Matematiklärare om problemlösning
- Åsikter och användning i undervisningen
Math teachers on problem solving
- Thoughts and applications in teaching
Lena Lindström
Examensarbete för lärarexamen Handledare: Katalin Földesi
i kunskapsområdet matematik Examinator: Andreas Ryve
VT 2009
Mälardalens högskola är en av Sveriges största högskolor. Nära Besöksadress: Drottninggatan 12 Besöksadress: Högskoleplan 1 Webb: www.mdh.se
samarbete med omvärlden gör våra utbildningar attraktiva för Postadress: Box 325, 631 05 Eskilstuna Postadress: Box 883, 721 23 Västerås E-post: info@mdh.se
Examensarbete för lärarexamen i kunskapsområdet matematik MOA004, 15 högskolepoäng
Sammanfattning
Lena Lindström Matematiklärare om problemlösning - Åsikter och användning i undervisningen2009 Antal sidor: 33 st
Syftet med arbetet är att kvalitativt undersöka matematiklärares åsikter omkring problemlösning på gymnasienivå; hur de uttalar sig om sin användning av problemlösning i sin undervisning och vilka fördelar och nackdelar de menar att det finns med att elever arbetar med problemlösning i sina matematikstudier. I min undersökning har jag intervjuat fem matematiklärare med olika bakgrunder och undervisningserfarenheter. Resultatet visar att lärarna har olika ramverk för hur de definierar och arbetar med problem och problemlösning. Tidigare forskning visar att en lyckad matematikundervisning genom problemlösning kräver tydliga ramverk. Att undervisa matematik genom problemlösning kan ge många positiva effekter, men lärarnas olika ramverk gör att de prioriterar och arbetar olika med problemlösning i sin undervisning.
Nyckelord:
Förord
Först och främst vill jag tacka pedagogerna för att de tagit sig tid för mig i sina upptagna scheman och delat med sig av sina värdefulla tankar, åsikter och erfarenheter. Intervjuerna med er alla var mycket givande både för mig personligen och för mitt examensarbete, jag hade aldrig kunnat genomföra min undersökning utan er.
Ett stort tack vill jag också rikta till min handledare Katalin, för all den tid, tålamod och stöd hon skänkt mig. Tack Katalin för din utmärkta handledning, att du har pushat på mig, trott på mig och haft så höga förväntningar på mig, det var precis vad jag behövde! Din hjälp har varit ovärderlig och jag kommer att sakna våra samtal. Jag vill även tacka min syster Linda för att hon funnits där och bidragit med sin outtömliga energi, goda humör, välsmakande mat och sina små ljuvliga tvillingar. Tack Linda för all skjuts och alla välbehövliga pauser i pluggandet som jag fick spendera med dig och mina gudbarn.
Sist men inte minst, vill jag tacka min sambo David för att han kärleksfullt tagit hand om mig och min växande mage. Tack för att du har stått ut med mina graviditetshormoner och plötsliga behov av att panikstäda för att skapa de optimala pluggförutsättningarna här hemma. Jag hade aldrig klarat av att skriva detta arbete om det inte hade varit för dig. Tack hjärtat, snart är vi två tre!
Innehållsförteckning
1 INLEDNING...5 1.1 SYFTE...5 1.2 FRÅGESTÄLLNINGAR...6 1.3 DISPOSITION...6 2 TEORI...6 3 LITTERATUR...8 3.1 FORSKNINGOMPROBLEMLÖSNING...8 3.1.1 En svensk studie...8 3.1.2 En amerikansk studie...9 3.2 PROBLEMLÖSNINGIUNDERVISNING...11 3.3 PROBLEMLÖSNINGISTYRDOKUMENT...12 3.3.1 Kursplaner...12 3.3.2 Läroplan...12 4 METODOLOGI...13 4.1 KVALITATIVUNDERSÖKNING...134.2 RELIABILITETOCHVALIDITET...13
4.3 INTERVJUER...14 4.3.1 Intervjufrågorna...14 4.3.2 Bearbetning av insamlingsdata...14 4.4 METODANALYS...15 5 RESULTAT...16 5.1 INFORMANTERNA...16 5.2 ANALYSAVINTERVJUER...16 6 SLUTSATSER...27 7 DISKUSSION...30 7.1 FORSKAVIDARE...31 REFERENSER...32 BILAGA A...33
1 Inledning
Som snart nyexaminerad gymnasielärare i matematik och fysik står jag inför en spännande och enorm utmaning där jag äntligen får komma ut på riktigt i arbetslivet, efter att ha suttit i skolbänken så länge. Förutom styrdokumentens riktlinjer, vill jag bedriva en målmedveten undervisning där jag entusiasmerar, intresserar och vägleder eleverna i deras lärande inom matematiken. Under mina lärarstudier har jag intresserat mig extra för hur olika gymnasielärare tänker och arbetar omkring problemlösning. När jag själv gick i grundskolan och gymnasiet upplevde jag att fokus låg på en tyst klassrumsundervisning, där varje elev arbetade för sig själv i kursboken. Få var de tillfällen då vi fick avnjuta en varierad undervisning, såsom exempelvis att arbeta med större matematiska problem och samtala med varandra omkring dem. Med varierad undervisning, där läraren använder sig av ett smörgåsbord av olika undervisningsformer och strategiskt valda problem med en vardagsanknuten kontext, tror jag att det finns många fördelar att hämta för elevens matematikinlärning såsom djupare och mer sammanhängande matematisk förståelse, ökad självkänsla och genuint intresse för ämnet.
Dagens styrdokument (Skolverket, 2009a och 2009b) betonar att matematik-undervisning i gymnasieskolan syftar till att elever kritiskt ska kunna analysera och lösa problem, för att självständigt kunna ta ställning i vardagliga frågor i samhället. Syftet är också att de, såväl enskilt som i grupp, utvecklar sin förmåga att tolka, formulera problem med matematiska begrepp och symboler samt välja strategi för att lösa problem. Det betonas att problemlösningsprocessen är en viktig och skapande aktivitet som kräver tid och elever måste få kommunicera omkring sina idéer och tankegångar. Val av problem ska därutöver ha anknytning till elevers studie-inriktning.
Matematisk problemlösning i undervisning är ett populärt forskningsområde både i Sverige och runt om i världen, men det finns fortfarande mycket kvar att forska på området. Enligt Hagland, Hedrén och Taflin (2005), har problemlösning genom kursplanernas historia varit ett viktigt inslag och man kan anta att det kommer att fortsätta vara det även framöver. I dessa förändringstider där nya kursplaner vankas, är det högst relevant att undersöka hur lärare verkligen tänker omkring problemlösning och hur de använder sig utav det i verkligheten. Genom att få en bild av hur olika det ser ut i matematikundervisningen runtom i landet torde en sådan kartläggning kunna bidra till hur man ytterligare kan optimera arbetet omkring och matematikundervisning genom problemlösning.
1.1 Syfte
Syftet med arbetet är att kvalitativt undersöka matematiklärares åsikter omkring problemlösning på gymnasienivå; hur de uttalar sig om sin användning av problemlösning i sin undervisning och vilka fördelar och nackdelar de menar att det finns med att elever arbetar med problemlösning i sina matematikstudier.
1.2 Frågeställningar
1. Vad tycker matematiklärare att problemlösning är och hur beskriver de sin användning av problemlösning i sin undervisning?
2. Vad tror matematiklärare att elever kan utveckla för kompetenser genom att arbeta med matematiska problem?
3. Vad anser matematiklärare att det finns för fördelar och nackdelar med att arbeta med problemlösning?
1.3 Disposition
Detta examensarbete består av sju kapitel. Nedan följer en kortfattad beskrivning av vad de olika kapitlen innehåller.
Kapitel 2 innehåller det teoretiska ramverket omkring vilket undersökningens resultat analyseras.
Kapitel 3 redogörs tidigare forskning omkring problemlösning, problemlösning i undervisningen samt vad styrdokumenten skriver om problemlösning.
I kapitel 4 beskrivs hur undersökningen har gått till med motivering till intervjuer som val av metod av insamlingsdata. Här finns även en metodanalys av undersökningens brister.
I kapitel 5 presenteras informanterna kort följt av en redovisning av analysen av intervjuerna.
I kapitel 6 besvaras undersökningens frågeställningar utifrån analysen av intervjuerna, det teoretiska ramverket och tidigare forskning omkring problem-lösning.
I kapitel 7 presenteras en diskussion omkring undersökningens slutsatser och resultat. Här finns även en motivering till fortsatt utvidgad och kvantitativ forskning på området.
2 Teori
I detta kapitel beskrivs vad ett matematiskt problem är, hur problemlösning går till och vilka kompetenser man behöver ha för att kunna lösa ett matematiskt problem. Ryve (2006b) beskriver ett ramverk omkring kunskap i matematik. Ett begreppsligt ramverk är nödvändigt att utgå ifrån, för att man ska kunna strukturera funderingar och diskussioner inom området. Författaren beskriver ett ramverk som delar upp kunskap i matematik i fem sinsemellan relaterade komponenter:
1. Begreppsförståelse – insikt och kunskaper om begrepp, fakta och algoritmer. 2. Räknefärdighet – kunna utföra beräkningar på olika sätt, exempelvis
huvudräkning och med papper och penna.
3. Problemlösningsförmåga – kännedom om hur man löser problem. 4. Matematiskt-logiskt resonemang – kunskaper om bevisföring. 5. En positiv inställning till matematik.
Ett matematiskt problem, enligt Ryve (2006a), är en uppgift man söker en lösning till, som man ännu inte besitter någon färdig matematisk lösningsstrategi för. Det innebär att två individer kan ha olika uppfattningar om en och samma matematiska uppgift. För en person är uppgiften ett matematiskt problem, om han eller hon inte känner till någon lösningsmetod. Medan det inte är ett matematiskt problem för den andra personen som ser hur uppgiften kan lösas. Hagland, Hedrén och Taflin (2005) beskriver vidare skillnaden mellan ett matematiskt problem och en rutinuppgift. Den senare varianten leder inte till några svårigheter för den som löser uppgiften och fungerar då som ren färdighetsträning. Förutom att ett matematiskt problem är en typ av uppgift som en person vill eller behöver lösa, och som inte känner till något sätt att lösa det, krävs det en ansträngning av personen för att kunna lösa uppgiften. Ett matematiskt problem kräver som ovan konstaterat en strategi eller metod för att kunna lösas. Pólya (1990 [1945]) delar upp denna problemlösningsprocess i fyra faser:
1. Förstå problemet – Ta reda på vilka data som är givna, okända och vilka villkor som ställs. Det behöver inte vara elevernas fel om de är ointresserade av problemet eller inte förstår det. Problemet behöver vara väl valt, intressant, lagom svårt och presenteras på ett bra sätt. Under denna fas sätter man in sig i problemet och klargör att man förstår helhet och detaljer, man inför beteckningar och ritar eventuellt en figur.
2. Gör en planering – Hitta samband bland data, givna villkor måste tas hänsyn till, formulera om problemställningen, dela upp problemet i mindre delar, lös liknande problem, osv. Under denna fas funderar man ut en strategi för hur problemet kan lösas. Man tar hjälp av tidigare kunskaper och erfarenheter. 3. Genomför planen – Lös problemet enligt planeringen. Kontrollera så gott det
går att varje delmoment sker korrekt och är bevisbart.
4. Kontrollera och reflektera omkring lösningen – Under denna fas granskar man sin lösning. Man diskuterar omkring den, kontrollerar resultat och bevisföring. Författaren menar att detta är ett viktigt och lärorikt moment i problemlösningsprocessen för matematikinlärningen. Genom att bearbeta olika lösningar, undersöka om resultatet kunde ha härletts på något annat enklare vis och fundera omkring användbarheten av lösningsstrategin för andra problem kan elever ytterligare befästa sina kunskaper och utveckla sin förmåga att lösa problem.
Pólya diskuterar även omkring att ta en rast ifrån problemet och göra något helt annat. Det är inte ovanligt att man hittar en lösning efter att ha lagt ifrån sig problemet en stund. Kanske har man inte tänkt helt klart, gjort något slarvfel eller missuppfattat något villkor, etc.
En variant av matematiska problem är rika matematiska problem. Hagland, Hedrén och Taflin (2005) hävdar att ett rikt matematiskt problem behöver uppfylla ytterligare sju kriterier, förutom de ovan nämnda villkoren. Problemet ska:
1. introducera viktiga matematiska begrepp eller idéer – för att knyta samman tidigare kunskaper med nya.
2. vara lätt att förstå – alla elever, oavsett nivå, måste förstå problemet för att kunna arbeta med det. Det ska kunna bearbetas länge utan att all matematik i problemet behandlats.
3. upplevas som en utmaning – det ska passa alla elever och kräva ansträngning för alla elever att lösa problemet, oberoende av förmåga och intressegrad. Det måste också tillåtas få ta tid att lösa problemet.
4. kunna lösas på olika sätt – det ska finnas flera olika lösningsmetoder.
5. kunna sätta igång en matematisk diskussion – det är viktigt att skapa en diskussion omkring elevers olika tankar, lösningar och strategier.
6. kunna binda samman olika matematiska områden – för att elever ska få se sammanhang mellan olika områden som exempelvis geometri, algebra, aritmetik mm.
7. kunna leda till att elever kan konstruera liknande problem – för att de ska få använda, bygga på och fördjupa sina nyvunna kunskaper.
Shoenfeld (1992) beskriver fem kompetenser som är nödvändiga att ha för att kunna lösa ett matematiskt problem:
1. Kunskapsbas – Kunskapsbasen är de kunskaper och färdigheter man behöver ha inom det matematiska området för att man ska kunna lösa problemet.
2. Problemlösningsstrategier – Även kallad heuristik, är att man känner till och kan använda en eller flera tillvägagångssätt för att lösa problemet.
3. Kontroll – Kontroll över lösningsprocessen är nödvändigt för att man ska kunna ha ordning på, och kunna reflektera över, sina tankegångar.
4. Tilltro – Tilltro till sig själv, matematik och sin egen förmåga påverkar i stor grad ens prestation när man ska lösa ett matematiskt problem.
5. Praktik – Man behöver övning för att bli en duktig problemlösare. Genom träning lär man sig komma i rätt sinnesstämning, hitta bra vanor och infallsvinklar att lösa olika typer av problem.
Ryve (2006b) menar att om man besitter problemlösningsförmåga så kan man lösa och formulera matematiska problem med utgångspunkt från vardagssituationer. Man kan även lösa problem på olika sätt och med olika metoder såsom algebraiskt, logiskt, grafiskt, aritmetiskt osv.
3 Litteratur
I detta kapitel beskrivs några exempel på tidigare forskning omkring problemlösning, problemlösning i undervisning och vad styrdokument skriver om problemlösning.
3.1 Forskning om problemlösning
3.1.1 En svensk studie
Ryve (2006a) har i sin studie bland annat undersökt hur två olika klasser med matematiklärarstudenter undervisas i problemlösning. Kurserna var olika upplagda relationsmässigt till innehållet i kursen, didaktiken och kommunikationen omkring problemlösning. I den första klassen, kallad TE1, koncentrerades undervisningen omkring ren matematik. I den andra klassen, kallad TE2, låg fokus på hur man undervisar matematik genom problemlösning på gymnasienivå.
I TE1 fick lärarstudenterna inga tydliga instruktioner på hur de skulle presentera sina lösningar och heller inget tydligt ramverk för hur man kan hantera problem. Det ledde till att lärarstudenter själva fick bestämma hur de skulle utföra uppgiften. De
kunde själva välja hur uppgifternas lösning skulle presenteras. Om en eller flera lösningar skulle visas, hur lösningar skulle presenteras och hur diskussionen omkring lösningen efteråt skulle ske. Det resulterade i att studenterna sällan presenterade flera lösningar, då det inte var något krav för att bli godkänd i kursen.
I TE2 uppmuntrades studenterna till att diskutera och jämföra olika lösningar till samma uppgift. Ryve (2006a) ser fler fördelar med det; dels får de möjlighet att jämföra fördelar och nackdelar med olika lösningar och dels använde de sig ofta av ett problemlösningsramverk när de reflekterade omkring olika lösningar. Det resulterade i att eleverna naturligt diskuterade didaktik inom matematisk problemlösning.
En slutsats Ryve (2006a) drar utav detta är att ett problemlösningsramverk är grundläggande för att elever ska kunna reflektera och diskutera omkring problemlösning. Med hjälp av konceptuella ramverk kan man fokusera på det som är viktigt i undervisningen, samt att det bidrar till att strukturera funderingar och diskussioner omkring problemlösning. Att lärarstudenter får reflektera omkring sina lösningar är extra viktigt då de måste kunna diskutera och förstå olika sätt att lösa problem i sin framtida undervisning. Ett problemlösningsramverk kan också hjälpa lärare att undvika att studenter koncentrerar sig på att uppnå resultat som de tror att lärarna vill åt. Därför är det viktigt att beakta kursmål och ha ett tydligt ramverk. Ryve (2006a) menar att matematikkurser för lärarstudenter är starkt beroende av kurslitteratur i Sverige. Det finns dock ingen väletablerad undervisningslitteratur om problemlösning i Sverige. Lärarna använder sig av varierade källor och ramverk som styrdokument, vetenskapliga artiklar, kurslitteratur, nationella prov eller uppgifter som de formulerat själva. Val av arbetsuppgifter är också viktigt. De matematiska kunskaperna som man vill att studenterna ska lära sig måste finnas inbäddade i problemen studenterna får arbeta med. Nivån på vilken uppgifterna ligger spelar också stor roll. Om uppgiftens nivå ligger på samma nivå som lärarstudenterna kommer att undervisa på, kan fina tillfällen att diskutera matematikdidaktiska perspektiv av problemet uppstå. Eller om uppgiften ligger på högskolenivå, så bör innehållet vara av sådan typ av matematik.
3.1.2 En amerikansk studie
Lester och Lambdin (2006) skriver om matematikundervisning i amerikanska skolor och vad de anser att det finns fördelar med att undervisa matematik genom problemlösning. Författarna hävdar att den traditionella undervisningen i stort sätt kan generaliseras utifrån följande aspekter:
- Elever arbetar mestadels med uppgifter i sin lärobok, där uppgifterna i allmänhet är korta och utan kontext. Syftet är att de ska lära sig arbeta med lösnings-algoritmer och öva sina färdigheter.
- Lärare visar elever vanliga lösningsalgoritmer, som eleverna förväntas öva in och ta efter. De problem som förekommer är oftast mindre komplicerade samt att de ges i samband med bearbetning av lämpliga lösningsalgoritmer att använda till. - Elever som arbetar enligt mönster visat av läraren och lärobok belönas med
beröm och bra betyg. Korrekta svar överensstämmande med facit är viktigare än vägen dit.
Följden blir att många elever får ytliga och osammanhängande matematiska kunskaper som de har svårt att använda sig av till vardags. För att motverka detta, menar författarna att elever borde undervisas i matematik genom problemlösning. Genom att undervisa matematik genom problemlösning engageras och intresseras elever, de upplever mening med att lära sig det matematiska stoffet. De lär sig också utveckla strategitänkandet i hur man löser olika typer av problem. Det är viktigt att de problem som används i undervisningen har en koppling till den matematik man vill att eleverna ska lära sig, de får inte enbart vara underhållande. Problemen måste både vara utmanande och bygga vidare på tidigare matematiska kunskaper hos alla elever. Läraren behöver inspirera eleverna till att arbeta med problemlösning. Elever behöver också reflektera över såväl sina egna lösningsmetoder som sina klasskompisars, samt över den matematik de lär sig.
Lester och Lambdin (2006) menar att matematisk förståelse och problemlösning är målen för lärandet av matematik. Med bristfälliga matematiska kunskaper och förståelse klarar man sämre av att lösa problem inom matematiken och i vardagen. De hävdar därför att djupare förståelse bäst uppnås via problemlösning, varför de anser att den amerikanska undervisningen beskriven ovan måste förändras.
Författarna beskriver sex fördelar med att lära sig matematik med förståelse som mål:
1. Motivation – När man vinner förståelse uppmuntras man av en inre motivation att lära sig mer. Man upplever att man lyckas, vilket både är entusiasmerande och förbättrar självtilliten.
2. Fortsatt förståelse – Genom att använda tidigare kunskaper och erfarenheter upplever man en nytta av att fortsätta utvecklas och lära sig mer.
3. Förståelse istället för onödig memorering av fakta – När man förstår olika matematiska principer, är det lättare att minnas kunskaper i jämförelse med att man minns osammanhängande fakta.
4. Återanvända kunskap i olika sammanhang – Målet med utbildning är att man ska få användning av sina kunskaper i verkliga livet. Vid en djupare förståelse har man bättre förutsättningar att kunna använda sina kunskaper i andra situationer än under matematiklektionerna.
5. Positiv syn på matematik – Förståelse gör att matematik upplevs logiskt, kunskaperna får en innebörd och ett sammanhang. Man får ett stärkt självförtroende och matematiska utmaningar blir roligt och sporrande.
6. Självständighet – Amerikansk undervisning ersätter i stor grad små barns naturliga och fria nyfikenhet till att efterlikna de metoder och arbetssätt som förmedlas av läromedel och lärare. Lärande genom problemlösning inspirerar till ett friare arbetssätt. Det leder till att man blir mer självständig och får ökad tillit till sin egen kapacitet.
3.2 Problemlösning i undervisning
Hagland, Hedrén och Taflin (2005) förespråkar en varierad undervisning, där problemlösning är en viktig del av undervisningen i kombination med traditionella genomgångar av nya moment, färdighetsträning, projektarbeten, laborationer, experiment, undersökningar, spel mm. En varierad undervisning leder till att elever känner lust och motiveras till att vinna kunskaper och färdigheter beskrivna i kursplaner.
Liksom Lester och Lambdin (2006) anser Hagland, Hedrén och Taflin (2005) att kompetenser som elever utvecklar med att arbeta med problemlösning är förmågan att tänka kreativt, självständigt, logiskt, systematiskt och strukturerat. Genom att elever får arbeta med problemlösning upplever de glädje, lust och motivation till ett fortsatt lärande. Självförtroendet stärks och det är viktigt för dem att få ta del och diskutera omkring andras och egna lösningar. Problemlösning förbereder elever inför deras fortsatta leverne i arbetslivet och samhället. Författarna menar även att elever genom arbete med problemlösning kan träna färdigheter, utveckla symbolspråk och bygga upp begreppsförståelse. Hagland, Hedrén och Taflin menar att rika matematiska problem ytterligare intresserar och bidrar till djupare matematiska kunskaper. Larsson (2007) hävdar också att elever utvecklar sitt abstrakta tänkande när de får reflektera och diskutera omkring olika lösningar till rika matematiska problem.
Att hitta problem att använda i undervisningen som passar alla elever kan vara svårt av flera skäl. Några faktorer som påverkar val av lämpliga problem kan exempelvis vara elevers olika utvecklings- och kunskapsnivåer inom ämnet samt intressegrad för ämnet och för problemkontext. Ett alternativ är att erbjuda eleverna olika problem, med olika svårighetsgrad och kontext. På så sätt har eleverna möjlighet att arbeta med problem som passar just dem. Hagland, Hedrén och Taflin (2005) förespråkar dock rika matematiska problem. Dessa problem erbjuder, som ovan nämnt, inte bara en utmaning för alla elever utan möjlighet för eleverna att arbeta med ett och samma problem på olika nivåer. Larsson (2007) förordar rika matematiska problem av samma anledning. Larsson menar att undervisningen blir individualiserad och erbjuder givande samarbets- och diskussionsmöjligheter i klassrummet. När elever får arbeta med olika problem av varierande svårighetsgrad så förloras dessa möjligheter. När en hel klass arbetar med ett och samma rika problem är en naturlig följd att eleverna kommer olika långt med sina lösningar. Någon elev kanske klarar av att lösa alla delproblem och andra elever klarar kanske bara av att lösa en mindre del. Larsson (2007) och Hagland, Hedrén & Taflin (2005) ger ett likartat förslag på hur lärare kan organisera problemlösning i undervisningen som de upplever fungerar bäst. Det matematiska problemet bör introduceras för eleverna på ett sådant sätt att det väcker deras intresse, nyfikenhet och lust till att lösa problemet. Läraren bör också försäkra sig om att alla elever förstår innebörden av problemet. Författarna rekommenderar att eleverna ska bearbeta problemet enskilt innan de börjar arbeta i grupp för att lösa det. Ett alternativ är att låta eleverna få problemet i hemläxa, för att därefter sitta i grupper och bearbeta det. Grupperna bör inte bestå av fler än tre till fyra elever. Med färre gruppmedlemmar är risken större att de drabbas av idétorka, medan fler gruppmedlemmar tenderar att resultera i att någon i gruppen inte är delaktig i lösningsprocessen. Elevernas styrkor i gruppen bör variera, men inte för kraftigt. Läraren bör gå runt bland grupperna och lyssna in idéer, missuppfattningar
och felaktiga slutsatser inför den avslutande klassdiskussionen. Vid den avslutande klassrumsdiskussionen är det viktigt att alla grupper får komma till tals och diskutera omkring sin lösning. De får då öva sig på att föra matematiska samtal, lyssna och argumentera för sin lösning. Larsson betonar att läraren behöver visa engagemang och uppmärksamma elevers tankegångar, korrekta som felaktiga. Stämningen i klassrummet måste vara öppen och positiv, för att elever ska våga diskutera och blotta sina tankar. Larsson (2007) och Hagland, Hedrén & Taflin (2005) menar att elever slutligen bör konstruera egna liknande problem.
Larsson (2007) tipsar även om att det kan vara fruktbart att använda ett rikt problem som nyckelproblem, som man i undervisningen återkommer till många gånger. På så sätt kan man hitta nya lösningsstrategier som bygger på nyvunna matematiska kunskaper, vilket bidrar till att stärka elevernas begreppsförståelse och hjälpa dem att se samband mellan olika matematiska områden.
3.3 Problemlösning i styrdokument
3.3.1 Kursplaner
I Skolverkets föreskrifter om kursplaner och betygskriterier för kurser i ämnet matematik i gymnasieskolan och inom gymnasial vuxenbildning (Skolverket, 2009b) framgår att problemlösning är ett viktigt moment av matematikundervisningen i gymnasieskolan och gymnasial vuxenbildning. Viktiga perspektiv som präglar undervisningen är problemlösning, kommunikation, användning av matematiska modeller och matematikens idéhistoria.
Bland syften för ämnet betonas att elever ska kunna analysera, kritiskt bedöma och lösa problem som är viktiga för dem och samhället. Det syftar även till att elever ska få uppleva glädje i att utveckla sin förmåga att lösa problem, matematiska kreativitet och se det vackra i ämnet.
Bland målen att sträva mot står bland annat att elever ska utveckla sin förmåga att tolka, bearbeta och lösa problem med hjälp av matematiska begrepp och symboler, både enskilt och i grupp. De ska vidare kunna värdera och motivera olika lösningsstrategier. Skolverket betonar vikten av att elever måste få reflektera omkring sin egen kunskap och sitt lärande. Problemlösning är en skapande aktivitet och det är en process som kräver tid.
Inom de gymnasiala matematikkurserna A, B, C, D och diskret ska elever kunna formulera, analysera och lösa problem av betydelse för elevers studieinriktning eller ha anknytning till utbildningens karaktärsämnen.
3.3.2 Läroplan
Om problem och problemlösning i Lpf 94 (Skolverket, 2009a) står bland annat att skolan har som uppdrag att elever ska utveckla sin förmåga att ta initiativ och ansvar till att arbeta med och lösa problem, såväl självständigt som i grupp.
Bland strävandemålen står att elever ska kunna formulera, bearbeta och lösa problem. Där står också att elever ska reflektera omkring sina erfarenheter och tidigare kunskaper samt kritiskt granska och värdera påståenden och förhållanden.
Bland mål att uppnå återkommer igen det som markerats i Skolverket (2009a) om att elever ska kunna formulera, analysera och lösa matematiska problem som är viktigt i arbets- och vardagslivet.
4 Metodologi
I detta kapitel beskrivs hur undersökningen har genomförts, en motivering till vald undersökningsmetod och kopplingen till frågeställningarna presenterade i kapitel 1.2.
4.1 Kvalitativ undersökning
Undersökningen är av deskriptiv och kvalitativ karaktär enligt Patel och Davidson (1994). Med deskriptiv menas att det finns en mängd kunskap och forskning inom problemlösning i undervisning. Denna undersökning begränsas till att undersöka tankar och åsikter hos matematiklärare på gymnasiet omkring problemlösning. Med kvalitativ menas att syftet med undersökningen är att tolka, få en djupare förståelse och analysera en slags helhet till matematiklärares olika uppfattningar och upplevelser omkring problemlösning. Intervjuer valdes som datainsamlingsmetod för att det bedömdes vara det bästa alternativet att tillgodose undersökningens syfte, eftersom dess natur inte går att redovisas i korta drag. (Denscombe, 2000). I denna undersökning har fem matematiklärare intervjuats, som alla har gemensamt att de alla arbetat på gymnasienivå. Utifrån dessa fem olika personers skilda erfarenheter och bakgrunder, har bearbetning av datainsamlingen lett till en tolkning av hur de tänker omkring problemlösning, men det är ingalunda en så pass kvantitativ undersökning att man kan dra generella slutsatser som gäller för lärares allmänna åsikter i ett vidare perspektiv.
Enligt Patel och Davidsson (1994) finns ingen bestämd metod att bearbeta kvalitativa datainsamlingar. Annan litteratur som beskriver lämpliga arbetsmetoder har inte hittats, men existerar säkert då kvalitativa undersökningar och insamlingsmetoder är vanligt förekommande. Därför har bearbetningen av insamlingsdata tydligt beskrivits för att undersökningens arbetsgång ska bli tydlig för läsare.
4.2 Reliabilitet och validitet
Viktigt att redogöra i all forskning är reliabiliteten och validiteten, dvs. undersökningens tillförlitlighet och giltigheten i det man vill klarlägga. Forskaren spelar en stor roll vid kvalitativ forskning, då hans eller hennes identitet, värderingar och uppfattningar inte fullständigt kan elimineras från insamlingen och analysen av data (Dencombe, 2000).
För att bedöma reliabiliteten i en kvalitativ undersökning menar Denscombe (2000) att en viktig fråga som inte går att besvara helt lätt, är om undersökningen går att upprepa av någon annan forskare, med samma resultat och slutsatser. Att för en annan forskare hitta informanter som framför liknande åsikter kan vara svårt, även om en viss mängd av deras tankar kunde kopplas till undersökningens teoretiska ramverk. Därför är det viktigt att redogöra för forskningens mål, syfte och teori, hur forskningen har genomförts samt resonemang och motivering till beslut som tagits under forskningens gång, exempelvis vid val av urvalet intervjuade.
För att avgöra undersökningens validitet behöver slutsatserna innefatta stringens utan att vara allt för förenklat, att forskaren medges inverkan och påverkan på
undersökningen utan att resultatet blir snedvridet eller inkorrekt, att alternativa förklaringar granskats och att resultaten sammanställts med hänsyn till tidigare forskning på området. Informanternas svar är därför noggrant sammanfattade, utan att tappa dess ursprungliga innebörd, och sammanställd mot undersökningens teoretiska ramverk.
4.3 Intervjuer
I undersökningen har fem lärare med helt olika bakgrunder och erfarenheter intervjuats. Informanterna valdes med grundtanken och förhoppningen att de skulle bidra med stor spridning på svar till intervjufrågorna, för att få en så vid bild som möjligt. En första kontakt togs med informanterna per e-post, där de tillfrågades om de kunde tänka sig att delta i undersökningen. De fick då även reda på att undersökningen handlade om matematiklärares åsikter och tankar omkring problemlösning i matematikundervisning. Via e-postkontakten bestämdes tid och plats för intervju. I ett av dessa fem fall avgjordes att intervjun skulle ske över telefon, då avståndet till informanten bedömdes vara för långt för att färdas till. De tre första intervjuerna ägde rum efter varandra efterföljande dag. Den fjärde intervjun inträffade en och en halv vecka senare. Den sista intervjun skedde över telefon efter ytterligare en vecka. Längden för intervjuerna varierade mellan 25 till 50 minuter. Informanterna blev tillfrågade i förväg om tillåtelse för att spela in intervjun. De informerades även om att alla uppgifter behandlas konfidentiellt. Inga namn, orter eller arbetsplatser kommer att förekomma i rapporten, eller offentliggöras, av forskningsetiska skäl. (Stukát, 2005).
4.3.1 Intervjufrågorna
För att utforma relevanta intervjufrågor studerades först tidigare forskning och litteratur på området. Framtagning av intervjufrågor har skett med utgångspunkt i undersökningens frågeställningar (se kapitel 1.2). Intervjuerna var semistrukturerade (Denscombe, 2000). Alla informanter fick samma frågor (se Bilaga A). Intervjun inleds såsom Patel och Davidson (1994) rekommenderar med en öppen och neutral fråga. Den intervjuade får börja med att definiera vad han eller hon tycker att ett matematiskt problem är. Detta dels för att undvika missförstånd under resten av intervjun, men också för att det är en del av frågeställningarna. I slutet av varje intervju har de intervjuade fått chans att komplettera sina svar med fler tankar som kan ha uppstått under tiden för intervjun. Ordningen i vilken frågorna har ställts har också skett systematiskt med en tratteknik, där de frågorna i början är stora och öppna, till att avslutas med mer specifika. De intervjuade fick utveckla sina idéer och tala så utförligt han eller hon ville om det ämne varje fråga behandlade. Svaren var ur det avseendet öppna och poängen var att de intervjuade fick utveckla sina synpunkter.
4.3.2 Bearbetning av insamlingsdata
Varje intervju spelades in med en inspelningsbar mp3-spelare. Efter varje intervju fördes den inspelade ljudfilen över till dator för att därefter transkriberas. Transkriberingarna bearbetades genom att analyseras och sammanfattas intervjufråga för intervjufråga. Denna process skedde noggrant och grundligt för att inte tappa bort informanternas andemeningar. Där det ansågs nödvändigt att förtydliga viktig information sparades citat uttalade av informanterna. Resultat-sammanställningen av intervjuerna presenteras i nästa kapitel.
4.4 Metodanalys
Under arbetets gång med undersökningen har framträtt vissa brister med metoden och det blev tydligt att intervjuerna kunde ha genomförts på ett bättre sätt. Nedan beskrivs hur undersökningen kunde ha utförts smidigare.
Denscombe (2000) betonar att den första intervjufrågan är extra viktig för att informanten ska få en mjuk start och känna sig avslappnad inför resten av intervjun. De valda intervjufrågorna gav informanterna mindre chans till detta, då de direkt kräver djupgående svar av dem. Under intervjuerna tolkade informanterna även intervjufrågorna ibland på olika sätt. Det resulterade i stor spridning bland informanternas svar. De uppvisade också en viss osäkerhet i frågors och enskilda ords innebörd, exempelvis ordet kompetenser i intervjufråga 5:
Vilka kompetenser kan elever utveckla med att arbeta med problemlösning?
Dessa missförstånd kunde eventuellt ha undvikits genom att exemplifiera vissa ord och användning av ytterligare genomtänkta och mer strukturerade intervjufrågor. Intervjufråga 6 innehåller också en värdering:
Är det någon skillnad i hur elever med olika styrkor/svagheter inom matematik utvecklas när de arbetar med problemlösning? I sådana fall hur?
Informanten leds till att i sitt svar utgå från att det finns en skillnad i hur olika starka och svaga elever utvecklas när de arbetar med problemlösning. Därför borde denna fråga ha formulerats på ett annat sätt. Exempelvis:
Hur utvecklas olika typer av elever när de arbetar med problemlösning?
Denna fråga är visserligen mer öppen, men det förutfattats inte att elever utvecklas olika beroende på hur starka och svaga de är.
Enligt Denscombe kan man inte helt komma ifrån forskarens inverkan på informanterna under intervjun, kallad intervjuareffekten. Exempel på olika faktorer som kan påverka informanternas svar kan vara forskarens kön, ålder och yrkesstatus. Forskarens inverkan är i denna undersökning svårdefinierad, men lika fullt är det viktigt att ta i beaktning att denne sannolikt påverkat undersökningens resultat på något vis. Det är därför inte otänkbart att faktorer som exempelvis en annan forskare, andra informanter och annat val av bearbetningsmetoder av insamlingsdata skulle kunna resultera i andra slutsatser än de som dragits i denna undersökning.
5 Resultat
Detta kapitel börjar med en kort presentation av informanterna. Därefter redovisas en resultatsammanställning av intervjuerna.
5.1 Informanterna
Nedan presenteras de intervjuade lärarna kortfattat med information som anses vara relevant att återge i undersökningen, utan att det konfidentiella kravet ställs i konflikt (Stukát, 2005). Konfidentialitetskravet innebär att uppgifter om personer som ingår i undersökningen ges största möjliga konfidentialitet och att denna information hanteras på ett sådant sätt att den inte sprids till utomstående. Informanternas namn är därför fingerade. Information som ges är personernas kön och hur länge de ungefärligt arbetat som lärare. Ordningen i vilken de beskrivs är i tidsföljd, utifrån vilken person som intervjuades först. Gemensamt för dem alla är att de har erfarenhet av undervisning på gymnasienivå. Övrigt har de arbetat olika länge som lärare, olika erfarenheter vad beträffar undervisning på olika nivåer samt olika kön då två av fem informanter är män.
Anna
En kvinnlig matematiklärare som har över 20 års erfarenhet av att ha arbetat både på högstadie- och gymnasienivå.
Björn
En manlig matematiklärare som arbetat som gymnasielärare mellan 5-10 år.
Camilla
En kvinnlig matematiklärare som har många års erfarenhet av att undervisa på olika nivåer, däribland gymnasienivå, och som även arbetat med att utveckla ämnet i en mellanstor kommun i landet.
Daniel
En manlig matematiklärare som har många års erfarenhet av att undervisa på olika nivåer, däribland gymnasienivå.
Elin
En kvinnlig matematiklärare som arbetat som gymnasielärare mellan 3-5 år.
5.2 Analys av intervjuer
Intervjufråga 1: Hur definierar du ett matematiskt problem och vad är problemlösning?
Anna
Anna beskriver matematiska problem som tankenötter eller kluringar. Problem-lösning är ett fritt och kreativt sätt att arbeta med problem, där det inte finns någon självklar algoritm att lösa det. Problem kan lösas med olika metoder och ha flera lösningar, elever måste tänka till för att kunna lösa det. Hon menar också att man kan arbeta experimentellt och laborativt med problem.
Anna berättar att hon upplever en viss rädsla mot att både själv arbeta med tanke-nötter och att använda sig av dem i sin undervisning. Hon framställer arbetet kring tankenötter som jobbigt då det är nära sammanknutet med prestationer.
Björn
För Björn behöver problem inte se ut som matematik vid en första anblick, men det krävs matematiska kunskaper för att lösa det. Problem kan vara kopplat till vardagen men han särskiljer det mot matematiska problem:
Matematiska problem är mer ren matematik. Mer att det liksom är kopplat till geometri, procent, vilka områden man håller på med, funktioner eller vad det nu än är på det sättet. Mer grunden för de olika sakerna.
När det gäller problemlösning så hänvisar Björn till Pólyas (1990 [1945]) angreppsmetod:
Man försöker se helheten och först identifiera problemet och sedan kanske hitta en arsenal av vad man kan använda för tidigare kunskaper. Hur kan jag relatera det till det jag kan och mina livserfarenheter och vad jag kan i matematik och lite så då.
Camilla
Camilla uttrycker en klar syn på vad ett matematiskt problem är. Hon särskiljer tal med text och problem från varandra. I den förra varianten vet eleverna hur man ska lösa uppgiften, medan elever saknar kunskaper och strategin för att kunna lösa ett matematiskt problem. Det ska inte finnas någon uppenbar lösning.
För att lösa problem poängterar Camilla att det är viktigt att elever förstår själva problemkontexten. Man måste förstå vad det är man ska lösa för att man ska kunna hitta en problemlösningsstrategi. Vid problemlösning får man leka med problemet, rita figurer och testa sig fram:
Jo, man tittar på liknande exempel, man provar sig fram. Man försöker på olika sätt och liksom stegvis. Men också att man hamnar i loopar. Att oj, nu är jag tillbaka där jag började igen. Då får jag hitta en annan strategi.
Daniel
Daniel hävdar att ett matematiskt problem ska vara textbaserat, alla elever måste kunna förstå problemet och det måste också innebära en utmaning för alla elever. Problemlösningsprocessen måste tillföra matematik, såsom exempelvis begrepp. Daniel hänvisar också till Pólya (1990 [1945]), men beskriver inte problemlösnings-processen mer ingående.
Elin
Elin uttrycker att matematiska problem kan lösas på olika sätt, exempelvis praktiskt eller algebraiskt. Det finns inga klara lösningsstrategier och man får testa sig fram. Hon förknippar det ihop med laborationer och experiment, att det inte nödvändigtvis behöver vara enbart teoretiskt utan att det även att man kan undersöka problemet
praktiskt. Syftet med matematiska problem är att vidga elevernas vyer och knyta an till deras vardag.
Sammanställning
Av alla fem lärare är det bara Camilla som särskiljer en matematisk uppgift från ett matematiskt problem. Alla är dock överens om att problemlösningsprocessen kräver ansträngning, att det inte finns någon självklar lösningsstrategi och att det finns flera lösningsmetoder.
Intervjufråga 2: Hur använder du dig utav problemlösning i din undervisning?
Anna
Anna berättar att hon använder sig av det hon kallar för tankenötter omkring två gånger varje termin i sin undervisning. Omkring en gång i månaden låter hon eleverna arbeta med lite större uppgifter. Då får de tänka till lite mer, resonera och diskutera omkring uppgiften, gärna vid tavlan framför klasskompisarna. När Anna undervisar i de mer avancerade matematikkurserna (exempelvis Matematik D) utgår hon sig mestadels från läroboken. Detta då hon känner sig mindre bekväm med hur man kan använda sig av andra informationskällor och undervisningsmetoder för stoffet.
Björn
Björn låter sina elever arbeta med matematiska problem först när de håller på att bli klar med ett matematiskt område, som kan vara ett kapitel i boken. Han introducerar inte nya matematiska begrepp eller områden med hjälp av problem. Han motiverar det med att eleverna då fått arsenalen, de matematiska kunskaperna som krävs för att lösa problemen de får av honom. Problemlösningen sker i mindre elevgrupper och ibland vid tavlan, men de får sällan presentera sina lösningar för varandra.
I slutet av Matematik A-kursen efter nationella provet, arbetar Björn mer med problemlösning. De problem eleverna då får arbeta med har nära koppling till det program eleverna läser och vad eleverna är intresserade av:
Som nu på livsmedel, där man försökte göra en funktion på hur snabbt håret växer på en kompis. Att köra det på fordons- eller teknikprogrammet skulle inte vara intressant.
Camilla
Camilla betonar att det måste finnas ett syfte och ett mål med att använda sig av problemlösning i sin undervisning, att det finns en förankring till målen och strävansmålen kurs- och läroplaner. Själv är hon mycket positivt inställd till problemlösning och avsätter en timme varje vecka till det i sin undervisning. Med hjälp av problemlösning knyts vardagsproblem samman med matematiken. Hon varvar mellan att låta elever arbeta med problemlösning efter att de bearbetat ett matematiskt område och att introducera nya matematiska områden med hjälp av problem:
Och ibland gjorde jag tvärtom att jag började med ett problem och så började vi titta på, vad är det jag måste kunna för att lösa det här problemet? Och det märkte jag sedan att det var den bästa strategin att
man kunde ta vilket problem som helst och sedan tillsammans med eleven då ta reda på vad just du måste kunna för att lösa den här uppgiften?
När Camillas elever arbetar med problem får de först försöka lösa problemet själva, därefter diskutera i grupp. Oftast kan de då tillsammans hitta en lösning. Som sista utväg kommer Camilla och ger dem ledtrådar, om det behövs. Eleverna blir också sporrade att hitta flera lösningsstrategier.
Camilla låter sina elever arbeta med olika svåra problem beroende på hur långt de kommit i sin matematiska utveckling. Som alternativ till att använda flera olika problem finns rika matematiska problem, där eleverna kan arbeta på den nivå de befinner sig på.
Daniel
Daniel använder sig av problemlösning kontinuerligt i sin undervisning, men inte så ofta som i varje delområde i de olika matematikkurserna. De arbetar i princip alltid i grupper, som han själv utformar. När han inför problemlösning i sin undervisning, tilldelas eleverna olika roller som ordförande, sekreterare osv. så att arbetet flyter på. Daniel markerar att eleverna måste ha vissa baskunskaper och ha färdighetsträning i ryggen. För att problemlösning ska ge något måste eleverna förstå problemet i första stället, men också få reflektera och analysera omkring problemet och lärandet:
Annars blir det bara att de är aktiva och jobbar, men de lär sig liksom ingenting. Det kan ju vara trevligt att se i ett klassrum att alla är aktiva och jobbar, att det flyter bra. Men det är inte det som ska vara målet. Målet måste vara att de lär sig matematik och kan använda.
Elin
Elin använder oftast vardagsproblem som går att laborera och experimentera omkring. Ibland får de en läxa där de får undersöka något hemma, kanske i tidningar eller på nätet. Elevernas arbete består då i att hitta data att undersöka, analysera det insamlade data och därefter lösa problemet. Elin brukar ofta introducera nya avsnitt med denna typ av problemlösning. På så sätt får eleverna från början reda på varför de behöver kunna det nya matematiska området och vad de kommer att ha för nytta av det:
Så att det finns en nytta med det vi gör. Ofta får man ju den frågan, aha, vad ska jag kunna det här till? Då tänker jag att jag besvarar den frågan innan de hinner ställa den […] Det är alltid jag som ställer frågorna till dem innan de har hunnit ställa dem till mig.
Eleverna får redovisa sina lösningar på olika vis. Vid grupparbeten får de gärna komma fram och använda tavlan, men det vill de oftast inte. Ibland sker inlämning av problemlösningar gruppvis eller var för sig. Elin hävdar att eleverna har mest fördel av att se olika lösningsstrategier inför nationella prov.
Sammanställning
Lärarna använder sig problemlösning på helt olika sätt i sin undervisning. Bland annat varierar användningsfrekvensen av problemlösning och lärarna har olika tankar omkring hur eleverna ska presentera sina lösningar. För Anna, Camilla och Daniel är det viktigt att i klassrummet diskutera och reflektera omkring olika lösningar.
Intervjufråga 3: Vad anser du att det finns för fördelar och nackdelar med att använda sig av problemlösning i undervisningen?
Anna
Anna menar att problemlösning är intresseväckande för eleverna. Som lärare måste locka eleverna till att vilja arbeta med matematik, för att de ska nå engagemang och framgång:
Hur ska man få vanliga elever att hålla på med matte? Det går nästan inte, tycker jag. Då känns det nästan som att man måste lura dem. Till exempel då att de får klippa och klistra eller göra saker praktiskt.
Andra fördelar med problemlösning är att man knyter an matematik till verkligheten och att man kan ersätta rädslan för matematik med intresse. Elever får också en möjlighet att känna trygghet/gemenskap om de i grupp lyckas eller misslyckas med att lösa ett problem.
En nackdel med problemlösning är att man behöver använda problem med olika svårighetsgrad. Anledningen är att elever är olika starka och svaga, men också olika motiverade och rädda för matematik.
Björn
Björn berättar att han upplever problemlösning som en nackdel för de svagare eleverna, då de saknar vissa baskunskaper. De tenderar att prestera sämre resultat än vad de vanligen brukar:
Medan de som inte har de här grundkunskaperna kan ju mer känna att oj, nu förstår jag inte någonting, så va. Och även om de tror ibland att de förstår […] och löser och löser och löser så är det inte mycket som är, nej, som är bra alltså. Eller som är rätt eller vad man ska säga. De tänker och tänker men det blir liksom inte.
Björn menar att de svaga elevernas sämre resultat delvis kan motverkas genom att låta dem arbeta med problem som berör saker som intresserar dem.
För de starkare eleverna fungerar problemlösning fördelaktigt då de får chans att använda sig av vad de lärt sig. En annan fördel med problemlösning är också att elever får använda sig av sina matematiska kunskaper på ett verkligt sätt.
Camilla
Camilla menar att det bara finns fördelar med att arbeta med problemlösning, såvida man inte har problem med språket. Men även för de elever som har svårt för språket innebär problemlösning en fördel, då de får chans att utvidga sitt ordförråd. Hon
hävdar också att rätt typ av problem kan blotta oanade styrkor hos elever, vilket kan ge läraren vägledning i vad just dessa elever behöver för att fortsätta utvecklas. Camilla berättade om två elever som hade svårt att klara algebrakursen, men som presterade bäst resultat i klassen på en Kängurutävling. Det som gjorde att hon tyckte att de hade problem med algebran var att de hade svårt att skriva ner sina tankar. De räknade i huvudet, men kunde inte förklara hur de gjort. Läraren funderar omkring hur viktigt det är att skriva för mycket i matematiken:
Det är jag lite så där tveksam till också, för ibland kan det bli för mycket skriva så att man tappar glädjen i matematiken. Det tycker jag är kul när man kan få rätt, fastän man bara ser att det blir så.
Camilla markerar att man som lärare måste man tro på eleverna och hon hävdar att det är vanligt att man tror att elever klarar för litet.
Daniel
Daniel menar att en fördel med lyckad problemlösningsundervisning är att man skapat en miljö i klassrummet där alla elever vågar prata matematik, där de inte är rädda för att göra fel. Alla vågar yttra sig och får bättre självförtroende. De får känna att de lyckas med något och som lärare är det viktigt att hitta elevers styrkor som man kan berömma och ytterligare stärka dem.
Han vidhåller dock att man inte ska ha för mycket problemlösning i undervisningen:
Ja, man missar för mycket då. Det går inte. Man måste ju föra in det här med färdighetsövningar och baskunskaper för att de ska kunna ge sig på, utveckla problemen.
Daniel hävdar också att det är mycket krävande för såväl läraren som elever att arbeta för mycket med problem. Men en fördel är att man knyter ihop olika matematiska områden och begrepp och får en bättre helhetsbild.
Elin
Elin menar att en fördel med problemlösning är att eleverna får verklighetsförankring. En nackdel är att svaga eleverna kan ha svårt att se koppling mellan matematik och vardag och därför föredrar att räkna i boken. Det kräver mer tid för läraren att ta hand om de svaga eleverna. Men samtidigt kan detta vändas till en fördel, då rätt typ av verklighetsgörande problem för dessa elever kan få dem att förstå begrepp som de upplevt vara för abstrakta. Generellt kräver problemlösning mer tid och planering för läraren. Det är också svårt att rätta och bedöma elevers prestationer.
Sammanställning
Camilla påstår att problemlösning bara leder till fördelar i matematikundervisningen. De andra lärarna menar att problemlösning hjälper till att knyta an matematik till vardagen och att matematik därför blir mer intressant för eleverna. Anna och Daniel ser en fördel i att elever i sitt arbete med problemlösning får möjlighet att känna gemenskap i gruppen eller klassen. Daniel menar att denna trygga klassrumsmiljö ger fina diskussionsmöjligheter omkring matematik. Anna, Björn och Elin hävdar att problemlösning kan vara en nackdel för svaga elever. Daniel och Elin menar att det är tidskrävande för lärare att arbeta med problem.
Intervjufråga 4: Vad tror du att elever kan lära sig genom att arbeta med matematiska problem, som de annars inte kan lära sig?
Anna
Anna berättar att hon tänker sig att elever kan lära sig att hantera eventuella rädslor för matematik och få bättre självkänsla. Genom att arbeta med vardagsanknutna problem blir matematik mer verkligt och elever kan se en nytta med att lära sig matematik.
Björn
Björn säger att elever kan få en helhetsbild över matematiken med hjälp av att arbeta med problemlösning. Men han verkar övrigt inte anse att problemlösning ger elever kunskaper som de inte kunnat lära sig med hjälp av andra undervisningsmetoder. Björn förespråkar en varierad matematikundervisning som bedrivs med olika undervisningsmetoder. Han hävdar att alla lärare har personliga inlärningsstilar som påverkar lärarens egna undervisningsmetoder. Den inlärningsstil som läraren själv är bekväm med speglar hans eller hennes sätt att undervisa på, i kombination med interaktionen med eleverna:
Det tror jag är en känsla, samspel mellan lärare och elev, mötet i undervisningen.
Camilla
Camilla hävdar att elever, unikt för arbete kring problemlösning, utvecklar sin förmåga att använda, hitta och utforma lösningsstrategier.
Daniel
Daniel uttrycker liksom Björn sin tro på varierad undervisning. Han hävdar också att problemlösning inte kan tillföra något unikt, även om det finns fördelar med att använda sig av det:
Om man ger det tid till ett lite större problem, så ger det en rejäl möjlighet till att man kan kommunicera matematik och får framträda och tala matematik. Och att man kan knyta ihop områden i matematiken.
Elin
Elin menar att elever som får arbeta med problem vidgar sina vyer, lär sig se matematik i vardagen och ser en nytta i att besitta vissa matematiska kunskaper inför framtiden. De upptäcker nya sidor av sig själva, vilka typer av lösningar de föredrar att arbeta med. De får också möjlighet att upptäcka att de kan matematik. De utvecklar tänkandet omkring strategier för att lösa problem.
Sammanställning
Anna hävdar att arbete med problemlösning kan hjälpa elever att bearbeta eventuella rädslor för matematik. Björn och Daniel menar att elever får en matematisk helhetsbild. Camilla och Elin säger att elever lär sig använda, hitta och utforma problemlösningsstrategier.
Intervjufråga 5: Vilka kompetenser kan elever utveckla med att arbeta med problemlösning?
Anna
Anna hävdar att elever utvecklar sin kreativitet genom att arbeta med problemlösning. Om man som elev får uppleva framgång med att arbeta med problem, så vågar man ta sig an nya svårare utmaningar:
Om man inte har för stor rädsla och man har klarat en del problem, så har man erfarenhet av att något gått bra, så vågar man ta sig an nya problem. Bättre självförtroende.
Björn
Björn menar att elever utvecklar sin förmåga att använda tidigare kunskaper och erfarenheter. När de arbetar i grupp så lär de sig att samarbeta och lyssna på någon annan. Man utvecklar också sina lösningsstrategier och sin kreativitet.
Camilla
Camilla påstår att man utvecklar alla kompetenser när man arbetar med problemlösning, exempelvis begreppsförståelse. Problemlösning gör också att man ser vad man behöver lära sig för matematik för att kunna lösa problemet. Det blir mer uppenbart vilket matematiska område man har arbetat med. Camilla ser också en fördel i att elever, som vanligtvis bara jobbar med A-uppgifterna i läroboken och sällan B-, C- och D-uppgifter, får arbeta med matematik på ett djupare plan med hjälp av problemlösning.
Daniel
Genom att arbeta med problemlösning menar Daniel att elever lär sig att analysera, strukturera, ställa upp hypoteser, lär sig lyssna på andra och att prata matematik.
Elin
Elin hävdar att man utvecklar sitt självförtroende och sin självsäkerhet. Hon menar också att grupper i helhet blir stärkta av att arbeta med problemlösning i jämförelse med att bara sitta och jobba i boken:
Det upplevs enklare och roligare. Intresseväckande. De får ju lära sig problemlösning, att de inser att de kanske kan lösa vardagsproblem med hjälp av den här tekniken.
Sammanställning
Anna och Elin säger att elever kan få bättre självförtroende genom att arbeta med matematiska problem. Anna och Björn säger att de kan utveckla sin kreativitet. Björn och Daniel tycker att elever utvecklar sin förmåga att samarbeta, diskutera och lyssna på andra. Camilla menar att elever kan utveckla alla kompetenser, exempelvis begreppsförståelse.
Intervjufråga 6: Är det någon skillnad i hur elever med olika styrkor/svagheter inom matematik utvecklas när de arbetar med problemlösning? I sådana fall hur?
Anna
Anna berättar att hon inte har så mycket erfarenhet av att använda sig av problemlösning i sin undervisning, varför hon tycker det är svårt att svara på denna fråga. Men hon säger att hon upplever att elever, som vanligtvis inte presterar bra resultat i matematikundervisningen, oväntat kan prestera bättre när de utsätts för uppgifter där det inte enbart förekommer matematik:
De svagpresterande eleverna kan inse att de har någonting som kan väckas. […] Svaga elever i vanliga matten kan tänka annorlunda. Det kan ibland vara så att de elever som själva uppfattar sig själva som svaga i matte som kan klara kluringar. Och de elever som pluggat och gjort det de ska, men inte är några stjärnor, men ändå har jobbat sig till. De tänker mer strikt och trångsynt.
Björn
Björn hävdar att problemlösning kan vara en nackdel för svagare elever. Då problemlösning inte kräver någon specifik och angiven lösningsstrategi blir dessa elever förvirrade och presterar dåliga resultat. Medan de duktiga eleverna utvecklas ännu mer, då de känner att de får använda de kunskaper de tidigare lärt sig.
Björn säger att det är viktigt att hitta problem som ligger på rätt svårighetsnivå och är intressanta för alla elever. Genom att använda bra problem kan man intressera och lyfta även de svagare eleverna. Samtidigt menar han att starka elever som ges för svåra problem arbetar mer intensivt för att lösa det, medan svaga elever tenderar att ge upp mycket snabbare. Eleverna måste få känna att de lyckas.
Camilla
Camilla påstår att alla elever utvecklas mycket. Det handlar dock om lärarens förhållningssätt:
Här handlar det om, tycker jag, det förhållningssättet som är viktigt, att tro på att eleverna ska klara det här. Det tycker jag måste genomsyras, att man utgår från att nu tror jag att alla ska klara det här på sitt sätt.
Man får använda olika svåra problem, alt rika problem, för olika starka elever. Så att alla elever utvecklas.
Daniel
Daniel påstår att om man lyckas välja bra problem så utvecklas både starka och svaga elever. Starka elever utvecklas ännu mer när de får förklara för sina svagare klasskompisar, samtidigt som de också utvecklas.
Elin
Elin menar att svaga elever inte utvecklas lika snabbt som starka elever:
De kämpar inte lika mycket för att nå någon högre nivå. Utan de ser bara att okej, nu vill jag bara ha ett svar. De bryr sig liksom inte om att anstränga sig mycket mer än så. Medan kanske starkare elever försöker hitta en generell allmän formel som kanske kan lösa problemet längre fram, lägger fram olika förslag, och så vidare.
Sammanställning
Anna säger att svaga elever plötsligt kan prestera oväntat bra. Björn och Elin menar att svaga elever utvecklas långsammare än starka elever när de arbetar med problemlösning. Camilla hävdar att det bara handlar om lärarens förhållningssätt. Om man tror på eleverna och låter dem förstå det så utvecklas alla elever mycket med att arbeta med problemlösning. Daniel förespråkar bra valda problem då det gör att både starka och svaga elever utvecklas och att båda parter tjänar på när starka elever får förklara sina lösningar för svagare klasskompisar.
Intervjufråga 7: Hur hittar du problemen du använder? Anna
Anna berättar att hon använder problem från olika läroböcker. Någon gång har hon testat använda uppgifter från en Kängurutävling (Kängurutävling anordnas av Nationellt Centrum för Matematikutbildning vid Göteborgs Universitet). Hon hittar också problem från vardagen, exempelvis från TV-program.
Björn
Björn söker efter och samlar på sig problem som passar för olika program som exempelvis media, fordon eller livsmedelsprogrammet. Han hittar problem i tidningar, Nämnarens hemsida (Nämnaren är en tidskrift som ges ut av Nationellt Centrum för Matematikutbildning), via SMaL (Sveriges Matematiklärarförening), man delar med sig på matematikkonferenser. Nackdelen med Internet är att det är tidskrävande att leta där. Problem från läroboken använder Björn sig mindre av.
Camilla
Camilla berättar att hon är mycket förtjust i rika matematiska problem, då de är påbyggbara. Det finns en del litteratur som innehåller rika problem. Hon tycker också om Mattegömmor från Australien. Det finns att läsa om det på Internet och i litteratur. På NCM’s hemsida (Nationellt Centrum för Matematikutbildning) finns en hel del bra problem. Camilla konstruerar också egna problem från vardagen, som knyter an till elevernas intressen, exempelvis tjejer och hästar, mobilabonnemang. Inom film och kultur finns mycket att hämta såsom att se hur matematiker arbetade med filmen Titanic, Fibonacci-talen i filmen Da Vinci-koden. Camilla tycker också om att koppla problem till matematikhistoria. Hon tycker också att man kan använda sig av tekniska hjälpmedel i sin undervisning som gps (navigeringssystem för exempelvis bilar), mobiltelefon och smartboard.
Daniel
Daniel samlar på sig problem från kollegor, böcker, Nämnaren samt via NCM (se förklaringar ovan).
Elin
Elin säger att hon får sina problem via lärarhandledningar, tidningar, TV-program, problem som hon själv funderar på, via kollegor, matematikseminarium, Nämnaren, läroböcker, osv. I början kom hon själv på många problem och återanvände från sina studier på högskolan. Hon letar inte mycket på nätet då det är så tidskrävande.
Sammanställning
Alla lärare använder sig av problem som de hittar genom Nationellt Centrum för Matematikutbildning, antingen via deras tidskrift, Nämnaren, eller via hemsidan. Anna använder sig dock mestadels av problem från olika läroböcker. De andra lärarna hittar problem från vardagen, i tidningar och från kollegor. Camilla anger därutöver en mängd andra olika källor.
Informanternas övriga tankar Anna
Under intervjun med Anna återkommer hon till att prata om rädslor för matematik. Hon tror att många är rädda för matematik och att de jämför sig med andra som de anser är duktigare. Duktiga elever som presterar toppresultat känner också denna press. Anna strävar efter att vara ett stöd för sina elever, där de inte behöver skämmas för sina rädslor utan blir sporrade att komma över dem. Elevers förståelse är viktigt för Anna. Hon tror också att viss matematik måste nötas in.
Camilla
Camilla betonar att elever måste få börja arbeta med problemlösning tidigt i skolgången, så att de får in en vana med det. Hon förespråkar en varierad undervisning. Hon menar att elever är trötta på att räkna ur boken och behöver variation för att deras intresse för ämnet inte ska dö. Problemlösning och laborativ matematik är två exempel på roligare undervisningsformer. Camilla hävdar också att det är viktigt att kontinuerligt utvärdera sig själv som lärare, sin undervisning och elevernas resultat.
Camilla eftersöker en problemlösningsvecka per termin i alla skolor, där man bara jobbar med problem:
Då kan man ju ha fokus på, man kan ju ha olika ämnen också inblandade. Och så kan man försöka få in det här tänkandet, hur jobbar en matematiker, hur löser man problemet där?
Camilla betonar att alla matematiklärare måste vara engagerade och intresserade av matematik, oavsett vilka årskurser de undervisar på. Hon har en idé om att lärare borde fortbildas med kompetensutveckling på högskolan vart femte år.
Daniel
Daniel hävdar bestämt att problemlösning inte löser svårigheterna med matematiklärandet, det kan aldrig ersätta all annan typ av matematikundervisning. Han tror på en varierad undervisning med bra klassrumsmiljö. Där elever får känna att det är ok att misslyckas och blir berömda där det finns möjlighet.
