Tal i olika baser
numberRange baseRange 02 12 102 112 1002 1012 1102 1112 10002 10012 10102 03 13 23 103 113 123 203 213 223 1003 1013 04 14 24 34 104 114 124 134 204 214 224 05 15 25 35 45 105 115 125 135 145 205 06 16 26 36 46 56 106 116 126 136 146 07 17 27 37 47 57 67 107 117 127 137 08 18 28 38 48 58 68 78 108 118 128 09 19 29 39 49 59 69 79 89 109 119 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Från en godtycklig bas till basen 10
7925 representerar 7 ÿ 103+9 ÿ 102+2 ÿ 101+5 11012 representerar 1 ÿ 23+1 ÿ 22+0 ÿ 21+1 dvs 13 20123 representerar 2 ÿ 33+0 ÿ 32+1 ÿ 31+2 dvs 59ALLMÄNT: Idn-1 … d1d0Mbas representerar det tal som i tiosystemet beräknas av uttrycket dn-1ÿbasn-1+… + d1ÿbas1+d0.
Genom att avskilja den sista termen i ovanstående uttryck uppenbaras en rekursionsformel:
dn-1ÿbasn-1+… + d1ÿbas1+d0=Idn-1ÿbasn-2+… + d1M ÿ bas + d0
Ty ovanstående likhet uttrycker att om vi vill beräkna det tal i tiosystemet som motsvaras av Idn-1 … d1d0Mbas behöver vi "bara" börja med att beräkna det tal i tiosystemet som motsvaras av Idn-1 … d1Mbas, och därefter göra två operationer: multiplicera med bas samt addera d0. Här är en pseudokod som beskriver nämnda kalkyl:
Från(bas, tom sträng)=0
FrånHbas, strängL = FrånHbas, UtomSistaHsträngLL ÿ bas + SistaHsträngL EXEMPEL 1 FrånH 3, 2012 L = FrånH3, 201L ÿ 3 + 2 = HFrånH3, 20L ÿ 3 + 1L ÿ 3 + 2 = HHFrånH3, 2L ÿ 3 + 0L ÿ 3 + 1L ÿ 3 + 2 = HHHFrånH3, tom strängL ÿ 3 + 2L ÿ 3 + 0L ÿ 3 + 1L ÿ 3 + 2 = HHH0 ÿ 3 + 2L ÿ 3 + 0L ÿ 3 + 1L ÿ 3 + 2 = HH2 ÿ 3 + 0L ÿ 3 + 1L ÿ 3 + 2 = H6 ÿ 3 + 1L ÿ 3 + 2 = 19 ÿ 3 + 2 = 59
Från basen 10 till en godtycklig bas
Om man exempelvis vill representera 5910 i basen 3 så gäller det att ta reda på hur många 3-potenser av olika storlek som ryms inuti 59. Man kan konstatera att det får plats 19 stycken 3:or och att det blir 2 enheter över.
Kvoten 19 uttrycker att det finns nitton stycken 31-potenser och resten 2
att det finns två stycken 30-potenser inuti femtionio. Men också 19 innehåller 3:or. Genom fortsatt division med 3 erhålls
59 = 19 ÿ 3 +2
=H6 ÿ 3 +1L ÿ 3 +2
=HH2 ÿ 3 +0L ÿ 3 +1L ÿ 3 +2
=HHH0 ÿ 3 +2L ÿ 3 +0L ÿ 3 +1L ÿ 3 +2
=2ÿ33+0ÿ32+1ÿ3 +2
Den avslutande raden ovanför visar att 5910 representeras i basen 3 av
20123. Notera att strängen 2012 är en utökning i höger ände (med restsiffran 2) av den sträng 201 som representerar 1910.
Allmänt gäller följande: Om man för ett givet tal i tiosystemet vill veta dess representation i en ny bas, så börjar man med att dividera talet med den nya basen.
tal = kvoten·(nya basen)+resten
Sedan behöver man bara
1. representera kvoten i den nya basen, och 2. foga resten till resultatets högra ände.
Nedanstående pseudokod beskriver nämnda transformation:
TillHnyBas, 0L = tom sträng
TillHnyBas, talL =
FogaHTillHnyBas, KvotHtal, nyBasLL, RestHtal, nyBasLL EXEMPEL 2 TillH 3, 59 L =FogaHTillH3, 19L, 2L =FogaHFogaHTillH3, 6L, 1L, 2L =FogaHFogaHFogaHTillH3, 2L, 0L, 1L, 2L =FogaHFogaHFogaHFogaHTillH3, 0L, 2L, 0L, 1L, 2L =FogaHFogaHFogaHFogaHtom sträng, 2L, 0L, 1L, 2L = 2012
3 Tal i olika baser.nb
Från en bas till en annan
Sammansättningen TillH annan bas, FrånHbas, strängL L översätter ett givet tals siffersträng i en viss bas till samma tals siffersträng i en annan bas: EXEMPEL 3 TillH2, FrånH3,2012LL = Till H2, 59L = … =111 011
2-systemet
Eftersom Idn-1 … d1d0M2 representerar dn-1ÿ2n-1+… + d1ÿ21+d0, följer att
Idn-1 … d1 0M2 representerar dn-1ÿ2n-1+… + d1ÿ21, dvs ett jämnt tal. Idn-1 … 00M2 representerar dn-1ÿ2n-1+… + d1ÿ22, dvs ett tal delbart med fyra.
H10 … 0 n siffror
L2 representerar en ren tvåpotens: 2n-1. H11 … 1
n siffror
L2 representerar nästan en ren tvåpotens: 2n-1+2n-2+… + 20 =
Æ
Geom. summa
2n-1. Som jämförelse
Idn-1 … d1 0M10 representerar ett tal delbart med tio. Idn-1 … 00M10 representerar ett tal delbart med hundra. H10 … 0
n siffror
L10 representerar en ren tiopotens: 10n-1. H99 … 9
n siffror
L10 representerar nästan en ren tiopotens: 9 ÿ 10n-1+9 ÿ 10n-2+… + 9 ÿ 100 =
Æ
Geom. summa
9 1010-1n-1 =10n-1.
Från basen 2 till en ny bas som är en högre tvåpotens
Från basen 2 till en ny bas som är en högre tvåpotens
Att arbeta med basen två är på många sätt enkelt. Inte minst därför att man bara behöver arbeta med två olika siffror: 0 och 1. De resulterande strängarna kallas för bitsträngar.
Det är också utomordentligt enkelt att gå från basen två till en annan tvåpotensbas. Man behöver bara gruppera den givna bitsträngens siffror i grupper av viss längd från höger räknat. "Värdet" av de enskilda grupperna blir siffror i den resulterande strängen.
För att gå till en representation i basen fyra, åtta respektive sexton skall gruppernas längder vara 2, 3 respektive 4. Nedanstående rader illustrerar …
Från basen 2 till basen 4
… + d7ÿ27+d6ÿ26+d5ÿ25+d4ÿ24+d3ÿ23+d2ÿ22+d1ÿ21+d0= … +Id7ÿ2 + d6M 26+Id5ÿ2 + d4M 24+Id3ÿ2 + d2M 22+d1ÿ21+d0= … +Id7ÿ2 + d6M
œ80,1,2,3<
43+Id5ÿ2 + d4M 42+Id3ÿ2 + d2M 41+Id1ÿ21+d0M 40
Från basen 2 till basen 8
… + d8ÿ28+d7ÿ27+d6ÿ26+d5ÿ25+d4ÿ24+d3ÿ23+d2ÿ22+d1ÿ21+d0= … +Id8ÿ22+d7ÿ2 + d6M 26+Id5ÿ22+d4ÿ2 + d3M 23+d2ÿ22+d1ÿ21+d0= … +Id8ÿ22+d7ÿ2 + d6M
œ80,1,2,3,4,5,6,7<
82+Id5ÿ22+d4ÿ2 + d3M 81+Id2ÿ22+d1ÿ21+d0M 80
5 Tal i olika baser.nb
Från basen 2 till basen 16
… + d15ÿ215+d14ÿ214+d13ÿ213+d12ÿ212+d11ÿ211+d10ÿ210+d9ÿ29+ d8ÿ28+d7ÿ27+d6ÿ26+d5ÿ25+d4ÿ24+d3ÿ23+d2ÿ22+d1ÿ21+d0= … +Id15ÿ23+d14ÿ22+d13ÿ2 + d12M 212+Id11ÿ23+d10ÿ22+d9ÿ2 + d8M 28+ Id7ÿ23+d6ÿ22+d5ÿ2 + d4M 24+Id3ÿ23+d2ÿ22+d1ÿ21+d0M 20= … +Id15ÿ23+d14ÿ22+d13ÿ2 + d12M œ80,1,2,…,15< 163 +Id11ÿ23+d10ÿ22+d9ÿ2 + d8M 162+ Id7ÿ23+d6ÿ22+d5ÿ2 + d4M 161+Id3ÿ23+d2ÿ22+d1ÿ21+d0M 160
