Elevers förståelse och svårigheter av decimaltalens storlek. : - En litteraturstudie om elevers förståelse och svårigheter av decimaltalens storlek utifrån matematikdidaktisk forskning.

Elevers förståelse och

svårigheter av

decimaltalens storlek

- En litteraturstudie om elevers förståelse och svårigheter av

decimaltalens storlek utifrån matematikdidaktisk forskning.

KURS:Självständigt arbete för grundlärare F-3 och 4-6, 15 hp PROGRAM: Grundlärarprogrammet årskurs 4-6

FÖRFATTARE: Mirela Bosnjak, Sara Sandin EXAMINATOR: Annica Otterborg

JÖNKÖPING UNIVERSITY Självständigt arbete för grundlärare F-3 och 4-6, 15hp School of Education and Communication Grundlärarprogrammet med inriktning mot arbete i

grundskolans årskurser 4-6

Vårterminen 2020

SAMMANFATTNING

___________________________________________________________________________ Mirela Bosnjak, Sara Sandin

Elevers förståelse och svårigheter av decimaltalens storlek.

- En litteraturstudie om elevers förståelse och svårigheter av decimaltalens storlek utifrån matematikdidaktisk forskning.

Students´ understanding and difficulties of decimal magnitude.

- A study about students` understanding and difficulties of decimal magnitude from mathematic didactic research.

Antal sidor: 24

_____________________________________________________________________________________

Elever runt om i världen har dokumenterande svårigheter för kunskapsområdet tal i decimalform i matematiken. Syftet med denna studie är att undersöka elevers förståelse och svårigheter av decimaltalens storlek utifrån matematikdidaktisk forskning. Det granskade materialet består av internationella vetenskapliga artiklar insamlade via databaser. För att besvara frågeställningarna har de vetenskapliga artiklarnas innehåll analyserats med hjälp av kriterier och urval. Vid analys av datamaterialet upptäcktes att forskningen genom åren haft stort fokus på kategorisering av olika missuppfattningar i ämnesområdet. Begreppet ”conceptual change” förekom i samma kontext som decimaltalen. Det lyfts i studien eftersom detta bidrar till att kartlägga hur elevernas förståelse kan se ut. Resultatet visade att missuppfattningar var vanligt förekommande hos elever men de såg olika ut för de yngre respektive de äldre eleverna. Ett problem som lyfts i studien utgår ifrån de tre reglerna; heltal-, bråk- och nollregeln. Dessa kan ses som olika progressionssteg som är en naturlig del i elevernas utveckling. Svårigheter och missuppfattningar kan uppstå om eleven fastnar och inte lyckas ta sig vidare till nästa steg. Förslag till vidare forskning presenteras där framförallt svensk forskning efterfrågas.

_____________________________________________________________________________ Sökord: förståelse, svårigheter, decimaltal, missuppfattningar, heltalsregeln

Innehållsförteckning

3.4 Svårigheter och missuppfattningar ... 5

4 Metod ... 7

4.1 Informationssökning ... 7

4.2 Genomförande ... 9

4.3 Materialanalys ... 11

5 Resultat ... 12

5.1 Kategorisering av missuppfattningar i den äldre forskningen ... 13

5.2 “Conceptual change” ... 14

5.3 Vanliga missuppfattningar hos yngre elever ... 15

5.3.1 Positionsvärde ... 16

5.4 Vanliga missuppfattningar hos äldre elever ... 16

5.4.1 Jämföra storleken... 17 6 Diskussion ... 19 6.1 Metoddiskussion ... 19 6.2 Resultatdiskussion ... 20 6.3 Vidare forskning ... 24 7 Litteraturförteckning: ... 25 8 Bilagor ... 1

1

1 Inledning

Utan kunskaper om tal i decimalform kommer mycket i elevernas vardag bli obegripligt. Det kommer att bli svårt för eleverna att fungera ute i samhället där de möter tal i decimalform i bland annat tid, recept och pris. Heltalen är konkreta och lätta för eleverna att förstå till skillnad från tal i decimalform som ligger på en mer abstrakt nivå. Detta kan leda till att eleverna använder sina redan existerande kunskaper om heltalen när de möter tal i decimalform. Denna missuppfattning kan följa med eleverna upp i de högre skolåldrarna (Roche, 2010, s. 5). Vi tror att en anledning till komplexiteten kring tal i decimalform kan bero på hur de behandlas i vardagen, både hur de representeras skriftligt men även hur de representeras muntligt. Detta finner vi även i läroplanen där det står att eleverna ska utveckla kunskaper om tal i decimalform och deras användning i vardagen (Skolverket, 2019a, s. 56). En grundläggande del i matematiken är taluppfattningen. För att eleverna ska utveckla en god taluppfattning behöver de kunskaper om de rationella talen vilket även styrdokumenten anser att eleverna ska tillägna sig (Skolverket, 2019, s.56).

Lärandet av tal i decimalform behöver därför lyftas fram och framförallt behövs kunskaper kring elevers förståelse. I studien har vi valt att lägga fokus på en mindre aspekt av tal i decimalform som kan vara ett problematiskt område för eleverna. Den delen som studien har fokuserat på är förmågan att kunna avgöra och jämföra decimaltalens storlek. Om elever har svårt att förstå decimaltalens storlek behöver läraren ha kunskaper om hur deras förståelse kan se ut. Läraren behöver också ha kunskaper om vilka svårigheter eleven kan möta vid inlärningen av decimaltal samt vilka vanliga svårigheter som finns i de högre årskurserna.

Decimaltalens storlek förvirrar även vuxna vilket framkom i en israelisk studie. Deltagarna i studien visade liknande missuppfattningar som man kan se hos yngre elever (Kallai & Tzelg, 2014, s .8). Denna studie visade hur svårigheter kan följa en elev upp till vuxen ålder, vilket kan motverkas om läraren har kunskap för att uppmärksamma och motverka dessa. En del av dessa svårigheter grundar sig i olika elevmissuppfattningar som har undersökts och kategoriserats i forskningen. Denna litteraturstudie kommer därför att rikta in sig på hur matematikdidaktisk forskning beskriver elevers svårigheter och förståelse av decimaltalens storlek.

2

2 Syfte

Syftet med denna studie är att utifrån matematikdidaktisk forskning beskriva elevers olika förståelse av decimaltals storlek. Speciellt kommer vi avgränsa oss till att studera elevers svårigheter av decimaltal. Detta syfte vill vi uppfylla genom att besvara följande frågor:

• Vilka missuppfattningar verkar elever ha kring decimaltals storlek?

3

3 Bakgrund

3.1 Styrdokument

Taluppfattning och tals användning, där tal i decimalform bland annat ingår, är ett kunskapsområde som hör till det matematiska innehållet i skolans styrdokument. Området innefattar att eleverna ska få kunskaper om tal, beräkningsmetoder, hantering av tal samt hur kunskaperna om taluppfattning kan användas i vardagliga och matematiska sammanhang (Skolverket, 2017, s 12). Taluppfattning anses vara ett viktigt kunskapsområde i matematiken (ibid.). I det centrala innehållet i läroplanen för årkurserna 1-3 står det att eleverna ska få utveckla kunskaper om hur positionssystemet kan användas för att beskriva naturliga tal, centrala metoder för beräkningar med naturliga tal samt förstå deras användning i vardagliga situationer (Skolverket, 2019, s. 55). I det centrala innehållet för årkurserna 4-6 står det att eleverna ska få kunskap om positionssystemet för tal i decimalform, kunna bruka dem i vardagliga situationer samt ha lärt sig centrala metoder för beräkning med enkla tal i decimalform (ibid., s. 56). Undervisningen i årskurserna 4-6 behandlar bland annat området tal i decimal- och bråkform och deras egenskaper samt området rationella tal och deras egenskaper (Skolverket, 2017, s. 12). I årskurserna 7-9 ska eleverna ha lärt sig om reella tal och deras egenskaper. Undervisningen ska även utveckla elevens kunskaper om användning för reella tal i matematiska och vardagliga situationer (ibid., s. 58). Skolans undervisning försöker koppla till elevers erfarenheter, så att eleverna kan koppla undervisningen till vardagen. Inom området tal i decimalform brukar eleverna ha erfarenheter från detta. De har bland annat stött på tal i decimalform i recept vid matlagning (ibid.).

3.2 Positionssystemet

Positionssystemet är ett talsystem som representerar heltal med hjälp av siffror. Siffrans position i talet bestämmer vilket värde den får. Positionssystem är uppbyggda av en bas och siffrorna. Basen talar om hur många siffror det är som används i talsystemet. I Sverige har vi till exempel basen tio som är uppbyggd av tio stycken siffror, siffrorna från 0 till 9 (Ne.se, 2000). Ett annat talsystem är det binära systemet med basen två och innehåller bara

4 siffrorna ett och noll (ibid.). Mayafolket använde sig av basen 20 och babylonierna använde basen 60. Positionssystemet innefattar bland annat de olika positionsvärdena tusental, hundratal, tiotal, ental, tiondel och hundradel (ibid.). En viktig aspekt för att ha en god taluppfattning är att ha förståelse för talens positionssystem för hela tal, tal i decimalform samt tal i bråkform (Skolverket, 2017, s. 12). Det är viktigt för elevernas kunskapsutveckling och förståelse för positionssystemet att eleven förstår att en siffra har olika värden beroende på vilken plats i talet den har, det vill säga positionsvärdet (ibid.). Progressionen gällande positionssystemet börjar med att eleverna i de lägre årskurserna 1– 3 ska få undervisning om hur positionssystemet kan användas för att beskriva naturliga tal. Sedan i de högre årskurserna 4–6 ska de möta positionssystemet för tal i decimalform (ibid., s. 13). Tal i decimalform ingår i vårt positionssystem och ger oss möjlighet att kunna uttrycka mer exakta siffror, vilket inte går med enbart hela tal (ibid.).

3.3 ”Conceptual change”

Begreppet ”Conceptual change” har vi i litteraturstudien valt att översätta till begreppsförändring. Begreppsförändringens betydelse i denna studie beskriver förändringen som sker av begreppsförståelsen. Begreppsförändring sker när eleven använder sina redan existerande kunskaper och anpassar dessa för nya kunskaper (Vosniadou, 1994, s. 49). Detta är heller inget som elever upplever som svårt, så länge de redan existerande kunskaperna inte står i konflikt till de nya.

Författarna skiljer på två olika konflikter, elevers egna teorier och teoretiskt grundade teorier. Enligt dem är det betydligt mycket svårare att ändra på de teoretiskt grundade teorierna hos eleverna. Vidare förklarar de att eleverna kan ha burit med sig dessa idéer i flera år och det uppstår en konflikt när de nu ska omvärdera sina redan existerande kunskaper (ibid., s. 50). Det är även mer troligt att missuppfattningar uppstår hos dessa elever, än de elever som behöver omvärdera sina egna teorier. Författarna poängterar även att en missuppfattning inte alltid försvinner hos eleven och att det är viktigt att dessa upptäcks för att kunna hjälpa eleven (ibid., s. 66).

5 3.4 Svårigheter och missuppfattningar

Flera olika forskningsstudier som behandlas i den här studien har lyft fram tre vanliga missuppfattningar som har kategoriserats i tidigare studier. Dessa missuppfattningar har en direkt koppling till decimaltalens storlek. I denna litteraturstudie kommer dessa missuppfattningar att uttryckas som regler. I nästkommande stycken kommer dessa regler

att definieras och förklaras.

I vår studie utgår vi ifrån ”de tre reglerna” som Roche och Clark (2004, s. 486-487) beskriver i sin studie. Den första regeln kallas för heltalsregeln vilket betyder att elever använder sina tidigare kunskaper om heltalens positionssystem när de ska avgöra decimaltalets värde (Martinie, 2014, s. 422). Eleverna använder sig av heltalens 10-hopp även till höger om decimaltecknet vilket resulterar i en missuppfattning som i litteraturen benämns som ”längre-är-större” vilket betyder att desto fler siffror som ingår i ett decimaltal, desto större värde har det eftersom de använder sig av heltalsregeln (ibid.) Termen “längre-är-större” är en beskrivning av regeln som har börjat användas mer flitigt i forskningen. I denna studie har vi valt att förenkla innehållet som behandlas i de utvalda studierna genom att enbart referera till heltalsregeln vilket inkluderar termen ”längre-är-större”.

Den andra regeln kallas för bråkregeln och kan även beskrivas med termen “kortare-är-större” (Roche & Clark, 2004, s. 486-487). Elever som tar sig vidare ifrån heltalsregeln kan istället använda sig av bråkregeln när de ska jämföra decimaltal. Eleverna delar upp decimaltalet i tiondelar och hundradelar. När eleverna exempelvis jämför decimaltalen 0,3 och 0,39 kommer de att uppfatta 0,3 som störst. Eftersom talet består av tiondelar vilket är större än hundradelarna som finns i 0,39 (Pered & Shahbari, 2003, s. 1). Bråkregeln leder till att eleven använder ”kortare-är-större” missuppfattningen. De använder sina kunskaper om bråken och vet att allt som är till höger om decimaltecknet är mindre delar. Desto färre siffror efter decimaltecknet desto större är det (Martinie, 2014, s. 422). I denna studie har vi valt att förenkla innehållet som behandlas i de utvalda studierna genom att enbart referera till bråkregeln, vilket inkluderar termen ”kortare-är-större”. Den tredje regeln kallas för nollregeln vilket innebär att eleven kan urskilja nollan direkt till höger om decimaltecknet när det jämförs samtidigt som denne för övrigt även använder sig av heltalsregeln (Roche & Clarke, 2004, s. 486-487). Elever som använder sig av heltalsregeln byter enbart strategi när en nolla placeras direkt efter decimaltecknet (Martinie, 2014, s. 422).

6 I det utvalda materialet kommer de elever som har visat att de förstår de ”tre reglerna” och fått bra resultat på de tester som genomförts att hamna under en expertkategori som har olika benämningar. Ett namn för denna kategori är ”apparent expert”, som vi översätter till ”skenbar expert”, vilket innebär elever som kan ha en utmärkt förståelse eller använda rätt regler utan att förstå eller ha ett inkorrekt sätt att tänka (Roche & Clarke, 2019, s. 487).

7

4 Metod

4.1 Informationssökning

För att hitta relevanta vetenskapliga artiklar till denna studie har databaserna ERIC och PsyclINFO och Google Scholar använts. Söktjänsten ERIC valdes då den har ett brett utbud av vetenskapliga artiklar som vi är bekanta och bekväma med då den använts i tidigare arbeten. Databasen PsycINFO valdes för att bredda urvalet på vetenskapliga artiklar för att inte denna studie skulle bli ensidig på grund av att bara en databas används. Även PsyclINFO har ett brett urval på vetenskapliga artiklar. Google Scholar användes som ett komplement till ERIC och för kedjesökning.

I början av informationssökningen användes bland annat sökorden decimal number, number in decimalform och place value. Sökningarna gav alldeles för många träffar, inga träffar alls eller inga relevanta artiklar till detta arbete. Det var svårt i början av informationssökningen att veta vilka sökord på engelska som var passande för att hitta artiklar till studien. De svenska sökorden gick inte att direkt översätta till det motsvarande ordet på engelska. Med hjälp av artiklar på engelska om området decimaltal har såldes sökord på engelska hittats. Sökorden som användes i databasen ERIC var decimal place value, decimal misconception*, rational number sense, decimal magnitude* och decimal AND misconception*. Sökningar genomfördes även parallellt på databasen Swepub, dock hittades inga relevanta vetenskapliga artiklar där. Därefter användes inte den söktjänsten mer.

För att avgränsa antalet artiklar sållades de artiklar som inte var vetenskapligt granskade, vilket gav en ny träff på 55 träffar. Därefter lästes rubrikerna på artiklarna och abstrakten på de som verkade intressanta och relevanta till denna studie. Artiklar som handlade om bland annat hur man ska undervisa inom området tal i decimalform, tekniska hjälpmedel samt hur undervisningen kan anpassas för elever med funktionshinder valdes bort. De artiklarna berör inte syftet för denna studie samt att det skulle bli för brett område ifall de aspekterna skulle tas med i studien. Av denna sökning valdes fyra stycken relevanta artiklar till denna studie. Denna process på databasen ERIC gjordes även likadant på de andra sökorden på ERIC.

8 En aspekt som har prioriterats i denna studie vid val av vetenskapliga artiklar som använts är hur ofta den utvalde författaren blivit refererad av andra forskare inom samma ämnesområde (Nilholm, 2017, s. 41). Detta kan fungera som ett riktmärke eftersom man då kan se vilket värde andra forskare tillskriver författaren (ibid.). Kedjesökningar har använts på en del av de valda artiklar som är med i studien och dessa sökningar resulterade i flera relevanta artiklar som använts till detta arbete. Denna metod har valts på grund av att utifrån befintliga artiklar som valts till studien har således artiklar hittats som forskarna har använt i sina studier. Därför borde de artiklarna även vara relevanta för denna litteraturstudie då de borde handla om ungefär liknade område.

Vid analysering av de funna vetenskapliga artiklarna, som skulle användas till denna studie, användes färgkodningsmetoden. Materialet kategoriserades utifrån de olika teman som var heltalsregeln, bråkregeln, decimaltalens storlek, begreppsförståelse, strategier, resonemang, matematiska metoder och missuppfattningar. Dessa kategorier valdes som hjälpmedel till att jämföra de olika artiklarna samt att de aspekterna skulle ingå i studien.

Tabell 1. Översikt över de vetenskapliga texter som blivit utvalda i informationssökningen

ERIC Antal träffar

Sökning 1: decimal place value Sökning 2: avgränsat till peer reviewed

Sökning 1: 129 träffar

Sökning 2: 55 träffar

Fem artiklar valdes ut utifrån denna sökning. Rubrikerna lästes på 55 stycken

artiklarna. Om de verkade relevanta och intressanta till studien lästes där efter abstrakten.

Sökning 1: decimal misconception* Sökning 2: avgränsat till peer reviewed

Sökning 1: 73 träffar Sökning 2: 41 träffar

3 artiklar valdes utifrån denna sökning.

Selektion gjordes utefter rubrikerna. Därefter lästes abstrakten.

Sökning 1: decimal number adult Sökning 2: avgränsat till peer reviewed

Sökning 1: 105 träffar Sökning 2: 14 träffar

Två artiklar valdes utifrån denna sökning.

Selektion gjordes utefter rubrikerna. Sedan lästes abstrakten.

PsycINFO Antal träffar

Sökninga 1: Compar* decimal* Sökning 2: Comparison decimal* Sökning 3: angränsat till peer reviewed

Sökning 1: 110 träffar Sökning 2: 76 träffar Sökning 3: 60 träffar

Två artiklar valdes utifrån denna sökning.

Selektion gjordes utefter rubrikerna och sedan lästes abstrakten på 3 intressanta artiklar, dock valdes 2 relevanta ut.

9 4.2 Genomförande

Databasen ERIC användes mest i denna studie eftersom det enbart finns pedagogiskt och psykologiskt material på den databasen samt att vi är bekväma med den av tidigare erfarenheter. Eftersom vi i denna studie riktar in oss på elevers förståelse är det kognitiva lärandet en stor del av de utvalda artiklarna. I början av studien och informationssökningen ville vi få en överblick över forskningsfältet och om det fanns många artiklar skrivna om tal i decimalform. Därför användes bland annat sökorden number sense, number sense AND decimal*, rational number sense, decimal magnitude* och decimal AND misconception* för att få en inblick i den matematikdidaktiska forskningen för tal i decimalform.

I studien inkluderades alla årskurser i grundskolan, dock fanns det mycket forskning om elever i årskurserna 4-6. En förklaring till detta kan vara att många länder väljer att börja arbeta med tal i decimalform när eleverna går i årskurs fyra. Denna studie exkluderar inga åldrar på elever då det är en intressant aspekt att veta både äldre och yngre elevers förståelse i området. Alla länder inkluderades i arbetet, dock får man ta hänsyn till skillnader i resultatet eftersom skolsystemen fungerar på olika sätt. Det har även inkluderats både nyare och äldre artiklar. Det var eftersom nyare forskning har valt att använda sig av liknande metoder och teorier i sin egen forskning. Dessa artiklar fungerar som ett ramverk och deras kategoriseringar används än idag (Hiebert & Wearnes 1983; Resnick, Nesher, Leonard, Magone, Omanson & Peled, 1989; Sackur-Grisvard & Léonard, 1985). Många forskare har sedan förfinat och utvecklat deras metoder och kategoriseringar. I studien har artiklar exkluderats som handlar om hur man kan använda tekniska hjälpmedel i undervisningen, artiklar som fokuserar på tal i bråkform eller naturliga tal, artiklar som enbart riktar sig mot vuxna och lärares förståelse av tal i decimalform samt hur undervisningen bör se ut inom området decimaltal, utan ett elevperspektiv. Artiklar med detta innehåll har exkluderats på grund av att det hade varit för brett område samt att det inte gynnar syftet till denna studie.

10 Tabell 2. Översikt över de vetenskapliga artiklarna som valts till denna studie.

Författare Publikationstyp År Titel

Desmet, Gregoire & Mussolin

Artikel 2009 Developmental changes in the comparison of decimal fraction

Ding, Liu, Zong, & Zhan

Artikel 2014 Concept Development of Decimals in Chinese Elementary Students: A Conceptual Change Approach.

Hiebert & Wearne Konferensbidrag 1983 Students’ Conceptions of Decimal Numbers.

Moloney & Stacey Artikel 1997 Changes with Age in Students' Conceptions of Decimal Notation.

Mun & Murray Artikel 2014 What do Error Patterns tell us about Hong Kong Chinese and Australian Students’ Understanding of Decimal Numbers? Ren & Gunderson Artikel 2019 Malleability of Whole-Number and Fraction Biases in Decimal

Comparison.

Resnick, Nesher, Leonard, Magone, Omanson & Peled.

Artikel 1989 Conceptual Bases of Arithmetic Errors: The Case of Decimal Fractions.

Resnick, Rinne, Barbieri & Jordan

Artikel 2018 Children's Reasoning about Decimals and Its Relation to Fraction Learning and Mathematics Achievement. Roell, Viarouge,

Houdé, Borst & Viarouge

Artikel 2017 Inhibitory control and decimal number comparison in school-aged children

Sackur-Grisvard & Léonard

Artikel 1985 Intermediate Cognitive Organizations in the Process of Learning a Mathematical Concept: The Order of Positive Decimal Numbers.

Stacey & Steinle Artikel 1999 Understanding decimals: path to expertise.

Wong Artikel 2019 The roles of place‐value understanding and non‐symbolic ratio

11 4.3 Materialanalys

Undersökningsmaterialet började analyseras med hjälp av aspekterna decimaltalens storlek (det vill säga om de jämför olika storlekar på tal i decimalform), hela tal, tal i bråkform, begreppsförståelse, strategier, resonemang, matematiska metoder och missuppfattningar.

För att organisera dessa aspekter har de utvalda vetenskapliga artiklarna bearbetats genom färgkodning som sedan dokumenterats i Översiktstabellen (tabell 2). Ett annat hjälpmedel till att analysera artiklarna har varit tabellen som heter Översiktsmatrisen (tabell 3). I den tabellen har huvudsakligen texternas syfte, resultat samt forskningsfrågor kunnat urskiljas mellan varandra, vilket denna studie är baserad på. Syftet med denna studie är att beskriva hur matematikdidaktisk forskning behandlar elevers förståelse av tal i decimalform. Av den anledningen har vetenskapliga artiklar granskats utefter missuppfattningar och

strategier bland elever.

Avsikten med tabellen var att fortsätta analysera artiklarna djupgående och se om de innehöll den data som behövdes till att besvara frågeställningarna. Aspekterna som kategoriserades i tabellen handlade om olika strategier samt missuppfattningar kring decimaltalens storlek. Genom detta arbetssätt har vi kunnat se en tydligare bild om vad de olika artiklarna handlar om och kunnat jämföra dem. Tabellerna har varit ett hjälpmedel för att få en överblick av undersökningsmaterialet där bland annat likheter, skillnader och forskningsstudiernas resultat har kunnat jämföras mellan de olika artiklarna.

12

5 Resultat

För att besvara studiens första frågeställning om vilka missuppfattningar elever verkar ha kring decimaltals storlek behöver vi först skapa oss en förståelse för hur kategorierna av missuppfattningar är formade. Detta kommer att undersökas utifrån den äldre forskningen där framförallt tre missuppfattningar har lyfts fram som viktiga för elevers förståelse av decimaltalens storlek. Dessa tre utgör tillsammans en naturlig del av elevers utveckling mot en större förståelse av tal i decimalform. Missuppfattningarna har i forskningen kategoriserats som heltalsregeln, bråkregeln och nollregeln (Sackur-Grisvard & Léonard, 1985, s. 171). Under rubriken conceptual change kommer en del av studiens syfte som handlar om hur elevers förståelse av decimaltalens storlek kan se ut att besvaras.

Vanligt förekommande missuppfattningar som eleven har när det kommer till decimaltalens storlek kan se olika ut beroende på vilken ålder och årskurs eleven tillhör. I nästa del kommer studiens andra frågeställning att lyftas och besvaras. Detta kommer att behandlas under rubrikerna med tillhörande underrubriker vanliga missuppfattningar hos yngre elever och vanliga missuppfattningar hos äldre elever.

Bild 1. De röda färgmarkeringarna representerar de länder studierna ifrån det utvalda vetenskapliga materialet kommer ifrån.

13 5.1 Kategorisering av missuppfattningar i den äldre forskningen

Hiebert och Wearnes (1983) studie belyste vilka vanligt förekommande missuppfattningar och svårigheter elever kan uppvisa när de arbetar med tal i decimalform. Sackur-Grisvard och Léonard (1985, s. 161) använde sedan deras studie till att dela in missuppfattningarna som handlar om decimaltalens storlek i tre olika kategorier. Syftet till att dessa tas med i litteraturstudien är att denna indelning av missuppfattningar har fungerat som ett ramverk i nyare studier. Den franska studien ville, genom fyra olika experiment, ta reda på hur barns lärande av tal i decimalform såg ut. I studien fick 521 elever i åldrarna 9-14 jämföra decimaltals storlek. Elever som tillhör kategori 1, eller heltalsregeln, uppfattar decimaltalet som ett heltal och tar inte hänsyn till decimaltecknet. De använder sina tidigare kunskaper om heltalen. Elever som tillhör denna kategori tror att decimaltalets värde är kopplat till antalet siffror, desto färre antal siffror talet innehåller desto lägre värde har det. I undersökningen var det denna regel som var vanligast bland eleverna. I kategori 2, eller bråkregeln, uppmärksammar eleven decimaltecknet och värdet på decimaltalet avgörs av siffrans avstånd till decimaltecknet, där längre avstånd innebär ett lägre värde hos talet. Eleven använder sina tidigare kunskaper om heltalens positionssystem genom tio-hopp. Kategorin 3, eller nollregeln, innebär att en nolla i ett decimaltal påverkar talets värde i alla positioner förutom längst till höger. När en elev använder sig av nollregeln kommer hen att samtidigt använda sig utav heltalsregeln. Finns det flera nollor i ett decimaltal används en generalisering av nollregeln. Nollor längst till vänster i ett heltal ökar alltid värdet medan nollor längst till vänster i ett decimaltal inte påverkar värdet (ibid., s. 161). Dessa kategorier kan beskrivas som regler och kan ses som olika kognitiva verktyg, vilka tillsammans sakta bygger upp en förståelse för ämnesområdet (Sackur-Grisvard & Léonard, 1985, s. 157-159). Även om eleverna har lärt sig en regel tar det tid innan den kommer användas i alla situationer. Ofta väljer eleverna att använda det verktyg som de är tryggast med även om det är inkorrekt. Sackur-Grisvard och Léonard (1985, s. 157-159) teoretiska utgångpunkt bygger på Piagets teori (1980) om att barn till stor del förlitar sig på sina förkunskaper när de ska lära sig nya saker. En annan äldre studie som delade samma syn på förkunskaper tog det ett steg längre och ville undersöka hur förkunskaperna används och hur den mentala representationen konstrueras när barnet möter ett nytt kunskapsområde (Resnick et al., 1989, s. 9). Även denna studie har varit utgångspunkt i nyare forskning, då framförallt deras framtagna test där man jämför decimaltal har använts.

14 I studien använde de sig av Sackur-Grisvard & Léonards (1985, s. 161) kategorier av missuppfattningar men de vidareutvecklade kategorierna mer direkt och mer i detalj samtidigt som de även lade till kategorin expert, där elever som hade alla rätt i testerna

placerades (Resnick et al., 1989, s. 15).

5.2 “Conceptual change”

Ett fenomen som undersöks både i äldre och nyare studier är rörelsen emellan kategorierna. Detta undersöktes av Stacey och Moloney (1997, s. 31) som ville ta reda på hur många elever som bytte emellan heltalsregeln, bråkregeln och nollregeln. Det framkom att 6 av 50 elever bytte kategori. I denna studie hade man utöver de tre reglerna och expertkategorin även en oklassificerad kategori för de elever som inte passade in i någon kategori. Långtidsstudien kom fram till att det enbart var den oklassificerade kategorin och bråkregelkategorin som flyttade upp till expertkategorin. Samma indelning användes även i en senare långtidsstudie med 8708 australiensiska elever i åldrarna 7-12. Enligt forskarna är det mer troligt att elever som tillhör den oklassificerade kategorin flyttar till expertkategorin än de elever som tillhör bråkregelkategorin. Dock upptäcktes att elever som tillhörde den oklassificerade kategorin spred sig mer jämnt över de andra kategorierna, där även heltalsregeln ingick (Stacey & Steinle, 1999, s. 447). Deras slutsats var att mönstret för den oklassificerade gruppen liknande mönstret för bråkregelkategorin.

I Kina genomfördes en studie med 244 elever i åldrarna 11-13 som gick i årskurserna 4-6. Forskarna undersökte elevers förståelse av decimaluttryck, där heltalsregeln står i konflikt mot elevers uppfattning av decimaltal som befinner sig mellan exempelvis 0,5 och 0,6 (Ding et al., 2014, s. 326). Undersökningen fokuserade framförallt på elevers begreppsförståelse och resultatet visade att elevers förståelse utvecklades i en stigande spiralform. Spiralen började med årskurs fyra, som presterade sämst, för att sedan stiga med årskurs fem som presterade bäst och sedan sjunka en aning i årskurs sex där man kunde se en liten regression. Liknande mönster upptäcktes i en annan kinesisk studie. En förklaring kan vara att elever i årskurs fem har arbetat med decimaltal i anslutning till testet. I årskurs sex arbetade inte eleverna lika mycket med decimaltal vilket kan förklara deras regression (Wong, 2019, s. 333-334). Även i Stacey och Steinles (1999, s. 4) studie kunde samma mönster urskiljas. Detta mönster sågs dock inte i den belgiska studien där forskarna testade elevers förståelse av nollans funktion när den placerades längst till höger

15 i ett decimaltal. Elevgruppen som testades var i åldrarna 8-12 som gick i årskurserna 3-6 och av dessa var det enbart elever i årskurs sex som förstod att nollan inte påverkade decimaltalets värde (Desmet et al., 2009, s. 528).

5.3 Vanliga missuppfattningar hos yngre elever

I en studie som är gjord i USA med 435 mellanstadieelever utgick forskarna ifrån en elevgrupp som inte fått någon formell undervisning av tal i decimalform. Forskarna ansåg att en del av progressionen i det studerade ämnesområdet även omfattar de elever som har en delvis förståelse för nollans roll i ett decimaltal (Resnick et al., 2018, s. 30). Vidare förklarade de att eleverna visade detta genom att lägga till en nolla direkt efter decimaltecknet. Eleverna förstod då att talet fick ett lägre värde samtidigt som de var helt oförstående när nollan istället placerades sist i decimaltalet (ibid.). I en annan studie undersökte de om yngre elever förstod vilken funktion nollan har när den är placerad sist i ett decimaltal och studien kan bekräfta Resnick et al. (2018, s. 30) resultat, att yngre barn inte har förståelse för nollans funktion (Desmet et al., 2009, s. 528).

Hiebert och Wearne (1983, s. 4-5) poängterar i sin studie att det kan finnas en risk att elever får en partiell förståelse för decimaltal om de inte har full förståelse för heltal och enkla bråktal innan de får undervisning av tal i decimalform. Förklaring till detta är att det ställs höga krav på elevernas kognitiva färdigheter när tal i decimalform presenteras. Om eleverna saknar full förståelse för heltal och enkla bråk kan dessa bli överbelastade. Detta kan i sin tur bidra till svårigheter i området för många grundskolelever, enligt undersökningen hade 50 % av de 13-åriga elever svårigheter med att jämföra storleken på två decimaltal och behandlade dessa istället som heltal. Resnick et al. (2018, s. 29-30) kom fram till att förståelsen av decimaltalens storlek kan på egen hand, utan någon inblandning av bråkens eller heltalens storlek, bidra till framgångar i matematiken där nyckeln är användningen av nollregeln och olika strategier. Vidare menar dem att det inte behöver leda till svårigheter för elever som använder felaktiga strategier och har en partiell förståelse av decimaltalens storlek. Deras resultat visade att det ändå är troligt att dessa längre fram kommer att få en god förståelse av bråkens storlek till skillnad från de elever som använder sig av heltalsstrategier (ibid., s. 29). I en studie genomförd i Belgien med fransktalande elever i åldrarna 10-14 år ville man granska åldersrelaterade missuppfattningar av decimaltal genom att undersöka vilken påverkan siffrors värde har i förhållande till mängden siffror som ett decimaltal innehåller. Resultatet visade att de

16 yngre elevernas svar påverkades av både siffrornas värde och längden på talet när dem jämförde decimaltal (Desmet et al., 2009, s. 529). En äldre studie kom fram till att missuppfattningar som berör operationer med decimaltal är lättare att motverka än missuppfattningar som rör decimaluttryck (Sackur-Grisvard & Léonard, 1985, s. 337).

5.3.1 Positionsvärde

Förståelsen för decimaltalens storlek bidrar enligt en studie till att elever fördjupar sina kunskaper kring talens egenskaper genom att elever lär sig regler för hur decimaltal fungerar, speciellt regler som handlar om positionsvärde (Resnick et al., 2018, s. 32). I en nyare studie ifrån Kina med 124 barn som följts sedan tidig ålder och fram till årskurs fyra framkom det att förståelsen av positionsvärdet bidrar till senare förståelse av bråktalens storlek (Wong, 2019, s. 645). En annan ny undersökning lyfter också fram positionsvärdet och menar att decimaltal som vilar på förståelse för positionsvärdet kan stödja bråkinlärning (Resnick et al., 2018, s. 35). Förmågan att kunna urskilja positionsvärdet i ett decimaltal samt kunna utläsa dess värde stödjer det senare lärandet mot en mer normativ förståelse (ibid., s. 29). Elever som inte fått någon undervisning av decimaltal använde enligt en studie sina kunskaper om heltalen och deras positionsvärde (Desmet et al., 2009, s. 530).

Elever som fick lära sig benämningarna på de olika positionerna i ett decimaltal löste fler uppgifter som handlade om att kunna jämföra storleken på ett decimaltal. För att lösa uppgifterna behövde de ha en förståelse för nollans roll och positionsvärden (Resnick et al., 2018, s. 29). Dessa elever presterade i sin tur sämre när de skulle uppskatta var ett decimaltal skulle placeras på tallinjen än de som inte hade arbetat med benämningar av de olika positionerna. Genom att elever fick arbeta med positionernas benämningar kan de ha utmanat sitt tänkande som hjälpte dem att upptäcka positionsvärdenas struktur i ett decimaltal (ibid.). Något som kan störa elevers förståelse är hur de olika positionerna i ett decimaltal uttrycks muntligt. En studie pekar på att det är vanligt att muntligt uttrycka sig i hela tal, exempelvis uttrycks 0,3 centimeter som 3 millimeter. Detta gäller även för de andra matematiska enheterna vikt, volym och area (Herbert & Wearne, 1983, s. 12).

5.4 Vanliga missuppfattningar hos äldre elever

I en undersökning drog forskarna slutsatsen att den regression som elever i åldrarna 14-15 uppvisade till stor del kan förklaras av användning av de tre reglerna heltal-, bråk- och

17 nollregeln. Eleverna fick genomföra uppgifter där de skulle jämföra decimaltal, först med två siffror, sedan tre och sist med fem siffror. Resultatet visade att 14-åringarna lyckades bättre än 15-åringarna med decimaltal som hade tre siffror där 16 procent av eleverna svarade fel jämfört med 15-åringarna som låg på 24 procent (Sackur-Grisvards och Léonards, 1985, s. 168).

Den grupp elever som i en studie använde sig av heltalsregeln hade lägre benägenhet att ändra sitt tänkande och fortsatte att använda den även i de högre skolåldrarna jämfört med de elever som använde sig av bråk- eller nollregeln (Moloney & Stacey, 1997, s. 31; Stacey & Steinle, 1999, s. 446). I en studie som genomfördes både i Kina och i Australien med 487 elever upptäcktes det att en tiondel av de australiensiska eleverna använde sig av heltalsregeln när de skulle avgöra olika decimaltals storlek. De ignorerade decimaltecknet och utgick ifrån heltalens positionsvärde. En liten del av eleverna använde felaktiga strategier, där både heltalsregeln och bråkregeln var inblandade (Mun & Murray, 2014, s.23-24). Samma fenomen hittades i en studie ifrån USA där 251 elever i åldrarna 13 och 15 år som gick i årskurs 6 och 8 deltog (Ren & Gunderson, 2019, s. 8). I den storskaliga australiensiska långtidsstudien visade resultatet att nästan hälften av eleverna stannade kvar i kategorien med heltalsregeln. De elever som påbörjade undersökningen när de gick i årskurs 4 och årskurs 5 kunde följas under en tvåårsperiod och de slutförde två tester till. Av dessa 119 elever var det 12 elever, i åldrarna 16-17 år som gick i årskurs 9 eller 10, som fortfarande använde sig av heltalsregeln (Stacey & Steinle, 1999, s. 449-450).

5.4.1 Jämföra storleken

I den australiensiska studien upptäcktes det att hälften av de 17-åriga eleverna och en större del av de yngre eleverna inte kunde jämföra storleken på decimaltalen korrekt. Det framkom även att läraren för de 17-åriga eleverna inte var medveten om att denna missuppfattning var så utbredd (Moloney & Stacey, 1997, s. 31). Det har visat sig att både barn och vuxna har svårigheter med att jämföra storleken på decimaltal (Ren & Gunderson, 2019, s. 1). Elevers svårigheter med att jämföra decimaltalens storlek lyfter även Hiebert och Wearne (1983, s. 5). I deras studie undersöktes hur 13-åringars förståelse såg ut när de fick till uppgift att storleksordna decimaltal. Eleverna visade betydande svårigheter när talen var mindre än noll eftersom de ignorerade decimaltecknet och behandlade talen som heltal (ibid.).

18 Över 80 procent av de kinesiska och australiensiska eleverna visade att de förstod decimaltalens placering på tallinjen (Murrays & Mun, 2014, s. 23). En studie genomförd i Frankrike med två mindre grupper av elever i 12-årsåldern ville undersöka användningen av heltalsregeln genom att låta eleverna jämföra decimaltalens storlek. De undersökte även om längden på decimaltalet kunde härledas till användningen av heltalsregeln. Missuppfattningen användes i den utsträckningen som finns beskriven i tidigare forskning och att även längden på decimaltalet är en del av missuppfattningen. Forskarna tror att eleverna använder sig av en kognitiv process som finns utspridd på flera områden i hjärnan. En äldre syn är att istället utgå ifrån att denna kognitiva process bygger på en kod som används i ett bestämt system med regler, kallad symbolhantering. I denna studie kunde forskarna visa motsatsen, att flera områden i hjärnan aktiverades när eleverna jämförde decimaltalens storlek samtidigt fokuserade även forskarna på mängden siffror talet innehöll. Resultatet visade att även längden på decimaltalet kan vara en anledning till heltalsmissuppfattningen (Viarouge, Houde & Borst, 2017, s. 6, 10).

I en amerikansk experimentell studie har forskarna för första gången testat mentala representationer och om de kan påverka vilken strategi elever i åldrarna 13-15 år använder sig av när de ska lösa problem vid jämförelse av decimaltal. I studien bestod dessa representationer av antingen heltal, decimaltal eller bråktal. Studien använde sig även av en kontrollgrupp som inte fick se någon representation alls. Denna kontrollgrupp använde sig av heltalsregeln i större utsträckningen än de elever som hade fått se mentala representationer av bråktal eller decimaltal innan testet. Slutsatsen av studien är att eleverna anpassade sin strategi efter vilka mentala representationer de hade fått se innan testet (Ren & Gunderson, 2019, s. 8). Resnick et al., (2018, s. 15) undersökte också den mentala representationen men deras studie hade riktat in sig på yngre elever som precis hade börjat få undervisning av tal i decimalform. Dock lyfte de fram att elever som i deras studie använde sig av flera strategier fick ett bättre resultat.

19

6 Diskussion

6.1 Metoddiskussion

De vetenskapliga artiklarna som användes till denna studie valdes ut då vi anser att de bidrar till utveckling av vår framtida yrkesroll som lärare. Det fanns inga studier med svensk forskning som ansågs vara relevanta till denna studie. Anledningen kan vara att det inte görs mycket svensk forskning. Genom att ha använt artiklar från olika länder har det bidragit till fördjupande kunskaper om skolelevers, utanför Sverige, kunskaper och missuppfattningar inom det matematiska undervisningsområdet tal i decimalform. Detta gynnar vår framtida roll som lärare, då dagens skolklasser består av många elever från olika länder. Sökningarna via databasen ERIC gav många träffar, både relevanta och mindre relevanta. Sökorden behövde ändras för att minska urvalet på artiklar och hitta mer relevanta artiklar till studien. Till en början var det svårt att veta vilka sökord på engelska som skulle användas för att hitta de vetenskapliga artiklarna till arbetet, då de engelska sökorden skilde sig mycket från de motsvarande svenska sökorden. Genom att ha tagit hjälp av artiklar skrivna på engelska om decimaltal har således sökorden på engelska hittats. Det svenska sökordet decimalvärde översattes till decimal place value på engelska och det svenska sökordet bråk översattes till fraction på engelska. I början av informationssökningen låg fokuset på nyare forskning eftersom vi ansåg att det var mer aktuellt. Efter att vidare ha diskuterat kring artiklarnas publikationsår och innehåll kom vi fram till att även äldre studier är intressanta och relevanta för denna studie. Nyare forskning har sin grund i äldre forskning samt att det inte skiljer sig mycket från nyare och äldre forskning. Genom att referera till både nyare och äldre forskning får vår studie en större tyngd då ämnesområdet har behandlats av många forskare med liknade synpunkter. Vi anser därför att forskning från olika publikationsår och decennier stärker vår analys. Databaserna som främst användes i arbetet var ERIC och PsycIFNO, vilket kan både anses som en styrka och en svaghet. Genom att ha använt få databaser har vi koll på de artiklarna där och vilka som är relevanta till arbetet. Däremot kan vi ha gått miste om andra artiklar som finns på andra databaser som hade kunnat vara relevanta och intressanta. Vi har gått miste om olika forskningsarenor, vilket hade kunnat ge vår studie en större bredd. Andra databaser som hade kunnat användas till arbetet hade kunnat vara bland annat MathEduc och Primo. Då skulle utbudet av artiklar varit större. Vi valde att använda oss av ERIC och

20 PsycINFO på grund av att det är databaser som vi är bekanta med och vet att det finns stort urval på artiklar. Vissa av de artiklar som finns i ERIC går ibland enbart att få fulltext genom att söka fram på Google Scholar, vilket gör att denna databas användes som ett hjälpmedel.

De vetenskapliga artiklarna som använts i arbetet har forskarna gjort studier för att upptäcka elevers missuppfattningar kring området decimaltal. Forskarna har då utgått från att elever har svårt för decimaltal. Detta har resulterat i att deras, samt vår studie, inriktar sig mot de negativa aspekterna, det vill säga elevers svårigheter inom tal i decimalform. Våra egna erfarenheter, från bland annat verksamhetsförlagd utbildning, är också att eleverna har svårigheter inom området decimaltal. Detta har påverkat arbetets frågeställningar och riktning, då vi vill lära oss mer om detta för att utveckla våra kunskaper för vår framtida yrkesroll som lärare. För att istället få olika aspekter inom elevernas förståelse för decimaltal hade en frågeställning kunnat vara Vilka svagheter och styrkor har eleverna att storleksordna decimaltal? Detta hade kunnat vara en riktning för

vidare forskning.

För att minska risken för subjektiv bedömning har vi läst artiklarna på var sitt håll för sig för att sedan jämföra våra tolkningar. Det arbetssättet har bidragit att vi har tolkat texterna olika och fått olika synpunkter, vilket har minskat risken till att tolkningen har blivit ensidig.

6.2 Resultatdiskussion

Många av de artiklar som använts i vår studie refererade och använde sig av äldre forskning. Vi upplevde det därför som viktigt att lyfta fram den äldre forskningen för att kunna hjälpa till att besvara vår första frågeställning som handlade om vilka missuppfattningar som är tydliga i den didaktiska forskningen. När Sackur-Grisvard och Léonard (1985, s. 171) introducerade kategorierna av missuppfattningar delade forskarna in dem i tre olika områden: heltal-, bråk- och nollreglerna. Resnick et al., (1989) byggde vidare på dessa och utvecklade ett test där fokus låg på att jämföra decimaltal och nollregelns viktiga funktion lyftes fram. I materialet som används till den här studien refererades det ständigt till dessa studier vilket fick oss att dra slutsatsen att de har haft en stor betydelse över senare forskning i ämnesområdet. Ur detta perspektiv kan materialet även ses som ensidigt, eftersom dessa arbeten tillskrivs ett särskilt värde i

21 forskningssammanhang. Sackur-Grisvard och Léonard (1985, s. 171) studie bygger vidare på Piagets (1980) teorier om förkunskaper vilket även lyfts i många av de nyare studierna. Artiklarna som använts i denna studie innehöll framförallt kognitiva teorier vilket enligt oss kan göra att resultatet blev en aning vinklat. I de utvalda artiklarna nämns exempelvis inte Vygtoskij (1980) och hans sociokulturella teori. Samtidigt svarar de kognitiva teorierna mot vår litteraturstudies syfte som ville undersöka elevers förståelse. Språket, som Vygotskijs teorier (1980) är mer inriktat emot, är en viktig del i matematiken enligt den svenska läroplanen där resonemangsförmågan och att tala matematik lyfts fram (Skolverket, 2019). Det är även viktigt att förstå att dessa kognitiva teorier bygger på förståelse och inre processer. De tar inte hänsyn till känslor eller yttre faktorer. En möjlighet är att bygga vidare på dessa kognitiva teorier genom att exempelvis använda ett sociokulturellt perspektiv. Detta skulle enligt oss kunna ge läraren möjlighet till att lättare kunna omsätta och använda sig av resultatet från denna studie i en verklig undervisningssituation.

För att kunna ge en nyanserad bild av studiens syfte ”hur elevers förståelse av decimaltalens storlek ser ut” presenterades och lyftes begreppet ”conceptual change”. I vår litteraturstudie togs det med artiklar ifrån Kina där undervisningstraditionen skiljer sig ifrån den västerländska. Fokus ligger där mer på färdighetsträning och att lära sig olika regler till skillnad från den västerländska kulturen där mer fokus ligger på att utveckla begreppsförståelse. Utifrån detta resonerar vi att en starkare begreppsförståelse borde kunna ses hos de västerländska länderna jämfört med exempelvis Kina. Resultat av Mun och Murrays studie (2014, s. 25) visade att de kinesiska eleverna var bättre än de australiensiska eleverna i alla olika delar som testades inkluderat begreppsförståelse. När det kommer till tester och mätningar bör man fundera på om det är möjligt att mäta all kunskap. Istället för att fundera på vad Kina gör ”rätt” behöver vi ställa oss frågan vad som är viktigt. Vill vi ha ett klassrum där läraren enbart är ute efter ett rätt svar eller ett tillåtande undervisningsklimat där eleverna hamnar i fokus och får möjlighet att prestera efter sin egen förmåga? I de undersökta studierna upplevde vi att olika forskare beskriver utveckling av elevers begreppsförståelse på olika sätt och detta verkar skilja sig åt beroende av vilken teoretisk utgångspunkt de har.

Studiens andra frågeställning handlade om vilka missuppfattningar som är vanliga hos de yngre respektive äldre eleverna. Denna frågeställning fick omarbetas och breddas för att

22 inkludera ett större åldersspann. Anledning till detta var att vi upptäckte att forskningen påtalade att de tre reglerna ska ses som en naturlig utveckling hos eleverna. En missuppfattning som stack ut var heltalsregeln. Denna regel som eleverna lär sig först kan visa sig bli problematisk för de äldre eleverna. Genom att vi använde oss av ett större åldersspann kunde vi i studien belysa denna missuppfattning samtidigt som vi ökar förståelsen till varför den uppstår och vilka konsekvenser den kan leda till.

Användningen av de tre reglerna ska enligt forskningen ses som en naturlig del i elevernas utveckling. Heltalsregeln lär sig eleverna först, när de arbetar med heltalen i de lägre årskurserna. Den är även, som Sackur-Grisvard och Léonard (1985, s.171) uttrycker det, ett naturligt steg i elevernas progression. I skolor världen över är det kunskaper om de naturliga talen som eleverna behöver tillägna sig först, innan de kan gå vidare och arbeta med tal i bråk- och decimalform, oavsett kunskapssyn. I forskningen som använts i denna studie uppmärksammades heltalsregeln som den största missuppfattningen när elever ska avgöra decimaltalens storlek. Vi upplevde att det är denna missuppfattning som ställer till övervägande problem för elever i alla åldersgrupper och även hos vuxna. Enligt Moloney och Staceys (1997, s. 31) utgör elever som tidigt håller fast vid heltalsregeln en större risk att fortsättningsvis använda sig av den vilket i sin tur leder till att de inte tar sig vidare till bråkregeln. Vi tror att en anledning till detta är att eleverna först får undervisning i de naturliga talen vilket kan förvirra en del elever. En annan möjlig orsak är att de saknar grundläggande kunskaper i ett ämnesområde i matematiken vilket gör det svårt för dem att tillgodogöra sig innehållet i ett annat område. Detta motiveras av att man i matematikämnet många gånger kan följa en tydlig progression i ämneskunskaper som bygger vidare på varandra. Saknar eleven grundläggande kunskaper om de naturliga talen blir det svårt för dem att ta sig vidare till tal i decimalform och bråkform. Resultatet i en färskare studie indikerade att yngre elever är präglade av sina tidigare kunskaper om heltalen (Desmet et al., 2009, s. 529). Vår litteraturstudie synliggjorde en missuppfattning som kan få stora konsekvenser för den enskilde eleven och som har uppmärksammats i flera oberoende studier (Mun & Murray, 2014, s. 23-24; Ren & Gunderson, 2019, s. 8; Stacey & Steinle, 1999, s. 446).

Vi kan konstatera att missuppfattningen av heltalsregeln kan ses som ett problem i skolan. Detta står i kontrast till missuppfattning av nollregeln som istället anses vara positiv och visar en utveckling hos eleven (Resnick, et al., 2018, s. 29-30). Av de tre undersökta

23 reglerna var det nollregeln som det verkade råda mest oenighet kring. I de undersökta studierna framkom det att nollregeln används mest hos de äldre eleverna vilket även Desmet et al., (2009, s. 523) kunde finna stöd för i sin studie.

I den tidiga undervisningen bidrar en förståelse för decimaltalens storlek till att eleverna samtidigt lär sig regler för hur decimaltal fungerar och framförallt decimaltalens positionsvärde (Resnick et al., 2018, s. 32). Vi tolkar detta resultat mot att en del av inlärningen ska ha fokus på decimaltalens positionsvärde samtidigt som det även behöver repeteras med de äldre eleverna eftersom detta enligt oss kan motverka missuppfattningar. En tanke vi har är att decimaltalens positionsvärde även kan användas som en strategi för att avgöra decimaltalens storlek. Detta vill vi koppla vidare till Ren och Gundersons (2019, s. 8) undersökning där elevers användning av olika strategier undersöktes. De upptäckte där att elever som fick förkunskaper om en viss strategi också använde sig av denna direkt efter. Genom att repetera olika positionsvärden även med äldre elever är vår förhoppning att eleverna kan använda detta som en strategi för att kunna avgöra decimaltalens storlek. Ytterligare motiv till att positionsvärdet bör uppmärksammas finner vi i två nya oberoende studier där forskarna har funnit stöd för att positionsvärdet gynnar senare bråkinlärning (Wong, 2019, s. 645; Resnick et al., 2018, s. 35).

I en studie uppmärksammades även att en lärare i en klass för 17-åringar inte var medveten om att hälften av eleverna inte kunde jämföra storleken på decimaltal eftersom de använde sig av heltalsregeln (Moloney & Stacey, 1997, s. 31). Läraren behöver verktyg för att upptäcka och motverka detta. Vi upplever att ett kritiskt moment är när eleven ska gå ifrån heltalsregeln till bråkregeln. Det första vi funderade på är om det spelar någon roll i vilken ordning man introducerar tal i bråkform och decimalform. Resnick et al., (1989, s. 24) studie visade att det fanns en viss skillnad av vilken regel som användes. De franska eleverna som medverkade i deras studie hade en större benägenhet att använda sig av nollregeln än bråkregeln. De resterande medverkande eleverna visade på motsatsen. De använde sig istället till större del av bråkregeln. Förklaringen är att de franska eleverna, till skillnad från de resterande eleverna, först får lära sig tal i decimalform innan de arbetar med tal i bråkform (ibid.). Vi upplever att det inte är detta som är den största anledningen till heltalsmissuppfattningen. Istället funderar vi på två andra faktorer, den första handlar om att läraren behöver synliggöra de olika reglerna och hur de kan användas som strategier. Målet är att eleverna ska kunna växla mellan olika strategier, något som har setts hos elever

24 som är framgångsrika i matematiken (Resnick et al., 2018, s. 15). Den andra faktorn handlar om att eleverna behöver fördjupa sina kunskaper om det decimala positionssystemet vilket skulle kunna ske i de tidigare skolåldrarna. Läraren skulle kunna presentera det decimala positionssystemet tidigare för eleverna och visa hur det hänger

samman med heltalens positionssystem.

6.3 Vidare forskning

Fortsatt forskning är nödvändig för att vidare undersöka elevers svårigheter med att avgöra decimaltalens storlek. Vi vill framförallt fokusera på heltalsregeln eftersom det är denna som upplevs ställa till mest svårigheter för eleverna. Vidare forskning där man undersöker heltalsregelns användning vid jämförelse av decimaltal skulle kunna ge oss som framtida lärare effektiva metoder för att kunna förebygga, motverka och upptäcka detta, vilket då möjliggör att läraren kan stötta eleven och utveckla elevens lärande. I vår studie användes enbart internationell forskning eftersom det saknades motsvarande forskning på den svenska arenan. I vidare forskning vill vi ta reda på hur de svenska elevernas förståelse för decimaltalens storlek ser ut och hur utbredd heltalsmissuppfattningen är i den svenska skolan.

Vidare forskningsfrågor inom området skulle bland annat kunna vara Hur kan vi motverka att elever använder sig av heltalsregeln när de lär sig att jämföra decimaltal? Hur kan vi motverka att äldre elever använder sig av heltalstrategi när de jämför decimaltal? Vad har elever lättare respektive svårare att förstå när de jämför decimaltal? Hur kan undervisningen se ut? Hur kan undervisningen anpassas för elever med funktionshinder? Hur skiljer sig undervisningen i skolorna i Sverige gentemot andra länder? Kan tekniska hjälpmedel gynna elevers förståelse av decimaltalens storlek? För att besvara dessa frågeställningar kan bland annat intervjuer, observationer och enkätundersökningar utföras med elever.

25

7 Litteraturförteckning:

Barrera-Mora, F., & Reyes-Rodriguez, A. (2019). Fostering Middle School Students' Number Sense through Contextualized Tasks. Journal Articles; Reports – Research, 12(1), 75-85.https://doi.org/10.1016/S0959-4752(99)00028-6

Desmet, L., Gregoire, J., & Mussolin, C. (2009). Developmental changes in the comparison of decimal fractions. Learning and Instruction, 20(6), 521-532. https://doi.org/10.1016/j.learninstruc.2009.07.004

Dilek, G,. Didem. A., & Didem, A. (2016). Pre-Service Middle School Mathematics Teachers’ Understanding of Students’ Knowledge: Location of Decimal Numbers on a Number Line. International Journal of Education in Mathematics, Science and

Technology 40(4), 84-100. https://DOI:10.18404/ijemst.74290

Hiebert, J., & Wearne, D. (1983). Students' Conceptions of Decimal Numbers. National Science Foundation, Washington, D.C. Konferensbidrag. SPE-8218387, 1-60.

Kallai, A., & Tzelgov, J. (2014). Decimals Are Not Processed Automatically, Not Even as Being Smaller than One. Journal of Experimental Psychology Learning Memory and

Cognition, 40(4), 962-975.

https://psycnet-apa-org.proxy.library.ju.se/doi/10.1037/a0035782

Liu, R. D., Ding, Y., Zong, M., & Zhang, D. (2014). Concept Development of Decimals in Chinese Elementary Students: A Conceptual Change Approach. School sience and mathematics, 114(7), 326-338. https://doi.org/10.1111/ssm.12085

Moloney, K., & Stacey, K. (1997). Changes with Age in Students' Conceptions of Decimal Notation. (1997). Mathematics Education Research Journal, 9(1), 25-38.

26 Mun, L. & Y. Murray, Sara. (2014). What do Error Patterns tell us about Hong Kong Chinese and Australian Students’ Understanding of Decimal Numbers? International Journal for Mathematics Teaching and Learning, 15, 1-32.

Nilholm, C. (2017). SMART Ett sätt att genomföra forskningsöversikter. Malmö: Studentlitteratur.

Positionssystem. (2020). In NE.se. Hämtad 18 februari 2020 från https://www-ne-se.proxy.library.ju.se/uppslagsverk/encyklopedi/enkel/positionssystem

Ren, K., & Gunderson, E. A. (2019). Malleability of Whole-Number and Fraction Biases in Decimal Comparison. American Psychological Association, 55(11), 2263-2274. http://dx.doi.org/10.1037/dev0000797

Resnick, I., Rinne, L., Barbieri, C., & Jordan, N. C. (2018). Children's Reasoning about Decimals and Its Relation to Fraction Learning and Mathematics Achievement. USA: Journal of Educational Psychology. Journal of Educational Psychology, 111(4), 604-618. https://dx.doi.org/10.1037/edu0000309

Resnick, L.B.,Nesher, P., Leonard, F., Magone, M., Omanson, S. & Peled, I. (1989). Conceptual Bases of Arithmetic Errors: The Case of Decimal Fractions Author(s): Source: Journal for Research in Mathematics Education, 20(1) 8-27. https://DOI: 10.2307/749095

Roche, A. (2010). Decimats: Helping Students to Make Sense of Decimal Place Value. Australian Primary Mathematics Classroom, 15(2), 4-10.

Roche, A. & Clark, D. (2004) When Does Successful Comparison of Decimals Reflect Conceptual Understanding? In I. Putt, R. Farragher & M. McLean (Eds), Mathematics

27 Education for the Third Millennium: Towards 2010 (Proceedings of the 27th annual conference of the Mathematics Education Research Group of Australasia

Roell, M., Viarouge, A., Houdé, O., & Borst, G. (2017). Inhibitory control and decimal number comparison in school-aged children. PLoS ONE 12 (11). 1-17.

https://doi.org/10.1371/journal. pone.0188276

Skolverket. (2017). Kommentarmaterial till kursplanen i matematik. Stockholm: Skolverket. Hämtad 10 februari 2020 från

https://www.skolverket.se/publikationsserier/kommentarmaterial/2017/kommentarmateri al-till-kursplanen-i-matematik-reviderad-2017

Skolverket (2019a). Läroplan för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet 2011, Lgr 11(reviderad 2019). Stockholm: Skolverket.

Talsystem. (2020). In NE.se. Hämtad 7 februari 2020 från https://www-ne-se.proxy.library.ju.se/uppslagsverk/encyklopedi/l%C3%A5ng/talsystem

Sackur-Grisvard, C., Léonard, F. (1985). Intermediate Cognitive Organizations in the Process of Learning a Mathematical Concept: The Order of Positive Decimal Numbers. Taylor & Francis, Ltd, 2(2), 157-174. https://doi.org/10.1207/s1532690xci0202_3

Stacey, K. & Steinle, V (1999). Understanding decimals: path to expertise. International Group for the Psychology of Mathematics Education, Paper presented at the 27th

International Group for the Psychology of Mathematics Education Conference Held Jointly with the 25th PME-NA Conference (Honolulu, HI, Jul 13-18, 2003), v4 p259-266

Vosniadou, S. (1994). Capturing and modeling the process of conceptual change. Learning and instruction. 4 (1), 45-69. https://doi.org/10.1016/0959-4752(94)90018-3

28 Wong, T. T. Y (2019). The roles of place‐value understanding and non‐symbolic ratio processing system in symbolic rational number processing. The British journal of psychological society, 89(4), 635-652.

1

8 Bilagor

Översikt över analyserad litteratur Författare Årtal Titel Tidsskrift Syfte Design Urval Datainsamling Land Studiens teoretiska utgångspunkt/ram Resultat Desmet, Gregoire, Mussolin (2009) “Developmental changes in the comparison of decimal fractions.”

Målet med studien är att studerar elevers

ålderrelaterade misuppfattningar med decimaltal med de fyra villkoren som finns beskrivna (tre reglerna och nollregel som innefattar regel 1 & 3.)

Skriftligt test

Fransktalande elever år 3-6 156 st år 3, 128 år 4, 149 år 5of Grade 5 och 128 år 6.

Fransktalande elever i Belgien.

”conceptual change” – ny kunskap ackumuleras med tidigare kunskap. Det kognitiva delen i teorin

fokuserade dem på.

De tre implicita reglerna, studrer även en grupp elever som inre fått tidigare undervisning.

Resultatet visade att längden (antal siffror) på decimaltalen påverkade elevernas svar. Även siffrans värde påverkade hos de yngre eleverna. Förståelse för nollans värde fanns bara hos de äldre eleverna. Hiebert &Wearne (1983) “Students' Conceptions of Decimal Numbers.”

Målet med detta bidrag är att visa en aspekt av ett tvåårigt projekt som studerar elevers förståelse av decimaltal.

Skriftligt test, 2 olika typer av intervjuer. 25 elever i varje årskurs intervjuades individuellt. Av dessa fick 7 elever i varje årskurs genomföra en andra intervju.

Kognitiva utvecklings teorier. Mer..

Resultatet indikerade att eleverna uppfattade decimaltal som symboler vilket man genomför syntaktiska operationer med. Fast eleverna har en dold förståelse för decimaltal så kopplas de sällan

2 National Science

Foundation, Washington, D.C. Paper presented at the annual meeting of the American Educational Research Association, Montreal, April

Första skrivna testet: 115 elever i årskurs fem, 256 elever i årskurs 7, 2I2 elever I årskurs 9.

Intervju: Årskurs 3,5,7,9

Intervju 1 hade ett standardformat och analyserades efter ett

kodningssystem. Intervju 2 baserades en del av frågorna på svaren i det skrivna testet. Kanada och kort tid

ihop med de procedurella regler de har memorerat.

Liu, Ding, Zong, & Dake (2014) “Concept Development of Decimals in Chinese Elementary Students: A Conceptual Change Approach.” School science and mathematics.

En studies där man undersöker elevers

begreppsutveckling av tal i decimalform.

Frågeformulär, elev intervju. 244 elever i årskurserna 4-6. Kodningssystem för

missuppfattningar. Kina och kort tid?

”Conceptual change” – begrepps förändring

Tidigare kunskaper påverkar nya kunskaper.

Bevis på ett samband mellan decimalkunskaper och bråkkunskaper.

Moloney & Stacey (1997)

“Changes with Age in Students'

Studien undersöker australiensiska elevers begreppsuppfattning av

Skriftligt prov baserad på Resnick et al. (1989) comparison test. 379 elever i årskurserna 4-10 med olika förusättningar. 208 elever ifrån en katolsk flicksskola med

“De tre reglerna/missppfattningar” Kognitiv.

Eleverna använda heltals-regeln i de tidigare årskurserna men minskade i de senare. Bråk-regeln användes i alla årskurserna. Den mest oroväckande upptäckten I den här studien är att elever I åk

3 Conceptions of Decimal Notation.” Mathematics Education Research Journal decimalsymboler. Studien är en tvärstudie.

lågstadielever. 171 elever ifrån en katolsk högstadieskola.

Australien och långtidsstudie?

10 (2:a året på gymnasiet) inte kan avgöra vilket par av decimaltal som är störst..

Mun & Murray (2014)

“What do Error Patterns tell us about Hong Kong Chinese and Australian Students’ Understanding of Decimal Numbers?” International Journal for Mathematics Teaching and Learning.

Studien ville undersöka kinesiska och

australiensiska elevers övergripande

prestationsförmåga på olika decimaluppgifter. Med fokus på elevernas felmönster. Studien ville även undersöka elevernas begreppsförståelse och procerduella förståelse av decimaltal.

Ett skriftligt test där eleverna fick uppgifter med både fasta val och fria svar.

384 elever från Kina samt 103 elever från Australien som hade gick på mellanstadiet, eleverna har gått i skolan 6-7 år, medelålder 12 år.

Kina och Australien

Det finns ett behov av att förstå elevernas begreppsförståelse av decimaltal som en

helhetssynkunskap.

Missuppfattningar är ett sätt som kan beskriva elevernas tänkande. Studien utgår även efter de tre reglerna (heltal, bråk, nollan).

Resultatet visade att både de australiensiska och kinesiska eleverna delade liknande missuppfattningar. De kinesiska eleverna var starkare i både begreppsförståelse och procerduell förståelse.

Ren & Gunderson (2019) “Malleability of Whole-Number and Fraction Biases in Decimal Comparison.”

Studien var designad för att testa “the dynamic strategy choice theory“ i samband med decimaltal.

Frågor på laptop två alternativ, olika ämnesområden. Forskare ger feedback.

Fick korrigera målgrupp till årskurs 6-8. 8 skolor 149 deltagare. Kontrollgrupp!

“The dynamic strategy choice theory”.

Man har olika strategier att tillgå, man byter oxh anpassar strategi vid behov.

Experimentellt stöd för ”the dynamic strategy choice”. Första studien som testat strategin I detta sammanhang.