikklassrummet, ett beteende som grundar sig i de delade förväntningar som är specifika för gemenskapen. Dessa koder finns implicit i klassrummet och påverkar hur eleverna använder matematik. Boaler (1999) ger ett exempel från en observation i ett matematikklassrum med läroboksstyrd undervisning. I ett sådant klassrum, menar Boaler (1999), lär sig eleverna att tolka lärobokens koder, till exempel att lärobokens uppgifter blir svårare och svårare och varje uppgift kräver därför en mer avancerad lösningsmetod än den förra. Andra koder kan vara att eleverna ska använda den metod som läraren just gått igenom eller som står i boken och att all information i uppgiften ska användas. De elever som bäst lyckas att tolka lärobokens koder har störst möjlighet att lyckas i denna typ av matematikklassrum. Eleverna lär sig dessutom att det är viktigt att arbeta i en viss takt för att hinna med övriga klassen. Denna kunskap blir kontextberoende och

enligt Boaler (1999) upplevde de elever hon mötte att matematik var något de gjorde i skolan, och som de inte hade någon nytta av i andra kontexter. Dessa elever uttryckte även att den matematik som de mötte utanför skolan inte hade någon direkt koppling med den matematik de fick lära sig i skolan.

3.1.4 Det didaktiska kontraktet

Boalers (1999) kodbegrepp kan jämföras med begreppet didaktiskt kontrakt (Brousseau, 1997), som beskriver det förhållande som utvecklas mellan läraren och eleverna i mötet med matematiken. Detta kontrakt kan sägas beskriva de förväntningar och uppfattningar som utmärker en undervisningssituation i matematik, de ramar inom vilka det sker ett samspel mellan lärare och elever samt elever emellan (Blomhøj, 1994). Enligt Blomhøj (1994) präglas det didaktiska kontraktet delvis av skolans styrdokument, men främst av lärarens uppfattningar om undervisning och matematik samt de förväntningar eleverna har på ämnet. Det didaktiska kontraktet kan i traditionell matematikundervisning bland annat innebära att läraren går genom de metoder som ska användas för att lösa lärobokens uppgifter, att uppgiften är löst när eleven besvarat dess fråga med ett kort svar och att läraren ska bedöma detta svar när uppgiften är löst (Blomhøj, 1994). Etableringen av ett didaktiskt kontrakt är en förutsättning för undervisningen, menar Blomhøj (1994) och det bidrar till att både lärare och de flesta elever känner sig trygga i mötet med matematikundervisningen.

3.1.5 Elevers uppfattningar

Roesken et al. (2011) lyfter också fram att elevers syn på sig själva som lärande av matematik är en viktig faktor för deras engagemang och framgång i skolan. I deras studie medverkade 1,436 finska gymnasieelever (varav ungefär två tredjedelar deltog i en allmän matematikkurs, de övriga deltog i en avancerad kurs) genom att genomföra en enkät och ett matematiktest. Syftet med studien var att undersöka vilka faktorer som påverkar elevers syn på sig själva som lärande av matematik. Roesken et al. (2005) fann sju dimensioner var av betydelse:

1. Förmåga 2. Ansträngning 3. Lärarens kvalitet 4. Uppmuntran från familjen 5. Behållning av matematik 6. Matematikämnets svårighet 7. Framgång

Tre av dessa dimensioner var kopplade till uppfattningar om eleven själv (förmåga, ansträngning och framgång), två var kopplade till social kontext (lärarens kvalitet och uppmuntran från familjen), en till känslor (behållning av matematik) samt en till matematik som ämne (matematikämnets svårighet).

Då de studerade eleverna var grupperade utifrån nivå på kurs (allmän respektive avancerad kurs), kunde olika relevans för olika dimensioner skönjas utifrån nivå på kurs. Störst skillnad mellan kurserna var dimensionerna behållning, förmåga och uppmuntran från familjen. Elever i avancerad kurs uppskattade matematik mer, trodde mer på sin förmåga och kompetens samt upplevde mer stöd från familjen. Båda grupperna upplevde dock i samma utsträckning att matematik var ett svårt ämne.

Tre dimensioner var mer relaterade till varandra än övriga: förmåga, framgång och matematikämnets svårighet. Dessa utgör enligt Roesken et al. (2011) kärnan av de faktorer som påverkar elevers syn på sig själva som lärande av matematik. Förmåga och framgång är kopplade till identitet. Förmåga och framgång kan jämföras med Sfard och Prusaks (2005) begrepp faktisk respektive förväntad identitet. Framgång kan dessutom likställas med förgrund (Skovsmose, 2005). Bland dimensionerna låg ansträngning bland de av minst betydelse (tillsammans med lärarens kvalitet och uppmuntran från familjen) vilket stärker Roeskens et al. (2011) uppfattning att eleverna anser att det krävs en viss talang eller medfödd förmåga för att lära sig matematik.

3.1.6 Lärarens betydelse

I Roeskens et al. (2011) studie ansåg eleverna att lärarens kvalitet var av relativt låg betydelse. Grootenboer (2013) menar däremot att läraren har en avgörande roll i utvecklandet av elevers matematiska identiteter, då elevers matematiska identitet formas av läraren och dennes klassrumspraktik. En form av klassrumspraktiken är praxis, som betonar de moraliska, etiska och omsorgsaspekterna av undervisning. Enligt Grootenboer (2013) är praxis speciellt viktigt i matematikundervisningen, då det finns människor som gått genom skolan med negativa känslor gentemot matematik, vilket kan ha begränsat deras möjligheter i livet. Dessutom lär elever inte bara matematik i matematikklassrummet, utan utvecklar även uppfattningar och attityder om ämnet och sig själva som lärande och praktiserande av matematik. Läraren bör vara medveten om detta bredare lärande som sker i klassrummet och bör ha fokus även på det identitetsskapande som sker. Läraren bör betrakta matematiklärande som en utveckling av den matematiska identiteten, menar Grootenboer (2013).

3.2 Teorianknytning

En möjlig tolkning av den tidigare forskning som beskrivits ovan är att identitet skapas och formas i sociala situationer och sammanhang. Wenger (1998) för i sin sociala teori liknande resonemang kring hur identiteter skapas i olika gemenskaper. Därför har jag valt att använda Wengers teori som teoretisk ram i min studie. I beskrivningen av Wengers teori kommer jag att använda Gustafsons (2010) översättningar av Wengers begrepp.

Wenger (1998) utgår i sin teori från att lärande förutsätter social delaktighet, vilket innebär att delta i olika sociala gemenskaper och att konstruera olika identiteter i dessa gemenskaper. Praktik och identitet är således två begrepp som förutsätter och speglar varandra. Enligt Wenger (1998) kännetecknas socialt deltagande som lärandeprocess av fyra delar, som samtliga behöver finnas med i den sociala lärandeteorin, nämligen mening, praktik, gemenskap och identitet, begrepp som är tätt sammankopplade med varandra.

Figur 1 De fyra delarna i Wengers sociala lärandeteori (Wenger, 1998, s. 5. (Min översättning)).

Mening innebär upplevelsen av livet och omvärlden som meningsfull, praktik de historiska och sociala resurser, ramverk och perspektiv som kan skapas genom ömsesidigt deltagande i en gemenskap. Begreppet gemenskap kan kännetecknas av de sociala former i vilka vi söker medlemskap och identitet av hur lärande förändrar den vi är och skapar personliga uppfattningar om vad vi kan bli i gemenskapen (Wenger, 1998).

Ett centralt begrepp i Wengers (1998) teori är praktikgemenskaper. Wenger menar att dessa finns överallt och att vi alla tillhör olika praktikgemenskaper, till exempel familjen,

Lärande

lärande genom att uppleva

uttalad eller underförstådd, kring vad som gäller i gemenskapen, hur vi talar och vad vi gör, vilket kan jämföras med Brousseaus (1997) begrepp didaktiskt kontrakt. I denna studie utgör begreppet praktikgemenskap klassen som de intervjuade eleverna och deras lärare i matematik tillhör.

För att skapa en praktikgemenskap krävs det enligt Wenger (1998) att medlemmarna i gemenskapen ges möjlighet att engagera sig i varandra och på så sätt erkänna varandra som deltagare i gemenskapen. Detta sker genom att medlemmarna interagerar med varandra och skapar relationer till varandra. I skapandet av denna praktikgemenskap sker även ett förhandlande av identiteter. Identitet kan således uppfattas som både individuell och kollektiv, då den fokuserar på individen i ett socialt perspektiv. Identitetsbegreppet frambringar frågor kring deltagande och icke-deltagande samt inkludering och exkludering i gemenskapen, och vår identitet innefattar vår förmåga (eller oförmåga) att skapa mening i de gemenskaper vi tillhör. Identitetsskapandet påverkas således av vår upplevelse av medlemskap i olika gemenskaper. I identitetsskapandet sker en växelverkan mellan det sociala och det individuella och de båda påverkar varandra (Wenger, 1998).

Wenger (1998) definierar identitet som

1. Upplevd. Identitet är mer än en roll eller en etikett, den är en upplevd erfarenhet av deltagande i olika gemenskaper.

2. Förhandlad. Identitetsskapandet innebär ett blivande, det är ständigt pågående och präglar hela individen.

3. Social. Identiteter skapas i olika gemenskaper och får således en social karaktär. 4. En lärandeprocess. En identitet har förankring i det förflutna och i framtiden för att

kunna skapa mening i nuet.

5. Ett samband. En identitet är en kombination av en mängd medlemskap i olika gemenskaper.

6. Ett samspel mellan det lokala och det globala. En identitet är varken begränsad till det snäva lokala eller till det breda globala, den är ett samspel mellan de båda (Wenger, 1998, s. 163. (Min sammanställning)).

Wenger (1998) menar att vår identitet skapas när vi upplever hur vi påverkar gemenskapen och när vi skapar relationer till andra, och identiteten kan beskrivas som en komplex väv av upplevelser av deltagande i gemenskapen. Identitet kan också förstås som en slags kompetens. Vi upplever oss själva genom vad vi känner igen eller inte känner igen, vad vi förstår eller inte förstår. Vi vet vad vi är utifrån vad som är känt för oss eller det vi förstår, men vi vet

Identitetsskapandet pågår ständigt och genom våra olika upplevelser av deltagande skapas banor, både inom och mellan praktikgemenskaper. I banorna förenar vår identitet vårt förflutna och vår upplevelse om framtiden, för att förhandla om en identitet i nuet. Banans förankring i det förflutna och det som komma skall kan jämföras med Skovsmoses (2005) begrepp dispositioner som innebär en individs bakgrund och förgrund. Liksom Wenger (1998) menar Skovsmose (2005) att både dåtid och framtid påverkar vårt identitetsskapande. I praktikgemenskapen utvecklar medlemmarna olika banor, och en identitet kan bestå av mer än en bana. Medlemskap i flera gemenskaper kan medföra flera banor och identiteter.

Som tidigare nämnts skapas identitet genom de praktiker vi deltar i, men vi definierar också oss själva genom de praktiker vi inte deltar i. Även ett icke-deltagande formar vår identitet. Wenger (1998) beskriver fyra kategorier av deltagande, där fullt deltagande och fullt icke-deltagande utgör ytterligheterna. Däremellan finns två former av icke-deltagande. Icke-deltagandet kan vara perifert eller marginaliserat, beroende på om icke-Icke-deltagandet upplevs som möjliggörande eller problematiskt.

Figur 2 Relationen mellan deltagande och icke-deltagande (Wenger, 1998, s. 167. (Min översättning)). Gränsen mellan de båda formerna av icke-deltagande är diffus, men de skapar kvalitativt mycket skilda identiteter. Skillnaden ligger i hur individen upplever sin framtid, vilket kan jämföras med Skovsmoses (2005) förgrund eller Sfard och Prusaks (2005) förväntad identitet. En perifert icke-deltagande individ ser möjligheten till fullt deltagande eller fortsatt perifert deltagande, med andra ord har individen en positiv förgrund eller förväntad identitet. En marginaliserat icke-deltagande individ har däremot en mer negativ förgrund eller förväntad

fullt icke-deltagande (utanför) fullt deltagande (innanför) perifert icke-deltagande marginaliserat icke-deltagande

identitet, eftersom individen inte upplever att möjligheten till fullt deltagande finns. Individen ser i stället fortsatt marginalisering eller fullt icke-deltagande som möjlig framtid.

3.3 Sammanfattning

Sfard och Prusak (2005) definierar begreppet identitet som berättelser om oss själva som vi skapar och återskapar i samspel med andra, och skiljer mellan faktiskt identitet och förväntad identitet. Lärande är ett sätt att sluta gapet mellan de båda identiteterna, och upplever individen ett konstant gap mellan dem påverkar det lärandet negativt (Sfard & Prusak, 2005). En annan definition av identitetsbegreppet har Skovsmose (2005), som använder begreppet förgrund. Individen skapar sina förgrunder utifrån sina upplevda möjligheter, och förgrunderna påverkar individens inställning till matematik. En förstörd förgrund kan vara det största hindret för lärande, menar Skovsmose (2005). Cobb et al. (2009) beskriver tre former av identitetsskapande i matematikklassrummet: identifikation med de pågående aktiviteterna, samverkan enbart med läraren samt vägran att delta i aktiviteterna. Identitetsbegreppet delas upp i personlig och normativ identitet, där den normativa identiteten kännetecknar en framgångsrik matematikelev (Cobb et al., 2009).

Kontexten har stor betydelse för identitetsskapandet (Boaler, 1999), och olika lärandemiljöer skapar olika möjligheter och begränsningar. I matematikklassrummet lär sig eleverna inte bara matematik, utan utvecklar även eleverna attityder och uppfattningar om matematik (Boaler, 1999). I matematikklassrummet utvecklas ett didaktiskt kontrakt mellan läraren och eleverna (Brousseau, 1997). Detta beskriver de förväntningar och uppfattningar som kännetecknar matematikundervisningen i det specifika klassrummet. Blomhøj (1994) menar att det didaktiska kontraktet är en förutsättning för undervisningen, då det bidrar till att lärare och de flesta elever känner sig trygga. Läraren har en avgörande roll i elevers identitetsskapande, eftersom identiteten formas av läraren och dennes klassrumspraktik (Grootenboer, 2013). Läraren bör vara medveten om det bredare lärande som sker i matematikklassrummet och se matematiklärande som en utveckling av den matematiska identiteten.

Wengers (1998) sociala lärandeteori utgår från att lärande förutsätter social delaktighet, vilket innebär att delta i olika praktikgemenskaper och inom dessa konstruera olika identiteter. Praktikgemenskaper finns överallt och vi tillhör alla olika praktikgemenskaper. I en praktikgemenskap utvecklas en gemensam överenskommelse kring vad som gäller i gemenskapen, till exempel hur vi agerar eller talar. En förutsättning för skapandet av en praktikgemenskap är att medlemmarna ges möjlighet att engagera sig i varandra och på så sätt

erkänna varandra som deltagare i gemenskapen. I skapandet av gemenskapen sker även ett identitetsskapande. Identitet kan både uppfattas som individuell och kollektiv, då den fokuserar på individen i ett socialt perspektiv. Identitet kan definieras som en komplex väv av upplevelser av deltagande.

Även ett icke-deltagande formar vår identitet. Wenger (1998) beskriver fyra kategorier av deltagande: fullt deltagande, perifert icke-deltagande, marginaliserat icke-deltagande och fullt icke-deltagande. Skillnaden mellan perifert och marginaliserat icke-deltagande definieras av hur individen upplever sina framtida möjligheter till deltagande. En perifer icke-deltagare ser möjligheten till fullt deltagande eller fortsatt perifert deltagande medan en marginaliserat icke-deltagare ser fortsatt marginaliserat icke-deltagande eller fullt icke-deltagande som möjlig framtid. Dessa två upplevelser av deltagande skapar kvalitativ mycket olika identiteter.

4 Metod

4.1 Metodval

Tidigare forskning kring barns uppfattningar om matematik har haft varierande metodologiska ansatser, både kvantitativa och kvalitativa. Studierna med kvantitativ ansats tenderar att vara surveyundersökningar, med ett relativt stort antal respondenter. Syftet med min undersökning är dock inte att söka generaliserbarhet, utan att beskriva några grundskolelevers syn på matematik och på sig själva som matematiker, och därför valde jag en kvalitativ ansats för min studie.

Jag inspirerades av Eisenhart (1988) som beskriver etnografi som metod i studier kring undervisning och lärande i matematik. Hon menar att människor påverkas av den kontext de befinner sig i, och uppträder och lär utifrån sina tolkningar av denna kontext. För att försöka förstå denna helhet bör flera metoder användas, då olika metoder ger olika perspektiv. Eisenhart (1988) lyfter fram olika etnografiska metoder, varav deltagande observation och intervjuer var de metoder som bäst passade denna studies syfte. Jag är medveten om att jag saknade förutsättningar för att genomföra en fullskalig etnografisk studie, men genom att använda några av etnografins metoder blev det möjligt att genomföra vad Bryman (2011) kallar för en form av mikro-etnografi. Mikro-etnografi innebär att fokusera på en viss aspekt av ett tema, vilket i mitt fall innebar ett fokus på hur några grundskolelevers syn på matematik och på sig själva som matematiker.

4.1.1 Deltagande observation

Fangen (2005) beskriver deltagande observation som en metod där forskaren både observerar och deltar i människors interaktioner. Forskaren har alltså två roller på samma gång, en deltagande roll och en observerande, och det är viktigt att hitta en balans mellan dessa. De roller som forskaren intar kan klassificeras utifrån grad av deltagande i den sociala miljön som studeras, från fullständig anslutning till fullständig åtskillnad till det som observeras. Forskarens grad av deltagande kan variera över tid.

4.1.2 Den kvalitativa forskningsintervjun

Att intervjua i forskningssyfte är enligt Kvale och Brinkmann (2014) ett sätt att producera kunskap, och i den kvalitativa forskningsintervjun produceras kunskapen genom ett socialt samspel mellan intervjuare och intervjuperson. Till skillnad från intervjuer i kvantitativa studier, till exempel surveyintervjuer, som är mer strukturerade och slutna i sin form, har de

2011) och ger utrymme för intervjupersonerna att svara med egna ord. Detta gör att produktionen av data är beroende av intervjuarens kunskaper i ämnet och färdigheter i att ställa frågor (Kvale & Brinkmann, 2014). I min studie har jag således valt kvalitativ forskningsintervju som metod, då syftet med studien var att beskriva några grundskolelevers syn på matematik och på sig själva som matematiker.

4.2 Urval

Undersökningen genomfördes med fem elever i årskurs 4 på en grundskola i Skåne. Skolan är en tvåparallellig F-5-skola med ca 300 elever. Urvalet skedde genom ett så kallat bekvämlighetsurval (Bryman, 2011), vilket innebär att urvalet består av personer som vid tillfället för studien finns tillgängliga för forskaren. Jag valde medvetet att genomföra undersökningen på skolan där jag sedan årsskiftet arbetar som speciallärare, för att kunna skapa så många observations- och intervjutillfällen som möjligt. Anledningen till att jag valde elever i årskurs 4 var att jag deltog i de flesta av veckans matematiklektioner i dessa två klasser. Jag var medveten om risken för bias genom att genomföra undersökningen på min arbetsplats, men eftersom jag tidigare inte arbetat i klassen hade jag ingen relation till eleverna, och kände därför att fördelarna övervägde. Vidare diskussion kring eventuell bias för jag i metoddiskussionen.

4.3 Genomförande

Efter att ha presenterat min studiedesign till rektor och berörda klasslärare, som ställde sig positiva till att medverka, skickade jag ut ett missivbrev (bilaga A) till berörda föräldrar. I missivbrevet presenterade jag kort min studie och bad om tillstånd att intervjua deras barn. 4.3.1 Intervjuer

Inför intervjuerna skapade jag en intervjuguide (bilaga B), som utformades med öppna frågor grupperade i teman. Enligt Kvale och Brinkmann (2014) bör intervjuarens frågor vara korta och enkla, så det strävade jag efter. Inspiration till frågornas innehåll och formuleringar fick jag från Lange (2009).

I överenskommelse med barnen skedde intervjuerna antingen enskilt eller i par, och varje intervju spelades in. Jag intervjuade fem barn, tre flickor och två pojkar. Intervjuerna genomfördes vid fyra tillfällen och varade i genomsnitt ungefär 17 minuter. Efter varje tillfälle transkriberades den inspelade intervjun. Vid transkriberingen valde jag att återge uttalandena så ordagrant som möjligt genom att markera till exempel pauser, skratt och betoningar. Motiveringen till detta val var att jag tyckte det var viktigt att återge de

emotionella aspekterna av intervjuerna, då de kunde tillföra ytterligare en dimension till elevernas uttalanden. Däremot valde jag att använda korrekt stavning av orden, även då talspråk användes, dels för att transkriptionerna skulle vara lättare att läsa och dels för att det annars skulle kunna ge ett simpelt intryck och vara oetiskt (Stukát, 2011).

4.3.2 Klassrumsobservationer

Klassrumsobservationerna genomfördes vid sju tillfällen under vårterminen 2015. Under observationerna tenderade jag att växla mellan rollen som icke-deltagande observatör och rollen som delvis deltagande observatör (Fangen, 2005). Rollen som icke-deltagande observatör intog jag oftast under matematiklektionernas inledning, för att under lektionens gång växla till en mer deltagande roll. Detta föll sig naturligt då matematiklektionerna vanligtvis inleddes med att läraren gick genom ett moment för att sedan låta eleverna arbeta på egen hand.

Jag genomförde olika typer av fältanteckningar beroende på vilken roll jag intog. Som icke-deltagande observatör antecknade jag under tiden, och försökte fånga det som skedde i klassrummet som eleverna upplevde det. Enligt Fangen (2005) bör anteckningarna vara så beskrivande som möjligt, och tolkningar och värderingar av det som sker bör undvikas, vilket jag strävade efter under observationerna.

I min roll som delvis deltagande observatör valde jag däremot att anteckna i efterhand, vanligtvis direkt efter lektionens slut. Anledningen till detta var att jag ville engagera mig mer i barnens arbete med matematiken. Till min hjälp hade jag ett litet anteckningsblock där jag vid behov skrev ner vissa stolpar för att underlätta efterarbetet.

4.4 Analysval

Eftersom kvalitativa data ofta härrör från intervjuer och deltagande observation brukar den generera ett omfattande textmaterial, vilket kan medföra ett omfattande analysarbete. Dessutom finns det inga entydiga regler eller metoder, som vid analys av kvantitativa data (Bryman, 2011). Något som också skiljer dessa två åt är att insamlingen av kvalitativa data och analysen sker löpande under studiens gång (Bryman, 2011; Eisenhart, 1988).

Fejes och Thornberg (2009) menar att eftersom varje kvalitativ undersökning är unik, blir även analysvalet unikt. Jag valde att utgå från Eisenharts (1988) exempel på analysmetod, vilken kortfattat innebär att meningsfulla delar av materialet organiseras i teman, som sedan reflekteras över utifrån valda teorier.

avsnitten. Därefter kategoriserade jag relevanta uttalanden och händelser i teman och sammanställde dessa. Denna strategi har vissa likheter med Framework, som är en metod för att i matrisform ordna och sammanställa kvalitativa data (Bryman, 2011). Slutligen reflekterade jag över materialet utifrån tidigare forskning och det teoretiska ramverk som jag tidigare beskrivit.

4.5 Studiens tillförlitlighet

Enligt Bryman (2011) består en kvalitativ studies tillförlitlighet av delkriterier med motsvarigheter i kvantitativ forskning, till exempel trovärdighet och pålitlighet, som motsvarar begreppen validitet respektive reliabilitet i kvantitativ forskning.

Trovärdighet skapas enligt Bryman (2011) genom att säkerhetsställa att studien genomförts enligt de regler som finns och att resultaten överensstämmer med undersökningspersonernas uppfattningar och erfarenheter av det som studerats. Det sistnämnda kan uppnås genom så kallad respondentvalidering (Bryman, 2011), vilket innebär att forskaren förmedlar sina resultat till dem som ingått i undersökningen för att försäkra sig om dennes beskrivning är riktig. Pålitlighet handlar om transparens, det vill säga att samtliga faser i forskningsprocessen tydligt redovisas, så att kvaliteten i de tillvägagångssätt som valts och tillämpats kan bedömas (Bryman, 2011).

I min studie har jag strävat efter trovärdighet genom att genomföra studien i enlighet med de etiska principer som finns, se nedan. Då mina respondenter är barn valde jag att inte använda mig av respondentvalidering. I stället var jag noga med att vid flera tillfällen följa upp barnens svar under intervjuerna, till exempel genom att upprepa deras svar utifrån hur jag uppfattade dem och fråga om jag uppfattat dem rätt. För att öka studiens pålitlighet har jag försökt att beskriva hur jag gått tillväga så utförligt som möjligt.

4.6 Etiska överväganden

Enligt Ahlberg (2009) handlar forskningsetik om att ta hänsyn till och skydda de personer som berörs av forskningen. Viktiga etiska principer vid forskning är informationskravet, samtyckeskravet, konfidentialitetskravet och nyttjandekravet (Gustafsson, Hermerén & Petterson, 2005).

Informationskravet innebär att de personer som är inblandade i studien ska ha fått information om syftet med den samt de moment som ingår (Bryman, 2011). Innan studien påbörjades informerade jag rektor och berörda lärare om studiens syfte och upplägg. Därefter informerades elever i berörda klasser och deras föräldrar genom ett missivbrev (bilaga A). I

brevet fanns även mina kontaktuppgifter om mer information önskades.

Samtyckeskravet handlar om att deltagarna har rätt att bestämma om de vill medverka i undersökningen eller ej, och om deltagaren är minderårig krävs vårdnadshavares godkännande. Ahlberg (2009) menar att en forskningsetisk fråga är hur deltagaren påverkas under och efter projektet, och denna fråga är speciellt viktig att beakta då deltagarna är barn. Forskaren kan hamna i en maktposition gentemot barnet som kan ha svårt att gör sin röst hörd. Samtyckeskravet uppfylldes genom att föräldrarna skriftligen fick ge sitt godkännande till att deras barn skulle få delta i studien. I missivbrevet skrev jag dessutom att barnet när som helst fick välja att avbryta studien.

Enligt konfidentialitetskravet ska uppgifter om deltagarna i en undersökning ges största möjliga anonymitet. Detta krav har jag beaktat genom att avidentifiera det insamlade materialet. Allt inspelat material kommer dessutom att förstöras när studien är avslutad. Denna information delgavs i missivbrevet.

Nyttjandekravet innebär att de insamlade uppgifterna endast får användas i den aktuella studien, vilket informerades om i missivbrevet.

5 Resultat och analys

Resultatet av de genomförda intervjuerna och observationerna kommer att redovisas i de teman som framträdde under bearbetningen: social kontext, identitet och matematisk självbild samt syn på matematik. Varje tema analyseras och tolkas sedan utifrån den tidigare forskning och teoretiska ram som beskrivits i föregående kapitel. I elevcitaten används följande markeringar:

• [förtydligande] Mina förtydliganden av elevernas utsagor. • (…) Kort paus.

5.1 Social kontext

5.1.1 Intervjuer

De intervjuade eleverna uttrycker att läraren är viktig för deras möjligheter att lära sig matematik. Drygt hälften av eleverna nämner flera gånger att läraren lär ut, och att läraren därför måste kunna matematik. Vidare anser nästan hälften av eleverna att det finns ett rätt och ett fel sätt att lära ut, och att det är förmågan att kunna lära ut på rätt sätt som kännetecknar en bra lärare. Exempel på detta ger elev C som menar ”…det är bra lärare så att det inte är såna som lär [ut] jättekonstigt liksom”. Elev B instämmer i detta och beskriver dessutom vad hon menar med att läraren ska lära ut, nämligen vad eleverna ska göra: ”[En bra lärare] lär ut en (…) så de lär ut det rätta. Vad man ska göra och sånt.”

Samtliga intervjuade elever uttrycker att det är viktigt att vara duktig i matematik. Elev B berättar att hon inte vill visa när hon inte kan eller förstår det som de andra i klassen kan eller förstår. Hon menar att: ”…om jag behöver hjälp med den [uppgiften] och alla andra klarar den utom jag (…) då brukar inte jag (…) då är jag rädd för att räcka upp. Då frågar jag en kompis i stället”.

De intervjuade eleverna beskriver på ungefär samma sätt hur en vanlig matematiklektion brukar gå till. De berättar till exempel att de arbetar utifrån den planering som klassen får varje vecka. I veckoplaneringen står vilka uppgifter i läroboken som ska hinnas med under veckan. Elev E beskriver veckoplaneringen: ”Vi börjar så här (…) matteplanering (…) hur långt man har kommit (…) och det (…) och om man klarar hela matteplaneringen på en hel vecka så (…) det är jobbigt (…) det är jättemånga frågor”.

Vissa lektioner inleds med att läraren går genom hur eleverna ska lösa de aktuella uppgifterna. Detta sker vanligtvis när klassen börjar med ett nytt arbetsområde eller då en uppgift visat sig vara svår att lösa: ”Ibland så går hon igenom (…) och ibland så bara säger

hon att vi ska sätta igång där vi var. Och ibland när vi har fastnat på samma (…) tal (…) så gör vi dem tillsammans” (elev A). Oftast börjar dock eleverna att arbeta direkt med de uppgifter som står på veckoplaneringen.

Gemensamt för de fem intervjuade eleverna är att de uttrycker att de inte skulle vilja att matematiklektionerna såg ut på något annat sätt. Två av eleverna uttrycker sig till exempel så här: ”[Mattelektionen skulle se ut] så som den ser ut nu (…) alltså (…) alla är tysta och jobbar” (elev E), och ”[Jag vill att matematiklektionerna ska vara] som de brukar. Jag är van vid det” (elev D).

5.1.2 Observationer

Nedanstående observationer ger, i min tolkning av dem, exempel på två aspekter av den sociala kontexten, dels genom att ge en beskrivning av hur matematiklektionerna brukar inledas (observation 1), och dels genom att ge ett exempel på lärobokens centrala roll i undervisningen och hur en elevs tolkning av lärobokskoden kan påverka förståelsen av en matematisk uppgift (observation 2).

Observation 1:

Det är måndag och läraren delar ut veckans matteplanering. Den ska vara klar under veckan, och om eleverna inte hinner göra den på lektionerna har eleverna dessa uppgifter i läxa. Läraren går sedan genom en uppgift ur boken som handlar om beräkning av tid. Hon visar hur de ska lösa uppgiften och på vilket sätt de ska redovisa hur de löst den. Sedan säger hon att eleverna kan börja jobba. Eleverna går till sina backar och tar sina böcker samt penna och suddgummi. När eleverna tagit sitt material går de tillbaka till sina platser. Tre flickor går direkt till grupprummet.

Observation 2:

I grupprummet sitter tre flickor runt ett bord. De räknar i läroboken utifrån veckoplaneringen. När en uppgift är gjord stryker de den på planeringen. Efter ett tag frågar jag hur det går för dem. En av flickorna svarar ”Jag är på uppgift 32”. Hon räknar sedan vidare. Efter ett tag kommer hon till en sida som kallas Repetera. Den är en sammanfattning av kapitlet. Hon läser första uppgiften flera gånger (uppgiften är att bestämma vem av tre barn som är äldst utifrån vilket år de är födda). Sedan säger hon till mig: ”Jag kan inte denna”. Vi läser den tillsammans och jag frågar henne vad hennes första tanke är. ”Johan” svarar hon och jag frågar varför hon just valde Johan. ”Han är ju född tidigast”, svarar hon. Jag nickar och hon säger ”Var det bara det? Var det så lätt?”.

5.1.3 Analys

Genom intervjuerna och observationerna framkommer en bild av den normativa identitet (Cobb et al., 2009) som finns i klassen. Ansvaret för lärandet förefaller ligga hos läraren, det är lärarens uppgift att lära ut matematik till eleverna. De intervjuade eleverna betonar lärarens roll för deras utveckling i matematik, något som skiljer sig från resultatet i Roeskens et al. (2011) studie. I deras studie låg lärarens kvalitet bland de dimensioner som eleverna uppfattade var av lägst betydelse för deras syn på sig själva som lärande av matematik. I min studie upplevde däremot de intervjuade eleverna att läraren var av stor betydelse.

Läraren är också den som visar vilka metoder och strategier som ska användas, inget i intervjuerna eller observationerna tyder på att detta ansvar brukar lämnas över till eleverna. En möjlig tolkning av dessa generella klassrumsprestationer (Cobb et al., 2009) kan vara att den normativa identiteten, det vill säga det som kännetecknar en kompetent elev i detta klassrum, är en elev som kan utföra matematiska procedurer.

Att elev B inte vill visa att hon inte kan eller förstår kan tolkas som att hon ger uttryck för att hon är rädd för att misslyckas med att uppfylla en viss social norm (Lange, 2009). Detta grundar sig, enligt Lange (2009), i att matematikämnet i skolan värderas högt och om eleven upplever misslyckande i matematik påverkar det dennes identitet och uppfattning om ämnet. Genom att dölja att hon tycker det är svårt riskerar inte elev B att visa att hon inte uppfyller denna sociala norm.

Intervjuerna och observationerna ger exempel på hur undervisningen kan präglas av ett didaktiskt kontrakt (Brousseau, 1997; Blomhøj, 1994). Enligt de intervjuade eleverna finns en tydlig struktur på matematiklektionerna, och denna struktur förefaller vara densamma över tid, något som också observationerna tyder på. Eleverna har tydliga uppfattningar och förväntningar på hur matematiklektionerna ska gå till, vilket är kännetecknande för ett didaktiskt kontrakt (Blomhøj, 1994), och ingen av de intervjuade eleverna uttrycker att de skulle vilja arbeta på något annat sätt. Det didaktiska kontraktet förefaller skapa en trygghet för eleverna i deras möte med matematikundervisningen (Blomhøj, 1994).

I observation 2 framträdde en liknande situation som Boaler (1999) beskriver. Elever som upplever läroboksstyrd undervisning lär sig tolka lärobokens koder, som till exempel att uppgifterna i boken blir svårare och svårare (Boaler, 1999). En möjlig tolkning är att eleven i observation 2 har lärt sig denna kod, eftersom hon upplever svårigheter när koden inte stämmer. Detta trots att det visar sig att hon behärskar själva matematiken i uppgiften.

5.2 Identitet och matematisk självbild

5.2.1 Intervjuer

Merparten av de intervjuade eleverna anser att vara duktig i matematik handlar om att vara snabb och att komma långt i läroboken. Elev E beskriver till exempel hur han genom att vara snabb får en bekräftelse på att han har lärt sig: ”…om det går snabbt att göra tal så vet jag (…) att jag är bra på det talet”. Nästan hälften av eleverna uttrycker att de tycker det är jobbigt och att de blir stressade när de märker att andra blir klara fort eller förstår det som de själva tycker är svårt, vilket skapar en känsla av att inte kunna: ”Och det är lite pinsamt liksom (…) man sitter där helt själv och har inte gjort några tal typ (…) så kanske känner man, nä jag är inte duktig på matte liksom. Jag kommer inte att klara detta” (elev B).

Merparten av eleverna menar att det krävs talang eller en medfödd förmåga för att bli duktig i matematik: ”Vissa föds med att vara bra och vissa föds med att vara dåliga” (elev E) och ”De [som är duktiga i matematik] kanske är smartare, tänker snabbare än andra gör” (elev B). Endast elev A nämner att det krävs ansträngning: ”Man måste öva och öva och öva ända tills man kan det”.

I samtal om elevernas framtid och varför matematik är viktigt utmärker sig elev A. Hon uttrycker en tydlig anledning till varför hon behöver lära sig matematik: ”…jag vill bli cancerforskare, då måste man kunna matte. Jag tycker det [matematik] är ganska viktigt om man vill tjäna ett bra jobb”. Ingen av de övriga eleverna förefaller ha någon klar uppfattning om varför matematik kommer att vara viktigt för dem i framtiden.

5.2.2 Observationer

Observationerna nedan har valts för att illustrera tolkningar av elevernas olika matematiska identiteter och former av deltagande.

Observation 3:

Tre flickor sitter vid ett bord och arbetar i läroboken. De sitter i grupprummet som ligger i anslutning till klassrummet. En av eleverna (elev 1) räknar på utan några direkta uppehåll och utan att be om hjälp. En annan av eleverna (elev 2) frågar på nästan varje uppgift om hennes metod är rätt och när jag bekräftar att den är det fortsätter hon att räkna. Varje gång hon frågar har hon valt rätt metod. Den tredje eleven (elev 3) ber också om hjälp flera gånger, men hon har ingen klar metod som behöver bekräftas. Hon uttrycker flera gånger att hon inte kan genom uttalanden som ”Jag kan inte såna här tal” eller ”Jag är så dålig på matte”. I samtal med eleven ger läraren henne hjälp med vilken metod hon ska använda och hon lyckas

Observation 4:

I samma grupprum, fast vid ett annat bord, sitter tre andra elever (pojkar). De har hörlurar på sig alla tre och fingrar på sina mobiltelefoner. Framför dem ligger häften med kopierade sidor ur läroboken samt veckoplaneringen. En av eleverna lämnar grupprummet för att hämta en penna som han glömt i klassrummet. De andra två eleverna börjar prata om motocross och vilken motorcykel som är snabbast. Den tredje eleven kommer tillbaka med sin penna. När han hör vad de andra diskuterar ger han också sig in i diskussionen. Efter en liten stund avbryter jag och frågar dem hur långt de kommit i matteplaneringen. Då börjar två av dem att arbeta med uppgifterna i häftet. Den tredje (elev 4) börjar återigen fingra på sin mobiltelefon. Jag upptäcker att han inte gjort klart de första uppgifterna på första sidan i häftet, hans lösningar är bara halvfärdiga. Jag frågar om han behöver hjälp med dessa uppgifter. Då lägger han ett papper över uppgifterna och sina lösningar så att de inte syns och säger att han ska göra en annan uppgift först. Jag lämnar honom för att hjälpa en av flickorna vid det andra bordet och när jag kommer tillbaka har han lämnat grupprummet. När lektionen slutar ungefär en kvart senare kommer han tillbaka, tar sina saker och går ut på rast.

5.2.3 Analys

Elevernas uppfattning om att vara matematiskt kompetent ger ytterligare en aspekt av den normativa identitet (Cobb et al., 2009) som råder i klassen. Enligt eleverna är en kompetent och framgångsrik matematikelev snabb och kommer långt i läroboken. Elev B uttrycker dessutom att det är pinsamt att inte vara lika snabb som de andra och att det ger henne en känsla av att inte vara duktig i matte. Elev E beskriver också hur han genom att vara snabb förstår att han har lärt sig. Att vara snabb i matematik är en prestation som påverkar den normativa identiteten och som eleverna antingen identifierar sig med eller motsätter sig (Cobb et al., 2009). För elev B förefaller den personliga och den normativa identiteten inte överensstämma, vilket gör att hon inte upplever sig lika matematisk kompetent som sina snabbare klasskamrater.

Att bli duktig i matematik kräver övning, menar elev A. Men hon uttrycker också att biologiska faktorer spelar en viss roll, då hon uttrycker att barn kan ärva egenskaper från sina föräldrar. Elev B och E uttrycker, liksom elev A, att matematisk kompetens är en talang eller något som är medfött, något som Roesken et al. (2011) också såg i deras studie. Förutom elev A nämner ingen av de fem eleverna ansträngning som ett sätt att bli duktig i matematik. Detta kan tolkas som att eleverna anser att ansvaret för lärandet av matematik till stor del ligger hos läraren.

Elev 3 ger i observation 4 på ett tydligt sätt uttryck för en faktisk identitet (Sfard & Prusak, 2005), då hon berättar att hon inte ”kan såna här tal” eller att hon är ”så dålig på matte”. Hennes formuleringar är i presens och i form av påståenden, något som kännetecknar uttryck för faktisk identitet (Sfard & Prusak, 2005). Hon ger i situationen inga uttryck för sin förväntade identitet. En möjlig tolkning är hon inte upplever gapet mellan identiteterna som konstant, då hon förefaller ha positiva känslor inför lärandet eftersom hon fortsätter att försöka utan att ge upp.

Ovanstående elever är alla medlemmar av en praktikgemenskap (Wenger, 1998), men deras placering i grupprummet under matematiklektionerna kan tolkas som en form av icke-deltagande (Wenger, 1998). På sätt och vis är de inte fullt icke-deltagande i praktikgemenskapen då de fysiskt är placerade utanför den. Det finns enligt Wenger (1998) två former av icke-deltagande, vilka båda kan skönjas i observationerna ovan. Elev 3 kan exemplifiera ett perifert icke-deltagande, då hon trots sin relativt negativa faktiska identitet kan tänkas ha en positiv förväntad identitet, en möjlighet till fullt deltagande. I situationen ovan ger inte elev 4 uttryck för varken sin faktiska eller förväntade identitet, men en möjlig tolkning av situationen är att han representerar ett marginaliserat icke-deltagande. Han markerar tydligt att han inte vill ha hjälp och lämnar sedan grupprummet, vilket leder till fullt icke-deltagande. En möjlig förklaring kan vara att han upplever ett gap mellan sin faktiska och sin förväntade identitet som han känner inte går att sluta, vilket medför negativa känslor inför lärandet (Sfard & Prusak, 2005).

Av de intervjuade eleverna är elev A den enda som uttrycker en tydlig förgrund (Skovsmose, 2005). Hon menar att matematik är viktigt för henne eftersom hon vill bli cancerforskare. Hennes förgrund kan sägas vara skapad ur denna upplevda möjlighet att kunna bli just det.

5.3 Syn på matematik

5.3.1 Intervjuer

De intervjuade eleverna är överens om att matematik innebär räknande, de nämner alla att det är viktigt att kunna räkna. De flesta nämner även multiplikation som det viktigaste räknesättet. Däremot uttrycker de en osäkerhet kring varför det är viktigt: ”Gånger [är viktigt]. För att man ska kunna liksom att räkna ut talen i matteboken” (elev B). Även elev E uttrycker att han tycker multiplikation är viktigt: ”[Det är viktigt att kunna] gånger (…) vet faktiskt inte varför (…) vi har jobbat mycket med det” (elev E).

Elev D och E skiljer sig från de övriga då de även nämner att klockan är viktig att kunna. De motiverar det med att det är viktigt att hålla tider: ”Klockan är ganska viktig för att veta (…) tider och så när man ska typ iväg (…) typ till skolan” (elev D) och ”Klockan [är viktig att kunna]. För om man ska kunna tiden till rast eller om det är mat eller lunch eller det vi kallar det” (elev E).

I samtal om framtiden uttrycker samtliga elever på olika sätt att de anser att vikten av att kunna matematik främst är kopplad till att kunna hantera pengar. De nämner olika situationer som exempel på detta, till exempel att betala räkningar eller att köpa och sälja saker. Elev B menar ” …om man jobbar i en kassa så måste man ju veta hur mycket pengar man ska ge tillbaka så man inte ger för mycket”.

5.3.2 Observationer

Situationen i observation 5 kan tolkas som ett exempel på hur undervisningen påverkar eleverna syn på matematik, genom att reducera matematik till ett räknande och utövande av vedertagna metoder, utan reflektion över metodens lämplighet.

Observation 5:

Eleverna arbetar med multiplikationsalgoritmen med ena faktorn ensiffrig. Läraren har gått genom metoden på tavlan och nu ska eleverna arbeta med uppgifterna i boken. I slutet av kapitlet finns en sida kallad problemlösning. Det är en sida med benämnda uppgifter. Tre elever sitter i grupprummet och arbetar. De löser de första uppgifterna med hjälp av multiplikationsalgoritmen utan att be om hjälp. Den fjärde uppgiften handlar om multiplikation med nollor, något som klassen arbetat med två veckor tidigare. De tre eleverna försöker lösa uppgiften genom uppställning, men får svårt och ber om hjälp. De frågar hur de ska göra med alla nollorna.

5.3.3 Analys

På matematiklektionerna utvecklar eleverna attityder och uppfattningar om matematik (Boaler, 1999). Den matematikundervisning som bedrivs påverkar således elevernas föreställningar om vad matematik är. Om matematikundervisningen fokuserar på regler och procedurer, utan koppling till elevernas vardag, är det denna bild av matematik som eleverna utvecklar. Observationerna och de intervjuade elevernas beskrivning av den matematikundervisning de deltar i ger en bild av en traditionell undervisning där läroboken i stor utsträckning styr. Detta kan skönjas i deras tankar kring vad som är viktigt att kunna i matematik. Samtliga fem elever uttrycker att det är viktigt att kunna räkna, framförallt

traditionell undervisning på räknande, utan koppling till elevernas vardag, vilket gör kunskapen tämligen kontextberoende och begränsad. Som elev B uttrycker det: ”Gånger [är viktigt]. För att man ska kunna liksom att räkna ut talen i matteboken.” De intervjuade eleverna kan inte riktigt förklara varför de tror att just multiplikation är viktigt. Elev E menar att det kan vara för att de har jobbat så mycket med det, vilket också visar hur undervisningen påverkar elevernas uppfattning av och syn på matematik.

Elev D och E nämner även klockan som något viktigt att kunna. En anledning till att de nämner just klockan kan vara att klockan var det aktuella arbetsområdet vid intervjutillfällena. De uttrycker att de ser ett tydligt syfte med att lära sig klockan, och även en användning av kunskapen utanför klassrummet. Boaler (1999) menar att om kunskapen begränsas till en viss kontext kan elever utveckla en uppfattning om att matematik är något som de bara gör i skolan, och som de inte har någon nytta av i andra kontexter. Att skolmatematiken kan upplevas kontextberoende blir synligt i elevernas tankar om vad de kan ha för nytta av matematik i framtiden. Det som eleverna nämner är främst kopplat till pengar, till exempel att sälja något eller att betala på restaurang. En möjlig tolkning är att den matematik som eleverna upplever att de har, eller kommer att ha, nytta av är inte den matematik som de möter i skolan (Boaler, 1999).

5.4 Sammanfattning

Observationerna och intervjuerna ger en bild av en normativ identitet (Cobb et al., 2009) som kännetecknas av att kunna utföra matematiska procedurer och att komma långt i läroboken. Ansvaret för lärandet ligger hos läraren, som ska lära ut matematiska metoder och procedurer till eleverna, och ansvaret att välja metoder förefaller sällan eller aldrig ligga på eleverna. Att vara snabb uttrycks vara en viktig aspekt av den normativa identiteten för några av de intervjuade eleverna. Genom att inte vara lika snabb som övriga elever känner sig elev B inte så duktig i matematik och elev E menar att han förstår att han har lärt sig när han upplever att han är snabb på att räkna. Att räkna, framförallt multiplikation, förefaller vara det viktigaste att kunna inom matematiken för de intervjuade eleverna, även om de inte kan uttrycka varför. En av eleverna menar att det är viktigt för att de har jobbat så mycket med det, vilket visar hur undervisningen påverkar elevernas syn på matematik.

Förekomsten av ett didaktiskt kontrakt (Brousseau, 1997; Blomhøj, 1994) kan skönjas både i observationerna och i intervjuerna. Det finns en tydlig struktur på matematiklektionerna, och de intervjuade eleverna har bestämda förväntningar om hur