Lösningar Fysik 2 Heureka Kapitel 2

Lösningar Heureka 2

Kapitel 2

Kraftmoment och

jämvikt

Lösningar Fysik 2 Heureka Kapitel 2

2.1)

Vi väljer en vridningsaxel vid brädans kontaktpunkt med ställningen till vänster, enligt figuren. Brädans tyngd, mg har momentarmen 2 m, och den uppåtriktade stödkraften FH från högra sidan av ställningen har momentarmen (2,5 + 1,5) m = 3,5 m. OBS: Räkna alltid från vridningsaxeln!

Stödkraften vid vridningsaxeln ger moment noll eftersom armen är noll. Ska vi ha vridningsjämvikt måste vi ha följande:

moment moturs = moment medurs FH · (3,5 m) = (7,1· 9,82 N) · (2,0 m) Med lite matte får vi att

𝐹𝐻 =7,1 ∙ 9,82 ∙ 2_3,5 ≈ 40𝑁

𝐹𝑉 = 𝑚𝑔 − 𝐹𝐻 = 7,1 ∙ 9,82 − 40 = 29,72 ≈ 30𝑁

Momentarmen vid punkterna A och B är lika långa, 12m. 𝑀𝐴 = 𝑚𝑔 ∙ 12 = 30 ∙ 9,82 ∙ 12 = 3535𝑁𝑚 𝑚𝑒𝑑𝑢𝑟𝑠 𝑀𝐵= 𝑚𝑔 ∙ 12 = 30 ∙ 9,82 ∙ 12 = 3535𝑁𝑚 𝑚𝑜𝑡𝑢𝑟𝑠 𝑀𝐶 = 0 𝑒𝑓𝑡𝑒𝑟𝑠𝑜𝑚 𝑎𝑟𝑚𝑒𝑛𝑠 𝑙ä𝑛𝑔𝑑 ä𝑟 𝑛𝑜𝑙𝑙

Om vi tittar på figuren ser vi att vinkeln mellan ekern vid punkten D och horisontellplanet är 45 grader. Ekerns längd är 12m. Beteckna avståndet mellan punkten D och axeln i horisontellt led med x. Vi får då följande.

𝑐𝑜𝑠45°₌ 𝑥

12 → 𝑥 = 12 ∙ 𝑐𝑜𝑠45° ≈ 8,5𝑚

𝑀𝐷 = 𝑚𝑔 ∙ 8,5 = 30 ∙ 9,82 ∙ 8,5 ≈ 2500𝑁𝑚 𝑚𝑒𝑑𝑢𝑟𝑠

2.3)

Vi använder momentlagen, dvs. moment moturs=moment medurs. Vi väljer naturligtvis vridningsaxeln vid armbågen.

7 ∙ 0,4 + 21 ∙ 0,15 = 𝐹 ∙ 0,05 → 𝐹 =7 ∙ 0,4 + 21 ∙ 0,15_0,05 = 119𝑁 ≈ 0,12𝑘𝑁

a) Spännkraften S i linan har lika stort kraftmoment moturs som skyltens tyngd har medurs. Detta kan vi räkna ut.

3,2 · 9,82 ·0,60 = 19 Nm

b) Momentarmen mäter vi från A vinkelrät mot linan (kraftens riktningslinje). Titta på figuren. Vi beräknar först vinkeln v. 𝑡𝑎𝑛𝑣 =0,75_{1,2 → 𝑣 = 32}0 Momentarmen blir då l= 1,2·sin 32° = 0,64 m c) Momentlagen ger: S·1,2 · sin 32° = 3,2· 9,82 ·0,60 ≫ S=30N d)S har komposanterna:

S·cos32° = 25N i stångens längdriktning S· sin32°= 16 N vinkelratt mot stången

e)15,7(N)·1,2(m) = 19Nm alltså lika mycket som det var i a). 2.4)

2.5) Se figuren

a)Vi kallar bryggans längd for 2a. Tyngdkraftens momentarm är l=𝑎

2 och momentarmen till

de sökta krafterna F är 2a. Momentlagen ger ( observera att vi har två kedjor!) 2F · 2a = mg ·𝑎

2

𝐹 =𝑚𝑔_{8 =}500 ∙ 9,82₈ = 6,1 ∙ 102_{𝑁 = 0,61𝑘𝑁}

b)

Enligt figuren får vi det lodräta avståndet x mellan vridningsaxeln och den ena kedjas fästpunkt enligt cos300 = 2𝑎

𝑥 , 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑓𝑟å𝑛 𝑚𝑒𝑑 𝑙𝑖𝑡𝑒 𝑚𝑎𝑡𝑡𝑒

𝑥 =_{𝐜𝐨𝐬 𝟑𝟎}𝟐𝒂 _𝟎= 𝟒𝒂 √𝟑

I helt nedfällt läge (se figuren)har tyngden mg den största momentarmen a. Samtidigt har kraften i kedjorna kortast momentarm 𝑙₁ i figuren, för att vinkeln v mellan kedjor och bryggan är minst. Vid jämvikt måste alltså kraften 𝐹₁ vara störst.

c)

Sätt avståndet CD till x. 𝑠𝑖𝑛23 =_{2𝑎 → 𝑥 = 2𝑎 ∙ 𝑠𝑖𝑛23}𝑥 I triangeln ABD har vi:

𝑡𝑎𝑛𝛼 = 𝑎( 4√3_{2𝑎 ∙ 𝑐𝑜𝑠23}− 2𝑠𝑖𝑛23) = 4 √3− 2𝑠𝑖𝑛23 2 ∙ 𝑐𝑜𝑠23 = 0,83 𝛼 = 39,7°

Nu använder vi momentlagen försiktigt, dvs. vi ser att tyngkraften mg vrider medurs medan komposanterna av kraften i kedjan, 𝐹_𝑥och 𝐹_𝑦 vrider moturs. Matematiskt blir detta:

𝑚𝑔𝑎 ∙ 𝑐𝑜𝑠23 = 𝐹 ∙ 𝑐𝑜𝑠39,7 ∙ 2𝑎 ∙ 𝑠𝑖𝑛23 + 𝐹 ∙ 𝑠𝑖𝑛39,7 ∙ 2𝑎 ∙ 𝑐𝑜𝑠23 (förenklar med a) 𝑚𝑔𝑐𝑜𝑠23 = 2𝐹(𝑐𝑜𝑠39,7 ∙ 𝑠𝑖𝑛23 + 𝑠𝑖𝑛39,7 ∙ 𝑐𝑜𝑠23)

Obs: Trigonometri: sin (α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β 𝐹 =_{2 ∙ sin (39,7 + 23) =}𝑚𝑔𝑐𝑜𝑠23 500 ∙ 9,82 ∙ 𝑐𝑜𝑠23_{2 ∙ 𝑠𝑖𝑛62,7} = 2543𝑁 ≈ 2,5𝑘𝑁

Nu måste vi tänka på att detta är den sammanlagda kraften i båda kedjorna. Alltså kraften i varje kedja är:

𝑆 = 2543𝑁₂ = 1271𝑁 ≈ 1,2𝑘𝑁 2.6)

Det är smart om vi väljer en axel vid stegens nedre ända, där den står på marken. Normalkraften från marken har momentarmen noll, som ni ser i figuren.

Tyngdens momentarm är 𝑙_𝑇 och normalkraftens momentarm 𝑙_𝑁, båda finns i figuren. Moment moturs = moment medurs som vanligt

N·4·sin65o = 50·2·cos 65° som ger

b)Stegen ar i jämvikt, enligt uppgiften. Kraften F från marken på stegen ska göra så att kraftresultanten blir lika med noll. Pythagoras sats ger

F= √502+ 122 =51N

Vinkeln med marken kan vi räkna ut med tan 𝑣 =50_{12 ≫ 𝑣 = 77}0 _{𝑆𝑒 𝑓𝑖𝑔𝑢𝑟𝑒𝑛}

2.7)

Tänk dig en axel vid hyllans nedre hörn till höger. Titta på figuren nedan. När hyllan nästan välter är momentlagen uppfylld. Kraften F som vi söker har armen lF= 1,5 m. Hyllans tyngd, angriper i hyllans mittpunkt och har momentarmen 0,75

2 (𝑚)

Moment moturs = moment medurs som vi brukar göra ger: 70 ∙ 9,82 ∙ 0,75

2 = 𝐹 ∙ 1,5 ≫ 𝐹

=70 ∙ 9,82 ∙ 0,75_{2 ∙ 1,5} = 170𝑁 = 0,17𝑘𝑁

2.8)

Vi använder momentlagen(se figuren): 0,02 ∙ 𝑔 ∙ 0,20 = 𝑚 ∙ 𝑔 ∙ 0,04

2.9-2.10) Experimentella uppgifter. 2.11)

Vi ser att figuren är symmetrisk och vinkeln mellan skivorna och symmetriaxeln är 19 grader. Vi betecknar längderna som är okända med, y och z. 𝑠𝑖𝑛19 =1,5𝑦 → 𝑦 = 0,49𝑚 se figuren 𝑠𝑖𝑛19 =_{0,75 → 𝑧 = 0,24}𝑧 → 𝑎𝑣𝑠𝑡å𝑛𝑑𝑒𝑡 𝑚𝑒𝑙𝑙𝑎𝑛 𝑡𝑦𝑛𝑑𝑝𝑢𝑛𝑘𝑡𝑒𝑛 𝑜𝑐ℎ 𝑠𝑦𝑚𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑎𝑥𝑒𝑙𝑛 ä𝑟 0,49 − 0,24 = 0,25𝑚 (𝑠𝑒 𝑓𝑖𝑔𝑢𝑟𝑒𝑛) Momentlagen ger: 𝐹 ∙ 0,45 = 𝑚𝑔 ∙ 0,25 → 𝐹 =4,5 ∙ 9,82 ∙ 0,25_0,45 ≈ 24𝑁 2.12)

Välj vridningspunkt vid fötterna. Momentlagen ger:

𝑚𝑔 ∙ 0,8 = 𝐹1∙ 1,4 → 𝐹1 =58,7 ∙ 9,82 ∙ 0,8_1,4 = 329,4 ≈ 330𝑁 (0,33𝑘𝑁)

𝐹1+ 𝐹2 = 𝑚𝑔 → 𝐹2 = 𝑚𝑔 − 𝐹1 = 58,7 ∙ 9,82 − 329,4 = 247𝑁 (0,25𝑘𝑁)