Lösningsförslag,
problemsamling 4
1. Ekvationen 45 x + 39 y ! 0 kan skrivas! 3 ÿ 5 x = -13 y
Det tal som vänster- och högerled beskriver har enligt FUNDAMENTALSATSEN unika primtal i sin primtalsfaktorisering. Därför måste vänsterledets primtalsprodukt 3 ÿ 5 dyka upp inuti högerledets y. På motsvarande sätt måste högerledets primtalsfaktor 13 finnas inuti vänsterledets x.
Således måste x! 13 m och y ! 15 n, för några val av hela tal m, n.
Av detta följer (efter insättning i ekvationen !) att 15 ÿ 13 m = -13 ÿ 15 n. Efter förkortning kan vi konstatera att m = -n.
Alltså, om Hx, yL är heltalslösningar till den givna ekvationen måste Hx, yL = H-13 n, 15 nL för något heltal n.
Omvänt, om Hx, yL = H-13 n, 15 nL för något heltal n, så ser man (kontrollen detta själv) att den givna ekvationens vänsterled blir lika med noll.
Alltså, samtliga lösningar ges av Hx, yL = H-13 n, 15 nL, där n œ !.
2. Problemet kan omformuleras sålunda: för vilka heltal n finns det heltal x och y sådana att 1212 x + 666 y = n? Eftersom SGDH1212, 666L = 6, är svaret att ekvationen är lösbar precis när 6 \n. Det givna uttrycket antar således värdena 86 k, k œ !<.
Eftersom SGDH1212, 666L = 6, följer att lösning existerar omm 2121 + n är delbart med 6. Det minsta positiva n:et för vilket detta inträffar är n = 3. Se tabellen:
n 1 2 3
Hn + 2121L mod 6 4 5 0
3. Man ser direkt att Hx0, y0L = H3, -1L är en lösning.
Eftersom 10, 23 saknar gemensamma delare >1 följer på gängse sätt att samtliga lösningar ges av
Hx, yL = Hx0, y0L +nH23, -10L = Hx0+23 n, y0-10 nL = H3 + 23 n, -1 - 10 nL, n œ !. M.a.o.
n œ ! Ï x! 23 n + 3 Ï y ! -10 n - 1
4. Problemtexten utmynnar | givet att antalet elefanter och hästar representeras av x, y | i ekvationen 9 x + 3 y +201 H-x - y + 1000L! 1000, dvs. 179 x 20 + 59 y 20 +50! 1000. Efter förenkling fås 179 x + 59 y! 19 000
EFtersom SGDH179, 59L = 1 följer | av känd sats | att vi kan skriva 1 som en lineär kombination av 179 och 59. Gör det! Man får …
179 ÿ H-29L + 59 ÿ 88! 1.
Efter multiplikation i båda leden med 19000 erhålls likheten 179 ÿ H-29 ÿ 19 000L + 59 ÿ H88 ÿ 19 000L! 19 000
Därmed har vi hittat en lösning till 179 x + 59 y ! 19 000, nämligen Hx0, y0L = H-29 ÿ 19 000, 88 ÿ 19 000L = H-551 000, 1 672 000L Samtliga lösningar ges nu av
Hx, yL! Hx0, y0L + H59 n, -179 nL = H-551 000 + 59 n, 1 672 000 - 179 nL Emellertid är vi enbart intresserade av ickenegativa lösningar.
Dvs sådana att -551 000 + 59 n ¥ 0 och 1 672 000 - 179 n ¥ 0. Detta leder till att 551 000
59 <n < 1 672 000
179 .
Eftersom n skall vara ett heltal följer att n = 9339 eller n = 9340. Alltså, antalet elefanter, hästar och lamm blir lika med
1, 319, 680 eller 60, 140, 800.
4. Problemtexten utmynnar | givet att antalet elefanter och hästar representeras av x, y | i ekvationen 9 x + 3 y +201 H-x - y + 1000L! 1000, dvs. 179 x 20 + 59 y 20 +50! 1000. Efter förenkling fås 179 x + 59 y! 19 000
EFtersom SGDH179, 59L = 1 följer | av känd sats | att vi kan skriva 1 som en lineär kombination av 179 och 59. Gör det! Man får …
179 ÿ H-29L + 59 ÿ 88! 1.
Efter multiplikation i båda leden med 19000 erhålls likheten 179 ÿ H-29 ÿ 19 000L + 59 ÿ H88 ÿ 19 000L! 19 000
Därmed har vi hittat en lösning till 179 x + 59 y ! 19 000, nämligen Hx0, y0L = H-29 ÿ 19 000, 88 ÿ 19 000L = H-551 000, 1 672 000L Samtliga lösningar ges nu av
Hx, yL! Hx0, y0L + H59 n, -179 nL = H-551 000 + 59 n, 1 672 000 - 179 nL Emellertid är vi enbart intresserade av ickenegativa lösningar.
Dvs sådana att -551 000 + 59 n ¥ 0 och 1 672 000 - 179 n ¥ 0. Detta leder till att 551 000
59 <n < 1 672 000
179 .
Eftersom n skall vara ett heltal följer att n = 9339 eller n = 9340. Alltså, antalet elefanter, hästar och lamm blir lika med
1, 319, 680 eller 60, 140, 800.
5. (a) Funktionen som avbildar x + Â y på det reella talparet Hx, yL: " x + Â y # Hx,yL #2 är en bijektion från " till #2.
Min bijektion från #2 till # är mer invecklad. Den avbildar varje reellt talpar
Hx, yL = I… a-1a0.a1a2… , … b-1b0.b1b2…M på det reella tal som fås då man
omväxlande tar tecken från x och från y:
#2 H… a-1a0.a1a2… , … b-1b0.b1b2…L # … a-1b-1a0b0.a1b1a2b2…#. T.ex. avbildas H3.14, 15.2345L = H03.1400, 15.2345L på 0135.12430405 … = 135.12430405. (b) H0, 1L x # 1 x H1, ¶L
(c) Betrakta först den uppräkneliga delmängden
A = :1 - J12Nn n ¥ 0> = :0, 12,34, 78,1516, …> av intervallet @0, 1D, och bijektionen
A1-J 1 2N n #1-J12Nn+1 A \ 80<, dvs. Problemsamling 4 2
A ö A\80< 0 # 12 1 2 # 3 4 3 4 # 7 8 7 8 # 15 16 15 16 # 31 32 ª
Denna bijektion kan utökas till en bijektion @0, 1DöH0, 1D med hjälp av identiteten på @0, 1D \ A. Se figuren nedanför, där linjestyckena representerar identitetsfunktionen, och punkterna representerar den förstnämnda bijektionen
0 1 2 3 4 7 8 15 16 1 2 3 Problemsamling 4