Olle Eriksson
Känslighetsanalys av en modell för
asfaltsdeformation
VTI r apport 878 |Känslighetsanalys av en modell för asfaltsdeformation
www.vti.se/publikationer
VTI rapport 878
Utgivningsår 2015
VTI rapport 878
Känslighetsanalys av en modell för
asfaltsdeformation
Diarienummer: 2013/0279-9.1 Omslagsbild: Hejdlösa Bilder AB Tryck: LiU-tryck, Linköping 2015.
Referat
Ökad lastbilstrafik, höjd tillåten axellast, ökad användning av breddäck och en tendens till allt högre däcktryck har resulterat i en allt snabbare spårbildning i asfaltbeläggningar. Det finns ett tydligt behov av att kunna förstå och modellera vägars och vägbeläggningars nedbrytning i relation till trafikens belastning och vägens konstruktion.
Töjning i asfaltbeläggning orsakad av tung trafik beskrivs med olika modeller och är också underlag för prognoser av spårbildning. Prognostiseringen försvåras av att det förekommer variation och osäkerhet i förutsättningarna. Ett steg i att försöka förstå hur beroende man är av korrekt indata är att se hur mycket modellresultaten förändras beroende på förändringar i indata.
I det här arbetet visas hur töjningen påverkas av kontakttryck, axellast, kompressibilitet samt, i vissa fall, sidolägesvariation. Olika variabler påverkar på olika sätt och resultatet beror därför på val av mått och redovisningsområde. Redovisningen har därför fått utformningen att olika variablers betydelse beskrivs ur olika synvinklar utan att jämföras på något definitivt sätt.
Titel: Känslighetsanalys av en modell för asfaltsdeformation Författare: Olle Eriksson (VTI, orcid.org/0000-0002-5306-2753) Utgivare: VTI, Statens väg- och transportforskningsinstitut
www.vti.se Serie och nr: VTI rapport 878 Utgivningsår: 2015
VTI:s diarienr: 2013/0279-9.1
ISSN: 0347-6030
Projektnamn: Känslighetsanalys, asfaltsdeformation Uppdragsgivare: Trafikverket
Nyckelord: Känslighetsanalys, asfaltsbeläggning, töjning, spårbildning, deformation
Språk: Svenska
Abstract
Increased commercial traffic volume, higher axle load limit, more frequent use of wide tyres, and a tendency towards higher tyre pressure have resulted in increased rates of rutting on asphalt pavements. Strain in asphalt pavements, caused by heavy traffic, is described by different models and serves as a basis for rut prediction. Prediction is however problematic because of varying and uncertain conditions. Studying the change in model output for a given change in input helps when trying to understand the importance of a correct input.
In this report, it is shown how strain depends on compressibility, axle load, contact pressure, and, in some cases, variation in lateral position. Different variables affect the results in different ways. Results are therefore dependent on the choice of variables and the accounting area. The results, formulated from different perspectives, describe the significance of a variables influence on strain measurement without comparison in any definitive manner.
Title: Sensitivity analysis of an asphalt deformation model Author: Olle Eriksson (VTI, orcid.org/0000-0002-5306-2753)
Publisher: Swedish National Road and Transport Research Institute (VTI) www.vti.se
Publication No.: VTI rapport 878
Published: 2015
Reg. No., VTI: 2013/0279-9.1
ISSN: 0347-6030
Project: Sensitivity analysis, asphalt deformation Commissioned by: Swedish Transport Administration
Keywords: Sensitivity analysis, asphalt pavement, strain, rutting, deformation
Language: Swedish
Förord
Trafikverket har finansierat den här studien. Kontaktperson har varit Tomas Winnerholt. Studien har genomförts inom branschprogrammet Bana Väg för Framtiden (BVFF, http://www.bvff.se). Tack till Safwat Said, VTI, som bidragit med med idéer och kunskap redan från projektets första dag.
Linköping december 2015
Kvalitetsgranskning
Granskningsseminarium genomfört 19 mars 2015 där Sigurdur Erlingsson var lektör. Olle Eriksson har genomfört justeringar av slutligt rapportmanus. Forskningschef Anita Ihs har därefter granskat och godkänt publikationen för publicering 21 september 2015. De slutsatser och rekommendationer som uttrycks är författarens/författarnas egna och speglar inte nödvändigtvis myndigheten VTI:s uppfattning.
Quality review
Review seminar was carried out on 19 March 2015 where Sigurdur Erlingsson reviewed and commented on the report. Olle Eriksson has made alterations to the final manuscript of the report. The research director Anita Ihs examined and approved the report for publication on 21 September 2015. The conclusions and recommendations expressed are the author’s/authors’ and do not necessarily reflect VTI’s opinion as an authority.
Innehållsförteckning
Sammanfattning . . . 9
Summary . . . 11
1. Inledning . . . 13
2. Underlag och analysmetoder . . . 14
2.1. Pedro-modellen . . . 14 2.2. Känslighetsanalysens omfattning . . . 14 2.3. Försöksplan . . . 16 2.3.1. Försöksplan 1 . . . 16 2.3.2. Försöksplan 2 . . . 17 2.3.3. Försöksplan 3 . . . 17
2.4. Utdata och särredovisningar . . . 20
3. Resultat . . . 22
3.1. Resultat av känslighetsanalys, försöksplan 1 . . . 22
3.2. Resultat av känslighetsanalys, försöksplan 2 . . . 23
3.3. Resultat av känslighetsanalys, försöksplan 3 . . . 24
3.4. Resultat av utökad känslighetsanalys, försöksplan 3 . . . 28
3.4.1. Genomsnittlig töjning i ett avgränsat område, försöksplan 3 . . . 28
3.4.2. Samtidiga jämförelser i två dimensioner, försöksplan 3 . . . 32
3.4.3. Differens mellan intilliggande bildrutor, försöksplan 3 . . . 33
3.5. Generella resultat av känslighetsanalyserna . . . 33
3.6. Ett exempel på osäkerhetsanalys . . . 36
4. Diskussion . . . 42
Sammanfattning
Känslighetsanalys av en modell för asfaltsdeformation av Olle Eriksson (VTI)
Ökad andel lastbilar, höjning av tillåten axellast, ökad användning av breddäck och tendens till allt högre däcktryck har gett en snabbare spårbildning i asfaltbeläggningar. Det är en stor fördel om man kan prognostisera vägars och vägbeläggningars livslängd säkert och planera drift- och underhålls-åtgärder effektivt. Det finns därför behov av att kunna förstå och modellera vägars och vägbeläggningars nedbrytning i relation till trafikens belastning och vägens konstruktion.
Töjning i asfaltbeläggning orsakad av tung trafik beskrivs med olika modeller. Modeller används också i efterföljande steg till prognoser av hur asfaltsytans form ska komma att förändras i tiden, bl.a. med avseende på spårbildning. Ett problem vid prognostisering är att det förekommer variation och osäkerhet i förutsättningarna. Sådan variation bör beaktas vid dimensionering, drift och underhåll av vägar för att uppnå en bättre noggrannhet eller bättre bedömning av hur god noggrannhet som kan förväntas. Ett steg i att försöka förstå hur beroende man är av korrekt indata är att ge mått på hur mycket modellens utdata förändras om man gör förändringar i indata.
Den här rapporten sammanfattar ett arbete inriktat mot att ge utökad förståelse för asfaltbeläggningens deformation genom samtidig känslighetsanalys av flera av de variabler som används för att förklara töjning i beläggningen. Töjningen beräknas med Pedro-modellen i ett mycket stort antal lastfall och sammanfattas för att visa påverkan av kontakttryck, axellast, kompressibilitet samt, i vissa fall, sido-lägesvariation. Påverkan av hastighet och viskositet diskuteras kort men omfattas ej av analysen. Olika variabler påverkar töjningen på olika sätt. På ett mycket övergripande plan ser man att kontakt-tryck bara påverkar töjningen nära ytan medan axellast och kompressibilitet påverkar töjningen ganska likartat genom asfaltens hela djup. Sidolägesvariation har en tydlig påverkan på töjningen men en lika övergripande beskrivning är olämplig eftersom sambandet är komplicerat. De beräknade resultaten påverkas av hur man väljer redovisningsområdets bredd och djup.
Det finns flera mått på töjning men de förändras på olika sätt om man ändrar förutsättningarna, ibland med tydlig förekomst av ickelinjäritet. Det går över huvud taget inte att enkelt peka ut ett resultat och påstå att det enskilt är tydligast eller viktigast. Redovisningen har därför fått utformningen att olika variablers betydelse beskrivs ur olika synvinklar var för sig utan att jämföras på något definitivt sätt. Den har valts så att den i huvudsak sammanfattar med beräknade enkla värden och figurer. Ibland visas inte några enkla värden men då finns åtminstone ett försök att förklara hur det ser ut och en förklaring till varför ännu grövre sammanfattning skulle kunna vara olämplig.
Summary
Sensitivity analysis of an asphalt deformation model by Olle Eriksson (VTI)
Increased commercial traffic volume, higher axle load limit, more frequent use of wide tyres and a tendency towards higher tyre pressure have resulted in increased rates of rutting on asphalt pavements. Being able to predict a road’s or pavement structure’s residual lifespan is a great advantage and can provide the opportunity to implement efficient maintenance plans. There is a need to be able to understand and model roads and pavements structure degradation in relation to its construction and traffic load.
Strain levels in the bituminous layers, caused by heavy vehicles, can be described by various models. Models can also be used in subsequent stages to predict how the shape of the asphalt surface will change over time. However, the models rely on the inputs and uncertainty and variation with these is problematic. In order to achieve better precision or to better understand what precision is to be expected, such variations must be taken into consideration at the construction and maintenance planning stages. One way to try and understand the importance of correct input data is to study how model outputs behave when changes are made to the model inputs.
In this report, a project aiming at increased understanding of asphalt deformation is summarised. Sensitivity analysis of some of the variables that explain strain in asphalt pavement is used. Strain levels, calculated using the Pedro model in a large number of cases, are summarised to explain the impact from contact pressure, axel load, compressibility and, in some cases, variation in lateral position. Speed and viscosity is discussed but is does not form part of the main analysis.
Different variables influence strain in different ways. To briefly summarise, contact pressure only has an impact on strain near the road surface whereas axle load and compressibility has an impact that is more uniform through the pavements depth. Lateral variation and strain is related in a complicated form that has no brief description. Summarised results vary depending on the width and depth of the studied region.
Strain levels can be modelled in many ways but results can react differently to changes in the inputs, sometimes in a clearly non-linear form. There is no obvious result that is the most important or most clear. The summarised results attempt to show the individual importance of the variables without comparisons. Simple measures and figures are used in most cases. However, in some cases, simple measures may be misleading. If so, focus is set on describing the complexity and explaining why further simplification is not suitable.
1.
Inledning
Ökad andel lastbilar, höjning av tillåten axellast, ökad användning av breddäck och tendens till allt högre däcktryck har gett en allt snabbare spårbildning i asfaltbeläggningar. Utöver trafikens egenskaper har väder, produktionsmetoder, material och konstruktion en väsentlig inverkan på spårbildningsutvecklingen.
Det finns ett tydligt behov av att kunna förstå och modellera vägars och vägbeläggningars nedbrytning i relation till trafikens belastning och vägens konstruktion. Att kunna simulera förändringar och prognostisera livslängd säkert ger en väsentlig fördel med god möjlighet att planera drift- och underhållsåtgärder effektivt. Vid ny- eller ombyggnad önskar man också att göra det bästa valet av åtgärd, material och konstruktion. Variationen i variablerna bör beaktas vid dimensionering av vägar t.ex. vid beräkning av spårbildning för en bättre noggrannhet vid beräkning av livslängd.
Töjning i asfaltbeläggning orsakad av tung trafik beskrivs med olika modeller. Sådana modeller utgör viktiga komponenter i modeller för spårbildning i asfaltbeläggning orsakad av tung trafik. Utvecklingen inom analytiska modeller för beräkning av påkänningar i asfaltskonstruktioner har medfört ökade möjligheter för dimensionering av vägöverbyggnader med avseende på spårbildning i bitumenbundna lager. Som exempel på mer analytiska modeller kan nämnas Veroad (Viscoelastic road analysis) Hopman et al. (1994), Mepdg (mechanical emperical pavement design guide), Calme (the Caltrans mechanical emperical methodology) och Pedro (Permanent deformation of asphalt concrete layer for roads). Prognosmodeller för spårbildning i asfaltskonstruktioner finns i bl.a. Hopman et al. (1997), NCHRP (2004), Ullidtz et al. (2008) och Said et al. (2011). Sådana modeller beskriver pålitliga prognosfunktioner för hur en asfaltskonstruktion deformeras under belastning.
Spårbildning orsakas också av slitage från dubbdäck. Det är viktigt att kunna förstå och modellera även sådan spårbildning, men det är en annan mekanism som beror av andra variabler än vad deformationen gör. Spårbildning orsakas av slitage från dubbdäck behandlas inte i den här rapporten.
Ett problem vid prognostisering av spårbildning är variation och osäkerhet i förutsättningarna. Man behöver bl.a. en prognos för vilken belastning vägen ska komma att utsättas för, vilket självklart kommer att introducera osäkerhet i beräkningen, men även andra uppgifter kan vara osäkra. På grund av de relativt stora variationerna i variablerna bör deformationsberäkningar presenteras med ett betraktelsesätt där man ser på indata som fördelningar.
Viss kritik har väckts mot de prognoser man gör idag då de upplevs vara otillräckliga för att uppnå önskad noggrannhet. Kritiken kan vara onyanserad då det inte är självklart om prognosmetoderna egentligen är dåliga, om de beräknas med osäkra eller felaktiga indata eller om problemet helt enkelt är olösligt. Ett steg i att försöka förstå hur beroende man är av korrekt indata är att se hur modellens utdata förändras beroende på förändringar i indata. Syftet är att utföra en känslighetsanalys vid beräkning av spårbildning som en del i implementering av Pedro-modellen för praktiskt verksamhet. Sådan analys kan användas på olika sätt. Den kan ge utökad förståelse för hur stort fel det kan bli om man använder nationellt uppmätt axellast istället för lokalt antaget eller uppmätt värde som underlag för en prognos hos ett objekt. Den kan användas för att visa om en fördelning av laster kan approximeras väl med en standardlast. Det kan visa hur osäkerhet i antaganden om asfaltens egenskaper ger osäkerhet i en prognos av spårutveckling o.s.v.
I den här rapporten beräknas töjningen i ett mycket stort antal lastfall med den töjningsfunktion som ingår i den så kallade Pedro-modellen. Modellen har utvecklats under senare år och är kraftfull och praktisk vid studier angående effekten av trafikens variabler som axelkonfiguration, hjullast, kontakttryck, hastighet, sidolägesfördelning samt effekten av klimat, asfaltmaterial och konstruktion. Analysen och resultatredovisningen avser att sammanfatta den beräknade töjningen ur olika synvinklar och för olika redovisningsområden. Lastfallen har valts så att det ska gå att se betydelsen av kontakttryck, axellast, kompressibilitet och, i vissa fall, sidolägesvariation. Påverkan av hastighet och viskositet diskuteras kort men omfattas ej av analysen då dessa kan brytas ut ur modellen och hanteras separat.
2.
Underlag och analysmetoder
Pedro-modellen beräknar töjningen under och vid sidan om ett däck som belastar vägen. I den här rapporten används modellen som den är för att försöka studera hur töjningen ändras när man varierar belastningens och beläggningens egenskaper. Rapporten omfattar alltså inte någon granskning av själva Pedro-modellen. I fortsättningen av den här rapporten avser ”töjning” endast den vertikala töjningen.
2.1.
Pedro-modellen
Modellen beskriver töjning med funktionen = σ · (1 − 2ν) V ·η Re " q (z+ ix)2+ a2− (z+ ix) # + σ · z V ·ηRe 1 − p z+ ix (z+ ix)2+ a2
där är töjningen, σ är kontakttrycket (Pa), ν är Poissons tal, V är hastigheten1 (m/s), η är viskositeten (Pa s), z är djupet (m), x är sidoavståndet från lastcentrum (m) och a är kontaktradien (m).
Modellen ger töjningen i ett halvplan nedåt och åt sidorna från lasten. Modellen själv sätter inga gränser för hur lågt nedåt eller utåt töjningen kan beräknas. Läs mer om Pedro-modellen och funktionerna för töjning i Said et al. (2011) och Björklund (1984).
Funktionen gäller för ett snitt tvärs vägen. I underlaget till analyserna har snittet valts att vara 2,0 m brett och 0,5 m djupt, men i analyserna används olika redovisningsområden som i varierande grad avgränsar snittets bredd och djup. Snittet representeras förenklat som ett nät av bildrutor av storlek 0,5 x 0,5 cm. I fortsättningen kallas detta ett ”bildrutnät” och det är alltså 400 rutor brett och 100 rutor högt. En bildruta representeras med den töjning som enligt Pedro-modellen gäller för rutans mittpunkt. Figur 1 visar två exempel, eller två olika lastfall, utan att här gå in på alla detaljer i de två exemplen. Den övre halvan visar töjningen av ett däck som belastar lite mindre och kör nästan mitt i det valda snittet. Däcket i nedre halvan belastar lite mer och kör lite till höger. Bilden har normerats så att färgkoderna och nivåkurvorna kan jämföras mellan bildhalvorna, men den ger inte någon information om töjningens absoluta storlek. Röd färg indikerar trycktöjning medan blå färg indikerar dragtöjning där färgintensiteten också är jämförbar. Den blå färgen är mycket svag och svår att återge på ett tydligt sätt. Bilden visar på det sättet att dragtöjningen är väldigt liten i förhållande till den mest intensiva trycktöjning som förekommer.
I de olika bilder som förekommer senare i rapporten förklaras alltid vilka som är jämförbara avseende färgkod och nivåkurvor. Nivåkurvorna hjälper till att visa hur intensiteten är fördelad. Högsta trycktöjning visas som nivå 1 och ingen töjning representeras som nivå 0. Nivån är negativ vid dragtöjning men det visas oftast inte med en nivåkurva då dragtöjningen oftast är för låg för att ens nå upp till en första negativ nivåkurva. Andra bildtyper förkommer också och i några fall ger de även information om töjningens absoluta storlek.
2.2.
Känslighetsanalysens omfattning
Känslighetsanalys avser generellt att ge mått på hur utdata från en modell eller ett försök varierar beroende på hur indata varierar. Känsligheten kan belysas ur många olika synvinklar och redovisas som t.ex. koefficienter i en responsfunktion. Dessa kan många gånger betraktas som rena lutnings-koefficienter och kan vara uttryckbara med formler och teoretisk härledning. Känslighet kan också redovisas som variationsmått eller med grafisk illustration.
Modeller kan uppfattas som komplicerade om de har långa uttryck, om de innehåller någon form av slumpmässighet eller om de omfattar ekvationer som ej kan lösas explicit. I komplicerade modeller kan en rent analytisk framställning av känslighet bli svår eller oöverskådlig och det är inte självklart att det alltid är bäst att välja en sådan framställning även om den är exakt.
−1,0 −0,5 0,0 0,5 1,0 Sidoläge (m) Djup (m) 0,5 0 0 0 0,2 0,2 0,4 0,6
Exempel 1
−1,0 −0,5 0,0 0,5 1,0 Sidoläge (m) Djup (m) 0,5 0 0 0 0,2 0,2 0,4 0,6 0,8Exempel 2
Figur 1. Två exempel på fördelning av vertikal töjning enligt Pedro-modellen.
Man kan ofta med fördel välja ett mer datorintensivt sätt att beräkna modellens utdata med en stor mängd olika fall och empiriskt studera känsligheten. Ibland kan också en komplicerad modell representeras väl av en förenklad modell som i sin tur kanske kan hanteras analytiskt.
Analysen omfattar att försöka räkna ut känsligheten mot kontakttryck, axellast och kompressibilitet. Kontaktradien, som också är indata till Pedro-modellen, beräknas som en funktion av kontakttryck och axellast. För vissa fall omfattas även beräkning av känsligheten mot sidolägesvariation. Pedro-modellen har ingen sidolägesparameter så man kan inte förflytta lastens sidoläge i förhållande till ett fixerat redovisningsområde, men självklart uppnår man samma effekt genom att variera redovisningsområdet i förhållande till ett fixerat sidoläge för lasten. Redovisningsområdet väljs i den här rapporten att vara symmetriskt i sidled kring lastens mittpunkt. Om sidolägesvariation förekommer väljs redovisningsområdet symmetriskt kring lastens förväntade mittpunkt.
Analysen omfattar ej att försöka beräkna känsligheten mot hastigheten V och viskositeten η. Orsaken är att dessa ingår på ett så enkelt sätt i modellen så att det går att handskas med dem analytiskt. Viskositeten står i nämnaren i båda termerna. Med allt annat fixerat så är töjningen omvänt proportionell mot viskositeten och en osäkerhet i viskositet har en förhållandevis enkel översättning till osäkerhet i töjning. På samma sätt är töjningen omvänt proportionell mot hastigheten och man har därmed ett
lika enkelt sätt att räkna ut osäkerheten i töjning för en given osäkerhet i hastighet. Modellen har alltså en struktur som kan skrivas = f (V ) · g(η) · h(σ, ν, x, z,a). I den formeln är f och g relativt enkla funktioner. Så gott som all svårighet sitter i att kunna beskriva den mer komplicerade funktionen h som inte har några uppenbara förenklingar. I de följande beräkningarna är hastigheten 50 km/h. I all känslighetsanalys är viskositeten 2 GPa s men i exemplet på osäkerhetsanalys har viskositeten en fördelning som redovisas tydligare där.
Pedro-modellen är helt deterministisk och ger alltid samma utdata för given indata utan någon möjlighet till variation inom modellen i sig själv. Modellen används här utan några förändringar. Variation i in- och utdata uppnås genom att beräkna töjningen i ett stort antal olika lastfall. Upplägget i den här rapporten följer alltså det datorintensiva arbetssättet.
2.3.
Försöksplan
Känslighetsanalysen i den här rapporten omfattar tre steg med tilltagande grad av variation och komplexitet i indata. Man kan likna det vid olika försöksplaner om man tillåter att ”försök” här inte avser riktiga experiment utan snarare modellberäkningar som åtminstone i vissa fall har slumpmässighet i indata. Även resultaten är grupperade så att redovisningen följer med de steg som används i försöksplanen. Gemensamt för alla är att de bygger på att man beräknar töjningen för ett antal olika fall som motsvarar att man väljer ut punkter i ett rutnät, att rutnäten kan ha mer eller mindre komplicerad form och att de kan vara grov- eller finmaskiga. I fortsättningen avser ”rutnät” en representation av försöksplanen och ska ej förväxlas med termen ”bildrutnät” som användes tidigare.
2.3.1. Försöksplan 1
Det här är ett enkelt underlag till en känslighetsanalys, där man utgår från ett fall och redovisar vad som händer om man ändrar en egenskap i taget. Föreställ att det finns ett standardlastfall, kallas i fortsättningen ”basfall”, med bestämda värden på kontakttryck, axellast och kompressibilitet. Förändra sedan dessa, ett i taget, till olika nivåer i en omfattning som är ungefär ”lika mycket” i respektive skala. Resultaten blir underlag för att beräkna känslighet för en variabel i taget om andra förutsättningar hålls konstanta med basfallet som utgångspunkt. Basfallet har:
• kontakttryck 0,8 MPa • axellast 8 ton
• Poissons tal 0,32.
Analysen avser att se hur utdata förändras om man ändrar en förutsättning i taget. Ändringarna omfattar: • ändra kontakttrycket till 1,0 MPa
• ändra axellasten till 10 ton • ändra Poissons tal 0,40.
Alla förändringarna har gjorts lika stora i den meningen att den lägre gränsen utgör 80 % av den högre gränsen — ett försök att skapa förändringar av jämförbar storleksordning. För vissa frågor kan man tänka sig att intervallen inte ska vara lika stora (relativt).
Analysen utgår från att basfallet i någon mening utgör ett standardfall eller referensfall. Denna form av känslighetsanalys är naturlig i situationer där det finns ett självklart basfall att utgå från. Här används antagna värden för ett tänkbart men inte alls självklart sådant fall. Man bör fråga sig om det ens finns något basfall för den här rapportens frågeställning. Det är rimligt att söka efter en annan försöksplan som inte använder sig av något basfall.
2.3.2. Försöksplan 2
Det här är ett lite utvecklat underlag till en känslighetsanalys, där man utgår från många olika fall och redovisar vad som händer i genomsnitt om man ändrar en egenskap i taget. Föreställ att det finns ett rutnät av få tänkbara och lika troliga värden som representerar fördelningen av de variabler som ska analyseras. Försöksplan 2 använder en tänkt fördelning av kontakttryck, axellast och kompressibilitet i olika men ganska få nivåer i en omfattning som är ungefär ”lika mycket” i respektive skala. Resultaten blir underlag för att beräkna hur en variabel påverkar i genomsnitt när de andra variablerna varierar över rimliga nivåer. Rutnät omfattar alla kombinationer av:
• kontakttryck 0,8; 0,9 eller 1,0 MPa • axellast 8; 9 eller 10 ton
• Poissons tal 0,32; 0,36 eller 0,40.
Analysen avser att redovisa skillnaden mellan kontakttrycken 0,8 och 1,0 MPa genomsnitt över alla 9 kombinationer av axellast och kompressibilitet. Detta ger information om betydelsen av kontakttryck i genomsnitt över olika kombinationer av axellast och kompressibilitet. Därefter redovisas på motsvarande sätt betydelsen av att variera axellasten vid medelvärdesbildning över olika kombinationer av kontakttryck och kompressibilitet o.s.v.
Försöksplan 2 är uppenbart en förstoring av försöksplan 1 eftersom den tillåter att se effekten av att ändra en variabel i indata medelvärdesbildat över olika värden i alla andra indata medan försöksplan 1 använder ett konstant värde för var och en av de övriga indata. Denna form av analys kan vara lämplig om ingen standardpunkt finns men man ändå vet inom vilket område indata varierar. Den är ändå enkel eftersom den trots allt jämför punkter för en variabel i taget. Ytterligare förbättring kan uppnås genom att tilldela olika vikter till punkterna i rutnätet och därmed skapa olika marginalfördelningar eller korrelationer. Det går även att avgränsa vilka kombinationer som ska betraktas som möjliga.
2.3.3. Försöksplan 3
Det här är ett ännu mer utvecklat underlag till en känslighetsanalys, där man utgår från att egenskaper inte ska beskrivas med värden som varieras, utan snarare med hela fördelningar som kan förflyttas. I en given punkt på vägnätet finns egenskaper som beskrivs med konstanter och andra egenskaper som beskrivs med fördelningar. Där finns t.ex. bara en viskositet men en hel fördelning av axellaster. Försöksplan 3 försöker att härma dessa egenskaper genom att utveckla det som ingick i försöksplan 1 och 2. Antag att för en punkt på vägnätet beskrivs kontakttryck och axellast med fördelningar enligt Figur 2. Figuren visar marginalfördelningarna och variablerna är inte oberoende. De har skapats så att högre kontakttryck är vanligare vid hög axellast med korrelation om ca 0,31. Fördelningen av axellast är uppdelad i 500 steg. Fördelningen av kontakttryck är uppdelad i 20 steg som senare förskjuts lite av en ändrad axellast för att uppnå den önskade fördelningen och korrelationen. Dessa indelningar är alltså inte egentligen kontinuerliga. De är snarare skapade som ett finmaskigt rutnät md marginalfördelningar som är väldigt lika fördelningarna i Figur 2.
I tidigare analyser har försöksplanerna omfattat att kontakttryck och axellast ändras från ett värde till ett annat i enkla grovmaskiga rutnät men här förskjuts istället hela deras fördelningar. Skillnaden mellan metoder visas i Figur 3. Den övre halvan visar exempel på hur olika värden hos axellast tidigare satts in i beräkningen av töjning för att sedan användas till att beräkna töjningens känslighet. Den nedre halvan visar exempel på hur olika fördelningar av axellaster i fortsättningen sätts in i beräkningen av töjning. I de tidigare beräkningarna förskjuts värdet av axellast som steg i ett grovmaskigt rutnät. Förskjutningen är avståndet i sidled mellan de olika värdena. I de följande beräkningarna förskjuts hela fördelningen där förskjutningen också är steg i ett grovmaskigt rutnät. Förskjutningen är avståndet i sidled mellan de olika fördelningarna. Värdena inom en fördelning representeras av finare steg. Den samtidiga fördelningen av värden på axellast och kontakttryck utgör ett finmaskigt rutnät. Förskjutningen av kontakttryck benämns i fortsättningen ”kontakttryckoffset” och förskjutningen av axellast ”axellastoffset”. Figur 2 visar fördelningarna om både kontakttryckoffset och axellastoffset är 0.
0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0 1 2 3 4 5 Ringtryck (MPa) T äthet
Fördelning av ringtryck
2 4 6 8 10 12 0,00 0,10 Axellast (ton) T äthetFördelning av axellast
Figur 2. Försöksplan 3, fördelningar av kontakttryck och axellast.
Korrelationen mellan kontakttryck och axellast ändras ej vid val av olika offset. Det nämndes ovan att högre kontakttryck är vanligare vid högre axellast. Detta uppnås genom att förskjuta kontakttrycket proportionellt mot axellasten innan någon axellastoffset adderas.
Utgå från ett grovmaskigt rutnät av alla kombinationer av:
• kontakttryckoffset 0,000; 0,025; 0,050; 0,075 eller 0,100 MPa • axellastoffset 0,0; 0,5; 1,0; 1,5 eller 2,0 ton
• Poissons tal 0,300; 0,325; 0,350; 0,375 eller 0,400
Analysen omfattar nu fördelningar med många fordon per punkt i rutnätet. Här införs också att inte alla fordon kör i exakt samma spår. Det grovmaskiga rutnätet omfattar, utöver vad som sagts ovan, även alla kombinationer av
0 5 10 15 Axellast (ton)
Förändring av ett värde
0 5 10 15
Axellast (ton)
T
äthet
Förändring av en fördelning
Figur 3. Förändring av värde respektive fördelning av axellast.
I fortsättningen av den här rapporten redovisas storleken på sidolägesvariation alltid som standard-avvikelse.
I försöksplan 3 införs fördelningar av kontakttryck och axellast samt att fordonen kan ha varierande sidoläge. Alla dessa ändringar motiveras av att man kan tänka sig att en fördelning av fordon med varierande egenskaper representerar verklig last bättre än ett eller några få fordon. Även hastighet ändras av samma orsak. Tidigare har det sagts att hastigheten är 50 km/h men när beräkningen avser en fördelning av fordon så är medel hastigheten 50 km/h. Mer exakt så gäller att hastigheten är normalfördelad med väntevärde 50 och standardavvikelse 2,5 km/h.
Försöksplan 3 omfattar alltså att gå igenom alla kombinationer av nivåer i de 4 förutsättningar som listats ovan. För kompressibilitet är det enkelt att inse vad som menas med att gå igenom alla nivåer men för kontakttryck är det lite svårare. Beräkningen går igenom hela fördelningen av kontakttryck medan försöksplanen avser att bara att gå igenom de ganska få nivåerna av kontakttryckoffset. Analyserna redovisas för samma nivåer som försöksplanen. För axellast resonerar man på samma sätt som för kontakttryck. För sidolägesvariation avser beräkningen att gå igenom ett stort antal fordon med sidolägesvariation 0 m, ett nytt stort antal fordon med sidolägesvariation 0,05 m o.s.v. men försöksplanen avser bara att jämföra resultaten för nivåerna 0 m; 0,05 m o.s.v. med varandra.
Beräkningen avser att härma miljontals fordon men försöksplanen avser att jämföra punkter med lite varierande egenskaper på vägnätet, uttryckt som ett rutnät av tänkbara egenskaper.
Försöksplan 3 är mest komplett och kan härma en situation med varierande egenskaper i asfalten som belastas av fordon med varierande egenskaper. Samtidigt kan planen kännas rätt så abstrakt och vara svår att förstå. Av de försöksplaner som diskuterats ovan bör ändå försöksplan 3 betraktas som huvudförslag till analyserna. Beräkningslasten blir naturligtvis mycket mer omfattande än den var i försöksplan 1 och 2. Antal kombinationer av kontakttryckoffset, axellastoffset, kompressibilitet och sidolägesvariation är snarlikt vad som användes i Försöksplan 2 men här tillkommer att räkna på alla kombinationer av kontakttryck och axellast och att för varje sådan beräkna 10 fordon med slumpmässigt sidoläge enligt den sidolägesvariation som önskas. Underlaget utgörs alltså av ett regelbundet grovmaskigt rutnät av kontakttryckoffset, axellastoffset, kompressibilitet, och sidolägesvariation med ett regelbundet finmaskigt rutnät av kontakttryck och axellast där de olika fordonen har ett slumpmässigt och ej regelbundet sidoläge. Töjningen har beräknats för 62,5 miljoner lastfall.
2.4.
Utdata och särredovisningar
Pedro-modellen beräknar töjningen i en hel skiva men man kan inte med fördel ge ett töjningsmått för hela skivan. Olika delar av skivan har helt olika töjning, vilket framgår av t.ex. Figur 1. Räkne- och redovisningsmetoder väljs delvis olika beroende på vilken försöksplan som använts. De förklaras mer eller mindre utförligt men är oftast av så enkel sort att ingen längre förklaring krävs. Det kan t.ex. vara medelvärde, lägsta värde (min) eller högsta värde (max). De mått som används i de enklare analyserna (försöksplan 1 och 2), och hur de redovisas, är:
• min och max töjning över alla punkter i sidled, redovisat för olika djup • min och max töjning över alla djup, redovisat för olika sidopositioner.
De två punkterna ovan kan förtydligas. Betrakta ett exempel på töjning enligt den skiva som visas i den övre vänstra delen i Figur 4. Det redovisningsområde som begränsas av rektangel A har ett min och ett max. De sammanfattar töjningen över hela djupet men bara för ett område med liten bredd. Sätt in dessa två värden som punkter i det diagram som ska redovisa fördelningen av min och max som funktion av sidoläge, den nedre delen i Figur 4. Beräkna min och max i redovisningsområde B och sätt även in dem i diagrammet. Fortsätt på samma sätt i redovisningsområde C–E och sedan hela vägen. Bind sedan ihop punkterna till en kurva av minvärden och en kurva av maxvärden. Dessa kurvor separeras inte med färger eller symboler, men man ser på värdena vilken som är min- respektive maxkurva.
Kurvorna har mjuk form i de diagram som används i rapporten för redovisning av den här sorten, men här i förklaringen ser kurvorna kantiga ut. Det beror på att motsvarigheten till rektangel A o.s.v. bara är 0,5 cm bred i redovisningen men att den har mycket lägre upplösning här i förklaringen.
En motsvarande kurva som visar min och max som en funktion av djup skapas i den högra delen i Figur 4. Här kommer de två översta punkterna från min och max i redovisningsområde F d.v.s. de beräknas över alla sidolägen. Figuren är roterad så att djupaxeln löper vertikalt men inte med samma skala som skivan i figurens övre vänstra del.
För försöksplan 3 ingår också en utökad redovisningar med följande metoder:
• genomsnittlig töjning inom ett avgränsat område, 0,50 m brett och 0,25 m djupt, centrerat kring spårets centrum
• genomsnittlig töjning inom ett avgränsat område, 0,20 m brett och 0,10 m djupt, centrerat kring spårets centrum
• differens mellan bildrutor som ligger intill varandra i sidled.
Måtten har bestämts utifrån några tankar om vilka egenskaper som kan vara belysande att redovisa. Analysen omfattar genomsnittlig töjning, även uppdelad i olika redovisningsområden, därför att det
−1,0 −0,5 0,0 0,5 1,0 Sidoläge (m) Djup (m) 0,5 0 0 0 0,2 0,2 0,4 0,6 0,8 Töjning A B C D E F G −1,0 −0,5 0,0 0,5 1,0 0,0e+00 1,0e−06 Sidoläge (m) T öjning ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●
Min och max i olika sidoläge
A B C D E 0,0e+00 1,0e−06 Töjning Djup (m) 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 ● ● ● ●
Min och max på olika djup
F
G
Förklaring till min och max
Figur 4. Ett exempel på töjning med förklaring av min och max i olika sidoläge och på olika djup. är ett ganska naturligt mått. Om töjningen är ganska stor men ändå lika stor över ett brett område i sidled så behöver det inte betyda så mycket för formen på vägytan. Om töjningen varierar mellan olika närliggande sidopositioner så kan det däremot vara en varning för att det kommer att bildas spår. Det behövs därför någon redovisning som belyser hur stor skillnad det är mellan töjning i olika sidopositioner. Man bör också försöka upptäcka risk för skjuvspänning genom att söka efter väldigt olika töjning i områden som ligger intill varandra i sidled. Medelvärden förändras beroende på hur stort redovisningsområde som väljs medan min och max inte gör det så länge åtminstone området med mest töjning omfattas. Uppenbart finns flera olika mått som bör beaktas men tyvärr medför det svårigheter när det gäller att föreslå en enkel och sammanhållen redovisning.
3.
Resultat
3.1.
Resultat av känslighetsanalys, försöksplan 1
Figur 5 visar töjningen i basfallet samt vad som händer om man endast höjer kontakttrycket till 1,0 MPa, om man endast höjer axellasten till 10 ton eller om man endast höjer Poissons tal till 0,40. Figuren avser ett fordon per fall och därför har sidolägesvariation mellan fordon ingen mening här.
−1,0 −0,5 0,0 0,5 1,0 Sidoläge (m) Djup (m) 0,5 0 0 0 0,2 0,2 0,4 Basfallet −1,0 −0,5 0,0 0,5 1,0 Sidoläge (m) Djup (m) 0,5 0 0 0 0,2 0,2 0,4 Kontakttryck 1,0 MPa −1,0 −0,5 0,0 0,5 1,0 Sidoläge (m) Djup (m) 0,5 0 0 0 0,2 0,2 0,4 0,6 Axellast 10 ton −1,0 −0,5 0,0 0,5 1,0 Sidoläge (m) Djup (m) 0,5 0 0 0 0,2 0,2 0,4 Poissons tal 0,40
Figur 5. Försöksplan 1, töjning, förändring av en förutsättning i taget jämfört med basfallet.
Alla delfigurerna är normerade på samma sätt så att nivåkurvorna och färgkoderna representerar samma storlek på töjningen.
Figur 6 visar min och max töjning i basfallet vid olika djup (övre bildhalvan) och olika sidoläge (nedre bildhalvan) samt med färgkoder vad som händer om man endast höjer kontakttrycket till 1,0 MPa, om man endast höjer axellasten till 10 ton eller om man endast höjer Poissons tal till 0,40. Töjningens storlek (m/m) framgår. Notera att höjd visas i vertikalled i övre bildhalvan och sidoläge i horisontalled i nedre bildhalvan så att det resultat, min och max töjning, man ska läsa ut byter axel i de två delfigurerna. Detta sätt att byta axel återkommer flera gånger i rapporten.
0,0e+00 5,0e−07 1,0e−06 1,5e−06 2,0e−06 Töjning
Djup (m)
Basfallet och tre olika förändringar i förutsättningarna
0,5 0,3 0,1 0 Basfall 1,0 MPa 10 ton 0,40 −1,0 −0,5 0,0 0,5 1,0 0,0e+00 1,5e−06 Sidoläge (m) T öjning
Basfallet och tre olika förändringar i förutsättningarna
Basfall 1,0 MPa 10 ton 0,40
Figur 6. Försöksplan 1, min och max töjning med förändring av en förutsättning i taget jämfört med bas-fallet. Linjerna visas i färgordningen basfall–svart, kontakttryck–röd, axellast–grön, kompressibilitet– blå.
Det är ganska tydligt att höjt kontakttryck ger högre max töjning nära ytan på ett djup av ca 0,1 m men inte slår igenom speciellt på asfaltskroppens hela djup. Höjd axellast ger högre max töjning ner genom hela djupet och värde på högre kompressibilitet ger lägre max töjning genom hela djupet.
3.2.
Resultat av känslighetsanalys, försöksplan 2
Figur 7 visar på första raden töjningen vid kontakttryck 0,8 (svart) och 1,0 (röd) MPa vid medelvärdesbildning över alla kombinationer av Poissons tal 0,32; 0,36 eller 0,40 och axellast 8; 9 eller 10 ton. För rad 2 och 3 framgår av delfigurernas rubriker vilka två nivåer som visas efter medelvärdesbildning över alla kombinationer av de andra två variablerna. Figuren avser även här ett fordon per fall och därför har sidolägesvariation mellan fordon inte heller här någon mening. Alla delfigurerna har normerats på samma sätt.
Figur 8 visar min och max töjning vid två olika nivåer, låg nivå med svart och hög nivå med röd, för en förutsättning i taget medelvärdesbildat över alla kombinationer av övriga förutsättningar. Raderna avser kontakttryck, axellast och kompressibilitet. Kolumnerna avser djup och sidoposition. Första raden visar
−1,0 −0,5 0,0 0,5 1,0 Sidoläge (m) Djup (m) 0,5 0 0 0 0,2 0,2 0,4 Kontakttryck 0,8 MPa −1,0 −0,5 0,0 0,5 1,0 Sidoläge (m) Djup (m) 0,5 0 0 0 0,2 0,2 0,4 Kontakttryck 1,0 MPa −1,0 −0,5 0,0 0,5 1,0 Sidoläge (m) Djup (m) 0,5 0 0 0 0,2 0,2 0,4 Axellast 8 ton −1,0 −0,5 0,0 0,5 1,0 Sidoläge (m) Djup (m) 0,5 0 0 0 0,2 0,2 0,4 0,6 Axellast 10 ton −1,0 −0,5 0,0 0,5 1,0 Sidoläge (m) Djup (m) 0,5 0 0 0 0,2 0,2 0,4 0,6 Poissons tal 0,32 −1,0 −0,5 0,0 0,5 1,0 Sidoläge (m) Djup (m) 0,5 0 0 0 0,2 0,2 0,4 Poissons tal 0,40
Figur 7. Försöksplan 2, töjning vid minsta eller största värdet i en av förutsättningarna efter medel-värdesbildning där alla andra förutsättningar varieras enligt ett rutnät. Rad 1 visar töjningen för minsta och största kontakttryck i rutnätet. Rad 2 och 3 visar motsvarande bilder för minsta och största axellast respektive minsta och största kompressibilitet.
töjningen vid kontakttryck 0,8 och 1,0 MPa i genomsnitt över alla kombinationer av axellast 8; 9 eller 10 ton och Poissons tal 0,32; 0,36 eller 0,40. För rad 2 och 3 framgår av delfigurernas rubriker vilka två nivåer som visas efter medelvärdesbildning över alla kombinationer av de andra två variablerna. Resultaten är sammanfattningsvis väldigt lika resultaten från försöksplan 1 och kommenteras därför inte speciellt här. Likheten betyder, så vitt man kan se så här långt, att effekten av att ändra en variabel när andra hålls på sin genomsnittsnivå är ungefär densamma som den genomsnittliga effekten av att ändra den variabeln medelvärdesbildat över alla värden de andra variablerna kan anta.
3.3.
Resultat av känslighetsanalys, försöksplan 3
Figur 9–12 visar hur töjningen förändras när man låter en förutsättning gå mellan ytterligheter i de nivåer som den förutsättningen varierar mellan, medelvärdesbildat över alla nivåer i de övriga förutsättningarna. För kontakttryck och axellast betyder alltså redovisningen att man ser på betydelsen av ändrad kontakttryckoffset respektive axellastoffset utan att redovisa över alla steg i det finmaskiga
0,0e+00 5,0e−07 1,0e−06 1,5e−06 2,0e−06 Töjning
Djup (m)
Kontakttryck 0,8 och 1,0 MPa
0,5
0,3
0,1
0
0,0e+00 5,0e−07 1,0e−06 1,5e−06 2,0e−06
Töjning
Djup (m)
Axellast 8 och 10 ton
0,5
0,3
0,1
0
0,0e+00 5,0e−07 1,0e−06 1,5e−06 2,0e−06
Töjning
Djup (m)
Poissons tal 0,32 och 0,40
0,5 0,3 0,1 0 −1,0 −0,5 0,0 0,5 1,0 0,0e+00 1,5e−06 Sidoläge (m) T öjning
Kontakttryck 0,8 och 1,0 MPa
−1,0 −0,5 0,0 0,5 1,0 0,0e+00 1,5e−06 Sidoläge (m) T öjning
Axellast 8 och 10 ton
−1,0 −0,5 0,0 0,5 1,0 0,0e+00 1,5e−06 Sidoläge (m) T öjning
Poissons tal 0,32 och 0,40
Figur 8. Försöksplan 2, min och max töjning vid redovisning av minsta eller största värdet i en av förutsättningarna när alla andra förutsättningar varieras enligt ett rutnät. Rad 1 visar töjningen för minsta och största kontakttryck i rutnätet. Rad 2 och 3 visar motsvarande bilder för minsta och största axellast respektive minsta och största kompressibilitet.
rutnät som presenterades i början av Kapitel 2.3.3. Alla de 8 delfigurer har samma färgskala och nivåkurvor. Det kan upprepas att först här ingår sidolägesvariation bland förutsättningarna.
I försöksplan 1 beräknas modellen på ett fall i taget och jämförs med basfallet. I försöksplan 2 beräknas modellen i flera men ändå ganska få fall men skillnaden mellan dem utgörs ej av att fordonen har olika sidoläge. I försöksplan 3 jämförs däremot effekten av olika förändrade egenskaper som, förutom när sidolägesvariationen själv ska undersökas, innebär att man medelvärdesbildar över en uppsättning fordon med sidolägesvariation 0 m, en andra uppsättning fordon med sidolägesvariation 0,05 m o.s.v. upp till en 5:e uppsättning fordon med sidolägesvariation 0,20 m. Om man t.ex. ser på betydelsen av kompressibilitet genom att jämföra de två delfigurerna inom Figur 11 så är båda delfigurerna relativt olika motsvarande figurer inom försöksplan 1 (övre vänstra och nedre högra delfiguren inom Figur 5) och 2 (de två nedre delfigurerna inom Figur 7). Här representerar de den genomsnittliga töjningen av
−1,0 −0,5 0,0 0,5 1,0 Sidoläge (m) Djup (m) 0,5 0 0 0 0,2 0,2 0,4 0,6
Kontakttryckoffset 0 MPa
−1,0 −0,5 0,0 0,5 1,0 Sidoläge (m) Djup (m) 0,5 0 0 0 0,2 0,2 0,4 0,6Kontakttryckoffset 0,1 MPa
Figur 9. Försöksplan 3, jämförelse mellan lägsta och högsta kontakttryckoffset medelvärdesbildat över alla kombinationer av andra förutsättningar.
många fordon med en sidolägesvariation i storleksordningen 0,10 m1 medan de tidigare representerade endast 1 fordon, eller medelvärdet av eller flera identiska fordon med sidolägesvariation 0.
För sidolägesvariation har värdet 0 en helt annan logisk innebörd än t.ex. axellast 0 så det finns inte kvar något rimligt sätt att variera ungefär ”lika mycket” i varje förutsättning. Valet av yttersta värden är inte heller detsamma som i försöksplan 1 och 2! Man bör därför inte söka någon detaljerad jämförelse mellan försöksplan 3 och någon av de tidigare försöksplanerna mer än att grovt se på hur figurerna ändras.
Figur 13 visar min och max töjning vid två olika nivåer, låg nivå med svart och hög nivå med röd, för en förutsättning i taget medelvärdesbildat över alla kombinationer av övriga förutsättningar. Delfigurernas rubriker visar vilken av variablerna som ändrats. Delfigurerna i vänstra kolumnen visar töjningen uppdelat på olika djup. Högra kolumnen visar töjningen uppdelat på sidopositioner. Alla bilderna har samma skala.
1Ej exakt 0,10 m eftersom den genomsnittliga töjningen vid en fördelning av sidolägesvariation ej generellt sammanfaller med den genomsnittliga töjningen vid den förväntade sidolägesvariationen eller vid någon annan konstant sidolägesvariation.
−1,0 −0,5 0,0 0,5 1,0 Sidoläge (m) Djup (m) 0,5 0 0 0 0,2 0,2 0,4
Axellastoffset 0 ton
−1,0 −0,5 0,0 0,5 1,0 Sidoläge (m) Djup (m) 0,5 0 0 0 0,2 0,2 0,4 0,6Axellastoffset 2 ton
Figur 10. Försöksplan 3, jämförelse mellan lägsta och högsta axellastoffset medelvärdesbildat över alla kombinationer av andra förutsättningar.
Känslighet mot kontakttryck Resultatet enligt försöksplan 3 är ungefär detsamma som för försöksplan 1. Relativa skillnaden mellan lägsta och högsta kontakttryck är jämförbar med tidigare resultat om man också beaktar att området först var 0,8–1,0 MPa, nu i genomsnitt ändrat över ett spann om 0,1 MPa runt ett medelvärde som är i samma region som de tidigare värdena. Känslighet mot axellast Resultatet enligt försöksplan 3 är ungefär detsamma som för försöksplan 1. Känslighet mot kompressibilitet Resultatet enligt försöksplan 3 är ungefär detsamma som för
försöksplan 1. Relativa skillnaden mellan lägsta och högsta kompressibilitet är jämförbar med tidigare resultat om man också beaktar att ett lite bredare intervall av kompressibilitet har valts här.
Känslighet mot sidolägesvariation Det finns ingen möjlighet att jämföra med tidigare resultat. Utifrån figurerna får man intrycket att max töjning sjunker tydligt med ökande
sidolägesvariation. Man ser att töjningen i den mest utsatta delen sjunker till ca en tredjedel om man går från ingen sidolägesvariation till en variation av storlek 0,20 m, eller till ca två
−1,0 −0,5 0,0 0,5 1,0 Sidoläge (m) Djup (m) 0,5 0 0 0 0,2 0,2 0,4 0,6
Poissons tal 0,3
−1,0 −0,5 0,0 0,5 1,0 Sidoläge (m) Djup (m) 0,5 0 0 0 0,2 0,2 0,4Poissons tal 0,4
Figur 11. Försöksplan 3, jämförelse mellan lägsta och högsta kompressibilitet medelvärdesbildat över alla kombinationer av andra förutsättningar.
3.4.
Resultat av utökad känslighetsanalys, försöksplan 3
De metoder som diskuterats ovan är beräknade på data från var och en av de 3 försöksplanerna. Resultaten kan, åtminstone i viss omfattning, jämföras mellan försöksplanerna. Försöksplan 3 betraktas som den försöksplan man i huvudsak bör hålla sig till och några metoder har bara tillämpats på försöksplan 3. Dessa metoder redovisas här.
3.4.1. Genomsnittlig töjning i ett avgränsat område, försöksplan 3
Genomsnittlig töjning över en stor skiva kan uppfattas som ganska ointressant eftersom den del som påverkas är ganska koncentrerad runt lastcentrum medan det som ligger en bit ut åt sidorna blir närmast opåverkat. Här beräknas genomsnittlig töjning över ett delområde, 0,25 m djupt och 0,50 m brett centrerat kring lastens centrum (eller dess förväntade centrum ifall sidolägesvariation förekommer). Medelvärdet beräknas för varje kombination av förutsättningar enligt det grovmaskiga rutnätet i försöksplan 3. Medelvärdesbildningen avser alltså medelvärdesbildning över fördelningarna av kontakttryck och axellast. Medelvärdet analyseras sedan med en regressionsanalys mot de varierande nivåerna i försöksplanens grovmaskiga rutnät.
−1,0 −0,5 0,0 0,5 1,0 Sidoläge (m) Djup (m) 0,5 0 0 0 0,2 0,2 0,4 0,6 0,8
Sidoläge SD 0 m
−1,0 −0,5 0,0 0,5 1,0 Sidoläge (m) Djup (m) 0,5 0 0 0 0,2 0,2Sidoläge SD 0,2 m
Figur 12. Försöksplan 3, jämförelse mellan lägsta och högsta sidolägesvariation medelvärdesbildat över alla kombinationer av andra förutsättningar.
I vanliga fall avser en regressionsanalys att studera samband där det finns slumpmässiga störningar i responsvariabeln, men här används genererade data från en deterministisk modell. Det finns en liten slumpmässig komponent som uppstår därför att sidoläget ändras slumpmässigt, men på det stora hela bör man se på data som att responsen är bestämd av modellen. Regressionsanalysen bör därför betraktas som en utjämning eller som ett sätt att bestämma huvudeffekter med en minstakvadratanpassning. Alltså ett sätt att ersätta den komplicerade Pedro-modellen med ett plan i rymden som valts med minstakvadratmetoden utifrån ett underlag som omfattar de punkter som ingår i försöksplanen. Det finns därför ingen mening med att redovisa test eller P-värden. Tabell 1 visar de skattade koefficienterna. Tabell 1. Koefficienter då genomsnittlig töjning i redovisningsområde med bredd 0,50 m och djup 0,25 m anpassas med regressionsanalys.
(Intercept) 1,127e-06
Kontakttryckoffset 1,503e-08
Axellastoffset 6,759e-08
Poissons tal -1,721e-06
0,0e+00 5,0e−07 1,0e−06 1,5e−06 Töjning Djup (m) 0,5 0,3 0,1
Kontakttryckoffset 0 och 1 MPa
−1,0 −0,5 0,0 0,5 1,0 0,0e+00 1,5e−06 Sidoläge (m) T öjning
Kontakttryckoffset 0 och 1 MPa
0,0e+00 5,0e−07 1,0e−06 1,5e−06
Töjning
Djup (m)
0,5
0,3
0,1
Axellastoffset 0 och 2 ton
−1,0 −0,5 0,0 0,5 1,0 0,0e+00 1,5e−06 Sidoläge (m) T öjning
Axellastoffset 0 och 2 ton
0,0e+00 5,0e−07 1,0e−06 1,5e−06
Töjning
Djup (m)
0,5
0,3
0,1
Poissons tal 0,3 och 0,4
−1,0 −0,5 0,0 0,5 1,0 0,0e+00 1,5e−06 Sidoläge (m) T öjning
Poissons tal 0,3 och 0,4
0,0e+00 5,0e−07 1,0e−06 1,5e−06
Töjning Djup (m) 0,5 0,3 0,1 Sidoläge SD 0,0 och 0,2 m −1,0 −0,5 0,0 0,5 1,0 0,0e+00 1,5e−06 Sidoläge (m) T öjning Sidoläge SD 0,0 och 0,2 m
Figur 13. Försöksplan 3, max töjning på olika djup och i olika sidoläge. I genomsnitt ändras alltså töjningen i det avgränsade området på följande sätt:
1. töjningen ökar ca 0,015 µm/m om hela kontakttryckfördelningen flyttar uppåt 1 MPa 2. töjningen ökar ca 0,068 µm/m om hela axellastfördelningen flyttar uppåt 1 ton 3. töjningen sjunker ca 1,7 µm/m om Poissons tal ökar med 1
4. töjningen sjunker ca 0,79 µm/m om sidolägesvariationen uttryckt som standardavvikelse ökar 1 meter.
Koefficienternas betydelse och relativa storleksordning kan vara svår att läsa ut även om redovisningen är korrekt eftersom man måste göra enhetsomvandlingar. Det kan t.ex. uppfattas som lite osmidigt att redovisa betydelsen av att ändra Poissons tal 1 enhet om ändå bredden hos ett intressant intervall för kompressibilitet är betydligt kortare än 1 enhet. Figur 14 redovisar marginalmedelvärden av töjning i de olika punkterna som använts i det grovmaskiga rutnätet i försöksplan 3. Här kan man få en uppfattning om de olika variablernas betydelse och relativa ordning inom de undersökta intervallen. Bilden ger inte några data över variationsområdet för de olika variablerna, men nivåerna gavs på sida 17 och visas här med färgkoder.
Genomsnittlig töjning
4e−07 5e−07 6e−07
Sidoläge SD Poissons tal Axellastoffset Kontakttryckoffset ●●●●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● Högsta nivå . . . Lägsta nivå
Marginalmedelvärden av töjning, försökplan 3
Figur 14. Försöksplan 3, marginalmedelvärden av töjning i ett avgränsat område.
Figuren kan också användas för att bedöma om det är lämpligt att approximera med ett plan i rymden. Betydelsen av kontakttryckoffset för den genomsnittliga töjningen i det avgränsade området är liten medan betydelsen av axellastoffset, kompressibilitet och sidolägesvariation är betydligt större och av ungefär samma storleksordning. Kompressibilitet och axellastoffset har en enkel sambandsform mot genomsnittlig töjning medan sidolägesvariation inte har en lika enkel form. Speciellt för sidoläges-variationen ser man att den genomsnittliga töjningen förändras med ojämn steglängd vilket kan antyda att regressionsfunktionen är en alltför enkel representation av den verkliga funktionsformen.
Förklaringsgraden blir här ett mått på hur bra likhet man får mellan Pedro-modellen och en förenkling till ett plan. Den blir ca 0,96 redan med denna enkla framställning som inte har några termer av högre ordning. Det betyder att trots att modellen är ickelinjär och att hanteringen av sidolägesvariation är svårbedömd så passar den förhållandevis bra till ett plan i rymden inom det område som granskats. Pedro-modellen beräknar töjningen som funktion av kontakttryck, axellast och kompressibilitet (samt hastighet och viskositet) men man uppnår inte ändå förklaringsgrad 1 därför att regressionsmodellen är linjär medan Pedro-modellen inte är det. Den oregelbundna effekten av sidolägesvariation förklaras till stor del av att det avgränsade området är så smalt att en del av töjningen ”läcker” utanför redovisningsområdet vid större sidolägesvariation och att den delen växer på ett icke-linjärt sätt vid ökande sidolägesvariation.
Om man lägger till termer av andra ordningen (tvåfaktorinteraktioner och kvadrater) en i taget så är det tydligt att kvadrerad sidolägesvariation ger det största tillskottet till förklaringen. Man kan gissa att det ska bli så, åtminstone så länge man bara jämför de kvadratiska termerna, därför att enligt Figur 14 förändras inte töjningen rätlinjigt i förhållande till sidolägesvariationen men den förändras så att ändringshastigheten i töjning verkar sammanfalla med nivån av sidolägesvariationen. Det är precis vad man förväntar sig av en sambandsfunktion med en kvadratisk term. Töjningen ändras däremot nära rätlinjigt i förhållande till hur man varierar de övriga förutsättningarna så det är inte väntat att anpassningen ska bli avsevärt bättre för en funktion med andra kvadrattermer.
Förklaringsgraden går upp till ca 0,999 om man lägger till alla termer av andra ordningen. Detta tillägg betyder att man ersätter ett ”slätt” plan i rymden mot ett som är ”böjt” inom vissa ramar. Det kan t.ex. vara skålformat men inte S-format med endast andra ordningens termer tillagda. Det är tydligt att det ger en form som är mycket nära den exakta modellen men formen är svårare att uttrycka. Avsikten här är att visa huvuddragen i modellens egenskaper uttryckt som känslighet. Då det inte är ett mål att hitta en perfekt polynomapproximation av Pedroså kan den enkla modell som visas ovan anses vara en god kompromiss mellan att vara korrekt och samtidigt vara enkel.
Om man jämför resultaten ovan med Figurerna 10 t.o.m. 12 så ser regressionskoefficienterna ut att möjligen underskatta betydelsen av ett varierande sidoläge. Responsvariabeln i regressionsanalysen är medelvärdet i en 0,50 m bred och 0,25 m hög del centrerad i sidled, vilket medelvärdesbildar över ganska olika töjningar. Delområdet bör vara så litet att det utesluter mindre intressanta områden men samtidigt så stort att det inte i praktiken är max som visas då det redan förekommer i annan redovisning. Regressionsanalys av ett mindre delområde av bredd 0,2 m och djup 0,1 m med i övrigt samma förutsättningar ger de skattade koefficienterna som visas i Tabell 2. Skillnaden mellan analyserna Tabell 2. Koefficienter då genomsnittlig töjning i redovisningsområde med bredd 0,20 m och djup 0,10 m anpassas med regressionsanalys.
(Intercept) 2,199e-06
Kontakttryckoffset 1,902e-07
Axellastoffset 9,316e-08
Poissons tal -3,085e-06
Sidolägesvariation -3,946e-06
är större för sidolägesvariation och mycket större för kontakttryckoffset än för kompressibilitet och axellastoffset. Det betyder att om man försöker bedöma betydelsen av olika variabler så får man ganska olika svar beroende på vilket delområde man skär av och beräknar redovisningen för!
3.4.2. Samtidiga jämförelser i två dimensioner, försöksplan 3
Figur 15–20 visar hur 2 variabler i taget påverkar töjningen. I varje huvudfigur har två variabler kombinerats så att alla fyra kombinationer av ytterligheter redovisas i varsin delfigur. Töjningen har medelvärdesbildats över alla 25 kombinationer av de 2 variabler som inte varierats mellan delfigurerna. Färgskalan är jämförbar mellan delfigurer inom samma huvudfigur men inte mellan huvudfigurer. Det är svårt att läsa ut alla egenskaper direkt ur den grafiska redovisningen. En del av de egenskaper som diskuteras nedan är beräknade från de data som utgör underlaget till bilderna. Det är framför allt tre olika egenskaper som de här bilderna har använts till
1. Att avgöra om modellen kan betraktas som additiv: Om betydelsen av att ändra en förutsättning är lika stor oavsett värdet på andra förutsättningar så är modellen additiv och det går enkelt att diskutera känslighet m.m. Om betydelsen av att ändra en förutsättning varierar beroende på andra förutsättningar så är modellen ej additiv och effekten kan inte heller enkelt beskrivas med endast en marginaleffekt. Det medför också att betydelsen av variation eller osäkerhet i indata inte kan uttryckas på något enkelt sätt.
2. Att avgöra om redovisningsområdets storlek ser ut att påverka huruvida modellen i huvudsak kan betraktas som additiv: Modellen kan t.ex. uppträda som additiv i stora drag om man räknar genomsnittlig töjning över ett större område men inte i ett mindre område. Här jämförs ett större
område, 0,50 m brett och 0,25 m djupt, ett mindre område 0,10 m brett och 0,10 m djupt (0,05 till 0,15 m från ytan) och en enskild bildruta 0,05 x 0,05 m där töjningen är störst.
3. Att avgöra om djupet där max töjning återfinns ändras och om den ändringen kan betraktas som additiv: Valet av redovisningsområde försvåras också av om djupet för max töjning ändras mellan lastfall. För ett redovisningsområde med liten utsträckning i höjdled kan man riskera att missa väsentlig information om töjningen till stor del finns utanför det valda redovisningsområdet. Om ickeadditiv effekt förekommer så blir egenskaperna svåra att sammanfatta och känsligheten svår att uttrycka på ett kortfattat sätt. Om ickeadditivitet förekommer men olika uttalat på olika redovisningsområden så kan en enklare redovisningsmetod användas på ett redovisningsområde medan en annan metod måste användas på ett annat redovisningsområde. Om töjningen, det mer röda området i figurerna, förskjuts i höjdled vid ändrade förutsättningar så medför det också att valet av redovisningsområde för större betydelse. Förskjutning i sidled kan inte förekomma av mer än försumbar omfattning i den här försöksplanen, men formen kan ändå ändras (symmetriskt) i sidled.
Figur 15 visar ett additivt beteende. Töjningen påverkas av kontakttryckoffset och axellastoffset men påverkan av den ena är densamma oavsett nivån på den andra och omvänt. Även djupet där max töjning återfinns ändras av kontakttryckoffset och axellastoffset men ändringen är liten, endast någon centimeter. Figur 16 visar ett additivt beteende på både töjning och djup för max töjning. Figur 17 visar ett komplicerat beteende. Töjningen är större vid ingen sidolägesvariation än vid sidolägesvariation 0,2 m men skillnaden är större vid 0,1 MPa kontakttryckoffset än vid 0 MPa kontakttryckoffset. Detta syns i det mindre redovisningsområdet men syns nästan inte alls i det större. Däremot är den ickeadditiva effekten på djupet för max töjning närmast obefintlig. Djupet för max töjning är större vid större sidolägesvariation men den effekten påverkas ej av kontakttryckoffset. Figur 18 visar icke-additiv effekt på töjningen. Betydelsen av höjd axellastoffset är större vid Poissons tal 0,3 än vid 0,4. Effekten blir dessutom större vid medelvärdesbildning över det större redovisningsområdet. Effekten på djupet för max töjning är endast additiv. Figur 19 visar icke-additiv effekt på töjningen. Betydelsen av höjd axellastoffset är större vid ingen sidolägesvariation än vid sidolägesvariation 0,2 m. Effekten blir mindre vid medelvärdesbildning över det större redovisningsområdet. Effekten på djupet för max töjning är endast additiv. Figur 20 visar icke-additiv effekt på töjningen och på djupet för max töjning. Töjningen sjunker med större Poissons tal men betydelsen är mindre uttalad vid stor sidolägesvariation och minskar vid större redovisningsområde. Högre Poissons tal gör att djupet för max töjning förskjuts nedåt och den effekten är mer tydlig vid högre sidolägesvariation. Inom den här rapporten görs inte något försök att utöka redovisningen till att omfatta samtidig jämförelse av tre eller fyra variabler (kontakttryck, axellast, kompressibilitet, sidolägesvariation). Man kan betrakta jämförelserna ovan som tredimensionella eftersom de försöker att ta samtidig hänsyn till två av variablerna samt till redovisningsområdet storlek, men den senare har inte egentligen varit föremål för någon försöksplanering.
3.4.3. Differens mellan intilliggande bildrutor, försöksplan 3
Figur 21 och 22 visar differensen mellan bildrutor bredvid varandra i sidled. Vit färg ger att bildrutan till höger har större trycktöjning än bildrutan till vänster. Grå färg visar ett det inte är någon större skillnad. Svart färg visar att bildrutan till höger har lägre trycktöjning än bildrutan till vänster. Figurerna visar samma sak men med olika normering, sådan att delfigurer har jämförbar gråskala i Figur 21 medan delfigurerna i 22 ej kan jämföras med varandra.
För den här typen av beräkning kommer storleken på skillnaden mellan intilliggande bildrutor att variera med bildrutornas storlek. Det är därför oklart hur man ska kunna ge en skala. Redovisningen bör mer handla om jämförelse mellan förklaringsvariabler, så som också kan läsas ut ur gråskalan i Figur 21.
3.5.
Generella resultat av känslighetsanalyserna
Studien omfattar att se på hur töjning fördelar sig mellan olika djup och olika sidolägen samt att se på hur den medelvärdesbildas i två små redovisningsområden. Töjningen redovisas som min och max samt som medelvärde.
−1,0 −0,5 0,0 0,5 1,0 Sidoläge (m) Djup (m) 0,5 0 0 0 0,2 0,2 0,4 Kontakttryckoffset 0 MPa Axellastoffset 0 ton −1,0 −0,5 0,0 0,5 1,0 Sidoläge (m) Djup (m) 0,5 0 0 0 0,2 0,2 0,4 0,4 0,6 Kontakttryckoffset 0 MPa Axellastoffset 2 ton −1,0 −0,5 0,0 0,5 1,0 Sidoläge (m) Djup (m) 0,5 0 0 0 0,2 0,2 0,4 Kontakttryckoffset 0,1 MPa Axellastoffset 0 ton −1,0 −0,5 0,0 0,5 1,0 Sidoläge (m) Djup (m) 0,5 0 0 0 0,2 0,2 0,4 0,4 0,6 Kontakttryckoffset 0,1 MPa Axellastoffset 2 ton
Figur 15. Försöksplan 3, betydelsen av kontakttryckoffset och axellastoffset, samma färgskala i alla delfigurer.
Resultaten går inte att sammanställa på ett kompakt och heltäckande sätt. De ändras beroende på bl.a. val av redovisningsområde med åtföljande svårighet att redovisa känslighet. Resultaten sammanfattas därför mycket generellt här.
Ökad sidolägesvariationen ger en mindre koncentrerad töjning. Det syns tydligt i redovisningen av den högsta töjningen och det syns även på den genomsnittliga töjningen inom ett förhållandevis smalt redovisningsområde. Ökad Sidolägesvariation ger samtidigt att det djup där max töjning återfinns förskjuts djupare ned i asfaltskroppen. Sidolägesvariationen har således en förhållandevis komplicerad påverkan på töjningen.
Ökat kontakttryck ger en ökad töjningen på ca 0,05–0,10 m djup men har väldigt liten effekt djupt ned i asfaltskroppen. Ändrad axellast eller kompressibilitet ger däremot ändrad töjning på ganska likartat sätt ned genom asfaltskroppens hela djup. Man kan därmed inte enkelt föreslå en redovisningsmetod som passar till både kontakttryck, axellast och kompressibilitet. Resultat på stora djup ska tolkas med viss försiktighet eftersom asfaltslagrets verkliga tjocklek kan vara lägre än höjden på det redovisningsområde som används i vissa beräkningar här.
−1,0 −0,5 0,0 0,5 1,0 Sidoläge (m) Djup (m) 0,5 0 0 0 0,2 0,2 0,4 0,4 0,6 Kontakttryckoffset 0 MPa Poissons tal 0,3 −1,0 −0,5 0,0 0,5 1,0 Sidoläge (m) Djup (m) 0,5 0 0 0 0,2 0,2 0,4 Kontakttryckoffset 0 MPa Poissons tal 0,4 −1,0 −0,5 0,0 0,5 1,0 Sidoläge (m) Djup (m) 0,5 0 0 0 0,2 0,2 0,4 0,4 0,6 0,8 Kontakttryckoffset 0,1 MPa Poissons tal 0,3 −1,0 −0,5 0,0 0,5 1,0 Sidoläge (m) Djup (m) 0,5 0 0 0 0,2 0,2 0,4 Kontakttryckoffset 0,1 MPa Poissons tal 0,4
Figur 16. Försöksplan 3, betydelsen av kontakttryckoffset och kompressibilitet, samma färgskala i alla delfigurer.
Sidolägesvariationens påverkan på töjningen är inte rätlinjig. En ändring av sidolägesvariationen från 0,05 till 0,10 m är inte lika stor som en ändring från 0,10 till 0,15 m. För de övriga variablerna ser funktionen enklare ut.
I inledningen nämndes betydelsen av att förstå hur variation i utdata beror av variation i indata, vilket också skulle ge möjlighet att förstå hur eventuell osäkerhet i indata ger osäkerhet i utdata. Rapporten har inte gett något konkret svar på frågor av den sorten och förklaringen är att olika variabler påverkar på olika och inte enkelt jämförbara sätt. Vi ser att vissa ändrade förutsättningar har förmåga att slå på asfaltskroppens hela djup medan andra inte har det. Vi ser på andra förutsättningar att effekten är nära rätlinjig men i andra fall inte är det. Redovisningen har valts för att mycket generellt visa hur töjningen påverkas när man ändrar förutsättningarna. Att mer i detalj diskutera vad som händer när man ändrar på en förutsättning kan komma att kräva att man fixerar andra, bl.a. bredd och djup på redovisningsområdet. Det kan ge en enklare känslighetsanalys men det finns risk att det blir representativ endast om redovisningsområdet verkligen valts på bästa sätt.
Det beräknade underlaget består av 625 matriser. Antalet 625 följer av att beräkningen omfattar alla kombinationer av de 5 värdena på kontakttryckoffset, axellastoffset, Poissons tal och sidolägesvariation.
−1,0 −0,5 0,0 0,5 1,0 Sidoläge (m) Djup (m) 0,5 0 0 0 0,2 0,2 0,4 Kontakttryckoffset 0 MPa Sidoläge SD 0 m −1,0 −0,5 0,0 0,5 1,0 Sidoläge (m) Djup (m) 0,5 0 0 0 0,2 0,2 Kontakttryckoffset 0 MPa Sidoläge SD 0,2 m −1,0 −0,5 0,0 0,5 1,0 Sidoläge (m) Djup (m) 0,5 0 0 0 0,2 0,2 0,4 Kontakttryckoffset 0,1 MPa Sidoläge SD 0 m −1,0 −0,5 0,0 0,5 1,0 Sidoläge (m) Djup (m) 0,5 0 0 0 0,2 0,2 Kontakttryckoffset 0,1 MPa Sidoläge SD 0,2 m
Figur 17. Försöksplan 3, betydelsen av kontakttryckoffset och sidolägesvariation, samma färgskala i alla delfigurer.
Varje matris består av 400 × 100 bildrutor. Varje bildruta representerar ett genomsnitt över 100 000 fordon med varierande egenskaper och sidoläge. Data för varje enskilt fordon har inte sparats. Om man vill beräkna känslighet för en viss avgränsning i egenskaper eller i redovisningsområde så kan man göra ett begränsat uttag ur de sparade data och använda det för vidare beräkning.
3.6.
Ett exempel på osäkerhetsanalys
Osäkerhetsanalys och känslighetsanalys svarar på olika frågor även om de också har stora likheter. All känslighetsanalys ovan avser att på olika sätt och med olika grad av förenkling beskriva hur ändringar i förutsättningarna ger ändringar i modellens utdata. I det exempel som följer här är avsikten mer att beskriva hur stor osäkerhet man får i modellens utdata om man använder den med osäkra indata. Ett önskemål var från början att uttrycka osäkerhet som en funktion av känslighetsanalysens resultat och osäkerhet i indata, men här har den ansatsen övergivits och känslighetsanalysen utförs helt empiriskt.
