Malmö högskola
Lärarutbildningen
Natur, miljö, samhälle
Examensarbete
15 poängRika matematiska problem
En studie om problemlösning i grupp och individuellt
Rich mathematical problems
A study of problem solving in groups and individually
Ola Fyrhag
Juri Himanen
Lärarexamen 270 poäng Matematik och lärande Höstterminen 2007
Examinator: Leif Karlsson Handledare: Eva Davidsson
Sammanfattning
I undersökningen har vi använt oss av några högstadieelever för att ta reda på hur olika gruppkonstellationer samarbetar inom problemlösning i matematik. Eleverna har svarat på en enkät där två rika problemlösningsuppgifter varit utgångspunkten för vår undersökning. Vår erfarenhet och hållning till problemlösning är att ett samarbete mellan eleverna och ett öppnare klassrumsklimat, där det matematiska språkbruket appliceras på ett naturligt vis, gagnar elevernas kunskapsintag. För ett relevant ställningstagande och en tillförlitlig analys, valde vi att utföra vår enkätundersökning på eleverna både individuellt och parvis. Resultatet av undersökningen förstärker redan befintlig forskning på området. Sett ur ett
genusperspektiv, presterar pojkarna generellt sett bättre än vad flickorna gör. Ett samarbete mellan elever, oavsett hur de självvalda grupperna ser ut, ger en fördjupad matematisk förståelse och leder till en högre lösningsfrekvens än vad de individuella resultaten uppvisar. Undersökningen visar med tydlighet att slagord som ”ensam är stark” definitivt inte gäller i matematikern George Pólyas finrum (Björk, Borg och Brolin, 1995).
Nyckelord
Innehållsförteckning
1 Inledning... 7
1.1 Bakgrund ... 9
1.2 Undersökningens inriktning och syfte... 12
1.3 Konkreta frågeställningar... 13
2 Teori och litteraturgenomgång ... 14
2.1 Problemlösning och kunskapsteori... 14
2.2 Elevinteraktion ... 15
2.3 Viktiga notiser och förhållningsregler i våra nationella styrdokument... 17
2.4 Begreppsförklaring... 18
3 Metod ... 19
3.1 Förankring i vetenskapliga metoder... 19
3.2 Definitioner av problem ... 20
3.3 Kriterier och urval av undersökningsgrupp... 21
3.4 Upplägg, genomförande och forskningsetik ... 22
3.5 Enkätfrågorna och de skriftliga elevlösningarna... 23
3.6 Observation ... 23
3.7 Undersökningens validitet och reliabilitet... 24
4 Resultat... 26
4.1 Lösningsfrekvensen i de individuella elevsvaren... 26
4.2 Lösningsfrekvensen i samarbetsgrupperna ... 27
4.3 Jämförelse av lösningsfrekvens... 28
4.4 Hur påverkas resultatet av elevernas genuskonstellation? ... 29
4.5 Elevernas utvärdering av undersökningen/enkätfrågorna ... 30
5 Diskussion och analys ... 32
5.1 Problemlösning - individuellt eller i grupp? ... 33
5.2 Genusaspekter utifrån elevresultaten... 34
5.3 Elevkonstellationer i matematikundervisningen ... 34
5.4 Avslutande diskussion och analys... 35
5.5 Kan man med säkerhet slå hål på myten ”ensam är stark”?... 36
5.6 Förslag till vidare forskningsfrågor som växt fram under vårt examensskrivande? .. 36
6 Referenser... 37
6.1 Litteratur referenser... 37
Bilagor... 39
7.1 Bilaga 1, Frågeformulär, individuellt arbete, sida 1... 39
7.2 Bilaga 2, Frågeformulär, individuellt arbete, sida 2... 40
7.3 Bilaga 3, Frågeformulär, pararbete, sida 1 ... 41
7.4 Bilaga 4, Frågeformulär, pararbete, sida 2 ... 42
7.5 Bilaga 5, Föräldrarinformation och godkännande av undersökningen. ... 43
1 Inledning
Skolverkets målbeskrivning av matematikämnet i grundskolan betonar vikten av olika undervisningsformer, exempelvis individuellt arbete och elevsamarbete (Skolverket). En nyfikenhet som väckts hos oss under resans gång, är att närmare granska och jämföra dessa två undervisningsmetoder. Vi vill undersöka vilken roll grupparbeten spelar i
matematikundervisningen och hur en grupporienterad undervisning påverkar elevresultaten. Är det så att grupparbetsövningar och en laborativt inriktad undervisning är en didaktisk nymodighet eller kan denna form av pedagogik faktiskt bidra till en mer kvalitativ matematikundervisning? Förutom att tillmötesgå nämnda mål menar Horne(Clarke m.fl. 2004) att grupparbete kombinerat med problemlösning har en potential att variera
matematikundervisningen. Hon menar även att detta samarbete mellan elever och pedagoger kan inspirera eleverna i sin matematiska kunskapsiver. Detta synsätt befästs också i
Läroplanernas strävansmål,där skolan ska verka för att elever “utvecklar nyfikenhet och lust att lära” (Lpo 94).
Under utbildningens gång och i den verksamhetsförlagda tiden (vft) har vi märkt att matematikundervisningen på våra partnerskolor varit väldigt snarlika varandra.
Undervisningen som bedrivits på våra partnerskolor har framförallt, och i likhet med många andra skolor, bestått av en allt för hög grad av monotont individuellt arbete, vilket också förankras i forskning inom området att det är ett vanligt förekommande fenomen (Lusten att lära, Skolverket).
Vi kommer i vår undersökning att koncentrera oss på matematisk problemlösning och hur den kan implementeras i undervisningen på ett mer varierande vis än vad som generellt sker idag. Fokus kommer att läggas på en viss typ av problemlösning som handlar om öppna problem och hur den påverkas av grupparbete kontra individuellt elevarbete.
Möllehed (2001) lyfter upp öppna problem som ett didaktiskt verktyg för att träna eleverna att vara flexibla i sitt tänkande. Möllehed menar vidare att öppna problem eller problemlösning som inte direkt kan förknippas med en viss typ av algoritm eller räknesätt, sätter igång elevernas resonerande tänkande kring problemen. Syftet med våra öppna
till att vilja angripa problemen som de är tilldelade, gärna med flera och olika typer av lösningsstrategier.
Intresset för problemlösning började redan på 1930-talet, där den ungerska matematikern George Póyla (1887-1985) var problemlösningens förgrundsfigur inom området (Möllehed). Men det skulle dröja ända fram till 1970-talet innan intresset för problemlösning spred sig över resten av världen.
”Routine problems, even many routine problems, may be necessary in teaching mathematics but to make students do no other is inexcusable” (Pólya, citerad i Möllehed, s.16).
Citatet visar hur George Póyla vände sig mot gällande undervisningsform som enligt honom var alltför rutinbaserad.
Våra egna didaktiska funderingar ligger i linje med Pólyas resonemang. Matematikämnets struktur, liksom många andra ämne, kräver en del enformig mängdträning och till detta passar vanliga rutinuppgifter som exempelvis algoritmberäkning, väldigt bra. Men för att bygga upp en bra begreppsförståelse i matematik, bör eleverna också utmanas av uppgifter med större djup och bredd. Uppgifter som framförallt väcker en lust hos eleverna, en lust att faktiskt vilja lösa de problem de står inför (Möllehed). I Lpo 94 står det i uppnåendemålen att elever ska “lyssna till, följa och pröva andras förklaringar och argument”. Detta preciserar behovet av en utökad matematisk kommunikation i matematikundervisningen, där lösningsstrategier öppet diskuteras i klassen, både i helklass och i mindre grupper. Maher(Engström, 1998) menar att denna kommunikation även kan vara ett didaktiskt verktyg för att väcka barnens och
1.1 Bakgrund
Problemlösning
Under de senaste decennierna har matematiska baskunskaper allt mer inriktats mot och betraktats som verktyg vid problemlösning (Riesbäck m.fl. 2000). Vilket betyder att de färdigheter som matematikundervisningen förespråkar och förmedlar är ämnade att hjälpa människor att kunna tolka information och för att kunna lösa problem i diverse vardagliga sammanhang. Kortfattat ska matematikkunskaper kunna tillämpas vid en rad olika
matematiska problem som en samhällsmedborgare kan tänkas ställas inför. Detta
förhållningssätt betonar att god problemlösningsförmåga och matematikfärdigheter alltmer fungerar som viktiga och grundläggande livskunskaper.
Hagland m.fl. (2005) anser att undervisning i problemlösning utvecklar elevernas förmåga att tänka såväl kreativt som logiskt. De påpekar även att den utmaning som
problemlösningsuppgifter erbjuder eleverna kan öka deras motivation att arbeta med
matematik och inspirera till ytterligare kunskapsintag. Förutsättningen för att en individ ska kunna utveckla en god problemlösningsförmåga är en gedigen kunskapsbas, vilket många studier också poängterat (Björkqvist, 2001). Det är många faktorer som
matematikdidaktikerna menar talar för problemlösning i skolmatematiken. Lester & Lambdin (2006) menar att ett lärande via problemlösning utvecklar elevernas matematiska förståelse. Björkqvist (2001) menar yttermera att problemlösningen som undervisningsmetod både är och befrämjar tillväxten av den matematiska förståelsen. Denna ökade förståelse för matematik som problemlösning kan leda till skapar en positiv utvecklingsspiral, där den utökade förståelsen motiverar och skapar förutsättningar för ytterligare förståelse (Lester & Lambdin). De menar även att en fördjupad förståelse förbättrar och underlättar
kunskapstransfer, det vill säga, att eleverna har lättare att implementera nyfunna kunskaper och färdigheter till andra sammanhang och ämne och att det skapar mer självständiga elever. I skolverkets styrdokument betonas elevsamarbete, trots detta förekommer problemlösningen företrädesvis som enskilt arbete i den svenska skolan. I ett undervisningsperspektiv har Lester (1996) sammanfattat fyra viktiga punkter för resultatet av undervisning i
problemlösning, punkter som han menar är en ren förutsättning för ett framgångsrikt arbete i problemlösning.
Elever måste lösa många problem för att förbättra sin problemlösningsförmåga. Problemlösningsförmågan utvecklas långsamt och under en lång period.
Elever måste tro på att deras lärare tycker att problemlösning är betydelsefullt för att de ska ta till sig undervisningen
De flesta elever tjänar på systematisk undervisning i problemlösning. (Lester, 1996, s. 87)
Elever som arbetar med problemlösning ser lättare behovet av kunskaper inom olika moment i matematiken vilket ökar motivationen att inhämta nya färdigheter och befästa sina kunskaper. I viss bemärkelse erbjuder också problemlösning träning i att välja bland sina kunskaper och tillämpa dessa på problemen (Hagland m.fl. 2005).
Problemlösning i grupp
Vilken roll kan då grupparbete kombinerat med rika problemlösningsuppgifter spela i strävan mot en djupare förståelse för matematiken? Enligt Bauersfeld främjar ett elevsamarbete och utbyte av erfarenheter, till en mer kritisk och stimulerande lärandemiljö. Han varnar dock för en överbetoning av detta och menar att undervisningen inte kan sönderdelas i självständigt arbete i smågrupper. Han betonar vidare att en vågmästarroll är viktig mellan de olika arbetssätten (Bauersfeld, i Engström, 1998). I matematikämnet, är det speciellt kring problemlösning som ett elevsamarbete betonas. Detta är något som många matematiklärare och matematikdidaktiker förespråkar och arbetar aktivt för (Möllehed, 2001). Detta
ställningstagande blir naturligt om man beaktar Vygotskijs potentiella utvecklingszoner. Där samarbetet mellan individerna kan leda till förbättrade prestationer och den matematiska förståelsen lyfts hos individerna. Denna metodik är dock inte särskilt vanlig i dagens matematikundervisning i den svenska skolan (Möllehed).
Det finns studier som talar för ett grupporienterat arbetssätt kring problemlösning i
matematikundervisningen. I en storskalig studie på 11000 elever, av ålderintegrerade klasser i Australien, gjordes fallstudier av sex erkänt framgångsrika och duktiga pedagoger. Det
fallstudien fann gemensamt i lärarnas undervisning var att den till stora delar var
grupporienterad och uppgifterna ofta av en öppen karaktär, det vill säga, de presenterade uppgifter som inte direkt kunde knytas till ett specifikt räknesätt. Olika typer av spel var också
vanliga inslag i deras undervisning (Horne, i Clarke m.fl. 2004). En annan faktor som nämndes i undersökningen var variationen i undervisningen. Deras undervisningsstrategier ledde till att eleverna närmade sig en djupare förståelse för matematiken.
Pedagogerna i studien var flexibla i både val av undervisningsform och material (Horne, i Clarke m.fl.).I den mindre gruppen i matematikundervisningen finns det vissa fördelaktiga moment jämfört med den mer traditionella och individuella. Den ger andra perspektiv på begrepp och låter elever bryta sina uppfattningar mot andras, vilket utvecklar elevernas förmåga att motivera och resonera för sina idéer. Komplicerade och abstrakta regler och begrepp inom matematiken kan iklädas ett vardagligt språk av klasskamrater, ibland till och med bättre av eleverna själva, än av läraren (Skolverket, Lusten att lära). Att arbeta med problemlösning i olika smågrupper på det sätt som ovanstående undersökningen beskrivit, kräver en mer utvecklad och balanserad form av pedagogik. Lärarrollen måste förändras och utvecklas från handledare till specifikt mentorskap, samt elevrollen måste utvecklas mot ett mer aktiv självstuderande (Pehkonen, 2001). Denna pedagogik medför att pedagogen måste besitta kunskaper i bland annat grupprocesser, gruppdynamik och gruppsykologi för att undervisningen skall fungera väl.
Lewin nämner några faktorer som talar för ett grupparbete rent generellt: ”Groups tend to be powerful rather than weak, active rather than passive, fluid rather than static, and catalysing rather than reifying” (Lewin, citerad i Forsythe, 2006, s.16). Detta påvisar vilken styrka en välfungerande grupp i en gynnsam gruppundervisning kan ha för kunskapsutvecklingen.
Rika matematiska problem
Tillgången till stimulerande problemlösningsuppgifter är viktig, det vill säga uppgifter som erbjuder en utmaning för alla elever (Bauersfeld, i Engström, 1998). Traditionellt har uppgifter med benämningarna textuppgift och benämnd uppgift klassats som problem och använts synonymt för problemlösningsuppgifter (Björkqvist, 2001). Det viktigaste kriteriet har varit att eleverna i initialskedet inte direkt kunnat se vilka lösningsmetoder de ska använda sig av. Öppna uppgifter är också en benämning på en viss typ av problemuppgifter. Under 1990-talet började man tala om rika matematiska uppgifter som en värdefull lärarkunskap. Dessa uppgifter är inte enbart motiverande för många elever utan de stödjer även utvecklandet av matematiska begrepp. Björkqvist (2001) menar att dessa uppgifter kan fungera som en brygga mellan olika kontexter, mellan skolmatematiken och verkligheten och på så vis
på rika problem (Hagland, Hedrén, Taflin, 2005) vill vi i vårt examensarbete undersöka hur elevernas resultat påverkas beroende på vilken didaktik som används. Med rika problem menar vi uppgifter som har en bredd och fördjupning som innebär att alla elever skall kunna utmanas oavsett vilka förkunskaper de har (Hagland, Hedrén, Taflin).
1.2 Undersökningens inriktning och syfte
Om man beaktar läroplanen och dess strävansmål i matematikkan man se att huvudsyftet med matematikundervisningen har utvecklats från att handla om numerisk räkning och
taluppfattning, till att idag inrikta sig mer på förmågan att kunna se mönster och algebraiska generaliseringar (Skolverket, TIMSS, 1996).
En eftersträvan om ett öppnare klassrumsklimat där det matematiska språkbruket
implementeras på ett naturligt vis gagnar ett effektivare och mer aktivt lärande,vilket också Maher (Engström, 1998) befäster. Tyvärr visar forskningen att denna form av didaktik undervärderas av dagens pedagoger och används i allt för liten utsträckning (Lerman, 2006) Med hjälp av problemlösningsuppgifter som bygger på rika problem (Hagland, Hedrén, Taflin, 2005) vill vi i vårt examensarbete undersöka hur elevernas resultat i problemlösning påverkas beroende på vilket arbetssätt som används. Med rika problem menar vi uppgifter som har en bredd och fördjupning som innebär att alla elever skall kunna utmanas oavsett vilka förkunskaper de har (Hagland, Hedrén, Taflin). Vi vill i denna studie utforska om grupparbete, där elevdiskussioner och samarbete är naturliga inslag, kan leda till en djupare förståelse och konkreta generaliseringsmetoder i problemlösning. Vi har också för avsikt att granska hur olika elevkonstellationer med hänsyn till genus, påverkar resultatet i studien. Dessutom kommer vi att jämföra elevernas grupparbeten med en individuell studie och försöka koppla resultatet av våra analyser till befintlig forskning.
1.3 Konkreta frågeställningar
• Hur påverkar elevernas samarbete lösningsfrekvensen?
2 Teori och litteraturgenomgång
I följande avsnitt kommer vi att redovisa vad Skolverket och aktuell forskning säger om matematisk problemlösning och integrationen med elevsamarbete.
2.1 Problemlösning och kunskapsteori
Problemlösning är inget nytt fenomen i matematikdidaktiken, redan på 1940-talet väcktes intresset för denna typ av undervisningsmetodik, där förgrundsfiguren var den ungerske matematikern George Pólya (Möllehed, 2001). I Sverige har problemlösningens roll i
matematikundervisningen betonats i styrdokumenten sedan 1960-talet, i och med Lgr 69. I det nästkommande styrdokumentet Lgr 80, tilldelades problemlösningen större utrymme och vikt. Även i det senaste styrdokumentet Lpo 94 har problemlösning inom matematik en given plats. Problemlösningens betydelse i matematikundervisningen nämns ingående i strävansmålen och i kursplanerna för matematik. Men i uppnåendemålen för årskurs nio (Lpo 94), finns det inget kunskapsminimum preciserat om vilka kunskaper eleverna skall ha tillägnat sig inom
matematisk problemlösning.
Det finns flera påtagliga saker som talar för problemlösning, bl.a. ”lärande genom
problemlösning utvecklar förståelsen” (Lester & Lambdin, 2006). En förståelse som i sin tur bäddar för självförtroende och engagemang hos eleverna. Det motsatta blir således att inte förstå, vilket oftast leder till uppgivenhet och brist på engagemang (Lester & Lambdin). Problematiken i ett lärande, inriktad mot förståelse, är att det ofta anses svårare att uppnå. Det är även mer tidskrävande än att memorera och kopiera färdiga lösningsprocedurer. Trots detta menar Skemp (1979) att fördelarna klart överväger nackdelarna. Förståelse banar väg för ytterligare förståelse och de anser också att problemlösning fungerar motiverande och leder till mer självständiga elever.
De nationella styrdokumenten har influerats av de konstruktivistiska undervisningsteorierna mer än av någon annan didaktisk teori. De konstruktivistiska undervisningsteorierna inriktar sig mot en mer förståelseinriktad matematikundervisning (Engström, 1998). Engström har sammanfattat olika inslag i matematikundervisningen som konstruktivistiska inslag, som även understryker problemlösningens roll. Enligt Engström poängtera den konstruktivistiska teorin att lärandet ses som en problemlösande aktivitet där elevernas egna frågeställningar och
metoder att formulera sina problem, ges stort utrymme. Gruppdiskussioner är också ett viktigt inslag, där eleverna tillåts och uppmuntras att utbyta sina uppfattningar, vilket i sin tur
utvecklar elevernas förmåga att argumentera och bestyrka sina idéer. Nämnda inslag är praktiska implikationer sprungna ur konstruktivismen (Engström). Den konstruktivistiska undervisningsfilosofin presenterar problemlösningsaktiviteter som är öppna, där olika lösningsmetoder uppmuntras. Konstruktivismen grundar sig på Piagets teorier, vilka har vidareutvecklats och idag talar man om tre former av konstruktivism, socialkonstruktivism, radikalkonstruktivistisk och svag konstruktivism (Engström). Det gemensamma för dessa är att lärandet ses som en rekursiv process, det vill säga, nya kunskaper och insikter är produkten av elevens tidigare kunskaper. Eleverna är råmaterialet och bildar utgångspunkt för vidare kunskaper och insikter. De olika inriktningarna i konstruktivismen svarar mot olika praktiska undervisningsimplikationer. Där socialkonstruktivismen är den inriktning vari problemlösning och samarbete elever emellan mest förekommer (Ernest, 1998).
2.2 Elevinteraktion
I kursplanen för grundskolan i matematik (Skolverket, 2000a) står det bland annat följande. ”För att eleverna framgångsrikt ska kunna utöva matematik krävs det en balans mellan kreativa, problemlösande aktiviteter och kunskaper om matematiska begrepp, metoder och uttrycksformer…” (Hagland, Hedrén, Taflin, 2005. s.8). För gymnasieskolan finns liknande formuleringar där problemlösning klart och tydligt poängteras som en viktig del i
matematikundervisningen. Problemlösning är en aktivitet som med fördel bör utföras i elevgrupper (Möllehed, 2001). Elevsamarbete betonas även i läroplanen Lpo 94 under mål och riktlinjer. Följande punkt är ett av målen att sträva mot: ”- lär sig utforska, lära och arbeta både självständigt och tillsammans med andra”.
Problemlösning betonades som målet med matematikkunskaperna redan i Lgr 69 och det är på nämnda manér som den ofta förekommer i dagens matematikundervisning (Lester &
Lambdin, 2006). Först kommer tränandet av ett nytt begrepp inom matematiken och därefter, en finslipning och fördjupning av dessa nya begreppskunskaper via problemlösning.
Läroböckerna i matematik stödjer också detta upplägg av matematikundervisning (Undvall, Olofsson och Forsberg, 2003). Lester & Lambdin menar vidare att problemlösning även bör användas som introduktion av nya begrepp i matematiken. Då det bäddar för ett kreativt och stimulerande arbete kring de nya kunskaperna och begreppen som skall avhandlas. Syftet med
kunskaperna i och kring begreppen blir tydligare om de presenteras inbäddade i både rika och verkliga problem som eleverna har lättare att relatera till (Boaler, 1993). Boaler menar också att kontextens betydelse för elevernas motivation till kunskaper i problemlösning och
matematikkunskaper rent generellt inte ska förringas.
I en studie av känslornas och försvarsmekanismernas roll i problemlösning utförd i grupp, myntades uttrycket ”shared cognitive intimacy” av författaren Hannula (2005). Detta fenomen var ofta förekommande i de grupper som deltog i en 3-årig undersökning i Finland, som handlade om elevgrupparbete. Vad som karaktäriserar ovanstående fenomen är en trevlig atmosfär under arbetets gång, samt en kommunikation där eleverna ideligen överlappar och kompletterar varandras uttryck och påståenden. Samt att samfällda uttryck kring problemen ibland figurerade som höjdpunkten i lösningsprocessen. När eleverna i undersökningen utvärderade processen i grupparbetet, nämndes den med mestadels positiva utlåtanden. En negativ aspekt i grupparbetet som dock framkom i undersökningen, var att några elever exkluderades i lösningsprocessen. Denna förekomst av ”a third wheel” (Hannula, s.33) i grupparbetet, var enligt Hannula inte alltid medveten. Snarare var det en sidoeffekt av att några av gruppmedlemmarna blev så engagerade i problemet att de inte uppmärksammade att en eller ett fåtal gruppmedlemmar inte medverkade eller kom till tals i samarbetsprocessen.
2.3 Viktiga notiser och förhållningsregler i våra nationella styrdokument
Följande axplock är tagna ur de nationella styrdokumenten och förtydligar hur matematiken bör/kan implementeras i matematikundervisningen (Skolverket). Utan att föra ett djupare resonemang över de enskilda punkterna, så visar de på den komplexitet som förekommer inom skolans väggar. Följande strävansmål, uppnåendemål och kursplaner diskuterar vi löpande i vårt arbete och finns hela tiden med som grundläggande faktorer i framställandet av vårt examensarbete, som också är en del av vår lärarprogression.
• Varje elev har rätt att i skolan få utvecklas, känna växandets glädje och få erfara den tillfredsställelse som det ger att göra framsteg och övervinna svårigheter.
• Den dagliga pedagogiska ledningen av skolan och lärarnas professionella ansvar är förutsättningar för att skolan utvecklas kvalitativt. Detta kräver att undervisningsmålen ständigt prövas, resultaten följs upp och utvärderas och att nya metoder prövas och utvecklas.
• Skolan skall bidra till elevernas harmoniska utveckling. Utforskande, nyfikenhet och lust att lära skall utgöra en grund för undervisningen.
• Eleverna känner trygghet och lär sig att ta hänsyn och visa respekt i samspel med andra.
• Eleverna lär sig att utforska, lära och arbeta både självständigt och tillsammans med andra.
• Utbildningen skall ge en god grund för studier i andra ämnen, fortsatt utbildning och ett livslångt lärande.
• Utbildningen i matematik skall ge eleven möjlighet att utöva och kommunicera matematik i meningsfulla och relevanta situationer i ett aktivt och öppet sökande efter förståelse, nya insikter och lösningar på olika problem.
• Matematik har nära samband med andra skolämnen. Eleverna hämtar erfarenheter från omvärlden och får därmed underlag för att vidga sitt matematiska kunnande.
• Kunna tolka och använda enkla formler, lösa enkla ekvationer, samt kunna tolka och använda grafer till funktioner som beskriver verkliga förhållanden och händelser.
2.4 Begreppsförklaring
• Rika problem – problem som ges möjlighet att utvecklas till djupare diskussioner av matematiska begrepp. Enligt (Hagland, Hedrén och Taflin, 2005. s.28-30) skall rika problemlösningsuppgifter uppfylla 7 kriterier för att inkluderas i denna kategori:
- Problemet skall introducera viktiga matematiska idéer eller vissa lösningsstrategier.
- Problemet skall vara lätt att förstå och alla ska ha en möjlighet att arbeta med det.
- Problemet skall upplevas som en utmaning, kräva ansträngning och tillåtas ta tid.
- Problemet skall kunna lösas på flera olika sätt, med olika strategier och representationer.
- Problemet skall kunna initiera en matematisk diskussion utifrån elevernas skilda lösningar, en diskussion som visar på olika lösningsstrategier, representationer och matematiska idéer.
- Problemet skall kunna fungera som brobyggare mellan olika matematiska områden.
- Problemet skall kunna leda till att elever och lärare formulerar nya intressanta problem.
• Problemlösning – innebär att man använder sina redan erhållna kunskaper i nya och okända situationer. Den ungerske matematikern George Pólya, organiserade en lösningsstrategi i fyra steg för hur man löser problem (Björk, Borg och Brolin, 1995, s.154).
- Förstå problemet. - Gör upp en plan. - Utför planen. - Kontrollera svaret.
• Facilitator – syftar på lärarens roll som handledare och mentor, där läraren via sina undervisningsmetoder skapar lärandesituationer som underlättar elevernas inlärning (Pehkonen, 2001).
3 Metod
I detta kapitel kommer vi att redovisa några vetenskapliga metoder samt vilka kriterier vi tog hänsyn till i vårt val av urvalsgrupp. Dessutom redovisar vi hur vi genomförde
undersökningen och hur stor tillförlitligheten på undersökningen kan anses vara.
3.1 Förankring i vetenskapliga metoder
I vår undersökning är det framförallt två faktorer som beaktas, nämligen hur eleverna arbetar tillsammans, kontra individuellt elevarbete och hur de olika arbetssätten påverkar elevernas resultat i problemlösning. För att vi på ett tillförlitligt sätt skulle kunna dra några slutsatser av undersökningen, krävdes en studie av elevernas grupparbete och individuella prestationer för att kunna jämföra deras uppnådda resultat.
I vår strävan att göra en systematisk och noggrann undersökning i examensarbetet, granskades olika metoder och deras kompabilitet med våra forskningsfrågor. Följande metoder är de vanligaste vid examensarbetet i lärarutbildningen (Johansson & Svedner, 2006), enkät, kvalitativ intervju, observation och textanalys. Då vi ämnade undersöka hur elever i olika konstellationer presterar i rika problemlösningsuppgifter, studerade vi elevernas skriftliga lösningar och jämförde resultaten för att kunna mäta om grupparbetet påverkade resultatet. Möllehed (2001) menar att ett studium av skriftliga elevlösningar, kombinerat med kvalitativa intervjuer är en gångbar metod för att studera hur elever lyckas med problemlösning. Av tidsbrist och problem med tillgången av elever, försvann möjligheten att utföra några kvalitativa intervjuer. Vilket föranledde att vi kompletterade studien av elevernas skriftliga lösningar med en observation. Observationen var inriktad mot att kontrollera elevernas samarbete i enkätundersökningen. Underlaget från ovanstående metoder kompletterade vi med en enkätfråga, där vi hade för avsikt undersöka vad eleverna tyckte om uppgifterna och arbetssättet som de utsattes för.
3.2 Definitioner av problem
Nedan följer en schematisering av matematiska uppgifter enligt (Hagland, Hedrén och Taflin, 2005). Denna schematiska uppdelning av matematik uppgifter, visar att textuppgifter,
benämnda uppgifter och vardagsuppgifter kan ses som både problemuppgifter och
rutinuppgifter. Enligt schematiseringen är det enbart rutinuppgifter och standarduppgifter som inte kan räknas som problemlösningsuppgifter. Valet av våra uppgifter (se bilaga 1-4) som eleverna testades på grundades på vårt intresse för tal & mönsteruppgifter, som vi tycker är medryckande och utvecklingsbart i undervisningssyfte samt i strävan efter en fördjupad elevförståelse i matematik. Att vi sedermera kunde få belägg för att uppgifterna som vi valt, faktiskt också uppfyller de flesta av (Hagland, Hedrén och Taflins) 7 kriterier (se s.18) för att få kategoriseras som ”rika problem” ökade bara motivationen till att arbeta vidare på det inslagna spåret.
Här har examensarbetet sin inriktning!
Rutinuppgift
Standarduppgif Textuppgift Benämnd uppgift Vardagsuppgift
Problem
Rikt problem Annat problem Uppgift
3.3 Kriterier och urval av undersökningsgrupp
I examensarbetets initialskede, var vår tanke, att med en komparativ studie göra en
undersökning på två olika skolor för att kunna se om resultaten av studien skilde sig åt. Men som brukligt är vid c-uppsatsskrivningar, greppar man över för mycket och tvingas att smalna av sina visioner och begränsa sig till något mer konkret, greppbart och genomförbart.
Därför bestämde vi oss för att göra vår studie på endast en skola och inrikta oss på att ha ett så homogent elevunderlag som möjligt. Parametrar som vi inför vårt urval valde att ta hänsyn till var: Elevernas… - Ålder - Nivågruppering - Arbetslag - Tillgänglighet - Bortfall
Eftersom båda examensskribenterna har sin examensinriktning mot grundskolans senare del föll det sig naturligt att inrikta studien och val av elever inom denna kategori. När vi tittade närmare på vilken åldersinriktning vi ville utforska, tyckte vi att årskurs 7 var lämpligt eftersom här inte finns några nivågrupperingar i samma utsträckning som i de senare åren. På skolan arbetar eleverna med Matematikboken X (Undvall, Forsberg och Olofsson, 2003), vilket innebär att samtliga elever i urvalsgruppen har samma matematikbok. Nästa parameter vi ville ta hänsyn till var att eleverna som deltog i studien skulle ha någorlunda liknande förutsättningar och arbetssätt, vilket vi närmade oss om vi höll oss till ett arbetslag. Visserligen har eleverna olika lärare, men arbetslaget är väl sammansvetsat och arbetar
målinriktat tillsammans. Tillgängligheten och möjligheten att genomföra vår studie var en stor fördel med vårt urval av elever. Eventuellt elevbortfall såg vi inte som något problem, då vi valde att utföra vår studie på tre olika sjundeklasser.
Sammanfattningsvis kan nämnas att vi inte hade något slumpmässigt urval av elever och därför inte med säkerhet kan säga att vår studie speglar alla andra skolor i Sverige.
Det totala elevantalet i vår urvalsgrupp var 68 elever, varav 56 elever deltog i vår studie och utgör vårt dataunderlag för senare i arbetet presenterade resultat och analys. Det externa bortfallet på 12 elever anser vi inte har någon större betydelse för utgången av vår undersökning, eftersom de frånvarande eleverna inte har någon särskild anknytning till varandra (Patel & Davidsson, 2003).
3.4 Upplägg, genomförande och forskningsetik
Innan vi kunde sätta igång med vår undersökning, fanns det ett par praktiska detaljer som måste lösas. Kontakten med berörda lärare togs personligen och efter godkännande om deras avsättning av lektionstid bestämdes tidpunkt för genomförandet. Informationsbrev (bilaga 5) till föräldrarna åt de elever som skulle komma att ingå i undersökningen, delade respektive ämneslärare ut veckan innan undersökningen. Vilket gav föräldrarna en möjlighet att avstyra eller ställa frågor angående undersökningen.
Studien består av tre praktiska delmoment, elevernas pararbete, observation samt det
individuella elevarbetet. Den första delen av studien genomfördes en fredag förmiddag där två klasser fick gruppera sig två och två. Eleverna fick själva bestämma vem de ville samarbeta med, men uppmanades att arbeta pojke – flicka, i så kallade blandgrupper. De fick
instruktioner om vad undersökningen handlade om och hur de skulle agera om de körde fast och inte kom vidare. Eleverna uppmanades då att hoppa över uppgiften för att sedan, om de hade tid över, återgå till uppgiften. De hade 60 minuter till sitt förfogande och de
informerades samtidigt om att analysen av deras resultat skulle komma att utgöra underlag för vårt examensarbete. Som ett delmoment i undersökningen, var att eleverna under sitt
arbetande med enkäten och frågorna skulle komma att bli observerade hur deras samarbete fungerade.
I informationen till eleverna tog vi hänsyn till och förmedlade eleverna om deras anonymitet enligt den forskningsetik som Humanistisk-samhällsvetenskapliga forskningsrådet uppmanar till för att skydda urvalsgruppens anonymitet och integritet (Johansson & Svedner, 2006). Det sista delmomentet, där eleverna individuellt skulle besvara enkätfrågorna, genomfördes en tisdag eftermiddag. Samma tidsåtgång hade de till sitt förfogande och instruktionerna var de samma. Dock fick vi väldigt många frågor sedan testet satt igång, så vi fick informera eleverna om att det var ett enskilt arbete och var utformat som ett test, vilket föranledde att vi inte kunde svara på några frågor under testets gång.
Eftersom observationsmomentet inriktade sig på hur elevernas samarbete fungerade, valde vi att avstå från observationsmomentet i den individuella studien.
3.5 Enkätfrågorna och de skriftliga elevlösningarna
Enkäten består av två matematiskt rika problemlösningsuppgifter, det innebär att problemen är nivågrupperade från a, b, c, och så vidare. Rikheten i problemen utgörs av att så många elever som möjligt ska uppmuntras att ta del av problemen och finna någon lösningsstrategi att bygga vidare på (Hagland, Hedrén och Taflin, 2005). Samtidigt skall de olika
svårighetsnivåerna utmana de duktigare eleverna till ett mer abstrakt och generaliserande matematiskt tänkande. Valet av uppgifterna bottnar i vår bakgrund och syftesbeskrivning, där vi klargör att den här typen av tal och mönsteruppgifter har en potential som tyvärr föga utnyttjas inom skolans ramar.
Dessutom ville vi för ett relevant jämförande i vår studie ha information om genustillhörighet och hur de valt att gruppera sig i den samarbetsbelagda delen av studien.
Den avslutande frågan som finns på formulären är en åsiktsfråga, där eleverna skulle utvärdera studiens uppgifter i en flerskalig barometer, från tråkigt (1) till roligt (4). Risken man löper vid en sådan attitydförfrågan är att majoriteten av svaren hamnar i mitten av den givna skalan. Denna centraltendens kan dock kringgås. Därför valde vi det radikala sättet att gradera med ett jämt antal svarsalternativ vilket innebar att vi undvek detta fenomen (Patel & Davidsson, 2003).
3.6 Observation
Som ett komplement till våra enkätuppgifter och elevlösningar valde vi att observera
elevernas grupparbete. Vi valde en strukturerad observation(Patel & Davidsson, 2003), där vi på förhand konstruerat vilka saker som skulle iakttagas.
Vi ville undersöka om det fanns några likheter i deras kommunikation och aktivitet vid arbetet med uppgifterna i de olika grupperna. Totalt observerade vi sex elevgrupper. Varje elevgrupp observerades i 10 minuter. För varje grupp som iakttogs hade vi färdiga observationsscheman (se bilaga6)som var identiska för alla grupperna. Under observationen deltog vi inte med några kommentarer och hjälpte inte grupperna på något annat vis. Vilket medförde att vi fick möjlighet att enbart koncentrera oss på våra observationspunkter. Därmed säkerställer man också kvaliteten på observationen enligt (Bjørndal, 2005). Eleverna hade blivit informerade
om vad som skulle observeras, nämligen deras matematiska kommunikation vid lösningen av uppgifterna.
Vi önskade ett så slumpmässigt urval av de utvalda observationsgrupperna som möjligt och det menar vi att vi uppnådde då vi som observatörer inte hade någon förkunskap om elevernas kunskapsnivå eller sociala kompetens, detta för att vi ville undvika den så kallade
centraltendensen. Centraltendens är något som observatörer ofta försöker eftersträva, där man aktivt väljer att rikta in sig på ett slags medelvärde för att undvika ytterligheterna och därmed ett missvisande resultat (Bjørndal). En viktig aspekt att beakta vid genomförande av
observationer, är perception och minne. Psykologerna M. E. Kolivosky och L. J. Taylor (1977) sammansatte några goda skäl till varför vi skall inta en kritisk hållning till just observationer. Vi nämner följande av dessa som extra väsentliga för vår undersökning.
• Människor ser det de vill se.
• Två personer ser inte en och samma situation på samma sätt. • Människor uppfattar saker och ting utifrån sin tidigare erfarenhet.
• Människor tenderar att minnas det första och det sista i en serie av ting och händelser.
3.7 Undersökningens validitet och reliabilitet
I en undersökning av detta slag är det ett par faktorer som behöver beaktas, nämligen undersökningens reliabilitet och validitet. Reliabiliteten är synonymt med tillförlitligheten i undersökningsmetoderna. Hur noggrant mäter metoder som intervju, enkät och observation de beteenden och uppfattningar som undersökningen önskar bringa vetskap om? Validitet är ett uttryck som syftar på undersökningens förmåga att svara på frågeställningarna. Undersöker vi det vi ämnade undersöka eller tror vi oss enbart göra det? Reliabilitet och validitet är två faktorer som är beroende av varandra, vilket i sin tur medför att strävandet efter både hög reliabilitet och validitet är ovillkorlig i alla typer av undersökningar (Patel & Davidsson, 2003). Patel och Davidsson nämner några tumregler för beroendeförhållandet mellan
reliabilitet och validitet. ”Låg reliabilitet ger låg validitet, hög reliabilitet är ingen garanti för hög validitet och att fullständig reliabilitet är en förutsättning för fullständig validitet” (Patel & Davidsson. s.9).
I arbetet med undersökningen granskades reliabiliteten i våra mätmetoder. Då vi undersökte problemlösningsförmågan i olika elevkonstellationer, blev ett studium av skriftliga
elevlösningar ett självklart val. Tillförlitligheten i denna del av undersökningen blev en fråga om rättvis bedömning och poängsättning av svaren. Vi (examensskribenterna) rättade först elevernas lösningar var för sig, dock var poängsättningen förutbestämd. Därefter diskuterade vi olikheterna i våra bedömningar av elevsvaren, innan vi samstämmigt gav de slutgiltiga poängen. Detta borgade för en mer objektiv och rättvis bedömning. Förutsättningarna vid genomförandet var de samma för alla elever, alla hade tillgång till samma materiel och löste samma problemlösningsuppgifter. Enda skillnaden var att en del angrep problemen
individuellt, medan andra angrep det parvis i grupper. Omdömesfrågan eleverna svarade på i samband med arbetet kring uppgifterna, var konstruerad så att eleverna tvingades att ta ställning. Frågan var kortfattad och tydlig, vilket också det är en viktig faktor för att undvika svarsbortfall och därmed öka reliabiliteten och sedermera även validiteten i undersökningen (Johansson & Svedner, 2006).
Förutom ovanstående mätmetoder observerade vi elevernas grupparbete. Vi valde en strukturerad observation där vi på förhand bestämde vilka faktorer i elevernas
tillvägagångssätt som var intressanta för undersökningen. Syftet med en strukturerad
observation var att observationen och tillika resultaten skulle bli rättvisa och jämförbara. Vi nyttjade även färdiga observationsscheman där elevernas kommunikation antecknades under arbetets gång. Det var även ett måste då vi var två observatörer, vilket kan föranleda följande problematik. Två personer ser olika på företeelser och är även olika förberedda.
Uppmärksamheten skiftar även betydligt mellan observatörer (Björndahl, 2005). Då vi var intresserade av hur olika elevgrupperingar samarbetar, valde vi slumpmässigt ut 6
elevgrupper. Givet att vi inte kände till elevernas kunskapsnivå blev underlaget således representativt för skolan där undersökningen utfördes.
I alla undersökningsmetoder finns det svagheter, dessa svagheter riskerar att underminera både reliabiliteten och validiteten om enbart en metod används. För att säkerställa den
samtidiga validiteten (Patel & Davidsson) ville vi införskaffa oss ytterligare ett instrument för
att jämföra våra resultat av undersökningen. Vilket föranledde en kombination av två undersökningsmetoder i vår undersökning.
4 Resultat
I resultatbeskrivningen kommer vi att beskriva och presentera de resultat som är relevanta för att följa upp och fånga våra frågeställningar. Med fokus på genus och olika
elevkonstellationer presenterar vi några diagram som förtydligar elevernas resultat och olikheter i undersökningen. Eftersom vi jämfört individers och pargruppers
problemlösningsförmåga, blev vi tvungna att beräkna och ta hänsyn till den statistiska sannolikheten för pargruppernas lösningsfrekvens. Detta gjorde vi med utgångspunkt i de individuella elevlösningarna. Det är detta värde vi jämför med för att få en statistiskt korrekt jämförelse. Vilket medför att pargruppernas reella lösningsfrekvens måste jämföras med den beräknade sannolikheten för pargrupperna, innan en jämförelse med de individuella resultaten kan förekomma.
4.1 Lösningsfrekvensen i de individuella elevsvaren
Om vi analyserar diagram 1 (sidan 29) och tittar på hur elevernas lösningsfrekvens utvecklas i takt med att svårighetsgraden ökar, ser vi att i de första uppgifterna 1a och 1b hade samtliga elever kommit igång med uppgiften och förstått problemet. Alla eleverna angav ett korrekt svar på dessa två inledande uppgifter. Detta är ett uppmuntrande besked som också
överensstämmer med definitionen av vad som karakteriserar ett rikt problem enligt (Hagland, Hedrén och Taflin, 2005). En hög lösningsfrekvens i initialskedet, uppmuntrar och motiverar till vidare problemlösning. I uppgift 1c och 1d sjunker lösningsfrekvensen för eleverna som arbetar individuellt till cirka 70 %. I den andra uppgiften som är av en annan karaktär, ställs eleverna inför ett problem där de med hjälp av tändstickor skall bilda olika mönster. Här inleder de individuella eleverna med en lösningsfrekvens på över 80 %. I uppgift 2b sjunker lösningsfrekvensen till cirka 40 %. Denna avtagande lösningstendens håller i sig och för uppgift 2c hamnar lösningsfrekvensen på cirka en femtedel. I uppgift 2d ökar
lösningsfrekvensen markant och här lyckas hälften av eleverna i ensamgruppen av att lösa uppgiften. Den sista och svåraste uppgiften i vår undersökning (2e) lyckas ingen av eleverna som arbetade individuellt av att lösa. Vid närmare granskning av elevsvaren noterades att ingen av de individuella eleverna ens närmade sig en lösningsstrategi. Vilket var att ange en generell formel för tändsticksmönstret.
4.2 Lösningsfrekvensen i samarbetsgrupperna
Liksom eleverna i ensamgruppen klarade alla elever i samarbetsgruppen av att lösa
uppgifterna 1a och 1b korrekt. I de följande uppgifterna sjönk även här lösningsfrekvensen i samarbetsgruppen. Uppgift 1c klarade 18 av 21 pargrupper av att lösa vilket ger en reell lösningsfrekvens på cirka 86 %, detta värde ligger en bit under den beräknade sannolikheten för grupperna att lyckas med uppgiften. Den beräknade sannolikheten för uppgift 1c cirka 92 %, vilket ger att de individuellt arbetande eleverna här presterade ett något bättre resultat. I nästa uppgift, uppgift 1d blev resultatet omvänt. Här löste 20 av 21 grupper uppgiften korrekt, vilket ger en reell lösningsfrekvens på cirka 95 %. I denna uppgift var den beräknade sannolikheten för rätt svar 92 %. Dessa skillnader i lösningsfrekvens i uppgift 1c och 1d är så obetydliga, att de statistiskt sett inte räknas som skillnader. Mönstret i lösningsfrekvensen i uppgift 1 var likartad för bägge grupperna, skillnaden i lösningsfrekvensen mellan grupperna var obetydlig.
I uppgift 2 var skillnaden i lösningsfrekvensen mellan grupperna större än i uppgift 1. Här inleder även samarbetsgruppen med en hög lösningsfrekvens. Uppgift 2a klarade 18 av 21 (86 %) grupper av att lösa korrekt, ett resultat som hamnade en bra bit under den beräknade sannolikheten för pargrupperna (98 %) i denna uppgift. I uppgift 2b ökade lösningsfrekvensen något, denna uppgift klarade 19 av 21 grupper av att lösa (90 %). Ett resultat som är klart bättre än den beräknade sannolikheten (67 %). I uppgift 2c visade samarbetsgruppen en nedgång i lösningsfrekvens, denna uppgift klarade 13 av 21 grupper lösa (62 %). Den beräknade lösningsfrekvens i uppgift 2c var 38 % för pargrupperna. I uppgift 2d noterade även samarbetsgruppen en uppgång i lösningsfrekvensen, 18 av 21 grupper löste även denna uppgift korrekt (86 %) något bättre än den beräknade lösningsfrekvensen på 75 %. I den sista uppgiften var det endast 3 av 21 grupper som kom fram till en korrekt lösning. Vilket ger en lösningsfrekvens på cirka 14 %.
4.3 Jämförelse av lösningsfrekvens
I vår undersökning deltog 21 pargrupper, vilket ger att varje grupps resultat motsvarar cirka 5% av pargruppern. Detta medför att en skillnad på 5-10 % i lösningsfrekvens inte kan anses orimlig i vår undersökning. Skillnader i lösningsfrekvens mellan grupperna som understiger 10 % i undersökningen, anser vi därmed inte vara signifikanta.
Resultaten vi redovisat visar gemensamma drag i lösningsfrekvensen för både individuella elever och för de som samarbetade i pargrupper. I takt med att svårighetsgraden i uppgifterna ökar sjunker lösningsfrekvensen (se diagram 1). Inledningsvis visar resultaten inga skillnader i lösningsfrekvens mellan de individuella eleverna och pargrupperna. Det är i uppgift 1c som en reell skillnad framträder, där de individuellt arbetande eleverna presterade något bättre. I uppgift 1d blev resultatet det omvända, här presterade pargrupperna något bättre. Men som tidigare nämnts är dessa skillnader i lösningsfrekvens obetydliga. Dessa skillnader blir statistiskt sett obefintliga. Sammantaget visar resultatet av undersökningen inga större skillnader i lösningsfrekvens, de individuella eleverna höll jämna steg med de pararbetande i uppgift 1.
I vår andra uppgift däremot noterade vi skillnader i lösningsfrekvensen. Här inleder den individuella gruppen klart bättre än samarbetsgruppen, samarbetsgruppens reella
lösningsfrekvens i uppgift 2a (86 %) hamnar rejält under den beräknade lösningsfrekvensen (98 %). I de följande uppgifterna är det samarbetsgrupperna som visar ett klart bättre resultat. Här uppvisar samarbetsgrupperna en lösningsfrekvens som i alla resterande uppgifter
överstiger de statistiskt korrekta värdena på lösningsfrekvensen för pargrupper. Uppgift 2b blev den beräknade lösningsfrekvensen cirka 67 % och den reella lösningsfrekvensen blev cirka 90 %. Uppgift 2c klarade 62 % av grupperna av att lösa, ställt mot en beräknad lösningsfrekvens på cirka 38 %. I uppgift 2d höll trenden i sig och
samarbetsgruppens reella lösningsfrekvens på cirka 86 % översteg den beräknade
lösningsfrekvensen på 75 %. Den sista och svåraste uppgiften klarade inga av de individuellt arbetande eleverna av att lösa. Vilket ger att den kalkylerade sannolikheten för ett korrekt svar av grupperna blev 0 %. Tre pargrupper lyckades lösa denna uppgift. Två flickgrupper och en pojkgrupp lämnade in korrekta lösningar på denna uppgift. Det vi generellt kan se i
undersökningen och som även går att utläsa i diagram 1, är att i takt med att svårigheten ökar och går från matematiska grundberäkningar till ett mer abstrakt matematiskt tänkande minskar
lösningsfrekvensen mest bland de elever som arbetar individuellt. Denna skillnad framträder i uppgift två, vilket kan utläsas i diagram 1.
Diagram 1
Stapeldiagrammet visar hur lösningsfrekvensen på de olika uppgifterna är fördelad mellan de elever som arbetade individuellt samt de som arbetade parvis.
ELEVERNAS LÖSNINGSFREKVENS 0,0% 20,0% 40,0% 60,0% 80,0% 100,0% 120,0%
1a) 1b) 1c) 1d) 2a) 2b) 2c) 2d) 2e) FRÅGA A N D E L R Ä T T S V A R
Individuellt Beräknad sannolikhet för pargrupperna att klara uppgiften Parvis
4.4 Hur påverkas resultatet av elevernas genuskonstellation?
Enligt tabell 1 tydliggörs elevernas medelpoäng och hur stor andel de olika konstellationerna utgör av det totala elevurvalet. Ur ett genusperspektiv talar resultaten av undersökningen till pojkarnas fördel, både individuellt och som grupp. Individuellt kan vi utläsa av vår statistik att flickorna underpresterar gentemot pojkarna. Flickornas medelpoäng är 4,8 medan pojkarna har 6,2. Skillnaderna är nästan de samma när vi jämför pojkgrupperna med flickgrupperna. Pojkarna har i genomsnitt 8,2 poäng, medan flickorna har 7,3 poäng. Blandgrupperna, det vill säga, grupperna som är sammansatta av en pojke och en flicka, är distanserade av de andra pargrupperna. Dock kan man se att de generellt lyckats bättre än de elever som arbetade individuellt, utan hänsyn till genus.
Tabell 1
Tabellen nedan visar andelsfördelningen samt hur medelpoängen är fördelad mellan de olika undersökningsgrupperna. Maxipoängen i undersökningen är 9 poäng.
Medelpoäng Andel av urvalet
Flicka 4,8 14,3%
Pojke 6,2 10,7%
Flicka/Flicka 7,3 39,3%
Pojke/Pojke 8,2 21,4%
Flicka/Pojke 6,3 14,3%
4.5 Elevernas utvärdering av undersökningen/enkätfrågorna
Vi valde medvetet en fyrgradig omdömesskala (se bilaga 2) för att eleverna skulle tvingas att ta ställning till uppgifterna. Enkätfrågor med svarsalternativ som innehåller en graderad skala, kan leda till ett mittalternativ om man väljer ett udda antal alternativ. Detta kan i sin tur leda till en neutral punkt, där de intervjuade slipper ta ställning. Denna centraltendens undviks om man väljer ett jämnt antal svarsalternativ (Patel & Davidsson, 2003).
Om vi väljer att gruppera omdöme 1 och 2 och omdöme 3 och 4 och kategoriserar dessa som negativ till uppgifterna samt positiv till uppgifterna. Då kan vi enligt diagram 2 (sidan 31) se att fördelningen slår relativt lika mellan de olika omdömena. Vi kan se att cirka 4 av 10 elever tycker att uppgifterna är ganska roliga, medan endast en tycker att de är roliga. Över två tredjedelar av elevunderlaget representeras i de två mittersta omdömena. Andelen elever som tycker att denna typ av uppgifter är tråkiga var 8 av 35, närmare en fjärdedel av
urvalsgruppen.
När vi studerade elevernas resultat på problemlösningsuppgifterna och jämförde detta med vår omdömesfråga, noterade vi att de som lyckats mindre bra med uppgifterna också tyckte att uppgifterna var tråkigare än de som lyckades väl. Samt att flickor i högre grad än pojkar tycker att denna typ av uppgifter är tråkiga. En annan faktor vi kan utläsa ur vår undersökning är att pargrupperna är mer positiva än de som arbetade enskilt. Dock med undantag av
Diagram 2
Elevernas utvärdering av uppgifterna i en fyrgradig skala från tråkig till rolig. UTVÄRDERING 8 11 15 1 0 2 4 6 8 10 12 14 16 Tråkiga 1 2 3 Roliga 4 OMDÖME A N T A L E L E V E R
5 Diskussion och analys
I följande avsnitt kommer vi att diskutera och analysera resultatet av undersökningen samt presentera våra slutsatser av undersökningen. Detta gör vi med utgångspunkt i och fokus på våra två frågeställningar, hur påverkar elevernas samarbete lösningsfrekvensen, samt vilka skillnader resultatmässigt, kan man påvisa ur ett genusperspektiv? Eftersom alla elever i undersökningen som gjorts, tillhör samma skola behöver vi inte beakta olikheter i
undervisningen, skolorna och i individernas bakgrund. Urvalsgruppen är i den bemärkelsen homogen. Den enda skillnaden i förutsättningarna för eleverna i undersökningen, var att en del fick angripa våra problemuppgifter individuellt och en del parvis. Det finns dock en risk att skillnaderna på eleverna inom grupperna är större än skillnaderna mellan grupperna, vilket kan påverka resultatet av elevernas lösningsfrekvens märkbart. Instruktionerna och tillgången till hjälpmedel var för övrigt de samma till eleverna som deltog i undersökningen.
Ytterligare en parameter som är av betydelse i undersökningen är undersökningstillfället. Gruppen som testades fredag förmiddag var betydligt mer positivt inställda till uppgifterna än vad tisdagseleverna var. Detta är således också något som skulle kunna ge missvisande resultat. Eftersom fredagseleverna testades parvis medan tisdagsgruppen blev individuellt testade. Samtidigt påvisar det den komplexiteten av faktorer som kan påverka en
undersökning av detta slag.
För att säkerställa tillförlitligheten och därmed öka validiteten på vår undersökning avsåg vi att komplettera vår studie med en observation av några elevgrupper, detta i ett försök att se hur kommunikationen gestaltade sig och om den skilde sig åt mellan gruppmedlemmarna. Vi var intresserade av faktorer som bidrog till att lösningsprocessen framskred eller faktorer som rent av visade sig försvårande i deras samarbete. Datamaterialet vi samlade in i observationen visade sig dock väldigt svårt att analysera. Dessutom utnyttjade vi inga tekniska hjälpmedel som hjälpte oss att dokumentera elevernas kommunikation vid observationsmomentet, vilket ytterligare försvårade sammanfattningen och analysen av observationen. Detta föranledde att vi helt enkelt valde att bortse från observationen i vår analys, eftersom den inte framkom med några relevanta fakta som gick att sammankoppla med våra frågeställningar. Naturligtvis påverkar den misslyckade observationen reliabiliteten och validiteten på undersökningen precis som vi tidigare nämnt och beskrivit i metodavsnittet, men det var ett medvetet val vi gjorde när vi valde att avstå från det insamlade materialet. Vi anser dock fortfarande att vår
undersökning har en relativt hög reliabilitet eftersom den i stora delar visar på förhållanden som överensstämmer med tidigare forskning som presenterats inom området.
5.1 Problemlösning - individuellt eller i grupp?
Som en röd tråd i vårt examensarbete löper frågan, hur påverkar grupparbete elevernas resultat och kunskapsutveckling inom problemlösning?
Klarar eleverna av att lösa fler och svårare problemuppgifter i grupper än vad de klarar individuellt? Vår undersökning indikerar på att elevernas lösningsfrekvens kan påverkas positivt av grupparbete. Ingen av eleverna som arbetade individuellt med uppgifterna har exempelvis lyckats med uppgift 2e (se bilaga 2). Vilket faktiskt tre av samarbetsgrupperna lyckades med. Denna uppgift har en svårighetsgrad som vi menar att väldigt få 14-åringar klarar av att lösa på egen hand. Vid en närmare granskning av elevsvaren, var det i en del fall, en imponerande resultatbeskrivningar eleverna lämnade in på denna svåra uppgift.
Skillnaderna som lösningsfrekvensen (diagram 1) påvisar mellan de individuella och de samarbetande eleverna indikerar att, eleverna som samarbetade klarade sig generellt bättre på uppgifterna än de som arbetade individuellt. Även sedan vi tagit hänsyn till statistiska
sannolikheter för hur pargruppernas resultat är en följd av de individuella prestationerna, visade det sig att pargrupperna resultatmässigt klarade sig bättre. Samarbetet och
kommunikationen mellan gruppmedlemmarna bör således enligt vår undersökning tilldelas äran för det gynnsammare resultatet som samarbetsgrupperna uppvisade. I tre av uppgifterna var skillnaden signifikant till pargruppernas fördel, där pargrupperna uppvisade en
lösningsfrekvens som var mer än 10 % bättre än den beräknade lösningsfrekvensen. Denna signifikanta skillnad förekom i uppgift 2b, 2c och 2e.
Metodiken att undervisa i grupper förtydligas i de nationella styrdokumenten, där elever ska lära sig att lyssna till och följa andras argument. De elever som bemästrar detta, berikar samtidigt sin egen förståelse för den matematik som är inbäddad i problemuppgifterna som de diskuterar (Lester & Lambdin, 2006). Genom att elevernas olika lösningsmetoder och
tankegångar diskuteras i klassen, blir de samtidigt tillgängliga för alla eleverna på ett mer naturligt sätt. Givet att våra uppgifter tilldelades eleverna som ett test, gjorde att vi inte kunde
lyfta fram olika lösningsmetoders för- och nackdelar i helklass. Vilket är en viktig ingrediens i den grupporienterade pedagogens undervisningsmetodik (Horne, i Clarke m.fl. 2004). Viktigt att notera är att vårt utförande av elevtesten inte ligger helt i linje med undersökningens syfte, nämligen att mäta samarbetets förtjänster i problemlösning. Men inom uppsatsens ramar fann vi inget annat gångbart alternativ.
5.2 Genusaspekter utifrån elevresultaten
Det har forskats en hel del om skillnader i matematikförmågan hos elever. Sett ur ett rent genusperspektiv har matematiken länge betraktats som en typiskt manlig domän (Brandell, Nyström och Sundqvist, 2004). I vår undersökning visar resultaten att pojkarna i genomsnitt presterade bättre än flickorna (se tabell 1). Killarna presterar klart bättre både individuellt och gruppvis, jämfört med flickorna. Det som var glädjande och något förvånande i vår
undersökning var att bland dem som klarade uppgift 2e, den sista och svåraste uppgiften, var två av tre, flickgrupper. Vi anser inte att matematikkunskaper är genusspecifika, så varför denna skillnad i prestation och förmåga mellan könen förtydligas i vår undersökning, ligger utanför vår studie. Det är dock värt att notera att även annan forskning och enskilda studier visar på samma fenomen. Enligt utvald forskningslitteratur, kan man se att dessa skillnader bottnar i en tradition där killar uppmuntras mer av både föräldrar och lärare att satsa på matematik (Brandell, Nyström och Sundqvist). Detta var bara ett exempel på segregationen mellan pojkar och flickor men det finns säkert fler faktorer som exempelvis mognad och motivation som samverkar till denna genusuppdelning.
5.3 Elevkonstellationer i matematikundervisningen
Resultaten i undersökningen visar också att oavsett hur gruppkonstellationen såg ut, blev resultaten bättre när eleverna fick arbeta parvis. Vilket presenteras i diagram 1.
I en rapport från skolverket, visar deras undersökning att nästan 40 procent av eleverna uppger att de arbetar tillsammans med en kamrat i stort sett varje lektion. Medan arbete i smågrupper om minst 3 elever var mycket sällsynt. Endast 3 procent av eleverna uppgav att detta inträffade varje lektion (Skolverket, rapport nr 15, 1993).
Varför är det då så få matematiklärare som utnyttjar grupparbetets möjligheter? Är det så att undervisningstraditionen styr och rädslan för ett annorlunda arbetssätt faktiskt hindrar utvecklingen i matematikundervisningen? Eller grundar det sig i okunskap i hur man undervisar till exempel problemlösning, i grupp? En synpunkt eller ett tillrättavisande man ofta får när man nämner problemlösningens fördelar är att eleverna då går miste om andra viktiga basfärdigheter (Boaler, 1993). Det är inte skribenternas avsikt att problemlösning i grupp eller individuellt skall vara den enda undervisningsformen. Det vi menar är snarare att den bör tilldelas ett större utrymme och en djupare innebörd. Problemlösning ska vara en del av matematikundervisningen, fylld av variation, där även individuellt arbete är ett självklart inslag. Vi menar att en matematikundervisning som framförallt sätter eleverna i fokus och utgår från deras kunskaper, leder till ett trevligare och gynnsammare undervisningsklimat och därmed också skapar möjligheter till en mer fördjupad matematisk förståelse.
5.4 Avslutande diskussion och analys
Problemlösning bör bli en viktigare del i matematikundervisningen och vi menar att
problemlösning har goda förtjänster med att utföras i smågrupper. Rika problem, leder oftast till att eleverna blir mer flexibla i sitt matematiska tänkande och agerande. Det finns dock ingen metodik som på egen hand lyckas motivera och inspirera eleverna till underverk. Det är kombinationer och variationer av pedagogik och metodik som är grundstenen för ett bra lärande. I genomförandet av vår undersökning uppmuntrades eleverna till att gruppera sig pojke och flicka. Denna uppmuntran föll inte väl ut, endast åtta elever grupperade sig på angivet vis. Majoriteten valde att arbeta med sin bänkkamrat, vilket oftast motsvarade en kamrat av samma kön. Detta ledde till att majoriteten av grupperna blev genushomogena. Eleverna valde således att arbeta med den klasskamrat de vanligtvis arbetar med och umgås med. Hur detta påverkar kunskapsivern lämnar vi där hän, men det är sannolikt ytterligare en faktor som påverkar resultatet i en undersökning som denna.
Enligt examensskribenterna, ligger problemlösningens styrka i att elevernas egna engagemang till intressanta problem, ökar både intresset för matematiken och aktivitetsgraden under
lektionerna. Eleverna blir också mer delaktiga i sitt kunskapsbildande. Många svårigheter som eleverna normalt ber läraren om hjälp med kan lösas inom gruppen. Detta menar vi att
uppgifter. Läraren blir också mer lyhörd för elevernas olika strategier vid lösandet av problemuppgifterna, vilket även berikar pedagogens vidareutveckling. Det är viktigt att läraren och eleverna blir förtrogna med olika presentationsformer och lösningsmetoder av samma begrepp i matematiken. Denna metodik möter även de olika inlärningsstilarna som eleverna har (Gran, 1998).
En viktig faktor för att en lärare skall lyckas med undervisning i problemlösning, är stödet och uppmuntran från kolleger och annan personal på skolan (Lester & Lambdin). Att undervisa i problemlösning innebär ofta att man frångår den traditionella och trygga
undervisningsmetoden, vilket för många kan kännas obekvämt. Kanske därför att
matematikämnet är det ämne som är minst progressiv i införandet av nya undervisnings- och bedömningsmetoder, jämfört med andra skolämnen.
5.5 Kan man med säkerhet slå hål på myten ”ensam är stark”?
När det gäller den här typen av rika problemlösningsuppgifter, visar vår undersökning att ett samarbete mellan elever, oavsett genustillhörighet, är positivt för resultatet. Vi ser ganska tydligt att i den svårare uppgiften, hamnar de individuella resultaten inte i närheten av resultaten på de elever som valt att tillsammans lösa uppgifterna. Till och med när eleverna inte själva väljer sin samarbetspartner, visar resultatet på en framgångsrik didaktik med högre lösningsfrekvens för eleverna. Så, ja, vi vill med bestämdhet hävda utifrån vår undersökning, att det vore positivt att se fler samarbetsövningar, som bygger på rika problem, i den svenska skolan.
5.6 Förslag till vidare forskningsfrågor som växt fram under vårt
examensskrivande?
• Vi anser inte att matematikkunskaper är genusspecifika, så varför har flickor så svårt att ta för sig och hävda sig gentemot pojkarna i matematikämnet?
6 Referenser
Referenser i löptext samt referenslista är utformad enligt Backman (1998).
6.1 Litteratur referenser
Backman, J. (1998). Rapporter och uppsatser. Lund: Studentlitteratur.
Björk, L-E., & Borg, K., & Brolin, H. (1995). Matematik 2000. Naturvetenskapsprogrammet
kurs AB lärobok. Borås: Centraltryckeriet.
Björkqvist, O. (2001). Matematisk problemlösning, i Grevholm, Barbro (red.)(2001) Matematikdidaktik, -ett nordiskt perspektiv. Lund: studentlitteratur
Bjørndal, Cato. R. P. (2005). Det värderande ögat. Observation, utvärdering och utveckling i
undervisning och handledning. Stockholm: Liber
Boaler, J. (1993). The role of contexts in mathematics classrooms. For the learning of
mathematics, 13(2), 12-17. In Wedege, T. (2007). Didaktisk forskning inom matematik.
Malmö; Lärarutbildningen.
Brandell, G, Nyström, Peter and Sundqvist, Christina (2004).Mathematics – a male domain. Published by Topic Study Group 26, Gender and Mathematics Education. 10th International
Congress on Mathematics Education. In Wedege, T. (2007). Didaktisk forskning inom matematik. Malmö; Lärarutbildningen.
Clarke, B., & Clarke, D., & Emanuelsson, G., & Johansson, B., & Lambdin, D. V., & Lester, F. K., & Wallby, A., & Wallby, K. (2004). International Perspectives on Learning and
Teaching Mathematics. Kungälv: Grafikerna Livrena AB.
Engström, A. (red). (1998). Matematik och reflektion. En introduktion till konstruktuvismen
inom matematikdidaktiken. Lund: Studentlitteratur.
Forsythe, D. R. (2006). Group dynamics. Belmont: Thomson Wadsworth. Gran, B. (red). (1998). Matematik på elevens villkor, i förskola, grundskola och
gymnasieskola. Lund: Studentlitteratur.
Hagland, K., Hedrén, R., & Taflin, E. (2005). Rika matematiska problem, inspiration till
variation. Malmö: Elanders Berglings förlag AB.
Hannula, M., S. (2005). Shered cognitive intimacy and self-defence: two socio-emotional processes in problem solving. Nordisk Matematikkdidaktikk, 10(1), 25-41. In Wedege, T. (2007). Didaktisk forskning inom matematik. Malmö; Lärarutbildningen.
Johansson, B., & Svedner, P. O. (2006). Examensarbetet i lärarutbildningen.
Undersökningsmetoder och språklig utformning. Uppsala: Kunskapsföretaget.
Lerman, s. (2006). Att vara matematisk i klassrummet. In Boesen, J. et al. (red), Lära och
undervisa matematik, internationella perspektiv (s.95-108). Göteborg: Nationellt Centrum för
Matematikutbildning.
Lester, F. (1996). Problemlösningens natur, i Ahlström, R. Bergius, B. Emmanuelsson, G. Emmanuelsson, L. Holmquist, M. Rydstedt, E. & Wallby, K. (red.), Matematik – ett
kommunikationsämne. Nämnaren TEMA. Göteborg: Nämnaren, Göteborgs universitet.
Lester, K. F. & Lambdin, D. V. (2006). Undervisa genom problemlösning. In Boesen, J. et al. (red), Lära och undervisa matematik, internationella perspektiv (s.95-108). Göteborg:
Nationellt Centrum för Matematikutbildning.
Maltén, A. (1992). Grupputveckling inom skola och andra arbetsplatser. Lund: Studentlitteratur.
Möllehed, E. (2001). Problemlösning i matematik. En studie av påverkansfaktorer i
årskursena 4-9. Malmö: Reprocentralen, Lärarutbildningen.
Patel, R., & Davidsson, B. (2003) Forskningsmetodikens grunder. Att planera, genomföra och
rapportera en undersökning. Lund: Studentlitteratur.
Pehkonen, E. (2001). Lärares och elevers uppfattningar som en dold faktor i
matematikundervisningen. In Grevholm, Barbro (red.), Matematikdidaktik – ett nordiskt perspektiv. (s.230 – 256). Lund: Studentlitteratur.
Riesbeck, E. (2000). Interaktion och problemlösning. Att kommunicera om och med
matematik. LINKÖPINGS UNIVERSITET. Linköping: Unitryck
Skolverket (1993). rapport nr 15, Matematik i åk 9, huvudrapport. Stockholm: Skolverket Skolverket. (1994). Läroplaner för det obligatoriska skolväsendet och de frivilliga
skolformerna. Stockholm: Skolverket.
Skolverket. (1996). TIMSS rapport 114, svenska 13-åringars kunskaper i matematik och
naturvetenskap i ett internationellt perspektiv. Stockholm: Skolverket
Skolverket. (2000). Grundskolans kursplaner och betygskriterier. Stockholm: Skolverket. Skolverket. (2003). Lusten att lära – med fokus på matematik. Skolverket rapport nr 221. Stockholm: Skolverket.
Undvall, L., & Olofsson, K. G., & Forsberg, S. (2003). Matematikboken X, för grundskolans
Bilagor
7.1 Bilaga 1, Frågeformulär, individuellt arbete, sida 1
Malmö högskola Examensarbete NMS – ht 07
TAL & MÖNSTER
Uppgift 1) En talföljd börjar så här: 2, 4, 6, 8, … (hjälpmedel: miniräknare)
a) Vilket är nästa tal i denna talföljd?
b) Vilket är det nionde talet i denna talföljd? c) Vilket är det 95:e talet i denna talföljd? d) Ser du något mönster? Förklara
Svar: a) ___________________________ b) ___________________________ c) ___________________________ d) ___________________________ ___________________________ ___________________________ ___________________________ ___________________________ ___________________________
Plats för eventuella uträkningar:
