Malmö högskola
Lärarutbildningen
Natur, miljö, samhälle
Examensarbete
10 poängHur vardagsanknyter två lärare matematikundervisningen?
How does two teachers establish connections between everyday events and mathematical teaching?
Pernilla Pålsson
Madeleine Schneider
Lärarexamen 140 poäng Matematik och lärande Höstterminen 2006
Examinatorer: Mats Areskoug, Johan Nelson och Agneta Rehn
Sammanfattning:
Under vår verksamhetsförlagda tid har vi sett svårigheter för eleverna att koppla matematik och vardag samman. I undervisningen används för det mesta läroböcker, där eleverna lär in metoder och formler, snarare än att förstå kopplingen matematik och nyttan. När elever förstår hur de ska använda sina matematiska kunskaper i vardagen, tycker de ofta att matematik är roligt. Detta uppmärksammas även i läroplanen. Därför är vårt syfte att undersöka hur två lärare vardagsanknyter matematikundervisningen.
Lärarens föreställningar jämförs med arbetssätt inom vardagsmatematik. Vi behandlar teorier som finns inom vardagsanknuten matematik. Två klasslärare i grundskolans tidiga år har observerats och intervjuats. Vi har undersökt deras planering, arbetssätt och föreställningar för att besvara våra frågor. De föreställningar som lärarna har om vardagsmatematik visar att de har för avsikt att använda sig av vardagsanknytning i undervisningen. Föreställningarna kan dock skilja sig från hur läraren undervisar i verkligheten. Att ha en undervisning som är vardagsanknuten är inte en självklarhet. Hos en av lärarna såg vi att vardagsanknuten undervisning användes till viss del. Läraren använde bland annat konkretisering av
begreppsspiralen för att koppla vardagen med matematik. Den andra läraren använde sig av en mer formell undervisning. Vardagsanknytningen begränsades till föreställningar.
Nyckelord
Lärarens föreställningar, undervisningsaspekt, vardagsanknuten matematik (i undervisningen), vardagsmatematik.
Förord
Tack till lärarna Mira och Lovisa för att vi fick undersöka deras matematikundervisning. Skolorna, lärarna och eleverna som deltog är anonyma och därför är deras namn fiktiva. Vi vill också tacka Karl-Åke Kronqvist för handledning och infallsvinklar.
INNEHÅLLSFÖRTECKNING 1 INLEDNING... 8 2 SYFTE ... 9 3 FRÅGESTÄLLNINGAR... 9 4 BEGREPPSBILDNING... 10 5 TEORIBAKGRUND... 11 5.1 Lärarens föreställning... 11 5.2 Vardagsanknytning... 12
5.3 Elevers egna tankar, idéer och flöden ... 13
5.3.1 Elevens vardag ... 13
5.3.2 Fenomenografi ... 14
5.3.3 Instrumentell och relationell förståelse ... 14
5.4 Meningsfulla sammanhang: ... 15 5.4.1 Skapad verklighet... 15 5.4.2 Konstruerad verklighet... 16 5.4.3 Konkretisering... 16 5.4.4 Generalisering ... 16 5.5 Begreppsspiralen i vardagen ... 17 5.5.1 Långsiktig planering... 18 6 METOD... 18 6.1 Urval... 20 6.2 Datainsamling... 21 6.3 Procedur ... 21
6.4 Reliabilitet och validitet ... 23
6.5 Databearbetning ... 24
6.5.1 Hur förekommer vardagsanknytning?... 25
6.5.2 Hur tas elevernas tankar, idéer och flöden upp? ... 25
6.5.3 På vilka sätt använder läraren meningsfulla sammanhang i undervisningen? ... 25
6.5.4 Hur utnyttjar läraren ämnesvalet för att vardagsanknyta matematiken?... 26
7 RESULTAT OCH SLUTSATSER ... 26
7.1 Resultat av frågekriterier... 26
7.2 Hur förekommer vardagsanknytning?... 27
7. 3 Hur tar läraren upp elevers tankar, idéer och flöden? ... 29
7. 4 På vilket sätt använder läraren meningsfulla sammanhang i lektionen?... 30
7.5 Hur utnyttjar läraren begreppsspiralen för att vardagsanknyta matematiken?... 33
7.6 Långsiktig planering... 35
8. DISKUSSION ... 36
8.1 Vardags anknytning... 36
8. 2 Elevernas tankar, idéer och flöden ... 37
8.3 Meningsfulla sammanhang ... 38
8.4 Ämnesteorin och verklighetsanknytning... 38
9. AVSLUTNING ... 39
10. REFERENSER ... 42
1 INLEDNING
Det finns kritik mot matematikundervisningen i grundskolan. Kritikerna anser att eleverna inte förstår. När eleverna kommer till skolan har de ofta enkla men välfungerande
problemlösningsstrategier. Efter några år använder de ytliga procedurer på ett mekaniskt sätt. Ofta har de också svårt att omsätta vardagskunskaper i skolan. I vårt arbete har vi inspirerats av Inger Wistedts arbete om att vardagsanknyta matematikundervisningen. Under vår verksamhetsförlagda tid på lärarutbildningen, har vi upplevt det kritikerna talar om. För att bearbeta de problemen anser vi att området vardagsanknytning av matematik är intressant. Vardagsanknuten matematik är att eleverna använder redan förvärvade kunskaper och erfarenheter i matematiken. Eleverna kan på så sätt koppla samman vardag och matematik. Vardagskunskaper är de kunskaper som människor hämtar från vardagen och som behövs i livet (Wistedt, 1990).
Vi förmodar, liksom Wistedt, att om undervisningen kan bygga broar mellan omvärld och skolvärld, ger det möjlighet för eleverna att förstå och leva sig in i den matematik de arbetar med. I ”Kursplanen lpo94” står det:
Skolan ansvarar för att varje elev efter genomgången grundskola
behärskar grundläggande matematiska tänkandet och kan tillämpa det i vardagslivet (Utbildningsdepartementet, 1998).
Vardagsanknuten matematik används i undervisningen för att få eleverna att upptäcka
omvärlden. Det ger eleverna möjlighet att göra nya erfarenheter och utveckla sina kunskaper. De utvecklar även förståelse för matematik genom att använda sina erfarenheter från
vardagen. Eleverna motiveras att gå vidare i sin kunskapsprocess. Möjligheten att varje elev känner sig mer inspirerad ökar om de får använda sin egen erfarenhet. På så sätt kan
matematiken bli rolig (Ahlberg, 1994:12). Vi ser också att lärarens föreställning kan styra elevernas inlärning. I de fall läraren ser matematik som ett system, där man använder sig av olika formler, kan eleverna få svårigheter med att förstår varför olika begrepp ska användas. Enligt forskare är det vanligt att lärarens uppfattning om hur undervisningen ska gå till och hur den egentligen ser ut skiljer sig (Grevholm, 2001).
förmodligen inte besvara ovanstående mål. Området vardagsanknuten matematik är intressant att undersöka för vårt framtida läraryrke. Den information vi samlar in om
undervisningsprocessen ”är i högsta grad relevant för läraryrket” (s.34, Johansson & Svedner, 2004). I våra observationer och intervjuer får vi erfarenheter av vardagsanknuten matematik. Vi uppfattar de möjligheter och svårheter som det finns med vardagsanknytning i
undervisningen. Vår undersökning har likheter med de reflektioner vi har gjort under verksamhetsförlagda tid. Vi har upptäckt att lärarnas arbetssätt kan skilja sig åt från deras föreställningar. Därför är det bra för lärare att reflektera över sitt sätt att undervisa. Våra slutsatser är gjorda med hänsyn till att vi har ett litet undersökningsmaterial (Balldin, 2003). I vårt arbete har vi sammanställt olika frågekriterier som vi anser viktiga för att besvara vår huvudfråga. Hur vardagsanknyter två lärare, matematikundervisningen? Vi ser på hur vardagsanknytning förekommer i undervisningen, bland annat hur elevens tankar och flöden tas upp, på vilket sätt meningsfulla sammanhang finns och hur läraren använder ämnesvalet för att vardagsanknyta. När vi analyserar ingår lärarnas föreställningar som en del i varje enskild kriterie.
2 SYFTE
Vårt syfte är att undersöka hur vardagen knyts an till matematikundervisning i grundskolan. Vi väljer att studera två lärares undervisning under varsin lektion, där långsiktig planering och kursplanering ingår. Föreställningarna lärarna har av vardagsanknuten matematik jämförs med deras arbetssätt. Vi begränsar vår undersökning till nutid.
3 FRÅGESTÄLLNINGAR
• Hur vardagsanknyter två lärare matematikundervisningen?
- Vilka kriterier tas hänsyn till för att vardagsanknyta undervisningen? Attitydfrågor:
- På vilka sätt påverkar lärarnas föreställningar vardagsanknytningen i matematikundervisningen?
- Hur finns det skillnader i lärarnas föreställningar om hur de knyter an vardagen till matematiken som arbetssätt?
4 BEGREPPSBILDNING
I vårt arbete använder vi följande begrepp:
Vardag: Vardagen definieras som något individen verkligen har upplevt eller upplever som bekant i dess fysiska miljö eller i tankarna. (Ellegård, 2001)
Vi använder vardagsbegreppet för något som är ett bekant sammanhang. Vardagen kan vara hämtad från privatliv och kringliggande miljö. Det kan också vara elevens tankar eller en verklighet skapad av läraren.
Vardagsmatematik: Det är när personer använder matematiken i vardagen, i sitt privata liv på ett oreflekterat sätt.
Vardagsanknuten matematik: Elevens vardag med personliga erfarenheter och bakgrund, kopplas samman med matematik.
Verklighet: Teoretiker använder begreppet verklighet snarlikt till betydelsen för vardag. Skapad verklighet: Den vardag som eleverna känner igen som skapas av läraren eller i olika material.
Konstruerad verklighet: Det är en verklighet som konstruerats av lärare eller i läroböcker, och som inte uppfattas som en verklighet eller vardag för individen.
Meningsfulla sammanhang: En relevant situation i matematikundervisningen, ger eleverna nya insikter och förståelse.
Konkretisering: När läraren använder sig av en laborativ undervisning i en känd kontext. Generalisering: Eleven kan arbeta i det vetenskapliga rummet, utan att behöva använda kopplingen till vardagen. Ett exempel på det är att eleven kan arbeta med begreppet area utan att behöva beskriva arean av en rektangel med en verklig referens som t.ex. en låda.
Begreppsspiralen: En utvecklingsgång för att förstå olika storheter exempelvis volym och area. De olika stegen inom spiralen är: upptäcka, jämföra, mäta, arbeta med enheter och beräkna/värdera.
Kontext: Omgivning.
Vetenskap: Matematik är ett vetenskapligt område. När i arbetet det benämns att ”vardag och vetenskap bör kopplas samman”, ser vi att det görs en vardagsanknytning i matematiken. Faktakunskaper: Elevens ämneskunskaper.
Referensvärld: De erfarenheter som skapar elevens vardag.
5 TEORIBAKGRUND
Begreppen ”vardagsmatematik” och ”vardagsanknuten matematikundervisning” skiljer sig åt i betydelse. Vardagsmatematik betyder att personer befinner sig i vardagen och använder matematiken på ett oreflekterat sätt. Vardagsanknuten matematik är att knyta an till elevens vardag, personliga erfarenheter och kulturella bakgrund med matematikundervisningen (Wistedt m.fl, 1990). Wistedt m.fl (1990), Löwing (2006) och Emanuelsson.m.fl. (1992 ), menar att vardagsanknytning kan frambringas genom att elevers egna tankar, idéer och flöden tas tillvara i undervisningen. Läraren bör generera meningsfulla sammanhang för att
kopplingen mellan vardag och vetenskap ska göras. Konkretisering i undervisningen är till för att eleverna ska förstå. Målet med konkretisering är att elever kan abstrahera och generalisera. Begreppet vardag har olika betydelse för varje enskild individ och ger olika personliga
upplevelser och erfarenheter. Inom forskningen används likaså vardagsbegreppet med olika betydelse och innebörd. Vardagsbegreppet bör ses utifrån det forskningsperspektiv som finns (Ellegård, 2001). Vi undersöker vardagsbegreppet utifrån fem aspekter relaterat till den mångfald som vardagsanknuten matematik kan inrymma. De är: lärarens föreställning, vardagsanknytning, elevers egna tankar, idéer och flöden, meningsfulla sammanhang, ämnesval.
5.1 Lärarens föreställning
I Erkki Pehkonens (Grevholm, 2001), artikel kan vi läsa att elevernas och lärarens matematikrelaterade uppfattningar har påverkan på kvaliteten i undervisningen. Eleven påverkas av läromedelsförfattarens, släktingars och föräldrars synsätt. Lärarens uppfattning har betydelse för elevernas inlärning, eftersom läraren styr undervisningen. I de fall läraren ser matematiken som ett system där man räknar, räknas det mycket under lektionerna. Det påverkar eleverna att se matematik som ett formelsystem, de får svårt att tänka före sitt val av metod, som exempel görs i problemlösning. I vårt arbete ser vi de föreställningar som lärarna har om vad vardagsmatematik är och hur de används i undervisningen. Vi undersöker om lärarnas arbetssätt överensstämmer med deras uppfattning. Lärarens föreställningar ligger som en ram kring de områden nedan som tyder på vardagsanknytning i matematikundervisningen. Det finns forskare som ser att lärarens föreställningar om undervisningen inte alltid visar sig. Det sätt som läraren själv har lärt sig på kan användas undermedvetet och kan vara en mer formell undervisning än vad som var meningen. Uppfattning om undervisningens utformning
och hur det ser ut i realiteten, skiljer sig åt enligt Johansson & Svedner (2004). Tine Wedege framförde på en föreläsning (2006) att det som planeras är inte detsamma som undervisas. Det betyder att läraren kan ha intentioner i sin planering, som inte genomförs i utlärningen.
5.2 Vardagsanknytning
När läraren lägger upp och genomför sin matematikundervisning ska hon följa de mål som är beskrivna i ämnets kursplan. Den ram som finns för eleverna att uppnå i skolår fem är enligt kursplanen att:
Eleven skall ha förvärvat sådana grundläggande kunskaper i matematik som behövs för att kunna beskriva och hantera situationer och lösa konkreta problem i elevens närmiljö (Skolverket, 2002).
Inom ramen finns det uppnåendemål som är kopplade till ämnesvalet. Det är till exempel att eleven ska:
• förstå och kunna använda addition, subtraktion, multiplikation och division • jämföra, uppskatta och mäta längder, areor och volymer(Skolverket, 2002).
För att läraren ska kunna uppnå målen är en koppling mellan vardag och matematik att föredra i undervisningen (Wistedt, 1990). Det finns ytterligare en riktlinje i kursplanen som stödjer detta och det är att:
Eleverna hämtar erfarenheter från omvärlden och får därmed underlag för att vidga sitt matematiska kunnande (Skolverket, 2002).
När läraren undervisar bör hon bygga broar mellan vardag och vetenskap för att eleverna ska få förståelse av matematik. Det gör läraren genom att ta hänsyn till att eleven lär sig utifrån sitt sammanhang. Det betyder att samma problem blir löst på olika sätt i vardagen och i vetenskapen. När man vardagsanknyter matematiken, hämtar man från elevens förvärvade kunskaper och närmiljö. Vardagskunskaper frambringas av människor i vardagslivet för att överleva, arbeta, bo eller vid fritidsverksamhet (Wistedt m.fl.,1990). Läraren kan genom att ge eleverna öppna uppgifter och problem utmana deras tankar och idéer så att de gör
Referensvärlden är det innehåll som skapar elevens vardag i en bekant kontext. De erfarenheter som eleven har i sin referensvärld bör struktureras efter de uppgifter eller problem de fått i undervisningen. Struktureringen av referensvärlden genererar en ny värld, som kallas referensdomän. Det är referensdomänen som utgör bryggan till vetenskapen matematik. När vardag och matematik hänger samman sker vardagsanknytning för eleven (Wistedt m.fl ,1990).
5.3 Elevers egna tankar, idéer och flöden
Utgångspunkten i undervisningen bör vara något som är bekant för eleven. Det bygger nya kunskaper (Löwing, 2006). När eleverna har en uppgift använder de sig av kunskap från både vardag och verklighet. Elevernas egna erfarenheter och initiativ i undervisningen bör inte låta sig styras av, utan lämpligen tas tillvara av läraren (Wistedt m.fl, 1990). Enligt lpfö98 ska:
Flödet av barns tankar och idéer skall tas till vara för att skapa mångfald i lärande. (Utbildningsdepartementet, 1998).
5.3.1 Elevens vardag
Läraren använder sig av elevens egen vardag i undervisningen för att ge förståelse och inlevelse i matematiken. De miljöer och den kultur som är bekant för eleven tas upp av läraren. Ett exempel kan vara att läraren nyttjar de erfarenheter som eleven har av att se geometriska former i naturen. De erfarenheterna är ofta omedvetna och bör göras medvetna av läraren, bland annat genom öppna frågor eller problem ställda till eleverna.
Wistedt m.fl. (1990 ), är kritisk till att använda den vuxnes vardag som utgångspunkt för undervisningen. Det är viktigt att det är den vardag som eleven själv har upplevt som tas tillvara i undervisningen. Den sociala klass i samhället som eleven tillhör har betydelse, en medelklassfamilj har en hemmiljö som gynnar utbildning. Den utbildningsmedvetenhet och de bokliga traditioner som skiljer sig mellan olika socialgrupper är tydlig och påverkar
barnens karriär (Johnsson in Tallberg Broman, 2002). När läraren formar sin undervisning bör den bygga på elevens vardag, men också skapa personliga och meningsfulla sammanhang. Det innebär bland annat att läraren ska ta hänsyn till vilken bakgrund eleven har. Läraren måste samtidigt förstå hur deras erfarenhet ska användas (Walkerdine, 1990).
5.3.2 Fenomenografi
En teori om vardagsanknuten matematik finns inom fenomenografin. De bygger på fyra didaktiska antaganden. De säger att läraren ska plocka in elevernas erfarenheter och
föreställningar i undervisningen. Ett matematiskt problems innehåll ska relatera till elevens egna upplevelser. Läraren ska inte utforma givna mönster för eleven, utan eleven ska ha frihet att utgå från sina egna föreställningar i lösning av problem. De ska få använda olika
uttrycksformer: tala, rita, räkna. Samtalen med eleverna ska uppmärksamma elevernas egna tankar och de olika lösningar som de har. I det gemensamma reflekterandet kan eleverna lära sig att det kan finnas bättre sätt att lösa uppgifter och problem (Ahlberg, 1994). Inom
fenomenografin ska läraren sätta sig in i elevens vardag, med dess erfarenheter och upplevelser. Det är att använda vardagsanknuten matematik (Kronqvist, 2006).
5.3.3 Instrumentell och relationell förståelse
Förståelsen för matematik har olika betydelse. En elev med instrumentell förståelse, har lärt sig formler för olika matematiska begrepp, men inte varför de ska användas. Det är ett
kortsiktigt lärande som blir svårt att hantera med tiden. Risken finns att eleverna inte vill veta varför metoder eller formler används, de vill veta om deras problem är rätt eller fel. En elev som har en relationell förståelse ser varför formler finns. Eleverna får prova idéer som gör att begrepp blir synliga på olika sätt, om eleven förstår ett begrepp är det lättare att gå vidare och undersöka nästa. Eleven skapar en relationell förståelse (Skemp,1976). Att som lärare arbeta
med elever så att de får en relationell förståelse, innebär att eleverna får möjlighet att vardagsanknyta matematik.
5.4 Meningsfulla sammanhang
I vårt arbete undersöker vi hur läraren skapar meningsfulla sammanhang för eleven, enligt lpfö98 ska eleven:
utvecklar sin förmåga att upptäcka och använda matematik i meningsfulla sammanhang (Utbildningsdepartementet, 1998).
Koppling mellan vardag och matematik behövs för att läraren ska skapa meningsfulla sammanhang för eleverna (Wistedt m.fl., 1990). Enligt kursplanen i matematik är meningsfulla sammanhang något som bör utforma matematikundervisningen:
Utbildningen i matematik skall ge eleven möjlighet att utöva och kommunicera matematik i
meningsfulla och relevanta situationer i ett aktivt och öppet sökande efter förståelse, nya insikter och lösningar på olika problem (kursplanen i matematik, 2002).
5.4.1 Skapad verklighet
Det finns olika sätt att skapa meningsfulla sammanhang i undervisningen som leder till att eleverna kan koppla vardagen samman med matematiken. Läraren skapar en verklighet i undervisningen som blir bekant för eleven. Därför kan läraren skapa en kontext helst i samarbete med klassen, som t.ex. handlar om att bedriva en livsmedelsaffär. I det sammanhanget kan den vuxnas vardag på ett meningsfullt sätt tas in i
matematikundervisningen. Att ta in den vuxnas vardag kan lära eleven för dess framtida utbildning, arbete och privatliv (Wistedt m.fl., 1990). I kursplanen för matematik, beskrivs i målen för nionde skolåret att, eleverna skall förberedas för en framtida utbildning, men inte ett framtida yrke. Men Wistedt m.fl.(1990), tycker att det är ett problem att individer inte behärskar den matematik som krävs för yrkeslivet.
Ingrid Holden i Grevholm m.fl. (2001), beskriver hur läraren inleder lektionen eller den långsiktiga planeringen med en berättelse/saga för att skapa ny verklighet för eleven. Den skapar efterhand ett vardagligt och meningsfullt sammanhang för eleven. Berättelsen kan bestå av något baserat på verkligheten så som hur det går till att tillverka och sälja
pärlhalsband. Det kan också vara en fantasifull historia exempelvis Hans och Greta. Det är ett sätt att använda elevens inlevelse i undervisningen.
5.4.2 Konstruerad verklighet
Verkligheten blir konstruerad för eleven när läraren inte lyckas att skapa ett meningsfullt sammanhang, ingen vardagsanknytning görs. Konstruerad verklighet är när eleven upplever sammanhanget som overkligt. Det kan finnas i de metoder och material som används i undervisning. Det kan betyda att uppgifter som läraren gjort eller finns i läroböcker inte går att relatera till vardagen enlig föreläsning av Wedege, 2006.
5.4.3 Konkretisering
Konkretisering är en metod som används för att ge eleverna förståelse. De sammanhang som utnyttjas i konkretiseringen ska vara meningsfull, då kan eleverna vardagsanknyta i
matematiken. Konkretisering i undervisningen består av att eleven utifrån en känd kontext eller en metafor förmår att bygga nya matematikkunskaper. Läraren låter eleverna laborera med material för att uppnå nya kunskaper. Frågor från läraren och uppgifter kring materialet utmanar eleverna till nytt lärande. Ramarna för undervisningen är uppbyggda för att elevens egna idéer ska få plats i lärandesituationen (Löwing, 2006). Läraren ska inte förutsätta att materialet på lektion symboliserar något känt för eleverna. I någon form av förkunskapstest bör läraren ha skaffat sig insikt om elevernas kunskap. Det laborativa materialet används på sådant sätt att eleven är införstådd med dess symbolik, t.ex. att en kub representerar ett tal (Wistedt m.fl., 1990). Det är inte i huvudsak när eleverna laborerar med ett visst material som de lär sig, utan när de genom samtal och/eller i skrift reflekterar över det arbete de gjort (Löwing 2006).
5.4.4 Generalisering
sammanhang för att skapa ett vardagligt rum. Konkretisering i undervisningen används för att nå målet att eleverna lyckas göra generaliseringar. Det är som Löwing (2006), uttrycker det att eleverna kan abstrahera. Det betyder att läraren konkretiserat i undervisningen och därmed kan eleverna utföra abstrakta räkneoperationer. Eleverna förstår att det i vardagen finns olika former av rätblock. De behöver inte illustrera rätblock med ett verkligt föremål till exempel med ett glasögonfordral eller en låda. Förståelse för det matematiska språket finns och eleverna kan genomföra matematikuppgifter med rätblock utan referensvärlden. De har då med hjälp av referensdomänen trätt in i vetenskapens rum.
5.5 Begreppsspiralen i vardagen
Läraren ska följa kursplanen i matematik för att uppnå mål för skolår fem och lpo94. Dokument ska upprättas för en långssiktig planering av hur målen ska kunna genomföras. I genomförandet av matematikundervisning ska de följa den lokala arbetsplanen (Kronqvist, 2006). De två lärarna vi studerar arbetar efter uppnåendemål för skolår fem enligt kursplanen i matematik (Skolverket, 2002).
De mål som Lovisa har att följa är:
- förstå och kunna använda addition, subtraktion, multiplikation och division samt kunna upptäcka talmönster och bestämma obekanta tal i enkla formler (Skolverket, 2002).
De mål som Mira att följa är:
– ha en grundläggande rumsuppfattning och kunna känna igen och beskriva några viktiga egenskaper hos geometriska figurer och mönster,
– kunna jämföra, uppskatta och mäta längder, areor, volymer, vinklar, massor och tider samt kunna använda ritningar och kartor (Skolverket, 2002).
I geometri är begreppsspiralen en arbetsmetod som läraren kan utnyttja för att skapa ett meningsfullt och konkret sammanhang och få eleverna att göra en vardagsanknytning i matematikundervisningen. Begreppsspiralen beskriver hur eleverna kan lära sig att förstå en geometrisk storhet, t.ex. längd, area och volym. Den innehåller fem steg: upptäcka, jämföra, mäta, arbeta med enheter, värdera och reflektera. Upptäcka något kan gälla att olika föremål har formen kvadrat. Eleverna kan upptäcka att 1 cm är ungefär en tummes storlek. Eleven
jämför hur stor 1 cm² är med erfarenhet av vardagen. Lärarens frågor ska leda till att de kan upptäcka och jämföra. Före eleverna gör en mätning bör de göra en uppskattning av t.ex. längden. Därefter mäter eleverna med något icke nollställt material, som exempelvis en avbruten linjal eller ett eget uppkommet mätinstrument som en pinne. När eleverna mäter något, arbetar de med enheter som cm. I nästa steg gör eleverna beräkningar till uppgifter av de enheter de använt sig av tidigare i begreppsspiralen. Eleverna får under tiden och efteråt bedöma rimligheten i sina svar av beräkningarna. Slutligen reflekterar de över vad de lärt sig i begreppsspiralen genom samtal och skrift. Lyckas läraren hjälpa eleverna genom
begreppsspiralen, sammanförs vardag och matematik i inlärningen (Emanuelsson m.fl., 1992). Konkretisering inom bråk och division kan göras genom att eleverna arbetar med uppgifter, där bilder används (Löwing, 2006). Det vi tolkar utifrån Emanuelsson är att det ofta äger rum flera begreppsspiraler i undervisningen som går parallellt eller samverkar med varandra, dessutom förekommer de på olika kunskapsnivå.
5.5.1 Långsiktig planering
För att uppnå målen i kursplanen och läroplanen har läraren en långsiktig planering . Läraren
ska genom sitt genomförandet av undervisningen, följa den lokala arbetsplanen. Enligt grundskolans läroplan Lpo 94 och inom uppnåendemålen står det:
Skolan ansvarar för att varje elev efter genomgången grundskola behärskar grundläggande matematiskt tänkande och kan tillämpa det i vardagslivet (Utbildningsdepartementet,1998).
Den långssiktiga planeringen av undervisningen är till för att eleverna får den kunskap de behöver för ett långssiktigt lärande. Att ha ett matematiskt tänkande som man kan använda sig av i vardagen ingår. Det ska inte finnas brister i kunskapen av de termer och begrepp eleven behöver för att delta i en lektion (Löwing, 2006).
6 METOD
ovanstående mål och vardagsanknyter matematiken under sina lektioner, både i ett inlärnings- och undervisningsperspektiv. Undervisningsperspektivet står i fokus medan
inlärningsperspektivet nämns i samband med undervisningssituationen. Begränsningen är en del i vårt examensarbete. En undersökning av båda aspekterna anser vi tar för stor plats i arbetet. Vi väljer att undersöka hur lärare, med elever i skolår fyra och fem, vardagsanknyter och använder sig av vardagskunskaper på sina matematiklektioner. Lärarens kommunikation med eleverna observeras under en matematiklektion. Vi har valt att använda oss av en
observation med löpande protokoll. När man använder sig av ett löpande protokoll avser man att observera olika skeenden i klassrummet, vilket beskriver vad som verkligen sker. Eftersom vi är intresserade av läraren har vi tittat på hur hon agerar under lektionen och försökta att se vad som verkligen händer under lektionen ( Johansson & Svedner, 2004). För strukturens skull i vårt arbete, är det väsentligt att vi analyserar efter fastställda frågekriterierna. I vårt arbete väljer vi att använda oss av kvalitativa intervjuer av klasslärarna för att få svar på frågeställningarna. I en kvalitativ intervju är endast vissa frågeområde bestämda. Frågorna anpassas efter vad den som intervjuas, berättar under intervjun. Vi får ett uttömmande svar på våra frågeområden( Johansson & Svedner, 2004). Vi vill se vilka föreställningar läraren har om vardagsmatematik och därför är en kvalitativ intervju ett bra sätt att använda sig av. De svar vi får är öppna (Ejvegård, 2003). En kvalitativ intervju kräver öppna frågor. Den intervjuade svarar öppet på våra frågor där ett styrt svar i form av ja eller nej inte är vår avsikt.
Nackdelen med en kvalitativ intervju är att det är svårt att undvika intervjufrågor som blir enligt en kvantitativ intervjuteknik. Det innebär att man riskerar att ställa frågor som ger ja eller nej svar. En annan nackdel med intervjuer är att man som intervjuare har egna
värderingar och förväntningar. Att omedvetet uttrycka dem när man ställer frågor, påverkar intervjun (Johansson & Svedner, 2004). I vår intervju har vi bestämt frågeområden som utgår från de frågekriterier vi har (bilaga 2 ). Frågorna är främst knutna till vår frågeställning om vardagsmatematik och om lärarens föreställningar. Vi frågar även om vilka metoder som används i undervisningen. Samtidigt vill vi få en bild av den personen vi intervjuar och ställer även lite frågor om deras bakgrund. I våra observationer använder vi en videokamera med ljud. Vi har valt en videokamera för att se om det finns gester och tonfall av betydelse. En diktafon används som ett komplement för att studera enbart lärarens frågor och uppmaningar. Som observatör och intervjuare ska man vara medveten om att man måste vara objektiv och
medveten om att vi genom vårt urval som härstammar från vår egen syn på saker, ändå påverkar resultatet (Ely, 1993).
6.1 Urval
Det material som vi presenterar i vårt examensarbete har vi hämtat från två skolor som arbetar med grundskolans tidigare år. Skolorna ligger nära varandra geografiskt och bostadsområdena liknar varandra byggnadsmässigt. I båda områdena ligger stora lägenhetskomplex med många hyresgäster i. För att skilja klasserna åt så kallar vi dem Lovisas och Miras klass.
I Lovisas klass har eleverna en trygg vardag och elevernas socioekonomiska bakgrund är stabil. Eleverna består till hälften av svensk härkomst och hälften har olika kulturell bakgrund. Läraren vi intervjuar och observerar, ingår i ett arbetslag men hon undervisar eleverna i alla ämnen. Klasserna på skolan är åldersindelade och denna klass går sitt femte år i grundskolan. Eleverna arbetar efter en egen veckoplanering där de själv får bestämma i vilken ordning de ska läsa de olika ämnen som ingår under veckan. Läraren ser till att alla ämnen läses. De elever som missat något under veckan, tar hem sitt arbete och färdigställer det. Under vår observation ingick hela klassen förutom en elev som inte ville bli filmad. I klassen är det sammanlagt 17 elever. Den dagen som vi observerar får de förändra sin planering. Vi vill se hur en matematiklektion genomförs. Normalt har de inga lektioner tillsammans.
Eleverna i Miras klass har en orolig vardag och elevernas socioekonomiska bakgrund är instabil. Majoriteten av eleverna har olika kulturell bakgrund. Området är ett
inflyttningsområde, det kommer ständigt nya elever till skolan och oftast direkt från något annat land. Läraren vi observerar och intervjuar ingår i ett arbetslag och inom arbetslaget har man delat upp arbetsuppgifterna. Vår lärare är i klassen ansvarig för matematiken och naturvetenskapen. Klasserna på denna skola är åldersindelade och denna klass går sitt fjärde år i grundskolan. Undervisningen i klassen är ämnesindelad och varje ämne bedrivs enskilt, alla har samma ämne samtidigt. Under vår observation ingår förutom läraren, 13 elever i klassrummet. Matematiklektionen bedrivs i halvklass. Klassen består av 26 elever totalt.
6.2 Datainsamling
Vi genomför en videoinspelning under en lektion och analyserar utdrag ur filmen.
Videoinspelningen transkriberas. Vi tittar också på hur lektionen ingår i lärarens långsiktiga planering för att uppnå fastställda lärandemål för eleverna. Det görs genom att granska lärarnas planeringsmaterial. I intervjun frågar vi om deras långssiktiga planering, eftersom vi vill se om de följer kursplanen i matematikens mål att uppnå.
Vi observerar hur läraren agerar tillsammans med sina elever under en matematiklektion, för att få svar på huvudfrågan i frågeställning: Hur vardagsanknyter två lärare
matematikundervisningen? Eftersom vi fokuserar på undervisningsaspekten, studerar vi lärarens frågor och uppmaningar till eleverna, lärarens samtal med eleverna och hur läraren tar upp elevernas tankar, flöden och idéer. Observationen spelas in med hjälp av en
videokamera. Vi anser att en video inspelning är bättre än att göra en observation av egna anteckningar. Anteckningar visar inte alla viktiga grimaser, minspel eller attityder. Att få med allt som sägs på lektionen med hjälp av att anteckna är svårt. Vi väljer att inte deltaga i
observationen eftersom vi inte vill påverka innehållet i lärarens undervisning. Samtidigt får läraren en diktafon med en liten mikrofon fastmonterad i sin ficka, en diktafon. Diktafonen är som ett extra stöd till videoinspelningen. Eftersom videokameran uppfattar alla ljud inom klassrummet, kan det ibland vara svårt att uppfatta det som läraren säger. I vår uppgift är det viktigt att uppfatta det läraren gör och säger. En diktafon minimerar risken av omgivande ljud. Efter observationen intervjuas läraren som en komplettering till observationer, främst för att se vilka föreställningar läraren har om vardagsmatematik. Proceduren med först en
observation som följs av en intervju genomförs i båda skolorna. Ett annat förfarande i vår procedur kan vara att vänta med intervjuerna tills att vi har tittat igenom observationerna. Detta för att anpassa intervjufrågorna till det som syns på observationen( Johansson & Svedner, 2004). Eftersom vi endast har ett tillfälle för både observation och intervju på oss anser vi att vi måste göra våra frågor färdiga innan vi observerar.
6.3 Procedur
Inledningsvis skriver vi ett brev till målsman för de elever som vi vill observera (bilaga 1). I brevet presenterar vi oss själva, berättar om vårt arbete och varför vi vill observera i klassen. För de som medverkar i observationen, garanterar vi anonymitet. Föräldrar och elever får
kryssa i varsin ruta om de inte vill att eleven ska medverka i observationen. Samtidigt väljer vi att skriva våra telefonnummer om de har några frågor om vårt arbete.
Observationerna utförs under samma förutsättningar på båda skolor. Lärarna har innan
observationen inte fått veta mer än att de ska ha en vanlig matematiklektion på lika vis som de brukar. Vi vill inte påverka deras innehåll i lektionerna, eftersom vi ska studera på vilket sätt de tillämpar vardagsmatematik eller inte. Om vi nämner ordet vardagsmatematik till lärarna på förhand, finns det en risk att de anpassar lektionen efter det vi vill se. I vårt brev till målsman nämner vi trots det ordet vardagsmatematik. I det fall att lärarna har läst brevet och uppfattat ordet hade de kanske anpassat lektionen, men föräldrarna ska ha kännedom om undersökningen. Observationen tar plats i deras vanliga klassrum. Läraren får en bandspelare med en mikrofon. Bandspelaren placeras i lärarens ficka och mikrofonen knipsas fast på tröjan. Videokameran sätts på i det moment som lektionen påbörjas. Videokameran ska följa läraren så mycket som möjligt för att se på vilket vis hon utför sin lektion. Kameran lämnar tillfälligt lärarens position och följer vissa elever, för att fastställa om vardagsanknuten
matematik utövas eller inte. Med vardagsmatematik menar vi, om lektionen har något innehåll som är relaterat till elevens nuvarande vardag eller dess framtida vardag. Läraren är ansvarig för vilka uppgifter eleverna får. Vi har valt att inte själv ge eleverna en uppgift, eftersom vårt arbete är att undersöka hur och om läraren använder vardagsmatematik i sin lektion, inte hur det kan gå till när vardagsmatematik tillämpas.
Lovisas klass har två klassrum till sitt förfogande och läraren fördelar eleverna jämnt i
klassrummen. Läraren förflyttar sig mellan klassrummen för att hjälpa de elever som kört fast. Eleverna får uppgifter att göra i sin bok. Boken heter Mattestegen och alla är på samma kapitel, men de är på olika individuella nivåer enligt läraren. Inom bokserien finns olika steg som ska fånga alla individer. Under lektionen har eleverna uppgifter där division med rest finns representerade. Vi observerar vad läraren gör och säger. Vi granskar även de uppgifter som finns i bokens kapitel och försöker att fastställa om det finns någon vardagsmatematik i den. För övrigt analyserar vi inte boken, som begränsning av vårt arbete. Kan eleven relatera till uppgifterna från sin egen vardag eller möjligtvis använda uppgiften i sin framtida vardag?
I Miras klass använder sig eleverna av ett klassrum som en bas, där eleverna utför sina tankar och idéer. Några elever flyttar sig utanför klassrummet när de behöver för sin uppgift skull.
framtida vardag . Eleverna har ingen bok. Lektionen består i att först ha en genomgång med läraren, där läraren instruerar dem vad de ska göra och repeterar lite inom det området de ska arbeta under lektionen. Läraren har förberett olika uppgifter på lappar. Lapparna ska göras i grupper om två eller i ett fall tre elever. De olika uppgifterna är en repetition i geometri. Storheter som längd, omkrets, area och volym ingår. Läraren delar in eleverna i grupper efter nivåer. Eleverna får inte välja arbetskamrat. Uppgifterna är laborativa och läraren har ställt fram olika material som burkar, kartonger, lådor, små kuber, tandpetare och måttband. Eleverna får använda sig av materialet om de vill. Om de önskar använda sig av egna idéer, går det bra. Läraren ser hur eleverna samarbetar och ber dem att tillsammans fylla i en laborationsrapport hon har gjort på förhand. Några av uppgifterna kräver undersökande verksamhet utanför klassrummet till exempel i korridoren eller utomhus.
I intervjun efter lektionen, får läraren svara på våra frågeställningar. Bandspelaren är
fortfarande på och även videokameran används dock endast som backup. Intervjufrågorna är kvalitativa och frågeställningarna är lika vid båda lärarintervjuerna. Frågorna belyser
vardagsmatematik i olika perspektiv: elevens, lärarens och läroplanens, dessutom vill vi veta lite om lärarens och elevernas omgivning för att skapa en bra bild av deras verklighet.. Enligt Erkki Pehkonen styr lärarens olika föreställningar undervisningen och påverkar elevernas inlärning (Grevholm, 2001), därför vill vi se om föreställningarna överensstämmer med undervisningen. Kvalitativa intervjuer kompletterade med kvalitativa observationer. I en kvalitativ observation ingår ett deltagande, då är man själv aktiv genom att ställa frågor och samverka (Johansson & Svedner, 2004). Vi har valt att inte använda oss av att deltaga i observationen, eftersom vi inte ville påverka lärarens undervisning om vardagsmatematik. I det fall vi ger inlägg om vardagen kan vi lätt påverka både lärare och elever.
6.4 Reliabilitet och validitet
Den teknik och de metoder vi använder oss av inom vår undersökning diskuteras. Vi ser om det finns reliabilitet och validitet. Om inte det finns, har inte resultaten i vårt arbete ett vetenskapligt värde. Reliabilitet betyder tillförlitlighet och i vårt fall av våra metoder och av våra instrument. Med validitet menas att det som man avser att mäta verkligen är mätt. I vårt arbete är det viktigt att vi har en kritisk hållning mot våra frågeställningar och att vi verkligen frågar det vi vill komma fram till (Ejvegård, 2003). Vi utför vår undersökning på två olika
skolor genom att genomföra två observationer av två lärare som kompletteras med intervjuer. Reliabiliteten för vårt arbete har därmed ökat. Tillförlitligheten i våra mätinstrument ökade vi genom att ha dubbla inspelningsmaskiner i form av bandspelare och videokamera. Att
förbereda sig väl genom att göra extra kontroller för att vara säker på om maskinerna fungerar är viktigt. Batterier måste vara uppladdade och extra inspelningsband ska finnas nära tillhands i de fall man måste byta band snabbt. Under intervjuerna är det svårt att vara objektiv. Våra egna förväntningar och värderingar på svaret och på sättet vi frågar kan spegla sig och får effekten av att vi styr intervjun(Johansson & Svedner, 2004). För oss som intervjuare är det viktigt att vi försöker att vara objektiva under hela intervjun. Forskare som Cooper och Mcintyre säger att man kan minska intervjuarens påverkan genom att intervjun är baserad på observationer. Observationernas innehåll ska koncentrera sig på det innehåll som intervjun har och på det är positivt och fungerar i lektionen. De menar också att om man koncentrerar sig på det som inte fungerade i intervjun ökar frekvensen av bortförklaringar och falska svar och därmed minskar tillförlitligheten, medan om man istället koncentrerar sig på positiva händelser, ökar sannolikheten för sanningsenliga svar. Arbetet blir mer rättvist ur lärarens och elevens synvinkel (Johansson & Svedner).
6.5 Databearbetning
I vår databearbetning analyserar vi vårt resultat och slutsats som vi sammanställer i vår diskussion. Band- och videoinspelningarna från observationerna och intervjuerna
transkriberas. Ur vår transkribering väljer vi lämpliga citat för att besvara våra frågekriterier. Eftersom fokus ligger på undervisningsaspekten analyserar vi främst lärarens frågor och uppmaningar till eleverna. Elevernas svar analyseras endast då undervisningsaspekten berörs i vårt resultat . I vår videoinspelning och bandupptagning av lektionerna följer vi de två
lärarnas arbetsgång och arbetssätt. Vi ser även på det material som lärarna tillhandahåller för eleverna. I vår löpande observation analyserar vi utifrån våra frågekriterier. Vi studerar även lärarens planeringsmaterial och skolornas lokala arbetsplan och de långsiktiga målen i undervisningen. I läroplanen lpo 94 och kursplan i matematik (utbildningsdepartementet, 1998), söker vi beskriven vardagsanknuten matematik eller vardagsmatematik och jämför med lärarnas undervisning.
Frågekriterierna är till för analys och vi gör utdrag ur materialet för vårt innehåll i resultat och slutsats. De är utvalda från vad vi relaterar vardagsanknuten matematik till och huruvida två lärare använder sig av detta synsätt.
Kriterierna är: Hur förekommer vardagsanknytning?, Hur tas elevernas tankar, idéer och flöden upp?, På vilka sätt använder läraren meningsfulla sammanhang i undervisningen?, Hur utnyttjar läraren ämnesvalet för att vardagsanknyta matematiken?
I vår teoribakgrund finns en sammanställning av olika teoretikers resonemang. Dessa
använder vi som bakgrund vid analys. I resultat och slutsats inriktar vi oss på att redovisa det vi upptäcker ur vårt material som finns i frågekriterierna. Resultat och slutsats har en tendens till att behandla likartat innehåll, eftersom frågekriterierna samverkar och relaterar till
varandra. Lärarens föreställningar ingår som en del i kriterierna. Följande avsnitt förklarar kriterierna:
6.5.1 Hur förekommer vardagsanknytning?
Vi ser om det finns tecken på att vardagen kopplas samman med matematik i undervisningen. Analys görs efter teoribakgrund vardagsanknytning.
Parametrarna vi belyser i resultat och slutsats är: - koppling vardag och matematik
6.5.2 Hur tas elevernas tankar, idéer och flöden upp?
Analys görs efter teoribakgrund elevers egna tankar, idéer och flöden. Parametrarna vi belyser i resultat och slutsats är:
- öppna eller styrda frågor och uppmaningar hos läraren. - personligt meningsfullt för eleven.
- hur elevens vardag tas upp i inlevelse eller faktakunskaper -
6.5.3 På vilka sätt använder läraren meningsfulla sammanhang i
undervisningen?
Analys görs efter teoribakgrund meningsfulla sammanhang.
Parametrarna vi belyser i resultat och slutsats är utifrån om läraren har skapat meningsfull vardagsliknande situation i:
- läroböckerna
- konkretisering i form av laborativ miljö och material
6.5.4 Hur utnyttjar läraren ämnesvalet för att vardagsanknyta
matematiken?
Analys görs efter teoribakgrund ämnesval. Parametrarna vi belyser i resultat och slutsats är:
- begreppsspiralen
- långsiktiga mål för ämnesvalet
7 RESULTAT OCH SLUTSATSER
Vi har valt att analysera vårt material från de båda skolorna var för sig. Vårt syfte är endast att se hur de båda lärarna använder sig av vardagsanknuten matematik under sina lektioner och inte att jämföra dem. Fokus ligger på att jämföra observationerna med intervjuerna. Lärarnas namn är påhittade för att deras identitet inte ska avslöjas. I våra utdrag ur observationen och intervjun har vi valt att benämna lärarna som Lovisa och Mira. Vi som intervjuar benämns Int. I de utdrag vi har gjort har vi fokuserat på att besvara på våra frågekriterier.
7.1 Resultat av frågekriterier
Vi försöker att svara på vår fråga: Hur vardagsanknyter två lärare matematikundervisningen? Vi har sammanställt vårt resultat efter olika frågeställningar baserade på kriterier som ska besvaras:
Hur förekommer vardagsanknytning där vi främst ser om det finns vardagsmatematik och om läraren kan bygga en bro mellan vardagen och matematiken enligt Wistedts modell. Hur tas elevernas tankar, idéer och flöden upp? Vi observerar de öppna eller slutna frågor som finns under lektionen och vilken typ av uppmaningar läraren ger eleverna. Samtidigt ser vi hur läraren kan skapa en meningsfull lektion för eleven genom att ta tillvara på elevens matematiska faktakunskaper och inlevelse.
På vilket sätt använder läraren meningsfulla sammanhang i undervisningen? Vi analyserar på vilket sätt läraren och läroboken bygger kring elevens nuvarande vardag. Den form vi
undersöker är konkretisering och då om en laborativ miljö finns, där ett laborativt material är representerat.
På vilket sätt utnyttjar läraren ämnesvalet för att vardagsanknyta matematiken?
I vår analys ser vi hur begreppsspiralen har en betydelse och hur den används på lektionen.
7.2 Hur förekommer vardagsanknytning?
Hur får läraren eleven att relatera vardagen till ett matematiskt tänkande? Intervju:
Int.- Vad betyder begreppet vardagsmatematik för dig?
Mira- Det är att hantera det som finns i vardagen. Att handla och veta att man får rätt tillbaks. Att kunna avrunda, om det står ett pris på 13,90 kr, så ska eleven veta att de behöver en guld tia och fyra enkronor. Personer kopplar matematiken till samhället, inte bara till
naturkunskapen. Hur lång tid tar det för mig att åka buss ner till centrum? Jag ska vara i Danmark klocka fem. Vilken tid måste jag åka härifrån då?
Slutsats: Läraren föreställer sig att hon använder vardagsanknytning i matematik
undervisningen. Vi tittar på observationen för att se om det finns en koppling mellan vardagen och matematiken, inte bara i hennes föreställning
Observation:
Mira-Vi var ute och tittade i naturen i våras, vad var det då som vi hittade som var i kubik? Elev- fyrkantiga stenar
Mira-. ja, fyrkantiga gatstenar, kommer du ihåg det
Mira- Det är en kubikcentimeter läraren visar en liten plastkub. Elev-: Det är en centimeter på alla håll och kanter.
Mira- Ja, just det, Om jag säger att volymen i en låda är 20 kubikcentimeter, vad betyder det då?(Kanske går det att använda denna som en del i vardags anknytningsfrågan)
Slutsats: läraren vill att eleverna tänker tillbaks till den gången de var ute i naturen och letade former, vilket gör att hon relaterar till den vardagen som eleven har upplevt, hon går vidare i sitt resonemang och försöker att bygga en bro, genom att koppla händelsen med ett konkret föremål i detta fallet en gatsten som har ett matematiskt värde, en kub och kubikdecimeter.
Läraren bygger en ny struktur av den struktur som eleven redan har ett begrepp om och förstår detta enligt teoretiker som talar om konstruktivismen
Vi intervjuar den andra läraren:
Intervju:
Int.- Vad betyder vardagsmatematik för dig?
Lovisa- Matematiken används till vardagliga saker så som att gå ut och handla. Man kopplar det man lär sig i matematiken till vardagen.
Int.- Hur kopplar du då det med matematik?
Lovisa- Vi gör praktiska övningar i skolan. Jag kan fråga eleverna: om det skulle behövas en matta under det bordet där borta, hur stor behöver den vara?
Lovisa- Vi har pratat mycket om att, det ska vara en vågskål, lika mycket på båda sidor, det får man aldrig glömma.
Lovisa- Man får det till en vågskål och fyller i med alla räknesätt blandade. Senare ställer man upp på tomma rader med x. Man kommer in på ekvationer, eleven får veta lite om det.
Lovisa har i den här genomgången haft vardagsanknytning vågskål, vilket ingår i begreppet algebra.Hon kopplar modellen till vågskål och ekvationer.
Slutsats: Läraren har en föreställning att hon vet vad vardagsmatematik är.
Vi tittar på observationen:
Lovisa- Nu tittar vi på denna vågskålen, Hur mycket väger inte den? Elev- Ja
Lovisa- 4 delat med 2. Det är nog samma på den andra också. Täljaren uppe.
Slutsats: läraren har en koppling från vardagen till matematiken i sitt svar och hennes föreställning är att hon använder sig av vardagsanknytning i undervisningen. Vi upptäcker inte mycket av vardagsanknytningen i lärarens resonemang med eleven, men på ett ställe hänvisar hon till vågskålen, vilken hon nämner enligt intervjun ovan. Elevernas uppgift är att räkna i sin bok, läraren använder sig av olika räknetekniker när hon går runt till eleverna på lektionen. Det finns ingen uppmaning eller fråga under lektionen som har vardagsanknytning. Läraren använder sig av ett instrumentellt lärande när hon förklarar utifrån de olika uppgifter som finns i boken.
7. 3 Hur tar läraren upp elevers tankar, idéer och flöden?
Intervju med Mira:
Int.- Har du något exempel på när du har tagit tillvara på elevernas tankar och idéer?
Mira- Ja, för ett tag sedan var några barn intresserade av rymden, då tittade vi på en rymdfilm tillsammans.
Mira- Idag på lektionen när två elever skulle räkna med rätblock, plockade eleverna fram den ena elevens glasögonfodral och använde det som ett rätblock i sin uppgift.
Observation:
Läraren har gett två elever en uppgift på ett kort, det stod:
Du ska använda en kartong som är ett rätblock. Ta reda på kartongens höjd, längd och kortsida. Vad är bottenarean och vad är kartongens volym?
Eleverna tycker att den ena elevens glasögonfodral ser ut som ett rätblock och vill använda sig av det i uppgiften istället för en kartong. De frågar fröken som tycker att det är en bra ide.
Slutsats: Vi ser att läraren tar tillvara elevens tankar och idéer. Eftersom eleverna själv fick välja att använda sitt fodral som sitt rätblock, kan man dra slutsatsen att läraren anpassar sig till elevens vardag, uppgiften blir meningsfull och inte styrd. Att titta på en rymdfilm efter elevens eget önskemål som man sedan kan använda sig av under matematiklektionen, är en bra tanke från läraren. Det framkom inte under intervjun om hon hade arbetat vidare med rymdfilmen under matematiklektionerna.
En till observation
Lärare Mira hjälper två elever i sitt arbete:
De har fått ett kort som frågar: Hur lång är din sko? Hur många skor blir lika långt som vägen
till biblioteket? Hur löste du problemet?
Läraren pratar med eleverna:
Mira- Hur många skor blir lika lång som vägen till biblioteket? Elev- ska vi mäta det?
Mira- Ja, hur ska du annars få reda på det?
Slutsats. Uppgiften är styrd av läraren eftersom eleven inte själv har hittat på att mäta med skor. Läraren styr eleven till det som eleven ska göra. Läraren använder sig av en konstruerad veklighet, hon öppnar inte upp för elevens tankar, eftersom eleven inte själv får komma med förslag på hur man kan mäta så blir uppgiften inte meningsfull för eleven och den saknar då
även inlevelse! Vi frågar oss om det är relevant att använda en sko som ett begrepp utan att eleven själv kommer på det. Öppna eller styrda frågor och uppmaningar hos läraren: Läraren styr eleven i form av en uppmaning utan att eleven själv får tänka ut hur hon ska gå tillväga.
--- Intervju:
Vi frågar den andra läraren på vilket sätt elevens tankar, idéer och flöden tas upp:
Lovisa- Det är lättare för eleverna att tänka i sin egen värld. Att handla eller vad som helst Jag har några tjejer som simmar, vi pratar tiondelar och hundradelar. Deras tider ska förbättras, de jämför och förändrar. De pratar om det för klassen.
Observation: Vi ser inget som läraren säger som relaterar till elevens egna tankar, idéer och flöden i lektionen.
Slutsats: De uppgifter som finns i boken kan möjligen relatera till elevernas i elevens tankar, idéer och flöden. Men den kan inte lyssna till vilka elevens intressen är. Trots att läraren säger att hon använder elevernas vardag så visar hon inget tecken på det i vår observation, antingen är det en tillfällighet eller är hennes arbetssätt annorlunda mot hennes föreställningar.
7. 4 På vilket sätt använder läraren meningsfulla sammanhang i
lektionen?
Intervju:
Mira- Att kunna göra bedömningar är viktigt. Om man tänker på överslag, vad vet jag om mina pengar räcker. Jag har 100 kronor i veckopeng och måste spara för att kunna köpa den där cykeln. Går det då att köpa en tablettask nu? Man överväger. Kan mamma hjälpa till med femtio kronor så att det blir lättare, eller?
Observation:
Två elever har fått ett kort där det står: Du ska använda en cirkulärcylinderburk till denna uppgift. Ta reda på burkens höjd, omkrets. Vad är burkens mantelarea, bottenarea och volym? Läraren gör en förklaring till två elever på begreppet matelarea:
Mira- Det är ett sådant skynke som Batman har. Mantelarean är den area som sveper runt burken. Det är precis som en mantel.
Läraren använder sina händer som en mantel och visar på burken.
Slutsats: Miras ser till elevernas vardag i intervjun genom ett cykelköp. När eleven ska köpa en cykel ingår ett resonemang om elevens veckopeng och om hur eleven tänker för att spara till cykeln. I observationen ser vi at hon under ett tillfälle, när hon pratar om mantelarea, relaterar till seriefiguren batman och hans mantel. Hon berättar för eleverna att batmans mantel sveper runt en cylinder och det är mantel arean. Hon får eleverna att se sammanhanget utifrån sin egen verklighet och det gör det meningsfullt. Frågeställningen som eleverna får är utgår från en konstruerad verklighet eftersom läraren styr eleven med att berätta för dem att de ska använda sig av en cylindrisk burk.
Konkretisering
Mira förklarar om sin lektion i intervjun:
Mira- De får en laborationsrapport som de ska fylla i, med hypotes, material utförande och sådant, det är inte rätt svar det handlar om!
Int- hur har du tänkt inför denna lektionen ?
Mira- Jag har gjort olika kort med uppgifter, på olika individuella nivåer. Observation:
Läraren förklarar för eleverna vad de ska göra på lektionen
Mira- Jag tycker att ni skriver en laborationsrapport tillsammans två och två. Ni svarar först på kladdpapper och skriver sedan rent på ert rapportpapper. Laborationsrapporten innehåller: Material, utförande, hypotes, resultat och slutsats.
Slutsats: Vi ser att den form av meningsfulla sammanhang som läraren ger är en
konkretisering. Korten eleverna får uppmanar till en laboration av olika problem. På lektionen fanns det ett laborativt material i form av lådor, små kuber, burkar, pinnar, tandpetare, papper, vatten mm som eleverna får använda sig av. Verktyg i form av miniräknare, linjal,
decilitermått och måttband finns. Miljön är laborativ, grupper om två elever arbetar vid olika stationer. Läraren bygger upp en vardag för eleven genom konkretisering, där de får använda sig av ett laborativt material. Eleverna får möjlighet att reflektera över sitt lärande genom laborationsrapporten. Eleven bygger tillsammans nya strukturer, baserat på strukturer som de redan kan.
Vi frågar den andra läraren om på vilket sätt hon använder meningsfulla sammanhang i sina lektioner.
Intervju med Lovisa
Lovisa- Ja, dels gör vi praktiska övningar i skolan som, det skulle behövas en matta under det bordet där borta, hur stor behöver den vara? Sedan får de med sig olika övningar när de ska räkna ut olika saker, jag kommer inte ihåg något bra exempel nu. Olika saker som de tar med sig hem, så familjen kan hjälpas åt med saker i hemmet.
Observation: Eleverna arbetar i sin matematikbok, vi hämtar en uppgift som vi analyserar:
Den äldsta taxen som Kalle har är hela 91 år. Det vill säga om man räknar i hundår. På ett år går det sju hundår. Hur många människoår är den äldsta hunden?
Lovisa läser uppgiften högt….Hur kan man då få fram hur många människoår hunden är? På
varje gång går det sju. Elev- delat med någonting Lovisa- tvärtom kanske
Läraren hjälper en annan elev och kommer tillbaks efter en stund:
Lovisa- Vad har du skrivit? Ditt förslag är? Elev- 7, 14…
Lovisa- Du hoppar i 7:ans tabell för att komma uppåt. Ni har inte funderat på att göra så. Ni har väl egentligen gjort så att dela i högar.
Elev mumlar
Lovisa- Tänk gick det jämnt upp. Tänk på vad kort division är. Men blir rätt till sist. Ni förstår väl vad jag tänkte? Det är en massa 7:or ni ska dela med, Ni kan skriva det så också
Slutsats: Boken visar ett exempel på en konstruerad verklighet som i de fall eleven har en egen hund blir meningsfull och bygger på elevens egen vardag. Då eleven inte själv har en hund kan uppgiften bli för abstrakt och därmed oviktig, möjligtvis kan eleven använda sig av kunskapen om hundår i framtiden. Uppgiften visar inget meningsfullt sammanhang och konkretisering genom att kunna arbeta laborativt med den, möjligtvis när läraren säger att man delar i högar, och eleven relaterar sina sjuor till högar som uppgiften kan utföras på ett laborativt sätt.
7.5 Hur utnyttjar läraren begreppsspiralen för att vardagsanknyta
matematiken?
Observation:
På Miras lektion upptäcker vi att begreppsspiralen används i undervisningen. Den finns på flera sätt och på olika nivåer inom storheterna längd, area, volym.
Mira- Bra, kan någon berätta för mig vilken enhet man använder när man mäter längd? Elev - centimeter
Mira- Ja, bland annat, mer
Annan elev- centimeter, millimeter, kilometer, mil Mira- Ja, när använder man mil?
Elev svarar- När man kör bil.
Slutsats: Eleverna visar att de förstår vilka enheter man använde till storheten längd. Mira kontrollerar genom sin fråga ”Ja, när använder man mil?” om eleverna vet i vilket vardagligt sammanhang som enheten mil används. Eleven ger exempel på att det är vid bilkörning som mil används. Det påvisar att de gör en vardagsanknytning inom begreppsspiralen.
Tre elever på lektionen ska lösa uppgiften: Vilken area har glasrutorna i oasen? Hur löste du problemet? Oasen är en aula, en del av skolan. Eleverna ska mäta fönstret för att kunna lösa uppgiften. De upptäcker att de inte når upp att mäta fönstret med måttband:
Elev- måttbandet går inte! Mira- Vad finns det då?
Elev- Ja, en pinne Han visar med händerna hur man kan böja pinnen Mira- Ja, just det en tumstock pratar du om, den kan ni använda.
Det visar sig att det inte finns någon tumstock på skolan. Då uppmanar läraren dem:
Mira- Ett litet tips, pinnen!
Elev- Aha, man tar pinnen och mäter fönstret, sen mäter man pinnen. Vi tar en gren att mäta med.
Slutsats: Läraren indikerar för eleverna att de kan använda en pinne som mätredskap. De kommer själva på att de kan använda en gren för att ta ut längd och bredd på fönstret. Därefter
mäter de grenen och arbetar med enheten centimeter. Det verkar för oss som läraren vägleder eleverna genom begreppsspiralen.
Elev tar pinnen och sätter början på pinnen där hon håller sitt finger, pinnen räcker nästan till den översta kanten på fönstret
Elev- där på 100 plus 148 cm
Annan elev- så fattas det 20 centimeter Elev- ja
Annan elev- 168 cm
Elev försöker att sträcka sig ända upp till kanten på fönstret med pinnen
Annan elev- Det är 268 cm Tredje elev- 268 cm Elev- Ja, vi säger det
Hon släpper äntligen fingret från fönstret och andas ut De går in till klassrummet och fortsätter med sin rapport
Elev- och utförande, vad var det nu?
Annan elev- jag ska fråga………..hur vi gjorde!
De räknar ut arean till 25920 men sätter inte ut någon enhet(270 (268 avrundat) gånger 96 bredden)
Annan elev- vi hittade en pinne och mätte den, sen mätte vi med fingret och tog pinnen och plussade det. de skriver i utförande på rapporten
Slutsats: Ovan beskriver hur eleverna kom fram till arean av fönstret på byggnaden Oasen. De arbetar med beräkningar i begreppsspiralen. När de i laborationsrapporten skriver vilken hypotes ser de till rimlighet. Det bör ge eleverna en verklighetsuppfattning som de kan dra nytta av i det vardagliga livet med matematiska beräkningar. Läraren Mira bygger sin
undervisning för elevernas ska kunna använda sin kunskap i vardagen. Mira verkar också med sin arbetsmetod fördjupa de matematiska begreppen när eleverna får tid att tänka efter,
samtala med varandra och skriva ner sina slutsatser i laborationsrapporten. Eleverna befäster samtidigt sin matematiska kunskap i sin rätta kontext genom ovanstående uppgift.
--- Vad säger den andra läraren om att utnyttja ämnesvalet för att vardagsanknyta matematiken: Intervju: Lovisa använder sig av uppnåendemålen
Slutsats: På observationen kan vi inte upptäcka, utifrån ämnesvalet, att det förekommer någon form av undervisning som är lämplig för division så att eleverna kan göra en
vardagsanknytning.
7.6 Långsiktig planering
Intervju med Mira:
Int:- Var ingår den här lektionen i en långsiktig planering?
M: -Det är en repetition av geometriska figurer och begrepp. Lektionen bygger på det vi gjorde i våras.
I vardagsanknytning i matematikundervisning har Mira varit ute med klassen i naturen för att upptäcka olika former. Detta finns beskrivet i hennes långsiktiga planering. Hennes
långsiktiga mål är: ”Jag vill att eleverna förstår vad omkrets, area och volym är. Jag vill att man förstår nyttan med att kunna räkna ut omkrets, area och volym.” I planeringen beskrivs att eleverna ska besvara uppgifter med hjälp av en laborationsrapport för att få förståelse av de geometriska begreppen.
Slutsats: Vi ser att Mira använder sin planering för att nå de långsiktiga målen. Eleverna kopplar vardag och matematik genom att upptäcka former i naturen. Man ser även den långsiktiga planeringen inom alla våra fråge- kriterier.
Intervju med Lovisa:
Int.- Vad ingår i en långsiktig planering?
L: Vi jobbar mer och mer med målen. Det finns ett mål för varje område, för division just nu.
I Lovisas planeringsmaterial finns fyra mål för området division. Ett av dem är ”Kunna sambandet mellan division och multiplikation”. I den lokala arbetsplanen står ingenting om matematik eller dess undervisning
Slutsats: Lovisa har mål, men inget om hur de ska genomföras i sitt planeringsmaterial, därför kan vi inte dra en slutsats om hur målen ska uppnås. Det förekommer ingenting om att
8. DISKUSSION
Vi kan inte dra några generella slutsatser eftersom vi har ett begränsat urval, men vi har gjort försök till slutsatser genom våra iakttagelser. När vi gör vårt arbete färdigt på skolorna, ser vi hur svårt det är att analysera intervjuerna och observationerna. Känslan man får när vi
intervjuar är, att vi styr intervjun i viss mån med våra frågor om vardagsmatematik. Läraren vet vad vi vill, kanske för att vi ställer fler frågor om vardagen och för att vi vinklar frågorna på ett sådant sätt, att de inte får en chans att svara spontant på frågan. Vi väljer att använda oss av samma frågeområden under båda intervjuerna. Möjligtvis är det bättre att göra
observationen först och sedan göra intervjuer utifrån det man ser på videofilmen, för att få ett större djup i våra frågor. Vi upptäcker att de två lärarna har olika sätt att arbeta på lektionerna, vilket vi diskuterar nedan. I vår diskussion utgår vi från våra frågekriterier.
8.1 Vardagsanknytning
De föreställningar som lärarna har om vardagsmatematik visar att de har avsikt att använda sig av vardagsanknytning i undervisningen (Grevholm, 2001). Lärarna i vår studie ser att man kan plocka händelser ur elevernas egen vardag som det går att relatera matematik till. De båda har också en föreställning av att matematiken kan knytas till vardagshändelser som är
värdefulla för elevernas framtid. Vi har lagt märke till att en föreställning skiljer sig från det som verkligen sker under lektionen, vilket stämmer överens med Johansson & Svedners (2004) teorier. En av våra lärare visar ingen vardagsanknytning under den lektionen som vi observerar, möjligtvis är det en tillfällighet och kanske blir vår slutsats annorlunda om vi gör fler observationer under en längre period. Observationen av vår lärare som vi kallar Lovisa, har enligt vad vi uppfattar, olika tekniker som man använder sig av när man lär sig begreppet division, ett formeltänkande används. Eleven får specifika tekniker att använda sig av, om eleven förstår teknikerna framkommer inte genom lärarens agerande. Läraren frågar inte vid något tillfälle hur eleverna tänker, hon använder sig av en instrumental form (Skemp,1976). Den andra läraren som vi här kallar för Mira har en bestämd uppfattning om hur hon
vardagsanknyter på sina lektioner och hon visar det tydligt under vår observation. Hon
använder sig av relationsbaserat lärande. När Mira påminner om en händelse i elevernas dåtid, kopplar hon det med en synlig kub, hon talar om kubikcentimeter och bygger en bro mellan
konstruktivismen, genom att hon bygger nya strukturer som bygger på de strukturer som eleven redan kan (Ernest,1998).
8. 2 Elevernas tankar, idéer och flöden
Enligt våra intervjuer uppfattar vi att Lovisa och Mira har en föreställning om att de använder sina elevers tankar, idéer och uppfattningar under sin matematik undervisning. Lovisa pratar om när eleverna diskuterar hundradelar för att förbättra sina tider i simning och hur eleverna för sina tankar vidare till sina kamrater, genom att redovisa sina tankar. Lovisas elever planerar själv sin undervisning, vilket kan innebära att eleverna har matematik under olika dagar. Det gör att det är svårt att ha en genomgång av något som en elev har tänkt. Läraren kan förvisso ta tillvara på enskilda elevers tankar och utveckla dem vidare i den enskilda elevens perspektiv, men då tappar andra eleverna en del av det värdefulla flödet.
Vi uppfattar att elevernas bok i den ena klassen inte uppmanar till egna tankar och idéer eller tar tillvara på det eleven tankar. Boken fungerar om läraren kan använda den som en
inspiration till nya tankar och idéer. Att lämna boken under en period, är bra för att främja elevens tankar, idéer och flöden. Det är då bra att arbeta med olika projekt som exempelvis fenomenografi( Kronqvist, 2006), där eleven utvecklar nya begrepp utifrån sin egen vardag och samtidigt hittar nya . Vi observerar att Mira använder olika kort med uppgifter på. Hon vill att de ska inspirera till ett undersökande och laborativt sätt. Genom att låta eleverna arbeta laborativt, uppmanar hon till deras egna tankar, idéer och flöden. När två lever vill använda sig av eget material istället för det hon föreslår i uppgiften, ser hon det som positivt. Hon vänder sig till elevernas egen värld när hon förklarar begreppet mantelarea, genom att berätta om hur batmans mantel sveper runt en cylinder. Hon gör det med inlevelse, vilket gör
förklaringen mer spännande för eleven. Eleven har då lättare att relatera till uppgiften och bygger vidare på sin struktur. Mira vill att eleverna ska tänka själv och gärna hitta egna vägar och hon försöker att främja deras tankar, ibland visar det sig dock att hon styr eleverna och ställer slutna frågor för att få ett förväntat svar. Istället för att göra en specifik uppgift om att mäta med skor runt skolan, kan hon ha en öppen fråga. Det kan vara att mäta med steglängd, vilket väcker elevernas tankar ( Wistedt, 1990 ).
