Malmö högskola Lärarutbildningen
Skolutveckling och ledarskap
Examensarbete
10 poäng
Alternativa metoder i
gymnasiets matematikundervisning
– en nödvändighet eller inte?
Alternative methods in high school mathematics teaching
– a necessity or not?
Författare: Johan Lindell och Martin Josefsson
Lärarutbildning 60 poäng Handledare: Bo Sjöström
Malmö högskola Lärarutbildningen
Skolutveckling och ledarskap
Sammanfattning
Vi har i detta examensarbete genom en enkät undersökt vilka undervisningsmetoder som förekommer på gymnasiet i kurs A i matematik på 10 skolor i Malmö och Lund. Resultatet visar att den traditionella metoden med genomgång vid tavlan följt av lösning av uppgifter i läroboken dominerar helt med 75 % av totala tiden. Andra arbetsformer som arbete i grupp och laborativt arbete används i liten utsträckning. Enligt
matematikdelegationens rapport är det önskvärt att förändra dagens situation och det finns även en sådan vilja inom lärarkåren. Ett stort hinder är tidsbrist. Vi har också belyst vikten av en alternativ undervisning i matematik och givit ett flertal förslag på hur denna undervisning kan genomföras.
Nyckelord
Alternativ undervisning, attityder till matematik, flerstämmigt klassrum, gymnasiet, laborativ metod, matematikdelegation, matematikundervisning, mattegömmor, suggestopedi, traditionell undervisning.
Lärarutbildning 60 poäng Handledare: Bo Sjöström
Innehållsförteckning
Sammanfattning ... 2
1 Inledning... 5
2 Bakgrund ... 6
2.1 Alternativ matematikundervisning ... 6
2.2 Syfte och frågeställningar... 6
3 Vikten av alternativa undervisningsmetoder ... 8
3.1 Bakgrund ... 8
3.1.1 Styrdokumenten ... 8
3.1.2 Matematikdelegationen ... 8
3.2 En skola fylld av traditioner ... 9
3.3 Genusperspektivet ... 10
3.4 Attityder till matematik ... 11
3.5 Kommunikation och lärande ... 11
3.6 Elevens värld ... 13
3.7 Konsten att ställa rätt frågor ... 14
4 Exempel på alternativa metoder och materiel...16
4.1 Undervisningsmetoder... 16
4.1.1 Betydelsen av glädje och lek... 16
4.1.2 Gamla teorier som fortfarande är relevanta... 16
4.1.3 Ämnesintegration ... 17
4.1.4 Frihetsgrader och öppna uppgifter ... 17
4.1.5 Elevkonstruerade uppgifter ... 18
4.1.6 Matematik och skrivande ... 19
4.1.7 Problemlösning, kritiskt tänkande och källkritik ... 19
4.2 Suggestopedi... 20
4.2.1 Språklig intelligens... 21
4.2.2 Musikalisk intelligens ... 22
4.2.3 Spatial intelligens – Laboration med geobrädet... 22
4.2.4 Kinesteisk intelligens ... 23 4.2.5 Interpersonell intelligens ... 23 4.2.6 Intrapersonell intelligens ... 23 4.2.7 Lärandemiljön ... 23 4.3 IT i undervisningen... 24 4.3.1 Interaktiva datorprogram... 24 4.3.2 DVD learning ... 25 4.3.3 Programmet thEducation... 25 4.3.4 Grafritande miniräknare ... 26 4.3.5 Excel... 27 4.4 Arbete i grupp... 28 4.5 Laborativa metoder... 30
4.5.1 Undersökande arbete med laborativt materiel... 30
4.5.2 Laborativ geometri ... 30
4.5.3 Mönster och generaliseringar ... 32
4.5.4 Mattegömmor – math tasks ... 32
5 Undersökning om undervisningsmetoder ...34
5.1 Urval ... 34
5.2 Datainsamlingsmetod ... 36
5.3 Process ... 38
5.4 Databearbetning och tillförlitlighet ... 39
6 Resultaten av undersökningen ...40
6.1 Våra frågeställningar ... 40
6.2 Vilka undervisningsmetoder används i Matematik A idag?... 40
6.3 Den traditionella kontra alternativa undervisningsmetoder... 42
6.4 Tidsaspekter... 43
6.5 Lärarnas inställning till förändring ... 43
6.6 Läromedel som används ... 44
6.7 Är det viktigt med alternativa metoder? ... 44
7 Diskussion och slutsatser ...47
7.1 Diskussion ... 47
7.2 Slutsatser... 49
8 Avslutning ...53
Referenser...54
1 Inledning
Läroplanerna uttrycker tydliga mål med verksamheten beträffande
kunskapsinhämtningen. I 1994 års läroplan för de frivilliga skolformerna (Lpf 94) nämns bland annat att undervisningen skall vara saklig, allsidig och att den skall
anpassas till varje elevs förutsättningar och behov. Vidare nämns också att hänsyn skall tas till elevernas olika förutsättningar, behov och kunskapsnivå samt att beroende på detta kan undervisningen aldrig göras lika för alla. Tyvärr stämmer inte läroplanernas mål och riktlinjer överens med den bild som vi har av verkligheten beträffande gymnasiets matematikundervisning.
För 10 och 20 år sedan tog vi examen från gymnasiets naturvetenskapliga respektive tekniska program. Under våra studier på Lärarutbildningen (LUT) till matematik- och fysiklärare för gymnasiet, har vi under våra praktikperioder på olika gymnasieskolor noterat ett flertal saker. Till vår stora förvåning, och besvikelse, har vi insett att matematikundervisningen som bedrivs på gymnasieskolorna idag, i stort sett är densamma som när vi själva gick i gymnasiet. Läraren går igenom ett nytt avsnitt på tavlan i ca 20 minuter varefter eleverna får lösa uppgifter i matematikboken under den resterande delen av lektionen. Denna undervisningsform kan lätt göra lösandet av uppgifter till ren reproduktion och inte leda till eftertanke och reflektion hos eleven. Boken följs ofta slaviskt och efter en genomgång löser eleverna ett flertal uppgifter med samma lösningsprincip.
Undervisningssättet ”Genomgång vid tavlan följt av att eleverna löser uppgifter i matematikboken” kallar vi traditionell undervisning. Detta undervisningssätt är något som vi anser måste kompletteras med alternativ undervisning för att göra matematiken intressantare och mer varierad för både eleverna och för lärarna.
2 Bakgrund
2.1 Alternativ matematikundervisning
Med begreppet alternativ matematikundervisning menar vi ett komplement till den ofta, som vi uppfattar den, rådande traditionella undervisningsformen (se inledningen). Den är alternativ i den bemärkelsen att den ger eleverna större möjligheter till stimulans och förståelse. Den ger djupare mål och mening till matematikämnet, leder till eftertanke och reflektion samt motverkar reproduktion. Eleverna är olika individer och har sålunda olika inlärningssätt som vi måste ta hänsyn till i vår undervisning och vår lärarroll.
2.2 Syfte och frågeställningar
Dagens ungdomars låga intresse och negativa attityder till matematik är oroväckande. Utbildningsdepartementet (2004) skriver i en utredning om behovet av nytänkande inom matematikundervisningen och till och med att den traditionella ”tysta räkningen” är skadlig.
Utifrån vår praktik under våren 2004 har vi bildat oss uppfattningen att den traditionella matematikundervisningen inte stimulerar elevernas matematiska tänkande i tillräckligt hög grad utan att den skulle må bra av att kompletteras med alternativa metoder.
Syftet med vårt examensarbete är att vi vill fördjupa oss i alternativa metoder för att kunna använda dem i vår yrkesutövning. Vi vill också sätta de alternativa metoderna i relation till den traditionella samt få en större förståelse för varför dagens
undervisningssituation ser ut som den gör.
Våra frågeställningar lyder:
• Varför är det viktigt med alternativa undervisningsmetoder i gymnasiets matematikkurser?
• Hur kan man som lärare genomföra alternativ undervisning i matematik för gymnasiets elever?
• Vilka undervisningsmetoder används i skolorna i Malmö och Lund idag i gymnasiets matematikkurs A och varför?
Den första frågeställningen kommer att besvaras via litteraturstudier.
Den andra frågeställningen kommer att besvaras via litteraturstudier och utifrån egna idéer och förslag.
Den tredje frågeställningen kommer att besvaras med hjälp av data från vår enkätundersökning på några av gymnasieskolorna i Malmö och Lund.
3 Vikten av alternativa undervisningsmetoder
3.1 Bakgrund
3.1.1 Styrdokumenten
I läroplanen Lpf 94 uttrycks bland annat att:
• Undervisningen ska anpassas till varje elevs förutsättningar och behov. • … eleverna ska tillägna sig ett alltmer undersökande sätt att tänka och arbeta. • … skolan ska skapa de bästa samlade betingelserna för elevernas bildning, tänkande
och kunskapsutveckling.
Om matematikundervisningen ska uppfylla läroplanen ska den ta hänsyn till dessa aspekter. För att detta ska vara möjligt räcker inte den traditionella undervisningen till enligt vår mening utan den måste göras mer varierad. Detta kräver att undervisningen inkorporerar mer av det som vi definierat som alternativ undervisning.
3.1.2 Matematikdelegationen
I regeringens utvecklingsplan för kvalitetsarbetet i förskola, skola och vuxenutbildning, Utbildningsdepartementet (2002), är matematikutbildning beskrivet som ett strategiskt utvecklingsområde. Denna plan ledde till att regeringen under 2003 tillsatte en
Matematikdelegation med uppgift att undersöka dagens situation inom matematikämnet.
Deras uppdrag omfattade hela området från förskola till högskola. Målgrupper som de har studerat har varit barn, elever, studenter, föräldrar, lärare, lärarutbildare, skolledare, utbildningsledare och forskare inom hela utbildningssystemet.
Matematikdelegationens uppgift var att ta fram förslag till åtgärder för att • förbättra attityder till matematikämnet.
• öka intresset för matematikämnet. • utveckla matematikundervisningen.
Resultatet av deras undersökning presenterades i september 2004 och det visar en nedåtgående trend i intresse och kunskaper bland de svenska eleverna och studenterna i matematikämnet. I sammanfattningen konstaterar Matematikdelegationen i sin rapport, Utbildningsdepartementets (2004), också att undervisningen ofta är traditionell med stark styrning av läromedel och med små variationer i arbetssätt. Dessutom nämns att innehållet och målsättningen i matematik genomgått stora förändringar under förra decenniet, men att undervisningen inte genomgått motsvarande förändring.
3.2 En skola fylld av traditioner
I en rapport från Utbildningsdepartementet (1997) uttalade sig den tidigare skolministern Ylva Johansson om skolan på följande sätt: ”Det finns en risk för monotoni i den svenska skolan.” Detta sade hon redan i mitten av 1990-talet! Vidare sägs i samma skrift att många elever inte uppfattar skolan som spännande, rolig och meningsfull och att detta i stor grad påverkar deras vilja och förmåga att ta åt sig kunskapen. Vissa elever ser sina kompisar som det enda positiva med skolan och det, anser vi, får direkta konsekvenser för lärandet.
Redan 1994 utgav Utbildningsdepartementet styrdokumentet Lpf 94 med riktlinjer om undervisningen i gymnasieskolan. Några av målen är bland annat att undervisningen skall vara saklig, allsidig och skall anpassas till varje elevs förutsättningar och behov. Vidare nämns också att hänsyn skall tas till elevernas olika förutsättningar, behov och kunskapsnivå samt att beroende på detta kan undervisningen aldrig göras lika för alla. I Matematikdelegationens rapport (2004) står också att läsa att det finns ett stort behov av att ifrågasätta och utmana dessa traditioner, utveckla undervisningens innehåll och inspirera till förändring av attityder och ökat intresse för matematikämnet.
För att bryta traditioner krävs också, enligt Matematikdelegationen (2004), att man ska ta vara på och stödja alla lärares engagemang och ge möjligheter till förändring via kompetensutveckling av lärare. Men också att resurser finns för att möjliggöra förändring och att uppfylla Läroplanens mål. Delegationen nämner även att lärarutbildningen i matematik behöver breddas och fördjupas.
3.3 Genusperspektivet
I Matematikdelegationens rapport (2004) framkommer att pojkar i högre grad än flickor tycker att matematik och naturvetenskap är roliga ämnen. Delegationen betonar vikten av att variera undervisningen så att alla elevgrupper nås. Genom att sätta in
matematiken i meningsfulla sociala och historiska sammanhang ökar flickors och kvinnors intresse för ämnet enligt delegationen. I slutet av rapporten framhålls vikten av att matematikundervisningen utvecklas så att inte minst flickors intresse för matematik bibehålls i de högre stadierna, där flickorna är underrepresenterade trots att det inte finns några motsvarande betygsmässiga skillnader.
De manliga traditionerna och värderingarna är det styrande i dagens samhälle. I dessa outtalade normer anses traditionellt att tekniska ämnen är typiskt manliga och vård- och pedagogikämnen är typiskt kvinnliga. Dessa normer påverkar våra framtida yrkesval och är i stor utsträckning anledningen till att kvinnor är i minoritet inom de
naturvetenskapliga ämnena på gymnasiet och på de tekniska högskolorna. (Elvin-Nowak och Thompsson, 2003)
Biologiskt finns inga belägg för att pojkar har bättre förutsättningar än flickor i dessa ämnen. Flickor på gymnasiet väljer systematiskt bort matematik- och fysikämnena. En svensk undersökning visar att pojkarna får mer uppmärksamhet på
matematiklektionerna. Undersökningarna är mer än 20 år gamla men fortfarande lika aktuella. (Imsen, 2000)
Hur ska man locka flickorna att välja de naturvetenskapliga ämnena? Ett bra sätt kan vara det som Dagens Nyheter (2004) skrev i en artikel om invandrarflickor från en högstadieskola i Rinkeby som hade lektioner i matematik tillsammans med lektorer på Kungliga Tekniska Högskolan. Detta skulle öka tjejernas intresse för matematik och teknik samtidigt som de fick inblick i universitetsvärlden. De fick också kvinnliga mentorer i näringslivet som liksom eleverna hade invandrarbakgrund. Dessa skall fungera som motivatorer och förebilder för flickorna och ge sin syn på hur det fungerar att arbeta som kvinna inom det naturvetenskapliga området.
3.4 Attityder till matematik
I matematikdelegationens rapport (2004) står att ”Delegationens underlag visar en nedåtgående trend i intresse för och kunnande i matematik bland svenska elever och studenter”. Antalet sökande till naturvetenskapliga och tekniska utbildningar har minskat de senaste åren. Vid internationella undersökningar, som TIMSS (1999), har det framkommit att svenska elevers intresse för matematik ligger under genomsnittet trots att deras resultat ligger över.
Attityderna till matematikämnet måste förändras enligt Matematikdelegationen (2004). Den beskriver matematiken ur ett massmedialt perspektiv och konstaterar att
matematiken är osynlig i dagens massmedia. Det finns inga användare av matematik som skulle kunna tjäna som förebilder för ungdomarna.
Delegationen nämner vidare som förklaring till rådande attityder argument som att föreställningar om matematikämnet skapas och upprätthålls även vid sidan av utbildningssystemet. Ungdomstrender, massmedia och familj har stort inflytande på ungdomars intressen. Om eleverna har en negativ attityd till matematikämnet redan i unga år, så anser vi att det är oerhört viktigt att lärarna påverkar och förändrar deras inställning.
Handlingsplanen som Matematikdelegationen (2004) lagt fram syftar bland annat till att skapa dialog och debatt för att ändra dessa negativa attityder. Ingenjörer och andra personer som arbetar inom naturvetenskapliga områden måste kunna prata för sitt yrke och verka som förebilder. Enligt vår uppfattning vill alla ungdomar leva i ett
högteknologiskt samhälle och ta del av det tekniska utbudet. Inte tillräckligt många är intresserade av hur tekniken fungerar eller hur man ska föra arvet vidare.
Läraren måste, menar vi, kunna locka elever till lärande och bryta de attityder och inställningar som råder.
3.5 Kommunikation och lärande
Dysthe (1996) skriver att det flerstämmiga klassrummet innebär ett klassrum där lärarens röst är en av många röster och att eleverna lär av varandra samt att muntlig och skriftlig användning av språket står i centrum för inlärningsprocessen. Hon upptäckte
under en studie att den roll läraren har i klassrummet är helt dominerande beträffande andelen tid läraren talar kontra eleverna. Detta är enligt vår erfarenhet en tydlig bild av den traditionella undervisningen.
Säljö (2000) menar att i ett sociokulturellt perspektiv på mänskligt lärande och utveckling är den kommunikativa processen det centrala. Därför, anser vi, är det av yttersta vikt att kommunikationen i klassrummet blir en dialog och ett samspel mellan alla individer för att förbättra förståelsen och se problem ur olika synvinklar.
I den traditionella matematiken blir uppgiftslösandet ofta med fokus på att få rätt svar, skriver Holden (2001). Hon poängterar vikten av att fokusera på förståelse istället får att få rätt svar i facit. Ett felaktigt svar kan då ge intressanta resonemang och nya insikter.
Detta behandlas också i Nämnare TEMA (1999). Läraren måste arbeta för att få
eleverna mindre fixerade vid facitsvaret på ett problem och istället inse att det är själva lösningen och de resonemang som där förs som är det viktiga. Under våra
praktikperioder har vi noterat att många elever har svårt för att beskriva sina tankegångar samt att uttrycka det i skrift.
Vi anser att Holdens (2001) resonemang leder till ett bra klassrumsklimat där elevers respekt och rädsla inför matematik kan minskas i och med att man inte endast söker efter rätt svar utan strävar mot förståelse.
Inom naturvetenskap och matematik används delvis ett språk som skiljer sig från det vardagliga språket. Detta ger sig till uttryck främst i att det finns en massa begrepp som är karakteristiska för dessa ämnen. I samband med att man talar om att elever har svårt för de naturvetenskapliga ämnena så är innehållet, stoffet, nog det första man tänker på. Innehållet har en nära koppling till de specifika begreppen, så att dessa kan skapa svårigheter är inte så konstigt. En del av de ord som används förekommer även i vårt vardagliga språk, men där har orden ofta en annan eller allmännare betydelse.
(Wellington, 2001)
Nämnaren TEMA (1999) hävdar att diskussionen i klassrummet inte bara bör handla om konkreta fakta. För ökad förståelse skall matematikämnet belysas, resoneras och
diskuteras ur andra aspekter, till exempel historiskt, etiskt, samhällsnyttigt och miljömässing. Detta kommer att stärka elevernas kunskaper.
Ekborg (2000) skriver att man ofta presenterar naturvetenskapliga lagar som fakta utan att ge eleverna någon bakomliggande förståelse för hur sambanden upptäcktes, hur forskarna tänkte eller hur lång tid det faktiskt tog att bevisa sambandet. Vetenskapliga samband är kontentan av en lång och ofta besvärlig process som presenteras för eleverna på 15 minuter.
Imsen (2000) påtalar i sitt resonemang om Vygotskij att denne redan på tidigt 1900-tal diskuterade den proximala utvecklingszonen. Det innebär att eleven kan utöka sin egen kunskapsgräns genom att samarbeta med andra. Eleverna lär av varandra genom socialt samspel. Dysthe (2003) menar att lärandet inte bara handlar om vad som händer i elevens huvud utan att det också i stor grad påverkas av deltagande och interaktion med gruppen. Man måste enligt henne ha en balans mellan det individuella och det sociala.
3.6 Elevens värld
Dysthe (2003) skriver att i den kognitiva inlärningsteorin, som är inspirerad av Piagets tankar, är lärandet en aktiv process där eleverna tar emot information och reflekterar över den med avseende på den förförståelse och egna erfarenheter som denne har. Därav vikten att hämta exempel i elevernas värld. Eleverna måste, enligt oss, kunna relatera till kunskapen och se nyttan med den för att kunna acceptera och ta in den.
Enligt Sjöberg (2000) kännetecknas en bra lärare av goda ämneskunskaper. Vidare är användandet av associationer, metaforer, bilder, exempel och illustrationer som går hem hos eleverna viktigt eftersom dessa skapar mening.
Ett sociokulturellt perspektiv (Claesson, 2002) på lärande säger att man är formad av sin omgivande kultur och dess värderingar. Lärarens verklighet är inte densamma som elevens. Vad gäller i ungdomsvärlden? Vad tycker eleverna är viktigt? Vi anser att för att kunna skapa mening måste läraren känna eleverna och deras värld med de
värderingar som de har. Det sociokulturella perspektivet visar tydligt att viljan att lära beror på upplevelsen av meningsfullhet, vilket i sin tur beror på om kunskap och lärande betraktas som viktiga i de grupper som de ingår.
Att man utgår ifrån elevernas tidigare kunskaper, bygger på med nya och formar en ny helhet skriver också Dimenäs och Sträng-Haraldsson (1996) om och är tankar som har sina rötter hos Vygotskij (se avsnitt 3.5).
De pedagogiska aspekterna på att relatera till elevens värld är tydliga och inga nya rön. Vi anser dock att man i dagens undervisning inte kopplar till elevens värld i tillräckligt hög grad med resultat hos eleven som omotivation och liten förståelse för nyttan med matematiken.
Säljö (2000) skriver om att i dagens samhälle gör vi våra erfarenheter med hjälp av de redskap vi använder i vardagen. Genom att lyfta in elevernas redskap i undervisningen och förklara respektive diskutera kring dem i ett vetenskapligt perspektiv så skapar det förankring i elevens värld. De redskap som elever använder är till exempel
mobiltelefon, miniräknare, dator mm.
3.7 Konsten att ställa rätt frågor
Måhl (1991) skriver om två olika sätt att studera, nämligen ytinriktat och djupinriktat. Med ytinriktad inlärning råpluggar eleven i princip in en text utan reflektion medan den som studerar djupinriktat reflekterar och relaterar textinnehållet till det denne redan vet om ämnet samt till egna erfarenheter. Det djupinriktade studiesättet ger en bättre förankring av kunskaperna i den enskilde individen. Därför anser vi att läraren måste lägga tonvikt på att undervisningen hamnar i denna sfär. Detta kan göras genom att, som Måhl (1991) också redogör för, läraren ställer frågor på kvantitativt eller kvalitativt sätt. Kvalitativa frågor ställs så att eleven måste fundera, koppla ihop och gräva i sin kunskapsbank för att komma till en lösning. Vår erfarenhet säger att fysik och matematik är präglade av gammalt tänkande, där kvantitativa frågor dominerar.
Detta tema behandlas även av Carin (1985). Han prisar den typ av frågor som inte har något givet svar och som lätt kan föra in på stickspår utanför ramen för dagens lektion. Utifrån egen erfarenhet vet vi att eleverna har mycket större behållning av en sådan lektion och att det stimulerar klassrumsklimatet så att även de tystare eleverna deltar i diskussionen. Carin benämner de olika frågetyperna som konvergenta och divergenta frågor. Den första typen är de som har ett givet svar, i sämsta fall besvaras de med ja
eller nej. De divergenta frågorna är de som Måhl (1991) kallar kvalitativa. Carin hävdar även att divergenta frågor bidrar till att fler elever kommer till tals.
Konvergenta frågor fyller i vissa sammanhang en funktion, menar Carin (1985), men de ska i större utsträckning lämna plats åt de divergenta. På sådana frågor får eleverna tänka efter, föra fram åsikter och diskutera med varandra. En lärandesituation där inte bara punktkunskaper kommer fram skapas. Carin nämner också att man som lärare inte ska vara för snabb mellan fråga och svar. En väntetid om fem sekunder rekommenderas för att ge eleverna tid och eftertanke.
Dysthe (1996) nämner att elevernas del av taltiden på en lektion i hög grad beror på vilken typ av frågor läraren ställer och hur svaren bemöts. I sin undersökning noterade Dysthe att frågor som besvaras med enstaka ord tycktes dominera och tre ord var tydligen genomsnitt i svaren. Hon skriver vidare om att då lärarna fick elevsvar som var längre än enstaka ord, så kom inte svaren att utgöra underlag för det fortsatta innehållet under lektionen. Läraren tycktes ignorera att tillvarata svaren och körde vidare som om denne följde ett färdigt manus.
Som potentiella metoder för att skapa ett flerstämmigt klassrum nämner Dysthes (1996) att läraren bör utnyttja elevsvar, att följa upp dem i efterkommande fråga och ge positiv bedömning av ett svar. Ofta blir det så att det är just svaret som ger upphov till nya frågor och fortsatt diskussion. Till skillnad från monologen så kan dialogen i klassen förutom att klargöra begrepp också växa och utvecklas. Även vi som framtida lärare kan lära av dialogen i och med elevens kanske annorlunda och intressanta syn på ämnet. Vi är övertygade om att det berikar lektionen och gör att eleverna känner att de får chans att lära sig något som de verkligen är intresserade av.
4 Exempel på alternativa metoder och materiel
4.1 Undervisningsmetoder
4.1.1 Betydelsen av glädje och lek
I våra studier av läroplanerna ha vi konstaterat att stor fokus på lek finns i förskolans läroplan (Lpfö 98). Därefter minskas denna fokus i grundskolans läroplan (Lpo 94) för att sedan helt försvinna på gymnasieskolans läroplan (Lpf 94). Detta kan enligt vår uppfattning vara en orsak till att matematiken i de högra årskurserna uppfattas som svår och tråkig.
I läromedelskatalogen Beta Pedagog (2004) slås vi av den uppsjö med materiel som finns för eleverna på grundskolan medan det saknas materiel i lika stor omfattning för eleverna på gymnasiet. Om inte lekfullheten och glädjen kan behållas inom
matematikämnet leder detta lätt, enligt vår uppfattning, till ett ämne tyngt av allvar och tråkighet.
4.1.2 Gamla teorier som fortfarande är relevanta
Både Piaget och Vygotskij hävdade att kunskap måste erövras genom utmaningar av egen kraft (Imsen, 2000). Detta, anser vi, skulle kunna åstadkommas genom att i större utsträckning varva teorierna med praktiska övningar.
Imsen (2000) skriver om Vygotskijs teorier, vilka innebär att man kan lära i samspel med andra som befinner sig på en högre kompetensnivå. Normalt är denne person läraren och avståndet mellan lärare och elev kan ibland vara långt både kunskaps- och kulturmässigt. Genom att använda mentorselever som stöd i undervisningen kan den yngre eleven få support och motivation genom att se den äldre elevens kunskapsnivå.
Dessa tankar återspeglas också i det Andersson (2002) skriver om nämligen att ha projektarbeten med äldre elever som handledare. Andersson uppger också krav på att gruppen redovisar sina resultat inför sina kamrater för att utveckla sin kommunikativa förmåga.
Vi anser att dessa metoder i större grad kan användas i dagens matematikundervisning.
4.1.3 Ämnesintegration
Ämnesintegration är ett ofta utnyttjat ord inom skolvärlden men som vi har sett väldigt lite spår av i praktiken. Vi anser att man med matematiken måste skapa mål och mening och en väg till detta är att sätta in ämnet i ett sammanhang så att det inte känns lika abstrakt och respektingivande som det kan vara för många elever. Vikten av ämnesintegration berörs i Nämnare TEMA (1999) med exempel som att på
industriprogrammet tillverka en bult ur ett cylinderformat metallstycke, där man ska ta reda på dimensionerna på bultens sexkantsskalle. Man gör ett matematiskt problem av något som är direkt kopplat till elevens kärnämnen.
Ett av de elva stegen (Utbildningsdepartementet, 2003) för utvecklingen av
gymnasieskolan är att kärnämnena skall präglas av utbildningens inriktning. Detta leder i högre grad för matematikens del till en undervisning som skapar mål och mening. Liksom exemplet ovan kan matematiken för respektive yrkesprogram anpassas så att matematiken kan omsättas i deras verklighet.
4.1.4 Frihetsgrader och öppna uppgifter
I laborationer i naturvetenskap finns begreppet frihetsgrad. I tabellen nedan (Dimenäs och Sträng-Haraldsson, 1996) visas hur de olika frihetsgraderna definieras. En
laboration eller uppgift kan delas in i kategorierna problem, genomförande och svar.
Frihetsgrad Problem Genomförande Svar
0 Givet Givet Givet
1 Givet Givet Öppet
2 Givet Öppet Öppet
3 Öppet Öppet Öppet
Vår erfarenhet säger oss att många uppgifter i matematikläroböcker är av typen med 0 frihetsgrader. Eleven har lärt sig någon metod för att hantera uppgifter av denna typ och
löser därför uppgiften med en inlärd metod. Det leder till ytinriktat lärande och mekaniskt repeterande uppgiftslösning.
Ett enkelt exempel är att beräkna volymen av en låda då sidorna är kända. Denna uppgift skulle kunna ändras till att volymen är given och eleven ska föreslå vilka sidor lådan har. Därmed har uppgiften 2 frihetsgrader eftersom svaren, sidornas tre längder, kan få olika värden och uppgiften kan lösa med olika metoder (pröva sig fram, använda ekvation med en eller flera obekanta och så vidare).
Under didaktiken i matematik har vi fått lära oss att försöka få in fler uppgifter av öppen karaktär i undervisningen (Jakobsson G, 2003). Detta för att det stimulerar tänkandet på ett annat sätt. Uppgifterna blir mer av problemlösningskaraktär. Öppna frågor är sådana som Måhl (1991) kallar kvalitativa, som Carin (1985) kallar divergenta och dessa stimulerar enligt dem det djupinriktat tänkande. Det leder till att eleven använder hela sin matematiska analyseringsförmåga i problemlösningen.
4.1.5 Elevkonstruerade uppgifter
För att få variation i undervisningen menar vi att läraren kan låta eleverna konstruera sina egna matematikuppgifter. Det bidrar till att de får tänka sig in i de begrepp som ska ingå och att fundera på var någonstans detta moment finns i exempelvis vardagen. Eleverna kan sedan byta uppgifter med varandra och diskutera om uppgifterna går att lösa, vilka strategier som ska användas och hur uppgiften kan göras lättare eller svårare.
Ett par exempel om procent står att finna i Nämnaren TEMA (1999):
• Hitta på en uppgift om procent och som handlar om en situation i vardagen. • Beskriv en situation där det förekommer två procentuella förändringar. Formulera
en uppgift kring situationen och låt en klasskamrat lösa uppgiften.
På de senaste årens nationella prov har vi observerat en förändring av hur uppgifterna ser ut. Det finns numera ofta med någon uppgift av öppen karaktär, någon där eleven ska själv hitta på något eller förklara något begrepp med egna ord.
4.1.6 Matematik och skrivande
I Dysthe (2002) framhävs den positiva effekten på inlärning som skrivandet har. Hon menar både att eleven lär sig bättre om denne skriver om sitt ämne och att det har en positiv effekt om det handlar om att göra en sammanfattning av ett längre avsnitt. I matematik skulle detta kunna användas på så sätt att eleverna i slutet av en lektion eller i läxa hemma får skriva ner kort vad de lärt sig under dagens lektion eller de senaste lektionerna.
En möjlighet är att låta eleverna ha med sig sitt egenproducerade materiel på
skrivningar. Denna metod används på en av skolorna som vi besökte då vi genomförde enkätundersökningen och motiverar eleverna att göra bra sammanfattningar. När det gäller lärande och att ha prov på nytt stoff så har skolan en gammal och
verklighetsfrämmande tradition av att lära sig allt utantill inför ett prov. Detta resulterar i att det mesta glöms bort efter kort tid. Det står i läroplanen (Lpf 94) att en av skolans uppgifter är att lära eleverna att lära sig. Detta innebär att det inte är en massa
utantillkunskap som är det viktigaste utan att veta hur man tar reda på något då man behöver det. Även om man måste ha en hel del baskunskaper om diverse områden så behöver man inte fylla hjärnan med en massa mer eller mindre onödig detaljkunskap, särskilt som den har så kort livstid.
4.1.7 Problemlösning, kritiskt tänkande och källkritik
I Nämnaren Tema (1996) börjar kapitlet om problemlösning med meningen ”Ett av de viktigaste målen för all matematikundervisning är att utveckla elevernas lust och förmåga att lösa problem.”
Men tränas problemlösning i tillräcklig grad i skolan och görs det på rätt sätt? Först och främst ska man skilja på att lösa en uppgift av standardnatur i boken från att lösa ett problem. Att lösa problem handlar om att använda tidigare kunskaper i en helt ny situation, att förstå problemet och utarbeta en strategi för att lösa det. Vår erfarenhet säger oss att problematiken kring problemlösning, alltså hur man angriper ett problem, utarbetar en strategi och vilka matematiska verktyg som ofta är användbara inte lärs ut i den omfattning som det borde. Det borde vara en självklarhet att
kursplanerna talar om att eleverna skall träna problemlösning. Likväl är det enbart ett fåtal läroböcker av dem vi sett som tar upp hur man går tillväga när man löser problem.
Under diskussioner med lärare på vår praktikskola har vi noterat vikten av att eleverna får lära sig kritiskt tänkande. När man i matematik har löst en uppgift med
verklighetsanknytning borde det vara en självklarhet att försöka göra en bedömning om det erhållna resultatet är rimligt. Elever ger ibland svar som är hårresande.
Nära kopplat till detta är källkritik som är speciellt viktigt i de avseenden då eleverna får i uppgift att samla fakta i källor som de finner i till exempel tidningar och på Internet. Vår erfarenhet säger att det oftast är seriösa personer som lägger ut information om matematik på nätet. Likväl är det viktigt att påpeka att så inte är fallet i alla ämnen och att man aldrig kan vara lika säker på sådan information som den som är tryckt i böcker och vetenskapliga tidskrifter som granskats av en redaktör.
4.2 Suggestopedi
Ekborg (2000) skriver om suggestopedi eller ”accelerated learning” som är en
undervisningsmetod som introducerades av Dr Lozanov i Bulgarien på 1950-talet. En av dess grundtankar är att lärandet skall vara lustfyllt i en optimal inlärningsmiljö.
Ekborg (2000) skriver vidare att Dr Lozanov ansåg att det gick att utnyttja hjärnans kapacitet bättre främst genom att inlärningsmiljön utformades på ett positivt sätt. Detta leder till att de mänskliga inlärningsbarriärerna kan brytas ned och att inlärningen sker effektivare. Han använde sig av musik för att stimulera den högra hjärnhalvan och därmed optimera inlärningen.
Ekborg (2000) tar upp Howard Gardners sju olika intelligenser. Traditionellt i dagens matematikundervisning är det den matematisk/logiska intelligensen som stimuleras. Detta, anser vi, kan leda till enformighet i den matematiska undervisningen.
Gardners sju intelligenser enligt Ekborg (2000) är:
• Musikalisk.
• Spatial – dimensionsuppfattning och orienteringsförmåga. • Kinesteisk intelligens – förmåga att uttrycka sig med kroppen. • Interpersonell intelligens – förmåga att umgås med andra. • Intrapersonell intelligens – förmåga till självkännedom.
Om de övriga intelligenserna också kan stimuleras inom ramen för
matematikundervisningen får man automatisk en varierad och mer intressant undervisning menar vi. Eleverna kommer då att uppfatta undervisningen som mer stimulerande och positiv vilket ger en bättre inlärning enligt Ekborg (2000).
4.2.1 Språklig intelligens
Wellington (2001) belyser några oroväckande fakta. Många elever har svårt med språket och blandar ofta ihop ord med dess motsats. Han nämner vidare att elever ofta blandar ihop ord som antingen låter nästan likadant eller som ser lika ut. Detta visar hur viktigt den språkliga delen av matematiken är.
Vi anser att genom att använda språket i matematiken och diskutera matematiska lagars och formlers uppkomst och historia ger detta eleverna en större förståelse för ämnet. Likaså är det med den terminologi som hör till matematikämnet. Dessa ord måste eleverna förstå och kunna inkorporera i sin vokabulär. Förstår man inte matematikens språk kan man heller inte förstå de problem man ställs inför. Som vi påpekade i tidigare kapitel bör matematikämnet belysas, resoneras och diskuteras ur andra aspekter och enligt Nämnaren TEMA (1999) stärker dessa elevernas kunskaper.
Ekborg (2000) ger exempel på hur man kan belysa den språkliga sidan av ett
naturvetenskapligt ämne genom att varje elev får vara en känd forskare. Eleven skall sedan släktforska och presentera sin undersökning för klassen. På detta sätt kan eleven själv anamma nya matematiska uttryck som sedan eleven delger klassen. På detta sätt får eleverna vetskap om personen bakom formlerna vilket ger ämnet en mer personlig karaktär.
4.2.2 Musikalisk intelligens
Man kan använda musiken i undervisningen genom att spela ett stycke för att introducera ett nytt kapitel eller för att skapa en bra stämning i klassrummet. Det stimulerar inte den musikaliska intelligensen men det blir enligt Ekborg (2000) en annorlunda lärmiljö.
Många elever lär sig bättre då de lyssnar på musik samtidigt som de studerar. Med mp3-spelare och hörlurar kan varje elev under den del av lektionen där eleven löser uppgifter på egen hand skapa sin optimala inlärningsmiljö. Detta förstås under förutsättning att inte andra elever störs.
4.2.3 Spatial intelligens – Laboration med geobrädet
Beta Pedagog (2004) säljer ett laborativt kvadratiskt bräde bestående av 5x5 spikar i räta linjer som användaren sätter gummiband runt för att bilda olika geometriska
former. På ett enkelt och åskådligt sätt kan man med denna laborationsmateriel laborera från de låga årskurserna på grundskolan upp till de höga kurserna på gymnasiet. Andrejs Dunkels (1983) ger i bild och text exempel på hur man bland annat bevisar Pythagoras sats med geometriska figurer som trianglar och kvadrater.
Med uppgifter skapade för geobrädet stimulerar eleven inte bara den matematisk-logiska intelligensen utan också den spatiala – det vill säga intelligensen som är kopplad till en persons förmåga till dimensionsuppfattning. Enligt Dunkels (1983) ger brädet också träning i selektivt seende. Det innebär att eleven övar sig i att se det väsentliga och bortse från detaljerna.
Denna enkla materiel är ett fantastiskt instrument att använda i speciellt geometri och där endast fantasin sätter gränsen för användningsområdet. Vår erfarenhet från geobrädesövningarna under vårens didaktikkurs är goda. Brädet kan med lätthet stimulera både nybörjareleven och den mest avancerade matematiker.
4.2.4 Kinesteisk intelligens
Den kinestetisk intelligens eller förmågan att uttrycka sig med kroppen kan också tillgodoses inom de naturvetenskapliga ämnena. Ekborg (2000) exemplifierar detta med en beskrivning av lekarna ”Gäster med gester” samt ”Rita, gissa, spring” där eleverna stimulerar den kinestetiska intelligensen, har roligt och samtidigt lär sig sitt ämne.
4.2.5 Interpersonell intelligens
Den interpersonella intelligensen eller förmågan att umgås med andra stimuleras ständigt i skolan men speciellt tränas samarbetet med andra av att eleverna får arbeta tillsammans med problemlösning i grupp (Ekborg, 2000). Mer om arbete i grupp i avsnitt 4.4.
4.2.6 Intrapersonell intelligens
Genom att reflektera över sitt tankesätt inom matematikämnet kan den intrapersonella intelligensen eller förmågan till självkännedom ökas. Ett bra exempel på detta är, som vi gjorde under praktikperioden på Universitetsholmens gymnasium, att efter ett prov be eleverna förklara hur de tänkte på en uppgift som de inte lyckades med. Läraren ger ut ett lösningsblad så att eleverna kan fundera över hur de angripit problem i provet och därefter analysera sitt val av metod.
4.2.7 Lärandemiljön
Suggestopedin strävar mot ett lärande i en lugn och avspänd miljö (Ekborg, 2000). Genom att låta eleverna själva måla och dekorera sitt klassrum kan man öka trivseln i klassrummet.
Säljö (2000) skriver om skolan som historisk kontext fylld med traditioner om hur undervisningen skall gå till. En matematiklektion kan man lyfta ut ur denna kontext genom att ha den ute i naturen. Detta, tror vi, skapar en annan och mer varierad
4.3 IT i undervisningen
”Lärarhögskolorna kan inte lära ut IT” löd pressmeddelandet från den statliga KK-stiftelsens rapport (Lärarstuderande och IT 2004). Landets lärarhögskolor får kritik för att de är för dåliga på att lära ut hur datorer och ny informationsteknik ska användas i undervisningen visar rapporten. Vidare konstateras att bara var tionde lärarstudent är nöjd med vad de fått lära sig om hur IT kan utnyttjas i undervisningen, trots att regeringen skrev i lagförslaget att den nya lärarutbildningen skulle vara ett föredöme.
Sverige var något av ett föregångsland för några år sen men nu har många andra länder kommit ikapp och gått förbi, skriver KK-stiftelsen, som arbetar med att stimulera IT i skolorna. Detta anser vi vara skrämmande läsning med tanke på att IT påverkar människan mer och mer i dagens samhälle.
4.3.1 Interaktiva datorprogram
Burg (2003) har i sitt examensarbete inventerat de datorprogram som finns på den svenska marknaden. Vi anser att det finns många bra program men merkostnader och upplärningstid för eleverna gör troligtvis att skolorna inte köper in dem i någon större omfattning.
Program Pris (SEK) Licenstyp Användningsområde
Cabri Geométre 3400 Skollicens Dynamiskt geometriprogram
Cheops Pyramid 4800 30 användare Aritmetik, spelbaserad problemlösning Derive 3400 Skollicens Algebra, analys, symbolhantering Maple 29 000 10 användare Algebra, analys, symbolhantering Mathematica 35 000 Skollicens Algebra, analys, symbolhantering MathCad 14 000 Skollicens Algebra, analys, symbolhantering Matlab 14 900 30 användare Algebra, analys, symbolhantering TI Interactive 4400 Skollicens Aritmetik, funktionslära, statistik, sannolihketslära, symbolhantering
Enligt hemsidan ”Lär & Lek”, som säljer laborativa läromedel, är Cheops Pyramid ett spelbaserat program där eleven startar på bottenvåningen av pyramiden och målet är att
ta sig ut genom en lucka i pyramidens topp. För att nå dit vandrar man genom
pyramidens gångar och måste lösa de uppgifter som dyker upp på vägen. Att ha alla rätt hela vägen är inte tvunget. Det går att spara ett spel och fortsätta på det senare, vilket är en nödvändighet eftersom spelet kan pågå ett flertal timmar. Programmet är anpassat för elever mellan årskurs 8 och kurs B på gymnasiet. Det behandlar momenten
huvudräkning, geometri, procent, ekvationer, diagram, bråk, potenser, sannolikheter, funktioner, trigonometri och talsystemet.
De dyra programmen som hanterar algebra anser vi vara mer avancerade än vad en medelpresterande gymnasist behöver. Finns det elever med särskilt intresse för algebra kan programmen visa hur komplicerade beräkningar som en matematiker skulle kunna spendera mycket lång tid på lätt kan utföras. Dessa kan därmed användas för att stimulera högpresterande elever.
4.3.2 DVD learning
På hemsidan för Gleerups Förlag erbjuds inom en snar framtid ett komplement till läroboken Exponent som de kallar ”DVD learning”. DVD:n innehåller
teorigenomgångar och exempel samt omfattar hela A-kursen. Eleverna får information i bilder med förklarande ”lärarröst”. Detta anser vi vara ett bra komplement till
genomgången på lektionen, för elever som vill repetera, som har missat en lektion eller finner en berättarröst på datorn vara ett bättre inlärningsalternativ. DVD learning medför att man på ett enkelt sätt kan repetera det man finner svårt och elever som har problem med att fokusera på lektionstimmen kan få jobba själva med DVD learning.
4.3.3 Programmet thEducation
Natur och Kulturs förlag har i ett samarbete med företaget thEducation konstruerat ett interaktivt komplement till läroboken Matematik 3000 som kallas just thEducation. Det innehåller bland annat interaktiva simuleringar, tester och typuppgifter.
Fördelen med detta, hävdar läromedelsförfattarna, är:
• Olika exempel som hjälper eleverna att lättare förstå och där förklaringarna bryts ned i begreppsliga delsteg.
• Undervisningen blir mer omväxlande och ger eleverna möjlighet att välja den undervisningsform som passar dem bäst.
• Det skapar ett större intresse för matematiken.
• De interaktiva simuleringarna uppmuntrar till ett laborativt undersökande sätt där eleverna även kan få en kopia av simuleringsbilden som kan användas i vidare studiesyfte eller till skriftliga redovisningar.
• Simuleringarna görs med syftet att låta eleven träna problemlösning med
stigande svårighetsgrad.
Materialet kan även användas av läraren för att i helklass introducera ett avsnitt eller föra en dialog kring olika simuleringar av matematiska samband eller begrepp. I
webbmaterialet finns även självrättande diagnoser som eleverna kan göra ett obegränsat antal gånger. Svaren protokollförs så att eleven kan se sina diagnosresultat i en
sammanställning. Läraren har en matris över gruppens alla resultat och kan specialstudera enskilda resultat.
4.3.4 Grafritande miniräknare
De grafritande miniräknarna har blivit ett viktigt läromedel på de studieförberedande programmen på många skolor. Läroböckerna är numera oftast anpassade för att vissa moment i kursen ska behandlas med hjälp av dessa räknare. I första hand gäller detta de inledande studierna av räta linjer och funktioner av olika slag. Funktioner spelar en mycket stor roll i gymnasiets fem matematikkurser.
Några fördelar med grafritande räknare som vi funnit är: • De sparar tid efter att man lärt sig grunderna.
• Eleverna kan experimentera själva och undersöka funktioners utseende. • De kan gå in och justera konstanter och rita flera funktioner i samma fönster. • Matematiken görs mer visuell eftersom det är lätt att få fram en bild av ett
samband. Tidigare undvek många att rita upp grafen eftersom det var tidskrävande när endast papper och penna fanns till hands.
Jakobsson (1999) skriver att en av fördelarna med den grafritande räknaren är att med dess hjälp ökar förståelsen av matematiska begrepp om den används på rätt sätt. Vidare nämns att det blir roligare om man får upptäcka sambanden själv.
Undervisningen har utan tvekan delvis fått ändras för räknarna löser lätt många enkla standarduppgifter. En sak man ska ha klart för sig är dock att räknarna aldrig kan lösa matematiska problem. Sådana kräver att eleven förstår problemet, kan utarbeta en strategi och fullfölja den. Här blir grafräknaren enbart ett hjälpmedel som kommer in i något steg och tar bort ett tidsödande moment. Grafräknaren kan också användas för att undersöka en viss uppgift och bilda sig en uppfattning om hur något samband ser ut. Detta kan underlätta att förstå omständigheterna och ge ledtrådar till hur man ska attackera uppgiften.
De mest kraftfulla grafräknarna är de som klarar av algebraiska beräkningar. Jakobsson, L (2004) hävdar att i klasser där man vill tränga djupare in i ämnet är dessa bra verktyg för att kunna studera komplicerade problem som annars inte hade varit möjliga att lösa. Kapaciteten hos dessa är i många avseenden jämförbar med datorprogram som Maple. Ett intressant historiskt faktum är att dagens grafräknare är mer kraftfulla än den dator som fanns med på den första bemannade månlandaren!
Det står numera i kursplanen för kurs A att eleven ska kunna använda grafritande räknare. Vi ser många fördelar med den nya tekniken och kommer utan tvekan att utnyttja den i vår framtida undervisning. Vi är medvetna om att det är upp till oss lärare att göra det bästa av situationen och se till att det nya tillför något som är positivt.
4.3.5 Excel
Microsofts Excel-program finns tillgängligt på de flesta skolor i Sverige och erbjuder en mängd möjligheter som komplement till den ofta använda grafräknande miniräknaren.
Fördelarna med att använda Excel till skillnad från andra datorprogram är främst: • De flesta, både elever och lärare, känner till och kan använda det.
• Kunskaperna i Excel kan användas i andra ämnen för att göra redovisningar i form av grafer eller dylikt.
• Eleverna kan med viss handledning göra enklare programmeringsuppgifter som ämnesintegreras med datakurser.
• I och med att Excel är ett rutark med celler som man kan använda
räkneoperatorer på fås en bra överblick då en mängd beräkningar skall göras och detta kan åskådliggöras i en mängd olika graffunktioner i större format än på miniräknaren.
Adamsson, Friberg och Krupics (2002) ger exempel på övningar som kan genomföras med Excel, bland annat beräkning av bankränta och funktioner av olika slag. De nämner vidare att få övningar finns att tillgå i litteratur och i skolböcker. På Internet står en del att finna men det materialet brister ofta i instruktion och syfte. Det är alltså upp till varje matematiklärare att konstruera egna laborationer med Excel. Enligt vår mening kan detta göras utan alltför stor tidsåtgång.
4.4 Arbete i grupp
Nämnaren TEMA (1999) beskriver att mycket positiva effekter erhållits för elevers lärande genom att låta dem få förklara för varandra hur de tänker. Vidare betonar de vikten av processen och att svaret är mindre väsentligt.
Läraren bör ha överblick över gruppindelningen enligt Nämnaren TEMA (1999). Detta för att eleverna ska lära sig att arbeta tillsammans med olika elever och inte bara sina bästa kompisar. Likaså är det lärorikt att få arbeta i olika stora grupper då
gruppdynamiken förändras med gruppstorleken. Nämnaren TEMA hänvisar till undersökningar som visar att hög- och mellanpresterande, mellan- och lågpresterande eller bara mellanpresterande bör bilda grupper.
Lärarens roll vid arbete i grupp bör enligt Nämnaren TEMA (1999) i första hand vara passiv, att lyssna på gruppdiskussionerna och kartlägga tankar och problem som kommer fram. Dessa kan sedan tas upp vid ett senare tillfälle. Helst ska läraren inte komma med inlägg under arbetet då detta riskerar att störa arbetsprocessen.
Stukát (1995) beskriver ett intressant sätt att arbeta i grupp som han kallar
tvärgruppsarbete. Läraren delar in en klass på exempelvis 30 elever i sex smågrupper med fem elever i varje där alla grupper får ett problem att lösa. När uppgiften är löst bildas nya tvärgrupper med fem smågrupper om vardera sex elever så att alla personer i tvärgruppen löser olika uppgifter i det första momentet. I det andra momentet skall eleverna förklara sitt lösta problem för de andra i sin tvärgrupp. På detta sätt kan ingen elev ”smita” undan i och med att de är ansvariga att redovisa sin uppgift. Detta hävdar Stukát (1995) är bra både inlärningsmässigt och kommunikationsmässigt då alla elever får träna att framföra ett budskap.
Stukát (1995) nämner också en variant i undervisningen genom att låta eleverna diskutera i ”bikupa”. Med detta menas att eleverna diskuterar ett av läraren ställt
problem i en liten grupp om två eller tre personer. Detta för att aktivera eleverna, få dem att få fram idéer och en stunds eftertanke. Efter ”bikupan” kan hela klassen deltaga i lösningen av uppgiften.
Vissa typer av uppgifter och problem lämpar sig särskilt bra att lösa i grupp. Här ger vi några egna förslag:
• Föreslå en metod att ta reda på hur bred kanalen i Malmö är. Inga båtar eller broar finns i närheten.
• Undersök hur statistik används i media.
• Vad är gyllene snittet? Var kan du finna det i vardagen? I naturen?
• Dela en given triangel i fyra trianglar med lika stora areor. På hur många sätt kan man göra det?
• Hur många gånger ska man vika ett papper för att det ska nå upp till månen? • Bestäm avståndet från stranden till ett fartyg ute till havs.
Ett av målen med uppgifterna är att de ska vara av en mer undersökande natur än
vanliga uppgifter i läroboken, där det på förhand inte är givet hur de ska lösas. Eftersom det ingår flera personer i gruppen kan det tidigt komma flera förslag på hur de ska lösas. Arbetssättet blir likt hur det fungerar i det ”verkliga livet” då någon uppgift ska lösas av en grupp personer på ett företag.
4.5 Laborativa metoder
4.5.1 Undersökande arbete med laborativt materiel
Vi hävdar att matematik inte skall vara tillrättalagd som den ofta är i dagens
undervisning utan den måste kopplas till verkligheten. I vardagen och inom näringslivet krävs att man kan angripa problem ur olika synvinklar. En del i att få välutbildade människor i samhället kan vara att man jobbar mer med problemlösning som stimulerar till ett bredare tänkande.
Med laborativa metoder kan man ofta med enkla hjälpmedel jobba med elever från lågstadiet till gymnasiet. Vår erfarenhet från didaktikundervisningen (Williams, 2004) säger oss att läraren kan använda samma hjälpmedel för att skapa problem både för den svage och för den starkare eleven. Problemet kan byggas ut så att en elev som har löst ett problem får gå vidare genom att tränga djupare ned i den matematiska
problematiken. Det går ofta att gå från enkla numeriska undersökningar till att komma fram till mer avancerade algebraiska formler och slutsatser.
Genom att använda olika hjälpmedel av knep- och knåpkaraktär har alla elever en större chans att börja på samma nivå. Detta gör det möjlighet för den svage eleven att känna att denne inte för en gångs skull ligger hopplöst efter alla duktigare elever. Lärandet blir ett djupinriktat lärande där analys och reflektion är ett måste för att lösa uppgiften.
4.5.2 Laborativ geometri
I geometrin är det särskilt lätt att hitta lämpliga laborationer. Vi har här samlat ett antal förslag på laborationer som vi själva formulerat, där flertalet idéer är hämtade från Häggmark (1989). Enligt Nämnaren Tema (1999) kan laborationer genomföras enskilt eller i par medan andra lämpligen görs i mindre grupper (Nämnaren Tema, 1995).
1. Hur stor är volymen av en cylinderformad burk? Gör först en uppskattning. Mät sedan de mått som behövs och beräkna volymen. Kontrollera svaret genom att fylla burken med vatten med ett litermått graderat i dl.
2. Rita tre linjer som skär varandra. Hur många skärningspunkter finns? Kan det finns olika antal beroende på hur linjerna ritas? Gör sedan samma sak för fyra och fem
linjer. Hur många skärningspunkter finns högst? Finns det ett samband mellan antalet skärningspunkter och antalet linjer? Formulera en hypotes. Prova sedan med sex linjer och försök bekräfta din hypotes.
3. Rita några punkter på en cirkel. Hur många sträckor behöver ritas för att alla punkter ska vara förbundna med varandra? Lägg till en punkt till och kontrollera hur den påverkar totala antalet sträckor om den ska förbindas med alla de gamla punkterna. Finns det ett samband mellan antalet punkter och antalet sträckor? Kan du komma på en tillämpning av detta problem i någon situation i samhället? Varför tror du att punkterna ritades på en cirkel? Hade resultatet blivit detsamma utan cirkeln?
4. Rita en triangel av godtycklig form och klipp ut den. Riv av hörnen och placera dem intill varandra. Vilken slutsats kan du dra om summan av vinklarna i en triangel? Rita sedan en fyrhörning. Hur stor blir summan av dess vinklar? Kan man lösa uppgiften på flera olika sätt?
5. Rita en femhörning och en sexhörning och ta reda på hur stor summan av vinklarna är i varje figur. Sammanfatta dina resultat från denna och föregående uppgift. Ser du något samband? Försök formulera det med en formel. Använd sedan formeln för att ta reda på summan av vinklarna i en sjuhörning. Hur ritar man en sjuhörning (dess sidor får inte skära varandra)?
6. Kan tre sträckor alltid utgöra sidorna till en triangel? Bryt sönder en spagetti i olika bitar och undersök. Sammanfatta dina undersökningar.
7. Bryt sönder en spagetti i olika bitar och bilda fyrhörningar. Bilda med samma fyra bitar två fyrhörningar med olika area. Försök att se till så att arean blir så stor som möjligt. Hur stora är då vinklarna? Försök att hitta ett samband mellan vinklarna. 8. Ta reda på hur följande fyrhörningar ser ut: kvadrat, romb, rektangel, parallellogram
och parallelltrapets. Bilda dessa med bitar av en spagetti. Vilka egenskaper karakteriserar dessa olika fyrhörningar?
9. Hur kan man använda en passare och linjal utan gradering för att dela en given sträcka mitt itu? Undersök om samma redskap kan användas för att dela en given vinkel mitt itu.
10. Dela in en cirkel i sexton lika stora sektorer. Klipp ut sektorerna och pussla ihop dem så att de får en form som ungefär liknar en parallellogram. Uppskatta arean av parallellogrammen uttryckt i cirkelns radie. Vad händer om varje del hade halverats, och de nya sedan halverats och så vidare? Vilken figur kommer
”parallellogrammen” att närma sig? Vad händer då med arean? Vilken formel borde därför ge cirkelns area?
4.5.3 Mönster och generaliseringar
En viktig aspekt inom matematik och naturvetenskap är att kunna upptäcka mönster och ställa upp allmänna samband – att generalisera. För att klara detta måste man, enligt Nämnaren Tema (1997), behärska det matematiska språket. Algebra är språket som används för att uttrycka generella samband. Många elever klarar inte av att direkt ställa upp algebraiska samband utan behöver arbeta med siffror till en början. Först därefter kan de ta steget att uttrycka sina slutsatser med hjälp av bokstäver.
För att få eleverna att se mönster och generaliseringar är laborativa moment en bra metod att använda. Man flyttar därmed ett mer eller mindre abstrakt problem från pappret (läroboken) till att handla om tändstickor, klossar eller något liknande som eleven kan undersöka. Problemet känns därmed förhoppningsvis mer verklighetsnära och den spatiala intelligensen kommer till användning.
Här är ett exempel på en sådan laborativ uppgift: Klipp ut små kvadrater (ca 2x2 cm) av papper. Bygg figurer med en kvadrat, två gånger två kvadrater, tre gånger tre kvadrater och så vidare. Hur många kvadrater finns i var och en av dessa figurer? I den fjärde figuren? I den femte? I en godtycklig figur nummer n? Kan du finna ett samband mellan antalet kvadrater i en (godtycklig) figur och de udda heltalen? Försök att uttrycka sambandet med bokstäver (algebraiskt) eller beskriva det med ord.
4.5.4 Mattegömmor – math tasks
Under didaktikkursen våren 2004 introducerades vi till matematikinstitutionens mattegömmor. En mängd matematisk materiel av enkelt format med pedagogiska övningar skapade i samarbete med Curriculum Corporation i Australien.
Materielen består av ett antal lådor som innehåller rekvisita från vardagen i form av klossar, snören, muggar, spelmarkörer och så vidare med en beskrivning av varje problems utförande i lådan. Problemen är utformade så att de startar på en låg nivå och
har sedan oftast potential att byggas ut och hamna på en avancerad matematisk nivå med allmänna resonemang kring heltal och algebra. Att jobba med mattegömmorna innebär att ge eleverna en låda som de får undersöka. Läraren har en mer tillbakadragen roll och kommer med då och då när eleverna kört fast eller för att sporra till nya
upptäckter genom att ställa frågor som ”Vad skulle hända om…”.
Vi uppfattade de didaktiska övningarna som väldigt givande där klassen engagerades och motiverades till att tänka i vidare banor. Eleven stimuleras till att nyttja hela sitt matematiska kunnande. Detta till skillnad från den vanliga undervisningen där man ofta endast stimulerar den del av elevernas kunskaper som är kopplat till det aktuella
kapitlet.
Mattegömmorna har även en hemsida, http://www.curriculum.edu.au/maths300/. Är man medlem kan man logga in och ta del av över 300 olika problem, varav det även finns tillhörande datorprogram till en tredjedel. Några gratisprov finns att testa för den som är intresserad.
4.5.5 Matematiska problem med verklighetsscenarion
Lovitt och Lowe (1993) beskriver i boken “Chance and data” ett alternativt sätt att undervisa statistik på. Genom att bygga upp ett scenario med verklighetsanknytning och sedan låta eleverna lösa uppgifter skapar det både mening och variation i
matematikämnet. En övning gick ut på att få större förståelse för spel och hur liten chansen faktiskt är att vinna. Detta scenario sattes i samband med hästtävlingarna som är en stor årlig begivenhet i Melbourne. Tärningen fick avgöra vilken häst som vann. Eleverna fick 100 pappersdollar var till att spela med och en elev utsågs till bookmaker hos vilken oddsen placerades. Det diskuterades också hur påverkan blir på odds och vinstmöjligheter om bookmakern skall ha en viss vinst på vadslagningen.
Problemställningen kan byggas på för att passa allt från sjätteklassare till elever som går sista året på gymnasiet.
5 Undersökning om undervisningsmetoder
5.1 Urval
Vi har som tidigare nämnts valt att studera undervisningsmetoderna på gymnasieskolor i Malmö och Lund. På detta sätt ville vi få en bild av hur dagens undervisning ser ut och vilka anledningar som ligger bakom lärarens val av undervisningsmetod.
I vår undersökning har vi fokuserat på att få information från matematiklärarna som har kursen Matematik A på gymnasieskolor i Malmö och Lund. En av skolorna är vår tidigare praktikskola medan resterande skolor valts ut slumpmässigt. Vi har i vårt urval strävat efter att få en blandning av gymnasieskolor med både yrkesprogram och
teoretiska program.
För att hålla respekten för individen i fokus under undersökningen, enligt vad Johansson och Svedner (2001) rekommenderar, beslutade vi oss för att informera den
matematikansvarige på respektive skola om kriterierna för undersökningen. Vi kontaktade, per telefon eller e-post, den matematikansvarige på respektive gymnasieskola som vi valt ut och beskrev följande.
• Undersökningens syfte och en beskrivning av undersökningsmetoden. • Undersökningen är frivillig och kan när som helst avbrytas utan negativa
följder.
• Undersökningen är konfidentiell och de tillfrågades anonymitet är skyddad.
Undersökningen berörde 84 matematiklärare på 10 gymnasieskolor. Dessa var i Malmö: Universitetsholmens gymnasium, Malmö Borgarskola, Heleneholms gymnasium, NTI-gymnasiet, Naturhumanistiska gymnasiet och Öresundsgymnasiet samt i Lund:
Polhemskolan, Spyken, Vipeholmskolan och Katedralskolan.
Svarsfrekvensen på undersökningen var 56 %. Det externa bortfallet, dvs. de enkäter vi aldrig fick in, blev således hela 37 stycken eller 44 %. Det interna bortfallet, dvs. de som inte svarat fullständigt på undersökningen, blev 2 stycken eller 4 %. Kvarstående antal kompletta undersökningssvar blev 45 stycken vilket ger en svarsfrekvens på 54 %.
Detta är ett väldigt lågt tal. Ejvegård (2003) hävdar att om bortfallet är mer än 30 % så föreligger ofta en självselektion. De som svarar respektive inte svarar på enkäten skiljer sig i uppfattning i någon egenskap som rör enkäten. Han menar vidare att
bortfallsanalysen får visa om resultatet överhuvudtaget kan användas.
Några av orsakerna till bortfallet anser vi vara
• Brist på tid (viljan finns men prioriteten är låg).
• Vi hade inte en relation till alla matematiklärarna och därmed kände de inte så stort ansvar för uppgiften. Vi tog kontakt med matematikansvarige på respektive skola och på några skolor distribuerade denne enkäten till samtliga
matematiklärare.
• Några matematikansvariga begärde att få frågeformuläret sänt via e-post och därmed träffade vi aldrig dem. Detta ledde till att svarsfrekvensen var mycket lägre än om vi uppsökte skolan, informerade och hämtade svaren efter ifyllnad. • Vissa lärare kanske känner sig utpekade som bakåtsträvare för att de använder
traditionella metoder i motsats till vad läroplanen säger. Ejvegård (2003) nämner att denna så kallade prestigefaktor kan påverka mer än man tror i
undersökningar.
På en skola blev matematikansvarige sjuk precis vid undersökningens början och detta resulterade i att vi enbart fick in 18 % av enkäterna. På ett par skolor fick vi efter ca en vecka veta att ett par enkäter till hade kommit in till matematikansvarige. Vi hade emellertid inte möjlighet att åka runt en andra gång till alla skolor och därför missade vi minst 5 enkäter på detta sätt.
Våra samlade erfarenheter från denna undersökning visar att personlig kontakt är A och O i dessa sammanhang och att två besök per skola är att föredra. En hög svarsfrekvens kräver att skolorna får mer tid på sig för att svara. Vi ville så snabbt som möjligt få in resultaten så vi kunde börja bearbetningen. Skulle vi ha gjort om vårt försök är vi övertygade om att vi hade fått en bättre svarsfrekvens. Hade vi inte haft otur med sjukdom, gjort en andra rundtur till alla skolorna och besökt alla skolorna så antar vi att vår svarsfrekvens hade legat över 70 %. Detta visar en enkel beräkning där vi uteslöt
skolan där matematikansvarige blev sjuk och räknade in de fem extra enkäterna vi visste fanns att hämta.
Det var enbart en lärare på en skola som vi besökte som vägrade fylla i enkäten,
eftersom den läraren tyckte den var ensidigt formulerad. Utifrån våra erfarenheter under våra besök och genom bedömning av hur lärarna som vi träffade uttryckte sig drar vi slutsatsen att punkt fyra ovan om prestigefaktorn har spelat en liten roll i vår
undersökning. De främsta orsakerna är utan tvekan tidsbrist och frånvaro av engagemang då vi inte fick personlig kontakt med alla.
Vi hävdar alltså att de svar vi fått in speglar väl de attityder som finns i det geografiska område som vi besökt. Därmed anser vi att vi kan använda våra resultat för att dra slutsatser om hur matematiklärarna ser på alternativa undervisningsformer i kursen Matematik A på gymnasieskolorna.
5.2 Datainsamlingsmetod
Vi har valt en kartläggande undersökning eller, som Johansson och Svedner (2001) också kallar det, en surveyundersökning där vi valt att samla information med hjälp av en enkät, se bilaga. Vi valde enkätförfarandet då tiden för examensarbetet var begränsad och vi önskade nå ut till många matematiklärare med samma frågor. Fördelen med detta, enligt Ejvegård (2003), är att det då är lättare att jämföra svaren och göra svaren mätbara.
Vi utformade enkäten på följande sätt enligt Ejvegård (2003) för att minimera fel: • Enkla frågor som inte lämnade utrymme för egentolkningar.
• Tydliga svarsalternativ. • En fråga i taget.
• Icke-ledande frågor.
• Möjlighet att skriva ned egna kommentarer utöver valda alternativ.
Vi försökte också att utforma enkäten så att den inte skulle ta längre tid än 15 minuter i anspråk och att den skulle vara maximalt två sidor. Likaså att den var objektiv, dvs. inte
med alternativa undervisningsmetoder. Detta för att alla skulle svara utifrån samma förutsättningar.
Den sista av våra tre frågeställningar i avsnitt 2.2 lyder: Vilka undervisningsmetoder används i skolorna i Malmö och Lund idag i gymnasiets matematikkurs A och varför?
Utifrån vår erfarenhet och genom samtal med våra medstudenter (ca 10 stycken) i didaktikkursen, som ska bli matematiklärare, hade vi bildat oss uppfattningen att den traditionella metoden är den dominerande metoden i kurs A i dagens gymnasieskola. Därför hade vi valt att jämföra denna metod med alla andra metoder.
Den sista delen i vår tredje frågeställning var varför lärarna valde aktuell
undervisningsmetod. De bakomliggande orsakerna försökte vi mäta med fråga 2 till 4. För att kunna mäta svaren valde vi att ha frågor med svarsalternativen 1, 2, 3 och 4. Anledningen till detta var att vi efter testundersökningen fick kommentarer på våra ursprungliga svarsalternativ mellan 1 och 5. Försökspersonerna ansåg att det då är lätt att bara sätta ett kryss i det mittersta alternativet för att slippa tänka igenom frågan. I och med att vi endast gav fyra svarsalternativ var undersökningspersonen tvungen att ta ställning åt endera hållet.
Fråga 1 (se bilaga) i enkäten utformade vi så att undersökningspersonerna skulle uppge vilka metoder de använde. Vi utformade frågan så att de olika metoderna som lärarna använder skulle anges i procent och totalsumman skulle uppgå till 100 %. Vi angav de som vi kunde tänka oss var de vanligast förekommande metoderna och indikerade med det samtidigt vad vi ansåg vara olika metoder. Detta för att kunna få relevanta svar som var mätbara. Vi lämnade också plats för ifyllnad av ytterligare metoder.
Med fråga 2 (se bilaga) försökte vi kartlägga vad läraren tycker om den traditionella metoden. I enkäten är den inte benämnd ”traditionell metod” för att minimera påverkan på resultatet. Detta för att inte peka ut lärare som traditionalister, vilket kunde vara en risk enligt vad Ejvegård (2003) skriver om prestigefaktorn (se avsnitt 5.1). Vi sökte svar både vad läraren tyckte om metoden för egen del, för elevernas del och hur denne uppfattade resultatet av metoden både avseende elevernas prestationer och motivation.
Fråga 3 (se bilaga) är likartad med fråga 2 men syftar till att kartlägga vad läraren tycker om den alternativa undervisningsmetoden denne använder mest.
Fråga 4 (se bilaga) syftar till att kartlägga vad läraren tycker om
matematikundervisningen i allmänhet och kursens faktainnehåll i relation till antalet kurstimmar.
Med fråga 5 (se bilaga) mäter vi i vilken utsträckning läraren använder alternativ materiel. Detta hoppas vi ge en indikation av hur bunden undervisningen är till läroboken alternativt vilka andra materiel som nyttjas.
Fråga 6 (se bilaga) är en frivillig skrivfråga där undersökningspersonen kan ge sin personliga åsikt av varför alternativa metoder behövs i matematikundervisningen.
5.3 Process
Vår undersökning genomfördes på 10 gymnasieskolor i Malmö och Lund under ett par veckors tid vid månadsskiftet november till december månad 2004.
Processen startade genom att vi, efter diskussioner med vår handledare, gjorde ett första test av enkätundersökningen på vår tidigare praktikskola. Detta test inkluderade endast två lärare och deras konstruktiva kritik ledde till att mindre justeringar av enkäten gjordes. Vi diskuterade dessa förslag med vår handledare för examensarbetet.
Nästa steg var att kontakta den matematikansvarige läraren på respektive gymnasieskola för att informera om kriterierna för undersökningen samt fråga om möjligheten för dem att deltaga i studien. Vi kontaktade dem per telefon eller per e-post och försökte boka ett möte på respektive skola.
De skolor som visade positivt intresse till undersökningen besökte vi. Detta för att skapa en personlig relation och förtroende till den matematikansvarige läraren. Detta, hävdar Johansson och Svedner (2001), ökar motivation för att få svar på vår undersökning och vi hoppades genom att nyttja detta angreppssätt få in ett stort antal undersökningssvar och minimera bortfallet.
