• No results found

Lösningar

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Lösningar"

Copied!
2
0
0

Loading.... (view fulltext now)

Full text

(1)

Lösningsförslag,

problemsamling 4

1. Ekvationen 45 x + 39 y ! 0 kan skrivas

! 3 ÿ 5 x = -13 y

Det tal som vänster- och högerled beskriver har enligt FUNDAMENTALSATSEN unika primtal i sin primtalsfaktorisering. Därför måste vänsterledets primtalsprodukt 3 ÿ 5 dyka upp inuti högerledets y. På motsvarande sätt måste högerledets primtalsfaktor 13 finnas inuti vänsterledets x.

Således måste x! 13 m och y ! 15 n, för några val av hela tal m, n.

Av detta följer (efter insättning i ekvationen !) att 15 ÿ 13 m = -13 ÿ 15 n. Efter förkortning kan vi konstatera att m = -n.

Alltså, om Hx, yL är heltalslösningar till den givna ekvationen måste Hx, yL = H-13 n, 15 nL för något heltal n.

Omvänt, om Hx, yL = H-13 n, 15 nL för något heltal n, så ser man (kontrollen detta själv) att den givna ekvationens vänsterled blir lika med noll.

Alltså, samtliga lösningar ges av Hx, yL = H-13 n, 15 nL, där n œ !.

2. Problemet kan omformuleras sålunda: för vilka heltal n finns det heltal x och y sådana att 1212 x + 666 y = n? Eftersom SGDH1212, 666L = 6, är svaret att ekvationen är lösbar precis när 6 \n. Det givna uttrycket antar således värdena 86 k, k œ !<.

Eftersom SGDH1212, 666L = 6, följer att lösning existerar omm 2121 + n är delbart med 6. Det minsta positiva n:et för vilket detta inträffar är n = 3. Se tabellen:

n 1 2 3

Hn + 2121L mod 6 4 5 0

3. Man ser direkt att Hx0, y0L = H3, -1L är en lösning.

Eftersom 10, 23 saknar gemensamma delare >1 följer på gängse sätt att samtliga lösningar ges av

Hx, yL = Hx0, y0L +nH23, -10L = Hx0+23 n, y0-10 nL = H3 + 23 n, -1 - 10 nL, n œ !. M.a.o.

n œ ! Ï x! 23 n + 3 Ï y ! -10 n - 1

4. Problemtexten utmynnar | givet att antalet elefanter och hästar representeras av x, y | i ekvationen 9 x + 3 y +201 H-x - y + 1000L! 1000, dvs. 179 x 20 + 59 y 20 +50! 1000. Efter förenkling fås 179 x + 59 y! 19 000

EFtersom SGDH179, 59L = 1 följer | av känd sats | att vi kan skriva 1 som en lineär kombination av 179 och 59. Gör det! Man får …

179 ÿ H-29L + 59 ÿ 88! 1.

Efter multiplikation i båda leden med 19000 erhålls likheten 179 ÿ H-29 ÿ 19 000L + 59 ÿ H88 ÿ 19 000L! 19 000

Därmed har vi hittat en lösning till 179 x + 59 y ! 19 000, nämligen Hx0, y0L = H-29 ÿ 19 000, 88 ÿ 19 000L = H-551 000, 1 672 000L Samtliga lösningar ges nu av

Hx, yL! Hx0, y0L + H59 n, -179 nL = H-551 000 + 59 n, 1 672 000 - 179 nL Emellertid är vi enbart intresserade av ickenegativa lösningar.

Dvs sådana att -551 000 + 59 n ¥ 0 och 1 672 000 - 179 n ¥ 0. Detta leder till att 551 000

59 <n < 1 672 000

179 .

Eftersom n skall vara ett heltal följer att n = 9339 eller n = 9340. Alltså, antalet elefanter, hästar och lamm blir lika med

1, 319, 680 eller 60, 140, 800.

4. Problemtexten utmynnar | givet att antalet elefanter och hästar representeras av x, y | i ekvationen 9 x + 3 y +201 H-x - y + 1000L! 1000, dvs. 179 x 20 + 59 y 20 +50! 1000. Efter förenkling fås 179 x + 59 y! 19 000

EFtersom SGDH179, 59L = 1 följer | av känd sats | att vi kan skriva 1 som en lineär kombination av 179 och 59. Gör det! Man får …

179 ÿ H-29L + 59 ÿ 88! 1.

Efter multiplikation i båda leden med 19000 erhålls likheten 179 ÿ H-29 ÿ 19 000L + 59 ÿ H88 ÿ 19 000L! 19 000

Därmed har vi hittat en lösning till 179 x + 59 y ! 19 000, nämligen Hx0, y0L = H-29 ÿ 19 000, 88 ÿ 19 000L = H-551 000, 1 672 000L Samtliga lösningar ges nu av

Hx, yL! Hx0, y0L + H59 n, -179 nL = H-551 000 + 59 n, 1 672 000 - 179 nL Emellertid är vi enbart intresserade av ickenegativa lösningar.

Dvs sådana att -551 000 + 59 n ¥ 0 och 1 672 000 - 179 n ¥ 0. Detta leder till att 551 000

59 <n < 1 672 000

179 .

Eftersom n skall vara ett heltal följer att n = 9339 eller n = 9340. Alltså, antalet elefanter, hästar och lamm blir lika med

1, 319, 680 eller 60, 140, 800.

5. (a) Funktionen som avbildar x + Â y på det reella talparet Hx, yL: " x + Â y # Hx,yL #2 är en bijektion från " till #2.

Min bijektion från #2 till # är mer invecklad. Den avbildar varje reellt talpar

Hx, yL = I… a-1a0.a1a2… , … b-1b0.b1b2…M på det reella tal som fås då man

omväxlande tar tecken från x och från y:

#2 H… a-1a0.a1a2… , … b-1b0.b1b2…L # … a-1b-1a0b0.a1b1a2b2…#. T.ex. avbildas H3.14, 15.2345L = H03.1400, 15.2345L på 0135.12430405 … = 135.12430405. (b) H0, 1L x # 1 x H1, ¶L

(c) Betrakta först den uppräkneliga delmängden

A = :1 - J12Nn n ¥ 0> = :0, 12,34, 78,1516, …> av intervallet @0, 1D, och bijektionen

A1-J 1 2N n #1-J12Nn+1 A \ 80<, dvs. Problemsamling 4 2

(2)

A ö A\80< 0 # 12 1 2 # 3 4 3 4 # 7 8 7 8 # 15 16 15 16 # 31 32 ª

Denna bijektion kan utökas till en bijektion @0, 1DöH0, 1D med hjälp av identiteten på @0, 1D \ A. Se figuren nedanför, där linjestyckena representerar identitetsfunktionen, och punkterna representerar den förstnämnda bijektionen

0 1 2 3 4 7 8 15 16 1 2 3 Problemsamling 4

References

Related documents

Nedanstående anslutningsschema visar anslutning av matningsspänning till mo- torstyrning och bypasspjäll.. 3004837-2014-09-04 Anslutningsschema

Att den av nämnden utsedde 3 :e beslutsfattaren, Kerstin Setterberg (KD), väljs till ordinarie ledamot i socialnämndens myndighetsutskott för mandatperioden 2019-2022. Till

We have also reported that the corresponding amide analogue of flurbiprofen (Flu-AM1) is a potent inhibitor of rat brain FAAH and additionally shows a substrate-selective inhibition

Men även om en och annan felaktighet insmyger sig någon gang, far man nog ge Carl Laurin rätt, som en gång när detta tjat på tidningarna åter var framme yttrade: ”Den, som

Po¨ angen p˚ a godk¨ anda duggor summeras och avg¨ or slutbetyget.. L¨ osningarna skall vara v¨ almotiverade och

Later on it may be possible to try react boronic-acid-3-hexyne with the indole and try to get the boronic acid to survive the reaction so that it still is attached to the final

Hur många enheter måste man minst tillverka för att man med en sannolikhet, som är minst 0, 99, skall ha tillverkat åtminstone en defekt enhet?.

3431. I ett samhälle finns 500 gifta par. Två tredjedelar av de män som är äldre än sina fruar är också längre än dessa, medan tre fjärdedelar av de män som är längre än