• No results found

Ekvationer - och deras svårigheter

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Ekvationer - och deras svårigheter"

Copied!
53
0
0

Loading.... (view fulltext now)

Full text

(1)

Malmö högskola

Lärarutbildningen

Matematik

Examensarbete

10 poäng

Ekvationer – och deras svårigheter

Equations and their difficulties

Catharina Jording och Kerstin Ohlsson

Matematik för lärare 51-60 p Handledare: Per-Eskil Persson Matematik

(2)
(3)

Sammanfattning

Vårt syfte med denna uppsats är att undersöka svårigheter med ekvationer. Varför upplevs ekvationer som svåra och besvärliga att lösa? Är det symbolspråket eller språket att uttrycka olika problem? Vi har valt att undersöka detta genom att intervjua elever i åk 9 samt elever som har genomgått A-kursen på gymnasienivå. Upplever dessa grupper någon skillnad i lösningsprocessen? I vår undersökning är det fler åk 9-elever som använder informella lösningsmetoder än de som genomgått A-kursen. A-kurseleverna visar däremot större tilltro till sig själva att kunna lösa uppgifterna än vad åk 9-eleverna gör. I vår slutsats kommer vi fram till att det största hindret är att eleverna inte löser uppgifterna alls, det näst största problemet för eleverna är att översätta textuppgifter till ekvationer. De formella operationerna såsom räkneregler och likhetstecken innebär också svårigheter för eleverna samt att de inte kontrollerar sina svar de får i uträkningarna.

Nyckelord:

(4)
(5)

Innehållsförteckning

1. Inledning och bakgrund... 7

2. Syfte ... 7

3. Teoretisk bakgrund ... 8

3.1 Språk ... 8

3.2 Symboler ... 10

3.3 Självbild och erfarenheter av matematik ... 11

3.4 Olika sätt att lösa problem ... 12

3.5 Skolans undervisningsmetoder ... 13

3.5.1 Undervisning i allmänhet... 13

3.5.2 Laborativt arbete och läromedel ... 13

3.5.3 Ekvationer ... 14

4. Metod ... 15

4.1 Aktionsforskning ... 15

4.2 Metoddiskussion ... 15

4.3 Test... 15

4.3.1 Urval av elever till testet... 16

4.3.2 Uppgifterna i testet... 16

4.3.3 Kategorisering av svaren ... 18

4.3.3.1 Rätta svar ... 18

4.3.3.2 Felaktiga eller ofullständiga svar... 18

4.4 Djupintervjuer ... 18

4.4.1 Urval av elever till djupintervjuer... 19

4.4.2 Uppgifter i djupintervjuer ... 19 4.5 Validitet/Reliabilitet... 21 5. Resultat ... 23 5.1 Resultat av testsvaren... 23 5.2 Resultat av djupintervjuerna ... 28 6. Resultatdiskussion... 33 6.1 Test... 33 6.2 Djupintervjuer ... 36

6.3 Sammanfattning av funna svårigheter ... 39

6.3.1 De som inte löser uppgiften ... 39

6.3.2 Den algebraiska cykeln, räkneregler, likhetstecknet samt x... i båda leden ... 39

(6)

6.4 Sammanfattning av funna skillnader/likheter mellan åk 9-elever och ...

A-kurselever... 40

6.4.1 Skillnader ... 40

6.4.2 Likheter ... 40

7. Åtgärder ... 41

7.1 Kursplaner och betygskriterier ... 41

7.2 Formellt eller informellt?... 41

7.3 Konkretisera och börja med hela ord... 42

7.4 Peppa och visa möjligheter!... 43

8. Referenser ... 44

Bilaga 1. Test ... 46

Bilaga 2. Svar på fråga 10 i elevtestet ... 47

(7)

1. Inledning och bakgrund

När man kommer till ekvationskapitlet i matematikboken suckar många elever och säger att de absolut inte förstår. Även bland många vuxna verkar ekvationerna vara ett inte bortglömt spöke och om man nämner ordet kan man få tillbaka kommentaren ”Ja, det var det där obegripliga med x och y.”

Trots dessa åsikter används ekvationer av alla – stora som små – med jämna mellanrum i vardagslivet. I kiosken undrar barnet hur många Ferraribilar han kan köpa för sin guldtia (1,5krx=10kr), pappan funderar över hur mycket han kan ringa på sitt mobilabonnemang innan det blir billigare att skaffa ett annat (om man bortser från uppkopplingsavgiften kan ekvationen bli t ex så härx⋅3,75kr+99kr⋅12mån =(x−60)⋅5,50kr+60kr⋅12mån). I affären gör vi en formel för hur mycket vi ska betala för äpplena (15,90krxkg = ykr), vi blandar saft 1:4 och funderar över hur mycket vatten och hur mycket saft vi behöver för att få 2l färdigblandad saft (xdl+4xdl=2l). Vi funderar också på hur mycket vi minst ska handla för, för att det ska löna sig att använda rabattchecken som ger 5 % rabatt istället för checken som ger 50 kr i rabatt på Konsum (0,95xkr=x−50kr), och hemma undrar man hur länge barnen kan vara ute på Internet med det gamla modemet innan det blir billigare med bredband (x⋅0,60+0,50kry =259kr).

Vid dessa tillfällen tänker människorna nog inte på hur de löser sina problem, hade vi visat ekvationerna för dem hade de troligtvis blivit häpna över vad de faktiskt klarade.

2. Syfte

Vad är det då som gör att många upplever ekvationer som något svårt? Kan det vara ett särskilt steg i lösningsprocessen, är det symbolspråket, sättet att språkligt uttrycka ett problem som ska översättas till symbolspråk, eller finns det helt andra förklaringar?

Vårt syfte är också att göra en jämförelse mellan elever i åk 9 och elever som gått ut gymnasiets A-kurs för att se om det finns svårigheter som förändras/inte förändras med mer utbildning. Om det finns svårigheter som inte minskar/försvinner efter A-kursen behöver vi lärare vara medvetna om dessa och kanske försöka arbeta mera eller på ett annat sätt med dem.

Vi vill undersöka följande:

1. Vilka svårigheter har elever när det gäller att lära sig ekvationer?

2. Vilka skillnader/likheter finns i svårigheterna vid en jämförelse mellan elever i åk 9 och elever som genomgått A-kursen på gymnasiet?

(8)

3. Teoretisk bakgrund

Ekvationer har funnits väldigt länge. Redan omkring år 1650 f Kr beskrev Ahmes ekvationsproblem som han i sin tur kopierat från dokument som var 200 år gamla (Hall, 1970, Olsson, 1999, Vaderlind, 2003). På denna tid handlade det uteslutande om retorisk algebra som löstes med huvudräkning. Den symboliska algebran började utvecklas under 1600-talet då papper, penna och bokstäver som betecknade det okända började användas. Föregångsfigurer är fransmannen Viète, och efter honom Déscartes. Den sistnämnde införde användandet av a, b, c för kända storheter och x, y, z för okända storheter. Att just x blev bokstaven som användes mest beror på att tryckerierna under 1600-talet hade ett större antal typer av just den bokstaven. Nämnas kan också att i stort sett alla berömda matematiker och tekniker sysslade med ekvationslösning under 1600- och 1700-talet.

Tankarna kring ekvationer (och därmed också algebra) är många. I mångt och mycket har dessa problem använts för att träna duktiga elevers tänkande. Det har varit en nöjes- och skönhetsmatematik som kan liknas vid korsordslösande, och många uppgifter har inte haft någon större verklig användbarhet. Samtidigt konstateras att behov av ekvationer har funnits i alla kulturer (Olsson, 1999), och Kilborn & Löwing (2002) räknar ekvationslösning som en allmänbildande baskunskap som alla behöver ha.

Under de retoriska ekvationernas tid löste man problemen genom att gissa, och justerade sedan svaret tills det stämde. En annan lösningsmetod som kom lite senare var att utnyttja sina kunskaper och räkna baklänges.

I dagens skola dominerar den symboliska algebran stort. Uppgifterna har blivit allt mer abstrakta och innehåller många led, samtidigt som man inte alltid kan hänföra uppgifterna till verklighetshändelser.

Ekvationer kan ses i flera perspektiv. Dels finns färdiga ekvationer och ekvationssystem som ska förenklas eller lösas, dels finns det problem som man, med en text som grund, kan lösa genom översättning och omskrivning till en eller flera ekvationer. Utifrån dessa perspektiv söker vi i litteraturen efter svårigheter med ekvationer.

3.1 Språk

När det gäller det matematiska språket är det av största vikt att eleverna inte känner matematiken som ett främmande språk utan att de lär sig det så naturligt som möjligt, att det flyter in i deras vardagliga språk.

(9)

Malmer påpekar språksvårigheter i boken Bra matematik för alla (1999). Hon skriver att många elever uppfattar matematiken som ett främmande språk, som bara hör skolan till. Det är en skrämmande verklighet att många faller igenom pga. av att de inte förstår innebörden av vad det står att de ska göra. En del kommuner råder bot på detta, enligt Malmer, genom att anordna olika språkträning redan i förskolan och hon anser att detta är en av de bästa investeringar man kan välja.

Det är också viktigt att vi lärare alltid framhåller rätt terminologi för eleven, även om eleven säger fel kan vi på ett snyggt sätt korrigera det. Malmer poängterar vikten av att vi lärare är ”tvåspråkiga” dvs. vi kan säga: ”Vi ska nu addera termerna – lägga samman talen”. Konsekvensen för eleverna blir att de får höra en förklaring av det ”svåra” ordet och det leder till att de förhoppningsvis med tiden kommer att förstå orden. En annan viktig hjälp är också att låta eleverna göra var sin matematikordlista, vilket innebär att var och en skriver upp de ord de inte förstår med egna formulerade förklaringar. Denna ordlista kan eleven ha framför sig när läraren går igenom, eleven kan själv repetera ordlistan regelbundet för att hänga med. Träning ger färdighet och efter ett tag förstår eleven innebörden av fler och fler ord.

Språkproblemen visar sig mycket tydligt vid ekvationsmomentet. För att lösa ett problem av ekvationskaraktär krävs enligt Algebra för alla (Nämnaren Tema, 1997) en regel i tre steg:

1) Eleven ska uppfatta problemet och kunna redogöra för strukturen med symboler (mer om symbolspråket se nedan).

2) Eleven ska kunna skriva om ekvationen på ett förståeligt sätt. 3) Eleven ska till sist kunna tolka resultatet.

Enligt Algebra för alla (Nämnaren Tema, 1997) visar det sig att det svåraste för eleven är ”översättningen” mellan det vanliga språket och symbolspråket/ekvationen. Elever som saknar ett språk när det gäller vanliga matematiska begrepp får det betydligt svårare att förstå det matematiska problemet, formulera det och till sist lösa det. Därför är det viktigt att innebörden av många begrepp t ex ”mer än”, ”mindre än”, ”gånger mer än”, ”hälften av”, ”var fjärde” osv. förklaras på ett för eleven begripligt sätt.

Elever med dyslektiska besvär har oftast svårigheter med symboler/symbolhantering och därmed i förlängningen ekvationsmomentet. Dessa elever bör få hjälp med uppläsning av uppgifterna. Lindeqvist poängterar i sin delrapport Att analysera, förebygga och åtgärda matematiksvårigheter i

förskolan och grundskolans tidigare år (2003) att ordförståelse och läsförmåga

är faktorer som i högsta grad påverkar elevernas möjligheter till att lösa problem inom matematiken. Hon poängterar att ett utvecklat språk är en förutsättning för

(10)

att förkovra sitt logiska tänkande och begreppsuppfattningen. Eftersom språket har en oerhört stor betydelse för att förstå de matematiska begreppen måste utrymme ges åt muntlig matematik där eleverna får arbeta med varandra och prata om hur de har nått fram till olika lösningar. Att använda detta inom ekvationsmomentet är perfekt eftersom det ofta kan finnas flera olika sätt att komma fram till samma lösning.

Vi har också många elever med språksvårigheter pga. att de har flyttat till Sverige eller har invandrade föräldrar. De kan ha svårt att förstå och ta in information verbalt, då måste vi lärare använda andra sätt. Vi har ju alla olika sätt att lagra våra minnen. En del tar in information via synen (visuella) eller via kroppen (kinestetiska) (Gardner, 1994). Här kan vi lära oss en hel del genom att vara flexibla och använda flera arbetssätt.

3.2 Symboler

När det handlar om algebrans symbolspråk gäller det för eleverna att utveckla och förstå vad symboler står för och varför räknereglerna fungerar. De måste få arbeta med att läsa, skriva och tolka de matematiska symbolerna och förstå att bokstäverna betecknar tal eller storheter. Eleverna måste också förstå innebörden med varför de använder bokstäver, uttryck, formler och ekvationer.

Mycket talar för att det är bokstavssymbolerna som är en av de stora stötestenarna för eleverna. Eleverna uppfattar bokstavssymbolerna på olika sätt och förståelsen för dessa delas in i fem nivåer (Quinlan, 1992, i C. Bergsten m.fl., 1997, Algebra för alla, sid 19).

Nivå 1 är att bokstavens ses som ett objekt som saknar mening, eller dess värde fås som bokstavens plats i alfabetet. På nivå 2 utgår eleven från att det är tillräckligt att pröva med ett tal istället för bokstaven. Nivå 3 innebär att det är nödvändigt att pröva med flera tal. De elever som befinner sig i näst högsta nivån uppfattar bokstaven som representant för en klass av tal. Det räcker att prova med något av dessa tal för att kunna lösa uppgiften. I sista steget uppfattas bokstaven liksom i nivå 4 som en representant för en klass av tal, men här anser man inte att man behöver pröva med något av dessa tal.

Många elever når bara nivå 1 och alldeles för få elever når nivå 4 och 5.

Forskningen kring hur elever uppfattar och löser ekvationer visar tydligt vikten av en bredare uppfattning av likhetstecknets betydelse (Kieran, 1981, i C. Bergsten m.fl., 1997, Algebra för alla, sid 24). Under de första åren i skolan är det naturligt att likhetstecknet tolkas som blir medan eleverna vid ekvationslösning måste kunna tolka likhetstecknet som är lika med eller är lika

(11)

stora. De måste också vara införstådda med att likheten kan läsas från vänster till höger eller tvärtom.

Likhetstecknets betydelse betonas även i artikeln om Algebrans förmåga och

förståelse (Nämnaren nr 2 år 2000). Efter att ha gjort enkäter på det

Naturvetenskapliga programmet med start 1998 presenterar författarna, Persson och Wennström, olika algebrasvårigheter där det logiska tänkandet med bl.a. likhetstecknets betydelse är en av dem. Andra svårigheter eleverna visar är brister i aritmetiska färdigheter såsom prioriteringsregler, bråkräkning och negativa tal. Även den matematiska abstraktionsnivån är det problem med t.ex. uppfattning av bokstavssymboler, variabelbegrepp och samband mellan variabler. Alla dessa svårigheter gör att eleverna får problem med att förstå ekvationernas möjligheter.

3.3 Självbild och erfarenheter av matematik

Larsson har i sin uppsats De som inte löser något! (2004) tittat på elever som inte lämnar några svar på uppgifter vid problemlösning. Han konstaterar att många elever har en svag självbild när det gäller matematik, de anser redan innan de tagit itu med problemet att de inte kommer att klara uppgiften och gör därför inte några större ansträngningar. Dessa elever har tidigare misslyckats och är nu övertygade om att de kommer att göra det igen. Många gånger har denna typ av elever ytliga lösningsstrategier (Palm, 2003), och fokuserar på siffror i uppgiften. De har också föreställningar som t.ex. ett svar ska vara ett tal, det finns bara ett svar osv. Algebra och ekvationer blir då mycket svårt eftersom det inte bara handlar om siffror, utan också om bokstäver.

Elevers självbild speglar ibland föräldrarnas erfarenheter. I bl. a. Skolverkets rapport Lusten att lära 2001-2002 påpekas att vuxna som själva haft svårt att förstå matematiska moment ofta överför det till sina barn. Barnen går då in till matematikundervisningen med en negativ självbild eftersom de tror att svårigheterna sitter i generna och inte går att göra något åt.

Adler (2000) har skrivit mycket om dyskalkyli, men talar också om pseudo-dyskalkyli i informationsskriften Matematikscreening Information om en

undersökningsmetod. I detta begrepp ryms en stor grupp elever där

känslomässiga blockeringar hör till vanligheten. Dessa elever har ofta resurser tankemässigt för att lyckas men kan få idéer om att de aldrig kommer att lyckas i ämnet. Dessa idéer kan vara mycket starkt förankrade hos eleven, och gör att han/hon anser sig vara mindre begåvad. Gruppen består enligt Adler till stor del av flickor som själva inte tror att de klarar av ämnet men som i många fall är oerhört begåvade. Det är inre blockeringar som skapar detta problem.

(12)

Utöver nämnda problemkategorier finns också de elever som inte kan koppla samman sina allmänkunskaper med de matematiska kunskaperna. De ser matematik och verklighet som två helt skilda världar och drar aldrig nytta av de samband som finns.

3.4 Olika sätt att lösa ett problem

Mayer och Hegarty (1996) skriver om hur elever tar sig an ett problem. De delar in dem i två typer av problemlösare i allmänhet – dels de som direkt börjar leta efter siffror och signalord så att de kan utföra matematiska operationer med siffrorna, dels de som söker det som beskrivs i problemet och sedan letar efter en plan för att kunna lösa det.

I boken Algebra för alla (Nämnaren Tema, 1997), beskrivs olika sätt att lösa en ekvationsuppgift. För uppgifter som utgår från ett i text beskrivet problem används den algebraiska cykeln. Texten översätts först till en ekvation med symboler, därefter skrivs ekvationen om, dvs. den löses, och till sist tolkas lösningen tillbaka till det textproblem man utgått ifrån.

Författarna nämner flera områden där problem kan uppstå i den algebraiska cykeln, bl.a. tar de upp svårigheten att en ekvation inte är kontextbunden. Det räcker inte att kunna lösa ekvationer mekaniskt, man måste också klara att växla mellan kontext och symboler i flera steg.

Även Johansson (2000) kommer in på den algebraiska cykeln i sin internetartikel Några reflektioner kring matematik under ht 99 och vt 00 vid

komvux i Forshaga. Han tar upp elevers svårigheter att översätta och tolka text

till bl.a. ekvationer. Enligt Johansson finns det olika orsaker till att översättningen inte fungerar, antingen läser eleverna inte texten tillräckligt noggrant för att se vad det står eller förstår de inte texten/problemet. Elever har också svårigheter att översätta från ”svenska” till ”mattespråk”. Detta kan enligt Johansson orsakas av att elever idag lever i en alltmer muntlig kultur medan skolan fortfarande är kvar i den skriftliga kulturen.

I Algebra för alla (Nämnaren Tema, 1997) beskrivs också olika lösningsmetoder för en given ekvation, och man delar in dem i informella och formella metoder. Till de informella räknas de metoder som man tillämpat i den retoriska algebran. De bygger på huvudräkning och innebär att eleverna använder upp/nedräkning, utnyttjar sin talkunskap, ”täcker över” det obekanta, arbetar baklänges eller gissar och provar. Dessa metoder fungerar bäst vid enklare ekvationer, och kan vara en mycket bra hjälp i början för att öka förståelsen för ekvationer. De formella lösningsmetoderna grundar sig på de olika regler som finns för att lösa olika tal och innebär att eleverna gör samma sak på båda sidor eller använder överflyttning (flytta och byt tecken).

(13)

Författarna menar att många elever hoppar över mellanleden, de klarar uppgiften genom informella metoder men har inte förstått hur en ekvation egentligen ska lösas.

3.5 Skolans undervisningsmetoder

3.5.1 Undervisning i allmänhet

Johansson (2000) tar upp att elever som utsätts för en viss typ av undervisning tror att uppgifterna endast kan lösas så som undervisningen/boken har visat. De litar inte till sin egen vardagskunskap eller på sina egna idéer utan utgår från att exempeluppgifterna är de enda möjliga vägarna till lösning. Det finns också motsatsen, elever som skapar egna lösningsstrategier. Dessa blir enligt Malmer (1999) ibland uppmuntrade av lärare, men kan också bli tillrättavisade och uppmanade av läraren att lösa uppgifterna på ”rätt” sätt.

Det finns också undervisningsmetoder som utgår från att dagens skola är en målstyrd skola. I en undersökning av Rönnbäck (2000) gjordes ett försök att få elever att bli bättre på ekvationslösning genom att använda betygskriterierna som verktyg. Enligt författaren kunde inte någon förbättring påvisas.

3.5.2 Laborativt arbete och läromedel

Det talas och skrivs också mycket om att matematiken i skolan använder alldeles för lite laborativa metoder när det gäller de högre åldrarna. Läromedlen styr till stor del undervisningen (Kilborn & Löwing, 2002), och dessa utgår mest från enskilt räknande. Om man t.ex. tittar på ekvationer i Matematikboken för

grundskolans senare år, bok X, Y och Z (Undvall, Olofsson & Forsberg, 2001)

finns ofta ett till två avskalade övningsexempel. Därefter kommer flera liknande uppgifter för att eleverna ska befästa och automatisera kunskaper om hur ekvationer ska lösas. Det är många mekaniska uppgifter, dvs. uppgifter där eleven bara kan följa samma gång som övningsexemplet, och som inte nödvändigtvis kräver att eleven förstår momentet. Till sist kommer textproblem där eleverna behöver klara den algebraiska cykeln för att kunna komma fram till en lösning. Alla uppgifterna är avsedda som enskilt arbete.

Bl.a. Kilborn & Löwing (2002) talar om hur viktigt det laborativa arbetet är. De förespråkar mer laborativt pre-algebraiskt arbete tidigt och även praktiskt arbete i de högre årskurserna. Dock verkar inte alltid eleverna kunna se kopplingen mellan matematik och laborativt arbete om det inte följer som en röd tråd genom alla årskurser. Widerström (2003) skriver i sitt examensarbete Att arbeta med

laborativ matematik att han inte fick det resultat han förväntat sig då han gjorde

en studie där halva klassen fick arbeta mer laborativt medan andra halvan arbetade traditionellt med matematikböckerna. Få elever såg kopplingen mellan

(14)

matematiken och de praktiska uppgifter som de hade gjort. De kunde heller inte se att de lärt sig så mycket nytt, medan de elever som arbetat i matematikboken tyckte att de lärt sig nya saker.

3.5.3 Ekvationer

När det mer specifikt handlar om ekvationer kritiserar Kilborn & Löwing (2002) skolan för att lära ut att ekvationslösning bara innebär att ”flytta över termer till andra sidan och byta tecken”. De anser att ekvationer bygger på annulleringslagarna och att det skulle hjälpa många elever att arbeta utifrån dessa. Då skulle många fler elever klara av gymnasiets ekvationskapitel, menar författarna. Även i Algebra för alla (Nämnaren Tema, 1997) talar man om att eleverna lär sig lösa ekvationer mekaniskt och inte vet vad de egentligen sysslar med.

(15)

4. Metod

4.1 Aktionsforskning

Denscombe (2004) skriver om att forskningssyftet inom företagssammanhang och arbetsmiljö ofta är att komma fram till rekommendationer på fungerande tillvägagångssätt vid problemlösning eller att öka effektiviteten genom förändringar av regler och rutiner på arbetsplatsen. Detta kan göras med aktionsforskning där forskarens egen arbetsmiljö och kanske behovet av förbättringar påverkar forskningens inriktning. Varför vi väljer aktionsforskning beror på att den har en praktisk inriktning där meningen är att undersöka problem, i vårt fall problemet med att lösa ekvationer. Vår förhoppning är också att de slutsatser vi drar av vårt test och intervjuer ger oss insikten i var problemen finns och därigenom påverkar vår undervisning så vi kan bemöta dessa problem på bästa tänkbara sätt.

4.2 Metoddiskussion

För att få svar på vilka svårigheter elever har när det gäller att lära sig

ekvationer, har vi valt att göra ett test med uppgifter som spänner över, enligt oss, grundläggande färdigheter vad gäller ekvationer. Med denna metod räknar vi med att kunna få fram de större trösklarna. Testet har gjorts på 47 elever. För att få veta vilka svårigheter som kvarstår efter genomgången A-kurs har vi gjort testet både på elever i åk 9 och på elever som genomgått gymnasiets A-kurs.

Utöver det kvantitativa testet har vi gjort djupintervjuer med 6 elever. Syftet med dessa är att närmare studera olika svårigheter, dels sådana som vi läst om i litteraturen och dels sådana som vi kommit fram till i testet. Vi vill också få fram varför många elever tycker att ekvationer är svårt.

4.3 Test

För att få fram eventuella svårigheter med ekvationer har vi valt ut 10 uppgifter (9 räkneuppgifter och en värderingsfråga, se bilaga 1) som vi låtit 47 elever utföra.

Testet har inte varit tidsbegränsat, för att eleverna inte ska ge upp för tidigt, och eleverna har besvarat uppgifterna skriftligt. De har uppmanats att skriva fullständiga lösningar. En av oss har varit närvarande vid testtillfället för att eleverna skulle få samma information. Vid testet i åk 9 var 22 av 25 elever närvarande, medan ingen var frånvarande på gymnasiet/komvux.

(16)

4.3.1 Urval av elever till testet

Eftersom vårt syfte med undersökningen är både att få fram eventuella hinder vid ekvationslösning och att se om dessa hinder framkommer redan tidigt, har hälften av testgruppen tagits från årskurs 9. Den andra hälften har tagits från elever som genomgått A-kursen dels på Hantverksprogrammet (lokal inriktning båtbyggeri) och dels vuxna elever som har läst enstaka kurser där kursen Matematik A har ingått. A-kursen ingår i alla gymnasieprogram, och de kunskaper som ungdomar skaffar sig där kommer att vara den lägsta nivå som människor i samhället besitter framöver.

Eleverna i åk 9 representerar en hel klass, medan eleverna som gjort klart A-kursen är hämtade från ett gymnasieprogram samt komvux. Detta är av praktiska skäl, där vi har haft möjlighet att genomföra undersökningen har klasserna på gymnasiet/komvux varit så små att en klass inte varit tillräckligt.

4.3.2 Uppgifterna i testet

Litteraturstudierna som vi gjort har påvisat olika problem med ekvationslösning. Utifrån dessa har vi valt ut några uppgifter som eleverna har fått lösa.

Uppgift 1: 23= x5 +3

I denna uppgift vill vi se om eleverna förstår att 5x är samma sak som 5⋅x, och vi vill också se om eleverna har svårigheter när x står i högerledet (x finns vanligen i vänsterledet när ekvationer introduceras).

Uppgift 2: 7y+3=21

Detta är en uppgift som inte går jämt ut, dvs. eleverna kan inte använda informella metoder för att lösa den (gissa, övertäckning osv.). För att klara uppgiften krävs att eleven kan arbeta med bråktal. Vi har också använt y istället för x för att se hur eleverna kan hantera olika tecken/symboler för det okända. Uppgift 3: 5 2 ) 3 (x+ =

Eleverna behöver behärska prioriteringsreglerna och klara bråktal för denna uppgiften.

Uppgift 4: 4x+3x+8=48+2x

Här förekommer x på båda sidor, eleverna måste kunna förenkla ekvationen samt förstå likhetstecknets betydelse.

Uppgift 5: Skriv en ekvation som ger lösningen z=2.

Att förstå innebär att man kan göra egna exempel. Liksom i uppgift 2 använder vi en annan variabel än x.

(17)

Uppgift 6: 4(x−2)−2(3−2x)=3(x−4)

Denna uppgift innehåller flera moment. Eleverna behöver förstå att 4(x−2) betyder 4⋅ x( −2), de behöver klara räkneregler samt bråktal.

Uppgift 7-9 är alla textuppgifter som ska översättas till ekvationer. Här provas framförallt den algebraiska cykeln, där text översätts till en ekvation med symboler som sedan löses och tolkas.

Uppgift 7: En familj med två vuxna och två barn går på en fotbollsmatch,

Vuxenbiljetten kostar 40kr mer än barnbiljetten. Hela familjen får betala 360kr i inträde. Vad kostar en barnbiljett?

Här tas även det matematiska språket upp, t ex måste eleverna förstå uttrycket mer än. Det finns också flera sätt att skriva ekvationen.

Uppgift 8: Folkmängden i en kommun minskade ett år med 3% till 46 075

personer. Hur stor var folkmängden året innan?

Denna uppgift kräver att eleverna kan handskas med decimaltal tillsammans med x. Det finns mer än ett sätt att formulera ekvationen. Förutom ekvationskunnande måste eleven ha kunskaper om procent.

Uppgift 9: Använd triangeln och räkna fram de olika sidorna om omkretsen är

85 meter.

Här ska eleverna kunna använda en bild i kombination med text för att utforma en ekvation.

Uppgift 10: a) Vad tycker du är lätt med ekvationer?

b) Vad tycker du är svårt med ekvationer?

Dessa uppgifter har vi valt för att få elevernas egna tankar kring ekvationer och vad som upplevs som svårt respektive lätt. Flera av svårigheterna som framkommit i litteraturen kan visas här, t ex sådana som inte syns när eleverna löser tal (ex eleverna har åsikten att de inte kan lösa ekvationer, även innan de har försökt).

(18)

4.3.3. Kategorisering av svar

Inför rättningen av testen har vi beslutat att inte räkna rena räknefel (ex 2+3=6) som fel om detta inte påverkat sättet att lösa ekvationen.

4.3.3.1 Rätta svar

Eftersom ett rätt svar inte automatiskt innebär att uppgiften lösts formellt rätt med en ekvation, har vi delat in de rätta svaren i fyra kategorier:

a) Helt rätt lösning. Svar där eleven visar att en ekvation använts på rätt sätt. b) Informell lösning. Svar där vi kan utläsa att eleven löst uppgiften med

informella metoder (t ex genom att prova sig fram eller genom talkunskap).

c) Endast rätt svar. Svar som är rätt men där en lösning som visar hur eleven tänkt saknas. Vi kan inte veta om eleverna använt ekvationer, och inte heller om de använt formella eller informella metoder.

d) Rätt svar, men eleven har inte använt ekvationer för att lösa uppgiften.

I uppgift 2 har vi även gjort en egen kategori för lösningen y≈(ett decimaltal). 4.3.3.2 Felaktiga eller ofullständiga svar

Ofullständiga lösningar har räknats som en egen kategori. Här har eleven klarat vissa steg av ekvationen men inte löst klart uppgiften. Helt felaktiga lösningar har också räknats som en egen kategori, och i övrigt har vi delat in felen enligt följande:

a) Lösningar med fel som gäller räkneregler. I olika uppgifter förekommer olika räkneregler. Typen som är aktuell anges i resultatdelen för varje uppgift.

b) Lösningar där eleven inte klarar att flytta över x från ena ledet till det andra.

c) Lösningar där eleven inte klarar att flytta över konstanttermer från ena ledet till det andra.

d) Lösningar som har fel i översättningen till en ekvation. e) Informell lösning men felaktigt svar.

f) Svaret är fel, ingen lösning finns med som visar hur eleven tänkt. g) Svaret är fel och lösningen visar att ingen ekvation har använts.

För uppgift 2 har ytterligare en felkategori tagits fram:

Lösningar där eleven skrivit att svaret är lika med ett decimaltal (y =).

4.4 Djupintervjuer

Djupintervjuerna har gjorts på tre elever i åk 9 samt tre elever som minst har genomgått kursen Matematik A. Vi har gjort intervjuerna i enskilt rum med var

(19)

och en av eleverna. Vi har inte haft någon tidsbegränsning. Vid intervjuerna har vi skrivit ner elevernas resonemang, se bilaga 3.

4.4.1 Urval av elever till djupintervjuerna

Eleverna har valts ut beroende på hur de har svarat på testet. Vi har försökt få med elever som har gjort olika fel på testet för att få höra hur de resonerar och var problemen ligger.

4.4.2 Uppgifter i djupintervjuer

Utifrån de svar vi har fått på testet har vi gjort uppgifter för djupintervjuerna. Syftet är att om möjligt få fram trösklarna lite mer detaljerat, särskilt när det gäller räknelagar och informella lösningsmetoder. Vi vill också försöka få veta mer om de elever som inte försöker lösa uppgifter samt om den algebraiska cykeln. Elevernas svar finns i tabellform i bilaga 3.

Uppgifterna består av två avdelningar. I del 1 får eleverna titta på uppgifterna en i taget, och får till varje uppgift följande frågor:

a) Är uppgiften lätt eller svår? b) Varför?

c) Hur skulle du lösa uppgiften?

Fråga b har vi för att försöka få svar på vilka svårigheter som eleverna ser, och vi hoppas få en del svar som hjälper oss att förstå varför elever inte löser vissa uppgifter.

Fråga c innebär att eleven inte behöver lösa uppgiften, bara förklara hur de skulle gjort (t.ex. flytta över x:en, lägga ihop dessa tal) och visar hur de klarar bl.a. symboler, räkneregler och likhetstecken.

Del 2 utgår från den algebraiska cykeln, och handlar om hur text och språk kan påverka elevernas lösningar. Uppgifterna visas en i taget, och eleverna får följande frågor:

a) Förstår du vad man vill veta?

b) Skulle du kunna skriva det som en ekvation? I så fall – teckna den! c) Kan du lösa den?

Uppgifterna i del 2 finns med som färdiga ekvationer i del 1. Att vi väljer två olika sätt är för att vi vill veta om det är någon skillnad i lösningsfrekvens om uppgiften utgår från det matematiska språket jämfört med vardagsmatematik, samt om den algebraiska cykeln förenklar eller försvårar.

Del 1

Uppgift 1: x+52=71

(20)

Uppgift 2: 3x+9=18

Ytterligare en grundläggande ekvation, här behöver eleverna förstå att 3x är samma sak som 3⋅x.

Uppgift 3: 5 4 = y

I denna uppgift finns division med.

Uppgift 4: 20 2 ) 10 2 ( = + x

En divisionsuppgift med mer siffror. Uppgiften återkommer i del 2, uppgift 11.

Uppgift 5: 6x+ x2 +8=80

Eleverna behöver ha förståelse för att x är samma tal, och att x:en kan adderas. De behöver också kunna förenkla och arbeta i flera steg. Uppgiften återfinns som nr 12 i del 2.

Uppgift 6: 5x−3−2x+1=19

Som uppgift 5 men även subtraktion finns med.

Uppgift 7: 2x+3=5+x

Här finns x på båda sidor om likhetstecknet, elevernas tankar om likhetstecken och vänster respektive högerled kommer fram.

Uppgift 8: 3x+ x2( +30)=755

Uppgiften innehåller parantes och multiplikation, två saker som flera elever tagit upp som svårigheter i testet. Uppgiften finns också med som textuppgift i del 2, nr 13.

Uppgift 9: 5(x+3)−2(x−4)=14

Ytterligare ett tal med parenteser och multiplikation. Här ökas svårighetsgraden då eleverna även måste klara multiplikation med negativa tal.

Uppgift 10: 5 3 2 = x

Både vänster och högerled är ett bråktal.

Del 2

Uppgift 11: Du köper en tidning och en läsk. Tidningen kostar 10 kr mer än

läsken. Hälften av vad tidningen och läsken kostar tillsammans är 20 kr. Vad kostar tidningen?

Denna uppgift liknar fråga 3 i testet och är samma som uppgift 4 i del 1 av djupintervjuerna.

(21)

Uppgift 12: En liten lekplats ser ut som rektangeln nedan. Omkretsen är 80 m.

Räkna ut lekplatsens sidor.

x+4

3x

Uppgiften är av samma typ som fråga 9 i testet, med en bild som stöd. Ekvationen som behövs återfinns i uppgift 5, del 1 av djupintervjuerna.

Uppgift 13: En CD-skiva kostar 30 kr mer än en DVD-film. Du betalar 755 kr

för 3 DVD-filmer och 2 CD-skivor. Vad kostar en CD-skiva?

Samma ekvation finns i uppgift 8 på del 1, och uppgiften liknar fråga 7 i testet.

4.5 Validitet/Reliabilitet

Med utgångspunkt ifrån litteraturen (Algebra för alla, 2002) har vi ställt frågor som vi tycker är relevanta till vår frågeställning om hur eleverna upplever ekvationsmomentet. Genom elevernas svar kan vi kartlägga vilka problem som eleverna har när de löser ekvationer. Flera av uppgifterna mäter mer än en sak och det beror på att vi även vill ha fram de duktiga elevernas svårigheter.

När det gäller tillförlitligheten finns det flera faktorer som kan påverka elevernas lösningsresultat.

En faktor är den lärobok som eleverna använt. Olika böcker tar upp ekvationsmomentet på olika sätt, bland annat har böckerna inte alltid samma fördelning när det gäller grundkurs och fördjupningsdel. Alla elever arbetar inte med fördjupningsdelen, men vi har valt uppgifter som vi till största delen anser tillhör grunden för ekvationslösning.

Lärarna har också stor betydelse. Det är de som i stor utsträckning bestämmer hur mycket eleven ska arbeta med momentet, håller genomgångar på det som han/hon anser viktigt och använder olika pedagogiska metoder. Detta tar vi upp i teoridelen.

Matematikkunskaperna på gymnasiet kan upplevas som olika beroende på vilket program man undersöker. Vi har inte valt elever från något program med matematik som karaktärsämne, och eftersom vi främst fokuserar på de svårigheter eleverna har med ekvationer får programmen som eleverna går mindre betydelse.

(22)

Ytterligare en påverkansfaktor är att vi är kända av eleverna. Vi tror dock inte att detta har påverkat elevernas resultat, eftersom vi inte bedömer dem eller ska sätta betyg på dem.

Slutligen kan sägas att denna undersökning inte kan generaliseras för alla elever, undersökningen är gjord genom ett test på 47 elever samt djupintervjuer av 6 elever. Detta är ett litet undersökningsmaterial, och det finns som nämnts alltför många faktorer som kan påverka för att resultatet ska anses vara generellt.

Uppgift 10 på testet har endast besvarats av 17 elever. Detta gör att de svar på svårigheter respektive enkla saker med ekvationer som framkommit inte kan kvantifieras utan endast kan ses som exempel inom olika de två kategorierna.

(23)

5. Resultat

5.1 Resultat av testsvaren

Vi har gjort denna enkät med 47 elever varav 22 st från åk 9 och 25 st från komvux/gymnasiet med kravet att de ska ha gått A-kursen. Eleverna fick enkäten utan förvarning och med obegränsad tid.

I resultatet presenterar vi respektive uppgift från enkäten samt svaren i tabellform. Kolumnerna ”Helt rätt lösning”, ”Endast rätt svar” och ”Ej försökt” presenteras för varje fråga medan övriga kolumner beror på de olika feltyper som har kommit fram när vi har studerat lösningarna.

Uppgift 1: 23= x5 +3

Tabell 5.1.1 Hur elever löser uppgift 1 i testet. Uppgift 1 Helt rätt lösning Endast rätt svar Informell lösningsmetod Ofullständig lösning Ej försökt Åk 9 45% 9% 27% 5% 14% Genomgått A-kursen 88% 12%

I denna fråga har alla som har gjort A-kursen klarat uppgiften medan 81% av åk 9-eleverna har gjort rätt. 14% av åk 9 eleverna har inte löst uppgiften alls.

Uppgift 2: 7y+3=21

Tabell 5.1.2 Hur elever löser uppgift 2 i testet. Uppgift 2 Helt rätt lösning Endast rätt svar y ≈ y = Går inte att lösa utan decimaltal Ofullständig lösning Ej försökt Åk 9 5% 23% 13% 32% 9% 18% Genomgått A-kursen 8% 16% 72% 4%

Nästan 20% av åk 9-eleverna och 4% av A-kursens elever har inte löst uppgiften. De flesta eleverna skriver att uppgiften bara går att lösa med decimaltal (68% åk 9, 88% kursen). 23% av åk 9-eleverna och 16% av A-kursens elever svarar med tecknet ungefär lika med.

(24)

Uppgift 3: 5 2

) 3 (x+ =

Tabell 5.1.3 Hur elever löser uppgift 3 i testet. Uppgift 3 Helt rätt lösning Endast rätt svar Informell lösningsmetod Räkneregler: Fel vid multiplikation av bråk Ej försökt Åk 9 23% 23% 31% 5% 18% Genomgått A-kursen 44% 4% 16% 36%

Fler elever i åk 9 klarar detta tal än A-kursens elever (77% respektive 48% har löst uppgiften). Dock löser nästan hälften av åk 9-eleverna uppgiften med informella metoder (A-kursens elever 4%).

Uppgift 4: 4x+3x+8=48+2x Tabell 5.1.4 Hur elever löser uppgift 4 i testet. Uppgift 4 Helt rätt lösning Endast rätt svar Infor-mell lösnings -metod Förenklar vänster-ledet men kan ej använda högerledets x Fel i över-flyttning av konstant termer Ofull-ständig lösning Ej försökt Åk 9 27% 9% 23% 5% 9% 27% Genom-gått A-kursen 80% 16% 4%

A-kursens elever har betydligt fler rätta lösningar – 80% jämfört med åk 9:s 36%. För åk 9 är svårigheten att använda x i högerledet ganska stor, 23% av lösningarna har fel här.

(25)

Uppgift 5. Skriv en ekvation som ger lösningen: z=2 Tabell 5.1.5 Hur elever löser uppgift 5 i testet.

Uppgift 5 Helt rätt lösning Endast rätt svar Fel lösning Ej försökt Åk 9 77% 5% 18% Genomgått A-kursen 72% 4% 24%

Flertalet av åk 9 och A-kurseleverna klarar uppgiften att själva göra en ekvationsuppgift med ett givet svar. 18% av eleverna i åk 9 och 24% av A-kursens elever har inte skrivit någon lösning alls.

Uppgift 6: 4(x−2)−2(3−2x)=3(x−4) Tabell 5.1.6 Hur elever löser uppgift 6 i testet. Uppgift 6 Helt rätt lösning Endast rätt svar Räkne-regler: Fel på +/- vid multipli-kation Räkneregler: Klarar ej av att multiplicera Klarar inte x i höger- och vänster -led Ofull-ständig lösning Ej försökt Åk 9 23% 9% 5% 9% 54% Genom-gått A-kursen 44% 24% 24% 8%

54% i åk 9 har inte skrivit någon lösning alls. Ingen åk 9-elev har heller gjort helt rätt på uppgiften, medan 44 % av A-kurseleverna har klarat den. Ungefär lika stor procentandel (lite mer än 20%) i åk 9 och A-kurseleverna visar svårigheter med att multiplicera när det är parenteser (+ och -).

(26)

Uppgift 7: En familj med två vuxna och två barn går på en fotbollsmatch.

Vuxenbiljetten kostar 40 kr mer än barnbiljetten. Hela familjen får betala 360 kr i inträde. Vad kostar en barnbiljett?

Tabell 5.1.7 Hur elever löser uppgift 7 i testet. Uppgift 7 Helt rätt lösning Endast rätt svar Rätt svar men använder inte ekvation Endast fel svar Fel vid översättning till ekvation Ej försökt Åk 9 23% 9% 35% 5% 5% 23% Genomgått A-kursen 44% 32% 4% 8% 12%

Många har kommit fram till rätt svar (67 respektive 76 %) men flera av dem använder inte ekvation för att lösa uppgiften. 23% i åk 9 och 12% av A-kurseleverna har inte löst uppgiften alls.

Uppgift 8: Folkmängden i en kommun minskade ett år med 3% till 46 075

personer. Hur stor var folkmängden året innan?

Tabell 5.1.8 Hur elever löser uppgift 8 i testet. Uppgift 8 Helt rätt lösning Endast rätt svar Rätt svar men använder inte ekvation Svaret är fel och lösningen visar att ingen ekvation har använts Helt fel Ej försökt Åk 9 14% 50% 9% 27% Genomgått A-kursen 16% 8% 12% 20% 44%

Endast 16% av A-kurseleverna löser uppgiften med en ekvation. Av åk 9-eleverna löser inte någon uppgiften med ekvation. Fler elever från A-kursen har inte försökt på uppgiften (44%) jämfört med åk 9 (27%).

(27)

Uppgift 9: Använd triangeln och räkna fram de olika sidorna om omkretsen är

85 meter.

Tabell 5.1.9 Hur elever löser uppgift 9 i testet. Uppgift 7 Helt rätt lösning Endast rätt svar Informell lösningsmetod genom prövning, ej klarat uppgiften Svaret är fel och lösningen visar att ingen ekvation har använts Ej försökt Åk 9 36% 9% 5% 50% Genomgått A-kursen 56% 12% 32%

Många elever har inte försökt på uppgiften, 50% för åk 9 och 32% för A-kurseleverna. 9% av eleverna i åk 9 provar sig fram när de försöker lösa uppgiften. Mer än hälften av A-kurseleverna har svarat rätt på uppgiften vilket även här kan bero på att de nyligen har räknat med liknande uppgifter.

Uppgift 10: a) Vad tycker du är lätt med ekvationer?

b) Vad tycker du är svårt med ekvationer?

30 st av eleverna har inte svarat på någon av frågorna. Korta tal och uppställda tal är lätta att lösa tycker eleverna. Av åk 9 har flera svarat att de tycker ekvationer med minus är svårt medan flera av A-kursens elever tycker att problemtal där en ekvation ska formuleras är svårt.

(28)

5.2 Resultat av djupintervjuerna

Intervjuerna finns i tabellform med elevernas kommentarer i bilaga 3.

Tabell 5.2.1. Svårigheter och övriga noteringar Uppgift 1: x+52=71 uppgift 1 och 2 i djupintervjuerna.

Uppgift 2: 3x+9=18

För båda uppgifterna gäller att eleverna anser dem lätta. Alla elever löser dem,

dock kan A-kurseleverna uttrycka sig på ett mer matematisk och formellt språk t.ex. talar de om att byta sida på talen, och de ser att det krävs division i slutet av lösningen på uppgift 2.

Två åk 9-elever löser uppgift 2 informellt – de använder sin talkunskap, 3 gånger någonting blir 9, och använder inte division av båda leden.

Tabell 5.2.2 Svårigheter och övriga noteringar uppgift 3 och4 i djupintervjuerna.

Uppgift 3: 5 4 = y Uppgift 4: 20 2 ) 10 2 ( x+ =

En A-kurselev tycker inte om bråktal (anser att de är svåra) och försöker inte på

dessa uppgifter. Övriga elever anser att uppgift 3 är lätt, medan uppgift 4 endast upplevs som lätt av två elever (båda är A-kurselever). Även en åk 9-elev lämnar uppgift 4 utan svar.

När det gäller lösningen av uppgift 4 gör eleverna lite olika. En A-kurselev har en helt formell lösning, medan en annan A-kurselev och en åk 9-elev använt formella metoder i början, för att sedan övergå till informell lösning i sista ledet (2x+10=40). En åk 9-elev säger att 2x=30, men kan inte ge någon förklaring till hur tankegången varit för att komma fram till detta.

Inte någon av eleverna reagerar på att symbolen y används i uppgift 3, i övriga uppgifter används symbolen x.

Svårigheter:

inga

Övriga noteringar:

informell lösning används av flera elever

Svårigheter:

Bråktal

har inte någon metod för att lösa uppgifter av den här typen

Övriga noteringar:

informell metod används av flera elever

(29)

Tabell 5.2.3 Svårigheter och övriga noteringar uppgift 5 och 6 i djupintervjuerna.

Uppgift 5: 6x+ x2 +8=80 Uppgift 6: 5x−3−2x+1=19

A-kurseleverna och en elev från åk 9 löser uppgifterna med formella lösningar. Dessa elever anser att uppgifterna är lätta. En åk 9-elev säger att uppgift 5 egentligen inte är svår, medan uppgift 6 är svår för

där är plus och minus blandat. När eleven löser uppgift 5 flyttas först konstanttermerna över till höger ledet, men sedan adderas inte x-termerna utan eleven försöker tänka ut svaret utifrån ekvationen 6⋅?+2⋅?=72 (När eleven resonerar högt blir det ” Sex gånger något plus två gånger något blir sjuttiotvå. Det går nog /att lösa/.”). Samma elev börjar lösa uppgift 6 och kommer fram till att svaret blir 18 (5x−3−2x=18). Därmed anser eleven att uppgiften är löst. En åk 9-elev anser att uppgifterna är svåra, eleven har inte kommit till uppgifter av denna typ i sin matematikundervisning än.

Tabell 5.2.4 Svårigheter och övriga noteringar uppgift 7 i djupintervjuerna.

Uppgift 7: 2x+3=5+x

Fyra av sex elever (alla A-kurselever och en åk 9-elev) tycker att uppgiften är lätt och löser uppgiften med formella metoder. En åk 9-elev uttrycker att det är jobbigt att x måste vara samma tal på båda sidor om likhetstecknet. Eleven vet att det är så, men förstår inte likhetstecknets

funktion och hur detta kan utnyttjas med formella metoder. Eleven löser helst ekvationer genom att tänka ut svaren informellt (se övriga redovisade uppgifter), och tänker här varje led för sig. Ekvationen upplevs som medelsvår av denna elev.

En åk 9-elev anser att uppgiften är svår och vet inte hur den ska lösas (har inte kommit till detta moment i matematikboken än).

Svårigheter:

för mycket siffror plus och minus blandat

har inte någon metod för att lösa uppgifter av den här typen

Övriga noteringar:

Informell metod används av en åk 9-elev

Svårigheter:

likhetstecknet

x är samma tal på båda sidor

har inte någon metod för att lösa uppgifter av den här typen

Övriga noteringar:

informell metod används av en åk 9-elev

(30)

Tabell 5.2.5 Svårigheter och övriga noteringar uppgift 8 i djupintervjuerna.

Uppgift 8: 3x+ x2

(

+30

)

=755

Fyra av sex elever tycker att denna uppgift är lätt. Eleven från åk 9 som anser den vara svår tycker inte om parenteser och vill använda miniräknare samt testa sig fram. Den andra eleven från åk 9 som anser frågan vara lätt har löst uppgiften

helt fel. Eleven ville multiplicera 2·30 och sen addera 3 till svaret och därefter räkna ut hur många x det är. För de fyra som har svarat rätt är det inga problem med parentesreglerna. De vet att de ska multiplicera 2:an med båda termerna i parentesen. Alla fyra visade samma uträkning.

Tabell 5.2.6 Svårigheter uppgift 9 i djupintervjuerna.

Uppgift 9: 5(x+3)−2(x−4)=14

Fyra av sex anser den vara lätt eller medel. Alla fyra multiplicerar framför allt ”minusparentesen” på ett korrekt sätt. En

av de två åk 9-eleverna som anser den vara svår vet inte hur uppgifter med parentes löses och den andre tycker minus är svårt.

Tabell 5.2.7 Svårigheter uppgift 10 i djupintervjuerna. Uppgift 10: 5 3 2 = x

En A-kurselev lyckas lösa denna uppgift på ett korrekt sätt genom korsvis multiplikation. En åk 9-elev har problem

med att x inte är något heltal. Två av åk 9-eleverna har inte någon metod för att lösa sådana tal. En A-kurselev tycker att bråktal på båda sidor skapar problem och en annan A-kurselev hatar bråkräkning.

Svårigheter:

Parentesreglerna

har inte någon metod för att lösa uppgifter av den här typen

Övriga noteringar:

informell metod används av en åk 9-elev

Svårigheter:

parentesreglerna

har inte någon metod för att lösa uppgifter av den här typen

Svårigheter:

x är inget heltal

bråkräkning på båda sidor

har inte någon metod för att lösa uppgifter av den här typen

(31)

Tabell 5.2.8 Svårigheter och övriga noteringar uppgift 11 i djupintervjuerna.

Uppgift 11: Du köper en tidning och en

läsk. Tidningen kostar 10 kr mer än läsken. Hälften av vad tidningen och läsken kostar tillsammans är 20 kr. Vad kostar tidningen?

Fyra av sex lyckas med denna uppgift. Två A-kurselever av de fyra löser

uppgiften på samma sätt genom att lösa ekvationen x+x+10=40. De undviker bråkräkning genom att tänka sig att summan för en läsk och en tidning blir 40 kr. De andra två som klarar uppgiften, en åk 9-elev och en A-kurselev löser uppgiften med informell metod. Eleven från åk 9 brukar tänka ut lösningen utan att skriva uppgiften. Två åk 9-elever provade inte att lösa uppgiften alls.

Tabell 5.2.9 Svårigheter och övriga noteringar uppgift 12 i djupintervjuerna.

Uppgift 12: En liten lekplats ser ut som en

rektangel nedan. Omkretsen är 80 m. Räkna ut lekplatsens sidor.

x+4

3x

Tre av sex elever kommer fram till rätt uppställning. En åk 9-elev löser den korrekt fram till den sista uträkningen av 72/8. En annan åk 9-elev räknar inte ut omkretsen helt rätt och en A-kurselev hänger upp sig på kortsidans 4 m. En av eleverna från åk 9 försöker inte på uppgiften.

Tabell 5.2.10 Svårigheter och övriga noteringar uppgift 13 i djupintervjuerna

Uppgift 13: En CD-skiva kostar 30 kr mer

än en DVD-film. Du betalar 755 kr för 3 DVD filmer och 2 skivor. Vad kostar en CD-skiva?

En åk 9-elev och två A-kurselever gör uppgiften på ett korrekt sätt. Två av dem

Svårigheter:

teckna en ekvation utifrån en textuppgift

har inte någon metod för att lösa uppgifter av den här typen

Övriga noteringar:

informell metod används av en åk 9-elev och en A-kurselev

Svårigheter:

teckna en ekvation utifrån en textuppgift

omkretsen

har inte någon metod för att lösa uppgifter av den här typen

Övriga noteringar:

informell metod används av en A-kurselev

Svårigheter:

Teckna en ekvation utifrån en textuppgift

har inte någon metod för att lösa uppgifter av den här typen

Övriga noteringar:

(32)

9-löser uppgiften informellt. En A-kurselev räknar bara med att en CD-skiva kostar 30 kr mer än en DVD. Denna elev missar att multiplicera 2·30. En åk 9-elev provar sig fram men får inte uppgiften att stämma. En annan åk 9-9-elev försöker inte.

(33)

6. Resultatdiskussion 6.1 Test

I första frågan utmärker sig de 19% i åk 9 som ej har svarat eller ej har gjort klart denna enkla ekvation. Eftersom så många inte ens försökte är det svårt att få svar på om det beror på att x:et är placerat i det högra ledet. En intressant iakttagelse från denna fråga är också att hela 27% av åk 9 har löst uppgiften genom en informell lösningsmetod. Beror det på att ekvationer lärs ut på olika sätt?

I fråga 2 ville vi undersöka hur eleverna gör när det får ett svar som inte går jämnt upp. Vi fick ett stort antal svar där eleverna antingen svarar med ungefär lika med 2,57 eller lika med 2,57. Endast 3 elever av 47 svarade korrekt dvs.

7 18

eller 7 4

2 . Detta tyder på vissa brister i bråkräkningen och även brister på hur man hanterar likhetstecknets och dess betydelse. Vi har inte fått några indikationer på att eleverna har haft problem med att vi använde y istället för x i frågan. Problemet har helt klart varit hur eleverna ska formulera svaret.

Att så få elever från A-kursen använder informella lösningsmetoder i fråga 3 beror enligt de olika svaren på att de blandar ihop ekvationsreglerna med beräkning av vanliga bråktal. De multiplicerar både täljare och nämnare istället för enbart täljaren.

Eleverna i åk 9 klarade denna uppgift betydligt bättre än A-kurseleverna. Detta beror till en viss del på att de använder informella lösningsmetoder i mycket högre utsträckning. 9 st elever av 25 st av A-kurseleverna har inte ens försökt på denna fråga och det tyder på osäkerhet inför ekvationer med nämnare.

I fråga 4 ville vi studera hur eleverna hanterar x i båda leden. A-kurseleverna klarade denna fråga betydligt bättre än åk 9. Det kan bero på att en större grupp inom A-kurseleverna nyligen har räknat med sådana uppgifter. Eleverna i åk 9 visar tydliga brister i hanterandet av x i framförallt höger led.

I uppgift 5 har hela 35 st av 47 st förstått frågan och gjort en helt korrekt lösning. Många lösningar har varit mycket lätta såsom 13 + z = 15 medan andra elever har visat mycket goda färdigheter genom att ha z i både vänster led och höger led och genom att använda z2.

I fråga 6 ville vi få svar på elevernas kunnande när det gäller parentesregler och bråkräkning. Här visade båda grupperna att de har svårt att hantera parentesreglerna. Eleverna gör de flesta felen när de multiplicerar med plus- respektive minustal inom parentesen. Fler än hälften av åk 9 har inte svarat alls

(34)

på frågan. En ganska stor del av A-kurseleverna har gjort rätt på denna fråga och det kan, liksom i fråga 4, bero på att de nyss har arbetat med denna typ av frågor.

Det är intressant i fråga 7 att studera att 16 st av 47 st löser denna uppgift med en informell lösningsmetod. Utifrån lösningarna vi har sett tänker de praktiskt när de kommer fram till svaret. Det är också med viss förvåning man studerar de felaktiga svaren där eleverna inte gör några rimlighetsbedömningar utifrån svaret de får. Ett av svaren är exempelvis att en barnbiljett kostar 50 kr och en vuxenbiljett kostar 130 kr. Här borde eleven ha reagerat eftersom det ska skilja 40 kr mellan vuxen- och barnbiljetten. Här kanske eleven inte förstår det matematiska uttrycket ”mer än”.

Fråga 8 var den klart svåraste uppgiften eftersom endast 9 st av 47 st klarade den. 50 % av åk 9 och 12% av A-kurseleverna gör tankefel när de utgår från att talet i uppgiften motsvarar 100% - inte 97% som det ska vara. Flertalet av de övriga felaktiga svaren från A-kurseleverna har kommit till beroende på att de har multiplicerat 46 075 med 1,03.

Vårt mål med fråga 9 var att kunna studera om eleverna uppfattade ekvationsmomenten enklare om de såg en bild framför sig än om det bara var en text. 22 st av 47 st löste uppgiften helt korrekt och med en förståelse av att alla sidorna tillsammans är lika med 85 m. Några elever har prövat sig fram men inte nått slutresultatet. Jämför man denna fråga med textfrågorna uppgift 7 och 8 när det gäller rätta svar hamnar denna fråga mitt emellan. Fler svarade rätt på fråga 7 än 9 medan betydligt färre svarade rätt på fråga 8 än 9.

Att ekvationer är ett svårt moment i matematiken kan vi utläsa av testet och inte minst i svaren på fråga 10. Vi förstår att detta med algebra – räkna med bokstäver – är ett komplicerat område för många av våra elever. Många svar bygger på att de tycker att olika regler är svåra att komma ihåg såsom parentesregler och multiplikation av plus och minus samt tycker flera av eleverna att textuppgifter är svåra att formulera om till en ekvation.

Sammanfattningsvis kan vi konstatera att vårt syfte dels var att studera om trösklar finns när det gäller ekvationer och deras lösningar, och dels att göra en jämförelse mellan åk 9 och elever som har genomgått A-kursen i matematik på gymnasiet/komvux.

De större trösklar vi har kunnat utläsa från testet är att:

• eleverna förstår inte att ett bråktal kan vara ett svar. Exempel på detta visas i testets uppgift 2 där 37 av de 40 elever som räknade ut uppgiften på ”rätt sätt” ansåg att det bara gick att svara med ett decimaltal.

(35)

• eleverna anser att x i båda leden är ett problem. Det är framförallt åk 9-eleverna som upplever detta som en svårighet.

• eleverna har problem med multiplikation av plus och minus vid parentesberäkningar. Ungefär var fjärde elev som svarade på testet tycker att detta moment orsakar problem.

• översätta text till en ekvation. De tre uppgifter med text som testet innehåller visar tydliga skillnader på lösningssätt mellan åk 9-eleverna och A-kurseleverna. I två av de tre uppgifterna är det fler åk 9-elever som använder informell lösningsmetod. Sammanfattningsvis när det gäller de tre textuppgifterna har fler A-kurseleverna löst uppgifterna på ett korrekt sätt.

Detta stämmer också överens med den litteratur vi har läst. Exempelvis poängterar Algebra för alla (Nämnaren Tema 1997) tre steg när elever ska lösa ett problem. Dels ska de uppfatta problemet, därefter ska de skriva en ekvation på ett förståeligt sätt och till sist ska de tolka resultatet. Detta har eleverna problem med och det visar sig till en viss del i fråga 7 men framförallt i fråga 8. Enligt Kierans (1981) forskning kring hur elever uppfattar och löser ekvationer måste eleverna förstå och kunna tolka likhetstecknets betydelse. Detta visar eleverna att de har problem med när det finns okända termer i båda leden.

När det gäller jämförelsen mellan åk 9 och A-kurseleverna kan vi utläsa viss skillnad vad gäller längre ekvationstal där x finns i båda leden, uppgift 4 och 6. I dessa uppgifter hade A-kurseleverna större svarsfrekvens som var rätt. Däremot använde fler åk 9 elever informella lösningsmetoder vilket kanske grundar sig i en annan pedagogik. Vi har studerat vissa grundskoleböcker där man arbetar på ett annat sätt.

Ett stort problem som vi kan se är också sista delen i den algebraiska cykeln dvs. tolkningen av svaret. Eleverna måste lära sig att tolka sitt resultat genom att bedöma rimligheten i svaret de kommer fram till.

(36)

0 10 20 30 40 50 60 1 2 3 4 5 6 7 8 9 uppgift i testet % åk 9 ej försökt lösa genomgången A-kurs ej försökt lösa

Diagram 6.1.1 Elever som inte försökt lösa uppgiften.

Till sist vill vi kommentera de som inte har försökt på uppgifterna. I vissa frågor ligger denna grupp på över 40%. Larsson studerade i sin uppsats De som inte

löser något! (2004) elever som inte lämnar svar på uppgifter vid

problemlösning. Många elever i denna grupp har en svag självbild samt att de redan innan de gör uppgiften konstaterar att de inte kan.

6.2 Djupintervjuer

Varför tycker många elever att ekvationer är svåra? Inte ens i djupintervjuerna är det lätt för eleverna att förklara, och det grundar sig troligtvis i att de varken har kunskaper eller tillräckligt matematiskt språk för att förklara just vad som gör det hela svårt. I enskilda uppgifter kan de hitta ett problem, t ex har de skrivit i testet att momenten parenteser, minus, och nämnare är svårt, men när det t.ex. gäller att skriva om en uppgift med text till en ekvation kan de inte förklara.

När det gäller språket har uppgifterna varit tillräckligt tydliga och eleverna har språkliga kunskaper så att de kan förstå vad uppgiften har gått ut på. Om de förstår uttryck som mer än och hälften av är svårt att utläsa av svaren, eftersom flera av textuppgifterna inte räknades av eleverna i åk 9. Något som kan spela in i det språkliga är att ingen av de intervjuade eleverna har något annat modersmål än svenska.

Däremot är delar av matematikspråket outvecklat i båda grupperna. Att förstå uppgifter skrivna med ett matematiskt språk (del 2) klarar alla elever av men elevernas matematiska talspråk fungerar sämre eftersom de använder ”plussar”, ”minusar”, ”gångrar”, ”delar”, ”flyttar” osv. när de resonerar.

I boken Bra matematik för alla poängterar Malmer att det är viktigt att vi lärare alltid använder rätt ord, även om eleven säger fel kan vi justera det genom att poängtera: ”Nu ska vi subtrahera termerna – dra ifrån.” Förhoppningsvis hjälper detta eleverna att efterhand förstå orden.

(37)

Flera elever har i testet själva skrivit att x och y gör uppgifterna svåra. Vid djupintervjuerna kan vi, liksom i testet, konstatera att eleverna inte reagerar på om det står x eller y i uppgiften och det visar att symbolens utseende inte har någon betydelse. Däremot tror vi att användandet av symboler i uppgiften spelar in, och vi har kanske fått lägre lösningsfrekvens på del 2 eftersom vi har bett om en ekvationslösning. Om vi bara hade bett eleverna lösa uppgiften (och inte sagt att det handlade om ekvationer) hade resultatet kanske blivit annorlunda. Nu ger eleverna upp ganska lätt eftersom de inte tror att uppgiften går att lösa på något annat sätt än med en ekvation.

Tre uppgifter fanns med både i del 1 (given ekvation) och del 2 (eleven skulle själv konstruera en ekvation utifrån en textuppgift).

28%

22% 17%

22%

11%

likadan lösning av given ekvation och textuppgift ej löst varken given ekvation eller textuppgift

löst given ekvation formellt, textuppgift informellt löst given ekvation men inte textuppgift

ej löst given ekvation, löst textuppgift informellt

Diagram 6.2.1 Jämförelse mellan hur uppgifterna av en given ekvation och samma ekvation som textuppgift har lösts vid djupintervjuerna. Varje elev fick vid djupintervjuerna tre givna ekvationer att lösa, vilka senare återkom som textuppgifter (sammanlagt underlag 18 givna ekvationer och deras relation till 18 textuppgifter). I hälften av dessa uppgifter har det inte haft någon betydelse för eleven om ekvationen är given eller inte. De klarar/klarar inte båda uppgifterna på samma sätt. I den andra halvan av uppgifterna skiljer sig lösningarna åt. Tre uppgifter har lösts formellt när ekvationen var given, medan eleverna löser problemuppgifterna med samma uppgift informellt. I fyra uppgifter löser eleven den givna ekvationen men klarar inte problemuppgiften. Två uppgifter blir lösta som problemuppgift, men inte som givna ekvationer. I dessa fall har eleverna löst problemuppgifterna med informella metoder. Detta visar på att den algebraiska cykeln är viktigare än de formella metoderna (kan eleven inte omsätta problemet till en ekvation kan inte problemet lösas även om eleven har nödvändiga formella kunskaper). Det visar också att texten påverkar eleverna så att fler väljer en informell lösning även om de har de formella kunskaperna.

I övrigt upptäcker vi flera brister hos de intervjuade eleverna. Precis som Persson och Wennström framhåller i Algebrans förmåga och förståelse (Nämnaren nr 2 år 2000) visar eleverna brister i aritmetiska färdigheter såsom

(38)

prioriteringsregler, bråkräkning och negativa tal. I uppgift 9 där multiplikation med negativa tal ska göras visar två av sex obefintliga färdigheter. I uppgift 10 där bråktal står på båda sidor om likhetstecknet är resultatet mer skrämmande eftersom fem av sex inte vet hur man hanterar bråkräkningen i ett sådant tal. Likhetstecknet klarar A-kurseleverna bra, på högstadiet finns vissa problem och vi har fått insikt i hur elever kan tänka när det gäller höger och vänsterled. En av de intervjuade åk 9-eleverna förstod inte hur de båda leden hörde samman utan ville helst räkna varje led för sig. Detta är ett problem, om vi hade intervjuat fler skulle troligtvis flera sätt att se de olika leden dyka upp.

Elevens självbild är viktig för lösningsfrekvensen. Djupintervjuerna visar tydligt att elever som inte tror sig vara duktiga på momentet inte heller gör några större försök att lösa uppgiften. Larsson skriver i sin uppsats De som inte löser något! (2004) att dessa elever ofta har en svag självbild när det gäller matematik. De tror att de inte klarar uppgiften redan innan de ger sig i kast med problemet. Detta kan vi se i uppgifterna i del 2 där framför allt flera åk 9-elever är mer osäkra och svarar exempelvis: ”Det skulle man nog kunna, men jag kan inte”, ”Jag är inte bra på ekvationer”, ”Nej, jag vet inte”.

A-kurseleverna har betydligt större självförtroende, och det visar att eleverna får en större förståelse för ekvationer efter fullföljd A-kurs och därmed också ökar sitt självförtroende.

Alla elever är väldigt bestämda på om de kan lösa uppgiften eller inte, och detta blir mycket tydligt för en A-kurselev som är övertygad om att kunskaperna för att klara tal med nämnare inte finns. Intressant är att eleven klarar att dividera utan problem när eleven genomför egna lösningar.

Åk 9-eleverna använder sig i mycket högre grad av informella metoder. Det vi kan se är en viss progression, eleverna från åk 9 befinner sig på väldigt olika ställen i momentet ekvationer (på skolan arbetar de i stor utsträckning i egen takt, vilket betyder att en elev just börjat med ekvationer för åk 9, medan en annan räknat betydligt mer inom området). Den elev som kommit längst är också den elev som klarar flest formella operationer. Här syns tydligt att läroboken som används startar i informella lösningar, för att sedan övergå till mer formella metoder.

Att översätta en textuppgift till ekvationer är den stora stötestenen, särskilt för eleverna i åk 9. Eleverna vet vad som frågas efter, men kan inte omsätta det i en ekvation. Ett hinder är att de inte ser sambandet mellan uppgiften och möjligheten att benämna det hela med symboler. Om man inte lägger vikt vid problemlösning med ekvationer, kommer eleverna inte heller att se nyttan av dem och det kommer att förbli något kryptiskt och onödigt som bara förekommer i matematikboken.

(39)

6.3 Sammanfattning av funna svårigheter

6.3.1 De som inte löser uppgiften

Vi har sett flera trösklar när det gäller ekvationslösning i vår undersökning. Alla utom en som har framkommit har funnits med i litteraturen vi läst, men påfallande är att det som hos oss varit det största problemet, nämligen att eleverna inte försöker lösa uppgiften, inte tas upp särskilt mycket. Här finns helt klart ett behov att göra djupare studier för att kunna ge tips och råd till lärare och elever.

6.3.2 Den algebraiska cykeln, räkneregler, likhetstecknet samt x i båda leden I övrigt har vi funnit större trösklar när det gäller den algebraiska cykeln, räkneregler, likhetstecknet och x i båda leden. Den algebraiska cykeln är, förutom att eleverna inte försöker lösa uppgiften, den svårighet som är mest frekvent både bland yngre och äldre elever. Eleverna har svårt att koppla samman vardagsmatematik och ekvationslösning, de ser helt enkelt inte vilka möjligheter en ekvation ger.

Johansson (2000), tar upp att eleverna inte förstår problemet i uppgiften. Detta stämmer inte med vår undersökning. Däremot kan flera elever inte översätta från svenska till matematikspråk, vilket Johansson också diskuterar.

A-kurseleverna påtalar att parentesräkning, särskilt med negativa tal, x i båda leden samt likhetstecknet bereder svårigheter, och detta visar sig också bland åk 9-eleverna. Vår undersökning visar att A-kurseleverna i snitt gör färre fel när det gäller räknereglerna, så även om gymnasieeleverna tar upp momenten som svåra är det allt fler som klarar av svårigheterna.

6.3.3 Att kontrollera sin lösning

Det som vi inte läst om i litteraturen är att eleverna inte kontrollerar sina lösningar. Detta gäller både åk 9 elever och A-kurselever. För oss framstår detta som en tröskel, eftersom en av de stora möjligheterna med ekvationer just är att man direkt kan kontrollera om svaret är rätt (under förutsättning att den uppställda ekvationen är rätt gjord, här gäller t.ex. att eleven klarar att skriva om en textuppgift till en ekvation). Stämmer inte svaret kan man göra som på de retoriska ekvationernas tid, och justera tills talet stämmer. För detta krävs lite uthållighet av eleven, vilket kanske i sig också kan räknas som en tröskel.

Figure

Tabell 5.1.1 Hur elever löser uppgift 1 i testet.
Tabell 5.1.4 Hur elever löser uppgift 4 i testet.
Tabell 5.1.7 Hur elever löser uppgift 7 i testet.
Tabell 5.1.9 Hur elever löser uppgift 9 i testet.
+3

References

Related documents

En inte ovanlig komplikation hos diabetiker som genomgått transplan ­ tation är gangrän i fötter, som kan nödvändiggöra amputation. Just i av ­ sikt att åstadkomma

Distriktschef 2, 3 och 6 beskriver sin relation till deras chef som mycket bra, och samtliga säger att deras chef inte är en person som de tror vill använda sig av makt.. Detta

Vi skall undersöka om förskollärarna reflekterar över och har en medvetenhet om hur viktigt forskningen anser det är att låta barnen i förskolan möta

I våra nyhetsbrev kommer vi ge information om Wellbeings olika kärnvärden; välmående för kropp, själ och sinne (Body, Mind & Soul) och miljömässig, social och

Två Africa Forum, ett i Mali förra året och ett i Etiopien år, ledde vidare till ett Zimbabwe Social Forum i oktober samt ett regionalt, Southern Africa Social Forum i november

De flesta av de data som behövs för att undersöka förekomsten av riskutformningar finns som öppna data där GIS-data enkelt går att ladda ned från till exempel NVDB

”stress och hög arbetsbelastning hos lärare orsakar brister i samverkan”, ”skolans kontakt med hemmet gällande elever i behov av särskilt stöd”, ”viktigt att

terrorismen. Jag finner dessa kriterier utifrån Aquino och Biggar vara till god hjälp för att förstå vidden av den problematik som finns kring kriget mot terrorismen, men med det