Föreläsning 14 Inledande matematik för Z/TD.
In-verterbara funktioner och deras inverser, derivatan
av inversen till en funktion, exponential- och
loga-ritmfunktioner.
Introduktion.
0.1
Inversa funktioner, inverterbara funktioner.
De…nition.
En funktion f : D(f) ! R(f) kallas för en-entydig funktion i fall f(x) = f(z) medför att x = z.
Detta betyder att för varje punkt i värdemängden y 2 R(f) …nns bara en punkt i de…nitionsmängden x 2 D(f) sådan att f(x) = y:
Illustration hur verkar en en-entydig funktion. Två funktions värden kan vara lika bara om argument är lika.,
Illustration till hur verkar en funktion som inte är en-entydig. Funktionen antar samma värde i två olika punkter.
f (x) = x2 3x + 1 är inte en - entydig eftersom samma värde, t.ex. y = 10 på bilden kan antas i två olika punkter
7.5 5 2.5 0 -2.5 -5 40 30 20 10 0 x y x y
f (x) = sin(x) är inte en - entydig eftersom sin antar samma värde oändligt många gånger. 5 2.5 0 -2.5 -5 1 0.5 0 -0.5 -1 x y x y Sats
Växande och avtagande funktioner är en - entydiga (one to one function in English)
Exempel.
f (x) = x + 0:95 sin(x)
Funktionen är en - entydig eftersom den är monoton! Kolla detta med att beräkna derivatan.
f0(x) = 1 + 0:95 cos(x) > 0 för alla x eftersom jcos(x)j 1. Detta gör att
10 5 0 -5 -10 7.5 5 2.5 0 -2.5 -5 -7.5 x y x y
Observera att funktionen f (x) = x + 1:5 sin(x)
10 5 0 -5 -10 7.5 5 2.5 0 -2.5 -5 -7.5 x y x y är inte en-entydig.
De…nition. Inversfunktion. sid. 167 i Adams.
Om en funktion f : D(f) ! R(f) är en-entydig funktion så …ns en infersfunktion f 1 :
R(f) ! D(f) som till varje z 2 R(f) ordnar ett entydigt värde w 2 D(f) sådant att f (w) = z.
f (w) = z () f 1(z) = w
Varning!!! Observera farliga likheten i beteckningar för invers-funktion f 1(x) och för exponenten 1 eller för reciprok som är säkrare att skriva
med parantes: f (x)1 = ( f (x)) 1 för att inte blanda ihop med inversfunktionen f 1(x).
Ett stort antal studenter faller som o¤er av detta missförstått!!! . Exempel. Funktionen f (x) = x3 2 1 0 -1 -2 7.5 5 2.5 0 -2.5 -5 -7.5 x y x y
har inversfunktion f 1(y) = y1=3 = p3y. Observera att grafen av f och grafen av
f 1 är spegelbilder av varandra med avseende på linjen y = x.
Det är ganska tydligt att en - entydig funktion f är invers för f 1 som är
natyrligtvist också en entydig eftersom de…nitionen är helt symmetrisk:
f (w) = z () f 1(z) = w
varje z 2 R(f) och varje w 2 D(f): Detta medför följande kancellationsrela-tioner.
Kancellationsrelationer. sid. 168 i Adams.
En entydiga funktioner och deras inversfunktioner uppfyller kancellationsrela-tioner
f f 1(z) = z f 1(f (w)) = w
Geometriska egenskaper hos grafer till en funktion och dess invers-funktion.
Observera att om vi byter ordning av koordinater för en punkt P = (a; b), så fås en punkt Q = (b; a) som är spegelbilden av punkten (a; b) med avseende på linjen y = x. Man kan se detta från att vektorn P Q =! OQ! OP = (b! a; a b) har lutningen m = a bb a = 1 och är ortogonal mot linjen y = x. Mittpunkten mellan P och Q är a+b2 ;b+a2 och ligger på den linjen.
Detta medför att grafer till funktionen f och funktionen f 1 är spegelbilder av
varandra vid spegelre‡ektion i linjen y = x: Bevis.
Detta gäller eftersom w = f (z) är ekvivalent med z = f 1(w) och
punk-terna (z; w) och (w; z) som är punkter på grafer till f och till f 1är spegelbilder av varandra i linjen y = x.
Exempel.
Betrakta funktion g(x) =p2x + 1 på dess naturliga de…nitionsmängd och visa att g är invereterbar. Bestäm dess invers.
D(g) = [ 1=2; 1):Vi beräknar derivatan g0 för att se om g är en monoton funktion (växande eller avtagane). g0(x) = 1
2 1 p 2x+12 = 1 p 2x+1 > 0. Funktionen g är
växande och är då en- entydig. Den har inversfunktion g 1
g = p2x + 1 g2 = 2x + 1 2x = g2 1 x = g 2 1 2 g 1(x) = x 2 1 2
Exempel. Funktion f (x) = 1=x är inversfunktion av sig själva.
0.2
Invertering av funktioner som inte är en - entydiga.
För att införa inversfunktion till en funktion f som inte är en - entydig på dess de…nitionsmängd D(f ), begränsas de…nitionsmängden till någon lämplig delmänd, så att på den mindre mängd blir begränsade funktionen en - entydig.
Exempel. f (x) = x2 är inte en - entydig eftersom (x)2 = ( x)2.
Vi väljer begränsade funktionen F (x) = x2 de…nierad bara för x 0. Den
funktionen är en - entydig, eftersom den är växande.
Detta gör att F har en inversfunktion F 1(x) = x1=2=px.
0.3
Derivata av en inversfunktion.
Betrakta en funktion f och låt den vara deriverbar på intervallet (a; b) så att dess derivata är positiv eller negativ på det intervallet.
Dett medför då att funktionen är växande, alternativt - avtagande på intervallet och har inversfunktion f 1.
Derivatan av inversafunktionen beräknas enligt formeln d dxf 1 (x) = 1 f0(f 1(x)) Bevis. Derivera kancellationsrelationen f f 1(x) = x med att använda kedjeregeln.
d dx f f 1(x) = d dx(x) f0 f 1(x) df 1 dx (x) = 1 df 1 dx (x) = 1 f0(f 1(x)) Exempel.
Visa att funktionen f (x) = x3+ x
är en - entydig på hela linjen R och beräkna (f 1)0(10): Lägg märke till att f (2) = 10: f 1(10) = 2 ; x = 10,
f 1 0(x) = 1 (f0(f 1(x))) = 1 3(f 1(x))2+ 1 x=10 = 1 3 22+ 1 = 1 13
1
Exponent och logaritm funktioner.
Vi repeterar här kända egenskaper hod exponentiella funktionen ax och logaritm-funktionen loga(x), som är möjligt att bevisa på elementärt sätt för rationella argu-ment x = m=n.
Dessa egenskaper gäller faktiskt för godyckliga reella argument x. Motsvarande de…nitioner och några bevis som använder di¤erentialkalkul och gränsvärden kommer att diskuteras på nästa föreläsning.
De…nition.
För a > 0 och rationella x = m=n där m och n är hela tal m; n > 0 de…nieras exponent ax = am=n = pn a m I fall m=n < 0 ax= am=n = 1 ajm=nj
De…nition.
Om a > 0 och a 6= 1 funktionen loga(x)kallas för logaritm av x med bas a: Den
de…nieras som inversfunktion till funktionen f (x) = ax:
y = logax() x = ay; a > 0; a6= 1 Kancellationsrelationen för logaritm ser ut som
loga(ax) = x , x2 R; alogax = x; x > 0
Exempel. Bevisa formeln
loga(xy) = logax + logay me hjälp av egenskaper hos exponentfunktionen. Exempel.
a) Förenkla uttrycket: log210 + log212 log215
