Bedömer lärare det väsentliga?: Vad är väsentligt i matematikundervisningen och vad är det lärare egentligen bedömer?

Malmö högskola

Examensarbete

– Vad är väsentligt i matematikundervisningen och vad är det lärare egentligen bedömer?

Do teachers assess the essential?

Anna Klarin & Caroline Olofsson

Lärarexamen 140 p Handledare: Gunilla Jakobson

Matematik och lärande

Sammanfattning

Syftet med vår studie är att undersöka vad lärare bedömer och vad de upplever vara väsentligt att elever lär sig i matematik. Vi har utgått från aktuell litteratur som vi bedömt som relevant för vårt arbete. Vi har gjort kvalitativa intervjuer med åtta lärare i den kommunala skolan som arbetar i olika samhällen. Intervjusvaren har vi kategoriserat för att resultatet ska bli mer lättöverskådligt. Vi har analyserat svaren och kommit fram till att lärarna är mycket

läromedelsbundna. Det verkar som om lärarna är medvetna om de nationella mål eftersom de nämner vissa delar av dessa när vi ställer frågan om vad de anser vara viktigt att kunna i matematik. Däremot är vi inte säkra på om de har funderat över vad målen egentligen innebär. Det är inte alla lärare i vår undersökning som bedömer det eleven enligt styrdokumenten ska uppnå i skolår 5, utan de flesta bedömer framförallt lätt mätbara kunskaper.

INNEHÅLL INLEDNING ... 7 BEGREPP ... 9 Kunskap ... 9 Väsentligt ... 9 Bedömning... 10 Utvärdering ... 10 Mätning ... 10 TEORETISK BAKGRUND ... 11

Kunskap och lärande ... 11

Konstruktivismens tankar ... 12

Livslångt lärande... 13

Medvetenhet... 14

Pedagogens roll... 14

Språket ... 15

Självbild och tilltro ... 16

Bedömning... 18

Bedömning i ett historiskt perspektiv... 18

Ett teoretiskt perspektiv på bedömning... 19

Uppfattningar om bedömning ... 20

Bedömningsredskap ... 22

Analysschema ... 22

Individuella utvecklingsplaner ... 22

Portfolio ... 23

Prov och diagnoser ... 23

Nationella prov ... 24

SYFTE OCH FRÅGESTÄLLNING... 25

METODBESKRIVNING... 26

Urval... 26

Datainsamlingsmetod ... 27

Procedur ... 27

Felkällor ... 28

Utvärdering av vald metod ... 28

Analysmetod ... 28

RESULTAT OCH ANALYS... 29

Resultat ... 29

Analys... 36

DISKUSSION ... 38

KÄLLFÖRTECKNING... 47 BILAGA 1 ... 52 Intervjufrågor ... 52 BILAGA 2A ... 54 Kursplanen för matematik ... 54 BILAGA 2B ... 55

Inledning

Vi är två studenter som läser till lärare för grundskolans tidigare år. Matematik och lärande är vårt huvudämne. Vi upplever att synen på kunskap har förändrats sedan vi själva gick i grundskolan för 10 år sedan i och med den nya läroplanen, Lpo 94 (Skolverket, 2004d). Numera är det inte faktakunskaper som anses viktiga, utan istället betonas vikten av förståelse och användandet av kunskap.

I matematikundervisningen handlar det om att se matematiken, och inte så mycket om att

räkna. Det innebär att mekanisk räkning och utantillkunskap inte längre kan få lika stort

utrymme i klassrummen, utan vi måste finna andra sätt att utveckla elevernas matematiska kunnande. Det handlar om att lära för livet. Lärare måste bli medvetna om vad det är för grundkunskaper elever behöver ha för att klara matematikstudier på en högre nivå. För att klara av detta gäller det att ha gedigna kunskaper i matematik.

Ju längre in i utbildningen vi kom desto mer aktuellt blev begreppet bedömning och allt vad det innefattar. Vi blev båda intresserade och kände att vi ville ta chansen att fördjupa våra kunskaper under examensarbetet. Det är en stor och viktig del av en lärares profession att bedöma vad eleven kan och vad hon har för brister. Med detta som grund kan lärare och elev sedan gemensamt arbeta vidare för att elevens matematiska kunskap och förmåga ska

utvecklas.

Vi har utifrån verksamhetsförlagd tid, föreläsningar samt diskussioner på högskolan fått uppfattningen av att läraren i stor utsträckning bedömer ytlig kunskap, såsom faktakunskap och mekanisk räkning. Vidare är vår uppfattning att det är viktigt att man som lärare vet vad det är man vill bedöma och att det är detta som bedöms.

Begrepp

Vi kommer i vårt arbete diskutera kring olika begrepp vilka definieras nedan. Vi utgår från den definition som är markerad med

»

Kunskap

Norstedts, 1999:

Välbestämd föreställning om förhållande eller sakläge.

»

Faktakunskaper är kunskap som information, regler och konventioner. (…) Till skillnad från

faktakunskapernas kvantitativa karaktär, kan förståelsekunskap främst karakteriseras som en kvalitativ dimension. (…) Vi kan inte förstå mer eller mindre, däremot kan vi förstå på kvalitativt olika sätt. (…) Att förstå är att begripa, att uppfatta meningen eller innebörden i ett fenomen. (…) När kunskap är en färdighet vet vi hur något ska göras och kan utföra det. Medan förståelse är en teoretisk kunskapsform är färdighet en praktisk. (…)

Förtrogenhetskunskaperna är ofta förenade med sinnliga upplevelser.

Väsentligt

»

Som rör den viktigaste eller största delen av någon helhet.

Svenska Akademiens ordlista över svenska språket, 2000:

Bedömning

Nationalencyklopedin, (2004-11-19):

Värderande utlåtande över något vanligen grundat på sakliga överväganden.

»

Begreppet används (…) för att mäta, pröva och värdera elevers prestationer och kunskaper.

Utvärdering

Nationalencyklopedin, (2004-11-19):

Sammanfattande term för metoder som syftar till en systematisk bedömning av resultaten och de mer långsiktiga effekterna av genomförda insatser.

»

Utvärdering i matematik definieras som insamling av tecken på en elevs kunskap i, skicklighet i och benägenhet att använda matematik och dra slutsatser av dessa tecken.

Mätning

Nationalencyklopedin, (2004-11-19):

Serie åtgärder varmed en egenskap hos en företeelse, ett objekt eller ett ämne kan uttryckas med siffror på ett sådant sätt att relationer mellan empiriska företeelser representeras med relationer mellan tal.

»

Mätning handlar om att på grundval av empiriska observationer göra en enkel kvantitativ beskrivning av det som studeras.

Teoretisk bakgrund

Kunskap och lärande

Tidigare har matematikstudierna i grundskolans tidigare år huvudsakligen gått ut på att utveckla färdigheter, t ex lära sig algoritmer. Nu ska istället användningen och förståelsen av matematik betonas. De matematiska kunskaper som eleven har med sig från skolan ska vara sådana att eleven kan delta i och påverka vårt samhälle (Skolverket, 2004g).

Grundskolan ska se till att den kunskap som eleven förvärvar är sådan att hon har användning för den genom hela livet (Skolverket, 2004c). Det finns många uppfattningar om begreppet kunskap och olika teoretiker kategoriserar det på sitt sätt. I läroplanen för det obligatoriska skolväsendet beskrivs kunskap som ett mångtydigt begrepp. Det finns flera former av kunskap; fakta, förståelse, färdighet och förtrogenhet. De måste alla beaktas och skolans arbete måste ge alla kunskapsformer utrymme så att det blir en helhet för eleven (Skolverket, 2004d). Ett annat sätt att dela in begreppet kunskap är att benämna det som yt- och

djupkunskap vilket medför olika studietekniker. Ytkunskap innebär att fokus ligger på att komma ihåg medan djupkunskap är när det mest betydande är att man försöker se

sammanhang och relatera till det man redan kan (Lundmark, 1997). Ett tredje sätt att kategorisera kunskap är att dela in det i katalog, analog och dialog form. Den kataloga kunskapen är sådan som lätt memoreras. Analog kunskap innefattar förståelse och att se samband. Samspelet mellan individer betecknas som dialog kunskap (Dahlgren & Szczepanski, 1997 i Skolverket, 2004b).

Något som betonas i kursplanen för matematik är att eleven ska utveckla sin förståelse och sitt sätt att tänka (Skolverket, 2004c). Förståelse är ett diffust begrepp och kan vara svårt att definiera. Andrejs Dunkels har uttryckt det på följande sätt:

”Förståelse - det är väl när man inte behöver komma ihåg det som man måste minnas för att kunna” (NCM 2002 B, sidan 213).

Detta är något som Marton har undersökt. Han har dragit slutsatsen att om man förstått sammanhanget har man bättre behållning av detaljerna, dvs. djupkunskapen, än om man bara koncentrerar sig på att komma ihåg, dvs. ytkunskap (Marton i Lundmark, 1997).

Förståelse har betydelse för lärandet och innebär reflektion och utvärdering av sin egen kunskap. En individ som förstår kan förklara och tolka information samt använda sin kunskap och tillämpa denna (Wiggins, 1998).

Liping Ma (1999) har gjort en jämförande studie mellan lärare i USA och Kina. Denna visade på en stor skillnad när det gäller lärares syn på kunskap och lärande i de olika länderna. Kinesiska lärare betonade vikten av förståelse och en djupare matematisk kunskap. De tycker inte att det är hur man gör, utan varför man gör det, som är det väsentliga. Amerikanska lärare tyckte att räkneoperationer var det viktiga. Om eleverna inte kunde utföra en uträkning förklarade läraren tillvägagångssättet och gav eleven en förståelse för själva proceduren och inte en förståelse för matematiken bakom denna (Ma, 1999).

Konstruktivismens tankar

Konstruktivismen har sina rötter i Immanuel Kants (von Glaserfeld i Engström, 1998) tankar om att vi själv konstruerar våra idéer om världen. Han menar att vi måste erfara något för att bli medvetna om vad det är och vad det innebär. Människan tolkar världen utifrån sina tidigare konstruerade tankegångar. Konstruktivismen handlar inte om att samla på sig

kunskap utan om att se samband och kunna koppla samman begrepp och föreställningar, detta är individens konstruktion av verkligheten. En individ kan ha mer eller mindre förståelse för en företeelse. Förståelsen kan alltid bli djupare eftersom man alltid kan se nya samband och sammankoppla dessa med tidigare kunskap (Lindström, 1997).

Utifrån Kants tankar utvecklades nya konstruktivistiska teorier av bland annat Jean Piaget och Lev Vygotskij (Ernest i Engström, 1998). Piaget menar att individen hela tiden försöker anpassa sig till och förstå sin omvärld. När en individ i en situation ser ett annat resultat än det förväntade tvingas hon att omorganisera sina kunskapsstrukturer. Denna process är

inlärningen och de nya strukturerna är för individen ny kunskap, de kallas av Piaget för konstruktion av ett schema (von Glaserfeld i Engström, 1998). Vygotskij anser att inlärning sker i ett socialt samspel, i mötet med människor utvecklar individen kunskap. I skolan är både mötet med läraren och andra elever betydelsefullt (Ernest i Engström, 1998).

“Learning is a continual process during which new knowledge supported by previous knowledge and the previous knowledge is reinforced and deepened by new knowledge” (Ma, 1999 sidan 77).

Livslångt lärande

I de nationella målen för matematik står att matematikundervisningen ska vara knuten till vardagen och verkligheten. Den ska vara sådan att elevens intresse för matematik kan öka. En av pedagogens uppgifter är att möta eleven där hon befinner sig och i undervisningen utgå från elevens förkunskap och förförståelse. Detta gäller även elevens uppfattning om vad matematik är och hur den kan användas. I en undervisning som söker sig utanför läromedlen och tar in verklighet och vardag kan eleven använda sig av den kunskap hon redan har (Long, Vena, 2001:2). Som lärare i matematik måste man veta hur de olika kunskapsfälten är

relaterade till varandra. Pedagogen ska hjälpa eleven att utvecklas utifrån den förkunskap hon har och samtidigt se vad eleven behöver för att klara sig i framtiden. En lärare som arbetar i grundskolans tidigare år kommer aldrig att arbeta med integraler, men måste vara medveten om att den undervisning hon bedriver ska ge god förståelse så att eleverna kan klara av denna typ av matematik i framtiden. För att detta ska fungera måste pedagogen ha goda

ämneskunskaper och känna sig trygg i dessa (Ma, 1999). Kursplanen i matematik betonar vikten av att eleverna ska lära för livet. Eleverna ska tillägna sig kunskap som förbereder dem inför vidare studier. Det de lär sig i skolan ska vara sådant som de har användning för i sitt liv, nu och i framtiden. Därför är det av betydelse att lärare har ett klart och tydligt syfte med undervisningen samt att den kopplas till verklighet och vardag (Skolverket, 2004g).

Medvetenhet

En av pedagogens uppgifter är att förmedla det som står skrivet i de nationella målen till eleven. Genom att synliggöra dessa kan eleven upptäcka och bli medveten om sin egen kunskapsutveckling. Genom att se sin egen utveckling vill man fortsätta utvecklas och söker då ny kunskap. Att bli medveten om sitt tänkande och hur man lär sig kallas metakognition (Skolverket, 2004g). Det innebär att varje individ kan värdera sin förståelse och vet när hon förstår och inte förstår (NCM, 2002 b) samt hur man går till väga när man löser problem, fattar beslut, tolkar en text eller söker i sitt minne (Nationalencyklopedin,

2004).

Pedagogens roll

Det är pedagogen som ansvarar för att eleven ges möjlighet till inlärning. Det gäller därför att läraren har relevanta ämneskunskaper och är trygg med matematikämnets innehåll för att kunna individanpassa undervisningen. Samtidigt handlar det inte bara om att ha

matematikkunskap utan också om att man har en förmåga att kunna konkretisera och möta varje elev. Detta innebär att läraren ska kunna visa olika metoder och tankegångar för hur man kommer fram till en lösning (Löwing, 2004). Enligt konstruktivismen finns det ingen sann kunskap eftersom individen själv konstruerar sin kunskap utifrån tidigare erfarenheter. Den kan aldrig bli en avbildning av den verkliga världen. Pedagogens uppgift är därför inte att lära ut kunskap utan att påverka eleven så att hon utvecklar ny kunskap (Engström, 1998). Öberg anser (2004, opubl.) att pedagogen inte kan lära barn, utan att denna ska lära barn att lära sig. Hon menar att involvering, relevans, ansvar och självständigt tänkande är en

förutsättning för lärande (Öberg, 2004 opubl.). Enligt Lusten att lära ska pedagogen se till att det sker en interaktion mellan elever vilken leder till ökad kunskap(Skolverket, 2004g). Utifrån detta måste pedagogen lägga upp sin undervisning. Öberg (2004, opubl.) skriver att många av de frågor som ställs av pedagoger är sådana att denna har det rätta svaret. Öberg (2004, opubl.) undrar hur utmanande eller involverande de frågorna egentligen är. Genom att istället fråga eleven något där det inte finns ett rätt svar tvingas de att tänka efter och bli involverade. Kan pedagogen ställa ”rätt” frågor och följdfrågor får hon veta mer om elevens

kunskap och hur denna tänker. Istället för att ställa frågan ”Hur många fönster finns i klassrummet?” som endast har ett rätt svar, kan man öppna upp för fler möjliga svar. Till exempel kan man fråga ”Kan du säga något som det finns 3 av i klassrummet?”. Eleven får härmed en utmaning och samtidigt en chans att visa vad hon kan. Öberg (2004, opubl.) menar att öppna frågor är ett sätt att individanpassa undervisningen. Pedagogen kan ge samtliga elever samma fråga eftersom de alla svarar utifrån de kunskaper de redan har (Öberg, 2004 opubl.).

Ibland tycks det som om pedagogen förväntar sig att eleverna ska kunna det som är relaterat till pedagogens egen kunskap (Ma, 1999). Är det så att pedagogen är osäker på matematik och till och med själv hade svårt för matematik i skolan finns en risk att hon förmedlar denna osäkerhet vidare till sina elever. Om pedagogen säger att matematiken är svår kommer också eleverna att få den uppfattningen och alltså kommer deras lust och motivation för ämnet att avta (NCM, 2002 b).

Språket

I kursplanen för matematik står att eleven ska lära sig att kommunicera matematik. De ska lära sig resonera och argumentera för sitt tänkande. För att lärare och elever ska förstå

varandra och ha gemensamma referensramar i matematikspråket, som är ett universellt språk, är det viktigt att läraren från början använder korrekta termer. Ord och uttryck i

matematikspråket har en annan betydelse än vad liknande ord i vardagsspråket har. Att använda vardagsord, som t ex ”fyrkant” när man menar en kvadrat, skapar missförstånd och bidrar till kommunikationssvårigheter (Löwing, 2004).

Enligt en av skolverkets undersökningar påpekar några matematiklärare att det är viktigt att eleverna förstår vad det står för att kunna lösa uppgiften. (Skolverket, 2004b). Bristande läsförståelse är ofta en av de största orsakerna till att elever i år 4-9 inte klarar

problemlösningsuppgifter (Möllehed, 2001). Elever som har språkliga svårigheter får ofta problem även med matematiken på grund av den bristande läsförståelsen. Har man elever med läs- och skrivsvårigheter är det viktigt att formulera uppgifter som inte kräver en speciellt utvecklad läsförståelse utan som ger eleverna en chans att fokusera på matematiken.

Dessutom kan en elev med språkliga svårigheter ha problem med t ex spatial förmåga och långtidsminne vilket gör att undervisningen måste anpassas efter detta (NCM, 2002 a).

För en elev som inte har svenska som modersmål kräver skolarbetet mer energi eftersom hon ännu inte behärskar språket till fullo. Det är svårare att tillgodogöra sig kunskap på sitt andraspråk när man inte förstår innebörden av alla ord och begrepp. En annan svårighet är att det är lätt att missförstå uppgifter och frågor. Det är lätt att tro att eleven kan mindre än vad hon egentligen kan på grund av det bristande språket. Lärare som har elever med annat modersmål bör tänka på att förenkla språket så att eleven förstår innehållet i uppgiften utan att för den skull förenkla uppgiften, detta för att fokusera på elevens matematiska kunskaper (Ladberg, 2000).

Självbild och tilltro

I mål att sträva mot i kursplanen i matematik kan man läsa att eleven ska utveckla sin tilltro till sitt eget tänkande och till sin förmåga att använda matematik i olika sammanhang (Skolverket, 2004c). En god tilltro till sitt eget tänkande kan höja ens prestationer medan en dålig tilltro kan sänka prestationerna. Att ha en bra tilltro till sitt tänkande är den faktor som till störst del påverkar individens uthållighet och intresse för studierna. När en individ lyckas med en uppgift blir hon motiverad att fortsätta. Om hon däremot inte lyckas är det lätt att intresset och lusten för att fortsätta med uppgiften försvinner. Många, både barn och vuxna, har negativa erfarenheter av matematikundervisningen i skolan på grund av att den upplevdes som meningslös och svår att förstå. Detta kan leda till att de känner sig misslyckade och får dåligt självförtroende (Skolverket, 2004g). Ett av människans basbehov är att behålla sin självbild och värdera sig själv positivt (Hörnqvist, 1999). Begreppet självbild är en

psykologisk term och beskriver hur en individ ser på sig själv samt på sina möjligheter och begränsningar. Den psykodynamiska teorin ser självbilden som en förklaring till en

människas beteende. Utifrån socialpsykologisk teori ses självbilden istället som ett resultat av social interaktion (Malmgren i Ljung och Pettersson 1998). När vi kommer i situationer som sänker vårt självförtroende tar vi till försvarsmekanismer, t ex så skyller vi misslyckanden på yttre faktorer (Hörnqvist, 1999).

Många elever tror att de presterar sämre på prov därför att de är nervösa och för att det finns en tidsbegränsning (Lindqvist, 2003). Törnvall (2002) visar i sin undersökning en skillnad mellan könen när det gäller ängslan och nervositet inför prov. Pojkar anses allmänt ha bättre kunskaper i matematik jämfört med flickor. Detta påverkar flickor negativt och sänker deras tilltro och därmed deras prestationsförmåga. I undersökningen framkommer att det inte är tidspressen som orsakar den största oron hos flickor inför prov utan att de tror det kommer att gå dåligt för dem på provet (Törnvall, 2002).

Bedömning

Bedömning i ett historiskt perspektiv

Från början användes examinationer till att sortera ut de bästa individerna för högre utbildning och anställning, något som började redan på 200-talet i Kina (Korp, 2003). Problemet med dessa var att det var de med ”rätt” förförståelse som klarade sig bäst. Muntliga examinationer användes senare för kunskapsbedömning vid universiteten i Europa. I och med

industrialiseringen och att utvecklingen gick framåt, ställdes det högre krav på kunskap och utbildning. Eftersom det tidigare bara varit människor från välbärgade hem som utbildat sig var det tvunget för samhället att på något sätt motivera merparten av befolkningen att utbilda sig. Detta gjorde man genom att utlova mer rättvisa bedömningar som inte grundades på vilken klasstillhörighet man hade (Korp, 2003). Under historiens lopp har bedömning anpassats efter de krav som samhället ställt (Lindqvist, 2003). Examinationssystemet

överfördes så småningom till ungdomsskolan där det tidigare endast varit lärarens bedömning som legat till grund för elevernas betyg. Förändringen höjde betygens status i och med att de baserades på formella prov som var desamma i hela landet (Korp, 2003).

På 1970-talet ändrades synen på kunskap i Sverige (Korp, 2003). Från att ha satsat på specifika grupper riktades undervisningen istället till alla individer. Detta innebar att undervisningen i högre utsträckning knöt an till vardagen och samhället. Samtidigt kom läroböcker att spela en stor roll i skolan, det ansågs att dessa hjälpte till att individualisera undervisningen. I läroböckerna kunde varje elev arbeta i egen takt och avgöra om de kunde gå vidare till nästa kapitel eller om det var något de behövde träna mer på (Korp, 2003).

Under 1980-talet ändrades synen på kunskap återigen (Korp, 2003). Från att ha baserats på de behavioristiska teorierna som innebär att individen är ett tomt blad som ska fyllas, kom istället konstruktivismen och kognitiva teorier att påverka kunskapssynen (Korp, 2003).

De kognitiva teorierna beskriver de tankefunktioner med vilkas hjälp information, kunskap och intryck hanteras (Nationalencyklopedin, 2004).

Ett teoretiskt perspektiv på bedömning

En bedömning kan aldrig bli helt objektiv. Vad som bedöms och hur det bedöms är beroende av vem som gör bedömningen. Dennes kunskapssyn påverkar bedömningens resultat. Om ett test kan bedömas av flera oberoende personer och ändå ge samma resultat säger man att testet har en hög reliabilitet, dvs. tillförlitlighet (Brändström i Ljung och Pettersson 1998).

Begreppet validitet handlar snarare om bedömningars relevans, att en bedömning mäter det som är avsett att mäta (Nationalencyklopedin, 2004).

Man kan dela in bedömning i två kategorier, den summativa och den formativa. Den förstnämnda används för att kunna kontrollera vad eleven har lärt sig och leder till ett betyg eller omdöme. Den formativa bedömningen, som även kallas pedagogisk bedömning, används för att visa på eller utveckla kvaliteten i undervisningen. Bedömning bör ske kontinuerligt under inlärningsprocessens gång och med hjälp av att analysera denna ska pedagogen hjälpa eleven att nå målen (Korp, 2003).

Astrid Pettersson (Pettersson i Lindqvist 2003) väljer istället att dela in bedömning i processbedömning, vilket innebär en kvalitativ bedömning av inlärningsprocessen, och produktbedömning, vilken är kvantitativ. Produktbedömning används för att visa samhället kvalitet medan processbedömning används för att leda elevernas utveckling framåt (Lindqvist, 2003).

För att öka elevens inlärning måste pedagogen bedöma den typ av kunskap som är väsentlig och inte bara den som är lätt att mäta. Pedagogen ska vara medveten om vad som ska bedömas och också bedöma det (Wiggins, 1998). Bedömning kan användas av olika anledningar. Nyström menar att det finns tre syften med bedömning:

• Insamling av information, denna ligger till grund för betyg och omdömen.

• Konkretisering av mål och kriterier vilket innebär att bedömningen ska spegla målen.

Lyckas pedagogen se mellan raderna i det eleven på olika sätt förmedlar är det lättare att analysera dennas tänkande och på så sätt hjälpa henne till vidare kunskap (Wehner - Godée 2001). För att se läroprocesser och för att få en uppfattning ifall eleven tillgodogjort sig kunskap, gäller det att ”läsa, lyssna och känna av” (Wehner- Godée 2001 sidan 34).

Uppfattningar om bedömning

Törnvall (2002) visar i sin undersökning att lärare hellre väljer att använda skriftliga prov som är lätta att rätta än att använda prov som kräver kvalitativa omdömen (Törnvall, 2002). Den amerikanska matematiklärarförening NCTM menar att eleverna är medvetna om att det som läraren tar upp i det skriftliga provet är det som anses vara det viktiga och således det de fokuserar på i sin inlärning. Bedömningen bör därför spegla det som finns med i de formulerade målen eftersom det är det som bestämts vara det väsentliga (NCTM 1995 i Lindqvist 2003). I kursplanen för matematik står det vad eleven ska ha uppnått i skolår 5. Här står t ex att eleven ska ha en grundläggande tal- och rumsuppfattning och kunna jämföra, uppskatta och mäta längder, areor, volymer, vinklar, massor och tid, samt kunna använda ritningar och kartor, ordet räkna nämns endast en gång (Skolverket, 2004c).

Skolverket (2004b) har undersökt lärares och elevers uppfattningar om det nationella

provsystemet. Det visar sig vara en stor skillnad mellan uppgifterna på de nationella proven i matematik och de uppgifter som eleverna är vana vid från den vardagliga

klassrumsundervisningen. Det finns delade meningar mellan lärare angående uppgifterna på nationella proven. Vissa lärare tycker att de är bra eftersom de utmanar eleven i sitt tänkande. Andra menar att eleverna är ovana vid denna typ av uppgifter eftersom de inte förekommer i de läromedel som används. PRIM-gruppen som står bakom de nationella proven menar att förändring tar tid. Dessutom tycker de att det viktiga är att proven har förankring i

styrdokumenten trots att inte alla lärare tycker uppgifterna stämmer överens med deras undervisning (Skolverket, 2004b).

De nationella proven är konstruerade för att bedöma elevernas förmåga att t ex se olika samband inom matematiken. Detta innebär att läraren måste kunna göra en kvalitativ bedömning av elevernas svar. Törnvall (2002) jämför i sin avhandling de svenska nationella

proven med det amerikanska skolsystemets SAT (Standard Assessment Tasks). Hon menar att de svenska lärarna till skillnad från de amerikanska inte har någon kompetens för att kunna tolka elevernas resultat på nationella proven på rätt sätt (Törnvall, 2002).

Skolverket skriver i sin rapport Lusten att lära att prov som endast fokuserar på ”rätt och fel svar” måste kompletteras med andra bedömningsformer för att ge en bredare bild av elevers kunskap (Skolverket, 2004g). Faran med att enbart använda skriftliga prov är att eleven lätt tolkar ett provresultat som det enda måttet på sin kompetens (Hörnqvist, 1999). Man måste grunda sin bedömning på fler källor än bara skriftliga prov. Observationer, intervjuer och samtal med eleverna är sätt att avgöra om de t ex har förmågan att undersöka och använda olika matematiska strategier (Stenmark 1991 i Lindqvist 2003). Lynn Arthur uttrycker det så här:

”En utvärdering av matematikkunskaper som inte tar hänsyn till sådana holistiska aspekter som elevens förmåga att formulera problem, komma på strategier, utveckla linjer i argumentering och kommunicera skäl, är att likna vid en bedömning av skrivförmåga som bara tar hänsyn till stavning och grammatik och inte vad eleven försöker att säga.” (Lynn Athur Steen sidan 56 i Beskow 2000:1)

Susanna Lindqvist (2003) har gjort elevintervjuer angående hur elever uppfattar bedömning. I dessa framkommer att elever tycker att fokus för bedömning ska ligga på förståelse. De är fullt medvetna om att bedömning sker, men vet inte när det sker förutom vid skriftliga prov. Elever ser proven som ett sätt att i förlängningen få bra betyg och kunna nå dit de vill i livet, inte som ett sätt att utvecklas (Lindqvist, 2003). Positiva undervisningsupplevelser är sådana där bedömning inte sker på ett negativt sätt utan ses av eleven som konstruktiv (Malmgren i Ljung och Pettersson 1998). På liknande sättharMaj Törnvall (2002) i sin avhandling dragit slutsatsen att elever vill visa vad de kan och att de vill ha lärarens hjälp att nå de mål som är uppsatta (Törnvall, 2002).

Bedömningsredskap

Skolverkets analysschema i matematik är ett förslag på hur man kan arbeta med matematik för att nå målen. Här finns uppgifter som ska lösas i grupp och enskilt, underlag för

elevsamtal, frågor till eleverna i matematik samt underlag för dokumentation. Det som enligt Skolverket anses vara viktigt att bedöma är elevernas tillvägagångssätt och kvaliteten på lösningarna. En viktig del av bedömningen är att eleven får komplettera och göra färdigt det som är ofullständigt efter att läraren granskat lösningarna. Fokus vid bedömningarna ligger på huruvida eleven kan uttrycka sitt sätt att lösa uppgiften på så att andra kan förstå och följa tankegångarna (Skolverket, 2004a).

Individuella utvecklingsplaner

Olika förlag har givit ut material som kallas individuella utvecklingsplaner (IUP). Tanken med dessa är densamma, men det kan förekomma vissa skillnader. Eleven och elevens lärande ska vara i centrum. Varje elev har en egen pärm som är uppdelad i följande: svenska,

matematik, engelska och social utveckling. Inom varje område finns det ett antal steg som är kopplade till de nationella målen. Eleven får med det här materialet ta ställning till om de inom de olika momenten tycker att de kan, om de är osäkra eller om de är på god väg. Pedagogen tar också ställning till vad eleven kan och tillsammans diskuterar de var eleven befinner sig och hur de ska arbeta vidare. Tanken med IUP-pärmen är att den ska följa eleven genom hela skolgången för att kunna följa dennes utveckling (Zetterström, 2003).

Portfolio

Portfolio är ett annat sätt att dokumentera varje elevs utveckling. Man samlar elevens arbete över tid för att se utvecklingen, det kan sparas digitalt eller i en vanlig mapp. Med hjälp av denna metod vill man få varje elev att reflektera över sitt eget lärande. Portfolio är ett sätt att synliggöra målen och inlärningsprocessen för såväl elever som föräldrar. Eleverna lär sig att utvärdera och bedöma sitt eget arbete. Pedagogens roll blir här att handleda och inte att ha traditionella genomgångar (Multimedia, 2004).

Prov och diagnoser

Skriftliga test är ett vanligt sätt att bedöma elevers kunskap på i skolan. Wiggins (1998) menar att lärare snarare konstruerar prov som lätt mäter elevens kunskap istället för att konstruera sådana som ser till elevens behov (Wiggins, 1998). Wedman (1988) anser att man måste se värdet med att använda prov, det gäller att läraren har ett klart syfte med provet och använder det som ett pedagogiskt redskap. Lärarutbildningarna med inriktning mot

grundskolans tidigare år tar avstånd från prov och därför får studenterna inte lära sig att konstruera prov och inte heller diskutera provens betydelse och vilken nytta de skulle kunna göra hävdar Wedman (1988). Vidare ger han exempel på varför man bör ifrågasätta skolans prov. Några av dessa är att proven till störst del mäter ”ytliga och lätt mätbara kunskaper” (Wedman 1988, sid 23), att språkbruket på proven ofta har brister samt att lärarna sällan analyserar provresultaten för att kunna använda dem som ett pedagogiskt redskap (Wedman, 1988). Thorndike (Wedman, 1988) pekar också på ett antal felkällor som kan påverka provresultatet, t ex stress och nervositet, tidsbegränsning, vana att genomföra prov, förmåga att läsa instruktioner samt allmänt hälsotillstånd (Thorndike 1951 i Wedman 1988).

Nationella prov

De nationella proven kan genomföras i skolår 2,5 och 9. Proven är konstruerade utifrån Lpo 94 samt kursplaner och betygskriterier (Skolverket, 2004e).

Provet är uppdelat i delmoment som vart och ett prövar olika mål i kursplanen

(Skolverket, 2004f). Det som prövas är praktiska kunskaper, ämnesmässiga redskap och förmåga till nytänkande (Skolverket, 2004b). Det finns både individuella uppgifter och gruppuppgifter. Provet innebär att eleverna måste kunna uttrycka matematik på olika sätt, t ex genom tal och skrift (Skolverket, 2004f). Vissa uppgifter betonar processen medan andra ser till resultatet av elevens arbete (Pettersson, 2004). Proven ska ge ett stöd åt läraren i hennes bedömning och syftar till att alla elever ska bedömas på ett likvärdigt sätt oavsett vilken skola de går i eller hur undervisningen ser ut (Skolverkets nyhetsbrev 14/98 i Törnvall, 2002).

Syfte och frågeställning

Syftet med vårt examensarbete är att undersöka hur verksamma lärare i skolår 4-6 bedömer elevers kunskap i matematik.

Astrid Pettersson har formulerat följande:

” Inriktningen för vårt arbete med bedömning är att göra det väsentliga bedömbart och inte det enkelt mätbara till det väsentligaste ” (Pettersson, 2004 sidan 4).

Utifrån detta har vi formulerat våra frågeställningar, vilka är:

Vad anser lärare vara väsentligt att elever kan?

Metodbeskrivning

Urval

Vi ville undersöka bedömning av elever i skolår 4-6 i den kommunala skolan och valde därför att intervjua lärare som arbetar i dessa årskurser. Vi vände oss till de skolor där vi haft vår verksamhetsförlagda tid och även till skolor som våra kurskamrater haft kontakt med. Vi ville intervjua lärare av båda kön, med olika lång yrkeserfarenhet och som arbetar på skolor med olika invandrartäthet och i olika upptagningsområden (Trost, 1997). Sammanlagt har vi intervjuat 8 lärare på 5 olika skolor.

Kort beskrivning av de intervjuade lärarna:

ƒ A: Manlig svenska/so-lärare, resurs i matematik i skolår 5. Har arbetat som lärare i 3,5 år. Arbetar på en mindre skola i en förort där mindre än hälften av eleverna har

invandrarbakgrund.

ƒ B: Manlig ma/no-lärare, undervisar i skolår 6. Har arbetat som lärare i 7 år. Arbetar på en byskola där ingen av eleverna har invandrarbakgrund.

ƒ C: Manlig ma/no-lärare som undervisar i skolår 4 och 5. Har arbetat som lärare i 17 år. Arbetar på en byskola där ingen av eleverna har invandrarbakgrund.

ƒ D: Manlig grundskolelärare som undervisar i skolår 5. Har arbetat som lärare i 36 år. Arbetar på en mindre skola i en förort där mindre än hälften av eleverna har

invandrarbakgrund.

ƒ E: Kvinnlig svenska/so-lärare som undervisar i matematik i skolår 6. Arbetar på en skola i en storstad där hälften av eleverna har invandrarbakgrund. Har arbetat som lärare i 5 år.

ƒ F: Kvinnlig svenska/so-lärare som undervisar i matematik i skolår 5. Arbetar på en skola i en storstad där hälften av eleverna har invandrarbakgrund. Har arbetat som lärare i 3,5 år.

ƒ G: Kvinnlig grundskollärare som undervisar i matematik i skolår 5. Har arbetat som lärare i 35 år. Arbetar på en invandrartät skola i en medelstor stad.

ƒ H: Kvinnlig grundskollärare som undervisar en liten grupp barn i matematik i skolår 4. Har arbetat som lärare i 30 år. Arbetar på en invandrartät skola i en medelstor stad.

Datainsamlingsmetod

Vi ville undersöka lärares uppfattningar om bedömning och vi ansåg att kvalitativa intervjuer var en lämplig undersökningsmetod eftersom det är den metod som bäst lämpar sig när man vill veta hur människor resonerar och tänker (Trost, 1997). Genom att ha ett fåtal, öppna frågeställningar utan givna svar kan man vidga svarsspektrumet (Johansson & Svedner, 2001).

Vi var väl inlästa på ämnet och hade ett klart syfte med arbetet (Trost, 1997). Vi hade formulerat ett fåtal frågor som utgjorde vår bas, och ställde sedan följdfrågor utifrån lärarens svar. Frågorna var formulerade så att vår uppfattning om bedömning inte framgick, detta för att inte påverka svaren. Vi hade testat våra frågor på några kurskamrater innan intervjuerna genomfördes (Johansson & Svedner, 2001). Frågorna finns som bilaga 1.

Procedur

Vi ringde till de utvalda lärarna och informerade om vad intervjun skulle innehålla samt hur lång tid det skulle ta (Johansson & Svedner, 2001). Intervjuerna gjordes tillsammans och alla intervjuer skedde individuellt(Trost, 1997). Intervjun ägde rum på skolan där läraren arbetar, i ett avskilt rum utan störande moment. För att kunna ha ögonkontakt med varandra och med läraren satt vi runt ett bord. Vi inledde intervjun med att tala om vilka vi är och vad intervjun skulle innehålla, samt vad materialet skulle användas till. Eftersom vi ville fokusera på intervjuerna och för att få ut så mycket som möjligt av dem valde vi att spela in dem på bandspelare. Personen informerades om att hon kommer vara helt anonym och att vi endast använder materialet till vårt examensarbete. Intervjuerna tog mellan 25 och 40 minuter. Kort efter intervjun skrev vi ner tankar och reflektioner för att komma ihåg de intryck vi fått under intervjun. Intervjuerna skrevs ut för analys och skickades via e-post till respektive lärare för granskning. Vi gav samtliga lärare telefonnummer och e-postadress så att de kunde höra av sig i fall det var något som inte stämde. Samtliga lärare har läst igenom intervjuerna och godkänt dem (Trost, 1997).

Felkällor

Eftersom vi var två stycken som intervjuade och läraren var ensam kan detta ha skapat viss nervositet och osäkerhet hos läraren som kan ha påverkat svaren.

Det kan också vara så att vi genom att t ex nicka och hålla med om vissa saker har påverkat lärarens svar. Vi var väl medvetna om att detta är en av farorna när man genomför en intervju och försökte i största möjliga mån att tänka på detta under intervjuernas gång (Trost, 1997).

Utvärdering av vald metod

Vi tycker att kvalitativ intervju var en utmärkt metod att använda i vår undersökning. De frågor vi ställde gav uttömmande och varierande svar. Vi fick reda på lärarnas uppfattningar angående bedömning och hur de arbetar med detta, samt hur de använder sig av denna. Vad vi inte fick reda på var hur lärarna verkligen arbetar med bedömning. Det är lätt att säga hur man vill att det ska vara, eller vet hur det bör vara, en annan hur man gör i praktiken. För att undersöka hur deras undervisning och bedömning ser ut borde vi ha haft mer tid så att vi kunde ha gjort klassrumsobservationer i kombination med lärar- och elevintervjuer.

Analysmetod

Vi har i våra intervjuer ställt frågor angående lärares uppfattning om bedömning. Vi har inte studerat deras undervisning och utgår därför ifrån vad de säger, kanske lever de inte som de lär. Det är fritt för läsaren att tolka resultaten. Analysen är vår tolkning och den är påverkad av vår utbildning och våra erfarenheter från VFT. Vår analys är också påverkad av att vi att träffade lärarna och alltså har vi fått ett helhetsintryck som t ex innefattar kroppsspråk och tonfall. Vi har analyserat intervjusvaren utifrån huruvida lärarna har en summativ eller formativ bedömning. Vi har också koncentrerat oss på hur lärarna i sin bedömning förhåller sig till målen och vilken typ av kunskap de bedömer.

Resultat och analys

Nedan redovisar vi de frågor vi ställde och svaren vi fick från lärarna. Vi har kategoriserat svaren så att det ska vara mer lättöverskådliga.

Resultat

1. Hur ser din matematikundervisning ut?

Samtliga lärare använder en lärobok i matematik och har de ”genomgångar” som behövs i arbetet med läroboken.

Lärare B och C har boken som stöd men eleverna får dessutom arbeta laborativt, i grupp och t ex göra egna böcker.

Lärare D och G använder boken mycket, men låter också eleverna formulera egna problem och arbeta med gruppuppgifter.

Lärare A, E, F och H använder nästan uteslutande boken.

En av lärarna säger:

2. Hur bedömer du elevens kunskap?

Lärare B, C och D använder de diagnoser och tester som finns i läromedlet. Utöver detta säger de sig bedöma elevers kunskap med hjälp av samtal, diskussioner och andra

bedömningsmaterial såsom lokala tester och Mattecirkeln (vilket är ett diagnosmaterial av Maria Österlund och Catherine Lindberg från Natur och Kultur).

Lärare C säger att för att se till att eleverna når de nationella målen måste man föra ständiga resonemang med eleverna så att man ser att de utvecklas.

Lärare G och H använder de diagnoser och tester som finns i läromedlet samt använder samtal och diskussioner som ett sätt att bedöma elevernas kunskap.

En lärare säger:

”Dels ser man det i samtalet med ett barn. Det beror ju på vilka frågor jag

ställer.”

Lärare A, E och F använder uteslutande diagnoser och tester som finns i läromedlet.

Flera av lärarna säger att de har en känsla för om eleven kan eller inte och att denna utvecklas med tiden.

En av lärarna uttryckte det så här:

3. Vad tycker du är viktigt att eleven lär sig i matematik?

Några av lärarna tycker att det är mer än en sak i matematik som är viktig och därför finns de med i mer än en kategori.

Lärare D tycker att rimlighet och uppskattning är viktigt.

Lärare D och H tycker att det är viktigt att eleverna ska kunna använda matematiken i vardagslivet.

Lärare E och H tycker att eleverna ska kunna behärska de fyra räknesätten.

Lärare E tycker också att det är viktigt att eleverna lär sig att använda ett korrekt matematiskt språk.

Lärare B och C anser att det viktigt är att man har en förståelse för vad man gör och vad det är som händer.

En av dem säger:

”Förståelse är det vi trycker mycket på. Vi kan ge dem kunskaper i

färdighetsträning, sedan kan de rabbla sida upp och sida ner men frågar man dem sedan om de kan sätta in det i ett samband, ett verkligt samband, så kan de inte det.”

Lärare A och F tycker att det är viktigt att eleverna tänker efter och gör noggranna uträkningar.

Lärare G tycker att det viktigast är att eleverna kan tillämpa sina matematiska kunskaper.

Läraren säger följande:

”Jag tycker att det är ett väldigt bra sätt at de själv ska hitta på problem, då ser man om de har förstått.”

4. Hur använder du dig av din bedömning?

Alla lärarna har en kontinuerlig bedömning och använder den för att kunna hjälpa eleverna vidare i deras utveckling.

Lärare B och C har kontinuerlig bedömning och ger eleverna extra tid i något de kallar ”uppsamlingsheat”. Här kan eleverna en gång i veckan få mer tid att hinna i kapp och hjälp med sådant de inte förstår för att kunna följa undervisningen.

De andra lärarna använder mattebokens ”träna mera uppgifter” för de elever som fått dåligt resultat på diagnoserna.

5. Använder du dig av bedömningsredskap, t ex Individuella utvecklingsplaner (IUP), portfolio eller Skolverkets diagnosmaterial i matematik?

Alla lärare är i uppstarten av arbetet med IUP.

En lärare har provat på att arbeta med portfolio och en annan säger att:

”Jag tycker att man skulle kombinera IUP med portfolio.”

Tror du att IUP kan hjälpa dig i din bedömning?

Lärare F och H tror att det kan bli ett utmärkt redskap vid bedömning.

Lärare A, C, E och G tror att det kan bli ett bra redskap vid bedömning.

Lärare D tror inte att det är ett hjälpmedel vid bedömning och säger:

”Nej jag tror att det kommer se proffsigare ut men det kommer inte vara någon skillnad mot min tidigare dokumentation.”

Det lärarna lyfte fram som positivt med IUP är följande:

• Eleven blir medveten om vad hon kan och vad hon måste lära sig. • De är preciserade och det är lätt att se var eleven befinner sig.

• Det är lättare att synliggöra elevens kunskap för eleven och för föräldrarna. • Det är lättare att lämna över eleven till nästa lärare.

• Det är ett verktyg där man ser till varje elev.

6. Vilket samband finns mellan din bedömning och din undervisning?

Lärarna bedömer sina elever med hjälp av t ex diskussioner, samtal, diagnoser och elevernas räkning i matematikboken. Alla de bedömningsmetoder som används är en del av den

vardagliga undervisningen och alltså tycker lärarna att bedömningen vävs in i undervisningen på ett naturligt sätt.

7. Hur förbereder du eleverna inför nationella proven?

Lärare F säger att eleverna fått repetera lite inför de nationella proven.

Lärare B och C tränar på den typen av uppgifter som kommer på nationella proven.

8 . Vad tycker du om de nationella proven?

Lärare H: ”Jag tycker de är bra. Det är inte upplagt så att man kan sitta och plugga in matte.

Ett bra redskap för att mäta om barnet når målet i årskurs 5.”

Lärare C: ”Det är inte traditionell matematik på nationella prov. De är en stor värdemätare”

Lärare A: ”Om de bara sköter sig på lektionen och lyssnar och så ska de ju klara av dem.

Följer de bara böckerna ska det inte vara några problem.”

Lärare B: ”Vissa uppgifter som finns med på nationella prov har inte funnits med i kapitlet i

matteboken.”

Lärare E: ”Eleverna hade nog förväntat sig att man skulle addera och subtrahera mycket och

det var väldigt mycket ”rita och berätta hur du har tänkt”. Det blev många elever mycket låsta av. De kunde inte förklara det i ord. Det ska man kanske göra men jag tyckte att det var för mycket. Det slog över på det. Jag har någon flicka i min klass som inte klarade de

nationella proven i matte, men så går det en månad och så har hon alla rätt på en

provräkning. Det tycker jag säger mycket om de nationella proven. Att man misslyckas på ett nationellt prov men klarar sig bra på mattelektionerna. Det blir ett glapp däremellan.”

Lärare G: ”Man utgår från att de nationella proven utgår ifrån kursplanerna och bygger på

målen för årskurs 5 naturligtvis (…) Man ska ju inte ligga i hårdträning en vecka innan eller så då blir det lite snett tycker jag.”

Lärare F: ”De är ju designade för att vara heltäckande (…) Det är svårt att bedöma om de är

bra eller dåliga. Jag förlitar mig på att de som gjort dem tänkt till. Eftersom jag inte själv har matte.”

Lärare D: ”Jo, jag tycker de är jättebra. Vad syftar matteundervisningen till? Jo, det är att du

Annat tänkvärt som kom fram under intervjuerna:

• Flera lärare talade om att matematiken är nära sammankopplad med läsförståelse. Detta gäller såväl elever med läs- och skrivsvårigheter som elever med annat modersmål.

• Några lärare talade om att det finns en tävlan mellan eleverna om vem som är längst i boken. En lärare påtalar skillnaden mellan könen, pojkar arbetar snabbt för att komma vidare medan flickor tänker efter mer.

• De tre svenska/so-lärarna vi intervjuade känner sig osäkra på hur de ska undervisa i matematik eftersom de knappt har någon utbildning i ämnet. En av dem säger:

”Min man är mattelärare och han har ett annat synsätt på matte. Han har en annan tankegång när det gäller matte. Det är märkligt att man kan se på samma sak på så olika sätt.”

Analys

Överlag är de lärare vi har intervjuat väldigt läromedelsbundna. Hälften av dem arbetar nästan uteslutande i boken och detta verkar genomsyra hela deras undervisning. Flertalet lärare talar mest om arbetet med läromedel och därför får vi uppfattningen av att laborativt arbete inte förekommer i så stor utsträckning. Det verkar inte som att antalet yrkesverksamma år är avgörande för hur undervisningen bedrivs. Istället visar våra intervjuer att det är så att lärare som inte har så mycket utbildning i matematik i högre grad förlitar sig på lärarhandledningens och lärobokens innehåll. Detta beror troligen på den osäkerhet de känner i ämnet. Ingen av de intervjuade svenska/so-lärarna säger sig arbeta utanför läromedlets ramar, varken vad det gäller undervisning eller bedömning.

Alla de intervjuade lärarna använder matematikbokens prov och diagnoser som utgångspunkt i sin bedömning. De flesta använder sig dessutom av andra bedömningsmetoder. De lärare som har adekvat utbildning i matematik vågar arbeta på ett annat sätt än enbart med

matematikboken. Antagligen är det så att de känner sig mer säkra i ämnet och litar på sin egen förmåga att bedöma.

Alla har en kontinuerlig bedömning för att kunna följa elevens utveckling genom t ex diagnoser och samtal. Många av lärarna för diskussioner enskilt med elever och även i helklass. De menar att de genom att höra elevernas resonemang i olika sammanhang kan bedöma om de förstår matematiken eller inte. Flera av lärarna säger att man har en känsla för om eleven kan och förstår, samt att denna känsla utvecklas med tiden och när man lär känna eleven. Någon säger dessutom att alla elever har bra och dåliga dagar, därför måste man se helheten. Utifrån vad de säger tolkar vi det som att alla inte använder resultaten på diagnoser och prov som ett utgångsläge för fortsatt arbete mot ökad förståelse. Istället för att arbeta med uppgifter som ger eleven en förståelse för vad de gör ger många av de intervjuade lärarna eleven samma typ av uppgifter som de inte klarade på provet/diagnosen.

Det råder delade meningar mellan de intervjuade lärarna om vad som är viktigt inom matematik. Ingen av lärarna nämner kursplanens mål som helhet, men de saker de nämner som viktiga finns med i kursplanens mål i Lpo 94. Detta tolkar vi som att lärarna är medvetna om de nationella målen, men att de kanske inte funderat över dess innebörd eller värderat dem.

Det lärarna upplever som mest positivt med IUP är att de får elevens kunskapsutveckling ”svart på vitt”. Eftersom det finns nedskrivet känner de sig mer säkra i mötet med föräldrarna och kan lättare visa och diskutera elevens resultat. Vi uppfattar det som att de flesta lärarna ser IUP som ett hjälpmedel för dem själva och inte i första hand för eleven. Detta eftersom de framförallt talar om nyttan i sin bedömning och några säger att det främst är vid

utvecklingssamtalen som de funderar över vilken nivå i IUP-pärmen eleven befinner sig på i bland annat matematik.

Många av lärarna säger att det finns ett glapp mellan innehållet i läroboken och de nationella proven. De menar att de nationella proven mäter andra saker än det som finns med och

bedöms i läromedlet. Några tycker att det är positivt att proven ser annorlunda ut medan andra tycker att proven inte ger en rättvis bedömning av elevens kunskap. Samtidigt säger de att nationella proven är ett mått på om undervisningen fungerar, klarar eleverna dessa betyder det att undervisningen är sådan som den bör vara.

Flera av lärarna betonar språkets betydelse för att förstå och klara av matematiken. För att eleven ska kunna utöva matematik måste de dels förstå och tolka, dels kunna uttrycka sig matematiskt korrekt. Har de inte ett funktionellt och utvecklat språk blir det besvärligt för dem att förstå och göra sig förstådda vilket leder till svårigheter att utvecklas och nå målen. Det är också mer komplicerat för läraren att bedöma eleven på grund av dessa språkliga hinder.

Diskussion

Alla de lärare vi intervjuat använder sig av läromedel i matematikundervisningen. Vissa använder dem nästan uteslutande medan andra dessutom använder sig av alternativa

arbetssätt. De svenska/so-lärare vi intervjuat upplever matematik som svårt att undervisa i och de är väldigt bundna till lärarhandledningen och lärobokens innehåll. Detta för att de inte har adekvat utbildning i matematik. En lärare upplever att hon har en annan syn på matematik än vad lärare med gedigna ämneskunskaper i matematik har. I likhet med Liping Ma (1999) tror vi att den som har en relevant utbildning i större utsträckning vet att det mest väsentliga är att eleverna får en förståelse för matematik och lär sig tänka matematiskt, inte att de kan räkna mekaniskt.

Marton ( Marton i Lundmark, 1997) menar att genom att fokusera på djupkunskap, såsom förståelse, får eleverna en mer beständig kunskap samtidigt som de tillgodogör sig ytkunskap. I de nationella målen kan man läsa att man ska knyta undervisningen till verkligheten och att utbildningen ska vara sådan att eleven lär för livet. Vi håller med och tycker att det är viktigt att eleverna får kunskap som består och som förbereder dem för framtiden.

Det finns åtskilliga uppfattningar om vad elever ska kunna och vad som är väsentligt. Utbildningen ska vara likvärdig i hela landet och därför måste pedagoger tillsammans bestämma sig för vad som är det väsentliga och utgå från detta. Vi tycker att de nationella målen i kursplanen för matematik bör ses som en gemensam grund för vad som är väsentligt i matematikundervisning (se bilaga 2).

Vi anser att man måste vara fullt medveten om vilka mål som ska uppnås och att arbetet med eleverna sker på ett sätt som möjliggör detta. De nationella målen kräver att eleven fått interagera, laborera och undersöka olika områden inom matematiken. För att förstå måste eleven t ex få erfara hur mycket ett kilogram är eller hur långt en meter är. I läroböckerna finns för det mesta inte laborativa moment och på grund av detta kan elever som enbart arbetar självständigt i sina läroböcker inte nå målen i skolår 5.

Vi har bara intervjuat 8 lärare så vi kan inte göra några som helst generaliseringar, men vi tror att de lärare vi intervjuat är representativa för majoriteten av Sveriges lärare. Om det är så att de flesta lärare använder läromedel i hög utsträckning, innebär det att det är läromedels-författarna som bestämmer vad eleverna ska lära sig och vad som är relevant kunskap. Som lärare gäller det att vara medveten om de nationella målen och inte lägga elevernas öde i händerna på läromedelsförfattarna. Vi är mycket kritiska till oreflekterad användning av läromedel. Vi menar att de kan användas på ett mer fördelaktigt sätt än vad vi har

uppfattningen av att lärare gör. Det gäller att man som lärare är kritisk i valet av läromedel och inte nödvändigtvis arbetar med boken från pärm till pärm. För att nå målen måste

undervisningen också innehålla andra moment än vad läroböcker oftast ger, såsom laborativa uppgifter, diskussioner om matematik och reflektion över det egna lärandet. Vi kan inte utgå från att läromedlen är konstruerade utifrån målen. Vår uppfattning är att de läromedel vi har varit i kontakt med inte har ett relevant innehåll i alla avseende och inte heller följer alla målen. När en pedagog använder ett läromedel som inte följer alla målen i kursplanen, är det än viktigare att hon dessutom använder alternativa metoder för att eleverna ska nå målen i skolår 5.

Tidigare utbildades lärare till klasslärare, vilket innebar att de fick kunskap i alla de ämnen de skulle undervisa i. Fördelen är att de har en bredd i sin kunskap, nackdelen att de saknar djup. Lärare med nyare utbildning har istället fördjupade ämneskunskaper, men saknar bredd. Som de nya utbildningarna är uppbyggda är det inte meningen att dessa lärare ska arbeta som klasslärare utan det är tänkt att pedagogerna i arbetslaget ska samarbeta så att allas kompetenser utnyttjas på bästa sätt. Om en svenska/so-lärare som saknar behörighet i matematik ändå undervisar i detta, är det då hennes fel om hennes elever inte uppnår målen? Vem bär ansvaret?

De lärare som ingår i vår undersökning använder alla på något sätt de diagnoser och provräkningar som läromedlet tillhandahåller. Några använder enbart läromedlets

diagnosmaterial. När pedagogen rättat elevens diagnos ser hon vilka fel eleven gjort och låter henne träna på fler uppgifter av samma sort. Vi tror inte att eleven lär sig genom att träna mer på samma sorts uppgifter, utan att det gäller att angripa problemet från en annan synvinkel. Det eleven behöver är förståelse och inte enbart träning av mekanisk räkning. Liping Ma (1999) visar i sin undersökning hur amerikanska lärare ger eleven en förståelse för själva proceduren för att få fram ett svar, t ex en multiplikationsalgoritm, och inte en förståelse för varför hon gör som hon gör. Vi har upplevt på vår vft, och i diskussioner med kurskamrater, att lärare i Sverige tänker på liknade sätt. På det sätt vi tolkar lärarnas intervjusvar utnyttjar alla inte diagnoserna på ett sätt som kan hjälpa eleven, utan som ett sätt att få ett snabbt svar på elevens kunskap. De använder inte resultatet för att se var elevens brister finns för att kunna åtgärda dessa, utan för att se vilka uppgifter de inte klarar av att räkna. Wiggins (1998) talar utifrån ett amerikanskt perspektiv och menar att lärare konstruerar prov som är lätta att bedöma. Även vi tror att lärare väljer att använda prov som mäter det som är lätt att mäta, istället för att se om eleven har förstått innebörden i uppgiften och kan sätta den i ett verkligt sammanhang. Vi antar att detta beror på att lärare har bristande ämneskunskaper och inte uppmärksammar elevens egentliga förståelse för matematik. Om läraren mest poängterar kvantiteten hellre än kvaliteten är det detta eleven kommer att fokusera på i sin inlärning. Läraren bör visa att det är processen och det matematiska tänkandet som är det väsentliga genom att bedöma detta. Vår uppfattning är också att det kan bero på att lärare känner att tiden inte räcker till och då blir antal rätt räknade uppgifter på ett test enligt läraren ett enkelt mått på elevens kunskap.

De flesta intervjuade lärarna säger sig grunda sin bedömning på mer än skriftliga prov. Wedman skriver 1988 att lärarutbildningarna med inriktning mot tidigare år tar avstånd från prov och vi tycker att detta påstående fortfarande är riktigt. Vi har aldrig i vår utbildning diskuterat nyttan med prov eller möjligheten att använda dem som ett pedagogiskt redskap. Lärarna i vår undersökning mäter med sina diagnostiska test det som är lätt mätbart och deras bedömning är därför enligt Korps (2002) kategorisering summativ. Vi förespråkar en

formativ, eller pedagogisk bedömning, där bedömningen blir ett redskap för att kartlägga eleven och hjälpa henne att nå målen. Vi håller med Stenmark (Stenmark 1991 i Lindqvist

2003) i att bedömningen bör ske på mer än ett sätt för att få en heltäckande bild av elevens kunskap. Vi tycker, precis som alla de intervjuade lärarna säger, att man bör ha en

kontinuerlig bedömning som alltid finns med i undervisningen som en naturlig del utan att för den skull styra den. Två av lärarna säger att de genom att ha siktet inställt mot målen och genom att föra ständiga resonemang med eleverna, kan hjälpa dem att utvecklas. Flera lärare säger att det är viktigt att eleven kan använda sig av sin matematiska kunskap och att man i elevens resonemang kan se om de förstått. En av lärarna låter sina elever konstruera egna uppgifter för att eleven där utgår från sina förutsättningar och kunskaper. Vi drar här en parallell till Ulla Öbergs (2004, opubl. ) ”öppna frågor”. Hon menar att varje individ

konstruerar sin kunskap och därför blir pedagogens roll att engagera eleven. I samtalet med en eller flera elever kan pedagogen få reda på vad eleven kan och hur hon tänker genom att ställa utmanande frågor.

Genom lärarutbildning, vft och litteraturstudier har vi skapat oss en uppfattning och vision om hur undervisning bör vara upplagd. Vi anser att all undervisning ska utgå från de nationella målen i Lpo 94 (Skolverket, 2004d), dessa existerar för att ge oss lärare riktlinjer och för att se till att elevens förståelse och tänkande i matematik utvecklas. För att kunna hjälpa eleven att nå målen måste läraren ha en pedagogisk bedömning där hon stämmer av var eleven befinner sig i sin utveckling. Det gäller att ta reda på hur eleven tänker i olika matematiska situationer. Detta gör man genom att ställa ”rätt” frågor eller ge uppgifter som avslöjar detta, t ex

”mattegömmor”, ”öppna frågor” och ”räknehändelser”.

Ingen av lärarna säger att det är de nationella målen som är det viktiga, men det de nämner som viktigt är delar av målen för matematik. Vi tror att lärarna är väl medvetna om att de nationella målen finns och att undervisningen ska grundas på dessa. Vi är däremot inte säkra på om de har tänkt igenom vad de egentligen betyder. Det är för övrigt inte säkert att de tolkar målen på samma sätt som vi gör. Två lärare sa till exempel att de tyckte att det var viktigt att eleverna behärskar de fyra räknesätten. Vi tror att de menar att eleverna ska kunna göra uträkningar så att de får rätt svar, medan vi anser att eleverna ska ha en grundläggande förståelse för räknesätten och kunna tillämpa dem.

Vi var intresserade av att ta reda på vilka olika bedömningsredskap lärare använder och vi trodde nog att det var mer vanligt förekommande än vad som visade sig. Alla lärare använder förvisso IUP, men detta för att det har blivit kommunalt bestämt att det ska användas. De uppfattar IUP som ett sätt att visa elevens utveckling för föräldrarna och inte som ett bedömningsredskap som är till för eleven eller för att hjälpa läraren. Vi tror inte att lärarna själva skulle ha infört arbetet med IUP som en hjälp i sin bedömning. Det är intressant att de inte använder bedömningsredskap i större utsträckning, det finns trots allt en del material att få stöd från. De förlitar sig istället på sitt eget omdöme och sin förmåga att kunna avgöra vad eleverna kan. Dessutom känner de att lärobokens diagnoser ger dem den hjälp de behöver i sin bedömning.

Några lärare säger att IUP kan vara ett sätt att göra eleven medveten om de mål som finns. Vi tycker att det är viktigt att eleverna vet att de ska lära för sin egen skull. Författarna till Lusten

att lära (Skolverket, 2004g) menar att om eleven ser att hon har utvecklats så vill hon

fortsätta. Vi tror att man genom att diskutera och synliggöra målen tillsammans med eleverna får dem att uppmärksamma målens existens och betydelse.

En slutsats vi drar av intervjuerna är att de lärare som deltog uppfattar att det finns ett glapp mellan uppgifterna på nationella proven och de som finns i matematikboken. De tycker att läroboken innehåller mer ”traditionell” matematik, medan uppgifterna på nationella proven är mer ”öppna”. Det finns en skillnad hur de ser på glappet. Vissa lärare tycker att det är positivt och menar att nationella proven berör annat än vad läroböcker gör. Eftersom merparten av lärarna tycker att denna typ av uppgifter är bra, undrar vi varför de inte arbetar med liknande uppgifter i sin undervisning. En av lärarna är negativ till de nationella proven eftersom de inte alls är uppbyggda på samma sätt som läroboken. Läraren tycker att det är konstigt att en elev kan misslyckas på de nationella proven, men klara sig utmärkt på en provräkning som ingår i läromedlet. Vi tycker också att det är konstigt, men av en annan anledning. Vi tycker att läraren borde ha fått sig en tankeställare och funderat över vad läromedlet innehåller och varför eleven inte klarar de nationella proven och därigenom inte heller de nationella målen. Vi menar att den typ av uppgifter som finns på de nationella proven mäter det väsentliga eftersom de har förankring i styrdokumenten.

En av lärarna anser att nationella proven är en stor värdemätare och de har konstruerats för att det ska finnas en gemensam bedömningsgrund i hela landet. Frågan är hur rättvisa de

egentligen är. För att klara nationella proven krävs en viss förförståelse i form av erfarenhet av den typ av uppgifter som finns här. Många av lärarna i vår studie arbetar inte med sådana uppgifter och ger därför inte eleverna den förförståelse som krävs. Om de inte klarar

nationella proven på grund av bristande erfarenhet av och förståelse för dessa uppgifter, ska resultatet då tolkas som att det är eleven eller undervisningen som brister? Är det ett prov med hög validitet?

Flera lärare nämner språkets betydelse för elevens matematiska förståelse. I matematik måste man både förstå och göra sig förstådd och därför kan språkliga hinder många gånger medföra svårigheter i matematik. Lärare till elever som har sådana svårigheter bör vara extra

uppmärksamma så att det verkligen är det matematiska och inte det språkliga som bedöms.

I intervjuerna frågade vi lärarna dels vad de anser vara det väsentliga och dels hur de bedömer eleverna. Vi drar slutsatsen att flertalet lärare inte mäter det de anser vara väsentligt,

framförallt mäter de inte det vi anser vara väsentligt. Vad de säger är att det finns annat som är viktigt än just förmågan att kunna räkna, t ex att argumentera, bedöma rimlighet och använda ett korrekt matematiskt språk. Lärarna bedömer främst elevernas kunskap med hjälp av skriftliga tester, diagnoser och prov vilka för det mesta bedömer främst räkning.

Härigenom visar de att det är räkning de anser vara mest viktigt för eleven att kunna. Om de i högre grad hade värderat förmågan av att t ex kunna argumentera för sitt tänkande, hade de resonerat och diskuterat i större utsträckning. Vi tycker att det väsentliga är det som finns i de nationella målen och i dessa nämns ordet räkna endast en gång.

En svaghet i vår undersökning är att vi inte vet hur lärarna verkligen arbetar utan kan bara utgå från vad de säger. Hade vi haft mer tid kunde vi ha fördjupat vår frågeställning och undersökt om lärare verkligen bedömer det de säger sig bedöma, det vill säga validiteten i deras bedömning. Detta kan man göra genom att observera läraren när hon undervisar, samt intervjua henne före och efter en bedömningssituation. Intervjuerna kan sedan jämföras och kopplas till observationerna man gjort i klassrummet så att man förhoppningsvis kan dra en slutsats. För att få en annan synvinkel på bedömning kan man undersöka vad elever upplever som väsentligt i matematik och om det är detta läraren bedömer. En sådan fråga besvaras bäst genom elevintervjuer.

I vår frågeställning utgick vi från Petterssons formulering:

” Inriktningen för vårt arbete med bedömning är att göra det väsentliga bedömbart och inte det enkelt mätbara till det väsentligaste. ” (Pettersson 2004 sidan 4)

Vi kommer fram till att många av lärarna vår i undersökning mäter det som är enkelt att mäta. Vi upplever det som att inte alla lärare anstränger sig för att kunna mäta det som enligt vår uppfattning är väsentligt.

Slutord

Vi vill tacka varandra för många trevliga stunder och alla som har betydelse för oss och för vårt arbete. Ingen nämnd, ingen glömd…

Källförteckning

Böcker

Engström, Arne (red.)(1998). Matematik och reflektion. Lund, Studentlitteratur

Hörnqvist, Maj-Lis (1999). Upplevd kompetens. En fenomenologisk studie av ungdomars

upplevelser av sin egen kompetens i skolarbetet. Luleå, Luleå Tekniska Universitet

Johansson, Bo & Svedner, Per Olov (2001). Examensarbetet lärarutbildningen.

Undersökningsmetoder och språklig utformning. Uppsala, Kunskapsföretaget

Korp, Helena (2003). Kunskapsbedömning – hur, vad och varför. Stockholm, Myndigheten för skolutveckling

Ladberg Gunilla (2000). Skolans språk och barnets – att undervisa barn från språkliga

minoriteter. Lund, Studentlitteratur

Lindqvist, Susanna (2003). Elevers uppfattningar och upplevelser av bedömning i skolår 5. Stockholm, PRIM-gruppen

Lindström, Lars (1997). Portföljen som examinationsform. Stockholm, HLS

Ljung, Berit & Pettersson, Astrid (red.)(1998). Perspektiv på bedömning av kunskap. Stockholm, PRIM-gruppen

Lundmark, Annika & Andersson, Towe (1997). Studenters upplevelser av examinationen –

om hur högskolestuderande retrospektivt ser på examinationer vid högskolan. Stockholm,